2018中考数学总复习 专题提升六 二次函数图象与性质的综合应用
广东省2018届中考复习专题—二次函数的图象性质及其应用
二次函数的图象性质及其应用明确目标〮定位考点二次函数及其图象的有关知识是中考的必考内容，对二次函数的解析式、抛物线的顶点坐标、开口方向、对称轴，函数的最值及抛物线与坐标轴的交点的考查以选择题、填空题为主。
对二次函数综合性问题的考查以解答题为主，尤其二次函数与几何的综合性问题，通常作为中考压轴题呈现。
归纳总结﹒思维升华 一、二次函数的图像和性质1、二次函数的定义一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数。
其中，x 是自变量，a 、b 、c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。
(1)二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式。
(2)二次函数的一次项系数b 和常数项c 均可为零。
若b=0，则y=ax 2＋c ； 若c=0，则y=ax 2＋bx ； 若b=c=0，则y=ax 2．以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax 2+bx+c 是二次函数的一般形式。
2、二次函数的三种形式一般式:)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 为常数，且 顶点式:)0()(2≠+-=a k h x a y ; 交点式:)0)()((21≠--=a x x x x a y . 3、二次函数k h x a y +-=2)(的图像与性质一般地,抛物线k h x a y +-=2)(与2ax y =的形状相同,位置不同。
把抛物线2ax y =向上(下)向左(右)平移,可得到抛物线k h x a y +-=2)(。
平移的方向、距离要根据h ,k 的值来决定。
抛物线k h x a y +-=2)(有如下特点:(1)当0>a 时,开口向上,函数有最小值k ;当0<a 时,开口向下,函数有最大值k ; (2)对称轴是h x =;(3)顶点是),(k h .4、二次函数)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 为常数，且的图像与性质顶点是），（ab ac a b 4422--，对称轴是a b x 2-=，与y 轴的交点是),0(c 。
2018中考数学重难点突破3---二次函数与几何图形综合题型归类 (共101张PPT)
类型三：探究角度数量关系的存在性
类型四：二次函数与几何图形中的最值问题
类型五：探究图形面积数量关系的存在性
类型六：探究特殊四边破三：二次函数与几何图形的综合
类型一：探究特殊三角形的存在性 类型二：探究三角形相似的存在性 类型三：探究角度数量关系的存在性 类型四：二次函数与几何图形中的最值问题 类型五：探究图形面积数量关系的存在性 类型六：探究特殊四边形的存在性
类型一：探究特殊三角形的存在性
类型二：探究三角形相似的存在性
2018中考数学专题复习第十三讲二次函数的应用共69张
【变式训练】 1.(2017·临沂中考 )足球运动员将足球沿与地面成一 定角度的方向踢出 ,足球飞行的路线是一条抛物线 ,不 考虑空气阻力 ,足球距离地面的高度 h(单位:m)与足球 被踢出后经过的时间 t(单位:s)之间的关系如表 :
t01 2 3 4 5 6 7…
h08
1 4
1 8
2 0
2 0
2
3.用一根长为 40cm的铁丝围成一个半径为 r的扇形,
扇形的面积 S与它的半径 r之间的函数关系式是 S= 1 (40-2r)r. ( √ )
2
考点一 抛物线型实际问题 【示范题 1】(2017·德州中考 ) 随着新农村的建设和旧城的改造 , 我们的家园越来越美丽 .小明家附近的广场中央新修 了个圆形喷水池 ,在水池中心竖直安装了一根高为 2米
? 1, 5
21， 5
∴a=- 1.
5
考点二 利用二次函数解决最优化问题 【示范题2】(2017·济宁中考 )某商店经销一种学生 用双肩包,已知这种双肩包的成本价为每个 30元.市场 调查发现,这种双肩包每天的销售量 y(个)与销售单价 x(元)有如下关系 :y=-x+60(30≤x≤60).设这种双肩 包每天的销售利润为 w元.
【自主解答】 (1)如图,以水管与地面交点为原点 ,原 点与水柱落地点所在直线为 x轴,水管所在直线为 y轴, 建立平面直角坐标系 .
由题意可设抛物线的函数解析式为 y=a(x-1) 2+h (0≤x≤3).
抛物线过点 (0,2)和(3,0),代入抛物线解析式可得
???a4a??hh??2，0.解得
???a ? ??h
? ?
?
8 3
2 3
.
,
初中数学最新-2018届中考数学二次函数的应用复习精品
二次函数的应用
知识点回顾：
1、二次函数 y＝ ax2＋ bx＋ c(a ≠ 0) 的图象和性质、顶点、对称轴、与坐标轴的交点、与
x
轴两交点间的距离？
2. 各类二次函数顶点位置与 a、 b、 c 的关系：
( 顶点在 x 轴上、 y 轴上、原点、经过原点 )
3、求二次函数解析式的方法： 4、二次函数 y＝ ax2＋ bx＋ c(a ≠ 0) 的最大 ( 或最小 ) 值？
当 x 87 时， W (87 90)2 900 891．
当销售单价定为 87 元时，商场可获得最大利润，最大利润是
（ 3）由 W 500 ，得 500 x2 180 x 7200 ，
891 元．
整理得， x2 180 x 7700 0 ，解得， x1 70， x2 110．
由图象可知，要使该商场获得利润不低于
（ 1）求 S 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；
（ 2）当 x 是多少时，矩形场地面积 S 最大？最大面积是多少？
60 2x
答案：（1）根据题意，得 S
x
2
x2 30x 自变量 x 的取值范围是 0 x 30
（ 2） a 1 0 ， S 有最大值 x
b
30 15
2a 2 ( 1)
最大利润
1 (4
6) 2
11
1 10 （元）．
8
2
同步检测：
1、（ 18 莆田）出售某种文具盒， 若每个获利 x 元，一天可售出 6 x 个，则当 x
元
时，一天出售该种文具盒的总利润 y 最大．
答案： 3 2、（ 18 包头）某商场试销一种成本为每件 60 元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本
2018中考复习学案二次函数总复习(word含答案)
一、知识集结号：
1. 二次函数的定义，图像，性质；
如果 y
2
ax
bx
c ( a, b, c 是常数， ), 那么， y 叫做 x 的二次函数。
二次函数的图象是抛物线，可用描点法画出二次函数的图象。
抛物线 y
ax2 bx
c( a
0 ) 的顶点是 (
【答案】（ 1） y
1 x2
3
2
x 2 ；（2 ） ( ,0) ；
22
3
5. 如图，二次函数 y x2 bx c 的图象过点 B(0, 2) ．它与反比例函 y
于点 A( m,4) ，则这个二次函数的解析式为（
）
8
的图象交
x
A． y x2 x 2 B． y x2 x 2
C． y x2 x 2
D． y x2 x 2
（ 1） （ 2） （ 3） （ 4）
这个抛物线解析式
,
求它与 x轴的交点 ________, 抛物线的顶点坐标为 _____
x 取______ 时，抛物线在 x 轴上方
若 x ＞ a时， y 随 x 增大而减小，则 a 的取值范围
【答案】（ 1） y x2 2x 3 ；（ 2）（ -1 ，0），（ 3， 0）；（ 3） 1 x 3 ；（ 4） a 1
4a
a
其中正确结论的个数是（
）
A． 4
B． 3
C． 2
D． 1
【答案】 C
10. 某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长）
，中间用一道墙隔开，并在如图
所示的三处各留 1m2 宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为
【全效学习】2018专题提升含答案(七) 二次函数的图象和性质的综合运用
