专题1以圆锥曲线的几何性质为背景的选择题 2018届高考数学百日冲刺讲义

专题一 压轴选择题第一关 以圆锥曲线的几何性质为背景的选择题【名师综述】1.求解曲线的离心率：求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系，然后把b 用a ，c 代换，求c a 的值；在双曲线中由于221()b e a=+，故双曲线的渐近线与离心率密切相关，求离心率的范围问题关键是确立一个关于a ，b ，c 的不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到关于a ，c 的不等式，由这个不等式确定a ，c 的关系．2.求解特定字母取值范围问题的常用方法：（1）构造不等式法：根据题设条件以及曲线的几何性质(如：曲线的范围、对称性、位置关系等)，建立关于特定字母的不等式(或不等式组)，然后解不等式(或不等式组)，求得特定字母的取值范围．（2）构造函数法：根据题设条件，用其他的变量或参数表示欲求范围的特定字母，即建立关于特定字母的目标函数，然后研究该函数的值域或最值情况，从而得到特定字母的取值范围．（3）数形结合法：研究特定字母所对应的几何意义，然后根据相关曲线的定义、几何性质，利用数形结合的方法求解.3.圆锥曲线中的最值问题：一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．常见的几何方法有：（1）直线外一定点P 到直线上各点距离的最小值为该点P 到直线的垂线段的长度；（2）圆C 外一定点P 到圆上各点距离的最大值为||PC R +，最小值为||PC R -(R 为圆C 半径)；（3）过圆C 内一定点P 的圆的最长的弦即为经过P 点的直径，最短的弦为过P 点且与经过P 点直径垂直的弦；（4）圆锥曲线上本身存在最值问题，如①椭圆上两点间最大距离为2a (长轴长)；②双曲线上两点间最小距离为2a (实轴长)；③椭圆上的点到焦点的距离的取值范围为[,]a c a c -+，a c -与a c +分别表示椭圆焦点到椭圆上点的最小与最大距离；④抛物线上的点中顶点与抛物线的准线距离最近．常用的代数方法有：（1）利用二次函数求最值；（2）通过三角换元，利用正、余弦函数的有界性求最值；（3）利用基本不等式求最值；（4）利用导数法求最值；（5）利用函数单调性求最值.【典例剖析】类型一 求圆锥曲线的离心率问题典例1．【山东省菏泽市2018届高三上学期期末考试】已知双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：的左、右焦点分别为12,F F ， A 是双曲线的左顶点，双曲线C 的一条渐近线与直线2a x c=-交于点P ， 1=FM MP ，且1F P AM ⊥，则双曲线C 的离心率为( )A. 3B.C. 2D. 【答案】C 【解析】由题双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：的左顶点100A a F c --（，），（，）， 由1=FM MP 知M 为线段1F P 的中点，且1F P AM ⊥，可得1AP AF =， 由题OP 为渐近线方程2p b a y x P y a c=--，（，）即为2a ab P c c -（，），c a =-，即有22222222222a c a a b c c a c a c a a b -+=---=（）（），（）（）， 可得c a a -= ，即22cc a a==，故选C.典例2．【河南省商丘市2018届高三第一学期期末考试】设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ， 122F F c =，过2F 作x 轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A ，已知3,2a Q c ⎛⎫⎪⎝⎭， 22F Q F A >，点P 是双曲线C 右支上的动点，且1123|2PF PQF F +恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. 2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭B.71,6⎛⎫⎪⎝⎭C. 7,62⎛ ⎝⎭D. 1,2⎛ ⎝⎭【答案】B由2F ,P ,Q 共线时, 2PF PQ +取得最小值232a F Q =， 可得3322a c a <+， 即有76c e a =<② 由e >1，结合①②可得， e 的范围是71,6⎛⎫⎪⎝⎭. 故选：B.【名师指点】在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特征，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围． 