2018学年高中第一讲不等式和绝对值不等式一3三个正数的算术—几何平均不等式同步配套课件选修4-5(数学)

a＋b＋c 3 ≥ abc 成立的条件是： a，b，c均为正数 ， (1)不等式 3 而等号成立的条件是：当且仅当 a＝b＝c . a＋b＋c 3 ) ；②a3＋b3＋c3≥3abc. (2)定理3可变形为：①abc≤( 3 (3)三个及三个以上正数的算术－几何平均值不等式的应用条 件与前面基本不等式的应用条件是一样的，即“一正，二定，三 相等”．
1 1 1 1．设a，b，c＞0，求证： 3＋ 3＋ 3＋abc≥2 3. a b c 证明：因为a，b，c＞0，由算术—几何平均不等式可得
3 1 1 1 1 1 1 ＋ ＋ ≥3 · ·， a3 b3 c3 a3 b3 c3 1 1 1 3 即 3＋ 3＋ 3≥ (当且仅当a＝b＝c时，等号成立)． a b c abc 1 1 1 3 所以 3＋ 3＋ 3＋abc≥abc＋abc. a b c 3 而abc＋abc≥2 3 2 2 2 · abc ＝ 2 3( 当且仅当 a b c ＝3时，等号成立)， abc
6 1 1 1 所以 3＋ 3＋ 3＋abc≥2 3(当且仅当a＝b＝c＝ 3时，等号成立)． a b c
2．已知a1，a2，…，an都是正数，且a1a2…an＝1，求证： (2＋a1)(2＋a2)…(2＋an)≥3n.
证明：因为a1是正数，根据三个正数的平均不等式，有2 ＋a1＝1＋1＋a1≥3 a1.同理2＋aj≥3 将上述各不等式的两边分别相乘即得 (2＋a1)(2＋a2)…(2＋an)≥(3 a1)(3 a2)…(3 an) 3 ＝3 · a1a2…an.
证明不等式的方法与技巧 (1)观察式子的结构特点，分析题目中的条件．若具备 “一正，二定，三相等”的条件，可直接应用该定理． 若题目中不具备该条件，要注意经过适当的恒等变形后 再使用定理证明． (2)三个正数的算术—几何平均不等式是根据不等式的意 义、性质和比较法证出的，因此凡是利用该不等式证明的不 等式，一般可用比较法证明．
abc (a，b，c∈R＋)，故将所证不等式的左边进行
恰当的变形．
[证明]
b＋c－a c＋a－b a＋b－c a ＋ b ＋ c
b c a c a b ＝a＋b＋c ＋a＋b＋ c －3
3 bca 3 cab ≥3 a· b· c ＋ 3 a· b· c －3＝6－3＝3. 当且仅当a＝b＝c时取等号．
(1)利用三个正数的算术－几何平均不等式定理求最值， 可简记为“积定和最小，和定积最大”． (2)应用平均不等式定理，要注意三个条件“即一正二定 三相等”同时具备时，方可取得最值，其中定值条件决定着 平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如： 配系数、拆项、分离常数、平方变形等．
1 3．设x>0，则f(x)＝4－x－ 2的最大值为 2x 2 A．4－ 2 C．不存在 B．4－ 2 5 D. 2
4 (2)∵x＞1，∴x－1>0，y＝x＋ x－12 1 1 4 ＝ (x－1)＋ (x－1)＋ 2＋1 2 2 x－1 3 1 1 4 ≥3 x－1·x－1· ＋1＝4， 2 2 x－12 1 1 4 当且仅当 (x－1)＝ (x－1)＝ 2， 2 2 x－1 即x＝3时等号成立．即ymin＝4.
(2)对于和的形式求最小值，应构造积为定值．
3 解：(1)∵1<x< ，∴3－2x>0，x－1>0. 2 y＝(x－1)2(3－2x)
x－1＋x－1＋3－2x 3 ＝(x－1)(x－1)(3－2x)≤ 3 1 1 3 ＝3 ＝ ， 27
当且仅当x－1＝x－1＝3－2x， 3 4 1 即x＝ ∈1，2时，ymax＝ . 3 27
理解教 材新知
考点一
一 第 一 讲 不 等 式 3. 三个正 数的算 术—几 何平均 不等式
把握热 点考向
考点二 考点三
应用创 新演练
一
不等式
3．三个正数的算术—几何平均不等式
1．定理3 a＋b＋c 3 如果a，b，c∈R＋，那么 ≥ abc，当且仅当 a＝b 3
＝c 时，等号成立，用文字语言可叙述为：三个正数的 算术 平均 不小于它们的 几何平均 ．
2．定理3的推广 对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均不小
a1＋a2＋…＋an n ≥ a1a2…an n 于它们的几何平均，即 ，当且
仅当 a1＝a2＝…＝an 时，等号成立．
平均不等式证明不等式
[例1] 已知a，b，c∈R＋，求证：
b＋c－a c＋a－b a＋b－c ≥3. a ＋ b ＋ c [思路点拨] ＋b＋c≥3 3 欲证不等式的右边为常数3，联想到不等式a
(
)
x x 1 1 解析：∵x>0，∴f(x)＝4－x－ 2＝4－2＋2＋2x2≤4－ 2x
3 xx 1 3 5 3 ·· ＝4－ ＝ . 2 2 2x2 2 2
答案：D
4．若0＜x＜1，则函数y＝x4(1－x2)的最大值是________，此 时x＝________.
1 2 2 1 2 解析：因为0＜x＜1，所以y＝x (1－x )＝ x · x (2－2x )≤ 2 2
n
3
3
aj(j＝2,3，…n)．
3
3
3
∵a1a2…an＝1，∴(2＋a1)(2＋a2)…(2＋an)≥3n. 当且仅当a1＝a2＝…＝an＝1时，等号成立.
用平均不等式求最值
[例2]
(1)求函数y＝(x－1)
2
3 (3－2x)1<x<2的最大值．
4 (2)求函数y＝x＋ 2(x>1)的最小值． x－1 [思路点拨] 对于积的形式求最大值，应构造和为定值．
4 2
x2＋x2＋2－2x2 4 3 2 2 2 ＝ ，当且仅当 x ＝ x ＝ 2 － 2 x ，即x＝ 27 3
6 3
4 时，函数y＝x (1－x )取得最大值 . 27
4 2
4 答案： 27
6 3
用平均不等式解应用题
[例3] 如图所示，在一张半径是2米的圆桌的
正中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高 了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边 缘处仍然是不亮的．由物理学知道，桌子边缘一点处的照亮 度E和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正 sin θ 比，而和这一点到光源的距离r的平方成反比，即E＝k 2 . r 这里k是一个和灯光强度有关的常数，那么究竟应该怎 样选择灯的高度h，才能使桌子边缘处最亮？