专题提升(七)二次函数的图象和性质的综合运用【经典母题】用两种不同的图解法求方程x2－2x－5＝0的解(精确到0.1)．解：略．【思想方法】二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标x1，x2就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，因此我们可以通过解方程ax2＋bx＋c＝0来求抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的坐标；反过来，也可以由y＝ax2＋bx＋c的图象来求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解．【中考变形】1．[2016·烟台]二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图Z7－1所示，下列结论：①4ac ＜b2；②a＋c＞b；③2a＋b＞0.其中正确的有(B)图Z7－1A．①②B．①③C．②③D．①②③【解析】∵抛物线与x轴有两个交点，∴Δ＞0，∴b2－4ac＞0，∴4ac＜b2，故①正确；∵x＝－1时，y＜0，∴a－b＋c＜0，∴a＋c＜b，故②错误；∵对称＞1，又∵a＜0，∴－b＜2a，∴2a＋b＞0，故③正确．故轴直线x＞1，∴－b2a选B.2．[2016·绍兴]抛物线y＝x2＋bx＋c(其中b，c是常数)过点A(2，6)，且抛物线的对称轴与线段y＝0(1≤x≤3)有交点，则c的值不可能是(A) A．4 B．6C ．8D ．10【解析】 ∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c (其中b ，c 是常数)过点A (2，6)，且抛物线的对称轴与线段y ＝0(1≤x ≤3)有交点，∴⎩⎨⎧4＋2b ＋c ＝6，1≤－b 2×1≤3，解得6≤c ≤14.故选A.3．[2017·株洲]如图Z7－2，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴在y 轴的右侧，其图象与x 轴交于点A (－1，0)与点C (x 2，0)，且与y 轴交于点B (0，－2)，小强得到以下结论：①0＜a ＜2；②－1＜b ＜0；③c ＝－1；④当|a |＝|b |时x 2＞5－1，以上结论中正确结论的序号为__①④__.【解析】 由A (－1，0)，B (0，－2)，得b ＝a －2，∵开口向上，∴a ＞0.∵对称轴在y 轴右侧，∴－b 2a ＞0，∴－a －22a ＞0，a ＜2，∴0＜a ＜2，①正确；∵抛物线与y 轴交于点B (0，－2)，∴c ＝－2，③错误；∵抛物线图象与x 轴交于点A (－1，0)，∴a －b －2＝0，b ＝a －2，∵0＜a ＜2，∴－2＜b ＜0，②错误；∵|a |＝|b |，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴在y 轴的右侧，∴二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝12，∴x 2＝2＞5－1，④正确．故答案为①④.图Z7－2 图Z7－3 4．[2017·天水]如图Z7－3是抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的一部分图象，抛物线的顶点坐标是A (1，3)，与x 轴的一个交点是B (4，0)，直线y 2＝mx ＋n (m ≠0)与抛物线交于A ，B 两点，下列结论：①abc ＞0；②方程ax 2＋bx ＋c ＝3有两个相等的实数根；③抛物线与x 轴的另一个交点是(－1，0)；④当1＜x＜4时，有y2＞y1；⑤x(ax＋b)≤a＋b，其中正确的结论是__②⑤__.(只填写序号)【解析】由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，故abc＜0，①错误；观察图象可知，抛物线与直线y＝3只有一个交点，故方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根，②正确；根据对称性可知抛物线与x轴的另一个交点是(－2，0)，③错误；观察图象可知，当1＜x＜4时，有y2＜y1，④错误；∵x＝1时，y1有最大值，∴ax2＋bx＋c≤a＋b＋c，即x(ax＋b)≤a＋b，⑤正确．综上所述，②⑤正确．5．如图Z7－4，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)，点B(3，0)，且过点C(0，－3)．(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标；(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝－x上，并写出平移后抛物线的函数表达式．图Z7－4解：(1)∵抛物线与x轴交于点A(1，0)，点B(3，0)，∴可设抛物线表达式为y＝a(x－1)(x－3)，把C(0，－3)的坐标代入，得3a＝－3，解得a＝－1，故抛物线表达式为y＝－(x－1)(x－3)，即y＝－x2＋4x－3.∵y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，∴抛物线的顶点坐标为(2，1)；(2)答案不唯一，如：先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y＝－x2，平移后抛物线的顶点为(0，0)，落在直线y＝－x上．6．[2017·江西]已知抛物线C1：y＝ax2－4ax－5(a＞0)．(1)当a＝1时，求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴；(2)①试说明无论a为何值，抛物线C1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；②将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C2，直接写出C2的表达式；(3)若(2)中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，求a的值．解：(1)当a＝1时，抛物线表达式为y＝x2－4x－5＝(x－2)2－9，∴对称轴为x＝2，∴当y＝0时，x－2＝3或－3，即x＝－1或5，∴抛物线与x轴的交点坐标为(－1，0)或(5，0)；(2)①抛物线C1表达式为y＝ax2－4ax－5，整理，得y＝ax(x－4)－5.∵当ax(x－4)＝0时，y恒定为－5，∴抛物线C1一定经过两个定点(0，－5)，(4，－5)．②这两个点连线为y＝－5，将抛物线C1沿y＝－5翻折，得到抛物线C2，开口方向变了，但是对称轴没变，∴抛物线C2的表达式为y＝－ax2＋4ax－5；(3)抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，则x＝2时，y＝2或－2.当y＝2时，2＝－4a＋8a－5，解得a＝7；4当y ＝－2时，－2＝－4a ＋8a －5，解得a ＝34.∴a ＝74或34.7．[2017·北京]在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝x 2－4x ＋3与x 轴交于点A ，B (点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C .(1)求直线BC 的表达式；(2)垂直于y 轴的直线l 与抛物线交于点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，与直线BC 交于点N (x 3，y 3)，若x 1＜x 2＜x 3，结合函数的图象，求x 1＋x 2＋x 3的取值范围． 解：(1)由y ＝x 2－4x ＋3得到y ＝(x －3)(x －1)，C (0，3)，∴A (1，0)，B (3，0)．设直线BC 的表达式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，3k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝3，∴直线BC 的表达式为y ＝－x ＋3；中考变形7答图(2)由y ＝x 2－4x ＋3得到y ＝(x －2)2－1，∴抛物线y ＝x 2－4x ＋3的对称轴是x ＝2，顶点坐标是(2，－1)．∵y 1＝y 2，∴x 1＋x 2＝4.令y ＝－1，代入y ＝－x ＋3，得x ＝4.∵x 1＜x 2＜x 3(如答图)，∴3＜x 3＜4，即7＜x 1＋x 2＋x 3＜8.8．[2016·益阳]如图Z7－5，顶点为A (3，1)的抛物线经过坐标原点O ，与x 轴交于点B .(1)求抛物线对应的二次函数的表达式；(2)过点B 作OA 的平行线交y 轴于点C ，交抛物线于点D ，求证：△OCD ≌△OAB ；(3)在x 轴上找一点P ，使得△PCD 的周长最小，求出P 点的坐标．图Z7－5 中考变形8答图解：(1)∵抛物线顶点为A (3，1)，∴设抛物线对应的二次函数的表达式为y ＝a (x －3)2＋1.