探求以空间图形为背景的轨迹问题
轨迹问题方法与例题大全
轨迹问题一、什么是轨迹？轨迹就是目标点的横纵坐标之间的一个等量关系 二、求轨迹的一般方法： 1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。
用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。
2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。
3.代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x’，y’)的运动而有规律的运动，且动点Q 的轨迹为给定或容易求得，则可先将x’,y’表示为x,y 的式子，再代入Q 的轨迹方程，然而整理得P 的轨迹方程，代入法也称相关点法。
4.参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y 之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。
5.交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。
可以说是参数法的一种变种。
6.几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然而得出动点的轨迹方程。
三、注意事项：1．直接法是基本方法；定义法要充分联想定义、灵活动用定义；化入法要设法找到关系式x’=f(x,y), y’=g(x,y);参数法要合理选取点参、角参、斜率参等参数并学会消参；交轨法要选择参数建立两曲线方程；几何法要挖掘几何属性、找到等量关系。
2．要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性。
在最后的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等。
3．求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。
七、空间几何体中的轨迹问题(高中数学解题妙法)
七、空间几何体中的轨迹问题本内容主要研究空间几何体中的轨迹问题.在知识网络交汇点处设计试题是这几年高考命题改革的一大趋势.而以空间图形为素材的轨迹问题，由于具有其独特的新颖性、综合性与交汇性，所以倍受命题者的亲睐，但由于这类题目涵盖的知识点多，创新能力与数学思想方法要求高，而且这些题目远看象“立几”近看象“解几”.空间几何体中的轨迹问题包括判断轨迹的类型问题以及求轨迹中的长度、面积与体积问题.例：在正方体ABCD-A1B1C1D1的面AB1内有一点P到直线AB与到直线B1C1的距离相等，则动点P所在曲线的形状为（）.A. 线段B. 一段椭圆弧C. 双曲线的一部分D. 抛物线的一部分答案：D整理：空间几何体中的轨迹问题：1.判断轨迹的类型问题2.求轨迹中的长度、面积与体积问题再看一个例题，加深印象例：已知正方体ABCD A B C D -1111的棱长为1，在正方体的侧面BCC B 11上到点A 距离为233的点的轨迹形成一条曲线，那么这条曲线的形状是_________，它的长度为__________.答案：以B 为圆心，半径为33且圆心角为π2的圆弧，长度为36π.解析：因为AB ⊥面BC 1，P 在正方体的侧面BCC B 11上，设AP 3=AB =1,由勾股定理得BP 3=，因此点P 轨迹是以B 为圆心， 半径为33且圆心角为π2的圆弧，长度为36π.总结：1.空间几何体中的判断轨迹的类型问题，这常常要借助于圆锥曲线的定义来判断，常见的轨迹类型有：线段、圆、圆锥曲线、球面等.在考查学生的空间想象能力的同时，又融合了曲线的轨迹问题.2.空间几何体中的轨迹问题涉及到求轨迹中的长度、面积与体积问题.练习：1.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为AA 1的中点，点P 在其对角面BB 1D 1D 内运动，若EP 总与直线AC 成等角，则点P 的轨迹有可能是（ ）.A. 圆或圆的一部分B. 抛物线或其一部分C. 双曲线或其一部分D. 椭圆或其一部分2.已知正方体ABCD A B C D -1111的棱长为a ，定点M 在棱AB 上（但不在端点A ，B 上），点P 是平面ABCD 内的动点，且点P 到直线A D 11的距离与点P 到点M 的距离的平方差为a 2，则点P 的轨迹所在曲线为（ ）.A. 抛物线B. 双曲线C. 直线D. 圆3.在正方体ABCD A B C D -1111中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，总有AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹为__________.4.若三棱锥A —BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与∆ABC 组成的图形可能是：（ ）A A AB C B C B C B CA B C D5.已知棱长为3的正方体ABCD A B C D 1111中，长为2的线段MN 的一个端点在DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动，求MN 中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积.6. 如图,AB 是平面α的斜线段,A 为斜足.若点P 在平面α内运动,使得△ABP 的面积为定值,则动点P 的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.一条直线D.两条平行直线7. 如图,斜线段AB 与平面α所成的角为60°,B 为斜足,平面α上的动点P 满足∠P AB =30°,则点P 的轨迹是( )A.直线B.抛物线C.椭圆D.双曲线的一支答案：1.解：由条件易知：AC是平面BB1D1D的法向量，所以EP与直线AC成等角，得到EP 与平面BB1D1D所成的角都相等，故点P的轨迹有可能是圆或圆的一部分.3.解：在解题中，我们要找到运动变化中的不变因素，通常将动点聚焦到某一个平面.易证BD1⊥面ACB1，所以满足BD1⊥AP的所有点P都在一个平面ACB1上.而已知条件中的点P是在侧面BCC1B1及其边界上运动，因此，符合条件的点P在平面ACB1与平面BCC1B1交线上，故所求的轨迹为线段B1C.本题的解题基本思路是：利用升维，化“动”为“静”，即先找出所有点的轨迹，然后缩小到符合条件的点的轨迹.4.解：动点P在侧面ABC内，若点P到AB的距离等于到棱BC的距离，则点P在∠ABC的内角平分线上.现在P到平面BCD的距离等于到棱AB的距离，而P到棱BC的距离大于P到底面BCD的距离，于是，P到棱AB的距离小于P到棱BC的距离，故动点P只能在∠ABC的内角平分线与AB之间的区域内.只能选D.所以点P的轨迹与正方体的表面所围成的几何体的体积为球的体积的18，1 843163⨯⨯=ππ即。
立体几何中的轨迹问题求解策略
立体几何中的轨迹问题求解策略作者：何冬梅来源：《读写算》2011年第26期在知识网络交汇点处设计试题是高考命题改革的一个方向，以空间问题为为背景的轨迹问题作为解析几何与立体几何的交汇点，由于知识点多，数学思想和方法考查充分，求解比较困难。
以下精选几个问题来对这一问题进行探讨，旨在探索题型规律，揭示解题方法。
一、用空间运动的观点来得到点的轨迹。
例1：直线PA是平面M的一条斜线，斜足为A，动直线PB过点P且与直线PB垂直，且交平面M于点B，求动点B的轨迹。
解：先探讨直线PB的运动轨迹，由于直线PB始终与PA垂直，可知PB的运动轨迹应是直线PA的垂直平面N。
再结合点B一定在平面M内，所以点B的轨迹应该是两个平面的交线，所以点B的轨迹是一条直线。
针对以上解法，我们对这一问题作一深层次的探讨：若直线PA与平面M成α角，直线PB始终与直线PA成β角，求点B的轨迹。
由上述解法可知，我们只要得到直线PB的空间轨迹，再来考察该轨迹与平面M的交线即可。
由简单的模型模拟即可知，直线PB的轨迹是一个圆锥面，再用一个平面截圆锥面，这一知识在平面解析几何中圆锥曲线的来历中有提到，即所得曲线可能是圆、椭圆、抛物线、双曲线。
因此，我们在以下命题：直线PA是平面M的一条斜线，且与平面M成α角，斜足为A，动直线PB过点P且与直线PB成β角，交平面M于点B，求动点B的轨迹。
结论：（1）若α=90°，β≠90°，则动点B的轨迹是一个圆；（2）若α≠90°，β=90°，动点B的轨迹是一条直线；（3）若α≠90°，β≠90°，则①若90°>α>β，则轨迹是椭圆；②若α=β，则轨迹是抛物线；③若α用上面的观点我们来看下一例：例2：已知平面α//平面β，直线L α，点P∈L，平面α、β间的距离为8，则在β内到点P 的距离为10且到直线L的距离为9的点的轨迹是()（A）一个圆（B）两条直线（C）四个点（D）两个点解：空间中到直线的距离为定值的点的轨迹是一个圆柱，平面与圆柱的交线是两条直线。
(完整版)立体几何中的轨迹问题(总结+讲义+练习),推荐文档