一般来说，求离心率取值范围，通常可以从两个方面来研究：一是考虑几何关系，例如根据线段的大小关系或者角的大小关系列不等式；二是考虑代数关系，通过设点，将所给问题坐标化，结合圆锥曲线方程和本身范围来确定． 【举一反三】【湖南省常德市2018届高三上学期检测】已知A B 、分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右顶点，两个不同动点P Q 、在双曲线上且关于x 轴对称，设直线AP BQ 、的斜率分别为m n 、，则当42ln b a mn a b++取最小值时，双曲线的离心率为（ ）A.B.C. 2D. 【答案】B类型二 与圆锥曲线有关的最值问题典例2．【甘肃省西北师范大学附属中学2016届高三校内第一次诊断】在等腰梯形中，，其中，以为焦点且过点的双曲线的离心率为，以为焦点且过点的椭圆的离心率为，若对任意都有不等式()2128e e t +<恒成立，则的最大值为（ ） A.74 B. 38 C. 58 D. 54【答案】C【解析】如图，过D 作DE AB ⊥交AB 于E ，则1AE x =-， 1EB x =+，所以DE =，DB =12e e ===，所以12e e +=，令t =，则121e e t t +=+， 因t ⎛∈ ⎝⎭，故12e e +>58t ≤，选C.【名师指点】抛物线定义是转化抛物线上的点到焦点距离和到准线距离的桥梁，通过设点的坐标并结合抛物线定义，将待求对象坐标化，同时结合抛物线方程消元，利用函数思想求解最值问题是常见的求最值方法，有时还可以几何平面几何知识求解． 【举一反三】【广西壮族自治区玉林高中2017届高三高考冲刺模拟】已知椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为,A B ， F 为椭圆C 的右焦点，圆224x y +=上有一动点P ， P 不同于,A B 两点，直线PA 与椭圆C 交于点Q ，则PBQFk k 的取值范围是（ ） A. 33,0,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. ()3,00,4⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭C. ()(),10,1-∞-⋃D. ()(),00,1-∞⋃ 【答案】D【解析】由题意得()()()2,0,2,0,1,0A B F -， PA PB ⊥． 设点Q 的坐标为()00,x y ，则()()200000002121QA QFy y y k k x x x x ⋅=⋅=+-+- ()()2000123421x x x -=+- ()()003241x x -=-． ∴()()0004114113232PB QF QA QF x k k k k x x -⎛⎫=-==+ ⎪⋅--⎝⎭， 又()02,2x ∈-且01x ≠，∴0411032x ⎛⎫+< ⎪-⎝⎭或04101132x ⎛⎫<+< ⎪-⎝⎭， 故PBQFk k 的取值范围为()(),00,1-∞⋃．选D ． 类型三 平面图形与圆锥曲线相结合的问题典例3．设双曲线()2222:10 0x y C a b a b-=>>，的左焦点为() 0F c -，，点M 、N 在双曲线C 上，O 是坐标原点，若四边形OFMN 为平行四边形，且四边形OFMN，则双曲线C 的离心率为（ ） A．2C.． 【答案】D【名师指点】求离心率问题实质上是根据已知条件，挖掘题中,,a b c 的等量关系或者不等关系，可以借助平面图形自身满足的条件或者点的坐标所满足的方程或者范围等，本题利用平行四边形的性质并结合双曲线方程和平行四边形的面积公式得关于,,a b c 的方程，进而确定离心率的值．【举一反三】【安徽省黄山市2018届高三一模】已知椭圆和双曲线有共同焦点12,F F , P 是它们的一个交点，且123F PF π∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则121e e 的最大值为（ ）A.3B. 3C. 2D. 3 【答案】A【解析】考查一般性结论，当12F PF θ∠=时：设12,PF m PF n ==，椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的长半轴长为2a ，两曲线的焦距为c ，结合题意有：122,2m n a m n a +=-=，两式平方相加可得： ()2222122m n a a +=+，两式平方作差可得： 2212mn a a =-， 由余弦定理有： 22242cos c m n mn θ=+-，则： ()()222221212422cos c a a a a θ=+--， ()()2221221cos 1cos c a a θθ=-++，即22121cos 1cos 122e e θθ-+=+，结合二倍角公式有： 222212sin cos 221e e θθ+=.