将原点坐标(0，0)代入，得a ＝－13，∴抛物线对应的二次函数的表达式为y ＝－13x 2＋233x ； (2)证明：将y ＝0代入y ＝－13x 2＋233x 中，得B (23，0)．设直线OA 对应的一次函数的表达式为y ＝kx ，将A (3，1)代入，得k ＝33，∴直线OA 对应的一次函数的表达式为y ＝33x . ∵BD ∥AO ，设直线BD 对应的一次函数的表达式为y ＝33x ＋b ，将B (23，0)代入，得b ＝－2，∴直线BD 对应的一次函数的表达式为y ＝33x －2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x －2，y ＝－13x 2＋233x ，得交点D 的坐标为(－3，－3)，将x ＝0代入y ＝33x －2中，得C 点的坐标为(0，－2)，∴OA ＝2＝OC ，AB ＝2＝CD ，OB ＝23＝OD ，在△OCD 与△OAB 中，⎩⎪⎨⎪⎧OC ＝OA ，CD ＝AB ，OD ＝OB ，∴△OCD ≌△OAB (SSS )；(3)如答图，点C 关于x 轴的对称点C ′的坐标为(0，2)，连结C ′D ，则C ′D 与x 轴的交点即为点P ，此时△PCD 的周长最小．过点D 作DQ ⊥y 轴，垂足为Q ，则PO ∥DQ .∴△C ′PO ∽△C ′DQ ，∴PO DQ ＝C ′O C ′Q，即PO 3＝25，解得PO ＝235， ∴ 点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－235，0.【中考预测】设抛物线y ＝mx 2－2mx ＋3(m ≠0)与x 轴交于点A (a ，0)和B (b ，0)．(1)若a ＝－1，求m ，b 的值；(2)若2m ＋n ＝3，求证：抛物线的顶点在直线y ＝mx ＋n 上；(3)抛物线上有两点P (x 1，p )和Q (x 2，q )，若x 1＜1＜x 2，且x 1＋x 2＞2，试比较p 与q 的大小．解：(1)当a ＝－1时，把(－1，0)代入y ＝mx 2－2mx ＋3，解得m ＝－1，∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3.令y＝0，则由y＝－x2＋2x＋3，得x＝－1或3，∴b＝3；(2)抛物线的对称轴为x＝1，把x＝1代入y＝mx2－2mx＋3，得y＝3－m，∴抛物线的顶点坐标为(1，3－m)．把x＝1代入y＝mx＋n，得y＝m＋n＝m＋3－2m＝3－m，∴顶点坐标在直线y＝mx＋n上；(3)∵x1＋x2＞2，∴x2－1＞1－x1，∵x1＜1＜x2，∴|x2－1|＞|x1－1|，∴P离对称轴较近，当m＞0时，p＜q，当m＜0时，p＞q.。
2018年数学中考第一轮复习讲义：2018年数学中考第一轮复习讲义：第13讲 二次函数图像与性质
第十三讲二次函数图像与性质1．一般地，形如 的函数叫做二次函数，当a ，b 时，是一次函数．2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象是 ，对称轴是直线x= ，顶点坐标是（ ， ）.3．抛物线的开口方向由a 确定，当a ＞0时，开口 ；当a ＜0时，开口 ；a 的值越 ，开口越 ．4．抛物线与y 轴的交点坐标为 ．当c ＞0时，与y 轴的 半轴有交点；当c ＜0时，与y 轴的 半轴有交点；当c ＝0时，抛物线过 ．5．若a ＞0，当x ＝2b a-时，y 有最小值，为 ； 若a ＜0，当x ＝2b a-时，y 有最大值，为 ． 6．当a ＞0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 ，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而 ；当a ＜0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 ，在对称轴的右侧．y 随x 的增大而 ．7．当m ＞0时，二次函数y ＝ax 2的图象向 平移 个单位得到二次函数y ＝a （x ＋m)2的图象；当k ＞0时，二次函数y ＝ax 2的图象向 平移 个单位得到二次函数y ＝ax 2＋k 的图象．平移的口诀：左“ ”右 “ ”；上“ ”下“ ”．1．（2017哈尔滨）抛物线y=﹣（x+）2﹣3的顶点坐标是（ ）A ．（，﹣3） B ．（﹣，﹣3） C ．（，3）D ．（﹣，3）2. （2017.江苏宿迁）将抛物线y=x 2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是（ ）A ．y=（x+2）2+1B ．y=（x+2）2﹣1C ．y=（x ﹣2）2+1D ．y=（x ﹣2）2﹣13．（2017广西）将如图所示的抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）A ．y=（x ﹣1）2+1B ．y=（x+1）2+1C ．y=2（x ﹣1）2+1D ．y=2（x+1）2+14.（2016·福建龙岩·4分）已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则|a ﹣b+c|+|2a+b|=（ ）A ．a+bB ．a ﹣2bC ．a ﹣bD ．3a5．已知二次函数y = (x +m )2 - n 的图象如图所示，则一次函数y = mx + n 与反比例函数mn y x= 的图象可能是（ ）（第5题图） A. B. C. D.6. 如图抛物线2y ax bx c =++的图象交x 轴于A （-2，0）和点B ，交y 轴负半轴于点C ，且OB =OC . 下列结论：①22b c -=；②12a =；③1ac b =-；④0a b c+>. 其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个知识点一、求二次函数图象的顶点坐标【例题】（2017四川眉山）若一次函数y=（a+1）x+a 的图象过第一、三、四象限，则二次函数y=ax 2﹣ax （ ）A．有最大值 B．有最大值﹣ C．有最小值 D．有最小值﹣【考点】H7：二次函数的最值；F7：一次函数图象与系数的关系．【分析】一次函数y=（a+1）x+a 的图象过第一、三、四象限，得到﹣1＜a ＜0，于是得到结论．【解答】解：∵一次函数y=（a+1）x+a 的图象过第一、三、四象限， ∴a+1＞0且a ＜0，∴﹣1＜a ＜0，∴二次函数y=ax 2﹣ax由有最小值﹣，故选D ．【变式】（2017湖北随州）对于二次函数y=x 2﹣2mx ﹣3，下列结论错误的是（ ）A ．它的图象与x 轴有两个交点B ．方程x 2﹣2mx=3的两根之积为﹣3C ．它的图象的对称轴在y 轴的右侧D ．x ＜m 时，y 随x 的增大而减小【考点】HA ：抛物线与x 轴的交点；H3：二次函数的性质．【分析】直接利用二次函数与x 轴交点个数、二次函数的性质以及二次函数与方程之间关系分别分析得出答案．【解答】解：A 、∵b 2﹣4ac=（2m ）2+12=4m 2+12＞0，∴二次函数的图象与x 轴有两个交点，故此选项正确，不合题意；B 、方程x 2﹣2mx=3的两根之积为： =﹣3，故此选项正确，不合题意；C 、m 的值不能确定，故它的图象的对称轴位置无法确定，故此选项错误，符合题意；D 、∵a=1＞0，对称轴x=m ，∴x ＜m 时，y 随x 的增大而减小，故此选项正确，不合题意；故选：C ．知识点二、二次函数图象的增减性及其其它性质【例题】（2015江苏常州）已知二次函数2(1)1y x m x =+-+，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，而m 的取值范围是（ ）A ．1m =-B ．3m =C ．1m ≤-D ．1m ≥-【答案】D ．【分析】根据二次函数的性质即可做出判断. 【解析】抛物线的对称轴为直线12m x -=-，∵当x ＞1时，y 的值随x 值的增大而增大，∴112m --≤，解得：1m ≥-．故选D ． 【点评】本题考查了二次函数的性质，能正确地判断出确定出对称轴是解题的关键．【变式】（2016•鄂州）如图，二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象与x 轴正半轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，对称轴为直线x=2，且OA=OC ，则下列结论：①abc ＞0；②9a+3b+c ＜0；③c ＞﹣1；④关于x 的方程ax 2+bx+c （a≠0）有一个根为﹣其中正确的结论个数有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由二次函数图象的开口方向、对称轴及与y轴的交点可分别判断出a、b、c的符号，从而可判断①；由图象可知当x=3时，y＜0，可判断②；由OA=OC，且OA＜1，可判断③；把﹣代入方程整理可得ac2﹣bc+c=0，结合③可判断④；从而可得出答案．