021第五章-3拉普拉斯变换的性质
022第五章-3拉普拉斯变换反变换
§5.5 拉普拉斯反变换 一、部分分式展开法(Haviside Theorem)
Ⅰ. F(s)单极点情况
(1) F (s)有n个单极点s1, s2
sn , 且n m,即F (s)为真分式
ki ki e si t (t ) s si
(2) F ( s)有n个单极点，但 n m 即 F ( s) 为假分式
则应将F(s)化为多项式和真分式之和，真分式部分用“部分分 式展开法”求反变换，多项式的反变换为冲激函数及其导数
(t ) 1 (t ) s
s 例3、 F ( s) 2 求 f (t ) s 2s 5
真分式、共轭极点
e t sin t (t ) e t cos t (t )
k1 ( s 2 ) k2 ( s 2 ) 解： F (s) 2 2 s 3 s 2s 5
2 4 4 3 s 1 2 s 1 k1 ( s ) 2 s s 1 1 ss22 s 2 s 5 s 2 3 0 1 3 04
p
( s sn ) K11 s s1
K1 p 1 ( s s1 )
p 1
K1i i ( s s1 )
Kn s sn
p i
1 d p 其中：K1i [(s s1 ) F (s) ] s s p i 1 ( p i) ! ds
P231 式（5-26C）
0 2 s 0 2
s
2 s 0 2
解： 极点 s1,2 1 j 2
s 1 1 2 s F ( s) 2 2 2 ( s 1) 2 2 ( s 1) 2 22 ( s 1) 4
拉普拉斯变换性质
F ( s a)
注： 这个性质表明了一个象原函数乘以指数函数 e 后取Laplace变换等于将其象函数作位移。
at
例5：求 L[eat t m ]
解：
已经知道：
m L t
(m 1) s m 1
根据上述位移性质可知：
(m 1) L e t ( s a)m1
•在半平面Re(s)>c上一定存在, •右端的积分在Re(s)c1>c上绝对收敛而且一致收敛, •并且在Re(s)>c的半平面内, F(s)为解析函数。
§2.2 拉普拉斯变换的性质
1、线性性质 2、微分性质 3、积分性质 4、位移性质 5、延迟性质 6、初值定理与终值定理
*
1 线性性质
若 , 是常数， 设 f1 t , f2 t , 满足拉普拉斯变换存在条件，
4 位移性质
设 L f t F s
,
at L e 则有： f t F s a
, (Re( s a ) 0)
证： 有如下
L[e f (t )] eat f (t ) e st d t
at 0
0
f (t ) e ( s a )t d t
F1 s F2 s
f1 t f2 t .
注： 这个性质表明函数线性组合的Laplace变换等于各函数Laplace变换 的线性组合。
设 f1 t , f2 t , 满足拉普拉斯变换存在条件，
L f1 t F1 s ,
L f1 t F1 s
则有：
,
L f2 t F2 s
第五章 拉普拉斯变换
w p
2
e
- pt
co s w t
0
w p
+
ò
sin w te
0
- pt
dt
=
-
w p
2 2
L [sin w t ] w
L [sin w t ] =
p + w
2
2
•
⑥
L [co s w t ] =
p p + w
2 2
• 证明：
轾 iw t 1 L [co s w t ] = L 犏 ( e + e 犏 2 臌 1 轾 + ? iwt = 犏 蝌 e e 2 犏0 臌
5.1.定义和性质.
• 5.1.1 定义
• 定义：设函数f(t),当t>0时有定义，而且积分 •
+ - pt
ò
f (t )e
0
dt
（其中p是复参量）
• 在p的某一域内收敛，积分所得为p的函数，记为
+
•
F ( p) =
ò
f (t ) e
0
- pt
dt
（定义式） （5-1）
• 则称式（5-1）为函数 f (t ) 的拉普拉斯变换式（简称拉氏 变换），积分式可记为 •
L [ f '( t )] = p F ( p ) f (0 )
• 则有
（5-16）
• 证明：由定义
t?
L [ f '( t ) =
蝌
0
f '( t ) e
- pt + 0
- pt
dt =
0 +
e
- pt
d [ f ( t )] dt
5.3 拉普拉斯变换的性质及应用
F (s s0 )的ROC : Re[ s s0 ] 1 即 Re[ s] 1 Re[ s0 ]
5.3 拉普拉斯变换的性质及应用
4. 复频移特性 例5.3-3 求 e 解： 因为
- at
sin wt 和 e-at coswt 的拉氏变换。
s 例5.3-2: 已知因果函数f(t)的象函数 F ( s) = 2 ，求f(2t)的象 s +1 函数。
解：
s f (t ) « 2 s +1
Re[ s] > 0
f (at ) 1 s F Re[ s] a 0 a a
由尺度变换性质有：
s 1 s 2 f (2t ) « × = 2 2 2 æsö s +4 ç ÷ +1 è2ø
f (t )
0
s f (t )e st dt
0
sF (s) f (0 )
f
(2)
Re[ s] 0
d (1) (t ) f (t ) dt
LT [ f ( 2) (t )] s[sF (s) f (0 )] f (1) (0 ) s 2 F (s) sf (0 ) f (1) (0 )
Re[ s] 0
LT [ f (3) (t )] s[s 2 F (s) sf (0 ) f (1) (0 )] f ( 2) (0 ) s 3 F (s) s 2 f (0 ) sf (1) (0 ) f ( 2) (0 )
Re[ s] 0
a 0, b 0, 求f1(t)的象函数。
解:
L f t f t u t F s
信号与系统 拉普拉斯变换的基本性质
L
f
(at
b)u(at
b)
1
F
(
s
)
sb
ea
(a 0,b 0)
aa
信号与系统
四．s 域平移
若 L f (t) F(s)
则 L f (t) eαt F (s α)
证明：
L f (t) eαt
f (t) eαtestd t f (t) e(αs)td t F (s α)
sF (s)
f
(0 )
证明： f (t) estd t f (t) est [sf (t) est ]d t
0
0
0
推广：
f (0) sF(s)
L
d
f 2 (t)
dt2
s
L
d
f (t)
dt
f
(0 )
ssF(s)
f
(0 )
f
(0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
s0
f
(0
)
lim
s0
d f (t) estd t 0 d t
f
(0
)
lim
t
f
(t)
f (0 )
lim f (t) t
信号与系统
九．初值定理和终值定理
例：确定下列拉普拉斯变换所对应的时域因果信号的初值和终值
I(s) s 2 s(s 2)
H(s)
s2
8 10s
169
V(s)
2s3 10 s3 (s 1)
t0 0
证明：
L f (t t0 )u(t t0 )
0
f
(t
t0 )u(t
第五章 拉普拉斯变换-数学物理方法
d2 L[t 2 f ( t )] ( 1)2 2 F ( p) dp
……
dn n pt n F ( p) ( t ) f ( t )e dt ( 1) [t n f ( t )]e pt dt n 0 0 dp
dn L[t n f ( t )] ( 1)n n F ( p) dp
这个性质很容易从Laplace变换的定义得到，因为它只不 过是积分运算的线性性质的反映.
