2021届上海市高三一数学模暨春考模拟试题一
上海市2021届高三一模暨春考数学模拟试卷十答案
参考答案：一、填空题：1.(,0)-∞ 2.32 3.83π 4.25 5.7 6.7267.2108.(2,4)9.2π10.12b c b +=-⎧⎨<-⎩（或11b c c +=-⎧⎨>⎩）11.312.33-二.选择题13.B14.D 15.A 16.D 三.解答题17、（1）π96；（2）196，7.6；18、（1）123；（2）3max =y ，此时()Z k k x ∈+=6ππ；19、（1）联立直线与抛物线方程⎩⎨⎧=-=x y x y 4422，解得6=-B A y y ，827=∆AOB S ；（2）设点D 、M 、N 的纵坐标分别为321,,y y y ，AD 为抛物线px y 22=的一条弦，M 是AD 中点，且D A ,两点纵坐标之差为定值，即()021>=-a a y y A ，由已知的结论，得p a p a S AMD 168116233⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆，同理，可得p a p a S BND168116233⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆；20．(1)解设数列{}n a 的公差为d ，由113615511a d a d +=⎧⎨+=⎩，………………………………2分得112a d =⎧⎨=⎩，故数列{}n a 的通项公式为21n a n =-，n ∈N *；……………………4分(2)对任意m ∈N *，若1212212m m n ++<-<，则2112222m m n +<<+，故222m m m b =-,m ∈N *，…………………………………………………………6分S m =b 1+b 2+…+b m =(22+24+26+…+22m )–(2+22+23+…+2m )=21)21(241)41(4-----m m =322644+⨯-⨯m m ，………………………………8分令4462220183m m ⨯-⨯+>，解得23l 5.34og m +>≈，故所求最小整数m 为6；…………………………………………………………10分(3)1111(21)n n n n a n a a a λ+++≤+≤+，22(21)111(21)(21)(21)n n n n λ-+≤≤+-++，…12分记2(21)1(21)(21)n n A n n -+=-+，211(21)n B n =++，n ∈N *，由221(21)1(21)18(1)(21)(23)(21)(21)(21)(21)(23)n n n n n A A n n n n n n n +++-+--=-=++-+-++，知12A A =，且从第二项起，{}n A 递增，即1234A A A A =<<< 而211(21)n B n =++递减，故实数λ的范围为[]11,A B ,即210,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦.…………18分【注】求出A 1给3分，求出B 1给2分，结论1分21、解(1)依据题意，知()21f x x =-，若(2)()f a x k f x -=⋅，即2(2)1(21)a x k x --=-.化简得2412x a kx k -+-=-，此等式对R x ∈都成立，则22,41.k a k =-⎧⎨-=-⎩解得1,1.2k a =-⎧⎪⎨=⎪⎩于是，函数()21f x x =-有理想数对1(,1)2-.所以，函数()f x M ∈.证明(2)用反证法证明()g x M ∉.假设()g x M ∈，则存在实数对(,)(0)a k k ≠使得(2)()g a x k g x -=⋅成立.又()2x g x =，于是，222a x x k -=⋅，即2222a x k =⋅.一方面，此等式对R x ∈都成立；另一方面，该等式左边是正的常数，右边是随x 变化而变化的实数.这是矛盾！故假设不成立.因此，函数()g x 不存在理想数对(,)(0)a k k ≠，即()g x M ∉.解(3) 数对(2,1)(1,1)-和都是函数()h x 的理想数对，(4)(),(2)(),R h x h x h x h x x ∴-=-=-∈.(4)(4(4))(2(2))(2)(4(2))(2)().h x h x h x f x h x h x h x ∴+=-+=-+=-+=---=--=∴函数()h x 是以4为周期的周期函数.由(2)(),(2)()0,R h x h x h x h x x -=--+=∈，可知函数()h x 的图像关于点(1,0)成中心对称图形.又11x -≤≤时，2()1h x x =-.13121x x ∴<≤-≤-<时，，则2()(2)(2)1h x h x x =--=--.先画出函数()h x 在[1,3]-上的图像，再根据周期性，可得到函数()h x的图像如下：221(2),2121,()(2)1,212 1.x k k k x k h x x k k k x k ⎧---≤<+⎪∴=⎨---≤<+⎪⎩为偶数，为奇数，2()1(8),79h x x x ∴=--≤≤；2()1(12),1113h x x x =--≤≤.由2()1(8),(79)h x x x y mx ⎧=--≤≤⎨=⎩有且仅有一个交点，解得1616)m m =-=+.由2()1(12),(1113)h x x x y mx ⎧=--≤≤⎨=⎩有且仅有一个交点，解得2424)m m =-=+.∴函数(0)y mx m =>的图像与函数()h x 的图像在区间[0,12]上有且仅有5个交点时，实数m的取值范围是2416m -<<-。
2021年上海市高考数学一模试卷(理科)含解析答案
2021年上海市高考数学一模试卷（理科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．1．（4分）（2021•闵行区一模）已知集合A={x||x﹣|＞}，U=R，则∁U A=[﹣1，4]．【考点】：补集及其运算．【专题】：集合．【分析】：求出A中不等式的解集确定出A，根据全集U=R求出A的补集即可．【解析】：解：由A中不等式变形得：x﹣＞或x﹣＜﹣，解得：x＞4或x＜﹣1，即A=（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞），∵U=R，∴∁U A=[﹣1，4]．故答案为：[﹣1，4]【点评】：此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2．（4分）（2021•闵行区一模）若复数z满足（z+2）（1+i）=2i（i为虚数单位），则z=﹣1+i．【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求值．【解析】：解：由（z+2）（1+i）=2i，得，∴z=﹣1+i．故答案为：﹣1+i．【点评】：本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．（4分）（2021•闵行区一模）函数f（x）=xcosx，若f（a）=，则f（﹣a）=﹣．【考点】：函数的值．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：由已知得f（a）=acosa=，由此能求出f（﹣a）=﹣acos（﹣a）=﹣acosa=．【解析】：解：∵f（x）=xcosx，f（a）=，∴f（a）=acosa=，∴f（﹣a）=﹣acos（﹣a）=﹣acosa=．故答案为：﹣．【点评】：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．4．（4分）（2021•闵行区一模）计算=．【考点】：极限及其运算．【专题】：导数的综合应用．【分析】：利用极限的运算法则即可得出．【解析】：解：∵=，∴=．∴原式==．故答案为：．【点评】：本题考查了极限的运算法则，属于基础题．5．（4分）（2021•闵行区一模）设f（x）=4x﹣2x+1（x≥0），则f﹣1（0）=1．【考点】：反函数．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：由互为反函数的两个函数的定义域和值域间的关系得到4x﹣2x+1=0，求解x的值得答案．【解析】：解：由4x﹣2x+1=0，得（2x）2﹣2•2x=0，即2x=0（舍）或2x=2，解得x=1．∴f﹣1（0）=1．故答案为：1．【点评】：本题考查了反函数，考查了互为反函数的两个函数的定义域和值域间的关系，是基础题．6．（4分）（2021•闵行区一模）已知θ∈（，π），sin﹣cos=，则cosθ=．【考点】：二倍角的余弦．【专题】：三角函数的求值．【分析】：由θ∈（，π），sin﹣cos=，求出sin2θ，然后求出cos2θ．【解析】：解：∵θ∈（，π），sin﹣cos=，∴1﹣sinθ=，∴sinθ=，∵θ∈（，π），∴cosθ=﹣=﹣．故答案为：．【点评】：本题考查二倍角的余弦，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数的符号的正确选取．7．（4分）（2011•上海）若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为．【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】：计算题．【分析】：求出圆锥的底面周长，然后利用侧面积求出圆锥的母线，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．【解析】：解：根据题意，圆锥的底面面积为π，则其底面半径是1，底面周长为2π，又，∴圆锥的母线为2，则圆锥的高，所以圆锥的体积××π=．故答案为．【点评】：本题是基础题，考查圆锥的有关计算，圆锥的侧面积，体积的求法，考查计算能力．8．（4分）（2021•闵行区一模）已知集合M={1，3}，在M中可重复的依次取出三个数a，b，c，则“以a，b，c为边长恰好构成三角形”的概率是．【考点】：古典概型及其概率计算公式．【专题】：概率与统计．【分析】：集合M={1，3}，在M中可重复的依次取出三个数a，b，c，基本事件总数n=23=8，“以a，b，c为边长恰好构成三角形”包含的基本事件个数m=5，由此能求出“以a，b，c为边长恰好构成三角形”的概率．【解析】：解：集合M={1，3}，在M中可重复的依次取出三个数a，b，c，基本事件总数n=23=8，“以a，b，c为边长恰好构成三角形”包含的基本事件个数m=5，∴“以a，b，c为边长恰好构成三角形”的概率：p=．故答案为：．【点评】：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．9．（4分）（2021•闵行区一模）已知等边△ABC的边长为3，M是△ABC的外接圆上的动点，则的最大值为．【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：平面向量及应用．【分析】：画出图形，==3||cos∠BAM，设OM是外接圆⊙O的半径，则当且同向时，则取得最大值．【解析】：解：如图，==3||cos∠BAM，设OM是外接圆⊙O的半径为3×=，则当且同向时，则取得最大值．所以3||cos∠BAM=3（+OM）=；故答案为：．【点评】：本题考查了向量的数量积运算、向量的投影，考查了推理能力和计算能力，属于难题．10．（4分）（2021•闵行区一模）函数y=|2x|+|x|取最小值时x的取值范围是．【考点】：对数的运算性质．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：y=|1+log2x|+|log2x|=f（x）．对x分类讨论：当x≥1时，f（x）=1+2log2x；当0＜x1时，f（x）=﹣1﹣2log2x；当时，f（x）=1，即可得出．【解析】：解：y=|2x|+|x|=|1+log2x|+|log2x|=f（x）．当x≥1时，f（x）=1+2log2x≥1，当且仅当x=1时取等号；当0＜x1时，f（x）=﹣1﹣2log2x≥1，当且仅当x=时取等号；当时，f（x）=1，因此时等号成立．综上可得：函数f（x）取最小值1时x的取值范围是．故答案为：．【点评】：本题考查了绝对值函数、对数函数的单调性、分类讨论，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（4分）（2021•闵行区一模）已知函数f（x）=（）x，g（x）=x，记函数h（x）=，则函数F（x）=h（x）+x﹣5所有零点的和为5．【考点】：函数零点的判定定理．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：运用函数f（x）=（）x与g（x）=x关于直线y=x对称，可知h（x）关于直线y=x对称．利用y=x与y=5﹣x的交点，结合图求解即可．【解析】：解：∵函数f（x）=（）x，g（x）=x，关于直线y=x对称，记函数h（x）=，∴可知h（x）关于直线y=x对称．∵y=x与y=5﹣x，交点为A（2.5，2.5）∴y=5﹣x，与函数h（x）交点关于A对称，x1+x2=2×=5∴函数F（x）=h（x）+x﹣5，的零点．设h（x）与y=5﹣x交点问题，可以解决函数F（x）=h（x）+x﹣5零点问题．故函数F（x）=h（x）+x﹣5所有零点的和为5．故答案为：5．【点评】：本题考查了函数的交点，解决复杂函数的零点问题，反函数的对称问题，12．（4分）（2021•闵行区一模）已知F1、F2是椭圆Γ1：=1和双曲线Γ2：=1的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=，则mn的最大值为．【考点】：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【专题】：解三角形；不等式的解法及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：设|PF1|=s，|PF2|=t，求出焦点，可得c=2，由余弦定理可得s，t的方程，再由椭圆和双曲线的定义可得m，n的关系，再由重要不等式a2+b2≥2ab，即可求得最大值．【解析】：解：设|PF1|=s，|PF2|=t，由题意可得公共焦点为知F1（﹣2，0），F2（2，0），即有c=2，在三角形PF1F2中，由余弦定理可得4c2=s2+t2﹣2stcos60°即s2+t2﹣st=16，由椭圆的定义可得s+t=2m（m＞0），由双曲线的定义可得s﹣t=2n（n＞0），解得s=m+n，t=m﹣n．即有16=（m+n）2+（m﹣n）2﹣（m+n）（m﹣n）=m2+3n2≥2mn，即有mn≤．当且仅当m=n，取得最大值．故答案为：．【点评】：本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，主要考查椭圆和双曲线的定义，同时考查三角形的余弦定理和重要不等式的运用，属于中档题．13．（4分）（2021•闵行区一模）在△ABC中，记角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，设S是△ABC的面积，若2SsinA＜（•）sinB，则下列结论中：①a2＜b2+c2；②c2＞a2+b2；③cosBcosC＞sinBsinC；④△ABC是钝角三角形．其中正确结论的序号是①②④．【考点】：余弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【专题】：解三角形．【分析】：由题意可得：bcsinAsinA＜acsinBcosB，又bsinA=asinB＞0，可得cosB＞sinA＞0，可得A、B均是锐角，从而可得A+B＜90°，∠C＞90°，由余弦定理及两角和的余弦公式结合三角函数值的符合即可判断得解．【解析】：解：∵2SsinA＜（•）sinB，∴2×bcsinA×sinA＜cacosBsinB，∴可得：bcsinAsinA＜acsinBcosB，又由正弦定理可得：bsinA=asinB＞0，则cosB＞sinA＞0，可得：A、B均是锐角，而cosB=sin（90°﹣B），故有sin（90°﹣B）＞sinA，即90°﹣B＞A，则A+B＜90°，∠C＞90°，∴由余弦定理可得：cos∠C=＜0，即有：c2＞a2+b2，故②正确，∴由余弦定理可得：cos∠A=＞0，可得a2＜b2+c2，故①正确；∴△ABC是钝角三角形，故④正确；∵cosBcosC﹣sinBsinC=cos（B+C）=﹣cosA＜0，故③不正确；故答案为：①②④．【点评】：本题考查了余弦定理，正弦定理，三角形面积公式，两角和的余弦公式等知识的应用，借助考查命题的真假判断，考查三角形形状的判断，属于中档题．14．（4分）（2021•闵行区一模）已知数列f（2x）=af（x）+b满足：对任意n∈N*均有a n+1=pa n+3p ﹣3（p为常数，p≠0且p≠1），若a2，a3，a4，a5∈{﹣19，﹣7，﹣3，5，10，29}，则a1所有可能值的集合为{﹣1，﹣3，﹣29}．【考点】：数列递推式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：从{﹣19，﹣7，﹣3，5，10，29}中任取两值作为a2，a3的值，求出p．从而求出a4，a5，由此能求出a1所有可能值的集合．【解析】：解：（1）取a2=﹣19，a3=﹣7时，﹣7=﹣19p+3p﹣3，解得p=，=﹣4，不成立；（2）取a2=﹣19，a3=﹣3时，﹣3=﹣19p+3p﹣3，解得p=0，a4=﹣3，此时a1=﹣3；（3）取a2=﹣19，a3=5时，5=﹣19p+3p﹣3，解得p=﹣，a4=5×=﹣7，a5=﹣7×=﹣1，不成立；（4）取a2=﹣19，a3=10时，10=﹣19p+3p﹣3，解得p=﹣，a4=10×=﹣，不成立；（5）取a2=﹣19，a3=29时，29=﹣19p+3p﹣3，解得p=﹣2，a4=29×（﹣2）+3×（﹣2）﹣3=﹣67，不成立；（6）取a2=﹣7，a3=﹣3时，﹣3=﹣7p+3p﹣3，解得p=0，a4=﹣3，此时a1=﹣3；（7）取a2=﹣7，a3=5，得5=﹣7p+3p﹣3，解得p=﹣2，∴a4=﹣2×5﹣3×2﹣3=﹣19，a5=﹣19×（﹣2）﹣3×2﹣3=29，∴﹣7=﹣2a1﹣3×2﹣3，解得a1=﹣1；（8）取a2=﹣7，a3=10时，10=﹣7p+3p﹣3，解得p=﹣，=，不成立；（9）取a2=﹣7，a3=29时，29=﹣7p+3p﹣3，解得p=﹣8，a4=29×（﹣8）+3×（﹣8）﹣3=﹣259，不成立；（10）取a2=﹣7，a3=﹣19时，﹣19=﹣7p+3p﹣3，解得p=4，a4=﹣19×4+3×4﹣3=﹣67，不成立；（11）取a2=﹣3，a3=﹣19时，﹣19=﹣3p+3p﹣3，不成立；（12）取a2=﹣3，a3=﹣7时，﹣7=﹣3p+3p﹣3，不成立；（13）取a2=﹣3，a3=5时，5=﹣3p+3p﹣3，不成立；（14）取a2=﹣3，a3=10时，10=﹣3p+3p﹣3，不成立；（15）取a2=﹣5，a3=29时，29=﹣3p+3p﹣3，不成立；（16）取a2=5，a3=﹣19时，﹣19=5p+3p﹣3，解得p=﹣2，a4=﹣19×（﹣2）+3×（﹣2）﹣3=29，a5=29×（﹣2）+3×（﹣2）﹣3=﹣67，不成立；（17）取a2=5，a3=﹣7时，﹣7=5p+3p﹣3，解得p=﹣，=﹣1，不成立；（18）取a2=5，a3=﹣3时，﹣3=5p+3p﹣3，解得p=0，a4=﹣3，此时a1=﹣3；（19）取a2=5，a3=10时，10=5p+3p﹣3，解得p=，=，不成立；（20）取a2=5，a3=29时，29=5p+3p﹣3，解得p=4，a4=29×4+3×4﹣3=125，不成立；（21）取a2=10，a3=﹣19时，﹣19=10p+3p﹣3，解得p=﹣，=﹣，不成立；（22）取a2=10，a3=﹣7时，﹣7=10p+3p﹣3，解得p=﹣，a4=﹣7×=﹣，不成立；（23）取a2=10，a3=﹣3时，﹣3=10p+3p﹣3，解得p=0，a4=﹣3，此时a1=﹣3；（24）取a2=10，a3=5时，5=10p+3p﹣3，解得p=，a4=5×﹣3=，不成立；（25）取a2=10，a3=29时，29=10p+3p﹣3，解得p=，a4=29×+3×=，不成立；（26）取a2=29，a3=﹣19时，﹣19=29p+3p﹣3，解得p=﹣，=5，，29=﹣﹣3×，解得a1=﹣67；（27）取a2=29，a3=﹣7时，﹣7=29p+3p﹣3，解得p=﹣，a4=﹣7×﹣3=﹣，不成立；（28）取a2=29，a3=5时，5=29p+3p﹣3，解得p=，a4==1，不成立；（29）取a2=29，a3=10时，10=29p+3p﹣3，解得p=，a4=10×=，不成立；（30）取a2=29，a3=﹣3时，﹣3=29p+3p﹣3，解得p=0，a4=﹣3，此时a1=﹣3．综上所述，a的集合为{﹣1，﹣3，﹣67}．故答案为：{﹣1，﹣3，﹣67}．【点评】：本题考查满足条件的集合的求法，是基础题，解题时要注意分类讨论思想的合理运用．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得5分，否则一律得0分．15．（5分）（2021•闵行区一模）已知圆O：x2+y2=1和直线l：y=kx+，则k=1是圆O与直线l相切的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与圆的位置关系．【专题】：计算题；直线与圆；简易逻辑．【分析】：圆O与直线l相切，可得圆心到直线的距离d==1，求出k，即可得出结论．【解析】：解：∵圆O与直线l相切，∴圆心到直线的距离d==1，∴k=±1，∴k=1是圆O与直线l相切的充分不必要条件．故选：B．【点评】：本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，考查充要条件的判断，正确运用点到直线的距离公式是关键．16．（5分）（2021•闵行区一模）（2﹣）8展开式中各项系数的和为（）A．﹣1 B．1 C．256 D．﹣256【考点】：二项式系数的性质．【专题】：计算题；二项式定理．【分析】：给二项式中的x赋值1，得到展开式中各项的系数的和．【解析】：解：令二项式（2﹣）8中的x=1，得到展开式中各项的系数的和为（2﹣1）8=1∴展开式中各项的系数的和为1故选：B．