二次函数复习

第一讲 二次函数

一、概念

形如y=ax 2+bx+c (a,b,c 是常数，a ≠0) 的函数叫做二次函数。

二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项c

练习：当m 取何值时，函数是y= ()2 22m m x -+ 分别是一次函数？反比例函数？二次函数？

二次函数图象及画法，顶点坐标（ ， ）； 与X 轴的交点坐标（ ）（ ） 与Y 轴的交点坐标及它关于对称轴的对称点（ ）（ ）

二、平移，配方

练习：1.将函数y=x 2-4x+5转化成y=a(x+m)2+k 的形式

2.将函数y=-2x 2-4x+5转化成y=a(x+m)2

+k 的形式

3.抛物线y=ax 2向左平移一个单位,再向下平移8个单位且y=ax2过点(1,2).求平移后的解析式

4.将抛物线y=x 2-6x+4如何移动才能得到y=x 2.

三、开口方向、对称轴、顶点坐标

1.开口方向看a 的值

2.求对称轴

3.求顶点坐标

练习：

1、求下列函数的顶点坐标

（1）y=(x-1)2 （2）y=2x 2+3 （3）y=-2(x+1)2-3 （4）y=3x 2-6x-5

2、 已知二次函数y=x 2+bx+c 的顶点坐标（1，-2），求b ，c 的值

3、 已知二次函数y=x 2+4x+c 的顶点坐标在x 轴上，求c 的值

4、 已知二次函数y=x 2+4x+c 的顶点坐标在直线y=2x+1上，求c 的值

四、如何求二次函数的最值

1.求下列函数的最大值（或最小值）和对应的自变量的值： k m x a y m x a y ax y ++=−−−−−−−−−→−+=−−−−−−−−→−=2

22)()(1 、k m x a y c bx ax y ++=−−→−++=22)(2顶点式、一般式

⑴ y=-2(x+1)2-3 ⑵ y=2x 2+3 ⑶ y=2x 2－8x ＋1 ⑷y=－3x 2－5x ＋1

2.已知二次函数y=-2x 2+bx+c ，当x=-2时函数有最大值为2，求b 、c 的值

五、函数的增减性

六、求抛物线解析式常用的三种方法

1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为________________

2、已知抛物线顶点坐标（m, k ），通常设抛物线解析式为_______________

3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为_____________

七、判别a 、b 、c 、b 2-4ac ，2a+b ，a+b+c 的符号

（1）a 的符号：由抛物线的开口方向确定

（2）C 的符号：由抛物线与y 轴的交点位置确定.

（3）b 的符号：由对称轴的位置确定

（4）b 2-4ac 的符号：由抛物线与x 轴的交点个数确定

八、如何求二次函数图象与坐标轴的交点

(1)抛物线y ＝x2－3x ＋2与y 轴的交点坐标是______，与x 轴的交点坐标是_________；

(2)抛物线y ＝－2x2＋5x －3与y 轴的交点坐标是_______，与x 轴的交点坐标是________．

（3）坐标轴三个交点围成的三角形面积是 ；

九、如何求当x 为何值时，y>0,y=0,y<0

已知二次函数y=-x 2-4x+5，求当x 为何值时，y>0,y=0,y<0

解不等式:(1) x 2-4x-5>0 (2)-x 2-4x+5>0

十、二次函数与一元二次方程的关系

二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x 轴交点有三种情况:有两个交点,有一个交点,没有交点.当二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x 轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.

【例题分析】

例1．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。{k m x a y c

bx ax y ++=++=22)(顶点式一般式

求a、b、c。

例2.若a+b+c=0,a≠0,把抛物线y=ax2+bx+c向下平移4个单位,再向左平移5个单位所到的新抛物线的顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式.

例3.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式.

例4已知抛物线22

y ax x c

=-+与它的对称轴相交于点(14)

A-

，，与y轴交于C，与x轴正半轴交于B．（1）求这条抛物线的函数关系式；

（2）设直线A C交x轴于D P

，是线段A D上一动点（P点异于A D

，），过P作PE x

∥轴交直线A B

于E，过E作EF x

⊥轴于F，求当四边形O P E F的面积等于7

2

时点P的坐标．