Y一元二次方程根与系数的关系的5种应用
一元二次方程根的判别式、根与系数关系
上述命题的逆命题也正确
例1：不解方程判断下列方程根的情况 ① x²-4x-1=0 ②x²+5=2x ③ x²-mx+m²+1=0
例2：k取何值时，方程4 x²-（k+2）x+（k-1）=0 ①有一个根是-1。 ②有两个相等的实根
解：∵方程x²+2ax+1=0有两个不相等的实根 ∴Δ 1=4a²-4＞0 既a²＞1 方程②中a＞1 ∴ 2a²-1＞1≠0 既方程②为一元二次方程 Δ 2=4a²-4（2a-1）2=-4（4a-1）（a-1） ∵a²＞1 ∴a²-1＞0 ∴（4a²-1）＞0 2=-4（4a²-1）（a²-1）<0 ∴方程②无实根
一元二次方程的根与系数关系
一元二次方程的根与系数关系(或称韦达定理)是初中数学内容中一个很重要的 知识点，在中考中占有重要的地位，纵观近年全国各地的中考试题，这个知 识点的考查可以解决以下几个问题：
一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x 1，x 2，那么
点评：本题的解题关键是把a、b看作一元二次方程x 2－3x＋1＝0的 两根，利用根与系数关系得a＋b＝3，ab＝1，再通过运用整体代换 的思想代入运算，问题可求．利用根与系数的关系求与根有关的代数 式的值，
五、利用给出条件，确定一个一元二次方程中某个字母系数的值
例3 已知关于x的方程x 2＋px＋q＝0的两实数根和的平方比两实数根之积 大7，而两实数根差的平方比两实数根之积的3倍小5，求p、q值．
(x 1－x 2) 2＝3 x 1·x 2－5 ……③ ∵(x 1－x 2) 2＝(x 1＋x 2) 2-4 x 1·x 2
一元二次方程根与系数的关系及应用题
一元二次方程根与系数的关系及应用题一、 根与系数的关系(韦达定理)；1、定理来源，用配方法推导出来的一元二次方程的求根公式中，由两个根的相互运算而得，2、定理内容，（1）12b x x a +=- （2） 12cx x a=3、定理特征：和与积的形式特点。
4、定理的延伸：当二次项系数为1时，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积为常数项。
5、解一元二次方程的又一种方法：观察法，总结观察法的知识要点：用了根的定义和韦达定理，是一种综合性题目，是竞赛中常见的一种题型。
若0a b c ++=，则有：11x =，2c x a =，（2）若0a b c -+=，则有：11x =-，2cx a= 这里的0a b c ++=是指各项系数不变号和为零的情况，这里的0a b c -+=是指要改变一次项系数符号后和为零的情况。
如: （1）2543215432210x x ++= （2）()219981997199910x x -⨯-=例1.(1)如果x x 12、是方程3x x 2720-+=的两个根，那么x x 12+=_______ x x 12=_______. (2)如果x x 12、是方程2x x 2350--=的两个根，那么x x 12+=________ x x 12=________. (3)如果方程20542=--x x 的两个根是x 1和x 2，则21x x +________ 21x x =_________.例2 已知32-是一元二次方程042=+-c x x 的一个根，则方程的另一根是 ；例3 已知关于x 的一元二次方程230x x --=的两个实数根分别为βα、，求： （1）11αβ+；（2）()()33++βα的值； （3）22αβ+； （4）αβ-.例 4 已知βα、是关于x 的一元二次方程()03222=+++m x m x 的两个不相等的实数根，且满足1-11=+βα，求m 的值.例5 △ABC 的一边长为4，另外两边是方程23150x x m -+=的两根，求m 的取值范围.变式练习：1.设1x ，2x是方程220x -+=的两根,求1211x x +的值.2.下列方程中，两根均为正数的有 个。
一元二次方程根与系数关系的应用
能灵 活 运 用一 元 二 次 方 程根 与 系 数 的关 系 ， 往 能 给 往 解题 带 来 方便 ， 举例 说 明． 现
一
１ ｍ。 ２ 有 两 实 数 根 ｌｚ ． ）斗 ＋ —０ 、２ （） １若 ＋ 一 ４ 求 方 程 的 一 次 项 系 数 和 常 数 ，
、
已知 一 元 二次 方 程 的 一 根求 另 一 根
二 、 造 一 元二 次 方 程 构
．
‘ ．
【 ２ 以两 数ｖ ＋ １ 一１为根 构 造 一 个一 元 例 】 ／ 、
二 次方 程
。 ． ．
方程 的一 次 项 系数 为 一４ 常 数 项 为 ３ ， ．
（） ２ 由题 意可知 Ｘ ≠Ｏ且 Ｚ ≠Ｏ 否则 ＋ ２ ｌ ２ ， 一Ｏ与 ＋２ ＞ｏ矛 盾 ， 以可 由 ｌ Ｉ ｌ Ｉ ，』 ｌ 一 ３ 所 一３ 得 或 ｌ
’
就等于一 次项 系数的相 反数 ， 两根 之 积就等 于常数
项．
一
所 ～一√ 一 ． 以 ± ±
四 、 一 元二 次 方 程 中 的 系数 求 【 ４ 已知 关 于 的 一 元 二 次 方 程 。 ２ 例 】 ＋ （
一
元 二次 方 程 根 与 系数 关 系 的 应用 非 常 广 泛 ， 若
解题方 法与技巧
一
元 二次 方程根骆付 安 ７８０ ）
２ （ １． １ × 一 ＿ ｌ ３ ＝
；
一
元 二 次 方程 在 有 实 数根 的情 况 下 ， 的 根 与 系 它
厶
数 之 间有 着 密 切 的关 系 ， 对 于 一 元 二 次 方 程 ｎ ＋ 即 ，
一
分析： 可以用因式分解法构造 ， 一（ ＋１］・ 得 ）
根与系数的关系的四种应用类型
根与系数的关系的四种应用类型方法指导：利用一元二次方程的根与系数的关系可以不解方程，仅通过系数就反映出方程两根的特征．在实数范围内运用一元二次方程的根与系数的关系时，必须注意Δ≥0这个前提，而应用判别式Δ的前提是二次项系数不为0.因此，解题时要注意分析题目中有没有隐含条件Δ≥0和a≠0.类型1： 利用根与系数的关系求代数式的值1．设方程4x 2－7x －3＝0的两根为x 1，x 2，不解方程求下列各式的值．(1)(x 1－3)(x 2－3)；(2)x 2x 1＋1＋x 1x 2＋1； (3)x 1－x 2.类型2： 利用根与系数的关系构造一元二次方程2．构造一个一元二次方程，使它的两根分别是方程5x 2＋2x －3＝0各根的负倒数．类型3： 利用根与系数的关系求字母的值或取值范围3．已知关于x 的一元二次方程x 2－4x ＋m ＝0.(1)若方程有实数根，求实数m 的取值范围；(2)若方程两实数根分别为x 1，x 2，且满足5x 1＋2x 2＝2，求实数m 的值．类型4： 巧用根与系数的关系确定字母系数的存在性4．已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根，是否存在实数k ，使(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)＝－32成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．参考答案1．