本题中， 3πθ=，则有： 221213441e e +=，即221212131144e e e e =+≥=，则121e e ≤，当且仅当22121122,3e e ==时等号成立， 据此可得121e e.本题选择A 选项.【精选名校模拟】1．【河北省张家口市2018届高三上学期期末】已知双曲线2221(0)x y a a-=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P为双曲线右支上一点，且满足2212PF PF -=，则12PF F ∆的周长为（ ）A.B. 2C. 4D. 4 【答案】C【解析】 双曲线()22210x y a a -=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，=，可得2a c =，122PF PF a -==，① ()()22121212PF PF PF PF PFPF -=-+())1212122a PF PF PF PF PF PF =+=+=+=12PF PF == 12PF F ∴∆的周长为12124PF PF F F ++=+ C.2．【福建省三明市A 片区高中联盟校2018届高三上学期阶段性考】如图，直线x m =与抛物线24x y =交于点A ，与圆()2214x y +-=的实线部分（即在抛物线内的圆弧）交于点B ， F 为抛物线的焦点，则ABF∆的周长的取值范围是（ ）A. ()4,6B. (]4,6C. ()2,4D. (]2,4 【答案】A【解析】∵圆()2214x y +-=的圆心为()0,1，抛物线的方程为24x y =∴圆心与抛物线的焦点重合∴2,1,A B A FB AF y AB y y ==+=-∴三角形ABF 的周长213A B A B y y y y =+++-=+ ∵13B y <<∴三角形ABF 的周长取值范围是()4,6 故选A3．【天津市耀华中学2018届高三上学期第三次月考】已知点(),0(0)F c c ->是双曲线22221x y a b-=的左焦点，过F 且平行于双曲线渐近线的直线与圆222x y c +=交于点P ，且点P 在抛物线24y cx =上，则该双曲线的离心率的平方为（ ）A.B. C.D. 【答案】D【解析】如图,设抛物线24y cx =的准线为l ,作PQ ⊥l 于Q , 设双曲线的右焦点为F ′,P (x ,y ).由题意可知F F ′为圆222x y c +=的直径， ∴PF ′⊥PF ,且','2btan PFF FF c a∠==， 满足22224? { y cx x y c y b x c a=+==+①②③，将①代入②得2240x cx c +-=，则2x c =-，即)2x c =,(负值舍去)代入③,即)1,bc y a=再将y 代入①得,222421b e a ==- 即e 2. 故选D.4．【广西梧州市2017届高三上学期摸底联考数学（理）试题】已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于A B 、两点，直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ，若23ABC BCF S S ∆∆=，则椭圆的离心率为（ ）A．5．3 C5．10【答案】A5．【河北省邯郸市2018届高三1月教学质量检测】已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右顶点分别为,A B ，点F 为双曲线C 的左焦点，过点F 作垂直于x 轴的直线分别在第二、三象限交双曲线C 于,P Q 两点，连接PB 交y 轴于点E ，连接AE 交QF 于点M ，若M 是线段QF 的中点，则双曲线C 的离心率为（ ） A. 3B.C. D. 2【答案】A【解析】由题意得22,,0,2b b M c E a a c ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭220023, 3.0b b a c a c a e a c a---+=∴==+-+ 选A. 6．【赣州市2017-2018年第一学期高三期末考试】已知抛物线216y x =的准线与x 轴交于A 点，焦点是F ，P 是抛物线上的任意一点，当PF PA取得最小值时，点P 恰好在以,A F 为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）A.B. 1C.D. 1【答案】B【解析】()()4,0,,A P x y -,则PF PA===≥=,当且仅当4x =时取等号,此时()4,8P ± ,所以228,2812c c AF a PA PF e a ===-=∴=== ,选B.7．