高中数学人教版B必修4练习——8和角公式
高中数学必修4(人教B版)第三章三角恒等变换3.1知识点总结含同步练习题及答案
tan 60∘ − tan 15∘ 1 + tan 60∘ ⋅ tan 15∘ = tan(60∘ − 15∘ ) = tan 45∘ = 1.
（2）根据tan α + tan β = tan(α + β)(1 − tan α tan β) ，则有 原式 = tan 120 ∘ (1 − tan 55∘ tan 65∘ ) − √3 tan 55∘ tan 65∘
π )，向左平移 m 个单位后，得到的函数为 3 π π π y = 2 sin (x + + m)，若所得到的图像关于 y 轴对称，则 + m = + kπ, k ∈ Z ，所以 3 3 2 π π m = + kπ ，k ∈ Z．取 k = 0 时，m = ． 6 6
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和差角公式 辅助角公式
三、知识讲解
1.和差角公式 描述： 两角差的余弦公式 对于任意角α，β 有cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β，称为差角的余弦公式，简记C(α−β) ． 两角和的余弦公式 对于任意角α，β 有cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β，称为和角的余弦公式，简记C(α＋β) ． 两角和的正弦公式 对于任意角α，β 有sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β，称为和角的正弦公式，简记S (α＋β) ． 两角差的正弦公式 对于任意角α，β 有sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β，称为差角的正弦公式，简记S (α−β) ． 两角和的正切公式 对于任意角α，β 有tan(α + β) = 两角差的正切公式 对于任意角α，β 有tan(α − β) =
人教版高中数学必修四常用公式大全
人教版高中数学必修四常用公式大全高中数学必修4常用公式及结论一、三角函数与三角恒等变换1、三角函数的图象与性质三角函数是数学中重要的概念之一，它们的图象和性质也是我们需要了解的内容。
正弦函数、余弦函数和正切函数都有自己的定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性等特点。
其中，正弦函数和余弦函数的定义域是整个实数集，值域是[-1,1]，周期是2π，正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
而正切函数的定义域是整个实数集除去一些特定点，值域是整个实数集，周期是π，正切函数是奇函数。
2、同角三角函数公式同角三角函数公式是三角函数中的重要内容，包括sin2α+cos2α= 1和tanα=tanαcotα=1等。
这些公式在解决三角函数相关的问题时非常有用。
3、二倍角的三角函数公式二倍角的三角函数公式是用来求解二倍角的三角函数值的公式，包括sin2α=2sinαcosα、cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α和tan2α=2tanα/(1-tan2α)等。
4、降幂公式和升幂公式降幂公式和升幂公式是用来将三角函数的高次幂降为低次幂或将低次幂升为高次幂的公式。
其中，降幂公式包括cosα=(1+cos2α)/2和2sinα=sin2α/(1+cosα)，升幂公式包括1±sin2α=(sinα±cosα)2和1+cos2α=2cos2α。
5、两角和差的三角函数公式两角和差的三角函数公式是用来求解两个角的和差的三角函数值的公式，包括sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ、cos(α±β)=cosαcosβ干sinαsinβ和tan(α±β)=(tanα±tanβ)/(1干tanαtanβ)等。
6、两角和差正切公式的变形两角和差正切公式的变形包括tanα±tanβ=tan(α±β)/(1干tanαtanβ)和tan(+α)=tan(-α)/(1-tanα)等。
(新人教B版必修4)数学：3.1和角公式(课件)
)(
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例题1 例题
例题2 例题
例题3 例题
例题4 例题
例题5 例题
例题6 例题
小结
基础应用
1、非特殊角的求值 、 2、角的组合 、 3、公式逆用 、
变形公式
tanα + tan β = tan (α + β ) ⋅ (1− tanα ⋅ tan β ) tanα − tan β = tan (α − β ) ⋅ (1+ tanα ⋅ tan β )
例题1 例题
例题2 例题
例题3 例题
例题4 例题
例题5 例题
例题6 例题
变形应用
变形公式
tanα + tan β = tan (α + β ) ⋅ (1− tanα ⋅ tan β ) tanα − tan β = tan (α − β ) ⋅ (1+ tanα ⋅ tan β )
例题、 1 tan17o + tan43o + 3tan17o tan43o
1 = 12
基础应用
4 4 例题2、（2）已知tan (α + β ) = ,tan(α − β ) = − , 求tan2α. 5 5
解： 2α = (α + β ) + (α − β ) Q
∴ tan 2α = tan ( (α + β ) + (α − β ) )
tan(α + β ) + tan(α − β ) = =0 1 − tan(α + β ) ⋅ tan(α − β )
例题5、已知α、β满足α + β = ，求(1+ tanα )(1+ tan β )的值 . 4
人教B版高中数学必修四《3.1 和角公式 3.1.1 两角和与差的余弦》_1
学科：数学
课题：《两角差的余弦公式》
模块: 必修4（人教社B版）
教学目标：
1.四基四能：
（1）让学生经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义。
教学中强调公理化推理、数形结合和模型思想。
重视教学过程中学生体会完整的教与学的过程：发现现象—提出问题—验证—分析—解决—一般化。
（2）学生能从实际情境中发现问题，抽象并提出数学问题，分析和探究两角差余弦公式的推导过程，最后将问题解决。
2. 数学核心素养：
（1）从实际情境中抽象出数学问题，体会用图形进行无字证明的过程，体现了数学抽象和直观想象的数学核心素养。
（2）对两角差的余弦公式能探究出与学过的向量知识有关联，并严谨准确的进行表述，体现逻辑推理的数学核心素养。
（2）针对运算问题，合理选择运算方法，运算求解，用数学语言直观地进行交流，体现数学运算的数学核心素养。
3. 情感态度价值观：
创设情境，让学生主动探究，成为数学学习活动和展示的主体，给学生展示自我的空间，同时要及时给予认可和鼓励，让学生在乐学的氛围中亲历知识的形成过程，并注重知识间的关联，反复巩固所学的知识。
教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式。
教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还
有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等。
教学资源与媒体：传统板书辅助电子白板
教学过程：
（让学生选择一个位置）（动画演示），此时βα-=∠AOB
基于核心素养的“两角差的余弦公式”教学评价表。
最新人教新课标高中数学必修四的全部公式
人教新课标高中数学必修四的全部公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二：设α为任意角，πα的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2?α及3π/2?α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα(以上k∈Z)诱导公式记忆口诀※规律总结※上面这些诱导公式可以概括为：对于k?π/2?α(k∈Z)的个三角函数值，①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot →tan.（奇变偶不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
新教材 人教B版高中数学必修第四册全册各章知识点汇总及配套习题
人教B高中数学必修第四册全册各章知识点汇总第九章解三角形.................................................................................................................... - 1 - 第十章复数 ......................................................................................................................... - 12 - 第十一章立体几何初步...................................................................................................... - 19 -第九章解三角形知识体系题型探究利用正弦、余弦定理解三角形【例1】如图，在平面四边形ABCD中，AB＝2，BD＝5，AB⊥BC，∠BCD＝2∠ABD ，△ABD 的面积为2.(1)求AD 的长； (2)求△CBD 的面积．[思路探究] (1)由面积公式求出sin ∠ABD ，进而得cos ∠ABD 的值，利用余弦定理可解；(2)由AB ⊥BC 可以求出sin ∠CBD 的大小，再由二倍角公式求出sin ∠BCD ，可判断△CBD 为等腰三角形，利用正弦定理求出CD 的大小，最后利用面积公式求解．[解] (1)由S △ABD ＝12AB ·BD ·sin ∠ABD ＝12×2×5×sin ∠ABD ＝2，可得sin ∠ABD ＝255，又∠ABD ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos ∠ABD ＝55. 在△ABD 中，由AD 2＝AB 2＋BD 2－2·AB ·BD ·cos ∠ABD ， 可得AD 2＝5，所以AD ＝ 5.(2)由AB ⊥BC ，得∠ABD ＋∠CBD ＝π2， 所以sin ∠CBD ＝cos ∠ABD ＝55.又∠BCD ＝2∠ABD ，所以sin ∠BCD ＝2sin ∠ABD ·cos ∠ABD ＝45，∠BDC ＝π－∠CBD －∠BCD ＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－∠ABD －2∠ABD ＝π2－∠ABD ＝∠CBD ，所以△CBD 为等腰三角形，即CB ＝CD . 在△CBD 中，由正弦定理知，BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD，得CD ＝BD ·sin ∠CBD sin ∠BCD＝5×5545＝54，所以S △CBD ＝12×54×54×45＝58.利用正、余弦定理解三角形要注意以下几个方面(1)画图，把相关数据标注在三角形中，便于确定已知和所求． (2)明确解题过程中所使用的定理，有些题目两个定理都适用．(3)注意对三角形内角和定理、大边对大角的应用，避免出现增解或漏解的错误．(4)多边形中的边角计算问题通常化归到三角形中利用正、余弦定理求解．[跟进训练]1．如图所示，在△ABC 中，B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长． [解] (1)在△ADC 中， 因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437， 所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －B ) ＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B ＝437×12－17×32＝3314.(2)在△ABD 中，由正弦定理，得BD ＝AB sin ∠BADsin ∠ADB ＝8×3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos B ＝82＋52－2×8×5×12＝49， 所以AC ＝7.三角变换与解三角形的综合问题【例2】 在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断△ABC 的形状．[解] ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )， ∴b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )] ＝a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]， ∴2b 2sin A cos B ＝2a 2cos A sin B ， 即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cos B .法一：由正弦定理知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， ∴sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B ， 又sin A sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B .在△ABC 中，0＜2A ＜2π，0＜2B ＜2π， ∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ， ∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 法二：由正弦定理、余弦定理，得a 2b ×b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a ×a 2＋c 2－b 22ac ，∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，∴(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， ∴a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0. 即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．判定三角形形状的三个注意点(1)“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的关系．(2)“边化角”后要注意用三角恒等变换、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系．(3)要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．[跟进训练]2．在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状． [解] 法一：∵2b ＝a ＋c ，由正弦定理， 得2sin B ＝sin A ＋sin C . ∵B ＝60°，∴A ＋C ＝120°. ∴2sin 60°＝sin(120°－C )＋sin C . 展开整理得32sin C ＋12cos C ＝1. ∴sin(C ＋30°)＝1. ∵0°<C <120°， ∴C ＋30°＝90°. ∴C ＝60°，则A ＝60°. ∴△ABC 为等边三角形．法二：由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . ∵B ＝60°，b ＝a ＋c 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝a 2＋c 2－2ac cos 60°， 化简得(a －c )2＝0. ∴a ＝c .又B ＝60°， ∴a ＝b ＝c .∴△ABC 为等边三角形．角度2 三角形边、角、面积的求解【例3】 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B .(1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 的面积的最大值．[解] (1)由已知，根据正弦定理得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B . 又A ＝π－(B ＋C )，∴sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C ) ＝sin B cos C ＋sin C cos B ， 即sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin B cos C ＋sin C sin B ， ∴cos B sin C ＝sin C sin B ， ∵sin C ≠0，∴cos B ＝sin B 且B 为三角形内角， ∴B ＝π4.