九年级上《反比例函数比例系数k的几何意义》试卷
中考数学真题解析反比例函数意义比例系数k的几何意义(含答案)
点评：本题主要考查了反比例函数中 k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引 x 轴、y 轴 垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个识点；这里体现了数形结合的思想，做此 类题一定要正确理解 k 的几何意义． 2.已知反比例函数 y=的图象经过点（3，－4），则这个函数的解读式为
y=－． 考点：待定系数法求反比例函数解读式． 分析：根据待定系数法，把点（3，－4）代入 y=中，即可得到 k 的值，也就得到了答 案． 解答：解：∵图象经过点（3，－4）， ∴k=xy=3×（－4）=－12， ∴这个函数的解读式为：y=－． 故答案为：y=－． 点评：此题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解读式，是中学阶段的重点，此题比 较简单，1. （2011 云南保山，14，3 分）如图，已知 OA=6，∠AOB=30°，则经过点 A 的 反比例函数的解读式为（ ）
A、不变
B、增大
C、减小
D、无法确定
考点：反比例函数系数 k 的几何意义。
专题：计算题。
分析：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直
角三角形面积 S 是个定值，即 S=|k|，所以随着 x 的逐渐增大，矩形 OAPB 的面积将不变． 解答：解：依题意有矩形 OAPB 的面积=2×|k|=3，所以随着 x 的逐渐增大，矩形 OAPB 的面 积将不变．
点评：本题考查的是反比例函数系数 k 的几何意义，即在反比例函数 y=图象中任取一点， 过这一个点向 x 轴和 y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|；在反比例函 数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积 是，且保持不变． 6 （2011 福建省漳州市，9,3 分）如图，P（x，y）是反比例函数 y=的图象在第一象限分支 上的一个动点，PA⊥x 轴于点 A，PB⊥y 轴于点 B，随着自变量 x 的增大，矩形 OAPB 的面 积（ ）
(必考题)初中数学九年级数学上册第六单元《反比例函数》测试题(有答案解析)
一、选择题1．函数5y x =的图象位于() ． A ．第三象限B ．第一、三象限C ．第二、四象限D ．第二象限【答案】B【分析】根据直角坐标系、反比例函数的性质分析，即可得到答案．【详解】 ∵5y x=∴5xy =，即x 和y 符号相同 ∴5y x=的图象位于第一、三象限 故选：B ．【点睛】 本题考查了反比例函数、直角坐标系的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数、直角坐标系的性质，从而完成求解．2．如图，在平面直角坐标系中，直线y x =与反比例函数1(0)y x x=>的图象交于点A ，将直线y x =沿y 轴向上平移k 个单位长度，交y 轴于点B ，交反比例函数图象于点C ．若3OA BC =，则k 的值为（ ）A ．2B ．32C ．3D ．83【答案】D【分析】解析式联立，解方程求得A 的横坐标，根据定义求得C 的横坐标，把横坐标代入反比例函数的解析式求得C 的坐标，代入y x k =+即可求得k 的值．【详解】 解：直线y x =与反比例函数1(0)y x x=>的图象交于点A ， ∴解1x x=求得1x =±（经检验，符合题意） ， A ∴的横坐标为1，A ∴的坐标为（1，1），如图，过C 点、A 点作y 轴垂线，垂足为G ，H ，OA//BC ，∠CGB=∠AHO=90°∴CBG AOH ∠=∠，∴OHA BGC ∽，3OA BC =，∴3OA AH BC GC ==， ∴1=3GC， 解得GC =13， C ∴的横坐标为13， 把13x =代入1y x =得，3y =， 1(,3)3C ∴， 将直线y x =沿y 轴向上平移k 个单位长度，得到直线y x k =+，∴把C 的坐标代入得133k =+，求得83k =， 故选择：D ．【点睛】 本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，涉及函数的交点、一次函数平移、待定系数法求函数解析式，三角形相似的判定与性质等知识，求得交点坐标是解题的关键．3．如果点()12,A y -，()21,B y -，()33,C y 都在反比例函(0)k y k x=<的图象上，那么1y 、2y 与3y 的大小关系是（ ）A ．123y y y <<B ．312y y y <<C ．213y y y <<或312y y y <<D ．123y y y == 【答案】B【分析】根据k ＜0，判定图像分布在第二，第四象限，且在每一个象限内，y 随x 的增大而增大，从判定120y y <<，3y ＜0，整体比较判断即可．【详解】∵k ＜0，∴反比例函(0)k y k x=<的图象分布在第二，第四象限，且在每一个象限内，y 随x 的增大而增大，∴120y y <<，3y ＜0，∴312y y y <<，故选B ．【点睛】本题考查了反比例函数图像的分布，函数的增减性，熟练掌握图像的分布和增减性是解题的关键．4．若反比例函数1y k x +=（k 是常数）的图象在第一、三象限，则k 的取值范围是（ ） A ．0k <B ．0k >C ．1k <-D ．1k >- 【答案】D【分析】先根据反比例函数的性质得出k+1＞0，再解不等式即可得出结果．【详解】解：∵反比例函数1y k x+=（k 为常数）的图象在第一、三象限， ∴k+1＞0，解得k>-1．故选：D ．【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质：当k ＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k ＜0时，图象分别位于第二、四象限．5．如图，直线()30y kx k =-≠与坐标轴分别交于点,B C ，与若双曲线()20y x x=-<交于点(),1A m ，则AB 为（ ）A ．5B 13C ．213D 26【答案】A【分析】 由A 为直线y=kx ﹣3（k≠0）与双曲线y=﹣2x（x ＜0）的交点可求得A 点坐标与一次函数的解析式，可求得B 点坐标，用两点间距离公式可求得AB 的长.【详解】 解：A 为直线y=kx ﹣3（k≠0）与双曲线y=﹣2x （x ＜0）的交点，可得A 满足双曲线的解析式， 可得：21m=-， 解得：2m =-，即A 点坐标为（-2，1）,A 点在直线上，可得A 点满足y=kx ﹣3（k≠0），可得：123k =--，解得：k=-2，∴一次函数的解析式为：y=-2x ﹣3，B 为直线与y 轴的交点，可得B 点坐标（0，-3），由A 点坐标（-2，1），可得AB 22(20)[1(3)]--+--=5故选：A.．【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合，注意求出A 、B 两点坐标后用距离公式求解．6．某口罩生产企业于2020年1月份开始了技术改造，其月利润y （万元）与月份x 之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误的是（ ）A ．4月份的利润为45万元B ．改造完成后每月利润比前一个月增加30万元C ．改造完成前后共有5个月的利润低于135万元D ．9月份该企业利润达到205万元【答案】D【分析】先根据图象求出反比例函数的解析式，将横坐标为4代入求得利润即可判断A ，根据图象求出一次函数的解析式，即可判断B ，将135代入两个函数求对应的x 的值即可；将x=9代入求利润即可；【详解】A 、由图象得反比例函数经过点(1，180)，∴ 反比例函数的解析式为：180y x= ， 将x=4代入得：y=45，故该选项不符合题意；B 、将(4，45)，(5，75)代入一次函数解析式，45=4755k b k b +⎧⎨=+⎩， 解得3075k b =⎧⎨=-⎩， 求得一次函数解析式为：3075y x =- ，故该选项不符合题意；C 、将y=135代入180y x=和3075y x =-中， 180135x = 解得：x=43； 135=3075x - 解得：x=7，故该选项不符合题意；D 、将x=9代入3075y x =-，求得y=270-75=195≠205，故该选项符合题意； 故选：D ．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的图象的性质，以及函数的解析式的求法；正确理解图是解题的关键；7．若点1(,1)A x -，2(,2)B x ，3(,3)C x 都在反比例函数6y x =的图象上，则123,,x x x 的大小关系是（ ）A ．123x x x <<B ．132x x x <<C ．231x x x <<D ．312x x x << 【答案】B【分析】根据反比例函数的增减性解答．【详解】 ∵6y x=，k=6>0， ∴该反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，且在每个象限内y 随x 的增大而减小， ∵点1(,1)A x -，2(,2)B x ，3(,3)C x ，∴点A 在第三象限内，且x 1最小，∵2<3，∴x 2>x 3，∴132x x x <<，故选：B ．【点睛】此题考查反比例函数的增减性，掌握反比例函数增减性及判断方法是解题的关键．8．若双曲线5m y x -=在每一个象限内，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（ ） A ．5m <B ．5m ≥C ．5m >D ．5m ≠ 【答案】C【分析】根据反比例函数的性质可解．【详解】解：∵双曲线5m y x -=在每一个象限内，y 随x 的增大而减小， ∴50m ->，解得5m >，故选：C ．【点睛】 本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数k y x=，当k ＞0，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小；当k ＜0，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大．9．如图，Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，且点A 在反比例函数8y x =的图象上，点B 在反比例函数18y x=-的图象上，则tan B 的值是（ ）A ．12B ．13C ．23D ．49【答案】C【分析】过A 、B 作AC y ⊥轴，BD y ⊥轴，根据条件得到：ACO ODB ∽，根据反比例函数比例系数k 的几何意义得出:4:9S ACO S ODB =，利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解．【详解】过A 、B 作AC y ⊥轴，BD y ⊥轴，∵∠AOB ＝90°，∴90AOC BOD ∠+∠=︒，∵90DBO BOD ∠+∠=︒，∴DBO AOC ∠=∠，∵90BDO ACO ∠=∠=︒，∴ACO ODB ∽，∵A 在反比例函数8y x =的图象上，点B 在反比例函数18y x =-的图象上， ∴:4:9S ACO S ODB =，∴2tan 3OA ABO OB ==∠， 故选：C ．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，反比例函数、比例函数k 的几何意义，反比例函数图像上点的坐标特征，利用相似三角形的性质得到两边之比是解答本题的关键．10．已知反比例函数6y x=-，下列说法中正确的是（ ） A ．该函数的图象分布在第一、三象限 B ．点()2,3在该函数图象上C ．y 随x 的增大而增大D ．该图象关于原点成中心对称 【答案】D【分析】根据反比例函数的解析式得出函数的图象在第二、四象限，函数的图象在每个象限内，y 随x 的增大而增大，再逐个判断即可．【详解】解：A ．∵反比例函数6y x=-中-6＜0， ∴该函数的图象在第二、四象限，故本选项不符合题意；B ．把（2，3）代入6y x=-得：左边=3，右边=-3，左边≠右边， 所以点（2，3）不在该函数的图象上，故本选项不符合题意； C ．∵反比例函数6y x=-中-6＜0， ∴函数的图象在每个象限内，y 随x 的增大而增大，故本选项不符合题意；D ．反比例函数6y x =-的图象在第二、四象限，并且图象关于原点成中心对称，故本选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键．11．已知反比例函数6y x =-，下列结论中不正确的是（ ） A ．图象必经过点()3,2-B ．图象位于第二、四象限C ．若2x <-，则0＜3y <D ．在每一个象限内，y 随x 值的增大而减小【答案】D【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征对A 进行判断；根据反比例函数的性质对B 、C 、D 进行判断．【详解】解：A 、当x=-3时，y ＝−6x =2，所以点（-3，2）在函数y ＝−6x的图象上，所以A 选项的结论正确，不符合题意； B 、反比例函数y ＝−6x分布在第二、四象限，所以B 选项的结论正确，不符合题意； C 、若x ＜-2，则0＜y ＜3，所以C 选项的结论正确，不符合题意； D 、在每一个象限内，y 随着x 的增大而增大，所以D 选项的结论不正确，符合题意． 故选：D ．【点睛】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数y=-k x（k≠0）的图象是双曲线；当k ＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小；当k ＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大．12．函数k y x=与y kx k =-（k 为常数且0k ≠）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【分析】分k ＞0和k ＜0两种情况，分别判断反比例函数()0k y k x=≠ 的图象所在象限及一次函数y kx k =-的图象经过的象限．再对照四个选项即可得出结论．【详解】当k ＞0时， -k ＜0，∴反比例函数k y x =的图象在第一、三象限，一次函数y kx k =-的图象经过第一、三、四象限；当k ＜0时， -k ＞0，∴反比例函数k y x=的图象在第二、四象限，一次函数y kx k =-的图象经过第二、三、四象限．故选：C ．【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质以及一次函数图象与性质，熟练掌握两种函数的性质并分情况讨论是解题的关键．二、填空题13．如图，菱形OABC 的顶点O 在原点，A 点坐标为（4，0），反比例函数y=k x（k≠0）的图像经过AC 、BO 的交点D ，且与AB 边交于点E ，连接OE 交AD 于点F ，若F 恰为AD 中点，则k=______________；14．如图，点A 在反比例函数k y x=（k ≠0）的图象上，且点A 是线段OB 的中点，点D 为x 轴上一点，连接BD 交反比例函数图象于点C ，连接AC ，若BC ：CD =2：1，S △AD C =53．则k 的值为________．15．如图，点A B 、分别在反比例函数()110k y k x =>和()220k y k x=<的图象上，连接AB 交y 轴于点P ，且点A 与点B 关于P 成中心对称．若AOB ∆的面积为S ，则12k k -=_____．16．如图，反比例函数(0)ky x x=>的图象经过ABC 的顶点A ，点C 在x 轴上，//AB x轴．若点B 的坐标为(1,3)，2ABCS=，则k 的值为______．17．双曲线2y x=-经过点A(-1，1y )，B(2，2y )，则1y ________2y (填“>”，“<”或“=”). 18．已知点A 的坐标为()0,2，点B 的坐标为()0,2-，点P 在函数1y x=-的图象上，如果PAB △的面积是6，则点P 的坐标是__________．19．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝ax ＋b 交坐标轴于A 、B 点，点C(－4， 2 )在线段AB 上，以BC 为一边向直线AB 斜下方作正方形BCDE ．且正方形边长为5，若双曲线y ＝kx经过点E ，则k 的值为_______．20．如图，边长为1的正方形拼成的矩形如图摆放在直角坐标系里，A ，B ，C ，D 是格点．反比例函数y ＝kx（x ＞0，k ＞0）的图象经过格点A 并交CB 于点E ．若四边形AECD 的面积为6.4，则k 的值为_____．三、解答题21．某地建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万米3．（1）写出运输公司完成任务所需的时间y （单位：天）与平均每天的工作量x （单位：万米3）之间的函数关系式；（2）当运输公司平均每天的工作量是15万米3时，完成任务所需的时间是多少？ 22．如图，已知点()3,1A -，()2,2B -，反比例函数()0k y x x=<的图象记为L ． （1）若L 经过点A ． ①求L 的解析式；②L 是否经过点B ？若经过，说明理由；若不经过，请判断点B 在L 的上方，还是下方．（2）若L 与线段AB 有公共点，直接写出k 的取值范围．23．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 是一次函数和反比例函数图象的两个交点，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．（1）在图①中，画出一个平行四边形，使点A ，B 都是该平行四边形的顶点；（2）在图②中，画出一个菱形，使点A 在该菱形一边所在的直线上． 24．如图，直线y ＝﹣12x +7与反比例函数y ＝m x（m ≠0）的图象交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且点A 的横坐标为2． （1）求反比例函数的表达式；（2）求出点B 坐标，并结合图象直接写出不等式m x＜﹣12x +7的解集；（3）点E 为y 轴上一个动点，若S △AEB ＝5，求点E 的坐标．25．如图，已知(,2)A n -，(1,6)B 是一次函数y kx b =+的图象和反比例函数ky x=的图象的两个交点，直线AB 与y 轴交于点C ．（1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求AOB 的面积； （3）若kkx b x+<，直接写出x 的范围． 26．如图，在直角坐标系中，Rt ABC 的直角边AC 在x 轴上，∠ACB ＝90°，AC ＝1，点B(3，2)，反比例函数y ＝kx(k ＞0)的图象经过BC 边的中点D ． （1）求这个反比例函数的表达式；（2）若ABC 与EFG 成中心对称，且EFG 的边FG 在y 轴的正半轴上，点E 在这个函数的图象上，①求OF 的长；②连接AF ，BE ，证明：四边形ABEF 是正方形．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．无2．无3．无4．无5．无6．无7．无8．无9．无10．无11．无12．无二、填空题13．【分析】利用菱形的性质可知D为OB的中点设可分别表示F和B点从而可表示出直线OE和直线AB的解析式联立可求得a的值即可表示D点坐标在Rt△OAD中利用勾股定理即可求得k 【详解】解：∵四边形OABC 为解析：12825【分析】利用菱形的性质可知D 为OB 的中点，设(,)k D a a，可分别表示F 和B 点，从而可表示出直线OE 和直线AB 的解析式，联立可求得a 的值，即可表示D 点坐标，在Rt △OAD 中利用勾股定理即可求得k ． 【详解】解：∵四边形OABC 为菱形， ∴AC ⊥OB ，2OB OD =，设(,)k D a a，则2(2,)k B a a， ∵A （4,0），F 为AD 中点，∴4(,)22a kF a+， ∴直线OE 的解析式为：242(4)k a a ky x x a a +==+，直线AB 的解析式为：2(4)(4)24(2)k aky x x a a a =-=---，联立得(4)(4)(2)k y x a a k y x a a ⎧=⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩，解得2(4)323x a k y a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴22((4),)33k E a a+， ∴223(4)3k ka a =+，解得165a =，∴165(,)516k D ， 在Rt △OAD 中，根据勾股定理222OD AD OA +=,即2222165165()()(4)()16516516k k ++-+=，解得12825k =±， ∵题中反比例函数图象在第一象限，∴12825k =， 故答案为：12825．【点睛】本题考查反比例函数综合，菱形的性质．本题较难，在解题过程中需掌握中点坐标公式和两点之间距离公式．14．8【分析】作AE⊥OD于ECF⊥OD于F由BC：CD=2：1S△ADC=可求S△ACB=由OA=OBS△AOC=S△ACB=设B（2m2n）可得A（mn）由AC在y=上BC=2CD可求k=mnC（m解析：8【分析】作AE⊥OD于E，CF⊥OD于F．由BC：CD=2：1，S△ADC=53，可求S△ACB=103，由OA=OB，S△AOC=S△ACB=103，设B（2m，2n），可得A（m，n），由A、C在y=kx上，BC=2CD，可求k=mn，C（32m，23n），可推得S△AOC= S梯形AEFC即可解决问题．【详解】解：作AE⊥OD于E，CF⊥OD于F．∵BC：CD=2：1，S△ADC=53，∴S△ACB=103，∵OA=OB，∴B（2m，2n），S△AOC=S△ACB=103，A（m，n），∵A、C在y=kx上，BC=2CD，∴k=mn，∴C（32m，23n），∵S△AOC=S△AOE+S梯形AEFC﹣S△OCF=S梯形AEFC，∴12•（n+23n）×12m=103，∴mn=8，∴k=8．故答案为：8．【点睛】过反比例函数y=kx（k≠0），图像上一点P（x,y），作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P 点组成一个矩形，矩形的面积S=x y k=.过反比例函数过一点，作垂线，三角形的面积为12k.所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数从而有k的绝对值.在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k的几何意义，会给解题带来很多方便．15．【分析】作AC⊥y轴于CBD⊥y轴于D如图先证明△ACP≌△BDP得到S△ACP=S△BDP利用等量代换和k的几何意义得到S△AOB=S△AOC+S△BOD=×|k1|+|k2|=S然后利用k1＞0解析：2S【分析】作AC⊥y轴于C，BD⊥y轴于D，如图，先证明△ACP≌△BDP得到S△ACP=S△BDP，利用等量代换和k的几何意义得到S△AOB=S△AOC+S△BOD=12×|k1|+12|k2|= S，然后利用k1＞0，k2＜0可得到k1-k2的值．【详解】解：作AC⊥y轴于C，BD⊥y轴于D，如图，∵点A与点B关于P成中心对称，∴AP=BP，在△ACP和△BDP中，ACP BDPAPC BPDAP BP∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP≌△BDP（AAS），∴S△ACP=S△BDP，∴S △AOB =S △APO +S △BPO =S △AOC +S △BOD =12×|k 1|+12|k 2|=S ， ∵k 1＞0，k 2＜0， ∴k 1-k 2=2S ． 故答案为：2S ． 【点睛】本题考查了比例系数k 的几何意义：在反比例函数ky x=图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是1k 2，且保持不变．也考查了反比例函数的性质．16．7【分析】根据题意可求出A 点坐标为再结合三角形的面积公式即可求出k 的值【详解】由题意可知A 点纵坐标为3∵A 点在反比例函数的图象上∴A 点横坐标为即A ∴AB=∴解得：故答案为：7【点睛】本题考查了反比例解析：7 【分析】根据题意可求出A 点坐标为(3)3k ，，再结合三角形的面积公式即可求出k 的值． 【详解】由题意可知A 点纵坐标为3， ∵A 点在反比例函数的图象上， ∴A 点横坐标为3k，即A (3)3k ，． ∴AB=13k-， ∴1(1)3223ABCk S=⨯-⨯=， 解得：7k =．故答案为：7． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练运用反比例函数的性质解决问题是本题的关键．17．【分析】把点AB 的坐标代入函数解析式求出比较大小即可【详解】解：把点AB 的坐标代入函数解析式得∴＞故答案为：＞【点睛】本题考查了根据函数解析式比较函数值的大小本题也可以画出函数图象描点借助图象比较函 解析：>【分析】把点A 、B 的坐标代入函数解析式求出1y ，2y ，比较大小即可． 【详解】解：把点A 、B 的坐标代入函数解析式2y x=-得 122y =x 1=2=---，222y ==1x 1=---，∴1y ＞2y ． 故答案为：＞ 【点睛】本题考查了根据函数解析式比较函数值的大小，本题也可以画出函数图象，描点，借助图象比较函数值的大小．18．（－3）或（－3）【分析】根据题意可得AB 的长根据△PAB 的面积是6可求得点P 的纵坐标代入反比例函数解析式可得点P 的横坐标从而得点P 的坐标【详解】∵A 的坐标为点B 的坐标为∴AB ＝4设点P 坐标为(ab解析：（－13，3）或（13，－3）. 【分析】根据题意可得AB 的长，根据△PAB 的面积是6可求得点P 的纵坐标，代入反比例函数解析式可得点P 的横坐标，从而得点P 的坐标. 【详解】∵A 的坐标为()0,2，点B 的坐标为()0,2-, ∴AB ＝4.设点P 坐标为(a ，b)，则点P 到x 轴的距离是|b|，又△PAB 的面积是6， ∴12×4|b|＝6. ∴|b|＝3. ∴b ＝±3. 当b ＝3时，a ＝－13； 当b ＝－3时，a ＝13. ∴点P 的坐标为（－13，3）或（13，－3）. 故答案为：（－13，3）或（13，－3）. 【点睛】本题考查反比例函数与坐标轴围成的几何图形面积问题，数形结合、分类讨论思想是解题常用方法.19．3【分析】作CF ⊥y 轴于FEG ⊥y 轴于G 根据勾股定理求得BF 证得△BCF ≌△EBG （AAS ）从而求得E 的坐标然后代入y=即可求得k 的值【详解】解：作CF ⊥y 轴于FEG ⊥y 轴于G 如图∵C(－42)∴C解析：3 【分析】作CF ⊥y 轴于F ，EG ⊥y 轴于G ，根据勾股定理求得BF ，证得△BCF ≌△EBG （AAS ），从而求得E 的坐标，然后代入y=kx，即可求得k 的值． 【详解】解：作CF ⊥y 轴于F ，EG ⊥y 轴于G ，如图．∵C(－4， 2 ) ∴CF=4，OF=2．∵正方形BCDE 的边长为5， ∴BC=BE=5，∴2222543BC CF -=-= ∵∠BFC=90°， ∴∠BCF+∠CBF=90°， ∵∠CBE=90° ∴∠EBG+∠CBF=90°， ∴∠BCF=∠EBG ， 在△BCF 与△EBG 中90BCF EBG BFC EGB BC EB ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴△BCF ≌△EBG （AAS ）， ∴BF=EG=3，CF=BG=4， ∴FG=BG-BF=4-3=1 ∴OG=OF-FG=2-1=1 ∴E （3,1） ∴双曲线y=kx经过点E ，∴k=3×1=3．故答案为：3．【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，待定系数法求反比例函数的解析式，解题关键是求得E的坐标．20．6【分析】根据四边形的面积求得CE＝54设A（m3）则E（m+441）根据反比例函数系数k的代数意义得出k＝3m＝m+44解得即可【详解】解：由图象可知AD＝1CD＝2∵四边形AECD的面积为64∴解析：6【分析】根据四边形的面积求得CE＝5.4，设A（m，3），则E（m+4.4，1），根据反比例函数系数k的代数意义得出k＝3m＝m+4.4，解得即可．