解：根据一元二次方程根与系数的关系，有x 1＋x 2＝74，x 1x 2＝－34. (1)(x 1－3)(x 2－3)＝x 1x 2－3(x 1＋x 2)＋9＝－34－3×74＋9＝3. (2)x 2x 1＋1＋x 1x 2＋1＝ x 2（x 2＋1）＋x 1（x 1＋1）（x 1＋1）（x 2＋1）＝ x 12＋x 22＋x 1＋x 2x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝ （x 1＋x 2）2－2x 1x 2＋（x 1＋x 2）x 1x 2＋（x 1＋x 2）＋1＝ ⎝⎛⎭⎫742－2×⎝⎛⎭⎫－34＋74－34＋74＋1＝10132. (3)∵(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝⎛⎭⎫742－4×⎝⎛⎭⎫－34＝9716， ∴x 1－x 2＝±9716＝±1497. 2．解：设方程5x 2＋2x －3＝0的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－25，x 1x 2＝－35. 设所求方程为y 2＋py ＋q ＝0，其两根为y 1，y 2，令y 1＝－1x 1，y 2＝－1x 2. ∴p ＝－(y 1＋y 2)＝－⎝⎛⎭⎫－1x 1－1x 2＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝23，q ＝y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫－1x 1⎝⎛⎭⎫－1x 2＝1x 1x 2＝－53. ∴所求的方程为y 2＋23y －53＝0，即3y 2＋2y －5＝0. 3．解：(1)∵方程x 2－4x ＋m ＝0有实数根， ∴Δ＝b 2－4ac ＝(－4)2－4m ≥0，∴m ≤4.(2)∵方程x 2－4x ＋m ＝0的两实数根为x 1，x 2，∴x 1＋x 2＝4，①又∵5x 1＋2x 2＝2，②联立①②解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－2，x 2＝6. ∴m ＝x 1·x 2＝－2×6＝－12.4．解：不存在．理由如下：∵一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0有两个实数根， ∴k ≠0，且Δ＝(－4k)2－4×4k(k ＋1)＝－16k ≥0， ∴k ＜0.∵x 1，x 2是方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根，∴x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝k ＋14k. ∴(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)＝2(x 1＋x 2)2－9x 1x 2＝－k ＋94k. 又∵(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)＝－32， ∴－k ＋94k ＝－32.∴k ＝95. 经检验，k ＝95是该分式方程的根． 又∵k<0，∴不存在实数k ，使(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)＝－32成立．。
一元二次方程根与系数的关系及应用-强方法
一元二次方程根与系数的关系及应用【定理内容】一、韦达定理1.()002≠=++a c bx ax 的求根公式： 当042≥-ac b 时，a ac b b x 242-±-= 2.定理的内容：若1x ，2x 为()002≠=++a c bx ax 的两根：则 =+21x x ab - ，=⋅21x x ac [注：这就是一元二次方程根与系数的关系，常称为韦达定理]二、韦达定理的应用（一）已知一根，求另一根。
1.已知方程23520x x +-=的一个根是2-，求另一个根。
512,3321(2,)33aa a a a -+=-=-=-=解：设另一根为由韦达定理得 设出另一根，由韦达定理直接解得。
亦可用于验根，确定根的符号。
（二）求关于两根的代数式的值。
（常见题型）1. 设1x ，2x 方程0522=--x x 的两个根，求下列代数式的值。
（先写1x +2x =?，1x 2x =?）（1）2221x x + （2）2111x x + （3）222111x x + （4）122221x x x x ⋅+⋅ （5）()221x x - （6）21x x -12122221212121212122221212122222212121215,22(1)()211(2)()211(3)()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +==-+=+-++=++-+==解：由韦达定理22122112122222121212121212(4)()(5)()2()4(6)||x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⋅+⋅=+-=+-=+--==借助完全平方公式变形之后，代入即可。
2.已知：α、β是方程012=--x x 的两实根，求：βα34+． 224210=+1+=1=13(+1)3(1)5x x αβαααββααβαα--=∴∴-∴+=+-=解：、是方程的两个根，（三）确定方程中待定字母的值1.已知关于x 的方程02)1(2=+++-k x k x 的两个实数根的平方和等于6，求k 的值。
初三数学一元二次方程根与系数的关系及其应用知识精讲
初三数学一元二次方程根与系数的关系及其应用知识精讲一元二次方程根与系数的关系及其应用一元二次方程ax bx c a 200++=≠()的根x x 12、是由系数a 、b 、c 决定的，它们之间有密切的关系。
x x b a x x c a1212+=-=， 这就是根与系数的关系，也称为韦达定理。
反之，一元二次方程的两根也制约着这个方程的系数，当a =1时，有()b x x =-+12，c x x =12，从而有以两个数x x 12、为根的二次项系数为1的一元二次方程是()x x x x x x 212120-++=。
需要指出，韦达定理应该是在判别式大于等于零的前提下使用，即在保证一元二次方程有实数根的条件下使用。
一元二次方程的韦达定理，揭示了根与系数的一种必然联系，利用这个关系，我们可以解决诸如已知一根求另一根，求根的代数式的值，构造方程，确定系数等问题，它是中学数学中的一个有用的工具。
例（2002·南京）已知：关于x 的方程x kx 220--= （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为x x 12、，如果()21212x x x x +>，求k 的取值范围。
解：（1）证明： ∆=-=+>b ac k 22480 ∴原方程有两个不相等的实数根 （2） x x k x x 12122+==-， 又() 21212x x x x +>∴>-∴>-221k k说明：本题侧重考察对基本知识点的掌握，难度不大，可以说是中考中的送分题，同学们应该把这类题的分数拿到手。
例（2000上海）已知关于x 的一元二次方程()mx m x m m 221200--+-=>()（1）求证：这个方程有两个不相等的实数根；（2）如果这个方程的两个实数根分别为x x 12、，且()()x x m 12335--=，求m 的值。