(2)S △ABC ＝12ac sin B ＝24ac ， 由正弦定理知a ＝b sin A sin B ＝222×sin A ＝22sin A ，同理，c ＝22sin C ，∴S △ABC ＝24×22sin A ×22sin C ＝22sin A sin C ＝22sin A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－A＝22sin A ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4cos A －cos 3π4sin A＝2(sin A cos A ＋sin 2A ) ＝sin 2A ＋1－cos 2A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π4＋1，∴当2A －π4＝π2，即A ＝3π8时，S △ABC 有最大值2＋1.求解三角形中的边、角、面积的解题策略该类问题以三角形为载体，在已知条件中涉及了三角形的一些边角关系，由于正弦定理和余弦定理都是关于三角形的边角关系的等式，通过定理的运用能够实现边角互化，在边角互化时，经常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公式等．[跟进训练]3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，若a ＝2，C ＝π4，cos B 2＝255，求△ABC 的面积S .[解] 因为cos B ＝2cos 2B 2－1＝35， 故B 为锐角，所以sin B ＝45， 所以sin A ＝sin (π－B －C ) ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝sin B cos π4＋cos B sin π4 ＝7210. 由正弦定理， 得c ＝a sin C sin A ＝107，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×107×45＝87.正弦、余弦定理在实际中的应用【例4A 处发现在北偏东45°方向，相距12海里的B 处水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10海里的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14海里的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．[思路探究] 假设经过x 小时后在C 处追上蓝方的小艇，作出示意图，把实际数据转化到三角形中，利用正、余弦定理求解．[解] 如图，设红方侦察艇经过x 小时后在C 处追上蓝方的小艇，则AC ＝14x 海里，BC ＝10x 海里，∠ABC ＝120°.根据余弦定理得(14x )2＝122＋(10x )2－240x cos 120°， 解得x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝－34舍去.故AC ＝28海里，BC ＝20海里． 根据正弦定理得BC sin α＝ACsin 120°， 解得sin α＝20sin 120°28＝5314.故红方侦察艇所需的时间为2小时，角α的正弦值为5314.应用解三角形知识解决实际问题四步曲(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语．(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出．(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦、余弦定理等有关知识正确求解．(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．[跟进训练]4．甲船在A 处，乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B 处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A 处向北偏西60°方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？[解] 设甲、乙两船经t 小时后相距最近且分别到达P ，Q 两处，因乙船到达A 处需2小时．①当0≤t <2时，如图①，在△APQ 中，AP ＝8t ，AQ ＝20－10t ， 所以PQ ＝AQ 2＋AP 2－2AQ ×AP ×cos 120° ＝(20－10t )2＋(8t )2－2×(20－10t )×8t ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝84t 2－240t ＋400 ＝221t 2－60t ＋100； ②当t ＝2时，PQ ＝8×2＝16； ③当t >2时，如图②，在△APQ中，AP＝8t，AQ＝10t－20，∴PQ＝AQ2＋AP2－2AQ×AP×cos 60°＝221t2－60t＋100.综合①②③知，PQ＝221t2－60t＋100(t≥0)．当且仅当t＝3021＝107时，PQ最小．所以甲、乙两船行驶107小时后，相距最近．[培优层·素养升华]【例题】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin B sin C.(1)求A；(2)若2a＋b＝2c，求sin C.[思路探究](1)利用正弦定理结合余弦定理求解角A的大小；(2)根据(1)中的结论结合正弦定理化简题中的等量关系，利用两角差的正弦公式求解sin C.[解](1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin B sin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝12.因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得2sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，即62＋32cos C＋12sin C＝2sin C，整理得cos(C＋60°)＝－2 2.因为0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝2 2，故sin C＝sin(C＋60°－60°)＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60°＝6＋2 4.本题考查正弦定理、余弦定理、两角和的余弦公式、两角差的正弦公式，综合性较强.综合应用正、余弦定理解三角形一直是高考的热点内容之一，着重考查直观想象、数学运算等学科素养.[素养提升练]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A－b sin B＝4c sin C，cos A＝－14，则bc＝()A．6 B．5 C．4 D．3A[∵a sin A－b sin B＝4c sin C，∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝b2＋c2－(4c2＋b2)2bc＝－3c22bc＝－14，∴bc＝6.]第十章 复数知识体系·题型探究复数的概念【例1】 32 (1)z ∈R ；(2)z 为虚数．[思路探究] 根据复数的分类列不等式组求解． [解] (1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，所以⎩⎨⎧x 2－3x －3>0，①log 2(x －3)＝0， ②x －3>0，③由②得x ＝4，经验证满足①③式．所以当x ＝4时，z ∈R .(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，所以⎩⎨⎧x 2－3x －3>0，①log 2(x －3)≠0， ②x －3>0，③由①得x >3＋212或x <3－212. 由②得x ≠4，由③得x >3. 所以当x >3＋212且x ≠4时，z 为虚数．1．正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提．2．两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据． 3．求字母的范围时一定要关注实部与虚部自身有意义．[跟进训练]1．(1)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( ) A ．－4 B ．－45 C ．4 D ．45(2)设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 是虚数单位)，则复数z 的实部是__________．(1)D (2)1 [(1)∵(3－4i)z ＝|4＋3i|，∴z ＝|4＋3i|3－4i ＝42＋323－4i ＝5(3＋4i )25＝35＋45i ，∴z 的虚部为45.故选D ．(2)法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则i(z ＋1)＝i(a ＋b i ＋1)＝－b ＋(a ＋1)i ＝－3＋2i. 由复数相等的充要条件，得⎩⎨⎧ －b ＝－3，a ＋1＝2，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3.故复数z 的实部是1.法二：由i(z ＋1)＝－3＋2i ，得z ＋1＝－3＋2ii ＝2＋3i ，故z ＝1＋3i ，即复数z 的实部是1.]复数的四则运算【例2】 (1)设i 是虚数单位，z －表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则z i ＋i·z－＝( )A ．－2B ．－2iC ．2D ．2i(2)设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z ＝( ) A ．2＋3i B ．2－3i C ．3＋2i D ．3－2i[思路探究] (1)先求出z 及zi ，结合复数运算法则求解． (2)利用方程思想求解并化简．(1)C (2)A [(1)∵z ＝1＋i ，∴z －＝1－i ，z i ＝1＋i i ＝－i 2＋i i ＝1－i ，∴z i ＋i·z －＝1－i ＋i(1－i)＝2.故选C ．(2)由(z －2i)(2－i)＝5，得z ＝2i ＋52－i ＝2i ＋5(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2i ＋2＋i ＝2＋3i.]复数加减乘运算可类比多项式的加减乘运算，注意把i 看作一个字母(i 2＝－1)，除法运算注意应用共轭的性质z 为实数.[跟进训练]2．(1)复数2＋i1－2i 的共轭复数是( )A ．－35iB ．35i C ．－i D ．i(2)已知复数z 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i (1＋i)(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，则z 2＝________.(1)C (2)4＋2i [(1)依题意知，2＋i 1－2i ＝(2＋i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝5i5＝i ，∴其共轭复数为－i. (2)z 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i (1＋i)＝2－i.设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ， 则z 1·z 2＝(2－i)·(a ＋2i) ＝(2a ＋2)＋(4－a )i ，因为z 1·z 2∈R ， 所以a ＝4. 所以z 2＝4＋2i.]复数的几何意义【例3】 (1)在复平面内，复数i1－i对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 (2)在复平面内，复数1－2i2＋i对应的点的坐标为( ) A ．(0，－1) B ．(0,1) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35[思路探究] 先把复数z 化为复数的标准形式，再写出其对应坐标． (1)B (2)A [(1)复数i 1－i ＝i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i 2＝－12＋12i. ∴复数对应点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12.∴复数i1－i在复平面内对应的点位于第二象限．故选B ． (2)∵1－2i 2＋i ＝(1－2i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝－5i5＝－i ，其对应的点为(0，－1)，故选A ．]1．复数的几何表示法复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )可以用复平面内的点Z (a ，b )来表示．此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．2．复数的向量表示以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变．3．复数的加减法的几何意义实质上是平行四边形法则和三角形法则．由减法的几何意义知|z －z 1|表示复平面上两点Z 与Z 1之间的距离．4．复数形式的基本轨迹(1)|z －z 1|＝r 表示复数对应的点的轨迹是以z 1对应的点为圆心，半径为r 的圆．(2)|z －z 1|＝|z －z 2|表示以复数z 1，z 2的对应点为端点的线段的垂直平分线．[跟进训练]3．(1)已知复数z 对应的向量如图所示，则复数z ＋1所对应的向量正确的是( )(2)若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( )A ．EB ．FC ．GD ．H(1)A (2)D [(1)由题图知，z ＝－2＋i ，∴z ＋1＝－2＋i ＋1＝－1＋i ，故z ＋1对应的向量应为选项A ．(2)由题图可得z ＝3＋i ，所以z 1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i 2＝2－i ，则其在复平面上对应的点为H (2，－1)．]函数与方程思想【例4】 已知f (z )＝|1＋z |－z ，且f (－z )＝10＋3i ，求复数z .[思路探究] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，由复数相等列方程组求解即可．[解] ∵f (z )＝|1＋z |－z －，∴f (－z )＝|1－z |＋z －. 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i.由f (－z )＝10＋3i ，得|1－(a ＋b i)|＋a －b i ＝10＋3i ，∴⎩⎨⎧(1－a )2＋b 2＋a ＝10，－b ＝3， 解方程组得⎩⎨⎧a ＝5，b ＝－3，∴复数z ＝5－3i.一般设出复数z 的代数形式，即z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则涉及复数的分类、几何意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题，都可以转化为实数x ，y 应满足的方程(组)，即复数问题实数化的思想是本章的主要思想方法．[跟进训练]4．满足z ＋5z 是实数，且z ＋3的实部与虚部是相反数的虚数z 是否存在？若存在，求出虚数z ；若不存在，请说明理由．[解] 设虚数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且y ≠0)，则z ＋5z ＝x ＋y i ＋5x ＋y i ＝x ＋5x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －5y x 2＋y 2i ，z ＋3＝(x ＋3)＋y i.由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧y －5y x 2＋y2＝0，x ＋3＝－y ，因为y ≠0，所以⎩⎨⎧ x 2＋y 2＝5，x ＋y ＝－3，解得⎩⎨⎧ x ＝－1，y ＝－2或⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝－1.所以存在虚数z ＝－1－2i 或z ＝－2－i 满足题设条件．[培优层·素养升华]【例1】 设z ＝i(2＋i)，则z ＝( ) A ．1＋2i B ．－1＋2i C ．1－2iD ．－1－2iD [∵z ＝i(2＋i)＝－1＋2i ，∴z ＝－1－2i.] 【例2】 设有下面四个命题 p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4B [设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 1＝a 1＋b 1i(a 1，b 1∈R )，z 2＝a 2＋b 2i(a 2，b 2∈R )． 