【详解】解：由图象可知AD＝1，CD＝2，∵四边形AECD的面积为6.4，∴12（AD+CE）•CD＝6.4，即12⨯（1+CE）×2＝6.4，∴CE＝5.4，设A（m，3），则E（m+4.4，1），∵反比例函数y＝kx（x＞0，k＞0）的图象经过格点A并交CB于点E．∴k＝3m＝m+4.4，解得m＝2.2，∴k＝3m＝6.6，故答案为6.6．【点睛】本题考查了反比例函数系数k的代数意义，梯形的面积，表示点A、E点的坐标是解题的关键．三、解答题21．（1）360yx=；（2）24天【分析】（1）根据题意直接写出运输公司完成任务所需的时间y（单位：天）与平均每天的工作量x（单位：万米3）之间的函数关系式；（2）根据题意把x＝15代入求出答案；【详解】解：（1）运输公司完成任务所需的时间y（单位：天）与平均每天的工作量x（单位：万米3）之间的函数关系式为：360xy =， 故360y x=； （2）当运输公司平均每天的工作量是15万米3时， 完成任务所需的时间是：360=2415y =（天）， 答：完成任务所需的时间是24天．【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和方程的相关知识解答．22．（1）①3y x =-(0x <)；②点B 在图象L 上方，理由见解析；（2）43k -≤≤-． 【分析】（1）①将点A 坐标代入图象L 解析式中，解得，即可得出结论；②将x=-2代入图象L 解析式中，求出y ，再与2比较大小，即可得出结论；（2）求出图象L 过点A ，B 时的k 的值，再求出图象L 与线段AB 相切时的k 的值，即可得出结论．【详解】解：（1）①∵L 过点A （-3，1），∴313k =-⨯=-，∴图象L 的解析式为3y x =-(0x <)； ②点B 在图象L 上方，理由：由（1）知，图象L 的解析式为3y x=-， 当2x =-时，33222y =-=<-， ∴点B 在图象L 上方；（2）当图象L 过点A 时， 由（1）知，3k =-，当图象L 过点B 时，将点B （-2，2）代入图象L 解析式k y x=中，得224k =-⨯=-， 当线段AB 与图象L 只有一个交点时，设直线AB 的解析式为y mx n =+，将点A （-3，1），B （-2，2）代入y mx n =+中， 3122m n m n -+=⎧⎨-+=⎩，∴14m n =⎧⎨=⎩， ∴直线AB 的解析式为4y x =+，联立图象L 的解析式和直线AB 的解析式得，4k y x y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，化为关于x 的一元二次方程为240x x k +-=，∴1640k =+=，∴4k =-， 即满足条件的k 的范围为：43k -≤≤-．【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，找出图象L 与线段AB 有公共点的分界点是解本题的关键．23．（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）根据平行四边形的性质对角线互相平分即可得出；（2）根据菱形的性质对角线垂直平分即可得出．【详解】解：（1）连接BO 并延长交反比例函数的第二象限的线于点1B ；连接AO 并延长交反比例函数的第二象限的线于点1A ；根据反比例函数图象性质，两条曲线关于原点中心对称，故1OB OB =,1OA OA =, 因为两条直线互相平分，故四边形11ABA B 为平行四边形；（2）如图，四边形CDEF 为菱形；【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质及平行四边形的判定及性质、菱形的判定及性质，熟练掌握性质是解题的关键．24．（1）12yx=；（2）x＜0或2＜x＜12；（3）E（0，6）或（0，8）【分析】（1）由直线y＝﹣12x+7求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；（2）解析式联立，解方程组即可求得B的坐标，然后根据图象即可求得不等式mx＜﹣12x+7的解集；（3）设E（0，n），求得点C的坐标，然后根据三角形面积公式得到S△AEB＝S△BCE﹣S△ACE＝12|7﹣n|×（12﹣2）＝5，解得即可．【详解】解：（1）把x＝2代入y＝﹣12x+7得，y＝6，∴A（2，6），∵反比例函数y＝mx（m≠0）的图象经过A点，∴m＝2×6＝12，∴反比例函数的表达式为12yx =；（2）由12172yxy x⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，得26xy=⎧⎨=⎩或121xy=⎧⎨=⎩，∴B（12，1），由图象可知，不等式mx＜﹣12x+7的解集是：x＜0或2＜x＜12；（3）设E（0，n），∵直线y＝﹣12x+7与y轴交于点C，∴C（0，7），∴CE＝|7﹣n|，∴S△AEB＝S△BCE﹣S△ACE＝12|7﹣n|×（12﹣2）＝5，解得，n＝6或n＝8，∴E （0，6）或（0，8）．【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，掌握反比例函数图像上的点的坐标特征以及待定系数法，是解题的关键．25．（1）6y x =，24y x =+；（2）8；（3）3x <-或01x << 【分析】（1）根据B 的坐标求出反比例函数的解析式，求出A 点的坐标，再把A 、B 的坐标代入y ＝kx +b ，求出一次函数的解析式即可；（2）先求出点C 的坐标，再根据三角形的面积公式求出即可；（3）根据A 、B 的坐标和图象得出即可．【详解】解：（1）(1,6)B 在反比例函数上，166m xy ∴==⨯=，6y x∴=． 点A 在反比例函数上，26n ∴-=，解得3n =-，即(3,2)A --．设直线:AB y kx b =+，代入点(3,2)A --，(1,6)B ，326k b k b -+=-⎧⎨+=⎩ 解得：24k b =⎧⎨=⎩∴24y x =+（2）在直线24y x =+中，令0x =，得4y =，即(0,4)C ．()114(31)822AOB OCA OCB A B S S S OC x x ∴=+=+=⨯⨯+=△△△ （3）(1,6)B ，(3,2)A --∴当k kx b x+<时，x 的取值范围是3x <-或01x <<． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，一次函数与反比例函数的图象和性质等知识点，能求出B 、C 的坐标是解此题的关键．26．（1）见解析；（2）①1；②见解析．【分析】（1）先求出点D 坐标，再代入反比例函数解析式中，即可得出结论；（2）①先判断出△ABC ≌△EFG ，得出GF=BC=2，GE=AC=1，进而得出E （1，3），即可得出结论；②先判断出△AOF ≌△FGE （SAS ），得出∠GFE=∠FAO ，进而得出∠AFE=90°，同理得出∠BAF=90°，进而判断出EF ∥AB ，即可得出结论．【详解】解：（1）∵点B （3，2），BC 边的中点D ，∴点D （3，1），∵反比例函数y ＝kx （k ＞0）的图象经过点D （3，1）， ∴k=3×1=3，∴反比例函数表达式为y ＝3x； （2）①∵点B （3，2），∴BC=2，∵△ABC 与△EFG 成中心对称，∴△ABC ≌△EFG （中心对称的性质），∴GF=BC=2，GE=AC=1，∵点E 在反比例函数的图象上，∴E （1，3），即OG=3，∴OF=OG-GF=1；②如图，连接AF 、BE ，∵AC=1，OC=3，∴OA=GF=2，在△AOF 和△FGE 中AO FG AOF FGE OF GE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOF ≌△FGE （SAS ），∴∠GFE=∠FAO ，∵∠FAO+∠OFA=90°，∴∠GFE+∠OFA=90°，∴∠AFE=90°，∵∠EFG=∠FAO=∠ABC ，∵∠BAC+∠ABC=90°，∴∠BAC+∠FAO=90°，∴∠BAF=90°，∴∠AFE+∠BAF=180°，∴EF∥AB，∵EF=AB，∴四边形ABEF为平行四边形，∴AF=EF，∴四边形ABEF为菱形，∵AF⊥EF，∴四边形ABEF为正方形．【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，中点坐标公式，正方形的判定，全等三角形的判定和性质，判断出△AOF≌△FGE是解题的关键．。
2019届中考复习反比例函数K的几何意义专题试卷含答案
2019届中考复习反比例函数K 的几何意义专题试卷含答案一、选择题1、如图1，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点P是双曲线y=（x＞0）上的一个动点，PB⊥y轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会（）A、逐渐增大B、不变C、逐渐减小D、先增大后减小2、如图2，已知P是反比例函数y=（x＞0）图象上一点，点B的坐标为（5，0），A是y轴正半轴上一点，且AP⊥BP，AP：BP=1：3，那么四边形AOBP的面积为（）A、16B、20C、24D、283、如图3，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数y= 在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差S△OAC ﹣S△BAD为（）A、36B、12C、6D、3图1 图2 图3 4、如图4，反比例函数y= 的图象经过矩形OABC的边AB的中点D，则矩形OABC的面积为（）A、2B、4C、5D、85、如图5，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，AB⊥y轴于点B，函数（k＞0，x＞0）的图象与线段AB交于点C，且AB=3BC．若△AOB的面积为12，则k的值为（）A、4 B、6 C、8 D、126、如图6，A是双曲线y=﹣上一点，过点A向x轴作垂线，垂足为B，向y轴作垂线，垂足为C，则四边形OBAC的面积为（）A、6B、5C、10D、﹣5图4 图5 图6 7、如图7，过反比例函数y= （x＞0）的图像上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S△AOB=2，则k的值为（）A、2B、3C、4D、58、如图8，在平面直角坐标系xOy中，⊙A切y轴于点B，且点A在反比例函数y= （x＞0）的图象上，连接OA交⊙A于点C，且点C为OA中点，则图中阴影部分的面积为（）A、4 ﹣B、4C、2D、2图7 图8二、填空题9、如图9，已知点P（6，3），过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，反比例函数y= 的图象交PM于点A，交PN于点B．若四边形OAPB的面积为12，则k=________．10、如图10，以▱ABCO的顶点O为原点，边OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，顶点A、C的坐标分别是（2，4）、（3，0），过点A的反比例函数的图象交BC于D，连接AD，则四边形AOCD的面积是________．11、如图11，在平面直角坐标系中，反比例函数（x＞0）的图象交矩形OABC 的边AB于点D，交边BC于点E，且BE=2EC．若四边形ODBE的面积为6，则k=________ .]图9 图10 图11 12、如图12，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数（x＞0）和（x＞0）的图象交于P、Q、两点，若S△POQ=14，则k的值为________ ．13、如图13，Rt△ABC的直角边BC在x轴正半轴上，斜边AC边上的中线BD反向延长线交y轴负半轴于E，反比例函数(x＞0)的图像经过点A，若S△BEC=10，则k等于________．14、如图14，双曲线y=经过Rt△OMN斜边ON上的点A，与直角边MN相交于点B，已知OA=2AN，△OAB的面积为6，则k的值是________图12 图13 图1415、反比例反数y=（x＞0）的图象如图15所示，点B在图象上，连接OB并延长到点A，使AB=OB，过点A作AC∥y轴交y=（x＞0）的图象于点C，连接BC、OC，S△BOC=3，则k=________ ．16、如图16，矩形ABCD的顶点A，B的坐标分别是A（﹣1，0），B（0，﹣2），反比例函数y=的图象经过顶点C，AD边交y轴于点E，若四边形BCDE的面积等于△ABE面积的5倍，则k的值等于________ .17、如图17，在平面直角坐标系中，△ABC的边AB∥x轴，点A在双曲线y=（x＜0）上，点B在双曲线y=（x＞0）上，边AC中点D在x轴上，△ABC的面积为8，则k= ________．图15 图16 图1718、如图18所示，反比例函数y= （k≠0，x＞0）的图象经过矩形OABC 的对角线AC的中点D．若矩形OABC的面积为8，则k的值为________ 19、如图19，点A，B在反比例函数y= （k＞0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足C，D分别在x轴的正、负半轴上，CD=k，已知AB=2AC，E是AB的中点，且△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，则k的值是________20、如图20，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，OC是△OAB的中线，点B，C在反比例函数（x＞0）的图象上，则△OAB的面积等于________ ．图18 图19 图2021、如图21，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1（x＞0）及y2= （x＞0）的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为2，则k1﹣k2=________．22、如图22，在平面直角坐标系中，点A在第二象限内，点B在x轴上，∠AOB=30°，AB=BO，反比例函数y= （x＜0）的图象经过点A，若S△ABO= ，则k的值为________．23、如图23，反比例函数y= （k≠0）的图象经过A，B两点，过点A作AC⊥x 轴，垂足为C，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，连接AO，连接BO交AC于点E，若OC=CD，四边形BDCE的面积为2，则k的值为________．图21 图22 图2324、如图，点A是反比例函数y1= （x＞0）图象上一点，过点A作x轴的平行线，交反比例函数y2= （x＞0）的图象于点B，连接OA、OB ，若△OAB的面积为2，则k的值为________．25、如图，等腰△ABC中，AB=AC，BC∥x轴，点A，C在反比例函数y= （x＞0）的图象上，点B在反比例函数y= （x＞0）的图象上，则△ABC的面积为________．26、如图，已知A是双曲线y= （x＞0）上一点，过点A作AB∥y轴，交双曲线y=﹣（x＞0）于点B，过点B作BC⊥AB交y轴于点C，连接AC，则△ABC的面积为________．27、如图，已知点A是双曲线y= 在第一象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边做等腰直角△ABC，点C 在第四象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y= （k＜0）上运动，则k的值是________28、如图，点P（3a，a）是反比例函y= （k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为________．29、如图，点A在双曲线y= 上，点B在双曲线y= 上，且AB∥y轴，C，D在y轴上，若四边形ABCD为平行四边形，则它的面积为________．30、如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y 轴上，B（4，3），连接OB，将△OAB沿直线OB翻折，得△ODB,OD与BC相交于点E,若双曲线经过点E,则k= ;答案解析部分一、单选题1、【答案】C【考点】反比例函数系数k的几何意义【解析】【解答】解：设点P的坐标为（x，），∵PB⊥y轴于点B，点A是x轴正半轴上的一个定点，∴四边形OAPB是个直角梯形，∴四边形OAPB的面积=（PB+AO）•BO=（x+AO）•=+=+•，∵AO是定值，∴四边形OAPB的面积是个减函数，即点P的横坐标逐渐增大时四边形OAPB的面积逐渐减小．故选：C．【分析】由双曲线y=（x＞0）设出点P的坐标，运用坐标表示出四边形OAPB的面积函数关系式即可判定．2、【答案】B【考点】反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：作PM⊥x轴，PN⊥y轴．则△APN∽△BPM∴=∴P纵坐标比横坐标是3：1，设P的横坐标是x，则纵坐标是3x．3x=即：x2=4∴x=2∴P的坐标是：（2，6）∴PB方程y=﹣2x+2PA方程y=x+5∴A的坐标是（0，5）连接OP，三角形OPA面积=5，三角形OPB面积=15，∴四边形AOBP的面积为20．故选B．【分析】作PM⊥x轴，PN⊥y轴．则△APN∽△BPM，即可得到P纵坐标比横坐标是3：1，从而求得P的坐标，进而求得面积．3、【答案】D【考点】反比例函数系数k的几何意义，等腰直角三角形【解析】【解答】解：设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b，则点B的坐标为（a+b，a﹣b）．∵点B在反比例函数y= 的第一象限图象上，∴（a+b）×（a﹣b）=a2﹣b2=6．∴S△OAC﹣S△BAD= a2﹣b2= （a2﹣b2）= ×6=3．故选D．【分析】设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b，结合等腰直角三角形的性质及图象可得出点B的坐标，根据三角形的面积公式结合反比例函数系数k的几何意义以及点B的坐标即可得出结论．本题考查了反比例函数系数k的几何意义、等腰三角形的性质以及面积公式，解题的关键是找出a2﹣b2的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，设出等腰直角三角形的直角边，用其表示出反比例函数上点的坐标是关键．4、【答案】B【考点】反比例函数系数k的几何意义【解析】【解答】解：∵y= ，∴OA•OD=2．∵D是AB的中点，∴AB=2AD．∴矩形的面积=OA•AB=2AD•OA=2×2=4．故选：B．【分析】由反比例函数的系数k的几何意义可知：OA•AD=2，然后可求得OA•AB的值，从而可求得矩形OABC的面积．本题主要考查的是反比例函数k的几何意义，掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．5、【答案】C【考点】反比例函数系数k的几何意义【解析】【解答】解：连结OC，如图，∵AB⊥y轴于点B，AB=3BC，∴S△AOB=3S△BOC，∴S△BOC= ×12=4，∴|k|=4，而k＞0，∴k=8．故选C．【分析】连结OC，如图，根据三角形面积公式，由AB=3BC得到S△AOB=3S△BOC，可计算出S△BOC=4，再根据反比例函数比例系数k的几何意义得到|k|=4，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．6、【答案】B【考点】反比例函数系数k的几何意义【解析】【解答】解：∵点A在双曲线y=﹣上，且AC⊥y轴，AB⊥x轴，∴S矩形OBAC=|k|=5．故选B．【分析】由“点A在双曲线y=﹣上，且AC⊥y轴，AB⊥x轴”结合反比例函数系数k的几何意义，即可得出四边形OBAC的面积．7、【答案】C【考点】反比例函数的性质，反比例函数系数k的几何意义【解析】【解答】解：∵点A是反比例函数y= 图像上一点，且AB⊥x轴于点B，∴S△AOB= |k|=2，解得：k=±4．∵反比例函数在第一象限有图像，∴k=4．故选C．【分析】根据点A在反比例函数图像上结合反比例函数系数k的几何意义，即可得出关于k的含绝对值符号的一元一次方程，解方程求出k值，再结合反比例函数在第一象限内有图像即可确定k值．8、【答案】D【考点】反比例函数系数k的几何意义，扇形面积的计算【解析】【解答】解：连接AB，BC，∵点A在反比例函数y= （x＞0）的图象上，∴S△AOB= ×4 =2 ，∴OB•AB=2 ，∵点C为OA中点，∴BC= OA=AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠OAB=60°，∴=tan60°= ，∴OB= AB，∴•AB•AB=2 ，∴AB=2，∴S扇形= = = ，∴S阴影=S△AOB﹣S扇形=2 ﹣，故选D．【分析】连接AB，根据反比例函数系数k的几何意义得出S△AOB=2 ，根据点C 为OA中点，得出AB= OA，即可求得∠OAB=60°，根据面积求得AB的长，然后求得扇形的面积，即可求得阴影的面积．二、填空题9、【答案】6【考点】反比例函数系数k的几何意义【解析】【解答】解：∵点P（6，3），∴点A的横坐标为6，点B的纵坐标为3，代入反比例函数y= 得，点A的纵坐标为，点B的横坐标为，即AM= ，NB= ，∵S四边形OAPB=12，即S矩形OMPN﹣S△OAM﹣S△NBO=12，6×3﹣×6×﹣×3×=12，解得：k=6．故答案为：6．【分析】根据点P（6，3），可得点A的横坐标为6，点B的纵坐标为3，代入函数解析式分别求出点A的纵坐标和点B的横坐标，然后根据四边形OAPB的面积为12，列出方程求出k的值．本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解答本题的关键是根据点A、B的纵横坐标，代入解析式表示出其坐标，然后根据面积公式求解．10、【答案】9【考点】反比例函数系数k的几何意义，平行四边形的性质【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，A、C的坐标分别是（2，4）、（3，0），∴点B的坐标为：（5，4），把点A（2，4）代入反比例函数y=得：k=8，∴反比例函数的解析式为：y=；设直线BC的解析式为：y=kx+b，把点B（5，4），C（3，0）代入得：，解得：k=2，b=﹣6，∴直线BC的解析式为：y=2x﹣6，解方程组得：，或（不合题意，舍去），∴点D的坐标为：（4，2），即D为BC的中点，∴△ABD的面积=平行四边形ABCD的面积，∴四边形AOCD的面积=平行四边形ABCO的面积﹣△ABD的面积=3×4﹣×3×4=9；故答案为：9．【分析】先求出反比例函数和直线BC的解析式，再求出由两个解析式组成方程组的解，得出点D的坐标，得出D为BC的中点，△ABD的面积=平行四边形ABCD的面积，即可求出四边形AOCD的面积．11、【答案】3【考点】反比例函数系数k的几何意义【解析】【解答】解：连接OB，如图所示：∵四边形OABC是矩形，∴∠OAD=∠OCE=∠DBE=90°，△OAB的面积=△OBC的面积，∵D、E在反比例函数y=（x＞0）的图象上，∴△OAD的面积=△OCE的面积，∴△OBD的面积=△OBE的面积=四边形ODBE的面积=3，∵BE=2EC，∴△OCE的面积=△OBE的面积=，∴k=3；故答案为：3．【分析】连接OB，由矩形的性质和已知条件得出△OBD的面积=△OBE的面积=四边形ODBE的面积=3，在求出△OCE的面积，即可得出k的值．12、【答案】-20【考点】反比例函数系数k的几何意义，反比例函数与一次函数的交点问题【解析】【解答】解：∵S△POQ=S△OMQ+S△OMP，∴|k|+×|8|=14，∴|k|=20，而k＜0，∴k=﹣20．故答案为﹣20．【分析】由于S△POQ=S△OMQ+S△OMP，根据反比例函数比例系数k的几何意义得到|k|+×|8|=14，然后结合函数y=的图象所在的象限解方程得到满足条件的k 的值．13、【答案】20【考点】反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】∵BD为Rt△ABC的斜边AC上的中线，∴BD=DC，∠DBC=∠ACB，又∠DBC=∠EBO，∴∠EBO=∠ACB，又∠BOE=∠CBA=90°，∴△BOE∽△CBA，∴，即BC×OE=BO×AB．又∵S△BEC=10，即BC×OE=20=BO×AB=|k|．又由于反比例函数图象在第一象限，k＞0．所以k等于20．故答案为：20．【分析】先根据题意证明△BOE∽△CBA，根据相似比及面积公式得出BO×AB的值即为|k|的值，再由函数所在的象限确定k的值．此题主要考查了反比例函数y=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|．14、【答案】【考点】反比例函数系数k的几何意义【解析】【解答】解：作AC⊥x轴于C，如图，设A点坐标为（2a，），∵OA=2AN，∴OC=2CM，∴OM=3a，∴B点坐标为（3a，），∵S△AOB+S△BOM=S△AOC+S梯形ABMC，而△OAB的面积为6，S△BOM=S△AOC，∴S梯形ABMC=6，∴（+）•a=6，∴k=．故答案为．【分析】作AC⊥x轴于C，如图，设A点坐标为（2a，），由于OA=2AN，则OC=2CM，所以OM=3a，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到B点坐标为（3a，），则S△AOB+S△BOM=S△AOC+S梯形ABMC，根据反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义得到S△BOM=S△AOC，所以S梯形ABMC=6，利用梯形的面积公式得到（+）•a=6，解得k=．15、、【答案】4【考点】反比例函数系数k的几何意义【解析】【解答】解：如图：延长AC交x轴于D点，设B点坐标为（a，），由AB=OB，得A（2a，），D（2a，0）．由AB=OB，得S△ABC=S△BOC=3，S△COD=OD•CD=k．由三角形面积的和差，得S△AOD﹣S△COD=S△AOC，即×2a×﹣k=6．解得k=4．故答案为：4．【分析】根据线段中点的性质，可得A点坐标，根据三角形的中线分三角形所得两个三角形的面积相等，可得S△ABC=S△BOC=3，根据反比例函数的定义，可得△COD的面积，根据三角形面积的和差，可得关于k的方程，根据解方程，可得答案．16、【答案】【考点】反比例函数系数k的几何意义【解析】【解答】解：如图，作CF⊥y轴于F，作EG⊥BC于G，∵∠EGB=∠EAB=∠ABG=90°，∴四边形ABGE是矩形，在△AEB和△GBE中，，∴△AEB≌△GBE（SSS），∵A、B的坐标分别是A（﹣1，0）、B（0，﹣2），∴AB直线解析式为：y=kx+b，。
(必考题)初中数学九年级数学上册第六单元《反比例函数》检测卷(有答案解析)(4)
