2017-2018年上海市杨浦区高一(下)期末数学试卷(解析版)

2017-2018学年上海市杨浦区高一（下）期末数学试卷一、填空题（本大题共10小题，每题4分，共40分）1．（4分）半径为2，圆心角为的扇形的面积为．2．（4分）已知P（4，﹣3）是角α终边上一点，则sinα＝．3．（4分）若cos（﹣α）＝cosα，则tanα＝．4．（4分）函数y＝tan x的定义域为．5．（4分）若△ABC的三边长为2，3，4，则△ABC的最大角的余弦值为．6．（4分）函数y＝﹣，（x≤1）的反函数为．7．（4分）设log23＝a，则log64＝．8．（4分）设α∈[，π]，sinα＝，则cos＝9．（4分）方程sin x＝，x∈[﹣，π]的解为10．（4分）设f（x）＝2sin（ωx﹣），x∈R，实数x1，x2满足：对于任意x∈R，不等式f（x1）≤f（x）≤f（x2）都成立，若|x1﹣x2|的最小值为，则正实数ω＝二、选择题（本大题共4小题，每题4分，共16分）11．（4分）设θ∈R，“sinθ＝0”是“sin2θ＝0”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件12．（4分）下列函数是奇函数，且值域为实数集R的是（）A．y＝lgx B．y＝lg|x|C．y＝tan2x D．y＝3sin2x 13．（4分）已知，且sinθ＜0，则tanθ的值为（）A．B．C．D．14．（4分）函数y＝2sin x的图象经由下列变换可以得到函数y＝2sin（2x+）的图象的是（）A．先将图象向左平移，再将图象上每一点的横坐标变为原来的一半B．先将图象上每一点的横坐标变为原来的一半，再将所得图象向左平移C．先将图象向左平移，再将图象上每一点的横坐标变为原来的2倍D．先将图象上每一点的横坐标变为原来的2倍，再将所得图象向左平移三、解答题（本大题满分44分）15．（6分）解方程：log2（x2+x）＝log2（x+1）+2．16．（8分）已知α∈（，π），tanα+cotα＝﹣．（1）求tanα的值；（2）化简并求的值．17．（8分）已知函数f（x）＝sin2x+2cos2x﹣1，x∈R，其中集合D为函数的定义域．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）用五点法作出函数f（x）一个周期内的图象．18．（10分）某小区规划时，计划在周边建造一片扇形绿地，如图所示已知扇形绿地的半径为50米，圆心角．从绿地的圆弧边界上不同于A，B的一点P处出发铺设两条道路PO与PC（均为直线段），其中PC平行于绿地的边界OB．记∠POC＝θ（其中0）．（1）当θ＝时，求所需铺设的道路长：（2）若规划中，绿地边界的OC段也需铺设道路，且道路的铺设费用均为每米100元，当θ变化时，求铺路所需费用的最大值（精确到1元）．19．（12分）设f（x）＝lg（），其中常数a∈R，a≠﹣3．（1）当a＝0时，求不等式f（x）＞0的解；（2）若函数f（x）的图象关于原点对称，求实数a的值：（3）当a＝0时，求f（x）在区间[1，2]上的最大值与最小值的差．2017-2018学年上海市杨浦区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共10小题，每题4分，共40分）1．（4分）半径为2，圆心角为的扇形的面积为．【解答】解：∵r＝2，α＝，∴SS＝r2α＝22×＝．故答案为：．2．（4分）已知P（4，﹣3）是角α终边上一点，则sinα＝﹣．【解答】解：∵P（4，﹣3）是角α终边上一点，则x＝4，y＝﹣3，r＝|OP|＝＝5，∴sinα＝＝＝﹣，故答案为：﹣．3．（4分）若cos（﹣α）＝cosα，则tanα＝1．【解答】解：cos（﹣α）＝cosα，可得sinα＝cosα，所以tanα＝1．故答案为：1．4．（4分）函数y＝tan x的定义域为{x|x≠kπ+，k∈Z}．【解答】解：根据正切函数y＝tan x的定义知，其定义域为：{x|x≠kπ+，k∈Z}．故答案为：．5．（4分）若△ABC的三边长为2，3，4，则△ABC的最大角的余弦值为﹣．【解答】解：根据大边对大角得到：设a＝2，b＝3，c＝4，所以：cos C＝＝﹣．故答案为：﹣．6．（4分）函数y＝﹣，（x≤1）的反函数为y＝1﹣x2（x≤0）．【解答】解：y＝﹣，（x≤1），则y2＝1﹣x，∴x＝1﹣y2，y≤0，∴函数y＝﹣，（x≤1）的反函数为y＝1﹣x2，（x≤0），故答案为：y＝1﹣x2，（x≤0）7．（4分）设log23＝a，则log64＝．【解答】解：∵log23＝a，∴log64＝＝＝＝．故答案为：．8．（4分）设α∈[，π]，sinα＝，则cos＝【解答】解：∵α∈[，π]，sinα＝，∴cosα＝，由cos，得，∵α∈[，π]，∴[]，∴cos＝﹣（舍），或cos＝．故答案为：．9．（4分）方程sin x＝，x∈[﹣，π]的解为x＝arcsin或x＝π﹣arcsin 【解答】解：∵方程sin x＝，x∈[﹣，π]，∴x＝arcsin或x＝π﹣arcsin．故答案为：arcsin或x＝π﹣arcsin．10．