解：（1）证明：()[]()∆=----21422m m m=-+-+=+441484122m m m m mm m >∴4+>010， ∴方程有两个不相等的实数根 （2）由()()x x m 12335--= ()x x x x m 12123950-++-=x x m mx x m m1212212+=-=-()∴---+-=m m m mm 2321950 解得：m m 12115==-，经检验m m 12、都是方程的根。
中考数学一元二次方程根和系数的关系应用例析及练习
中考数学一元二次方程根与系数的关系应用例析及练习对于一元二次方程，当判别式△＝时，其求根公式为：；若两根为，当△≥0时，则两根的关系为：；，根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当，时，那么则是的两根。
一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。
学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记一元二次方程根的判别式存在的三种情况，以及应用求根公式求出方程的两个根，进而分解因式，即。
下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些分析，希望能给同学们带来小小的帮助。
一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。
例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。
解：∵方程（1）有两个不相等的实数根，∴解得；∵方程（2）没有实数根，∴解得；于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围是其中，的整数值有或当时，方程（1）为，无整数根；当时，方程（1）为，有整数根。
解得：所以，使方程（1）有整数根的的整数值是。
说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出，这也正是解答本题的基本技巧。
二、判别一元二次方程两根的符号。
例1：不解方程，判别方程两根的符号。
分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定或的正负情况。
因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定或的正负情况。
解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0∴方程有两个不相等的实数根。
设方程的两个根为，∵＜0∴原方程有两个异号的实数根。
一元二次方程的根与系数关系的应用
课题：一元二次方程的根与系数关系的应用一、复习导入：上节课我们学习了一元二次方程的根与系数的关系（也就是韦达定理），具体内容如下：如果方程那么、的两个实数根是,)0(0212x x a c bx ax ≠=++ac x x a b x x =-=+2121, 另外我们还研究了韦达定理的逆定理,内容如下：如果实数21x x 、满足ac x x a b x x =-=+2121,，那么21x x 、是一元二次方程 02=++c bx ax 的两个根.最后我们研究了韦达定理的两个重要推论，内容如下：推论1：如果方程02=++q px x 的两个根是21x x 、，那么.,2121q x x p x x =-=+推论2：以两个数21x x 、为根的一元二次方程（二次项系数为1）是.0)(21212=++-x x x x x x今天我继续来研究一元二次方程的根与系数关系的应用二、讲授新课：一元二次方程的根与系数关系的应用应用1：验根，不解方程，利用韦达定理可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根例题1：不解方程，检验下列方程的解是否正确. 方程13,130232212-=+==+-x x x x 的两根为. 解：()()()2131313,3213)13(2121=-=-+==-++=+x x x x 满足21,x x ac x x a b x x =-=+2121, 13,1321-=+=∴x x 是方程的根02322=+-x x .应用2：由已知方程的一个根，求出另一个根及未知系数.例题2：已知方程01022=-+kx x 的一个根是2-.则=k ，它的另一根为 .解法一：是方程2- 01022=-+kx x 的根，()(),010222-2=--+⨯•∴k 代人原方程得把1.1-=-=∴k k 01022=-+kx x ，解得另一根为25.（传统方法）解法二：设方程的另一根为1x ，则,521-=-x ∴.251=x 又(),2252k -=+- ∴1-25.1的值是，故方程的另一根是k k -=（韦达定理应用） 应用3：不解方程，可以利用韦达定理求关于21x x 、的（非）对称式的值. 如：2121122121222111,,,11,x x x x x x x x x x x x --+++等等这类为对称式，而2121231,3x x x x x +++等等这类为非对称式.注意：如果把含21x x 、的代数式中的21x x 、互换，代数式不变，那么，我们就称这类代数式为关于21x x 、的对称式，否则称为非对称式.例题3：已知21x x 、是方程21122036x x x x x x +=++的两实数根，则的值为 212124x x x -+的值为 解：⑴ 21x x 、是方程的两个根，0362=++x x ∴3,62121=-=+x x x x ∴()()10363633262221212212121222112=-=⨯--=-+=+=+x x x x x x x x x x x x x x ⑵ 1x 是方程的根，0362=++x x ∴036121=++x x ，即36121--=x x ∴212124x x x -+=()93232224362121211=-+-=---=-+--x x x x x x x 应用4：已知方程的两根，求这个一元二次方程. 例题4：求一个一元二次方程，使它的两根是：21,321-==x x 解： 21,321-==x x ∴23,252121-==+x x x x ∴该方程可以是023252=--x x ，可化为03522=--x x 应用5：已知两数的和与积，求这两个数.例题：已知的值求满足b a ab b a b a ,,3,2,-=-=+解： 3,2-=-=+ab b a ，∴的两根可以看作方程032,2=-+x x b a ∴方程0322=-+x x 可化为()()013=-+x x ，∴3,11,3-===-=b a b a 或 应用6：已知方程两个根满足某种关系，确定方程中字母系数的值.例题6：已知方程()042222=++-+m x m x 有两个实根且它们的平方和比它们的积大21，求m 的值.解：设方程的两根为21x x 、，∴()4,2222121+=--=+m x x m x x又 21212221=-+x x x x ，∴()21321221=-+x x x x ∴()[]()21432222=+---m m ，整理得017162=--m m ，∴1,1721-==m m 当17=m 时，0<∆，原方程无实根.