湖南省永州市2020届高三数学上学期第二次模拟考试试题 理

湖南省永州市2020届高三数学上学期第二次模拟考试试题理注意事项：1.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。

2.考试结束后，只交答题卡。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设复数z满足21zi=+，则z的共轭复数为A.1－iB.1＋iC.－1＋iD.－1－i2.已知集合A＝{x|x<3}，B＝{x|log2x>0}，则A.A∩B＝{x|1<x<3}B.A∩B＝ϕC.A∪B＝{x|x<3}D.A∪B＝{x|x>1}3.执行右图所示程序框图，若输入p＝14，则输出结果为A.2B.3C.4D.54.为了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重情况如三维饼图(1)所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如三维饼图(2)所示。

对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论不正确的是A.他们健身后，体重在区间[90kg，100kg)内的人数不变B.他们健身后，体重在区间[100kg，110kg)内的人数减少了4人C.他们健身后，这20位健身者体重的中位数位于[90kg，100kg)D.他们健身后，原来体重在[110kg ，120kg]内的肥胖者体重都至少减轻了10kg 5.已知数列321121,,,,n n a a a a a a a -⋅⋅⋅是首项为8，公比为12的等比数列，则a 4等于 A.8 B.32 C.64 D.1286.某校高三年级有男生220人，编号为1，2，…，220；姓380人，编号为221，222，…，600。

为了解学生的学习状态，按编号采用系统抽样的方法从这600名学生中抽取10人进行问卷调查，第一组抽到的号码为10。

现从这10名学生中随机抽取2人进行座谈，则这2人中既有男生又有女生的概率是 A.15 B.715 C.815 D.457.已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x ＋1)＋f(3－x)＝0，若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2020)＝A.－2B.0C.2D.20208.已知函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图像如右图所示，且A(2π，－l)，B(π，1)，则φ的值为A.－56π B.56π C.－6π D.6π 9.北方的冬天户外冰天雪地，若水管裸露在外，则管内的水就会结冰从而冻裂水管，给用户生活带来不便。

每年冬天来临前，工作人员就会给裸露在外的水管“保暖”：在水管外面包裹保温带，用一条保温带盘旋而上一次包裹到位。

某工作人员采用四层包裹法(除水管两端外包裹水管的保温带都是四层)：如图1所示是相邻四层保温带的下边缘轮廓线，相邻两条轮廓线的间距是带宽的四分之一。

设水管的直径与保温带的宽度都为4cm 。

在图2水管的侧面展开图中，此保温带的轮廓线与水管母线所成的角的余弦值是(保温带厚度忽略不计)A.14B.14πC.221414ππ++D.22116116ππ++ 10.某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为A.8πB.6πC.4πD.23π11.已知双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A ，若△AF 1F 2的内切圆半径为4b，则双曲线的离心率为 23 B.54 C.53D.322 12.数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝11－n ＋(－1)n，且0<a 6<1。

记数列{a n }的前n 项和为S n ，则当S n 取最大值时n 为A.11B.12C.11或13D.12或13 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.曲线y ＝lnx 过点(0，－1)的切线方程为 。

14.已知AB 为圆O 的弦，若|AB|＝2，则OA AB ⋅u u u r u u u r＝ 。

15.已知以F 为焦点的抛物线C ：y 2＝4.x 上的两点A 、B 满足3AF FB =u u u r u u u r，则|AB|＝ 。

16.已知函数22,1()11,x x x tf x x t x a⎧+-≤<⎪=⎨--≤≤⎪⎩。

(1)若t ＝1，且f(x)值域为[－1，3)，则实数a 的取值范围为 。

(2)若存在实数a ，使f(x)值域为[－1，1]，则实数t 的取值范围为 。

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

第17题～第21题为必考题，考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必做题：60分。

17.(本题满分12分)在△ABC 中，∠ABC ＝3π，点D 在边AB 上，BD ＝2。

(1)若△BCD 的面积为23，求CD ；(2)若cos ∠BCA ＝55，cos ∠DCA ＝31010，求CD 。

18.(本题满分12分)在如图三棱锥A －BCD 中，BD ⊥CD ，E ，F 分别为棱BC ，CD 上的点，且BD//平面AEF ，AE ⊥平面BCD 。

(1)求证：平面AEF ⊥平面ACD ；(2)若BD ＝CD ＝AD ＝2，E 为BC 的中点，求直线AF 与平面ABD 所成角的正弦值。

19.(本题满分12分)已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为C 、D ，且过点2，1)，P 是椭圆上异于C 、D 的任意一点，直线PC ，PD 的斜率之积为12。