一、选择题1．关于反比例函数y =4x，下列说法不正确的是（ ） A ．图象关于原点成中心对称 B ．当x >0时，y 随x 的增大而减小C ．图象与坐标轴无交点D ．图象位于第二、四象限 【答案】D【分析】根据反比例函数图象的性质判断即可．【详解】解：根据反比例函数的性质可知，图象关于原点成中心对称，图象与坐标轴无交点，所以A 、C 不符合题意；因为比例系数是4，大于0，所以当x >0时，y 随x 的增大而减小，故B 不符合题意； 因为比例系数是4，大于0，所以图象位于第一、三象限，故D 错误，符合题意； 故选：D ．【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，解题关键是掌握反比例函数图象的性质并熟练运用．2．如图，点A 、B 是双曲线3y x=上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，若1S =阴影，则12S S +=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A【分析】 先根据反比例函数系数k 的几何意义得S 1+S 阴影及S 2+S 阴影的值，进而可得出S 1+S 2的值．【详解】解：∵点A 、B 是双曲线3y x=上的点， ∴S 1+S 阴影=S 2+S 阴影=3，∵S 阴影=1∴S 1=S 2=3-S 阴影=3-1=2，∴12224S S +=+=．故选A ．【点睛】本题考查反比例函数系数k 的几何意义，是常考点，需要学生熟练掌握．3．若点()12,y -()21,y -、()31,y 都在反比例函数()0k y k x =<的图象上，则有（ ） A ．123y y y >>B ．312y y y >>C ．213y y y >>D ．132y y y >> 【答案】C【分析】 先根据反比例函数y ＝k x中k ＜0判断出函数图象所在的象限，再得出在每一象限内函数的增减性，再根据三点横坐标的值即可判断出y 1，y 2，y 3的大小．【详解】 解：∵反比例函数y ＝k x中k ＜0， ∴函数图象的两个分支位于二四象限，且在每一象限内y 随x 的增大而增大，∵﹣2＜﹣1＜0，∴y 2＞y 1＞0，∵1＞0，∴y 3＜0，∴y 2＞y 1＞y 3．故选：C ．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．4．已知ABC 为直角三角形，且30A ∠=︒，若ABC 的三个顶点均在双曲线(0)k y k x=>上，斜边AB 经过坐标原点，且B 点的纵坐标比横坐标少3个单位长度，C 点的纵坐标与B 点横坐标相等，则k =（ ）A ．4B ．92C ．32D ．5【答案】B【分析】 设(,)(0)k B x k x>，再分别表示出B ，C ，由直角三角形的性质得出BC OB =，联立方程组求出k 的值即可．【详解】 解：在k y x=中，设(,)(0)k B x k x >， 则3k x x +=，(,)k C x x∵AB 经过坐标原点， ∴(,)k A x x-- ∵ABC 为直角三角形，且30A ∠=︒，∴∠60B =︒ ∴1,22BC AB AB BC == 又∵2AB OB =∴BC OB = ∴22222()3k k x x x x k x x +=-⎪+=⎪⎩解得，92=k【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，待定系数法，中心对称的性质等知识，解题的关键是学会利用中心对称的性质解决问题．5．某班“数学兴趣小组”探究出了有关函数1223y x =-+（图象如图）的三个结论：①方程12203x -=+有1个实数根，该方程的根是3x =；②如果方程1223a x -=+只有一个实数根，则a 的取值范围是2a =或0a =；③如果方程1223a x -=+有2个实数根，则a 的取值范围是02a <<或2a >．你认为正确的结论个数有（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0 【答案】A【分析】 利用函数图像结合图像性质分析求解．【详解】解：结合函数图像可以看出当y=12203x -=+时，函数图像与x 轴有1个交点，（3,0），∴方程12203x -=+有1个实数根，该方程的根是3x =，故①正确； 如果方程1223a x -=+只有一个实数根，由①可得a=0， 若a=2，则12223x -=+，此时只有12=43x +，解得x=0（经检验，是原方程的解） ∴方程1223a x -=+只有一个实数根，则a 的取值范围是2a =或0a =，故②正确； 由②可得当2a =或0a =时，y=1223a x -=+有一个实数根∴方程1223a x -=+有2个实数根，则a 的取值范围是02a <<或2a >，故③正确 正确的共3个，故选：A ．【点睛】本题考查了函数的性质，函数与方程等知识，学会利用图象，数形结合思想解题是关键．6．如图，在x 轴正半轴上依次截取1122320202021OA A A A A A A ====，过点1A ．2A ，3A 、、2020A 、2021A 分别作x 轴的垂线，与反比例函数2y x =的图象依次相交于1P ，2P 、3P 、 、2021P ，得到11OP A ∆、122O P A ∆、、202020212021A P A ∆，并设其面积分别为1S 、2S 、、2021S ，则2021S 的值为（ ）A ．12021B ．12020C ．22021D ．11010【答案】A【分析】 设OA 1=A 1A 2=A 2A 3=…=A 2020A 2021=t ，利用反比例函数图象上点的坐标特征得到P 1（t ，2t ），P 2（2t ，22t ），P 3（3t ，23t），…，P 2021（2021t ，22021t ），然后根据三角形面积公式可计算出S 2021．【详解】解：设OA 1=A 1A 2=A 2A 3=…=A 2010A 2021=t ，则P 1（t ，2t ），P 2（2t ，22t），P 3（3t ，23t），…，P 2021（2021t ，22021t ）， 所以S 2021=121=220212021t t ⨯⨯．【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义：在反比例函数y=k x的图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征．7．如图，点P 在反比例函数y ＝k x的图象上，PA ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ，且△APB 的面积为2，则k 等于（ ）A ．－4B ．－2C ．2D ．4【答案】A【分析】 根据反比函数定义去思考求解即可.【详解】设点P 的坐标为(x ，y)，∵PA ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ，∴PA=y ，PB=-x ，∵△APB 的面积为2，∴122PA PB ⋅=， ∴-xy=4，即xy=-4, ∵点P 在反比例函数y ＝k x的图象上， ∴k=xy=-4,故选A.【点睛】本题考查了根据反比例函数图像一点，向坐标轴引垂线构成三角形面积求k ，熟练运用点与函数的关系，坐标与线段之间的关系，三角形面积的定义是解题的关键.8．对于反比例函数2y x=-，下列说法正确的是（ ） A ．图象经过点()2,1--B ．已知点()12,P y -和点()26,Q y ，则12y y <C ．其图象既是轴对称图形也是中心对称图形D ．当0x >时，y 随x 的增大而减小【答案】C【分析】根据反比例函数的性质进行判断即可．【详解】 解: A 、把点 ()2,1-- 代入反比例函数y=2x-,得-1≠2--2，故不正确； B 、把点 ()12,P y - 代入反比例函数y 1=221--=，把点 ()26,Q y 代入反比例函数y 2=2361-=-，12y y ＞，故不正确； C 、其图象既是轴对称图形也是中心对称图形，符合题意；D 、k=-2＜0，∴在每一象限内y 随x 的增大而增大，故不正确;故选C ．【点睛】 本题考查了反比例函数y= k x(k≠0)的性质: ①当k>0 时，图象分别位于第一、 三象限;当k<0时， 图象分别位于第二、 四象限；②当k>0时，在同一个象限内， y 随x 的增大而减小；当k<0时， 在同一个象限， y 随x 的增大而增大．9．已知点A 、点B 在反比例函数(0)k y k x=≠图象的同一支曲线上，则点A 、点B 的坐标有可能是（ ）A ．A （2，3）、B （－2，－3）B ．A （1，4）、B （4，1）C ．A （4，3）、B （4，－3）D ．A （3，3）、B （2，2） 【答案】B【分析】在反比例函数图象的同一支上，一定满足同一函数解析式且在同一象限．【详解】解：A. A （2，3）、B （－2，－3）两点均在同一反比例函数图象上，但不在同一支上，故选项A 不符合题意；B. A （1，4）、B （4，1）两点均在同一反比例函数图象上，且在同一支上，故选项B 符合题意；C. A （4，3）、B （4，－3）两点不在同一反比例函数图象上，故选项C 不符合题意；D. A （3，3）、B （2，2）两点不在同一反比例函数图象上，故选项D 不符合题意． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的特点，掌握两点在反比例函数图象的同一支曲线上的条件是解答本题的关键．10．如图所示，反比例函数k y x =（0k ≠，0x ≥）的图象经过矩形OABC 的对角线AC 的中点D ．若矩形OABC 的面积为等于8，则k 的值等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【分析】过D 作DE ⊥OA 于E ，设,k D a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，于是得到OA=2a ，2k OC a=，根据矩形的面积列方程即可得到结论．【详解】解：过D 作DE OA ⊥于点E ，如图，设,k D a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴OE a =，k DE a=， ∵点D 是矩形OABC 的对角线AC 的中点，∴2OA a =，2k OC a=， ∵矩形OABC 的面积为8， ∴228k OA OC a a⋅=⨯=，解得2k =， 故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，矩形的性质，根据矩形的面积列出方程是解题的关键．11．下列各点中，在反比例函数12y x =-图象上的是（ ） A ．()2,6--B ．()2,6-C ．()3,4D ．()4,3-- 【答案】B【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征进行判断．【详解】解：∵-2×（-6）=12，-2×6=-12，3×4=12，-4×（-3）=12，∴点（-2，6）在反比例函数12y x=-图象上． 故选：B ．【点睛】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数k y x=-（k 为常数，k≠0）的图象是双曲线；图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy=k ．12．函数1y x =与函数1y x=-的图像可以通过图形变换得到，给出下列变换：①平移，②旋转，③轴对称，④相似（相似比不为1），则可行的是（ ） A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④ 【答案】B【分析】 由于反比例函数的图象是一个中心对称图形，也是轴对称图形，即函数1y x =的图象可以经过旋转得到1y x=-的图象，而不能经过平移，由于两函数表达式相同，故两函数的图象相似，且相似比为1．【详解】解：已知函数1y x =与函数1y x=-， 且反比例函数图象是中心对称图形，也是轴对称图形，故函数图象不可以通过平移来完成，故①错误；②正确；③正确；又因为两函数图象完全相同，即两函数图象相似，且相似比为1，故④错误； 综上所述，可行的是②③．故选：B ．【点睛】本题通过反比例函数图象的性质和图象的旋转问题，要求学生具有一定的猜想和探究能力．二、填空题13．如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABC 的顶点A ，B 分别在y 轴、x 轴上，OA ＝2，OB ＝1，斜边AC ∥x 轴．若反比例函数y ＝k x（k ＞0，x ＞0）的图象经过AC 的中点D ，则k 的值为 ___________．14．若点(4,3)A ，(2,)B m 在同一个反比例函数的图象上，则m 的值为_______． 15．已知点,C D 分别在反比例函数(32550,2)p p p y y p x x -=≠=≠⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象上，若点C 与点D 关于x 轴对称，则p 的值为______．16．若点()5,A a -，()3,B b ，()6,C c 都在反比例函数4y x=的图象上，则a ，b ，c 中最大的是___．17．如图，在以O 为原点的平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OC ．OA 分别在x 轴、y轴的正半轴上，反比例函数(0)k y x x =>的图象与AB 相交于点D ，与BC 相交于点E ，若3BD AD =，且ODE 的面积是6，则k 的值为________．18．如图所示，点A 、B 在反比例函数y ＝k x(k >0，x >0)的图象上，过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，延长线段AB 交x 轴于点C ，若OM ＝MN ＝NC ，△AOC 的面积为6，则k 的值为______．19．在平面直角坐标系中，已知一次函数y=-2x+1的图象经过P 1（x 1 ， y 1）、P 2（x 2 ， y 2）两点，若x 1>x 2 ， 则y 1________y 2（填“>”或“<”）．20．分别以矩形OABC 的边OA ，OC 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，点B 的坐标是(4，2)，将矩形OABC 折叠使点B 落在G(3，0)上，折痕为EF ，若反比例函数k y x=的图象恰好经过点E ，则k 的值为_______．三、解答题21．已知一次函数223y x =+的图象分别与坐标轴相交于A 、B 两点（如图所示），与反比例函数()0k y x x=>的图象相交于C 点．（1）直接写出A 、B 两点的坐标；（2）作CD x ⊥轴，垂足为D ，如果OB 是ACD △的中位线，求反比例函数()0k y k x =>的关系式． （3）请根据图象直接写出在第一象限内，反比例函数值大于一次函数值时自变量x 的取值范围．22．如图，直线11y k x b =+与反比例函数22k y x=的图象交于A 、B 两点，已知点(),4A m ，(),2B n ，AD x ⊥轴于点D ，BC x ⊥轴于点C ，3DC =．（1）求m ，n 的值及反比例函数的解析式；（2）结合图象，当21k k x b x+≤时，直接写出自变量x 的取值范围； （3）若P 是x 轴上的一个动点，当ABP △的周长最小时，求点P 的坐标．23．已知双曲线k y x=与直线14y x =相交于A 、B 两点．第一象限上的点(),M m n （在A 点左侧）是双曲线k y x=点上的动点，过点B 作//BD y 轴交x 轴于点D ．过()0,N n -作//NC x 轴交双曲线k y x =于点E ，交BD 于点C ． （1）若点D 坐标是()8,0-，求A 、B 两点坐标及k 的值．（2）若B 是CD 的中点，四边形OBCE 的面积为4，求直线CM 的解析式．24．如图，一次函数1y x =+与反比例函数k y x =的图像相交于点()2,3A 和点B ． （1）求反比例函数的解析式； （2）过点B 作BC x ⊥轴于C ，求ABC S ；（3）是否在y 轴上存在一点D ，使得BD CD +的值最小，并求出D 坐标．25．直线y kx b =+与反比例函数4(0)y x x=>的图象分别交于点(,4)A m 和点(4,)B n ，与坐标轴分别交于点C 和点D ．（1）求直线AB 的解析式；（2）观察图象，当0x >时，直接写出4kx b x+>的解集； （3）若点P 是y 轴上一动点，当COD △与ACP △相似时，直接写出点P 的坐标．26．如图，直线y＝12x与双曲线y＝kx(k＞0)交于A、B两点，且点A的横坐标为4．（1）求k的值；（2）若双曲线y＝kx(k＞0)上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积．（3）若12kxx>>，直接写出x的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．无2．无3．无4．无5．无6．无7．无8．无9．无10．无11．无12．无二、填空题13．5【分析】作CE ⊥x 轴于E 根据平行于x 轴的直线上任意两点纵坐标相同即可求得CE=OA=2T 通过证得△AOB ∽△BEC 求得BE=4进而得到D 点坐标代入y=利用待定系数法求出k 【详解】解：作CE ⊥x 轴于解析：5【分析】作CE ⊥x 轴于E ，根据平行于x 轴的直线上任意两点纵坐标相同，即可求得CE =OA =2，T 通过证得△AOB ∽△BEC ，求得BE =4，进而得到D 点坐标，代入y =k x，利用待定系数法求出k ．【详解】解：作CE ⊥x 轴于E ，∵AC ∥x 轴，OA =2，OB =1，∴OA =CE =2，∵∠ABO +∠CBE =90°=∠OAB +∠ABO ，∴∠OAB =∠CBE ， ∵∠AOB =∠BEC ， ∴△AOB ∽△BEC ，∴BE CE OA OB =，即221BE =， ∴BE =4，∴OE =5，∵点D 是AB 的中点， ∴D （52，2）． ∵反比例函数y =k x（k ＞0，x ＞0）的图象经过点D ，∴k =52×2=5． 故答案为：5．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质等知识，求出D 点坐标是解题的关键．14．；【分析】设反比例函数解析式为y=根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k=4×3=2m 然后解关于m 的方程即可【详解】解：设反比例函数解析式为y=根据题意得k=4×3=2m 解得m=6故答案为6【点睛】解析：6；【分析】设反比例函数解析式为y=k x ，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k=4×3=2m ，然后解关于m 的方程即可．【详解】解：设反比例函数解析式为y=k x， 根据题意得k=4×3=2m ，解得m=6．故答案为6．【点睛】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=k x（k 为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy=k ． 15．1【分析】根据题意设出点C 和点D 的坐标再根据点C 与点D 关于x 轴对称即可求得p 的值【详解】解：∵点分别在反比例函数的图象上∴设点C 的坐标为点D 的坐标为∵点与点关于轴对称∴∴p=1故答案为：1【点睛】本 解析：1【分析】根据题意，设出点C 和点D 的坐标，再根据点C 与点D 关于x 轴对称，即可求得p 的值【详解】解：∵点,C D 分别在反比例函数(32550,2)p p p y y p x x -=≠=≠⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象上， ∴设点C 的坐标为3m m ，⎛⎫ ⎪⎝⎭p ，点D 的坐标为2p 5(,)-n n ， ∵点C 与点D 关于x 轴对称，∴3p 2p 5-m n mn =⎧⎪-⎨=⎪⎩ ∴p=1故答案为：1【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、关于x 轴、y 轴对称的点的坐标特点，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想解答．16．b 【分析】先根据反比例函数中k ＞0判断出函数图象所在的象限及增减性再根据各点横坐标的特点即可得出结论【详解】解：∵k=4＞0∴图象在第一三象限在每个象限内y 随x 的增大而减小∵-5＜0∴A （-5a ）位解析：b【分析】先根据反比例函数中k ＞0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．【详解】解：∵k=4＞0，∴图象在第一、三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小，∵-5＜0，∴A （-5，a ）位于第三象限，∴a ＜0，∵0＜3＜6，∴点B （3，b ），C （6，c ）位于第一象限，∴b ＞c ＞0．∴a ，b ，c 中最大的是b ．故答案为：b ．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．17．【分析】根据所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积然后即可求出B 的横纵坐标的积即是反比例函数的比例系数【详解】解：∵四边形OCBA 是矩形∴AB=OCOA=BC 设B 点的坐标为（ab ）∵ 解析：165【分析】根据所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，然后即可求出B 的横纵坐标的积即是反比例函数的比例系数．【详解】解：∵四边形OCBA 是矩形，∴AB=OC ，OA=BC ，设B 点的坐标为（a ，b ），∵BD=3AD ，∴D （14a ，b ） ∵D 、E 在反比例函数的图象上， ∴4ab =k ， 设E 的坐标为（a ，y ），∴ay=k∴E （a ，k a）， ∵1113()62224ODE AOD OCE BDE OCBA a k S S S S S ab k k b a ∆∆∆∆=--=---⋅-=-⋅矩形， ∴334688ab k k k --+=， 解得：165k =． 故答案为：165【点睛】 本题考查反比例函数系数k 的几何意义，矩形在平面直角坐标系中的坐标，解题的关键是利用过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；所给的面积应整理为和反比例函数上的点的坐标有关的形式．18．4【分析】设OM 的长度为a 利用反比例函数解析式表示出AM 的长度再求出OC 的长度然后利用三角形的面积公式列式计算恰好只剩下k 然后计算即可得解【详解】设∵点A 在反比例函数的图象上∴∵∴∴∴故答案为：4【 解析：4【分析】设OM 的长度为a ，利用反比例函数解析式表示出AM 的长度，再求出OC 的长度，然后利用三角形的面积公式列式计算恰好只剩下k ，然后计算即可得解．【详解】设OM a =，∵点A 在反比例函数k y x =的图象上， ∴k AM a=， ∵OM MN NC ==，∴3OC a =， ∴11336222AOC k S OC AM a k a =⋅=⋅⋅==， ∴4k =．故答案为：4．【点睛】本题综合考查了反比例函数与三角形的面积，根据反比例函数的特点，用OM 的长度表示出AM 、OC 的长度，相乘恰好只剩下k 是解题的关键，本题设计巧妙，是不错的好题． 19．<【分析】根据一次函数的性质当k ＜0时y 随x 的增大而减小进行判断即可【详解】解：∵一次函数y=-2x+1中k=-2＜0∴y 随x 的增大而减小∵x1＞x2∴y1＜y2故答案为＜【点睛】此题主要考查了一次解析：<【分析】根据一次函数的性质，当k ＜0时，y 随x 的增大而减小进行判断即可．【详解】解：∵一次函数y =-2x +1中k =-2＜0，∴y 随x 的增大而减小，∵x 1＞x 2，∴y 1＜y 2．故答案为＜．【点睛】此题主要考查了一次函数的性质，关键是掌握一次函数y =kx +b ，当k ＞0时，y 随x 的增大而增大，当k ＜0时，y 随x 的增大而减小．20．3【分析】设CE 的长为a 利用折叠的性质得到EG=BE=4-aED=3-a 在Rt △EGD 中利用勾股定理可求得a 的值得到点E 的坐标即可求解【详解】过G 作GD ⊥BC 于D 则点D(32)设CE 的长为a 根据折叠解析：3【分析】设CE 的长为a ，利用折叠的性质得到EG=BE=4-a ，ED=3-a ，在Rt △EGD 中，利用勾股定理可求得a 的值，得到点E 的坐标，即可求解．【详解】过G 作GD ⊥BC 于D ，则点D(3，2)，设CE 的长为a ，根据折叠的性质知：EG=BE=4-a ，ED=3-a ，在Rt △EGD 中，222EG ED DG =+，∴()()2224a 3a 2-=-+， 解得：32a =， ∴点E 的坐标为(32，2)， ∵反比例函数k y x =的图象恰好经过点E ， ∴3232k xy ==⨯=， 故答案为：3．【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理的应用，反比例函数图象上点的特征，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．三、解答题21．（1）()30A -,，()0,2B ；（2）()120y x x =>；（3）03x << 【分析】（1）分别令一次函数解析式中y=0、x=0求出x 、y 的值，从而得出点A 、B 的坐标； （2）由A 、B 点的坐标结合中位线的性质，找出线段OD 、DC 的长度，从而找出点C 的坐标，再由点C 的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数的系数k ，从而得出结论；（3）观察函数图象，根据两函数图象的上下关系结合交点的坐标，即可得出结论．【详解】解：（1）令一次函数223y x =+中y=0，则23x+2=0， 解得：x=-3，∴点A 的坐标为（-3，0）； 令一次函数223y x =+中x=0，则y=2， ∴点B 的坐标为（0，2）； （2）∵OB 是ACD △的中位线，∴2224CD BO ==⨯=，3==OD OA ，∴C 点坐标()3,4，∴3412k =⨯=，∴反比例函数的关系式()120y x x =>．（3）由图象可知，当03x <<时，反比例函数值大于一次函数值． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数与一次函数的交点问题以及三角形中位线的性质，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例系数k 是关键． 22．（1）3m =，6n =，212y x=；（2）03x <≤或6x ≥；（3）点P 的坐标为()5,0．【分析】（1）把点A 、B 的坐标代入反比例函数中，得到2n m =，由CD=3可知 ，3n m -=即可求出m 、n 的值；（2）根据图象可直接写出x 的取值范围；（3）作点B 关于x 轴的对称点()62F -，，连接AF 交x 轴于点P ，此时ABP △的周长最小，求出坐标即可； 【详解】（1）∵点()4A m ，，()2B n ，在反比例函数22k y x=的图象上， ∴242k m n ==， 即2n m =； ∵3DC =， ∴3n m -=， ∴3m =，6n =，∴点()34A ，，点()62B ，， ∴23412k =⨯=， ∴反比例函数的解析式为212y x=； （2）∵点()34A ，，点()62B ，， ∴当21k k x b x+≤时：03x <≤或6x ≥； （3）如图，作点B 关于x 轴的对称点()62F -，，连接AF 交x 轴于点P ，此时ABP △的周长最小；设直线AF 的解析式为y kx a =+，3462k a k a +=⎧⎨+=-⎩解得210k a =-⎧⎨=⎩∴直线AF 的解析式为210y x =-+， 当0y =时，5x =，∴点P 的坐标为()50，．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的解析式以及求x 的取值范围，还有在反比例函数中出现的动点问题，属于中等难度．23．（1）()8,2A ；B ()8,2--；k=16；（2）2233y x =+ 【分析】（1）根据D 点的横坐标为-8，求出点B 的横坐标代入14y x =中，得2y =-，得出B 点的坐标，即可得出A 点的坐标，再根据求出即可；（2）根据111122,,2222∆∆======DCNO DBO OEN S mn k S mn k S mn k ，即可得出k 的值，进而得出B ，C 点的坐标，再求出解析式即可． 【详解】解：（1）∵(),80D -， ∴B 点的横坐标为8-，代14y x =入中，得2y =-． ∴B 点坐标为()8,2--． ∵A 、B 两点关于原点A 对称， ∴()8,2A ． ∴8216k xy ==⨯=；（2）∵()0,N n -，B 是CD 的中点，A 、B 、M 、E 四点均在双曲线上，∴mn k =，2,2n B m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，()2,C m n --，(),E m n --．22DCNO S mn k ==矩形，1122DBO S mn k ==△，1122OEN S mn k ==△，∴4DBOOENDCNO OBCE S S S Sk =--==矩形四边形．∴4k =．∵2,2n B m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在双曲线4y x =与直线14y x =上， ∴()()2421242n m n m ⎧⎛⎫-⨯-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪⨯-=-⎪⎩， 解得1122m n =⎧⎨=⎩或2222m n =-⎧⎨=-⎩（舍去） ∴()4,2C --，()2,2M ．设直线CM 的解析式是y ax b =+，把()4,2C --和()2,2M 代入得：4222a b a b -+=-⎧⎨+=⎩，解得23a b ==． ∴直线CM 的解析式是2233y x =+． 【点睛】本题考查反比例函数解析式，一次函数解析式，掌握反比例函数解析式，一次函数解析式待定系数求法，关键是点B 横纵坐标关系，以及4DBOOENDCNO OBCE S S S Sk =--==矩形四边形构造方程组解决问题． 