立体几何中的轨迹问题在立体几何中，某些点、线、面依一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空间轨迹与求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化．对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点的位置，然后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题．对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性与完备性．立体几何中的最值问题一般是指有关距离的最值、角的最值或面积的最值的问题．其一般方法有：1、几何法：通过证明或几何作图，确定图形中取得最值的特殊位置，再计算它的值；2、代数方法：分析给定图形中的数量关系，选取适当的自变量及目标函数，确定函数解析式，利用函数的单调性、有界性，以及不等式的均值定理等，求出最值．轨迹问题【例1】如图，在正四棱锥S－ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD内及其边界上运动，并且总是保持PE AC．则动点P的轨迹与△SCD组⊥成的相关图形最有可能的是( )D DA．B．C．解析：如图，分别取CD、SC的中点F、G，连结EF、EG、FG、BD．设AC与BD的交点为O，连结SO，则动点P的轨迹是△SCD的中位线FG．由正四棱锥可得SB⊥AC，EF⊥AC．又∵EG∥SB ∴EG⊥AC∴AC⊥平面EFG，∵P∈FG，E∈平面EFG，∴AC⊥PE．另解：本题可用排除法快速求解．B中P在D点这个特殊位置，显然不满足PE AC；C中P点所在的轨⊥迹与CD平行，它与CF成角，显然不满足PE AC；D于中P点所在的轨迹与CD平行，它与CF所成的角π4⊥为锐角，显然也不满足PE AC．⊥评析：动点轨迹问题是较为新颖的一种创新命题形式，它重点体现了在解析几何与立体几何的知识交汇处设计图形．不但考查了立体几何点线面之间的位置关系，而且又能巧妙地考查求轨迹的基本方法，是表现最为活跃的一种创新题型．这类立体几何中的相关轨迹问题，如“线线垂直”问题，很在程度上是找与定直线垂直的平面，而平面间的交线往往就是动点轨迹．【例2】(1)如图，在正四棱柱ABCD —A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是CC1、C1D1、DD1、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足时，有MN∥平面B1BDD1．(2)正方体ABCD—A1B1C1D1中，P在侧面BCC1B1及其边界上运动，且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是线段B1C．(3)正方体ABCD —A1B1C1D1中，E、F分别是棱A1B1，BC上的动点，且A1E=BF，P为EF的中点，则点P的轨迹是线段MN(M、N分别为前右两面的中心)．(4)已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，在正方体的侧面BCC1B1上到点A距离为的点的集合形成一条曲线，那么这条曲线的形状是，它的长度是．1ACC1AE1AA1A1(1)(2)(3)(4)若将“在正方体的侧面BCC1B1上到点A距离为的点的集合”改为“在正方体表面上与点A距离为的点的集合”那么这条曲线的形状又是，它的长度又是．A【例3】(1)(04北京)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是 ( D )A ．A 直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线变式：若将“P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等”改为“P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离之比为1：2(或2：1)”， 则动点P 的轨迹所在的曲线是 椭圆 (双曲线)．(2)(06北京)平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是 (A )A ．一条直线B ．一个圆C ．一个椭圆D ．双曲线的一支解：设l 与l 是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面，且斜线AB 垂直这个平面，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点A 与AB 垂直所有直线都在这个平面内，故动点C 都在这个平面与平面α的交线上，故选A ．(3)已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 在棱AB 上，且AM =，点P 到直13线A 1D 1的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1，则点P 的轨迹为 抛物线 ．(4)已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为3，长为2的线段MN 点一个端点M 在DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动，则MN 的中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积为 ．π6【例4】(04重庆)若三棱锥A -BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与△ABC 组成图形可能是：( D )BAB CD 【例5】四棱锥P -ABCD ，AD ⊥面PAB ，BC ⊥面PAB ，底面ABCD 为梯形，AD =4，BC =8，AB =6，∠APD =∠CPB ，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是()A ．圆B ．不完整的圆C ．抛物线D ．抛物线的一部分分析：∵AD ⊥面PAB ，BC ⊥平面PAB ∴AD ∥BC 且AD ⊥PA ，CB ⊥PB ∵∠APD =∠CPB ∴tanAPD =tanCPB∴=AD PA CBPB ∴PB =2PA在平面APB 内，以AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (-3，0)、B (3，0)，设P (x ，y )(y ≠0)，则(x -3)2+y 2=4[(x +3)2+y 2](y ≠0)即(x +5)2+y 2=16(y ≠0)∴P 的轨迹是(B)1AA 3A立体几何中的轨迹问题（教师版）1．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 与到直线B 1C 1的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为（D ）．A ．线段B ．一段椭圆弧C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分 简析本题主要考查点到直线距离的概念，线面垂直及抛物线的定义．因为B 1C 1面AB 1，所以⊥PB 1就是P 到直线B 1C 1的距离，故由抛物线的定义知：动点的轨迹为抛物线的一段，从而选D ．2．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 的距离与到直线B 1C 1的距离之比为2：1，则动点P 所在曲线的形状为（B ）．A ．线段B ．一段椭圆弧C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分3．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 的距离与到直线B 1C 1的距离之比为1：2，则动点P 所在曲线的形状为（C ）．A ．线段B ．一段椭圆弧C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分4．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为AA 1的中点，点P 在其对角面BB 1D 1D 内运动，若EP 总与直线AC 成等角，则点P 的轨迹有可能是（A ）．A ．圆或圆的一部分B ．抛物线或其一部分C ．双曲线或其一部分D ．椭圆或其一部分 简析由条件易知：AC 是平面BB 1D 1D 的法向量，所以EP 与直线AC 成等角，得到EP 与平面BB 1D 1D 所成的角都相等，故点P 的轨迹有可能是圆或圆的一部分．5．已知正方体的棱长为a ，定点M 在棱AB 上（但不在端点A ，B 上），点P 是平面ABCD A B C D -1111ABCD 内的动点，且点P 到直线的距离与点P 到点M 的距离的平方差为a 2，则点P 的轨迹所在曲线为A D 11（A ）．A ．抛物线B ．双曲线C ．直线D ．圆简析在正方体中，过P 作PF AD ，过F 作FE A 1D 1，垂足分别为F 、E ，ABCD A B C D -1111⊥⊥连结PE ．则PE 2=a 2+PF 2，又PE 2-PM 2=a 2，所以PM 2=PF 2，从而PM ＝PF ，故点P 到直线AD 与到点M 的距离相等，故点P 的轨迹是以M 为焦点，AD 为准线的抛物线．6．在正方体中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，总有AP BD 1，则动点P 的轨迹ABCD A B C D -1111⊥为__________． 简析在解题中，我们要找到运动变化中的不变因素，通常将动点聚焦到某一个平面．易证BD 1面ACB 1，所以满足BD 1AP 的所有点P 都在一个平面ACB 1上．而已知条件中的点P 是在侧面BCC 1B 1及⊥⊥其边界上运动，因此，符合条件的点P 在平面ACB 1与平面BCC 1B 1交线上，故所求的轨迹为线段B 1C ．本题的解题基本思路是：利用升维，化“动”为“静”，即先找出所有点的轨迹，然后缩小到符合条件的点的轨迹．7．在正四棱锥S-ABCD 中，E 是BC 的中点，点P 在侧面SCD 内及其边界上运动，总有PE AC ，则动点∆⊥P 的轨迹为_______________． 答案线段MN （M 、N 分别为SC 、CD 的中点）8．若A 、B 为平面的两个定点，点P 在外，PB ，动点C （不同于A 、B ）在内，且PC AC ，则αα⊥αα⊥动点C 在平面内的轨迹是________．（除去两点的圆）9．若三棱锥A —BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与ABC 组成的图形可能是：（D ）∆A A A AB C B C B C B C A B C D简析动点P 在侧面ABC 内，若点P 到AB 的距离等于到棱BC 的距离，则点P 在的内角∠ABC 平分线上．现在P 到平面BCD 的距离等于到棱AB 的距离，而P 到棱BC 的距离大于P 到底面BCD 的距离，于是，P 到棱AB 的距离小于P 到棱BC 的距离，故动点P 只能在的内角平分线与AB 之间的区域∠ABC 内．只能选D ．10．已知P 是正四面体S-ABC 的面SBC 上一点，P 到面ABC 的距离与到点S 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（B ）． A ．圆B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线解题的要领就是化空间问题为平面问题，把一些重要元素集中在某一个平面内，利用相关的知识去解答，象平面几何知识、解析几何知识等．11．已知正方体的棱长为1，在正方体的侧面上到点A 距离为的点的轨迹形ABCD A B C D -1111BCC B 11233成一条曲线，那么这条曲线的形状是_________，它的长度为__________．