[推荐学习]2019届高三数学上学期摸底考试试题 理(扫描版)

数学理科答案1-5 CCBBA 6-10 BBCCC 11-12 AD 13、2 14、2√3 15、--5/2 16、x+y-2=017．设正项等比数列{}n a ，481a =，且2a ，3a 的等差中项为()1232a a +．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若321log n n b a -=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，数列{}n c 满足141n n c S =-，n T 为数列{}n c 的前n 项和，求n T ．（1）设等比数列{}n a 的公比为()0q q >，由题意，得()3412111181 3a a q a q a q a a q ⎧==+=+⎪⎨⎪⎩，········3分 解得133a q ==⎧⎨⎩，········5分所以113n n n a a q -==．········6分（2）由（1）得213log 321n n b n -==-，········7分()()1212122n n n n n b b S n ⎡⎤+-+⎣⎦===，········9分∴211114122121n c n n n ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭，········10分∴11111112335212121n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．········12分 18.某市举行“中学生诗词大赛”,分初赛和复赛两个阶段进行,规定:初赛成绩大于90分的具有复赛资格,某校有800名学生参加了初赛,所有学生的成绩均在区间(30,150]内,其频率分布直方图如图.1.求获得复赛资格的人数;2.从初赛得分在区间(110,150]的参赛者中,利用分层抽样的方法随机抽取7?人参加学校座谈交流,那么从得分在区间(110,130]与(130,150]各抽取多少人?3.从2抽取的7人中,选出3人参加全市座谈交流,设X 表示得分在区间(130,150]中参加全市座谈交流的人数,求X 的分布列及数学期望()E X 1.由题意知[90,110)之间的频率为:()1200.00250.0050.007520.01250.3-⨯++⨯+=, ()0.30.01250.0050200.65++⨯=,∴获得参赛资格的人数为8000.65520⨯=2.在区间(110,130]与(130,150],0.0125:0.00505:2=, 在区间(110,150]的参赛者中,利用分层抽样的方法随机抽取7人 分在区间(110,130]与(130,150]各抽取5人, 2人.结果是5,23. X 的可能取值为0,1,2,则:()305237C C 20C 7P X ===;()215237417C C P X C ===;()125237127C C P X C ===;故X 的分布列为:()160127777E X =⨯+⨯+⨯=19.如图,在直三棱柱111ABC A B C -中, E 、F 分别为11AC 、BC 的中点, 2AB BC ==,1C F AB ⊥.1.求证:平面ABE ⊥平面11B BCC ;2.若直线1C F 和平面11ACC A 求二面角A BE C --的平面角的正弦值..在直三棱柱中1CC AB ⊥,又1C F AB ⊥,11,C F C C ⊂平面11BCC B ,111CC C F C =,∴AB ⊥平面11BCC B , 又∵AB ⊂平面EBA , ∴平面ABE ⊥平面11B BCC 2.由1可知AB BC ⊥,以B 点为坐标原点, BC 为x 轴正方向, BA 为y 轴正方向, 1BB 为z 轴正方向,建立坐标系. 设1AA a =,()()()()()110,0,0,2,0,0,0,2,0,0,0,,2,0,B C A B a C a ,()()()10,2,,1,1,,1,0,0A a E a F直线1FC 的方向向量()1,0,a a =,平面1ACC A 的法向量()1,1,0m =,可知1010m m a a=⋅, ∴2?a =,()()()0,2,0,1,1,2,2,0,0BA BE BC ===,设平面ABE 的法向量1(,,)n x y z =,∴2020y x y z =⎧⎨++=⎩,∴1(2,0,1)n =-,设平面CBE 的法向量2(,,)n x y z =, ∴2020x x y z =⎧⎨++=⎩,∴()20,2,1n =-,记二面角A BE C --的平面角为θ,1cos 5θ=,∴sin θ=∴二面角A BE C --20．已知椭圆C ()0,1P ，离心率e =． （1）求C 的方程；（2）设直线经过点()2,1Q -且与C 相交于A ，B 两点（异于点P ），记直线PA 的斜率为1k ，直线PB 的斜率为2k ，证明：12k k +为定值．（1）因为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>经过点()0,1P ，所以1b =．···········1分又e =c a =2a =．···········3分 故而可得椭圆的标准方程为：2214x y +=．···········4分（2）若直线AB 的斜率不存在，则直线的方程为2x =， 此时直线与椭圆相切，不符合题意．···········5分设直线AB 的方程为()12y k x +=-，即21y kx k =--，···········7分联立，得()()222148211616k x k k x k k +-+++=．···········8分 设()11,A x y ，()22,B x y ，则12121211y y k k x x --+=+=()()2112122222x kx k x kx k x x --+-- ()()121212222kx x k x x x x -++==()()1212222k x x k x x ++- ()()()228212161k k k k k k +⋅+=-=+()2211k k -+=-， 所以12k k +为定值，且定值为1-．···········12分21．已知函数()()ln 1f x x a x =-+，()2g x ax a x =-+，其中a ∈R ． （1）试讨论函数()f x 的单调性及最值；（2）若函数()()()F x f x g x =-不存在零点，求实数a 的取值范围．1）由()()ln 1f x x a x=-+(0)x >得： ()()()1111(0)a x f x a x x x-+'=-+=>；·······2分 ①当1a ≤-时，()0f x '>，()f x 在0+∞（，）单调递增， ()f x 没有最大值，也没有最小值；·······3分②若1a >-，当101x a <<+时，()0f x '>，()f x 在101a +（，）单调递增， 当11x a >+时，()0f x '<，()f x 在1,1a +∞+（）单调递减，·······5分 所以当11x a =+时，()f x 取到最大值()11ln 1ln 1111f a a a ⎛⎫=-=-+- ⎪++⎝⎭， ()f x 没有最小值．······· 6分（2）()()()()22ln 1ln F x f x g x x a x ax a x x a x x ⎛⎫=-=-+--+=--- ⎪⎝⎭(0)x >，由()()()2222121221x x x x F x x x x x -+--++='=-+=(0)x >，·······7分当02x <<时，()0F x '>，()F x 单调递增，当2x >时，()0F x '<，()F x 单调递减，·······9分所以当2x =时，()F x 取到最大值()2ln23F a =--， ·······10分又0x →时，有()F x →-∞，所以要使()()()F x f x g x =-没有零点，只需()2ln230F a =--<，所以实数a 的取值范围是：ln23a >-．·······12分选修4-4：坐标系与参数方程:在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（为参数），在以O 为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：()cos sin 4ρθθ-=．（1）写出曲线1C 和2C 的普通方程；（2）若曲线1C 上有一动点M ，曲线2C 上有一动点N ，求使MN 最小时M 点的坐标． （1）221:14x C y +=，···········2分 2:40C x y --=．···········5分（2）设()2cos ,sin M θθ，结合图形可知，MN 最小值即为点M 到直线2C 的距离的最小值．∵M 到直线2C 的距离n 4s n 4d ==···········7分 ∴当()sin 1θϕ+=时，d 最小，即MN 最小．此时，2cos sin θθ-=22sin cos 1θθ+=sin θ=，．···········10分即所求M的坐标为⎝⎭。