立体几何-天津文科高考专题

文科立体几何2003年（本小题满分12分）已知正四棱柱ABCD —A1B1C1D1.AB=1，AA1=2，点E 为CC1中点，点P 为BD1中点.（1）证明EF 为BD1与CC1的公垂线； （2）求点D1到面BDE 的距离.2004年（本小题满分如图，在四棱锥DC PD =，E 是（1）证明//PA2005年（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱111C B A ABC -中，a B A A A AC AB AC A AB A ===∠=∠1111,,，侧面11BCC B 与底面ABC 所成的二面角为 120，E 、F 分别是棱AA CB 111、的中点（Ⅰ）求A A 1与底面ABC 所成的角 （Ⅱ）证明E A 1∥平面FC B 1（Ⅲ）求经过C B A A 、、、1四点的球的体积2006年（本题满分12分）如图，在五面体中，点是矩形的对角线的交点，面是等边三角形，棱．（Ⅰ）证明//平面；（Ⅱ）设，证明平面．ABCDEF O ABCD CDE //12EF BC =FOCDE BC =EO ⊥CDF12007年（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面， ，，是的中点． （Ⅰ）求和平面所成的角的大小； （Ⅲ）求二面角的大小．2008年（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面A B C D 是矩形．已知60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ．（Ⅰ）证明⊥AD 平面PAB ；（Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； （Ⅲ）求二面角A BD P --的大小．2009年（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面，，平分，为的中点，P ABCD -PA ⊥ABCD AB AD AC CD⊥⊥，，60ABC ∠=°PA AB BC ==E PC PB PAD A PD C --P ABCD -PD ⊥ABCD AD CD ⊥DB ADC ∠E PC 1,AD CD DB ===（1）证明：平面 （2）证明：平面（3）求直线与平面所成角的正切值2010年（本小题满分12分） 如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ADEF 是正方形，FA ⊥平面ABCD ，BC ∥AD ，CD=1，AD=，∠BAD ＝∠CDA ＝45°. （Ⅰ）求异面直线CE 与AF 所成角的余弦值； （Ⅱ）证明CD ⊥平面ABF ；（Ⅲ）求二面角B-EF-A 的正切值。

//PA BDE AC PBD BCPBD（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，为中点， 平面，， 为中点．（Ⅰ）证明：//平面； （Ⅱ）证明：平面；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正切值．2012年（本小题满分13分） 如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AD ⊥PD ，BC=1，PC=2PD=CD=2.（I ）求异面直线PA 与BC 所成角的正切值；（II ）证明平面PDC ⊥平面ABCD ；（III ）求直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值。

P ABCD -ABCD 045ADC ∠=1AD AC ==O AC PO ⊥ABCD 2PO =M PD PB ACM AD ⊥PAC AM ABCD（本小题共14分） 如图，在四棱锥中，，，，平面底面，。

和分别是和的中点，求证： （Ⅰ）底面； （Ⅱ）平面；（Ⅲ）平面平面。

P ABCD -//AB CD AB AD ⊥2CD AB =PAD ⊥ABCD PA AD ⊥E F CD PC PA ⊥ABCD //BE PAD BEF ⊥PCD文科立体几何答案2003年（1）证法一：取BD 中点M.连结MC ，FM . ∵F 为BD 1中点 ， ∴FM ∥D 1D 且FM=21D 1D . 又EC21CC 1且EC ⊥MC ，∴四边形EFMC 是矩形 ∴EF ⊥CC 1. 又CM ⊥面DBD 1 .∴EF ⊥面DBD 1 .∵BD 1⊂面DBD 1 . ∴EF ⊥BD 1 . 故EF 为BD 1 与CC 1的公垂线. 证法二：建立如图的坐标系，得 B （0，1，0），D 1（1，0，2），F （21，21，1），C 1（0，0，2），E （0，0，1）. ,0,0).2,1,1().2,0,0(),0,21,21(1111=⋅=⋅∴-=∴==∴EF BD CC EF BD CC 即EF ⊥CC 1，EF ⊥BD 1 . 故EF 是为BD 1 与CC 1的公垂线.（Ⅱ）解：连结ED 1，有V E －DBD 1=V D 1－DBE .由（Ⅰ）知EF ⊥面DBD 1 ，设点D 1到面BDE 的距离为d..3322322223)2(2321.22221,22,2.1,2.2111=⨯=∴⋅=⋅⋅==⋅⋅=∴====∴==⋅=⋅∆∆∆∆d S S EF ED BE BD AB AA EF S d S DBE DBD DBD DBE 则 故点D 1到平面DBE 的距离为332.2004年方法一：（1）证明：连结AC 、AC 交BD 于O 。

连结EO ∵ 底面ABCD 是正方形 ∴ 点O 是AC 的中点。

在PAC ∆中，EO 是中位线 ∴ EO PA //而⊂EO 平面EDB 且/⊂PA 平面EDB ，所以，//PA 平面EDB 。

（2）解：作DC EF ⊥交CD 于F 。

连结BF ，设正方形ABCD 的边长为a 。

∵ ⊥PD 底面ABCD ∴ DC PD ⊥ ∴ PD EF // F 为DC 的中点∴ ⊥EF 底面ABCD ，BF 为BE 在底面ABCD 内的射影，故EBF ∠为直线EB 与底面ABCD 所成的角。

