新人教版第14.1.5乘法公式
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( 2)
2 992 =( 100-1)
=10000 -200+1=9801 .
思考辨析
问题5 思考: 2 2 (a+b) ( 1) 与 (-a-b) 相等吗? 2 2 (a -b) ( 2) 与(b-a) 相等吗? 2 2 2 (a -b) 与 a -b 相等吗?为什么? ( 3)
变式训练
两个数的和与这两个数的差的积,等于这 两个数的平方差.
理解平方差公式
你能根据图中图形的面积说明平方差公式吗?
A
a
F G
a- b
a M B D C bb
E H
理解平方差公式
例1 运用平方差公式计算:
( 1) ; (3 x+ 2) (3 x- 2) ( 2) . (-x+ 2 y) (-x- 2 y)
) (a+b ) (a-b
2 2 =(-x) -(2 y) =x 2 - 4 y 2.
a - b
2
2
巩固平方差公式
练习1 下面各式的计算对不对?如果不对,应当 怎样改正?
( 1) (2 x+3a) (2 x-3a) =(2 x)-(3a) ;
2
2
(2a -3b) (2a -3b) =(2a)-(3b) ; ( 2) (x+ 2) (x- 2) =x - 2 ; ( 3) (-3a- 2) (3a- 2) =9 a - 4 . ( 4)
判定正误
练习 下面各式的计算是否正确?如果不正确,应 当怎样改正? 2 (x+y) =x 2 +y 2; ( 1) 2 2 2 ( x y ) = x y ; ( 2) 2 2 2 ( x y ) = x + 2 xy + y ; ( 3) 2 2 2 ( x + y ) = x + xy + y . ( 4)
变式训练
练习3 在下列多项式中,哪些可以写成完全平方 的形式? 2 x × (1) -1 ; 2 1 + 16 a × ( 2) ;
2 x ( 3) - 4 x + 4 ; 2 2 x + xy + y ( 4) ; 1 2 2 (5) 9 x -3xy+ y . 4
√
×
√
判定正误
练习 下面各式的计算是否正确?如果不正确,应 当怎样改正? 2 2 2 (x+y)=x +y ; ( 1) 2 (x-y) =x 2 -y 2; ( 2) 2 2 2 (x-y)=x + 2 xy+y ; ( 3) 2 (x+y) =x 2 +xy+y 2. ( 4)
2 2 2 ( x y ) = x 2 xy + y ; 改正:(2)
上述问题中相乘的两个多项式有什么共同点?
探究平方差公式
在14.1节中,我们学习了整式的乘法,知道了多 项式与多项式相乘的法则.根据所学知识,计算下列 多项式的积,你能发现什么规律? x 2 -1 (x+1) (x-1)= ( 1) ; 2 m -4 (m+ 2) (m- 2) ( 2) = ; 2 4 x -1 . (2 x+1) (2 x-1) ( 3) = 相乘的两个多项式的各项与它们的积中的各项有 什么关系?
判定正误
练习 下面各式的计算是否正确?如果不正确,应 当怎样改正? 2 (x+y) =x 2 +y 2; ( 1) 2 (x-y) =x 2 -y 2; ( 2) 2 (x-y) =x 2 + 2 xy+y 2; ( 3) 2 (x+y) =x 2 +xy+y 2. ( 4)
2 2 2 ( x y ) = x 2 xy + y ; 改正:(3)
总结经验
从例题1和练习1中,你认为运用公式解决问题时应 注意什么?
(4)公式中的字母a ,b 可以是具体的数、单项式、多 项式等; (5)不能忘记写公式中的“平方”.
巩固平方差公式
例2 计算: ( 1) ; (-y+ 2) (-y- 2) -(y-1 ) (y+5) (2)102×98.
巩固平方差公式
你能将发现的规律用式子表示出来吗?
(a+b) (a-b) =a 2 -b 2
探究平方差公式
你能对发现的规律进行推导吗?
(a+b) (a-b) =a 2 -ab+ab-b 2
=a 2 -b 2
理解平方差公式
2 2 ( a + b ) ( a b ) = a b 前面探究所得的式子 为乘法 的平方差公式,你能用文字语言表述平方差公式吗?