对于p 1，若1z ∈R ，即1a ＋b i ＝a －b i a 2＋b 2∈R ，则b ＝0⇒z ＝a ＋b i ＝a ∈R ，所以p 1为真命题．对于p 2，若z 2∈R ，即(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2∈R ，则ab ＝0. 当a ＝0，b ≠0时，z ＝a ＋b i ＝b i ∉R ，所以p 2为假命题．对于p 3，若z 1z 2∈R ，即(a 1＋b 1i)(a 2＋b 2i)＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ∈R ，则a 1b 2＋a 2b 1＝0.而z 1＝z 2，即a 1＋b 1i ＝a 2－b 2i ⇔a 1＝a 2，b 1＝－b 2.因为a 1b 2＋a 2b 1＝0Da 1＝a 2，b 1＝－b 2，所以p 3为假命题．对于p 4，若z ∈R ，即a ＋b i ∈R ，则b ＝0⇒z ＝a －b i ＝a ∈R ，所以p 4为真命题．]高考对复数的考查较为基础，通常以选择题的形式考查复数的概念与四则运算，属容易题，重点体现数学运算、逻辑推理、直观想象等学科素养.[素养提升练] 1．设z ＝3－i1＋2i，则|z |＝( ) A ．2 B ． 3 C ． 2 D ．1C [∵z ＝3－i 1＋2i ＝(3－i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝1－7i5，∴|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－752＝ 2.] 2．i 是虚数单位，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－i 1＋i 的值为________．13 [∵5－i 1＋i ＝(5－i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝2－3i ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－i 1＋i ＝|2－3i|＝13.]第十一章 立体几何初步知识体系[提升层·题型探究]空间几何体的表面积与体积【例们将体积公式“V ＝kD 3”中的常数k 称为“立圆术”或“玉积率”，创用了求“玉积率”的独特方法“会玉术”，其中，D 为直径，类似地，对于等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱叫做等边圆柱)、正方体也有类似的体积公式V ＝kD 3，其中，在等边圆柱中，D 表示底面圆的直径；在正方体中，D 表示棱长．假设运用此“会玉术”求得的球、等边圆柱、正方体的“玉积率”分别为k 1，k 2，k 3，那么，k 1∶k 2∶k 3＝( )A ．π4∶π6∶1B ．π6∶π4∶2C ．1∶3∶12πD ．1∶32∶6πD [球中，V ＝43πR 3＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫D 23＝π6D 3＝k 1D 3，所以k 1＝π6；等边圆柱中，V ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫D 22·D ＝π4D 3＝k 2D 3，所以k 2＝π4；正方体中，V ＝D 3＝k 3D 3，所以k 3＝1， 所以k 1∶k 2∶k 3＝π6∶π4∶1＝1∶32∶6π.]记牢常见几何体的表面积、体积公式是解决此类问题的关键.涉及古代文化背景的题目，首先读懂题意，再按题意与所学的知识联系起来，将问题转化为我们熟悉的问题后再解决.[跟进训练]1．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为( )A ．142π平方尺B ．140π平方尺C ．138π平方尺D ．128π平方尺C [可以把该四棱锥补成一个长方体，长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，四棱锥的外接球就是长方体的外接球，其直径为72＋52＋82＝138尺，所以表面积为4π×⎝⎛⎭⎪⎫13822＝138π平方尺．] 与球有关的切、接问题【例2 [思路探究] 正四面体的内切球、外接球、棱切球的球心与正四面体的中心O 重合，则内切球的半径为点O 到各面的距离，外接球的半径为点O 到各顶点的距离，棱切球的半径为点O 到各棱的距离．[解] 由正四面体的对称性与球的对称性知正四面体的外接球、内切球、棱切球的球心都与正四面体的中心重合．如图所示，设正四面体A -BCD 的高为AG ，O 为正四面体的中心，连接CG 并延长交BD 于点E ，连接OC ，OE ，则外接球的半径R ＝OA ＝OC ．由题意可得CE ＝3a 2，则CG ＝23CE ＝3a 3，EG ＝13CE ＝3a 6，所以AG ＝AC 2－CG 2＝6a 3.所以OG ＝6a 3－R .在Rt △OCG 中，OC 2＝OG 2＋CG 2，即R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6a 3－R 2＋a 23，解得R ＝6a 4. 所以内切球的半径r ＝OG ＝6a 3－6a 4＝6a 12.棱切球的半径为OE ＝EG 2＋OG 2＝a 212＋a 224＝2a 4.常见的几何体与球的切、接问题的解决方案如下：[跟进训练]2．(1)已知正方体的外接球的体积是32π3，那么正方体的棱长是( )A ．2 2B ．233C ．423D ．433(2)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D -ABC 体积的最大值为( )A．12 3 B．18 3 C．24 3 D．543(1)D(2)B[(1)根据球的体积，求得其半径r＝2，再由r＝3a2可得棱长a为43 3.(2)设等边△ABC的边长为x，则12x2sin 60°＝93，解得x＝6.设△ABC的外接圆半径为r，则r＝23，所以球心到△ABC所在平面的距离d＝42－(23)2＝2，则点D到平面ABC的最大距离d1＝d＋4＝6，所以三棱锥D-ABC体积的最大值V max＝13S△ABC×6＝13×93×6＝18 3.]空间中的平行关系【例3】如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA．在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．[思路探究]假设存在满足条件的点F，由于平面AFC∥平面PMD，且平面AFPM与平面AFC、平面PMD分别交于直线AF，PM，则必有AF∥PM，又PB ＝2MA，则点F是PB的中点．[解]当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD，证明如下：如图，连接AC和BD交于点O，连接FO，那么PF＝12PB．∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点．∴OF∥PD．又OF⊄平面PMD，PD⊂平面PMD，∴OF∥平面PMD．又MA 12PB，∴PF MA．∴四边形AFPM是平行四边形．∴AF∥PM.又AF⊄平面PMD，PM⊂平面PMD，∴AF∥平面PMD．又AF∩OF＝F，AF⊂平面AFC，OF⊂平面AFC．∴平面AFC∥平面PMD．空间中的平行关系主要是指空间中线与线、线与面及面与面的平行，其中三种关系相互渗透．在解决线面、面面平行问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而利用性质定理时，其顺序相反，且“高维”的性质定理就是“低维”的判定定理．特别注意，转化的方法由具体题目的条件决定，不能过于呆板僵化，要遵循规律而不局限于规律．3．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.[证明]连接AC交BD于O，连接MO，因为四边形ABCD为平行四边形，所以O为AC的中点，又因为M为PC的中点，所以MO∥AP，又因为MO⊂平面BDM，P A⊄平面BDM，所以P A∥平面BDM，又因为P A⊂平面P AHG，平面P AHG∩平面BDM＝GH，所以P A∥GH.空间中的垂直关系【例4】如图所示，在斜三棱柱A1B1C1-ABC中，底面是等腰三角形，AB＝AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC．(1)若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1；(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于点M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C．[解](1)证明：因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC．因为底面ABC⊥侧面BB1C1C，底面ABC∩侧面BB1C1C＝BC，所以AD⊥侧面BB1C1C．所以AD⊥CC1.(2)延长B1A1与BM的延长线交于点N，连接C1N.因为AM＝MA1，所以NA1＝A1B1.因为A1C1＝A1N＝A1B1，所以C1N⊥B1C1，所以C1N⊥侧面BB1C1C．因为C1N⊂截面MBC1，所以截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ．空间中的垂直关系包括线与线的垂直、线与面的垂直及面与面的垂直，三种垂直关系是本章学习的核心，学习时要突出三者间的互化意识．如在证明两平面垂直时一般从现有直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线不存在，则可通过作辅助线来解决．如有面面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，进一步转化为线线垂直．[跟进训练]4．如图，ABCD 是正方形，点P 在以BC 为直径的半圆弧上(P 不与B ，C 重合)，E 为线段BC 的中点，现将正方形ABCD 沿BC 折起，使得平面ABCD ⊥平面BCP .(1)证明：BP ⊥平面DCP ；(2)若BC ＝2，当三棱锥D -BPC 的体积最大时，求E 到平面BDP 的距离．[解] (1)证明：因为平面ABCD ⊥平面BPC ，ABCD 是正方形，平面ABCD ∩平面BPC ＝BC ，所以DC ⊥平面BPC ．因为BP ⊂平面BPC ，所以BP ⊥DC ．因为点P 在以BC 为直径的半圆弧上，所以BP ⊥PC ．又DC ∩PC ＝C ，所以BP ⊥平面DCP .(2)当点P 位于BC ︵的中点时，△BCP 的面积最大，三棱锥D -BPC 的体积也最大．因为BC ＝2，所以PE ＝1，所以△BEP 的面积为12×1×1＝12，所以三棱锥D -BEP 的体积为13×12×2＝13.因为BP ⊥平面DCP ，所以BP ⊥DP ，DP＝(22)2－(2)2＝6，△BDP的面积为12×2×6＝ 3.设E到平面BDP的距离为d，由于V D-BEP＝V E-BDP，则13×3×d＝13，得d＝33，即E到平面BDP的距离为33.空间中的角的求解【例5】如图，在三棱锥S-ABC中，SA＝SB＝AC＝BC＝2，AB＝23，SC ＝1.(1)画出二面角S-AB-C的平面角，并求它的度数；(2)求三棱锥S-ABC的体积．[解](1)取AB中点D，连接SD，CD，因为SA＝SB＝2，AC＝BC＝2，所以SD⊥AB，CD⊥AB，且SD⊂平面SAB，CD⊂平面CAB，所以∠SDC是二面角S-AB-C的平面角．在直角三角形SDA中，SD＝SA2－AD2＝22－(3)2＝1，在直角三角形CDA中，CD ＝CA 2－AD 2＝22－(3)2＝1，所以SD ＝CD ＝SC ＝1，所以△SDC 是等边三角形，所以∠SDC ＝60°.(2)法一：因为SD ⊥AB ，CD ⊥AB ，SD ∩CD ＝D ，所以AB ⊥平面SDC ，又AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面SDC ，且平面ABC ∩平面SDC ＝CD ，在平面SDC 内作SO ⊥DC 于O ，则SO ⊥平面ABC ，即SO 是三棱锥S -ABC 的高．在等边△SDC 中，SO ＝32，所以三棱锥S -ABC 的体积V S -ABC ＝13S △ABC ·SO ＝13×12×23×1×32＝12.法二：因为SD ⊥AB ，CD ⊥AB ，SD ∩CD ＝D ，所以AB ⊥平面SDC ．在等边△SDC 中，S △SDC ＝34SD 2＝34，所以三棱锥S -ABC 的体积V S -ABC ＝V A -SDC ＋V B -SDC ＝13S △SDC ·AB ＝13×34×23＝12.1．两条异面直线所成的角(1)一般通过平移(在所给图形内平移一条直线或平移两条直线)或补形(补形的目的仍是平移)，把异面直线所成角转化为共面直线所成角来计算．(2)平移时经常利用某些特殊点(如中点)或中位线、成比例线段来实现，补形时经常把空间图形补成熟悉的或完整的几何体(如正方体、长方体、平行六面体等)．2．直线和平面所成的角当直线为平面的斜线时，它是斜线与斜线在平面内的射影所成的角，通常在斜线上取一特殊点向平面作垂线找到这个锐角，然后通过解直角三角形加以求出．3．求解二面角的平面角的步骤一找(寻找现成的二面角的平面角)；二作(若没有找到现成的，需要引出辅助线作出二面角的平面角)；三求(有了二面角的平面角后，在三角形中求出该角相应的三角函数值)．[跟进训练]5．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且AB ＝BC ＝CD ，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为( )A ．12B ．－12C ．32D ．－32A [如图，分别取BC ，CD ，AD ，BD 的中点M ，N ，P ，Q ，连接MN ，NP ，MP ，PQ ，MQ ，则MN ∥BD ，NP ∥AC ，所以∠PNM 即为异面直线AC 和BD 所成的角(或其补角)．又由题意得PQ ⊥MQ ，PQ ＝12AB ，MQ ＝12CD ．设AB ＝BC ＝CD ＝2，则PM ＝ 2.又MN ＝12BD ＝2，NP ＝12AC ＝2，所以△PNM 为等边三角形，所以∠PNM ＝60°，所以异面直线AC 与BD 所成角为60°，其余弦值为12.][培优层·素养升华]【例题】 如图，直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．(1)证明：MN∥平面C1DE；(2)求点C到平面C1DE的距离．[思路探究](1)连接B1C，ME，可得四边形MNDE为平行四边形，进而得出MN∥DE，可证MN∥平面C1DE.(2)由已知可证DE⊥平面C1CE，过点C作CH⊥C1E于点H，则DE⊥CH，进而可证CH⊥平面C1DE，计算可得CH的长，从而得所求距离．[解](1)证明：如图所示，连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME＝12B1C．又因为N为A1D的中点，所以ND＝12A1D．由题设知A1B1DC，可得B1C A1D，故ME ND，因此四边形MNDE为平行四边形，所以MN∥ED．又MN⊄平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.(2)如图所示，过点C作C1E的垂线，垂足为H.由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，所以DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH.从而CH⊥平面C1DE，故CH的长即为点C到平面C1DE的距离．由已知可得CE＝1，C1C＝4，所以C1E＝17，故CH＝417 17.从而点C到平面C1DE的距离为417 17.本题属中档题，难度不大，考查了线面平行的证明及点面距离的计算，充分体现了直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.[素养提升练]如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥PD，P A＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．(1)求证：PE⊥BC；(2)求证：平面P AB⊥平面PCD；(3)求证：EF∥平面PCD．[证明](1)因为P A＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD．因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD，所以PE⊥BC．(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD．又因为平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，所以AB⊥平面P AD，所以AB⊥PD．又因为P A⊥PD，P A∩AB＝A，所以PD⊥平面P AB．所以平面P AB⊥平面PCD．(3)如图，取PC的中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FG∥BC，FG＝12BC．因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DE∥BC，DE＝12BC．所以DE∥FG，DE＝FG.所以四边形DEFG为平行四边形，所以EF∥DG.又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD．。