【点评】：求二项展开式的各项系数和问题，一般通过观察给二项式中的x赋值求得．17．（5分）（2021•闵行区一模）已知y=f（x）是定义在R上的函数，下列命题正确的是（）A．若f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在（a，b）内有零点，则有f（a）•f（b）＜0B．若f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f（b）＞0，则其在（a，b）内没有零点C．若f（x）在区间（a，b）上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f（b）＜0，则其在（a，b）内有零点D．如果函数f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f（b）＜0，则其在（a，b）内有零点【考点】：函数零点的判定定理．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：据函数零点的定义，函数零点的判定定理，运用特殊函数判断即可．【解析】：解：①y=x2，在（﹣1，1）内有零点，但是f（﹣1）•f（1）＞0，故A不正确，②y=x2，f（﹣1）•f（1）＞0，在（﹣1，1）内有零点，故B不正确，③若f（x）在区间（a，b）上的图象是一条连续不断的曲线，f（a）=﹣1，f（b）=1，在（a，b）恒成立有f（x）＞0，可知满足f（a）•f（b）＜0，但是其在（a，b）内没有零点．故C不正确．所以ABC不正确，故选；D【点评】：本题主要考查函数零点的定义，函数零点的判定定理，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于基础题18．（5分）（2021•闵行区一模）数列{a n}是公差不为零的等差数列，其前n项和为S n，若记数据a1，a2，a3，…，a2021的方差为λ1，数据的方差为λ2，k=．则（）A．k=4．B．k=2．C．k=1．D．k的值与公差d的大小有关．【考点】：等差数列的性质．【专题】：计算题；等差数列与等比数列．【分析】：分别计算平均数与方差，即可得出结论．【解析】：解：由题意，数据a1，a2，a3，…，a2021的平均数为=a1008，所以λ1=[（a1﹣a1008）2+（a2﹣a1008）2+…+（a2021﹣a1008）2]=•（12+22+…+10072）．数据，，，…，的平均数为a1+d，所以λ2=[（a1﹣a1﹣d）2+（a2﹣a1﹣d）2+…+（a2021﹣a1﹣d）2]=•（12+22+…+10072）．所以k==2，故选：B．【点评】：本题考查等差数列的通项与求和，考查平均数与方差的计算，考查学生的计算能力，正确计算是关键．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）（2021•闵行区一模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=2，直线A1B与平面BB1C1C所成角的大小为arctan．求三棱锥C1﹣A1BC的体积．【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：解法一：利用线面垂直的判定定理可得：A1C1⊥平面BB1C1C，因此∠A1BC1是直线A1B与平面BB1C1C所成的角．利用tan∠A1BC1=即可得出．法二：如图，建立空间直角坐标系，设CC1=y．平面BB1C1C的法向量为．设直线A1B与平面BB1C1C所成的角为θ，利用线面角公式：即可得出．【解析】：解法一：∵A1C1⊥B1C1，A1C1⊥CC1，B1C1∩C1C=C1，∴A1C1⊥平面BB1C1C，∴∠A1BC1是直线A1B与平面BB1C1C所成的角．设CC1=y，，∴，∴．法二：如图，建立空间直角坐标系，设CC1=y．得点B（0，2，0），C1（0，0，y），A1（2，0，y）．则，平面BB1C1C的法向量为．设直线A1B与平面BB1C1C所成的角为θ，则，∴．【点评】：本题考查了线面垂直的判定定理、线面角的向量计算公式、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（14分）（2021•闵行区一模）某公司生产电饭煲，每年需投入固定成本40万元，每生产1万件还需另投入16万元的变动成本，设该公司一年内共生产电饭煲x万件并全部售完，每一万件的销售收入为R（x）万元，且R（x）=﹣，10＜x＜100，该公司在电饭煲的生产中所获年利润W（万元）．（注：利润=销售收入﹣成本）（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（2）为了让年利润W不低于2760万元，求年产量x的取值范围．【考点】：函数模型的选择与应用．【专题】：计算题；函数的性质及应用．【分析】：（1）当10＜x＜100时，W=xR（x）﹣（40+16x）=4360﹣﹣16x；（Ⅱ）4360﹣﹣16x≥2760，由此得到年产量x的取值范围．【解析】：解：（1）当10＜x＜100时，W=xR（x）﹣（40+16x）=4360﹣﹣16x．（2）4360﹣﹣16x≥2760，所以x2﹣100x+2500≤0（x≠0），所以（x﹣50）2≤0，所以x=50．【点评】：本题考查函数的解析式的求法，考查年利润的最大值的求法．属于中档题．21．（14分）（2021•闵行区一模）椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，已知椭圆Γ过点P（，），且•=0．（1）求椭圆Γ的方程；（2）若椭圆上两点C、D关于点M（1，）对称，求|CD|．【考点】：椭圆的简单性质．【专题】：平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（1）代入点P，求得a2=2，运用向量的数量积的坐标表示，结合a，b，c的关系，解方程即可得到c，即有椭圆方程；（2）方法一、运用点差法，设出C，D的坐标，代入椭圆方程，作差再由中点坐标公式，求得CD的斜率，得到直线CD的方程，联立椭圆方程，消去y，运用韦达定理和弦长公式，计算即可得到；方法二、运用对称的方法，设出C，D的坐标，再作差，可得直线CD的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，计算即可得到．【解析】：解：（1）由于椭圆Γ过点，即有，解得a2=2，又•=0，则以AP为直径的圆恰好过右焦点F2，又，得，，即有，而b2=a2﹣c2=2﹣c2，所以c2﹣2c+1=0得c=1，故椭圆Γ的方程是．（2）法一：设点C、D的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则，且x1+x2=2，y1+y2=1，由，得：（x1+x2）（x1﹣x2）+2（y1+y2）（y1﹣y2）=0，即，所以CD所在直线的方程为，将，代入x2+2y2=2得，即有x1+x2=2，x1x2=．．法二：设点C、D的坐标分别为（x1，y1）、（2﹣x1，1﹣y1），则，两等式相减得，将，代入x2+2y2=2得，则有．【点评】：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆方程的运用，同时考查平面向量的数量积的坐标表示和点差法、弦长公式的运用，考查运算能力，属于中档题．22．（16分）（2021•闵行区一模）已知函数f（x）=cos（2x﹣）+sin2x﹣cos2x+．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若存在t∈[，]满足[f（t）]2﹣2f（t）﹣m＞0，求实数m的取值范围；（3）对任意的x1∈[﹣，]，是否存在唯一的x2∈[﹣，]，使f（x1）•f（x2）=1成立，请说明理由．【考点】：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【专题】：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】：（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把三角函数关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．（2）利用三角函数的定义域求出函数的值域，进一步求出参数的取值范围．（3）利用函数的单调性求出函数的值域，进一步说明函数的单调性问题．【解析】：解：（1）=，函数f（x）的最小正周期T=π，（2）当时，，，存在，满足F（t）﹣m＞0的实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1）．（3）存在唯一的，使f（x1）•f（x2）=1成立．当时，，，设，则a∈[﹣1，1]，由，得．所以x2的集合为，∵，∴x2在上存在唯一的值使f（x1）•f（x2）=1成立．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，利用正弦型函数的定义域求函数的值域，函数的存在性问题的应用．23．（18分）（2021•闵行区一模）已知数列{a n}为等差数列，a1=2，其前n和为S n，数列{b n}为等比数列，且a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n=（n﹣1）•2n+2+4对任意的n∈N*恒成立．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）是否存在p，q∈N*，使得（a2p+2）2﹣b q=2022成立，若存在，求出所有满足条件的p，q；若不存在，说明理由．（3）是否存在非零整数λ，使不等式λ（1﹣）（1﹣）…（1﹣）cos＜对一切n∈N*都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【考点】：数列与不等式的综合．【专题】：等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】：（1）法1、求数列{a n}、{b n}的通项公式，在于求等差数列的公差和等比数列的首项和公比，设出等差数列{a n}的公差d和等比数列{b n}的公比为q．在已知数列递推式中令n=1，2，3分别得到关于待求量的关系式，然后求解公差和公比，则等差数列的公差和等比数列的公比可求；法2：由已知数列递推式取n=n﹣1（n≥2）得另一递推式，两式作差后得到，由数列{a n}为等差数列，可令a n=kn+b，得，由，得（qk﹣2k）n2+（bq﹣kq﹣2b+2k）n﹣qb=0恒成立，由系数为0求得q，b，k的值得数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）假设存在p，q∈N*满足条件，由（4p+4）2﹣2q=2022，得4p2+8p﹣501为奇数，进一步得到2q﹣2为奇数，求得q=2，进一步求出，这与p∈N*矛盾；（3）把数列{a n}的通项公式代入λ（1﹣）（1﹣）…（1﹣）cos整理，设，可得数列{b n}单调递增．则不等式等价于（﹣1）n+1λ＜b n，然后假设存在实数λ，使得不等式（﹣1）n+1λ＜b n对一切n∈N*都成立，分n为奇数和n为偶数求得，结合λ是非零整数可求得满足条件的λ．【解析】：解（1）法1：设数列{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q．∵a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n=（n﹣1）•2n+2+4，令n=1，2，3分别得a1b1=4，a1b1+a2b2=20，a1b1+a2b2+a3b3=68，又a1=2，∴，即，解得：或．经检验d=2，q=2符合题意，不合题意，舍去．∴．法2：∵①则（n≥2）②①﹣②得，，又a1b1=4，也符合上式，∴，由于{a n}为等差数列，令a n=kn+b，则，∵{b n}为等比数列，则（为常数），即（qk﹣2k）n2+（bq﹣kq﹣2b+2k）n﹣qb=0恒成立，∴q=2，b=0，又a1=2，∴k=2，故；（2）假设存在p，q∈N*满足条件，则（4p+4）2﹣2q=2022，化简得4p2+8p﹣501=2q﹣2，由p∈N*得，4p2+8p﹣501为奇数，∴2q﹣2为奇数，故q=2．得4p2+8p﹣501=1，即2p2+4p﹣251=0，故，这与p∈N*矛盾，∴不存在满足题设的正整数p，q；（3）由a n=2n，得，设，则不等式等价于（﹣1）n+1λ＜b n.，∵b n＞0，∴b n+1＞b n，数列{b n}单调递增．假设存在这样的实数λ，使得不等式（﹣1）n+1λ＜b n对一切n∈N*都成立，则①当n为奇数时，得；②当n为偶数时，得，即．综上，，由λ是非零整数，知存在λ=±1满足条件．【点评】：本题考查了数列递推式，考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了数列的函数特性，训练了利用函数的单调性求函数的最值，体现了数学转化、分类讨论、分离参数等数学思想方法，属难题．。
2021届高三一模、春考数学模拟试卷(1)
(2) 若动点 P 与双曲线 C 的两个焦点 F1, F2 的距离之和为定值，且 cos F1PF2 的最小值为 1 ，求动点 P 的轨迹方程．
9
19. 如图，某城市有一矩形街心广场 ABCD ，如图，其中 AB 4 百米， BC 3 百米，现
将在其内部挖掘一个三角形水池 DMN 种植荷花，其中点 M 在 BC 边上，点 N 在 AB 边上，
面的项 a j 小于前面项 ai ），则称 ai 与 a j 构成一个逆序，一个有穷数列的全部逆序的总数称
为该数列的逆序数．如对于数列 3，2，1，由于在第一项 3 后面比 3 小的项有 2 个，在第二
项 2 后面比 2 小的项有 1 个，在第三项 1 后面比 1 小的项没有，因此，数列 3，2，1 的逆序
4
5．用半径 1 米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器，其容积为
立方米．
6．根据相关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于（等于）20 毫克/100 毫升的行为属
于饮酒驾车. 假设饮酒后，血液中的酒精含量为 p0 毫克/100 毫升，经过 x 个小时，酒精含
量降为 p 毫克/100 毫升，且满足关系式 p p0 er x （r 为常数）.
【】
A．一定平行；
B．一定相交；
C．一定是异面直线；
D．平行、相交、是异面直线都有可能．
14．在无穷等比数列
an 中，
lnim(a1
a2
an
)
1 2
，则
a1
的取值范围是【
】
A． 0，1 ； 2
B． 1 ，1 ； 2
C． 0，1；
D． 0，1 1 ，1 ． 2 2
15．某人驾驶一艘小游艇位于湖面 A 处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东 21 方向，且
(省重点高中附答案)2021年上海市高考一模数学试卷
2021年上海市重点高中高考一模数学试卷(附答案)1.设集合A={x∣ (x+1)(x−2)<0}，集合B={x∣ 1<x<3}，则A∪B=．2.已知z=(a−i)(1+i)（a∈R，i为虚数单位）为纯虚数，则a=．3.抛物线x2=8y的焦点到准线的距离为．4.(x2−1x )8的展开式中x的系数为．（用数字作答）5.设θ为第二象限的角，sinθ=35，则tan2θ的值为．6.母线长为3，底面半径为1的圆锥的侧面展开图的圆心角的弧度数为．7.若无穷等比数列{a n}满足：a2a3=a4，a5=116，(n∈N∗)，则数列{a2n−1}的所有项的和为．8.四名男生和两名女生排成一排，男生有且只有两位相邻，则不同排法的种数是．（结果用数字作答）9.已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120∘，则E的两条渐近线的夹角为．10.已知函数y=f(x)与y=g(x)的图象关于直线y=x对称，若f(x)=x+log2(2x+2)，则满足f(x)>log23>g(x)的x的取值范围是．11.设函数y=f(x)的定义域为D，若对任意的x1∈D，总存在x2∈D，使得f(x1)⋅f(x2)=1，则称函数f(x)具有性质M．下列结论：①函数y=x3−x具有性质M；②函数y=3x+5x 具有性质M；③若函数y=log8(x+2)，x∈[0,t]具有性质M，则t=510；④若y= 3sinx+a4具有性质M，则a=5．其中正确结论的序号是．12.已知正六边形A1A2A3A4A5A6的边长为2，点P是该正六边形边上的动点，记σ=A1P⋅A2P+A2P⋅A3P+A3P⋅A4P+A4P⋅A5P+A5P⋅A6P+A6P⋅A1P，则σ的取值范围是．13.方程∣∣∣2x13x∣∣∣=5的解集是( )A．{2}B．{2,−2}C．{1,−1}D．{i,−i}14.将函数y=sin(4x+π3)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移π3个单位，得到的函数图象的一条对称轴的方程为( )A．x=−π12B．x=π16C．x=π4D．x=π215.若函数f(x)的定义域为R，则“f(x)是偶函数”是“f(∣x∣)=f(x)对切x∈R恒成立”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件16.设曲线E的方程为4x2+9y2=1，动点A(m,n)，B(−m,n)，C(−m,−n)，D(m,−n)在E上，对于结论：①四边形ABCD的面积的最小值为48；②四边形ABCD外接圆的面积的最小值为25π，下面说法正确的是( )A．①错，②对B．①对，②错C．①②都错D．①②都对17.在三棱锥P−ABC中，已知PA，PB，PC两两垂直，PB=3，PC=4，且三棱锥P−ABC的体积为10．(1) 求点A到直线BC的距离．(2) 若 D 是棱 BC 的中点，求异面直线 PB ，AD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18. 在 △ABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 的对边，且 acosC =(2b −c )cosA ．(1) 若 AB ⋅AC =3，求 △ABC 的面积．(2) 若 ∠B <∠C ，求 2cos 2B +cos 2C 的取值范围．19. 某研究所开发了一种新药，测得成人注射该药后血药浓度 y （微克/毫升）与给药时间 x （小时）之间的若干组数据，并由此得出 y 与 x 之间的一个拟合函数 y =40(0.6x −0.62x )(x ∈[0,12])，其简图如图所示，试根据此拟合函数解决下列问题：(1) 求药峰浓度与药峰时间（精确到 0.01 小时），并指出血药浓度随时间的变化趋势；(2) 求血药浓度的半衰期（血药浓度从药峰浓度降到其一半所需要的时间）（精确到 0.01 小时）．20. 已知椭圆 C 的中心在坐标原点焦点在 x 轴上，椭圆 C 上一点 A(2√3,−1) 到两焦点距离之和为8．若点 B 是椭圆 C 的上顶点，点 P ，Q 是椭圆 C 上异于点 B 的任意两点． (1) 求椭圆 C 的方程；(2) 若 BP ⊥BQ ，且满足 3PD⃗⃗⃗⃗⃗ =2DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的点 D 在 y 轴上，求直线 BP 的方程； (3) 若直线 BP 与 BQ 的斜率乘积为常数 λ(λ<0)，试判断直线 PQ 是否经过定点．若经过定点，请求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．21. 对于数列 {a n }，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称 {a n } 为 P 数列．(1) 若 {a n } 的前 n 项和 S n =3n +2，试判断 {a n } 是否是 P 数列，并说明理由．(2) 设数列 a 1，a 2，a 3，⋯，a 10 是首项为 −1，公差为 d 的等差数列，若该数列是 P 数列，求 d 的取值范围．(3) 设无穷数列{a n}是首项为a，公比为q的等比数列，有穷数列{b n}，{c n}是从{a n}中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为T1，T2，求{a n}是P数列时a与q所满足的条件，并证明命题“若a>0且T1=T2，则{a n}不是P数列”．答案1. 【答案】(−1,3)【解析】因为A={x∣ −1<x<2}，B={1<x<3}，所以A∪B=(−1,3)．2. 【答案】−1【解析】因为z=(a−i)(1+i)=(a+1)+(a−1)i为纯虚数，所以{a+1=0, a−1≠0,即a=−1．3. 【答案】4【解析】抛物线x2=8y，所以p=4，抛物线x2=8y的焦点到准线的距离是：4．4. 【答案】−56【解析】(x2−1x )8的展开式通项为T r+1=C8r(x2)8−r(−1x)r=(−1)r C8r x16−3r，令16−3r=1，可得r=5，所以在(x2−1x )8的展开式中，x的系数是(−1)5C85=−56．5. 【答案】−247【解析】因为θ为第二象限的角，sinθ=35，所以cosθ=−√1−sin2θ=−45，所以tanθ=sinθcosθ=−34，则tan2θ=2tanθ1−tan2θ=−247．6. 【答案】2π3【解析】由题意知扇形的弧长为圆锥底面周长2π，半径为圆锥的母线长为3，由弧长公式有圆心角为2π3，故所求扇形的圆心角为2π3．7. 【答案】 43【解析】根据题意，设等比数列 {a n } 的公比为 q ，若 a 2a 3=a 4，a 5=16，则有 {a 1q ×a 1q 2=a 1q 3a 1q 4=116. 解可得 a 1=1，q =12，则数列 {a 2n−1} 的首项为 a 1=1，其公比为 q 2=14， 则数列 {a 2n−1} 的所有项和 S =11−14=43；故答案为：43．8. 