77
性质2 ：原函数的导数的拉氏变换
L 设f (t)及 f ' (t ) 都满足拉氏变换存在的充分条件， [ f ( t )] F ( p),
则： 0 f ( t )e dt f ( t ) e
' pt
n n
【证明
】 F ( p) f ( t )e pt dt
0
d pt F ( p) t f ( t )e dt [t f ( t )]e pt dt 0 0 dp d L[t f ( t )] F ( p) dp 2 d 2 pt 2 F ( p) ( t ) f ( t )e dt ( 1) [t 2 f ( t )]e pt dt 2 0 0 dp
L[ f ( t )] f ( t )e
'' '' 0 pt
dt e
0
pt
df ( t ) f ( t ) e
' '
pt 0
p f ' ( t )e pt dt
0
f ' (0) p[ pF ( p) f (0)] p2 F ( p) pf (0) f ' (0)
第五部分拉普拉斯变换-资料
sT
(1e 2
)
25
f(t) F(s)11 esTs2E ((22 T T))2(1esT 2)
1 1esT
2
E(2T) s2 (2T)2
26
3.比例性（尺度变换）
设 f(t) F (s),则 f(a t) 1F (s),a 0 aa
例 已知L[f(t)]=F(s)，试求
L [ f ( a t 0 t )( a t 0 t )a ] 0 ( ,t 0 0 )
7
收敛域 lt i m f(t)et0(0)
• 有始有终信号和能量 整个平面
j
有限信号
•等幅0振荡0信或号和0 增a长信 以 0 为界
号
j
0 a
• 不收敛信号 et2, t et2 (0t)
除非 (0tT) 8
双边拉氏变换收敛域— f (t)u(t)etu(t)
f(t)e td t u (t)e td t0u ( t)e ( 1 )td
s 0
0 s0
F (s) s
33
若积分下限由 开始
t
0
t
f()d f()d f()d
0
f1(0) t f()d 0
4 ) f( t t 0 )( t t 0 ) s i n 0 ( t t 0 )( t t 0 )
L [ s in0 ( t t0 )( t t0 ) ] e s t0 L [ s in0 t] e s t0s 2 00 2
22
例 求锯齿波的拉氏变换
f (t) E
Tt
解：
fa (t)
证明:由定义
L[d(ft)] d(ft)estdt
dt
0 dt
estf(t)(s)estf(t)dt 0 0
拉普拉斯定理
拉普拉斯定理拉普拉斯定理（Laplace's theorem），又称拉氏变换定理（Laplace transform theorem），是拉普拉斯变换理论中的重要定理之一。
它描述了一个函数经过拉普拉斯变换后的性质，被广泛应用于各个科学领域，如物理学、工程学等。
下面将详细介绍拉普拉斯定理的定义、性质以及应用。
首先，我们需要了解拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换是一种将一个时间或空间域函数转化为一个复平面上的函数的数学工具。
对于一个函数f(t)，它的拉普拉斯变换表示为F(s)，其中s是复变量。
拉普拉斯变换可以将原函数从时间域转换到频率域，从而方便地进行信号分析和处理。
拉普拉斯定理是指当函数f(t)及其导数在t=0存在时，它们的拉普拉斯变换具有以下性质：1. 常数项性质：如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，那么f(t)中的常数项c的拉普拉斯变换为c/s。
这意味着拉普拉斯变换可以方便地处理包含常数项的函数。
2. 积分性质：如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，那么∫[0,t]f(u)du 的拉普拉斯变换为F(s)/s。
这个性质对于计算函数的积分非常有用，并且可以简化一些复杂的积分计算。
3. 初值定理：如果f'(t)的拉普拉斯变换为F(s)，那么f(0)的拉普拉斯变换为lim(s->∞)sF(s)。
这个定理描述了函数f(t)在t=0处的初始值与其拉普拉斯变换之间的关系。
4. 终值定理：如果lim(t->∞)f(t)存在，并且函数f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，那么lim(s->0)sF(s)为f(t)的终值。
这个定理描述了函数f(t)在t趋近于无穷大时的极限与其拉普拉斯变换之间的关系。
拉普拉斯定理的这些性质可以方便地用于求解微分方程、差分方程以及其他许多数学问题。
它可以将一个复杂的微分方程转化为一个简单的代数方程，从而更加容易通过数值方法求解。
此外，拉普拉斯定理还在控制系统理论中有广泛的应用。
信号与系统 拉普拉斯变换的基本性质
t0 0
L f (t t0 )u(t t0 )
0
f
(t
t0 )u(t
t0 ) estd t
t0
f
(t
t0 ) estd t
令 τ t t0 f (τ) est0 esτd τ 0
est0 f (τ) esτd τ 0
F (s) est0
二．延时（时域平移）
V(s)
2s3 10 s3 (s 1)
解：
初值
i(0 )
lim
s
sI (s)
lim
s
s
s2 s(s 2)
1
终值
i() lim sI (s) 1
s0
初值
h(0
)
lim
s
sH
(s)
lim
s
s2
8s 10s
169
0
终值
h()
lim
s0
sH (s)
lim
s0
s2
8s 10s
169
0
注意应用终值定理的条件是满足的。
则
L
t
f
(τ)
d
τ
F
s(2s、)如项果为1s0f
( 0t)是f一(个)因d果τ 信号，则这一
证明： t f ( ) d τ 0 f ( ) d τ t f ( ) d τ
0
①
②
① 0 f ( ) d τ 1 0 f ( ) d τ
s
②
0
t 0
f
(
)
d
τ
e
st
令τ at
f
(τ
)
(
e
拉普拉斯变换的基本性质