人教版高中数学必修四常用公式大全
高中数学必修4常用公式及结论一、三角函数与三角恒等变换2、同角三角函数公式 sin 2α+ cos 2α= 1 ααcos tan = tan αcot α=13、二倍角的三角函数公式sin2α= 2sin αcos α cos2α=2cos 2α-1 = 1-2 sin 2α= cos 2α- sin 2αααα2tan 1tan 22tan -=4、降幂公式 22cos 1cos 2αα+=22cos 1sin 2αα-= 5、升幂公式 1±sin2α= (sin α±cos α) 2 1 + cos2α=2 cos 2α 1- cos2α= 2 sin 2α6、两角和差的三角函数公式sin (α±β) = sin αcos β土cos αsin β cos (α±β) = cos αcos β干sin αsin β()βαβαβαtan tan 1tan tan tan ±=±7、两角和差正切公式的变形：tan α±tan β= tan (α±β) (1干tan αtan β)ααtan 1tan 1-+=ααtan 45tan 1tan 45tan ︒-+︒= tan (4π+α) ααtan 1tan 1+-=ααtan 45tan 1tan 45tan ︒+-︒= tan (4π-α)8、两角和差正弦公式的变形（合一变形）()ϕααα++=+sin cos sin 22b a b a （其中ab =ϕtan ） 9、半角公式：212ααcos sin-±= 212ααcos cos +±= αααααααsin cos cos sin cos cos tan-=+=+-±=1111210、三角函数的诱导公式 “奇变偶不变，符号看象限。
”sin (π－α) = sin α， cos (π－α) = －cos α， tan (π－α) = －tan α； sin (π+α) = －sin α cos (π+α) = －cos α tan (π+α) = tan α sin (2π－α) = －sin α cos (2π－α) = cos α tan (2π－α) = －tan αsin (－α) = －sin α cos (－α) = cos α tan (－α) = －tan αsin (2π－α) = cos α cos (2π－α) = sin α tan (2π－α) = cot α sin (2π+α) = cos α cos (2π+α) = －sin α tan (2π+α) = －cot α11.三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T πω=.二、平面向量 （一）、向量的有关概念 1、向量的模计算公式：（1）向量法：|a=；（2）坐标法：设a =（x ，y ），则|a | =22y x +2、单位向量的计算公式：（1）与向量a =（x ，y ）同向的单位向量是⎪⎪⎭⎫⎝⎛++2222y x y ,y x x ； （2）与向量a =（x ，y ）反向的单位向量是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-2222y x y,y x x； 3、平行向量规定：零向量与任一向量平行。
人教B版高中数学必修4-3.2《倍角公式和半角公式》拔高练习
倍角公式和半角公式1. 函数)2(cos 2π+=x y 是（ ） A ．最小正周期是π的偶函数 B ．最小正周期是π的奇函数C ．最小正周期是2π的偶函数D ．最小正周期是2π的奇函数2.若.1)8(),()4(,)cos(2)(-=-=+++=ππφωf t f t f t m x x f 且都有对任意实数则实数m 的值等于（ ）A ．1±B ．－3或1C ．3±D ．－1或33．函数)552cos()102sin(2︒++︒+=x x y 的最大值是 . 4．化简)6(sin )3cos(cos sin 22α-π-α+π⋅α+α= . 5. 若0,(2sin cos ,2sin cos ),(sin ,cos ).a x x x x b x x ωωωωωωω>=+-= ().f x a b =⋅，()f x 图像上相邻的两个对称轴的距离是.2π（1）求ω的值；（2）求函数]2,0[)(π在区间x f 上的最大值和最小值.参考答案1.D2.D 3．1 4．41 5.x x x x x x b a x f ωωωωωωcos )cos sin 2(sin )cos sin 2()(-++=⋅=x x x x ωωωω22cos cos sin 3sin 2-+=)2cos 1(212sin 232cos 1x x x ωωω+-+-= 21)42sin(22321)2cos 2(sin 23+-=+-=πωωωx x x . （1）因为函数)(x f 的图象上相邻的两个对称轴间的距离是2π，所以函数)(x f 的最小正周期T=π，则1=ω. （2）.21)42sin(223)(,1+-==πωx x f ]2,0[π∈∴x ]43,4[42πππ-∈-∴x ，则当0442=-=-x x 即ππ时，)(x f 取得最小值－1；当)(,83242x f x x 时即πππ==-取得最大值.2123+。
高中数学必修四公式大全
必修四—第一章 三角函数1. ❖终边落在x 轴上的角的集合： .❖ 终边落在y 轴上的角的集合： .❖ 终边落在坐标轴上的角的集合： .2弧长公式： =l，=S .3.同角三角函数的基本关系：①平方关系： ②乘积关系:◆ 诱导公式（一）()()=+=+=+)2tan(2cos 2sin παπαπαk k k◆ 诱导公式（二） ()()()=+=+=+απαπαπtan cos sin◆ 诱导公式（三） ()()()=-=-=-αααtan cos sin◆ 诱导公式（四） ()()()=-=-=-απαπαπtan cos sin◆ 诱导公式（五）=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-απαπ2cos 2sin◆ 诱导公式（六）=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+απαπ2cos 2sin4.三角函数（x x x tan ,cos ,sin ）的性质5.函数)sin(ϕ+=wx A y 的图像振幅变化：x y sin = x A y sin = 左右伸缩变化 x A y ωsin =左右平移变化)sin(ϕω+=x A y 上下平移变化 k x A y ++=)sin(ϕω第二章：平面向量1.平面向量共线定理： 一般地，对于两个向量 ()如果有,,0,b a a ≠()是共线向量与是共线向量；反之如果与则使得一个实数a b a b a a b ,0,,≠=λλ .,a b λλ=使得那么又且只有一个实数2.向量的一个定理的类似推广①向量共线定理： )0(≠=a a b λ②平面向量基本定理： 2211e e a λλ+=（其中21,e e 为平面内不共线的两向量）3.线段的定比分点点P 分有向线段21P P 所成的比的定义式21PP P P λ=,这时=x ，=y . 4.一般地，设向量()(),0,,,2211≠==a y x b y x a 且 ①那么如果b a // . ②如果b a ⊥，那么 .5.一般地，对于两个非零向量b a , 有 θb a =⋅，其中θ为两向量的夹角。
人教版高中数学必修四常见公式及知识点总结(完整版)
必修四常考公式及高频考点第一部分 三角函数与三角恒等变换考点一 角的表示方法 1.终边相同角的表示方法：所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以构成一个集合：{β|β= k ·360 °+α,k ∈Z } 2.象限角的表示方法：第一象限角的集合为{α| k ·360 °<α<k ·360 °+90 °,k ∈Z }第二象限角的集合为{α| k ·360 °+90 °<α<k ·360 °+180 °,k ∈Z } 第三象限角的集合为{α| k ·360 °+180 °<α<k ·360 °+270 °,k ∈Z } 第四象限角的集合为{α| k ·360 °+270 °<α<k ·360 °+360 °,k ∈Z } 3.终边在某条射线、某条直线或两条垂直的直线上(如轴线角)的表示方法：（1）若所求角β的终边在某条射线上，其集合表示形式为{β|β= k ·360 °+α,k ∈Z },其中α为射线与x 轴非负半轴形成的夹角（2）若所求角β的终边在某条直线上，其集合表示形式为{β|β= k ·180 °+α,k ∈Z },其中α为直线与x 轴非负半轴形成的任一夹角（3）若所求角β的终边在两条垂直的直线上，其集合表示形式为{β|β= k ·90 °+α,k ∈Z },其中α为直线与x 轴非负半轴形成的任一夹角 例：终边在y 轴非正半轴上的角的集合为{α|α= k ·360 °+270 °,k ∈Z }终边在第二、第四象限角平分线上的集合为{α|α= k ·180 °+135 °,k ∈Z } 终边在四个象限角平分线上的角的集合为{α|α= k ·90 °+45 °,k ∈Z } 易错提醒：区别锐角、小于90度的角、第一象限角、0～90、小于180度的角 考点二 弧度制有关概念与公式 1.弧度制与角度制互化π=︒180，1801π=︒，1弧度︒≈︒=3.57180π2.扇形的弧长和面积公式（分别用角度制、弧度制表示方法）弧长公式：R Rn l απ==180, 其中α为弧所对圆心角的弧度数 扇形面积公式：lR R n S 213602==π=12 R 2|α|, 其中α为弧所对圆心角的弧度数 易错提醒：利用S=12R 2|α|求解扇形面积公式时，α为弧所对圆心角的弧度数，不可用角度数规律总结：“扇形周长、面积、半径、圆心角”4个量，“知二求二”，注意公式选取技巧考点三 任意角的三角函数 1.任意角的三角函数定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么sin y r α=，cos x r α=，tan y x α=（22||r OP x y ==+）；化简为xyx y ===αααtan ,cos ,sin . 2.三角函数值符号规律总结：利用三角函数定义或“一全正、二正弦、三正切、四余弦”口诀记忆象限角或轴线角的三角函数值符号. 3.特殊角三角函数值SIN15º=SIN(60º-45º)=SIN60ºCOS45º-SIN45ºCOS60º=(√6-√2)/4 COS15º=COS(60º-45º)=COS60ºCOS45º+SIN60ºSIN45º=(√6+√2)/4除此之外，还需记住150、750的正弦、余弦、正切值 4.三角函数线经典结论： (1)若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<(2)若(0,)2x π∈，则1sin cos 2x x <+≤(3)|sin ||cos |1x x +≥考点四 三角函数图像与性质y OxyOxα终边yOx yOx P M A TPM A T正弦线余弦线 正切线PP MA TP MA T α终边α终边α终边sin y x =cos y x = tan y x =图象定义域R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min1y=-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数； 在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数； 在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称轴()2x k k ππ=+∈Z 对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z⎪⎝⎭对称轴()x k k π=∈Z对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z⎪⎝⎭无对称轴考点五 正弦型（y=Asin(ωx ＋φ)）、余弦型函数（y=Acos(ωx ＋φ)）、正切性函数（y=Atan(ωx ＋φ)）图像与性质 1.解析式求法字母 确定途径 说明A 由最值确定 A ＝最大值－最小值2B 由最值确定B ＝最大值＋最小值2ω 由函数的周期确定相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期，最高点(或最低点)的横坐标与相邻零点差的绝对值为0.25个周期φ由图象上的特殊点确定可通过认定特殊点是五点中的第几个关键点，然后列方程确定；也可通过解简单三角方程确定A 、B 通过图像易求，重点讲解φ、ω求解思路： ①φ求解思路：函数性质代入图像的确定点的坐标.如带入最高点),(11y x 或最低点坐标),(22y x ，则)(221Z k k x ∈+=+ππϕω或)(2232Z k k x ∈+=+ππϕω，求ϕ值． 易错提醒：y=Asin(ωx＋φ)，当ω>0，且x=0时的相位（ωx+φ=φ）称为初相.如果不满足ω>0，先利用诱导公式进行变形，使之满足上述条件，再进行计算.如y=-3sin(-2x+600)的初相是-600②ω求解思路：利用三角函数对称性与周期性的关系，解ω.相邻的对称中心之间的距离是周期的一半；相邻的对称轴之间的距离是周期的一半；相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期的四分之一. 2.“一图、两域、四性” “一图”：学好三角函数，图像是关键。
人教版数学高一B版必修4知识必备3.1和角公式
3.1 和角公式知识梳理1.两角和与差的余弦公式(1)公式：cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ；cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.(2)理解和记忆：①上述公式中的α、β都是任意角.②和差角的余弦公式不能按分配律展开，即cos(α±β)≠cosα±cosβ.③公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用公式，在很多时候，逆用更能简洁的处理问题.如由cos50°cos20°+sin50°sin20°能迅速地想到cos50°cos20°+sin50°sin20°=cos(50°-20°)=cos30°=21. ④第一章中所学的部分诱导公式可通过本节公式验证.⑤记忆：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反.2.两角和与差的正弦公式(1)公式：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ；sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.(2)理解和记忆：①上面公式中的α、β均为任意角.②与和差角的余弦公式一样,公式对分配律不成立，即sin(α±β)≠sinα±sinβ.③和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例.如sin(2π-α)=sin2πcosα-cos2πsinα=0×cosα-1×sinα=-sinα.当α或β中有一个角是π2的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便.④使用公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ，不要将sin(α+β)和cos(α+β)展开，而采用整体思想，进行如下变形：sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=sin ［(α+β)-β］=sinα,这也体现了数学中的整体原则.⑤记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的余弦公式的右端两部分为同名三角函数积，连接符号与左边的连接符号相反；两角和与差的正弦公式的右端的两部分为异名三角函数积，连接符号与左边的连接符号相同.3.两角和与差的正切(1)公式：tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+；tan(α-β)=βαβαtan tan 1tan tan +-. (2)理解和记忆：①公式成立的条件：a≠kπ+2π，β≠kπ+2π,α+β≠kπ+2π或α-β≠kπ+2π，以上k ∈Z .当tanα、tanβ、tan(α±β)不存在时，可以改用诱导公式解决.②两角和与差的正切同样不仅可以正用，而且可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)就可以解决诸如tan25°+tan20°+tan25°tan20°的问题.所以在处理问题时要注意观察式子的特点，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了.③与和差角的弦函数公式一样,公式对分配律不成立，即tan(α+β)≠tanα+tanβ.知识导学要学好本节有必要复习：任意角的三角函数及平面向量的数量积；本节的重点是公式的应用，难点是公式的变形应用；在学习过程中，要善于应用联系的观点看待问题.疑难突破1.形如函数f(x)=asinx+bcosx(ab≠0)的最值是什么？剖析:受思维定势的影响，总是认为y=sinx 和y=cosx 的最大值都是1，它们的最小值都是-1，则函数f(x)的最大值是|a|+|b|,最小值是-|a|-|b|.其实不然，其突破口是分析y=sinx 和y=cosx 取最值时，自变量x 的取值情况.当x=2kπ+2π(k ∈Z )时，y=sinx 取最大值1，当x=2kπ-2π(k ∈Z )时，y=sinx 取最小值-1；当x=2kπ(k ∈Z )时，y=cosx 取最大值1，当x=2kπ+π(k ∈Z )时，y=cosx 取最小值-1；由此看y=sinx 取最值时，y=cosx=0，而y=cosx 取最值时，y=sinx=0.所以y=sinx 和y=cosx 不能同时取最值，因此这样求最值是错误的.求形如函数f(x)=asinx+bcosx(ab≠0)的最值，常用方法是化归为求y=Asin(ωx+φ)+b 的最值.。
