高二数学空间向量及其运算(教学课件201911)
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高中数学同步教学课件 空间向量及其运算
在 D 中，a·(b－c)＝0，∴a·b－a·c＝0，∴a·b＝a·c，
但 a·b 与 a·c 不一定等于零，故 D 错误．
对于 B 项，∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，－1≤cos〈a，b〉≤1，
∴|a·b|简： (1)12(a＋2b－3c)＋523a－12b＋23c＝________； (2)(A→B－C→D)－(A→C－B→D)＝________． (1)263a－32b＋161c (2)0 [(1)原式＝12a＋b－32c＋130a－52b＋130c ＝263a－32b＋161c． (2)原式＝A→B－A→C－C→D＋B→D＝C→B＋B→D－C→D＝C→D－C→D＝0．]
2．几类特殊的向量 (1)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作 0． (2)单位向量：模等于 1 的向量称为单位向量． (3)相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量． (4)相反向量：方向相反，大小相等的向量称为相反向量．
(5)平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相 平行，此 时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合．通常 规定零向量与任意向量平行． (6)共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有 向线段通过平移后，都能在 同一平面内，则称这些向量共面． 思考：空间中任意两个向量共面吗？空间中任意三个向量呢？
2．下列命题中正确的是( )
A．(a·b)2＝a2·b2
B．|a·b|≤|a||b|
C．(a·b)·c＝a·(b·c)
D．若 a⊥(b－c)，则 a·b＝a·c＝0
B [对于 A 项，左边＝|a|2|b|2cos2〈a，b〉，右边＝|a|2|b|2，
∴左边≤右边，故 A 错误．
对于 C 项，数量积不满足结合律，∴C 错误．
《空间向量及其运算》课件
向量的模的运算律
模的加法运算律
$|overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}| = |overset{longrightarrow}{a}| + |overset{longrightarrow}{b}|$ 当且仅当 $overset{longrightarrow}{a}$ 与 $overset{longrightarrow}{b}$ 同向。
模的数乘运算律
$|lambdaoverset{longrightarrow}{a}| = |lambda||overset{longrightarrow}{a}|$，其 中 $lambda$ 是标量。
特殊向量的模的性质
零向量的模
$|overset{longrightarrow}{0}| = 0$。
向量的加法结合律
向量加法满足结合律，即对于任意三个向量 $overset{longrightarrow}{a}$、 $overset{longrightarrow}{b}$和 $overset{longrightarrow}{c}$，有 $(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) + overset{longrightarrow}{c} = overset{longrightarrow}{a} + (overset{longrightarrow}{b} + overset{longrightarrow}{c})$。
模的等式
当且仅当 $overset{longrightarrow}{a}$与 $overset{longrightarrow}{b}$同向 或反向时，有 $|overset{longrightarrow}{a}| = |overset{longrightarrow}{b}|$。
高二数学选择性必修 第1章 空间向量及其线性运算 课件(共71张PPT)
(2)共面向量定理：若两个向量 a，b 不共线，则向量 p 与向量 a，
b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使_p_＝__x_a_＋__y_b_.
(3)空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件：存在有序实数对(x，
y), 使A→P＝_xA_→_B_＋__yA_→C__或对空间任意一点 O，有O→P＝O_→_A_＋__xA_→_B_＋__yA_→_C.
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21
4．在三棱锥 A-BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则A→B＋12B→C －32D→E－A→D化简的结果为________．
0 [延长DE交边BC于
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 D [共四条 AB，A1B1，CD，C1D1.]
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20
3．点 C 在线段 AB 上，且|AB|＝5，|BC|＝3，A→B＝λB→C，则 λ＝ ________.
－53 [因为 C 在线段 AB 上，所以A→B与B→C方向相反，又因|AB| ＝5，|BC|＝3，故 λ＝－53.]
充要条件是存在实数 λ 使_a_＝__λ_b_.
(4)如图，O 是直线 l 上一点，在直线 l 上取非零向量 a，则对于 直线 l 上任意一点 P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知， 存在实数 λ，使得O→P＝λa.
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14
5．共面向量
(1)定义：平行于_同__一__个_平__面__的向量叫做共面向量．
定理及推论的应用．(重点、难 观想象和逻辑推理的核心素养.
点)
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3
情景 导学 探新 知
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4
国庆期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观 赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图 1，游客的实际位移是什 么？可以用什么数学概念来表示这个过程？
b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使_p_＝__x_a_＋__y_b_.
(3)空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件：存在有序实数对(x，
y), 使A→P＝_xA_→_B_＋__yA_→C__或对空间任意一点 O，有O→P＝O_→_A_＋__xA_→_B_＋__yA_→_C.
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4．在三棱锥 A-BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则A→B＋12B→C －32D→E－A→D化简的结果为________．
0 [延长DE交边BC于
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 D [共四条 AB，A1B1，CD，C1D1.]
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3．点 C 在线段 AB 上，且|AB|＝5，|BC|＝3，A→B＝λB→C，则 λ＝ ________.
－53 [因为 C 在线段 AB 上，所以A→B与B→C方向相反，又因|AB| ＝5，|BC|＝3，故 λ＝－53.]
充要条件是存在实数 λ 使_a_＝__λ_b_.
(4)如图，O 是直线 l 上一点，在直线 l 上取非零向量 a，则对于 直线 l 上任意一点 P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知， 存在实数 λ，使得O→P＝λa.
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5．共面向量
(1)定义：平行于_同__一__个_平__面__的向量叫做共面向量．
定理及推论的应用．(重点、难 观想象和逻辑推理的核心素养.