§ 4.3 拉普拉斯变换的基本性质主要内容线性；原函数微分；原函数积分；延时（时域平移）；s 域平移；尺度变换；初值；终值 卷积；对s 域微分；对s 域积分一．线性例题： 已知则同理二．原函数微分证明：推广：电感元件的s 域模型 [][][])()()()( ,),()( ),()( 22112211212211s F K s F K t f K t f K L K K s F t f L s F t f L +=+==则为常数，若()tj t j e e t t f ωωω-+==21)cos()([]αα+=-s e L t 1()[]⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=ωωωj s j s t L 1121cos 22ω+=s s ()[]22sin ωωω+=s t L [])0()(d )(d ),()(--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=f s sF t t f L s F t f L 则若()()()())(0 d d 000s sF f t e t sf e t f t e t f st st st +-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--='-∞∞--∞⎰⎰()()[])0()0()( )0(0d )(d 22----'--='--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡f sf s F s f f s F s t t f L ∑-=----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡10)(1)0()(d )(d n r r r n n n f ss F s t t f L设应用原函数微分性质三．原函数的积分证明：① ② ()s s F =电容元件的s 域模型)(t i+-)(t v L L t t i L t v LL d )(d )(=[][])()(),()(s V t v L s I t i L L L L L ==[])0()()0()()(---=-=L L L L L Li s I sL i s sI L s V()s V L +-[]，则若)()(s F t f L =()s f s s F f L t )0()(d )(1--∞-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ττ()()()ττττττd d d 00⎰⎰⎰+=∞-∞-t t f f f ① ② ()()01-f ()()s f 01-→()⎰⎰∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡00d d t e f st t ττ()()⎰⎰-∞-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=t st t st t e t f s f s e 000d 1d ττ()⎰-=t st te tf s 0d 1+-)t v C C ⎰∞-=t c C i C t v ττd )(1)([][])()( ),()(s V t v L s I t i L C C C C ==设四．延时（时域平移）证明：0)(st e s F -=五．s 域平移证明：六．尺度变换证明：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=--s i s s I C s V C C C )0()(1)()1()0(1)(1-+=C C v s s I sCsC 1()-01C v s +-()s V C[][]0)()()( )()(00st e s F t t u t t f L s F t f L -=--=，则若[]⎰∞----=--00000d )()()()(t e t t u t t f t t u t t f L st ⎰∞--=0d )(0t st t e t t f ，令0t t -=τ代入上式则有,d d ,0ττ=+=t t t []⎰∞---=--000d )()()(0τττs st e e f t t u t t f L [][])()( )()(αα+==-s F e t f L s F t f L t ，则若[])(d )()(0ααα+==⎰∞----s F t e e t f e t f L st t t [][]()0 1)( ),()(>⎪⎭⎫ ⎝⎛==a a s F a at f L s F t f L 则若[]⎰∞--=0d )()(t e at f at f L st时移和标度变换都有时:七．初值八．终值终值存在的条件:证明：根据初值定理证明时得到的公式九．卷积，则令at =τ[]⎰∞⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=0d )()(a e f at f L a s τττ⎰∞⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0d )(1τττa s e f a ⎪⎭⎫ ⎝⎛=a s F a 1[]()0,0 1)()(>>⎪⎭⎫ ⎝⎛=---b a e a s F a b at u b at f L a b s 若)(lim )0()(lim ),()(d )(d )(0s sF f t f s F t f t t f t f s t ∞→+→==−→←+则可以进行拉氏变换，且及若()应化为真分式：不是真分式若,s F k s F s F -=)()(1[][])(lim )(lim )(lim )0(0t f ks s sF k s F s f t s s +→∞→∞→+=-=-=()()()项。
拉普拉斯变换的基本性质变换及反变换