【解答】解：由图象开口向下，可知a＜0，与y轴的交点在x轴的下方，可知c＜0，又对称轴方程为x=2，所以﹣＞0，所以b＞0，∴abc＞0，故①正确；由图象可知当x=3时，y＞0，∴9a+3b+c＞，故②错误；由图象可知OA＜1，∵OA=OC，∴OC＜1，即﹣c＜1，∴c＞﹣1，故③正确；假设方程的一个根为x=﹣，把x=﹣代入方程可得﹣+c=0，整理可得ac﹣b+1=0，两边同时乘c可得ac2﹣bc+c=0，即方程有一个根为x=﹣c，由②可知﹣c=OA，而当x=OA是方程的根，∴x=﹣c是方程的根，即假设成立，故④正确；综上可知正确的结论有三个，故选C．【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程、不等式的关系是解题的关键．特别是利用好题目中的OA=OC，是解题的关键．知识点三二次函数的对称轴【例题】（2015湖南怀化）二次函数y=2x+2x的顶点坐标为，对称轴是直线．【答案】(－1，－1)；直线x=－1.【分析】将二次函数配成顶点式，然后得出顶点坐标和对称轴．【解析】y=2x+2x=2(1)x+－1，从而得出抛物线的顶点坐标(－1，－1)；对称轴直线x=－1．【点评】本题考查了二次函数图象上的点的坐标，根据对于函数图象的描述能够理解函数的解析式的特点，是解决本题的关键．【变式】（2016·四川南充）抛物线y=x2+2x+3的对称轴是（）A．直线x=1 B．直线x=﹣1 C．直线x=﹣2 D．直线x=2【分析】先把一般式化为顶点式，然后根据二次函数的性质确定抛物线的对称轴方程．【解答】解：∵y=x2+2x+3=（x+1）2+2，∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1．故选B．【点评】本题考查了二次函数的性质：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），它的顶点坐标是（﹣，），对称轴为直线x=﹣．知识点四、二次函数的最大（小）值【例题】（2017•玉林）对于函数y=﹣2（x﹣m）2的图象，下列说法不正确的是（）A．开口向下B．对称轴是x=m C．最大值为0 D．与y轴不相交【考点】H3：二次函数的性质；H7：二次函数的最值．.【分析】根据二次函数的性质即可一一判断．【解答】解：对于函数y=﹣2（x﹣m）2的图象，∵a=﹣2＜0，∴开口向下，对称轴x=m，顶点坐标为（m，0），函数有最大值0，故A、B、C正确，故选D．【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，属于基础题，中考常考题型．【变式】（2016•天津）已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x 的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3【分析】由解析式可知该函数在x=h时取得最小值1、x＞h时，y随x的增大而增大、当x＜h时，y随x的增大而减小，根据1≤x≤3时，函数的最小值为5可分如下两种情况：①若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5；②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5，分别列出关于h的方程求解即可．【解答】解：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小，∴①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5，可得：（1﹣h）2+1=5，解得：h=﹣1或h=3（舍）；②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5，可得：（3﹣h）2+1=5，解得：h=5或h=1（舍）．综上，h的值为﹣1或5，故选：B．【点评】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键．知识点五、二次函数图象与系数的关系【例题】（2017山东烟台）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac；③a+b+2c＜0；④3a+c＜0．其中正确的是（）A．①④B．②④C．①②③D．①②③④【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．【分析】由抛物线开口方向得到a＞0，然后利用抛物线抛物线的对称轴得到b 的符合，则可对①进行判断；利用判别式的意义和抛物线与x轴有2个交点可对②进行判断；利用x=1时，y＜0和c＜0可对③进行判断；利用抛物线的对称轴方程得到b=﹣2a，加上x=﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，则可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴b=﹣2a＜0，∴ab＜0，所以①正确；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，所以②正确；∵x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，而c＜0，∴a+b+2c＜0，所以③正确；∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴b=﹣2a，而x=﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，∴a+2a+c＞0，所以④错误．故选C．【变式】（2017年江苏扬州）如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A（0，2）、B（1，0）、C（2，1），若二次函数y=x2+bx+1的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数b的取值范围是（）A．b≤﹣2 B．b＜﹣2 C．b≥﹣2 D．b＞﹣2【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．【分析】抛物线经过C点时b的值即可．【解答】解：把C（2，1）代入y=x2+bx+1，得22+2b+1=1，解得b=﹣2．故b的取值范围是b≥﹣2．故选：C．知识点六、二次函数图象的平移【例题】（2017江苏盐城）如图，将函数y=（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（）A．B．C．D．【考点】H6：二次函数图象与几何变换．【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征求出A、B两点的坐标，再过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1），AC=4﹣1=3，根据平移的性质以及曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），得出AA′=3，然后根据平移规律即可求解．【解答】解：∵函数y=（x﹣2）2+1的图象过点A（1，m），B（4，n），∴m=（1﹣2）2+1=1，n=（4﹣2）2+1=3，∴A（1，1），B（4，3），过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1），∴AC=4﹣1=3，∵曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），∴AC•AA′=3AA′=9，∴AA′=3，即将函数y=（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象，∴新图象的函数表达式是y=（x﹣2）2+4．故选D．【变式】（2016·山东省滨州市·3分）在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点选择180°得到抛物线y=x2+5x+6，则原抛物线的解析式是（）A．y=﹣（x﹣）2﹣B．y=﹣（x+）2﹣C．y=﹣（x﹣）2﹣ D．