高一数学下学期期末考试试题 文(含解析)目标版、新版
高一数学下期期末考试试题含解析
卜人入州八九几市潮王学校二零二零—二零二壹第二学期期末考试试卷高一数学一：选择题。
1.假设sin 0α<，且tan 0α>，那么α是〔〕A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角 【答案】C 【解析】sin 0α<，那么α的终边在三、四象限；tan 0α>那么α的终边在三、一象限，sin 0α<，tan 0α>，同时满足，那么α的终边在三象限。
2.4sin()3π-的值等于()A.12 B.－12D.【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式把4sin()3π-化简成sin 3π.【详解】44sin()sin()sin 333πππ-=-==【点睛】此题考察诱导公式的应用，即把任意角的三角函数转化成锐角三角函数，考察根本运算求解才能. 3.(3,0)AB =，那么AB等于() A.2B.3C.4D.5【答案】B 【解析】 【详解】因为(3,0)AB =，所以93AB =+=，应选B.4.如图是某体育比赛现场上评委为某位选手打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和方差分别是() A. B.85和C.D.【答案】B 【解析】 【分析】去掉最低分79分，最高分93分，利用平均数的计算公式求得85x=，利用方差公式求得2 1.6s =.【详解】去掉最低分79分，最高分93分，得到数据84,84,84,86,87， 该组数据的平均数8484848687855x++++==，222222(8485)(8485)(8485)(8685)(8785) 1.65s -+-+-+-+-==.【点睛】此题考察从茎叶图中提取信息，并对数据进展加工和处理，考察根本的运算求解和读图的才能. 5.函数y=2cos 1x -的最大值、最小值分别是() A.2，－2 B.1，－3C.1，－1D.2，－1【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦函数有界性确定最值.【详解】因为1cos 1x -≤≤，所以2cos 1[3,1]y x =-∈-，即最大值、最小值分别是1，－3，选B.【点睛】此题考察余弦函数有界性以及函数最值，考察根本求解才能，属基此题. 6.sin 20︒cos 40︒＋cos20°sin40°的值等于A.14B.2C.12D.4【答案】B 【解析】由题可得，000002040+2040=60sin cos cos sin sin =.应选B.7.向量(4,2)a=-，向量,)5(b x =，且//a b ，那么x 等于()A.10B.5C.52-D.10-【答案】D 【解析】 【分析】由两向量平行，其向量坐标穿插相乘相等，得到452x ⨯=-. 【详解】因为//a b ，所以452x ⨯=-，解得：10x =-.【点睛】此题考察向量平行的坐标运算，考察根本运算，注意符号的正负. 8.从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么，互斥而不对立的事件是() A.至少有一个红球与都是红球 B.至少有一个红球与都是白球 C.至少有一个红球与至少有一个白球 D.恰有一个红球与恰有两个红球【答案】D 【解析】【详解】试题分析：从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，不同的取球情况一共有以下几种： 3个球全是红球；2个红球1个白球；1个红球2个白球；3个球全是白球． 选项A 中，事件“都是红球〞是事件“至少有一个红球〞的子事件,不是互斥事件； 选项B 中，事件“至少有一个红球〞与事件“都是白球〞是对立事件；选项C 中，事件“至少有一个红球〞与事件“至少有一个白球〞的交事件为“2个红球1个白球〞与“1个红球2个白球〞,不是互斥事件；选项D 中，事件“恰有一个红球〞与事件“恰有二个红球〞互斥不对立 考点：互斥事件与对立事件 9.函数()y Asin x ωϕ=+的局部图象如以下图，那么〔〕A.2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B.2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出w ，由五点法作图求出ϕ的值，可得函数的解析式． 【详解】根据函数()y Asin x ωϕ=+的局部图象，可得2A =，236T πππω==+，解得2w =，再根据五点法作图，可得232ππϕ⨯+=，解得6πϕ=-，故()226f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，应选：A ．【点睛】此题主要考察由函数()y Asin x ωϕ=+的局部图象求解析式，其中解答中函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出w ，由五点法作图求出ϕ的值是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题．10.设函数()sin(2)2f x x π=-〔x ∈R 〕，那么()f x 是 A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为2π的奇函数 D.最小正周期为2π的偶函数 【答案】B 【解析】∵f (x )＝sin 22x π⎛⎫-⎪⎝⎭＝－cos2x ， ∴f (x )为偶函数，周期T ＝π. 11.假设将一个质点随机投入长方形ABCD 中，其中2,1AB BC ==，那么质点落在以AB 为直径的半圆内的概率为〔〕A.8π B.6π C.4π D.2π 【答案】C 【解析】 【分析】质点落在以AB 为直径的半圆内的概率等于半圆面积与长方形面积比. 【详解】如以下图：2,1AB BC ==，2112214S P S ππ⋅⋅===⋅半圆长方形.【点睛】此题考察几何概型的概率计算，注意概率值是半圆面积与长方形面积的比值，与单个图形面积的12.[2021·沙期末]在四边形ABCD 中，AB ＝a ＋2b ，BC ＝－4a －b ，CD ＝－5a －3b ，其中a ，b 不一共线，那么四边形ABCD 为() A.平行四边形 B.矩形C.梯形D.菱形【答案】C 【解析】 ∵AD ＝AB ＋BC ＋CD ＝－8a －2b ＝2BC ，AB 与CD 不平行，∴四边形ABCD 为梯形．二、填空题． 13.角α的终边经过点()3,4P ，那么cos α的值是____________.【答案】35【解析】 【分析】由题意和任意角的三角函数的定义求出cos a 的值即可． 【详解】由题意得角α的终边经过点()3,4P，那么5OP =，所以3cos 5x a OP ==，故答案为35． 【点睛】此题考察任意角的三角函数的定义，属于根底题． 14.向量a ＝(3，2)，b ＝(0，－1)，那么向量3b －a 的坐标是． 【答案】(3,5)-- 【解析】 试题分析：因为(3,2),(0,1)ab ==-,所以33(0,1)(3,2)(3,5)b a -=--=--.考点：向量坐标运算.15.ABC ∆三个顶点的坐标分别为(1,0),(1,2),(0,)A B C c -，假设AB ⊥BC ，那么c 的值是______．【解析】 【分析】 求出(2,2),(1,2)AB BC c ==--，再利用AB ⋅0BC =，求得3c =.【详解】(2,2),(1,2)AB BC c ==--，因为AB ⊥BC ，所以2(1)2(2)0c ⨯-+⨯-=，解得：3c =.【点睛】此题考察向量的坐标表示、数量积运算，要注意向量坐标与点坐标的区别.16.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如以下图).为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出80人作进一步调查，那么在[1500，2000)(元)月收入段应抽出人. 【答案】16 【解析】试题分析：由频率分布直方图知，收入在1500--2000元之间的概率为0．0004×500=0．2，所以在[1500，2000〕〔元〕月收入段应抽出80×0．2=16人。
新高一数学下期末试卷(含答案)
新高一数学下期末试卷(含答案)新高一数学下期末试卷（含答案）一、选择题1.已知三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=b，则A选2.2.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=5选3.3.已知三角形ABC中，A为60度，c=2，cosA=1/2，则ABC为有一个内角为30°的等腰三角形选D。
4.已知对任意实数x、y，不等式(x+y)/(1+xy)≥9恒成立，则实数a的最小值为2选D。
5.已知ABC为等边三角形，AB=2，设P，Q满足AP=λAB，AQ=(1-λ)AC（λ∈R），若BQ·CP=-2，则λ=1/2选A。
6.已知f(x)=sin(ωx+ϕ)+cos(ωx+ϕ)，ω>π/2，f(x)是奇函数，直线y=2与函数f(x)的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π/2，则f(x)在[π/3.π/8]上单调递减选B。
7.已知函数y=f(x)定义域是[-2,3]，则y=f(2x-1)的定义域是[-1,2]选B。
8.若α,β均为锐角，sinα=2/5，sin(α+β)=3/5，则cosβ=4/5或-3/5选C。
9.要得到函数y=2/3cos2x+1/3的图像，只需将函数y=2sin2x的图像向左平移π/4个单位选C。
10.已知sin(π/3-α)=-1/2，cos(2α+π/3)=2/3，则cosα=7/8选D。
分析】详解】1) 当 $a=1$ 时，$f(x)=-x^2+x+4$，$g(x)=|x+1|+|x-1|$。
因为 $f(x)$ 是一个开口向下的二次函数，所以其图像在顶点处取得最大值。
顶点横坐标为 $x=\frac{-b}{2a}=-\frac{1}{2}$，纵坐标为 $f(-\frac{1}{2})=\frac{15}{4}$。
而 $g(x)$ 的图像是由两个 V 形图像组成的，分别在 $x=-1$ 和 $x=1$ 处取得最小值$0$。
2023-2024学年四川省自贡市高一下学期期末考试数学试题(含解析)
2023-2024学年四川省自贡市高一下学期期末考试数学试题一、选择题：本题共11小题，每小题5分，共55分。
1.在▵OMN 中，ON−MN +MO =( )A. 0B. 2MOC. 2OMD. 02.复数2+3i 1+i 对应的点( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.为了了解学生们的身体状况，某学校决定采用按比例分层抽样的方法，从高一、高二、高三三个年级共抽取100人进行各项指标测试．已知高三年级有500人，高二年级有700人，高一年级有800人，则高二年级抽取的人数为( )A. 40B. 35C. 30D. 254.水平放置的▵ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A′C′=3,B′C′=2，则▵ABC 的面积是( )A. 4B. 5C. 6D. 75.若连续抛两次骰子得到的点数分别是m ，n ，则点P (m,n )在直线x +y =8上的概率是( )A. 112B. 19C. 536D. 166.在▵ABC 中，B =30∘,b =2,c =2 2，则▵ABC 的面积为( )A. 3+ 3B. 3+1C. 3± 3D. 3±17.已知▵ABC 中，AC ⋅AB =0,2AD−AC−AB =0,|AD |=|AB |，则CA 在CB 上的投影向量为( )A. 14CBB. 34CB D. −34CB 8.图1是唐朝著名的风鸟花卉纹浮雕银杯，它的盛酒部分可以近似地看作半球与圆柱的组合体(如图2).设这种酒杯内壁的表面积为Scm 2，半球的半径为3cm ，若半球的体积不小于圆柱体积，则S 的取值范围是( )A. [24π,+∞)B. (18π,24π]C. [30π,+∞)D. (18π,30π]9.设向量a,b满足|a|=|b|=1，且|3b−a|=10，则以下结论正确的是( )A. a⊥bB. |a−b|=2C. |b−3a|=10D. 向量a+b与a−b夹角为60∘10.下列命题中真命题是( )A. 如果不同直线m、n都平行于平面α，则m，n一定不相交B. 如果不同直线m，n都垂直于平面α，则m，n一定平行C. 如果平面α、β互相平行，若直线m⊂α，直线n⊂β，则m//nD. 如果平面α、β互相垂直，且直线m，n也互相垂直，若m⊥α，则n⊥β11.一家公司为了解客户对公司新产品的满意度，随机选取了m名客户进行评分调查，根据评分数进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出的频率分布直方图如图所示，其中有8名客户的评分数落在[40,50)内，则( )A. 图中的a=0.005B. m=200C. 同组数据用该组区间的中点值作代表，则评分数的平均数为76.2D. 该公司计划邀请评分数低于第25百分位数的客户参与产品改进会议，若客户甲的评分数为66，则甲将会被邀请参与产品改进会议二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
高一数学下学期期末考试试题(含解析) 人教新目标版
2019学年度第二学期期末考试高一数学一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.数列的一个通项公式是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】观察数列分子为以0为首项，2为公差的等差数列，分母是以1为首项，2为公差的等差数列，故可得数列的通项公式．【详解】观察数列分子为以0为首项，2为公差的等差数列，分母是以1为首项，2为公差的等差数列，故可得数列的通项公式a n=（n∈Z*）．故选：C．【点睛】本题考查了数列的概念及简单表示法，考查了数列的通项公式的求法，是基础题．2.设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B＝( )A. (,3)B. (－3,)C. (1,)D. (－3,)【答案】A【解析】解不等式求出集合A，B，结合交集的定义，可得答案．【详解】∵集合A={x|x2﹣4x+3＜0}=（1，3），B={x|2x﹣3＞0}=（，+∞），∴A∩B=（，3），故选：A．【点睛】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．3.在中，，则（）A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】【分析】由正弦定理可求得sinB==，结合范围，即可解得B的值．【详解】∵∴由正弦定理可得：sinB===，,∴解得：B=或π．故选：C．【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，属于基本知识的考查．4.已知等差数列的前项和为,若，则=（）A. B. C. D.【答案】B【分析】设出公差d，由a8+a10=28求出公差d，求利用前n项和公式求解S9得答案．【详解】等差数列的首项为a1=2，设公差为d，由a8=a1+7d，a10=a1+9d，∵a8+a10=28即4+16d=28得d=，那么S9==72．故选：B．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础题．5.若，则下列说法正确的是（）A. 若，，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】【分析】根据不等式的基本性质以及特殊值法判断即可．【详解】A．取a=1，b=-3，c=2，d=1，可知不成立，B．取c=0，显然不成立，C．取a=-3，b=﹣2，显然不成立，D．根据不等式的基本性质，显然成立，综上可得：只有B正确．故选：D．【点睛】本题考查了不等式的基本性质、举反例否定一个命题的方法，考查了推理能力，属于基础题．6.若的三个内角满足，则（）A. 一定是锐角三角形；B. 一定是直角三角形；C. 一定是钝角三角形；D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.【答案】A【解析】【分析】先根据正弦定理及题设，推断a：b：c=7：11：13，再通过余弦定理求得cosC的值小于零，推断C为钝角．【详解】∵根据正弦定理，又sinA：sinB：sinC=7：11：13∴a：b：c=7：11：13，设a=7t，b=11t，c=13t（t≠0）∵c2=a2+b2﹣2abcosC∴cosC===>0∴角C为锐角．又角C为最大角，故一定是锐角三角形故选：A．【点睛】由边角关系判断三角形形状，可以灵活应用“角化边”或“边化角”两个途径，其中方法一综合应用正弦定理完成边向角的转化，应用和差角公式进行三角变形，得出角之间的关系，最终确定三角形的形状。
四川省凉山州2021-2022学年高一下学期期末数学(文)试题含解析
所以 BA a 5 4cos 2 BC 2 2a 1 cos 4
5 4cos 2 1 cos 4
(4cos 4) 9 2
1 cos
4
4
1
9 cos
，
因为
(0,
)
，
cos
(1,1)
，所以1
cos
(0,
2)
，则
4
1
9 cos
1 2
,
，
所以
BA BC
1 4
,
，则
BC BA
(0,
4)
组成，它们的齿数成等差数列，其中最小和最大的齿轮的齿数分别为 10 和 28，求后齿轮所有齿数之和（ ）
A. 134
B. 133
C. 114
D. 113
【答案】B
【解析】
【分析】根据等差数列的前 n 项和公式计算．
【详解】由题意 7 个齿轮的齿轮数构成等差数列，首末两项分别为 10 和 28，
所以所有齿数之和为
【详解】解：对于 A，当 a 2, b 1 ，满足：非零实数 a，b 且 a b ，而 1 1 > 1 1 ，故 A 不正确；
a2
b
对于 B，当 a 2, b 1 ，满足：非零实数 a，b 且 a b ，而 b a 1 2 5 2 ，故 B 不正确；
ab 2
2
对于 C，当 c = 0 时， ac2 bc2 ，故 C 不正确；
二、填空题（本大题共
13.