(1)求椭圆Γ的方程；(2)O 为坐标原点，设直线CP 交定直线x ＝m 于点M ，当m 为何值时，OP OM ⋅u u u r u u u u r为定值。

20.(本题满分12分)某工厂生产某种产品，为了控制质量，质量控制工程师要在产品出厂前对产品进行检验.现有n(n ∈N *且n ≥2)份产品，有以下两种检验方式： (1)逐份检验，则需要检验n 次；(2)混合检验，将这n 份产品混合在一起作为一组来检验。

若检测通过，则这n 份产品全部为正品，因而这n 份产品只要检验一次就够了；若检测不通过，为了明确这n 份产品究竟哪几份是次品，就要对这n 份产品逐份检验，此时这n 份产品的检验次数总共为n ＋1次。

假设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果是正品还是次品都是独立的，且每份样本是次品的概率为p(0<p<1)。

(1)如果n ＝4，采用逐份检验方式进行检验，求检测结果恰有两份次品的概率；(2)现对n 份产品进行检验，运用统计概率相关知识回答：当n 和p 满足什么关系时，用混合检验方式进行检验可以减少检验次数?(3)①当n ＝2k(k ∈N *且k ≥2)时，将这n 份产品均分为两组，每组采用混合检验方式进行检验，求检验总次数ξ的数学期望；②当n ＝mk(k ，m ∈N *，且k ≥2，m ≥2)时，将这n 份产品均分为m 组，每组采用混合检验方式进行检验，写出检验总次数5的数学期望(不需证明)。

21.(本题满分12分) 已知函数f(x)＝e1－x(x 2＋x －1)＋1＋x ，g(x)＝(2－x)ex －1－(3－x)ln(3－x)。

证明：(1)存在唯一x 0∈(0，1)，使f(x 0)＝0；(2)存在唯一x 1∈(1，2)，使g(x 1)＝0，且对(1)中的x 0，有x 0＋x 1<2。

(二)选考题：10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做第一题计分。

22.[选修4－4：坐标系与参数方程](本题满分10分)在直角坐标系xOy 中，直线C 1的参数方程为222x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(其中t 为参数)。