当1-=m 时，0>∆，原方程有两个不相等的实根. ∴1-=m应用7：证明方程系数之间的特殊关系例题7：设方程02=++q px x 的两根之差等于方程02=++p qx x 的两根之差，求证：4-=+=q p q p 或证明：设方程02=++q px x 的两根为21x x 、，02=++p qx x 的两根为43x x 、 由题意知4321x x x x -=-，故有24432322212122x x x x x x x x +-=+-从而有()()432432122144x x x x x x x x -+=-+① 根据韦达定理，有p x x q x x q x x p x x =-=+=-=+43432121,,,②把②带入①，有p q q p 4422-=-，即04422=-+-q p q p即()()()04=-+-+q p q p q p ，即()()04=++-q p q p故040=++=-q p q p 或，即4-=+=q p q p 或应用8：解决其它问题，如讨论根的范围，判定三角形的形状等例题8：已知c b a ,,是ABC ∆的三边，关于x 的一元二次方程()x b a x 22++ -0222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+a c b a 的两根之和与两根之积相等，判定三角形的形状 解：设方程的两根为21x x 、，根据题意知2121x x x x =+①根据韦达定理，有()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-=+a c b a x x b a x x 22,221221②把②带入①，有()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-a c b a b a 2222，即222c b a =+，故是直角三角形应用9：根的分布问题利用根的判别式和根与系数的关系，可进一步确定根的分布问题，这也是中考命题的热点，现总结规律如下：对于一元二次方程212,),0(0x x a c bx ax 设其两根为≠=++⑴方程有实数根：0≥∆；⑵方程无实数根：0<∆⑶方程有两个相等实数根：0=∆；⑷方程有两个不相等实数根：0>∆ ⑸方程有两个正实数根：0,0,02121>>+≥∆x x x x⑹方程有两个负实数根：0,0,02121><+≥∆x x x x⑺方程有一正一负实数根：0,021<>∆x x⑻方程有一正一负实数根且正根的绝对值大：0,0,02121<>+>∆x x x x ⑼方程有一正一负实数根且负根的绝对值大：0,0,02121<<+>∆x x x x ⑽方程仅有一正实数根：0,002121=>+<c x x x x 或⑾方程仅有一负实数根：0,002121=<+<c x x x x 或⑿方程有一根为0：0=c ；⒀方程有两根都为0：0==c b⒁方程仅有一根为0：0,0=≠c b⒂方程两根互为相反数：0,021≤=x x b ；⒃两根互为倒数：1,021=≥∆x x ⒄两根互为负倒数：1,021-=>∆x x ；⒅一根大于m ，一根小于m （m 为实数）：()()0,021<-->∆m x m x ⒆两根都大于m ：()()()()0,0,02121>-->-+-≥∆m x m x m x m x ⒇两根都小于m ：()()()()0,0,02121>--<-+-≥∆m x m x m x m x 例题9：已知关于x 的两个方程()04422=-+++m x m x ①与()0322=-+-+m x n mx ②，方程①有两个不相等的负实数根，方程②有两个实数根.求证方程②两根符号相同解： 方程()04422=-+++m x m x 有两个不相等的负实数根，设这两个负实数根分别为21,x x ，0,0,02121><+>∆∴x x x x即()()024,024,04842>-<+->-⨯-+m m m m ，解不等式组得4>m ，由方程②有两个实数根，可知0≠m ，∴当4>m 时，03>-mm ，即方程②两根之积为正，所以方程②两根符号相同.三、总结归纳：通过这节课我们不仅把上节课韦达定理的内容复习了一下，另外我们又重点研究了韦达定理的应用，相信在座的每一位都印象深刻，相信未来遇到类似的题型大家都能迎刃解决，相信我们的合作会越来越好。
一元二次方程根与系数的关系
（2）解：当a=5为底边长时，b=c 当a=5为腰长时，不妨设a=b=5， 由根与系数的关系：5+c=2k-3 2 ∴Δ = （2K-5） =0，k=2.5， 5c=2k-4 2 原方程为：x -2x+1=0 解得：c=1，k=4.5 ∴b=c=1 ∵b+c<a ∴此三角形的周长为a+b+c=11 ∴此时不构成三角形，舍去。
_年 _月 _日
星期_______
天气_____ 自我评价:___________ 悄悄话:老师我想对你说______ _______________________ _______________________ ________________________
学习课题:_____________ 知识归纳与整理:________ _____________________ 有那些数学思想方法_____ 我的收获与困惑_________
分析解答
2、已知关于的方程。x2－(2k－3)x +2k－4=0 （1）求证：无论取什么实数值，方程总有实数根。 （2）若等腰三角形的一边长a=5，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根， 求这个三角形的周长？
（1）证明： ∵Δ =[-（2k-3）]2-4（2k-4） =（2K-5）2 ∴不论k取何值，（2K-5）2 ≥0， 即Δ ≥0，原方程总有实数根。
2、方程2x2-3x+1=0的两根记作x1,x2， 不解方程，求：
（1） x1 x2 x2 x1 ;
分析解答
由根与系数的关系得：x1+x2=3/2 x1x2=1/2
x x ( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x2 x1
一元二次方程根与系数关系的应用
一元二次方程根与系数关系的应用一元二次方程根与系数的关系，又名韦达定理，是中学数学方程中根与系数的重要关系，它在训练学生数学思维、培养学生模型思想、创新意识、运用知识解决问题能力等方面有着十分重要的意义。
因此，多年来，运用一元二次方程根与系数关系解答的试题一直是中考和初中数学竞赛的重要内容，其题型多样，灵活性大，思路广阔，针对性强，是考查学生能力的重要题型。
一、定理的内容设x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根，由求根公式得：x1+x2=-，x1x2=。
这就是一元二次方程的根与系数的关系，也称为韦达定理。
二、韦达定理几种常见变形1.x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2。
2.（x1-x1）2=（x1+x2）2-４x1x2。
3.（x1+a）（x2+a）=x1x2+a（x1+x2）+a2。
4.|x1-x2|=（x1+x2)2+4x1x2。
5. ＋=。
6.＋＝=－2。
三、运用韦达定理构建一元二次方程若x1、x2是一元二次方程的两个实数根，且x1+x2=a，x1x2=b。
那么以x1、x2为根的一元二次方程为x2-ax+b=0。
下面谈谈定理的应用：1.关于两根的对称式求值。