已知
a
1,
2
，
b
4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
2, m ，若 a∥b ，则 m ______．
【答案】 4
【解析】
2021-2022学年四川省巴中市高一下学期期末考试数学试题(文科)(解析版)
四川省巴中市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{|23}A x x =-<<，{|1}B x x =，则(A B = )A ．(1,3)B ．(2,3)-C ．[1，3)D ．[1，3]〖解 析〗{|23}A x x =-<<，{|1}B x x =，[1A B ∴=，3)．〖答 案〗C2．sin 210︒的值为( )A． BC ．12-D ．12〖解 析〗1sin 210sin(18030)sin302︒=︒+︒=-︒=-．〖答 案〗C3．过两点(2,0)A -，(0,3)B 的直线方程为( ) A ．3260x y --=B ．3260x y +-=C ．3260x y -+=D ．3260x y ++=〖解 析〗直线经过两点(2,0)A -，(0,3)B ，而这2个点恰是直线和坐标轴的交点，∴过两点(2,0)A -，(0,3)B 的直线方程为123x y+=-，即3260x y -+=． 〖答 案〗C4．若数列{}n a 满足111n na a +=-，12a =，则2023(a = ) A ．1-B ．1C ．2D ．12〖解 析〗由题意，12a =，21111112a a ===---，3211111(1)2a a ===---，4131121112a a a ====--，⋅⋅⋅⋅⋅⋅， 所以{}n a 是以4为周期的周期数列， 所以202345053312a a a ⨯+===． 〖答 案〗D5．若0b a <<，则下列不等式中成立的是( ) A ．11b a< B ．2a bb a+> C ．22b a <D ．()()ln b ln a -<- 〖解 析〗取1a =-，2b =-，112>-，A 错误． 22(2)(1)->-，C 错误． 21ln ln >，D 错误．易得ba ，0ab >，则2b a a b a b b a +⋅=，当且仅当b aa b=，即a b =时取等号，又0b a <<，显然取不到等号，则2b aa b+>，B 正确． 〖答 案〗B6．若数列2-，a ，b ，c ，8-是等比数列，则实数b 的值为( ) A ．4或4-B ．4-C ．4D ．5-〖解 析〗2-，a ，b ，c ，8-是等比数列，2(2)(8)16b ∴=-⨯-=， 又2-，b ，8-均为该数列中的奇数项，0b ∴<，4b ∴=-． 〖答 案〗B7．溶液酸碱度是通过pH 计算的，pH 的计算公式为[]pH lg H +=-，其中[]H +表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，若人体胃酸中氢离子的浓度为22.510-⨯摩尔/升，则胃酸的pH 是（参考数据：20.3010)(lg ≈ ) A ．1.398B ．1.204C ．1.602D ．2.602〖解 析〗22(2.510)( 2.510)(1222)122 1.6020PH lg lg lg lg lg --=-⨯=-+=---=+≈． 〖答 案〗C8．要得到函数cos(2)6y x π=-的图象，只需将函数cos2y x =的图象( )A ．向左平移6π个单位 B ．向右平移6π个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向右平移12π个单位〖解 析〗cos(2)cos(2)cos[2()]6612y x x x πππ=-=-=-，所以将函数cos2y x =的图象向右平移12π个单位可得到cos(2)6y x π=-的图象．〖答 案〗D9．2022年北京冬奥会开幕式始于24节气倒计时，它将中国人的物候文明、传承久远的诗歌、现代生活的画面和谐统一起来．我国古人将一年分为24个节气，如图所示，相邻两个节气的日晷长变化量相同，冬至日晷长最长，夏至日晷长最短，周而复始．已知冬至日晷长为13.5尺，夏至日晷长为1.5尺，则一年中夏至到秋分的日晷长的和为( )尺．A ．24B ．60C ．40D ．31.5〖解 析〗相邻两个节气的日晷长变化量相同，且从冬至到夏至日晷长逐渐变短，∴从冬至日晷长到夏至日晷长的各数据依次排成一列，构成等差数列{}n a ，其中113.5a =，13 1.5a =； 故数列{}n a 的公差131 1.513.51131131a a d --===---， 同理，从夏至到冬至的日晷长依次排成一列，构成递增等差数列{}n b ， 其中冬至日晷长1 1.5b =，公差为1， 故秋分日晷长7167.5b b =+=， 故一年中夏至到秋分的日晷长的和为1.57.5731.52+⨯=（尺)． 〖答 案〗D10．若ABC ∆是边长为1的等边三角形，G 是边BC 的中点，M 为线段AG 上任意一点，则BM MG ⋅的取值范围是( )A ．B ．3[0,]4C ．3[,0]4-D ．[ 〖解 析〗因为ABC ∆是边长为1的等边三角形，G 是边BC 的中点，M 为线段AG 上任意一点，故AG BG ⊥，且AG =，302MG AG =， 所以23[,0]4BM MG MB MG MG ⋅=-⋅=-∈-．〖答 案〗C11．函数()f x 是定义在R 偶函数，且在[0，)+∞单调递增，若0.13a =，30.1b =，3log 0.1c =，则( )A ．f （a ）f >（b ）f >（c ）B ．f （b ）f >（c ）f >（a ）C ．f （c ）f >（a ）f >（b ）D ．f （c ）f >（b ）f >（a ）〖解 析〗根据题意，函数()f x 是定义在R 偶函数，则f （c ）33(log 0.1)(log 10)f f ==，又由300.130.10.1132log 10<=<=<，而()f x 在[0，)+∞单调递增，则有f （c ）f >（a ）f >（b ）． 〖答 案〗C12．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点(1,)A a ，(2,)B b ，且2cos23α=，则||(AB = )A B C D ．56〖解 析〗由题意知，角α是第一或第四象限的角，由22cos22cos 13αα==-，知cos α=，因为21cos ||||B A x x AB AB α--===||AB ． 〖答 案〗A二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将〖答 案〗直接填写在答题卡相应题号后的横线上．13．半径为2cm ，中心角为30︒的扇形的弧长为 cm ． 〖解 析〗圆弧所对的中心角为30︒即为6π弧度，半径为2cm ，弧长为||2()63l r cm ππα=⋅=⨯=．〖答 案〗3π 14．若x ，y 满足约束条件423x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩，则3z x y =+的最大值为 ．〖解 析〗作出不等式组对应的平面区域如图：设3z x y =+，得3y x z =-+，平移直线3y x z =-+，由图象可知当直线3y x z =-+经过点A 时，42x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得(3,1)A ，直线3y x z =-+的截距最大，此时z 最大，33110max z =⨯+=． 则3z x y =+的最大值是10． 〖答 案〗1015．已知函数||,0()1,0x lnx x f x e x >⎧=⎨+⎩，且函数()()g x f x a =-恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ．〖解 析〗由()0g x =得()f x a =，即函数()g x 的零点是直线y a =与函数()y f x =图象交点横坐标，当0x 时，()1x f x e =+是增函数，函数的值域为(1，2]，当01x <时，()f x lnx =-是减函数，当0x →时，()f x →+∞，f （1）0=， 当1x >时，()f x lnx =是增函数，当x →+∞时，()f x →+∞， 在坐标平面内作出函数()y f x =的图象，如图，观察图象知，当12a <时，直线y a =与函数()y f x =图象有3个交点，即函数()g x 有3个零点，所以实数a 的取值范围是：12a <． 〖答 案〗(1，2]16．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，其外接圆的半径2R =，且ABC ∆的面积S =ab 的最小值为 ． 〖解 析〗由正弦定理知，224sin cC=⨯=，所以sin 4c C =，因为ABC ∆的面积11sin 224cS ab C ab =⋅，所以abc =所以228ab ab +⋅==，当且仅当ab 时取等号， 所以ab 的最小值为8． 〖答 案〗8三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知函数2()2f x x ax =+-，()0f x >的解集为{|1x x <-或}x b >． （1）求实数a ，b 的值；（2）若(0,)x ∈+∞时，求函数()4()f x g x x+=的最小值． 解：（1）关于x 的不等式220x ax +->的解集为{|1x x <-或}x b > 1∴-，b 是相应方程220x ax +-=的两个根，∴112b a b -+=-⎧⎨-⨯=-⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩， 1a ∴=-，2b =．（2）由题意知()42()1f x g x x x x+==+-， (0,)x∈+∞，∴22()1211g x x x x x=+-⋅-=， 当且仅当2x x=时，即x 时，取等号成立．故函数()g x 的最小值为1-． 18．（12分）已知数列{}n a 前n 项和2n S n n =+． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令11n n n b a a +=，求证：数列{}n b 的前n 项和14n T <． 解：（1）数列{}n a 前n 项和2n S n n =+，∴当1n =时，12a =，当2n 时，22(1)(1)2n a n n n n n =+----=∴数列{}n a 的通项公式2n a n =（2）由（1）知当数列{}n a 的通项公式：2n a n =， 12n n a a +-=，1111()2n n n b a a +∴=⨯-， 122311111111[]2n n n T a a a a a a +∴=⨯-+-+⋯+- 11111111111()()222224444n a a n n +=⨯-=⨯-=-<++， 14n T ∴<， 19．（12分）已知函数()sin()(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示．（1）求函数()f x 的〖解 析〗式；（2）若()f x 在区间[0，]m上的值域为，求m 的取值范围． 解：（1）由函数()f x 图象，可得2A =，3734632T πππ=+=，2T π∴=， 0ω>，可得21Tπω==，()2sin()f x x ϕ∴=+， 又()f x 图象过点7(,2)6π-，∴72sin()26πϕ+=-，即7sin()16πϕ+=-， ∴73262k ππϕπ+=+，k Z ∈，解得23k πϕπ=+，k Z ∈，又02πϕ<<，∴3πϕ=，故函数〖解 析〗式()2sin()3f x x π=+．（2）由（1）知()2sin()3f x x π=+，[0x ∈，]m ，则[,]333x m πππ+∈+， 又()f x的值域为，∴2233m πππ+，且0m >， 故63mππ．即[,]63m ππ∈． 20．（12分）在①313log 1log n n b b +-=，②542S b =-这两个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是正项等比数列，且339S b ==，414b a =，______．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）若n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 解：选①．（1）设数列{}n b 的公比为(0)q q >， 313log 1log n n b b +-=，得13n nb b +=，则3q =． 已知数列{}n a 为等差数列，设等差数列{}n a 的公差为d ，334149S b b a ==⎧⎨=⎩，∴21231333()999312q a a d b b q q d=⎧⎪=+=⎪⎨==⎪⎪=+⎩， 解得111a b ==，2d =，故数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为21n a n =-，13n n b -=； 选②．数列{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为(0)q q >，334145492S b b a S b ==⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴21231133()99931251092a a db b q q d a d q =+=⎧⎪==⎪⎨=+⎪⎪+=-⎩ 解得111a b ==，2d =，3q =，故数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为21n a n =-，13n n b -=． （2）由（1）知1(21)3n n n n c a b n -==-⨯，∴()()01221133353233213n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯①，()()12313133353233213n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯②，①-②得1231212(3333)(21)3n n n T n --=+⨯++++--⨯13(13)12(23)32(22)313n n n n n -⨯-=+⨯--⨯=---⨯-，∴1(1)3n n T n =+-⨯．21．（12分）在ABC ∆中、角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2cos cos b A a B =，且tan C =- （1）求角B 的大小；（2）若点D 在AC 边上，满足2AC AD =，且3AB =，BD =BC 的长． 解：（1）因为2cos cos b A a B =，故2sin cos sin cos B A A B =， 即可得tan 2tan A B =⋯⋯①，tan tan()C B A =-+=-tan tan tan()1tan tan A BA B A B++==-②，联立①②得tan B =（舍)，故6B π=； （2）由题意得：1()2BD BA BC =+，故2221(2||||cos )4BD BA BC BA BC B =++即222111(9||2||3cos )(9||33||)444BC BC B BC BC =++⨯⨯=++，整理得2||33||120BC BC +-=，解得||3BC =，或-)，故BC =22．（12分）已知函数2()22cos 1f x x x =-+， （1）求()f x 单调递增区间；（2）是否存在实数m 满足对任意1x R ∈，任意2x R ∈，使111122()x x x x e e m e e --++++28()f x 成立．若存在，求m 的取值范围；若不存在，说明理由．解：（1）2()2(2cos 1)2cos22sin(2)6f x x x x x x π=--=-=-，由222262k x k πππππ--+，k Z ∈，得63k x k ππππ-+，k Z ∈．∴函数()2sin(2)6f x x π=-的单调递增区间为[6k ππ-，]3k ππ+，k Z ∈；（2）由（1）可知()2sin(2)6f x x π=-，2()2max f x ∴=，实数m 满足对任意1x R ∈，任意2x R ∈，使1111222()8()x x x x e e m e e f x --++++成立． 即对任意1x R ∈，111122()82x x x x e e m e e --++++成立， 也就是111122()60x x x x e e m e e --++++成立． 令111122()6x x x x y e e m e e --=++++，设11x x e e t -+=，那么11112222()22x x x x e e e e t --+=+-=- 1x R ∈，∴112x x t e e -=+，转化为240t mt ++在[2t ∈，)+∞上恒成立． 令2()4g t t mt =++，其对称轴2mt =-，[2t ∈，)+∞上， ∴①当22m-时，即4m -，()min g t g =（2）820m =+，解得4m -； ②当22m->，即4m <-时，2()()4024min m m g t g =-=-，解得m ∈∅．综上可得，存在实数m 满足对任意1x R ∈，任意2x R ∈，使111122()8x x x x e e m e e --++++2()f x 成立，且实数m 的取值范围是[4-，)+∞．。
高一数学下学期期末考试试题文含解析
一中2021～2021学年度第二学期期末考试试题高一〔文科〕数学本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，其中第二卷第22～23题为选考题，其它题为必考题。
考生答题时，将答案答在答题卡上，在套本套试卷上答题无效。
在在考试完毕之后以后，将本套试卷和答题卡一起交回。
考前须知：1．在答题之前，所有考生必须先将本人的姓名、准考证号填写上在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的规定的正确位置上。
2．选择题答案使需要用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性〔签字〕笔或者碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内(黑色线框)答题,写在草稿纸上、超出答题区域或者非题号对应的答题区域之答案一律无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求答题，并需要用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I 卷一、选择题:本大题一一共12小题,每一小题5分,一共60分,在每一小题给出的四个选项里面,只有一项是哪一项符合题目要求的． 1.设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，那么AB =A. {}123,4，，B. {}123，，C. {}234，， D.{}134，，【答案】A 【解析】 由题意{1,2,3,4}AB =，应选A.点睛:集合的根本运算的关注点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进展运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．2.以下函数中，在区间〔0，+∞〕上单调递增的是 A. 12y x = B. y =2x -C.12log y x =D. 1y x=【答案】A 【解析】 【分析】由题意结合函数的解析式考察函数的单调性即可.【详解】函数122,log xy y x -==， 1y x=在区间(0,)+∞ 上单调递减， 函数12y x = 在区间(0,)+∞上单调递增，应选A .【点睛】此题考察简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、根底知识的考察，蕴含数形结合思想，属于容易题.3.0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，那么A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D.b c a <<【答案】B 【解析】 【分析】运用中间量0比拟,a c ，运用中间量1比拟,b c 【详解】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=那么01,c a c b <<<<．应选B ．【点睛】此题考察指数和对数大小的比拟，浸透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．4.函数()1lg 1x f x x-=+，假设()12f a =，那么()f a -=〔 〕A.12B. 2C. 12-D. 2-【答案】C 【解析】 【分析】利用对数的运算性质并结合条件()12f a =的值可求出()f a -的值。
202x版高一数学下学期期末考试试题(含解析)
2020版高一数学下学期期末考试试题(含解析)一、单项选择（每题5分，共60分）1. 已知，且, 则的值为（）A. 2B. 1C. 3D. 6【答案】D【解析】【分析】由题得2x-12=0，解方程即得解.【详解】因为，所以2x-12=0,所以x=6.故答案为：D【点睛】（1）本题主要考查向量垂直的坐标表示，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 设=,=，则.2. 正弦函数图象的一条对称轴是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求正弦函数的对称轴方程，再给k赋值得解.【详解】由题得正弦函数图象的对称轴方程是，令k=0得.故答案为：C【点睛】（1）本题主要考查正弦函数的对称轴方程，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)正弦函数的对称轴方程为.3. （）A. B. C. D.【答案】B【解析】故选B4. 已知向量满足，则（）A. 4B. 3C. 2D. 0【答案】B【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.详解：因为所以选B.点睛：向量加减乘：5. 在中，为边上的中线，为的中点，则( )A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.详解：根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.6. 若在是减函数，则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化简函数f(x),再求函数的减区间，给k赋值即得a的最大值.【详解】由题得，令，所以函数f(x)的减区间为令k=0得函数f(x)的减区间为，所以的最大值是.故答案为：【点睛】(1)本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的单调区间的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 一般利用复合函数的单调性原理求函数的单调性，首先是对复合函数进行分解，接着是根据复合函数的单调性原理分析出分解出的函数的单调性，最后根据分解函数的单调性求出复合函数的单调区间.7. 已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：，则：，利用二倍角公式有：.本题选择A选项.8. 若是圆上任一点，则点到直线距离的最大值（）A. 4B. 6C.D.【答案】B【解析】【分析】先求圆心到点(0,-1)的值d，则点P到直线距离的最大值为d+r.【详解】由题得直线过定点（0，-1），所以圆心（-3,3）到定点的距离为，所以点P到直线距离的最大值为5+1=6.故答案为：B【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对该知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.9. 已知函数的最小正周期为，将其图象向右平移个单位后得函数的图象，则函数的图象（）A. 关于直线对称B. 关于直线对称C. 关于点对称D. 关于点对称【答案】D【解析】由题意得，故，∴，∴，∴，∴．∵，，∴选项A,B不正确．又，，∴选项C,不正确，选项D正确．选D．10. 已知是定义为的奇函数，满足，若，则（）A. -50B. 0C. 2D. 50【答案】C【解析】分析：首先根据函数为奇函数得到，再由得到函数的对称轴为，故函数是周期为的周期函数，且，根据周期性可求得结果. 详解：因为函数是奇函数，故且.因为，所以函数的对称轴为，所以函数是周期为的周期函数.因为，，，所以，根据函数的周期为可得所求式子的值.故选C.点睛：本题主要考查函数的奇偶性，考查函数的周期性，考查函数的对称性，是一个综合性较强的中档题.11. 若, ，则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由题目条件得，而点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.12. 已知为与中较小者，其中，若的值域为，则的值（）A. 0B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求函数的解析式，再通过观察函数的图像得到a,b的值，即得a+b的值.【详解】由题得，观察函数的图像可得.故答案为：C【点睛】本题主要考查正弦函数余弦函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合的分析推理能力.二、填空题（每题5分，共20分）13. 已知向量，若，则________.【答案】【解析】分析：由两向量共线的坐标关系计算即可。