以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ。

(1)写出直线C 1的极坐标方程；(2)设动直线l ：y ＝kx(k>0)与C 1，C 2分别交于点M 、N ，求ONOM的最大值。

23.[选修4－5：不等式选讲](本题满分10分) 已知函数f(x)＝|x －2|。

(1)求不等式f(x)≤2x ＋5的解集；(2)记函数g(x)＝f(x ＋1)－f(－x ＋5)，且g(x)的最大值为M ，若a>0，求证：213Ma a+≥。

永州市2020年高考第二次模拟考试试卷数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上． 13．10x y --=14．2-15．16316．(1)[1,3]（2分）; (2) (1]--（3分）三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）解：（1）Q 1sin 2BCD S BD BC B ∆=⋅⋅ ∴4BC = …………………………………………………………………3分 在BCD ∆中，由余弦定理可得2222cos CD BC BD BC BD B =+-⋅⋅⋅∴ CD =………………………………………………………………6分 （2）Q BCD BCA DCA ∠=∠-∠∴sin sin cos cos sin BCD BCA DCA BCA DCA ∠=∠∠-∠∠ ……8分Q cos BCA ∠=，cos DCA ∠=∴sin 5BCA ∠=，sin 10DCA ∠=，∴ sin 2BCD ∠=………………………………………………………10分 在BCD ∆中，由正弦定理可得sin sin CD BDB BCD=∠，∴ sin sin BD BCD BCD⋅==∠ ………………………………………………12分18．（本小题满分12分）解：（1）证明：因为//BD AEF 面，BCD AEF EF =面面I所以//BD EF ，因为BD CD ⊥，所以CD EF ⊥． 又因为AE ⊥面BCD ，CD BCD ⊂面， 所以CD AE ⊥，而EF AE E =I ， 所以CD AEF ⊥面，又CD ACD ⊂面，所以AEF ACD ⊥面面． ………………6分（2）解：设直线AF 与平面ABD 所成交的余弦值为θ． 连接DE ，在BCD ∆中，=2BD CD =，BE EC =，BD CD ⊥，所以DE BC ⊥，且BC =DE =又因为AE BCD ⊥面，DE BCD ⊂面，BC BCD ⊂面，所以AE DE ⊥，AE BC ⊥．在Rt ADE ∆中，DE =2AD =，所以AE = 如图，以点E 为坐标原点，分别以,,EC ED EA 为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系，各点 坐标为(0,0A ，(B ，D ，C ， 因为//BD EF ，E 为BC 的中点，所以F 为CD 的中点，即F ， 设平面ABD 的法向量(,,)m x y z =u r，BA =u u u r ，BD =u u u r，由m BAm BD⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩u r u u u ru r u u u r ，即(,,)0(,,)0m BA x y z m BD x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⊥=⋅=⎪⎩u r u u u r ur u u u r ， 整理得00x z x y +=⎧⎨+=⎩， 令1z =-，得1x =，1y =-，则(1,1,1)m =--u r ．……10分因为 ,22AF =u u u r ，所以sin 3||||m AF m AF θ⋅==⨯u r u u u ru r u u u r故直线AF 与平面ABD ． ……………12分 19．（本小题满分12分）解：（1）椭圆Γ过点，∴22211a b +=，① ………2分 （第18题图）又因为直线,PC PD 的斜率之积为12-，可求得2212b a =，②联立①②得2,a b ==∴所求的椭圆方程为22142x y +=． ……………………………………………6分（2）方法1：由（1）知，(2,0)为-C ． 由题意可设:(2)CM y k x =+， 令x=m ,得(,(2))+M m k m ．又设11(,)P x y由22142(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得：2222(12)8840k x k x k +++-=．…………………6分 ∵21284212k x k --=+，∴2122412k x k -=+，1124(2)12k y k x k =+=+， 所以222244(,)1212k kP k k-++， ……………………………………………………8分 ∴22222224(2)244282(2)12121212+-+⋅=⋅++⋅==++++uu u r uuu r mk k k m k OP OM m k m k k k k ，…10分 要使⋅uu u r uuu rOP OM 与k 无关，只须12=m，此时⋅uu u r uuu r OP OM 恒等于4. ∴ 2=m ……………………………………………………………………………12分 方法2：:设00(,)P x y ，则00:(2)2=++y CM y x x ，令x=m ,得00(2)(,)2++y m M m x ， ∴20000000(2)(2)(,)(,)22++⋅=⋅=+++uu u r uuu r y m y m OP OM x y m mx x x由2200142+=x y 有220000(2)(2)2(1)42+-=-=x x x y ， 所以000(2)(2)(2)2422+--++⋅=+=uu u r uuu r m x m x m OP OM mx ，要使⋅uu u r uuu rOP OM 与0x 无关，只须12=m，此时4⋅=uu u r uuu r OP OM . ∴ 2=m …………………………………………………………………………12分20．