24．（1）6y x=；（2）5；（3）存在，()0,1D - 【分析】（1）将A 的坐标代入反比例函数解析式中，求出k 的值，即可确定出反比例函数解析式；（2）将反比例函数解析式与一次函数解析式联立组成方程组，求出方程组的解，根据B 所在的象限即可得到B 的坐标；三角形ABC 的面积可以由BC 为底边，A 横坐标绝对值与B 横坐标绝对值之和为高，利用三角形的面积公式求出即可．（3）作C 关于y 轴的对称点C′，连接BC′交y 轴上一点D ，连接CD ，求出BC′的直线解析式，即可求出D 的坐标． 【详解】（1）∵一次函数1y x =+与反比例函数ky x=相交于()2,3A 6k x y =⋅=6y x∴=（2）如图：16y x y x =+⎧⎪∴⎨=⎪⎩，∴123,2x x =-=． ∴()3,2B -- 过B 作BC x ⊥轴12552ABCS∴=⨯⨯= （3）存在．作C 关于y 轴的对称点C '，连接BC '交y 轴上一点D ， 连接CD ，()3,0C '设BC '的直线方程(0)y mx n m =+≠3032m n m n +=⎧⎨-+=-⎩∴131m n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ 113y x ∴=-令0,1x y ==-∴()0,1D - 【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：因式分解法解一元二次方程，待定系数法确定函数解析式，坐标与图形性质，以及三角形面积公式，待定系数法是数学中重要的思想方法，学生做题时注意灵活运用．25．（1）5y x =-+；（2）14x <<；（3）点P 的坐标为(0,4)或(0,3)． 【分析】（1）将点A ，B 坐标代入双曲线中即可求出m ，n ，最后将点A ，B 坐标代入直线解析式中即可得出结论；（2）根据点A ，B 坐标和图象即可得出结论；（3）根据直线AB 的解析式先求出点C ，D 坐标，进而求出CO ，DO ，设出点P 坐标，最后分两种情况利用相似三角形得出比例式建立方程求解即可得出结论． 【详解】解：（1）∵点(,4)A m 和点(4,)B n 在4y x=图象上， ∴441,144m n ====， 即(1,4),(4,1)A B把(1,4),(4,1)A B 两点分别代入y kx b =+中得441k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：15k b =-⎧⎨=⎩，所以直线AB 的解析式为：5y x =-+； （2）由图象可得，当0x >时，4kx b x+>的解集为14x <<；（3）设点P 的坐标为P(0，a)， ①如图：当COD △与CPA 相似时，∵直线AB 的解析式为：5y x =-+ ∴C(0，5)，D （5，0） ∴CO=DO=5 则CP CO AP DO = 即5-515a = ，解得：a=4∴P(0，4)；②如图：由①得2222112CP AP+=+=当COD△与CAP相似时，222=2,∴OP=CO-CP=5-2=3∴P(0，3)；∴点P的坐标为(0,4)或(0,3)时，COD△与ACP△相似．【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的性质，用方程的思想和分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．26．（1）8；（2）15；（3）0＜x＜4【分析】（1）把点A的横坐标代入y＝12x，求出A点坐标，再用待定系数法求k值；（2）把纵坐标代入，求出C点坐标，过点C作CM⊥x轴于M，过点A作AN⊥x轴于N，根据△AOC的面积等于梯形CMNA的面积可求；（3）观察图象可直接得出答案．【详解】解：(1)∵点A的横坐标为4，点A在直线y＝12x上，∴点A的纵坐标为y＝12×4＝2，即A(4，2)．又∵点A(4，2)在双曲线y＝kx上，∴k＝2×4＝8；(2)∵点C在双曲线y＝8x上，且点C纵坐标为8，∴C(1，8)．如已知图，过点C作CM⊥x轴于M，过点A作AN⊥x轴于N．∵S △COM ＝12CM OM ⨯⨯=4， S △AON ＝12AN ON ⨯⨯＝4， S △AOC ＝S 四边形OCAN - S △AON ，S 梯形CMNA ＝S 四边形OCAN - S △COM ， ∴S △AOC ＝S 梯形CMNA ＝1()2AN CM MN +⨯， =1(28)32⨯+⨯, =15．(3)根据图象，直线y ＝12x 与双曲线y ＝k x的函数值大于0时，图象在第一象限，即x>0， 在交点A 的左侧，直线y ＝12x 比双曲线y ＝k x的函数值小，即x<4， 故当0＜x ＜4时，102k x x >>． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数比例系数k 的几何意义，平面直角坐标系中三角形面积的求法，利用图象比较函数大小，解题关键是树立数形结合思想，把面积进行转化，利用两个函数的交点比较函数大小．。
2021年中考真题反比例函数的图像k的几何意义点的坐标特征待定系数试题解析试卷
2021年中考真题反比例函数的图像k的几何意义点的坐标特征待定系数一．试题（共51小题）1．（2021•张家界）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b与反比例函数y=−c x在同一个坐标系内的大致图象为（）A．B．C．D．2．（2021•荆门）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y=k|x|（k≠0）的大致图象是（）A．①②B．②③C．②④D．③④3．（2021•聊城）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c的图象和反比例函数y= a+b+cx的图象在同一坐标系中大致为（）A．B．C．D．4．（2021•锦州）如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A，B在第一象限内，顶点C在y轴上，经过点A的反比例函数y=kx（x＞0）的图象交BC于点D．若CD＝2BD，▱OABC的面积为15，则k的值为．5．（2021•巴中）如图，平行于y轴的直线与函数y1=kx（x＞0）和y2=2x（x＞0）的图象分别交于A、B两点，OA交双曲线y2=2x于点C，连接CD，若△OCD的面积为2，则k＝．6．（2021•德州）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数y=a2+1x（a是常数）的图象上，且y1＜y2＜0＜y3，则x1，x2，x3的大小关系为（）A．x2＞x1＞x3B．x1＞x2＞x3C．x3＞x2＞x1D．x3＞x1＞x27．（2021•朝阳）如图，O是坐标原点，点B在x轴上，在△OAB中，AO＝AB＝5，OB＝6，点A在反比例函数y=kx（k≠0）图象上，则k的值（）A．﹣12B．﹣15C．﹣20D．﹣308．（2021•滨州）如图，在△OAB中，∠BOA＝45°，点C为边AB上一点，且BC＝2AC．如果函数y=9x（x＞0）的图象经过点B和点C，那么用下列坐标表示的点，在直线BC上的是（）A ．（﹣2019，674）B ．（﹣2020，675）C ．（2021，﹣669）D ．（2022，﹣670）9．（2021•兴安盟）点（﹣5，y 1），（﹣3，y 2），（3，y 3）都在反比例函数y =kx（k ＞0）的图象上，则（ ） A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 3＞y 1＞y 2C ．y 2＞y 1＞y 3D ．y 1＞y 3＞y 210．（2021•广州）在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的点A 在函数y =1x（x ＞0）的图象上，点C 在函数y =−4x （x ＜0）的图象上，若点B 的横坐标为−72，则点A 的坐标为（ ） A ．（12，2）B ．（√22，√2） C ．（2，12）D ．（√2，√22） 11．（2021•桂林）若点A （1，3）在反比例函数y =kx 的图象上，则k 的值是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．（2021•大连）下列说法正确的是（ ） ①反比例函数y =2x 中自变量x 的取值范围是x ≠0； ②点P （﹣3，2）在反比例函数y =−6x的图象上；③反比例函数y =3x 的图象，在每一个象限内，y 随x 的增大而增大． A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③13．（2021•益阳）正比例函数y ＝2x 与反比例函数y =2x 的图象或性质的共有特征之一是（ ） A ．函数值y 随x 的增大而增大 B ．图象在第一、三象限都有分布 C ．图象与坐标轴有交点 D ．图象经过点（2，1）14．（2021•长春）如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 在函数y =kx （k ＞0，x ＞0）的图象上，过点A 作x 轴的垂线，与函数y =−kx （x ＞0）的图象交于点C ，连结BC 交x 轴于点D ．若点A 的横坐标为1，BC ＝3BD ，则点B 的横坐标为（ ）A ．32B ．2C ．52D ．315．（2021•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的边AD ⊥y 轴，垂足为E ，顶点A 在第二象限，顶点B 在y 轴正半轴上，反比例函数y =kx （k ≠0，x ＞0）的图象同时经过顶点C 、D ．若点C 的横坐标为5，BE ＝2DE ，则k 的值为（ ）A ．403B ．52C ．54D ．20316．（2021•宿迁）已知双曲线y =kx(k ＜0)过点（3，y 1）、（1，y 2）、（﹣2，y 3），则下列结论正确的是（ ） A ．y 3＞y 1＞y 2B ．y 3＞y 2＞y 1C ．y 2＞y 1＞y 3D ．y 2＞y 3＞y 117．（2021•十堰）如图，反比例函数y =kx（x ＞0）的图象经过点A （2，1），过A 作AB ⊥y 轴于点B ，连OA ，直线CD ⊥OA ，交x 轴于点C ，交y 轴于点D ，若点B 关于直线CD 的对称点B ′恰好落在该反比例函数图象上，则D 点纵坐标为（ ）A ．5√5−14B ．52C ．73D ．5√5+1418．（2021•达州）在反比例函数y =k 2+1x（k 为常数）上有三点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），若x 1＜0＜x 2＜x 3，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ） A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 1＜y 3＜y 2D ．y 3＜y 2＜y 119．（2021•天津）若点A （﹣5，y 1），B （1，y 2），C （5，y 3）都在反比例函数y =−5x的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ） A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 3＜y 1C ．y 1＜y 3＜y 2D ．y 3＜y 1＜y 220．（2021•温州）如图，点A ，B 在反比例函数y =kx（k ＞0，x ＞0）的图象上，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥x 轴于点D ，BE ⊥y 轴于点E ，连结AE ．若OE ＝1，OC =23OD ，AC ＝AE ，则k 的值为（ ）A ．2B ．3√22C ．94D ．2√221．（2021•金华）已知点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在反比例函数y =−12x 的图象上．若x 1＜0＜x 2，则（ ） A ．y 1＜0＜y 2B ．y 2＜0＜y 1C ．y 1＜y 2＜0D ．y 2＜y 1＜022．（2021•嘉兴）已知三个点（x 1，y 1），（x 2，y 2），（x 3，y 3）在反比例函数y =2x 的图象上，其中x 1＜x 2＜0＜x 3，下列结论中正确的是（ ） A ．y 2＜y 1＜0＜y 3B ．y 1＜y 2＜0＜y 3C ．y 3＜0＜y 2＜y 1D ．y 3＜0＜y 1＜y 223．（2021•日照）如图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC 的边OC 、OA 分别在x 轴和y 轴上，OA ＝10，点D 是边AB 上靠近点A 的三等分点，将△OAD 沿直线OD 折叠后得到△OA ′D ，若反比例函数y =kx（k ≠0）的图象经过A ′点，则k 的值为 ．24．（2021•广州）一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，点A（x1，y1）、B（x2，y2）是反比例函数y=mx上的两个点，若x1＜x2＜0，则y1y2（填“＜”或“＞”或“＝”）．25．（2021•徐州）如图，点A、D分别在函数y=−3x、y=6x的图象上，点B、C在x轴上．若四边形ABCD为正方形，点D在第一象限，则点D的坐标是．26．（2021•黔东南州）如图，若反比例函数y=√3x的图象经过等边三角形POQ的顶点P，则△POQ的边长为．27．（2021•本溪）如图，AB是半圆的直径，C为半圆的中点，A（2，0），B（0，1），反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点C，则k的值为．28．（2021•深圳）如图，已知反比例函数过A，B两点，A点坐标（2，3），直线AB经过原点，将线段AB 绕点B顺时针旋转90°得到线段BC，则C点坐标为．29．（2021•福建）若反比例函数y=kx的图象过点（1，1），则k的值等于．30．（2021•海南）若点A（1，y1），B（3，y2）在反比例函数y=3x的图象上，则y1y2（填“＞”“＜”或“＝”）．31．（2021•青海）已知点A（﹣1，y1）和点B（﹣4，y2）在反比例函数y=6x的图象上，则y1与y2的大小关系是．32．（2021•衢州）将一副三角板如图放置在平面直角坐标系中，顶点A与原点O重合，AB在x轴正半轴上，且AB＝4√3，点E在AD上，DE=14AD，将这副三角板整体向右平移个单位，C，E两点同时落在反比例函数y=kx的图象上．33．（2021•北京）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点A（1，2）和点B（﹣1，m ），则m 的值为 ．34．（2021•达州）如图，将一把矩形直尺ABCD 和一块等腰直角三角板EFG 摆放在平面直角坐标系中，AB 在x 轴上，点G 与点A 重合，点F 在AD 上，EF 交BC 于点M ，反比例函数y =kx（x ＜0）的图象恰好经过点F ，M ，若直尺的宽CD ＝1，三角板的斜边FG ＝4，则k ＝ ．35．（2021•株洲）点A （x 1，y 1）、B （x 1+1，y 2）是反比例函数y =kx 图象上的两点，满足：当x 1＞0时，均有y 1＜y 2，则k 的取值范围是 ．36．（2021•新疆）若点A （1，y 1），B （2，y 2）在反比例函数y =3x的图象上，则y 1 y 2（填“＞”“＜”或“＝”）．37．（2021•陕西）若A （1，y 1），B （3，y 2）是反比例函数y =2m−1x （m ＜12）图象上的两点，则y 1、y 2的大小关系是y 1 y 2.（填“＞”、“＝”或“＜”）38．（2021•武汉）已知点A （a ，y 1），B （a +1，y 2）在反比例函数y =m 2+1x （m 是常数）的图象上，且y 1＜y 2，则a 的取值范围是 ．39．（2021•嘉峪关）若点A （﹣3，y 1），B （﹣4，y 2）在反比例函数y =a 2+1x的图象上，则y 1 y 2．（填“＞”或“＜”或“＝”）40．（2021•邵阳）已知点A （1，y 1），B （2，y 2）为反比例函数y =3x 图象上的两点，则y 1与y 2的大小关系是y 1 y 2．（填“＞”“＝”或“＜”）41．（2021•绍兴）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 在x 轴正半轴上，顶点B ，C 在第一象限，顶点D 的坐标（52，2）．反比例函数y =kx （常数k ＞0，x ＞0）的图象恰好经过正方形ABCD的两个顶点，则k 的值是 ．42．（2021•云南）若反比例函数的图象经过点（1，﹣2），则该反比例函数的解析式（解析式也称表达式）为．43．（2021•哈尔滨）已知反比例函数y=kx的图象经过点（2，﹣5），则k的值为．44．（2021•绵阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，直角△ABC的顶点A，B在函数y=kx（k＞0，x＞0）图象上，AC∥x轴，线段AB的垂直平分线交CB于点M，交AC的延长线于点E，点A纵坐标为2，点B横坐标为1，CE＝1．（1）求点C和点E的坐标及k的值；（2）连接BE，求△MBE的面积．45．（2021•枣庄）小明根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对函数y=x−2x（x≠0）的图象与性质进行探究．因为y=x−2x=1−2x，即y=−2x+1，所以可以对比函数y=−2x来探究．列表：（1）下表列出y与x的几组对应值，请写出m，n的值：m＝，n＝；x…﹣4﹣3﹣2﹣1−12121234…y=−2x…1223124﹣4﹣2﹣1−23−12…y=x−2x…325323m﹣3﹣10n12…描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以y=x−2x相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：（2）请把y轴左边各点和右边各点，分别用条光滑曲线顺次连接起来；（3）观察图象并分析表格，回答下列问题：①当x＜0时，y随x的增大而；（填“增大”或“减小”）②函数y=x−2x的图象是由y=−2x的图象向平移个单位而得到．③函数图象关于点中心对称．（填点的坐标）46．（2021•襄阳）小欣在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y=1x+1的图象与性质．其研究过程如下：（1）绘制函数图象①列表：如表是x与y的几组对应值，其中m＝；x…﹣4﹣3﹣2−32−43−23−12012…y…−13−12﹣1﹣2﹣332m1213…②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（0，m）；③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整．（2）探究函数性质判断下列说法是否正确（正确的填“√”，错误的填“×”）①函数值y随x的增大而减小：．②函数图象关于原点对称：．③函数图象与直线x＝﹣1没有交点：．47．（2021•张家界）阅读下面的材料：如果函数y＝f（x）满足：对于自变量x取值范围内的任意x1，x2，（1）若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是增函数；（2）若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数．例题：证明函数f（x）＝x2（x＞0）是增函数．证明：任取x1＜x2，且x1＞0，x2＞0．则f（x1）﹣f（x2）＝x12﹣x22＝（x1+x2）（x1﹣x2）．∵x1＜x2且x1＞0，x2＞0，∴x1+x2＞0，x1﹣x2＜0．∴（x1+x2）（x1﹣x2）＜0，即f（x1）﹣f（x2）＜0，f（x1）＜f（x2）．∴函数f（x）＝x2（x＞0）是增函数．根据以上材料解答下列问题：（1）函数f（x）=1x（x＞0），f（1）=11=1，f（2）=12，f（3）＝，f（4）＝；（2）猜想f（x）=1x（x＞0）是函数（填“增”或“减”），并证明你的猜想．48．（2021•苏州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点C，A分别在x轴和y轴的正半轴上，点D为AB的中点．已知实数k≠0，一次函数y＝﹣3x+k的图象经过点C、D，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点B，求k的值．49．（2021•鄂尔多斯）如图，矩形ABCD的两边AB，BC的长分别为3，8，C，D在y轴上，E是AD的中点，反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点E，与BC交于点F，且CF﹣BE＝1．（1）求反比例函数的解析式；（2）在y轴上找一点P，使得S△CEP=23S矩形ABCD，求此时点P的坐标．50．（2021•益阳）如图，已知点A是一次函数y＝2x﹣4的图象与x轴的交点，将点A向上平移2个单位后所得点B在某反比例函数图象上．（1）求点A的坐标；（2）确定该反比例函数的表达式．51．（2021•河南）如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数y=kx的图象与大正方形的一边交于点A（1，2），且经过小正方形的顶点B．（1）求反比例函数的解析式；（2）求图中阴影部分的面积．2021年中考真题反比例函数的图像k的几何意义点的坐标特征待定系数参考答案与试题解析一．试题（共51小题）1．（2021•张家界）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b与反比例函数y=−c x在同一个坐标系内的大致图象为（）A．B．C．D．【解答】解：∵抛物线开口向下，对称轴位于y轴右侧，与y轴的交点在y轴正半轴上，∴a＜0，−b2a＞0，c＞0，∴b＞0，∴一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，反比例函数y=−cx的图象在第二、四象限．故选：D．2．（2021•荆门）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y=k|x|（k≠0）的大致图象是（）A．①②B．②③C．②④D．③④【解答】解：当k＞0时，一次函数y＝kx﹣k经过一、三、四象限，函数的y=k|x|（k≠0）的图象在一、二象限，故选项②的图象符合要求．当k＜0时，一次函数y＝kx﹣k经过一、二、四象限，函数的y=k|x|（k≠0）的图象经过三、四象限，故选项③的图象符合要求．故选：B．3．（2021•聊城）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c的图象和反比例函数y= a+b+cx的图象在同一坐标系中大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵二次函数的图象开口向下，∴a＜0，∵−b2a＜0，∴b＜0，∵抛物线与y轴相交于正半轴，∴c＞0，∴直线y＝bx+c经过一、二、四象限，由图象可知，当x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，∴反比例函数y=a+b+cx的图象必在二、四象限，故A、B、C错误，D正确；故选：D．4．（2021•锦州）如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A，B在第一象限内，顶点C在y轴上，经过点A的反比例函数y=kx（x＞0）的图象交BC于点D．若CD＝2BD，▱OABC的面积为15，则k的值为18．【解答】解：过点D 作DN ⊥y 轴于N ，过点B 作BM ⊥y 轴于M ，设OC ＝a ，CN ＝2b ，MN ＝b ，∵▱OABC 的面积为15，∴BM =15a， ∴ND =23BM =10a ，∴A ，D 点坐标分别为（15a ，3b ），（10a ，a +2b ）， ∴15a•3b =10a （a +2b ）， ∴b =25a ，∴k =15a •3b =15a •3×25a ＝18，故答案为：18．5．（2021•巴中）如图，平行于y 轴的直线与函数y 1=k x （x ＞0）和y 2=2x （x ＞0）的图象分别交于A 、B 两点，OA 交双曲线y 2=2x 于点C ，连接CD ，若△OCD 的面积为2，则k ＝ 8 ．【解答】解一：设A （m ，k m），则B （m ，2m ），D （m ，0），设C （n ，2n）， ∵S △OCD =12OD •y c =12•m •2n =2，∴m n =2，∴n m =12．又S △OCD ＝S △OAD ﹣S △ACD=12k −12•k m •（m ﹣n ）=12k （1−m−n m ）=12k •n m=14k ，∴14k ＝2，∴k ＝8．解二：如图，过点C 作CE ⊥x 轴于E ，∵点C 在双曲线y 2=2x 上，∴S △OCE ＝1，∵S △OCD ＝2，∴S △ECD ＝S △OCE ＝1，∴点E 为OD 的中点，∵CE ∥AD ，∴点C 是OA 的中点，∴S △OAD ＝2S △OCD ＝4，∵函数y1=kx（x＞0）的图象过点A，AD⊥x轴，∴k＝8．故答案为：8．6．（2021•德州）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数y=a2+1x（a是常数）的图象上，且y1＜y2＜0＜y3，则x1，x2，x3的大小关系为（）A．x2＞x1＞x3B．x1＞x2＞x3C．x3＞x2＞x1D．x3＞x1＞x2【解答】解：∵a2+1＞0，∴反比例函数y=a2+1x（a是常数）的图象在一、三象限，如图所示，当y1＜y2＜0＜y3时，x3＞0＞x1＞x2，故选：D．7．（2021•朝阳）如图，O是坐标原点，点B在x轴上，在△OAB中，AO＝AB＝5，OB＝6，点A在反比例函数y=kx（k≠0）图象上，则k的值（）A．﹣12B．﹣15C．﹣20D．﹣30【解答】解：过A点作AC⊥OB，∵AO＝AB，AC⊥OB，OB＝6，∴OC＝BC＝3，在Rt△AOC中，OA＝5，∵AC=√OA2−AC2=√52−32=4，∴A（﹣3，4），把A（﹣3，4）代入y=kx，可得k＝﹣12，故选：A．8．（2021•滨州）如图，在△OAB中，∠BOA＝45°，点C为边AB上一点，且BC＝2AC．如果函数y=9x（x＞0）的图象经过点B和点C，那么用下列坐标表示的点，在直线BC上的是（）A．（﹣2019，674）B．（﹣2020，675）C．（2021，﹣669）D．（2022，﹣670）【解答】解：作BD⊥OA，CE⊥OA，∵∠BOA＝45°，∴BD＝OD，设B （a ，a ），∴a =9a ，∴a ＝3或a ＝﹣3（舍去），∴BD ＝OD ＝3，B （3，3），∵BC ＝2AC ．∴AB ＝3AC ，∵BD ⊥OA ，CE ⊥OA ，∴BD ∥CE ，.∴△ABD ∽△ACE∵BD CE =AB AC =3，∴3CE =3，∴CE ＝1，∵图象经过点C ，∴1=9x ，∴x ＝9，C （9，1）设BC 的解析式为y ＝kx +b ，{3=3k +b 1=9k +b ，解得{k =−13b=4， ∴y =−13x +4，当x ＝﹣2019时，y ＝677，当x ＝﹣2020时，y ＝67713，当x ＝2021时，y ＝﹣66923，当x ＝2022时，y ＝﹣670，故选：D ．9．（2021•兴安盟）点（﹣5，y 1），（﹣3，y 2），（3，y 3）都在反比例函数y =k x （k ＞0）的图象上，则（ ）A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 3＞y 1＞y 2C ．y 2＞y 1＞y 3D ．y 1＞y 3＞y 2 【解答】解：∵反比例函数y =k x 中k ＞0，∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y 随x 的增大而减小．∵﹣5＜﹣3＜0，∴0＞y 1＞y 2，∵3＞0，∴y 3＞0，∴y 3＞y 1＞y 2，故选：B ．10．（2021•广州）在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的点A 在函数y =1x （x ＞0）的图象上，点C 在函数y =−4x （x ＜0）的图象上，若点B 的横坐标为−72，则点A 的坐标为（ ）A ．（12，2）B ．（√22，√2）C ．