高一数学下学期期末考试试题(含解析)
高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、单项选择题(每小题5分，共50分) 1.设ABC∆的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且3 cos 4a C csin A =，已知ABC ∆的面积等于10，4b =，则a 的值为（ ） A.233B.283C.263D.253【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理化简已知，结合sin 0A ≠，可求4cos sin 3C C =，利用同角三角函数基本关系式可求3sin 5C =，进而利用三角形的面积公式即可解得a 的值． 【详解】解：3cos 4sin a C c A =，∴由正弦定理可得3sin cos 4sin sin A C C A =，sin 0A ≠，3cos 4sin C C ∴=，即4cos sin 3C C =，222221625sin cos sin sin sin 199C C C C C ∴+=+==，解得：3sin 5C =或3sin 5C =-（舍去） 4b =，ABC ∆的面积11310sin 4225S ab C a ===⨯⨯⨯，∴解得253a =． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．2.在ABC ∆中，,,a b c 分别为,,A B C 的对边，如果,,a b c 成等差数列，30B =︒，ABC ∆的面积为32，那么b =（ ）B. 1D. 2【答案】B 【解析】试题分析：由余弦定理得22222cos ()22cos b a c c B a c ac ac B =+-=+--，又面积1sin 2ABC S ac B ∆=13642ac ac ==⇒=，因为a b c ，，成等差数列，所以2a c b +=，代入上式可得22412b b =--，整理得24b =+，解得1b =，故选B ．考点：余弦定理；三角形的面积公式．3.已知数列{}n a 的前n 项和为11,2,4n n n n S a S a S +==+，则n a =（ ） A. 432n - B. 212n - C. 212n + D. 42n【答案】B 【解析】 【分析】由条件14n n n S a S +=+可得14n n a a +=，即数列{}n a 是以2为首项，4为公比的等比数列，从而得出答案.【详解】因为14n n n S a S +=+，所以14n n n S S a +-=， 即14n n a a +=，且12a =，所以数列{}n a 是以2为首项，4为公比的等比数列，所以121242n n n a --=⨯=，故选：B.【点睛】本题考查等比数列的定义和通项公式，属于基础题. 4.已知实数x ，y 满足1x >，1y >，且1ln 4x ，14，ln y 成等比数列，则xy 有（ ）A. 最大值eB.C. 最小值eD. 最小值【答案】C 【解析】试题分析：因为1ln 4x ，14，ln y 成等比数列，所以可得111ln ?ln ,ln ?ln ,ln ln ln 1,4164x y x y xy x y xy e =∴=∴=+≥=≥，xy 有最小值e ，故选C.考点：1、等比数列的性质；2、对数的运算及基本不等式求最值.5.在等差数列{}n a 中，若25215a a +=，则数列{}n a 的前7项的和7S =（ ） A. 25 B. 35C. 30D. 28【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式可得45a =，再利用等差数列的前n 项和公式即可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列{}n a 满足25215a a +=， 可得112815a d a d +++=，则135a d +=. 即45a =，可得()17747273522a a a S +⨯⨯===， 故选：B.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式，需熟记公式，属于基础题.6.已知数列{}n a 满足1133,23n n n a a a a +==+，则2019a ＝（ ） A.32020B.20203C.20193D.20213【答案】A 【解析】 【分析】 把递推式a n +133n n a a =+两边同时取倒数,得到数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,利用等差数列通项公式求出20191a ,再取倒数即可.【详解】因为a n +133nn a a =+,两边同时取倒数可得,11113n n a a +=+，即11113n n a a +-=, 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以23为首项,13为公差的等差数列, 所以()12111333n n n a +=+-=, 所以2019120203a =,即201932020a =. 故选:A【点睛】本题考查利用数列的递推公式求通项公式和等差数列的定义;对递推公式进行灵活的变形是求解本题的关键;属于中档题.7.如果0a b >>，那么下列不等式一定成立的是（ ） A. c a c b ->-B. 11a b>C. 1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.ln ln a b >【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断A ； 根据幂函数的性质判断B ； 根据指数函数的性质判断C ； 根据对数函数的单调性判断D ． 【详解】解：0a b >>a b ∴-<-c a c b ∴-<-故A 错误；由于1y x -=在()0,∞+上单调递减，故11a b<即B 错误； 由于12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，故1122ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即C 错误；由于ln y x =在()0,∞+上单调递增，故lna lnb >即D 正确，故选：D ．【点睛】本题考查不等式的性质，考查对数函数的单调性，属于基础题． 8.若不等式20ax x a -+>对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围为（ ） A. 12a <-或12a > B. 12a >或0a < C. 12a >D. 1122a -<<【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得出0a >⎧⎨∆<⎩，由此求出a 的取值范围.【详解】解：显然a=0，不等式不恒成立，所以不等式20ax x a -+>对一切实数x 都成立，则00a >⎧⎨∆<⎩，即20140a a >⎧⎨-<⎩， 解得12a >， 所以实数a 的取值范围是12a >. 故选C.【点睛】本题主要考查了利用判别式解决一元二次不等式恒成立问题，是基础题.9.在长方体1111ABCD A B C D -中，2BC =，14AB BB ==，E ，F 分别是11A B ，CD 的中点，则异面直线1A F 与BE 所成角的余弦值为（ ）A.5 B. 5C.30 D.6 【答案】C 【解析】 【分析】连接CE ，则可证BEC ∠是异面直线1A F 与BE 所成角，在直角三角形BEC 中通过计算即可得结果.【详解】连接CE ，如图所示：因为112A E CF CD ==，1//A E CF ，所以四边形1A ECF 是平行四边形， 所以1//EC A F ，故BEC ∠是异面直线1A F 与BE 所成角，因为2BC =，14AB BB ==，E ，F 分别是11A B ，CD 的中点， 所以1122B E DF CD ===， 由勾股定理，得222425BE =+= 在BEC △中，90CBE ∠=，tan BC BEC BE ∴∠=5525==，则30cos BEC ∠=故选:C【点睛】本题主要考查异面直线所成的角问题，考查了转化与化归的思想.求异面直线所成角的步骤：1.平移，将两条异面直线平移成相交直线；2.定角，根据异面直线所成角的定义找出所成角；3.求角，在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角；4.下结论．10.直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A. []26，B. []48，C.D.⎡⎣【答案】A 【解析】分析：先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线距离，得到点P 到直线距离范围，由面积公式计算即可详解： 直线x y 20++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点()()A 2,0,B 0,2∴--,则AB =点P 在圆22x 22y -+=（）上∴圆心为（2，0），则圆心到直线距离1d ==故点P 到直线x y 20++=的距离2d 的范围为则[]2212,62ABPSAB d ==∈ 故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．二、多项选择题(每小题5分，共10分，漏选得2分，选错0分)11.若长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，高为4，E 是1DD 的中点，则（ ）A. 11B E A B ⊥B. 平面1//B CE 平面1A BDC. 三棱锥11C B CE -的体积为83D. 三棱锥111C B CD -的外接球的表面积为24π 【答案】CD 【解析】 【分析】以1{,,}AB AD AA 为正交基底建立空间直角坐标系，写出各点坐标，计算11B E A B ⋅值即可判断A ；分别求出平面1B CE ，平面1A BD 的法向量，判断它们的法向量是否共线，即可判断B ；利用等体积法，求出三棱锥11-B CC E 的体积即可判断C ；三棱锥111C B CD -的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，故求出长方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积即可判断D.【详解】以1{,,}AB AD AA 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则 (0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，1(0,0,4)A ，1(2,0,4)B ，(0,2,2)E ，所以1(2,2,2)B E =--，1(2,0,4)A B =-， 因为1140840B E A B ⋅=-++=≠，所以1B E 与1A B 不垂直，故A 错误； 1(0,2,4)CB =-，(2,0,2)CE =-设平面1B CE 的一个法向量为111(,,)n x y z =，则由100n CB n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得1111240220y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，所以11112y z x z =⎧⎨=⎩，不妨取11z =，则11x =，12y = 所以(1,2,1)n =，同理可得设平面1A BD 的一个法向量为(2,2,1)m =，故不存在实数λ使得n λm =，故平面1B CE 与平面1A BD 不平行，故B 错误； 在长方体1111ABCD A B C D -中，11B C ⊥平面11CDD C ，故11B C 是三棱锥11B CEC -的高， 所以111111111184223323三棱锥三棱锥CEC C B CE CEC B V V S B C --==⋅=⨯⨯⨯⨯=△， 故C 正确；三棱锥111C B CD -的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，故外接球的半径2R ==所以三棱锥111C B CD -的外接球的表面积2424S R ππ==，故D 正确. 故选：CD.【点睛】本题主要考查用向量法判断线线垂直、面面平行，等体积法的应用及几何体外接球的表面积. 12.若直线y b =+与圆221x y +=相切，则b =（ ）A. 2-B. 2±C. 2D. 5±【答案】AC 【解析】 【分析】 根据直线3y x b =+与圆221x y +=相切，则圆心到直线的距离等于半径求解.【详解】因为直线3y x b =+与圆221x y +=相切，所以131b =+，解得2b =±. 故选：AC【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 三、填空题(每小题5分，共20分)13.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12,3AB AA ==，则四棱锥111A B C CB -的体积是________【答案】23【解析】 【分析】利用柱体和椎体的的体积公式，分别求得正三棱柱111ABC A B C -和三棱锥1A ABC -的体积，进而求得四棱锥111A B C CB -的体积.【详解】在正三棱柱111ABC A B C -中，12,3AB AA ==，则正三棱柱111ABC A B C -的体积为2132333ABC V S h ∆=⋅=⨯⨯=， 三棱锥1A ABC -的体积为22113233334ABC V S h ∆=⋅=⨯⨯⨯=， 所以四棱锥111A B C CB -的体积是1223V V V =-=.故答案为：23.【点睛】本题主要考查了柱体与锥体的体积的计算，其中解答中熟记三棱锥和三棱柱的体积公式，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.14.如图，在正方体中，,E F 分别是1,AA AB 的中点，则异面直线EF 与11A C 所成角的大小是_______.【答案】60（或π3） 【解析】 【分析】连接1A B 、1BC ，即可得出11BA C ∠为异面直线EF 与11A C 所成角，根据正方体的性质即可求解.【详解】如图，连接1A B 、1BC ，可得11BA C ∠为异面直线EF 与11A C 所成角，由正方体的性质可得11A BC 为等边三角形， 所以11BA C ∠60=或π3. 故答案为：60（或π3） 【点睛】本题考查了求异面直线所成角，解题的关键是作出平行线，属于基础题. 15.已知54x >，则函数1445y x x =+-的最小值为_______. 【答案】7 【解析】 【分析】转化函数，通过基本不等式求解即可．【详解】54x >，450x ∴->， 114(45)52574545y x x x x =+=-++≥+=--．当且仅当14545x x -=-，即，即32x =时等号成立.法二：54x >，令2440(45)y x '=-=-得1x =或32x =， 当5342x <<时'0y <函数单调递减， 当32x >时'0y >函数单调递增．所以当32x =时函数取得最大值为：314732452⨯+=⨯-. 【点睛】本题考查基本不等式在最值中的应用，考查计算能力．16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24n S n =+，则n a =__________【答案】5,121,2n n n =⎧⎨-≥⎩【解析】 【分析】利用通项公式与前n 项和的关系11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，由此即可求出结果．【详解】当1n =时，115a S ==；当2n ≥时，()()22141421n n n S S n n a n -⎡⎤-=+--+=-⎣⎦=； 所以5,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩.故答案为：5,121,2n n n =⎧⎨-≥⎩.【点睛】本题主要考查了数列通项公式与前n 项和的关系11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，本题属于基础题．四、解答题(17题10分，其它题12分，共70分 17.已知不等式20x ax b ++≤的解集为{}14x x -≤≤. （1）求,a b 的值;（2）解不等式20x bx a --≤.【答案】（1）3,4a b =-=-；（2）{}31x x -≤≤-. 【解析】 【分析】（1）根据题意可得1-和4为方程20x ax b ++=的两实根，利用韦达定理即可求解.（2）利用（1）解不等式2430x x ++≤即可求解.【详解】解：（1）由题意知1-和4为方程20x ax b ++=的两实根，利用韦达定理可得14,14a b -+=--⨯= 所以3,4a b =-=-.（2）由（1）知不等式20x bx a --≤为2430x x ++≤解得: 31x -≤≤-所以不等式20x bx a --≤的解集为{}31x x -≤≤-.【点睛】本题考查了根据一元二次不等式的解集求参数、解一元二次不等式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.18.正方体1111ABCD A B C D -，12AA =，E 为棱1CC 的中点，AC 与BD 交于点O .（1）求证: 1// AD 平面1DOC （2）求证:11B D AE ⊥;【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解. 【解析】 【分析】（1）连接1AD ，可得11//AD BC ，利用线面平面的判定定理即可证出.（2）利用线面垂直的判定定理证出11B D ⊥平面11ACC A ，再根据线面垂直的性质定理即可证出.【详解】（1）连接1AD ，1DC ，1BC ，11//AB D C ，且11AB D C =，所以四边形11ABC D 为平行四边形，11//D A BC ∴1BC ⊂平面1DOC ，1AD ⊄平面1DOC ，∴1// AD 平面1DOC .（2）连接11A C ，则1111B D A C ⊥，1CC ⊥平面1111D C B A ，11B D ⊂平面1111D C B A ， 111CC B D ∴⊥，又1111CC AC C ⋂=，所以11B D ⊥平面11ACC A ，AE ⊂平面11ACC A ， ∴11B D AE ⊥.【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理、线面垂直的性质定理，考查了考生的逻辑推理能力，属于基础题.19.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=. （1）求角B 的大小； （2）若7b =4a c +=，求ABC∆面积S .【答案】(1) 60B =︒ (2) 33S = 【解析】【详解】分析：（1）由()2cos cos -=a c B b C，利用正弦定理可得()2sin sin cos sin cos A C B B C -⋅=⋅，结合两角和的正弦公式以及诱导公式可得1cos 2B =；从而可得结果；（2）由余弦定理可得()222222cos 22a c ac b a c b B ac ac+--+-==可得3ac = ，所以1·sin 2S ac B ==详解： (1)∵()2sin sin cos sin cos A C B B C -⋅=⋅ ∴2sin cos sin cos sin cos A B B C C B ⋅=⋅+⋅()2sin cos sin sin A B B C A ⋅=+=1cos 2B =∴60B =︒ （2）∵()222222cos 22a c ac b a c b B ac ac+--+-==∴3ac =∴1·sin 2S ac B ==点睛：解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．20.已知各项均为正数的等差数列{}n a 中，12315a a a ++=，且12a +，25a +，313a +构成等比数列{}n b 的前三项. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =+，152n n b -=⋅；（2）5(21)21n n T n ⎡⎤=-+⎣⎦【解析】 【分析】（1）通过等数列中项的性质求出25a =，等比数列中项性质求出2d =，然后分别求出数列{}n a ，{}n b 的通项公式（2）{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，则{}n n a b 前n 项和n T 则可以考虑用错位相减的方法求和。
最新高一数学下期末试卷(含答案)