数学人教B版必修4教材习题点拨：3.1和角公式 Word版含解析
教材习题点拨练习A1．不成立．反例：当α＝β＝π4，等式不成立． 2．(1)6－24；(2)－6＋24； (3)2－64；(4)－6＋24.(提示：将75°角和15°角拆成30°角和45°角的和差) 3．(1)因为cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos αcos π2－sin αsin π2＝－sin α， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－sin α. (2)cos ⎝⎛⎭⎫－α＋π2＝cos αcos π2＋sin α·sin π2＝sin α. 练习B1．(1)原式＝cos 60°＝12；(2)原式＝cos 45°＝22；(3)原式＝cos 45°＝22. 2．因为sin α＝23，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos α＝－53.所以cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝cos π3·cos α－sin π3sin α＝12×⎝⎛⎭⎫－53－32×23＝－5＋236. cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝cos π3cos α＋sin π3sin α ＝12×⎝⎛⎭⎫－53＋32×23＝23－56. 3．因为sin α＝1517，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos α＝－817，又因为cos β＝－513，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以sin β＝1213.所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－817×⎝⎛⎭⎫－513－1517×1213＝－140221，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－817×⎝⎛⎭⎫－513＋1517×1213＝220221. 4．(1)－2sin φ；(2)cos α.5．(1)32cos α＋12sin α＝cos π6cos α＋sin π6sin α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－α； (2)cos θ－sin θ＝2⎝⎛⎭⎫12cos θ－12sin θ ＝2⎝⎛⎭⎫cos π4cos θ－sin π4sin θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ.练习A1．不成立．反例：α＝30°，β＝60°时，等式不成立．2．(1)6＋24；(2)6－24；(3)－6＋24；(4)12；(5)22. 3．(1)sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β－α)＝sin β；(2)sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝sin(α－β＋β)＝sin α. 4．因为sin α＝1517，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos α＝－817. 所以sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝sin π3cos α＋cos π3sin α ＝32×⎝⎛⎭⎫－817＋12×1517 ＝15－8334， sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝sin π3cos α－cos π3sin α ＝32×⎝⎛⎭⎫－817－12×1517 ＝－15－8334. 5．y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，所以函数y ＝3cos x ＋sin x 的最大值为2，最小值为－2.图象略．练习B1．因为sin α＝23且α是第二象限角，所以cos α＝－53.又因为cos β＝－34且β是第二象限角，所以sin β＝74， 所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝23×⎝⎛⎭⎫－34＋⎝⎛⎭⎫－53×74＝－6－3512，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝23×⎝⎛⎭⎫－34－⎝⎛⎭⎫－53×74＝35－612. 2．提示：代入旋转变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x cos θ－y sin θ，y ′＝x sin θ＋y cos θ求解， P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫4－332，3＋432， P 2⎝⎛⎭⎪⎫－4＋332，43－32，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋332，3－432. 3．(1)f (x )＝cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，所以函数f (x )＝cos x ＋sin x 的最大值是2，最小值是－2(图略)；(2)f (x )＝cos x －sin x＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，所以函数f (x )＝cos x －sin x 的最大值是2，最小值是－2(图略)； (3)f (x )＝5cos x ＋12sin x ＝13sin(x ＋φ)，其中sin φ＝513，cos φ＝1213，所以函数f (x )＝5cos x ＋12sin x 的最大值是13，最小值是－13(图略)；(4)f (x )＝4cos 5x ＋5sin 5x ＝41sin u (5x ＋φ)， 其中sin φ＝44141，cos φ＝54141， 所以函数f (x )＝4cos 5x ＋5sin 5x 的最大值是41，最小值是－41(图略)．4．I ＝I 1＋I 2＝12sin(ωt －30°)＋10sin(ωt ＋30°)＝12(sin ωt cos 30°－cos ωt ·sin 30°)＋10(sin ωt cos 30°＋cos ωt sin 30°)＝63sin ωt －6cos ωt ＋53sin ωt ＋5cos ωt＝113sin ωt －cos ωt＝364⎝ ⎛⎭⎪⎫113364sin ωt －1364cos ωt ＝291sin(ωt －φ)．其中cos φ＝113364，sin φ＝1291. 练习A1．(1)2－3；(2)－2－3；(3)1；(4)1. 2．tan(x ＋y )＝tan x ＋tan y 1－tan x tan y＝2＋151－2×15＝113； tan(x －y )＝tan x －tan y 1＋tan x tan y＝2－151＋2×15＝97. 3．(1)原式＝tan 30°＝33；(2)原式＝tan(45°＋75°)＝tan 120°＝－ 3.练习B1．(1)1＋tan θ1－tan θ＝tan π4＋tan θ1－tan π4tan θ ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4＋θ；(2)1－tan θ1＋tan θ＝tan π4－tan θ1＋tan π4tan θ ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ.2．tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝25＋371－25×37＝1. 3．tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝32－351＋32×35＝919. 习题3－1A1．因为cos A ＝45，且A 为△ABC 的内角，所以sin A ＝35.因为cos B ＝1213，且B 为△ABC 的内角，所以sin B ＝513，所以cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－(cos A cos B －sin A sin B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝35×513－45×1213＝－3365. 2．(1)sin(30°＋α)－sin(30°－α)＝sin 30°·cos α＋cos 30°sin α－sin 30°cos α＋cos 30°sin α＝2cos 30°sin α＝3sin α；(2)sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＋sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝sin π3·cos α＋cos π3sin α＋sin π3cos α－cos π3·sin α＝2sin π3cos α＝3cos α；(3)cos ⎝⎛⎭⎫π4＋φ－cos ⎝⎛⎭⎫π4－φ＝cos π4·cos φ－sin π4sin φ－cos π4cos φ－sin π4sin φ＝－2sin φ； (4)cos(27°＋α)cos(33°－α)－sin(27°＋α)·sin(33°－α)＝cos(27°＋α＋33°－α)＝cos 60°＝12； (5)sin(α－15°)cos(α＋15°)＋cos(α－15°)·sin(α＋15°)＝sin(α－15°＋α＋15°)＝sin 2α.3．(1)sin 35°cos 25°＋sin 55°cos 65°＝sin 35°cos 25°＋cos 35°sin 25°＝sin(35°＋25°)＝32； (2)cos 28°cos 73°＋cos 62°cos 17°＝cos 28°cos 73°＋sin 28°sin 73°＝cos(28°－73°)＝22. 4．因为sin α＝－1517，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，所以cos α＝817.所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝－1517×22＋817×22＝－7234，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos αcos π4－sin αsin π4＝817×22＋1517×22＝23234. 5．(1)tan 53°－cot 67°1＋tan 53°tan 23°＝tan 53°－tan 23°1＋tan 53°tan 23°＝tan(53°－23°) ＝tan 30°＝33； (2)1＋cot 75°1－tan 15°＝1＋tan 15°1－tan 15°＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝ 3.习题3－1B1．因为tan α＝12，tan β＝13，所以tan(α＋β)＝12＋131－12×13＝1. 2．(1)当旋转角为π2时，设P 1(x ′，y ′)．∠xOP ＝α，则|OP →|＝a 2＋b 2，所以cos α＝a a 2＋b 2a 2＋b2，sin α＝b a 2＋b 2a 2＋b 2.因为x ′＝a 2＋b 2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－a 2＋b 2sin α＝－a 2＋b 2·b a 2＋b 2a 2＋b 2＝－b ，y ′＝a 2＋b 2·sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝a 2＋b 2cos α＝a 2＋b 2·a a 2＋b 2a 2＋b 2＝a ，所以P 1(－b ，a )．同理，当旋转角为－π2时，P 2(b ，－a )． (2)当OP →＝(2,1)时，P 1(－1,2)，P 2(1，－2)；当OP →＝(－3,1)时，P 1(－1，－3)，P 2(1,3)．3．(1)y ＝sin x －sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝sin x －sin x ·22－cos x ·22＝⎝⎛⎭⎫1－22sin x －22cos x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－222＋⎝⎛⎭⎫－222sin(x ＋φ) ＝2－2sin(x ＋φ)．其中φ＝arctan(－2－1)．所以函数y ＝sin x －sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值是2－2，最小值是－2－2，周期是2π. (2)y ＝5cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＋12cos(2x ＋31π)＝－5sin 2x －12cos 2x ＝－25＋144sin(2x ＋φ)＝－13sin(2x ＋φ)，其中φ＝arctan 125.所以函数y ＝5cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＋12cos(2x ＋31π)的最大值为13，最小值为－13，周期是π.4．(1)tan(45°＋θ)＝tan 45°＋tan θ1－tan 45°tan θ＝1＋sin θcos θ1－sin θcos θ＝cos θ＋sin θcos θ－sin θ； (2)tan 2x －tan 2y 1－tan 2x tan 2y＝(tan x －tan y )(tan x ＋tan y )(1＋tan x tan y )(1－tan x tan y ) ＝tan(x ＋y )tan(x －y )；(3)tan x ＋tan y tan x －tan y＝sin x cos y ＋sin y cos xcos x cos y sin x cos y －sin y cos xcos x cos y＝sin (x ＋y )sin (x －y ). 5．tan(θ＋φ)＝1.且θ，φ为锐角，则θ＋φ＝π4. 6．1＝tan 45°＝tan(20°＋25°)＝tan 20°＋tan 25°1－tan 20°tan 25°. 7．因为tan(α＋β)＝2＋31－2×3＝－1，α，β为锐角，所以α＋β＝135°.。
高一数学人教B版必修四同步专练：(8)和角公式