关于两根的对称式求值，常常将代数式化为含有两根和与两根积的式子，再代入求值。
例1.若x1、x2是一元二次方程2x2-3x-1=0的两个根，利用根与系数的关系求下列各式的值：①＋；②＋；③（x1-2）（x2-2）;④x12+x22;⑤（x1-x2）2；⑥|x1-x2|。
例中6个小题是上面几种常见变形的直接运用，熟悉这几种变形，不难求出相应的结果。
2.关于两根的非对称式的求值。
对于含有两根的非对称式子，常常根据根的定义降次，化高次为低次，化不对称为对称；或根据定理构造对称式，化分为整，化繁为简，从而求解问题。
（1）运用根的定义降次，化为对称式。
例2.设x1、x2是一元二次方程x2-x-2013=0的两个实数根，求x13+2014x2-2013的值。
第五讲一元二次方程根的判别式、根与系数的关系
第5讲 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系一、根的判别式1.一元二次方程根的判别式的定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b acx a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：22424b b acx a a -+=±． 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．2.判别式与根的关系：在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况(是否有实数根)由24b ac ∆=-确定．判别式：设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程有两个不相等的实数根21,24b b acx -±-=．②0∆=⇔方程有两个相等的实数根122bx x a==-．③0∆<⇔方程没有实数根．④⇔≥∆0方程有（两个）实数根典例分析知识点1：求根的判别式的值例1：（1）一元二次方程2x 2﹣4x+1=0的根的判别式的值是 （2）已知关于x 的一元二次方程x 2+（m ﹣2）x+m ﹣2=0． （1）求根的判别式△的值（用含m 的代数式表示）． （2）当m=4时，求此一元二次方程根．知识点2：利用根的判别式不解方程判断根的情况 例2：不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）22340x x +-=；（2）216924y y +=；（3）()25170x x +-=知识点：利用根的判别式求待定字母系数的取值范围（1）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2ax﹣3+a=0有实数根，则a ．（2）关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣3）x+（m﹣1）=0有两个实数根．求m的取值范围；（3）已知分式，当x=2时，分式无意义，则a= ；当a＜6时，使分式无意义的x的值共有个．知识点4：利用根的情况判断三角形形状例4：已知a、b、c是三角形的三条边长，且关于x的方程（c﹣b）x2+2（b﹣a）x+（a﹣b）=0有两个相等的实数根，试判断三角形的形状．知识点5：利用判别式求最值例5：阅读下列材料：求函数的最大值．解：将原函数转化成x的一元二次方程，得．∵x为实数，∴△==﹣y+4≥0，∴y≤4．因此，y的最大值为4．根据材料给你的启示，求函数的最小值．知识点:6：一元二次方程的简单应用例6：（1）李明准备进行如下操作实验，把一根长40cm 的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．（1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm 2，李明应该怎么剪这根铁丝？ （2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48cm 2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．（2）如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m ），用80m 长的篱笆围一个矩形场地．（1）怎样围才能使矩形场地的面积为750m 2？ （2）能否使所围矩形场地的面积为810m 2，为什么？（3）怎样围才能使围出的矩形场地面积最大？最大面积为多少？请通过计算说明．二、根与系数的关系 1、根与系数的关系如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a +=-，12cx x a=．(此公式的大前提：0∆≥)2、以两个数12,x x 为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：21212()0x x x x x x -++=3、根与系数的关系主要应用于以下几个方面：① 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； ② 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； ③ 已知方程的两根，求作方程；④ 结合根的判别式，讨论根的符号特征；⑤ 求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱．典例分析知识点7：利用方程中各项系数求两根的和与积 例7：不解方程，求下列方程的两根和与积．（1）x 2﹣2x ﹣3=0； （2）3x 2+x ﹣1=0； （3）x 2+4x ﹣1=0．知识点8：已知方程的一个根，求另一个根例8：⑴若方程240x x c -+=的一个根为23+，则方程的另一个根为 ，c = ．（2）已知关于x 的方程220x kx +-=的一个解与方程131x x +=-解相同． ⑴求k 的值；⑵求方程220x kx +-=的另一个解．知识点9：已知方程，求关于方程的两根的代数式的值 例9：（1）已知方程2350x x +-=的两根为1x 、2x ，则2212x x += ．（2）已知α、β是方程2250x x +-=的两个实数根，22ααβα++的值为 ． （3）已知α、β是方程2520x x ++=βααβ的值．（４）如果a ，b 都是质数，且2130a a m -+=，2130b b m -+=，求b aa b+的值．知识点10：根据根与系数的关系确定方程参数的值 例10：（1）设1x 、2x 是方程()222120x k x k -+++=的两个不同的实根，且()()12118x x ++=，则k 的值是＿＿＿＿．（2）已知关于x 的方程22(23)30x k x k +-+-=有两个实数根1x ，2x ，且121211x x x x +=+，求k 值.（3）已知关于x 的方程222(2)50x m x m +++-=有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值。
17.5 一元二次方程根与系数的关系及其应用(拓展)