（1,2,0(a E ∴ G 是此正方形的中心，故点G 的坐标为22 ∴ ),0,(α-=a )2,0,2(aa -=∴ EG PA 2= 这表明EG PA // 而⊂EG 平面EDB 且/⊂PA 平面EDB ∴ //PA 平面EDB （2）解：依题意得)0,,(a a B ，)0,,0(a C取DC 的中点)0,2,0(aF 连结EF ，BF∵ )2,0,0(a FE =，)0,2,(aa FB =，)0,,0(a =∴ 0=⋅，0=⋅ ∴ FB FE ⊥，DC FE ⊥∴ ⊥EF 底面ABCD ，BF 为BE 在底面ABCD 内的射影，故EBF ∠为直线EB 与底面ABCD 所成的角。

在EFBRt ∆中，2a =，aa a 25)2(22=+=∴tan EBF2005解：（Ⅰ）过1A 作⊥H A 1平面ABC ，垂足为H ． 连结AH ，并延长交BC 于G ，于是AH A 1∠为A A 1与底面ABC 所成的角． ∵AC A AB A 11∠=∠，∴AG 为BAC ∠的平分线． 又∵AC AB =，∴BC AG ⊥，且G 为BC 的中点． 因此，由三垂线定理BC A A ⊥1．∵B B A A 11//，且B B EG 1//，∴BC EG ⊥． 于是AGE ∠为二面角E BC A --的平面角，即120=∠AGE ．由于四边形AGE A 1为平行四边形，得601=∠AG A ．（Ⅱ）证明：设EG 与C B 1的交点为P ，则点P 为EG 的中点．连结PF ． 在平行四边形1AGEA 中，因F 为A A 1的中点，故FP E A //1． 而⊂FP 平面FC B 1，⊄E A 1平面FC B 1，所以//1E A 平面FC B 1．（Ⅲ）连结C A 1．在AC A 1∆和AB A 1∆中，由于AB AC =，AC A AB A 11∠=∠，A A A A 11=，则AC A 1∆≌AB A 1∆，故B A C A 11=．由已知得a C A B A A A ===111． 又∵⊥H A 1平面ABC ，∴H为ABC ∆的外心．设所求球的球心为O ，则H A O 1∈，且球心O 与A A 1中点的连线A A OF 1⊥．1在FO A Rt 1∆中，3330cos 21cos 111a aH AA F A O A === ．故所求球的半径a R 33=，球的体积33273434a R V ππ==．2006年（I ）证明：取CD 中点M ，连结OM .在矩形ABCD 中，OM 21BC ，又EF 21BC ， 则EF OM ，连结EM ，于是四边形EFOM 为平行四边形. ∴FO ∥EM .又⊄FO 平面CDE ，且EM ⊂平面CDE ，FO ∴∥平面CDE. （II ）证明：连结FM . 由（I ）和已知条件，在等边△CDE 中，CM =DM ，.2123EF BC CD EM CD EM ===⊥且 因此平行四边形EFOM 为菱形，从而EO ⊥FM .⊥∴⊥⊥CD EM CD OM CD ,, 平面EOM. 从而CD ⊥EO . 而FM ∩CD =M ，所以EO ⊥平面CDF.2007年（Ⅰ）解：在四棱锥P ABCD -中，因PA ⊥底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，故PA AB ⊥． 又AB AD ⊥，PA AD A =，从而AB ⊥平面PAD ．故PB 在平面PAD 内的射影为PA ，从而APB ∠为PB 和平面PAD 所成的角．在Rt PAB △中，AB PA =，故45APB =∠．所以PB 和平面PAD 所成的角的大小为45．（Ⅱ）证明：在四棱锥P ABCD -中，因PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，故CD PA ⊥． 由条件CD PC ⊥，PA AC A =，CD ∴⊥面PAC ．又AE ⊂面PAC ，AE CD ∴⊥． 由PA AB BC =，60ABC =∠，可得AC PA =． E 是PC 的中点，AE PC ∴⊥，PC CD C ∴=．综上得AE ⊥平面PCD ． （Ⅲ）解：过点E 作EM PD ⊥，垂足为M ，连结AM ．由（Ⅱ）知，AE ⊥平面PCD ，AM∥ == ∥ ∥ = AC D PEM在平面PCD 内的射影是EM ，则AM PD ⊥．因此AME ∠是二面角A PD C --的平面角．由已知，可得30CAD =∠．设AC a =，可得PA a =，AD =，PD =，AE =． 在Rt ADP △中，AM PD ⊥，AM PD PA AD ∴=，则232aa PA AD AM PD ==． 在Rt AEM △中，sinAE AME AM == 所以二面角A PD C --的大小arcsin 4．2008年（Ⅰ）证明：在PAD ∆中，由题设22,2==PD PA 可得222PD AD PA =+于是PA AD ⊥.在矩形ABCD 中，AB AD ⊥.又A AB PA = ， 所以⊥AD 平面PAB ．（Ⅱ）解：由题设，AD BC //，所以PCB ∠（或其补角）是异面直线PC 与AD 所成的角. 在PAB ∆中，由余弦定理得由（Ⅰ）知⊥AD 平面PAB ，⊂PB 平面PAB ， 所以PB AD ⊥，因而PB BC ⊥，于是PBC ∆是直角三角形，故27tan ==BC PB PCB ． 所以异面直线PC 与AD 所成的角的大小为27arctan． （Ⅲ）解：过点P 做AB PH ⊥于H ，过点H 做BDHE ⊥于E ，连结PE因为⊥AD 平面PAB ，⊂PH 平面PAB ，所以PH AD ⊥.又A AB AD = ，因而⊥PH 平面ABCD ，故HE 为PE 再平面ABCD 内的射影.由三垂线定理可知， PE BD ⊥，从而PEH ∠是二面角A BD P --的平面角。