解析几何第二章

∠(i,CP) = −( +θ) 2
π
则
︵ 又因为 |OA|=AP=aθ， 所以 OA=aθi, AC=aj ， 从而点P的向量式参数方程为 从而点 的向量式参数方程为 r=a(θ-sin (1−∞＜ -sinθ)i+a(1-cos (1 cosθ) （−∞＜θ＜+∞） x = a(θ −sinθ) 其坐标式参数方程为 (−∞<θ < +∞) y = a(1−cosθ) 这种曲线称为旋轮线 摆线。 旋轮线或 这种曲线称为旋轮线或摆线。 y O x
矢性函数 当动点按某种规律运动时， 当动点按某种规律运动时，与它对应的径矢也随着 时间t的不同而改变（模与方向的改变）， ），这样的径矢 时间t的不同而改变（模与方向的改变），这样的径矢 变向量， (t)。 t(a≤ b)的每一个值 称为变向量 记为r(t) 如果变数t(a 称为变向量，记为 (t)。如果变数t(a≤t≤b)的每一个值 对应于变矢r的一个完全的值 模与方向） (t) 的一个完全的值（ (t)， 对应于变矢 的一个完全的值（模与方向）r(t)，则称 r是变数t的向量函数，记为 =r(t) (a≤t≤b). 是变数t 向量函数，记为r= (t) (a≤ 是变数 矢性函数的分量表示 设平面上取定的标架为{O; {O;e },则向量函数可 设平面上取定的标架为{O; 1,e2},则向量函数可 表示为 r(t)=x(t) 1+y(t) 2 (a≤t≤b). (t)=x(t)e (t)=x(t) +y(t)e (a≤ （1 ） 其中x(t),y(t)是 (t)的分量，它们分别是变数t的函数。 其中x(t),y(t)是r(t)的分量，它们分别是变数t的函数 x(t),y(t) (t)的分量
x = et + t + lg t 2 csint y = t +sint +ar
注2：在曲线的普通方程与参数方程的互化时，必须注 在曲线的普通方程与参数方程的互化时， 意两种形式的方程的等价性，即考虑参数的取值范围。 意两种形式的方程的等价性，即考虑参数的取值范围。
曲面的方程
曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等． 曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等． 曲面在空间解析几何中被看 成是点的几何轨迹． 成是点的几何轨迹． 曲面方程的定义： 曲面方程的定义：
例6
化方程
y2(2a-x)=x3 (2a-
(a>0) 为参数方程。 (a>0) 为参数方程。
解：设y=tx，代入可得参数方程 y=tx，
2at 2 x = 1+ t 2 2at 3 y = 1+ t 2
(−∞< t < +∞ )
注1：有些曲线只能用参数方程表示而不能用普通方程 表示，即不能用x,y的初等函数来表示， x,y的初等函数来表示 表示，即不能用x,y的初等函数来表示，如
的圆的方程。 例1、求圆心在原点，半径为 的圆的方程。 、求圆心在原点，半径为R的圆的方程 |OM|=R 解： x2+y2=R2 普通方程 例2、已知两点 、已知两点A(-2,-2),B(2,2)，求满足条件 ， |MA|-|MB|=4的动点的轨迹。 的动点的轨迹。 的动点的轨迹 y 方程可表为|MA|-|MB|=4 解：方程可表为 ≥ 化为普通方程为 xy=2 (x+y≥2) xy=2 故曲线为 o x
2a2b u x = 2 2 2 b +a u (−∞< u < +∞ ) b 2 −a2u2 ) y = (b b2 +a2u2
注：第二种解法中，设y=tx+b，实际上是在椭圆上取 第二种解法中， y=tx+b， 一定点(0,b),作以(0,b)为中心的直线束， (0,b),作以(0,b)为中心的直线束 一定点(0,b),作以(0,b)为中心的直线束，而这时的椭圆 的参数方程恰为直线束中的直线与椭圆交点的一般表 达式。由于这时过点(0,b) (0,b)的 轴的斜率不存在， 达式。由于这时过点(0,b)的y轴的斜率不存在，因此需 补上点(0, b)，或把它看成当t (0,时的交点。 补上点(0,-b)，或把它看成当t→∞时的交点。
x o z F (x,y,z) = 0 S
y 有下述关系： 如果曲面 S 与三元方程 F ( x , y , z ) = 0 有下述关系：
（1 ）曲面 S 上任一点的坐标都满足方程； 上任一点的坐标都满足方程； 上的点的坐标都不满足方程； （2 ）不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程；
那么， 方程， 那么 ， 方程 F ( x , y , z ) = 0 就叫做曲面 S 的 方程 ， 就叫做方程的图形 图形． 而曲面 S 就叫做方程的图形．