(3 x - 2) =(3 x)- 2 解:(1) (3 x+ 2)
(a+b )(a -b )
2
2
= 9 x - 4;
2
பைடு நூலகம்a -b
2
2
理解平方差公式
例1 运用平方差公式计算:
( 1) ; (3 x+ 2) (3 x- 2)
( 2) . (-x+ 2 y) (-x- 2 y)
解:(2) (-x+ 2 y) (-x - 2 y)
探究平方差公式
在14.1节中,我们学习了整式的乘法,知道了多 项式与多项式相乘的法则.根据所学知识,计算下列 多项式的积,你能发现什么规律? 2 x -1 (x+1) (x-1)= ( 1) ; 2 m -4 (m+ 2) (m- 2) ( 2) = ; 2 4 x -1 . (2 x+1) (2 x-1) ( 3) =
判定正误
练习 下面各式的计算是否正确?如果不正确,应 当怎样改正? 2 2 2 (x+y)=x +y ; ( 1) 2 (x-y) =x 2 -y 2; ( 2) 2 2 2 (x-y)=x + 2 xy+y ; ( 3) 2 (x+y) =x 2 +xy+y 2. ( 4)
2 2 2 ( x + y ) = x + 2 xy + y ; 改正:(1)
2 2
2
2
总结经验
从例题1和练习1中,你认为运用公式解决问题时应 注意什么? (1)在运用平方差公式之前,一定要看是否具备公式 的结构特征; (2)一定要找准哪个数或式相当于公式中的a,哪个 数或式相当于公式中的b; (3)总结规律:一般地,“第一个数”a 的符号相同, “第二个数”b 的符号相反;
你能发现什么规律?
归纳总结
问题2 你能用式子表示发现的规律吗?
完全平方公式:
(a+b)=a +2ab+b ;(a-b)=a - 2ab+b .
问题3 你能用文字语言表述完全平方公式吗?
2
2
2
2
2
2
两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加 上(或减去)它们的积的2倍.
归纳总结
公式特点: (1)积为二次三项式; (2)积中两项为两数的平方和; (3)另一项是两数积的2倍,且与乘式中间的符号相 同; (4)公式中的字母a,b 可以表示数,单项式和多项 式.
2 (x+y) =x 2 + 2 xy+y 2. 改正:(4)
数形结合
问题4 式吗?
b a a a
图1
能根据图1和图2中的面积说明完全平方公
D H M C G
b E
b
A
a
图2
F
b
B
例题解析
运用完全平方公式计算: 1 2 2 (y - ) . (4m+n); ( 1) ( 2) 2
2 2 (4m+n) =(4m) +( 2 4m) n+n2 解:(1)
例1
=16m2+8mn+n2;
1 2 2 1 1 2 (y - ) =y - 2 y + ( ) ( 2) 2 2 2 1 2 =y -y + . 4
例题解析
例2 运用完全平方公式计算: 2 2 (1)102 ; (2)99 .
2 解:(1) 1022 =( 100+ 2)
=10000 +400+4=10404 ;
练习1 计算: 2 2 (y -7) ; (a+5) ; (2) ( 1) 2 2 (2-y) (3+x) ( 3) ; ( 4) .
变式训练
练习2 计算: t 2 (3- ) ; ( 1) 3 2 (- 2 x+3 y) ( 3) ;
2 (2)(2 x+3 y) ; x 2 (4)(- +3 y) . 2
练习2
运用平方差公式计算:
( 1) ; (a+3b) (a -3b)
a a ( 3 + 2 ) ( 3 + 2 ) ( 2) ;
(3) 51×49;
(4)(3 x+ 4) . (3 x - 4)( - 2 x+3) (2 x -3)
导入新知
问题1 计算下列各式:
2 2 ( 1) (p+1) =______;(m+ 2) =______; 2 2 ( 2) (p -1) =______;(m- 2) =______.
14.2 乘法公式
探究平方差公式
在14.1节中,我们学习了整式的乘法,知道了多 项式与多项式相乘的法则.根据所学知识,计算下列 多项式的积,你能发现什么规律? x 2 -1 (x+1) (x-1)= ( 1) ; 2 m -4 (m+ 2) (m- 2) ( 2) = ; 2 4 x -1 . (2 x+1) (2 x-1) ( 3) =
2 992 =( 100-1)
=10000 -200+1=9801 .