y=﹣（x+）2+【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】先求出绕原点旋转180°的抛物线解析式，求出向下平移3个单位长度的解析式即可．【解答】解：∵抛物线的解析式为：y=x2+5x+6，∴绕原点选择180°变为，y=﹣x2+5x﹣6，即y=﹣（x﹣）2+，∴向下平移3个单位长度的解析式为y=﹣（x﹣）2+﹣3=﹣（x﹣）2﹣．故选A．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数的图象旋转及平移的法则是解答此题的关键．【典例解析】【例题1】（2017山东临沂）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t=；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m，其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由题意，抛物线的解析式为y=ax（x﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1，可得y=﹣t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25，由此即可一一判断．【解答】解：由题意，抛物线的解析式为y=ax（x﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1，∴y=﹣t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25，∴足球距离地面的最大高度为20.25m，故①错误，∴抛物线的对称轴t=4.5，故②正确，∵t=9时，y=0，∴足球被踢出9s时落地，故③正确，∵t=1.5时，y=11.25，故④错误．∴正确的有②③，故选B．【点评】本题考查二次函数的应用、求出抛物线的解析式是解题的关键，属于中考常考题型．【例题2】（2017山东泰安）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为（）A．19cm2B．16cm2C．15cm2D．12cm2【考点】H7：二次函数的最值．【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理可得出AC=6cm，设运动时间为t（0≤t ≤4），则PC=（6﹣t）cm，CQ=2tcm，利用分割图形求面积法可得出S=t2四边形PABQ﹣6t+24，利用配方法即可求出四边形PABQ的面积最小值，此题得解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，∴AC==6cm．设运动时间为t（0≤t≤4），则PC=（6﹣t）cm，CQ=2tcm，∴S四边形PABQ=S△ABC﹣S△CPQ=AC•BC﹣PC•CQ=×6×8﹣（6﹣t）×2t=t2﹣6t+24=（t﹣3）2+15，∴当t=3时，四边形PABQ的面积取最小值，最小值为15．故选C．【例题3】（2017甘肃天水）如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点是B（4，0），直线y2=mx+n （m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①abc＞0；②方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；④当1＜x＜4时，有y2＞y1；⑤x（ax+b）≤a+b，其中正确的结论是②⑤．（只填写序号）【考点】HC：二次函数与不等式（组）；H4：二次函数图象与系数的关系；HA：抛物线与x轴的交点．【分析】根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系一一判断即可．【解答】解：由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，故abc＜0，故①错误．观察图象可知，抛物线与直线y=3只有一个交点，故方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，故②正确．根据对称性可知抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2，0），故③错误，观察图象可知，当1＜x＜4时，有y2＜y1，故④错误，因为x=1时，y1有最大值，所以ax2+bx+c≤a+b+c，即x（ax+b）≤a+b，故⑤正确，所以②⑤正确，故答案为②⑤．【例题4】（2016·四川攀枝花）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1和3，则下列结论正确的是（）A．2a﹣b=0B．a+b+c＞0C．3a﹣c=0D．当a=时，△ABD是等腰直角三角形【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由于抛物线与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3，得到对称轴为直线x=1，则﹣=1，即2a+b=0，得出，选项A错误；当x=1时，y＜0，得出a+b+c＜0，得出选项B错误；当x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，而b=﹣2a，可得到a与c的关系，得出选项C 错误；由a=，则b=﹣1，c=﹣，对称轴x=1与x轴的交点为E，先求出顶点D的坐标，由三角形边的关系得出△ADE和△BDE都为等腰直角三角形，得出选项D正确；即可得出结论．【解答】解：∵抛物线与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3，∴抛物线的对称轴为直线x=1，则﹣=1，∴2a+b=0，∴选项A错误；∴当自变量取1时，对应的函数图象在x轴下方，∴x=1时，y＜0，则a+b+c＜0，∴选项B错误；∵A 点坐标为（﹣1，0）， ∴a ﹣b+c=0，而b=﹣2a ， ∴a+2a+c=0， ∴3a+c=0， ∴选项C 错误；当a=，则b=﹣1，c=﹣，对称轴x=1与x 轴的交点为E ，如图， ∴抛物线的解析式为y=x 2﹣x﹣， 把x=1代入得y=﹣1﹣=﹣2， ∴D 点坐标为（1，﹣2）， ∴AE=2，BE=2，DE=2，∴△ADE 和△BDE 都为等腰直角三角形， ∴△ADB 为等腰直角三角形， ∴选项D 正确． 故选D ．【点评】本题考查了二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与系数的关系：当a ＞0，抛物线开口向上；抛物线的对称轴为直线x=﹣；抛物线与y 轴的交点坐标为（0，c ）．热点1：（2017乌鲁木齐）如图，抛物线y=ax 2+bx+c 过点（﹣1，0），且对称轴为直线x=1，有下列结论：①abc＜0；②10a+3b+c＞0；③抛物线经过点（4，y1）与点（﹣3，y2），则y1＞y2；④无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点（﹣，0）；⑤am2+bm+a≥0，其中所有正确的结论是②④⑤．【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．【分析】由开口方向、对称轴及抛物线与y轴交点位置可判断①；由x=3时的函数值及a＞0可判断②；由抛物线的增减性可判断③；由当x=﹣时，y=a•（﹣）2+b•（﹣）+c=且a﹣b+c=0可判断④；由x=1时函数y取得最小值及b=﹣2a可判断⑤．【解答】解：由图象可知，抛物线开口向上，则a＞0，顶点在y轴右侧，则b＜0，抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0，∴abc＞0，故①错误；∵抛物线y=ax2+bx+c过点（﹣1，0），且对称轴为直线x=1，∴抛物线y=ax2+bx+c过点（3，0），∴当x=3时，y=9a+3b+c=0，∵a＞0，∴10a+3b+c＞0，故②正确；∵对称轴为x=1，且开口向上，∴离对称轴水平距离越大，函数值越大，∴y1＜y2，故③错误；当x=﹣时，y=a•（﹣）2+b•（﹣）+c==，∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c=0，∴当x=﹣时，y=a•（﹣）2+b•（﹣）+c=0，即无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点（﹣，0），故④正确；x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，x=1对应的函数值为y=a+b+c，又∵x=1时函数取得最小值，∴am2+bm+c≥a+b+c，即am2+bm≥a+b，∵b=﹣2a，∴am2+bm+a≥0，故⑤正确；故答案为：②④⑤．