2016年高考第二轮复习理科数学课件 第15讲 直线与圆锥曲线的位置关系(解答题型)
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2015-2016高考数学总复习：9-11 直线与圆锥曲线的位置关系(共52张PPT)(新人教版理科)(精品课件)
5．已知圆 C：(x－4)2＋(y－m)2＝16(m∈N*)，直线 4x－3y x2 y2 －16＝0 过椭圆 E：a2＋b2＝1(a>b>0)的右焦点，且被圆 C 所截 32 得的弦长为 5 ，点 A(3,1)在椭圆 E 上． (1)求 m 的值及椭圆 E 的方程； → → (2)设 Q 为椭圆 E 上的一个动点，求AC· AQ的取值范围．
5．重点辨析 (1)如果在设直线方程时涉及斜率，要注意斜率不存在的情 况，为了避免讨论，过焦点 F(c,0)的直线可设为 x＝my＋c.
Ax＋By＋C＝0， (2)解方程组 fx，y＝0
时，若消去 y，得到关于 x
的方程 ax2＋bx＋c＝0，这时，要考虑 a＝0 和 a≠0 两种情况， 对双曲线和抛物线而言， 一个公共点的情况要考虑全面， 除 a≠0， Δ＝0 外，当直线与双曲线的渐近线平行时，只有一个交点(Δ＝0 不是直线和抛物线只有一个公共点的充要条件)．
2 2 答案 (－3，3)
x2 y2 2 解析 双曲线 9 － 4 ＝1 的渐近线方程为 y＝± 3x，若直线与 2 2 双曲线相交，数形结合，得 k∈(－3，3)．
3． (2014· 郑州模拟)已知倾斜角为 60° 的直线 l 通过抛物线 x2 ＝4y 的焦点，且与抛物线相交于 A、B 两点，则弦 AB 的长为 ________．
x 2 y2 1．(课本习题改编)直线 y＝kx－k＋1 与椭圆 9 ＋ 4 ＝1 的位 置关系为( A．相交 C．相离
答案 A
) B．相切 D．不确定
解析
直线 y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1 恒过定点(1,1)，又点
(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．
x2 y2 2．若直线 y＝kx 与双曲线 9 － 4 ＝1 相交，则 k 的取值范围 是________．
【高中数学】公开课： 直线与圆锥曲线的位置关系ppt课件
10若a=0，直线l与抛物线对称轴平行或重合
20若a≠0，设Δ=b2-4ac
0：有两个不同的交点
0：有一个交点
0：无交点
10
例2.直线y-ax-1=0与双曲线3x2-y2=1交于A,B两点.
(1)当a为何值时，A、B在双曲线的同一支上?
(2)当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点?
解析(1)
A .①③ B.②④⑤ C.①②③
天马行空官方博客：/tmxk_docin ；QQ:1318241189；QQ群：175569632
D.②③④
2
课堂问题：
直线与圆锥曲线的位置关系主要是指 直线和圆锥曲线公共点的个数问题：
用数形结合的方法,能迅速判 断某些直线和圆锥曲线的位
解决问题的方法有：置关系,但要注意:形准不漏
1)几何法：运用圆锥曲线的平面几何性质等 价转化(数形结合)
2)代数法：等价转化为直线方程和圆锥方程 组成的方程组解的个数问题，进而转化为一 元方程。
3
例1：
1).直线y=kx-k+1与椭圆x2/9+y2/4=1的恒有几
个交点(
)
(A) 0个 (B)一个 (C)二个 (D)不确定
1)若f(x，y)=0表示椭圆，则a≠0
0：有两个不同的交点 0：有一个交点 0：无交点
9
2)若f(x,y)=0是双曲线时，
交点的 分布
10若a=0，直线l与双曲线的渐近线平行或重合
20若a≠0，设Δ=b2-4ac
0：有两个不同的交点 0：有一个交点 0：无交点
3)f(x,y)=0是抛物线时,
(D)不确定
【解题回顾】
过封闭曲线内的点的 直线必与此曲线相交
直线与圆锥曲线的位置关系精品课件
4 5k 2 x 2 10k (3k 2) x 5(3k 2) 80 0 设M x1 , y1 , N x2 , y 2
则x1 x2 6 k 5
10k 3k 2 6 2 4 5k
直线MN的方程为：x 5 y 28 0 6
2
y2
2
2 px2
OA OB
2 2 2 2
y1 y2 4 p
y1 y2 4 p x1 x2 4 p y1 y2
2
x1 x2 y1 y2 0
x1 x2 y1 y2 4 p
2
(法二)：设OA的方程为：y kx y kx 2p 2p A( 2 , ) 2 k k y 2 px