思考辨析
问题5 思考: 2 2 (a+b) ( 1) 与 (-a-b) 相等吗? 2 2 (a -b) ( 2) 与(b-a) 相等吗? 2 2 2 (a -b) 与 a -b 相等吗?为什么? ( 3)
变式训练
两个数的和与这两个数的差的积,等于这 两个数的平方差.
理解平方差公式
你能根据图中图形的面积说明平方差公式吗?
A
a
F G
a- b
a M B D C bb
E H
理解平方差公式
例1 运用平方差公式计算:
( 1) ; (3 x+ 2) (3 x- 2) ( 2) . (-x+ 2 y) (-x- 2 y)
) (a+b ) (a-b
2 2 =(-x) -(2 y) =x 2 - 4 y 2.
a - b
2
2
巩固平方差公式
练习1 下面各式的计算对不对?如果不对,应当 怎样改正?
( 1) (2 x+3a) (2 x-3a) =(2 x)-(3a) ;
2
2
(2a -3b) (2a -3b) =(2a)-(3b) ; ( 2) (x+ 2) (x- 2) =x - 2 ; ( 3) (-3a- 2) (3a- 2) =9 a - 4 . ( 4)
判定正误
练习 下面各式的计算是否正确?如果不正确,应 当怎样改正? 2 (x+y) =x 2 +y 2; ( 1) 2 2 2 ( x y ) = x y ; ( 2) 2 2 2 ( x y ) = x + 2 xy + y ; ( 3) 2 2 2 ( x + y ) = x + xy + y . ( 4)
变式训练
练习3 在下列多项式中,哪些可以写成完全平方 的形式? 2 x × (1) -1 ; 2 1 + 16 a × ( 2) ;
2 x ( 3) - 4 x + 4 ; 2 2 x + xy + y ( 4) ; 1 2 2 (5) 9 x -3xy+ y . 4
√
×
√
判定正误
练习 下面各式的计算是否正确?如果不正确,应 当怎样改正? 2 2 2 (x+y)=x +y ; ( 1) 2 (x-y) =x 2 -y 2; ( 2) 2 2 2 (x-y)=x + 2 xy+y ; ( 3) 2 (x+y) =x 2 +xy+y 2. ( 4)
2 2 2 ( x y ) = x 2 xy + y ; 改正:(2)
上述问题中相乘的两个多项式有什么共同点?
探究平方差公式
在14.1节中,我们学习了整式的乘法,知道了多 项式与多项式相乘的法则.根据所学知识,计算下列 多项式的积,你能发现什么规律? x 2 -1 (x+1) (x-1)= ( 1) ; 2 m -4 (m+ 2) (m- 2) ( 2) = ; 2 4 x -1 . (2 x+1) (2 x-1) ( 3) = 相乘的两个多项式的各项与它们的积中的各项有 什么关系?
判定正误
练习 下面各式的计算是否正确?如果不正确,应 当怎样改正? 2 (x+y) =x 2 +y 2; ( 1) 2 (x-y) =x 2 -y 2; ( 2) 2 (x-y) =x 2 + 2 xy+y 2; ( 3) 2 (x+y) =x 2 +xy+y 2. ( 4)
2 2 2 ( x y ) = x 2 xy + y ; 改正:(3)
总结经验
从例题1和练习1中,你认为运用公式解决问题时应 注意什么?
(4)公式中的字母a ,b 可以是具体的数、单项式、多 项式等; (5)不能忘记写公式中的“平方”.
巩固平方差公式
例2 计算: ( 1) ; (-y+ 2) (-y- 2) -(y-1 ) (y+5) (2)102×98.
巩固平方差公式
你能将发现的规律用式子表示出来吗?
(a+b) (a-b) =a 2 -b 2
探究平方差公式
你能对发现的规律进行推导吗?
(a+b) (a-b) =a 2 -ab+ab-b 2
=a 2 -b 2
理解平方差公式
2 2 ( a + b ) ( a b ) = a b 前面探究所得的式子 为乘法 的平方差公式,你能用文字语言表述平方差公式吗?