热点2：(2017湖北咸宁)如图，直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c交于A（﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是x＜﹣1或x ＞4 ．【考点】HC：二次函数与不等式（组）．【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．【解答】解：观察函数图象可知：当x＜﹣1或x＞4时，直线y=mx+n在抛物线y=ax2+bx+c的上方，∴不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为x＜﹣1或x＞4．故答案为：x＜﹣1或x＞4．热点3：（2016·山东省菏泽市·3分）如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得到C 6，若点P（11，m）在第6段抛物线C6上，则m= ﹣1 ．【考点】二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点．【专题】规律型．【分析】将这段抛物线C1通过配方法求出顶点坐标及抛物线与x轴的交点，由旋转的性质可以知道C1与C2的顶点到x轴的距离相等，且OA1=A1A2，照此类推可以推导知道点P（11，m）为抛物线C6的顶点，从而得到结果．【解答】解：∵y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2），∴配方可得y=﹣（x﹣1）2+1（0≤x≤2），∴顶点坐标为（1，1），∴A1坐标为（2，0）∵C2由C1旋转得到，∴OA1=A1A2，即C2顶点坐标为（3，﹣1），A2（4，0）；照此类推可得，C3顶点坐标为（5，1），A3（6，0）；C 4顶点坐标为（7，﹣1），A4（8，0）；C 5顶点坐标为（9，1），A5（10，0）；C 6顶点坐标为（11，﹣1），A6（12，0）；∴m=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了二次函数的性质及旋转的性质，解题的关键是求出抛物线的顶点坐标．一、选择题1.（2016·山东省滨州市·3分）抛物线y=2x 2﹣2x+1与坐标轴的交点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．32．二次函数2(2)1y x =+-的图象大致为（ ） A ． B ．C ． D ．3．已知二次函数3+2+-=2x x y ，当x ≥2时，y 的取值范围是（ ） A ．y ≥3 B ．y ≤3 C ．y ＞3 D ．y ＜34.（2016·四川眉山·3分）若抛物线y=x 2﹣2x+3不动，将平面直角坐标系xOy 先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（ ）A ．y=（x ﹣2）2+3B ．y=（x ﹣2）2+5C ．y=x 2﹣1D ．y=x 2+45.二次函数y=a 2x +bx+c 的图象如图所示，则下列关系式错误的是（ ）6．（2016·湖北黄石·3分）以x 为自变量的二次函数y=x 2﹣2（b ﹣2）x+b 2﹣1的图象不经过第三象限，则实数b 的取值范围是（ ） A ．b ≥ B ．b ≥1或b ≤﹣1 C ．b ≥2 D ．1≤b ≤27.二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac ﹣b 2＜0；②4a +c ＜2b ；③3b +2c ＜0；④m （am +b ）+b ＜a （m ≠﹣1），其中正确结论的个数是（ ）A．4个B． 3个C． 2个D． 1个8.（2016•沈阳）在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+2x﹣3的图象如图所示，点A（x1，y1），B（x2，y2）是该二次函数图象上的两点，其中﹣3≤x1＜x2≤0，则下列结论正确的是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y的最小值是﹣3 D．y的最小值是﹣49.（2016·黑龙江齐齐哈尔·3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3⑤当x＜0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个二、填空题（每小题5分，满分20分）10．二次函数243y x x=--的顶点坐标是（，）．11.（2016·黑龙江哈尔滨·3分）二次函数y=2（x﹣3）2﹣4的最小值为﹣4 ．12．（2017浙江义乌）矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为（2，1）．一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合，此时抛物线的函数表达式为y=x2，再次平移透明纸，使这个点与点C重合，则该抛物线的函数表达式变为（）A．y=x2+8x+14 B．y=x2﹣8x+14 C．y=x2+4x+3 D．y=x2﹣4x+313．抛物线y=ax2+bx+2经过点（﹣2，3），则3b﹣6a= ．14.（2017湖南株洲）如图示二次函数y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧，其图象与x轴交于点A（﹣1，0）与点C（x2，0），且与y轴交于点B（0，﹣2），小强得到以下结论：①0＜a＜2；②﹣1＜b＜0；③c=﹣1；④当|a|=|b|时x2＞﹣1；以上结论中正确结论的序号为．15．（2017•玉林）已知抛物线：y=ax2+bx+c（a＞0）经过A（﹣1，1），B（2，4）两点，顶点坐标为（m，n），有下列结论：①b＜1；②c＜2；③0＜m＜错误！超链接引用无效。
河北省2018年中考数学总复习第二编专题突破篇专题6二次函数与综合应用精练试题及答案
2
x －4x＋ 5 的值随 x 的变化而变化，因此认为没有最小值
D．小花发现当
2
x 取大于 2 的实数时， x － 4x＋5 的值随 x 的增大而增大，因此认为没有最大值
8． (2017 舟山中考 ) 下列关于函数 y ＝ x2－ 6x＋ 10 的四个命题：①当 x ＝ 0 时， y 有最小值 10；②ｎ 为任何实
2
(2) 如图，顶点在第一象限的抛物线 y＝ m(x－ 1) － 4m与其伴随直线相交于点 A， B(点 A 在点 B 的左侧 ) ，与 x
y
＝
1 x
2＋
k
与扇形
OAB的边界总有两个公共点，则实数
2
k 的取值范围是 __－ 2＜
1 k＜ 2__．
11．军事演习在平坦的草原上进 行，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行高度
y( 单位： m) 与飞行时间 x( 单位： s)
的关系满足
y＝－
1 x
5
2
＋
10x
，经过
__50__ s，炮弹落在地上爆炸．
抛物线都经过同一个点
c － a， 0
；⑤
2
am＋bm＋a≥0，其中所有正确的结论是
__②④⑤ __．
14． (2017 考试说明 ) 定义 [a ，b， c] 为函数 y＝ ax2＋bx＋ c 的特征数，下面给出特征数为
[2m， 1－ 4m，2m－ 1]
1 函数的一些结论：①当 m＝ 时，函数图像的顶点坐标是
专题六 二次函数与综合应用
一、选择题 3 12
1． (2017 哈尔滨中考 ) 抛物线 y＝－ 5 x＋ 2 － 3 的顶点坐标是 ( B )
1
1
A. 2，－ 3 B. － 2，－ 3
中考复习专题 二次函数与综合应用
选择题、 解答题
考点
二次函数的 图象和性质
二次函数的 实际应用
二次函数的 图象、二次 函数的实际
应用
题号 26
分值 12
难易度 较难题
26
11
较难题
15，26
2＋12＝ 14
中等题、 较难题
纵观近三年河北中考，二次函数几乎都出现在压 轴题位置上，且难度大，但第（1）（2）问还是比 考情及预 较容易得分的，而最后一问很难做对.此专题就是 测 针对它设计的，在复习时考生应尽量做好第（1） （2）问甚至第（3）问.预测2020年可能还出现在
压轴题的位置上
备考建议►此专题多以压轴题出现，特别是最后 一问很难，但第（1）（2）两问比较容易得分， 考生应该尽力使这两问不丢分.