12．已知长方体中，，在线段BD 、上各有一点P 、Q ，PQ 上有一点ABCD A B C D -1111AB BC ==63,A C 11M ，且，则M 点轨迹图形的面积是 ．PM MQ =2提示轨迹的图形是一个平行四边形．13．已知棱长为3的正方体中，长为2的线段MN 的一个端点在上运动，另一个端点ABCD A B C D -1111DD 1N 在底面ABCD 上运动，求MN 中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积．14．已知平面平面，直线，点，平面、间的距离为4，则在内到点P 的距离为5且到直//αβl α⊂l P ∈αββ线的距离为的点的轨迹是（ ）l 29A ．一个圆B ．两条平行直线C ．四个点D ．两个点简析：如图，设点P 在平面内的射影是O ，则OP 是、的公垂线，OP=4．在βαβ点的轨迹是四个点，故选C ．16．在四棱锥中，面PAB ，面PAB ，底面ABCD 为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，ABCD P -⊥AD ⊥BC ，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是（ ）CPB APD ∠=∠A ．圆B ．不完整的圆C ．抛物线D ．抛物线的一部分简析：因为面PAB ，面PAB ，所以AD//BC ，且．⊥AD ⊥BC ︒=∠=∠90CBP DAP 又，8BC ,4AD ,CPB APD ==∠=∠由于点P 不在直线AB 上，故此轨迹为一个不完整的圆，选B ．17．如图，定点A 和B 都在平面内，定点P C 是内异于A 和B α,PB ,α⊥α∉α的动点．且，那么动点C 在平面内的轨迹是（ ）AC PC ⊥αA ．一条线段，但要去掉两个点B ．一个圆，但要去掉两个点C ．一个椭圆，但要去掉两个点D ．半圆，但要去掉两个点简析：因为，且PC 在内的射影为BC ，所以，即．所以点C 的轨迹是PC AC ⊥αBC AC ⊥︒=∠90ACB 以AB 为直径的圆且去掉A 、B 两点，故选B ．18．如图，在正方体中，P 是侧面内一动点，若P 到直线1111D C B A ABCD -1BC BC 与直线的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）11D C A ．直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线简析：因为P 到的距离即为P 到的距离，所以在面内，P 到定点11D C 1C 1BC 的距离与P 到定直线BC 的距离相等．由圆锥曲线的定义知动点P 的轨迹为抛物线，故选D ．1C 19．已知正方体的棱长为1，点P 是平面AC 内的动点，若点P 到直线的距离等于点1111D C B A ABCD -11D A P 到直线CD 的距离，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．直线简析：如图4，以A 为原点，AB 为x 轴、AD 为y 轴，建立平面直角坐标系．设P （x ，y ），作于E 、于F ，连结EF ，易知AD PE ⊥11D A PF ⊥建议收藏下载本文，以便随时学习！1x |EF ||PE ||PF |2222+=+=又作于N ，则．依题意，CD PN ⊥|1y ||PN |-=|PN ||PF |=故动点P 的轨迹为双曲线，选B ．20．如图，AB 是平面的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面内运动，使得△ABP a a 的面积为定值，则动点P 的轨迹是（ ）（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）一条直线 （D ）两条平行直线分析：由于线段AB 是定长线段，而△ABP 的面积为定值，所以动点P 到线段AB 的距离也是定值．由此可知空间点P 在以AB 为轴的圆柱侧面上．又P 在平面内运动，所以这个问题相当于一个平面去斜切一个圆柱(AB 是平面的斜线段)，得到的切痕是椭圆．P 的轨迹就是圆柱侧面与平面的交线 ．a 21．如图，动点在正方体的对角线上．过点作垂直于平面的直线，与正P 1111ABCD A B C D -1BD P 11BB D D 方体表面相交于．设，，则函数的图象大致是（ ）M N ，BP x =MN y =()y f x=ABCD MN P A 1B 1C 1D 1分析：将线段MN 投影到平面ABCD 内，易得y 为x 一次函数．22．已知异面直线a ，b 成角，公垂线段MN 的长等于2，线段AB 两个端点A 、B 分别在a ，b 上移动，且︒60线段AB 长等于4，求线段AB 中点的轨迹方程．图5简析：如图5，易知线段AB 的中点P 在公垂线段MN 的中垂面上，直线、为平面内过MN 的中α'a 'b α点O 分别平行于a 、b 的直线，于，于，则，且P 也为的中点．'a 'AA ⊥'A 'b 'BB ⊥'B P 'B 'A AB =⋂'B 'A 由已知MN=2，AB=4，易知得．,2AP ,1'AA ==32'B 'A =则问题转化为求长等于的线段的两个端点、分别在、上移动时其中点P 的轨迹．现以32'B 'A 'A 'B 'a 'b 的角平分线为x 轴，O 为原点建立如图6所示的平面直角坐标系．'OB 'A ∠图6设，，)y ,x (P n |'OB |,m |'OA |==则)n 21,n 23('B ),m 21,m 23('A -)n m (41y ),n m (43x -=+=222)32()n m (41)n m (43=++-消去m 、n ，得线段AB 的中点P 的轨迹为椭圆，其方程为．1y 9x 22=+点评：例5和例6分别将立体几何与解析几何中的双曲线与椭圆巧妙地整合在一起，相互交汇和渗透，有利于培养运用多学科知识解决问题的能力．立体几何中的轨迹问题1．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 与到直线B 1C 1的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为 （ ）A ．线段B ．一段椭圆弧C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分2．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 的距离与到直线B 1C 1的距离之比为2：1，则动点P 所在曲线的形状为（ ） A ．线段 B ．一段椭圆弧 C ．双曲线的一部分 D ．抛物线的一部分3．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 的距离与到直线B 1C 1的距离之比为1：2，则动点P 所在曲线的形状为（ ） A ．线段 B ．一段椭圆弧 C ．双曲线的一部分 D ．抛物线的一部分4．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为AA 1的中点，点P 在其对角面BB 1D 1D 内运动，若EP 总与直线AC 成等角，则点P 的轨迹有可能是（ ） A ．圆或圆的一部分 B ．抛物线或其一部分 C ．双曲线或其一部分 D ．椭圆或其一部分5．已知正方体的棱长为a ，定点M 在棱AB 上（但不在端点A ，B 上），点P 是平面ABCD A B C D -1111ABCD 内的动点，且点P 到直线的距离与点P 到点M 的距离的平方差为a 2，则点P 的轨迹所在曲线为（ A D 11）A ．抛物线B ．双曲线C ．直线D ．圆6．若三棱锥A —BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与ABC 组成的图形可能是（ ∆）A A AB C B C B C B CA B C D7．已知P 是正四面体S-ABC 的面SBC 上一点，P 到面ABC 的距离与到点S 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ） A ．圆B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线8．已知平面平面，直线，点，平面、间的距离为4，则在内到点P 的距离为5且到直//αβl α⊂l P ∈αββ线的距离为的点的轨迹是（l 29）A ．一个圆B ．两条平行直线C ．四个点D ．两个点9．在四棱锥中，面PAB ，面PAB ，底面ABCD 为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，ABCD P -⊥AD ⊥BC ，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是（ ）CPB APD ∠=∠A ．圆B ．不完整的圆C ．抛物线D ．抛物线的一部分10．如图，定点A 和B 都在平面内，定点P C 是内异于A 和B α,PB ,α⊥α∉α的动点．且，那么动点C 在平面内的轨迹是（ ）AC PC ⊥αA ．一条线段，但要去掉两个点B ．一个圆，但要去掉两个点C ．一个椭圆，但要去掉两个点D ．半圆，但要去掉两个点11．已知正方体的棱长为1，点P 是平面AC 内的动点，若点P 到直线的距离等于点1111D C B A ABCD -11D A P 到直线CD 的距离，则动点P 的轨迹所在的曲线是（）A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．直线12．如图，AB 是平面的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面内运动，使得△ABP a a 的面积为定值，则动点P 的轨迹是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．一条直线D ．两条平行直线13．如图，动点在正方体的对角线上．过点作垂直于平面的直线，与正P 1111ABCD A B C D -1BD P 11BB D D 方体表面相交于．设，，则函数的图象大致是（ ）M N ，BP x =MN y =()y f x =ABCD MN P A 1B 1C 1D 114．在正方体中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，总有AP BD 1，则动点P 的轨迹ABCD A B C D -1111⊥为________．15．在正四棱锥S-ABCD 中，E 是BC 的中点，点P 在侧面SCD 内及其边界上运动，总有PE AC ，则动点∆⊥P 的轨迹为_______________．16．若A 、B 为平面的两个定点，点P 在外，PB ，动点C （不同于A 、B ）在内，且PC AC ，则αα⊥αα⊥动点C 在平面内的轨迹是________．17．已知正方体的棱长为1，在正方体的侧面上到点A 距离为的点的轨迹形ABCD AB C D -1111BCC B 11233成一条曲线，那么这条曲线的形状是_________，它的长度为__________．18．已知长方体中，，在线段BD 、上各有一点P 、Q ，PQ 上有一点ABCD A B C D -1111AB BC ==63,A C 11M ，且，则M 点轨迹图形的面积是．PM MQ =219．已知棱长为3的正方体中，长为2的线段MN 的一个端点在上运动，另一个端点ABCD A B C D -1111DD 1N 在底面ABCD 上运动，则MN 中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积是．20．已知异面直线a ，b 成角，公垂线段MN 的长等于2，线段AB 两个端点A 、B 分别在a ，b 上移动，且︒60线段AB 长等于4，求线段AB 中点的轨迹方程．。