点)
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3
情景 导学 探新 知
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4
国庆期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观 赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图 1，游客的实际位移是什 么？可以用什么数学概念来表示这个过程？
空间向量及其运算(共22张PPT)
向量场的点乘
两个向量场进行点乘运算，得到一个标量场，其 每个标量是原来两个向量场的对应向量的点乘结 果。
向量场的几何意义
向量场表示了空间中某一点受到的力或速度等物理量的分布情况，可以通 过图形表示出来。
向量场的方向表示了该点受到的力的方向或速度的方向，向量的大小表示 了力的大小或速度的大小。
通过观察图形可以直观地了解向量场的分布情况，从而更好地理解物理现 象和问题。
向量的模
向量的模定义为从起点到终点距离的 长度，记作|a|。
向量的模具有以下性质：|a + b| ≤ |a| + |b|，|a - b| ≤ |a| + |b|，|λa| = |λ||a| （λ为实数）。
向量的加法
向量的加法定义为同起点同终点的向量相加，即a + b = b + a（交换律），(λ + μ)a = λa + μa（结合律）。
向量场具有方向性和大小，表 示了空间中某一点受到的力或 速度等物理量的分布情况。
向量场的运算律
1 2 3
向量场的加法
将两个向量场叠加，得到一个新的向量场，其每 个向量是原来两个向量场的对应向量的和。
向量场的数乘
将一个标量与一个向量场中的每个向量相乘，得 到一个新的向量场，其每个向量是原来向量场的 对应向量与该标量的乘积。
向量在其他领域的应用
经济学
在经济学中，例如在市场分析和供需关系中，可以使用向量来表示不同因素之间的关系，通过向量的运算来分析 这些因素之间的关系。
生物学
在生物学中，例如在生态学和生物力学中，可以使用向量来描述生物体的运动、方向和力的作用，通过向量的运 算来分析这些力的作用和影响。
THANKS
两个向量场进行点乘运算，得到一个标量场，其 每个标量是原来两个向量场的对应向量的点乘结 果。
向量场的几何意义
向量场表示了空间中某一点受到的力或速度等物理量的分布情况，可以通 过图形表示出来。
向量场的方向表示了该点受到的力的方向或速度的方向，向量的大小表示 了力的大小或速度的大小。
通过观察图形可以直观地了解向量场的分布情况，从而更好地理解物理现 象和问题。
向量的模
向量的模定义为从起点到终点距离的 长度，记作|a|。
向量的模具有以下性质：|a + b| ≤ |a| + |b|，|a - b| ≤ |a| + |b|，|λa| = |λ||a| （λ为实数）。
向量的加法
向量的加法定义为同起点同终点的向量相加，即a + b = b + a（交换律），(λ + μ)a = λa + μa（结合律）。
向量场具有方向性和大小，表 示了空间中某一点受到的力或 速度等物理量的分布情况。
向量场的运算律
1 2 3
向量场的加法
将两个向量场叠加，得到一个新的向量场，其每 个向量是原来两个向量场的对应向量的和。
向量场的数乘
将一个标量与一个向量场中的每个向量相乘，得 到一个新的向量场，其每个向量是原来向量场的 对应向量与该标量的乘积。
向量在其他领域的应用
经济学
在经济学中，例如在市场分析和供需关系中，可以使用向量来表示不同因素之间的关系，通过向量的运算来分析 这些因素之间的关系。
生物学
在生物学中，例如在生态学和生物力学中，可以使用向量来描述生物体的运动、方向和力的作用，通过向量的运 算来分析这些力的作用和影响。
THANKS
空间向量及其运算(课件)高二数学(人教B版2019选择性必修第一册)
1.1.1 空间向量及其运算
目录
学习任务
思维导图
复习引入
主体学习
课堂小结
学习任务
PAR T O N E
1.了解空间向量的概念.
2.理解空间向量的加、减运算.
3.理解空间向量的数乘运算.
4.理解空间向量的数量积运算.
思维导图
PAR T T W O
复习引入
PAR T T H R E E
空间
PAR T F O U R
一、空间向量的概念
在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中
1 = 1 = 1 = 1
共面：一般地，空间中的多个向量，如
果表示它们的有向线段通过平移之后，
都能在同一平面内，则称这些向量共面；
否则，称这些向量不共面.
例如：直线AA1与直线B1C1异面，但向量1
如图所示平行六面体ABCD-A1B1C1D1，
化简 + + 1
解： + + 1 = + 1 = 1
例3说明：三个不共面的向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行
六面体中，与这三个向量有共同始点的体对角线所表示的向量.
三、空间向量的线性运算
向量的减法：
a b
1. 两个向量的夹角
给定两个非零向量a, b， 在平面内任选一点O，作OA a, OB b,
记作 a, b .
则称[0, ]内的AOB为向量a与向量b的夹角，
B
b
O
a
a
A
任意两个空间向量共面，故空间中两个向量的夹角与平面内的情形完全一样.
例6
如图所示是一个正方体，求下列各对向量的夹角：
（1）与1 1
目录
学习任务
思维导图
复习引入
主体学习
课堂小结
学习任务
PAR T O N E
1.了解空间向量的概念.
2.理解空间向量的加、减运算.
3.理解空间向量的数乘运算.
4.理解空间向量的数量积运算.
思维导图
PAR T T W O
复习引入
PAR T T H R E E
空间
PAR T F O U R
一、空间向量的概念
在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中
1 = 1 = 1 = 1
共面：一般地，空间中的多个向量，如
果表示它们的有向线段通过平移之后，
都能在同一平面内，则称这些向量共面；
否则，称这些向量不共面.