AB
4 2 4 2
2
2
8
(法二) :由上得弦AB的方程为：x y 1 0
运用公式： 1 k 2 x1 x2 1 k 2 AB 而x1 x2 6 x1 x2 1
x1 x2 2 4 x1 x2
AB 8
(法三)(利用抛物线的定义解题)
通常利用方程根与系数的关系求得 应用公式： AB 1 k 2 x1 x2 有关弦中点的问题可利用中点公式及根与系数的 关系解决。 例3、抛物线 y 4 x 的一条弦的中点为 求此弦所在的直线方程。
2
3,2 ，
(法一)：设弦交抛物线于A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
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直线与圆锥曲线的位置关系
一、要点
1、直线与圆锥曲线有无公共点的问题。 2、直线与圆锥曲线相交所得的弦长的计算， 有关中点弦的问题。 3、圆锥曲线内其它涉及到弦的问题。
直线和圆锥曲线的位置关系PPT教学课件
即：x1 x2 y1 y2 y1 y2 1 0
3b2 3 1 3k 2
2b 1 3k 2
b2 3k 2 1 3k 2
1
0b
1 3k 2 2
3k 2 2b 1代入得2b2 b 1 0
b 1(舍)或b 1 k 0 2
解： 由题意得：M,N必在y轴两侧
设AN斜率为k(k 0),则AM的斜率为－1 k
2
2
得到k的方程，求得k值
方法2：向量法
x2 y2 1 3
想一想：
若存在一条斜率不为0的直线l，交椭圆于 M，N，使得三角形AMN为等腰三角形。
你能求出AM的范围吗？
方法1 写出AM的关系式，然后试图求值域。
方法2 考虑以A(0,1)为圆心，AM 为半径的圆
体现：转化思想 数形结合的思想
（0，-1）
拓展延伸：
对于椭圆 x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)的下顶点为A(0, b),
是否存在以A为直角顶点的内接等腰直角三角形AMN？
若存在，这样的三角形可能有几个？叙述并证明你的
结论。
拓展延伸
对于椭圆x2 a2 y2 a2 (a 1),是否存在一个以A(0,1) 为直角顶点的等腰直角三角形内接椭圆？
由
y kx x2 3y2
1
得：x2 3
3(kx1)2
3 xN
1
6k 3k
2
AN
1 k2 xN
1
3k
2
6k 1 3k
2
以 1 代入上式的k，得：AM＝ k
1＋3k 2
6 k2 3
k 1 K的值，从而确定三角形个数 1 3k 2 k 2 3
高中数学 直线与圆锥曲线的位置关系 PPT
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点差法
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点差法
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点到直线的距离公式
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弦长的计算方法 求弦长时可利用弦长公式，根据直线方程 与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二 次方程，利用根与系数的关系得到两根之 和、两根之积的代数式，然后进行整体代 入弦长公式求解． [注意] 注意两种特殊情况：(1)直线与 圆锥曲线的对称轴平行或垂直；(2)直线 过圆锥曲线的焦点．
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代数法
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韦 达 定 理
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判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交 点问题有两种常用方法
(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程 可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或 x)得一元方程，此方程根的个数即为交点 个数，方程组的解即为交点坐标；
(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图 象，根据图象判断公共点个数．
