新人教版第14.1.5乘法公式
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（ 2）
2 992 =（ 100-1）
=10000 -200+1=9801 ．
思考辨析
问题5 思考: 2 2 （a+b） （ 1） 与 （-a-b） 相等吗？ 2 2 （a -b） （ 2） 与（b-a） 相等吗？ 2 2 2 （a -b） 与 a -b 相等吗？为什么？ （ 3）
变式训练
两个数的和与这两个数的差的积，等于这 两个数的平方差．
理解平方差公式
你能根据图中图形的面积说明平方差公式吗？
Ａ
a
Ｆ Ｇ
a- b
a M B D C bb
E H
理解平方差公式
例1 运用平方差公式计算：
（ 1） ； （3 x+ 2） （3 x- 2） （ 2） ． （-x+ 2 y） （-x- 2 y）
） （a+b ） （a-b
2 2 =（-x） -（2 y） =x 2 - 4 y 2.
a - b
2
2
巩固平方差公式
练习1 下面各式的计算对不对？如果不对，应当 怎样改正？
（ 1） （2 x+3a） （2 x-3a） =（2 x）-（3a） ；
2
2
（2a -3b） （2a -3b） =（2a）-（3b） ； （ 2） （x+ 2） （x- 2） =x - 2 ； （ 3） （-3a- 2） （3a- 2） =9 a - 4 ． （ 4）
判定正误
练习 下面各式的计算是否正确？如果不正确，应 当怎样改正？ 2 （x+y） =x 2 +y 2； （ 1） 2 2 2 （ x y ） = x y ； （ 2） 2 2 2 （ x y ） = x + 2 xy + y ； （ 3） 2 2 2 （ x + y ） = x + xy + y . （ 4）
变式训练
练习3 在下列多项式中，哪些可以写成完全平方 的形式？ 2 x × （1） -1 ； 2 1 + 16 a × （ 2） ；
2 x （ 3） - 4 x + 4 ； 2 2 x + xy + y （ 4） ； 1 2 2 （5） 9 x -3xy+ y ． 4
√
×
√
判定正误
练习 下面各式的计算是否正确？如果不正确，应 当怎样改正？ 2 2 2 （x+y）=x +y ； （ 1） 2 （x-y） =x 2 -y 2； （ 2） 2 2 2 （x-y）=x + 2 xy+y ； （ 3） 2 （x+y） =x 2 +xy+y 2. （ 4）
2 2 2 （ x y ） = x 2 xy + y ； 改正：（2）
上述问题中相乘的两个多项式有什么共同点？
探究平方差公式
在14.1节中，我们学习了整式的乘法，知道了多 项式与多项式相乘的法则．根据所学知识，计算下列 多项式的积，你能发现什么规律？ x 2 -1 （x+1） （x-1）= （ 1） ； 2 m -4 （m+ 2） （m- 2） （ 2） = ； 2 4 x -1 ． （2 x+1） （2 x-1） （ 3） = 相乘的两个多项式的各项与它们的积中的各项有 什么关系？
判定正误
练习 下面各式的计算是否正确？如果不正确，应 当怎样改正？ 2 （x+y） =x 2 +y 2； （ 1） 2 （x-y） =x 2 -y 2； （ 2） 2 （x-y） =x 2 + 2 xy+y 2； （ 3） 2 （x+y） =x 2 +xy+y 2. （ 4）
2 2 2 （ x y ） = x 2 xy + y ； 改正：（3）
总结经验
从例题1和练习1中，你认为运用公式解决问题时应 注意什么？
（4）公式中的字母a ,b 可以是具体的数、单项式、多 项式等； （5）不能忘记写公式中的“平方”．
巩固平方差公式
例2 计算： （ 1） ； （-y+ 2） （-y- 2） -（y-1 ） （y+5） （2）102×98．
巩固平方差公式
你能将发现的规律用式子表示出来吗？
（a+b） （a-b） =a 2 -b 2
探究平方差公式
你能对发现的规律进行推导吗？
（a+b） （a-b） =a 2 -ab+ab-b 2
=a 2 -b 2
理解平方差公式
