本文发表于《中学数学》2003年第5期

本文发表于《中学数学》2003年第5期

等比数列公比的极限分析法

215006 苏州市第一中学 刘祖希

极限分析法是处理无穷等比数列的一个有效方法. 设{}n a 是公比为q 的无穷等比数列，则

1

n n

a q a +=，两边取极限， 1

lim

lim n n n n

a q q a +→∞→∞

==，

这说明无穷等比数列中1

n n

a a +的极限存在，且就是公比q . 请看一例高考题：

例 (1)已知数列{}n c ，其中23n n n c =+，且数列{}1n n c pc +-为等比数列，求常数p ； (2)已知数列{}{},n n a b 是公比不相等的两个等比数列，n n n c a b =+，证明数列{}n c 不是等比数列. （2000年全国高考题）

解

(1) 设{}1n n c pc +-的公比为q ，则

()()

2211

2111123232323n n n n n n n n n n n n p c pc q c pc p ++++++++++-+-==-+-+ ()()()()()()()()11

222332233322332233n

n n n n n p p p p p p p p ++⎛⎫

⋅⋅-+- ⎪-+-⎝⎭==-+-⎛⎫

⋅-+- ⎪⎝⎭

， 对上式两端取极限： ①若3p =，则()()()()

11223333lim

lim 22223333n n n

n

n n q ++→∞

→∞

-+-===-+-；

②若3p ≠，则()()

033lim

lim3303n n p q p →∞

→∞

+-===+-，

此时，()2113n n n n c pc c pc +++-=-，

整理，()()()2211112323323323n n n n n n n n p p +++++++-+=+-+，

22111212323323323n n n n n n n n p p p p ++++++++-⋅-⋅=⋅+-⋅-⋅， 211223232n n n n p p +++-⋅=⋅-⋅，

()()422632n n p p -=-，

4263p p -=-，2p =.

故常数2p =或3p =.

(2) 假设数列{}n c 是等比数列.

设{}n a ,{}n b ,{}n c 的公比分别为,,p q r ()p q ≠. ∵n n n c a b =+，

∴111n n n n n n c a b r c a b ++++==+11

1111

1111

n

n n

n n n

p a b q

a p

b q a p b q a b p p q q

--⎛⎫

+ ⎪+⎝⎭==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 两边取极限： ①若p q =，

p q ≠，∴

1p

q

=-，此时左边极限为r 、右边极限不存在，矛盾； ②若p q ≠，不妨设1p

q <，则()1111

110lim

lim 0n n a b b r q a b b p q q →∞→∞⋅+===⎛⎫⎛⎫⋅+ ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

， 此时()11111111111n n n n n n n n a c b c r b q c q b q c b q -----=-=-=-=-， 表明{}n a 公比p q =，这与题设矛盾. 故假设不成立，数列{}n c 不是等比数列. 注 本题也可用其它方法解.