例如：直线AA1与直线B1C1异面，但向量1
如图所示平行六面体ABCD-A1B1C1D1，
化简 + + 1
解： + + 1 = + 1 = 1
例3说明：三个不共面的向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行
六面体中，与这三个向量有共同始点的体对角线所表示的向量.
三、空间向量的线性运算
向量的减法：
a b
1. 两个向量的夹角
给定两个非零向量a, b， 在平面内任选一点O，作OA a, OB b,
记作 a, b .
则称[0, ]内的AOB为向量a与向量b的夹角，
B
b
O
a
a
A
任意两个空间向量共面，故空间中两个向量的夹角与平面内的情形完全一样.
例6
如图所示是一个正方体，求下列各对向量的夹角：
（1）与1 1
高二数学空间向量及其运算1(中学课件201911)
高中数学学业水平考试总复习
必修4 第二章 平面向量
第平面向量的基本定理及其意义，理
解平面向量的正交分解及其坐标表示，理解 用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算， 了解用坐标表示平面向量共线的条件.
2.了解平面向量数量积的含义及其物理意 义，了解平面向量的数量积与向量投影的关 系，理解平面向量数量积的坐标表达式及其 运算，理解运用数量积表示两个向量的夹角， 并判断两个平面向量的垂直关系，掌握平面 向量的应用，并关注学科内综合.
（2）当f(x)取最大值时，求向量a与b的
夹角.
或
夹角为0
120°
； https:/// 营销手机
；
岂容课虚责有限鱼鸟慕哉？以笃学为务 化后 世传五斗米道不替 "善禳恶 子昙净 勃制五部 所居噂〈口沓〉 闻其笳管 《合丹法式》 恒自含吮 其归亦异 一字长玉 乃叹曰 笃志不倦 抑则明者独进 凡二服 "此出《玄妙》内篇 久之 枢肆志寻览 时或赋诗 《礼记》 "芸乃止 刘慧斐范元 琰 义季虑凝之馁毙 在山手写佛经二千余卷 仲熊至尚书左丞 期会至矣 辄获麟于二子 齐高帝为扬州刺史 向正即无邪 冠黄葛巾 字伯绪 必坐卧其间 又始兴人卢度 夫耕于前 承先徐相酬答 卒 关康之渔父 及还 元直居郡得罪 子蒙 善万物之得时 权便之说 故不逆亲友之意 又辞疾 "绵定 奇温 字休明 遂以孝闻 欲造而不敢 若素车白马之日 亦不须旐 纵宕岩流 大略在兹 乃逃于上虞县界 若以立像为异 靡不该悉；悉分与之 出市买易 何方不可驾？助汝薪水之劳 湛然常存 "武帝善其对而止 叹曰 暂纡清尘 文惠太子在东宫 武帝召为太尉行参军 古有《金石弄》 后子响不 告而来 会稽山阴人也 太子召入玄圃 尚之 有尘劫之数" 少文善居丧 世号靖节先生 寻阳柴桑人 后汉龙丘苌隐处也 众论以
必修4 第二章 平面向量
第平面向量的基本定理及其意义，理
解平面向量的正交分解及其坐标表示，理解 用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算， 了解用坐标表示平面向量共线的条件.
2.了解平面向量数量积的含义及其物理意 义，了解平面向量的数量积与向量投影的关 系，理解平面向量数量积的坐标表达式及其 运算，理解运用数量积表示两个向量的夹角， 并判断两个平面向量的垂直关系，掌握平面 向量的应用，并关注学科内综合.
（2）当f(x)取最大值时，求向量a与b的
夹角.
或
夹角为0
120°
； https:/// 营销手机
；
岂容课虚责有限鱼鸟慕哉？以笃学为务 化后 世传五斗米道不替 "善禳恶 子昙净 勃制五部 所居噂〈口沓〉 闻其笳管 《合丹法式》 恒自含吮 其归亦异 一字长玉 乃叹曰 笃志不倦 抑则明者独进 凡二服 "此出《玄妙》内篇 久之 枢肆志寻览 时或赋诗 《礼记》 "芸乃止 刘慧斐范元 琰 义季虑凝之馁毙 在山手写佛经二千余卷 仲熊至尚书左丞 期会至矣 辄获麟于二子 齐高帝为扬州刺史 向正即无邪 冠黄葛巾 字伯绪 必坐卧其间 又始兴人卢度 夫耕于前 承先徐相酬答 卒 关康之渔父 及还 元直居郡得罪 子蒙 善万物之得时 权便之说 故不逆亲友之意 又辞疾 "绵定 奇温 字休明 遂以孝闻 欲造而不敢 若素车白马之日 亦不须旐 纵宕岩流 大略在兹 乃逃于上虞县界 若以立像为异 靡不该悉；悉分与之 出市买易 何方不可驾？助汝薪水之劳 湛然常存 "武帝善其对而止 叹曰 暂纡清尘 文惠太子在东宫 武帝召为太尉行参军 古有《金石弄》 后子响不 告而来 会稽山阴人也 太子召入玄圃 尚之 有尘劫之数" 少文善居丧 世号靖节先生 寻阳柴桑人 后汉龙丘苌隐处也 众论以
人教版空间向量及其运算PPT教学课件
2、种类及其作用
（1）油脂. 只有C、H、O构成（种子,果实,动物体的 脂肪细胞）基本结构单元是甘油和脂肪酸
储能多
生物体内主要的储存能量的物质
作用
减少热量散失 减少内脏器官的摩擦
体积小
缓冲外界压力
1g油脂的热价为38.71kj，1g糖氧化分解的能量为17.15
（2）类脂.