【答案】 144【解析】根据题意，分 2 步进行分析：①、将 2 名女生全排列，有 A 22=2 种情况，排好后，有 3 个空位，②、从 4 位男生中选 2 位，看成一个整体，考虑其顺序，有 C 42A 22=12 种情况，再将这个整体与其他 2 名男生全排列，安排在女生的 3 个空位中，有 A 33=6 种情况， 则一共有 2×12×6=144 种排法．9. 【答案】 90°【解析】设双曲线的方程为 x 2a 2−y 2b 2=1(a >b >0)， 设 M (m,n ) 在第一象限，A (−a,0)，B (a,0)， 由题意可得 ∣AB ∣=∣BM ∣=2a ，∠MBA =120∘， 则 m =2acos60∘+a =2a ，n =2asin60∘=√3a ， 即 M(2a,√3a)，可得4a 2a 2−3a 2b 2=1，即为 a =b ，则双曲线的渐近线方程为 y =±x ， 可得两条渐近线的夹角为 90∘．10. 【答案】 (0,log 215)【解析】因为函数 y =f (x ) 与 y =g (x ) 的图象关于直线 y =x 对称， f (x )=x +log 2(2x +2)， 设 y =x +log 2(2x +2)， 则 y −x =log 2(2x +2)， 所以 2y−x =2x +2， 所以 2y =22x +2x+1， 所以 2x =−2+√4+4×2y2=√1+2y −1，x=log2(√1+2y−1)．互换x，y，得g(x)=log2(√1+2x−1)，因为f(x)>log23>g(x)，所以x+log2(2x+2)>log23>log2(√1+2x−1)，解得0<x<log215．所以满足f(x)>log23>g(x)的x的取值范围是(0,log215)．故答案为：(0,log215)．11. 【答案】②③【解析】对于①，f(x)=x3−x的值域为R，则当f(x1)=0时，不存在x2，使得f(x1)⋅f(x2)=1，故①不正确；对于②，f(x)=3x+5x∈(0,+∞)，所以f(x2)=1f(x1)=13x1+5x1∈(0,+∞)，故对任意的x1∈D，总存在x2∈D，使得f(x1)⋅f(x2)=1，故②正确；对于③，当x∈[0,t]时，y∈[13,log8(t+2)]，若满足f(x1)⋅f(x2)=1，则13×log8(t+2)=1，则log8(t+2)=3，解得t=510，故③正确；对于④，若y=3sinx+a4∈[a−34,a+34]，值域必须满足对称性，且不包含0，则a−34⋅a+34=1，解得a=±5；故④不正确．12. 【答案】[30,36]【解析】建立直角坐标系，如图所示：所以A1(0,0)，A2(2,0)，A3(3,√3)，A4(2,2√3)，A5(0,2√3)，A6(−1,√3)，设点P(x,y)，所以A1P=(x,y)，A2P=(x−2,y)，A3P=(x−3,y−√3)，A4P=(x−2,y−2√3)，A5P= (x,y−2√3)，A6P=(x+1,y−√3)，所以σ=A1P⋅A2P+A2P⋅A3P+A3P⋅A4P+A4P⋅A5P+A5P⋅A6P+A6P⋅A1P=x(x−2)+y2+(x−2)(x−3)+y(y−√3)+(x−3)(x−2)+(y−√3)(y−2√3)+x(x−2)+(y−2√3)2+x(x+1)+(y−2√3)(y−√3)+x(x+1)+y(y−√3)=6x2+6y2−12x−12√3y+36=6[(x−1)2+(y−√3)2+2],因为正六边形的中心Q(1,√3)，所以S=(x−1)2+(y−√3)2表示点P(x,y)与点Q(1,√3)之间距离的平方，所以由图可知S的最大值为4，最小值为3，所以σ的最大值为36，最小值为30，所以σ的取值范围是[30,36]．13. 【答案】B【解析】根据题意得2x2−3=5，解得x=±2．14. 【答案】A【解析】将函数y=sin(4x+π3)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，可得函数y=sin(2x+π3)的图象；再向右平移π3个单位，可得函数y=sin(2x−π3)的图象．令2x−π3=kπ+π2，求得x=kπ2+5π12，k∈Z，再令k=−1，可得所得函数图象的一条对称轴的方程为x=−π12．15. 【答案】C【解析】根据题意，若f(x)是偶函数，当x≥0时，有f(∣x∣)=f(x)，当x<0时，f(∣x∣)=f(−x)=f(x)，综合可得：f(∣x∣)=f(x)对切x∈R恒成立，故“f(x)是偶函数”是“f(∣x∣)=f(x)对切x∈R 恒成立”的充分条件；若f(∣x∣)=f(x)，而函数f(∣x∣)为偶函数，则函数f(x)是偶函数，故“f(x)是偶函数”是“f(∣x∣)=f(x)对切x∈R恒成立”的必要条件；综合：“f(x)是偶函数”是“f(∣x∣)=f(x)对切x∈R恒成立”的充分必要条件．16. 【答案】D【解析】不妨设m>0，n>0，则S四边形ABCD=4mn，因为1=4m2+9n2≥2⋅2m⋅3n，所以mm≥12，从而S四边形ABCD=4mn≥48，故①对；设四边形 ABCD 外接圆半径为 r ，则 r 2=m 2+n 2=(4m 2+9n 2)(m 2+n 2)=13+4n 2m 2+9m 2n 2≥25，所以四边形 ABCD 外接圆的面积 ≥25π，故②对．17. 【答案】(1) 在三棱锥 P −ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直， 因为 PB =3，PC =4，且三棱锥 P −ABC 的体积为 10． 所以 V P−ABC =V A−PBC =13×12×3×4⋅PA =10，解得 PA =5， 过 P 作 PO ⊥BC ，交 BC 于 O ，连接 PO ， 由三垂线定理得 AO ⊥BC ， 因为 12⋅PB ⋅PC =12⋅BC ⋅PO ， 所以 PO =PB⋅PC BC=√32+42=125，所以点 A 到直线 BC 的距离：AO =√PA 2+PO 2=√25+14425=√7695． (2) 以 P 为原点，PB 为 x 轴，PC 为 y 轴，PA 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 A (0,0,5)，P (0,0,0)，B (3,0,0)，C (0,4,0)，D (32,2,0)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0,0)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,2,−5)，设异面直线 PB ，AD 所成角的大小为 θ， 则 cosθ=∣∣PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣∣∣PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣⋅∣∣AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=923√1254=3√525． 所以异面直线 PB ，AD 所成角的大小为 arccos 3√525．18. 【答案】(1) 因为 acosC =(2b −c )cosA ，所以由正弦定理可得 sinAcosC =(2sinB −sinC )cosA ， 可得 sinAcosC +sinCcosA =sin (A +C )=sinB =2sinBcosA ， 因为 B 为三角形内角，sinB ≠0， 所以 cosA =12，又因为 A ∈(0,π)， 所以 A =π3，因为 AB ⋅AC =bccosA =12bc =3，可得 bc =6， 所以 S △ABC =12bcsinA =12×6×√32=3√32．(2) 因为∠B<∠C，C=2π3−B，可得B∈(0,π3)，所以2B+π6∈(π6,5π6)，所以cos(2B+π6)∈(−√32,√32)，所以2cos2B+cos2C=1+cos2B+1+cos2C2=32+cos2B+12cos2(2π3−B)=32+cos2B−14cos2B−√34sin2B=32+√32cos(2B+π6)∈(34,94),所以2cos2B+cos2C的取值范围(34,94 )．19. 【答案】(1) 由y=40(0.6x−0.62x)(x∈[0,12])，令0.6x=t，t∈[0.612,1]，则y=40(0.6x−0.62x)=40(−t2+t)，所以当t=12∈[0.612,1]，即0.6x=12，x=−lg2lg2+lg3−1≈1.36时，y有最大值为10．故药峰浓度为10，药峰时间为1.36小时；由图象可知，注射该药后血药浓度逐渐增加，到1.36小时时达到峰值，然后血药浓度逐渐降低．(2) 在y=40(0.6x−0.62x)中，取y=5，得40(0.6x−0.62x)=5，即−8t2+8t−1=0，解得t=2−√24或t=2+√24（舍），即0.6x=2−√24≈0.147，得x=lg0.147lg0.6≈3.72，故血药浓度的半衰期为3.72−1.36=2.36小时．20. 【答案】(1) 由题意设椭圆的方程为：x2a2+y2b2=1，由题意知：2a=8，12a2+1b2=1，解得：a2=16，b2=4，所以椭圆的方程为：x 216+y24=1；(2) 由（1）得B(0,2)显然直线BP的斜率存在且不为零，设直线BP为：y=kx+2，与椭圆联立整理得：(1+4k2)x2+16kx=0，x=−16k1+4k2，所以P(−16k1+4k2,2−8k21+4k2)；直线BQ:y=−1kx+2，代入椭圆中：(4+k2)x2−16kx=0，同理可得Q(16k4+k2,2k2−84+k2)，足3PD⃗⃗⃗⃗⃗ =2DQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得，所以3(x D−x P)=2(x Q−x D)，所以5x D=2x Q+3x P=32k4+k2−48k1+4k2，由于D在y轴上，所以x D=0，所以32k4+k2=48k4+k2，解得：k2=2，所以k=±√2，所以直线BP的方程为：y=±√2x+2；(3) 由（2）得，当直线PQ的斜率不存在时，设直线PQ的方程：x=t，P(x,y)，Q(xʹ,yʹ)，与椭圆联立得：4y2=16−t2，yyʹ=t2−164，xxʹ=t2，k BP⋅k BQ=y−2x ⋅yʹ−2xʹ=yyʹ−2(y+yʹ)+4xxʹ=1,要使是一个常数λ，λ<0，所以不成立．当直线PQ斜率存在时，设直线PQ的方程为：y=kx+t，设P(x,y)，Q(xʹ,yʹ)，与椭圆联立整理得：(1+4k2)x2+8ktx+4t2−16=0，x+xʹ=−8kt1+4k2，xxʹ=4t2−161+4k2，所以y+yʹ=k(x+xʹ)+2t=2t1+4k2，所以k BP⋅k BQ=y−2x ⋅yʹ−2xʹ=yyʹ−2(y+yʹ)+4xxʹ=t−24(t+2),所以由题意得：t−24(t+2)=λ，解得：t=1+8λ1−4λ，所以不论k为何值，x=0时，y=1+8λ1−4λ，综上可知直线恒过定点(0,2+8λ1−4λ)．21. 【答案】(1) 因为 S n =3n +2，所以 a n =S n −S n−1=2⋅3n−1(n ≥2)，当 n =1 时，a 1=S 1=5，故 a n ={5,n =12⋅3n−1,n ≥2， 那么当 k ∈N ∗ 时，a k+1−S k =2⋅3k −3k −2=3k −2>0，符合题意，故数列 {a n } 是 P 数列．(2) 由题意知，该数列的前 n 项和为 S n =−n +n (n−1)2d ，a n+1=−1+nd ，由数列 a 1，a 2，a 3，⋯，a 10 是 P 数列，可知 a 2>S 1=a 1，故公差 d >0，S n −a n+1=d 2n 2−(1+32d)n +1<0 对满足 n =1,2,3⋯⋯,9 的任意 n 都成立，则d 2⋅92−9(1+32d)+1<0，解得 d <827，故 d 的取值范围为 (0,827)．(3) ①若 {a n } 是 P 数列，则 a =S 1<a 2=aq ，若 a >0，则 q >1，又由 a n+1>S n 对一切正整数 n 都成立，可知 aq n >a ⋅q n −1q−1，即 2−q <(1q )n 对一切正整数 n 都成立，由 (1q )n >0，lim n→∞(1q )n =0，故 2−q ≤0，可得 q ≥2， 若 a <0，则 q <1，又由 a n+1>S n 对一切正整数 n 都成立，可知 aq n >a ⋅q n −1q−1，即 (2−q )q n <1 对一切正整数 n 都成立，又当 q ∈(−∞,−1] 时，(2−q )q n <1 当 n =2 时不成立，故有 {q ∈(0,1),(2−q )q <1 或 {q ∈(−1,0),(2−q )q 2<1,解得 q ∈(1−√52,0)∪(0,1)，所以当 {a n } 是 P 数列时，a 与 q 满足的条件为 {a >0,q ≥2 或 {a <0,q ∈(1−√52,0)∪(0,1); ②假设 {a n } 是 P 数列，则由①可知，q ≥2，a >0，且 {a n } 中每一项均为正数，若 {b n } 中的每一项都在 {c n } 中，则由这两数列是不同数列，可知 T 1<T 2；若 {c n } 中的每一项都在 {b n } 中，同理可得 T 1>T 2；若 {b n } 中至少有一项不在 {c n } 中且 {c n } 中至少有一项不在 {b n } 中，设 {b n ʹ}，{c n ʹ} 是将 {b n }，{c n } 中的公共项去掉之和剩余项依次构成的数列，它们的所有项和分别为 {T 1ʹ}，{T 2ʹ}，不妨设 {b n ʹ}，{c n ʹ} 中最大的项在 {b n ʹ} 中，设为 a m (m ≥2)，则T2ʹ≤a1+a2+⋯⋯+a m−1<a m≤T1ʹ，故T2ʹ<T1ʹ，故总有T1≠T2与T1=T2矛盾，故假设错误，原命题正确．。
2021上海春考数学试卷解析
2021年上海市春季高考数学试卷一.填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12每题5分）1、等差数列{}n a 中，13,2a d ==，则10a =【答案】21【解析】101921a a d =+=2、已知复数z 满足13z i =−(i 是虚数单位)，则z i −＝ .【解析】12z i i z i −=+⇒−=3、不等式2512x x +<−的解集为 .【答案】()7,2−【解析】25710(7)(2)0(7,2)22x x x x x x x ++<⇒<⇒+−<⇒∈−−−4、已知圆柱的底面半径为1,母线长为2,则圆柱的侧面积为 .【答案】4π【解析】24S rl ππ==5、求直线2x =−10y −+=的夹角为________. 【答案】6π【解析】121212123(1,0),(3,1),cos ,2||||n n n n n n n n ⋅==−<>==故夹角为6π6、方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩无解，求1122a b a b =.【答案】0 【解析】易得1122a b a b =07、()1nx +有且仅有3x 为最大值，则二项展开式中3x 的系数为.【答案】20【解析】1r n rr n T C x −+=，又3x 为最大值，则3r n =−，那么362nn n =−⇒= 所以3x 的系数为3620C =8、已知函数()()3031x x af x a =+>+的最小值为5，则a = .【答案】9【解析】()33111593131x xx xa a f x a =+=++−≥−=⇒=++9、等比数列{}n a 各项均为正数，满足，()1lim 4n n a a →∞−=，则2a 的取值范围是 .【答案】(4,0)(0,4)−⋃【解析】由题意得各项为正数，()111121lim lim 44,(0,1)4(1(0,4))n n n n a a a a q q a a q q ∞∞→−→−==⇒=∈∴=−=∈【答案】23【解析】由题意,至少要选2种运动,并且选2种运动的情况中,AB 、DB 、EB 的组合不满足题意，54325555323C C C C ∴+++−=11、已知椭圆()222101y x b b+=<<的左右焦点为12F F 、，以O 为顶点，2F 为焦点作抛物线交椭圆于P ，且1245PF F ∠=︒，则抛物线的准线方程为 .【答案】1x =【解析】如图所示，作PM l ⊥于M ，212111=cos 44PF ππPM PF F F PM PF PF ∠=∠⇒===))1212221221PF PF PF PF PF ⇒+=+=⇒=−)22211:1c PM PF c l x ===→=−⇒=−12、已知0θ>，存在ϕ，对于任意的*n N ∈，使得()cos 2n θϕ+<，则θ最小值为.【答案】25π【解析】法一：原问题等价于随着n 调整，所对应的点都不在阴影区域里（16的圆）。
上海市2021届高三一模暨春考数学模拟试卷十二答案
参考答案：一．填空题：1、4(,)+∞；2、22；3、()13,；4、4；5、712；6、0；7、；8、3[0,3；9、(],1-∞-；10、11[,]83；11、[6-+；12、(3-+；二．选择题：13、D；14、A；15、A；16、B；三．解答题：17、（1）,,,36T x k k k Z πππππ⎡⎤=∈-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）3π；18、（1）322arccos ；（2）42162米。
19、（1）35；（2）1[,)4a ∈+∞．20．（1）当0m =直线:4l x =与C 的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形，由根据双曲线的性质得，2221tan 303b a == ，又焦距为4，则224a b +=，…………………3分解得a =1b =，则所求双曲线Γ的方程为2213x y -=.……………………………4分（2）设11(,)D x y ，22(,)E x y ，由221340x y x my ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩，得22(3)8130m y my -++=，则12283m y y m +=-，122133y y m =-，且2226452(3)12(13)0m m m ∆=--=+>，………………………………………………………………2分又坐标原点O 在以线段DE 为直径的圆内，则0OD OE ⋅< ，即12120x x y y +<，即1212(4)(4)0my my y y +++<，即212124()(1)160m y y m y y ++++<，则22221313816033m m m m +-+<--，……………………………4分即223503m m -<-，则153m <<-或153m <<，即实数m的取值范围1515()33- .…………………6分（3）线段PQ 在x 轴上的射影长是p q x x -.设00(,)D x y，由（1）得点B ，又点P 是线段BD 的中点，则点003(,)22x y P +，……………2分直线BD，直线AD，又BD PQ ⊥，则直线PQ的方程为0000()22y x x y x y -+-=-，即200000322x x y y x y y --=++，又直线AD的方程为y x =+，联立方程200000322x x y y x y y y x ⎧-=++⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y化简整理，得2220003)22x y x x x --++=+，又220013x y =-，代入消去20y，得20002(3)1)(33x x x x x --+=-+，即02(3)1(33x x x +-+=，则0234x x =，即点Q的横坐标为024x +，……………5分则4p q x x -==.故线段PQ 在x 轴上的射影长为定值.……6分说明：看作是PQ 在OB 或(1,0)i = 方向上投影的绝对值，请相应评分.21、解：（1）(1)1f =，(2)2f =，猜想()f n n =；（2）98n a n =-，由21218899899999m m m m n n --<-<⇒+<<+112191,92,,9---∴=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅m m m n ，21199m m m t --∴=-，352211(91)(99)(99)(99)m m m S --∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-352121(9999)(1999)m m --=+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+22129(19)(19)91091191980m m m m +---⋅+=-=--，2λ≤m S 对任意*m N ∈恒成立min 12()83λλ⇒≤==⇒≤m S S ；（3）1sin ,4b π=记1sin ,4n n b πθθ==，则1sin sin 2n n θθ+==*1()2n n n N πθ+⇒=∈，1tan,4c π=记1tan ,4n n c πϕϕ==，则1sec 1tan tan tan 2n n n n ϕϕϕϕ+-==*1()2n n n N πϕ+⇒=∈，11sin ,tan ,22n n n n b c ππ++∴==当(0,)2x π∈时，sin tan x x x <<可知：1111sin ()tan ,2222n n n n n n b f c ππππ++++=<=<=。
上海市2021届高三一模暨春考数学模拟试卷十一答案
……………16 分
21. (第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分)
解：（1）由 xn1
xn2
xn
，得
1
1 xn
xn xn1
，或 xn1 xn
xn2 ，
且 1 xn2 xn1 xn 1 1 ，
1 xn xn1xn
xn 1 xn
xn xn1
所以 S5
………………10 分
（3）当 l 与 x 轴垂直时,易得 M (1,3) , N (1, 5) ,又 A(1,0) ，则 AM (0,3),
AN
(0,
5)
,故 t
AM AN
5
.
