切割问题

（1）106个零售点的日销售量在03~0.6t，但大多数在0.4~0.5t， 为了简化计算，假设每个点日销售量都是0.5t；
（2）将5km内点设为A类点，10km内的点设为B类点，10km以 上设为C类点。从工厂到A类点时间为20min，到B类点时间为 40min，到C类点时间为60min。A类点之间时间为5min，B类点 之间时间为10min，C类点之间运输时间为20min。不同类型的点 之间的运输时间为20min。每点卸货、验货时间为30min。 （3）工厂从凌晨4点开始发货（过早无人接手），车辆发车先后 时间忽略不计。因7点后交通没有保障。故需要冷藏车必须在7点 前到达零售点，所以最迟送完货时间为7:30。全程允许时间为
3、建立问题（2）的数学模型
问题（2）中客户要求又多了一种规格，需要按 照（1）列出切割模式，但是，如果客户要求甚多， 列出所有的切割模式比较麻烦。且，问题要求不超 过三种切割模式。不妨设三种切割模式下，不同规 格的切割根数也是变量，那么，问题就变成了非线 性规划问题。
变量设置：
xi：表示按照第i种切割模式切割的原料根数， i=1,2,3;
x1 x 2 x 3 50000 x 4 20000
易拉罐的配套约束
y1 x1 2x 2 4x 4 y 2 10x1 4x 2 16x 3 4x 4
变量约束
x i 0, x i Z, i 1,2,3,4
目标函数
max z 0.1w 0.001[ x i q i y 3s 2 y 4s1 )
y 2 10 x1 4x 2 16 x 3 5x 4
冲压时间约束，每周40h=144000s，故
1.5x1 2 x 2 x 3 3x 4 144000
易拉罐的成品数
y1 w min{ y 2 , } 2
可否或等价写为？
w y 2 , 若否，程序输入时， y1 应该怎么办？ w 2
a , s 4 hL
3
模式i切割后的余料面积为
q1 s 3 10s1 s 2 , q s 4s 2s 来自百度文库 2 3 1 2 q 3 s 3 16s1 , q 4 s 4 5s1 4s 2
易拉罐罐身的张数 易拉罐罐底的张数
y1 x1 2x 2 4x 4
a：规格1的镀锡板的边长； L：规格2的镀锡板的长； h：规格2的镀锡板的宽； d：易拉罐的上盖和下底直径；
f：易拉罐的侧面（罐身）的高度；
S1:易拉罐侧面的面积； S2：易拉罐底面的面积； S3：规格1镀锡板面积； s4：规格2镀锡板的面积；
3、建立模型
易拉罐侧面的面积
s 2 df
2 2
d d 易拉罐底面的面积 s1 4 2 规格1和规格2的镀锡板的面积分别为 s 3
每种切割模式必须是可行、合理，即每根原料钢管的成 品量不超过19m，也不能少于16m（预料不超过3m）。
16 4r11 5r21 6r31 8r41 19 16 4r12 5r22 6r32 8r42 19 16 4r13 5r23 6r33 8r43 19
切割问题
------规划建模案例之一
例14 下料问题（钢管下料）
例1 下料问题 （一维下料）
某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客要求进行切 割后出售，从钢管厂进货时得到的原料钢管都是19m长。 （1）现有一客户要求50根4m长、20根6m长、15根8m长的钢 管，应如何下料最省？ （2）零售商如果采用的不同切割模式太多，就会增加生产过 程的复杂化，从而增加成本。所以该零售商决定采用的切割模 式不超过3种，此外，该客户除了（1）中需求外，还需要10根 5m长的钢管，应如何下料最省？ 1、问题分析 该问题首先搞清楚，如何才是有效的下料方式。比如，19m 长原料钢管可以切4根4m的钢管，剩下3m；也可以切3根6m的钢 管剩下1m；可以切2根8m的钢管剩下3m；还可以切3根4m加1根 6m的两类钢管，剩下1m；等等。那些是合理的呢？
原料最省
需要满足客户要求
4x1 3x 2 2x 3 x 4 x 5 50 x 2 2 x 4 x 5 3x 6 x 3 x 5 2x 7
变量要求
20 15
x i 0, x i Z, i 1,2,..., 7
注意：两个目标不同，计算结果肯定不同，余料最省， 需要27根原料钢管；如果是原料钢管最省，需要25根原料钢 管。到底哪个目标好呢？需要看实际问题中余料是否还有用 途，或者余料和原料的实际价格来比较。
Global optimal solution found at iteration: 13 Objective value: 155570.9
Variable W Q1 Q2 X3 Q3 X4 Q4 Y3 S2 S1 S3 S4 Y( 1) Y( 2) RR( 1) RR( 2) Value 40000.00 222.5700 183.3000 50000.00 261.8400 20000.00 169.5050 860000.0 157.0800 19.63500 576.0000 896.0000 80000.00 900000.0 900000.0 40000.00 Reduced Cost 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
其次，什么叫做最省，这个问题，有两种理解，原料钢管最省 和余料钢管最省。在没有明确要求下，两种目标都可以讨论。
2、问题1的数学模型
变量设置：xi表示按照第i种切割模式切割钢管的根数， i=1,2,…,7 目标函数有如下两种情况：
min 3x1 x 2 3x 3 3x 4 x 5 x 6 3x 7 余料最省 min x1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7