与立体几何有关的轨迹问题
如 图 ５ ，已 知 正 方 体
： 二 ：
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
ＡＢ Ｄ－ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 的棱 长 为 １ 点 Ｍ Ｃ － ，
Ｂ
在 Ａ上且 Ｍ －Ｑ 平 棱 ｌ ，ａ＝￣ 是 面 Ｂ ，
Ａ Ｃ 内 的 动 点 ， 点 Ｑ 到 直 线 Ｂ Ｄ 若
Ａ。 的 距 离 与 点 Ｑ 到 点 Ｍ 的 距 离 Ｄ 的平 方 差 为 ｌ ，则 点 Ｑ 的 轨 迹 为（ ） ． Ａ． 物 线 抛 Ｂ 双 曲 线 ． Ｃ 椭 圆 ．
・
名师专题讲座
２１年 期 ０ 第１ ２
与 立体 几 何 有 关 的轨 迹 问题
■ 唐 建 明
近几 年 的 高考 题 中 现 了一 些 与 立 体 几 何 有 关 的轨 迹 问 题 ． 些 问题 大 致 可 分 为 两 大 类 ： 体 几 何 中 的 轨 迹 问题 与 以 这 立
空 间 图形 为 载 体 的 圆锥 曲线 问题 ．
何 中点 、 、 的 基 本 知 识 ， 要 掌 握 有 关 的 轨 迹 问 题 ： １ 空 线 面 还 （） 间 中到 两 定 点 的 距 离 相 等 点 的轨 迹 是 以这 两 个 点 为 端 点 的 线
二、 以空 间 图 形 为 载体 的 圆锥 曲线 问题
解 决 这 类 问 题 ， 了 要 熟 练 掌 握 立 体 几 何 中 点 、 、 的 除 线 丽
一
中学鸯数理亿 ． 学饼版
解： 连接 Ｅ 易知△Ｅ Ａ， ＡＦ为直 角 ｉ角形 ， Ｐ 则 Ａ一÷ Ｅ Ｆ
一
．ห้องสมุดไป่ตู้
故 点 Ｐ 到 定 点 Ａ 的距 离 为 定 值 ， 由球 面 的 定 义 Ⅻ ， 选
、
立体 几 何 中的 轨 迹 问 题
空间背景下对动点轨迹问题的探析
图１ 中１ ÷， 一 ｎ 边 为） （其 Ｃ ｎｌ ÷（ 长 ｎ ） Ｍ Ｃ ， 设 Ｎ ．
【 题 一】 若 动 点 Ｐ 到 Ｂ 变 Ｃ
的距 离是 动 点 Ｐ 到 直 线 Ｃ Ｄ 的 距离 的 １ ２ 则 动点 Ｐ的 轨 迹 为 双 ／， 曲线 的 一 段 弧 ＭＮ ， 图 （ ） 其 中 如 ２，
迹 是 ．
特 的新 颖 性 、 合 性 与 交 汇 性 ， 以 倍 受 命 题 者 的 综 所
亲 睐． 此类 问题 将 平 几 、 几 、 几 、 间 向量 有 机 立 解 空
地 融合 为 一 体 ， 涵 盖 的 知 识 点 多 ， 数 学 思 想 和 其 对
方 法考 查 充 分 ， 以不 少 学生 对 这 类 问题 感 觉难 以 所
意 知 Ｐ 一２ ｃ ， Ｅ Ｐ ｌ
．
在面 Ｂ ｌ Ｂ Ｃ Ｃ内 动点 Ｐ 到 定 点 Ｃ 的距 离 与 ｌ
５。 ） ＋ 一 １ （ ＝： ） ６ｙ／０ ，
‘ ．
．
它 到定 直线 Ｂ Ｃ的距 离 比为 １２ ／， 由椭 圆 的第二 定义 可 知 ： 点 Ｐ 的 轨迹 是 以 Ｃ 动 １
Ｃ
Ａ． 物 线 的 一 部 分 Ｂ 双 曲线 的一 支 抛 ． Ｃ 椭 圆 的一 部 分 ． Ｄ． 的 一 部 分 圆
Ｂ Ｎ Ｃ
【 析】 过 Ｐ作 Ｐ 上 Ｂ ， 解 Ｅ Ｃ 连 接 Ｐ 则 Ｐ Ｃ， Ｅ为 点 Ｐ 到 Ｂ 的 距 Ｃ
离， 在正 方体 中易 知 Ｃ ｌ＿ Ｃ ， １ ＿Ｐ ｌ即 Ｄ Ｐ ｌ Ｐ 到直线 Ｃ Ｄ 的距 离 ， ｃ为 １ｌ 依题
Ａ ， Ｍ 只需 Ａ 与 Ｐ 在 面 Ａ Ｃ 内 的射 影 垂 直 即 Ｍ Ｑ Ｂ Ｄ 可 ． ＡＤ的 中点 Ｑ， Ｐ在底 面 的射影 为 Ｑ 而在 面 取 则 ， Ａ Ｃ 内 Ｂ 上Ａ ， 只需 动 点 Ｐ在 底 面 的 射影 为 Ｂ Ｄ Ｑ Ｍ 则 点 Ｂ 即可 ， 以动点 Ｐ 的轨迹是 线段 Ｂ 故 选 Ｃ 所 Ｂ ， ． 【 题 】 若 保 持 ＡＰ上 Ｂ 则 动 点 Ｐ‘ 轨 变 Ｄ ， 的
空间图形中的轨迹问题解法举隅
OA + OB
面 A B CD 内的动点 , 且点 P 到直线 A 1 D1 的距 离与点 P 到点 M 的距离的平方差为 1 , 则 P 点 ) 的轨迹为 ( A . 抛物线 B. 双曲线 C. 直线 D. 以上都不对 解析 : ( 定性分析) 如图 6 , 过点 P 作 P F ⊥A D 交 A D 于 F , ∵平面 A C ⊥平面 A D1 , 则 PF⊥ 平面 A D1 , 过点 F 作 F E ⊥A 1 D1 交 A 1 D1 于 E , 连 结 P E , 由三垂线定理可知 : P E ⊥ 图6 A 1 D1 , 则 P E 之长就是 P 点到 2 2 A 1 D1 的距离 . 由已知条件知 P E - PM = 1 , 在 2 2 2 2 Rt △P E F 中 , P E - P F = E F = A A 1 = 1 , ∴ 2 2 2 2 P E - PM = P E - P F , 即 PM = P F. ∴ P 点 的轨迹是以 M 为焦点 , 以 A D 为准线的抛物线 . 故应选 A .
36
上海中学数学 ・ 2007 年第 6 期
空间图形中的轨迹问题解法举隅
441000 湖北省襄樊市第一中学 王 勇
探求空间图形中的轨迹问题 , 要善于把立 体几何问题转化到平面上 , 再联合运用平面几 何、 立体几何 、 空间向量 、 解析几何等知识去求 解 , 实现立体几何到解析, 揭示解题方法 .
例3 已知正方体 A B CD - A 1 B 1 C1 D1 的棱 长为 1 , 在正方体的表面上与点 A 距离为
2 3 的 3
点的集合形成一条曲线 , 则该曲线的长度为 ( ) 2 3π 5 3π A. B. C. 2 3π D. 4 3π
高考数学专项练习试题
高考数学专项练习试题高考考查的不仅仅是一些基础知识，要想学好数学，一定要掌握一定的数学思想和数学思维，学会用数学思维解决问题，下面是小编为大家整理的关于高考数学专项练习试题，希望对您有所帮助。
欢迎大家阅读参考学习!高考数学专项练习试题一、选择题1.若点P是两条异面直线l，m外的任意一点，则( )A.过点P有且仅有一条直线与l，m都平行B.过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直C.过点P有且仅有一条直线与l，m都相交D.过点P有且仅有一条直线与l，m都异面答案：B 命题立意：本题考查异面直线的几何性质，难度较小.解题思路：因为点P是两条异面直线l，m外的任意一点，则过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直，故选B.2.如图，P是正方形ABCD外一点，且PA平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是( )A.平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直B.它们两两垂直C.平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直D.平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直答案：A 解题思路：DA⊥AB，DAPA，AB∩PA=A，DA⊥平面PAB，又DA平面PAD，平面PAD平面PAB.同理可证平面PAB平面PBC.把四棱锥P-ABCD放在长方体中，并把平面PBC 补全为平面PBCD1，把平面PAD补全为平面PADD1，易知CD1D即为两个平面所成二面角的平面角，CD1D=APB，CD1D<90°，故平面PAD与平面PBC不垂直.3.设α，β分别为两个不同的平面，直线lα，则“lβ”是“αβ”成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：A 命题立意：本题主要考查空间线面、面面位置关系的判定与充分必要条件的判断，意在考查考生的逻辑推理能力.解题思路：依题意，由lβ，lα可以推出αβ;反过来，由αβ，lα不能推出lβ.因此“lβ”是“αβ”成立的充分不必要条件，故选A.4.若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列结论正确的是( )A.若m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线B.若m，n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线C.已知α，β互相垂直，m，n互相垂直，若mα，则nβD.m，n在平面α内的射影互相垂直，则m，n互相垂直答案：B 解题思路：本题考查了空间中线面的平行及垂直关系.在A中：因为平行于同一平面的两直线可以平行，相交，异面，故A 为假命题;在B中：因为垂直于同一平面的两直线平行，故B为真命题;在C中：n可以平行于β，也可以在β内，也可以与β相交，故C为假命题;在D中：m，n也可以不互相垂直，故D为假命题.故选B.5.如图所示，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，另一端点N在正方形ABCD内运动，则MN的中点的轨迹的面积为( )A.4πB.2πC.πD.-π答案：D 解题思路：本题考查了立体几何中的点、线、面之间的关系.