数列的应用

错位相减
a1 r d a1 r d d n Tn (1 r ) n 2 2 r r r
S3 n n 2 n 例. {an }中，an n (cos sin )， 其前 n 项和为Sn . bn 3 3 n 4n (1). 求 Sn (2). 求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 2n 周期变化: 2 2 n 2 n 2 sin )=n cos 解： an n (cos 1 1 1 1 3 3 3 ， ,1, ， ,1,...... n2 (n 3k ) 2 2 2 2 2 n (n 3k 1或n 3k 2) 2 2 2 2 2 12 22 4 5 7 8 分组求和？ Sn 32 62 92 ...... 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 11 22 4 5 7 8 ( 32 ) ( 62 ) ( 92 ) ...... 2 2 2 5 (3k 2)2 (3k 1)2 2 [ (3k ) ] ...... 9k 2 2 k (9k 4) 13 31 49 18k 5 ... 当 n 3k 时： Sn S3k ... 2 2 2 2 2
2 2
S3 n n 2 n 例. {an }中，an n (cos sin )， 其前 n 项和为Sn . bn 3 3 n 4n (1). 求 Sn (2). 求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 2n 2 2 n 2 n 2 sin )=n cos 解： an n (cos 3 3 3 2 2 2 2 11 22 4 5 7 8 Sn ( 32 ) ( 62 ) ( 92 ) ...... 2 2 2
3 解 (2)： 由 (1) 知 an 1 an d 2 3 设 an 1 t (an t ) 得 t 2d an 1 2d 3 (an 2d ) 2 2
3 故， {an 2d } 是公比为 , 首项为 a1 d 3000 3d 的等比数列 2
S3 n n 2 n 例. {an }中，an n (cos sin )， 其前 n 项和为Sn . bn 3 3 n 4n (1). 求 Sn (2). 求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn
2 2
4 (3k ) (3k ) 2 k (9k 4) 3 n 4n 3 当 n 3k 时： Sn S3k 2 2 6 k (9k 4) (3k 1)2 Sn 当 n 3k 1时： [ ] 2 2 2 1 2 (3k 1) (3k 1) 2 2n 1 (3 k 1) 3 3 6 2 2 k (9k 4) (3k 1)2 (3k 2)2 当 n 3k 2 时：Sn [ ] [ ] 2 2 2 3n 2 2n 1 ... 6
————————
6. 一个三角形的三个内角成等差数列，对应的三边长成等比数列，则其三个 0 内角构成的等差数列的公差等于————————
2 例1. 等差数列{ an }的前n项和为 S n . 已知 S 3 = a2 , 且 S 1, S 2 , S 4 成
等比数列.求 { an } 的通项公式. 可求出 a2 的值 分析： 解： 设 { an } 的公差为 d f ( a2 , d ) = 0, 求出d
2d)
综上， an = 3或 an = 2n - 1 练习. 等比数列 {a } 的公比为 q , 前n项和为 S n , 若 S 3 ,S 9 ,S 6 n
1 成等差,则 q = ________ 2
3
例2. 某公司的一下属企业从事某项生产。该企业第一年初有资金 2000万元，将其投入生产.到年底资金增长了50 0 0 . 预计以后每年 资金增长率与第一年相同。 公司要求该企业从第一年起，每年上缴 d 万元，并将剩余资金全部投入下一年的生产。设第 n 年底该企业 上缴资金后剩余 an 万元。 下一年底总资金？上缴多少？剩余多少？ (1). 用 d 表示 a1、 a2 ，并写出 an + 1 与 an 的关系 (2). 若公司希望经过 m 年( m ³ 3) 企业的剩余资金为 4000万元，试 确定企业每年上缴的资金 d 的值(用 m 表示)
0
分析： a1 = 2000(1+ 50 0) - d 3 5 0 a2 = a1 (1+ 50 0) - d = a1 - d = 4500 - d 2 2
am 4000, 欲求 d
an 百度文库 1 = an (1+ 50 0 0) - d
3 ？ 递推关系 an 1 an d 通项 an 2
4. 某电脑病毒开机时占据电脑内存 2kB,然后每3分钟自我复制一次，复制
45 （ 后占内存是原2倍.该病毒占据 64mB 内存所需时间为—————— . 1mB=210 kB）
5. 已知三个数 a、b、c 成等比，则 f ( x) ax 2 bx c 的图象与 x 轴的交 0 点的个数为
“差比”数列，错位相减法求和
3n 2 4n , (n 3k ) 6 2n 1 , (n 3k 1) (1). Sn 6 3n2 2n 1 , (n 3k 2) 6