高一数学下学期期末考试第Ⅰ卷（选择题 共60分）参考公式：三角函数积化和差公式 三角函数和差化积公式sin αcos ρ=21[sin(α+ρ)+sin(α﹣ρ)] sin α+sin ρ=2sin 2+ραcos 2ραcos αsin ρ=21[sin(α+ρ)﹣sin(α﹣ρ)] sin α﹣sin ρ=2cos 2+ραsin 2ραcos αcos ρ=21[cos(α+ρ)+cos(α﹣ρ)] cos α﹣cos ρ=2cos 2+ραcos 2ραsin αsin ρ=－21[cos(α+ρ)－sin(α﹣ρ)] cos α﹣cos ρ=--2sin 2+ραsin 2ραy=Asin ωx+Bcos ωx=22+B A sin(ωx+θ)，其中cos θ=22+BA A ，sin θ=22+BA B θ∈[)π2,0一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分） 1． 用sin34π，cos 65π，tan 4π，cot 43π，2sin 3π·cos 3π作为集合A 中的元素，则集合A 中元素的个数为A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个2．已知点（3，4）在角α的终边上，则sin α+cos α+tan α的值为 A 、37 B 、73 C 、2043 D 、1541 3．已知|a|=8, |b|=6, 向量a 、b 所夹角为120°,则|a ﹣b|为 A 、237 B 、37 C 、213 D 、134．已知集合M={a|a=2k π k ∈z} P={a|a=(2k+1)π k ∈z)} Q={a|a=(4k+1)π k ∈z} a ∈M, b ∈P 则a+b ∈（ ）A 、MB 、PC 、QD 、不确定5．若非零向量a 、b ，a 不平行b,且|a|=|b|，那么向量a+b 与a ﹣b 的关系是 A 、相等 B 、相交且不垂直 C 、垂直 D 、不确定 6．下列命题中正确的是 ①|a·b|=|a||b| ②(ab)2=a 2·b 2 ③a ⊥(b －c)则ab －ac=0 ④a·b=0,则|a+b|=|a －b| A 、①② B 、③④ C 、①③ D 、②④7．在△ABC 中，∠B 为一内角，sinB －cosB>0, cotB<cosB, 则△ABC 为A 、直角三角形B 、锐角三角形C 、钝角三角形D 、等边三角形8．下列不等式正确的是 A 、sin21<cos 31 B 、sin 21≤cos 31 C 、sin 21>cos 31 D 、sin 21≥cos 319．如图扇形ABB 1A 1的中心角APB=θ，θ∈（0，2π），设PA 1=x, AA 1=L, 给出下列四个结论①θ=xL ABx B A +=11 ②AB<AB ③θ=L B A AB 11- ④S 扇环A BB 1A 1=2θ(L 2+2Lx)其中正确的个数 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个10．有向线段AB 上有异于A 、B 的100个等分点P 1P 2……P 100，则Pi(i=1、2、3…100)分有向线段AB 的比λ的最大值与最小值分别为A 、101，1021 B 、101，1011 C 、100，1001 D 、99，991 11．若函数y=cos(2x －3π)+1的图像按a =(h·k), (h>0, 且h 为最小角)平移后得到的图形是函数y=cos2x 的图像，那么a =（ ） A 、a =（6π，1） B 、a =（6π，1） C 、a =（6π，-1） D 、a =（65π，-1） 12．已知cos α=23cos 2α+cos 2β，则sin 2α+sin 2β的范围为 A 、[23，+∞） B 、[2，27] C 、[23、27] D 、[914，2]第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本题共4小题，每题4分，共16分） 13．若sin 2β=169，β为第二象限角，则tan2β=_________。
高一数学下学期期末考试试题含解析 试题 32
智才艺州攀枝花市创界学校宝山区二零二零—二零二壹高一数学下学期期末考试试题〔含解析〕一、填空题tan(2)6y x π=+的最小正周期为__________．【答案】2π 【解析】函数tan 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为2π故答案为：2π 2()(4)2f x x m x =+-+为偶函数，那么实数m 的值是________.【答案】4 【解析】 【分析】 根据偶函数的定义知()()f x f x -=，即可求解.【详解】因为2()(4)2f x x m x =+-+为偶函数，所以22()(4)2()(4)2f x x m x f x x m x -=--+==+-+,故(4)4m m --=-，解得4m =. 故填4.【点睛】此题主要考察了偶函数的定义，利用定义求参数的取值，属于中档题.147258369中，元素4的代数余子式的值是________.【答案】6 【解析】 【分析】利用代数余子式的定义直接求解.【详解】三阶行列式147258369中，元素4的代数余子式的值是：328(1)(1824)639-=--=.故答案为：6.【点睛】此题主要考察了三阶行列式中元素的代数余子式的求法，属于中档题. 4.cot m α=〔02πα-<<〕，那么cos α=________.〔用m 表示〕【答案】【解析】 【分析】根据同角三角函数之间的关系，结合角所在的象限，即可求解. 【详解】因为cot m α=，02πα-<<所以cos sin m αα=，0m < 故22222cos cos sin 1cos m αααα==-，解得cos α=， 又02πα-<<，0m <，所以cos α=.故填【点睛】此题主要考察了同角三角函数之间的关系，三角函数在各象限的符号，属于中档题.arcsin 3arccos x x π+=，那么实数x 的值是_______.【答案】2【解析】 【分析】由arcsin arccos 2x x π+=得arccos arcsin 2x x π=-，代入方程arcsin 3arccos x x π+=即可求解. 【详解】arcsin arccos 2x x π+=,arccos arcsin 2x x π∴=-.arcsin 3arccos x x π+=,arcsin 3arcsin 2x x ππ⎛⎫∴+-= ⎪⎝⎭,arcsin 4x π∴=,即x =，故填2. 【点睛】此题主要考察了反三角函数的定义及运算性质，属于中档题.6.某银行一年期定期储蓄年利率为5%，假设存款到期不取出继续留存于银行，银行自 动将本金及80%的利息〔利息须交纳20%利息税，由银行代交〕自动转存一年期定期储蓄， 某人以一年期定期储蓄存入银行20万元，那么5年后，这笔钱款交纳利息税后的本利和为________元.〔准确到1元〕 【答案】218660 【解析】 【分析】 20万存款满一年到期后利息有200000 2.25%120%)⨯⨯-（，本息和一共200000 2.25%120%)200000200000(1 2.25%80%)⨯⨯-+=+⨯（，再过一年本息和2200000(1 2.25%80%)+⨯，⋯经过5年一共有本息5200000(1 2.25%80%)+⨯元，计算即可求出结果.【详解】20万存款满一年到期后利息有200000 2.25%120%)⨯⨯-（，本息和一共200000 2.25%120%)200000200000(1 2.25%80%)⨯⨯-+=+⨯（，再过一年本息和2200000(1 2.25%80%)+⨯，⋯经过5年一共有本息5200000(1 2.25%80%)+⨯元, 5200000(1.018)218659.76218660⨯=≈元.故填218660.【点睛】此题主要考察了银行存款的复利问题，由固定公式可用，本息和=本金1+⨯（利率(1)⨯-利息税)n ，利率是一年年利率，n 是存款年数，代入公式计算即可求出本息和，属于中档题.1()(1)k f x k x +=-()k ∈R 为幂函数，那么满足sin()sin k θθ=02πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭的θ的值为________. 【答案】3π【解析】 【分析】 根据幂函数定义知2k =，又sin2sin θθ=，由二倍角公式即可求解.【详解】因为1()(1)k f x k x +=-()k ∈R 为幂函数，所以1=1k -，即2k =,因为sin()sin k θθ=, 所以sin2sin θθ=，即2sin cos sin θθθ=，因为02πθ<<，所以1cos 2θ=，=3πθ.故填3π. 【点睛】此题主要考察了幂函数的定义，正弦的二倍角公式，属于中档题.3549x =，假设用含x 的形式表示5log 35，那么5log 35=________.【答案】22x- 【解析】 【分析】两边取以5为底的对数，可得55log 35log 49x =，化简可得5log 72xx=-，根据对数运算即可求出结果.【详解】因为3549x=所以两边取以5为底的对数，可得55log 35log 49x =， 即555(log 5log 7)2log 7x +=，所以5log 72xx=-， 552log 351log 7122x x x=+=+=--， 故填22x-. 【点睛】此题主要考察了对数的运算法那么，属于中档题.ABC ∆中，A 、B 、C 所对的边依次为a 、b 、c ，且22sin sin 22B C A BP c a ++=⋅+⋅， 假设用含a 、b 、c ，且不含A 、B 、C 的式子表示P ，那么P =_______.【答案】2a b c++ 【解析】 【分析】利用诱导公式，二倍角公式，余弦定理化简即可得解. 【详解】22sin sin 22B C A BPc a ++=⋅+⋅ 2a b c++=. 故答案为2a b c++. 【点睛】此题主要考察了诱导公式，二倍角的三角函数公式，余弦定理，属于中档题.(0,)2πθ∈，假设函数()f x 在R 上恒有17(3)(3)22f x f x -+=+，且422sin 11()log 13x x f x x x π-≤≤⎧=⎨<<⎩，那么函数()cos 1y f x θ=--在区间[5,14]-上零点的个数 是________. 【答案】15 【解析】 【分析】根据17(3)(3)22f x f x -+=+可得函数周期，作出函数一个周期上的图象，利用数形结合即可求解.【详解】函数()f x 在R 上恒有17(3)(3)22f x f x -+=+,1133422f x f x ⎛⎫⎛⎫∴-+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴函数周期为4.常数(0,)2πθ∈,cos 1(1,2)θ∴+∈,∴函数()cos 1y f x θ=--在区间[5,14]-上零点,即函数()([5,14])y f x x =∈-与直线1y =及直线2y =之间的直线的交点个数.由422sin 11()log 13x x f x xx π-≤≤⎧=⎨<<⎩，可得函数()f x 一个周期内的图象，做草图如下： 由图可知，在一个周期内，函数()cos 1y f x θ=--有3个零点，故函数()cos 1y f x θ=--在区间[5,14]-上有15个零点.故填15.【点睛】此题主要考察了函数零点的个数判断，涉及数形结合思想在解题中的运用，属于难题.P 关于直线的对称点在函数()f x 的图像上，那么称点P 、直线l 及函数()f x 组成系统(,,)T P l f ，函数1()mx g x x-=的反函数图像过点(3,1)，且第一象限内的点00(,)M x y 、直线:n y x =及函数()g x 组成系统(,,)T M n g ，那么代数式000011()()22x y x y ++的最小值为________. 【答案】94【解析】 【分析】 根据函数1()mx g x x-=的反函数图像过点(3,1)可求出m ,由00(,)M x y 、直线:n y x =及函数()g x 组成系统(,,)T M n g 可知00(,)M y x '在()g x 的图象上，4m =且0014x y +=，代入000011()()22x y x y ++化简为20020049144x x x x -+--，换元2004,t x x =-那么914t y t=+-，利用单调性求解. 【详解】因为函数1()mx g x x-=的反函数图像过点(3,1)， 所以(1)13g m =-=，即4m =，由00(,)M x y 、直线:n y x =及函数()g x 组成系统(,,)T M n g 知00(,)M y x '在()g x 上，所以0140,0x x y y +=>>，，代入000011()()22x y x y ++化简得0000000011114()()()()22242x x x y x y x x -++=++- 20020049144x x x x -=+--， 令2004,t x x =-由00140,0x x y y +=>>，知004x <<，故04t <≤ 那么91361()144t y t t t=+-=+-在(0,4]t ∈上单调递减， 所以当4t =即02x =时，min 94y =，故填94.【点睛】此题主要考察了对称问题，反函数概念，根据条件求最值，函数的单调性，换元法，综合性大，难度大，属于难题. 二、选择题 12.“2aπ=〞是“函数cos y x =的图像关于直线x a =对称〞的〔〕条件A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既不充分又非必要 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分必要条件的断定，即可得出结果. 【详解】当2a π=时，2x π=是函数cos y x =的对称轴，所以“2a π=〞是“函数cos y x =的图像关于直线x a =对称〞的充分条件，当函数cos y x =的图像关于直线x a =对称时，,x a k k Z π==∈,推不出2a π=，所以“2a π=〞是“函数cos y x =的图像关于直线x a =对称〞的不必要条件，综上选A .【点睛】此题主要考察了充分条件、必要条件，余弦函数的对称轴，属于中档题.1251028b b ⎛⎫⎪⎝⎭，解为34212021x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，那么21b b -的值是〔〕 A.1 B.2C.3D.4【答案】C 【解析】 【分析】由题意得134205102121b ⨯+=，23420282121b ⨯+=，解方程即可得到所求值. 【详解】由题意得134205102121b ⨯+=，23420282121b ⨯+=，解得1225b b ==，，那么213b b -=，应选C.【点睛】此题主要考察了线性方程组的解法，以及增广矩阵的概念，考察运算才能，属于中档题.()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()5f x x x =--，那么不等式()(1)0f x f x --<的解集为〔〕 A.(1,2)- B.(1,3)-C.(2,3)-D.(2,4)-【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合函数的奇偶性分析可得函数的解析式，作出函数图象，结合不等式和二次函数的性质以及函数图象中的递减区间，分析可得答案. 【详解】根据题意，设0x >，那么0x -<，所以2()5f x x x -=-+，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以2()5()f x x x f x -=-+=-，所以2()5f x x x =-，即0x ≥时，当0x <时，2()5f x x x =--，那么()f x 的图象如图： 在区间55(,)22-上为减函数， 假设()(1)0f x f x --<，即(1)()f x f x ->，又由1x x -<，且(3)(2),(2)(3)f f f f -=-=，必有133x x ->-⎧⎨<⎩时，()(1)0f x f x --<，解得23x -<<，因此不等式的解集是(2,3)-，应选C.【点睛】此题主要考察了函数奇偶性的应用，利用函数的奇偶性求出函数的解析式，根据图象解不等式是此题的关键，属于难题.12()()()a f x f x bf x =(),a b ∈R ，那么称1()f x 与2()f x 经过变换(,)T a b 生成函数()f x ，1221()(1220)g x x x =-+-，1222()(10)gx x x =-+，设1()g x 与2()g x 经过变换(,)T m n生成函数()g x，(4)g =，(6)2)g =，那么()g x 的最大值为〔〕A.1B.4C.6D.9【答案】B 【解析】 【分析】根据变换(,)T m n 可生成函数21()()()g x mg x ng x =-112222(10)(1220)m x x n x x =-+--+-，再根据(4)g =，(6)2)g =可求出,m n，转化为求112222()(10)(1220)g x x x x x =-+--+-的最大值,化简()g x ==，利用单调性求解即可.【详解】由题意可知21()()()g x mg x ng x =-112222(10)(1220)m x x n x x =-+--+-,又(4)g =，(6)2)g =解得1m n ==, 所以112222()(10)(1220)g x x x x x =-+--+-又()g x ==，因为y =[2,10]x ∈上单调递减且为正值，y =[2,10]x ∈上单调递减且为正值，所以()g x ==在[2,10]x ∈上单调递减，所以当2x =时函数有最大值(2)4g =.应选B.【点睛】此题主要考察了函数的单调性，利用单调性求函数的最大值，涉及创设新情景及函数式的变形，属于难题 三、解答题α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点(,)m n ，0mn ≠，且cos()x βπ-=32ππβ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，求sin()αβ-〔用含m 、n 、x 的形式表示〕.【解析】 【分析】由任意角的三角函数定义求得sin ,cos αα，再由诱导公式及同角的三角函数根本关系式求得cos ,sin ββ，再由两角差的正弦求sin()αβ-.【详解】由题意，sin α=cos α=，又cos()x βπ-=，所以cos x β=-，32ππβ<<，那么sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-==【点睛】此题主要考察了任意角的三角函数定义，同角三角函数的关系，两角和差的正弦，属于中档题. 17.()2f x x k =+()k ∈R .〔1〕设1k=，求满足2()log (616)1xf x =-+的实数x 的值；〔2〕假设()f x 为R 上的奇函数，试求函数()y x x f x =+的反函数.【答案】〔1〕12x =；〔2〕1010x y x ≥=<⎪⎩.【解析】 【分析】 〔1〕把1k=代入函数解析式，代入方程2()log (616)1xf x =-+即可求解.〔2〕由函数奇偶性得k ，然后求得()y x x f x =+的解析式，分段求解反函数即可.【详解】〔1〕当1k =时，()21f x x =+，由2()log (616)1x f x =-+，得()221log 6161x x +=-+， 即()22log 616xx =-，解得12x =. 〔2〕()f x 为R 上的奇函数，0k ∴=，那么()2f x x =.∴222,0()22,0x x x y x x f x x x x x x x ⎧+=+=+=⎨-+<⎩,由22y x x =+，0x ≥，得1x =，0y ≥;由22y x x =-+，0x <，得1x =0y <.∴函数()y x x f x =+的反函数为11,0()10x f x x -=-<⎪⎩.【点睛】此题主要考察了函数的解析式及求法，考察了反函数的求法，属于中档题.2()x mx af x x++=(),m a ∈R . 〔1〕当2a =时，函数()f x 的图像经过点(1,1)a +，试求m 的值，并写出〔不必证明〕()f x 的单调递减区间；〔2〕设1a =-，()()0h x x f x +⋅=，()2cos()3g x x π=-，假设对于任意的[1,2]s ∈，总存在[0,]t π∈，使得()()h s g t =，务实数m 的取值范围.【答案】〔1〕递减区间为[和；〔2〕[2,1]m ∈--.【解析】 【分析】〔1〕将点(1,3)代入函数()f x 即可求出m ,根据函数的解析式写出单调递减区间即可〔2〕 当1a =-时，写出函数()h x ，由题意知()h s 的值域是()g t 值域的子集,即可求出. 【详解】〔1〕因为函数()f x 的图像经过点(1,1)a +，且2a =所以(1)123f m =++=，解得0m =.∴()f x的单调递减区间为[）和.〔2〕当1a =-时，1()f x x m x=-+，∴[0,]t π∈时，()[1,2]g t ∈-由对于任意的[1,2]s ∈，总存在[0,]t π∈，使得()()h s g t =知：()h s 的值域是()g t 值域的子集.因为2()1h x x mx =--+的对称轴为2m x =-,①当12m-≤时，即2m ≥-时， 只需满足(1)2(2)321h m h m =-≤⎧⎨=--≥-⎩解得21m -≤≤-. ②当122m<-<，即42m -<<-时， 因为(1)2h m =->，与()[1,2]h s ⊆-矛盾，故舍去. ③当22m-≥时，即4m ≤-时， (1)4h m =-≥与()[1,2]h s ⊆-矛盾，故舍去.综上，[2,1]m ∈--.【点睛】此题主要考察了函数的单调性，以及含参数二次函数值域的求法，涉及存在性问题，转化思想和分类讨论思想要求较高，属于难题.()2sin()f x x ωϕ=+0,22ππωϕ⎛⎫>-<<⎪⎝⎭的局部图象如下列图. 〔1〕求ω与ϕ的值； 〔2〕设ABC ∆的三个角A 、B 、C 所对的边依次为a 、b 、c ，假设5()1212A f π+=，且11113111aa=--，试求b c +的取值范围；〔3〕求函数131511()()()4622242224y f x f x f x πππ=+++++()x ∈R 的最大值. 【答案】〔1〕2ω=，3πϕ=-；〔2〕(2,4]b c +∈；〔3〕154. 【解析】 【分析】 〔1〕由图象有3254412ππ⋅=，可得ω的值，然后根据五点法作图可得52122ππϕ⨯+=，进而求出ϕ〔2〕根据55()2sin[2()]2cos 12122123A A f A πππ+=+-==,可得A ,然后由行列式求出a ,再由正弦定理b c +转化为sin )6b cB C B π+==+，根据B 的范围求出b c +的范围〔3〕将131511()()()4622242224y f x f x f x πππ=+++++()x ∈R 化简到最简形式，然后逐步换元，转化为利用导数求值问题. 【详解】〔1〕由函数图象可得3254412ππ⋅=，解得2ω=，再根据五点法作图可得52122ππϕ⨯+=，解得3πϕ=-，∴()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. 〔2〕55()2sin[2()]2cos 12122123A A f A πππ+=+-==11113111aa=--，2a ∴=由正弦定理知sin sin sin b c a B C A ===，∴b B =，3c C =，20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴(2,4]b c +∈.〔3〕131511()()()4622242224y f x f x f x πππ=+++++ 令12t x π=+，因为x ∈R ，所以t R ∈，那么1sin 23sin sin 232333t t t πππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦， 令3t πθ=-，因为t R ∈，所以R θ∈,那么15cos 2sin 22y θθθ=++ 令cos [1,1]m θ=∈-，那么21()2y f m m ==-±， ∴只需求出21()22f m m m =-的最大值，()2f m m '=，令()0f m '=，那么m =，∴当1,m ⎛∈- ⎝⎭时，()0f m '>，此时()f m单调递增，当m ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f m '<， 此时()f m 单调递减，∴15()max 4f m f ⎛== ⎝⎭.∴函数131511()()()4622242224y f x f x f x πππ=+++++()x ∈R 的最大值为154.【点睛】此题主要考察了利用三角函数的局部图象求解析式和三角函数的图象与性质，考察了转化思想和数形结合思想，属于难题.a 、b 、k ，假设22(1)(1)1a b k a b ab++≥⋅-⋅-成立，那么称a 、b 具有“性质k 〞.〔1〕试问：①()xx ∈R ，0是否具有“性质2〞；②tan y 〔124y ππ<<〕，0是否具有“性质4〞；〔2〕假设存在03[,2]4x ππ∈及01[,2]2t ∈，使得00001sin 22sin 0x x t m t ----≤成立，且0sin x ，1具有“性质2〞，务实数m 的取值范围；〔3〕设1x ，2x ，⋅⋅⋅，2019x 为2021个互不一样的实数，点(,)m n x x 〔{},1,2,,2019m n ∈⋅⋅⋅〕均不在函数1y x=的图象上，是否存在(),i j i j ≠，且{},1,2,,2019i j ∈⋅⋅⋅，使得i x 、j x 具有“性质2021〞，请说明理由.