同步单元专练(8)和角公式1、不满足2sin sin cos cos αβαβ=-的一组,αβ值是( ) A. ,24ππαβ== B. 25,312αβππ== C. 2,312αβππ== D. ,42αβππ==2、若()3,5sin πθθ+=-是第二象限角,2sin ϕϕπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭是第三象限角,则()cos θϕ-的值是( )A. -C.253、在ABC ∆中, 3,2 tan A tan B tan C tan B tan Atan C ++==,则角 B = ( )A.30°B.45°C.60°D.120°4、如果sin m sin n αβαβ(+)=(-),那么tan tan βα等于( ) A.m n m n-+ B. m n m n+- C. n m n m-+ D. n m n m +-5、设A ,B ,C 是ABC ∆的三个内角,且tan A ,tan B 是方程23510x x -+=的两个实根,那么ABC ∆是( )A.钝角三角形B.锐角三角形C.等腰直角三角形D.以上均有可能6、已知()0,απ∈,且4sin 5α=,则tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ( ) A. 17±B. 7±C. 17-或7- D. 17或77、 245 125 155 35sin sin sin sin ︒︒+︒︒的值是( )A. -B. 12- C. 128、已知 ?, ?cos cos sin sin αβαβ+=+=12则() cos αβ-= () A. 12-B. -C. 12D. 19、()21515sin cos ︒+︒的值为( )B. 12 C. 32 D. 3410、已知,αβ为锐角,且cosαβ==,则αβ+的值是() A. 23π B. 34π C. 4πD. 3π11、已知,αβ都是锐角, 4sin 5α=,()5cos 13αβ+=,则sin β的值为() A. 1665 B. 5665 C. 865 D. 476512、sin 43cos13sin13cos43︒︒-︒︒的值为( ) A. 1213、已知cos()sin 6παα-+=则7sin()6απ+的值是__________ 14、函数()1 2 22f x sin x cos x =+2的最小正周期是________. 15、75 15sin sin ︒+︒122的值等于________. 16、已知1,0,,52cos ααπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭则cos 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________ 17、()()()()270180270180cos x cos x sin x sin x +︒-︒++︒-︒的值等于__________.18__________.19、在ABC ∆中,若tan tan tan A B A B ++=,则C 等于__________.20、ABC ∆中, 1 ,2cosAcosB sinA sinB -=-则角C 的大小为__________ 21、若2±是方程25 10x xsin θ-+=的两根,则 2cos θ=________.22、已知 2,tan x =则 2()4tan x π-=________.答案以及解析1答案及解析：答案：C解析：因为sin sin cos cos αβαβ=,所以()cos αβ-=C 中的α,β不满足2答案及解析：答案：B解析： 因为()3,5sin πθ+=-所以3 ,5sin θ=因为θ是第二象限角, 所以4 5cos θ=-因为2sin ϕπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以cos 5ϕ=-因为φ是第三象限角,所以 5sin ϕ=-所以43cos()cos cos ()(55θϕθϕ-==-⨯+⨯=3答案及解析：答案：C解析：因为180,A B C ++=所以() ,tan A C tan B +=-又 3,tan A tan B tan C ++=所以 3 ,tan A tan C tan B +=-又2 ,tan B tan Atan C =所以由()1tanA ta ta nC tanAtanCn A C +-+=得 tan B -= 所以()2 13 ,tan B tan B tan B --=-所以3tan B =,所以 tan B =又0180,B <<所以60.B =︒4答案及解析：答案：A解析：5答案及解析：答案：A解析：因为tan A ,tan B 是方程23510x x -+=的两个实根, 所以由根与系数的关系,得5tan tan 3A B +=,1tan tan 03A B =>. 又因为()C A B π=-+, 所以tan tan 5tan 01tan tan 2A B C A B +=-=-<-. 所以C 为钝角,即为钝角三角形.6答案及解析：答案：C解析：7答案及解析：答案：B解析：原式 65 55 25 35sin sin sin sin =-︒︒+︒︒25 35 25 35cos cos sin sin =-︒︒+︒︒()13525 60.2cos cos =-︒+︒=-︒=-8答案及解析：答案：A解析：由 ?, ?cos cos sin sin αβαβ+=+=122两边平方相加得()()2222 ? ? 1,cos cos sin sin αβαβ⎛⎛⎫ ⎪ ⎝⎭⎝⎭+++=+=122 所以22 ?2 ?1,cos cos sin sin αβαβ++=()2 ? ? 1,cos cos sin sin αβαβ+=-() .cos αβ-=-129答案及解析：答案：C解析：10答案及解析：答案：B解析：11答案及解析：答案：A 解析：∵02πα<<,02πβ<<,∴0αβπ<+<. ∵4sin 5α=,()5cos 13αβ+=,∴3cos 5α=,()12sin 13αβ+=,∴()sin sin βαβα=+-⎡⎤⎣⎦()()sin cos cos sin αβααβα=+-+ 123541613513565=⨯-⨯=.12答案及解析：答案：A解析：13答案及解析：答案：45- 解析：14答案及解析：答案：π解析：由于() 22 ,f x cos xcos sin xsin cos πππ=+ =⎛⎫-⎪⎝⎭2x 666所以2.2T ππ==15答案及解析：答案：2 解析：原式 60? 15 60? 15cos cos sin sin =︒︒+︒︒= ()6015 45cos cos ︒-︒=︒=216答案及解析：答案：162+ 解析：因为所以所以17答案及解析：答案：0解析：原式()()270180cos x x =+︒--︒⎡⎤⎣⎦=() 45036090 900.cos cos cos ︒=︒+︒=︒=18答案及解析：答案：1 解析：原式tan 60tan15tan(6015)tan 4511tan 60tan15︒-︒==︒-︒=︒=+︒︒.19答案及解析：答案：60°解析：由已知得()tan tan tan 1tan tan A B A B A B++=-)tan tan 11tan tan A B A B -==-∴120A B +=︒,得60C =︒.20答案及解析：答案：60解析：21答案及解析： 答案：725-解析：由题意, (225 sin θ+=,即4 ,5sin θ=所以27 21225cos sin θθ=-=-22答案及解析： 答案：34解析：∵ 2,tan x = ∴22tan 4 2.1tan 3x tan x x ==-- cos 213 2(x-)=tan(2x-)=.42sin 2tan 24x tan x x ππ-=-=由Ruize收集整理。
高一数学人教B版必修4考点同步：(8)和角公式
考点同步(8)和角公式1、设1sin +=43πθ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则 2sin θ= ( ) A. 79- B. 19- C. 19 D. 792、化简1sin 4cos 41sin 4cos 4αααα+-=++ ( )A. cot 2αB. tan 2αC. cot αD. tan α3、已知1sin cos 2θθ+=,则cos4θ= ( ) A. 18- B. 18 C. 716- D. 7164、若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且24cos sin ααπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则2sin α的值为() A. 12- B. 12C. 1D. 1-5、若1sin 34πα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ( )A. 58 B. 78- C. 58- D. 786、sin375cos15︒︒的值是( ) A. 12 B. 147、若(cos )cos 2f x x =,则(sin15)f 等于()A. -C. 12 D. 12-8、已知sin 4απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则sin2α= () A. 45 B. 45- C. 35 D. 35-9、已知2sin 23θ=,则2tan 4θπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ( ) A.15B. 56C. 5D. 610、已知角α为第二象限角, 3sin ,5α=则sin2α= ( ) A. 1225-B. 1225C. 2425- D. 2425 11、tan()2πα-=,则cos2α=__________12、已知32ππα<<,4sin 5α=-,则sin 23tan αα+的值为__________. 13、已知1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则5sin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭π__________ 14、22sin 112π-=__________15、已知sin 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则2cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________ 16、已知α为第二象限角, 3cos()25πα-=,则sin2α=__________ 17、已知向量(sin ,1),(sin ,1),(cos ,1)a b c θθθ→→→==-=-,且(2)a b c →→→-,则sin 2θ等于__________18、(1)已知1cos 3α=,则sin 2α= . (2)已知4cos 5α=,且322παπ<<,则tan 2α= .答案以及解析1答案及解析：答案：A解析：略2答案及解析：答案：B 解析：原式2212sin 2cos 2(12sin 2)12sin 2cos 22cos 21αααααα+--=++- ()()2sin 2sin 2cos 2tan 22cos 2sin 2cos 2ααααααα+==+.3答案及解析：答案：A解析：4答案及解析：答案：A解析：5答案及解析：答案：B解析：∵1sin()34πα-+=,∴1sin()cos[]cos 32364ππππααα⎛⎫⎛⎫-+=--+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴2217cos(2)cos2()2cos ()12136648πππααα⎛⎫+=+=+-=⨯-=- ⎪⎝⎭.选B .6答案及解析：答案：B7答案及解析：答案：A解析：8答案及解析：答案：C解析：9答案及解析：答案：A解析：10答案及解析：答案：C解析：∵α为第二象限角,所以4cos5α=-,3424sin22sin cos25525ααα⎛⎫==⨯⨯-=-⎪⎝⎭,故选C考点:1.同角基本关系式;2.二倍角公式;11答案及解析：答案：3 5 -解析：12答案及解析：答案：24 4 2513答案及解析：答案：7 9 -解析：14答案及解析：答案：2-解析：15答案及解析：答案：1 3解析：16答案及解析：答案：24 25 -解析：17答案及解析：答案：12 13 -解析：18答案及解析：答案：(1)3±(2)13 -.解析：(1) sin23α==±. (2)∵322παπ<<,∴342παπ<<,∴tan 02α<,∴1tan 23α==-.由Ruize收集整理。
高中数学 3.1 和角公式同步训练 新人教B版必修4
3．1 和角公式知识点一：两角和与差的余弦1．cos45°cos15°＋sin15°sin45°的值为 A.22 B.32 C ．－12 D ．－222．cos α＝55，则cos(α－π4)的值为 A.31010 B ．－1010 C.255 D.31010或－10103．若cos(α－β)＝13，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝__________.知识点二：两角和与差的正弦4．若M ＝sin13°cos17°＋cos13°sin17°，则M 的值为 A.12 B.22 C.32D ．以上均错 5．(2010福建高考，理1)计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果等于 A.12 B.33 C.22 D.32 6．已知3cosx －sinx ＝－65，则sin(π3－x)＝__________.7．在△ABC 中，若sinAcosB ＝1－cosAsinB ，则△ABC 一定是__________三角形．知识点三：两角和与差的正切8．若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于A ．－3B ．－ 13C ．3 D.139．tan10°tan20°＋3(tan10°＋tan20°)的值为 A.33B ．1 C. 3 D. 6 10．已知cos θ＝－1213，θ∈(π，3π2)，求tan(θ－π4)的值．能力点一：和角公式的基本应用11．(2010课标全国高考，文10)若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin(α＋π4)等于A ．－7210 B.7210 C ．－210 D.21012．sin(65°－x)cos(x －20°)＋cos(65°－x)cos(110°－x)的值为 A. 2 B.22 C.12 D.3213.1＋tan15°1－tan15°的值为 A. 3 B ．1 C.33 D.2214．若函数f(x)＝(1＋3tanx)cosx,0≤x<π2，则f(x)的最大值为A ．1B ．2C.3＋1D.3＋215．已知sin αcos β＝1，则cos(α＋β)＝__________. 16．已知α、β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010，求α－β的值．17．已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈(0，π2)．(1)求sin θ和cos θ的值； (2)若sin(θ－φ)＝1010，0<φ<π2，求cos φ的值．能力点二：和角公式的综合应用18．若a ，b 是非零实数，且asin π5＋bcosπ5acos π5－bsinπ5＝tan 8π15，则ba ＝__________.19．(2010全国高考Ⅰ，理14)已知α为第三象限的角，cos2α＝－35，则tan(π4＋2α)＝________.20．在△ABC 中，若sinA ＝35，cos Β＝－513，则sinC ＝__________.21．已知函数f(x)＝－1＋2sin2x ＋mcos2x 的图象经过点A(0,1)，求此函数在[0，π2]上的最值．22.在△ABC 中，tanB ＋tanC ＋3tanBtanC ＝3，且3tanA ＋3tanB ＋1＝tanAtanB ，判断△ABC 的形状．23．(2010四川高考，理19)(1)①证明两角和的余弦公式C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；②由C (α＋β)推导两角和的正弦公式S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.(2)已知△ABC 的面积S ＝12，AB →·AC →＝3，且cosB ＝35，求cosC.24．已知函数f(x)＝Asin(x ＋φ)(A>0,0<φ<π，x∈R )的最大值是1，其图象经过点M(π3，12)． (1)求f(x)的解析式；(2)已知α，β∈(0，π2)，且f(α)＝35，f(β)＝1213，求f(α－β)的值．答案与解析基础巩固1．B2．D ∵cos α＝55， ∴sin α＝±1－cos 2α＝±255.∴cos(α－π4)＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝22(sin α＋cos α)＝31010或－1010.3.83 原式＝(sin 2α＋sin 2β＋2sin αsin β)＋(cos 2α＋cos 2β＋2cos αcos β)＝2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝2＋2cos(α－β)＝2＋2×13＝83.4．A5．A ∵sin43°cos13°－cos43°sin13°＝sin(43°－13°)＝sin30°＝12.∴选A.6．－35 sin(π3－x)＝sin π3cosx －cos π3sinx ＝32cosx －12sinx ＝12×(－65)＝－35.7．直角 由条件得sinAcosB ＋cosAsinB ＝1， ∴sin(A＋B)＝1，故sinC ＝1. ∴C＝π2.8．D9．B ∵tan(10°＋20°)＝tan10°＋tan20°1－tan10°·tan20°，∴tan30°(1－tan10°tan20°)＝tan10°＋tan20°， 即33(1－tan10°tan20°)＝tan10°＋tan20°. ∴1－tan10°tan20°＝3(tan10°＋tan20°)，故原式＝1.10．解：∵cos θ＝－1213，θ∈(π，3π2)，∴sin θ＝－1－cos 2θ＝－513.∴tan θ＝sin θcos θ＝512.∴tan(θ－π4)＝tan θ－tan π41＋tan θtan π4＝512－11＋512＝－717.能力提升11．A sin(α＋π4)＝12(sin α＋cos α)＝12(－45－35)＝－7210.12．B 原式＝sin(65°－x)·sin[90°－(x －20°)]＋cos(65°－x)·cos(110°－x)＝sin(65°－x)·sin(110°－x)＋cos(65°－x)·cos(110°－x)＝cos(110°－x －65°＋x)＝cos45°＝22. 13．A 原式＝tan45°＋tan15°1－tan45°tan15°＝tan(45°＋15°)＝ 3.14．B f(x)＝cosx ＋3sinx ＝2×(12cosx ＋32sinx)＝2sin(x ＋π6)，∵0≤x<π2，∴π6≤x＋π6<2π3.