（本小题满分12分）解：（1）如果4n =，采用逐份检验方式，设检测结果恰有两份次品的概率为222224(1)6(1)C p p p p -=-∴检测结果恰有两份次品的概率226(1)p p -． ………………………3分（2）记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为1ξ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2ξ，由已知得1E n ξ=，2ξ的所有可能取值为1,1n +()()211k P p ξ∴==-, ()()2111nP n p ξ=+=--∴()()21(1)11n nE p n p ξ⎡⎤=-++--⎣⎦=()11n n n p +--…………………5分 要减少检验次数，则1E ξ>2E ξ，则1(1)nn n n p >+--∴(1)1nn p ->，1(1)np n->，即111()n p n <-， ………………………7分（3）①两组采用混合检验的检验次数分别为1ξ，2ξ，则由（2）知11,1k ξ=+，21,1k ξ=+， ()12()()11kE E k k p ξξ==+--，12ξξξ=+()1212()()()()2221kE E E E k k p ξξξξξ=+=+=+-- ………………10分②设这m 组采用混合检验的检验次数分别为1ξ，2ξ，,m ξK ， 11,1k ξ=+，21,1k ξ=+，,1,1m k ξ=+L ，且检验总次数12m ξξξξ=+++L ，()()11,1,2,,k i P p i m ξ∴==-=L ，()()111,1,2,,ki P k p i m ξ=+=--=L ()()11,1,2,ki E k k p i m ξ∴=+--=L()121()()()()(1)1kk k E E E E m k mk p ξξξξξξ∴=+++=++=+--L L ，所以检验总次数ξ的数学期望()(1)1km k mk p +--． …………………12分21．（本小题满分12分）证明：(1)当x ∈（0,1）时，f ′(x )＝12()(2)1x f x e x x -=-+++＞0，函数f (x )在（0,1）上为增函数．又f (0)＝-e+1<0，f (1)＝3>0，所以存在唯一x 0∈（0,1），使f (x 0)＝0．…4分(2) 当x ∈（1，2）时，1()(2)(3)ln(3)x g x x e x x -=----,令t =2-x , x =2-t ，x ∈（1，2），t ∈（0，1），1(2)(1)ln(1)t g t te t t --=-++, t ∈（0，1） ……………………6分 记函数1(2)()ln(1)11tg t te h t t t t --==-+++，t ∈（0，1）． 则h ′(t )＝1222(1)1()(1)(1)t e t t t f t t t ---+---=++． ……………………8分 由(1)得，当t ∈(0，x 0)时，f (t )<0，h ′(t )＞0，当t ∈(x 0，1)时，f (t ) >0，h ′(t ) <0．故在(0，x 0)上h (t )是增函数，又h (0)＝0，从而可知当t ∈(0，x 0]时，h (t )>0，所以h (t )在(0，x 0]上无零点．在(x 0，1)上h (t )为减函数，由h (x 0)>0，h (1)＝12－ln 2<0，知存在唯一t 1∈(x 0，1)，使h (t 1)＝0， ……………………………………………10分 故存在唯一的t 1∈(0，1)，使h (t 1)＝0．因此存在唯一的x 1＝2－t 1∈(1，2)，使g (x 1)＝g (2－t 1)＝h (t 1)＝0．因为当t ∈ (0，1)时，1＋t >0，故(2)()1g t h t t -=+与g (2－t )有相同的零点，所以存在唯一的x 1∈（1，2），使g (x 1)＝0．因为x 1＝2－t 1，t 1>x 0，所以x 0＋x 1<2． …………………………………………12分22．（本小题满分10分）解：（1）直线1C 的直角坐标方程为20x y +-=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入方程得 sin cos 2ρθρθ+=，即sin()4πρθ+= …………………………5分 （2）设直线l 的极坐标方程为=0<<)2πθαα(，设12(,),(,)M N ραρα，则212sin sin()1=sin(2)242ON OM πααρπαρ+=-+， 由02πα<<，有32444πππα-<-<， 当sin(2)=14πα-时，ON OM． ………………………10分 23．（本小题满分10分）解：（1）由52)(+≤x x f 得⎩⎨⎧+≤-≤--≥+52252052x x x x ，解得1-≥x∴不等式52)(+≤x x f 的解集为[)+∞-,1． ………………………5分（2）Θ23131)5()1()(=+--≤+---=+--+=x x x x x f x f x g当且仅当3≥x 时等号成立，∴2=M ， ………………………7分∴22211123Ma a a a a a a +=+=++≥=． 当且仅当21a a =，即1=a 时等号成立． ………………………10分。