二次函数复习
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第一讲 二次函数
一、概念
形如y=ax 2+bx+c (a,b,c 是常数,a ≠0) 的函数叫做二次函数。
二次项的系数为a ,一次项的系数为b ,常数项c
练习:当m 取何值时,函数是y= ()2 22m m x -+ 分别是一次函数?反比例函数?二次函数?
二次函数图象及画法,顶点坐标( , ); 与X 轴的交点坐标( )( ) 与Y 轴的交点坐标及它关于对称轴的对称点( )( )
二、平移,配方
练习:1.将函数y=x 2-4x+5转化成y=a(x+m)2+k 的形式
2.将函数y=-2x 2-4x+5转化成y=a(x+m)2
+k 的形式
3.抛物线y=ax 2向左平移一个单位,再向下平移8个单位且y=ax2过点(1,2).求平移后的解析式
4.将抛物线y=x 2-6x+4如何移动才能得到y=x 2.
三、开口方向、对称轴、顶点坐标
1.开口方向看a 的值
2.求对称轴
3.求顶点坐标
练习:
1、求下列函数的顶点坐标
(1)y=(x-1)2 (2)y=2x 2+3 (3)y=-2(x+1)2-3 (4)y=3x 2-6x-5
2、 已知二次函数y=x 2+bx+c 的顶点坐标(1,-2),求b ,c 的值
3、 已知二次函数y=x 2+4x+c 的顶点坐标在x 轴上,求c 的值
4、 已知二次函数y=x 2+4x+c 的顶点坐标在直线y=2x+1上,求c 的值
四、如何求二次函数的最值
1.求下列函数的最大值(或最小值)和对应的自变量的值: k m x a y m x a y ax y ++=−−−−−−−−−→−+=−−−−−−−−→−=2
22)()(1 、k m x a y c bx ax y ++=−−→−++=22)(2顶点式、一般式
⑴ y=-2(x+1)2-3 ⑵ y=2x 2+3 ⑶ y=2x 2-8x +1 ⑷y=-3x 2-5x +1
2.已知二次函数y=-2x 2+bx+c ,当x=-2时函数有最大值为2,求b 、c 的值
五、函数的增减性
六、求抛物线解析式常用的三种方法
1、已知抛物线上的三点,通常设解析式为________________
2、已知抛物线顶点坐标(m, k ),通常设抛物线解析式为_______________
3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为_____________
七、判别a 、b 、c 、b 2-4ac ,2a+b ,a+b+c 的符号
(1)a 的符号:由抛物线的开口方向确定
(2)C 的符号:由抛物线与y 轴的交点位置确定.
(3)b 的符号:由对称轴的位置确定
(4)b 2-4ac 的符号:由抛物线与x 轴的交点个数确定
八、如何求二次函数图象与坐标轴的交点
(1)抛物线y =x2-3x +2与y 轴的交点坐标是______,与x 轴的交点坐标是_________;
(2)抛物线y =-2x2+5x -3与y 轴的交点坐标是_______,与x 轴的交点坐标是________.
(3)坐标轴三个交点围成的三角形面积是 ;
九、如何求当x 为何值时,y>0,y=0,y<0
已知二次函数y=-x 2-4x+5,求当x 为何值时,y>0,y=0,y<0
解不等式:(1) x 2-4x-5>0 (2)-x 2-4x+5>0
十、二次函数与一元二次方程的关系
二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x 轴交点有三种情况:有两个交点,有一个交点,没有交点.当二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x 轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
【例题分析】
例1.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的最大值是2,图象顶点在直线y=x+1上,并且图象经过点(3,-6)。{k m x a y c
bx ax y ++=++=22)(顶点式一般式
求a、b、c。
例2.若a+b+c=0,a≠0,把抛物线y=ax2+bx+c向下平移4个单位,再向左平移5个单位所到的新抛物线的顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式.
例3.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式.
例4已知抛物线22
y ax x c
=-+与它的对称轴相交于点(14)
A-
,,与y轴交于C,与x轴正半轴交于B.(1)求这条抛物线的函数关系式;
(2)设直线A C交x轴于D P
,是线段A D上一动点(P点异于A D
,),过P作PE x
∥轴交直线A B
于E,过E作EF x
⊥轴于F,求当四边形O P E F的面积等于7
2
时点P的坐标.