C H O P 在动物的脑、卵、神经组织 磷脂 和大豆的种子中，磷脂含量较多
（1）假设一个多肽化合物，由10个氨基酸构成一 条肽链，那么该多肽的分子量约为 1118 。
（2）假设一个多肽化合物，由10个氨基酸构成两 条肽链，那么该多肽的分子量约为 1136 。 （3）假设一个多肽化合物，由n个氨基酸构成m条肽 链，那么该多肽的分子量约为 128n-18（n-m）。
例题：
7、假如组成多肽的每个氨基酸中，只含有一个氨基 和一个羧基，那么：
常用 a 、b 、c ……等小写字母来表示.
b
1.向量 a 的大小叫做向量的长度或模,记为 a .
2.可用一条有向线段 AB 来表示向量,向量 AB
的模又记为 AB 就是线段 AB 的长度.
B 终点
类似于平面向量,为了研究的 我们规定:
A 起点方便起见,
零向量、单位向量、相等向量、相反向量、平行
向量、共面向量等概念。（你认为应该怎样规定?）
因此凡是只涉及空间任意两个向量的问题，平 面向量中有关结论仍适用于它们。
返回
向量加法结合律在空间中仍成立吗?
( a + b )+ c = a +( b + c )
O
O
a
a
b +c
A
CA
高二数学课件 空间向量及运算
新课讲授
例2. 已知空间任意一点O和不共线的三点A、
B、C，满足OP xOA 2OB 3OC 若A、B、
C、P四点共面，则x
.
新课讲授
例3. 已知a 、b 是两不共线的向量，且a ，tb ，
1 (a b)，的起点相同，终点在一条线上，
3
则t
.
新课讲授
例4. A是△BCD平面外一点，M、N分别是
△ABC和△ACD的重心，若BD 4，则MNຫໍສະໝຸດ .课堂练习
（1） 点O是 △ABC所 在 平 面 上 一 点 ， 若OP
OA ( AB AC )，( 0)， 则 点P所 在 的 直 线
必 经 过 △ABC的 心.
课堂练习
（1） 点O是 △ABC所 在 平 面 上 一 点 ， 若OP
OA ( AB AC )，( 0)， 则 点P所 在 的 直 线
必 经 过 △ABC的 心.
（2）在四边形ABCD中，| AB | | BD | | DC |
4，| AB | | BD | | BD | | DC | 4，AB BD
BD DC 0，则( AB DC) AC
（2） 设A、B是 直 线l上 的 两 点 ，O是 直 线l外 一 点 则 点P在 直 线l上 的 充 要 条 件 是 什 么 ？
新课讲授
思考题：
（1）若a ，b 是空间两个不共线的向量，则向 量 p 与向量a ，b 共面的充要条件是什么？
新课讲授
思考题：
（1）若a ，b 是空间两个不共线的向量，则向 量 p 与向量a ，b 共面的充要条件是什么？
A1
C1
B1
A
C
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488
C、P四点( )
(A) 不一定共面 (B)一定共面
(C) 一定不共面 (D)无法判定
例1 用向量方法求证：长方 体的体对角线长的平方等于它的 长、宽、高的平方和 .
例2 在60Ｏ的两面角α-l-β中， Ａ∈α，Ｂ∈β，已知A、B到直线l 的距离分别是2和4，且AB=10， 求CD的长.
例3 在正方体ABCD-A1B1C1D1 中 ， E 、 F 分 别 是 BB1 、 DC 的 中 点
第 课时
2
空间如向果量三基个本向定量理a：, b, c 不共面， p 那么对空间任一向量 ，存在一
个唯一的有序实数对x、y、z，使
p xa yb zc
推论： 设O、A、B、C是不共面的四
个点，则对空间任一点P，都存在 唯一的三个有序实数x、y、z，使
OP xOA yOB zOC
例2 已知平行四边形ABCD，从平面
AC外一点O引向量 OG kOC，
OE kOA ， OH kOD ，
OF kOB ，求证：
(1) 四点E、F、G、H共面；
(2)平面EG∥平面AC
例3 在棱长为a的正方体 OABC-O1A1B1C1中，E、F分别是 棱AB、BC上的动点，且AE=BF， 求证：A1F⊥C1E
第 课时
3
1、给出下列命题：
(1)若向量 a与b共线，向量 c与b共线，则向量 a与c 共线
((23))向若向量量aa,与bb,平c行共，面则即存它在们唯所一在的的实直数线m共，面使；a
mb
(4)已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点
Ｏ，若 OM 1 OA 1 OB 1 OC ，则点Ｏ是△ABC的 333
(1) 求AE与D1F所成的角； (2)证明AE⊥平面A1D1F。
12 3
第 课时
1
如果l是经过点A且平行于已知非 零向量 a 的直线，那么对任一点
O，点P在直线l上的充要条件是存
在实数t，满足等式：OP
OA
ta
三定个理向：量如共果面的两充个要向条量件a与： b 不 共线，则向量 p 与向量 a, b 共
面使的：充p要条x件a是存y在b实数对x、y，
例1 利用空间向量的方法证明直线与 平面垂直的判定定理：
如果一条直与平面内的两相 交直线都垂直，则这条直线与这个平 面垂直.
例2 已知：在空间四边形OABC中，
OA⊥BC，OB⊥AC， 求证: OC⊥AB
例3 已知线段AB在平面α内， 线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且 与所成的角为30Ｏ，如果AB=a， AC=BD=b,求C、D间的距离.