第十七章 第5讲 一元二次方程根与系数的关系知识精要1.一元二次方程根与系数的关系若21x x 、是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根，则a ac b b x a ac b b x 24,242221---=-+-= 可以发现a b x x -=+21，ac x x =21. 由此，就有了一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根与系数的关系：若21x x 、是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根，则a b x x -=+21，ac x x =21.经典题型精讲(一)根与系数的关系例1.求下列关于x 的方程的两根的和与积：(1)0322=++x x (2)0122=--ax x (3)04)2(2222=+++-p x p x例2.已知关于x 的一元二次方程0322=++mx x 的一个根是21，求方程的另一个根及m 的值.例3.设一元二次方程03742=--x x 的两根是21x x 、.不解方程，求各式的值.(1))3)(3(21--x x ； (2)2221x x +； (3)112112+++x x x x ； (4)21x x -.例4.当k 为何值时，关于x 的一元二次方程013)13(2322=-++-k x k x ，(1)有两个互为相反数的实数根； (2)两个实数根互为倒数?例5.求作一个一元二次方程，使它的两个根是23+和23-，且方程的二次项系数是1.例6.已知一元二次方程为02322=--x x .利用根与系数的关系，求作一个一元二次方程，使它的根分别是已知一元二次方程的各根的平方，且方程的二次项系数是1.例7.已知两个数的和是10，它们的积是22，求这两个数.(二)根与系数的关系的应用例8.已知b a 、是一元二次方程01)2(2=+-+x m x 的两个根，求)1)(1(22b mb a ma ++++的值.例9.已知1≠ab ，且有08200952=++a a 及05200982=++b b ，求b a 的值.例10.已知m 为实数，一元二次方程041252=++-m x x 有一根大于2，另一根小于2，求m 的取值范围.例11.设21x x 、是关于x 的一元二次方程06)53(422=---m x m x 的两个实数根，且2321=x x ，求m 的值.例12.设21a a ≠，且1))(())((22122111=++=++b a b a b a b a ，求))((1211b a b a ++和))((2221b a b a ++的值.例13.已知实数z y x 、、满足0=++z y x ，2=xyz ，求z y x ++的最小值.例14.设实数y x 、满足222=++y xy x ，求22y xy x +-的取值范围.能力提升1.已知一元二次方程01022=-+kx x 的一个根是2-，则它的另一个根为________，=k ________.2.已知关于x 的一元二次方程0)2()69(322=--+-+b x b b x 的两个实数根的倒数和为2，则 =b _________.3.设一元二次方程012=--mx x 的两根是21x x 、.若321=-x x ，则=m ____________.4.已知n m 、是关于x 的一元二次方程0719992=++x x 的两个实数根，则n n m m 2000)(61998(22+++=+)8____________.5.已知05232=--m m ，03252=-+n n ，其中n m 、是实数，则=-nm 1____________. 6.若βα、是一元二次方程0532=--x x 的两个根，则=-+ββα3222____________.7.若一元二次方程02322=+-x x 的两个实数根为βα、，它也是一元四次方程024=++q px x 的两个实数根，则=p ____________.8.已知b a 、为实数且满足0132=++a a ，0132=++b b ，则=+ba ab ____________. 9.已知c b a 、、均为实数，且8=-b a ，0162=++c ab ，则=++c b a ____________.10.若y x 、为实数，且24122≤+≤y x ，则2242y xy x +-的取值范围是____________.11.已知ABC ∆的三边长c b a 、、满足8=+c b ，52122+-=a a bc ，则可确定ABC ∆的形状是_________三角形.12.设βα、是一元二次方程012532=--x x 的两根，不解方程，求下列各式的值：(1)2)(βα- (2)βααβ+ (3))11)(11(--βα 13.已知关于x 的一元二次方程01)12(22=+-+x k x k 有两个不相等的实数根21x x 、.(1)求k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使方程的实数根互为相反数?如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说 明理由.14.求作一个一元二次方程，使它的两根分别是一元二次方程03252=-+x x 的各根的负倒数.15.若关于x 的一元二次方程0)2()1(222=+---b x a x 有两个相等的实根. (1)求31998b a +的值；(2)求作以b a 、为根的一元二次方程.16.已知一元二次方程为0232=-+x x ，不解方程，利用根与系数的关系求作一个新的一元二次方程，使它的两根分为(1)已知方程的两根的倒数；(2)已知方程两根的两倍；(3)已知方程两根的2倍大1；(4)一根是原方程两根的和的倒数，另一根是原方程两根的差的平方.17.已知关于x 的一元二次方程052622=+-+-p p x x 的一个根为2，求另一个根及p 的值.18.已知一元二次方程01222=--x x 的两根为βα、，不解方程，求： (1)βααβ212122-+-的值； (2)βα-的值.19.已知一元二次方程062=++kx x 的两个实数根是21x x 、，同时一元二次方程062=+-kx x 的两个实数根是5521++x x 、，求k 的值.20.设21x x 、是关于x 的一元二次方程)0(02≠=++q q px x 的两个实数根，且13222121=++x x x x ，0)1()1(2211=+++x x x x ，求q p 、的值.21.已知一元二次方程01442=++-k kx kx 的两个实数根为21x x 、.(1)是否存在实数k ，使23)2)(2(2121-=--x x x x 成立?若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.(2)求使21221-+x x x x 的值为整数的实数k 的整数值. 22.已知一元二次方程04232=--x x ，求作另一个一元二次方程，使其两根分别是原方程两根的倒数.23.不解方程，求作一个关于y 的一元二次方程，使它的首项系数为1，两个根分别是一元二次方 程0132=++x x 的两个根的五次方.24.求作一个一元二次方程，使它两根的差是4，两根的乘积是3-.25.已知关于x 的一元二次方程042=++b bx x 有两个相等的实数根，21y y 、是关于y 的一元二次方程04)2(2=+-+y b y 的两个实数根，求作以21y y 、为根的一元二次方程.26.