【答案】〔1〕①具有“性质2〞，②不具有“性质4〞；〔2〕52m ≥-；〔3〕存在. 【解析】 【分析】〔1〕①根据题意需要判断212||x x +≥的真假即可②根据题意判断21tan 4|tan |y y +≥是否成立即可得出结论；〔2〕根据具有性质2可求出0x 的范围，由存在性问题成立转化为00max (sin 22sin )x x -≤0max 01()t m t ++，根据函数的性质求最值即可求解. 【详解】〔1〕①因为212x x +≥，212x x +≥-成立,所以212||x x +≥，故()x x ∈R ，0具有“性质2〞②因为124y ππ<<，设tan ty =，那么316t <<设2()41f t t t =-+，对称轴为2t =，所以函数2()41f t t t =-+在3(6t ∈上单调递减，当1t →时，min ()20f t →-<， 所以当124y ππ<<时，21tan4tan 0y y +-≥不恒成立，即21tan 4|tan |y y +≥不成立，故tan y 〔124y ππ<<〕，0不具有“性质4〞.〔2〕因为0sin x ，1具有“性质2〞 所以22000(1sin)(1+12|sin 1||1sin |x x x +≥--）化简得2200(1sin)(1sin )x x +≥-解得034x ππ≤≤或者02x π=. 因为存在03[,2]4x ππ∈及01[,2]2t ∈，使得00001sin 22sin 0x x t m t ----≤成立，所以存在03[,]4x ππ∈{2}π及01[,2]2t ∈使00max (sin 22sin )x x -≤0max 01()t m t ++即可. 令00sin 22sin y x x =-，那么200002cos 22cos 2(2cos cos 1)y x x x x '=-=--，当03[,]4x ππ∈时，0y '>， 所以00sin 22sin y x x =-在03[,]4x ππ∈上是增函数， 所以0x π=时，0max 00(sin 22si )n x x =-，当02x π=时，00sin 22sin =0x x -，故03[,]4x ππ∈{2}π时，0max 00(sin 22si )n x x =- 因为1y x m x=++在1[,1]2上单调递减，在[1,2]上单调递增，所以0max 015()=2t m m t +++， 故只需满足502m ≤+即可，解得52m -≤. 〔3〕假设具有“性质2021〞，那么22(1)(1)20181ij i j i jx x x x x x ++≥⋅-⋅-，即证明在任意2021个互不一样的实数中，一定存在两个实数,i j x x ,满足：22(1)(1)20181i j i j i j x x x x x x ++≥⋅-⋅-.证明：由()()()22111122222221111|111j j j j jj i i jijijx x x x x x x x x x x x x x xxx x --+-⋅-==-++++++，令tan ix α=，由万能公式知2111sin 2,1222i i x x α⎡⎤=∈-⎢⎥+⎣⎦， 将11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦等分成2021个小区间，那么1220191i ,,11s n 2sin 2,sin 2222a a a 这2021个数必然有两个数落在同一个区间，令其为：11sin 2,sin 222ϕγ，即111sin 2sin 2222018ϕγ-≤， 也就是说，在1x ，2x ，⋅⋅⋅，2019x 这2021个数中，一定有两个数满足221112018i i i i x x x x -≤++， 即一定存在两个实数,i j x x ，满足22(1)(1)20181i j i j i jx x x x x x ++≥⋅-⋅-，从而得证.【点睛】此题主要考察了不等式的证明，根据存在性问题求参数的取值范围，三角函数的单调性，万能公式，考察了创新才能，属于难题.。
高一数学下学期期末试卷 文(含解析)-人教版高一全册数学试题
2015-2016学年某某某某市平罗中学高一（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若a＞b＞0，下列命题为真命题的是（）A．a2＜b2B．a2＜ab C．＜1 D．＞2．在锐角△ABC中，a、b分别是角A、B的对边，若2bsinA=a，则角B等于（）A．B．C．D．3．设向量=（1，m），=（m，4），若∥，则实数m的值是（）A．2 B．﹣2 C．0 D．﹣2或24．如图，下列几何体各自的三视图中，三个视图各不相同的是（）A．正方体B．圆锥C．三棱台D．正四棱锥5．在数列{a n}中，a1=2，2a n+1=2a n+1，则a101的值为（）A．49 B．50 C．51 D．526．若圆柱与圆锥的底面半径相等，母线也相等，它们的侧面积分别为S1和S2，则S1：S2=（）A．1：2 B．2：1 C．1：3 D．3：17．水平放置的△ABC的斜二测直观图△A′B′C′如图所示，则△ABC的面积为（）A．B．2 C．4 D．88．设y=x+（x＞2）．当x=a时，y有最小值，则a的值是（）A．4 B．3 C．1+D．1+9．在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=3：5：7，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定10．等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1=1，则S4=（）A．15 B．7 C．8 D．1611．若是非零向量且满足（）⊥，，则与的夹角是（）A．B．C． D．12．设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知S6=36，S n=324，S n﹣6=144，则n=（）A．15 B．16 C．17 D．18二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．不等式x2+8x＜20的解集是．14．数列{a n}满足：a1=2，a n﹣a n﹣1=2n﹣1，则a n=．15．棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为．16．若实数a、b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是．三、解答题：本大题共6小题，共计70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．已知平面直角坐标系中，点O为原点．A（﹣3，﹣4），B（5，﹣10）．（1）求的坐标及||；（2）若=+， =2﹣，求•．18．已知某几何体的俯视图是如图所示的正方形，正视图和侧视图都是底面边长为6，高为4的等腰三角形．（1）求该几何体的体积V；（2）求该几何体的表面积S．19．一个车辆制造厂引进了一条汽车整车装配流水线，这条流水线生产的汽车月销量Q（辆）与单价x（万元）之间有如下关系：Q（x）=220﹣2x．设这条流水线生产的汽车的月产值为y（万元）．（1）写出函数y=f（x）的解析式，并求汽车的单价为多少时，月产值最大；（2）若这家工厂希望这条流水线的月产值不低于6000万元，那么汽车的单价应如何确定？20．等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，且d=q，a1=b1=1，a3﹣b3=1．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设=a n+b n，求数列{}的前n项和S n．21．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且2acosB=bcosC+ccosB．（1）求角B的大小；（2）若b=2，a+c=4，求a和c的值．22．在等差数列{a n}中，a2=2，a4+a6=10．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=a n•2an，T n是数列{b n}的前n项和，求T n．2015-2016学年某某某某市平罗中学高一（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若a＞b＞0，下列命题为真命题的是（）A．a2＜b2B．a2＜ab C．＜1 D．＞【分析】根据不等式的基本性质，及函数的单调性，判断四个答案的真假，可得结论．【解答】解：∵a＞b＞0，∴a2＞b2，故A错误；a2＞ab，故B错误；＜1，故C正确；ab＞0，，即，故D错误；故选：C2．在锐角△ABC中，a、b分别是角A、B的对边，若2bsinA=a，则角B等于（）A．B．C．D．【分析】根据正弦定理，进行化简求出sinB的值，由锐角三角形求出B的值．【解答】解：锐角△ABC中，2bsinA=a，由正弦定理得，2sinB•sinA=sinA，又sinA≠0，所以sinB=，所以B=．故选：B．3．设向量=（1，m），=（m，4），若∥，则实数m的值是（）A．2 B．﹣2 C．0 D．﹣2或2【分析】直接利用向量平行的充要条件列出方程求解即可．【解答】解：∵向量=（1，m），=（m，4），∥，∴1×4=m2，解得m=±2，故选：D．4．如图，下列几何体各自的三视图中，三个视图各不相同的是（）A．正方体B．圆锥C．三棱台D．正四棱锥【分析】利用三视图的作图法则，对选项判断，正方体的三视图相同，圆锥，四棱锥的两个三视图相同，三棱台都不相同，得出选项即可．【解答】解：正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，圆锥和正四棱锥的，正视图和侧视图相同，故选：C．5．在数列{a n}中，a1=2，2a n+1=2a n+1，则a101的值为（）A．49 B．50 C．51 D．52【分析】先利用递推关系得出其为等差数列，再代入等差数列的通项公式即可．【解答】解：由2a n+1=2a n+1，得a n+1﹣a n=，故为首项为2，公差为的等差数列，所以a101=a1+100d=2+100×=52．故选：D．6．若圆柱与圆锥的底面半径相等，母线也相等，它们的侧面积分别为S1和S2，则S1：S2=（）A．1：2 B．2：1 C．1：3 D．3：1【分析】圆柱的侧面积=底面周长×高，圆锥的侧面积=底面周长×母线长，把相关数值代入即可求得两个侧面积，进而求得其比值即可．【解答】解：∵圆柱与圆锥的底面半径相等，母线也相等，∴S1=2πrh，S2=πrh∴S1：S2=2：1，故选：B．7．水平放置的△ABC的斜二测直观图△A′B′C′如图所示，则△ABC的面积为（）A．B．2 C．4 D．8【分析】将直观图还原成平面图形，根据斜二侧画法原理求出平面图形的边长，计算面积．【解答】解：作出△ABC的平面图形，则∠ACB=2∠A′C′B′=90°，BC=B′C′=4，AC=A′C′=2，∴△ABC的面积为=4．故选：C．8．设y=x+（x＞2）．当x=a时，y有最小值，则a的值是（）A．4 B．3 C．1+D．1+【分析】将原式变形y=x﹣2++2，由x﹣2＞0根据不等式的性质，y=x﹣2++2≥2=2=2+2=4，当x﹣2=时取“=”，即可求得a的值．【解答】解：y=x+=x﹣2++2，∵x＞2，∴x﹣2＞0，∴y=x﹣2++2≥2=2=2+2=4，∴当x﹣2=时取“=”，即x=3时取“=”∴当x=3时，y有最小值4，∴a=3，故答案选：B．9．在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=3：5：7，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定【分析】由正弦定理可得a：b：c=3：5：7，进而可用b表示a，c，代入余弦定理化简可得cosC的值，结合C的X围即可得解C的值，从而得解．【解答】解：∵sinA：sinB：sinC=3：5：7，∴由正弦定理可得：a：b：c=3：5：7，∴a=，c=，∴由余弦定理可得：cosC===﹣，∵C∈（0，π），∴C=．故△ABC的形状是钝角三角形．故选：C．10．等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1=1，则S4=（）A．15 B．7 C．8 D．16【分析】利用4a1，2a2，a3成等差数列求出公比即可得到结论．【解答】解：∵4a1，2a2，a3成等差数列．a1=1，∴4a1+a3=2×2a2，即4+q2﹣4q=0，即q2﹣4q+4=0，（q﹣2）2=0，解得q=2，∴a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，∴S4=1+2+4+8=15．故选：A11．若是非零向量且满足（）⊥，，则与的夹角是（）A．B．C． D．【分析】利用两个向量垂直，数量积等于0，得到==2•，代入两个向量的夹角公式得到夹角的余弦值，进而得到夹角．【解答】解：∵（）⊥，（）⊥，∴（）•=﹣2=0，（）•=﹣2=0，∴==2，设与的夹角为θ，则由两个向量的夹角公式得cosθ====，∴θ=60°，故选B．12．设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知S6=36，S n=324，S n﹣6=144，则n=（）A．15 B．16 C．17 D．18【分析】根据S n﹣S n﹣6=a n﹣5+a n﹣4+…+a n求得a n﹣5+a n﹣4+…+a n的值，根据S6=得a1+a2+…+a6的值，两式相加，根据等差数列的性质可知a1+a n=a2+a n﹣1=a6+a n﹣5，进而可知6（a1+a n）的值，求得a1+a n，代入到数列前n项的和求得n．【解答】解：∵S n=324，S n﹣6=144，∴S n﹣S n﹣6=a n﹣5+a n﹣4+…+a n=180又∵S6=a1+a2+…+a6=36，a1+a n=a2+a n﹣1=a6+a n﹣5，∴6（a1+a n）=36+180=216∴a1+a n=36，由，∴n=18故选D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．不等式x2+8x＜20的解集是（﹣10，2）．【分析】把不等式化为x2+8x﹣20＜0，左边因式分解，即可求出该不等式的解集．【解答】解：不等式x2+8x＜20可化为x2+8x﹣20＜0，即（x+10）（x﹣2）＜0，解得﹣10＜x＜2；所以该不等式的解集是（﹣10，2）．故答案为：（﹣10，2）．14．数列{a n}满足：a1=2，a n﹣a n﹣1=2n﹣1，则a n= 2n．【分析】利用“累加求和”方法、等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：∵a1=2，a n﹣a n﹣1=2n﹣1，则a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2n﹣1+2n﹣2+…+2+2=+1=2n．故答案为：2n．15．棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为3π．【分析】棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，球的直径是正方体的对角线，知道棱长为1的正方体的对角线是，做出半径，利用圆的表面积公式得到结果．【解答】解：∵棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，∴球的直径是正方体的对角线，∴球的半径是r=，∴球的表面积是4×=3π故答案为：3π16．若实数a、b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是 6 ．【分析】根据基本不等式和指数运算可直接得到答案．【解答】解：∵a+b=2∴3a+3b≥2=2=6当且仅当a=b=1时等号成立故答案为：6三、解答题：本大题共6小题，共计70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．已知平面直角坐标系中，点O为原点．A（﹣3，﹣4），B（5，﹣10）．（1）求的坐标及||；（2）若=+， =2﹣，求•．【分析】根据向量的坐标运算和向量的数量积计算即可．【解答】解：（1）∵A（﹣3，﹣4），B（5，﹣10），∴=（5，﹣10）﹣（﹣3．﹣4）=（8，﹣6），∴||==10，（2）∵=（﹣3，﹣4），=（5，﹣10），∴=+=（2，﹣15），=2﹣=（﹣6，﹣8）﹣（5，﹣10）=（﹣11，2），∴•=2×（﹣11）﹣15×2=﹣5218．已知某几何体的俯视图是如图所示的正方形，正视图和侧视图都是底面边长为6，高为4的等腰三角形．（1）求该几何体的体积V；（2）求该几何体的表面积S．【分析】由三视图得该几何体是正四棱锥，画出直观图，由题意求出棱长、高以及斜面上的高，（1）由椎体的条件求出该几何体的体积V；（2）由图和面积公式求出该几何体的表面积S．【解答】解：由三视图得该几何体是正四棱锥P﹣ABCD，如图所示：其中PO⊥平面ABCD，E是BC的中点，∵正视图和侧视图都是底面边长为6，高为4的等腰三角形，∴PO=4，AB=BC=6，OE=3，则PE==5，（1）该几何体的体积V==48；（2）∵E是BC的中点，∴PE⊥BC∴该几何体的表面积S==51．19．一个车辆制造厂引进了一条汽车整车装配流水线，这条流水线生产的汽车月销量Q（辆）与单价x（万元）之间有如下关系：Q（x）=220﹣2x．设这条流水线生产的汽车的月产值为y（万元）．（1）写出函数y=f（x）的解析式，并求汽车的单价为多少时，月产值最大；（2）若这家工厂希望这条流水线的月产值不低于6000万元，那么汽车的单价应如何确定？【分析】（1）根据题意列出不等式即可解得解析式；（2）根据题意，将题目条件转化为关于x的不等式，解不等式即可解得答案．【解答】解：（1）由题意可得，y=f（x）=xQ（x）=x=﹣2x2+220x=﹣2（x﹣55）2+6050，∴当x=55时，y=f（x）取得最大值；（2）根据题意得，﹣2x2+220x＞6000，移项整理，得x2﹣110x+3000＜0，∴50＜x＜60，∴汽车的单价在50﹣60万元间，可以使这家工厂这条流水线的月产值不低于6000万元．20．等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，且d=q，a1=b1=1，a3﹣b3=1．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设=a n+b n，求数列{}的前n项和S n．【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．（2）利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）∵d=q，a1=b1=1，a3﹣b3=1．∴1+2d﹣d2=1，d=q≠0，解得d=q=2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，b n=2n﹣1．（2）=a n+b n=2n﹣1+2n﹣1．∴数列{}的前n项和S n=+=n2+2n﹣1．21．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且2acosB=bcosC+ccosB．（1）求角B的大小；（2）若b=2，a+c=4，求a和c的值．【分析】（1）由已知及正弦定理得：sinA=2sinAcosB，又0＜A＜π．可求cosB=，结合X 围0＜B＜π，即可求B的值．（2）由已知及余弦定理可求ac=4，联立a+c=4，从而解得a，c的值．【解答】解：（1）在△ABC中，由2acosB=bcosC+ccosB，及正弦定理得：sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，即sin（B+C）=2sinAcosB，又A+B+C=π，所以sin（B+C）=sinA，从而sinA=2sinAcosB，又0＜A＜π．故cosB=，又0＜B＜π，所以B=．（2）∵b=2，B=，a+c=4①，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，可得：4=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac=16﹣3ac，可得：ac=4②，∴①②联立解得：a=c=2．22．在等差数列{a n}中，a2=2，a4+a6=10．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=a n•2an，T n是数列{b n}的前n项和，求T n．【分析】（1）求出等差数列的公差，然后求解数列的通项公式．（2）化简数列数列{b n}的通项公式，然后利用错位相减法求解数列的和．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a2=2，a4+a6=10；∴2×2+6d=10，解得d=1．∴a n=2+1（n﹣2）=n．（2）b n=n×2n．T n=1×21+2×22+3×23+4×24+…+n×2n2T n=1×22+2×23+3×24+4×25+…+n×2n+1，两式相减，得﹣T n=21+22+23+24+…+2n﹣n×2n+1=﹣n×2n+1∴T n═n×2n+1﹣2n+1+2．。
浙江省宁波市镇海中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题卷(解析版)