（2，12）D ．（√2，√22） 【解答】解：如图，作AD ⊥x 轴于D ，CE ⊥x 轴于E ，∵四边形OABC 是矩形，∴∠AOC ＝90°，∴∠AOD +∠COE ＝90°，∵∠AOD +∠OAD ＝90°，∴∠COE ＝∠OAD ，∵∠CEO ＝∠ODA ，∴△COE ∽△OAD ，∴S △COES △AOD =（OC OA ）2，OE AD =CE OD =OC OA ， ∵S △COE =12×|﹣4|＝2，S △AOD =12×1=12，∴OE AD =CE OD =OC OA =21， ∴OE ＝2AD ，CE ＝2OD ，设A （m ，1m ）（m ＞0），∴C （−2m ，2m ），∴OE ＝0﹣（−2m ）=2m ，∵点B 的横坐标为−72，∴m ﹣（−72）=2m ，整理得2m 2+7m ﹣4＝0，∴m 1=12，m 2＝﹣4（舍去），经检验，m =12是方程的解，∴A （12，2），故选：A ．11．（2021•桂林）若点A （1，3）在反比例函数y =k x 的图象上，则k 的值是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解答】解：∵点A （1，3）在反比例函数y =k x 的图象上，∴k ＝1×3＝3，故选：C ．12．（2021•大连）下列说法正确的是（ ）①反比例函数y =2x 中自变量x 的取值范围是x ≠0；②点P （﹣3，2）在反比例函数y =−6x 的图象上；③反比例函数y =3x 的图象，在每一个象限内，y 随x 的增大而增大．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【解答】解：①反比例函数y=2x中自变量x的取值范围是x≠0，故说法正确；②因为﹣3×2＝﹣6，故说法正确；③因为k＝3＞0，反比例函数y=3x的图象，在每一个象限内，y随x的增大而减小，故说法错误；故选：A．13．（2021•益阳）正比例函数y＝2x与反比例函数y=2x的图象或性质的共有特征之一是（）A．函数值y随x的增大而增大B．图象在第一、三象限都有分布C．图象与坐标轴有交点D．图象经过点（2，1）【解答】解：∵对于正比例函数y＝2x，2＞0，函数值y随x的增大而增大，对于反比例函数y=2x，2＞0，双曲线在每一象限内函数值y随x的增大而减小，∴A选项不符合题意；∵对于正比例函数y＝2x，2＞0，直线y＝2x经过第一、三象限，对于反比例函数y=2x，2＞0，双曲线的两个分支在第一、三象限，∴B选项符合题意；∵对于正比例函数y＝2x，它的图象经过原点，对于反比例函数y=2x，它的图象与坐标轴没有交点，∴C选项不符合题意；∵当x＝2，y＝2×2＝4≠1∴正比例函数y＝2x的图象不经过点（2，1）．∵当x＝2时，y=22=1，∴反比例函数y=2x的图象经过（2，1），∴D选项不符合题意．综上，正确选项为：B．故选：B．14．（2021•长春）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象上，过点A作x 轴的垂线，与函数y =−k x（x ＞0）的图象交于点C ，连结BC 交x 轴于点D ．若点A 的横坐标为1，BC ＝3BD ，则点B 的横坐标为（ ）A ．32B ．2C ．52D ．3【解答】解：作BE ⊥x 轴于E ，∴AC ∥BE ，∴△CDF ∽△BDE ，∴CF BE =DF DE =CD BD ，∵BC ＝3BD ，∴CF BE =DF DE =21，∴CF ＝2BE ，DF ＝2DE ，设B （k b ，b ），∴C （1，﹣2b ），∵函数y =−k x （x ＞0）的图象交于点C ，∴﹣k ＝1×（﹣2b ）＝﹣2b ，∴k ＝2b ，∴B 的横坐标为k b =2b b =2，故选：B ．15．（2021•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的边AD ⊥y 轴，垂足为E ，顶点A 在第二象限，顶点B 在y 轴正半轴上，反比例函数y =k x（k ≠0，x ＞0）的图象同时经过顶点C 、D ．若点C 的横坐标为5，BE ＝2DE ，则k 的值为（ ）A ．403B ．52C ．54D ．203【解答】解：过点D 作DF ⊥BC 于F ，由已知，BC ＝5，∵四边形ABCD 是菱形，∴DC ＝5，∵BE ＝2DE ，∴设DE ＝x ，则BE ＝2x ，∴DF ＝2x ，BF ＝x ，FC ＝5﹣x ，在Rt △DFC 中，DF 2+FC 2＝DC 2，∴（2x ）2+（5﹣x ）2＝52，解得x 1＝2，x 2＝0（舍去），∴DE ＝2，FD ＝4，设OB ＝a ，则点D坐标为（2，a+4），点C坐标为（5，a），∵点D、C在双曲线上，∴k＝2×（a+4）＝5a，∴a=8 3，∴k＝5×83=403，故选：A．16．（2021•宿迁）已知双曲线y=kx(k＜0)过点（3，y1）、（1，y2）、（﹣2，y3），则下列结论正确的是（）A．y3＞y1＞y2B．y3＞y2＞y1C．y2＞y1＞y3D．y2＞y3＞y1【解答】解：∵k＜0，∴反比例函数y=kx(k＜0)的图象在第二、四象限，∵反比例函数的图象过点（3，y1）、（1，y2）、（﹣2，y3），∴点（3，y1）、（1，y2）在第四象限，（﹣2，y3）在第二象限，∴y2＜y1＜0，y3＞0，∴y2＜y1＜y3．故选：A．17．（2021•十堰）如图，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点A（2，1），过A作AB⊥y轴于点B，连OA，直线CD⊥OA，交x轴于点C，交y轴于点D，若点B关于直线CD的对称点B′恰好落在该反比例函数图象上，则D点纵坐标为（）A ．5√5−14B ．52C ．73D ．5√5+14【解答】解：设BB ′交直线CD 于点E ，过点E 作EG ⊥BD 于G ，过B ′作B ′F ⊥BD 于点F ，如图，∵B 与B ′关于直线CD 对称，∴CD 垂直平分BB ′．即E 为BB ′的中点，EB ＝EB ′．∵EG ⊥BD ，B ′F ⊥BD ，∴EG ∥B ′F ．∴EG =12B ′F ．∵直线OA 经过点A （2，1），∴直线OA 的解析式为：y =12x ．∵CD ⊥OA ，BB ′⊥CD ，∴BB ′∥OA ．设直线BB ′的解析式为y =12x +b ，∵B （0，1），∴b ＝1．∴直线BB ′的解析式为y =12x +1．∵反比例函数y =k x （x ＞0）的图象经过点A （2，1），∴反比例函数y =2x ．联立方程得：{y =12x +1y =2x． 解得：{x 1=−1+√5y 1=√5+12，{x 2=−1−√5y 2=−√5−12． ∴B ′（√5−1，√5+12）．∴B ′F =√5−1．∴EG =√5−12．∵AB ⊥BD ，∴∠OAB ＝∠ODC ．∴tan ∠OAB ＝tan ∠ODC =OB AB =12．在Rt △DGE 中，∵tan ∠ODC =EG DG =12， ∴DG =√5−1．同理：BG =√5−14．∴OD ＝OB +BG +DG =5√5−14． ∴D 点纵坐标为5√5−14． 故选：A ． 18．（2021•达州）在反比例函数y =k 2+1x （k 为常数）上有三点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），若x 1＜0＜x 2＜x 3，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 1＜y 3＜y 2D ．y 3＜y 2＜y 1【解答】解：∵k 2+1＞0，∴反比例函数图象在第一、三象限，∵x 1＜0＜x 2＜x 3，∴y 1＜0，0＜y 3＜y 2，∴y 1＜y 3＜y 2．故选：C ．19．（2021•天津）若点A （﹣5，y 1），B （1，y 2），C （5，y 3）都在反比例函数y =−5x 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 3＜y 1C ．y 1＜y 3＜y 2D ．y 3＜y 1＜y 2 【解答】解：∵反比例函数y =−5x 中，k ＝﹣5＜0，∴函数图象的两个分支分别位于二四象限，且在每一象限内，y 随x 的增大而增大． ∵﹣5＜0，0＜1＜5，∴点A （﹣5，y 1）在第二象限，点B （1，y 2），C （5，y 3）在第四象限， ∴y 2＜y 3＜y 1．故选：B ．20．（2021•温州）如图，点A ，B 在反比例函数y =k x （k ＞0，x ＞0）的图象上，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥x轴于点D ，BE ⊥y 轴于点E ，连结AE ．若OE ＝1，OC =23OD ，AC ＝AE ，则k 的值为（ ）A ．2B ．3√22C ．94D ．2√2 【解答】解：∵BD ⊥x 轴于点D ，BE ⊥y 轴于点E ， ∴四边形BDOE 是矩形，∴BD ＝OE ＝1，把y ＝1代入y =k x ，求得x ＝k ，∴B （k ，1），∴OD ＝k ，∵OC =23OD ，∴OC =23k ，∵AC ⊥x 轴于点C ，把x =23k 代入y =k x 得，y =32，∴AE ＝AC =32，∵OC ＝EF =23k ，AF =32−1=12，在Rt △AEF 中，AE 2＝EF 2+AF 2，∴（32）2＝（23k ）2+（12）2，解得k ＝±3√22，∵在第一象限，∴k=3√2 2，故选：B．21．（2021•金华）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y=−12x的图象上．若x1＜0＜x2，则（）A．y1＜0＜y2B．y2＜0＜y1C．y1＜y2＜0D．y2＜y1＜0【解答】解：∵k＝﹣12＜0，∴双曲线在第二，四象限，∵x1＜0＜x2，∴点A在第二象限，点B在第四象限，∴y2＜0＜y1；故选：B．22．（2021•嘉兴）已知三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）在反比例函数y=2x的图象上，其中x1＜x2＜0＜x3，下列结论中正确的是（）A．y2＜y1＜0＜y3B．y1＜y2＜0＜y3C．y3＜0＜y2＜y1D．y3＜0＜y1＜y2【解答】解：∵反比例函数y=2x中，k＝2＞0，∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小．∵x1＜x2＜0＜x3，∴点（x1，y1），（x2，y2）两点在第三象限，点（x3，y3）在第一象限，∴y2＜y1＜0＜y3．故选：A．23．（2021•日照）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边OC、OA分别在x轴和y轴上，OA＝10，点D是边AB上靠近点A的三等分点，将△OAD沿直线OD折叠后得到△OA′D，若反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过A′点，则k的值为48．．【解答】解：过A′作EF⊥OC于F，交AB于E，∵∠OA′D＝90°，∴∠OA′F+∠DA′E＝90°，∵∠OA′F+∠A′OF＝90°，∴∠DA′E＝∠A′OF，∵∠A′FO＝∠DEA′，∴△A′OF∽△DA′E，∴OFA′E =A′FDE=OA′A′D，设A′（m，n），∴OF＝m，A′F＝n，∵正方形OABC的边OC、OA分别在x轴和y轴上，OA＝10，点D是边AB上靠近点A的三等分点，∴DE＝m−103，A′E＝10﹣n，∴m10−n =nm−103=3，解得m＝6，n＝8，∴A′（6，8），∵反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过A′点，∴k＝6×8＝48，故答案为48．24．（2021•广州）一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，点A（x1，y1）、B（x2，y2）是反比例函数y=mx上的两个点，若x1＜x2＜0，则y1＞y2（填“＜”或“＞”或“＝”）．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝16﹣4m＝0，解得m＝4，∵m＞0，∴反比例函数y=mx图象在一三象限，在每个象限y随x的增大而减少，∵x1＜x2＜0，∴y1＞y2，故答案为＞．25．（2021•徐州）如图，点A、D分别在函数y=−3x、y=6x的图象上，点B、C在x轴上．若四边形ABCD为正方形，点D在第一象限，则点D的坐标是（2，3）．【解答】解：设A的纵坐标为n，则D的纵坐标为n，∵点A、D分别在函数y=−3x、y=6x的图像上，∴A（−3n，n），D（6n，n），∵四边形ABCD为正方形，\∴6n+3n=n ，解得n ＝3（负数舍去）， ∴D （2，3）， 故答案为（2，3）．26．（2021•黔东南州）如图，若反比例函数y =√3x 的图象经过等边三角形POQ 的顶点P ，则△POQ 的边长为 2 ．【解答】解：如图，过点P 作x 轴的垂线于M ， ∵△POQ 为等边三角形， ∴OP ＝OQ ，OM ＝QM =12OQ ， ∵反比例函数的图象经过点P ， ∴设P （a ，√3a）（a ＞0）， 则OM ＝a ，OQ ＝OP ＝2a ，PM =√3a ， 在Rt △OPM 中，PM =√OP 2−OM 2=√(2a)2−a 2=√3a ， ∴√3a=√3a ，∴a ＝1（负值舍去）， ∴OQ ＝2a ＝2， 故答案为：2．27．（2021•本溪）如图，AB是半圆的直径，C为半圆的中点，A（2，0），B（0，1），反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点C，则k的值为94．【解答】解：设半圆圆心为D，连接DC，过C作CG⊥OA于G，交AB于E，如图：∵A（2，0），B（0，1），∴AB=√5，DA＝DC=√5 2，∴tan∠BAO=OBOA=12，cos∠BAO=OAAB=2√55，sin∠BAO=OBAB=√55，∵C为半圆的中点，∴∠CDE＝∠EGA＝90°，又∠CED＝∠AEG，∴∠C＝∠BAO，Rt△CDE中，tan C=DECD，cos C=CDCE，∴12=√52，2√55=√52CE，∴DE =√54，CE =54，∴AE ＝AD ﹣DE =√54，Rt △AGE 中，sin ∠BAO =GE AE ，cos ∠BAO =AGAE ， ∴√54=√55，√54=2√55， ∴GE =14，AG =12，∴OG ＝OA ﹣AG =32，CG ＝CE +GE =32， ∴C （32，32），把C （32，32）代入y =k x 得k =94，故答案为：94．28．（2021•深圳）如图，已知反比例函数过A ，B 两点，A 点坐标（2，3），直线AB 经过原点，将线段AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BC ，则C 点坐标为 （4，﹣7） ．【解答】解：∵A 点坐标（2，3），直线AB 经过原点， ∴B （﹣2，﹣3）过点B 作x 轴的平行线l 过点A ，点C 作l 的垂线，分别交于D ，E 两点，则D （2，﹣3）， ∵∠ABD +∠CBE ＝90°，∠ABD +∠BAD ＝90°， ∴∠CBE ＝∠BAD ， 在△ABD 与△BEC 中，{∠CBE =∠BAD∠BEC =∠ADB =90°BC =BA， ∴△ABD ≌△BEC （AAS ）， ∴BE ＝AD ＝6，CE ＝BD ＝4， ∴C （4，﹣7）， 故答案为（4，﹣7）．29．（2021•福建）若反比例函数y =kx 的图象过点（1，1），则k 的值等于 1 ． 【解答】解：∵反比例函数y =kx 的图象过点（1，1）， ∴k ＝1×1＝1， 故答案为1．30．（2021•海南）若点A （1，y 1），B （3，y 2）在反比例函数y =3x 的图象上，则y 1 ＞ y 2（填“＞”“＜”或“＝”）．【解答】解：∵反比例函数y =3x 中，k ＝3＞0，∴此函数图象的两个分支分别在一三象限，且在每一象限内y 随x 的增大而减小． ∵1＜3， ∴y 1＞y 2． 故答案为＞．31．（2021•青海）已知点A （﹣1，y 1）和点B （﹣4，y 2）在反比例函数y =6x 的图象上，则y 1与y 2的大小关系是 y 1＜y 2 ．【解答】解：∵反比例函数y =6x 中，k ＝6＞0， ∴此函数在每个象限内，y 随x 的增大而减小，∵点A（﹣1，y1）和点B（﹣4，y2）在反比例函数y=6x的图象上，﹣1＞﹣4，∴y1＜y2，故答案为y1＜y2．32．（2021•衢州）将一副三角板如图放置在平面直角坐标系中，顶点A与原点O重合，AB在x轴正半轴上，且AB＝4√3，点E在AD上，DE=14AD，将这副三角板整体向右平移12−√3个单位，C，E两点同时落在反比例函数y=kx的图象上．【解答】解：∵AB＝4√3，∴BD=√3AB＝12，∴C（4√3+6，6），∵DE=14AD，∴E的坐标为（3√3，9），设平移t个单位后，则平移后C点的坐标为（4√3+6+t，6），平移后E点的坐标为（3√3+t，9），∵平移后C，E两点同时落在反比例函数y=kx的图象上，∴（4√3+6+t）×6＝（3√3+t）×9，解得t＝12−√3，故答案为12−√3．33．（2021•北京）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点A（1，2）和点B（﹣1，m），则m的值为﹣2．【解答】解：∵反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点A（1，2）和点B（﹣1，m），∴﹣m＝1×2，解得m＝﹣2，即m的值为﹣2．故答案为﹣2．34．（2021•达州）如图，将一把矩形直尺ABCD和一块等腰直角三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，EF交BC于点M，反比例函数y=kx（x＜0）的图象恰好经过点F，M，若直尺的宽CD＝1，三角板的斜边FG＝4，则k＝﹣12．【解答】解：过点M作MN⊥AD，垂足为N，则MN＝CD＝1，在Rt△FMN中，∠MFN＝45°，∴FN＝MN＝1又∵FG＝4，∴NA＝MB＝FG﹣FN＝4﹣1＝3，设OA＝a，则OB＝a+1，∴点F（﹣a，4），M（﹣a﹣1，3），又∵反比例函数y=kx（x＜0）的图象恰好经过点F，M，∴k＝﹣4a＝3（﹣a﹣1），解得，a＝3，∴k＝﹣4a＝﹣12，故答案为：﹣12．35．（2021•株洲）点A（x1，y1）、B（x1+1，y2）是反比例函数y=kx图象上的两点，满足：当x1＞0时，均有y1＜y2，则k的取值范围是k＜0．【解答】解：∵点A（x1，y1）、B（x1+1，y2）是反比例函数y=kx图象上的两点，又∵0＜x1＜x1+1时，y1＜y2，∴函数图象在二四象限，∴k＜0，故答案为k＜0．36．（2021•新疆）若点A（1，y1），B（2，y2）在反比例函数y=3x的图象上，则y1＞y2（填“＞”“＜”或“＝”）．【解答】解：∵k＝3，∴在同一象限内y随x的增大而减小，∵0＜1＜2，∴两点在同一象限内，∴y1＞y2．故答案为：＞．37．（2021•陕西）若A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y=2m−1x（m＜12）图象上的两点，则y1、y2的大小关系是y1＜y2.（填“＞”、“＝”或“＜”）【解答】解：∵2m﹣1＜0（m＜1 2），∴图象位于二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大，又∵0＜1＜3，∴y1＜y2，故答案为：＜．38．（2021•武汉）已知点A（a，y1），B（a+1，y2）在反比例函数y=m2+1x（m是常数）的图象上，且y1＜y2，则a的取值范围是﹣1＜a＜0．【解答】解：∵k＝m2+1＞0，∴反比例函数y=m2+1x（m是常数）的图象在一、三象限，在每个象限，y随x的增大而减小，①当A（a，y1），B（a+1，y2）在同一象限，∵y1＜y2，∴a＞a+1，此不等式无解；②当点A（a，y1）、B（a+1，y2）在不同象限，∵y1＜y2，∴a＜0，a+1＞0，解得：﹣1＜a ＜0， 故答案为﹣1＜a ＜0．39．（2021•嘉峪关）若点A （﹣3，y 1），B （﹣4，y 2）在反比例函数y =a 2+1x的图象上，则y 1 ＜ y 2．（填“＞”或“＜”或“＝”） 【解答】解：∵k ＝a 2+1＞0， ∴反比例函数y =a 2+1x的图象在一、三象限，且在每个象限内y 随x 的增大而减小， ∵点A （﹣3，y 1），B （﹣4，y 2）同在第三象限，且﹣3＞﹣4， ∴y 1＜y 2， 故答案为：＜．40．（2021•邵阳）已知点A （1，y 1），B （2，y 2）为反比例函数y =3x 图象上的两点，则y 1与y 2的大小关系是y 1 ＞ y 2．（填“＞”“＝”或“＜”） 【解答】解：∵反比例函数y =3x中，k ＝3＞0，∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每一象限内y 随x 的增大而减小． ∵A （1，y 1），B （2，y 2）， ∴点A 、B 都在第一象限， 又1＜2， ∴y 1＞y 2， 故答案为：＞．41．（2021•绍兴）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 在x 轴正半轴上，顶点B ，C 在第一象限，顶点D 的坐标（52，2）．反比例函数y =kx （常数k ＞0，x ＞0）的图象恰好经过正方形ABCD的两个顶点，则k 的值是 5或22.5 ．【解答】解：作DM ⊥x 轴于M ，BN ⊥轴于N ，过C 点作x 轴的平行线，交DM 于E ，交BN 于F ，正方形ABCD 中，∠BAD ＝90°， ∴∠DAM +∠BAN ＝90°， ∵∠ADM +∠DAM ＝90°， ∴∠ADM ＝∠BAN ， 在△ADM 和△BAN 中， {∠ADM =∠BAN∠AMD =∠BNA =90°AD =BA， ∴△ADM ≌△BAN （AAS ）， ∴AM ＝BN ，DM ＝AN ， ∵顶点D 的坐标（52，2）．∴OM =52，DM ＝2， 同理：△ADM ≌△DCE ， ∴AM ＝DE ，CE ＝DM ，∴AM ＝BN ＝DE ，DM ＝AN ＝CE ＝2， 设AM ＝BN ＝DE ＝m ， ∴ON =52+m +2＝4.5+m ，∴B （4.5+m ，m ），C （4.5，2+m ），当反比例函数y =kx（常数k ＞0，x ＞0）的图象经过点B 、D 时，则k =52×2＝5； 当反比例函数y =k x （常数k ＞0，x ＞0）的图象经过点B 、C 时，则k ＝（4.5+m ）•m ＝4.5•（2+m ）， 解得m ＝3（负数舍去）， ∴k ＝4.5×（2+3）＝22.5， 故答案为5或22.5．42．（2021•云南）若反比例函数的图象经过点（1，﹣2），则该反比例函数的解析式（解析式也称表达式）为 y =−2x ． 【解答】解：设y =kx ，把点（1，﹣2）代入函数y =kx 得k ＝﹣2， 则反比例函数的解析式为y =−2x ， 故答案为y =−2x ．43．（2021•哈尔滨）已知反比例函数y =kx的图象经过点（2，﹣5），则k 的值为 ﹣10 ． 【解答】解：∵反比例函数y =kx 的图象经过点（2，﹣5）， ∴k ＝2×（﹣5）＝﹣10， 故答案为：﹣10．44．（2021•绵阳）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直角△ABC 的顶点A ，B 在函数y =kx （k ＞0，x ＞0）图象上，AC ∥x 轴，线段AB 的垂直平分线交CB 于点M ，交AC 的延长线于点E ，点A 纵坐标为2，点B 横坐标为1，CE ＝1．（1）求点C 和点E 的坐标及k 的值； （2）连接BE ，求△MBE 的面积．【解答】解：（1）由题意得点A 的坐标为（k2，2），点B 的坐标为（1，k ），又AC ∥x 轴，且△ACB 为直角三角形， ∴点C 的坐标为（1，2）， 又CE ＝1，∴点E 的坐标为（2，2），∵点E 在线段AB 的垂直平分线上， ∴EA ＝EB ，在Rt △BCE 中，EB 2＝BC 2+CE 2， ∴1+（k ﹣2）2=(k2−2)2， ∴k ＝2或23，当k ＝2时，点A ，B ，C 三点重合，不能构成三角形，故舍去， ∴k =23，∴C （1，2），E （2，2），k =23；（2）由（1）可得，AC =23，BC =43，CE ＝1， 设AB 的中点为D ，AB =√AC 2+BC 2=23√5，BD =12AB =√53，∵∠ABC ＝∠MBD ，∠BDM ＝∠BCA ＝90°， ∴△BDM ∽△BCA ， ∴BM BA=BD BC，∴BM =√5343×2√53=56， ∴S △MBE =12BM ×CE =12×56×1=512．45．（2021•枣庄）小明根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对函数y =x−2x （x ≠0）的图象与性质进行探究．因为y =x−2x =1−2x ，即y =−2x +1，所以可以对比函数y =−2x 来探究．列表：（1）下表列出y 与x 的几组对应值，请写出m ，n 的值：m ＝ 5 ，n ＝13； x… ﹣4﹣3﹣2 ﹣1 −12121 2 34… y =−2x … 12 23 1 2 4 ﹣4 ﹣2 ﹣1 −23 −12… y =x−2x…325323m﹣3﹣1n12…描点：在平面直角坐标系中，以自变量x 的取值为横坐标，以y =x−2x 相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：（2）请把y 轴左边各点和右边各点，分别用条光滑曲线顺次连接起来； （3）观察图象并分析表格，回答下列问题：①当x ＜0时，y 随x 的增大而 增大 ；（填“增大”或“减小”）②函数y =x−2x 的图象是由y =−2x 的图象向 上 平移 1 个单位而得到． ③函数图象关于点 （0，1） 中心对称．（填点的坐标） 【解答】解：（1）x =−12时，y =−2x+1＝5， ∴m ＝5，x ＝3时，y =−2x +1=13， ∴n =13； 故答案为：5，13；（2）把y轴左边各点和右边各点，分别用条光滑曲线顺次连接起来，如图：（3）根据图象可得：①在y轴左边，y随x增大而增大，故答案为：增大；②函数y=x−2x的图象是由y=−2x的图象向上平移1个单位得到的，故答案为：上，1；③函数图象关于点（0，1）中心对称，故答案为：（0，1）．46．（2021•襄阳）小欣在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y=1x+1的图象与性质．其研究过程如下：（1）绘制函数图象①列表：如表是x与y的几组对应值，其中m＝1；x…﹣4﹣3﹣2−32−43−23−12012…y…−13−12﹣1﹣2﹣332m1213…②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（0，m）；③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整．（2）探究函数性质判断下列说法是否正确（正确的填“√”，错误的填“×”）①函数值y随x的增大而减小：×．②函数图象关于原点对称：×．③函数图象与直线x＝﹣1没有交点：√．【解答】解：（1）①x＝0时，y=10+1=1，故答案为：1；②如图：∵m＝1，∴A即为（0，m）的点；③补充图象如图：（2）根据函数图象可得：①每一个分支上，函数值y随x的增大而减小，故①错误，应为×，②图象关于（﹣1，0）对称，故②错误，应为×，③x＝﹣1时，1x+1无意义，函数图象与直线x＝﹣1没有交点，应为√．故答案为：×，×，√．47．（2021•张家界）阅读下面的材料：如果函数y＝f（x）满足：对于自变量x取值范围内的任意x1，x2，（1）若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是增函数；（2）若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数．例题：证明函数f（x）＝x2（x＞0）是增函数．证明：任取x1＜x2，且x1＞0，x2＞0．则f（x1）﹣f（x2）＝x12﹣x22＝（x1+x2）（x1﹣x2）．∵x1＜x2且x1＞0，x2＞0，∴x1+x2＞0，x1﹣x2＜0．∴（x1+x2）（x1﹣x2）＜0，即f（x1）﹣f（x2）＜0，f（x1）＜f（x2）．∴函数f（x）＝x2（x＞0）是增函数．根据以上材料解答下列问题：（1）函数f（x）=1x（x＞0），f（1）=11=1，f（2）=12，f（3）＝13，f（4）＝14；（2）猜想f（x）=1x（x＞0）是减函数（填“增”或“减”），并证明你的猜想．【解答】解：（1）f(3)=13，f(4)=14，。
九上数学每日一练：反比例函数系数k的几何意义练习题及答案_2020年单选题版
A.