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弦长公式
高三数学二轮复习, 直线与圆锥曲线的位置关系 课件(全国通用)
综上可知，当
1 k∈ －∞，－1 ∪ 2，＋∞∪{0}时，直
线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点； 1 1 当 k∈ －2，0 ∪ －1，2时， 直线 l 与轨迹 C 恰好有 1 1 两个公共点；当 k∈－1，－2∪0，2时，直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点．
探究二
中点弦问题
例 2(2016 年全国卷Ⅲ)已知抛物线 C：y2＝2x 的焦点 为 F，平行于 x 轴的两条直线 l1，l2 分别交 C 于 A，B 两 点，交 C 的准线于 P，Q 两点． (Ⅰ)若 F 在线段 AB 上 ， R 是 PQ 的中点 ， 证明 AR∥FQ； (Ⅱ)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程． 1 【解析】由题设2，0，设 l1：y＝a；l2：y＝b，则 a2 b2 1 1 ab≠0，且 A 2 ，a，B 2 ，b，P－2，a，Q－2，b， 1 a＋b R ，记过 A，B 两点的直线为 l， － ， 2 2 则 l 的方程为 2x－(a＋b)y＋ab＝0，
【解析】(Ⅰ)设点 M(x，y)，依题意得|MF|＝|x|＋1， 即 （x－1）2＋y2＝|x|＋1， 化简整理得 y2＝2(|x|＋x)．故点 M 的轨迹 C 的方程 4x，x≥0， 2 为 y ＝ 0，x<0. (Ⅱ)在点 M 的轨迹 C 中，记 C1：y2＝4x，C2：y＝ 0(x<0)．依题意，可设直线 l 的方程为 y－1＝k(x＋2)． y－1＝k（x＋2）， 由方程组 2 y ＝4x， 可得 ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.①
当 k＝0 时，y＝1.把 y＝1 代入轨迹 C 的方程，得 x 1 ＝ . 故此时直线 l ： y＝ 1 与轨迹 C 恰好有一个公共点 4 1 ，1. 4 当 k≠0 时， 方程①的判别式Δ＝－16(2k2＋k－1)． ② 设直线 l 与 x 轴的交点为(x0，0)，则由 y－1＝k(x＋ 2k＋1 2)，令 y＝0，得 x0＝－ .③ k Δ<0， 1 (ⅰ )若 由②③解得 k<－1 或 k> .即当 k∈(－ 2 x0<0， 1 ∞，－1)∪2，＋∞时，直线 l 与 C1 没有公共点，与 C2 有一个公共点． 故此时直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点．
高中数学总复习课件之直线与圆锥曲线的位置关系共55页
• 若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ ，有：
• Δ＞0
• Δ=0
• Δ<0
.
• 若a=0，则直线与圆锥曲线相交，且有一 个交点.若曲线为双曲线，则直线与双曲 线的渐近线平行；若曲线为抛物线，则直 线与抛物线的对称轴平行.
• 2.圆锥曲线的弦长问题设直线l与圆锥 曲线C相交于A，B两点，A(x1,y1)， B(x2,y2A )，B 1 k 2x 1 x 2 1 k 1 2y 1 y 2 .
2
取值范围是02<a<2 或6 a>2 .
• (Ⅱ)由y=kx+1与双曲线3x2-4y2=12联立消 去y得(3-4k2)x2-8kx-16=0，
• 由题意知3-4k2≠0，即k≠± ，则 3 Δ=64k2+64（3-4k2）>0，得k2<1，2即-
1<k<1，
• 综上所得 k （ 1 , 3 ） （ 3 ,3 ） （ 3 ,1 ） .
2 22 2
•
(Ⅰ)解答直线与椭圆的位置关
系有两种，即判别式法与数形结合法.
• (Ⅱ)判断直线与双曲线的位置关系利
用判别式法时，注意对二次项系数的
讨论，二次项系数等于零实质是直线
与渐近线平行的情况.
•
变式练当习1k=
-1，0，时1，直线
y=k(x+1)与抛物线y2=4x恰有一个公共点.
•
由y=k(x+1)与y2=4x联立消去x，
• 则弦长
•
重点突破：直线与圆锥曲线的位置关
•
系 AB
例1
x2
(Ⅰy2)已a知2 A(-3,4)，B(4,4)，若线段
2
• 与椭圆
直线与圆锥曲线的位置关系课件.ppt
(2)依题意，c＝1，|PF1|＝73，可得 xp＝23，
5
75
∴|PF2|＝3，又由椭圆定义得 2a＝|PF1|＋|PF2|＝3＋3＝4，a＝2.