2 2 （ a + b ） （ a b ） = a b 前面探究所得的式子 为乘法 的平方差公式，你能用文字语言表述平方差公式吗？
（3 x - 2） =（3 x）- 2 解：（1） （3 x+ 2）
（a+b ）（a -b ）
2
2
= 9 x - 4；
2
பைடு நூலகம்a -b
2
2
理解平方差公式
例1 运用平方差公式计算：
（ 1） ； （3 x+ 2） （3 x- 2）
（ 2） ． （-x+ 2 y） （-x- 2 y）
解：（2） （-x+ 2 y） （-x - 2 y）
探究平方差公式
在14.1节中，我们学习了整式的乘法，知道了多 项式与多项式相乘的法则．根据所学知识，计算下列 多项式的积，你能发现什么规律？ 2 x -1 （x+1） （x-1）= （ 1） ； 2 m -4 （m+ 2） （m- 2） （ 2） = ； 2 4 x -1 ． （2 x+1） （2 x-1） （ 3） =
判定正误
练习 下面各式的计算是否正确？如果不正确，应 当怎样改正？ 2 2 2 （x+y）=x +y ； （ 1） 2 （x-y） =x 2 -y 2； （ 2） 2 2 2 （x-y）=x + 2 xy+y ； （ 3） 2 （x+y） =x 2 +xy+y 2. （ 4）
2 2 2 （ x + y ） = x + 2 xy + y ； 改正：（1）
2 2
2
2
总结经验
从例题1和练习1中，你认为运用公式解决问题时应 注意什么？ （1）在运用平方差公式之前，一定要看是否具备公式 的结构特征； （2）一定要找准哪个数或式相当于公式中的a，哪个 数或式相当于公式中的b； （3）总结规律：一般地，“第一个数”a 的符号相同， “第二个数”b 的符号相反；
你能发现什么规律？
归纳总结
问题2 你能用式子表示发现的规律吗？
完全平方公式：
（a+b）=a +2ab+b ；（a-b）=a - 2ab+b .
问题3 你能用文字语言表述完全平方公式吗？
2
2
2
2
2
2
两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加 上（或减去）它们的积的2倍．
归纳总结
公式特点： （1）积为二次三项式； （2）积中两项为两数的平方和； （3）另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相 同； （4）公式中的字母a，b 可以表示数，单项式和多项 式.
2 （x+y） =x 2 + 2 xy+y 2． 改正：（4）
数形结合
问题4 式吗？
b a a a
图1
能根据图1和图2中的面积说明完全平方公
D H M C G
b E
b
A
a
图2
F
b
B
例题解析
运用完全平方公式计算： 1 2 2 （y - ） ． （4m+n）； （ 1） （ 2） 2
2 2 （4m+n） =（4m） +（ 2 4m） n+n2 解：（1）
例1
=16m2+8mn+n2；
1 2 2 1 1 2 （y - ） =y - 2 y + （ ） （ 2） 2 2 2 1 2 =y -y + . 4
例题解析
例2 运用完全平方公式计算： 2 2 （1）102 ； （2）99 ．
2 解：（1） 1022 =（ 100+ 2）
=10000 +400+4=10404 ；
练习1 计算： 2 2 （y -7） ； （a+5） ； （2） （ 1） 2 2 （2-y） （3+x） （ 3） ； （ 4） ．
变式训练
练习2 计算： t 2 （3- ） ； （ 1） 3 2 （- 2 x+3 y） （ 3） ；
2 （2）（2 x+3 y） ； x 2 （4）（- +3 y） ． 2
练习2
运用平方差公式计算：
（ 1） ； （a+3b） （a -3b）
a a （ 3 + 2 ） （ 3 + 2 ） （ 2） ；
（3） 51×49；
（4）（3 x+ 4） ． （3 x - 4）（ - 2 x+3） （2 x -3）
导入新知
问题1 计算下列各式:
2 2 （ 1） （p+1） =______；（m+ 2） =______； 2 2 （ 2） （p -1） =______；（m- 2） =______.