B.
C.
D.
考点： 反比例函数系数k的几何意义;
~~第2题~~ (2020临沂.九上期末) 如图，在平面直角坐标系中，点 是函数
于点 ，点 在 轴上，若
的面积为1，则 的值为（ ）
答案 图象上的点，过点 作 轴的垂线交 轴
A.1B.2C. D.
考点： 反比例函数系数k的几何意义;
答案
~~第3题~~ (2020晋江.九上期中) 如图，在反比例函数
考点： 反比例函数系数k的几何意义;
答案
~~第9题~~ (2019泰山.九上期末) 如图，P1、P2、P3是双曲线上的三点，过这三点分别作y轴的垂线，得到三个三角形，它们分别 是△P1A1O、△P2A2O、△P3A30，设它们的面积分别是S1、S2、S3 ， 则（ ）
A . S1＜S2＜S3 B . S2＜S1＜S3 C . S3＜S1＜S2 D . S1＝S2 ＝S3
考点： 反比例函数系数k的几何意义;
答案
~~第10题~~ (2019鱼台.九上期末) 如图，已知点P为反比例函数y=边形MONP的面积为( )
上一点，过点P向坐标轴引垂线，垂足分别为M，N，那么四
A . -6 B . 6 C . 3 D . 12
考点： 反比例函数系数k的几何意义;
答案
2020年 九 上 数 学 ： 函 数 _反 比 例 函 数 _反 比 例 函 数 系 数 k的 几 何 意 义 练 习 题 答 案
的图象上一点，
轴于 ，且
的面积为3
A.4B.5C.6D.7
考点： 反比例函数系数k的几何意义;
答案
~~第6题~~ (2019三门.九上期末) 如图，在平面直角坐标系中，双曲线y＝ DEFGH是正八边形，则此正八边形的面积为（ ）
中考数学真题解析反比例函数意义比例系数k的几何意义(含答案)
(2012年1月最新最细）2011全国中考真题解读120考点汇编反比例函数意义，比例系数k的几何意义一、选择题1.如果反比例函数（k是常数，k≠0）的图象经过点（－1，2），那么这个函数的解读式是 y=－．考点：待定系数法求反比例函数解读式．专题：待定系数法．分析：根据图象过（－1，2）可知，此点满足关系式，能使关系时左右两边相等．解答：解：把（－1，2）代入反比例函数关系式得：k=－2，∴y=－，故答案为：y=－，点评：此题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解读式，是中学阶段的重点．2.（2011江苏扬州，6，3分）某反比例函数的图象经过点（－1,6），则下列各点中，此函数图象也经过的点是（）A. （－3,2）B. （3,2）C.（2，3）D.（6,1）考点：反比例函数图象上点的坐标特征。
专题：函数思想。
分析：只需把所给点的横纵坐标相乘，结果是（﹣1）×6=﹣6的，就在此函数图象上．解答：解：∵所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数，∴此函数的比例系数是：（﹣1）×6=﹣6，∴下列四个选择的横纵坐标的积是﹣6的，就是符合题意的选项； A、（﹣3）×2=6，故本选项正确； B、3×2=6，故本选项错误； C、2×3=6，故本选项错误； D、6×1=6，故本选项错误；故选A．点评：本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．3.（2011重庆江津区，6，4分）已知如图，A是反比例函数kyx的图象上的一点，AB丄x轴于点B，且△ABC的面积是3，则k的值是（）A、3B、﹣3C、6D、﹣6考点：反比例函数系数k的几何意义。
分析：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S＝12|k|．解答：解：根据题意可知：S△AOB＝12|k|＝3，又反比例函数的图象位于第一象限，k＞0，则k＝6．故选C．点评：本题主要考查了反比例函数kyx中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为12|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．4.（2010•吉林）反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（）A、﹣1B、C、1D、2考点：反比例函数的图象。
湘教版九年级上册反比例函数试卷含试卷分析
九年级数学上册第一章反比例函数单元检测试卷一、单选题（共10题；共30分）的图像位于（）1.反比例函数y=−2xA. 第一、二象限B. 第一、三象限C. 第二、三象限D. 第二、四象限【答案】D【考点】反比例函数的性质(k≠0)的性质：当k>0时，图象分别位于第一、三【解析】【解答】根据反比例函数y=kx象限；当k<0时，图象分别位于第二、四象限，因此，的系数−2<0，∴图象两个分支分别位于第二、四象限. 故D符合题∵反比例函数y=−2x意.【分析】根据反比例函数的性质可知：当k > 0 时，图象分别位于第一、三象限；当k < 0 时，图象分别位于第二、四象限。
由题意可知选项D符合题意的图像上，那么在此图像上的点还有（）2.如果点P（a，b）在y=kxA. （0，0）B. （a，－b）C. （－a，b）D. （－a，－b）【答案】D【考点】反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】∵点P（a，b）在反比例函数的图象上，∴反比例函数的比例系数k=ab，所有选项中只有D所给点的横纵坐标的积等于ab．故D符合题意．【分析】因为反比例函数的比例系数k=xy可知，选项D符合题意。
3.如图，点A的坐标是（2，0），△ABO是等边三角形，点B在第一象限．若反比例函数y= k的图象经过点B，则k的值是（）xA. 1B. 2C. √3D. 2√3【答案】C【考点】等边三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】解：过点B作BC垂直OA于C，∵点A的坐标是（2，0），∴AO=2，∵△ABO是等边三角形，∴OC=1，BC= √3，∴点B的坐标是（1，√3），，把（1，√3）代入y= kx得k= √3．故答案为：C．【分析】此题要求k的值关键是求出点B的坐标，抓住题中的已知条件点A的坐标是（2，0），得出OA=2；△ABO是等边三角形，根据等边三角形的性质“三线合一”，就需要添加辅助线，作△OAB的高BC，就转化到直角三角形中去求点B的坐标，再根据待定系数法可求出k的值。
反比例函数K的几何意义试题与答案
反比例函数K的几何意义试题一．选择题（共30小题）1．如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数y=在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差S△OAC ﹣S△BAD为（）A．36B．12C．6D．32．如图，过反比例函数y=（x＞0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S △AOB=2，则k的值为（）A．2B．3C．4D．53．如图，点A、C为反比例函数y=图象上的点，过点A、C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B、D，连接OA、AC、OC，线段OC交AB于点E，点E恰好为OC的中点，当△AEC的面积为时，k的值为（）A．4B．6C．﹣4D．﹣64．如图，点A为反比例函数图象上一点，过A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△ABO的面积为（）A．﹣4B．4C．﹣2D．25．如图，反比例函数y=的图象经过矩形OABC的边AB的中点D，则矩形OABC的面积为（）A．2B．4C．5D．86．如图，在平面直角坐标系中，点P（1，4）、Q（m，n）在函数y=（x＞0）的图象上，当m＞1时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C、D．QD交PA于点E，随着m的增大，四边形ACQE的面积（）A．减小B．增大C．先减小后增大D．先增大后减小7．如图，P，Q分别是双曲线y=在第一、三象限上的点，PA⊥x轴，QB⊥y轴，垂足分别为A，B，点C是PQ与x轴的交点．设△PAB的面积为S1，△QAB的面积为S2，△QAC 的面积为S3，则有（）A．S1=S2≠S3B．S1=S3≠S2C．S2=S3≠S1D．S1=S2=S38．如图，矩形ABCD的顶点D在反比例函数y=（x＜0）的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线AC的延长线交y轴于点E，连接BE，若△BCE的面积是6，则k的值为（）A．﹣6B．﹣8C．﹣9D．﹣129．如图，A，B，C为反比例函数图象上的三个点，分别从A，B，C向xy轴作垂线，构成三个矩形，它们的面积分别是S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系是（）A．S1=S2＞S3B．S1＜S2＜S3C．S1＞S2＞S3D．S1=S2=S310．如图，A、B是双曲线上的点，A、B两点的横坐标分别是a、2a，线段AB的延长线交x轴于点C，若S△AOC=9．则k的值是（）A．9B．6C．5D．411．如图，直线l和双曲线（k＞0）交于A、B两点，P是线段AB上的点（不与A、B重合），过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别是C、D、E，连接OA、OB、OP，设△AOC面积是S1，△BOD面积是S2，△POE面积是S3，则（）A．S1＜S2＜S3B．S1＞S2＞S3C．S1=S2＞S3D．S1=S2＜S312．如图，矩形OABC的顶点A在y轴上，C在x轴上，双曲线y=与AB交于点D，与BC交于点E，DF⊥x轴于点F，EG⊥y轴于点G，交DF于点H．若矩形OGHF和矩形HDBE 的面积分别是1和2，则k的值为（）A．B．+1C．D．213．如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y=（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD=3AD，且△ODE的面积是9，则k=（）A．B．C．D．1214．如图，双曲线y=（k＞0）与⊙O在第一象限内交于P、Q两点，分别过P、Q两点向x轴和y轴作垂线，已知点P坐标为（1，3），则图中阴影部分的面积为（）A．1B．2C．3D．415．如图，过反比例函数（x＞0）的图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，设△AOC和△BOD的面积分别是S1、S2，比较它们的大小，可得（）A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．大小关系不能确定16．如图，点A是反比例函数y=的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C 为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为3，则k的值是（）A．3B．﹣3C．6D．﹣617．如图，Rt△AOC的直角边OC在x轴上，∠ACO=90°，反比例函数y=经过另一条直=3，则k=（）角边AC的中点D，S△AOCA．2B．4C．6D．318．如图，点A是反比例函数y=（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y=﹣的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中C、D在x轴上，则S平行四边形ABCD 为（）A．2B．3C．4D．519．如图，点A是反比例函数y=（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴并反比例函数y=﹣的图象于点B，以AB为边作▱ABCD，其中点C，D在x轴上，则▱ABCD的面积为（）A．3B．5C．7D．920．如图，在x轴正半轴上依次截取OA1=A1A2=A2A3=…=A n﹣1A n（n为正整数），过点A1、A2、A3、…、A n分别作x轴的垂线，与反比例函数y=（x＞0）交于点P1、P2、P3、…、P n，连接P1P2、P2P3、…、P n﹣1P n，过点P2、P3、…、P n分别向P1A1、P2A2、…、P n﹣1A n﹣1作垂线段，构成的一系列直角三角形（见图中阴影部分）的面积和是（）A．B．C．D．21．在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A是x轴正半轴上的一个动点，过A点作y轴的平行线交反比例函数y=（x＞0）的图象于B点，当点A的横坐标逐渐增大时，△OAB的面积将会（）A．逐渐增大B．逐渐减小C．不变D．先增大后减小22．如图，平面直角坐标系中，点A是x轴负半轴上一个定点，点P是函数（x＜0）上一个动点，PB⊥y轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会（）A．逐渐增大B．先减后增C．逐渐减小D．先增后减23．如图，在平面直角坐标系中，点B在y轴上，第一象限内点A满足AB=AO，反比例函数y=的图象经过点A，若△ABO的面积为2，则k的值为（）A．1B．2C．4D．24．如图，两个反比例函数y1=（其中k1＞0）和y2=在第一象限内的图象依次是C1和C2，点P在C1上．矩形PCOD交C2于A、B两点，OA的延长线交C1于点E，EF⊥x轴于F点，且图中四边形BOAP的面积为6，则EF：AC为（）A．﹕1B．2﹕C．2﹕1D．29﹕1425．如图，已知矩形OABC面积为，它的对角线OB与双曲线相交于D且OB：OD=5：3，则k=（）A．6B．12C．24D．3626．如图，▱OABC的顶点C在x轴的正半轴上，顶点A、B在第一象限内，且点A的横坐标为2，对角线AC与OB交于点D，若反比例函数y=的图象经过点A与点D，则▱OABC的面积为（）A．30B．24C．20D．1627．如图，A、C分别是x轴、y轴上的点，双曲线y=（x＞0）与矩形OABC的边BC、AB分别交于E、F，若AF：BF=1：2，则△OEF的面积为（）A．2B．C．3D．28．如图，过原点O的直线与双曲线y=交于A、B两点，过点B作BC⊥x轴，垂足为C，=5，则k的值是（）连接AC，若S△ABCA．B．C．5D．1029．如图，已知A（﹣3，0），B（0，﹣4），P为反比例函数y=（x＞0）图象上的动点，PC⊥x轴于C，PD⊥y轴于D，则四边形ABCD面积的最小值为（）A．12B．13C．24D．2630．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥y轴，点P是y轴上的任意一点，则△PAB的面积为（）A．0.5B．1C．1.5D．2反比例函数K 的几何意义试题答案一．选择题（共30小题）1．（菏泽）如图，△OAC 和△BAD 都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数y=在第一象限的图象经过点B ，则△OAC 与△BAD 的面积之差S △OAC ﹣S △BAD 为（）A ．36B ．12C ．6D ．3【分析】设△OAC 和△BAD 的直角边长分别为a 、b ，结合等腰直角三角形的性质及图象可得出点B 的坐标，根据三角形的面积公式结合反比例函数系数k 的几何意义以及点B 的坐标即可得出结论．【解答】解：设△OAC 和△BAD 的直角边长分别为a 、b ，则点B 的坐标为（a +b ，a ﹣b ）．∵点B 在反比例函数y=的第一象限图象上，∴（a +b ）×（a ﹣b ）=a 2﹣b 2=6．∴S △OAC ﹣S △BAD =a 2﹣b 2=（a 2﹣b 2）=×6=3．故选D ．【点评】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义、等腰三角形的性质以及面积公式，解题的关键是找出a 2﹣b 2的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，设出等腰直角三角形的直角边，用其表示出反比例函数上点的坐标是关键．2．（河南）如图，过反比例函数y=（x ＞0）的图象上一点A 作AB ⊥x 轴于点B ，连接AO ，若S △AOB =2，则k 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【分析】根据点A 在反比例函数图象上结合反比例函数系数k 的几何意义，即可得出关于k 的含绝对值符号的一元一次方程，解方程求出k 值，再结合反比例函数在第一象限内有图象即可确定k 值．【解答】解：∵点A 是反比例函数y=图象上一点，且AB ⊥x 轴于点B ，∴S=|k|=2，△AOB解得：k=±4．∵反比例函数在第一象限有图象，∴k=4．故选C．【点评】本题考查了反比例函数的性质以及反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是找出关于k的含绝对值符号的一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数系数k的几何意义找出关于k的含绝对值符号的一元一次方程是关键．3．（本溪）如图，点A、C为反比例函数y=图象上的点，过点A、C分别作AB ⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B、D，连接OA、AC、OC，线段OC交AB于点E，点E 恰好为OC的中点，当△AEC的面积为时，k的值为（）A．4B．6C．﹣4D．﹣6【分析】设点C的坐标为（m，），则点E（m，），A（m，），根据三角形的面积公式可得出S=﹣k=，由此即可求出k值．△AEC【解答】解：设点C的坐标为（m，），则点E（m，），A（m，），=BD•AE=（m﹣m）•（﹣）=﹣k=，∵S△AEC∴k=﹣4．故选C．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是设出点C的坐标，利用点C的横坐标表示出A、E点的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，利用反比例函数图象上点的坐标特征表示出点的坐标是关键．4．（毕节市）如图，点A为反比例函数图象上一点，过A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△ABO的面积为（）A．﹣4B．4C．﹣2D．2【分析】根据反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变，可计算出答案．【解答】解：△ABO的面积为：×|﹣4|=2，故选D．【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，关键是掌握比例系数k的几何意义：①在反比例函数y=xk图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．②在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．5．（黔西南州）如图，反比例函数y=的图象经过矩形OABC的边AB的中点D，则矩形OABC的面积为（）A．2B．4C．5D．8【分析】由反比例函数的系数k的几何意义可知：OA•AD=2，然后可求得OA•AB的值，从而可求得矩形OABC的面积．【解答】解：∵y=，∴OA•AD=2．∵D是AB的中点，∴AB=2AD．∴矩形的面积=OA•AB=2AD•OA=2×2=4．故选：B．【点评】本题主要考查的是反比例函数k的几何意义，掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．6．（长春）如图，在平面直角坐标系中，点P（1，4）、Q（m，n）在函数y=（x＞0）的图象上，当m＞1时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x 轴、y轴的垂线，垂足为点C、D．QD交PA于点E，随着m的增大，四边形ACQE的面积（）A．减小B．增大C．先减小后增大D．先增大后减小【分析】首先利用m和n表示出AC和AQ的长，则四边形ACQE的面积即可利用m、n表示，然后根据函数的性质判断．【解答】解：AC=m﹣1，CQ=n，则S=AC•CQ=（m﹣1）n=mn﹣n．四边形ACQE∵P（1，4）、Q（m，n）在函数y=（x＞0）的图象上，∴mn=k=4（常数）．=AC•CQ=4﹣n，∴S四边形ACQE∵当m＞1时，n随m的增大而减小，=4﹣n随m的增大而增大．∴S四边形ACQE故选B．【点评】本题考查了反比例函数的性质以及矩形的面积的计算，利用n表示出四边形ACQE 的面积是关键．7．（三明）如图，P，Q分别是双曲线y=在第一、三象限上的点，PA⊥x轴，QB⊥y轴，垂足分别为A，B，点C是PQ与x轴的交点．设△PAB的面积为S1，△QAB的面积为S2，△QAC的面积为S3，则有（）A．S1=S2≠S3B．S1=S3≠S2C．S2=S3≠S1D．S1=S2=S3【分析】根据题意可以证明△DBA和△DQP相似，从而可以求出S1，S2，S3的关系，本题得以解决．【解答】解：延长QB与PA的延长线交于点D，如右图所示，设点P的坐标为（a，b），点Q的坐标为（c，d），∴DB=a，DQ=a﹣c，DA=﹣d，DP=b﹣d，∵DB•DP=a•（b﹣d）=ab﹣ad=k﹣ad，DA•DQ=﹣d（a﹣c）=﹣ad+cd=﹣ad+k=k﹣ad，∴DB•DP=DA•DQ，即，∵∠ADB=∠PDQ，∴△DBA∽△DQP，∴AB∥PQ，∴点B到PQ的距离等于点A到PQ的距离，∴△PAB的面积等于△QAB的面积，∵AB∥QC，AC∥BQ，∴四边形ABQC是平行四边形，∴AC=BQ，∴△QAB的面积等于△QAC，∴S1=S2=S3，故选D．【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义、反比例函数的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．8．（抚顺）如图，矩形ABCD的顶点D在反比例函数y=（x＜0）的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线AC的延长线交y轴于点E，连接BE，若△BCE的面积是6，则k的值为（）A．﹣6B．﹣8C．﹣9D．﹣12【分析】先设D（a，b），得出CO=﹣a，CD=AB=b，k=ab，再根据△BCE的面积是6，得出BC×OE=12，最后根据AB∥OE，得出=，即BC•EO=AB•CO，求得ab的值即可．【解答】解：设D（a，b），则CO=﹣a，CD=AB=b，∵矩形ABCD的顶点D在反比例函数y=（x＜0）的图象上，∴k=ab，∵△BCE的面积是6，∴×BC×OE=6，即BC×OE=12，∵AB∥OE，∴=，即BC•EO=AB•CO，∴12=b×（﹣a），即ab=﹣12，∴k=﹣12，故选（D）．【点评】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质以及平行线分线段成比例定理的综合应用，能很好地考核学生分析问题，解决问题的能力．解题的关键是将△BCE 的面积与点D的坐标联系在一起，体现了数形结合的思想方法．9．（钦州校级自主招生）如图，A，B，C为反比例函数图象上的三个点，分别从A，B，C 向xy轴作垂线，构成三个矩形，它们的面积分别是S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系是（）A．S1=S2＞S3B．S1＜S2＜S3C．S1＞S2＞S3D．S1=S2=S3【分析】过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S=|k|．【解答】解：设点A坐标为（x1，y1）点B坐标（x2，y2）点C坐标（x3，y3），∵S1=x1•y1=k，S2=x2•y2=k，S3=x3•y3=k，∴S1=S2=S3．故选D．【点评】主要考查了反比例函数中k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积为|k |，是经常考查的一个知识点．10．（邯郸校级自主招生）如图，A 、B 是双曲线上的点，A 、B 两点的横坐标分别是a 、2a ，线段AB 的延长线交x 轴于点C ，若S △AOC =9．则k 的值是（）A ．9B ．6C ．5D ．4【分析】作AD ⊥x 轴于D ，BE ⊥x 轴于E ，设反比例函数解析式为y=（k ＞0），根据反比例函数图象上点的坐标特征得A 、B 两点的纵坐标分别是、，再证明△CEB ∽△CDA ，利用相似比得到===，则DE=CE ，由OD ：OE=a ：2a=1：2，则OD=DE ，所以OD=OC ，根据三角形面积公式得到S △AOD =S △AOC =×9=3，然后利用反比例函数y=（k ≠0）系数k 的几何意义得|k |=3，易得k=6．【解答】解：作AD ⊥x 轴于D ，BE ⊥x 轴于E ，如图，设反比例函数解析式为y=（k ＞0），∵A 、B 两点的横坐标分别是a 、2a ，∴A 、B 两点的纵坐标分别是、，∵AD ∥BE ，∴△CEB ∽△CDA ，∴===，∴DE=CE ，∵OD ：OE=a ：2a=1：2，∴OD=DE ，∴OD=OC ，∴S △AOD =S △AOC =×9=3，而k＞0，∴k=6．故选B．【点评】本题考查了反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．也考查了三角形相似的判定与性质．11．（福州校级二模）如图，直线l和双曲线（k＞0）交于A、B两点，P是线段AB上的点（不与A、B重合），过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别是C、D、E，连接OA、OB、OP，设△AOC面积是S1，△BOD面积是S2，△POE面积是S3，则（）A．S1＜S2＜S3B．S1＞S2＞S3C．S1=S2＞S3D．S1=S2＜S3【分析】由于点A在y=上，可知S△AOC =k，又由于点P在双曲线的上方，可知S△POE＞k，而点B在y=上，可知S△BOD=k，进而可比较三个三角形面积的大小【解答】解：如右图，∵点A在y=上，∴S△AOC=k，∵点P在双曲线的上方，∴S△POE＞k，∵点B在y=上，△BOD∴S1=S2＜S3．故选；D．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是观察当x不变时，双曲线上y的值与直线AB上y的值大小．12．（盐都区模拟）如图，矩形OABC的顶点A在y轴上，C在x轴上，双曲线y=与AB交于点D，与BC交于点E，DF⊥x轴于点F，EG⊥y轴于点G，交DF于点H．若矩形OGHF 和矩形HDBE的面积分别是1和2，则k的值为（）A．B．+1C．D．2【分析】设D（t，），由矩形OGHF的面积为1得到HF=，于是根据反比例函数图象上点的坐标特征可表示出E点坐标为（kt，），接着利用矩形面积公式得到（kt﹣t）•（﹣）=2，然后解关于k的方程即可得到满足条件的k的值．【解答】解：设D（t，），∵矩形OGHF的面积为1，DF⊥x轴于点F，∴HF=，而EG⊥y轴于点G，∴E点的纵坐标为，当y=时，=，解得x=kt，∵矩形HDBE的面积为2，∴（kt﹣t）•（﹣）=2，整理得（k﹣1）2=2，而k＞0，∴k=+1．故选B．【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．13．