如图可知，端点N在正方形ABCD内运动，连接ND，由ND，DM，MN构成一个直角三角形，设P为NM的中点，根据直角三角形斜边上的中线长度为斜边的一半可得，不论MDN如何变化，点P 到点D的距离始终等于1.故点P的轨迹是一个以D为中心，半径为1的球的球面，其面积为.技巧点拨：探求以空间图形为背景的轨迹问题，要善于把立体几何问题转化到平面上，再联合运用平面几何、立体几何、空间向量、解析几何等知识去求解，实现立体几何到解析几何的过渡.6.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：直线BE与直线CF是异面直线;直线BE与直线AF是异面直线;直线EF平面PBC;平面BCE平面PAD.其中正确结论的序号是( )A.1B.1C. 3D.4答案：B 解题思路：本题考查了立体几何中的点、线、面之间的关系.画出几何体的图形，如图，由题意可知，直线BE与直线CF是异面直线，不正确，因为E，F分别是PA与PD的中点，可知EFAD，所以EFBC，直线BE与直线CF是共面直线;直线BE与直线AF是异面直线，满足异面直线的定义，正确;直线EF平面PBC，由E，F是PA与PD的中点，可知EFAD，所以EFBC，因为EF平面PBC，BC平面PBC，所以判断是正确的;由题中条件不能判定平面BCE平面PAD，故不正确.故选B.技巧点拨：翻折问题常见的是把三角形、四边形等平面图形翻折起来，然后考查立体几何的常见问题：垂直、角度、距离、应用等问题.此类问题考查学生从二维到三维的升维能力，考查学生空间想象能力.解决该问题时，不仅要知道空间立体几何的有关概念，还要注意到在翻折的过程中哪些量是不变的，哪些量是变化的.二、填空题7.如图，四边形ABCD为菱形，四边形CEFB为正方形，平面ABCD平面CEFB，CE=1，AED=30°，则异面直线BC与AE所成角的大小为________.答案：45°解题思路：因为BCAD，所以EAD就是异面直线BC 与AE所成的角.因为平面ABCD平面CEFB，且ECCB，所以EC平面ABCD.在RtECD中，EC=1，CD=1，故ED==.在AED中，AED=30°，AD=1，由正弦定理可得=，即sin EAD===.又因为EAD∈(0°，90°)，所以EAD=45°.故异面直线BC与AE所成的角为45°.8.给出命题：异面直线是指空间中既不平行又不相交的直线;两异面直线a，b，如果a平行于平面α，那么b不平行于平面α;两异面直线a，b，如果a平面α，那么b不垂直于平面α;两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直线.上述命题中，真命题的序号是________.答案：解题思路：本题考查了空间几何体中的点、线、面之间的关系.根据异面直线的定义知：异面直线是指空间中既不平行又不相交的直线，故命题为真命题;两条异面直线可以平行于同一个平面，故命题为假命题;若bα，则ab，即a，b共面，这与a，b为异面直线矛盾，故命题为真命题;两条异面直线在同一个平面内的射影可以是：两条平行直线、两条相交直线、一点一直线，故命题为假命题.9.如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥.已知一个正六棱锥的各个顶点都在半径为3的球面上，则该正六棱锥的体积的最大值为________.答案：16 命题立意：本题以球的内接组合体问题引出，综合考查了棱锥体积公式、利用导数工具处理函数最值的方法，同时也有效地考查了考生的运算求解能力和数学建模能力.解题思路：设球心到底面的距离为x，则底面边长为，高为x+3，正六棱锥的体积V=_(9-x2)_6(x+3)=(-x3-3x2+9x+27)，其中0≤x<3，则V′=(-3x2-6x+9)=0，令x2+2x-3=0，解得x=1或x=-3(舍)，故Vmax=V(1)=(-1-3+9+27)=16.10.已知三棱锥P-ABC的各顶点均在一个半径为R的球面上，球心O在AB上，PO平面ABC，=，则三棱锥与球的体积之比为________.答案：命题立意：本题主要考查线面垂直、三棱锥与球的体积计算方法，意在考查考生的空间想象能力与基本运算能力.解题思路：依题意，AB=2R，又=，ACB=90°，因此AC=R，BC=R，三棱锥P-ABC的体积VP-ABC=PO·SABC=_R__R_R=R3.而球的体积V球=R3，因此VP-ABCV球=R3R3=.三、解答题11.如图，四边形ABCD与A′ABB′都是正方形，点E是A′A的中点，A′A平面ABCD.(1)求证：A′C平面BDE;(2)求证：平面A′AC平面BDE.解题探究：第一问通过三角形的中位线证明出线线平行，从而证明出线面平行;第二问由A′A与平面ABCD垂直得到线线垂直，再由线线垂直证明出BD与平面A′AC垂直，从而得到平面与平面垂直.解析：(1)设AC交BD于M，连接ME.四边形ABCD是正方形，M为AC的中点.又 E为A′A的中点，ME为A′AC的中位线，ME∥A′C.又 ME?平面BDE，A′C?平面BDE，A′C∥平面BDE.(2)∵ 四边形ABCD为正方形，BD⊥AC.∵ A′A⊥平面ABCD，BD平面ABCD，A′A⊥BD.又AC∩A′A=A，BD⊥平面A′AC.BD?平面BDE，平面A′AC平面BDE.12.如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，ADDC，ABDC.(1)求证：D1CAC1;(2)设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E平面A1BD，并说明理由.命题立意：本题主要考查空间几何体中的平行与垂直的判定，考查考生的空间想象能力和推理论证能力.通过已知条件中的线线垂直关系和线面垂直的判定证明线面垂直，从而证明线线的垂直关系.并通过线段的长度关系，借助题目中线段的中点和三角形的中位线寻找出线线平行，证明出线面的平行关系.解决本题的关键是学会作图、转化、构造.解析：(1)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，连接C1D，DC=DD1，四边形DCC1D1是正方形，DC1⊥D1C.又ADDC，ADDD1，DC∩DD1=D，AD⊥平面DCC1D1，又D1C平面DCC1D1，AD⊥D1C.∵ AD?平面ADC1，DC1平面ADC1，且AD∩DC1=D，D1C⊥平面ADC1，又AC1平面ADC1，D1C⊥AC1.(1)题图(2)题图(2)连接AD1，AE，D1E，设AD1∩A1D=M，BD∩AE=N，连接MN.平面AD1E∩平面A1BD=MN，要使D1E平面A1BD，可使MND1E，又M是AD1的中点，则N是AE的中点.又易知ABN≌△EDN，AB=DE.即E是DC的中点.综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E平面A1BD.13.已知直三棱柱ABC-A′B′C′满足BAC=90°，AB=AC=AA′=2，点M，N分别为A′B和B′C′的中点.(1)证明：MN平面A′ACC′;(2)求三棱锥C-MNB的体积.命题立意：本题主要考查空间线面位置关系、三棱锥的体积等基础知识.意在考查考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.解析：(1)证明：如图，连接AB′，AC′，四边形ABB′A′为矩形，M为A′B的中点，AB′与A′B交于点M，且M为AB′的中点，又点N为B′C′的中点.MN∥AC′.又MN平面A′ACC′且AC′平面A′ACC′，MN∥平面A′ACC′.(2)由图可知VC-MNB=VM-BCN，BAC=90°， BC==2，又三棱柱ABC-A′B′C′为直三棱柱，且AA′=4，S△BCN=_2_4=4.A′B′=A′C′=2，BAC=90°，点N为B′C′的中点，A′N⊥B′C′，A′N=.又BB′⊥平面A′B′C′，A′N⊥BB′，A′N⊥平面BCN.又M为A′B的中点，M到平面BCN的距离为，VC-MNB=VM-BCN=_4_=.14.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，ABDC，PAD是等边三角形，BD=2AD=8，AB=2DC=4.(1)设M是PC上的一点，证明：平面MBD平面PAD;(2)求四棱锥P-ABCD的体积.命题立意：本题主要考查线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理与性质定理以及棱锥的体积的计算等，意在考查考生的逻辑推理能力与计算能力，考查化归与转化思想.解析：(1)证明：在ABD中，因为AD=4，BD=8，AB=4，所以AD2+BD2=AB2.故ADBD.又平面PAD平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD平面ABCD，所以BD平面PAD，又BD平面MBD，所以平面MBD平面PAD.(2)过点P作OPAD交AD于点O，因为平面PAD平面ABCD，所以PO平面ABCD.因此PO为四棱锥P-ABCD的高.又PAD是边长为4的等边三角形，所以PO=_4=2.在四边形ABCD中，ABDC，AB=2DC，所以四边形ABCD是梯形.在Rt△ADB中，斜边AB上的高为=，此即为梯形ABCD的高.所以四边形ABCD的面积S=_=24.故四棱锥P-ABCD的体积VP-ABCD=_24_2=16.。
以空间图形为背景的轨迹问题学生版
浅谈以空间图形为背景的轨迹问题近几年的高考数学试题，设置了一些数学学科内的综合题，它们的新颖性、综合性，值得我们重视。
在知识网络交汇处设计试题是高考考试命题的一个方向，空间轨迹问题正是在这种背景下出现的。
由于这类题目涵盖的知识点多，数学思想和方法考查充分，学生求解起来颇感困难，考试时经常弃而不答，令人惋惜。
探求空间轨迹问题，要善于把立体几何问题转化到平面上，再运用平面几何、立体几何、空间向量、解析几何等知识去求解。
本文将通过对几道典型例题的分析，试图总结空间轨迹问题的常见类型，寻求空间轨迹问题的探求方法。
常见类型：一、直线型轨迹问题例1:若三棱锥A-BCD 侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与ABC 组成的图形是( )练习： 已知正三角形ADP 所在平面与正方形ABCD 所在平面互相垂直，O 为正方形的中心，M 为正方形ABCD 内一动点，且满足MC=MP,则点M 的轨迹是（ ）A AA P例2: 如图所示，在正四棱锥S-ABCD 中，E 为 BC 的中点，点P 在侧面∆SCD 内及其边界上运动， 且总保持PE ⊥AC 。
求动点P 的轨迹。
练习：图所示，在三棱锥A-BCD 中，P 为CD 的中点，动点M 在∆ABD 内部及边界上运动， 且总保持PM ∥平面ABC 。