已知一元二次方程08242=+--m x x 的两个实根中一个大于1，另一个小于1，求m 的取值范围.27.已知实数c b a 、、满足方程组⎩⎨⎧=+-=+,4828,82c c ab b a 试求方程02=-+a cx bx 的根. 28.已知实数z y x 、、满足5=+y x ，92-+=y xy z ，求z y x 32++的值.29.已知实数c b a 、、满足0782=+--a bc a ，06622=+-++a bc c b ，试求a 的取值范围.30.已知一元二次方程0)30(112=++-k x x 的两根都比5大，求实数k 的取值范围.31.已知βα、是一元二次方程0872=+-x x 的两个实数根，且βα>，不解方程，求232βα+的值.32.设一元二次方程02=+-q px x 的两个实数根为βα、，而以22βα、为根的一元二次方程仍是02=+-q px x ，问数对),(q p 有多少对?33.已知ABC ∆的边长分别为c b a 、、，且c b a >>，c a b +=2，b 为正整数，若84222=++c b a ，求b 的值.参考答案：1.52, -12.1或103.4.19915.83或0 6.24-4 8. 2或7 9. 0 10.12£x 2-2xy +4y 2£3 11.等腰 12.1699; -9736; 76 13.k <14且k ¹0 14.3x 2+2x -5=0 15.-7; x 2+x -2=0 16.2x 2-3x -1=0; x 2+12x -8=0; 3x 2-50x -17=0 17.另一个根为4，p 的值为或-118.1; 19.5 20. p =0q =1ìíî或p=q =-1ìíïîï21.(1)不存在 提示：利用判别式和韦达定理 (2)-5,-3,-2 22.4x 2+3x -2=0 23.y 2+123y +1=0(提示：x 15+x 25=(x 12+x 22)(x 13+x 23)-(x 1x 2)2(x 1+x 2)) 24.x 2-2x -3=0或x 2+2x -3=025.x 2-+2=0 26.m >52 27.x =228.3 29.1£a £9 30.0<k £14 31.403-8提示：构造2a +3b 2的对偶式2b +3a 2，计算它们和与差建立方程组，从而求得结果 32.3 33.5。
一元二次方程根与系数的关系的5种应用
一元二次方程根与系数的关系的5种应用一元二次方程根与系数的关系的应用是初中数学的重点内容，也是中考必考的热门内容．与“一元二次方程根与系数的关系”有关的题型形式灵活多样，常见的形式有下面5种，要求同学们要熟练掌握．一，已知两根求作新方程例1，求一个一元二次方程，使它的两根为1x 、2x ，且满足221210x x +=，123x x =．答案：x 2+4x+3=0或x 2－4x+3=0解析：由221210x x +=，可得102)(21221=-+x x x x ，又因为123x x =，所以16)(221=+x x ，421±=+x x ，所以此方程为：x 2+4x+3=0或x 2－4x+3=0 二，已知关于两根关系式的值，求系数．例2，如果关于x 的方程x 2+mx+1=0的两个根的差为1，那么m 等于（ ）A ．±2B ．±3C ．±5 D ．± 6答案：C解析：根据题意，方程的两根1x 、2x ，满足1x －2x ＝１（设1x ＞2x ），所以（1x －2x ）2＝１2，得14)(21221=-+x x x x ．又因为，根据根与系数的关系， m x x -=+21，121=•x x ，所以114)(2=•--m ，所以m=± 5 三，已知一元二次方程，求两根关系式的值例3，已知1x 、2x 是方程,032=--x x 的两个根，那么2221x x +的值是（ ）A ．1B ．5C ．7D ．449 答案：C解析：根据根与系数的关系， 121=+x x ，321-=•x x ，又因为2212x x +=212212)(x x x x -+，所以2212x x +=7． 四，已知一根，求另一根及系数例4，已知关于x的一元二次方程x2－(k＋1) x－6=0的一个根是2，求方程的另一根和k的值．解析：设方程的另一根为x1，由根与系数的关系：2 x1=－6，解得x1=－3．由根与系数的关系：－3+2= k＋1，所以k=－2.．五，知两数和，两数积，求两数例5，已知，两数和为8，两数积是7，求这两数．答案：1和7解析，根据根与系数的关系，这两数是方程2x-8x+7=0的两根，解得，x1=1，x2=7，所以这两数是1和7．。
一元二次方程根与系数关系的七种应用
一元二次方程根与系数关系的七种应用作者：陈显华来源：《中学课程辅导·教学研究》2014年第04期摘要：一元二次方程根与系数的关系是初中数学教学中的重要内容之一，也是每年中考的热点，其应用较为广泛。
笔者在教学中将其应用总结为七种，现与同行进行分享。
关键词：一元二次方程；根；系数；应用中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）02-0121一、检验方程的根若x1、x2同时满足x1+x2=-■，x1·x2=■，则x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的实根，否则就不是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的实根。
反过来也成立。
例1. 一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根是另一个根的2倍，则（）A. 4b2=9cB. 2b2=9acC. 2b2=9aD. 9b2=2ac解：设原方程的一个根是2x1 ，则另一个根是x1，由一元二次方程根与系数的关系知x1+2x1=-■ ·····①x1·2x1=■ ·····②由①，得 x1=-■ ·····③将③代入②中得 2（-■）2=■，化简后得 2b2=9ac。
所以选答案B。
二、求方程的根例2. （河南省）已知关于x的方程5x2+kx-6=0的一个根是2，设方程的另一个根是x1，则有（）A. x1=■，k=-7B. x1=-■，k=-7C. x1=-■，k=7D. x1=■，k=7解：由题意得 2x1=-■ ∴ x1=-■又（-■）+2=-■∴ k= -5[（-■）+2]=-7 .∴选答案B。
例3. 已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数。
解：根据根与系数的关系可知，这两个数是方程x2-8x+9=0的两个根。
解这个方程，得x1=4+■，x2=4-■。
一元二次方程的根与系数关系及应用