河北省2018年中考数学总复习第二编专题突破篇专题6二次函数与综合应用精讲试题及答案
(1) 、 (2) 小问还是比较容易得分的，而最后一问很难做对．此专题就是针
对它设计的，在复习时要鼓励学生尽量做好第
(1) 、 (2) 小问甚至第 (3)
问．预测 2018 年可能还出现在压轴题的位置上 .
解题策略
此专题多以压轴题出现，特别最后一问很难，但第 分．
(1)(2) 两问 比较容易得分，学生应该尽力使这两问不丢
市场的日销售总量最早达到 75 t?
(3) 判断上市第几天国内、国外市场的日销售总量
y 最大，并求出此时的最大值．
解： (1) 设 y 1＝ at 2 ＋bt ，把点 (30 ， 0) 和(20 ， 40) 代入得，
∴
y1＝－
1 t
2＋ 6t(0
≤t ≤30，
t
为整数
)．
5
900a ＋30b＝ 0， 解得
y2( t ) 与时间 t(t 为
整数，单位：天 ) 的关系如图②所示 .
(1) 求 y 1 与时间 t 的函数关系式及自变量 t 的取值范围，并直接写出 y2 与 t 的函数关系式及自变量 t 的取值
范围；
(2) 设国内、国外市场的日销售总量为 y t ，直接写出 y 与时间 t 的函数关系式，当销售第几天时，国内、外
29 元/ kg，此店铺每天获得的最大利润为多少元？
【解析】 (1) 根据题意可求出 y 与 x 的二次函数关系式； (2) 将 x＝ 24 代入 w＝－ 2x 2＋ 120x－ 1 600 中计算所
2
2
得利润； (3) 将 w＝ 150 代入 w＝－ 2x ＋ 120x－1 600 ＝ 150 中计算出定价； (4) 由二次函数表达式可知 w＝－ 2x ＋
年份 2017 2016 2015
2018年浙江省中考《第15讲：二次函数的图象与性质》总复习讲解
(最小值 )，可
交点式
若已知二次函数图象与 x 轴的两个交点的坐标为 (x1， 0)， (x2，0)，可
设所求的二次函数为
．
4.二次函数与一元二次方程以及不等式之间的关系
考试内容
二次函数 与一元二
次方程
二次函数 与不等式
二次函数 y＝ ax2＋bx＋ c 的图象与
轴的交点的
坐
标是一元二次方程 ax2＋ bx＋ c＝0 的根．
c
c
c>0
交.
b2－ 4ac 特殊关系
c<0
与y轴
半轴相交．
b2－ 4ac＝ 0 b2－ 4ac>0
与 x 轴有 ____________________交点
(顶点 ). 与 x 轴有
不同交点．
b2－ 4ac<0
与 x 轴 ____________________ 交点．
若 a＋ b＋ c>0，即当 x＝1 时， y____________________0.
若 a＋ b＋ c<0，即当 x＝1 时， y____________________0.
3.确定二次函数的解析式
考试内容
考试
方法
适用条件及求法
一般式
若已知条件是图象上的三个点或三对自变量与函数的对应值，则可设 所求二次函数解析式为 ____________________.
顶点式
若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值 设所求二次函数为 ____________________.
考试内容
基本 思想
数形结合，从二次函数的图象研究其开口方向、对称轴、顶点坐标、 增减性、最值及其图象的平移变化，到利用二次函数图象求解方程与 方程组，再到利用图象求解析式和解决实际问题，都体现了数形结合 的思想．
2018年中考数学总复习课件：二次函数的图象与性质(共39张PPT)
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2018中考数学总复习 专题提升六 二次函数图象与性质的综合应用
二次函数图象与性质的综合应用(第1题图)1．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，下列结论：①二次三项式ax 2＋bx ＋c 的最大值为4；②4a ＋2b ＋c ＜0；③一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝1的两根之和为－1；④使y ≤3成立的x 的取值范围是x ≥0.其中正确的个数有(B )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个(第2题图)2．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OA ＝OC .则下列结论：①abc <0；②b 2－4ac 4a >0；③ac －b ＋1＝0；④OA ·OB ＝－c a. 其中正确结论的个数是(B )A. 4B. 3C. 2D. 13．对于抛物线y ＝－12(x ＋1)2＋3，有下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x ＝1；③顶点坐标为(－1，3)；④x ＞1时，y 随x 的增大而减小．其中正确结论的个数为(C )A. 1B. 2C. 3D. 4(第4题图)4．二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象如图所示，若点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在此函数图象上，且x 1<x 2<1，则y 1与y 2的大小关系是(B )A. y 1 ≤y 2B. y 1 ＜y 2C. y 1 ≥y 2D. y 1 ＞y 25．已知A (－2，y 1)，B (1，y 2)，C (2，y 3)是抛物线y ＝－(x ＋1)2＋a 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为(A )A. y 1>y 2>y 3B. y 1>y 3>y 2C. y 3>y 2>y 1D. y 3>y 1>y 26．已知二次函数y ＝－12x 2－7x ＋152，若自变量x 分别取x 1，x 2，x 3，且0＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是(A )A. y 1＞y 2＞y 3B. y 1＜y 2＜y 3C. y 2＞y 3＞y 1D. y 2＜y 3＜y 1(第7题图)7．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上，对称轴为直线x ＝1，图象经过点(3，0)，下列结论中，正确的一项是(D )A. abc ＜0B. 2a ＋b ＜0C. a －b ＋c ＜0D. 4ac －b 2＜0(第8题图)8．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图，且关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c－m ＝0没有实数根，有下列结论：①b 2－4ac ＞0；②abc ＜0；③m ＞2.其中，正确结论的个数是(D )A. 0B. 1C. 2D. 39．已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点A (3，0)，B (－1，0)．(1)求抛物线的表达式．(2)求抛物线的顶点坐标．解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点A (3，0)，B (－1，0)，∴抛物线的表达式为y ＝－(x －3)(x ＋1)，即y ＝－x 2＋2x ＋3.(2)∵抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴抛物线的顶点坐标为(1，4)．10．已知关于x的一元二次方程：x2－(m－3)x－m＝0.(1)试判断原方程根的情况．(2)若抛物线y＝x2－(m－3)x－m与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则A，B两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．