（昆山市一模）如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y=（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD=3AD，且△ODE的面积是9，则k=（）A．B．C．D．12【分析】所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，然后即可求出B 的横纵坐标的积即是反比例函数的比例系数．【解答】解：∵四边形OCBA是矩形，∴AB=OC，OA=BC，设B点的坐标为（a，b），∵BD=3AD，∴D（，b），∵点D，E在反比例函数的图象上，∴=k，∴E（a，），∵S △ODE =S 矩形OCBA ﹣S △AOD ﹣S △OCE ﹣S △BDE =ab ﹣﹣﹣•（b ﹣）=9，∴k=，故选C ．【点评】此题考查了反比例函数的综合知识，利用了：①过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；②所给的面积应整理为和反比例函数上的点的坐标有关的形式．14．（蒙阴县一模）如图，双曲线y=（k ＞0）与⊙O 在第一象限内交于P 、Q 两点，分别过P 、Q 两点向x 轴和y 轴作垂线，已知点P 坐标为（1，3），则图中阴影部分的面积为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】根据反比例函数图象和圆的性质得到点P 与点Q 关于直线y=x 对称，Q 点的坐标为（3，1），则图中阴影部分为两个边长分别为1和2的矩形，然后根据矩形的面积公式求解．【解答】解：∵双曲线y=（k ＞0）与⊙O 在第一象限内交于P 、Q 两点，∴点P 与点Q 关于直线y=x 对称，∴Q 点的坐标为（3，1），∴图中阴影部分的面积=2×（3﹣1）=4．故选D ．【点评】本题考查了反比例函数y=（k ≠0）系数k 的几何意义：从反比例函数y=（k ≠0）图象上任意一点向x 轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k |．15．（呼伦贝尔校级一模）如图，过反比例函数（x ＞0）的图象上任意两点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连接OA 、OB ，设△AOC 和△BOD 的面积分别是S 1、S 2，比较它们的大小，可得（）A ．S 1＞S 2B ．S 1=S 2C ．S 1＜S 2D ．大小关系不能确定【分析】根据反比例函数的几何意义，直接求出S 1、S 2的值即可进行比较．【解答】解：由于A 、B 均在反比例函数y=的图象上，且AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，则S 1=；S 2=．故S 1=S 2．故选B ．【点评】此题考查了反比例函数k 的几何意义，找到相关三角形，求出k 的一半即为三角形的面积．16．（许昌二模）如图，点A 是反比例函数y=的图象上的一点，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为B ．点C 为y 轴上的一点，连接AC ，BC ．若△ABC 的面积为3，则k 的值是（）A ．3B ．﹣3C ．6D ．﹣6【分析】连结OA ，如图，利用三角形面积公式得到S △OAB =S △CAB =3，再根据反比例函数的比例系数k 的几何意义得到|k |=3，然后去绝对值即可得到满足条件的k 的值．【解答】解：连结OA ，如图，∵AB ⊥x 轴，∴OC ∥AB ，∴S △OAB =S △CAB =3，而S △OAB =|k |，∴|k |=3，∵k ＜0，∴k=﹣6．故选D ．【点评】本题考查了反比例函数的比例系数k 的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k |．17．（港南区二模）如图，Rt △AOC 的直角边OC 在x 轴上，∠ACO=90°，反比例函数y=经过另一条直角边AC 的中点D ，S △AOC =3，则k=（）A ．2B ．4C ．6D ．3【分析】由直角边AC 的中点是D ，S △AOC =3，于是得到S △CDO =S △AOC =，由于反比例函数y=经过另一条直角边AC 的中点D ，CD ⊥x 轴，即可得到结论．【解答】解：∵直角边AC 的中点是D ，S △AOC =3，∴S △CDO =S △AOC =，∵反比例函数y=经过另一条直角边AC 的中点D ，CD ⊥x 轴，∴k=2S △CDO =3，故选D ．【点评】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，求得D 点的坐标是解题的关键．18．（同安区一模）如图，点A 是反比例函数y=（x ＞0）的图象上任意一点，AB ∥x 轴交反比例函数y=﹣的图象于点B ，以AB 为边作平行四边形ABCD ，其中C 、D 在x 轴上，则S 平行四边形ABCD 为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【分析】连结OA 、OB ，AB 交y 轴于E ，由于AB ⊥y 轴，根据反比例函数y=（k ≠0）系数k 的几何意义得到S △OEA 与S △OBE ，则四边形ABCD 为平行四边形，然后根据平行四边形的性质得到S 平行四边形ABCD =2S △OAB =5．【解答】解：连结OA 、OB ，AB 交y 轴于E ，如图，∵AB ∥x 轴，∴AB ⊥y 轴，∴S △OEA =×3=，S △OBE =×2=1，∴S △OAB =1+=，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴S 平行四边形ABCD =2S △OAB =5．故选：D ．【点评】本题考查反比例函数系数k 的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k |．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．19．（肥城市校级模拟）如图，点A 是反比例函数y=（x ＞0）的图象上任意一点，AB ∥x轴并反比例函数y=﹣的图象于点B ，以AB 为边作▱ABCD ，其中点C ，D 在x 轴上，则▱ABCD 的面积为（）A．3B．5C．7D．9【分析】连结OA、OB，如图，AB交y轴于E，根据反比例函数k的几何意义得到S△OAE=1，S△OBE=，则S△OAB=，然后根据平行四边形的面积公式求解．【解答】解：连结OA、OB，如图，AB交y轴于E，∵AB∥x轴，∴S△OAE =×|2|=1，S△OBE=×|﹣3|=，∴S△OAB=，∵四边形ABCD为平行四边形，∴▱ABCD的面积=2S△OAB=5．故选B．【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．20．（启东市一模）如图，在x轴正半轴上依次截取OA1=A1A2=A2A3=…=A n﹣1A n（n为正整数），过点A1、A2、A3、…、A n分别作x轴的垂线，与反比例函数y=（x＞0）交于点P1、P2、P3、…、P n，连接P1P2、P2P3、…、P n﹣1P n，过点P2、P3、…、P n分别向P1A1、P2A2、…、P n﹣1A n﹣1作垂线段，构成的一系列直角三角形（见图中阴影部分）的面积和是（）A．B．C．D．【分析】由OA1=A1A2=A2A3=…=A n﹣1A n=1可知P1点的坐标为（1，y1），P2点的坐标为（2，y2），P3点的坐标为（3，y3）…P n点的坐标为（n，y n），把x=1，x=2，x=3代入反比例函数的解析式即可求出y1、y2、y3的值，再由三角形的面积公式可得出S1、S2、S3…S n﹣1的值，故可得出结论．【解答】解：（1）设OA1=A1A2=A2A3=…=A n﹣1A n=1，∴设P1（1，y1），P2（2，y2），P3（3，y3），…P4（n，y n），∵P1，P2，P3…Bn在反比例函数y=（x＞0）的图象上，∴y1=2，y2=1，y3=…y n=，∴S1=×1×（y1﹣y2）=×1×1=；∴S1=；（3）∵S1=×1×（y1﹣y2）=×1×（2﹣）=1﹣；∴S2=×1×（y2﹣y3）=﹣；S3=×1×（y3﹣y4）=×（﹣）=﹣；…∴S n=﹣，﹣1∴S1+S2+S3+…+S n﹣1==1﹣+﹣+﹣+…﹣=．故选A．【点评】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．21．（平房区模拟）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A是x轴正半轴上的一个动点，过A点作y轴的平行线交反比例函数y=（x＞0）的图象于B点，当点A的横坐标逐渐增大时，△OAB的面积将会（）A．逐渐增大B．逐渐减小C．不变D．先增大后减小【分析】因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=|k|，所以当点A的横坐标逐渐增大时，△OAB的面积将不变．【解答】解：依题意，△OAB的面积=|k|=1，所以当点A的横坐标逐渐增大时，△OAB的面积将不变．故选：C．【点评】此题主要考查了反比例函数y=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴的垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|．22．（临沂模拟）如图，平面直角坐标系中，点A是x轴负半轴上一个定点，点P是函数（x＜0）上一个动点，PB⊥y轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会（）A．逐渐增大B．先减后增C．逐渐减小D．先增后减【分析】由双曲线y=﹣（x＞0）设出点P的坐标，运用坐标表示出四边形OAPB的面积函数关系式即可判定．【解答】解：设点P的坐标为（x，﹣），∵PB⊥y轴于点B，点A是x轴正半轴上的一个定点，∴四边形OAPB是个直角梯形，∴四边形OAPB的面积=（PB+AO）•BO=（﹣x+AO）•﹣=2﹣，∵AO是定值，∴四边形OAPB的面积是个增函数，即点P的横坐标逐渐增大时四边形OAPB的面积逐渐增大．故选A．【点评】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是运用点的坐标求出四边形OAPB的面积的函数关系式．23．（兴化市校级三模）如图，在平面直角坐标系中，点B在y轴上，第一象限内点A满足AB=AO，反比例函数y=的图象经过点A，若△ABO的面积为2，则k的值为（）A．1B．2C．4D．【分析】如图，过点A作AD⊥y轴于点D，结合等腰三角形的性质得到△ADO的面积为1，根据反比例函数系数k的几何意义求得k的值．【解答】解：如图，过点A作AD⊥y轴于点D，∵AB=AO，△ABO的面积为2，∴S=|k|=1，△ADO又反比例函数的图象位于第一象限，k＞0，则k=2．故选：B．【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．24．（深圳二模）如图，两个反比例函数y1=（其中k1＞0）和y2=在第一象限内的图象依次是C1和C2，点P在C1上．矩形PCOD交C2于A、B两点，OA的延长线交C1于点E，EF⊥x轴于F点，且图中四边形BOAP的面积为6，则EF：AC为（）A ．﹕1B ．2﹕C ．2﹕1D ．29﹕14【分析】首先根据反比例函数y 2=的解析式可得到S △ODB =S △OAC =×3=，再由阴影部分面积为6可得到S 矩形PDOC =9，从而得到图象C 1的函数关系式为y=，再算出△EOF 的面积，可以得到△AOC 与△EOF 的面积比，然后证明△EOF ∽△AOC ，根据对应边之比等于面积比的平方可得到EF ﹕AC 的值．【解答】解：∵B 、C 反比例函数y 2=的图象上，∴S △ODB =S △OAC =×3=，∵P 在反比例函数y 1=的图象上，∴S 矩形PDOC =k 1=6++=9，∴图象C 1的函数关系式为y=，∵E 点在图象C 1上，∴S △EOF =×9=，∴==3，∵AC ⊥x 轴，EF ⊥x 轴，∴AC ∥EF ，∴△EOF ∽△AOC ，∴=，故选：A ．【点评】此题主要考查了反比例函数系数k 的几何意义，以及相似三角形的性质，关键是掌握在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k |；在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k |，且保持不变．25．（富顺县校级一模）如图，已知矩形OABC面积为，它的对角线OB与双曲线相交于D且OB：OD=5：3，则k=（）A．6B．12C．24D．36【分析】先找到点的坐标，然后再利用矩形面积公式计算，确定k的值．【解答】解：由题意，设点D的坐标为（x D，y D），则点B的坐标为（x D，y D），矩形OABC的面积=|x D×y D|=，∵图象在第一象限，∴k=x D•y D=12．故选B．【点评】本题考查了反比例函数与几何图形的结合，综合性较强，同学们应重点掌握．26．（重庆模拟）如图，▱OABC的顶点C在x轴的正半轴上，顶点A、B在第一象限内，且点A的横坐标为2，对角线AC与OB交于点D，若反比例函数y=的图象经过点A与点D，则▱OABC的面积为（）A．30B．24C．20D．16【分析】根据平行四边形的性质的性质及反比例函数k的几何意义，判断出OE=EF，再由△AOD的面积，即可求出结果．【解答】解：过点A作AE⊥OC于E，过点D作DF⊥OC于F，∵反比例函数y=的图象经过点A，且点A的横坐标为2，∴y==5，∴A（2，5），∴AE=5，∵四边形OABC是平行四边形，∴AD=CD，∴DF=AE=，OF=4，∵反比例函数y=的图象经过点A 与点D ，∴S △AOD =S 四边形AEFD =（+5）×2=，∴▱OABC 的面积=4×S △AOD =4×=30．故选A ．【点评】本题考查了平行四边形的性质及反比例函数k 的几何意义，涉及的知识点较多，注意理清解题思路，分步求解．27．（河南模拟）如图，A 、C 分别是x 轴、y 轴上的点，双曲线y=（x ＞0）与矩形OABC 的边BC 、AB 分别交于E 、F ，若AF ：BF=1：2，则△OEF 的面积为（）A ．2B ．C ．3D ．【分析】设F 点的坐标为（t ，），由AF ：BF=1：2得到AB=3AF ，则B 点坐标可表示为（t ，），再利用反比例函数解析式确定E 点坐标为（，），然后利用△OEF 的面积=S 矩形ABCO ﹣S △OEC ﹣S △OAF ﹣S △BEF 和三角形的面积公式进行计算．【解答】解：设F 点的坐标为（t ，），∵AF ：BF=1：2，∴AB=3AF ，∴B 点坐标为（t ，），把y=代入y=得x=，。
反比例函数中k的几何意义
反比例函数中k 的几何意义题型一 k 与一般三角形的面积1．如图，过原点O 的直线交双曲线y =kx 于A 、B 两点，分别过A 、B 向两坐标轴作垂线相交于点C ，若△ABC 的面积是12，则k ＝（ ）A ．4B ．6C ．8D ．12【解析】解：由题意可知：A 与B 是关于原点对称的，且k ＞0，故可设A （a ，b ），B （﹣a ，﹣b ），设BC 与y 轴交于点E ，AC 与x 轴交于点F ，∴△AOF 与△BOE 的面积都是：k 2，∵矩形OFEC 的面积为：|ab |＝k ，∵△ABC 的面积是12，∴2×k2+k ＝12∴k ＝6，故选：B ．2．如图，点A 与点B 分别在函数y =k 1x (k 1＞0)与y =k2x(k 2＜0)的图象上，线段AB 的中点M 在y 轴上．若△AOB 的面积为2，则k 1﹣k 2的值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】解：作AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，∴AC ∥BD ∥y 轴，∵M 是AB 的中点，∴OC ＝OD ，设A （a ，b ），B （﹣a ，d ），代入得：k 1＝ab ，k 2＝﹣ad ，∵S △AOB ＝2，∴12（b +d ）•2a −12ab −12ad ＝2， ∴ab +ad ＝4，∴k 1﹣k 2＝4，故选：C ．3．如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数y=kx（x＜0）的图象上一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，点C是y轴上任意一点，连接AC、BC，若△ABC的面积为2，则k的值为﹣4．【解析】解：连结OA，如图，∵AB⊥x轴，∴OC∥AB，∴S△OAB＝S△CAB＝2，而S△OAB=12|k|，∴12|k|＝2，∵k＜0，∴k＝﹣4．4．如图，A，B是反比例函数y=4x在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是3．【解析】解：∵A，B是反比例函数y=4x在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，∴当x＝2时，y＝2，即A（2，2），当x＝4时，y＝1，即B（4，1）．如图，过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，则S△AOC＝S△BOD=12×4＝2．∵S 四边形AODB ＝S △AOB +S △BOD ＝S △AOC +S 梯形ABDC ，∴S △AOB ＝S 梯形ABDC ，∵S 梯形ABDC =12（BD +AC ）•CD =12（1+2）×2＝3，∴S △AOB ＝3．故答案是：3．题型二 k 与特殊三角形的面积5．如图，在平面直角坐标系中，点A 在第二象限内，点B 在x 轴上，∠AOB ＝30°，AB ＝BO ，反比例函数y =kx（x ＜0）的图象经过点A ，若S △ABO =√3，则k 的值为 ﹣3√3 ．【解析】解：过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，如图所示．∵∠AOB ＝30°，AD ⊥OD ，∴OD AD=cot ∠AOB =√3，∵∠AOB ＝30°，AB ＝BO ，∴∠AOB ＝∠BAO ＝30°，∴∠ABD ＝60°，∴BDAD =cot ∠ABD =√33，∵OB ＝OD ﹣BD ，∴OB OD=OD−BD OD=(√3−√33)AD √3AD=23，∴S △ABO S △ADO=23，∵S △ABO =√3，∴S △ADO =12|k |=3√32，∵反比例函数图象在第二象限，∴k ＝﹣3√3 6．如图，已知双曲线y 1=1x （x ＞0），y 2=4x （x ＞0），点P 为双曲线y 2=4x 上的一点，且P A ⊥x 轴于点A ，P A ，PO 分别交双曲线y 1=1x 于B ，C 两点，则△P AC 的面积为（ ）A ．1B ．1.5C ．2D ．3【解析】解：作CH⊥x轴于H，如图，S△OCH=12×1=12，S△OP A=12×4＝2，∵CH∥P A，∴△OCH∽△OP A，∴S△OCH：S△OP A＝OH2：OA2=12：2，∴OH：OA＝1：2，∴S△OCA＝2S△OCH＝1，∴△P AC的面积＝S△OP A﹣S△OCA＝1．故选：A．7．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝kx与y=3x的图象交于A，B两点，过A作y轴的垂线，交函数y=−4x的图象于点C，连接BC，则△ABC的面积为7．【解析】解：如图，连接OC设AC交y轴于E．∵AC⊥y轴于E，∴S△AOE=32，S△OEC＝2，∴S△AOC=72，∵A，C关于原点对称，∴OA＝OB，∴S△ABC＝2S△AOC＝7，故答案为7．8．如图，已知双曲线y1=1x(x＞0)，y2=4x(x＞0)，点P为双曲线y2=4x上的一点，且P A⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，P A、PB分别交双曲线y1=1x于D、C两点，则△PCD的面积为98．【解析】解：作CE⊥AO于E，DF⊥CE于F，∵双曲线y1=1x(x＞0)，y2=4x(x＞0)，且P A⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，P A、PB分别交双曲线y1=1x于D 、C 两点，∴矩形BCEO 的面积为：xy ＝1，∵BC ×BO ＝1，BP ×BO ＝4，∴BC =14BP ，∵AO ×AD ＝1，AO ×AP ＝4，∴AD =14AP ，∵P A •PB ＝4，∴34PB ×34P A =916P A •PB ＝CP ×DP =916×4=94，∴△PCD 的面积为：98．故答案为：98．题型三 k 与平行四边形的面积9．如图，双曲线y =kx （k ≠0，x ＜0）经过平行四边形ABCO 的对角线交点D ，已知边OC 在y 轴上，且AC ⊥OC 于点C ，若平行四边形OABC 的面积是3，则k 的值是（ ）A ．−94B ．−32C ．﹣3D ．﹣6【解析】解：∵四边形OABC 是平行四边形，面积为3，∴△DCO 的面积=34，∵AC ⊥OC ，∴S △DCO =|k|2=34，∵k ＜0，∴k =−32，故选：B ．10．如图，点A 是反比例函数y =2x（x ＞0）的图象上任意一点，AB ∥x 轴交反比例函数y =−3x的图象于点B ，以AB 为边作平行四边形ABCD ，其中C 、D 在x 轴上，则S ▱ABCD 为 5 ．【解析】解：设点A 的纵坐标为b ，所以，2x =b ，解得x =2b ，∵AB ∥x 轴，∴点B 的纵坐标为−3x =b ，解得x=−3b，∴AB=2b−（−3b）=5b，∴S▱ABCD=5b•b＝5．故答案为：5．11．如图，点A、B分别在双曲线y=2x和y=6x上，四边形ABCO为平行四边形，则▱ABCO的面积为4．【解析】解：∵点A在双曲线y=2x上，点B在双曲线y=6x上，且AB∥x轴，∴设A（2b ，b），B（6b，b），则AB=6b−2b，▱ABCD的CD边上高为b，∴S▱ABCD＝（6b −2b）×b＝6﹣2＝4．故答案为：4．12．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，平行四边形ABOC的对角线交于点M，双曲线y=kx（x＜0）经过点B、M．若平行四边形ABOC的面积为12，则k＝﹣4．【解析】解：设M的坐标是（m，n），则mn＝k，∵平行四边形ABOC中M是OA的中点，∴A的坐标是：（2m，2n），B的纵坐标是2n，把y＝2n代入y=kx得：x=k2n，即B的横坐标是：k2n．∴AB＝OC=k2n−2m，OC边上的高是2n，∴（k2n−2m）•2n＝12，即k﹣4mn＝12，∴k﹣4k＝12，解得：k＝﹣4．故答案为﹣4．13．如图①，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，sin∠AOB=45，反比例函数y=kx（k＞0）在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F．（1）若OA＝5，求反比例函数解析式；（2）若点F为BC的中点，且△AOF的面积S＝12，求OA的长和点C的坐标；（3）在（2）中的条件下，过点F作EF∥OB，交OA于点E（如图②），点P为直线EF上的一个动点，连接P A，PO．是否存在这样的点P，使以P、O、A为顶点的三角形是以OA为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由【解析】解：（1）如图1，过点A作AH⊥OB于点H，∵sin∠AOB=45，OA＝5，∴AH＝4，OH＝3，∴A（3，4），根据题意得：4=k3，可得k＝12，∴反比例函数的解析式为y=12x（x＞0）．（2）设OA＝a（a＞0），如图2，过点F作FM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，由平行四边形性质可知OH ＝BN ，∵sin ∠AOB =45，∴AH =45a ，OH =35a ，∴S △AOH =12•45a ⋅35a =625a 2，∵S △AOF ＝12，∴S 四边形AOBC ＝24，∵F 为BC 的中点，∴S △OBF ＝6，∵BF =12a ，∠FBM ＝∠AOB ，∴FM =25a ，BM =310a ，∴S △BMF =12BM •FM =350a 2，∵点A ，F 都在y =kx 的图象上，∴S △AOH ＝S △FOM =12k ， ∴625a 2＝6+350a 2，∴a =10√33，∴OA =10√33，∴AH =8√33，OH ＝2√3，∵S 四边形AOBC＝24，∴OB ＝AC＝3√3，∴ON ＝OB +OH ＝5√3，∴C （5√3，8√33）． （3）存在两种情况，①A 为直角顶点，如图3所示，∵C （5√3，8√33），点F 为BC 中点，∴点F 的纵坐标为4√33，∵EF ∥OB ，点P 在直线EF 上， ∴点P 的纵坐标为4√33，过点P 作PM ⊥AC 于点M ，过点A 作AN ⊥y 轴于点N ，则PM =4√33，AN ＝2√3，∵∠OAP ＝90°，∴△OAN ∽△APM ，∴ON AM=AN PM，即8√33AM=√34√33，∴AM =16√39，∴MN =34√39，∴P （34√39，4√33）． ②以O 为直角顶点时，如图4所示，过点P 作PN ⊥x 轴于点N ，过点A 作AM ⊥x 轴于点M ，则OM ＝2√3，PN =4√33，AM =8√33， ∵∠AOP ＝90°，则△PON ∽△AOM ，∴PNOM=ON AM，即4√332√3=8√33，∴ON =16√39，∴点P（−16√39，4√33）．综上所述：点P（34√39，4√33）或（−16√39，4√33）．题型四k与特殊平行四边形的面积14．如图，点A在双曲线y=2x上，点B在双曲线y=kx上，且AB∥x轴，点C，D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，且它的面积为3，则k的值是（）A．5B．3C．2D．1【解析】解：延长BA交y轴于E，如图，∵S矩形BCOE＝|k|，S矩形ADOE＝|2|＝2，而矩形ABCD的，面积为3，∴S矩形BCOE﹣S矩形ADOE＝3，即|k|﹣2＝3，而k＞0，∴k＝5．故选：A．15．如图，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC交于点D、E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值为（）A．1B．2C．3D．4【解析】解：由题意得：E 、M 、D 位于反比例函数图象上，则S △OCE =|k|2，S △OAD =|k|2， 过点M 作MG ⊥y 轴于点G ，作MN ⊥x 轴于点N ，则S □ONMG ＝|k |， 又∵M 为矩形ABCO 对角线的交点，∴S矩形ABCO＝4S □ONMG ＝4|k |，由于函数图象在第一象限，k ＞0，则k 2+k 2+9＝4k ，解得：k ＝3．故选：C ．16．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的面积为24，点B 在y 轴上，点C 在反比例函数y =kx的图象上，则k ＝ ﹣12 ．【解析】解：连接CA 交y 轴于点D ，如图，∵四边形ABCO 为正方形，∴AC ⊥OB ，S △OCD =14S 正方形ABCO =14×24＝6，∵12|k |＝6，而k ＜0，∴k ＝﹣12．故答案为﹣12． 17．如图，O 为坐标原点，四边形OACB 是菱形，OB 在x 轴的正半轴上，sin ∠AOB =45，反比例函数y =48x在第一象限内的图象经过点A ，与BC 交于点F ，则△AOF 的面积等于 40 ．