中国矿业大学 大学物理课件 2-3.

§2-3 功 动能 动能定理
一、功的概念
1.恒力的功
等于恒力在位移上的投影与位移的乘积。 F
F
A Fr cos F r
明确几点


r
Fs
（1）功是标量，有正负之分
（2）作功与参考系有关
2.变力的功
物体在变力的作 用下从a运动到b。
aHale Waihona Puke 怎样计算这个力 的功呢？ 采用微元分割法
d. 功是一个过程量，而动能是一个状态量， 它们之间仅仅是一个等量关系。
例题2-13
利用动能定理重做例题1-15。
解：如图所示，细棒下落过程中，合外力对它作的 l l 1 2 功为 2
应用动能定理，因初速度为0，可求得末速度v：
A (G B)dx ( l x) gdx l g l g 0 0 2
当物体前端在s处停止时，摩擦力作的功为
s m A F d x fr d x gx d x mg d x 0 L L L L mg ( s L) mg ( s )
再由动能定理得
即得
L 1 2 mg ( s ) 0 mv0 2 2 L v0 2 g ( s ) 2
1 2 1 2 1 2 l g l g mv lv 2 2 2 ( 2 l l ) v g
2

l G x
所得结果相同，而现在 的解法无疑大为简便。
x
B

补例 质量为m的小球系在绳的一端，另一端固定在天
牛顿运动定律应用举例
花板上，绳长为 l 。 先拉动小球使绳水平静止，然后 松手，求绳摆下 时小球的速率和绳的张力。 解：研究对象：小球 受力分析：如图 作功情况：切向力作功改变动能 列方程： 采用自然坐标系 切向力： F mg cos
12
例2 在一块木板上钉钉子，钉子在木板中所受阻 力跟深度成正比 f = ky。 第一锤钉子进入木板 1cm，求第二锤钉子能进入木板多深的地方？(每 一锤外力所作的功相同) 解：第一锤外力作功A1
A1
dA f ' cos dy f cos dy Kydy
dr dA F F v P dt dt
二、能量
能量是各种运动形式的一般量度，是物体状 态的单值函数，反映物体作功的本领。
三、动能定理
根据功的积分形式
b
b b Aab a F d r Ft d s mat d s a a vb dv b a m d s mv d v va dt
2
2
例1 在10m深的井中吊水，桶中装满水时，水、桶一 共的质量为10kg。由于桶漏水，每上升一米漏水0.2kg， 求一桶水从水面提到井口需作功多少？
解：dA=Fcos dy
F
Y
=(m–0.2y) gdy
A (m 0.2 y ) gdy
0
10
dy 10m y
O
0.2 2 10 (m gy gy ) 0 2 882J
1 1 2 2 m vb m va 2 2
1 2 mv 定义质点的动能为 Ek 2
动能定理:合外力对质点所作的功等于质点动 能的增量。
Aab Ekb Eka Ek
几点注意： a. 合力作正功时，质点动能增大；反之，质 点动能减小。 b.动能的量值与参考系有关。
c.动能定理只适用于惯性系。
3.合力的功
Aab F dr ( F1 F2 Fn ) dr
a a
n i
b
b
A （1）平均功率 P t
A d A lim （2） 功率 P t 0 t dt
恒力的功率： P F v
4.功 率
A1 A2 An Ai

T
b
a

F d r F ds mg cos ld mgl sin 0 b b 1 2 mv 0 v 2 gl sin 2 2 v 9 T mg sin m T 3mg sin l
a
a

mg
例题2-14 传送机通过滑道将长为L，质量为m的柔软 匀质物体以初速v0向右送上水平台面，物体前端在台 面上滑动 s 距离后停下来（如图）。已知滑道上的磨 擦可不计，物与台面间的摩擦因数为μ，而且s>L，试 计算物体的初速度v0。
dr dxi dyj dzk (m)
元功 d A Fx d x Fy d y Fz d z
总功 自然坐标系：
Aab Fx dx Fy dy Fz dz
xa ya za xb yb zb
Aab Ft ds
sa
sb
F dr (Fe t t F n en ) dset Ft d s
b
（1）dr 位移内力所作的功为
dA F dr
（2）整个过程变力作功为
A

b
F dr
dr
a
b
a
在数学形式上，力的功等于力F 沿路径 L 从a到b的线积分。 F 积分形式：
F
Aa b

b
a
F dr
r
F-r图，A=曲线下的面积 O
直角坐标系： 受力 元位移
F Fx i Fy j Fz k (N)
L
v0
解：由于物体是柔软匀质的，在物体完全滑上台面 之前，它对台面的正压力可认为与滑上台面的质量 成正比，所以，它所受台面的摩擦力 fr 是变化的。 本题如果用牛顿定律的瞬时关系求加速度是不太方 便的。我们把变化的摩擦力表示为
O
x
L
s
x
0 x L,
x
≥
L,
fr mg
L
m f r gx L
0 1 1 0
1
o
y dy 1cm
y
1 2 Ky 2
1 0
K 2
13
第二锤外力作功A2
A2

y
1
Kydy
所以
2 1 K Ky 2 2 A2 A1
2 1 K K Ky 2 2 2 y 2 1.414cm
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例3一条均匀链条，质量为m，总长为l,呈直线状放在 桌面上，设桌面与链条之间的摩擦系数为μ。现已知 链条下垂长度为a时，链条开始下滑，试计算链条全 部离开桌面时的速率。