求动点M 的轨迹。
练习2：在正方体1AC 中，点P 在侧面11BCC B 的内部及边界上运动，总有1AP BD ⊥,则点P 的轨迹是（ ） A. 线段1B CB. 线段1BC C. 线段BC D. 线段11B CPMR QAD BCPMR QADBC二、圆型轨迹问题例3: 已知平面α∥平面β，平 面α、β间的距离为8，点P 在平面α内，则在平面β内到点P 的距离为10的点的轨迹是[ ]A.一个圆B.一条直线C.一个点D.不存在练习1: 已知正方体1111D C B A ABCD - 的棱长为1，在正方体的表面上与点A 距的点的集合形成一条曲线，则该 曲线的长度为[ ]C.D.练习2: 定点A 和B 都在平面α内，定点P 不属于平面α，PB ⊥α。
高中数学求轨迹方法及例题
高中数学求轨迹方法及例题高中数学求轨迹方法及例题轨迹是指一个点在动态运动过程中所形成的图形规律，它是数学中一个非常重要的概念。
在高中数学中，求解轨迹是数学学习的重要部分。
本文将介绍高中数学求轨迹的方法和一些例题。
一、轨迹概述轨迹是一个点在运动中所形成的图形规律。
如果在平面直角坐标系中，已知一个点P(x, y)在满足某些条件下运动，那么在运动过程中，点P所形成的曲线称为这个点的轨迹。
在三维空间中，轨迹是由一个点在空间中移动所形成的图形。
轨迹是数学中常见的概念，它在物理、经济、生物等学科都有广泛的应用，是理解很多自然现象和运动规律的基础。
二、轨迹的求解方法1. 点的轨迹在平面直角坐标系中，若点P的坐标(x, y)满足某一条件，则点P就沿着这个条件所规定的曲线运动，形成的曲线就是点P的轨迹。
例如，点P(x, y)到两个定点A(a, 0)和B(-a, 0)的距离相等。
这时，点P到A,B的距离应该满足：PA²=PB²(x-a)²+y²=(x+a)²+y²x²-2ax+a²+y²=x²+2ax+a²+y²4ax=0所以此时，x=0，y为任意实数。
因此，点P的轨迹是y 轴。
2. 直线的轨迹在平面直角坐标系中，若直线的一般式为Ax+By+C=0，其中A、B、C为常数，则点(x, y)沿着这条直线运动所形成的轨迹就是Ax+By+C=0这条直线。
例如，直线x-y+1=0的轨迹，可以通过两点法或垂线法来求解。
两点法即找出直线上的两个点，然后这两个点的连线就是直线的轨迹。
垂线法则是以一点为中心，在垂线方向上取两个点，作出垂线，这条垂线所形成的轨迹就是所求的直线的轨迹。
三、轨迹实例1. 两点之间线段的中点轨迹经常出现在高中数学中的问题中，能够让我们重新认识中点的性质，也能够让我们更好地理解直线和圆的关系。
立体几何中的轨迹问题(详细版)
立体几何中的轨迹问题高考数学有一类学科内的综合题，它们的新颖性、综合性，值得我们重视，在知识网络交汇点处设计试题是高考命题改革的一个方向，以空间问题为为背景的轨迹问题作为解析几何与立体几何的交汇点，由于知识点多，数学思想和方法考查充分，求解比较困难。
通常要求学生有较强的空间想象能力，以及能够把空间问题转化到平面上，再结合解析几何方法求解，以下精选几个问题来对这一问题进行探讨，旨在探索题型规律，揭示解题方法。
一、用空间运动的观点来得到点的轨迹。
例1：直线PA 是平面M 的一条斜线，斜足为A ，动直线PB 过点P 且与直线PB 垂直，且交平面M 于点B ，求动点B 的轨迹。
解：先探讨直线PB 的运动轨迹，由于直线PB 始终与PA 垂直，可知PB 的运动轨迹应是直线PA 的垂直平面N 。
再结合点B 一定在平面M 内，所以点B 的轨迹应该是两个平面的交线，所以点B 的轨迹是一条直线。
针对以上解法，我们对这一问题作一深层次的探讨：若直线PA 与平面M 成α角，直线PB 始终与直线PA 成β角，再来求点B 的轨迹。
由上述解法可知，我们只要得到直线PB 的空间轨迹，再来考察该轨迹与平面M 的交线即可。
由简单的模型模拟即可知，直线PB 的轨迹是一个圆锥面，再用一个平面截圆锥面，这一知识在平面解析几何中圆锥曲线的来历中有提到，即所得曲线可能是圆、椭圆、抛物线、双曲线。
因此，我们在以下命题：直线PA 是平面M 的一条斜线，且与平面M 成α角，斜足为A ，动直线PB 过点P 且与直线PB 成β角，交平面M 于点B ，求动点B 的轨迹。
结论： （1）若α=90°，β≠90°，则动点B 的轨迹是一个圆； （2）若α≠90°，β=90°，动点B 的轨迹是一条直线；（3）若α≠90°，β≠90°，则①若90°>α>β，则轨迹是椭圆； ②若α=β，则轨迹是抛物线； ③若α<β，则轨迹是双曲线。
探求轨迹方程的若干方法
探求轨迹方程的若干方法轨迹方程描述了一个运动物体在空间中的轨迹，通过轨迹方程我们可以了解物体的运动规律和位置变化。
在数学中，有多种方法可以探求轨迹方程，下面详细介绍其中的几种方法。
1.图形法：图形法是一种直观且有效的方法，通过观察物体的运动轨迹来寻找轨迹方程。
首先，我们需要观察物体的运动过程，并将其运动轨迹记录下来，可以使用摄像机记录运动过程等。
然后，根据观察到的轨迹以及已知的运动规律来分析出轨迹方程。
2.向量法：在物理学中，向量是描述物体位置和运动的重要工具。
对于一个运动物体，我们可以使用位置向量来描述其位置的变化，经过一段时间后，位置向量的末端经历的轨迹即为物体的轨迹。
因此，通过求解位置向量的方程，我们可以得到物体的轨迹方程。
3.参数方程法：参数方程是一种描述曲线的方法，通过引入一个参数来表示曲线上的每个点的位置。
对于轨迹方程，我们可以使用参数方程来表示。
首先，我们需要确定合适的参数，例如时间或距离。
然后，通过给出参数与坐标的关系，得到轨迹方程。
4.微分方程法：微分方程是研究变化的数学工具，对于描述运动物体的轨迹方程，常使用微分方程来推导。
首先，我们需要根据物体的运动规律建立微分方程，然后求解该微分方程，得到轨迹方程。
这种方法通常适用于复杂的物体运动，如弹道问题或行星运动等。
5.解析几何法：解析几何是研究几何图形的数学分支，通过坐标系和代数方法来描述图形的性质。
对于轨迹方程，我们可以通过解析几何方法来推导。
首先，我们需要根据物体的运动规律得到物体的位置坐标关系，然后利用几何方法将其转化为方程，得到轨迹方程。
6.数值计算法：数值计算是一种通过计算机来获取近似解的方法，在探求轨迹方程时可以使用数值计算法。
首先，我们需要利用数值方法来模拟物体的运动过程，得到一系列的位置坐标。
然后，通过拟合这些位置坐标，得到轨迹方程的近似解。
在实际应用中，探求轨迹方程不仅仅是一个纯数学问题，也涉及到物理学、动力学等学科的知识。
以空间图形为背景的轨迹问题的探求
以空间图形为背景的轨迹问题的探求伴随新课程的不断深入，近几年高考试题，设置了一些开放题，具有新颖性、综合性.在知识网络交汇处设计试题是当今高考命题的一个方向，空间轨迹问题正是在这种背景下“闪亮登场”.这类题目已突破传统的筐筐，涵盖的知识点多，较抽象，学生求解起来颇感困难，得分率偏低，令人惋惜.本文通过几道典型例题的分析，寻求空间轨迹问题的探求方法.1 分析动点满足的几何性质；通过设轨迹上任意一点，根据条件求出动点的某些特征，再类比已学过的曲线的定义和性质，来寻求突破.1.1 利用线面垂直关系【例1】 正方体1111D C B A ABCD -中，点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，在运动过程中，保持AP ⊥1BD ，则动点P 的轨迹是（ A ） A.线段1B C B.线段1BCC.1BB 中点与1CC 中点连成的线段D.BC 中点与11B C 中点连成的线段解：联想到线面垂直，转化为求AP 运动所形成的面与1BD 垂直，易证1BD ⊥1面AB C ，故选A .1.2 联想圆的定义【例2】如图PAB ∆所在的平面α和四边形ABCD 所在的平面β垂直，且,AD BC αα⊥⊥， 4AD =， 8BC =，6AB =，APD CPB ∠=∠，则点P 在平面α内的轨迹是（ A ）A ．圆的一部分B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分，0,,//90,AD BC AD BC CPB DAP Rt DAP αα⊥⊥∴∠==∠∠∆∆ 解：且，又CPB=APD ，故Rt CBPβ αPA BCDCC 1有4182PA AD PB BC ===，在平面PAB 内，以AB 所在直线为X 轴，AB 的中点为坐标原点，设P （x,y ）12=，化简得221090x y x +++=，注意到点P 不在直线AB上，故除掉0y ≠ 选A .练习：已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，在正方体的表面上与点A的点的集合形成一条曲线，则该曲线的长度为（ B ）A.3B.6C.D. 解：当点P 在上底面时，连AP 、A 1P ， 在直角∆APA 1中，求得PA 1P 1P 22π.同理左侧面的弧P 5P 6、后侧面的弧P 3P 42π；当点P 在前侧面时，弧P 1P 6∆A 1P 1A 中，直角边A 1P 1的长为斜边P 1A 的一半，所以弧P 1P 6的圆心角为6π，从而弧P 1P 6的长为6π.同理右侧面的弧P 2P 3的长与下底面的弧P 4P 36π.故曲线的总长度为32π⎫⨯+⎪⎪⎝⎭6π⎫=⎪⎪⎝⎭，故选B . 1.3 联想到抛物线的定义【例3】 已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，点M 在棱AB 上，且AM=13，点P 是平面ABCD 内的动点，且点P 到直线11A D 的距离的平方与点P 到点M 的距离的平方之差为1，则P 点的轨迹为（A ）A.抛物线弧B.双曲线弧C.线段D.以上都不对解法一：过P 作PF 垂直AD 于F ，则PF 垂直平面ADD 1A 1，过点F 作FE 垂直A 1D 1于E ，连PE ，则PE 为点P 到直线A 1D 1的距离，由已知221PE PM -=，即CDABDC 1B 1AE F PMBCDAC 1B 1 A 1D 1 P 2 P 1PP 3P 6P 4P 52221PF EF PM +-=，得220PF PM -=，∴ PF=PM ，故P 点的轨迹是以M 为焦点，以AD 为准线的抛物线，故选A .解法二：以AB ，AD 所在直线为X 轴Y 轴建立直角坐标系，设P （x ,y ）为轨迹上任意点，可得P 到A 1D 1的距离平方为1+2x ，2PM =221()3x y -+，所以1+2x --221()3x y -+=1，整理得22139y x =-，故选A . 练习：在正方体1111D C B A ABCD -的侧面ABB 1A 1内有一点P 到直线AB 与到直线B 1C 1的距离相等，则动点P 所 在曲线的形状为（ C ） A.直线 B.双曲线 C.抛物线 D.