1 练习：设 P ......, Pn， ......顺次为函数 y ( x 0) 1，P 2， x 图象上的点，Q1 , Q2 ,..., Qn ,...顺次为 x 轴上的点。 OPQ 1 1 , Q1 P 2 Q2 ,..., Qn 1 P n Qn 是等腰 Rt . 若Qn的坐标为 ( xn ,0), 求数列{xn }的通项
x
x
+
4. 分期付款问题
借贷总数(或商品价值)N，利率 r,定期等额还清, 若每次还 x, 共 n 次还清. 则————————————
1. 某细胞开始只有2个，小时后分裂成 1 4个并死去1个，小时后分裂成 2 6个
1 细胞 并死去1个，小时后分裂成 3 10个并死去1个，...,10小时后有2 ————
例. 某市2007年新建住房400万m 2 , 其中有250万m 2是廉价房.该市计划每年
新建住房总面积按 8%的增长率逐年递增，且每年的新建房中，廉价房要
比上年增加50万m 2。问到哪一年底: (1).历年所建房中的廉价房累计面积
首次不少于4750万m 2 . (2).当年所建廉价房面积与该年建房总面积的比
O
xn 2 n
P1
P2
Q1
P 3
Q2 Q3
分析：
xn xn 1 Qn Pn Qn 1 是直角等腰三角形 xPn 2
3 n 3 m (3000 3d )[1 ( ) ] 100[( ) 2] 2 an 2d 2 解得 d 3 3 m 1 ( ) 1 2 2 3 n 1 化简得 an ( ) (3000 3d ) 2d 2 3 m 1 由题意， am 4000. 即 ( ) (3000 3d ) 2d 2
2 2
(3k 2)2 (3k 1)2 Sn f (n) ? [ (3k )2 ] ...... 2 13 31 49 18k 5 k (9k 4) 当 n 3k 时： Sn S3k ... ... 2 2 2 2 2 2 k (9 k 4) (3 k 1) Sn S3k a3k 1 当 n 3k 1时： [ ] 2 2 Sn S3k a3k 1 a3k 2 当 n 3k 2 时： k (9k 4) (3k 1) 2 (3k 2) 2 [ ] [ ] 2 2 2
(2). 各年新建住房的总面积构成的数列 {bn } 等比
n1 其首项 b1 400, 公比 q 1.08 bn 400 1.08
由 (1) 知 an 250 (n 1) 50 an n1 250 ( n 1) 50 400 1.08 0.85 由题意 85% bn
练习：安徽 ( .2007)某国采用养老储备金制度,公民在就业的第一年就交纳 养老储备金，数目为 a1 , 以后每年交纳的数目比上年增加 d 元。与此同时 国家给予优惠的计息政策，采用年利率固定为 r (r 0)的复利计息。若用 Tn 表示到第 n 年末所积累的储备金总额 (2). 求证：Tn An Bn . 其中{ An }是等比数列， {Bn }是等差数列
2
S3 n n 2 n 例. {an }中，an n (cos sin )， 其前 n 项和为Sn . bn 3 3 n 4n (1). 求 Sn (2). 求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn
2 2
3 (3n)2 4 (3n) S3 n 9n 4 6 (2). bn n n n 2 4 n4 n4
2 2 Q S 3 = a2 \ 3a2 = a2 解得 a2 = 0 或 a2 = 3
由 S 1，S 2，S 4 等比有 S 22 = S 1 S 4 \ ( 2a2 - d )2 = (a2 - d ) ?( 4a2
i ). 当 a2 = 0 时 d 2 = - 2d 2 ，得 d = 0. 此时 S n = 0, 与条件矛盾 ii ). 当 a2 = 3 时 (6 - d ) 2 = (3 - d ) ?(12 d ) ，得 d = 0 或 d = 2
基础知识 常见的数列实际问题模型：
1. 细胞分裂 N 个细胞，每小时 1个 细胞分裂成 2 个细胞
(2 1) N n 小时后细胞总数——————————
n1
N (1 r )n
x(1 r )n1 x(1 r )n2
2. 产值问题 原产值基数为N，平均增长率为 p, 对于时间 x
10
12 (1 p ) 1 2. 某工厂产值月平均增长率为 p ， 则该工厂年平均增长率为
————————
3. 某人零存整取，每月在银行存 a 元，月息为 r %(不记复利)，此人一年
26 12a (1 r %)（利息税率为20%） 后能取出的本息和为_______________________ 5
例首次大于85%.
解(1): 每年所建的廉价房面积构成的数列{an }等差
其首项 a1 250, 公差 d 50 Sn 250n
n(n 1) 50 25n2 225n 2 2 由 25n 225n 4750 (n N ) 解得 n 10 即2016年底可首次.....
N (1 p) 的总产值为——————————
x
3. 利率问题
1) 单利公式
a (1 x r ) 本金 a , 每期利率为 r , 储存时间为 x 期.本利和为——————————
x(1 r )1
2) 复利公式
a (1 r ) 本金 a , 每期利率为 r , 储存时间为 x 期.本利和为——————————
(1).写出 Tn 与 Tn 1 的递推关系
(1) Tn Tn1 (1 r ) an Tn1 (1 r ) a1 (n 1)d
(2). Tn a1 (1 r)
n1
a2 (1 r)
n 2
a3 (1 r)
n3
... an1 (1 r) an