∴b2＝a2－c2＝3，所以曲线 E 的标准方程为x42＋y32＝1；
(3)在(1)、(2)的条件下，直线 l 与椭圆 E 相交于 A、B 两点，若 AB 的中点 M 在曲线 C 上，求直线 l 的斜率 k 的取值范围．
(2)设曲线 C 与曲线 E 相交于第一象限点 P，且|PF1|＝73，求曲线 E 的标准方程；
解:(1)设动圆圆心的坐标为(x，y)(x＞0).因为动圆在 y 轴右侧与 y 轴相
切，同时与圆 F2 相外切，所以|CF2|－x＝1，∴ x－12＋y2＝x＋1，化 简整理得 y2＝4x，曲线 C 的方程为 y2＝4x(x＞0)；
M－3＋4km4k2，3＋3m4k2代入 y2＝4x，
16k3＋4k2
整理得 m＝－ 9 ，
②
将②代入①得 162k2(3＋4k2)＜81，令 t＝4k2(t＞0)，则 64t2＋192t－81 ＜0，∴0＜t＜38.∴－ 86＜k＜ 86且 k≠0.
(方法二)设直线 l 与椭圆 E 交点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B 的中 点 M 的坐标为(x0，y0)，
规律方法 1 1.在第(2)问方法一中，根据 Δ＞0 求 t 的范 围，进而去求 k 的取值范围，这是求解的关键．
2．涉及弦的中点与直线的斜率问题，可考虑“点差法”， 构造出 kAB＝yx11－－yx22和 x1＋x2，y1＋y2，整体代换，求出中点或 斜率，体现“设而不求”的思想．
对点训练 设抛物线过定点 A(－1,0)，且以直线 x＝1 为准线． (1)求抛物线顶点的轨迹 C 的方程； (2)若直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 M，N，且线段 MN 恰被
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第15讲
二轮数学·理
求轨迹方程的基本步骤 (1) 建立适当的平面直角坐标系，设出轨迹上任一点的坐标 ——解析法(坐标法)． (2)寻找动点与已知点满足的关系式——几何关系． (3)将动点与已知点的坐标代入——几何关系代数化． (4)化简整理方程——简化． (5)验证特殊点．
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第15讲
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第15讲
二轮数学·理
重点透析 难点突破
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第15讲
二轮数学·理
考向一 求动点的轨迹方程 求轨迹方程的常用方法 (1)直接法：将几何关系直接翻译成代数方程； (2)定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系 数法求方程； (3)相关点法(代入法)：把所求动点的坐标与已知动点的坐标 建立联系； (4)参数法：将动点的坐标(x，y)表示为第三个变量的函数， 再消参得所求方程．
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第15讲
二轮数学·理
[解 ]
1 (1)由题意可知圆心到2，0的距离等于到直线
1 x＝－2
的距离，由抛物线的定义可知，曲线 E 的方程为 y2＝2x. (2)解法一：设 P(x0，y0)，B(0，b)，C(0，c)． 直线 PB 的方程为：(y0－b)x－x0y＋x0b＝0， 又圆心(1,0)到 PB 的距离为 1， |y0－b＋x0b| 所以 2 2＝1， y0－b ＋x0 整理得：(x0－2)b2＋2y0b－x0＝0，
二轮数学·理
第 15 讲
直线与圆锥曲线的位置关系(解答题型)
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第15讲
二轮数学·理
———————————名师指南—————————— [核心考点] 动点的轨迹问题、弦长问题、圆锥曲线中的证明问题． [高考解密] 1．本部分主要以解答题形式考查，一般以椭圆或抛物线 为背景，考查弦长、定点、定值、最值、范围问题． 2．求轨迹方程也是高考的热点与重点，一般用定义法、 直接法、代入法、参数法或待定系数法，往往出现在解答题的 第(1)问中.