∴f(x)的最大值为2.15．0 由sin αcos β＝1知⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝1，cos β＝1或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－1，cos β＝－1.∴α＝2k 1π＋π2，β＝2k 2π或α＝2k 1π＋3π2，β＝2k 2π＋π(k 1，k 2∈Z )．∴α＋β＝2k π＋π2或(2k ＋1)π＋π2(k∈Z )．∴cos(α＋β)＝0.16．解：∵α、β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010， ∴sin β＝31010，cos α＝255.∵sin α<sin β，∴α<β.∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝55×1010－255×31010＝－22. ∴α－β＝－π4.17．解：(1)∵a ⊥b ，则a ·b ＝sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ，代入sin 2θ＋cos 2θ＝1，得sin θ＝±255，cos θ＝±55，又∵θ∈(0，π2)，∴sin θ＝255，cos θ＝55. (2)∵0<φ<π2，0<θ<π2，∴－π2<θ－φ<π2.则cos(θ－φ)＝1－sin2θ－φ＝31010， ∴cos φ＝cos[θ－(θ－φ)]＝cos θcos(θ－φ)＋sin θsin(θ－φ)＝55×31010＋255×1010＝22. 18. 3 由asin π5＋bcosπ5acos π5－bsinπ5＝tan π5＋b a 1－b a tan π5，及tan 8π15＝tan(π5＋π3)＝tan π5＋tanπ31－tan π5tan π3，∴b a ＝tan π3＝ 3. 19．－17 ∵α为第三象限的角，∴π＋2k π<α<3π2＋2k π，k∈Z .∴2π＋4k π<2α<3π＋4k π，k∈Z . 又∵cos2α＝－35，∴2α为第二象限角． ∴sin2α＝1－－352＝45. ∴tan2α＝sin2αcos2α＝－43.∴tan(π4＋2α)＝tan π4＋tan2α1－tan π4tan2α＝1－431＋43＝－17.20.3365 ∵cosB＝－513，∴∠B 为钝角，且sinB ＝1－cos 2B ＝1213.又∵sinA＝35，∴cosA ＝1－sin 2A ＝45，sinC ＝sin(A ＋B)＝sinAcosB ＋cosAsinB ＝3365.21．解：∵A(0,1)在函数的图象上，∴1＝－1＋2sin0＋mcos0， 解得m ＝2.∴f(x)＝－1＋2sin2x ＋2cos2x ＝2(sin2x ＋cos2x)－1 ＝22sin(2x ＋π4)－1.∵0≤x≤π2，∴π4≤2x＋π4≤5π4.∴－22≤sin(2x＋π4)≤1. ∴－3≤f(x)≤22－1.∴函数f(x)在[0，π2]上的最大值为22－1，最小值为－3.22．解：由tanA ＝tan[π－(B ＋C)]＝－tan(B ＋C)＝tanB ＋tanC tanBtanC －1＝3－3tanBtanCtanBtanC －1＝－3，而0°<A<180°，∴A ＝120°.由tanC ＝tan[π－(A ＋B)]＝tanA ＋tanBtanAtanB －1＝tanA ＋tanB 3tanA ＋3tanB＝33， 而0°<C<180°，∴C＝30°.∴B＝30°. ∴△ABC 是顶角为120°的等腰三角形． 拓展探究23．解：(1)①如图，在直角坐标系xOy 内作单位圆O ，并作出角α，β与－β，使角α的始边为Ox ，交⊙O 于点P 1，终边交⊙O 于点P 2；角β的始边为OP 2，终边交⊙O 于点P 3，角－β的始边为OP 1，终边交⊙O 于点P 4.则P 1(1,0)，P 2(cos α，sin α)，P 3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，P 4(cos(－β)，sin(－β))．由P 1P 3＝P 2P 4及两点间的距离公式，得[cos(α＋β)－1]2＋sin 2(α＋β)＝[cos(－β)－cos α]2＋[sin(－β)－sin α]2， 展开并整理，得2－2cos(α＋β) ＝2－2(cos αcos β－sin αsin β)．∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.②由①易得，cos(π2－α)＝sin α，sin(π2－α)＝cos α.sin(α＋β)＝cos[π2－(α＋β)]＝cos[(π2－α)＋(－β)]＝cos(π2－α)cos(－β)－sin(π2－α)sin(－β)＝sin αcos β＋cos αsin β.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.(2)由题意，设△ABC 的角B 、C 的对边分别为b 、c ，则S ＝12bcsinA ＝12.AB →·AC →＝bccosA ＝3>0. ∴A∈(0，π2)，cosA ＝3sinA.又sin 2A ＋cos 2A ＝1， ∴sinA＝1010，cosA ＝31010. 由题意cosB ＝35，得sinB ＝45.∴cos(A＋B)＝cosAcosB －sinAsinB ＝1010. 故cosC ＝cos[π－(A ＋B)] ＝－cos(A ＋B)＝－1010. 24．解：(1)依题意有A ＝1， 则f(x)＝sin(x ＋φ)， 将点M(π3，12)代入得sin(π3＋φ)＝12，而0<φ<π，∴π3＋φ＝5π6.∴φ＝π2.故f(x)＝sin(x ＋π2)＝cosx. (2)依题意有cos α＝35，cos β＝1213，而α，β∈(0，π2)，∴sin α＝1－352＝45， sin β＝1－12132＝513. ∴f(α－β)＝cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝35×1213＋45×513＝5665.。
高中数学3.1和角公式习题课优化训练新人教B版必修4(2021学年)
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3.1 和角公式5分钟训练（预习类训练,可用于课前）1。
化简co ｓ(α—β）cosβ—s ｉn(α-β)ｓinβ的结果为（ ）Ａ。
1 Ｂ。
cosα Ｃ。
sinα D 。
ｃos(α—2β)提示:逆用两角和的余弦公式. 答案:Ｂ2.若sinαｃosβ=21-,则cosαsinβ的取值范围是（ ) A.［-1,21] B.[21-，１]C.［43,43-] Ｄ．［21-，21]解析：ｓinαco ｓβ+ｃosαsinβ＝s ｉn （α+β)∈[-1，１］, ①s ｉnαcosβ—co ｓαｓｉｎβ=s ｉn(α—β)∈[－1,1］， ②由①21-≤cosαsinβ≤23，由②23-≤cosαsinβ≤21,∴21-≤cosαsinβ≤21.答案：Ｄ３.若sin(α—β）ｃosα-cos （α－β)sinα=m,且β为第二象限角,则ｃｏsβ的值为( )A 。
21m -B 。
21m --C 。
21m + Ｄ.12--m 解析：由s ｉn （α—β）ｃo ｓα-cos(α—β)sｉnα=m，得sin[(α—β）—α]=m, ∴sin（—β）=m, ∴siｎβ=-m 。
又β为第二象限角，∴cosβ=221)(1m m --=---. 答案:B4。
(20０６高考陕西卷,13)c ｏｓ４3°cos ７7°+sin ４3°c ｏs1６7°的值为＿＿＿____________.解析：ｃos ４3°cos ７７°+sin ４3°ｃos16７°＝sin13°cos ４3°—ｃｏｓ13°s ｉn43°=sin(13°-４3°)=ｓin(-30°）＝21-. 答案:-211０分钟训练(强化类训练,可用于课中)1。
必修4三角函数公式大全
三角函数 公式大全 姓名：一、两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) =tanAtanB -1tanBtanA +tan(A-B) =tanAtanB 1tanBtanA +-cot(A+B) =cotAcotB 1-cotAcotB +cot(A-B) =cotAcotB 1cotAcotB -+二、倍角公式tan2A =Atan 12tanA2- Sin2A=2SinA•CosACos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A3、三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)3cos3A = 4(cosA)3-3cosAtan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3π-a) 4、半角公式sin(2A)=2cos 1A -cos(2A)=2cos 1A +tan(2A)=A A cos 1cos 1+-cot(2A)=A A cos 1cos 1-+tan(2A )=A A sin cos 1-=AAcos 1sin + 五、和差化积sina+sinb=2sin2b a +cos 2ba - sina-sinb=2cos2b a +sin 2ba - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2ba -cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2ba -tana+tanb=ba b a cos cos )sin(+六、积化和差sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb =21[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)]cosasinb = 21[sin(a+b)-sin(a-b)]7、诱导公式sin(-a) = -sinacos(-a) = cosasin(2π-a) = cosa cos(2π-a) = sina sin(2π+a) = cosa cos(2π+a) = -sinasin(π-a) = sinacos(π-a) = -cosasin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa八、全能公式sina=2)2(tan 12tan2aa +cosa=22)2(tan 1)2(tan 1aa+-tana=2)2(tan 12tan2aa - 九、其它公式a•sina+b•cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc=ab ] a•sin(a)-b•cos(a) = )b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=b a] 1+sin(a) =(sin2a +cos 2a )21-sin(a) = (sin 2a -cos 2a)2公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2kπ＋α）= sinα cos （2kπ＋α）= cosα tan （2kπ＋α）= tanα cot （2kπ＋α）= cotα 公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）= -sinα cos （π＋α）= -cosα tan （π＋α）= tanα cot （π＋α）= cotα 公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin （-α）= -sinα cos （-α）= cosα tan （-α）= -tanα cot （-α）= -cotα 公式四：利用公式二和公式三能够取得π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （π-α）= sinα cos （π-α）= -cosα tan （π-α）= -tanα cot （π-α）= -cotα 公式五：利用公式-和公式三能够取得2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π-α）= -sinα cos （2π-α）= cosα tan （2π-α）= -tanα cot （2π-α）= -cotα公式六： 2π±α及23π±α与α的三角函数值之间的关系：sin （2π+α）= cosα cos （2π+α）= -sinαtan （2π+α）= -cotα cot （2π+α）= -tanαsin （2π-α）= cosα cos （2π-α）= sinαtan （2π-α）= cotα cot （2π-α）= tanαsin （23π+α）= -cosα cos （23π+α）= sinαtan （23π+α）= -cotα cot （23π+α）= -tanαsin （23π-α）= -cosα cos （23π-α）= -sinαtan （23π-α）= cotα cot （23π-α）= tanαA•sin(ωt+θ)+ B•sin(ωt+φ) =)cos(222ϕθ⋅++AB B A ×sin)cos(2)Bsin in arcsin[(As t 22ϕθϕθω⋅++++AB B A例题：已知sinα=m sin(α+2β), |m|<1,求证tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ 解:sinα=m sin(α+2β) sin(a+β-β)=msin(a+β+β)sin(a+β)cosβ-cos(a+β)sinβ=msin(a+β)cosβ+mcos(a+β)sinβ sin(a+β)cosβ(1-m)=cos(a+β)sinβ(m+1) tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ。
人教版数学高一B版必修4例题与探究3.1和角公式
典题精讲 例1 计算：︒︒-︒20cos 20sin 10cos 2.思路分析:考查两角和与差的三角函数.10°、20°角直观上看似没有联系，但是两者的和角是30°为特殊角，所以把10°等价代换成30°-20°后就可以用两角差的公式化简. 解:︒︒-︒20cos 20sin 10cos 2=︒︒-︒-︒20cos 20sin )2030cos(2=320cos 20sin 20sin 20cos 3=︒︒-︒+︒.绿色通道:本题是无条件的三角函数求值问题，这是三角函数中的重要内容，是高考常考查的内容之一，对于这类非特殊角的三角函数式，求解具体数值一般有以下途径： (1)将非特殊角化为特殊角的和或差的形式； (2)化为正负相消的项，消项，求值； (3)化为分子、分母形式，进行约分求值； (4)利用诱导公式化任意角的三角函数为在［0，2π］内的三角函数； (5)特别注意诱导公式2π±α的应用； (6)化切函数为弦函数；(7)善于逆用和变形三角函数的和差公式.在进行求值过程中，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则才进行各局部的变形. 变式训练1(2006陕西高考卷，理13)cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为__________________. 思路解析:原式=cos43°cos77°+sin43°cos(90°+77°)=cos43°cos77°-sin43°sin77°=cos(43°+77°)=cos120°=-21. 答案:-21 变式训练2 求sin187πcos 92π-sin 9πsin 92π的值. 思路分析:观察分析这些角的联系，会发现9π=2π-187π，即187π与9π是互余的两角，因此可用诱导公式将sinπ9变为cos 187π,进而用和差角的正余弦公式求解.解:sin 187πcos 92π-sin 9πsin 92π=sin 187πcos 92π-sin(2π-187π)sin 92πsin 187πcos 92π-cos 187πsin 92π =sin(187π-92π)62例2(2006重庆高考卷，理13)已知α、β∈(43π,π),sin(α+β)=-53,sin(β-4π)=1312,则cos(α+4π)=________________. 思路解析:考查三角函数求值以及角的变换.利用α+4π=(α+β)-(β-4π)来求值.∵α、β∈(43π,π),∴(α+β)∈(23π,2π). ∴cos(α+β)=)(sin 12βα+-1-sin 2(α+β)=54.又(β-4π)∈(2π,43π)，∴cos(β-4π)=-135. ∴cos(α+4π)=cos ［(α+β)-(β-4π)］ =cos(α+β)cos(β-4π)+sin(α+β)sin(β-4π)=54(-135)+(-53)1312=-6556.答案:-6556 绿色通道:本题属于“知值求值”的题目，“变角”的技巧在于三角函数求值以及证明中常用，因为变角后可充分利用已知条件中的三角函数值来计算或证明.常见的角的变换方式：α=(α+β)-β，2α=(α+β)+(α-β),α+2β=(α+β)+β等，变换的方式很多，需要自己慢慢的体会和探索.黑色陷阱:求解时如果将sin(α+β)和sin(β-4π)展开，通过解方程组求sinβ和cosβ，那么运算量会很大，会因解方程组而陷入困境. 