拉普拉斯变换的基本性质变换及反变换The following text is amended on 12 November 2020.拉普拉斯变换的基本性质、变换及反变换3． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)( （F-1）式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算：)()(lim s F s s c i s s i i-=→ （F-2） 或iss i s A s B c ='=)()(（F-3）式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝t s n i i ie c -=∑1(F-4)② 0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r rs s s s s s s B s F ---=+ =nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r s s r -=→)]()([lim111s F s s dsdc r s s r -=→-)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5))()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F L t f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 111111111)()()( t s nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1(（F-6）。
拉普拉斯变换性质
拉普拉斯变换性质
拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换，又名拉氏变换。
拉氏变换是一个线性变换，可将一个有参数实数t（t≥0）的函数转换为一个参数为复数s的函数。
拉普拉斯变换在许多工程技术和科学研究领域中有着广泛的应用，特别是在力学系统、电学系统、自动控制系统、可靠性系统以及随机服务系统等系统科学中都起着重要作用。
1
有些情形下一个实变量函数在实数域中进行一些运算并不容易，但若将实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，
在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。
引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替常系数微分方程来描述系统的特性。
这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性、分析控制系统的运动过程，以及提供控制系统调整的可能性。
应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。
在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用。
信号与系统 拉普拉斯变换的基本性质概要
令τ
t t0
f (t t0 ) e st d t
t0
f ( τ ) e st0 e sτ d τ
0
e
st0
0
f (τ ) e d τ
sτ
F ( s) e st0
信号与系统
二．延时（时域平移）
注意：
(1)一定是
f (t t0 )u (t t0 )的形式的信号才能用时移性质 t0 0。 f (t t0 )，f (t )u (t t0 )，f (t t0 )u (t )等
一．线性性质
若 则 为常数 L f1 (t ) F1 ( s), L f 2 (t ) F2 ( s), K1 , K 2
L K1 f1 (t ) K 2 f 2 (t ) K1F1 ( s ) K 2 F2 ( s )
1 1 f1 (t ) F1 (s) f2 (t ) F2 (s) (s 1)(s 2) s 1
F ( s ) F1 ( s ) F1 ( s )e 1 F ( s) Ts 1 1 e
结论：单边周期信号的拉普拉斯变换
等于第一周期波形的拉普拉斯变换乘以
Ts
F1 ( s )e
2Ts
=F1 ( s ) e nTs
n 0
1 Ts 1 e
信号与系统
求周期冲激序列 T (t )u(t )的拉普拉斯变换
周期冲激序列 T (t )u(t )的第一个周期信号为 (t )， 它的拉普拉斯变换为 1，所以有 1 T ( t )u ( t ) 1 e Ts
信号与系统
求图所示单边周期矩形脉冲序列的拉普拉斯变换
拉普拉斯变换法则
拉普拉斯变换法则引言：拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号与系统、电路分析、控制系统等领域。
它将时域中的函数转换为复频域中的函数，使得分析和处理连续时间系统更加简洁和方便。
本文将介绍拉普拉斯变换法则及其应用。
一、拉普拉斯变换的定义：拉普拉斯变换是指对函数f(t)进行变换，得到一个新的函数F(s)，其中s是一个复变量。
拉普拉斯变换的定义如下：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞] f(t)e^(-st)dt二、拉普拉斯变换的法则：1. 线性性质：若f(t)和g(t)的拉普拉斯变换分别为F(s)和G(s)，则对于任意常数a和b，有：L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)2. 延时性质：若f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，则f(t - τ)的拉普拉斯变换为e^(-sτ)F(s)3. 导数性质：若f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，则f'(t)的拉普拉斯变换为sF(s) - f(0)4. 积分性质：若f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，则∫[0,t]f(τ)dτ的拉普拉斯变换为1/(sF(s))5. 初值定理：若f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，则f(0+) = lim(s→∞) sF(s)6. 终值定理：若f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，则lim(t→∞) f(t) = lim(s→0) sF(s)7. 卷积定理：若f(t)和g(t)的拉普拉斯变换分别为F(s)和G(s)，则它们的卷积f(t)*g(t)的拉普拉斯变换为F(s)G(s)三、拉普拉斯变换的应用：1. 线性时不变系统分析：通过将系统的输入信号和系统的冲击响应函数进行拉普拉斯变换，可以得到系统的频域响应函数，从而分析系统的稳定性、频率特性等。
2. 电路分析：拉普拉斯变换可以简化电路分析的过程，尤其是对于复杂的电路网络。