2 2
＋2(1－x0)y0k＋y2 0－1＝0，
2 21－x0y0 y0 －1 k1＋k2＝－ 2 ，k1k2＝ 2 ， x0－2x0 x0－2x0
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第15讲
二轮数学·理
依题意 x0>2， 则|yB－yC|＝|(y0－k1x0)－(y0－k2x0)| ＝|k1－k2|x0，
2x0 2 又|k1－k2|＝ ，则|yB－yC|＝ ， x － 2 |x0－2| 0
因为
y2 ＝ 2 x ，所以 | b － c | ＝ 0 0
2x0 ， x － 2 0
1 4 所以 S＝2|b－c|x0＝(x0－2)＋ ＋4≥8， x0－2
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第15讲
二轮数学·理
当 x0＝4 时上式取得等号， 所以△PBC 面积的最小值为 8. 解法二：设 P(x0，y0)，直线 PB：y－y0＝k(x－x0)，由题知 PB |k＋y0－kx0| 2 2 与圆(x－1) ＋y ＝1 相切，则 ＝ 1 ，整理得： ( x － 2 x ) k 0 0 k2＋1
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第15讲
二轮数学·理
2 y1y2＝ 2 .② m ＋2 → → 由PB＝3PA得，y2＝3y1.③ 由①②③可得 m2＝4.经检验，满足 Δ>0. 不妨取 m＝2，设直线 CD 的方程为 x＝2y＋n，代入椭圆方 程得 6y2＋4ny＋n2－2＝0，Δ＝8(6－n2)， 设 C(x3，y3)，D(x4，y4)， n2－2 2 则 y3＋y4＝－3n，y3y4＝ 6 ， 又由已知及 Δ>0，可得 2<n2<6.
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第15讲
二轮数学·理
求得轨迹方程后应注意特殊点的验证， 若不适合方程， 应注 明．
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第15讲
二轮数学·理
(2015· 山西质量监测)已知动点 Q 与两定点(－ 2，0)，( 2， 1 0)连线的斜率的乘积为－2，点 Q 形成的轨迹为 M. (1)求轨迹 M 的方程； → → (2)过点 P(－2,0)的直线 l 交 M 于 A，B 两点，且PB＝3PA， 平行于 AB 的直线与 M 位于 x 轴上方的部分交于 C，D 两点，过 C， D 两点分别作 CE， DF 垂直 x 轴于 E， F 两点， 求四边形 CEFD 面积的最大值．
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第15讲
二轮数学·理
同理可得：(x0－2)c2＋2y0c－x0＝0， 所以 b，c 是方程(x0－2)x2＋2y0x－x0＝0 的两根， －2y0 －x0 所以 b＋c＝ ，bc＝ ， x0 －2 x0－2 依题意 bc<0，即 x0>2，
2 2 4 x ＋ 4 y 0 0－8x0 2 则(b－c) ＝ ， x0－22
二轮数学·理
[举一反三] (2015· 河北石家庄一模)在平面直角坐标系 xOy 中，一动圆经
1 过点2，0且与直线
1 x＝－2相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线 E.
(1)求曲线 E 的方程； (2)设 P 是曲线 E 上的动点，点 B、C 在 y 轴上，△PBC 的内 切圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，求△PBC 面积的最小值．
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第15讲
二轮数学·理
[思路引导]
(1)应用直接法求轨迹 M 的方程；(2)把四边形
CEFD 的面积用某一量表示，用函数知识求解．
பைடு நூலகம்第7页
第15讲
二轮数学·理
1 y y [解] (1)设 Q(x，y)，则 · ＝－2(x≠± 2)， x ＋ 2 x－ 2 x2 2 化简得轨迹 M 的方程为 2 ＋y ＝1(x≠± 2)． (2)由(1)知直线 l 的斜率不为 0， 设直线 l 的方程为 x＝my－2， 代入椭圆方程得(m2＋2)y2－4my＋2＝0， Δ＝8(m2－2)． 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 4m 则 y1＋y2＝ 2 ，① m ＋2
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第15讲
二轮数学·理
2 12－2n2 又|x3－x4|＝2|y3－y4|＝ ， 3 则 S 2 2 3 ， 当且仅当 n2＝3 时等号成立． 2 2 所以四边形 CEFD 面积的最大值为 3 . 1 2 2 2 2 2 6 2 ＝ | y ＋ y || x － x | ＝ n 6 － n ≤ 四边形 CEFD 2 3 4 3 4 9 9 ×2 ＝