（4分）设f（x）＝2sin（ωx﹣），x∈R，实数x1，x2满足：对于任意x∈R，不等式f（x1）≤f（x）≤f（x2）都成立，若|x1﹣x2|的最小值为，则正实数ω＝【解答】解：由题意，对于任意x∈R，不等式f（x1）≤f（x）≤f（x2）都成立，可令f（x1）是最低点的值，那么f（x2）时最高点的值，由|x1﹣x2|的最小值为，即，可得T＝，那么：ω＝，∴ω＝．故答案为：．二、选择题（本大题共4小题，每题4分，共16分）11．（4分）设θ∈R，“sinθ＝0”是“sin2θ＝0”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：由sinθ＝0，得θ＝kπ，k∈Z，则2θ＝2kπ，k∈Z，∴sin2θ＝0；由sin2θ＝0，得2θ＝kπ，k∈Z，则θ＝，k∈Z，∴sinθ＝0或±1．∴“sinθ＝0”是“sin2θ＝0”的充分非必要条件．故选：A．12．（4分）下列函数是奇函数，且值域为实数集R的是（）A．y＝lgx B．y＝lg|x|C．y＝tan2x D．y＝3sin2x【解答】解：A．y＝lgx的定义域为（0，+∞），定义域关于原点不对称，则函数为非奇非偶函数，不满足条件．B．y＝lg|x|是偶函数，不满足条件．C．y＝tan2x是奇函数，且函数的值域是R，满足条件．D．y＝3sin2x是奇函数，函数的值域是[﹣3，3]，不满足条件．故选：C．13．（4分）已知，且sinθ＜0，则tanθ的值为（）A．B．C．D．【解答】解：已知，且sinθ＜0，∴cos θ＝2﹣1＝2×﹣1＝，故sinθ＝﹣＝﹣，∴tanθ＝＝，故选：C．14．（4分）函数y＝2sin x的图象经由下列变换可以得到函数y＝2sin（2x+）的图象的是（）A．先将图象向左平移，再将图象上每一点的横坐标变为原来的一半B．先将图象上每一点的横坐标变为原来的一半，再将所得图象向左平移C．先将图象向左平移，再将图象上每一点的横坐标变为原来的2倍D．先将图象上每一点的横坐标变为原来的2倍，再将所得图象向左平移【解答】解：先将函数y＝2sin x的图象向左平移，可得函数y＝2sin（x+）的图象，再将图象上每一点的横坐标变为原来的一半，可得函数y＝2sin（2x+）的图象，故选：A．三、解答题（本大题满分44分）15．（6分）解方程：log2（x2+x）＝log2（x+1）+2．【解答】解：log2（x2+x）＝log2（x+1）+2，即为log2（x2+x）＝log2（4x+4），可得x2+x＝4x+4，即x2﹣3x﹣4＝0，解得x＝4或x＝﹣1，当x＝4时，满足x+1＞0，x2+x＞0成立；当x＝﹣1时，x+1＝0不成立．则原方程的解为x＝4．16．（8分）已知α∈（，π），tanα+cotα＝﹣．（1）求tanα的值；（2）化简并求的值．【解答】解：（1）由tanα+cotα＝﹣，得tanα++，∴3tan2α+10tanα+3＝0，解得：tanα＝3或tanα＝．∵α∈（，π），∴tanα＝；（2）＝＝．17．（8分）已知函数f（x）＝sin2x+2cos2x﹣1，x∈R，其中集合D为函数的定义域．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）用五点法作出函数f（x）一个周期内的图象．【解答】解：（1）函数f（x）＝sin2x+2cos2x﹣1＝sin2x+cos2x＝sin（2x+）．∴函数f（x）的最小正周期T＝；（2）由（1）可知f（x）＝sin（2x+）．五点列表，+﹣作图：18．（10分）某小区规划时，计划在周边建造一片扇形绿地，如图所示已知扇形绿地的半径为50米，圆心角．从绿地的圆弧边界上不同于A，B的一点P处出发铺设两条道路PO与PC（均为直线段），其中PC平行于绿地的边界OB．记∠POC＝θ（其中0）．（1）当θ＝时，求所需铺设的道路长：（2）若规划中，绿地边界的OC段也需铺设道路，且道路的铺设费用均为每米100元，当θ变化时，求铺路所需费用的最大值（精确到1元）．【解答】解：（1）在△POC中，θ＝，∠CPO＝﹣＝，则∠PCO＝π﹣＝，由正弦定理可得＝，可得PC＝＝，所需铺设的道路长为50+m，（2）在△POC中，可得＝＝＝，0＜θ＜，可得PC＝sinθ，OC＝sin（﹣θ），则铺路所需费用为f（θ）＝100[50+sinθ+sin（﹣θ）]＝5000+（sinθ+cosθ﹣sinθ）＝5000+（cosθ+sinθ）＝5000+sin（+θ），当+θ＝，θ＝，sin（+θ）取得最大值1，则铺路所需费用的最大值为5000+≈10774元．19．（12分）设f（x）＝lg（），其中常数a∈R，a≠﹣3．（1）当a＝0时，求不等式f（x）＞0的解；（2）若函数f（x）的图象关于原点对称，求实数a的值：（3）当a＝0时，求f（x）在区间[1，2]上的最大值与最小值的差．【解答】解：（1）f（x）＞0，即lg＞0，可得＞1，即为＞0，解得0＜x＜，即解集为（0，）；（2）函数f（x）的图象关于原点对称，可得f（﹣x）+f（x）＝lg+lg＝lg＝0，即＝1，可得a＝3（﹣3舍去），则a的值为3；（3）当a＝0时，f（x）＝lg，即f（x）＝lg（﹣1），可得f（x）在[1，2]递减，可得f（1）取得最大值lg2；f（2）取得最小值﹣lg2，则f（x）在区间[1，2]上的最大值与最小值的差为lg4．。