( B 例 1 已知 A 1,2,3)， B(2,−1,4)，求线段 A 的 垂直平分面的方程. 垂直平分面的方程
解
是所求平面上任一点， 设 M ( x , y , z ) 是所求平面上任一点，
根据题意有 | MA |=| MB |,
→
→
( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3 )
2a bt x = 0, x = − 2 b + a 2t 2
2
a
b
在第二式中取t=0,得x=0，所以舍去第一式，取 在第二式中取t=0,得x=0，所以舍去第一式， t=0, b(b2 −a2t 2 ) 2a2bt 从而 y = x=− 2 2 2 b2 + a2t 2 b +a t
在法二中，若令u=在法二中，若令u=-t，则得椭圆的另一种表示式为 u=
z = z0 + R2 −(x − x0 )2 −( y − y0 )2 z = z0 − R2 −(x − x0 )2 −( y − y0 )2
由上述方程可得球面的一般式方程为： 由上述方程可得球面的一般式方程为： 一般式方程为
x + y + z + Ax + By + Cz + D = 0
2 2 2
2 2 2
（*） ）
反之，由一般式方程（ ），经过配方又可得到： 反之，由一般式方程（*），经过配方又可得到： 经过配方又可得到
A B C A2 + B 2 + C 2 − 4 D x+ + y+ +z+ = 2 2 2 4
当 A 2 + B 2 + C 2 − 4 D > 0 时,
向量式参数方程
r(t)=x(t) 1+y(t) 2 (a≤t≤b). (t)=x(t)e +y(t)e (a≤ (t)=x(t)
表示的径矢r(t) 若取(a≤t≤b)的一切可能值，由（1） 的终点总在一条曲线上；反之， 的终点总在一条曲线上；反之，在这条曲线上的任意 总对应着以它为终点的径矢，而这径矢可由t 点，总对应着以它为终点的径矢，而这径矢可由t的某 b)通过 通过（ 完全确定，则称表达式（ 一值t 一值t0(a≤t0≤b)通过（1）完全确定，则称表达式（1） 为曲线的向量式参数方程 其中t为参数。 向量式参数方程， 为曲线的向量式参数方程，其中t为参数。 坐标式参数方程 的参数方程常可以写成下列形式： 曲线 的参数方程常可以写成下列形式：
解析几何
第二章 轨迹与方程
平面曲线的方程
曲线与方程： 定义：当平面上取定了标架之后， 定义：当平面上取定了标架之后，如果一个方程与一 条曲线有着关系： 条曲线有着关系： （1）满足方程的 必是曲线上某一点的坐标； ）满足方程的(x,y)必是曲线上某一点的坐标； 必是曲线上某一点的坐标 满足这个方程； （2）曲线上任何一点的坐标 ）曲线上任何一点的坐标(x,y)满足这个方程； 满足这个方程 则这个方程称为这条曲线的方程， 则这个方程称为这条曲线的方程，这条曲线称为 曲线的方程 方程的图形。 方程的图形。 曲线的方程常表示为： 曲线的方程常表示为： F(x,y)=0 或 y=f(x)
a = 4b,
参数方程为
x = acos θ y = asin 3 θ
3
x y 化为参数方程。 例5 把椭圆的普通方程式 化为参数方程。 + 2 =1 2 a b
法一 法二 解得
x = a cos θ y = b sin θ ( −π ≤ θ < π )
2 2
2
2
设y=tx+b,代入原方程得 x + (tx + b) = 1 y=tx+b,代入原方程得 2 2
z M S o x y
(2)
当 u, v 取遍变动区域的一切 值时， 值时，向径
r r r r OM = r ( u, v ) = x( u, v )e1 + y( u, v )e2 + z ( u, v )e3
的终点 M = ( x ( u , v ), y ( u , v ), z ( u , v ) ) 所画的轨迹一般为一张曲面。 所画的轨迹一般为一张曲面。
x = x (t ) (a ≤ t ≤ b) y = y (t ) 称为曲线的坐标式参数方程 坐标式参数方程。 称为曲线的坐标式参数方程。
O
y
A
P(x(t),y(t)) r(t) r(b)
r(a)
B
x
例3、一个圆在一直线上无滑动滚动，求圆周上一点 一个圆在一直线上无滑动滚动， 的轨迹。 P的轨迹。 取直角坐标系， 解： 取直角坐标系，设 y 的圆在x 半径为 a的圆在x轴上滚 动，开始时点 P 恰在原 点,经过一段时间的滚 动,圆与直线的切点移 P a C 到 A 点，圆心的位置移 θa r x 到C点，这时有 O r=OP=OA+AC+CP 设θ=∠(CP,CA),于是向量CP对x轴所成的有向角为 (CP,CA),于是向量CP对 于是向量CP