例3 北方食品购车问题 北方公司106个零售点中，有50个点在距工场半径5km内， 送货车20min可以到达；36个在10km内，40min可以到达；20个 在10km以上，送货车60min可以到达。冷藏车有2t和4t两种。如 何用最少的投资（冷藏车）在指定时间内以最小成本（费用）完 成运输任务。最后问题简化为：
210min。
（4）已知4t车每台18万元，2t车每台12万元。求投资最少的配 车方案。
基本情况说明
20
30
Ck 20 20 5 Ai 30 40 20 10 Bi Bi Ak 30
每个点需要0.5t A类点50个，B类 点36个，C类点 20个。 4t车可满载，2t车 满载。 每趟车只有210min 营业时间。
210min
2个B只能放在结尾
前面4个方案，只能用4t车运输，不能用2t车运输，因为需求量为2.5t。
20 5 20 20
o
A
30
A
30
B
30
C
30
185min
此种方案B可以放在首，但C不能放首位，且两个A必须连续。
o
20
A
30
5
A
30
20
C
30
20
C
30
185min
o
20
A
30
20
B
变量约束
x1 , x 2 , x 3 0 0 rij 5, rij Z, i 1, 2, 3, 4; j 1, 2, 3
例15 下料问题(易拉罐下料)
例12 下料问题（二维下料）
某公司采用一套冲压设备生产一种罐装的饮料的易拉罐， 这种易拉罐是用镀锡板冲压制成的(参见下图)。易拉罐为圆柱 形，包括罐身、上盖和下底，罐高10cm，上盖和下底直径为 5cm。该公司使用两种不同规格额度镀锡板原料，规格1的镀锡 板为正方形，边长24cm；规格2为长方形，长、宽分别为32cm 和28cm。由于生产设备和生产工艺的限制，对于规格1的镀锡 板原料，只可能按照下图的模式1、2或3进行冲压；对于规格2 的镀锡板原料只能按照如图的模式4冲压。使用模式1、2、3、 4进行每次冲压所需时间分别为1.5s、2s、1s、3s。 该工厂每周工作40h，每周可供使用的规格1、2的镀锡板 原料分别为5万张和2万张。目前每只易拉罐利润为0.10，原 料余料损失为0.001元/cm2（如果周末有易拉罐身、上盖、或 下底不能配套组装成易拉罐出售，也看作原料余料）。工厂如 何安排每周的生产？
i 1
4
sets: shu/1..2/:y,rr; endsets max=0.1*w+0.001*(x1*q1+x2*q2+x3*q3+x4*q4+y3*s2+y4*s1); s2=pi*d*f;s1=pi*d^2/4; s3=a^2;s4=h*L; rr(1)=y(2); q1=s3-10*s1-s2; rr(2)=y(1)/2; q2=s3-4*s1-2*s2; w=@min(shu:rr); q3=s3-16*s1; y3=y(2)-w; q4=s4-5*s1-4*s2; y4=y(1)-2*w; y(1)=x1+2*x2+4*x4; x1+x2+x3<50000; y(2)=10*x1+4*x2+16*x3+5*x4; 1.5*x1+2*x2+x3+3*x4<144000; x4<20000; @gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4); a=24;h=28;L=32; f=10;d=5;pi=3.1416;
rij：表示第i种切割模式中第j种规格的钢管根数, i=1,2,3;j=1,2,3,4.
数学模型： 目标函数
min x1 x 2 x 3
满足客户要求
r11x1 r12 x 2 r13 x 3 50 r21x1 r22 x 2 r23 x 3 10 r31x1 r32 x 2 r33 x 3 20 r41x1 r42 x 2 r43 x 3 15
30 Ci
60
20
工厂 o
Cj
20
30
30
30
运输线路安排
o
20
A
30
5
A
30
5
A
30
5
A
30
5
A
30
190min
o o
20
A
30
5
A
30
5
A
30
5
A
30
20
B
30
205min
20
A
30
5
A
30
5
A
30
5
A
30
20
C
30
205min
B或C只能放在最后 o
20
A
30
5
A
30
5
A
30
20
B
30
10
B
30
模式1
模式2 上盖 罐 身 下底
模式3
模式4 易拉罐下料模式图
1、分析问题 这个问题因为车床的问题，把切割模式规定了。两种不 同的原料锡板，切割后需要配套成易拉罐，注意到不配套的 易拉罐成品一周内也是废料，在计算废料时需要特别注意。 按照问题叙述，决策者之需要决定四种冲压模式各切割多少 张。（设易拉罐底和盖无区别）
不匹配时，留下的单独的罐身或者罐底
y3 y 2 w, y 4 y1 2 w
注意，这一部分都当作余料处理。 原料镀锡板的约束
x1 x 2 x 3 50000 x 4 20000
变量约束
x i 0, x i Z, i 1,2,3,4
原料镀锡板的约束
我们把所有的钢管切割方式（切割模式）列举如下表
切割模式 1 2 3 4m根数 4 3 2 6m根数 0 1 0 8m根数 0 0 1 余料/m 3 1 3
4 5 6 7
1 1 0 0
2 1 3 0
0 1 0 2
3 1 1 3
如上表所示，共有7种模式，在满足客户需求的情况下，钢管 商只能决定每种模式切割多少根，使得最省。
2、变量设置
pi：圆周率，这里取pi=3.1416；
xi：表示按照模式i切割的镀锡板原料的张数，i=1,2,3,4； y1：表示易拉罐的罐身的张数；
y2：表示易拉罐的上盖和下底的总张数。
qi：表示第i模式切割后的余料面积；i=1,2,3,4 Y3：余下的罐身数量； Y4：余下的罐底数量；
w：表示易拉罐的成品数；