3
………………11 分
3
当 l 的 斜 率 存 在 时 , 设 直 线 l 的 方 程 为 y k(x 1) , 代 入 圆 的 方 程 x2 ( y 3)2 4 得
16. C
三．解答题：
17、1.89m . 18、（1） 8 ；（2） 45 ；
19.（第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 10 分）
解：（1）对于 f (x) x2 2 ， f (ax b) (ax b) 2 2 a 2x 2 2abx b 2 2 ，
若 f (x) f (ax b) ，则 x2 2 a2x2 2abx b2 2 ，
，
2019
所以，
xi
i1 1 xi
2019 1
1 x2020
2018
1 x2020
，
因为
1 x2020
(0
, 1) ，所以
2019 i1
1
xi
xi
2018 ．
上海市2021届高三一模暨春考数学模拟试卷十三答案
17、（1）
fmax (x)
f
()
6
2 1 1 ，此时 2x 6
2
2k
，则
x
6
k
，(k Z) ；
（2） a 2 ； 18、（1）侧面积为 48，体积为 36；（2） arctan 4 5 .
15
19、（1）g
n
n
10 49
,
n2
20n n 1090
,
1 n 10 ；（2）第 33 个月利润率最大，最大为： 330 ；
……14 分
故只需当 n 2k, k N * 时， bn bq2k1 22k1 an ，
即
2 q
2k1
b
对
k
N
*
恒成立，得
q
2 ；
……………15 分
④当 1 b 0 时， b1 a1 ，则 b2 bq a2 2 ， 下证只需 bq 2 ： 若 bq 2 ，则 q 2 ，
9 时，比值为定值，此时 M 3,0
21． 解：（1） cn (1)n ，
…………………………………………2 分
此时， (an bn )(an1 bn1) [an an (1) n][an1 an1 (1) n 1] (1) 2n 1 0
所以 bn是数列 an的“相伴数列”．
…………………………………………4 分
故只需当 n 2k 1, k N * 时， bn bq2k 22k an ，
即
2 q
2k
b
对
k
N
*
恒成立，得
q
2 ；
………………13 分
②当 0 b 1 时，
b1 a1 ， b2 bq 0 a2 ，与 a1 b1a2 b2 0 矛盾，不符合题意；
上海市闸北区2021届新高考数学一月模拟试卷含解析
上海市闸北区2021届新高考数学一月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知f(x)=-1x x e e a+是定义在R 上的奇函数，则不等式f(x-3)<f(9-x 2)的解集为（ ）A ．(-2,6)B ．(-6,2)C ．(-4,3)D ．(-3,4)【答案】C 【解析】 【分析】由奇函数的性质可得1a =，进而可知()f x 在R 上为增函数，转化条件得239x x -<-，解一元二次不等式即可得解. 【详解】因为()1x x e f x e a-=+是定义在R 上的奇函数，所以()()011f f +-=，即11101e e e a a e--+=++，解得1a =，即()12111x x xe f x e e -==-++， 易知()f x 在R 上为增函数. 又()()239f x f x -<-，所以239x x-<-，解得43x -<<.故选：C. 【点睛】本题考查了函数单调性和奇偶性的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题.2．已知直线l ：310kx y k --+=与椭圆22122:1(0)x yC a b a b+=>>交于A 、B 两点，与圆2C ：()()22311x y -+-=交于C 、D 两点.若存在[]2,1k ∈--，使得AC DB =u u u r u u u r，则椭圆1C 的离心率的取值范围为（ ） A．⎣⎦B．3C．(0,3D．3【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知直线过定点即为圆心，由此得到,A B 坐标的关系，再根据点差法得到直线的斜率k 与,A B 坐标的关系，由此化简并求解出离心率的取值范围. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，且线:310l kx y k --+=过定点()3,1即为2C 的圆心，因为AC DB =u u u r u u u r ，所以1212236212C D C D x x x x y y y y +=+=⨯=⎧⎨+=+=⨯=⎩，又因为2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩，所以()()2222221212b x x a y y -=--， 所以2121221212y y x x b x x a y y -+=-⋅-+，所以[]2232,1b k a=-∈--，所以2212,33b a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22212,33a c a -⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()2121,33e ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以33e ∈⎣⎦.故选：A. 【点睛】本题考查椭圆与圆的综合应用，着重考查了椭圆离心率求解以及点差法的运用，难度一般.通过运用点差法达到“设而不求”的目的，大大简化运算.3．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，6353a a a +-=，则7S =（ ） A ．42 B ．21C ．7D ．3【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的性质求出4a 的值，然后利用等差数列求和公式以及等差中项的性质可求出7S 的值. 【详解】由等差数列的性质可得6354553a a a a a a +-=+-=，()1747772732122a a a S +⨯∴===⨯=.故选：B. 【点睛】本题考查等差数列基本性质的应用，同时也考查了等差数列求和，考查计算能力，属于基础题. 4．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．16B ．48C ．96D ．128【答案】B 【解析】 【分析】列出每一次循环，直到计数变量i 满足3i >退出循环. 【详解】第一次循环：12(11)4,2S i =+==；第二次循环：242(12)16,3S i =++==； 第三次循环：3162(13)48,4S i =++==，退出循环，输出的S 为48. 故选：B. 【点睛】本题考查由程序框图求输出的结果，要注意在哪一步退出循环，是一道容易题.5．已知向量(1,4)a =r ，(2,)b m =-r ，若||||a b a b +=-r r r r，则m =（ ）A ．12-B ．12C ．-8D ．8【答案】B 【解析】 【分析】先求出向量a b +r r ,a b -r r的坐标，然后由||||a b a b +=-r r r r 可求出参数m 的值.【详解】由向量(1,4)a =r ，(2,)b m =-r，则()1,4a b m +=-+r r ，()3,4a b m -=-r r()22||1+4a b m ++r r ()22||3+4a b m -=-r r又||||a b a b +=-r r r r ，则()()22221+4=3+4m m +-，解得12m =.故选：B 【点睛】本题考查向量的坐标运算和模长的运算，属于基础题.6．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A ．83B ．163C ．43D ．8【答案】A 【解析】 【分析】由三视图还原出原几何体，得出几何体的结构特征，然后计算体积． 【详解】由三视图知原几何体是一个四棱锥，四棱锥底面是边长为2的正方形，高为2， 直观图如图所示，1822233V =⨯⨯⨯=． 故选：A ．【点睛】本题考查三视图，考查棱锥的体积公式，掌握基本几何体的三视图是解题关键． 7．已知函数()cos sin 2f x x x =，下列结论不正确的是（ ） A ．()y f x =的图像关于点(),0π中心对称 B ．()y f x =既是奇函数，又是周期函数C ．()y f x =的图像关于直线2x π=对称D ．()y f x =3【答案】D 【解析】 【分析】通过三角函数的对称性以及周期性，函数的最值判断选项的正误即可得到结果． 【详解】解：:(2)cos(2)sin 2(2)cos sin 2()A f x x x x x f x πππ-=--=-=-，正确； :()cos()sin 2()cos sin 2()B f x x x x x f x -=--=-=-，为奇函数，周期函数，正确； :()cos()sin 2()cos sin 2()C f x x x x x f x πππ-=--==，正确；D ： 232sin cos 2sin 2sin y x x x x ==-，令sin t x =，[]1,1t ∈-则()322g t t t =-，()226g t t '=-，[1t ∈-，1]，则t <<时()0g t '>，1t -<<1t >>()0g t '<，即()g t 在⎛ ⎝⎭上单调递增，在1,⎛- ⎝⎭和⎫⎪⎪⎝⎭上单调递减；且39g ⎛= ⎝⎭，()10g -=，max y g ∴==<⎝⎭，故D 错误． 故选：D ． 【点睛】本题考查三角函数周期性和对称性的判断，利用导数判断函数最值，属于中档题．8．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos (2)cos c a B a b A -=-，则ABC V 的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．等腰非等边三角形 C ．等腰或直角三角形 D ．钝角三角形【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理将边化角，再由()sin sin A B C +=，化简可得sin cos sin cos B A A A =，最后分类讨论可得； 【详解】解：因为cos (2)cos c a B a b A -=-所以()sin sin cos 2sin sin cos C A B A B A -=- 所以sin sin cos 2sin cos sin cos C A B A A B A -=- 所以()sin sin cos 2sin cos sin cos A B A B A A B A +-=-所以sin cos sin cos sin cos 2sin cos sin cos A B B A A B A A B A +-=- 所以sin cos sin cos B A A A =当cos 0A =时2A π=，ABC ∆为直角三角形；当cos 0A ≠时sin sin A B =即A B =，ABC ∆为等腰三角形；ABC ∆∴的形状是等腰三角形或直角三角形故选：C ． 【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查正弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 9．已知函数()1ln11xf x x x+=++-且()()12f a f a ++>，则实数a 的取值范围是( ) A ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】构造函数()()1F x f x =-，判断出()F x 的单调性和奇偶性，由此求得不等式()()12f a f a ++>的解集. 【详解】构造函数()()11ln1x F x f x x x +=-=+-，由101xx+>-解得11x -<<，所以()F x 的定义域为()1,1-，且()()111lnln ln 111x x x F x x x x F x x x x +--⎛⎫-=-=--=-+=- ⎪-++⎝⎭，所以()F x 为奇函数，而()12lnln 111x F x x x x x +⎛⎫=+=-++ ⎪--⎝⎭，所以()F x 在定义域上为增函数，且()0ln100F =+=.由()()12f a f a ++>得()()1110f a f a -++->，即()()10F a F a ++>，所以1011102111a a a a a ++>⎧⎪-<<⇒-<<⎨⎪-<+<⎩. 故选：B 【点睛】本小题主要考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，属于中档题. 10．已知x 与y 之间的一组数据：若y 关于x 的线性回归方程为$ 2.10.25y x =-，则m 的值为（ ）A ．1.5B ．2.5C ．3.5D ．4.5【答案】D 【解析】 【分析】利用表格中的数据，可求解得到 2.5,x =代入回归方程，可得5y =，再结合表格数据，即得解. 【详解】利用表格中数据，可得 2.5,x = 又 2.10.25,5y x y =-∴=，3.24.87.520m ∴+++=．解得 4.5m = 故选：D 【点睛】本题考查了线性回归方程过样本中心点的性质，考查了学生概念理解，数据处理，数学运算的能力，属于基础题. 11．函数cos ()22x x x x f x -=+在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性及函数在02x π<<时的符号，即可求解.【详解】 由cos ()()22x xx xf x f x --=-=-+可知函数()f x 为奇函数.所以函数图象关于原点对称，排除选项A ，B ； 当02x π<<时，cos 0x >，cos ()220x xx xf x -∴=+＞，排除选项D ，故选：C. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的判定及奇偶函数图像的对称性，属于中档题. 12．抛物线22y x =的焦点为F ，则经过点F 与点()2,2M 且与抛物线的准线相切的圆的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．0个D ．无数个【答案】B 【解析】 【分析】圆心在FM 的中垂线上，经过点F ，M 且与l 相切的圆的圆心到准线的距离与到焦点F 的距离相等，圆心在抛物线上，直线与抛物线交于2个点，得到2个圆． 【详解】因为点(2,2)M 在抛物线22y x =上， 又焦点1(2F ，0)，由抛物线的定义知，过点F 、M 且与l 相切的圆的圆心即为线段FM 的垂直平分线与抛物线的交点， 这样的交点共有2个，故过点F 、M 且与l 相切的圆的不同情况种数是2种． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查抛物线的简单性质，本题解题的关键是求出圆心的位置，看出圆心必须在抛物线上，且在垂直平分线上．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年上海市春季高考数学试卷275
上海市2021年春季高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）（共12题；共54分）1.已知集合 A ={1,2,3,4,5} ， B ={3,5,6} ，则 A ∩B = ________．2.计算 lim n→∞2n 2−3n+1n 2−4n+1= ________．3.不等式 |x +1|<5 的解集为________．4.函数 f(x)=x 2(x >0) 的反函数为________．5.设 i 为虚数单位， 3z̅−i =6+5i ，则 |z| 的值为________6.已知 {2x +2y =−14x +a 2y =a ，当方程有无穷多解时， a 的值为________．7.在 (x √x)6 的展开式中，常数项等于________．8.在 △ABC 中， AC =3 ， 3sinA =2sinB ，且 cosC =14 ，则 AB = ________．9.首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有________种（结果用数值表示）10.如图，已知正方形 OABC ，其中 OA =a(a >1) ，函数 y =3x 2 交 BC 于点 P ，函数 y =x −12 交 AB 于点 Q ，当 |AQ|+|CP| 最小时，则 a 的值为________．11.在椭圆x24+y22=1上任意一点P，Q与P关于x轴对称，若有F1P⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F2P⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤1，则F1P⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与F2Q⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角范围为________．12.已知集合A=[t,t+1]∪[t+4,t+9]，0∉A，存在正数λ，使得对任意a∈A，都有λa∈A，则t的值是________．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）（共4题；共20分）13.下列函数中，值域为[0,+∞)的是（）A. y=2xB. y=x12C. y=tanxD. y=cosx14.已知a、b∈R，则“ a2>b2”是“ |a|>|b|”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件15.已知平面α、β、γ两两垂直，直线a、b、c满足：a⊆α，b⊆β，c⊆γ，则直线a、b、c不可能满足以下哪种关系（）A. 两两垂直B. 两两平行C. 两两相交D. 两两异面16.以(a1,0)，(a2,0)为圆心的两圆均过(1,0)，与轴正半轴分别交于(y1,0)，(y2,0)，且满足lny1+lny2=0，则点(1a1,1a2)的轨迹是（）A. 直线B. 圆C. 椭圆D. 双曲线三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）（共5题；共76分）17.如图，在正三棱锥P−ABC中，PA=PB=PC=2，AB=BC=AC=√3．（1）若PB的中点为M，BC的中点为N，求AC与MN的夹角；（2）求P−ABC的体积．18.已知数列{a n}，a1=3，前n项和为S n．（1）若{a n}为等差数列，且a4=15，求S n；（2）若{a n}为等比数列，且limx→∞s n<12，求公比q的取值范围．19.改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比．绝对数（亿占卫生总费用比重占卫生总费用比重绝对数（亿占卫生总费用比重（数据来源于国家统计年鉴）（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：（2）设t=1表示1978年，第n年卫生总费用与年份t之间拟合函数f(t)=357876.60531+e6.4420−0.1136t研究函数f(t)的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．20.已知抛物线方程y2=4x，F为焦点，P为抛物线准线上一点，Q为线段PF与抛物线的交点，定义：d(P)=|PF||FQ|．（1）当P(−1,−83)时，求d(P)；（2）证明：存在常数a，使得2d(P)=|PF|+a；（3）P1，P2，P3为抛物线准线上三点，且|P1P2|=|P2P3|，判断d(P1)+d(P3)与2d(P2)的关系．21.已知等差数列{a n}的公差d∈(0,π]，数列{b n}满足b n=sin(a n)，集合S={x|x=b n,n∈N∗}．（1）若a1=0,d=2π3，求集合S；（2）若a1=π2，求d使得集合S恰好有两个元素；（3）若集合S恰好有三个元素：b n+T=b n，T是不超过7的正整数，求T的所有可能的值．答案解析部分一、<b >填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.【答案】 {3,5} 【考点】交集及其运算 【解析】【解答】解： 集合 A ={1,2,3,4,5} ，B ={3,5,6} ， ∴A ∩B ={3,5} ． 故答案为： {3,5} ．【分析】利用交集的运算法则结合已知条件求出集合A ∩B . 2.【答案】 2【考点】极限及其运算 【解析】【解答】解： lim n→∞2n 2−3n+1n 2−4n+1=limn→∞2−3n +1n 22−4n +1n 2=2 ．故答案为：2．【分析】利用求极限的方法求出数列的极限值。
上海市松江区2021届高三高考数学一模试题