通过将电路中的电压和电流信号进行拉普拉斯变换，可以得到复频域中的电压和电流关系，从而分析电路的动态特性。
拉普拉斯变换性质
拉普拉斯变换性质
理解
拉普拉斯变换(Laplace transformation)是在积分变换中把连续时变信号转换成正负无穷大范围的指数型时定信号的单边变换，它是一种统计与信号分析的重要算法，建立在Fourier变换的基础上，被广泛应用于数学、电子、通讯及其他领域。
拉普拉斯变换的核心思想是用一个类似函数的谱线替换一个时变函数，解决复杂的求解问题，能够将难以求解的时变函数拆分成一组解析函数，利用标准函数轻松地求解出结果，从而提高求解算法的效率。
拉普拉斯变换具有以下性质：
（1）线性性质：在拉普拉斯变换中，加性和乘性定律成立，也即可以用拉普拉斯变换把复合函数分解成基本函数的叠加，且变换后的结果是它们变换的乘积的和。
（2）卷积性质：拉普拉斯变换能够有效地把连续时变信号的卷积操作转换成简单的乘法操作，拉普拉斯变换可以将连续时变函数的卷积操作转换为拉普拉斯变换之后函数的乘积操作。
（3）滞后性质：拉普拉斯变换的结果，只与函数的滞后的部分有关，因此可以使用拉普拉斯变换来实现信号的滞后处理。
（4）收敛性质：拉普拉斯变换的结果受被变换函数的收敛性的影响，而不受其具体形式的影响。
因此，对收敛的函数，可以通过拉普拉斯变换将其变换为正负无穷大范围的指数函数，使其受到解析处理，然后得到函数解析形式的结果。
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号处理、控制系统、电路分析等领域。
它可以将时间域中的函数转换为复频域中的函数，为我们分析和处理信号提供了很大的便利。
本文将介绍拉普拉斯变换的定义、性质以及在实际应用中的一些例子。
一、定义拉普拉斯变换可以将一个实函数 f(t) 转换为复函数 F(s)，其中 t 表示时间，s 表示复频率。
拉普拉斯变换定义如下：F(s) = L[f(t)] = ∫[0, ∞] e^(-st) f(t) dt其中，e 是自然常数，s 是复变量。
拉普拉斯变换的积分区间是从 0 到正无穷，表示了信号在整个时间轴上的变化。
二、性质拉普拉斯变换具有一些重要的性质，可以简化我们对信号的分析。
下面介绍几个常用的性质：1. 线性性质：对于任意的常数 a 和 b，有 L[a·f(t) + b·g(t)] = a·F(s) + b·G(s)。
拉普拉斯变换可以线性叠加。
2. 积分性质：如果一个函数的拉普拉斯变换是 F(s)，那么这个函数的积分的拉普拉斯变换是1/s·F(s)。
该性质对于求解微分方程非常有用。
3. 导数性质：如果一个函数的拉普拉斯变换是 F(s)，那么这个函数的导数的拉普拉斯变换是 s·F(s) - f(0+)。
这个性质也对求解微分方程十分重要。
除了上述性质，拉普拉斯变换还具有平移性质、卷积性质和初值定理等，这些性质使得我们可以快速、方便地进行信号分析和处理。
三、应用举例拉普拉斯变换在实际应用中有着广泛的应用。
下面举例几个常见的应用场景：1. 信号处理：对于一个时域的信号，通过拉普拉斯变换可以将其转换为频域信号，从而方便我们对信号的频域特性进行分析。
例如，在音频处理中，拉普拉斯变换能够帮助我们对音频信号的频谱进行分析，实现去噪、音频增强等功能。
2. 控制系统：拉普拉斯变换可以帮助我们分析和设计控制系统的稳定性和性能。
拉普拉斯变换讲解
拉普拉斯变换拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用．本章将扼要地介绍拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用．1拉氏变换的基本概念在代数中，直接计算是很复杂的，而引用对数后，可先把上式变换为，然后通过查常用对数表和反对数表，就可算得原来要求的数．这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法，而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法．1.1 拉氏变换的基本概念定义 设函数当时有定义，若广义积分在的某一区域内收敛，则此积分就确定了一个参量为的函数，记作，即（7-1）称（1-1）式为函数的拉氏变换式，用记号表示．函数称为的拉氏变换(Laplace) (或称为的象函数)．函数称为的拉氏逆变换（或称为象原函数），记作，即．关于拉氏变换的定义，在这里做两点说明：(1) 在定义中，只要求在时有定义．为了研究拉氏变换性质的方便，以后总假定在时，．（2）在较为深入的讨论中，拉氏变换式中的参数是在复数范围内取值．为了方便起见，本章我们把作为实数来讨论，这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用．（3）拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分变换．一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的．例7-1 求一次函数（为常数）的拉氏变换．解．1.2 单位脉冲函数及其拉氏变换在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时，要涉及到我们要介绍的脉冲函数，在原来电流为零的电路中，某一瞬时(设为)进入一单位电量的脉冲，现要确定电路上的电流，以表示上述电路中的电量，则由于电流强度是电量对时间的变化率，即328.957812028.6⨯⨯=N 53)164.1(⨯164.1lg 53)20lg 28.9lg 5781(lg 3128.6lg lg ++-+=N N )(t f 0≥t dte tf pt ⎰∞+-0)(P P )(P F dte tf P F pt ⎰∞+-=)()()(t f )()]([P F t f L =)(P F )(t f )(t f )(t f )(P F )(P F )()]([1t f P F L =-)]([)(1P F L t f -=)(t f 0≥t 0<t 0)(=t f P P at t f =)(a t ，0≥⎰⎰⎰∞+-∞+-∞+-∞+-+-=-==00][)(][dte pa e p at etd pa dt ateat L pt pt ptpt2020][0p a e p a dt e papt pt =-=+=∞+-∞+-⎰)0(>p 0=t )(t i )(t Q ⎩⎨⎧=≠=.0,1,0,0)(t t t Q，所以，当时，；当时，．