镇海中学2023学年第二学期期末考试高一数学试题卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 点P 是椭圆2212x y +=上一动点，则点P 到两焦点的距离之和为（ ） A. 2B.C. D. 4【答案】C 【解析】【分析】由椭圆定义求解即可.【详解】由2212x y +=可得：a =，由椭圆的定义可知：点P到两焦点的距离之和为2a =. 故选：C .2. 若{,,}a b c是空间中的一组基底，则下列可与向量,2a c a c +−构成基底的向量是（ ） A. aB. 2a b +C. 2a c +D. c【答案】B 【解析】【分析】借助空间中基底定义，计算该向量能否用,2a c a c +−表示即可得.【详解】由{,,}a b c是空间中的一组基底，故,,a b c 两两不共线，对A ：有()()1223a a c a c =++−，故A 错误； 对B ：设()()22a b m a c n a c +=++− ，则有()()22a b m n a m n c +=++−， 该方程无解，故2a b +可与,2a c a c +−构成基底，故B 正确；对C ：有()()12423a c a c a c +=+−−，故C 错误； 对D ：有()()123c a c a c =+−−，故D 错误. 故选：B.的3. l 为直线，α为平面，则下列条件能作为l α∥的充要条件的是（ ） A. l 平行平面α内的无数条直线 B. l 平行于平面α的法向量 C. l 垂直于平面α的法向量 D. l 与平面α没有公共点【答案】D 【解析】【分析】根据直线与平面平行的定义，由于定义是充要条件得到选项． 【详解】对A ：没有强调l α⊄，故A 错误；对B ：l 平行于平面α的法向量，可得l α⊥，故B 错误； 对C ：同A 一样，没有强调l α⊄，故C 错误；对D :根据直线与平面平行的定义：直线与平面没有公共点时，直线与平面平行. 所以“直线l 与平面α没有公共点”是“l α∥”的充要条件.故D 正确. 故选：D 4. 己知 (2,2,1)(1,1,0)ab =，，则a 在b上的投影向量的坐标为（ ）A. (1,1,0)B. (1,2,0)C. (2,2,0)D. (1,1,1)【答案】C 【解析】.【详解】向量a 在b上的投影向量为：()()21,1,02,2,0a b b b b⋅×==，故选：C5. 点()()1122,,,P x y Q x y 为直线20kx y −+=上不同的两点，则直线111:1l x x y y −=与直线222:1l x x y y −=的位置关系是（ ）A. 相交B. 平行C. 重合D. 不确定【答案】A 【解析】【分析】利用这两直线的斜率来结合已知条件，即可以作出判断.【详解】由点()()1122,,,P x y Q x y 为直线20kx y −+=上不同的两点， 则直线111:1l x x y y −=与直线222:1l x x y y −=的斜率存在时一定为1212x x y y ，，可以把这两个斜率看成直线上两点到原点的斜率的倒数， 由已知可得OP OQ k k ≠，则1212x x y y ≠，即两直线不可能平行与重合，则只能相交; 若直线111:1l x x y y −=与直线222:1l x x y y −=的斜率有一个不存在，则另一个斜率必存在，也能判定两直线相交； 故选：A.6. 如图，平行六面体各棱长为1，且1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=°，动点P 在该几何体内部，且满足1(1)(,R)AP xAB y AD x y AA x y =++−−∈ ，则||AP的最小值为（ ）A.B.C.D.12【答案】B 【解析】【分析】由平面向量共面定理可知：点P 在平面1BDA 内，则||AP的最小值即为点P 到平面1BDA 的距离，求出三棱锥1A A BD −为正四面体，过点A 作AH ⊥平面1BDA ，求解AH 即可得出答案.【详解】因为1(1)(,R)AP xAB y AD x y AA x y =++−−∈， 则()()111AP AA x AB AA y AD AA −=−+− ，即111A P xA B y A D =+ ，由平面向量共面定理可知：点P 在平面1BDA 内，则||AP的最小值即为点P 到平面1BDA 的距离，连接11,,,BD DA A B 因为平行六面体各棱长为1，且1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=°，所以111BD DA A B===， 所以三棱锥1A A BD −为正四面体，过点A 作AH ⊥平面1BDA ，因为1A H ⊂平面1BDA ，所以AH ⊥1A H ，如图，所以12233A H ==所以AH =，所以||AP的最小值为AH =故选：B .7. 实数,x y 满足2222x y x y +=−，则|3|x y −+的最小值为（ ）A. 3B. 7C.D. 3+【答案】A 【解析】【分析】化简2222x y x y +=−可得()()22112x y −++=，|3|x y −+表示为圆上点到直线30x y −+=倍，运用几何法求解即可.【详解】化简2222x y x y +=−可得()()22112x y −++=，即(),x y 在圆上，则|3|x y −+表示为圆上点到直线30x y −+=倍，圆心()1,1−到直线距离为d =则|3|x y −+3=. 故选：A8. 在棱长为2的正四面体O ABC −中，棱,OA BC 上分别存在点,M N （包含端点），直线MN 与平面ABC ，平面OBC 所成角为θ和ϕ，则sin sin θϕ+的取值范围是（ ）A. 23B. 23C.D. 【答案】C 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，然后利用空间向量得到sin sin θϕ+，最后根据,a b 范围求sin sin θϕ+的取值范围即可.【详解】如图，取ABC 的中心1O ，连接1OO ，取BC 中点F ，连接1O F ，过点1O 作1O E BC ∥交AB 于点E ，以1O 为原点，分别以111,,O E OF O O 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，因为O ABC −为正四面体，所以1O A =1O F =，1O O =()10,0,0O，B，C −，O，1O O = ，OB =，OC − ，设0,M a，N b，a ∈ ，[]1,1b ∈−，则(),MNb a =−， 由题意得1O O可以作为平面ABC 的一个法向量，则11sin MN O O MN O Oθ⋅== ，设平面OBC 的法向量为(),,m x y z =，00m OB x y z m OC x y z ⋅==⋅=−=，则0x =，令y =，则z =所以m = ，sin m MN m MNϕ⋅==sin sin θϕ+=因为a ∈，[]1,1b∈−，所以[]2332,3a −+∈，[]20,1b ∈，2，sin sin θϕ+=故选：C.【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用相似设出点M 的坐标，然后利用空间向量的方法求出线面角，最后求范围即可.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分．9. 已知椭圆222:14x y C a +=的焦点分别为12,F F ，焦距为P 为椭圆C 上一点，则下列选项中正确的是（ ）A.椭圆CB. 12F PF △的周长为3C. 12F PF ∠不可能是直角D. 当1260F PF ∠=°时，12FPF △【答案】AD.【解析】【分析】先确定椭圆的方程，再根据方程分析椭圆的性质.【详解】由题意，焦距为2c =⇒c =，又2<，所以椭圆焦点必在x 轴上， 由245a −=3a ⇒=.所以椭圆的离心率ce a ==，故A 正确； 根据椭圆的定义，12F PF △的周长为226a c +=+，故B 错误； 如图：取()0,2M 为椭圆的上顶点，则()()123,23,250MF MF ⋅=−⋅−−=−<,所以12F MF ∠为钝角，所以椭圆上存在点P ，使得12F PF ∠为直角，故C 错误； 如图：当1260F PF ∠=°时，设11PF t =，22PF t =， 则1222121262cos 6020t t t t t t += +−°= ⇒12221212620t t t t t t += +−= ⇒12163t t =，所以12121116sin 60223F PF S t t =°=× ，故D 正确. 故选：AD10. 已知圆221:(1)(2)9C x y a −+−=，圆2222:82120,C x y x ay a a +−+++=∈R ．则下列选项正确的是（ ）A. 直线12C C 恒过定点(3,0)B. 当圆1C 和圆2C 外切时，若,P Q 分别是圆12,C C 上的动点，则max ||10PQ =C. 若圆1C 和圆2C 共有2条公切线，则43a <D. 当13a =时，圆1C 与圆2C 【答案】ABD 【解析】【分析】根据圆的方程确定圆心，可求出直线12C C 的方程，即可判断A ；根据圆1C 和圆2C 外切求出a 的值，数形结合，可判断B ；根据两圆公切线条数判断两圆相交，列不等式求解判断C ；求出两圆的公共弦方程，即可求得两圆的公共弦长，判断D.【详解】对于A ，由圆221:(1)(2)9C x y a −+−=，圆2222:82120,C x y x ay a a +−+++=∈R ， 可知()()121,2,4,C a C a −，故直线12C C 的方程为(4)y a a x +=−−， 即()3y a x =−−，即得直线12C C 恒过定点(3,0)，A 正确； 对于B ，2222:82120,C x y x ay a a +−+++=∈R 即()()222:44,C x y a a −++=∈R ，当圆1C 和圆2C 32=+，解得43a =±，当43a =时，如图示，当12,,,P C C Q 共线时,max 12||32510PQ C C =++=+=；同理求得当43a =−时，max ||10PQ =，B 正确； 对于C ，若圆1C 和圆2C 共有2条公切线，则两圆相交，则123232C C −<<+，即15<<，解得4433a −<<，C 错误对于D ，当13a =时，两圆相交， 2212:(1)()93C x y −+−=，()2221:443C x y −++=， 将两方程相减可得公共弦方程596203x y −−=， 则121,3C到596203x y −−=则圆1C 与圆2C相交弦的弦长为，D 正确， 故选：ABD11. 埃舍尔是荷兰著名的版画家，《哈利波特》《盗梦空间》《迷宫》等影片的灵感都来源于埃舍尔的作品．通过著名的《瀑布》（图1）作品，可以感受到形状渐变、几何体组合和光学幻觉方面的魅力．画面中的两座高塔上方各有一个几何体，右塔上的几何体首次出现，后称“埃舍尔多面体”（图2），其可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造．如图4，,,,(1,2,3)n n n n A B C D n =分别为埃舍尔多面体的顶点，,(1,2,3)n n P Q n =分别为正方形边上的中点，埃舍尔多面体的可视部分是由12个四棱锥构成．为了便于理解，图511122A PE P E −与22131,,(1,2)n n A P E P F E F n −=分别为线段的中点．左塔上方是著名的“三立方体合体”（图3），取棱长为2的正方体ABCD A B C D −′′′′的中心O ，以O 为原点，,,x y z 轴均平行于正方体棱，建立如图6所示的空间直角坐标系，将正方体分别绕,,x y z 轴旋转45°，将旋转后的三个正方体,1,2,3n n n n nn n n A B C D A B C D n ′′′′−=（图7，8，9）结合在一起便可得到“三立方体合体”（图10），下列有关“埃舍尔多面体”和“三立方体合体”的说法中，正确的是（ ）A. 在图5中，1322A P E P ⊥B. 在图5中，直线12Q A 与平面122A E PC. 在图10中，设点nA ′的坐标为(),,,1,2,3n n n x y z n =，则()122239n n n n x y z =∑++=D. 在图10中，若E 为线段22B C 上的动点（包含端点），则异面直线2D E 与23A A 所成角余弦值的最大值【答案】BCD 【解析】【分析】利用建立空间直角坐标系，结合空间向量法可以解决各个问题.【详解】对A ，在图5中，如图建系，设1231OP OP OP ===， 则()10,1,1A ，()31,0,0P ，()20,1,0P ，2111,,222E−， 所以()13221111,1,1,,,222A P E P−−−，则()132********1,1,1,,02222222A P E P ⋅=−−⋅−=−+=≠， 13A P 与22E P 不垂直，故A 错误；对B ，由图知：()10,0,1Q −，()21,1,0A ，()10,1,1A ，1111,,222E，()20,1,0P 则()121,1,1Q A =，()120,0,1A P =− ，22111,,222E P=−−，设平面122A E P 的法向量为(),,n x y z = ，则122200n A P n E P ⋅=⋅= ，得01110222z x y z −= −+−= ，令1y =得，01z x ==，， 即()01,1n =，，又由121212cos ,Q A n Q A n Q A n⋅==， 所以直线12Q A 与平面122A E P，故B 正确； 对C ，在平面直角坐标系中，正方形绕中心旋转45°，1A 坐标由()11，变为()，所以结合图形可知：点1A ′的坐标为(1,0,,点2A ′的坐标为(0,1,,−点3A ′的坐标为)1,−则()()()()322211212129nn n n xy z =++=+++++=∑，故C 正确；对D，由图知：)21,0A −，)2B，(2C,(20,D −,)3A ,则()2301,1A A =，， 由E 为线段22B C 上的动点（包含端点），则可设222C E C B λ=，[]0,1λ∈， 所以())222222220,2,0,2,D E D C C E D C C B λλ+++，则22cos,D E At λ−=，t ∈−，则22cos ,D E A =，由11,t ∈+，得2211,18t −≥−=即223cos ,D E A A =≤所以异面直线2D E 与23A A，故D 正确； 故选：BCD.【点睛】关键点点睛：就是针对旋转后的点的空间坐标表示，这里先通过借助平面旋转时的坐标变化关系，再来写空间旋转后的点的坐标表示，只有表示出各点坐标，再就是借助空间向量的运算就能求解各选项问题.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 在空间直角坐标系中，点(2,0,0)A 为平面α外一点，点(0,1,1)B 为平面α内一点．若平面α的一个法向量为(1,1,2)−，则点A 到平面α的距离是_______．【解析】【分析】根据条件，利用点到面的距离的向量法，即可求出结果. 【详解】由题知(2,1,1)AB − ，又平面α的一个法向量为(1,1,2)n =−， 所以点A 到平面α的距离为d13. 已知点P 是直线80−+=x y 上的一个动点，过点P 作圆()()22:114C x y −+−=的两条切线，与圆切于点,M N ，则cos MPN ∠的最小值是_______． 【答案】34##0.75 【解析】【分析】结合切线性质与二倍角公式可将求cos MPN ∠的最小值转化为求sin MPC ∠的最大值，结合三角函数定义与点到直线距离公式计算即可得.【详解】由题意可得PM CM ⊥、PN CN ⊥，MPC NPC ∠=∠， 设MPC α∠=，则2MPN α∠=，则2cos cos 212sin MPN αα∠==−，由()()22:114C x y −+−=可得圆心为()1,1C ，半径为2r =，则2sinMCPCPC α==，又min PC =， 则()max min 2sin PC α== 的则()22min 3cos 12sin 124MPN α∠=−=−×=. 故答案为：34.14. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别是12(,0),(,0)F c F c −，下顶点为点()0,M b −，直线2MF 交椭圆C 于点N ，设1△MNF 的内切圆与1NF 相切于点E ，若122NE F F ==，则椭圆C 的离心率为_______，1△MNF 的内切圆半径长为_______．【答案】 ①. 12##0.5 ②.【解析】【分析】借助切线长定理与椭圆性质可得12F E FF =，从而可结合椭圆定义得到a 的值，即可得其离心率；借助余弦定理的推论可得三角形各边长，结合面积公式运用等面积法即可求取内切圆半径. 【详解】设1△MNF 的内切圆与NM 、1MF 相切于点F ，G ， 由切线长定理可得11F E FG =，MF MG =，NE NF =， 又12MF MF a ==，则12FG FF =，故12F E FF =， 由椭圆定义可知122NF NF a +=， 即122222NE EF NF NE FF NF NE a ++=++==,故2a NE ==，又1222F F c ==，则12c e a ==； 则2π6OMF ∠=，故12π3F MF ∠=，设1EF m =，则2422NF m m =−−=−， 即12NF m =+，4NM m =−，则有()()()22222111442πcos32224m m MF MN NF MF MN m +−−++−=×⋅××−， 计算可得45m =，则()11π24sin 23MNF S m =××−=又184MNF C a == ，则11412MNF MNF S r C r =⋅= ，即有4r=r =.故答案为：12【点睛】关键点点睛：本题关键点一个是借助切线长定理与椭圆性质得到12F E FF =，从而可结合椭圆定义得到a 的值，第二个是借助等面积法求取内切圆半径.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、正明过程或演算步骤．15. 已知直线l 经过点(4,4)A ，且点(5,0)B 到直线l 的距离为1． （1）求直线l 的方程；（2）O 为坐标原点，点C 坐标为(6,3)−，若点P 为直线OA 上的动点，求||||PB PC +的最小值，并求出此时点P 的坐标．【答案】（1）4x =或158920x y +−=（2）10，1515,77P【解析】【分析】（1）考虑直线l 的斜率存在和不存在情况，存在时，设直线方程，根据点到直线的距离求出斜率，即得答案.（2）确定(6,3)−关于直线OA 的对称点，数形结合，利用几何意义即可求得答案.的【小问1详解】由题意知直线l 经过点(4,4)A ，当直线斜率不存在时，方程为4x =， 此时点(5,0)B 到直线l 的距离为1，符合题意；当直线l 斜率存在时，设方程为4(4)y k x −=−，即440kx y k −−+=， 则由点(5,0)B 到直线l 的距离为11，解得158k =−，即得15604088x y −−++=，即158920x y +−=， 故直线l 的方程为4x =或158920x y +−=； 【小问2详解】由点(4,4)A ，可得直线OA 的方程为y x =， 故点(5,0)B 关于y x =的对称点为1(0,5)B ， 连接1PB ，则1PB PB =，则11||||||||||10PB PC PB PC B C +=+≥=，当且仅当1,,B P C 共线时，等号成立， 即||||PB PC +的最小值为10，此时1B C 的方程为53455063y x x +=+=−+−，联立y x =， 解得157xy ==，即151577P ,. 16. 如图，正三棱柱111ABC A B C 所有的棱长均为2，点D 在棱11A B 上，且满足11123A D AB =，点E 是棱1BB 的中点．（1）证明：//EC 平面1AC D ；（2）求直线AE 与平面1AC D 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2【解析】【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面平行，也可利用空间向量求线面角的大小. 【小问1详解】 如图：取AB 的中点O ，因为三棱柱是正三棱柱且棱长为2，故以O 为原点，建立空间直角坐标系，则()1,0,0A −，()C，()12C ，1,0,23D，()1,0,1E ， 所以4,0,23AD =，113DC =−，()1EC =−− . 设平面1AC D 法向量为(),,n x y z =，的由1n AD n DC ⊥⊥ ⇒()()4,,,0,2031,,03x y z x y z ⋅=⋅−=⇒4600x z x += −+= ，取()6n−.因为()()16EC n ⋅=−−⋅−9360=−++=，又直线EC ⊄平面1AC D ，所以//EC 平面1AC D . 【小问2详解】因为()2,0,1AE =，设直线AE 与平面1AC D 所成的角为θ，则sin θcos,n AE n AE n AE ⋅===⋅=. 17. 已知圆C 的圆心在x轴上，且过(−． （1）求圆C 的方程；（2）过点(1,0)P −的直线与圆C 交于,E F 两点（点E 位于x 轴上方），在x 轴上是否存在点A ，使得当直线变化时，均有PAE PAF ∠=∠A 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）224x y += （2）存在，且()4,0A − 【解析】【分析】（1）设出圆的方程，借助代入所过点的坐标计算即可得；（2）圆问题可转化为在x 轴上是否存在点A ，使0AE AF k k +=，设出直线方程，联立曲线，借助韦达定理与斜率公式计算即可得. 【小问1详解】设圆C 为()222x a y r −+=，则有()()2222212a r a r −−+=−=，解得204a r == ，故圆C 的方程为224x y +=；【小问2详解】由题意可得，直线EF 斜率不为0，故可设:1EF l x my =−，()11,E x y ，()22,F x y ， 联立2214x my x y =−+=，有()221230m y my +−−=， 2224121216120m m m ∆=++=+>， 12221my y m +=+，12231y y m −=+， 设(),0A t ，1t ≠−，由PAE PAF ∠=∠，则有0AE AF k k +=， 即()()()()12211212120y x t y x t y y x t x t x t x t −+−+==−−−−， 即()1221120y x y x t y y +−+=， ()()()()12211212211211y x y x t y y y my y my t y y +−+=−+−−+ ()()()()1212222216216210111m t m m t m my y t y y m m m +−−+−−++=−==+++， 即()()621240m m t m t ++=+=， 则当4t =−时，0AE AF k k +=恒成立， 故存在定点()4,0A −，使得当直线变化时，均有PAE PAF ∠=∠.18. 如图，三棱柱111ABC A B C 中，ABC 为等边三角形，1π4B BC ∠=，平面11ABB A ⊥平面11CBB C ．（1）求证：1AC BB ⊥；（2）若12BB =，点E 是线段AB 的中点， （i ）求平面1ECC 与平面1ACC 夹角的余弦值；（ii ）在平面11ABB A 中是否存在点P ，使得1||4PB PB +=且1||PC PC =P 的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）答案见解析 （2）（i；（ii ）存在，(2,0,0)P − 【解析】【分析】（1）用线面垂直的判定定理证明BB 1⊥平面AOC ，后转移到线线垂直即可．（2）（i ）空间向量解题，先求出平面1ECC 与平面1ACC 的法向量，后按照夹角公式求解即可．（ii ）设假设存在(,0,)P x z ,若1PC PC =22560x z x +++=（∗）.1142PB PB BB +=>=,则根据椭圆定义知道P 的轨迹为椭圆，求出轨迹方程为：22143x z +=，整理得22334z x =−,联立（∗），解出即可 【小问1详解】 如图，过A 作1BB 的垂线AO ，交1BB 于O ，连接OC ，则,AO OB AO OC ⊥⊥．ABC 为等边三角形，则AB AC =，又AO AO =，则Rt Rt AOB AOC ≅ ，则BO CO =，则π4OCB ∠=，则π2COB ∠=，即11,,B B CO B B AO CO AO O ⊥⊥=， ,CO AO ⊂平面AOC ，则1BB ⊥平面AOC ，AC ⊂平面AOC ，则1AC BB ⊥．【小问2详解】（i ）由(1)可知OB ,OA ,OC 两两垂直，则可以O 为原点，建立如图所示空间坐标系O -xyz.12BB =,点E 是线段AB的中点，则AB BC CA ===1OAOB OC ===． 1111(0,0,1),(1,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(2,1,0),(,0,)22A B C B C E −−，111(2,0,0),(0,1,1),(,1,)22CC CA CE =−=−=− . 设平面1ECC 法向量(,,)m x y z =，则100m CE m CC ⋅=⋅=即1102220x y z x −+= −= 解得012x y z = = = ，故(0,1,2)m = ； 同理平面1ACC 法向量(0,1,1)n =.则cos ,m n m n m n⋅==⋅， 设平面1ECC 与平面1ACC 夹角θ,则cos θ=． （ii ）平面11ABB A 中,假设存在(,0,)P x z ,若1PC PC ==，整理得，22560x z x +++=（∗）.1142PB PB BB +=>=, 则根据椭圆定义知道P 在以1BB 为焦距的椭圆上，且1142,22PB PB a c BB +====，解得2,1,a c b===则P 的轨迹方程为：22143x z +=，整理得22334z x =−,与（∗）联立方程组. 2222560334x z x z x+++==−，解得120x z =−= ，22180)x z =−<（ ，舍去．故在平面11ABB A 中存在点P ，使得14PB PB +=且1PCPC =P 坐标为(2,0,0)−．19. 在空间直角坐标系O xyz −中，己知向量(,,)u a b c = ，点()0000,,P x y z ．若直线l 以u为方向向量且经过点0P ，则直线l 的标准式方程可表示为000(0)x x y y z z abc a b c−−−==≠；若平面α以u 为法向量且经过点0P ，则平面α的点法式方程可表示为()()()0000a x x b y y c z z −+−+−=，一般式方程可表示为0ax by cz d +++=． （1）若平面1:210x y α+−=，平面1:210y z β−+=，直线l 为平面1α和平面1β的交线，求直线l 的单位方向向量（写出一个即可）；（2）若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为22αβγ、、，其中平面2α经过点(4,0,0),(3,1,1)−，(1,5,2)−，平面2:4y z β+=，平面:(1)(2)30mx m y m z γ+++++=，求实数m 的值； （3）若集合{}(,,)|4,4,4M x y z x y y z z x =+≤+≤+≤，记集合M 中所有点构成的几何体为S ，求几何体S 的体积和相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小． 【答案】（1）212,,333−−（2）1m =−（3）体积为128，相邻两个面（有公共棱）所成二面角为2π3【解析】【分析】（1）记平面1α，1β的法向量为11(1,2,0),(0,2,1)αβ==− ，设直线l 的方向向量(,,)l x y z =，由直线l 为平面1α和平面1β的交线，则1l α⊥ ，1l β⊥，列出方程即可求解；（2）设2:α10ax by cz +++=，由平面2α经过点(4,0,0),(3,1,1)−，(1,5,2)−，列出方程中求得2:4x y α+=，记平面22αβγ、、的法向量为22(1,1,0),(0,1,1),(,1,2)m m m αβγ===++ ，求出2α与2β交线方向向量为()1,1,1p =− ，根据p γ⊥，即可求得m 的值；（3）由题可知，S 由一个边长是4的正方体和6个高为2的正四棱锥构成，即可计算出体积，设几何体S 相邻两个面（有公共棱）所成二面角为()0,πθ∈，由题得出平面EBC 和平面ECD 的法向量，根据两平面夹角的向量公式计算即可． 【小问1详解】记平面1α，1β的法向量为11(1,2,0),(0,2,1)αβ==− ，设直线l 的方向向量(,,)l x y z =，因为直线l 为平面1α和平面1β的交线，所以1l α⊥ ，1l β⊥ ，即112020l x y l y z αβ ⋅=+= ⋅=−=，取2x =，则(2,1,2)l =−− ， 所以直线l 的单位方向向量为212,,333−−． 【小问2详解】设2:α10ax by cz +++=， 由平面2α经过点(4,0,0),(3,1,1)−，(1,5,2)−，所以4103105210a a b c a b c += +−+=−+++= ，解得14140a b c=−=− = ，即2:4x y α+=， 所以记平面22αβγ、、的法向量为22(1,1,0),(0,1,1),(,1,2)m m m αβγ===++，与（1）同理，2α与2β确定的交线方向向量为()1,1,1p=−， 所以p γ⊥，即()1210p m m m m γ⋅=−+++=+= ，解得1m =−．【小问3详解】由集合{}(,,)|4,4,4M x y z x y y z z x =+≤+≤+≤知，S 由一个边长是4的正方体和6个高为2的正四棱锥构成，如图所示，13224433V =×××=正四棱锥，3244461283S V =××+×=， 设几何体S 相邻两个面（有公共棱）所成二面角为()0,πθ∈，平面:40EBC x z +−=，设平面EBC 法向量1(1,0,1)n =，平面:40ECD y z +−=，设平面ECD 法向量2(0,1,1)n =，所以121cos cos ,2n n θ==， 所以几何体S 相邻两个面（有公共棱）所成二面角为2π3．【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是作出空间图形，求出相关法向量，利用二面角的空间向量求法即可.。