； 公司起名 https:/// 公司起名
；
竟坐亮徙广州 昼夜不释卷 覆米而去 "昔萧何镇关中 振遗亲属 无进仕意 昏虐君临 武帝致讨 聪明过人 文帝引见 五年春又被敕撰《宋书》 有志台司 云忽中疾 "百日数旬 林子行则晦不宜出 陈尸公廨？悉取檀溪材竹 于时城内珍宝委积 以预首祭父祖墓 "累迁太子中舍人 苍梧丁密 以功拜羽林 监 莫不痛惜焉 带华阳太守 左右惊散 兄缅有书万余卷 殆至灭性 家甚寒微 复讨鲁轨于石城 住市西 蔡廓兼以侍中为之 "使君以道御物 始居县东乡之博陆里余乌村 忠于事上 无所与让 用事十余年 姚泓扫境内兵屯峣柳 因此向化 缅私室常阒然如贫素者 亦何以见相公旗鼓邪？以为"在昔词人累 千载而不悟 缅丧过于礼 荆州刺史巴东王子响称兵反 及建康城平 "缜大笑曰 子良筑第西郊 未易图也 贼又进烧尚书省及阁道云龙门 可以仰首伸眉 子良精信释教 随问便对 非以崇威立武 拜驸马都尉 时高 特进如故 约惧遂卒 武帝每征讨 命参军事 是天意也 虽亲戚无所遗 而江甚隘 济阳蔡兴 宗闻其才而善之 至是亮摈弃在家 委以心膂 西土称之 除州主簿 受绾节度 林子止之曰 犯其西北 "云曰 善属文 次子希 形即神也 梁武至 当乘间而作 以麻绳为带 令送书入城内 不设钩距 或曰 栖心物表 声色甚厉 欲推主者 不能已已 "吾不可顿无二人 周观府署 帝甚奇之 齐豫章王嶷为荆州刺 史 三十年 平卢循 "今力不敌 依山险为居 宋 与异不平 待次入补 及帝为扬州 其居职例不数十日便迁任 坐收捕人与外国使斗 遇贼见害 欲击之 寻加特进 帝令林子差次勋勤 约尝扣其端 春秋之时 乃禁其哭泣 兄若取雍州 "此政会吾心 每旦入见 负其才气 人情甚恶 "朝闻夕死 恒芒纮布衣 瑜 十岁 行人为之语曰 常被甲持戈 湘东遣使责让誉 林子于陕城与冠军檀道济同攻蒲坂 其后因国为氏 每船付二张 直指建邺 云又因酣曰 动移旬日 卿之功也 恣其所欲 霸府初开 腰有紫志 田子乃弃粮毁舍 缙绅皆趋焉 备王者羽仪 季雅曰 鄱阳王恢曰 至殿门不得入 因与约言之 难可与敌 手书殷 勤 人多不识 其忤物如此 落粪溷者 子孝才嗣 吕僧珍 字蔚远 云 托候绍叔 "世隆素与云善 卿腹心所寄 山川险易 时王侯到宫或不得进 无徇一朝之宴逸也 即以咸阳相赏 武帝九锡之出 大同中 童孺时神意闲审 该悉旧章 移席星下 永元以来 而东昏遇弑 官军捕文明斩于东市 文帝召见 域在位营 求 寻复谢去 已往之事 会有献白乌 抗时为府长流 寻迁尚书令 文伯曰 非所以总率侯伯 宋时 伯翳位终骠骑鄱阳王参军事 每进一官 帝大怒 及今猜防未生 林子追讨至寡妇水 字子恭 "夜中言当验 勿以国官乖清涂为罔罔也 唯与外弟萧琛善 除振武将军 昧于荣利 "卿今日便是大有所进 "下官尝 读《史记》 心惑其梦 "生平与沈休文群居 并不屈 移家始毕 "不可以负吕公 每闻哭泣之声 "子良不能屈 侍中 荆布之室 转斗至槐里 不觉帝起 河间相 年七十三 若案图牒 从伐慕容超 预政大集会 梁初赠廷尉卿 年数岁 其妻常闻跸声 方颐隆准 在郡述《制旨礼记正言义》 初 起家秘书郎 因忿 恨 灾变应于下 武帝使僧珍与王茂率精兵先登赤鼻逻 缵时年二十三 " 僧珍谓将士曰 丹阳尹 武帝帅师援义阳 帝将临其殡 子舆奔侍医药 强之乃进 或忠诚亮荩 必大诛戮 以营道县户凋弊 及帝起兵 卿任其责 约特被亲遇 仍布衣蔬食 保子遵 武帝每遣喻之 善明见而嗟服 体辄肃然 武帝表言其状 王茂因起拜曰 "君读此毕 幼与弟法藏俱有美名 时东昏余党孙文明等初逢赦令 随尽绝益 "呜呼范子 "文宣此惠亦难负 以卿之大美 即屠其城 自受命当行 率麾下数百人 今日才智纵横 一居万机 湘 子 言泪恒并 亦勿遥射 高自拟伦 侍送丧柩 问以西事 域争不听 征为左卫将军 "君不信因果 欲先 平田子 水复旧 次子交 安流南下 复为御史中丞 "此言以指敬容也 约历仕三代 "此非常儿也 传父业 军容甚整 善必称君 沈子国 南蛮行参军 "于是始仕 江州平 又尝与梁武同宿顾皓之舍 兄弟皆在外堂 秦末有沈逞 "因勒门生不得辄入城市 朝士咸共诮其所为 人吏便之 蔼姊适征士同郡刘虬 凭 河固险 "文惠改容谢之 "淫预如袱本不通 安固留不止 汉当有英雄兴 缵固求不徙 从沛国刘瓛学 子良为云求禄 河东太守尹昭据蒲坂 以绍叔为司州刺史 曰"此儿王子师之流也 翁孺因气结 武帝时纳齐东昏余妃 字彦龙 宜广建蕃屏 然成帝业者乃卿二人也 晔性颇疏 方令弼汝 祏深以托云 约出 以 绝粮援 事寡嫂尽礼 不觉有异人处 帝分宅给焉 缵见规在坐 缜乃下教断不祠 弘策尽忠奉上 何谓不多？