圆解：因为B 1C 1垂直于平面ABB 1A 1，所以PB 1为点P 到直线B 1C 1的距离，于是问题转化为在平面ABB 1A 1内，点P 到定点B 1的距离与点P 到定直线AB 的距离相等.故根据抛物线的定义可知选答案C .1.4 联想到球面的定义【例4】 如图，已知正方形111ABCD A BC D -的棱长为2，长为2的线段MN 的一个端点M 在棱1DD 上运动，点N 在正方形ABCD 内运动，则MN 中点的轨迹的面积是（D ）A.4πB. πC. 2πD.2π解：充分利用MN 的长度不变，MND ∆是直角三角形，P 点为斜边MN 的中点，∴112DP MN ==.故P 点的轨迹是以D 为圆心，1为半径的球面位于正方体内的部分，因为要算具体面积，就必须求出几何体是球的哪些部分.分析可得，点P 和棱AD 、DC 、1DD 均交于各自的中点，即三条半径两两垂直，该部分球面与正方体围成的几何体是球的八分之一，故选D .2 利用向量工具；按立体几何的传统方法几乎无从下手时，恰当的运用向量，有踏破铁鞋无觅处，得来全不费工夫之感.【例5】一定长线段AB 的两个端点A 、B 沿互相垂直的两条异面直线m 、n 运动，求它的中点的轨迹.解：设MN 为m 、n 的公垂线段，则MN 与m 、n 两两垂直.如图，以N 点为原点，直线n 为x 轴，直线NM 为z 轴，以过点N 所作直线m 的平行线为y 轴，建立空间直角坐标系.C 1C设MN c =，(0,,)A a c ，(,0,0)B b ，则2A B a =， P 点坐标为,,222b a c ⎛⎫⎪⎝⎭，其中横坐标和纵坐标为变量，竖坐标为常量.∴P 点必在MN 的垂直平分面上,取MN 的中点O ，则0,0,2c O ⎛⎫ ⎪⎝⎭b OP ⎛= =22AB NM=-，所以P 点在以22AB NM -为半径的圆上.故P 点的轨迹是MN 的垂直平分面内的一个圆.3 利用特殊点定位；把问题的形式向特殊化形式转化，得出结论，并证明特殊化后的结论适合一般情况.【例6】 如图所示，在三棱锥A-BCD 中，P 为CD 的中点，动点 M 在∆ABD 内部及边界上运动，且总保持PM ∥平面ABC,求动点 M 的轨迹.解：先分析特殊位置；当点M 在BD 边上时，由PM ∥平面ABC 可得PM ∥BC ，此时点M 是BD 边的中点Q ，当动点M 在AD 边上时，同理可得PM ∥AC ，此时点M 是AD 边的中点R .于是猜想动点M 的轨迹为中位线RQ .实际上此题就转化为证明面// //PRQ ABC PM PQR PM ⊂∴面，面面ABC ，故命题得证.探求空间轨迹问题，要善于把立体几何问题转化到平面上，再联合运用平面几何、立体几何、空间向量、解析几何等知识去求解，实现立体几何到解析几何的过渡.以上是笔者在教学中，处理此类问题的几种方法，愿与各位共同探讨.P M RQADBC。
空间图形中的轨迹问题19页文档
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
1
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倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
教案-空间中的轨迹问题
课题：二轮复习专题－空间图形为载体的轨迹问题设计思想近几年的高考数学试题，设置了一些数学学科内的综合题，即所谓的“在知识网络交汇点处设计试题”. 以空间图形为载体的轨迹问题正是在这种背景下登场的.此类问题将平面几何，立体几何，解析几何巧妙而自然地交汇在一起，涵盖的知识点多，数学思想和方法考查充分,解答起来颇感困难，它不仅要求学生对立体几何的概念、定理、图形性质了然于胸，还要求学生的思维在立几和解几中不断切换。
通过本节课教学使学生体会解题过程中的思维机制，培养学生对数学的兴趣，提升学生的思维品质和创新能力。
教学目标帮助学生熟悉在知识网络交汇处呈现的问题，提高学生处理综合问题的心理素质和思维能力。
教学重点以空间图形为载体的轨迹问题的常见处理方法：轨迹交集法；空间问题向平面问题转化；建系运算等。
教学过程策略1 轨迹交集法例1.(2006北京卷) 平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则点C 的轨迹是（A ）一条直线 （B ）一个圆 （C ）一个椭圆 （D ）双曲线的一支 分析：“定点A 的动直线l 与AB 垂直”这个条件意味着：动直线l 的轨迹为与直线AB 垂直的一个平面β；“且交α于点C ”意味着：平面β与平面α两个轨迹的交集，即直线.注意：解决本题要进行适当的逻辑推理，不能仅凭直观的想象.例2．已知平面α∥平面β，直线l α⊂，点P l ∈，平面,αβ间的距离为8，则在平面β内到点P 的距离为10且到直线l 的距离为9的点的轨迹是（ ）（A ）一个圆 （B ）两条直线 (C)四个点 (D)两个点要点： 从定性看： 轨迹上的点符合三个条件：①到P 点的距离为10；②到直线l 的距离为9；③在平面β内.条件①的点的轨迹是以P 为球心，半径为10的球面；符合条件②的轨迹是以直线l 为轴，底面半径为9的圆柱面.而所求轨迹又要符合条件③，故所求轨迹在球面被平面β所截得的圆上，也在圆柱面被平面所截得的两条平行直线上.从定量看 设点P 在平面β上的射影是O ，则OP 是平面α，β 的公垂线段，OP=8； 在平面β 内到点P 的距离为10的点到点O 的距离等于6，所以点的轨迹是以O 为圆心，以6为半径的圆；在平面β 内到直线l 的距离等于9的点的集合是两条平行直线m,n ，它们到点O 的距离等于6<，所以，直线m,n 与这个圆均相交，共有四个点,因此所求的点的轨迹是四个点，应选C.注意：本题的思考方法相当于解析几何中的交轨法，首先想象出符合条件①②的点集分别与平面β 的交集，化归到平面β 后，再确定交集的位置关系，体现了分解与组合的思想.策略2 空间问题向平面问题转化法（1）空间的线线垂直转化为平面内的线线垂直例3．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点M 是棱CD 的中点，点O 是侧面AA 1D 1D 的中心，若点P 在侧面BB 1C 1C 及其边界上运动，并且总是保持OP AM ⊥，则点P 的轨迹是 要点： AM 为面AC 内的线段，OP 为面AC 的斜线，依据三垂线定理，可将OP AM ⊥转化为OP 在面AC 内的射影OP ’垂直的问题.所以，P 的轨迹是线段BB 1（2）空间距离转为平面距离后用定义求解例4. 04年北京理科（4）如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，P 是侧面BB C C 11内一动点，若P 到直线BC 与直线C D 11的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是( )（A ） 直线 (B) 圆 (C) 双曲线 (D) 抛物线分析；本题关键：点P 到直线C D 11的距离转化为PC 1,从而将问题转变为：在平面BCC 1B 1内，到定点C 1与到定直线BC 距离相等的轨迹问题.应选B思考：如何修改条件，使P 的轨迹所在的曲线为椭圆？如何修改条件，使P 的轨迹所在的曲线为双曲线？例5． （2004 重庆）若三棱锥A-BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与△ABC 组成图形可能是分析：在三棱锥A-BCD 中作AO ⊥底面BCD 于O ，连接OC ，在AC 棱上找一点Q ，使Q 到底面的距离等于到棱的距离.在AOC ∆中作QE ⊥OC 于E ，在∆ABC 中作QM ⊥AB 于M ，所以，QE=QM在线段BQ 上任取一点P ，作PF ⊥底面BCD 于F, PN ⊥棱AB 于N ，则有PN ∥QM, PF ∥QE 所以，PF BP PN QE BQ MQ== 因此，PF=PN 即线段BQ 上的任取一点到底面的距离等于到棱AB 的距离，于是可排除A,B.又因为QM=QE <QC, 于是又可排除C.故应选D解法2:过E 作EK ⊥BC 于K,连QK.则QK ⊥BCsin 1QM QE QKE QK QK∴==∠< Q M Q K <（3）转为平面问题后求轨迹方程来确定轨迹例6 .在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面PAB , BC ⊥平面PAB ,底面ABCD 为梯形，且4,8,6,AD BC AB APD CPB ===∠=∠,满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹为（ ）（A ）圆（B ）不完整的圆 （C ）抛物线（D ）抛物线的一部分 分析： AD ⊥平面PAB ,BC ⊥平面PAB ,//AD BC ∴,且,4,8APD CPB AD BC ∠=∠==,可得t a n t a n A D C B A P D C P B P A P B∠===∠,即2PB CB PA AD==，在平面PAB 中如图建系，则(3,0),(3,0)A B -,设(,)P x y ，有2PB PA ==，整理得221090x y x +++=，由于P 不在直线AB 上，故此轨迹为一个不完整的圆。
空间中的轨迹问题及其解决办法
B
D
C
知识点五：
1.借助轨迹的几何定义解决问题 2.在轨迹所在平面恰当建立坐标系，计算出轨迹方 程后再解决问题
A
G
E
F
H
D
C
A'
B
知识点二：
过空间中一点作已知平面的平行 直线有无数条，并且这无数条直线 都在同一平面内，这个平面就是已 知平面的平行平面。
配套练习：
知识点三：
过空间中一点作已知直线的垂线有无数条，并且这无数 条直线都在同一平面内，这个平面就是已知直线的垂面。
配套练习：
知识点四：
过空间中一条线段上的点作已知 平面的垂线，垂足的轨迹是一条线段， 并且这条线段恰是这条线段在已知平 面上的投影。这些垂线的轨迹是一个 平面，恰是已知平面的垂面。
空间中的轨迹问题 及其常见解决办法
知识点一：
若点P是平面和的公共点，那么平面和有无数个公共点， 并且这无数个公共点都在一条直线上，这条直线叫做平面 与的交线。
配套练习：
正方体中，根据条件求动点P的轨迹 （1）动点P既在平面A’BCD上，又在平面AA’H上； （2）动点P既在平面A’BCD上，又在平面EBG上.
配套练习：
正方体中，
A
G
（1）P为线段AF上的动点，若过点P作PQ平面AA’BG于点Q,
求点Q轨迹的长度；
E
（2） P为线段A
C
且PQ直线与平面ABCD交于点Q,求点Q轨迹的长度。
A' B
A
D'
练习题：
C' E
棱长全为2的三棱柱，在侧面CDD’C’ 上取点P使得PA//平面ECD，再在底面 BCD上取点Q使得PQ平面ECD,求点P 轨迹的长度.