代数：一元二次方程根与系数的关系一、一元二次方程的根与系数关系：二、一元二次方程的根与系数关系的应用应用1，验根，不解方程求一元二次方程两根和与两根积，检验两个数是不是一元二次方程的两个根. 应用2，已知方程的一个根，求另一根及方程中未知参数. 应用3，不解方程，利用定理求出关于x 1,x 2的对称式的值..,11,,,11,,213231212132312221等等如x x x x x x x x x x x x ++++++ 应用4，已知方程的两根，求作这个一元二次方程. 应用5，已知两数的和与积，求这两个数. 应用6，求作一个新的一元二次方程，使它的两根与已知方程的两根有某些特殊关系. 应用7，已知方程两个根满足某种关系，确定方程中字母系数的值.应用8，解决其他问题，如讨论根的范围，根的符号及判定三角形的形状等.三、相关练习1．不解方程，求下列各方程两根之和，两根之积.x x 1.025.0.12-= x x 21231.22+= 22322.32=+x x )(4)(.42222222b a b a a b xx b a ≠-=-- 2．已知方程5x 2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值.已知方程7x 2+kx-5=0的一个根是3，求另一个根及k 的值.3．利用根与系数的关系，求一元二次方程2x 2+3x-1=0两个根的（1）平方和，（2）倒数和，（3）立方和，（4）x 1-x 2，（5）1221x x x x + 4．设x 1、x 2是方程3x 2-9x-7=0的两个根，不解方程，求下列各式的值.221122221221)2()1(x x x x x x x x ++ （3）（2x 1+5）（2x 2+5） （4）x 1-x 25．求作一个一元二次方程，使它的两个根是212,313- 6．已知两数和是8，积是-9，求这两个数.7．已知方程2x 2+4x-3=0，不解方程，求作一个一元二次方程，使它的一个根为已知方程两根差的平方，另一根为已知方程两根和的倒数.试求且和分别满足方程、已知实数,1,030311.822≠=-+=-+ab b b a ab a (一)选择题 1．如果方程03622=+-x x 的两个实数根分别为21,x x ，那么21x x ⋅的值是（ ）（A ）3 （B ）–3 （C ）23-（D ）32-2．若21,x x 是方程0532=-+x x 的两个根，则()()1121++x x 的值为（ ） （A ）–7 （B ）1 （C ）291+- （D ）291--3．方程2x 2－ax ＋10=0的一个根为2，则a 的值为 ( ) (A) 25 （B ）29- （C ）49 （D ）9 4．已知方程 2x 2＋kx －2k ＋1=0 两实根的平方和为429 ，则k 的值是： (A) －11 (B) 3或－11 (C) 3 (D) 以上都不对5．若方程 x 2－kx ＋6=0 的两根分别比方程x 2＋kx ＋6=0 的两根大5，则k 的值是：(A) 5 (B) －5 (C) 852 (D) 856．方程x 2－ax －2a=0的两根之和为4a －3，则两根之积为 ( )(A) 1 （B ）－2 （C ）2 （D ）－1(二)填空题1．已知方程01932=+-m x x 的一个根是1，则它的另一个根是_____，m 的值为______。
一元二次方程根与系数的关系各种类型题及训练
一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。
例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。
解：∵方程（1）有两个不相等的实数根，∴解得；∵方程（2）没有实数根，∴解得；于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围是其中，的整数值有或当时，方程（1）为，无整数根；当时，方程（1）为，有整数根。
解得：所以，使方程（1）有整数根的的整数值是。
总结：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出，这也正是解答本题的基本技巧。
二、判别一元二次方程两根的符号。
例1：不解方程，判别方程两根的符号。
分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定或的正负情况。
因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定或的正负情况。
解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0∴方程有两个不相等的实数根。
设方程的两个根为，∵＜0∴原方程有两个异号的实数根。
总结：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若＞0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。
三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。
例2：已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。
分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。
解法一：把代入原方程，得：即解得当时，原方程均可化为：，解得：∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。
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一元二次方程根与系数的关系的5种应用
一元二次方程根与系数的关系的应用是初中数学的重点内容，也是中考必考的热门内容．与“一元二次方程根与系数的关系”有关的题型形式灵活多样，常见的形式有下面5种，要求同学们要熟练掌握．
一，已知两根求作新方程
例1，求一个一元二次方程，使它的两根为1x 、2x ，且满足221210x x +=
，123x x =．
答案：x 2+4x+3=0或x 2－4x+3=0
解析：由221210x x +=
，可得102)(21221=-+x x x x ，又因为123x x =，所以16)(221=+x x ，42
1±=+x x ，所以此方程为：x 2+4x+3=0或x 2－4x+3=0 二，已知关于两根关系式的值，求系数．
例2，如果关于x 的方程x 2+mx+1=0的两个根的差为1，那么m 等于（ ）
A ．±2
B ．±3
C ．±
5 D ．±
6 答案：C
解析：根据题意，方程的两根1x 、2x ，满足1x －2x ＝１（设1x ＞2x ），所以
（1x －2x ）2＝１2，得14)(2
1221=-+x x x x ．又因为，根据根与系数的关系， m x x -=+21，121=∙x x ，所以114)(2=∙--m ，所以m=± 5
三，已知一元二次方程，求两根关系式的值
例3，已知1x 、2x 是方程,032=--x x 的两个根，那么2
221x x +的值是（ ） A ．1 B ．5 C ．7 D ．
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答案：C 解析：根据根与系数的关系， 121=+x x ，321-=
∙x x ，又因为2212x x +=2
12212)(x x x x -+，所以2212x x +=7． 四，已知一根，求另一根及系数
例4，已知关于x的一元二次方程x2－(k＋1) x－6=0的一个根是2，求方程的另一根和k的值．
解析：设方程的另一根为x
1，由根与系数的关系：2 x=－6，解得x
1
=
－3．
由根与系数的关系：－3+2= k＋1，所以k=－2.．
五，知两数和，两数积，求两数
例5，已知，两数和为8，两数积是7，求这两数．
答案：1和7
解析，根据根与系数的关系，这两数是方程2x-8x+7=0的两根，
解得，x=1，x
2
=7，所以这两数是1和7．。