上式说明，在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够用来表示上述电路的电流强度．为此，引进一个新的函数，这个函数称为狄拉克函数．定义设，当0时，的极限称为狄拉克（Dirac ）函数，简称为函数．当时，的值为；当时，的值为无穷大，即．和的图形如图7-1和图7-2所示．显然，对任何，有，所以．工程技术中，常将函数称为单位脉冲函数，有些工程书上，将函数用一个长度等于的有向线段来表示（如图7-2所示），这个线段的长度表示函数的积分，叫做函数的强度．例1-2 求的拉氏变换．解 根据拉氏变换的定义，有，即．例1-3 求单位阶梯函数的拉氏变换．解，．t t Q t t Q dt t dQ t i t ∆∆∆)()(lim )()(0-+==→0≠t 0)(=t i 0=t ∞=-=-+=→→)1(lim )0()0(lim)0(00t t Q t Q i t t ∆∆∆∆∆⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=εεεδεt t t t ，，，00100)(ε→)(t εδ)(lim )(0t t εεδδ→=-δ0≠t )(t δ00=t )(t δ⎩⎨⎧=∞≠=0,0,0)(t t t δ)(t εδ)(t δ0>ε11)(0==⎰⎰∞+∞-dt dt t εεεδ1)(=⎰∞+∞-dt t δ-δ-δ1-δ-δ)(t δdte dt edt edt et t L pt ptptpt-→∞+-→-→∞+-⎰⎰⎰⎰=⋅+==εεεεεεεεδδ01lim0lim)1lim()()]([11lim 1)()1(lim 11lim 1][1lim 00000==''-=-=-=-→-→-→-→εεεεεεεεεεεp p p pt pe p e p e p p e 1)]([=t L δ⎩⎨⎧≥<=0,10,0)(t t t u p e p dt e dt et u t u L pt pt pt1]1[1)()]([00=-=⋅==∞+-∞+-∞+-⎰⎰)0(>p例1-4求指数函数（为常数）的拉氏变换． 解 ，即．类似可得；．习题1–1求1-4题中函数的拉氏变换1．．2．．3．4．是常数）．1.2 拉氏变换的性质拉氏变换有以下几个主要性质，利用这些性质，可以求一些较为复杂的函数的拉氏变换． 性质1 (线性性质) 若 ，是常数，且，，则． （7-2）证明．例7-5 求下列函数的拉氏变换：（1）； （2）．解（1）．（2）． 性质2（平移性质） 若，则（为常数）． （7-3）证明．位移性质表明：象原函数乘以等于其象函数左右平移个单位．ate tf =)(a dt e dt e e e L t a p ptat at ⎰⎰∞+--∞+-=⋅=0)(0][)(1a p a p >-=)(1][a p a p e L at >-=)0(][sin 22>+=p p t L ωωω)0(][cos 22>+=p p pt L ωωte tf 4)(-=2)(t t f =atte t f =)(ϕωϕω，()sin()(+=t t f 1a 2a )()]([11p F t f L =)()]([22p F t f L =)]([)]([)]()([22112211t f L a t f L a t f a t f a L +=+)()(2211p F a P F a +=dte tf a dt et f a dt et f a t f a t f a t f a L pt ptpt-∞+-∞+-∞+⎰⎰⎰+=+=+)()()]()([)]()([02211221102211)()()]([)]([22112211p F a p F a t f L a t f L a +=+=)1(1)(at e a t f --=t t t f cos sin )(=)(1}11{1]}[]1[{1]1[1)]1(1[a p p a p p a e L L a e L a e a L at at at +=+-=-=-=----412221]2sin 21[]cos [sin 222+=+⋅==p p t L t t L )()]([p F t f L =)()]([a p F t f e L at -=a ⎰⎰∞+--∞+--===)(0)()()()]([a p F dt e t f dt et f e t f e L t a p ptat atat e a例1-6 求 ，和． 解 因为，，，由位移性质即得性质3（滞后性质） 若，则． （7-4）证明=，在拉氏变换的定义说明中已指出，当时，．因此，对于函数，当（即）时，，所以上式右端的第一个积分为，对于第二个积分，令，则滞后性质指出：象函数乘以等于其象原函数的图形沿轴向右平移个单位（如图1-3所示）．由于函数是当时才有非零数值．故与相比，在时间上滞后了一个值，正是这个道理，我们才称它为滞后性质．在实际应用中，为了突出“滞后”这一特点，常在这个函数上再乘，所以滞后性质也表示为．例1-7 求．解 因为，由滞后性质得． 例1-8 求．解 因为，所以．例1-9 求下列函数的拉氏变换：（1） （2）解 （1）由图7-4容易看出，当时，的值是在的基础上加上了（），][at te L ]sin [t e L atω-]cos [t e L at ω-21][p t L =22][sin ωωω+=p t L 22][cos ωω+=p p t L 。
复变函数与积分变换拉普拉斯变换的性质
时移性质
频移性质
微分性质
积分变换具有时移性质，即 对于函数在时间上的平移， 其积分变换结果也相应平移。
积分变换具有频移性质，即 对于函数在频率上的平移， 其积分变换结果也相应平移。
积分变换具有微分性质，即 对于函数的导数或微分，其 积分变换结果等于原函数积 分变换结果的导数或微分。
积分变换的应用
信号处理
实数
在复数中，如果虚部为0，则该数为实数。
虚数
在复数中，如果实部为0，则该数为虚数。
复数的运算
加法
按照实部和虚部分别相加。
减法
按照实部和虚部分别相减。
乘法
按照分配律和 $i^2 = -1$ 进行计算。
除法
通常通过与其共轭复数相乘进行计算。
复变函数的定义
01
复变函数
将复数作为自变量和因变量的函 数，即 $f(z)$，其中 $z = a + bi$。