14.2 乘法公式
探究平方差公式
在14.1节中，我们学习了整式的乘法，知道了多 项式与多项式相乘的法则．根据所学知识，计算下列 多项式的积，你能发现什么规律？ x 2 -1 （x+1） （x-1）= （ 1） ； 2 m -4 （m+ 2） （m- 2） （ 2） = ； 2 4 x -1 ． （2 x+1） （2 x-1） （ 3） =
2 992 =（ 100-1）
=10000 -200+1=9801 ．
思考辨析
问题5 思考: 2 2 （a+b） （ 1） 与 （-a-b） 相等吗？ 2 2 （a -b） （ 2） 与（b-a） 相等吗？ 2 2 2 （a -b） 与 a -b 相等吗？为什么？ （ 3）
变式训练
两个数的和与这两个数的差的积，等于这 两个数的平方差．
理解平方差公式
你能根据图中图形的面积说明平方差公式吗？
Ａ
a
Ｆ Ｇ
a- b
a M B D C bb
E H
理解平方差公式
例1 运用平方差公式计算：
（ 1） ； （3 x+ 2） （3 x- 2） （ 2） ． （-x+ 2 y） （-x- 2 y）
） （a+b ） （a-b
2 2 =（-x） -（2 y） =x 2 - 4 y 2.
a - b
2
2
巩固平方差公式
练习1 下面各式的计算对不对？如果不对，应当 怎样改正？
（ 1） （2 x+3a） （2 x-3a） =（2 x）-（3a） ；
2
2
（2a -3b） （2a -3b） =（2a）-（3b） ； （ 2） （x+ 2） （x- 2） =x - 2 ； （ 3） （-3a- 2） （3a- 2） =9 a - 4 ． （ 4）
判定正误
练习 下面各式的计算是否正确？如果不正确，应 当怎样改正？ 2 （x+y） =x 2 +y 2； （ 1） 2 2 2 （ x y ） = x y ； （ 2） 2 2 2 （ x y ） = x + 2 xy + y ； （ 3） 2 2 2 （ x + y ） = x + xy + y . （ 4）
变式训练
练习3 在下列多项式中，哪些可以写成完全平方 的形式？ 2 x × （1） -1 ； 2 1 + 16 a × （ 2） ；
2 x （ 3） - 4 x + 4 ； 2 2 x + xy + y （ 4） ； 1 2 2 （5） 9 x -3xy+ y ． 4
√
×
√
判定正误
练习 下面各式的计算是否正确？如果不正确，应 当怎样改正？ 2 2 2 （x+y）=x +y ； （ 1） 2 （x-y） =x 2 -y 2； （ 2） 2 2 2 （x-y）=x + 2 xy+y ； （ 3） 2 （x+y） =x 2 +xy+y 2. （ 4）
2 2 2 （ x y ） = x 2 xy + y ； 改正：（2）
上述问题中相乘的两个多项式有什么共同点？
探究平方差公式
在14.1节中，我们学习了整式的乘法，知道了多 项式与多项式相乘的法则．根据所学知识，计算下列 多项式的积，你能发现什么规律？ x 2 -1 （x+1） （x-1）= （ 1） ； 2 m -4 （m+ 2） （m- 2） （ 2） = ； 2 4 x -1 ． （2 x+1） （2 x-1） （ 3） = 相乘的两个多项式的各项与它们的积中的各项有 什么关系？
判定正误
练习 下面各式的计算是否正确？如果不正确，应 当怎样改正？ 2 （x+y） =x 2 +y 2； （ 1） 2 （x-y） =x 2 -y 2； （ 2） 2 （x-y） =x 2 + 2 xy+y 2； （ 3） 2 （x+y） =x 2 +xy+y 2. （ 4）
2 2 2 （ x y ） = x 2 xy + y ； 改正：（3）
总结经验
从例题1和练习1中，你认为运用公式解决问题时应 注意什么？
（4）公式中的字母a ,b 可以是具体的数、单项式、多 项式等； （5）不能忘记写公式中的“平方”．
巩固平方差公式
例2 计算： （ 1） ； （-y+ 2） （-y- 2） -（y-1 ） （y+5） （2）102×98．
巩固平方差公式
你能将发现的规律用式子表示出来吗？
（a+b） （a-b） =a 2 -b 2
探究平方差公式
你能对发现的规律进行推导吗？
（a+b） （a-b） =a 2 -ab+ab-b 2
=a 2 -b 2
理解平方差公式
2 2 （ a + b ） （ a b ） = a b 前面探究所得的式子 为乘法 的平方差公式，你能用文字语言表述平方差公式吗？