变式训练1 已知cosα=71,cos(α+β)=-1411,且α、β∈(0,2π),求cosβ的值. 思路分析:观察得β=(α+β)-α，再利用两角差的余弦公式展开，求出结果. 解:∵α、β∈(0，2π)， ∴0＜α+β＜π. ∵cosα=71，cos(α+β)=-1411， ∴sinα=α2cos 1-1-cos 2α=2)71(1-=734， sin(α+β)=)(cos 12βα+-=-2)1411(1-=1435. ∴cosβ=cos ［(α+β)-α］ =cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα =-1411×71+1435×734=21.2变式训练2 已知sinα+sinβ=53，cosα+cosβ=54，求cos(α-β)的值. 思路分析:由于cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ，欲求cos(α-β)的值，只需要求出cosαcosβ+sinαsinβ的值，而要得到两组同名三角函数乘积，需将条件中的两式平方再相加,即得cosαcosβ+sinαsinβ的结果.解:∵(sinα+sinβ)2=259,(cosα+cosβ)2=2516, ∴sin 2α+2sinαsinβ+sin 2β=259，①cos 2α+2cosαcosβ+cos 2β=2516.②①+②得2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)=1， ∴2+2cos(α-β)=1. ∴cos(α-β)=-21. 例3 已知锐角α、β满足sinα=55，cosβ=10103，求α+β. 思路分析:本题是考查两角和与差余弦公式的应用,及已知三角函数值求角的问题.要求α+β的值，需先求α+β的一个三角函数值，再根据角的范围确定角的具体值. 解:∵α、β是锐角， ∴cosα=α2sin 1-=511-=552, sinβ=β2cos1-=1091-=1010. ∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=552·10103-55·1010=22. 由于0＜α＜2π，0＜β＜2π，得到0＜α+β＜π, ∴α+β=4π. 绿色通道:本题是“知值求角”的题目.其解题策略是先求角的一个三角函数值，再由角的范围确定角的大小，通常情况下，所求的角是特殊角.选择求角的三角函数值方法：已知正切函数值，选择求正切函数；已知正、余弦函数值，选择求正弦或余弦函数；若角的范围是(0,2π)，有时选正弦函数，有时选余弦函数；若角的范围是(-2π,2π)，选正弦函数比余弦函数好;若角的范围是(0,π)，则选余弦函数比正弦函数好. 黑色陷阱:本题若是改求sin(α+β)的值，则会得到α+β有两个值，这样还要将α+β的范围(0,π)再缩小才行，问题就变得复杂了. 变式训练1 已知sinα=55，sinβ=1010,且α、β均为钝角，求α+β的值. 思路分析:先求cos(α+β)的值，再确定α+β的值.解:∵α和β均为钝角， ∴cosα=-α2sin 1-=-552,cosβ=-β2sin 1-=-10103.∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=-552×(-10103)-55×1010=22. 由α和β均为钝角得π＜α+β＜2π， ∴α+β=47π. 变式训练2 已知tan(α-β)=21，tanβ=-71，且α、β∈(0,π)，求2α-β的值. 思路分析:转化为2α-β的正切值，其中注意角的变换2α-β=(α-β)+α. 解:∵tan(α-β)=βαβαtan tan 1tan tan +-=21，∴)71(tan 1)71(tan -+--αα=21.∴tanα=31.∴0＜tanα＜tan 4π=1. 又∵α∈(0,π)，∴α∈(0,4π).∴2α∈(0,2π).∵β∈(0,π)，tanβ=-71，∴β∈(2π,π).∴-π＜2α-β＜0.∵tan(2α-β)=tan ［(α-β)+α］=αβααβαtan )tan(1tan )tan(--+-=312113121⨯-+=1＞0，∴2α-β=-43π. 例4(2006上海春季高考卷，19)已知函数f(x)=2sin(x+6π)-2cosx,x ∈［2π,π］.(1)若sinx=54，求函数f(x)的值；(2)求函数f(x)的值域.思路分析:本题主要考查三角函数的性质和三角恒等变换.先将f(x)的解析式恒等变形，再解决其他问题.解:(1)∵sinx=54,x ∈［2π,π］,∴cosx=-53, f(x)=2(23sinx+21cosx)-2cosx=3sinx-cosx. ∴当sinx=54时，函数f(x)=3×54-(-53)=543+53.(2)f(x)=2sin(x+6π)-2cosx=3sinx-cosx =2sin(x-6π). ∵2π≤x≤π，∴3π≤x -6π≤5π[]6. ∴21≤sin(x -6π)≤1. ∴函数f(x)的值域为［1,2］.绿色通道:讨论三角函数的性质时，通常先将函数的解析式化简为y=Asin(ωx+φ)+b 的形式，有时利用换元法转化为二次函数，再讨论其性质.变式训练1(2006广州二模，11)函数y=sin2x-3cos2x 的最大值是_________________. 思路解析:化为y=Asin(ωx+φ)+b 的形式求最值.y=sin2x-3cos2x=2sin(2x-3π)，则最大值为2.答案:2变式训练2 已知函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2， (1)若x ∈R ，求函数的最大值和最小值； (2)若x ∈［0，2π］，求函数的最大值和最小值. 思路分析:将sinx+cosx 平方，可得1+2sinxcosx ，于是sinx+cosx 和2sinxcosx 可用一个未知数代替，这样利用换元法就可以转化为二次函数问题. 解:(1)设t=sinx+cosx=2sin(x+4π). ∵x ∈R ，∴-2≤t≤2.则t 2=1+2sinxcosx ，∴2sinxcosx=t 2-1. ∴y=t 2+t+1=(t+21)2+43，-2≤t≤2. ∴当t=2时，y 取最大值3+2； 当t=-21时，y 取最小值43.∴y max =3+2，y min =43. (2)若x ∈［0，π2］，则t ∈［1，2］.∴y ∈［3，3+2］，即y max =3+2,y min =3.问题探究问题1(1)试分别计算tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC 的值: ①在等边三角形ABC 中；②A=210°,B=120°,C=30°；③A=-150°,B=30°,C=-60°. (2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明. (3)利用(2)的结论计算︒︒︒︒+︒+︒3.76tan 5.93tan 2.10tan 33.76tan 5.93tan 2.10tan 的值.导思:从A+B+C 的结果上归纳并猜想出结论. 探究:(1)①由题意得A=B=C=60°. tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC =tan60°+tan60°+tan60°-tan60°tan60°tan60° =3+3+3-3×3×3=0；②tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC =tan210°+tan120°+tan30°-tan210°tan120°tan30° =33+(-3)+33-33×(-3)×33=0； ③tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC =tan(-150°)+tan30°+tan(-60°)-tan(-150°)tan30°tan(-60°) =33+33+(-3)-33×33×(-3)=0. (2)在(1)①中A+B+C=180°，有tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC=0； 在(1)②中A+B+C=360°，有tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC=0； 在(1)③中A+B+C=-180°，有tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC=0； 猜想：当A+B+C=k·180°(k ∈Z ),A,B,C≠k·180°+90°时， 有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC. 证明：∵A+B+C=k·180°(k ∈Z )，∴A+B=k·180°-C ， ∴tan(A+B)=tan(k·180°-C)∴BA BA tan tan 1tan tan -+=tanC.∴tanA+tanB=tanC(1-tanAtanB).∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC. (3)∵10.2°+93.5°+76.3°=180°， ∴tan10.2°+tan93.5°+tan76.3°=tan10.2°tan93.5°tan76.3°. ∴︒︒︒︒+︒+︒3.76tan 5.93tan 2.10tan 33.76tan 5.93tan 2.10tan =31.。
2019-2020学年高一数学人教B版必修4考点同步：(8)和角公式 Word版含答案
姓名，年级：时间：考点同步(8）和角公式1、设1sin +=43πθ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则 2sin θ= ( )A 。
79- B. 19- C. 19D 。
792、化简1sin 4cos 41sin 4cos 4αααα+-=++ （ ）A 。
cot 2αB. tan 2αC 。
cot αD. tan α3、已知1sin cos 2θθ+=,则cos 4θ= （ ) A. 18- B. 18C 。
716- D. 7164、若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且24cos sin ααπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则2sin α的值为（）A. 12- B. 12C. 1D 。
1-5、若1sin 34πα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ （ )B 。
78- C. 58- D. 786、sin 375cos15︒︒的值是（ ) A. 12B 。
14C. 2D 。
7、若(cos )cos 2f x x =,则(sin15)f 等于(）A 。
C. 12 D. 12-8、已知sin 4απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α= () A. 45 B. 45-C 。
35 D. 35-9、已知2sin 23θ=,则2tan 4θπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ （)B. 56C. 5D. 610、已知角α为第二象限角， 3sin ,5α=则sin 2α= （ ） A. 1225-B 。
1225C 。
2425- D 。
2425 11、tan()2πα-=，则cos 2α=__________12、已知32ππα<<，4sin 5α=-,则sin 23tan αα+的值为__________。
13、已知1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5sin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭π__________ 14、22sin 112π-=__________15、已知sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭2cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________ 16、已知α为第二象限角, 3cos()25πα-=，则sin 2α=__________ 17、已知向量(sin ,1),(sin ,1),(cos ,1)a b c θθθ→→→==-=-,且(2)a b c →→→-,则sin 2θ等于__________18、(1)已知1cos 3α=,则sin2α= 。
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练习八 和角公式
一、选择题 1．化简)
sin()sin()cos()cos(γββαγββα
-----为 （ ）
A ．)2sin(γβα+-
B ．)sin(γα-
C ．)cos(γα-
D ．)2cos(γβα+- 2．已知α+ β =3
π
, 则cos αcos β –
3
sin αcos β –
3
cos αsin β – sin αsin β 的值为
（ ）
A ．–2
2
B ．–1
C ．1
D ．–
2
3．已知
=-
=+=
-<<<αβαβαπαβπ
2sin ,5
3)sin(,13
12)cos(,4
32
则（ ）
A ．
65
56
B ．－
65
56
C ．
56
65 D ．－
56
65
4．设)4
tan(,4
1)4
tan(,5
2)tan(π
απ
ββα+
=-
=
+则的值是（ ）
A ．
18
13 B ．22
13 C ．
22
3 D ．
6
1
5．给出如下四个命题
①对于任意的实数α和β，等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+恒成立； ②存在实数α，β，使等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+能成立； ③公式=
+)t a n (βαβαβαt a n
t a n 1t a n ⋅-+an 成立的条件是
)
(2
Z k k ∈+
≠π
πα且
)(2
Z k k ∈+
≠π
πβ；
④不存在无穷多个α和β，使βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-； 其中假命题是（ ） A ．①② B ．②③
C ．③④
D ．②③④
6．要使m
m --=
-464cos 3sin αα有意义，则m 的取值范围是（ ）
A ．3
7≤
m B ．1≥m C ．3
71≤≤-m D ．1-≤m 或3
7≥
m
二、填空题 7．求值：（1+tan210）(1+tan220)(1+tan230)(1+tan240)=
8．若α是锐角，且(
)
1s in
6
3
π
α-
=
，则c o s α的值是 ．
9．函数y ＝sinx ＋cosx 的最大值是_________。
10．
50
tan 70
tan 350
tan 70
tan -+= .
三、解答题 11．化简求值：)34
sin(x -π
)36
cos()33
cos(
x x +--⋅π
π
)34
sin(
x +⋅π
．
12．若锐角求
且满足,3
5)sin(,7
13
tan tan ,=-=
⋅βαβαβα：
（1）)cos(βα-； （2）)cos(βα+．
13．若A 、B 、C 是△ABC 的内角，cosB ＝
2
1, sinC ＝
5
3, 求cosA 的值.
能力题
14．已知2
32,
534cos π
αππα
<≤=⎪⎭⎫
⎝⎛
+。
求⎪⎭
⎫
⎝
⎛
+
42cos πα的值。
15．在矩形ABCD 中，AB=a ，BC=2a ，在BC 上取一点P ，使得AB+BP=PD ，求tan ∠APD 的值。
练习八 和角公式
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 答案
C
B
B
C
C
C
二、填空题 7．4 8．
6
162
-
9．2 10．3-
三、解答题
11．原式=)
34
cos(
)33
sin(
)33
cos(
)34
sin(
x x x x -----π
π
π
π
=
4
6
2-．
12．解：（1）
,,,s in ()0,0.
2
2
3
2
2c o s ()3
131c o s ()c o s c o s s in s in 1ta n ta n 37
(2)13c o s ()
c o s c o s s in s in 1ta n ta n 1017
21c o s (),c o s ().
3
5
π
π
π
αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ
αβ
αβαβ-<-<
-=><-<
∴-=
=
-+--=
=
==--+++
-=
+=- 为锐角则而则由
又于是
13．解：∵ cosB ＝2
1, ∴sinB ＝
2
3, 又sinC ＝
5
3, cosC ＝±
5
4,
若cosC ＝－
5
4, 则角C 是钝角,角B 为锐角,π－C 为锐角,而sin(π－C)＝5
3,
sinB ＝2
3, 于是sin(π－C)< sinB ，
∴ B >π－C, B ＋C>π,矛盾, ∴ cosC ≠－5
4 , cosC ＝
5
4,
π=++C B A 故：cosA ＝－cos(B ＋C)＝－(cosBcosC －sinBsinC)＝10
433
-
能力题
14．250
31-
15．18。