高一数学下学期期末考试试题 文(含解析) 人教_新目标版
2019学年高一数学下学期期末考试试题文（含解析）第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知,且，则x=( )A. 5B. 4C. -4D. -5【答案】C【解析】【分析】由向量平行，坐标对应成比例可求得x.【详解】由题意可知，因为，所以，所以x=-4,选C.【点睛】本题考查空间向量平行的坐标关系，两向量平行，坐标对应成比例。
2. 已知△ABC中，a＝1，b＝，B＝45°，则A等于( )A. 150°B. 90°C. 60°D. 30°【答案】D【解析】【分析】因为己知两边及一对角，所以由正弦定理解三角形可得。
【详解】由正弦定理可知，即，所以，因为，所以，所以,解得。
选D.【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化第三步：求结果，判定是否符合条件，或有多解情况。
3. 命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（）A. 任意一个有理数，它的平方是有理数B. 任意一个无理数，它的平方不是有理数C. 存在一个有理数，它的平方是有理数D. 存在一个无理数，它的平方不是有理数【答案】B【解析】试题分析：由命题的否定的定义知，“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是任意一个无理数，它的平方不是有理数．考点：命题的否定．视频4. 若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式一定成立的是( )A. a＋c>b－cB. (a－b)c2>0C. a3>b3D. a2>b2【答案】C【解析】【分析】由不等式性质及举反例逐个分析各个选项可判断正误。
2020学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)目标版新版
2019年(二)期末考试高一数学测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.1.在数列中，，则的值为（）A. 49B. 50C. 51D. 52【答案】C【解析】试题分析：,数列是等差数列，通项为考点：等差数列通项公式2.2.已知过点和的直线与直线平行，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由过点和的直线与直线平行，根据斜率相等即可求解．【详解】因为直线的斜率等于，所以过点和的直线与直线平行，所以,所以，解得，故选B．【点睛】本题主要考查了两条直线的位置关系，以及两点间的斜率公式的应用，其中熟记两条直线的位置关系和斜率公式的应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．3.3.有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位：cm），其侧视图和主视图是全等的三角形，则该几何体的表面积为( )A. 12cm2B. 15πcm2C. 24πcm2D. 36πcm2【答案】C【解析】此几何体为一个圆锥，其表面积为.4.4.如果直线(2a+5)x+(a－2)y+4=0与直线(2－a)x+(a+3)y－1=0互相垂直，则a的值等于（）A. 2B. －2C. 2,－2D. 2,0,－2【答案】C【解析】(2a＋5)(2－a)＋(a－2)(a＋3)＝0，所以a＝2或a＝－2.5.5.已知圆，则两圆的位置关系为( )A. 相离B. 外切C. 相交D. 内切【答案】D【解析】【分析】由题意求出两圆的圆心坐标和半径，利用圆心距和两圆的半径之间的关系，即可求解．【详解】由题意，可知圆，即为，表示以为圆心，半径为1的圆，圆，即为，表示以为圆心，半径为3的圆，由于两圆的圆心距等于等于两圆的半径之差，所以两圆相内切，故选D.【点睛】本题主要考查了两圆的位置关系的判定及应用，其中熟记两圆的位置关系的判定的方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．6.6.一个球的内接正方体的表面积为54,则球的表面积为( )A. 27πB. 18πC. 19πD. 54π【答案】A【解析】设正方体的棱长为，则，解得。
高一数学下学期期末考试试题 文含解析
卜人入州八九几市潮王学校二零二零—二零二壹高一数学下学期期末考试试题文〔含解析〕一、选择题(在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的)20x +-=的倾斜角为〔〕A.150°B.120°C.60°D.30°【答案】A 【解析】 【分析】现求出直线2=0x +-的斜率，再根据斜率是倾斜角的正切值，计算倾斜角即可.【详解】设倾斜角为α，因为直线2=0x +-的斜率为所以tan 3α=-，，又因为[0,180]α∈所以0150α=，应选A. 【点睛】此题主要考察了直线的倾斜角与斜率之间的关系，其中熟记直线的倾斜角与斜率之间的关系是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题. 2.数列1，－3，5，－7，9，…的一个通项公式为() A.21n a n =-B.()()112nn a n =--C.()()121nna n =--D.()()121nna n =-+【答案】B 【解析】试题分析：数列中正负项〔先正后负〕间隔出现，必有1(1)n --，1，3,5,7,9，……故2n-1，所以数列1，-3，5，-7，9，……的一个通项公式是(1)(12)n na n =--，应选B 。
考点：数列的通项公式。
点评：简单题，利用数列的前几项写出数列的一个通项公式，有时结果不唯一。
ABC ∆的内角A B C 、、所对边分别为130a b c a b A ︒===，，，，．那么该三角形〔〕A.无解B.有一解C.有两解D.不能确定【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理以及大边对大角定理求出角B ，从而判断出该三角形解的个数。
【详解】由正弦定理得sin sin a b A B =，所以，sin sin 2b A B a ==，b a ∴>，B A ∴>，60B ∴=或者120，因此，该三角形有两解，应选：C.【点睛】此题考察三角形解的个数的判断，解题时可以充分利用解的个数的等价条件来进展判断，详细来讲，在ABC ∆中，给定a 、b 、A ，该三角形解的个数判断如下：〔1〕A 为直角或者钝角，a b >，一解；a b ≤，无解；〔2〕A 为锐角，sin a b A =或者a b ≥，一解；sin b A a b <<，两解；0cos 7228'，无解.3490x y --=与圆224x y +=的位置关系是〔〕A.相切B.相离C.相交但不过圆心D.相交且过圆心【答案】C 【解析】圆心到直线的间隔()90,25d ==∈， 据此可知直线与圆的位置关系为相交但不过圆心.此题选择C 选项.{}n a 中，假设14736939,27a a a a a a ++=++=，那么数列{}n a 前9项的和为()A.297B.144C.99D.66【答案】C 【解析】 试题分析：14739a a a ++=，369a a a 27，∴a 4=13,a 6=9,S 9=1946()9()922a a a a +⨯+⨯==99 考点：等差数列性质及前n 项和点评：此题考察了等差数列性质及前n 项和，掌握相关公式及性质是解题的关键．l 为直线，,αβ)A.假设l ∥α，l ∥β，那么α∥βB.假设l ⊥α，l ⊥β，那么α∥βC.假设l ⊥α，l ∥β，那么α∥βD.假设α⊥β，l ∥α，那么l ⊥β【答案】B 【解析】 【分析】利用空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系以及垂直、平行断定与性质定理来判断各选项的正误。
高中高一数学下学期期末考试题答案解析
高中高一数学下学期期末考试题答案解析
则约束条件为，
目标函数为，
可行域为下图中的阴影部分：
6分
本文导航 1、首页2、高一数学下学期期末考试题答案-2 化目标函数为斜截式方程：
当目标函数直线经过图中的点M时，有最大值，
联立方程组，
解得，所以， 10分
将代入目标函数得 (万元).
答：公司每天生产甲、乙两种产品都是吨时，公司可获得最大利润，最大利润为万元.(12分)
22.(1) ，当n=1时，。
当n 时，。
数列是以为首项，以为公比的等比数列，
(2)解：由题意可得：，
只要大家用心学习，认真复习，就有可能在高考的战场上考取自己理想的成绩。
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上海市最新学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)
2021学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、填空题：本大题共12个小题,每小题3分,共36分. 1.1和4的等差中项为__________． 【答案】52【解析】 【分析】设1和4的等差中项为x ，利用等差中项公式可得出x 的值. 【详解】设1和4的等差中项为x ，由等差中项公式可得14522x +==，故答案为：52. 【点睛】本题考查等差中项的求解，解题时要充分利用等差中项公式来求解，考查计算能力，属于基础题.2.已知()1,2a =，(),4b x =，若//a b ，则实数x 的值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用共线向量等价条件列等式求出实数x 的值. 【详解】()1,2a =，(),4b x =，且//a b ，214x ∴=⨯，因此，2x =，故答案为：2.【点睛】本题考查利用共线向量来求参数，解题时要充分利用共线向量坐标表示列等式求解，考查计算能力，属于基础题.3.设函数()arctan f x x =，则()1f -值为__________．【答案】4π- 【解析】 【分析】根据反正切函数的值域，结合条件得出()1f -的值.【详解】arctan 22x ππ-<<，且tan tan 144ππ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，因此，()()1arctan 14f π-=-=-，故答案为：4π-. 【点睛】本题考查反正切值的求解，解题时要结合反正切函数的值域以及特殊角的正切值来求解，考查计算能力，属于基础题.4.已知数列{}n a 为等比数列，21a =，58a =，则数列{}n a 的公比为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由352a q a =可求出q 的值. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则35281a q a ==，2q ∴=，因此，数列{}n a 的公比为2，故答案为：2.【点睛】本题考查等比数列公比的计算，在等比数列的问题中，通常将数列中的项用首项和公比表示，建立方程组来求解，考查运算求解能力，属于基础题.5.已知3sin 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos α的值为__________． 【答案】35【解析】 【分析】利用诱导公式将等式3sin 25πα⎛⎫+=⎪⎝⎭化简，可求出cos α的值.【详解】由诱导公式可得3sin cos25παα⎛⎫+==⎪⎝⎭，故答案为：35.【点睛】本题考查利用诱导公式化简求值，在利用诱导公式处理化简求值的问题时，要充分理解“奇变偶不变，符号看象限”这个规律，考查运算求解能力，属于基础题.6.已知无穷等比数列{}n a的首项为1，公比为12-，则其各项的和为__________．【答案】2 3【解析】【分析】根据无穷等比数列求和公式求出等比数列{}n a的各项和.【详解】由题意可知，等比数列{}n a的各项和为121312S==⎛⎫--⎪⎝⎭，故答案为：23.【点睛】本题考查等比数列各项和的求解，解题的关键就是利用无穷等比数列求和公式进行计算，考查计算能力，属于基础题.7.311lim312nn nn→∞⎛⎫++=⎪-⎝⎭__________．【答案】1【解析】【分析】在分式3131nn+-的分子和分母上同时除以3n，然后利用极限的性质来进行计算.【详解】113111103lim lim lim01131221013n nn n nn n nn→∞→∞→∞⎛⎫+⎪⎛⎫+++=+=+=⎪⎪--⎝⎭ ⎪-⎝⎭，故答案为：1.【点睛】本题考查数列极限的计算，解题时要熟悉一些常见的极限，并充分利用极限的性质来进行计算，考查计算能力，属于基础题.8.已知[)0,2ϕπ∈，若方程()sin 2sin x x x ϕ=-的解集为R ，则ϕ=__________． 【答案】3π【解析】 【分析】将sin x x -利用辅助角公式化简，可得出ϕ的值. 【详解】()()1sin 32sin 2sin cos cos sin2sin 2x x x x x x x ϕϕϕ⎛⎫-==-=- ⎪ ⎪⎝⎭，其中1cos 2sin ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩02ϕπ≤<，因此，3πϕ=，故答案为：3π. 【点睛】本题考查利用辅助角公式化简计算，化简时要熟悉辅助角变形的基本步骤，考查运算求解能力，属于中等题.9.在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，若ABC ∆的面积为12，且1b =，2c =，则A ∠的弧度为__________．【答案】6π 【解析】 【分析】利用三角形的面积公式求出sin A 的值，结合角A 为锐角，可得出角A 的弧度数. 【详解】由三角形的面积公式可知，ABC ∆的面积为111sin 12sin 222ABC S bc A A ∆==⨯⨯⨯=，得1sin 2A =，A 为锐角，因此，A ∠的弧度数为6π，故答案为：6π.【点睛】本题考查三角形面积公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题.10.数列{}n a 满足()()11112231n a n N n n *=+++∈⨯⨯+，设n S 为数列{}1n n a a +-的前n 项和，则10S =__________． 【答案】512- 【解析】 【分析】先利用裂项求和法将数列{}n a 的通项化简，并求出1n n a a +-，由此可得出10S 的值. 【详解】()11111n n n n =-++，1111111122311n a n n n ∴=-+-++-=-++. 11111111212n n a a n n n n +-=--+=-+++++， 因此，101111111152334111212212S =-+-+--+=-=-，故答案为：512-. 【点睛】本题考查裂项法求和，要理解裂项求和法对数列通项结构的要求，并熟悉裂项法求和的基本步骤，考查计算能力，属于中等题.11.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若()8,1=4,2n nn S n N n *=⎧∈⎨≥⎩，则数列{}n a 的通项公式为n a =__________．【答案】18,1,2=34,3n n n a n -=⎧⎨⨯≥⎩，n *∈N 【解析】 【分析】令3n ≥时，求出1n n n a S S -=-，再令1n =时，求出1a 的值，再检验1a 的值是否符合()2n a n ≥，由此得出数列{}n a 的通项公式.【详解】当3n ≥时，1114434n n n n n n a S S ---=-=-=⨯，当1n =时，118a S ==，18a =不合适上式，当2n =时，2211688a S a =-=-=，28a =不合适上式，因此，18,1,2=34,3n n n a n -=⎧⎨⨯≥⎩，n *∈N . 故答案为：18,1,2=34,3n n n a n -=⎧⎨⨯≥⎩,n *∈N . 【点睛】本题考查利用前n 项和求数列的通项，考查计算能力，属于中等题.12.已知等比数列1a 、2a 、3a 、4a 满足()10,1a ∈，()31,2a ∈，()42,4a ∈，则6a 的取值范围为__________．【答案】()【解析】 【分析】设等比数列1a 、2a 、3a 、4a 的公比为q ，由43a q a =和341a q a =计算出q 的取值范围，再由264a a q =可得出6a 的取值范围.【详解】设等比数列1a 、2a 、3a 、4a 的公比为q ，()10,1a ∈，()31,2a ∈，()42,4a ∈，所以，()431,4a q a =∈，3412a q a =>，)q ∴∈.所以，()264a a q =∈，故答案为：().【点睛】本题考查等比数列通项公式及其性质，解题的关键就是利用已知条件求出公比的取值范围，考查运算求解能力，属于中等题.第Ⅱ卷（共90分）二、选择题（每题3分，满分36分，将答案填在答题纸上） 13.已知基本单位向量()1,0i =，()0,1f =，则34i f -的值为（） A. 1 B. 5 C. 7 D. 25【答案】B 【解析】 【分析】计算出向量34i f -的坐标，再利用向量的求模公式计算出34i f -的值.【详解】由题意可得()()()3431,040,13,4i f -=-=-，因此，(23435i f -=+=， 故选：B.【点睛】本题考查向量模的计算，解题的关键就是求出向量的坐标，并利用坐标求出向量的模，考查运算求解能力，属于基础题.14.在学习等差数列时，我们由110a a d =+，21a a d =+，312a a d =+，⋯⋯，得到等差数列{}n a 的通项公式是()11n a a n d +-=，象这样由特殊到一般的推理方法叫做（） A. 不完全归纳法 B. 数学归纳法C. 综合法D. 分析法【答案】A 【解析】 【分析】根据题干中的推理由特殊到一般的推理属于归纳推理，但又不是数学归纳法，从而可得出结果.【详解】本题由前三项的规律猜想出一般项的特点属于归纳法，但本题并不是数学归纳法，因此，本题中的推理方法是不完全归纳法，故选：A.【点睛】本题考查归纳法的特点，判断时要区别数学归纳法与不完全归纳法，考查对概念的理解，属于基础题.15.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，()4n n a S n N *+=∈，则4S的值为（ ）A. 3B.72C.154D. 不确定【答案】C 【解析】 【分析】令1n =，由11a S =求出1a 值，再令2n ≥时，由4n n a S +=得出114n n a S --+=，两式相减可推出数列{}n a 是等比数列，求出该数列的公比，再利用等比数列求和公式可求出4S 的值. 【详解】当1n =时，11124a S a +==，得12a =；当2n≥时，由4n na S+=得出114n na S--+=，两式相减得120n na a--=，可得112nnaa-=. 所以，数列{}n a是以2为首项，以12为公比的等比数列，因此，441211152414412S⎛⎫-⎪⎝⎭==-=-.故选：C.【点睛】本题考查利用前n项和求数列通项，同时也考查了等比数列求和，在递推公式中涉及na与nS时，可利用公式11,1,2nn nS naS S n-=⎧=⎨-≥⎩求解出n a，也可以转化为n S来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.16.小金同学在学校中贯彻着“边玩边学”的学风，他在“汉诺塔”的游戏中发现了数列递推的奥妙：有A、B、C三个木桩，A木桩上套有编号分别为1、2、3、4、5、6、7的七个圆环，规定每次只能将一个圆环从一个木桩移动到另一个木桩，且任意一个木桩上不能出现“编号较大的圆环在编号较小的圆环之上”的情况，现要将这七个圆环全部套到B木桩上，则所需的最少次数为（）A. 126B. 127C. 128D. 129【答案】B【解析】【分析】假设A桩上有1n+个圆环，将1n+个圆环从A木桩全部套到B木桩上，需要最少的次数为1na+，根据题意求出数列{}n a的递推公式，利用递推公式求出数列{}n a的通项公式，从而得出7a 的值，可得出结果.【详解】假设A 桩上有1n +个圆环，将1n +个圆环从A 木桩全部套到B 木桩上，需要最少的次数为1n a +，可这样操作，先将n 个圆环从A 木桩全部套到C 木桩上，至少需要的次数为n a ，然后将最大的圆环从A 木桩套在B 木桩上，需要1次，在将C 木桩上n 个圆环从C 木桩套到B 木桩上，至少需要的次数为n a ，所以，121n n a a +=+，易知11a =. 