上海市松江区2021届高三高考数学一模试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．3lim 32nn nn →∞=+________.2．若集合{|13}A x x =-<<，{1,2,3,4}B =，则AB =____.3．已知复数z 满足(1)1z i i ⋅-=+(i 为虚数单位)，则z =____. 4．若1sin 3α=，则cos(2)πα-=____. 5．抛物线24y x =-的准线方程为 .6．已知函数()f x 图像与函数()2x g x =的图像关于y x =对称，则(3)f =____. 7．从包含学生甲的1200名学生中随机抽取一个容量为80的样本，则学生甲被抽到的概率___.8．在262()x x+的二项展开式中，常数项等于____.9．在ABC 中，角A ，B ，C 对的边分别为a ，b ，c ，2201c a B+=，则角A =____.10．从以下七个函数：221,,,2,log ,sin ,cos x y x y y x y y x y x y x x=======中选取两个函数记为()f x 和()g x ，构成函数()()()F x f x g x =+，若()F x 的图像如图所示，则()F x =____.11．已知向量||||||1a b c ===，若12a b ⋅=，且c xa yb =+，则x y +的最大值为____.12．对于定义域为D 的函数()f x ，若存在12,x x D ∈且12,x x ≠，使得221212()()2()f x f x f x x ==+，则称函数()f x 具有性质M ，若函数2()|log 1|,g x x =-且(0,]x a ∈有性质M ，则实数a 的最小值为_____.二、单选题13．已知两条直线1l ，2l 的方程为1:10l ax y +-=和2:210l x v -+=，则2a =是“直线12l l ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．在正方体1111ABCD A B C D -中，下列四个结论中错误的是（ ）A ．直线1BC 与直线AC 所成的角为60︒ B ．直线1B C 与平面1AD C 所成的角为60︒ C ．直线1B C 与直线1AD 所成的角为90︒ D ．直线1B C 与直线AB 所成的角为90︒15．设0x >，0y >，若121x y +=，则yx的（ ） A ．最小值为8 B ．最大值为8 C ．最小值为2D ．最大值为216．记n S 为数列{}n a 的前项和，已知点(,)n n a 在直线102y x =-上，若有且只有两个正整数n 满足n S k ≥，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(8,14] B ．(14,18] C ．(18,20] D ．81(18,]4三、解答题17．如图1在三棱柱111ABC A B C -中，已知1,1,2AB AC AB AC AA ⊥===，且1AA ⊥平面ABC ，过11,,A C B 三点作平面截此三棱柱，截得一个三棱锥和一个四棱锥(如图2).（1）求异面直线1BC 与1AA 所成角的大小(结果用反三角函数表示)； （2）求四棱锥11B ACC A -的体积和表面积.18．已知函数2()cos cos 1f x x x x =++. （1）求()f x 的最小正周期和值域；（2）若对任意x ∈R ，2()()20f x k f x -⋅-≤的恒成立，求实数k 的取值范围.19．某网店有(万件)商品，计划在元旦旺季售出商品x (万件)，经市场调查测算，花费t (万元)进行促销后，商品的剩余量3x -与促销费t 之间的关系为31kx t -=+(其中k 为常数)，如果不搞促销活动，只能售出1(万件)商品.（1）要使促销后商品的剩余量不大于0.1(万件)，促销费t 至少为多少(万元)？ （2）已知商品的进价为32(元/件)，另有固定成本3(万元)，定义每件售出商品的平均成本为332x+(元)，若将商品售价定位：“每件售出商品平均成本的1.5倍”与“每件售出商品平均促销费的一半”之和，则当促销费t 为多少(万元)时，该网店售出商品的总利润最大？此时商品的剩余量为多少？20．已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点坐标为(2,0)，且长轴长为短轴长的l 交Γ椭圆于不同的两点M 和N ，（1）求椭圆Γ的方程；（2）若直线l 经过点(0,4)P ，且OMN 的面积为l 的方程； （3）若直线l 的方程为(0)y kx t k =+≠，点M 关于x 轴的对称点为M '，直线MN ，M N '分别与x 轴相交于P ､Q 两点，求证：||||OP OQ ⋅为定值.21．对于由m 个正整数构成的有限集123{,,,,}m M a a a a =，记12()m P M a a a =+++，特别规定()0P ∅=，若集合M 满足：对任意的正整数()k P M ≤，都存在集合M 的两个子集A ､B ，使得()()k P A P B =-成立，则称集合M为“满集”，（1）分别判断集合1{1,2}M =与2{1,4}M =是否为“满集”，请说明理由； （2）若12,,,m a a a 由小到大能排列成公差为d (*d ∈N )的等差数列，求证：集合M 为“满集”的必要条件是11,a =1d =或2； （3）若12,,,m a a a 由小到大能排列成首项为1，公比为2的等比数列，求证：集合M是“满集”参考答案1．1 【分析】利用数列极限的运算法则化简求解即可． 【详解】解：311lim lim 13210213nnn n n n →∞→∞===++⎛⎫+ ⎪⎝⎭故答案为：1． 【点评】本题考查数列极限的运算法则的应用，解题的关键是在分式的分子分母上同时除以3n ,属于基础题． 2．{1,2} 【分析】根据交集定义的运算即可． 【详解】 解：{}|13A x x =-<<，{}1,2,3,4B =，∴{1,2}AB =．故答案为：{1,2}． 【点睛】集合基本运算的方法技巧：（1）当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn 图运算；（2）当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验. 3．1 【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 【详解】解：由(1)1z i i ⋅-=+，得21(1)1(1)(1)i i z i i i i ++===--+， ∴1z =． 故答案为：1． 4．79-【分析】原式利用诱导公式化简后，再利用二倍角的余弦函数公式变形，将sin α的值代入计算即可求出值． 【详解】 因为1sin 3α=， 所以()2227cos(2)cos 212sin 12sin 199παααα-=-=--=-+=-+=-． 故答案为： 79- 5．1 【解析】试题分析：抛物线24y x =-的焦点在x 轴上，且开口向左，24,12p p == ∴抛物线24y x =-的准线方程为x=1，故答案为x=1. 考点：抛物线的性质. 6．2log 3 【分析】由函数()f x 的图象与函数()2xg x =的图象关于直线y x =对称，可得：函数()f x 与函数()2xg x =互为反函数，求出函数解析式，可得答案．【详解】解：∵函数()f x 的图象与函数()2xg x =的图象关于直线y x =对称，∴函数()f x 与函数()2xg x =互为反函数，∴2()log f x x =，∴2(3)log 3f =.故答案为：2log 3． 【点睛】本题考查的知识点是反函数，熟练掌握同底的指数函数和对数函数互为反函数，是解答的关键． 7．115【分析】基本事件总数801200n C =，学生甲被抽到包含的基本事件个数79112001m C C =，由此能求出学生甲被抽到的概率． 【详解】解：从包含学生甲的1200名学生中随机抽取一个容量为80的样本， 基本事件总数801200n C =，学生甲被抽到包含的基本事件个数79112001m C C =，∴学生甲被抽到的概率79111991801200115C C m P n C ===． 故答案为：115． 【点睛】方法点睛：求概率常用的方法是：先定性（六种概率：古典概型的概率、几何概型的概率、独立事件的概率、互斥事件的概率、条件概率和独立重复试验的概率）,再定量. 8．240 【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项． 【详解】解：在622 x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，通项公式为 123162r r r r T C x -+=⋅⋅，令1230r -=，求得4r =，可得展开式的常数项为 4462240C ⋅=，故答案为：240． 【点睛】方法点睛：求二项展开式的某一项，一般利用二项展开式的通项研究求解. 9．56π 【分析】利用行列式的运算法则以及正弦定理，结合两角和与差的三角函数化简求解即可． 【详解】在ABC 中，角,,A B C 对的边分别为,,a b c 2201c a B+=，22cos c a B +=，2sin 2sin cos B C A B +=，()2sin 2sin cos B A B A B ++=，可得cos A =， 因为(0,)A π∈,所以56A π=． 故答案为：56π． 10．2cos x x + 【分析】由函数()F x 的定义域排除1y x=，2log y x =，再由()F x 的图象过定点(0,1)及图象的变化情况，分析2xy =与cos y x =，或2xy =与sin y x =是否经过(0,1)得结论． 【详解】由图象可知，函数()F x 的定义域为R ，故排除1y x=，2log y x =， 又由()F x 的图象过定点(0,1)，由函数()F x 图象，可得当0x >时，()1F x >且为增函数， 当0x <时， ()F x 大于0与小于0交替出现，若()2F x x x =+时，此时函数()F x 的图象不过定点(0,1)，因为2xy =过(0,1)，且当0x >时，1y >，当0x <时，01y <<，若包含cos y x =，当0x =时，1y =，2cos xy x =+不满足过点(0,1)，若包含y x =，此时函数()2xF x x =+不满足0x <时，()F x 大于0与小于0交替出现，若包含2yx ，此时函数()22x F x x =+不满足0x <时，()F x 大于0与小于0交替出现， 所以只有()2sin xF x x =+满足条件．故答案为：2sin x x +．11．3【分析】易知a 与b 的夹角为60°，不妨设(1,0)a =，写出b 与c 的坐标，再由||1c =和基本不等式，即可得解． 【详解】解：∵||||a b =，且12a b ⋅=， ∴a 与b 的夹角为60︒， 设(1,0)a =，则13(,2b =， ∵c xa yb =+，∴1,22c x y y ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭， 又||1c =，∴22112x y y ⎫⎛⎫++=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简得221x xy y ++=，∴22()()14x y x y xy ++-=，当且仅当3x y ==时，等号成立，∴233x y+．．12【分析】设12x x <，由()()2212f x f x =，可得22124x x=，结合()()()21221221222log 2log 2f x x x x x x +=+-=+-可得4211448x x ++=，进而求得1x ，2x ，由此得解．【详解】解：设12x x <，由()()2212f x f x =得，222122log1log 1x x -=-，则2221221log log 1x x -=-，故22212log 2x x =，∴()222212122,42x x x x =<>，又()()()21221221222log 2log 2f x x x x x x +=+-=+-，∴()2221221log 21log x x x +-=-，∵21224x x =，∴222121214log 421log x x x ⎛⎫++-=- ⎪⎝⎭， 则()42211log 443x x ++=，∴4211448x x ++=，1x ∴=2x =a ∴≥a故答案为：【点睛】本题以新定义为载体考查函数性质的运用，旨在考查学生分析问题，解决问题的能力，考查数学运算，逻辑推理等核心素养，属于中档题． 13．C 【分析】根据充分必要条件的定义，分别判断其充分性和必要性即可． 【详解】解：若2a =，则1:10l ax y +-=和2:210l x y -+=，121212k k ⋅=-⨯=-，所以直线12l l ⊥，满足充分性；若直线12l l ⊥，则11(2)0a ⨯+⨯-=，解得2a =，满足必要性． 所以2a =是“直线12l l ⊥”的充要条件． 故选：C ． 14．B 【分析】连接1AB ，求出1ACB ∠可判断选项A ；连接11B D 找出点1B 在平面1AD C ⊥的投影O ，设直线1B C 与平面1AD C 所成的角为θ，由1cos OCB Cθ=可判断选项B ；利用平移法找出选项C 和D 涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解． 【详解】 连接1AB ∵1AB C 为等边三角形，∴160ACB ∠=︒，即直线1B C 与AC 所成的角为60°，故选项A 正确；连接11B D ，∵1111AB B C CD AD ===，∴四面体11AB CD 是正四面体， ∴点1B 在平面1AD C 上的投影为1AD C 的中心，设为点O ，连接1B O ，OC，则3OC BC =， 设直线1B C 与平面1AD C 所成的角为θ，则11cos 2BCOC B C θ===≠，故选项B 错误；连接1BC ，∵11AD BC ，且11B C BC ⊥，∴直线1B C 与1AD 所成的角为90°，故选项C正确；∵AB ⊥平面11BCC B ，∴1AB B C ⊥，即直线1B C 与AB 所成的角为90°，故选项D 正确． 故选：B ． 15．A 【分析】本题首先可根据题意得出0y x>，然后根据121x y +=得出112y x =-，并将yx 转化为2111248x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，最后取14x =，即可得出结果. 【详解】因为0x >，0y >，所以0yx>， 因为121x y +=，所以112y x=-，12x ≠，则22111(12)211248y x x x x xx ===--+⎛⎫--+⎪⎝⎭， 故当14x =时，yx 最小，min 8y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故选：A. 16．C 【分析】由已知可得数列{}n a 为等差数列，首项为8，公差为-2，由等差数列的前n 项和公式可得29n S n n =-+，由二次函数的性质可得4n =或5时，n S 取得最大值为20，根据题意，结合二次函数的图象与性质即可求得k 的取值范围． 【详解】解：由已知可得102n a n =-，由12n n a a --=-，所以数列{}n a 为等差数列，首项为8，公差为-2， 所以2(1)8(2)92n n n S n n n -=+⨯-=-+， 当n =4或5时， n S 取得最大值为20， 因为有且只有两个正整数n 满足n S k ≥， 所以满足条件的4n =和5n =， 因为3618S S ==，所以实数k 的取值范围是(]18,20． 故选：C ． 【点睛】方法点睛：最值范围问题常用的方法有：（1）函数单调性法；（2）数形结合法；（3）导数法；（4）基本不等式法.要根据已知灵活选择合适的方法求解.17．（1）arctan 2；（2）722. 【分析】（1）利用棱柱的几何性质，结合异面直线所成角的定义进行求解即可； （2）利用棱锥的体积公式、表面积公式进行求解即可. 【详解】 （1）∵11AA CC ∴1BC C ∠即为异面直线1BC 与1AA 所成的角，∵1AA ⊥平面ABC ，∴1CC ⊥平面ABC ， ∴190C CB ∠=︒，∵CB ===，12CC =∴1tan C CB ∠=1C CB ∠=即异面直线1BC 与1AA 所成的角为arctan2. （2）四棱锥11B ACC A -的体积为：112141233B ACC A V -=⋅⋅=，四棱锥11B ACC A -的表面积111111BACBAA BA C BC CCAA C S SSSSS =++++11111111212*********=⋅⋅+⋅⋅+⋅+⋅=+++72=+18．（1）最小正周期π，值域为15,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）1710k ≥. 【分析】（1）利用三角恒等变换进行化简，即可求得周期与值域；（2）设()f x t =，由（1）得15,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，转化为二次不等式恒成立问题，分离参数，求取值范围. 【详解】解：（1）2()cos cos 1f x x x x =++cos21133212cos2sin 222262x x x x x π+⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭ ∴()f x 的为最小正周期22T ππ==， 值域为15(),22f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦； （2）记()f x t =，则15,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由2()()20f x k f x -⋅-≤恒成立，知220t kt --≤恒成立，即22kt t ≥-恒成立，∵0t >∴222t t t k t-=-≥.∵2()g t t t =-在15,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时单调递增max 55417()22510g t g ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭∴k 的取值范围是1710k ≥19．（1）19(万元)；（2）当促销费为7万元时，网店利润的最大为42万元，此时商品的剩余量为0.25(万件). 【分析】（1）可得当0t =时，1x=，解得2k =，则可列不等式求出； （2）根据题意可列出y 关于t 的函数关系，再利用基本不等式可求出. 【详解】 解：（1）由31k x t -=+，当0t =时，1x=，得2k =，∴231x t -=+， 由20.11t ≤+，解得19t ≥， 所以促销费至少为19万元；（2）网店的利润y (万元)，由题意可得：332 1.52(332)xt x x y x x t +⎛⎫⋅+-+ ⎪⎭+⎝=99323215021212t t t t +⎛⎫=--=-+ ⎪++⎝⎭50≤-42=， 当且仅当32112t t +=+，即7t =时取等号，此时30.25x -=； 所以当促销费为7万元时，网店利润的最大为42万元，此时商品的剩余量为0.25(万件).20．（1）22184x y +=；（2）4y x =+；（3）证明见解析. 【分析】（1）根据题意，结合,,a b c 的关系即可求得椭圆的方程；（2）设出直线l 的方程为4y kx =+，与椭圆方程联立，然后根据韦达定理以及面积计算公式，表示出OMN 的面积并等于求解k 的值，即可得直线l 的方程；（3）由已知得M '的坐标，联立直线与椭圆方程，写出韦达定理，并求出直线M N '的方程，令0y =，求出x ，即可得||OQ ，并根据直线方程求出||OP ，然后相乘代入化简即可. 【详解】解：（1）由题意得a =，224a b -=，解得a =2b =，所以椭圆Γ的方程为22184x y +=.（2）设点M ，N 的坐标为11(,)M x y ､22(,)N x y ，由题意可知，直线l 的斜率存在 设直线l 的方程为4y kx =+.由方程组224184y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(12)16240k x kx +++=所以1221612k x x k +=-+，1222412x x k =+12142OMNS x x =⋅⋅-===△ 解得2k =±.∴直线l 的方程为42y x =±+（3）由题意知M '点的坐标为11(,)M x y '-将y kx t =+，代入22184x y +=得：222(21)4280k x ktx t +++-=，∴122421kt x x k +=-+，21222821t x x k -=+12122()221ty y k x x t k 2+=++=+ 对于直线y kx t =+，令0y =得tx k=-∴||t OP k =-对于直线M N '：212221()y y y y x x x x +-=--，令0y =得()()()221122112212212121y x x x kx t x kx t x y x y x x y y y y y y --++++=+==+++ ()12122128kx x t x x ky y t++==-+，∴8||k OQ t =-88t kk tOP OQ -⋅-⋅==. 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21．（1）集合1M 是“满集”，集合2M 不是“满集”，理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】（1）分别求出1M 和2M 的子集，根据满集的定义说明即可； （2）012()m k P M a a a ==+++，对任意的正整数0k k ≤，都存在集合M 的两个子集A ，B ，使得()()k P A P B =-成立，当01k k =-时，可得0()P A k =或0()1P A k =-，可得11a =，又3d ≥时，不存在M 的子集A ，B ，使得03()()k k P A P B =-=-，可得1,2d =； （3）可以数学归纳法证明. 【详解】（1）集合1M 是“满集”，集合2M 不是“满集”.对于集合1M ，1()123P M =+=，且1M 共有4个子集：∅，{1}，{2}，{1,2}当k 分别取1，2，3时，由1({1})()P P =-∅；2({2})()P P =-∅；3({1,2})()P P =-∅； 故1M 是“满集”；对于集合2M ，1()145P M =+=，且1M 共有4个子集：∅，{1}，{4}，{1,4} 当2k =时，不存在{1,4}的两个子集A ，B ，使得()()2P A P B -=，故2M 不是“满集”；（2）∵1a ，2a ，…，m a 由小到大能排列成公差为d (*d ∈N )的等差数列， ∴12m a a a <<<，记012()m k P M a a a ==+++∵M 为“满集”，∴对任意的正整数0k k ≤，都存在集合M 的两个子集A ，B ，使得()()k P A P B =-成立， 当01k k =-时，由01()()k P A P B -=-，及()0P B ≥知0()P A k =或0()1P A k =-， 若0()P A k =，则()1P B =，∴11a =，此时123{,,,,}m A a a a a =⋯，1{}B a =若0()1P A k =-，则A M ⊂，在M 的真子集中，23()m P A a a a =+++最大，必有11a =，此时23,,,m A a a a =，B =∅.综上可得：∴11a =若3d ≥，当03k k =-时，∵0000(0)(1)((1)1)((1))k k k k k d ->->-->>-+>，∴不存在M 的子集A ，B ，使得03()()k k P A P B =-=-，∴1,2d =， 综合得：集合M 为“满集”的必要条件是，d =1或2；（3）可得12,1,2,,n n a n m -==，下面用数学归纳法证明：任意m N *∈，任意0()k P M ，存在M 的一个子集A ，使得()P A k =， 当1m =时显然成立， 设m n =时结论也成立，那么当1m n =+时，任意的121()n k P M a a a +=+++，如果12n k a a a +++，根据归纳假设，存在{}12,,,n a a a ⋯的一个子集A 使得()P A k =，此时A 也是M 的一个子集，结论成立， 如果111212221n n n k a a a ->+++=+++=-，那么11n k a +->-，又112121n n k a a a ++≤+++=-，所以1122121n n nn k a ++---=-，所以11210n n k a a a a ++-+++，根据归纳假设，存在{}12,,,n a a a ⋯的子集0A 使得()01n P A k a +=-， 再令{}10,()n A a A P A k +=⋃=，结论成立，所以任意0()k P M ，存在M 的一个子集A ，使得()P A k =， 再令B =∅，则()()P A P B k -=， 所以集合M 是“满集”. 【点睛】本题考查集合的新定义问题和数列的应用，解题的关键是正确理解满集的定义.。