【2018福建四校联考】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的上下左右顶点分别为,,,A B C D ，且左右焦点为12,F F ，且以12F F 为直径的圆内切于菱形ABCD ，则椭圆的离心率e 为（ ）A.12B.C.D. 【答案】D【解析】菱形ABCD 一边AD 所在直线方程为1x ya b+=，即bx+ay−ab=0， 由题意,坐标原点O 到AD 的距离d c ==，整理可得422430c a c a -+=,即： 42310e e -+=，解得：12e e ==(舍去)， ∴椭圆的离心率e =. 本题选择D 选项.8．【2018广西贺州桂梧高中联考】过双曲线()222210,0x y a b a bΩ-=>>：的右焦点F 作x 轴的垂线，与Ω在第一象限的交点为M ，且直线AM 的斜率大于2，其中A 为Ω的左顶点，则Ω的离心率的取值范围为（ ）A. ()1,3B. ()3,+∞C. (1,D. ()+∞ 【答案】B【解析】2b FM a = ， AF c a =+，∴()()22212AM FM b c a c ak e AF a c a a c a a--=====->++，∴3e >.选B.9．【2018陕西西安长安区联考】已知直线0(0)x y k k +-=>与圆224x y +=交于不同的两点,,A B O 是坐标原点，且有43OA OB AB +≥，那么k 的取值范围是A.)+∞ B. )+∞ C. D.【答案】C10．【2018湖南株洲两校联考】已知双曲线E ： 22x a﹣22y b =1（a ＞0，b ＞0），点F 为E 的左焦点，点P 为E上位于第一象限内的点，P 关于原点的对称点为Q ，且满足|PF |=3|F Q|，若|OP |=b ，则E 的离心率为（ ）A.B. C. 2 D. 【答案】B【解析】由题意可知：双曲线的右焦点1F ，由P 关于原点的对称点为Q 则OP OQ =∴四边形1PFQF 为平行四边形则11,PF FQ PF QF ==由3PF FQ =，根据椭圆的定义12PF PF a -=11,,,PF a OP b OF c ∴=== 190OPF ∴∠=︒在1 O PF 中， 112,3,PQ b QF a PF a ===则()()22223b a a +=，整理得222b a =则双曲线的离心率c e a ===故答案选B11．【2018山西名校联考】已知椭圆22221x y a b+=的左、右焦点分别为12,F F ，且122F F c =，点A 在椭圆上， 1120AF F F ⋅= ， 212AF AF c ⋅= ，则椭圆的离心率e =（ ）A.B.C.D. 【答案】C【解析】由于1120AF F F ⋅= ，则2,b Ac a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ()()12,0,,0F c F c -， 22120,,2,b b AF AF c a a ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ， 42122b AF AF c a ⋅== ， 2b ac = ， 22a c ac -=， 21e e -= ， 210e e +-= ，e = ，01e <<，则e =，选C. 12．【2018河南名校联考】已知抛物线的焦点为，准线，点在抛物线上，点在左准线上，若，且直线的斜率，则的面积为（ ）A.B.C.D.13．【2018江西南昌摸底】已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F , P 为双曲线C上第二象限内一点，若直线by x a=恰为线段2PF 的垂直平分线，则双曲线C 的离心率为 （ ）A.B. C. D. 【答案】C【解析】设()2,0F c ，渐近线方程为b y x a =，对称点为(),P m n ，即有n am c b =--，且()1122b m c n a+⋅=⋅，解得222,a b abm n c c -==，将222,a b ab P c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即2222,a c ab c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入双曲线的方程可得()222222222241a c a b a c c b --=，化简可得2241c a-=，即有e 2=5，解得e =C ．。