空间图形中的轨迹问题共19页
空间图形中的轨迹问题
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
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中学数学杂志 ( 高中) 2004 年第 3 期 与这个圆均相交 , 共有四个交点 , 因此所求点 的轨迹是四个点 , 故应选 C. 例 2 己知正方体 AB CD - A 1 B 1 C1 D1 的 棱长为 1 , 在正方体的表面上与点 A 距离为
2 3 的点的集合形成一条曲线 , 则该曲线的 3
3 得 x < - 3 , 直线 AB 的方程为 y = x , 又设点
P 到直线 AB 的距离为 d , 则 d = | x - y|
1 x - 8 1 = 2 2 - x - 3
2
( - x - 3) +
2 1
- x - 3
=
x - 8) ( - x - 7) …( - x + 8) ( - x + 9) = x ( x + 9) ( x + 8) ( x + 7) …( x - 8) ( x - 9) = x ( x - 9) ( x - 8) ( x - 7) …( x + 8) ( x + 9) = f ( x) , 又 f ( x) 不 是 常 函 数 , 因 此 f ( x) = xM x - 9 是偶函数而不是奇函数 , 故选 A .
是平面 AB CD 内的动点 , 且点 P 到直线 A 1 D1 的距离与点 P 到点 M 的距离的平方差为 1 , ). 则 P 点的轨迹为 (
A 1 抛物线 B 1 双曲线 C1 直线 D1 以上都不对
2 3 π 3 π 5 3 π, 故应 × ) + 3 ×( × ) = 3 6 3 2 6
5 x ( x + 1) ( x + 2) …( x + n - 1) , 例如 M - 5 =
≠- b) , 根据题意 , 上述方程有两个绝对值相 b - 3 = 0 等 , 符号相反的实根 , 则 , 所以 b - a < 0 = 3 , 又当 x0 ≠- b 时 , 解得 a ≠3 b , 所以 a ≠ 9 , 因此实数 a , b 应满足的条件为 b = 3 , a > 0 且 a ≠9 ; ( 2) 在 ( 1) 的条件下 , 当 a = 8 时 , 由
2x = 3 ( m + n) 2
43
的弧 , 在另外的情形中 , 同样得到椭圆 ②的 其余弧 , 故 P 点的轨迹是 EF 的中垂面上以 O 点为中心的椭圆
x
2
1 ( m - n) 2y = 2
9
+ y = 1.
2
可解得
m = n =
点评 ( 1) 若把条件中 b “异面直线 a 、 所成角为 60° ” 改成 “异面直线 a 、 b 所成角为
19
≥
4 2 , 当且仅当 ( - x - 3) =
1
- x - 3
,即 x = -
4 时 , 上式取等号 , 即 d 取得最小值 4 2 , 此
探求以空间图形为背景的轨迹问题
湖北省襄樊市第一中学 441000 王 勇 ( 特级教师) 探求以空间图形为背景的轨迹问题 , 要 善于把立体几何问题转化到平面上 , 再联合 运用平面几何 、 立体几何 、 空间向量 、 解析几 何等知识去求解 , 实现从立体几何到解析几 何的过渡 . 下面通过典型例题的分析解答 , 探 索题型规律 , 揭示解题方法 . 例 1 己知平面α ∥平面β, 直线 l < α, 平面α,β间的距离为 8 , 则在β内到点 P 的距 离为 10 且到直线 l 的距离为 9 的点的轨迹是
MN , AB 的中点为 O , P , AB = a , MN = b , 则 OP = ON + NB ) .
又 | AB | = 4 , | EF | = 2 , 易得 | A′ B′ | =
2 3.
1 1 ( OA + OB = ( OM + MA + 2 2
现求线段 A′ B′ 在移动时 ,其中点 P 的轨迹. 以 ∠A′ OB′ 的平分线为 x 轴 , O 为原点 , 建立直角坐标系 . 如图 8 所示 . 不妨令 | OA′
P1 P2 P3 P4 P5 P6 . 其中 P5 P6 = P3 P4 = P1 P2
例 4 已知正方体 AB CD - A 1 B 1 C1 D 的 棱长为 1 , 点 M 在棱 AB 上 , 且 AM =
1 ,点 P 3
所在圆的半径为 所在圆的半径为 ×(
2 3 , P2 P3 = P4 P5 = P1 P6 3 3 . 所以曲线的总长度为 3 3
选 B. 例 3 如图 3 , 在正方体 A 1 B 1 C1 D1 -
解析 如图 4 , 过点 P 作 PF ⊥AD 交 AD 于 F , 因为平面 AC ⊥平面 AD1 , 则 PF ⊥平 面 AD1 , 过点 F 作 FE ⊥ A 1 D1 交 A 1 D1 于 E ,
42
中学数学杂志 ( 高中) 2004 年第 3 期
GE 平行并等于
1 SB , 因为 AC ⊥ BD , AC ⊥ 2
图 6 图 7 例 7 设异面直线 a , b 成 60° 角 , 它们的 公垂线段为 EF , 且 | EF | = 2 , 线段 AB 的长 为 4 , 两端点 A 、 B 分别在 a , b 上移动 , 求 AB 的中点 P 的轨迹 . 解析 由立几知识 , AB 的中点 P 在过 EF 的中点 O 且与 a 、 b 平行的平面α内 , 于是 将空间问题转化为平面问题 . 取 EF 的中点 O , 过 O 作 a′∥ a , b′∥ b , 则 a′ , b′ 确定平面α, EF ⊥α, 则 A 在α内的 射影必在 α ′ 上 , B 在α 内的射影必在 b′ 上,
) 长度为 ( A1
41
AB CD 的侧面 AB 1 内有一点 P 到直线 AB 与直
线 B 1 C1 的距离相等 , 则动点 P 所在曲线的形 ). 状为 (
2 3π 5 3π B 1 3 6
A B
C12 3π D14 3π
C D
图 1 图 2 解析 由于正方体有 6 个面 , 因此应逐 一的 、 全面的考查动点 P 的不同位置 , 进而 探求轨迹 , 最后再计算曲线的长度 . 当 P 点在面 AD1 内时 , 因为 1 < | PA
2 2 2 2 2 2 2 2
所以 P 点必在 MN 的垂直平分面上 .
1 ( | MA | 2 +| NB | 2 , 4 1 所以 O P ・O P = ( AN 2 - MN 2 + AB 2 4 1 1 2 ( AB 2 - MN 2 ) = ( a - b2) , 即 | AN 2 ) = 4 4 1 2 2 ( a - b2 ) . OP | = 4 1 2 2 所以 P 点在以 O 为圆心 , 以 a - b 2
| < | AD1 | = 2 , 所以 P 点轨迹以 A 为圆心 ,
解析 本题主 要考 查 抛 物 线 的 定 义 , 线面垂直关系及 点到直线的距离等概 念 , 情景新 , 角度好 , 有创意 . 图3 因为 C1 B 1 ⊥面 AB 1 , 所以 PB 1 即为点 P 到直线 B 1 C1 的距离 , 于是问题转化为在平面 AB 1 内 , 点 P 到定点 B 1 的距离与点 P 到定直 线 AB 的距离相等 , 根据抛物线的定义 , 动点 P 的轨迹应为过 BB 1 的中点的抛物线 , 又点
( ) A 1 一个圆 B 1 两条直线 C1 四个点 D1 两个点
解析 如图 1 , 设点 P 在平面β上的射 影是 O , 则 O P 是平面α,β的公垂线段 , O P = 8. 在β内到点 P 的距离等于 10 的点到点 O 的距离等于 6 , 故点的集合是以 O 为圆心 , 以 6 为半径的圆 . 在 β内到直线 l 的距离等于 9 的点的集 合是两条平行直线 m , n , 它们到点 O 的距离 都等于 92 - 82 =
平分面内的一个圆 . 点评 求空间动点的轨迹 , 按立体几何 的传统方法几乎无从着手 , 空间向量不仅巧 妙地解决了这一难题 , 而且给人以启迪 .
边界上运动 , 且总保持 PE ⊥ AC , 求动点 P 的轨迹 . 解析 分别取 DC 、 CS 的中点 F 、 G,连 结 EF 、 FG 、 GE. 又因为 E 为 B C 的中点 , 则
AB 的中点 P 必在 A′ B′ 上 . 如图 7 所示 .
SO , BD ∩ SO = O , 所以 AC ⊥平面 SBD , 所
以 AC ⊥ SB , AC ⊥ GE. 而 AC ⊥ EF , 所以
AC ⊥平面 EFG. 由已知 AC ⊥ PE , 且 PE ∩
平面 EFG = E , 所以 PE < 平面 EFG. 又面 S CD ∩面 EFG = FG , 所以 P ∈ FG , 即 P 点 的轨迹为线段 FG. 例 6 一定长线段 AB 的两个端点 , 沿互 相垂直的两条异面直线 l , m 运动 , 求它的中 点的轨迹 . 解析 如图 6 , 设 MN 为 l , m 的公垂线 , 连结 AN , 则 AM ⊥ MN , NB ⊥ MN . 分别记
1 1 MA ・MN + NB ・MN = 0 . 2 2
连结 PE , 由三垂线定理可知 : PE ⊥ A 1 D1 , 则
PE 就是 P 点到 A 1 D1 的距离 . 由已知条件知 PE1 - PM1 = 1 , 在 Rt △PEF 中 , PE - PF = EF = AA 1 = 1 , 所以 PE - PM
| = m , | OB′ | = n , 在 △A′ OB′ 中, m + n - mn = 12 ①
2 2
1 因为 OM = - ON , O P = ( MA + NB ) . 2 1 所以 O P ・MN = ( MA + NB ) ・MN = 2