上海市闵行区2021届高三一模考试数学试卷(有答案)
上海市闵行区2021届高三一模考试数学试卷一、选择题1.若a 为实数，则“1a <”是“11a>”的 ( ) A. 充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D. 既非充分也非必要条件2.若lg2a =，lg3b =，则5log 12等于( ) A.21a b a++ B.21a b a+ C.21a b a+- D.21a b a- 3.已知点P 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>右支上一点，点1F ，2F 分别为双曲线的左右焦点，点I是12PF F △的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有1212IPF IPF IF F S S -=△△△,则双曲线的渐近线方程是（ ）A.y x =±B.y =C.y =D.y =4.如图，正四棱锥P ABCD -的底面边长和高均为2，M 是侧棱PC 的中点，若过AM 作该正四棱锥的截面，分别交棱PB PD 、于点E F 、（可与端点重合），则四棱锥P AEM F -的体积的取值范围是（ ）A. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.8,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题5.已知集合A *=N ， {215}B x x =-<，则AB =__________．（用列举法表示）6.已知复数z 满足i 2i z =+（i 为虚数单位），则z =___________.7.若函数()21x f x =+的图像与()g x 的图像关于直线y x =对称，则(9)g =____________. 8.若πtan()34α+=-，则tan α=____________.9.在()612x -的二项展开式中，3x 项的系数为__________．（用数字作答）10.如图，已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，高为3，则异面直线1AA 与1BD 所成角的大小是_____________.11.新冠病毒爆发初期，全国支援武汉的活动中，需要从A 医院某科室的6名男医生（含一名主任医师）、 4名女医生（含一名主任医师）中分别选派3名男医生和 2名女医生，要求至少有一名主任医师参加，则不同的选派方案共有__________种．（用数字作答）12.设12{21 2}33k ∈--，，，，，若(10)(0 1)x ∈-，，，且||k x x >，则k 取值的集合是__________. 13.已知定义在[0,)∞+上的函数()f x 满足()()151,0222,2x x f x f x x ⎧--≤<⎪=⎨--≥⎪⎩.设()f x 在[)()*22,2n n n -∈N 上的最大值记作n a ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则n S 的最大值为________________. 14.已知 2n n ∈≥N ，，函数2333n ny x n n =+++的图像与y 轴相交于点n A 、与函数1log (4)ny x =-的图像相交于点n B ，n n OA B △的面积为n S (O 为坐标原点)，则lim n n S →∞=________.15.已知平面向量,,a b c ，对任意实数t ，都有b ta b a -≥-，b tc b c -≥-成立．若3a =，2c =，7a c -=，则b =_____________. 16.已知函数()1f x x x=+，给出下列命题： ①存在实数a ，使得函数()()y f x f x a =+-为奇函数；②对任意实数a ，均存在实数m ，使得函数()()y f x f x a =+-关于x m =对称； ③若对任意非零实数a ， ()()f x f x a k +-≥都成立，则实数k 的取值范围为(],4-∞； ④存在实数k ，使得函数()()y f x f x a k =+--对任意非零实数a 均存在6个零点. 其中的真命题是__________.（写出所有真命题的序号）三、解答题17.如图，在圆柱1OO 中，AB 是圆柱的母线，BC 是圆柱的底面O 的直径，D 是底面圆周上异于B C 、的点．（1）求证： CD ⊥平面ABD ；（2）若2BD =，4CD =，6AC =，求圆柱1OO 的侧面积． 18.已知函数2()cos 222x x xf x =+（1）求函数在区间[]0,π上的值域；（2）若方程(0)f x ωω>在区间[]0,π上至少有两个不同的解，求ω的取值范围． 19.大数据时代对于数据分析能力的要求越来越高，数据拟合是一种把现有数据通过数学方法来代入某种算式的表示方式．比如()(1 2 3 ) i i i A a b i n =，，，，，是平面直角坐标系上的一系列点，其中n 是不小于2的正整数，用函数()y f x =来拟合该组数据，尽可能使得函数图像与点列) (i i i A a b ，比较接近．其中一种衡量接近程度的指标是函数的拟合误差，拟合误差越小越好，定义函数()y f x =的拟合误差为：22211221(())[(())(())(()])n n f x f a b f a b f a b n∆=-+-++-． 已知在平面直角坐标系上，有5个点的坐标数据如下表所示：（1）若用函数14()5f x x x -+=来拟合上述表格中的数据，求1(())f x ∆； （2）若用函数|2|2()2x f x m -=+来拟合上述表格中的数据．①求该函数的拟合误差2(())f x ∆的最小值，并求出此时的函数解析式2()y f x =； ②指出用12(),()f x f x 中的哪一个函数来拟合上述表格中的数据更好？20.已知椭圆22221(0)x y a b a bΓ+=>>：过点(0 2)，，其长轴长、焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列．直线l 与x 轴的正半轴和y 轴分别交于点 Q P 、，与椭圆Γ相交于两点 M N 、，各点互不重合，且满足12 PM MQ PN NQ λλ==，． （1）求椭圆Γ的标准方程； （2）若直线l 的方程为1y x =-+，求1211λλ+的值；()f x（3）若123λλ+=-，试证明直线l 恒过定点，并求此定点的坐标．21.已知数列{}n a 与{}n b 满足()11n n n n a a b b λ++-=-（λ为非零常数），n *∈Ν. （1）若{}n b 是等差数列，求证：数列{}n a 也是等差数列； （2）若1π2,3,sin 2n n a b λ===，求数列{}n a 的前2021项和； （3）设11a b λ==，22b λ=，12(3,)2n n n b b b n n *--+=≥∈N ，若对{}n a 中的任意两项i a ，()*,j a i j i j ∈≠N ，，2i j a a -<都成立，求实数λ的取值范围．参考答案1.答案：B 解析：2.答案：C 解析：3.答案：D 解析：4.答案：D 解析：5.答案：{}1,2 解析：6.答案：12i - 解析：7.答案：3 解析：8.答案：2 解析：9.答案：160- 解析：10.答案：arctan 3解析： 11.答案：90 解析：12.答案：22,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭解析： 13.答案：64 解析： 14.答案：6 解析：15.解析： 16.答案：②③ 解析：17.答案：（1）由已知可知AB ⊥平面BCD ，CD 平面BCD ，AB CD ∴⊥点D 是O 上异于B 、C 的点，BC 是O 的直径， 所以CD BD ⊥， 又ABBD B =，∴ CD ⊥平面ABD（2）在Rt BDC △中，2BD =，4CD =，90BDC ∠=︒，∴BC =∴4AB =∴圆柱1O O 的侧面积为：S BC AB π=⋅⋅=侧．解析：18.答案：（1）()f x x x =+， 所以π()2sin()4f x x =+，因为函数在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，在π,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，所以当π4x =时，()f x 的最大值为2，当x π=时，()f x 的最小值为所以函数()f x 的值域为[2]． （2）π()2sin()(0)4f x x ωωω=+>由(f x ω得πsin(4x ω+所以ππ=2π43x k ω++或π2π=2π()43x k k ω++∈Z所以2ππ=12k x ωω+或2π5π=()12k x k ωωω+∈Z ．由于方程(0)f x ωω>在区间[]0,π上至少有两个不同的解， 所以只需[]π5π,0,π1212ωω∈， 解得512ω≥，所以ω的取值范围为5,12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 解析：19.答案：（1）若用函数()221()4521f x x x x =-+=-+来拟合上述表格中的数据，则2222211(())[(2 2.2)(11)(22)(5 4.6)(107)]5f x ∆=-+-+-+-+-222221(0.2000.43) 1.845=++++=； （2）①若用函数|2|2()2x f x m -=+来拟合上述表格中的数据，则|12|2|22|2|32|2|42|2|52|221(())[(2 2.2)(21)(22)(2 4.6)(27)5]f x m m m m m -----∆=+-++-++-++-++-220.080.28(0.04)0.27840.2784m m m =+≥++=+，则当0.04m =-时，2(())f x ∆的最小值为0.2784，此时22()20.04x f x -=-｜｜. ②由上可知，1(())f x ∆= 1.84=，2(())f x ∆=20.080.28m m =++比较1(())f x ∆与2(())f x ∆，发现当2525m <<时，1(())f x ∆>2(())f x ∆，此时用22()2x f x m -=+｜｜来拟合上述表格中的数据更好；当25m =251(())f x ∆=2(())f x ∆，用12()()f x f x 、拟合效果一样；当125m +<-或125m >时，1(())f x ∆<2(())f x ∆，此时用21()45f x x x =-+来拟合上述表格中的数据更好. 解析：20.答案：（1）∵椭圆2222 1(0)x y a b a bΓ+=>>：过点(0 2)，，2b =，设焦距为2c ，由条件得222(2)(2)2(2)a b c +=， 又222a b c =+，解得212a =．∴椭圆Γ的标准方程为221124x y +=．（2）由题意，(0 1) (1 0)P Q ，，，，设1122() ()M x y N x y ，，，， ∵12 PM MQ PN NQ λλ==，， ∴1111122222()(1) 1 1 ()(1)x y x y x y x y λλ--=--=--，，，，，， 从而111222(1) (1)x x x x λλ=-=-，，于是12121211x xx x λλ==--，， ∴12121212111122x x x x x x λλ++=+-=-， 由2212411y x x y =-+⎧+=⎪⎨⎪⎩得，24690x x --=，∴121239 24x x x x +==-，，∴1212121211118223x x x x x x λλ++=+-=-=-； （3）显然直线l 的斜率k 存在且不为零，设直线l 的方程为()()0y k x m m =->，1122() ()M x y N x y ，，，， 则：(0,) ( ,0) P km Q m -，由1PM MQ λ=得11111()() x y km m x y λ+=--，，，注意到1x m ≠ ∴()111x x m λ=-，从而111x m x λ=-，同理222x m x λ=-， 又123λλ+=-，∴212122()30x x m x x m -++=①，联立221124()x y y k x m ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得22222(13)63120k x k mx k m +-+-=，则()42222222364(13)(312)121240k m k k m k k m -∆=+-=+->②，且2221212226312,1313k m k m x x x x k k -+==++③③代入①得2222222231263122300131313k m k m m m m k k k---⋅+=⇒=+++，∴2m =，（满足②）故直线l 的方程为()2y k x =-，所以直线l 恒过定点(2 0)，．另解：由题意设01122 (0 ) (0) () ()P m Q x M x y N x y ，，，，，，，， 由1PM MQ λ=，知111011() () x y m x x y λ-=--，，，注意到120y y ≠ ∴111y m y λ-=-，从而111m y λ=-，同理221my λ=-， 又123λλ+=-，∴1212()0y y m y y ++=①，显然直线l 的斜率k 存在且不为零，不妨设直线l 的方程为()x t y m =-， 联立221124()x y x t y m ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得22222(3)2120t y mt y t m +-+-=，则2422244(3)(12)0m t t t m ∆=-+->②，且222121222212,33mt t m y y y y t t -+==++③，…14分③代入①得22221220t m m t -+=，2()4mt ∴=， ∵直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于点 Q P 、， ∴0mt ->，2mt ∴=-（满足②），直线l 的方程为2x ty =+，所以直线l 恒过定点(2 0)，． 解析：21.答案：（1）设{}n b 的公差为d ，则()11()n n n n a a b b d n λλ*++-=-=∈N ，故数列{}n a 是等差数列；（2）由πsin 2n n b =，可知{}n b 是周期为4的数列，即4n n b b +=；由()()()()44332211n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ++++++++-=-+-+-+-()()()()43+32+21+1n n n n n n n n b b b b b b b b λλλλ++++=-+-+-+- ()40n n b b λ+=-=，即{}n a 也是周期为4的数列. 又由12,sin2n n a b π==，()113n n n n a a b b ++-=-可求： 21a =-，34a =-，41a =-， 412344S a a a a =+++=-，所以()()2021123452018201920202021S a a a a a a a a a =+++++++++145052018a S =+=-.（3）由12(3,)2n n n b b b n n *--+=≥∈N 得()111(2,)2n n n n b b b b n n *+--=--≥∈N ，即{}1n n b b +-是以212b b λ-=-为首项，12-为公比的等比数列， 则1111222n nn n b b λλ-+⎛⎫⎛⎫-=-⋅-=⋅- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以()()()112211n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+12111222n n λλλλ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-++⋅-+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111221133212n n λλλ-⎡⎤⎛⎫⋅--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=⋅=+- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭.则122111323n n n a b a b λλλλλ-⎛⎫=+-=-+-⎪⎝⎭.当n 为奇数时，1221323n n a λλλ-⎛⎫=+-⎪⎝⎭单调递减，且23n a λλλ-<≤； 当n 为偶数时，1221323n n a λλλ-⎛⎫=-+-⎪⎝⎭单调递增，且2223n a λλλλ-≤<-；因为0λ≠，故2223λλλλλ-<-<，所以{}n a 的最大值为1a λ=，最小值为222a λλ=-，因为对{}n a 中的任意两项i a ，()*,j a i j ∈N ，2i j a a -<都成立， 所以122a a -<， 解得()()2,00,2λ∈-综上，λ的取值范围是()()2,00,2-.。
上海市虹口区2021届高三一模数学试卷(含解析)