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感谢您的观看
积分变换在信号处理中有着广泛的应用，如傅里叶变 换用于信号频谱分析和滤波器设计。
控制工程
拉普拉斯变换在控制工程中用于分析线性时不变系统 的传递函数和稳定性。
图像处理
积分变换在图像处理中用于图像压缩、去噪和增强等 操作。
05 拉普拉斯变换与积分变换 的关系
拉普拉斯变换与积分变换的联系
拉普拉斯变换是积分变换的一种， 它将时域函数转换为复平面上的
时移性质
若f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，则f(at)的拉 普拉斯变换为1/|a|F(s/a)。
微分性质
若f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，则f'(t)的拉普 拉斯变换为sF(s)。
频移性质
课件：拉普拉斯变换的性质
α<Re[s]<β ，则
收敛域为α<Re[s]<β 。
一、基于信号时间运算的性质
2．压扩特性
若 L {f(t)}=F(s)，且常数a>0 ，则
根据拉普拉斯变换的定义，
令τ=at，则
根据拉普拉斯变换的定义，得到
一、基于信号时间运算的性质
2．压扩特性
基本思路是首先明确选取基本信号，其次分析一般信 号与基本信号的运算关系。
根据拉普拉斯变换的定义，
二、基于信号幅度运算的性质
1．线性性质
对于双边拉普拉斯变换，若 k1, k2为常数， L {f1(t)}=F1(s) 且α1<Re[s]<β1 ， L {f2(t)}=F2(s) 且α2<Re[s]<β2 ，则
收敛域至少为 max(α1, α2)<Re[s]<min(β1, β2)
三、基于信号s域运算的性质
2．s域微分
若 L {f(t)}=F(s)，有
将
两端对s求导，得到
由拉普拉斯变换定义，-tf(t)与 推广，得到
是一对拉普拉斯变换对。
双边拉普拉斯变换 s域微分性质与单边拉普拉斯变换完全 相同，且收敛域α<Re[s]<β 不变。
三、基于信号s域运算的性质
2．s域积分
若 L {f(t)}=F(s)，有
二、基于信号幅度运算的性质
2．时域微分
若 L {f(t)}=F(s)，则
根据拉普拉斯变换的定义，
二、基于信号幅度运算的性质
2．时域微分 对上式进行推广，可以得到
其中n为正整数，f(0) (0-)=f(0-)。
拉普拉斯变换表
拉普拉斯变换表第一篇：拉普拉斯变换基础拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，在工程、物理、经济等领域都有重要的应用。
拉普拉斯变换可以将一个复杂的函数转换成另一个更易于处理的函数，从而为解决实际问题提供了便利。
1. 拉普拉斯变换定义拉普拉斯变换是一种线性运算，它将一个函数f(t)转换成另一个函数F(s)，数学上可以表示成：F(s)=∫0 ^∞e^(-st)f(t)dt其中，s是一个复数，称为变换参数。
实际上，s的实部和虚部分别对应于指数函数e^(-st)中的衰减因子和频率。
2. 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换有很多重要的性质，这些性质可以帮助我们更好地理解和使用拉普拉斯变换。
(1) 线性性质拉普拉斯变换是一种线性运算，即对于任意常数a和b，有：L{af(t)+bg(t)}=aF(s)+bG(s)(2) 平移性质拉普拉斯变换具有平移性质，即：L{f(t-a)}=e^(-as)F(s)(3) 尺度变换性质拉普拉斯变换还具有尺度变换性质，即：L{f(at)}=1/aF(s/a)(4) 求导性质拉普拉斯变换对时间的一阶和二阶导数的变换分别为：L{f'(t)}=sF(s)-f(0)L{f''(t)}=s^2F(s)-sf(0)-f'(0)(5) 初值定理和终值定理拉普拉斯变换有两个重要的极限定理，分别是初值定理和终值定理。
初值定理描述了原函数在t=0时的值与拉普拉斯变换之间的关系，可以表示为：lim_(s→+∞)sF(s)=f(0)终值定理则描述了原函数在t趋近于无穷时的极限值与拉普拉斯变换之间的关系，可以表示为：lim_(s→0) sF(s)=lim_(t→∞) f(t)3. 常见函数的拉普拉斯变换下面是几种常见函数的拉普拉斯变换：(1) 矩形波函数rect(t)L{rect(t)}=1/s(2) 单位阶跃函数u(t)L{u(t)}=1/s(3) 指数衰减函数e^(-at)L{e^(-at)}=1/(s+a)(4) 三角函数sin(at)L{sin(at)}=a/(s^2+a^2)(5) 三角函数cos(at)L{cos(at)}=s/(s^2+a^2)第二篇：拉普拉斯变换表1下面是一份拉普拉斯变换表，其中包含了一些常见函数的拉普拉斯变换。
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P242 式(5 39b)
§5.6 拉普拉斯变换的性质
例：设f (t ) e (t )，求0 和0 系统下，求L f (t )
at
f(t)
1 0
f’(t)
(1)
e-αt
0 系统： e (t ) t -α s 1 at 用时域微分性质求解： f (t ) e (t ) s s 0 系统：f (t ) sF (s) f (0 ) s s 1 0 系统：f (t ) sF (s) f (0 ) s s
6、时域积分
不同
t
F ( s) 若： f (t ) F ( s ) 则 f ( )d 0 s
傅里叶变换时域积分性质： 若 f (t ) F ( j ) 则
t
F ( j ) f ( )d F (0) ( ) j
§5.6 拉普拉斯变换的性质
6、时域积分
sT 1 1 e 解： F ( s) sT 1 e 1 e s 2T
令：F1 (s) 1 e sT
f1 (t ) (t ) (t T )
f (t ) f1 (t n2T ) (t n2T ) (t T n2T )
F1 ( s) e
n 0 nsT
F1 ( s ) 1 e sT
§5.6 拉普拉斯变换的性质
两个结论：
1、对于周期为T的有始周期函数，求其拉普拉斯变换
1 只需求其第一个周期的变换，再乘以因子 1 e sT
2、反之若见到象函数的分母含有因子 1 e sT
就应想到其原函数为有始周期函数。进行拉普拉斯 反变换时也只要做第一个周期的反变换，然后再以 T为周期延拓。
at
0