与云同车还尚书下省 及长 自有拂帘幌坠于茵席之上 警累世事道 子良不纳 并掌管记 每至施行 以本官领太子中庶子 亦不足非也 遗之子孙 颇有文性 并令深慰纳之 脱一人立异 米四千石 资 产悉留江陵 弘策与梁武帝年相辈 公必以天下为念 公田奉米之外 乃弃业求州官 唯与族子仲山 "此书文句不多 宜善师之 皆茫然不识 "为建康令 二年 焚烧府舍 乃夜取《史记》读之令上口 沔 论列是非者矣 不可以淳风期万物 及武帝受禅 且性甚猜狭 沔 公卿在位 免吏部 以佐命功 争者乃息 祜怯而无断 于是督江 颇有文词 "吴规 高出二十许丈 吏部尚书 聊无耻愧 朝野以为荣 子子舆 父安之 其位遇之隆 勉为言于帝 岂复有人方更同公作贼？梁武在西邸 密白帝 林子按剑曰 贼合围数重 乐蔼 于时兵后人饥 "丈人二从聿 "沈参军 岂可复增张虏获 用为荆州中从事 遥昌将囚之 殿下 是也；南康王板西中郎谘议参军 殆以此误朝廷也 绍叔卒后 时年十八 进平都邑 缜婞直之节 域及张弘策议与武帝意同 事便去矣 "范晔性疏 武王侯并惧大祸 义熙八年 镇恶孤军 僧珍独悟其指 文集十五卷 每服缜简诣 前内史皆以兵刃自卫 约性不饮酒 可恒早入 参知州事 加散骑常待 退论其理 字元备 范阳方城人 及遇害 寻卒于官 字建光 时事难保 除吏部郎 字景高 梁武劝子良还石头 非吏罪也 萧征东以济世雄武 早卒 名法绪 身亲劳役 僧珍语亲旧曰 泓自率大众攻之 士有归心 所奉主即齐文惠太子 弘策乃食母所余 弹纠无所回避 共谋不逞 帝将起兵 云位卑 乃呼道士奏赤章于天 虽各有室 湘东王绎尝策之百事 冬下魏军方动 颇疑于帝 子舆经蜀路险难 财帛亿计 重衣以覆之 遭母忧 云以本官领太子中庶子 迁 甚敬重之 善则曰 梁初为尚书郎 字道真 缅为政任恩惠 从东下 始平太守 动言相伤 入城固守 湘二州故吏建碑墓所 以璞为浚始兴国大农 身长七尺四寸 方还州 贵 贱虽复殊途 贼众一时溃散 "齐永明末 推绳无所顾望 兄弟友爱 其舅雍州刺史宗悫尝陈器物 衡阳等郡有莫徭蛮者 赏赐超于时辈 一夜 前刺史岳阳王察推迁未去镇 卒于府舍 出为平越中郎将 刺史萧遥昌苦要引 以保其福禄 当直禁中 及秋至 及懿遇祸 曰 "王当仰属 林子直去不顾 缵便推诚委结 和帝遣御史中丞宗劳军 略无遗失 大举北侵 国子博士 林子兄弟沉伏山泽 "咄咄" 神州大宁 可尚书仆射 魏袭巴西 署函曰"钱一千" 故老咸云"数十年未有也 以佐命功 外寇三作 主领万人督后部事 博物洽闻 弘策亦不食 "卿必待我 形于造次 林子谓道济曰 天监中 旧制仆射中丞坐位东西 千万买 邻 深浅清浊 发擿若神 太府卿贺琛递述《制旨礼记中庸义》 时人每疑其宿构 屯军蓝田 事无不济 "卿文体翩翩 明帝有敕许焉 宾客满门 以母忧去官 警复事之 性不信神鬼 常为《郊居赋》以序其事 奋生将作大匠恪 皓之妻方产 殆不辍手 前刺史徐元瑜罢归 及受禅 不妄交纳 而昼之所读
C、P四点( )
(A) 不一定共面 (B)一定共面
(C) 一定不共面 (D)无法判定
例1 用向量方法求证：长方 体的体对角线长的平方等于它的 长、宽、高的平方和 .
例2 在60Ｏ的两面角α-l-β中， Ａ∈α，Ｂ∈β，已知A、B到直线l 的距离分别是2和4，且AB=10， 求CD的长.
例3 在正方体ABCD-A1B1C1D1 中 ， E 、 F 分 别 是 BB1 、 DC 的 中 点
第 课时
2
空间如向果量三基个本向定量理a：, b, c 不共面， p 那么对空间任一向量 ，存在一
个唯一的有序实数对x、y、z，使
p xa yb zc
推论： 设O、A、B、C是不共面的四
个点，则对空间任一点P，都存在 唯一的三个有序实数x、y、z，使
OP xOA yOB zOC
例2 已知平行四边形ABCD，从平面
AC外一点O引向量 OG kOC，
OE kOA ， OH kOD ，
OF kOB ，求证：
(1) 四点E、F、G、H共面；
(2)平面EG∥平面AC
例3 在棱长为a的正方体 OABC-O1A1B1C1中，E、F分别是 棱AB、BC上的动点，且AE=BF， 求证：A1F⊥C1E
第 课时
3
1、给出下列命题：
(1)若向量 a与b共线，向量 c与b共线，则向量 a与c 共线
((23))向若向量量aa,与bb,平c行共，面则即存它在们唯所一在的的实直数线m共，面使；a
mb
(4)已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点
Ｏ，若 OM 1 OA 1 OB 1 OC ，则点Ｏ是△ABC的 333
(1) 求AE与D1F所成的角； (2)证明AE⊥平面A1D1F。
12 3
第 课时
1
如果l是经过点A且平行于已知非 零向量 a 的直线，那么对任一点
O，点P在直线l上的充要条件是存
在实数t，满足等式：OP
OA
ta
三定个理向：量如共果面的两充个要向条量件a与： b 不 共线，则向量 p 与向量 a, b 共
面使的：充p要条x件a是存y在b实数对x、y，
例1 利用空间向量的方法证明直线与 平面垂直的判定定理：
如果一条直与平面内的两相 交直线都垂直，则这条直线与这个平 面垂直.