上海市虹口区2021届高三一模数学试卷一.填空题（本大题共12题，1～6每题4分，7～12每题5分，共54分）1．已知集合A＝{x|x+3＞0，x∈R}，B＝{x|x2+2x﹣8＜0，x∈R}，则A∩B＝．2．方程x2+2x+2＝0的根是．3．行列式的值等于．4．函数f（x）＝log2（2x+4）的反函数为y＝f﹣1（x），则f﹣1（4）＝．5．从甲、乙、丙、丁4名同学中选2名同学参加志愿者服务，则甲、乙两人都没有被选到的概率为.（用数字作答）6．在（2x+1）8的二项式展开式中，x2项的系数是．7．计算：＝．8．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点作与抛物线对称轴垂直的直线交抛物线于A、B两点，且|AB|＝4，则p ＝．9．已知α∈（0，π），且有1﹣2sin2α＝cos2α，则cosα＝．10．设F1、F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P在双曲线右支上且满足|PF2|＝|F1F2|，双曲线的渐近线方程为4x±3y＝0，则cos∠PF1F2＝．11．若a、b分别是正数p、q的算术平均数和几何平均数，且a、b、﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q+pq的值形成的集合是．12．已知数列{a n}满足a1＝﹣2，且S n＝+n（其中S n为数列{a n}前n项和），f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（2﹣x）＝f（x），则f（a2021）＝．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．若a＞b，则下列各式中恒正的是（）A．lg（a﹣b）B．a3﹣b3C．0.5a﹣0.5b D．|a|﹣|b|14．在△ABC中，若•+＝0，则△ABC的形状一定是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形15．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y＝b（0＜b＜A）的三个相邻交点的横坐标依次是1、2、4，下列区间是函数f（x）单调递增区间的是（）A．[0，3]B．C．[3，6]D．16．在空间，已知直线l及不在l上两个不重合的点A、B，过直线l做平面α，使得点A、B到平面α的距离相等，则这样的平面α的个数不可能是（）A．1个B．2个C．3个D．无数个三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图在三棱锥P﹣ABC中，棱AB、AC、AP两两垂直，AB＝AC＝AP＝3，点M在AP上，且AM＝1．（1）求异面直线BM和PC所成的角的大小；（2）求三棱锥P﹣BMC的体积．18．（14分）已知函数f（x）＝（a+1）x2+（a﹣1）x+（a2﹣1），其中a∈R．（1）当f（x）是奇函数时，求实数a的值；（2）当函数f（x）在[2，+∞）上单调递增时，求实数a的取值范围．19．（16分）如图所示，A、B两处各有一个垃圾中转站，B在A的正东方向16km处，AB的南面为居民生活区，为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的北面P处建一个发电厂，利用垃圾发电，要求发电厂到两个垃圾中转站的距离（单位：km）与它们每天集中的生活垃圾量（单位：吨）成反比，现估测得A、B两处中转站每天集中的生活垃圾量分别为约为30吨和50吨．（1）当AP＝15km时，求∠APB的值；（2）发电厂尽量远离居民区，要求△P AB的面积最大，问此时发电厂与两个垃圾中转站的距离各为多少？20．（14分）已知点A（﹣1，0）、B（1，0），直线l：ax+by+c＝0（其中a，b，c∈R），点P在直线l上．（1）若a、b、c是常数列，求|PB|的最小值；（2）若a、b、c是成等差数列，且P A⊥l，求|PB|的最大值；（3）若a、b、c是成等比数列，且P A⊥l，求|PB|的取值范围．21．（18分）设x是实数，n是整数，若，则称n是数轴上与x最接近的整数．（1）数列{a n}的通项为a n，且对任意的正整数n，n是数轴上与a n最接近的整数，写出一个满足条件的数列{a n}的前三项；（2）数列{a n}的通项公式为a n＝n，其前n项和为S n，求证：整数a n是数轴上与实数最接近的整数；（3）T n是首项为2，公比为的等比数列的前n项和，d n是数轴上与T n最接近的正整数，求d1+d2+…+d2020．上海市虹口区2021届高三一模数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1～6每题4分，7～12每题5分，共54分）1．已知集合A＝{x|x+3＞0，x∈R}，B＝{x|x2+2x﹣8＜0，x∈R}，则A∩B＝（﹣3，2）．【分析】解关于A，B的不等式，求出A，B的交集即可．【解答】解：∵A＝{x|x+3＞0，x∈R}＝{x|x＞﹣3}，B＝{x|x2+2x﹣8＜0，x∈R}＝{x|﹣4＜x＜2}∴A∩B＝{x|﹣3＜x＜2}，故答案为：（﹣3，2）．【点评】本题考查了集合的交集的运算，考查不等式问题，是一道基础题．2．方程x2+2x+2＝0的根是﹣1±i．【分析】先求出方程的判别式，再利用求根公式即可求解．【解答】解：因为判别式△＝4﹣8＝﹣4，所以由一元二次方程的求根公式可得方程的根为＝＝﹣1±i，故答案为：﹣1±i．【点评】本题考查了一元二次方程根的问题，涉及到复数问题，属于基础题．3．行列式的值等于1．【分析】利用行列式的计算公式即可得出．【解答】解：＝sinα（sinα+cosα）﹣cosα（sinα﹣cosα）＝sin2α+sinαcosα﹣cosαsinα+cos2α＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了行列式的计算公式，考查计算能力，属于基础题．4．函数f（x）＝log2（2x+4）的反函数为y＝f﹣1（x），则f﹣1（4）＝6．【分析】由原函数的值域与其反函数的定义域的关系得对数方程，求解得答案．【解答】解：∵函数f（x）＝log2（2x+4）的反函数为y＝f﹣1（x），要求f﹣1（4）的值，即可求使得log2（2x+4）＝4的x值，由log2（2x+4）＝4，得2x+4＝16，则x＝6．∴f﹣1（4）＝6．故答案为：6．【点评】本题考查函数与其反函数间的关系，是基础的计算题．5．从甲、乙、丙、丁4名同学中选2名同学参加志愿者服务，则甲、乙两人都没有被选到的概率为.（用数字作答）【分析】根据题意，由组合数公式计算从4人中选出2人的情况数目，而甲、乙两人都没有被选到，即丙丁被选到的情况有1种，由古典概型公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，从甲、乙、丙、丁4名同学中选2名同学参加志愿者服务，有C42＝6种选法，则甲、乙两人都没有被选到，即丙丁被选到的情况有1种，则甲、乙两人都没有被选到的概率P＝，故答案为：．【点评】本题考查概率的计算，涉及组函数公式的应用，属于基础题．6．在（2x+1）8的二项式展开式中，x2项的系数是112．【分析】根据题意，求出（2x+1）8的展开式通项，分析可得当r＝6时，有T7＝C82（2x）2＝112x2，即可得答案．【解答】解：根据题意，（2x+1）8的展开式通项为T r+1＝C8r（2x）8﹣r，当r＝6时，有T7＝C82（2x）2＝112x2，即x2项的系数是112，故答案为：112．【点评】本题考查二项式定理的应用，注意二项式定理的形式，属于基础题．7．计算：＝2．【分析】当n→+∞时，去绝对值，然后分子分母同时除以n，则极限值可求．【解答】解：＝＝．故答案为：2．【点评】本题考查数列的极限及其运算，是基础题．8．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点作与抛物线对称轴垂直的直线交抛物线于A、B两点，且|AB|＝4，则p ＝2．【分析】求得抛物线的焦点，可得直线AB的方程，与抛物线的方程联立，求得|AB|，解方程可得p的值．【解答】解：抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为（，0），可得直线AB的方程为x＝，代入抛物线方程可得y2＝p2，即y＝±p，即有|AB|＝2p＝4，解得p＝2，故答案为：2．【点评】本题考查抛物线的方程和性质，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于基础题．9．已知α∈（0，π），且有1﹣2sin2α＝cos2α，则cosα＝．【分析】由二倍角公式和同角的三角函数关系，计算即可．【解答】解：由1﹣2sin2α＝cos2α，得1﹣cos2α＝2sin2α，即2sin2α＝4sinαcosα；又α∈（0，π），所以sinα≠0，所以sinα＝2cosα＞0；由sin2α+cos2α＝（2cosα）2+cos2α＝5cos2α＝1，解得cosα＝．故答案为：．【点评】本题考查了三角恒等变换与三角函数求值问题，是基础题．10．设F1、F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P在双曲线右支上且满足|PF2|＝|F1F2|，双曲线的渐近线方程为4x±3y＝0，则cos∠PF1F2＝．【分析】设双曲线的半焦距为c，求得双曲线的渐近线方程可得a，b，c的关系，求出△PF1F2的三条边，运用余弦定理可求cos∠PF1F2值．【解答】解：设双曲线的半焦距为c，由双曲线的渐近线方程，可得＝，则c＝＝＝a，在△PF1F2中，|PF2|＝|F1F2|＝2c，|PF1|＝2c+2a，由余弦定理可得cos∠PF1F2＝＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，以及三角形的余弦定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．11．若a、b分别是正数p、q的算术平均数和几何平均数，且a、b、﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q+pq的值形成的集合是{9}．【分析】由算术平均数和几何平均数的定义求出a＝，b＝，且a≥b＞﹣2，再由a、b、﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，列出方程组求出a＝4，b＝1，由此能求出p+q+pq的值形成的集合．【解答】解：∵a、b分别是正数p、q的算术平均数和几何平均数，∴a＝，b＝，且a≥b＞﹣2，∵a、b、﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，∴，解得a＝4，b＝1，∴p+q＝8，pq＝1，∴p+q+pq＝9，∴p+q+pq的值形成的集合是{9}．故答案为：{9}．【点评】本题考查满足条件的集合的求法，考查算术平均数、几何平均数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．已知数列{a n}满足a1＝﹣2，且S n＝+n（其中S n为数列{a n}前n项和），f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（2﹣x）＝f（x），则f（a2021）＝0．【分析】由a n＝S n﹣S n﹣1，可推出a n＝﹣3n+1；由f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（2﹣x）＝f （x），可推出f（x）的周期性；再结合二项式定理，可证得a2021除4后余2，故f（a2021）＝f（2），从而得解．【解答】解：∵S n＝+n，∴S n﹣1＝a n﹣1+n﹣1（n≥2），两式相减得，a n＝S n﹣S n﹣1＝a n﹣a n﹣1+1，化简整理得，a﹣1＝3（a﹣1），∴＝3，即数列{a n﹣1}是以﹣3为首项，3为公比的等比数列，∴a n﹣1＝﹣3•3n﹣1＝﹣3n，∴a n＝﹣3n+1．∵f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（2﹣x）＝f（x），∴令x＝2，则f（2）＝f（0）＝0，令x＝x﹣2，则f（4﹣x）＝f（x﹣2）＝﹣f（2﹣x），∴f（4﹣x）＝﹣f（x）＝f（﹣x），即f（x）是以4为周期的周期函数．∵a2021＝﹣32021+1＝﹣（4﹣1）2021+1＝﹣[42021•（﹣1）0+42020•（﹣1）1+…+41•（﹣1）2020+40•（﹣1）2021]+1＝﹣[42021•（﹣1）0+42020•（﹣1）1+…+41•（﹣1）2020]+2，其中42021•（﹣1）0+42020•（﹣1）1+…+41•（﹣1）2020能被4整除，∴f（a2021）＝f（﹣32021+1）＝f（2）＝0．故答案为：0．【点评】本题考查数列通项公式的求法、函数的周期性，以及二项式定理，考查学生灵活运用知识的能力，逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．若a＞b，则下列各式中恒正的是（）A．lg（a﹣b）B．a3﹣b3C．0.5a﹣0.5b D．|a|﹣|b|【分析】对于选项A，D，分别给a，b取特殊值验证不成立即可，对于选项B，根据幂函数的单调性判断即可，选项C，根据指数函数的单调性判断即可求解．【解答】解：选项A：令a＝1，b＝，则a﹣b＝，而lg＝﹣lg2＜0，A错误，选项B：因为函数y＝x3在R上单调递增，又a＞b，所以有a3＞b3，则a3﹣b3＞0，B正确，选项C：因为函数y＝0.5x在R上单调递减，又a＞b，所以有0.5a＜0.5b，即0.5a﹣0.5b＜0，C错误，选项D：令a＝1，b＝﹣2，则|a|﹣|b|＝1﹣2＝﹣1＜0，D错误，故选：B．【点评】本题考查了幂函数以及指数函数的单调性，考查了特殊值法，属于基础题．14．在△ABC中，若•+＝0，则△ABC的形状一定是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【分析】由条件求得•＝0，可得⊥，故∠A＝，由此可得△ABC的形状．【解答】解：在△ABC中，•+＝•（+）＝•＝0，∴⊥，∴∠A＝，则△ABC为直角三角形，故选：B．【点评】本题主要考查两个向量垂直的条件，三角形形状的判定，属于基础题．15．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y＝b（0＜b＜A）的三个相邻交点的横坐标依次是1、2、4，下列区间是函数f（x）单调递增区间的是（）A．[0，3]B．C．[3，6]D．【分析】三角函数的图象与直线y＝b（0＜b＜A）的三个相邻交点的横坐标分别是1，2，4，至少提供两个方面的信息①第一个交点与第三个交点的差是一个周期；②第一个交点与第二个交点的中点横坐标对应的函数值是最大值或最小值，从这两个方面考虑求得参数ω，φ，然后求出函数f（x）单调递增区间．【解答】解：与直线y＝b（0＜b＜A）的三个相邻交点的横坐标分别是1，2，4，知函数的周期为T＝＝4﹣1＝3，解得ω＝，再由三角函数的图象与直线y＝b（0＜b＜A）知，1与2的中点必为函数的最大值的横坐标，由五点法知×+φ＝，解得φ＝﹣，∴f（x）＝A sin（x﹣）＝﹣A cos（x），令2kπ≤x≤2kπ+π，k∈Z，解得3k≤x≤3k+，k∈Z，∴当k＝0时，f（x）的单调递增区间是[3，]．故选：D．【点评】本题考查了三角函数的解析式以及三角函数的图象与性质，属中档题．16．在空间，已知直线l及不在l上两个不重合的点A、B，过直线l做平面α，使得点A、B到平面α的距离相等，则这样的平面α的个数不可能是（）A．1个B．2个C．3个D．无数个【分析】通过直线AB与直线l的位置关系，画出图形，判断平面α的个数即可．【解答】解：①如图：当直线AB与l异面时，则只有一种情况；②当直线AB与l平行时，则由无数种情况，平面α可以绕着l转动；③如图，当直线l在AB的中垂面时，有两种情况．故选：C．【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系的应用，平面的基本性质的应用，是中档题．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图在三棱锥P﹣ABC中，棱AB、AC、AP两两垂直，AB＝AC＝AP＝3，点M在AP上，且AM＝1．（1）求异面直线BM和PC所成的角的大小；（2）求三棱锥P﹣BMC的体积．【分析】（1）在AC上取点N，使AN＝AC＝1，易知∠BMN或其补角即为所求，在△BMN中，由余弦定理，即可得解；（2）由V＝V P﹣ABC﹣V M﹣ABC，即可得解．【解答】解：（1）在AC上取点N，使AN＝AC＝1，连接MN，BN，∵AP＝3，AM＝1，∴MN∥PC，∴∠BMN或其补角即为异面直线BM和PC所成的角，在△BMN中，BM＝，MN＝，BN＝，由余弦定理知，cos∠BMN＝＝＝，∴∠BMN＝arccos，∴异面直线BM和PC所成的角的大小为arccos．（2）V＝V P﹣ABC﹣V M﹣ABC＝S△ABC•（AP﹣AM）＝××3×3×2＝3，故三棱锥P﹣BMC的体积为3．【点评】本题考查棱锥的体积、异面直线夹角的求法，利用平移的思想，找出异面直线的夹角，以及灵活运用割补法求体积是解题的关键，考查学生的空间立体感和运算求解能力，属于基础题．18．（14分）已知函数f（x）＝（a+1）x2+（a﹣1）x+（a2﹣1），其中a∈R．（1）当f（x）是奇函数时，求实数a的值；（2）当函数f（x）在[2，+∞）上单调递增时，求实数a的取值范围．【分析】（1）结合奇函数的定义代入即可直接求解；（2）分a+1＝0和a+1≠0两种情况讨论，利用二次函数的图象与性质即可求解．【解答】解：（1）由函数f（x）为奇函数可得f（﹣x）＝﹣f（x），则（a+1）（﹣x）2+（a﹣1）（﹣x）+（a2﹣1）＝﹣（a+1）x2﹣（a﹣1）x﹣（a2﹣1），所以，解得a＝﹣1．（2）当a＝﹣1时，f（x）＝﹣2x，为减函数，不符合题意；当a≠﹣1时，函数f（x）＝（a+1）x2+（a﹣1）x+（a2﹣1）的对称轴为x＝﹣，因为函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，所以，解得a．综上，实数a的取值范围是．【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，考查二次函数的图象与性质的应用，属于中档题．19．（16分）如图所示，A、B两处各有一个垃圾中转站，B在A的正东方向16km处，AB的南面为居民生活区，为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的北面P处建一个发电厂，利用垃圾发电，要求发电厂到两个垃圾中转站的距离（单位：km）与它们每天集中的生活垃圾量（单位：吨）成反比，现估测得A、B两处中转站每天集中的生活垃圾量分别为约为30吨和50吨．（1）当AP＝15km时，求∠APB的值；（2）发电厂尽量远离居民区，要求△P AB的面积最大，问此时发电厂与两个垃圾中转站的距离各为多少？【分析】（1）由题意可求得PB＝9，利用余弦定理可求cos∠APB的值，进而可求∠APB＝arccos．（2）设P A＝5x，则PB＝3x，利用余弦定理可求cos∠P AB＝+，利用同角三角函数基本关系式可得sin∠P AB＝，进而可求P到AB距离h＝，利用二次函数的性质即可求解．【解答】解：（1）由题意P A＝15，，可得PB＝9，可得cos∠APB＝＝＝，所以∠APB＝arccos．（2）cos∠P AB＝，设P A＝5x，则PB＝3x，可得cos∠P AB＝+，可得sin∠P AB＝，P到AB距离h＝P A sin∠P AB，h＝5＝＝，当x2﹣34＝0，即x＝，h取得最大值为15km，因此选址方案满足P A＝5km，PB＝3km．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．20．（14分）已知点A（﹣1，0）、B（1，0），直线l：ax+by+c＝0（其中a，b，c∈R），点P在直线l上．（1）若a、b、c是常数列，求|PB|的最小值；（2）若a、b、c是成等差数列，且P A⊥l，求|PB|的最大值；（3）若a、b、c是成等比数列，且P A⊥l，求|PB|的取值范围．【分析】（1）依题意，可得a＝b＝c≠0，则直线l的方程为x+y+1＝0，进而求得|PB|的最小值；（2）a，b，c成等差数列时，可得直线l过点M（1，﹣2），而点P在以AM为直径的圆上，由此求得|PB|的最大值；（3）联立，由此可得点P的坐标，进而利用两点间的距离公式得到|PB|2，再利用函数的性质得解．【解答】解：（1）∵a、b、c是常数列，∴a＝b＝c≠0，∴直线l的方程为x+y+1＝0，∴点B到直线l的距离为，∴|PB|的最小值为；（2）当a，b，c成等差数列时，2b＝a+c，即a﹣2b+c＝0，直线l过点M（1，﹣2），由于P A⊥l，故点P在以AM为直径的圆上，此圆的圆心为C（0，﹣1），半径为，方程为x2+（y+1）2＝2，而点B在此圆上，故|PB|的最大值为；（3）由a，b，c成等比数列，得b2＝ac，a，b，c都不为0，由，得，∴＝，令，则，∴|PB|的取值范围为（1，2）∪（2，+∞）．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质、点到直线的距离公式，圆的标准方程以及函数值域的求法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．（18分）设x是实数，n是整数，若，则称n是数轴上与x最接近的整数．（1）数列{a n}的通项为a n，且对任意的正整数n，n是数轴上与a n最接近的整数，写出一个满足条件的数列{a n}的前三项；（2）数列{a n}的通项公式为a n＝n，其前n项和为S n，求证：整数a n是数轴上与实数最接近的整数；（3）T n是首项为2，公比为的等比数列的前n项和，d n是数轴上与T n最接近的正整数，求d1+d2+…+d2020．【分析】（1）由题意可得|a n﹣n|＜，可得a1＝1，a2＝2，a3＝3，满足条件；（2）由题意可得＝，可证|﹣a n|＝＜，由题意可得整数a n是数轴上与实数最接近的整数．（3）由题意T n＝，T n为递增数列，可求d1，d2，d3，d4，d5，d6，d7，当n≥7时，|T n﹣6|＝6×（）n＜，可求d n＝6，即可求解d1+d2+…+d2020的值．【解答】解：（1）由题意可得a n＝n，可得|a n﹣n|＜，所以|a1﹣1|＜，a1＝1，满足条件；|a2﹣2|＜，a2＝2，满足条件；|a3﹣3|＜，a3＝3，满足条件；（2）因为a n＝n，所以S n＝，可得＝，所以|﹣a n|＝|﹣n|＝（﹣）＝＝＜，整数a n是数轴上与实数最接近的整数．（3）T n＝＝，T n为递增数列，T1＝2，所以d1＝2，T5＝，d5＝5；T2＝，所以d2＝3，T6＝，d6＝5；T3＝，所以d3＝4，T7＝，d7＝6；T6＝，所以d4＝5，当n≥7时，|T n﹣6|＝6×（）n＜，所以d n＝6，所以d1+d2+…+d2020＝2+3+4+5×3+6×2014＝12108．【点评】本题主要考查了等比数列的性质的应用，考查了新定义和特值法的应用，属于中档题．。
2021届上海市宝山区高三上学期一模数学试题