(友情提示：AB＝|x1－x2|)解：(1)Δ＝[－(m－3)]2－4(－m)＝m2－2m＋9＝(m－1)2＋8，∵(m－1)2≥0，∴Δ＝(m－1)2＋8＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．(2)存在．由题意知x1，x2是原方程的两根，∴x1＋x2＝m－3，x1·x2＝－m.∵AB＝|x1－x2|，∴AB2＝(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(m－3)2－4(－m)＝(m－1)2＋8，∴当m＝1时，AB2有最小值8，∴AB有最小值，即最小值AB＝8＝2 2.11．根据下列要求，解答相关问题：(1)请补全以下求不等式－2x2－4x≥0的解集的过程：①构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数y＝－2x2－4x；并在下面的坐标系中(见图①)画出二次函数y＝－2x2－4x的图象(只画出图象即可)；②求得界点，标示所需：当y＝0时，求得方程－2x2－4x＝0的解为x1＝0，x2＝－2；并用粗线标示出函数y＝－2x2－4x图象中y≥0的部分；③借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式－2x2－4x≥0的解集为－2≤x≤0．(2)利用(1)中求不等式解集的步骤，求不等式x2－2x＋1＜4的解集：①构造函数，画出图象；②求得界点，标示所需；③借助图象，写出解集．(3)参照以上两个求不等式解集的过程，借助一元二次方程的求根公式，直接写出关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集．(第11题图)解：(1)y＝－2x2－4x＝－2x(x＋2)，则该抛物线与x轴交点的坐标分别是(0，0)，(0，－。
2018届中考数学复习课件：第13课时 二次函数的图象和性质(二)(共40张PPT)
故选A.
第13课时 二次函数的图象和性质(二)
考点演练
考点一 二次函数的各项系数与图像之间的关系
例2 (2016·兰州)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示， 对称轴是直线x＝－1.有下列结论：① abc>0；② 4ac<b2； ③ 2a＋b＝0；④ a－b＋c>2.其中正确结论的个数是( C ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
第13课时 二次函数的图象和性质(二)
考点演练
考点一 二次函数的各项系数与图像之间的关系
思路点拨
先根据抛物线在平面直角坐标系中的位置，确定a、b、c的符号， 再结合对称轴、特殊点、抛物线与x轴交点的情况，可以逐项判 断所给结论是否正确 .
第13课时 二次函数的图象和性质(二)
考点演练
考点一 二次函数的各项系数与图像之间的关系
解：根据抛物线的开口向下可知a<0； 根据抛物线的对称轴在y轴左侧可知a、b同号，则b<0； 根据抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知c>0.
① ∵ a<0，b<0，c>0，∴ abc>0正确． ② ∵ 抛物线与x轴有两个交点，∴ b2－4ac>0.∴ 4ac<b2正确．
③ ∵ 抛物线的对称轴是直线x＝－1，∴ －b ＝－1.∴ 2a－b＝0.∴
∴ 抛物线在x轴的上方或抛物线的顶点在x轴的下方且经过第 一、二、四象限．
当抛物线在x轴的上方时，∵ 二次项系数a＝1，∴ 抛物线开
口方向向上． ∴ b2－1≥0，Δ＝[－2(b－2)]2－4(b2－1)≤0，解得b≥
5
.
4
第13课时 二次函数的图象和性质(二)
考点演练
考点一 二次函数的各项系数与图像之间的关系
2018届中考数学复习课件：第13课时 二次函数的图象和性质(二)(共40张PPT)
2a＋b＝0错误．
2a
④ 由图象可知，当x＝－1时，y>2，∴ a－b＋c>2正确．
故选C.
第13课时 二次函数的图象和性质(二)
考点演练
考点一 二次函数的各项系数与图像之间的关系
方法归纳 一般地，抛物线开口方向确定a的正负情况，开口向上时a>0， 开口向下时a<0；
抛物线与x轴交点的多少可以确定b2－4ac，即抛物线与x轴有两 个交点时，b2－4ac>0，抛物线与x轴有一个交点时，b2－4ac＝ 0，抛物线与x轴没有交点时，b2－4ac<0；
解得x1＝
1 2
，x2＝－
9 2
.
∵ a>0，
91
∴ 当y<0时，x的取值范围是－ <x< .
22
第13课时 二次函数的图象和性质(二)
考点演练
考点二
方法归纳
求二次函数的解析式
二次函数的解析式有三种形式， 一般式：y＝ax2＋bx＋c，顶点式：y＝a(x－h)2＋k，交点式(与 x轴有交点时)：y＝a(x－x1)(x－x2)．
根据二次项系数知道抛物线开口方向向上，由此可以确定抛物线 与x轴有无交点，抛物线与y轴的交点的位置，
由此即可得出关于b的不等式组，解不等式组即可求解．
第13课时 二次函数的图象和性质(二)
考点演练
考点一 二次函数的各项系数与图象之间的关系
解：∵ 二次函数y＝x2－2(b－2)x＋b2－1的图象不经过第三 象限，
b2－1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是( A )
A. b≥ 5 4
B. b≥1或b≤－1
C. b≥2
D. 1≤b≤2
第13课时 二次函数的图象和性质(二)
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二次函数图象与性质的综合应用
(第1题图)
1．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，下列结论：
①二次三项式ax 2＋bx ＋c 的最大值为4；
②4a ＋2b ＋c ＜0；
③一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝1的两根之和为－1；
④使y ≤3成立的x 的取值范围是x ≥0.
其中正确的个数有(B)
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
(第2题图)
2．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OA ＝OC.则下列结论：
①abc<0；②b 2－4ac 4a >0；③ac －b ＋1＝0；④OA ·OB ＝－c a
. 其中正确结论的个数是(B)
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
3．对于抛物线y＝－1
2
(x＋1)2＋3，有下列结论：①抛物线的开口向下；②对称
轴为直线x＝1；③顶点坐标为(－1，3)；④x＞1时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数为(C)
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
(第4题图)
4．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图所示，若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，且x1<x2<1，则y1与y2的大小关系是(B)
A. y1≤y2
B. y1＜y2
C. y1≥y2
D. y1＞y2
5．已知A(－2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线y＝－(x＋1)2＋a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为(A)
A. y1>y2>y3
B. y1>y3>y2
C. y3>y2>y1
D. y3>y1>y2。