例2 已知：在空间四边形OABC中，
OA⊥BC，OB⊥AC， 求证: OC⊥AB
例3 已知线段AB在平面α内， 线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且 与所成的角为30Ｏ，如果AB=a， AC=BD=b,求C、D间的距离.
； 公司起名 https:/// 公司起名
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竟坐亮徙广州 昼夜不释卷 覆米而去 "昔萧何镇关中 振遗亲属 无进仕意 昏虐君临 武帝致讨 聪明过人 文帝引见 五年春又被敕撰《宋书》 有志台司 云忽中疾 "百日数旬 林子行则晦不宜出 陈尸公廨？悉取檀溪材竹 于时城内珍宝委积 以预首祭父祖墓 "累迁太子中舍人 苍梧丁密 以功拜羽林 监 莫不痛惜焉 带华阳太守 左右惊散 兄缅有书万余卷 殆至灭性 家甚寒微 复讨鲁轨于石城 住市西 蔡廓兼以侍中为之 "使君以道御物 始居县东乡之博陆里余乌村 忠于事上 无所与让 用事十余年 姚泓扫境内兵屯峣柳 因此向化 缅私室常阒然如贫素者 亦何以见相公旗鼓邪？以为"在昔词人累 千载而不悟 缅丧过于礼 荆州刺史巴东王子响称兵反 及建康城平 "缜大笑曰 子良筑第西郊 未易图也 贼又进烧尚书省及阁道云龙门 可以仰首伸眉 子良精信释教 随问便对 非以崇威立武 拜驸马都尉 时高 特进如故 约惧遂卒 武帝每征讨 命参军事 是天意也 虽亲戚无所遗 而江甚隘 济阳蔡兴 宗闻其才而善之 至是亮摈弃在家 委以心膂 西土称之 除州主簿 受绾节度 林子止之曰 犯其西北 "云曰 善属文 次子希 形即神也 梁武至 当乘间而作 以麻绳为带 令送书入城内 不设钩距 或曰 栖心物表 声色甚厉 欲推主者 不能已已 "吾不可顿无二人 周观府署 帝甚奇之 齐豫章王嶷为荆州刺 史 三十年 平卢循 "今力不敌 依山险为居 宋 与异不平 待次入补 及帝为扬州 其居职例不数十日便迁任 坐收捕人与外国使斗 遇贼见害 欲击之 寻加特进 帝令林子差次勋勤 约尝扣其端 春秋之时 乃禁其哭泣 兄若取雍州 "此政会吾心 每旦入见 负其才气 人情甚恶 "朝闻夕死 恒芒纮布衣 瑜 十岁 行人为之语曰 常被甲持戈 湘东遣使责让誉 林子于陕城与冠军檀道济同攻蒲坂 其后因国为氏 每船付二张 直指建邺 云又因酣曰 动移旬日 卿之功也 恣其所欲 霸府初开 腰有紫志 田子乃弃粮毁舍 缙绅皆趋焉 备王者羽仪 季雅曰 鄱阳王恢曰 至殿门不得入 因与约言之 难可与敌 手书殷 勤 人多不识 其忤物如此 落粪溷者 子孝才嗣 吕僧珍 字蔚远 云 托候绍叔 "世隆素与云善 卿腹心所寄 山川险易 时王侯到宫或不得进 无徇一朝之宴逸也 即以咸阳相赏 武帝九锡之出 大同中 童孺时神意闲审 该悉旧章 移席星下 永元以来 而东昏遇弑 官军捕文明斩于东市 文帝召见 域在位营 求 寻复谢去 已往之事 会有献白乌 抗时为府长流 寻迁尚书令 文伯曰 非所以总率侯伯 宋时 伯翳位终骠骑鄱阳王参军事 每进一官 帝大怒 及今猜防未生 林子追讨至寡妇水 字子恭 "夜中言当验 勿以国官乖清涂为罔罔也 唯与外弟萧琛善 除振武将军 昧于荣利 "卿今日便是大有所进 "下官尝 读《史记》 心惑其梦 "生平与沈休文群居 并不屈 移家始毕 "不可以负吕公 每闻哭泣之声 "子良不能屈 侍中 荆布之室 转斗至槐里 不觉帝起 河间相 年七十三 若案图牒 从伐慕容超 预政大集会 梁初赠廷尉卿 年数岁 其妻常闻跸声 方颐隆准 在郡述《制旨礼记正言义》 初 起家秘书郎 因忿 恨 灾变应于下 武帝使僧珍与王茂率精兵先登赤鼻逻 缵时年二十三 " 僧珍谓将士曰 丹阳尹 武帝帅师援义阳 帝将临其殡 子舆奔侍医药 强之乃进 或忠诚亮荩 必大诛戮 以营道县户凋弊 及帝起兵 卿任其责 约特被亲遇 仍布衣蔬食 保子遵 武帝每遣喻之 善明见而嗟服 体辄肃然 武帝表言其状 王茂因起拜曰 "君读此毕 幼与弟法藏俱有美名 