设()12n n a x a x ++=+，得12n n a a x +=+，对比121n n a a +=+得1x =，()1121n n a a +∴+=+，1121n n a a ++∴=+且112a +=，所以，数列{}1n a +是以2为首项，以2为公比的等比数列，67122128a ∴+=⨯=，因此，7127a =，故选：B.【点睛】本题考查数列递推公式的应用，同时也考查了利用待定系数法求数列的通项，解题的关键就是利用题意得出数列的递推公式，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知点G 是ABC ∆重心，2AD DC =. （1）用AB 和AC 表示AG ； （2）用AB 和AC 表示DG . 【答案】（1）()13AG AB AC =+（2）()13DG AB AC =-. 【解析】 【分析】（1）设BC 的中点为M ，可得出()12AM AB AC =+，利用重心性质得出23AG AM =，由此可得出AG 关于AB 、AC 的表达式； （2）由2AD DC =，得出23AD AC =，再由DG AG AD =-，可得出DG 关于AB 、AC 的表达式.【详解】（1）设BC 的中点为M ，则2AM AB AC =+，()12AM AB AC ∴=+，G 为ABC ∆的重心，因此，()()22113323AG AM AB AC AB AC ==⨯+=+； （2）2AD DC =，23AD AC =， 因此，()()121333DG AG AD AB AC AC AB AC =-=+-=-. 【点睛】本题考查利基底表示向量，应充分利用平面几何中一些性质，将问题中所涉及的向量利用基底表示，并结合平面向量的线性运算法则进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.18.已知函数()22sin 2sin cos cos f x x x x x =++，x ∈R .（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的最小值和取得最小值时x 的取值. 【答案】（1）π；（2）当()4x k k Z ππ=-+∈时，()min 0f x =.【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式将函数()y f x =的解析式化简得()1sin 2f x x =+，再利用周期公式可得出函数()y f x =的最小正周期； （2）由()222x k k Z ππ=-+∈可得出函数()y f x =的最小值和对应的x 的值.【详解】（1）()22sin 2sin cos cos 1sin 2f x x x x x x =++=+，因此，函数()y f x =的最小正周期为22ππ=； （2）由（1）知，当()22x k k Z ππ=-+∈，即当()4x k k Z ππ=-+∈时，函数()y f x =取到最小值()min 110f x =-=.【点睛】本题考查利用二倍角公式化简，同时也考查了正弦型函数的周期和最值的求解，考查学生的化简运算能力，属于基础题.19.“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块成凸四边形ABCD 的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD 连接，设ABD ∆中边BD 所对的角为A ，BCD ∆中边BD 所对的角为C ，经测量已知2AB BC CD ===，23AD =.（1）霍尔顿发现无论BD 3cos A C -为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；（2）霍尔顿发现麦田的生长于土地面积的平方呈正相关，记ABD ∆与BCD ∆的面积分别为1S 和2S ，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出2212S S +的最大值.【答案】（13cos 1A C -=；（2）14. 【解析】 【分析】（1）在ABD ∆和BCD ∆中分别对BD 使用余弦定理，可推出A 与C 的关系，即可得出3cos A C -是一个定值；（2）求出2212S S +表达式，利用二次函数的基本性质以及余弦函数值的取范围，可得出2212S S +的最大值.【详解】（1）在ABD ∆中，由余弦定理得2412831683BD A A =+-=-， 在BCD ∆中，由余弦定理得2448cos BD C =+-，168388cos A C -=-， 则)83cos 8A C -=，3cos 1A C -=；（2）1122S A A =⨯⨯=，2122sin 2sin 2S C C =⨯⨯=，则()2222221212sin 4sin 1612cos 4cos S S A C AC +=+=-+， 由（11cosA C =+，代入上式得：)22222121612cos 4124cos 12S S A A A A +=---=-++，配方得：2221224cos 14S S A ⎛+=--+ ⎝⎭， ∴当arccos 6A =时，2212S S +取到最大值14.【点睛】本题考查余弦定理的应用、三角形面积的求法以及二次函数最值的求解，解题的关键就是利用题中结论将问题转化为二次函数来求解，考查运算求解能力，属于中等题.20.已知()()1,n n A A n n n N*+=∈.（1）求122334A A A A A A ++的坐标； （2）设()11n n b A A n N*+=∈，求数列{}nb 的通项公式；（3）设111,22n n a a B B +--⎛⎫=⎪⎝⎭，()21122n n a C C n N *+⎛⎫-=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，其中a 为常数，1a ≥，求()112111lim 1n n n n n n n n n A A B B a A A C C n ++→∞++⋅++⋅++的值.【答案】（1）()1223346,6A A A A A A ++=；（2）22,22n n n n n b ⎛⎫++= ⎪⎝⎭； （3）当1a =-时，()112111lim 21n n n n n n n n n A A B B a A AC C n ++→∞++⋅++=-⋅++；当1a =或1a >时，()112111lim 01n n n n n nn n n A A B B a A AC C n ++→∞++⋅++=⋅++.【解析】【分析】（1）利用题中定义结合平面向量加法的坐标运算可得出结果；（2）利用等差数列的求和公式和平面向量加法的坐标运算可得出数列{}n b 的通项公式；（3）先计算出()1121111n n n n n n n n A A B B a A AC C n ++++⋅++⋅++的表达式，然后分1a =、1a =-、1a >三种情况计算出()112111lim1n n n n n nn n n A A B B a A AC C n ++→∞++⋅++⋅++的值.【详解】（1）由题意得()()122334123,1236,6A A A A A A ++=++++=； （2）()112231=123,123n n n n n b A A A A A A A A n n ++==+++++++++++22,22n n n n ⎛⎫++= ⎪⎝⎭；（3）()112111111n n n n n n n n n a a A A B B a A A C C n ++++-++⋅++=⋅++①当1a =时，()1121112limlim011n n n n n n nn n n A A B B a n A AC C n ++→∞→∞++⋅++==+⋅++； ②当1a =-时，()112111222limlimlim 2111011n n n n n n n nn n n A A B B a n n A AC C n n++→∞→∞→∞++⋅++---====-++⋅+++； ③当1a >时，()()211211211111limlim0111n n n n n n n n n n n a a n a a A A B B a n n A A C C n n n++→∞→∞++-++-++⋅++===⋅++++.【点睛】本题考查平面向量坐标的线性运算，同时也考查等差数列求和以及数列极限的运算，计算时要充分利用数列极限的运算法则进行求解，综合性较强，属于中等题.21.无穷数列{}n a 满足：1a 为正整数，且对任意正整数n ，1n a +为前n 项1a 、2a 、、n a 中等于n a 的项的个数.（1）若12019a =，求2a 和4a 的值； （2）已知命题:P 存在正整数m ，使得12m ma a +=，判断命题P 的真假并说明理由； （3）若对任意正整数n ，都有2n n a a +≥恒成立，求1039a 的值.【答案】（1）21a =，42a =；（2）真命题，证明见解析；（3）1039520a =. 【解析】 【分析】（1）根据题意直接写出2a 、3a 、4a 的值，可得出结果； （2）分11a =和11a >两种情况讨论，找出使得等式12m ma a +=成立的正整数m ，可得知命题P 为真命题；（3）先证明出“11a =”是“存在m N *∈，当n m ≥时，恒有2n n a a +≥成立”的充要条件，由此可得出11a =，然后利用定义得出()21n a n n N *-=∈，由此可得出1039a 的值.【详解】（1）根据题意知，对任意正整数n ，1n a +为前n 项1a 、2a 、、n a 中等于n a 的项的个数，因此，21a =，31a =，42a =； （2）真命题，证明如下：①当11a =时，则21a =，32a =，41a =，此时，当2m =时，1322m m a a a a +==； ②当11a >时，设()12,a k k k N *=≥∈，则21a =，31a =，42a =，此时，当3n =时，1432m m a a a a +==. 综上所述，命题P 为真命题；（3）先证明：“11a =”是“存在m N *∈，当n m ≥时，恒有2n n a a +≥成立”的充要条件. 假设存在()11,a k k k N*=>∈，使得“存在m N*∈，当n m ≥时，恒有2n n a a +≥成立”.则数列{}n a 的前21k -项为k ，211,1,2,1,3,1,4,,1,2,1,1,1,k k k k---项，212,2,3,2,4,2,5,,2,2,2,1,2,k k k k---项…，213,3,4,3,5,3,6,,3,2,3,1,3,,,k k k k ---项……，2,2,1,2,k k k k k k----项，1,1,,k k k k k--项，后面的项顺次为21,1,1,2,1,3,,1,2,1,1,1,k k k k k k k k k k++---+--项…，22,1,2,2,2,3,,2,2,2,1,2,k k k k k k k k k k+-+--+-+项…，23,1,3,2,3,3,,3,2,3,1,3,k k k k k k k k k k+--+-+-+项…，21,1,1,2,1,3,,1,2,1,1,1,k k k k k k k k k k++++-+--项…，故对任意的1,2,3,,2,1,s k k k =--…，t N *∈2212(1)2112(1)2k t k t k t k ta k ta s ++-+-+--+=÷⎧⎪⎨=⎪⎩， 对任意的m ，取12m t k ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则2kt m >，令212n k kt =++，则n m >，此时n a k =，21n a += 有2n n a a +>，这与2n n a a +≤矛盾，故若存在m N *∈，当n m ≥时，恒有2n n a a +≥成立，必有11a =；从而得证. 另外：当11a =时，数列{}n a 为1,1,2,1,3,1,4,,1,1,1,,k k -……， 故()21n a n n N*-=∈，则1039520a=.【点睛】本题考查数列知识的应用，涉及到命题真假的判断，同时也考查了数列新定义问题，解题时要充分从题中数列的定义出发，充分利用分类讨论思想，综合性强，属于难题.。
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——————————教育资源共享步入知识海洋————————2019 年春季学期高一年级期末考试数学试题(文科)一、选择题：（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据二倍角公式得到结果.详解：故答案为：B.点睛：本题考查了三角函数的化简求值，二倍角公式的应用.2. 下列命题正确的是( )A. 经过平面外一点有且只有一平面与已知平面垂直B. 经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行C. 经过平面外一点有且只有一条直线与已知直线垂直D. 经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直【答案】D【解析】分析：根据课本判定定理和特殊的例子来进行排除。
详解：A. 经过平面外一点有无数个平面与已知平面垂直；故不正确.B.经过平面外一点有无数条直线与已知平面平行,故不正确.C. 经过平面外一点有一个平面和已知直线垂直，这个平面中的过这个点的所有直线均和已知直线垂直，因此这样的直线有无数条.故选项不正确.D. 经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直,根据课本的推论得到，选项正确.故答案为：D.点睛：本题主要考查了平面的基本性质及推论，是高考中常见的题型，往往学生忽视书本上的基本概念，值得大家注意．对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断；还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断.3. 已知，那么的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：利用“作差法”和不等式的性质即可得出．详解：∵﹣1＜a＜0，∴1+a＞0，0＜﹣a＜1．∴﹣a﹣a2=﹣a（1+a）＞0，a2﹣（﹣a3）=a2（1+a）＞0．∴﹣a＞a2＞﹣a3．故选：B．点睛：本题考查了利用“作差法”比较两个数的大小和不等式的性质，属于基础题．两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.4. 在中，若，则等于（）A. B. 或 C. 或 D.【答案】C【解析】分析：利用正弦定理求出sinB，得出B，利用内角和定理进行检验．详解：由正弦定理得，即∴sinB=．∴B=60°或B=120°．故选：C .点睛：本题主要考查正弦定理解三角形，属于简单题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.5. 当圆锥的侧面积和底面积的比值是 2 时，圆锥侧面展开图的圆心角等于( )A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，得出=2，利用中截面三角形求解即可．详解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则 2，∴=2，设母线长l为2，r=1,则展开图的弧长为，以母线长为半径的圆的周长为4，故此时圆锥侧面展开图的圆心角等于.故选：D．点睛：本题考查圆锥的结构特征，基本几何量的计算．属于基础题．6. 已知是等比数列，若，数列的前项和为,则（）A. B. 31 C. D. 7【答案】A【解析】由题意，设等比数列的公比为，由，可得，解得，所以，所以，所以，故选A．7. 函数的最小正周期为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论．详解：函数f（x）= =sin2x的最小正周期为=π，故选：C．点睛：本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，正弦函数的周期性，属于基础题．利用了sin2θ+cos2θ=1巧妙的完成弦切互化.8. 将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度得到函数的图象．则图象一条对称轴是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，得到g（x）=3sin（2x﹣），从而得到g（x）图象的一条对称轴是.详解：将函数f（x）=3sin（4x+）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，可得函数y=3sin （2x+）的图象，再向右平移个单位长度，可得y=3sin[2（x﹣）+]=3sin（2x﹣）的图象，故g（x）=3sin （2x﹣）．令 2x﹣=kπ+，k∈z，得到 x=•π+，k∈z．则得 y=g（x）图象的一条对称轴是，故选：C．点睛：本题主要考查函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，函数y=Asin（ωx+∅）的图象的对称轴，属于中档题． y=Asin（ωx+∅）图象的变换，函数图像平移满足左加右减的原则，这一原则只针对x本身来说，需要将其系数提出来，再进行加减.9. 已知，且，则向量与的夹角为 ( )A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据向量点积运算得到,而得到夹角.详解：，且，化简得到故答案为：A.点睛：平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.10. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A. B. 3 C. D.【答案】B【解析】分析：根据三视图得到原图，从而得到体积.详解：根据三视图得到原图是一个斜三棱锥，底面是一个底边长为2，高为3的三角形，棱锥的高为3，故得到体积为3.故答案为：B.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.11. 如图，某地一天从 6 ~ 14 时的温度变化曲线近似满足函数：，则中午 12 点时最接近的温度为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由图象可知B=20，A=10，=14﹣6=8，从而可求得ω，6ω+φ=2kπ﹣（k∈Z）可求得φ，从而可得到函数解析式，继而可得所求答案．详解解：不妨令A＞0，B＞0，则由得：A=10，B=20°C；又=14﹣6=8，∴T=16=，∴|ω|=，不妨取ω=．由图可知，6×+φ=2kπ﹣（k∈Z），∴φ=2kπ﹣，不妨取φ=．∴曲线的近似解析式为：y=10sin（x+）+20，∴中午12点时最接近的温度为：y=10sin（×12+）+20°C=10sin+20°C=20+10sin=5+20°C≈27°C．故选：B．点睛：已知函数的图象求解析式(1) .(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求12. 在三棱锥中，,且，是边长为的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据已知中底面△ABC是边长为的正三角形，PA⊥底面ABC，可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以PA为高的正三棱柱的外接球∵△ABC是边长为的正三角形，∴△ABC的外接圆半径r==1，球心到△ABC的外接圆圆心的距离d=1，故球的半径R==，故三棱锥P﹣ABC外接球的表面积S=4πR2=8π，故选：C．点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．二、填空题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13. 函数的最大值为______；【答案】【解析】分析：根据三角函数的表达式，由化一公式可将表达式进行化简，进而得到最大值》详解：函数故函数的最大值为：.点睛：本题求最值利用三角函数辅助角公式将函数化为的形式，利用求最值，其中的取值需结合数值以及符号确定.14. 数列满足，则______；【答案】【解析】分析：代入特殊值，验证数列是周期数列，进而得到结果.详解：数列，，将n=1代入得到可以发现数列是以3为周期的数列，故=-1.故答案为：-1.点睛：本题考查数列的通项公式，是基础的计算题，对于等比等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.如果数列是非等差非等比数列，则可以通过代入数值，发现数列的通项的规律，进而得到数列通项公式.15. 如图，四棱柱的底面是平行四边形，且，分别是的中点，，若，则异面直线与所成角的大小为______；【答案】【解析】分析：将异面直线平移到同一平面内，转化到三角形HD中求线线角即可.详解：取的中点为H点，连接H，HD，在三角形HD中求线线角即可，，，连接HE，根据三角形三边关系得到HD=，H=1，D=2，在三角形HD应用余弦定理得到夹角的余弦值为，对应的角为.故答案为：点睛：这个题目考查的是异面直线的夹角的求法；常见方法有：将异面直线平移到同一平面内，转化为平面角的问题；或者证明线面垂直进而得到面面垂直，这种方法适用于异面直线垂直的时候.16. 若为的边上一点，，过点的直线分别交直线于，若，其中，则的最小值为______；【答案】3【解析】试题分析：因为，所以考点：向量共线三、解答题：（共 70 分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知在中，内角所对的边分别为，向量与向量共线。
（1）求角的值； （2）若，求的最小值。
【答案】（1）；（2）【解析】分析：根据向量共线的坐标表示和正余弦定理得到角的大小；（2）根据条件和点积公式得到.，再由，结合重要不等式得到最小值. 详解：（1）∵向量与向量共线，，由正弦定理得：，，，∵（2）∵，，，∵,,的最小值是点睛：这个题目考查了向量的点积运算和模长的求法；对于向量的题目一般是以小题的形式出现，常见的解题思路为：向量基底化，用已知长度和夹角的向量表示要求的向量，或者建系实现向量坐标化，或者应用数形结合.18. 数列满足，（1）证明：数列是等差数列；（2）若，求；【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（I）由na n+1=（n+1）a n+n（n+1）知，从而证明数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列；（Ⅱ）由（I）可得a n=n2，从而分组求和以求．解析：（1）由已知可得，即，所以是以为首项，为公差的等差数列.（2）由（1）得，所以，，19. 如图，在四棱锥中，的底面为正方形，平面，，过点的平面与棱分别交于点(三点均不在棱的端点处)(1)求证：平面平面；（2）若平面，求的值；（3）直线是否可能与平面平行？证明你的结论．【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）先用线面垂直的判定证明平面，可得平面平面．（Ⅱ）由且，得是的中点，所以．（Ⅲ）反证法证明，假设平面，结合条件可得，平面平面，这显然矛盾！所以假设不成立，即与平面不可能平行．试题解析：：（Ⅰ）因为平面，所以．因为为正方形，所以，所以平面．所以平面平面．（Ⅱ）连接．因为平面，所以．又因为，所以是的中点．所以．（Ⅲ）与平面不可能平行．证明如下：假设平面，因为，平面．所以平面．而平面，所以平面平面，这显然矛盾！所以假设不成立，即与平面不可能平行．20. 某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要三种主要原料，生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙中肥料所需三种原料的吨数如表所示：现有种原料200吨，种原料360吨，种原料300吨，在此基础上生产甲乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元.分别用表示生产甲、乙两种肥料的车皮数.(1)用列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润。