(3 x - 2) =(3 x)- 2 解:(1) (3 x+ 2)
(a+b )(a -b )
2
2
= 9 x - 4;
2
பைடு நூலகம்a -b
2
2
理解平方差公式
例1 运用平方差公式计算:
( 1) ; (3 x+ 2) (3 x- 2)
( 2) . (-x+ 2 y) (-x- 2 y)
解:(2) (-x+ 2 y) (-x - 2 y)
探究平方差公式
在14.1节中,我们学习了整式的乘法,知道了多 项式与多项式相乘的法则.根据所学知识,计算下列 多项式的积,你能发现什么规律? 2 x -1 (x+1) (x-1)= ( 1) ; 2 m -4 (m+ 2) (m- 2) ( 2) = ; 2 4 x -1 . (2 x+1) (2 x-1) ( 3) =
判定正误
练习 下面各式的计算是否正确?如果不正确,应 当怎样改正? 2 2 2 (x+y)=x +y ; ( 1) 2 (x-y) =x 2 -y 2; ( 2) 2 2 2 (x-y)=x + 2 xy+y ; ( 3) 2 (x+y) =x 2 +xy+y 2. ( 4)
2 2 2 ( x + y ) = x + 2 xy + y ; 改正:(1)
2 2
2
2
总结经验
从例题1和练习1中,你认为运用公式解决问题时应 注意什么? (1)在运用平方差公式之前,一定要看是否具备公式 的结构特征; (2)一定要找准哪个数或式相当于公式中的a,哪个 数或式相当于公式中的b; (3)总结规律:一般地,“第一个数”a 的符号相同, “第二个数”b 的符号相反;
你能发现什么规律?
归纳总结
问题2 你能用式子表示发现的规律吗?
完全平方公式:
(a+b)=a +2ab+b ;(a-b)=a - 2ab+b .
问题3 你能用文字语言表述完全平方公式吗?
2
2
2
2
2
2
两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加 上(或减去)它们的积的2倍.
归纳总结
公式特点: (1)积为二次三项式; (2)积中两项为两数的平方和; (3)另一项是两数积的2倍,且与乘式中间的符号相 同; (4)公式中的字母a,b 可以表示数,单项式和多项 式.
2 (x+y) =x 2 + 2 xy+y 2. 改正:(4)
数形结合
问题4 式吗?
b a a a
图1
能根据图1和图2中的面积说明完全平方公
D H M C G
b E
b
A
a
图2
F
b
B
例题解析
运用完全平方公式计算: 1 2 2 (y - ) . (4m+n); ( 1) ( 2) 2
2 2 (4m+n) =(4m) +( 2 4m) n+n2 解:(1)
例1
=16m2+8mn+n2;
1 2 2 1 1 2 (y - ) =y - 2 y + ( ) ( 2) 2 2 2 1 2 =y -y + . 4
例题解析
例2 运用完全平方公式计算: 2 2 (1)102 ; (2)99 .
2 解:(1) 1022 =( 100+ 2)
=10000 +400+4=10404 ;
练习1 计算: 2 2 (y -7) ; (a+5) ; (2) ( 1) 2 2 (2-y) (3+x) ( 3) ; ( 4) .
变式训练
练习2 计算: t 2 (3- ) ; ( 1) 3 2 (- 2 x+3 y) ( 3) ;
2 (2)(2 x+3 y) ; x 2 (4)(- +3 y) . 2
练习2
运用平方差公式计算:
( 1) ; (a+3b) (a -3b)
a a ( 3 + 2 ) ( 3 + 2 ) ( 2) ;
(3) 51×49;
(4)(3 x+ 4) . (3 x - 4)( - 2 x+3) (2 x -3)
导入新知
问题1 计算下列各式:
2 2 ( 1) (p+1) =______;(m+ 2) =______; 2 2 ( 2) (p -1) =______;(m- 2) =______.
14.2 乘法公式
探究平方差公式
在14.1节中,我们学习了整式的乘法,知道了多 项式与多项式相乘的法则.根据所学知识,计算下列 多项式的积,你能发现什么规律? x 2 -1 (x+1) (x-1)= ( 1) ; 2 m -4 (m+ 2) (m- 2) ( 2) = ; 2 4 x -1 . (2 x+1) (2 x-1) ( 3) =