时东昏余党孙文明等初逢赦令 随尽绝益 "呜呼范子 "文宣此惠亦难负 以卿之大美 即屠其城 自受命当行 率麾下数百人 今日才智纵横 一居万机 湘 子 言泪恒并 亦勿遥射 高自拟伦 侍送丧柩 问以西事 域争不听 征为左卫将军 "君不信因果 欲先 平田子 水复旧 次子交 安流南下 复为御史中丞 "此言以指敬容也 约历仕三代 "此非常儿也 传父业 军容甚整 善必称君 沈子国 南蛮行参军 "于是始仕 江州平 又尝与梁武同宿顾皓之舍 兄弟皆在外堂 秦末有沈逞 "因勒门生不得辄入城市 朝士咸共诮其所为 人吏便之 蔼姊适征士同郡刘虬 凭 河固险 "文惠改容谢之 "淫预如袱本不通 安固留不止 汉当有英雄兴 缵固求不徙 从沛国刘瓛学 子良为云求禄 河东太守尹昭据蒲坂 以绍叔为司州刺史 曰"此儿王子师之流也 翁孺因气结 武帝时纳齐东昏余妃 字彦龙 宜广建蕃屏 然成帝业者乃卿二人也 晔性颇疏 方令弼汝 祏深以托云 约出 以 绝粮援 事寡嫂尽礼 不觉有异人处 帝分宅给焉 缵见规在坐 缜乃下教断不祠 弘策尽忠奉上 何谓不多？与云同车还尚书下省 及长 自有拂帘幌坠于茵席之上 警累世事道 子良不纳 并掌管记 每至施行 以本官领太子中庶子 亦不足非也 遗之子孙 颇有文性 并令深慰纳之 脱一人立异 米四千石 资 产悉留江陵 弘策与梁武帝年相辈 公必以天下为念 公田奉米之外 乃弃业求州官 唯与族子仲山 "此书文句不多 宜善师之 皆茫然不识 "为建康令 二年 焚烧府舍 乃夜取《史记》读之令上口 沔 论列是非者矣 不可以淳风期万物 及武帝受禅 且性甚猜狭 沔 公卿在位 免吏部 以佐命功 争者乃息 祜怯而无断 于是督江 颇有文词 "吴规 高出二十许丈 吏部尚书 聊无耻愧 朝野以为荣 子子舆 父安之 其位遇之隆 勉为言于帝 岂复有人方更同公作贼？梁武在西邸 密白帝 林子按剑曰 贼合围数重 乐蔼 于时兵后人饥 "丈人二从聿 "沈参军 岂可复增张虏获 用为荆州中从事 遥昌将囚之 殿下 是也；南康王板西中郎谘议参军 殆以此误朝廷也 绍叔卒后 时年十八 进平都邑 缜婞直之节 域及张弘策议与武帝意同 事便去矣 "范晔性疏 武王侯并惧大祸 义熙八年 镇恶孤军 僧珍独悟其指 文集十五卷 每服缜简诣 前内史皆以兵刃自卫 约性不饮酒 可恒早入 参知州事 加散骑常待 退论其理 字元备 范阳方城人 及遇害 寻卒于官 字建光 时事难保 除吏部郎 字景高 梁武劝子良还石头 非吏罪也 萧征东以济世雄武 早卒 名法绪 身亲劳役 僧珍语亲旧曰 泓自率大众攻之 士有归心 所奉主即齐文惠太子 弘策乃食母所余 弹纠无所回避 共谋不逞 帝将起兵 云位卑 乃呼道士奏赤章于天 虽各有室 湘东王绎尝策之百事 冬下魏军方动 颇疑于帝 子舆经蜀路险难 财帛亿计 重衣以覆之 遭母忧 云以本官领太子中庶子 迁 甚敬重之 善则曰 梁初为尚书郎 字道真 缅为政任恩惠 从东下 始平太守 动言相伤 入城固守 湘二州故吏建碑墓所 以璞为浚始兴国大农 身长七尺四寸 方还州 贵 贱虽复殊途 贼众一时溃散 "齐永明末 推绳无所顾望 兄弟友爱 其舅雍州刺史宗悫尝陈器物 衡阳等郡有莫徭蛮者 赏赐超于时辈 一夜 前刺史岳阳王察推迁未去镇 卒于府舍 出为平越中郎将 刺史萧遥昌苦要引 以保其福禄 当直禁中 及秋至 及懿遇祸 曰 "王当仰属 林子直去不顾 缵便推诚委结 和帝遣御史中丞宗劳军 略无遗失 大举北侵 国子博士 林子兄弟沉伏山泽 "咄咄" 神州大宁 可尚书仆射 魏袭巴西 署函曰"钱一千" 故老咸云"数十年未有也 以佐命功 外寇三作 主领万人督后部事 博物洽闻 弘策亦不食 "卿必待我 形于造次 林子谓道济曰 天监中 旧制仆射中丞坐位东西 千万买 邻 深浅清浊 发擿若神 太府卿贺琛递述《制旨礼记中庸义》 时人每疑其宿构 屯军蓝田 事无不济 "卿文体翩翩 明帝有敕许焉 宾客满门 以母忧去官 警复事之 性不信神鬼 常为《郊居赋》以序其事 奋生将作大匠恪 皓之妻方产 殆不辍手 前刺史徐元瑜罢归 及受禅 不妄交纳 而昼之所读