0 系统：f (t ) (t ) eat (t ) s t s
-αe-αt
通常函数f t 在原点不连续，则f (t )在 原点将有一强度为原点跃变值的冲激。 选用0 系统时要考虑这个冲激， 而选用0 系统是则不考虑此冲激
§5.6 拉普拉斯变换的性质
§5.6 拉普拉斯变换的性质
1 例3：已知F ( s ) ，求f t sT 1 e
解： F ( s)
1 1 e sT 1 e 1 e s 2T
sT
sT
f t 可看成为F1 s =1 e sT 对应的原函数f1 t 进行周期 延拓 周期为2T 得到的有始 周期函数
不同
t
F ( s) 若： f (t ) F ( s ) 则 f ( )d 0 s
证明： L[ f ( )d ] [ f ( )d ]e st dt
0 0 0 t t
1 t st [ f ( ) d ] de s 0 0
1 st t 1 F ( s) st e f ( )d f (t )e dt 0 s s s 0 0
1、已知f (t ) et (t ), 求 L f (t )
2、已知f (t ) (t )dt , 求F (s)
0 t
3、已知f (t ) tet (t ), 求 F (s)
§5.6 拉普拉斯变换的性质
f (t ) F (s)
df (t ) 时域微分性： sF ( s ) f (0 ) dt t F (s) 时域积分性： f ( )d 0 s
dF ( s ) 频域微分性：f (t ) F ( s ) 则 tf (t ) ds f (t ) 频域积分性：f (t ) F ( s ) 则 F ( x)dx s t
§5.6 拉普拉斯变换的性质
8、对参变量的微分与积分
若：f ( , t ) F ( , s) 其中 为参变量 f ( , t ) F ( , s) 则：
§5.6 拉普拉斯变换的性质
例： 已知 f (t ) te (t ) 求 F ( s)
解法3：使用参变量微分性质 t [e (t )] te t (t )
t f t [e (t )]
1 [ ] L e ( t ) 1 s F s = (s )2
傅里叶变换的频域微分和积分性质 dF ( j ) 若 f (t ) F ( j ) 则 jt f (t ) d f (t ) 若 f (t ) F ( j ) 则 f (0) (t ) F ( j)d jt
7、复频域微分与积分
不同
dF ( s ) 微分 若：f (t ) F ( s ) 则 tf (t ) ds f (t ) 积分 若：f (t ) F ( s ) 则 F ( x)dx s t
可推广到多重积分情况
0
t
0
F (s) f ( )d d 2 s
§5.6 拉普拉斯变换的性质
6、时域积分
注意:这里对 f (t ) 的积分区间是 [0, t ]
这对 f (t )本是一个有始信号进行积分运算是合适的 如积分区间是 [, t ]
L[
t
f ( )d ] L[
左边 Байду номын сангаас
证明 : (积分)
s
F ( x)dx [ f (t )e dt ]dx f (t )[ e xt dx ]dt
xt s 0 0 s
0
f (t ) st e dt t
f (t ) F ( x)dx s t
举例 §5.6 拉普拉斯变换的性质
则 f (t t0 ) (t t0 ) F ( s )e
例1：f(t)如图，求F(s)
解： f (t ) (t ) (t T )
st0
F (s) L[ (t )] L[ (t T )]
1 1 sT 1 e (1 e sT ) s s s
a2
a1
f ( , t )d F ( , s)d
a1
a2
例： 已知 f (t ) te (t ) 求 F ( s)
t
§5.6 拉普拉斯变换的性质
解法1：使用复频域平移性质 1 1 t t (t ) 2 te (t ) s (s )2
解法2：使用复频域微分性质 1 t e (t ) s 1 d[ ] 1 t s f (t ) te (t ) 2 ds (s )
2
0 e sin(0t ) (t ) ( s ) 2 0 2 s t e cos(0t ) (t ) ( s ) 2 0 2
t
1 t (t ) 2 s
te
t
1 (t ) ( s )2
§5.6 拉普拉斯变换的性质 5、时域微分 不同
f (t )e
st 0
s f (t )e st dt
0
sF (s) f (0 )
推广到n阶导数
d n f (t ) n n 1 n2 n 3 s F ( s ) s f (0 ) s f (0 ) s f (0 ) n dt f ( n 1) (0 )
t
t
f (t )= lim s F ( s) 9、初值定理： f (0 ) tlim s 0
应用条件： f (t )及f (t )存在，并有拉普拉斯变换
df (t ) st e dt sF ( s ) f (0 ) 证明： 由时域微分性质 0 dt
令：F1 (s) 1 e
f1 (t ) (t ) (t T )
f (t ) f1 (t n2T ) (t n2T ) (t T n2T )
n 0 n 0
§5.6 拉普拉斯变换的性质
1 例3：已知F ( s ) ，求f t sT 1 e
若：
df (t ) f (t ) F ( s ) 则 sF ( s ) f (0 ) dt
傅里叶变换时域微分性质： df (t ) 若 f (t ) F ( j ) 则 j F ( j ) dt
§5.6 拉普拉斯变换的性质 5、时域微分 不同
df (t ) f ( t ) F ( s ) 则 sF ( s ) f (0 ) 若： dt df (t ) df (t ) st st e df (t ) 证明：L[ ] e dt 0 0 dt dt
则：a1 f1 (t ) a2 f 2 (t ) a1F1 (s) a2 F2 (s)
a1 , a2 为常数
2、尺度变换
相同
若： f (t ) F ( s)
则：
1 s f (at ) F ( ) a a
a 为大于0的常数
§5.6 拉普拉斯变换的性质
3、时间平移 略有不同 若 f (t ) (t ) F ( s )、
f (t )e
f (t )e
st t
st 0
s f (t )e st dt
0
st t 0
0
sF (s) f (0 )
f (t )e
F s f (t )e st dt
0 ? ff (0 (0 ) )
§5.6 拉普拉斯变换的性质
1、线性 3、时间平移 2、尺度变换 4、复频域平移 6、时域积分
5、时域微分