2021届上海市宝山区高三上学期一模数学试题考生注意：1．本试卷共21题，总分值150分，考试时间120分钟；2．本试卷包括试题卷和答题纸两局部，答题纸另页，正反面；3．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题；4．可使用符合规定的计算器答题．一、填空题(本大题共有12题，总分值54分，其中第1题至第6题每题填对得4分，否那么一律得零分；第7题至第12题每题填对得5分，否那么一律得零分．)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．1. 假设集合A ＝(－∞，－3)，B ＝(－4，＋∞)，那么A ∩B ＝ ．2. 抛物线y 2＝6x 的准线方程为 ．3. 复数z 满足1z －1＝i 〔i 为虚数单位〕，那么z ＝ ． 4. 设向量a →＝(1，2)，b →＝(2，1)，那么a →与b →的夹角的大小为 〔结果用反三角函数值表示〕．5. 二项式(2x ＋1x)6，那么其展开式中的常数项为 ． 6. 假设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，2x －y ≤0，x ＋y －3≤0，那么z ＝2x ＋y 的最大值为 ． 7. 圆锥的底面半径为1，高为3，那么该圆锥的侧面展开图的圆心角θ的大小为 ．8. 方程cos2x －sin x ＝0在区间[0，π]上的所有解的和为 ．9. 函数f (x )的周期为2，且当0＜x ≤1时，f (x )＝log 4x ，那么f (92)＝ ． 10. 设数列{x n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *，均有S n ＋x n ＝－1，那么S 6＝ ．11. 设函数f (x )＝a ▪sin2x ＋b ▪cos2x 〔a ，b ∈R 〕，给出以下结论：①当a ＝0，b ＝1时，f (x )为偶函数；②当a ＝1，b ＝0时，f (2x )在区间(0，π4)上是单调函数； ③当a ＝3，b ＝－1时，f (|x 2|)在区间(－2π，2π)上恰有3个零点；④当a ＝3，b ＝1时，设f (x )在区间[t ，t ＋π4]〔t ∈R 〕上的最大值为φ(t )，最小值为ψ(t )，那么φ(t )－ψ(t )≤22．那么所有正确结论的序号是 ．12. 假设定义在N 上的函数f (x )、g (x )满足：存在x 0∈N ，使得f (x 0)＜g (x 0)成立，那么称f (x )与g (x )在N 上具有性质P (f ，g)．设函数f (x )＝a x －12与g (x )＝x 3，其中a ＞0，f (x )与g (x )在N 上不具有性质P (f ，g)，将a 的最小值记为a 0．设有穷数列{b n }满足b 1＝1，b n +1＝1+b n 〔n ∈N *，n ≤504×[a 0]〕，这里[a 0]表示不超过a 0的最大整数．假设去掉{b n }中的一项b t 后，剩下的所有项之和恰可表为m 2〔m ∈N *〕，那么b t ＋m 的值为 ．二、选择题〔本大题共有4题，总分值20分〕每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否那么一律得零分．13. 直线x ＋3y －1＝0的一个法向量可以是 〔 〕〔A 〕(3，－1) 〔B 〕(3，1) 〔C 〕(1，3) 〔D 〕(－1，3)14. “函数f (x )＝sin(ωx )〔x ，ω∈R ，且ω≠0〕的最小正周期为2〞是“ω＝π〞的 〔 〕〔A 〕充分非必要条件 〔B 〕必要非充分条件〔C 〕充要条件 〔D 〕既非充分又非必要条件15. 从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数中任取5个不同的数，那么这5个不同的数的中位数为4的概率为 〔 〕〔A 〕121 〔B 〕321 〔C 〕521 〔D 〕72116. 以下结论中错误的选项是 〔 〕〔A 〕存在实数x ，y 满足⎩⎨⎧|x |≤1，|x ＋y |≤1，并使得4(x ＋1)(y ＋1)＞9成立； 〔B 〕存在实数x ，y 满足⎩⎨⎧|x |≤1，|x ＋y |≤1，并使得4(x ＋1)(y ＋1)＝7成立； 〔C 〕满足⎩⎨⎧|x |≤1，|x ＋y |≤1，且使得4(x ＋1)(y ＋1)＝－9成立的实数x ，y 不存在； 〔D 〕满足⎩⎨⎧|x |≤1，|x ＋y |≤1，且使得4(x ＋1)(y ＋1)＜－9成立的实数x ，y 不存在．三、解答题〔本大题共有5题，总分值76分〕解答以下各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17. 〔此题总分值14分〕此题共有2个小题，第1题总分值6分，第2题总分值8分．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，T 为DD 1上一点，DT ＝2，AB ＝4，BC ＝2， AA 1＝6．〔1〕求直线TC 与平面ABCD 所成角的大小〔用反三角函数值表示〕；〔2〕求点C 1到平面A 1T C 的距离．18. 〔此题总分值14分〕此题共有2个小题，第1题总分值6分，第2题总分值8分．函数f (x )＝x ＋m x －1〔m ∈R 〕． 〔1〕当m ＝1时，解不等式f (x )＋1＞f (x ＋1)；〔2〕设x ∈[3，4]，且函数y ＝f (x )＋3存在零点，求实数m 的取值范围．19. 〔此题总分值14分〕此题共有2个小题，第1题总分值6分，第2题总分值8分．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)〔ω＞0，－π2＜φ＜π2〕最小正周期为2π，且f (x )的图象过坐标原点． 〔1〕求ω、φ的值；〔2〕在△ABC 中，假设2f 2(B )＋3f 2(C )＝2 f (A )▪f (B )▪f (C )＋f 2(A )，且三边a 、b 、c 所对的角依次为A 、B 、C ．试求b ·f (B ＋C )c的值．A 120. 〔此题总分值16分〕此题共有3个小题，第1题总分值4分，第2题总分值6分，第3题总分值6分．F 1、F 2分别为椭圆Γ：x 2 4＋y 2＝1的左、右焦点，M 为Γ上的一点． 〔1〕假设点M 的坐标为(1，m )〔m ＞0〕，求△F 1MF 2的面积；〔2〕假设点M 的坐标为(0，1)，且直线y ＝kx －35〔k ∈R 〕与Γ交于两不同点A 、B ，求证：MA →·MB →为定值，并求出该定值；〔3〕如右图，设点M 的坐标为(s ，t )，过坐标原点O 作圆M ：(x －s )2＋(y －t )2＝r 2〔其中r 为定值，0＜r ＜1，且|s |≠r 〕的两条切线，分别交Γ于点P 、Q ，直线OP 、OQ 的斜率分别记为k 1、k 2．如果k 1k 2为定值．试问：是否存在锐角θ，使得2|OP |▪|OQ |＝5▪sec θ？假设存在，试求出θ的一个值；假设不存在，请说明理由．21. 〔此题总分值18分〕此题共有3个小题，第1题总分值4分，第2题总分值6分，第3题总分值8分．假设有穷数列{x n }：x 1，x 2，…，x n 满足x i +1≥x i ＋t ，x i ＞0〔这里i ，n ∈N *，n ≥3，1≤i ≤n －1，常数t ＞0〕，那么称有穷数列{x n }具有性质P (t )．〔1〕有穷数列{x n }具有性质P (t )〔常数t ≥12〕，且|x 2－x 1|＋|x 3－x 2|＋…＋|x n －x n －1|≤n －12，试求t 的值；〔2〕设a i +1＝2|a i +t +2|－|a i +t －2|〔i ，n ∈N *，n ≥3，1≤i ≤n －1，常数t ＞2〕，判断有穷数列{a n }是否具有性质P (t －2)，并说明理由；〔3〕假设有穷数列{y n }：y 1，y 2，…，y n 具有性质P (1)，其各项的和为2000，将y 1，y 2，…，y n 中的最大值记为A ．当A ∈N *时，求A ＋n 的最小值．。
2021年上海市春季高考数学试卷
2021年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知等差数列{a n}的首项为3，公差为2，则a10＝．2．（4分）已知z＝1﹣3i，则|﹣i|＝．3．（4分）已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为．4．（4分）不等式＜1的解集为．5．（4分）直线x＝﹣2与直线x﹣y+1＝0的夹角为．6．（4分）若方程组无解，则＝．7．（5分）已知（1+x）n的展开式中，唯有x3的系数最大，则（1+x）n的系数和为．8．（5分）已知函数f（x）＝3x+（a＞0）的最小值为5，则a＝．9．（5分）在无穷等比数列{a n}中，（a1﹣a n）＝4，则a2的取值范围是．10．（5分）某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如表所示，问有几种运动方式组合.A运动B运动C运动D运动E运动7点﹣8点8点﹣9点9点﹣10点10点﹣11点11点﹣12点30分钟20分钟40分钟30分钟30分钟11．（5分）已知椭圆x2+＝1（0＜b＜1）的左、右焦点为F1、F2，以O为顶点，F2为焦点作抛物线交椭圆于P，且∠PF1F2＝45°，则抛物线的准线方程是．12．（5分）已知θ＞0，存在实数φ，使得对任意n∈N*，cos（nθ+φ）＜，则θ的最小值是．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)13．（5分）下列函数中，在定义域内存在反函数的是（）A．f（x）＝x2B．f（x）＝sin x C．f（x）＝2x D．f（x）＝1 14．（5分）已知集合A＝{x|x＞﹣1，x∈R}，B＝{x|x2﹣x﹣2≥0，x∈R}，则下列关系中，正确的是（）A．A⊆B B．∁R A⊆∁R B C．A∩B＝∅D．A∪B＝R 15．（5分）已知函数y＝f（x）的定义域为R，下列是f（x）无最大值的充分条件是（）A．f（x）为偶函数且关于点（1，1）对称B．f（x）为偶函数且关于直线x＝1对称C．f（x）为奇函数且关于点（1，1）对称D．f（x）为奇函数且关于直线x＝1对称16．（5分）在△ABC中，D为BC中点，E为AD中点，则以下结论：①存在△ABC，使得＝0；②存在三角形△ABC，使得∥（+）；它们的成立情况是（）A．①成立，②成立B．①成立，②不成立C．①不成立，②成立D．①不成立，②不成立三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）四棱锥P﹣ABCD，底面为正方形ABCD，边长为4，E为AB中点，PE⊥平面ABCD．（1）若△PAB为等边三角形，求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）若CD的中点为F，PF与平面ABCD所成角为45°，求PC与AD所成角的大小．18．（14分）已知A、B、C为△ABC的三个内角，a、b、c是其三条边，a＝2，cos C＝﹣．（1）若sin A＝2sin B，求b、c；（2）若cos（A）＝，求c．19．（14分）（1）团队在O点西侧、东侧20千米处设有A、B两站点，测量距离发现一点P 满足|PA|﹣|PB|＝20千米，可知P在A、B为焦点的双曲线上，以O点为原点，东侧为x 轴正半轴，北侧为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，P在北偏东60°处，求双曲线标准方程和P点坐标．（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C、D两站点，测量距离发现|QA|﹣|QB|＝30千米，|QC|﹣|QD|＝10千米，求|OQ|（精确到1米）和Q点位置（精确到1米，1°）20．（16分）已知函数f（x）＝﹣x．（1）若a＝1，求函数的定义域；（2）若a≠0，若f（ax）＝a有2个不同实数根，求a的取值范围；（3）是否存在实数a，使得函数f（x）在定义域内具有单调性？若存在，求出a的取值范围．21．（18分）已知数列{a n}满足a n≥0，对任意n≥2，a n和a n+1中存在一项使其为另一项与a n﹣1的等差中项．（1）已知a1＝5，a2＝3，a4＝2，求a3的所有可能取值；（2）已知a1＝a4＝a7＝0，a2、a5、a8为正数，求证：a2、a5、a8成等比数列，并求出公比q；（3）已知数列中恰有3项为0，即a r＝a s＝a t＝0，2＜r＜s＜t，且a1＝1，a2＝2，求a r+1+a s+1+a t+1的最大值．2021年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知等差数列{a n}的首项为3，公差为2，则a10＝21．【解答】解：因为等差数列{a n}的首项为3，公差为2，则a10＝a1+9d＝3+9×2＝21．故答案为：21．2．（4分）已知z＝1﹣3i，则|﹣i|＝．【解答】解：∵z＝1﹣3i，∴，则|﹣i|＝|1+2i|＝．故答案为：．3．（4分）已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为4π．【解答】解：圆柱的底面半径为r＝1，高为h＝2，＝2πrh＝2π×1×2＝4π．所以圆柱的侧面积为S侧故答案为：4π．4．（4分）不等式＜1的解集为（﹣7，2）．【解答】解：＜1⇒＜0⇒＜0，解得，﹣7＜x＜2．故答案为：（﹣7，2）．5．（4分）直线x＝﹣2与直线x﹣y+1＝0的夹角为．【解答】解：∵直线x＝﹣2的斜率不存在，倾斜角为，直线x﹣y+1＝0的斜率为，倾斜角为，故直线x＝﹣2与直线x﹣y+1＝0的夹角为﹣＝，故答案为：．6．（4分）若方程组无解，则＝0．【解答】解：对于方程组，有，当D≠0时，方程组的解为，根据题意，方程组无解，所以D＝0，即，故答案为：0．7．（5分）已知（1+x）n的展开式中，唯有x3的系数最大，则（1+x）n的系数和为64．【解答】解：由题意，＞，且＞，所以n＝6，所以令x＝1，（1+x）6的系数和为26＝64．故答案为：64．8．（5分）已知函数f（x）＝3x+（a＞0）的最小值为5，则a＝9．【解答】解：f（x）＝3x+＝3x+1+﹣1≥﹣1＝5，所以a＝9，经检验，3x＝2时等号成立．故答案为：9．9．（5分）在无穷等比数列{a n}中，（a1﹣a n）＝4，则a2的取值范围是（﹣4，0）∪（0，4）．【解答】解：∵无穷等比数列{a n}，∴公比q∈（﹣1，0）∪（0，1），∴a n＝0，∴（a 1﹣a n）＝a1＝4，∴a2＝a1q＝4q∈（﹣4，0）∪（0，4）．故答案为：（﹣4，0）∪（0，4）．10．（5分）某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如表所示，问有几种运动方式组合23种.A运动B运动C运动D运动E运动7点﹣8点8点﹣9点9点﹣10点10点﹣11点11点﹣12点30分钟20分钟40分钟30分钟30分钟【解答】解：由题意知，至少要选2种运动，并且选2种运动的情况中，AB、DB、EB 的组合不符合题意；所以满足条件的运动组合方式为：+++﹣3＝10+10+5+1﹣3＝23（种）．故答案为：23种．11．（5分）已知椭圆x2+＝1（0＜b＜1）的左、右焦点为F1、F2，以O为顶点，F2为焦点作抛物线交椭圆于P，且∠PF1F2＝45°，则抛物线的准线方程是x＝1﹣．【解答】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），则抛物线y2＝4cx，直线PF1：y＝x+c，联立方程组，解得x＝c，y＝2c，所以点P的坐标为（c，2c），所以PF2⊥F1F2，又PF所以PF，所以PF，则c＝﹣1，所以抛物线的准线方程为：x＝﹣c＝1﹣，故答案为：x＝1﹣．12．（5分）已知θ＞0，存在实数φ，使得对任意n∈N*，cos（nθ+φ）＜，则θ的最小值是．【解答】解：在单位圆中分析，由题意可得nθ+φ的终边要落在图中阴影部分区域（其中∠AOx＝∠BOx＝），所以θ＞∠AOB＝，因为对任意n∈N*都成立，所以∈N*，即θ＝，k∈N*，同时θ＞，所以θ的最小值为．故答案为：．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)13．（5分）下列函数中，在定义域内存在反函数的是（）A．f（x）＝x2B．f（x）＝sin x C．f（x）＝2x D．f（x）＝1【解答】解：选项A：因为函数是二次函数，属于二对一的映射，根据函数的定义可得函数不存在反函数，A错误，选项B：因为函数是三角函数，有周期性和对称性，属于多对一的映射，根据函数的定义可得函数不存在反函数，B错误，选项C：因为函数的单调递增的指数函数，属于一一映射，所以函数存在反函数，C正确，选项D：因为函数是常数函数，属于多对一的映射，所以函数不存在反函数，D错误，故选：C．14．（5分）已知集合A＝{x|x＞﹣1，x∈R}，B＝{x|x2﹣x﹣2≥0，x∈R}，则下列关系中，正确的是（）A．A⊆B B．∁R A⊆∁R B C．A∩B＝∅D．A∪B＝R【解答】解：已知集合A＝{x|x＞﹣1，x∈R}，B＝{x|x2﹣x﹣2≥0，x∈R}，解得B＝{x|x≥2或x≤﹣1，x∈R}，∁R A＝{x|x≤﹣1，x∈R}，∁R B＝{x|﹣1≤x≤2}；则A∪B＝R，A∩B＝{x|x≥2}，故选：D．15．（5分）已知函数y＝f（x）的定义域为R，下列是f（x）无最大值的充分条件是（）A．f（x）为偶函数且关于点（1，1）对称B．f（x）为偶函数且关于直线x＝1对称C．f（x）为奇函数且关于点（1，1）对称D．f（x）为奇函数且关于直线x＝1对称【解答】解：根据题意，依次判断选项：对于A，f（x）＝cos+1，f（x）为偶函数，且关于点（1，1）对称，存在最大值，A 错误，对于B，f（x）＝cos（πx），f（x）为偶函数且关于直线x＝1对称，存在最大值，B错误，对于C，假设f（x）有最大值，设其最大值为M，其最高点的坐标为（a，M），f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，则f（x）的图象存在最低点（﹣a，﹣M），又由f（x）的图象关于点（1，1）对称，则（﹣a，﹣M）关于点（1，1）对称的点为（2﹣a，2+M），与最大值为M相矛盾，则此时f（x）无最大值，C正确，对于D，f（x）＝sin，f（x）为奇函数且关于直线x＝1对称，D错误，故选：C．16．（5分）在△ABC中，D为BC中点，E为AD中点，则以下结论：①存在△ABC，使得＝0；②存在三角形△ABC，使得∥（+）；它们的成立情况是（）A．①成立，②成立B．①成立，②不成立C．①不成立，②成立D．①不成立，②不成立【解答】解：不妨设A（2x，2y），B（﹣1，0），C（1，0），D（0，0），E（x，y），①＝（﹣1﹣2x，﹣2y），＝（x﹣1，y），若＝0，则﹣（1+2x）（x﹣1）﹣2y2＝0，即﹣（1+2x）（x﹣1）＝2y2，满足条件的（x，y）存在，例如（0，），满足上式，所以①成立；②F为AB中点，（+）＝2，CF与AD的交点即为重心G，因为G为AD的三等分点，E为AD中点，所以与不共线，即②不成立．故选：B．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）四棱锥P﹣ABCD，底面为正方形ABCD，边长为4，E为AB中点，PE⊥平面ABCD．（1）若△PAB为等边三角形，求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）若CD的中点为F，PF与平面ABCD所成角为45°，求PC与AD所成角的大小．【解答】解：（1）∵△PAB为等边三角形，且E为AB中点，AB＝4，∴PE＝2，又PE⊥平面ABCD，＝×2×42＝．∴四棱锥P﹣ABCD的体积V＝PE•S正方形ABCD（2）∵PE⊥平面ABCD，∴∠PFE为PF与平面ABCD所成角为45°，即∠PFE＝45°，∴△PEF为等腰直角三角形，∵E，F分别为AB，CD的中点，∴PE＝FE＝4，∴PB＝＝，∵AD∥BC，∴∠PCB或其补角即为PC与AD所成角，∵PE⊥平面ABCD，∴PE⊥BC，又BC⊥AB，PE∩AB＝E，PE、AB⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，在Rt△PBC中，tan∠PCB＝＝＝，故PC与AD所成角的大小为arctan．18．（14分）已知A、B、C为△ABC的三个内角，a、b、c是其三条边，a＝2，cos C＝﹣．（1）若sin A＝2sin B，求b、c；（2）若cos（A）＝，求c．【解答】解：（1）因为sin A＝2sin B，可得a＝2b，又a＝2，可得b＝1，由于cos C＝＝＝﹣，可得c＝．（2）因为cos（A）＝（cos A+sin A）＝，可得cos A+sin A＝，又cos2A+sin2A＝1，可解得cos A＝，sin A＝，因为cos C＝﹣，可得sin C＝，由正弦定理，可得c＝．19．（14分）（1）团队在O点西侧、东侧20千米处设有A、B两站点，测量距离发现一点P 满足|PA|﹣|PB|＝20千米，可知P在A、B为焦点的双曲线上，以O点为原点，东侧为x 轴正半轴，北侧为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，P在北偏东60°处，求双曲线标准方程和P点坐标．（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C、D两站点，测量距离发现|QA|﹣|QB|＝30千米，|QC|﹣|QD|＝10千米，求|OQ|（精确到1米）和Q点位置（精确到1米，1°）【解答】解：（1）由题意可得a＝10，c＝20，所以b2＝300，所以双曲线的标准方程为﹣＝1，直线OP：y＝x，联立双曲线方程，可得x＝，y＝，即点P的坐标为（，）．（2）①|QA|﹣|QB|＝30，则a＝15，c＝20，所以b2＝175，双曲线方程为﹣＝1；②|QC|﹣|QD|＝10，则a＝5，c＝15，所以b2＝200，所以双曲线方程为﹣＝1，两双曲线方程联立，得Q（，），所以|OQ|≈19米，Q点位置北偏东66°．20．（16分）已知函数f（x）＝﹣x．（1）若a＝1，求函数的定义域；（2）若a≠0，若f（ax）＝a有2个不同实数根，求a的取值范围；（3）是否存在实数a，使得函数f（x）在定义域内具有单调性？若存在，求出a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝，由|x+1|﹣1≥0，得|x+1|≥1，解得x≤﹣2或x≥0．∴函数的定义域为（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）；（2）f（ax）＝，f（ax）＝a⇔，设ax+a＝t≥0，∴有两个不同实数根，整理得a＝t﹣t2，t≥0，同时a≠0，∴a∈（0，）；（3）当x≥﹣a时，f（x）＝﹣x＝，在[，+∞）上单调递减，此时需要满足﹣a≥，即a，函数f（x）在[﹣a，+∞）上递减；当x＜﹣a时，f（x）＝﹣x＝，在（﹣∞，﹣2a]上递减，∵a＜0，∴﹣2a＞﹣a＞0，即当a时，函数f（x）在（﹣∞，﹣a）上递减．综上，当a∈（﹣∞，﹣]时，函数f（x）在定义域R上连续，且单调递减．21．（18分）已知数列{a n}满足a n≥0，对任意n≥2，a n和a n+1中存在一项使其为另一项与a n﹣1的等差中项．（1）已知a1＝5，a2＝3，a4＝2，求a3的所有可能取值；（2）已知a1＝a4＝a7＝0，a2、a5、a8为正数，求证：a2、a5、a8成等比数列，并求出公比q；（3）已知数列中恰有3项为0，即a r＝a s＝a t＝0，2＜r＜s＜t，且a1＝1，a2＝2，求a r+1+a s+1+a t+1的最大值．【解答】解：（1）由题意，2a n＝a n+1+a n﹣1或2a n+1＝a n+a n﹣1，∴2a2＝a3+a1解得a3＝1，2a3＝a2+a1解得a3＝4，经检验，a3＝1，（2）证明：∵a1＝a4＝a7＝0，∴a3＝2a2，或，经检验，；∴，或（舍），∴；∴，或（舍），∴；∴，或（舍），∴；综上，a2、a5、a8成等比数列，公比为；（3）由2a n＝a n+1+a n﹣1或2a n+1＝a n+a n﹣1，可知或，由第（2）问可知，a r＝0，则a r﹣2＝2a r﹣1，即a r﹣1﹣a r﹣2＝﹣a r﹣1，∴a r＝0，则＝＝＝，∴，同理，＝，∴，同理，，∴a r+1+a s+1+a t+1的最大值．。