椭圆的简单几何性质(9

椭圆的简单几何性质(三)
【目的】1.了解椭圆的参数方程,了解参数方程中系数a 、b 的含义.
2.通过学习椭圆的参数方程,进一步完善对椭圆的认识,同时更熟悉坐标法.
【过程】：
一、复习提问
1.求曲线方程的一般方法.
2.圆的参数方程及参数的几何意义.
二、新课
例题:如图,以原点O 为中心,分别以a 、b )0(>>b a
为半径作两个圆,点B 是大圆半径OA 与小圆的
交点,过点A 作OX NA ⊥,垂足为N ,过点作
AN BM ⊥,垂足为M .求当半径OA 绕点O 旋 转时点M 的轨迹的参数方程.
分析:这是一个给定条件求轨迹的问题.但由于题目中动点多,不易把握.先阅读题目后回
答下列问题:(1)动点A 、B 是如何动的,关系如何?(2)动点M 是怎样产生的?M 与A 、B 有何联系?(3)什么是参数方程?如何设出恰当的参数?
回答:(1)A 、B 运动的轨迹分别是大圆和小圆,半径OA 、OB 与OX 轴有相同的夹角且
长度不变,a OA =,b OB =.
(2)M 是MB 与AN 的交点,则M 与A 有相同的横坐标,M 与B 有相同的纵坐标.
(3)设点M ),(y x ,则ON x =,MN y =,不难看出MN BC =.当OA 绕O 旋转
时,B 、M 、N 、C 都发生变化,但OA 、OB 的长度不变,同时, ON x =,BC MN y ==的等量关系也不变,改变的只是AOX ∠的大小.因此我们可以认定M 的位置受AOX ∠的控制,只要知道AOX ∠就可得出M 的位置,得到x 、y 的表达式,即可设ϕ=∠AOX 为参数最恰当.
解:易得M 的参数方程为⎩
⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x (ϕ为参数) 指出:可以发现上述方程可化为122
22=+b
y a x ,说明M 的轨迹是椭圆.换言之,椭圆也可以用参数方程表示.那么,椭圆的参数方程与圆的参数方程有何异同?方程中a 、b 、ϕ各表示什么?(ϕ表示离心角但不是OM 与OX 的夹角)
练习:把下列参数方程化为普通方程,普通方程化为参数方程.
1. ⎩⎨⎧==ϕϕsin 5cos 3y x
2. ⎩
⎨⎧==ϕϕsin 10cos 8y x 3. 131222=+y x 4.11622=+y x
应用:如图,在椭圆8822=+y x 上求一点P ,
使P 到直线l :04=+-y x 的距离最小.
分析:这是一个最值问题如何找到目标函数呢?
思路一:设),(y x P ,P 在椭圆8822=+y x 上,
x = 则有24
882+--±=y y d ,然后想办法求最值.
思路二:几何法.把直线l 平移至'l 与椭圆仅有一个交点(相切),此时的P 点就是最短距离
时的点.即设'l :0=+-m y x
由⎩⎨⎧=+-=+0
8822m y x y x ,消去x 整理得082922=-+-m my y ,只有一个交点即
0)8(94422=-⨯⨯-=∆m m 得3±=m .由图形可知3=m 时最小.再计算平行线
间的距离,得2223
4=-=d ,此时)3
1,38(P . 思路三:参数方程.设)sin ,cos 22(ϕϕP ,则有
24
)sin(324
sin cos 22+-=+-=θϕϕϕd ,其中22tan =θ.
当2π
θϕ=-时,d 有最小值21
即2
2, 则332sin cos =
=θϕ,31cos sin ==θϕ即)3
1,38(P 指出:当设椭圆上一点时用参数方程有时比普通方程要简单. 三、小结:
1.本节课充分运用坐标法推导出椭圆的参数方程,了解了a 、b 、ϕ的几何意义.
2.通过本节课的学习我们对椭圆有了更全面更深入的理解.椭圆的两种定义,两种方法都是等价的,可以相互转化的.在今后的学习中,可根据实际选择最恰当的方式,以简化运算.。