（3 x - 2） =（3 x）- 2 解：（1） （3 x+ 2）
（a+b ）（a -b ）
2
2
= 9 x - 4；
2
பைடு நூலகம்a -b
2
2
理解平方差公式
例1 运用平方差公式计算：
（ 1） ； （3 x+ 2） （3 x- 2）
（ 2） ． （-x+ 2 y） （-x- 2 y）
解：（2） （-x+ 2 y） （-x - 2 y）
探究平方差公式
在14.1节中，我们学习了整式的乘法，知道了多 项式与多项式相乘的法则．根据所学知识，计算下列 多项式的积，你能发现什么规律？ 2 x -1 （x+1） （x-1）= （ 1） ； 2 m -4 （m+ 2） （m- 2） （ 2） = ； 2 4 x -1 ． （2 x+1） （2 x-1） （ 3） =
判定正误
练习 下面各式的计算是否正确？如果不正确，应 当怎样改正？ 2 2 2 （x+y）=x +y ； （ 1） 2 （x-y） =x 2 -y 2； （ 2） 2 2 2 （x-y）=x + 2 xy+y ； （ 3） 2 （x+y） =x 2 +xy+y 2. （ 4）
2 2 2 （ x + y ） = x + 2 xy + y ； 改正：（1）
2 2
2
2
总结经验
从例题1和练习1中，你认为运用公式解决问题时应 注意什么？ （1）在运用平方差公式之前，一定要看是否具备公式 的结构特征； （2）一定要找准哪个数或式相当于公式中的a，哪个 数或式相当于公式中的b； （3）总结规律：一般地，“第一个数”a 的符号相同， “第二个数”b 的符号相反；
你能发现什么规律？
归纳总结
问题2 你能用式子表示发现的规律吗？
完全平方公式：
（a+b）=a +2ab+b ；（a-b）=a - 2ab+b .
问题3 你能用文字语言表述完全平方公式吗？
2
2
2
2
2
2
两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加 上（或减去）它们的积的2倍．
归纳总结
公式特点： （1）积为二次三项式； （2）积中两项为两数的平方和； （3）另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相 同； （4）公式中的字母a，b 可以表示数，单项式和多项 式.
2 （x+y） =x 2 + 2 xy+y 2． 改正：（4）
数形结合
问题4 式吗？
b a a a
图1
能根据图1和图2中的面积说明完全平方公
D H M C G
b E
b
A
a
图2
F
b
B
例题解析
运用完全平方公式计算： 1 2 2 （y - ） ． （4m+n）； （ 1） （ 2） 2
2 2 （4m+n） =（4m） +（ 2 4m） n+n2 解：（1）
例1
=16m2+8mn+n2；
1 2 2 1 1 2 （y - ） =y - 2 y + （ ） （ 2） 2 2 2 1 2 =y -y + . 4
例题解析
例2 运用完全平方公式计算： 2 2 （1）102 ； （2）99 ．
2 解：（1） 1022 =（ 100+ 2）
=10000 +400+4=10404 ；
练习1 计算： 2 2 （y -7） ； （a+5） ； （2） （ 1） 2 2 （2-y） （3+x） （ 3） ； （ 4） ．
变式训练
练习2 计算： t 2 （3- ） ； （ 1） 3 2 （- 2 x+3 y） （ 3） ；
2 （2）（2 x+3 y） ； x 2 （4）（- +3 y） ． 2
练习2
运用平方差公式计算：
（ 1） ； （a+3b） （a -3b）
a a （ 3 + 2 ） （ 3 + 2 ） （ 2） ；
（3） 51×49；
（4）（3 x+ 4） ． （3 x - 4）（ - 2 x+3） （2 x -3）
导入新知
问题1 计算下列各式:
2 2 （ 1） （p+1） =______；（m+ 2） =______； 2 2 （ 2） （p -1） =______；（m- 2） =______.
14.2 乘法公式
探究平方差公式
在14.1节中，我们学习了整式的乘法，知道了多 项式与多项式相乘的法则．根据所学知识，计算下列 多项式的积，你能发现什么规律？ x 2 -1 （x+1） （x-1）= （ 1） ； 2 m -4 （m+ 2） （m- 2） （ 2） = ； 2 4 x -1 ． （2 x+1） （2 x-1） （ 3） =