【解析】解：过点A 作AM ⊥x 轴于点M ，如图所示．设OA ＝a ，在Rt △OAM 中，∠AMO ＝90°，OA ＝a ，sin ∠AOB =45，∴AM ＝OA •sin ∠AOB =45a ，OM =√OA 2−AM 2=35a ，∴点A 的坐标为（35a ，45a ）．∵点A在反比例函数y=48x的图象上，∴35a×45a=1225a2＝48，解得：a＝10，或a＝﹣10（舍去）．∴AM＝8，OM＝6，OB＝OA＝10．∵四边形OACB是菱形，点F在边BC上，∴S△AOF=12S菱形OBCA=12OB•AM＝40．故答案是：40．18．已知，如图，A，B，C，D是反比例函数y=8x图象上四个整数点（横、纵坐标均为整数），分别过这些点向横轴、纵轴作垂线段，以短垂线段为边作正方形（如图），分别以正方形的边长为半径作两条弧，组成四个橄榄形（阴影部分），则这四个橄榄形的周长总和是6π（用含π的代数式表示）【解析】解：∵A，B，C，D是反比例函数y=8x图象上四个整数点（横、纵坐标均为整数），∴A（1，8），B（2，4），C（4，2），D（8，1），∴一个顶点是A、D的正方形的边长为1，一个顶点是B、C的正方形的边长为2，∴四个橄榄形的周长总和＝4×90π×1180+4×90π×2180=6π，故答案为：6π．巩固练习1．（2020柳林县期末）如图，点P在反比例函数y=kx（k≠0）的图象上，P A⊥x轴于点A，△P AO的面积为2，则k的值为（）A．1B．2C．4D．6【解析】解：依据比例系数k 的几何意义可得，△P AO 的面积=12|k |，即12|k |＝2，解得，k ＝±4，由于函数图象位于第一、三象限，故k ＝4，故选：C ．2．（2020•阜南县期末）反比例函数图象的一支如图所示，△POM 的面积为2，则该函数的解析式是（ ）A ．y =2xB ．y =4xC ．y =−2xD ．y =−4x【解析】解：∵△POM 的面积为2，∴S =12|k |＝2，∴k ＝±4，又∵图象在第四象限， ∴k ＜0，∴k ＝﹣4，∴反比例函数的解析式为：y =−4x ．故选：D ．3．如图，已知双曲线y =4x 上有一点A ，过A 作AB 垂直x 轴于点B ，连接OA ，则△AOB 的面积为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【解析】解：根据题意得△OAB 的面积=12×|4|＝2．故选：B ．4．（2020•香坊区模拟）如图，点A 是反比例函数y =2x（x ＞0）图象上任意一点，AB ⊥y 轴于B ，点C 是x 轴上的动点，则△ABC 的面积为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．不能确定【解析】解：设A 的坐标是（m ，n ），则mn ＝2．则AB ＝m ，△ABC 的AB 边上的高等于n ．则△ABC 的面积=12mn ＝1．故选：A ．5．（2020•鸡西）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，平行四边形OABC 的顶点A 在反比例函数y =1x 上，顶点B 在反比例函数y =5x 上，点C 在x 轴的正半轴上，则平行四边形OABC 的面积是（ ）A ．32B ．52C ．4D ．6【解析】解：如图作BD ⊥x 轴于D ，延长BA 交y 轴于E ，∵四边形OABC 是平行四边形，∴AB ∥OC ，OA ＝BC ，∴BE ⊥y 轴，∴OE ＝BD ，∴Rt △AOE ≌Rt △CBD （HL ），根据系数k 的几何意义，S 矩形BDOE ＝5，S △AOE =12，∴四边形OABC 的面积＝5−12−12=4， 故选：C ．6．（2020•丹东期末）如图，已知矩形OABC 的面积是200，它的对角线OB 与双曲线y =kx（x ＞0）图象交于点D ，且OD ：DB ＝3：2，则k 值是（ ）A ．9B ．18C ．36D ．72【解析】解：∵OD ：DB ＝3：2，∴OD ：OB ＝3：5，由题意，设点D 的坐标为（x D ，y D ），则点B 的坐标为（53x D ，53y D ）．∴矩形OABC 的面积＝|53x D •53y D |＝200，∵图象有第一象限，∴k ＝x D •y D ＝72．故选：D ．7．（2020•高新区一模）如图，两个反比例函数y =2x 和y =1x 在第一象限的图象如图所示，当P 在y =2x 的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交y =1x 的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交y =1x 的图象于点B ，则四边形P AOB 的面积为 1 ．【解析】解：由于P 点在y =2x 上，则S □PCOD ＝2，A 、B 两点在y =1x 上， 则S △DBO ＝S △ACO =12×1=12．∴S 四边形P AOB＝S □PCOD ﹣S △DBO ﹣S △ACO ＝2−12−12=1．∴四边形P AOB 的面积为1．故答案为：1．8．（2020•河东区期末）如图，在反比例函数y =−6x (x ＜0)的图象上任取一点P ，过P 点分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，那么四边形PMON 的面积为 6 ．【解析】解：设点P 的坐标为（x ，y ），∵点P 的反比例函数解析式上，∴xy ＝﹣6， 易得四边形PMON 为矩形，∴四边形PMON 的面积为|xy |＝6，故答案为6．9．（2020•永州期末）如图，点A是反比例函数y=−6x(x＜0)的图象上的一点，过点A作▱ABCD，使点B、C在x轴上，点D在y轴上，则▱ABCD的面积为6．【解析】解：连结OA、CA，如图，则S△OAD=12|k|=12×6＝3，∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC∥AD，∴S△CAD＝S△OAD＝3，∴▱ABCD的面积＝2S△CAD＝6．故答案为6．10．（2020•河北区期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于A（﹣2，1）、B（1，﹣2）两点．一次函数的值大于反比例函数的值时x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜1．【解析】解：∵A（﹣2，1），B（1，﹣2），由图象可知：一次函数的值大于反比例函数的值时x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜1．故答案为x＜﹣2或0＜x＜1．11．（2020•长垣县期末）如图，在x轴的正半轴上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5，过点A1、A2、A3、A4、A5分别作x轴的垂线与反比例函数y=2x（x≠0）的图象相交于点P1、P2、P3、P4、P5，得直角三角形OP1A1、A1P2A2，A2P3A3，A3P4A4，A4P5A5，并设其面积分别为S1、S2、S3、S4、S5，则S10＝110．（n≥1的整数）【解析】解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，S=12|k|＝1．又因为OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5所以S1=12|k|，S2=14|k|，S3=16|k|，S4=18|k|，S5=110|k|…依此类推：S n的值为1n．当n＝10时，S10=110．故答案是：110．12．（2020•五华县期末）如图，点P在函数y=kx的图象上，P A⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，且△APB的面积为4，则k等于﹣8．【解析】解：∵点P在反比例函数y=kx的图象上，P A⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，∴S△APB=12|k|＝4，∴k＝±8．又∵反比例函数在第二象限有图象，∴k＝﹣8．故答案为：﹣8．13．（2020•娄星区期末）如图，A、B两点在双曲线y=5x上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知S阴影＝2，则S1+S2＝6．【解析】解：根据题意得S1+S阴影＝S2+S阴影＝5，而S阴影＝2，所以S1＝S2＝3，所以S1+S2＝6．14．（2020•临颍县期末）请写出一个符合以下两个条件的反比例函数的表达式：y=−5x．①图象位于第二、四象限；②如果过图象上任意一点A作AB⊥x轴于点B，作AC⊥y轴于点C，那么得到的矩形ABOC的面积小于6．【解析】解：设反比例函数解析式为y=kx，根据题意得k＜0，|k|＜6，当k取﹣5时，反比例函数解析式为y=−5x．故答案为y=−5x．15．（2020•双峰县一模）如图，▱ABCD的顶点A、B的坐标分别是A（﹣1，0），B（0，﹣3），顶点C、D在双曲线y=kx上，边AD交y轴于点E，且▱ABCD的面积是△ABE面积的8倍，则k＝36．【解析】解：如图，过D点作x轴的垂线，垂足为G，过C点作y轴的垂线，垂足为F，交DG于H点，连接BD，∵ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC，∵BO∥DG，∴∠OBC＝∠GDE，∴∠HDC＝∠ABO，∴△CDH≌△ABO（AAS），∴CH＝AO＝1，DH＝OB＝3，∵▱ABCD的面积是△ABE面积的8倍，∴S△ABD ＝4S△ABE，∴AD＝4AE，∴AG＝4OA，∵A（﹣1，0），B（0，﹣3），设D（3，m），则点C（4，m﹣3），∵点C和点D均在双曲线上，则有：3m＝4（m﹣3），解得m＝12，∴k＝3m＝36．16．（2020•茂名期中）如图，菱形OABC的一OA在x轴的正半轴上，O是坐标原点，tan∠AOC=43，反比例函数y =24x的图象经过点C ，与AB 交于点D ，则△COD 的面积为 20 ．【解析】解：作DF ∥AO 交OC 于F ，CE ⊥AO 于E ，∵tan ∠AOC =43，∴设CE ＝4x ，OE ＝3x ，∴3x •4x ＝24，x ＝±√2，∴OE ＝3√2，CE ＝4√2，由勾股定理得：OC ＝5√2，∴S 菱形OABC ＝OA •CE ＝5√2×4√2=40，∵四边形OABC 为菱形，∴AB ∥CO ，AO ∥BC ，∵DF ∥AO ，∴S △ADO ＝S △DFO ， 同理S △BCD ＝S △CDF ，∵S菱形ABCO＝S △ADO +S △DFO +S △BCD +S △CDF ，∴S菱形ABCO＝2（S △DFO +S △CDF ）＝2S△CDO＝40，∴S △CDO ＝20；故答案为：20．17．（2020•义乌市期末）如图，正方形A 1B 1P 1P 2的顶点P 1、P 2在反比例函数y =2x（x ＞0）的图象上，顶点A 1、B 1分别在x 轴和y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P 2P 3A 2B 2，顶点P 3在反比例函数y =2x （x ＞0）的图象上，顶点A 2在x 轴的正半轴上，则P 2点的坐标为 （2，1） ，P 3的坐标为 （ √3+1，√3−1）． ．【解析】解：作P 1C ⊥y 轴于C ，P 2D ⊥x 轴于D ，P 3E ⊥x 轴于E ，P 3F ⊥P 2D 于F ，如图，设P 1（a ，2a ），则CP 1＝a ，OC =2a ，∵四边形A 1B 1P 1P 2为正方形，∴Rt △P 1B 1C ≌Rt △B 1A 1O ≌Rt △A 1P 2D ，∴OB 1＝P 1C ＝A 1D ＝a ，∴OA 1＝B 1C ＝P 2D =2a −a ，∴OD ＝a +2a −a =2a ，∴P 2的坐标为（ 2a，2a−a ），把P 2的坐标代入y =2x （x ＞0），得到（ 2a −a ）•2a=2，解得a ＝﹣1（舍）或a ＝1，∴P 2（2，1），设P 3的坐标为（b ，2b），又∵四边形P 2P 3A 2B 2为正方形，∴P 2P 3＝P 3A 2，∠P 3EA 2＝∠P 2FP 3，∴Rt △P 2P 3F ≌Rt △A 2P 3E ，∴P 3E ＝P 3F ＝DE =2b ，∴OE ＝OD +DE ＝2+2b ，∴2+2b =b ，解得b ＝1−√3（舍），b ＝1+√3，∴2b =1+√3=√3−1，∴点P 3的坐标为 （√3+1，√3−1）． 故答案为：（2，1），（√3+1，√3−1）．18．（2020•江岸区校级月考）如图，A （−12，0），B （−52，3），∠BAC ＝90°，C 在y 轴的正半轴上． （1）求出C 点坐标；（2）将线段AB 沿射线AC 向上平移至第一象限，得线段DE ，若D 、E 两点均在双曲线y =kx 上， ①求k 的值；②直接写出线段AB 扫过的面积．【解析】解：（1）过点B 作BH ⊥x 轴于点H ，∴∠BHA ＝∠BAC ＝∠AOC ＝90°∴∠B +∠BAH ＝∠BAH +∠OAC ＝90°∴∠B ＝∠OAC ∴△BAH ∽△ACO ∴BH AO=AH CO∵A （−12，0），B （−52，3）∴OA =12，OH =52，BH ＝3∴AH ＝OH ﹣OA =52−12=2∴CO =AO⋅AH BH =12×23=13∴点C 坐标为（0，13）（2）①∵线段AB 沿射线AC 向上平移至第一象限∴点A 对应点D 在直线AC 上，AD ∥BE ，∴x D ﹣x E ＝x A ﹣x B ＝2，y E ﹣y D ＝y B ﹣y A ＝3 设直线AC 解析式为：y ＝ax +b {−12a +b =00+b =13解得：{a =23b =13∴直线AC 解析式为：y =23x +13设点D 坐标为（d ，23d +13），则x E ＝x D ﹣2＝d ﹣2，y E ＝y D +3=23d +13+3=23d +103即点E （d ﹣2，23d +103）∵点D 、E 在函数y =k x 图象上（k ＞0）∴k =d(23d +13)=(d −2)(23d +103)解得：d ＝4∴k ＝4×（23×4+13）＝12②∵A （−12，0），B （−52，3），D （4，3）∴AB =√[−12−(−52)]2+32=√13，AD =√[4−(−12)]2+32=3√132∵AB ∥DE ，AD ∥BE ∴四边形ABED 是平行四边形∵∠BAC ＝90°∴▱ABED 是矩形∴S 矩形ABED ＝AB •AD =√13×3√132=392∴线段AB 扫过的面积为392。
(必考题)初中数学九年级数学上册第六单元《反比例函数》测试卷(含答案解析)(2)
一、选择题1．如图，点A 、B 是双曲线3y x =上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，若1S =阴影，则12S S +=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A【分析】 先根据反比例函数系数k 的几何意义得S 1+S 阴影及S 2+S 阴影的值，进而可得出S 1+S 2的值．【详解】解：∵点A 、B 是双曲线3y x=上的点， ∴S 1+S 阴影=S 2+S 阴影=3，∵S 阴影=1∴S 1=S 2=3-S 阴影=3-1=2，∴12224S S +=+=．故选A ．【点睛】本题考查反比例函数系数k 的几何意义，是常考点，需要学生熟练掌握．2．如图，正比例函数y ＝kx 与反比例函数y ＝﹣8x相交于A ，C 两点，过点A 作x 轴的垂线交x 轴于B 点，连接BC ，则△ABC 的面积等于（ ）A ．4B ．8C ．12D ．16【答案】B【分析】设A 点坐标为（8,a a -），则C 点坐标为（8,a a-），利用坐标求面积即可． 【详解】 解：∵正比例函数y ＝kx 与反比例函数y ＝﹣8x相交于A ，C 两点， ∴A ，C 两点关于原点对称，设A 点坐标为（8,a a -），则C 点坐标为（8,a a -）， S △ABC =18()82a a a-⨯--⨯=， 故选：B ．【点睛】 本题考查了反比例函数k 的几何意义和对称性，解题关键是通过设坐标求三角形面积． 3．如图，边长为10的正方形ABCD 中，点E 在CB 延长线上，连接ED 交AB 于点,(28),F AF x x EC y =≤≤=．则在下面函数图象中，大致能反映y 与x 之闻函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】通过相似三角形EFB EDC 的对应边成比例列出比例式101010x y y-=-，从而得到y 与x 之间函数关系式，从而推知该函数图象．【详解】解：根据题意知，10BF x =-，10BE y =-，∵四边形ABCD 是正方形，//AD BC则EFBEDC ， ∴BF BE DC EC=，即101010x y y -=- 所以100y x=()28x ≤≤，该函数图象是位于第一象限的双曲线的一部分． A 、D 的图象都是直线的一部分，B 的图象是抛物线的一部分，C 的图象是双曲线的一部分．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，熟悉相关性质是解题的关键．4．下列说法正确的是（ ）A ．对角线垂直的平行四边形是矩形B ．方程x 2+4x+16＝0有两个相等的实数根C ．抛物线y ＝﹣x 2+2x+3的顶点为（1，4）D ．函数2y x =-，y 随x 的增大而增大 【答案】C【分析】根据矩形的判定方法、一元二次方程的解、二次函数的性质及反比例函数的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A 、对角线垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，不符合题意；B 、方程x 2+4x+16＝0没有实数根，故说法错误，不符合题意；C 、抛物线y ＝﹣x 2+2x+3的顶点为（1，4），正确，符合题意；D 、函数y ＝﹣2x，在每一象限内y 随x 的增大而增大，错误，不符合题意， 故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的判定方法、一元二次方程的解、二次函数的性质及反比例函数的性质，属于基础题，解题的关键是了解有关的定义及性质，难度不大．5．如图，反比例函数y=k x（k 为常数，k≠0）的图象经过点A ，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为B ．若△AOB 的面积为2，则k 的值为（ ）A ．2B ．-2C ．4D ．-4【答案】C【分析】 根据AB ⊥x 轴，垂足为B ．若△AOB 的面积为2，得到22k=，解之即可得到答案．∵AB ⊥x 轴，垂足为B ．若△AOB 的面积为2， ∴22k=,∴k=±4，∵反比例函数图象在第一象限，∴k=4，故选：C ．【点睛】此题考查反比例函数比例系数k 的几何意义，掌握此类问题的解题方法是解题的关键．6．若点()()()123,1,,2,,3A x B x C x --在反比例函数21k y x+=的图象上，则123,,x x x 的大小关系是（ ）A ．123x x x <<B ．231x x x <<C ．312x x x <<D ．213x x x <<【答案】B【分析】不论k 取何值，2k +1恒为正数，图像分布在一、三象限，根据反比例函数图像性质求解即可.【详解】∵不论k 取何值，2k +1恒为正数， ∴反比例函数21k y x+=的图象分布在第一、第三象限， ∵点()()()123,1,,2,,3A x B x C x --在反比例函数21k y x+=的图象上， ∴1x ＞0，∴230x x <<，∴231x x x <<，故选B.【点睛】本题考查了反比例函数图像的性质，解答时，熟记性质是解题的关键.7．如图，在平面直角坐标系内，正方形OABC 的顶点A ，B 在第一象限内，且点A ，B 在反比例函数()k y k 0x=≠的图象上，点C 在第四象限内.其中，点A 的纵坐标为4，则k 的值为（ ）A ．434B ．454C ．838D ．858【答案】D【分析】 作AE ⊥x 轴于E ，BF ∥x 轴，交AE 于F ，根据图象上点的坐标特征得出A （4k ，4），证得△AOE ≌△BAF （AAS ），得出OE=AF ，AE=BF ，即可得到B(44k +，44k -)，根据系数k 的几何意义得到k=4444k k ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭解得即可． 【详解】解：作AE ⊥x 轴于E ，BF//x 轴，交AE 于F ，∵∠OAE+∠BAF ＝90°＝∠OAE+∠AOE ，∴∠BAF ＝∠AOE ，在△AOE 和△BAF 中， AOE BAF AEO BFA 90OA AB ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴△AOE ≌△BAF （AAS ），∴OE ＝AF ，AE ＝BF ，∵点A ，B 在反比例函数y ＝k x （k≠0）的图象上，点A 的纵坐标为4， ∴A （4k ，4）， ∴ B(44k +，44k -)， ∴k ＝4444k k ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 解得k ＝﹣5∴k ＝58，故选择：D ．．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，反比例函数的图象与性质，关键是构造全等三角形．8．已知点()()121,,2,A y B y -在双曲线a y x =-上，则12,y y 的大小关系是（ ） A ．12y y >B ．12y y <C ．12y y =D ．无法判断 【答案】D【分析】根据反比例函数的性质和图像上点的坐标特征即可判断．【详解】∵当-a ＜0时，双曲线在二，四象限，则点A 在第二象限，y 1＞0，点B 在第四象限，y 2＜0，∴y 1＞y 2，∵∵当-a ＞0时，双曲线在一，三象限，则点A 在第三象限，y 1＜0，点B 在第一象限，y 2＞0，∴y 1＜y 2，综上所述，无法判断12,y y 的大小关系．故选D ．【点睛】本题主要考查反比例函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数的比例系数的意义，是解题的关键．9．如图，双曲线k y x=经过点(2,4)A 与点(4,)B m ，则AOB 的面积为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，把点A（2，4）代入双曲线kyx=确定k的值，再把点B（4，m）代入双曲线kyx=，确定点B的坐标，根据S△AOB＝S△AOC＋S梯形ABDC−S△BOD和三角形的面积公式与梯形的面积公式进行计算即可．【详解】过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，如图，∵双曲线kyx=经过点A（2，4），∴k＝2×4＝8，而点B（4，m）在8yx=上，∴4m＝8，解得m＝2，即B点坐标为（4，2），∴S△AOB＝S△AOC＋S梯形ABDC－S△BOD＝12OC•AC＋12×（AC＋BD）×CD−12OD×BD＝12×2×4＋1 2×（4＋2）×（4−2）−12×4×2＝4＋6－4＝6．故选：D．【点睛】本题考查了点在图象上，点的横纵坐标满足图象的解析式；也考查了利用坐标表示线段的长以及利用规则的几何图形的面积的和差计算不规则的图形面积．10．如图，反比例函数(0)k y x x=>的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别与AB ，BC 交于点D ，E ，若四边形ODBE 的面积为6，则OAD △的面积为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】 根据k 的几何意，用k 表示出COE 与OAD △的面积，据反比例函数过点M 用k 表示出矩形OABC 的面积，最后由四边形ODBE 的面积为6列关于k 的方程，可以求得k 的值，从而可以求得OAD △的面积，本题得以解决．【详解】解：设OA a =，OC b =，点M 矩形OABC 对角线的交点， ∴点,22a b M ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 反比例函数(0)k y x x=>的图象经过点M 22b k a =，得4=ab k ，又四边形ODBE 的面积为6，COE 的面积与OAD △的面积都是2k ， 6422k k ab k ∴++==， 解得，2k =，OAD ∴的面积是1，故选：A ．【点睛】本题考查反比例函数系数k 的几何意义，属于中档题．其关键是运用k 的几何意义表示出相关图形面积．11．已知反比例函数6yx=-，下列说法中正确的是（）A．该函数的图象分布在第一、三象限B．点()2,3在该函数图象上C．y随x的增大而增大D．该图象关于原点成中心对称【答案】D【分析】根据反比例函数的解析式得出函数的图象在第二、四象限，函数的图象在每个象限内，y 随x的增大而增大，再逐个判断即可．【详解】解：A．∵反比例函数6yx=-中-6＜0，∴该函数的图象在第二、四象限，故本选项不符合题意；B．把（2，3）代入6yx=-得：左边=3，右边=-3，左边≠右边，所以点（2，3）不在该函数的图象上，故本选项不符合题意；C．∵反比例函数6yx=-中-6＜0，∴函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，故本选项不符合题意；D．反比例函数6yx=-的图象在第二、四象限，并且图象关于原点成中心对称，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键．12．函数kyx=与y kx k=-（k为常数且0k≠）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C ．D ．【答案】C【分析】分k ＞0和k ＜0两种情况，分别判断反比例函数()0k y k x=≠ 的图象所在象限及一次函数y kx k =-的图象经过的象限．再对照四个选项即可得出结论．【详解】当k ＞0时， -k ＜0，∴反比例函数k y x =的图象在第一、三象限，一次函数y kx k =-的图象经过第一、三、四象限；当k ＜0时， -k ＞0，∴反比例函数k y x=的图象在第二、四象限，一次函数y kx k =-的图象经过第二、三、四象限．故选：C ．【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质以及一次函数图象与性质，熟练掌握两种函数的性质并分情况讨论是解题的关键．二、填空题13．如图，菱形OABC 的顶点O 在原点，A 点坐标为（4，0），反比例函数y=k x（k≠0）的图像经过AC 、BO 的交点D ，且与AB 边交于点E ，连接OE 交AD 于点F ，若F 恰为AD 中点，则k=______________；14．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点A 、D 分别在x 轴、y 轴上，对角线BD //x 轴，反比例函数y ＝k x （k ＞0，x ＞0）的图象经过矩形对角线的交点E ．若点A （2，0）、D （0，4），则反比例函数的解析式为_____．15．如果反比例函数y ＝k x的图象经过点(2,3)，那么直线y ＝kx 一定经过点（2，____）． 16．如图，直线AB 交x 轴，y 轴于点A 、B ，交反比例函数()0k y x x =>于点C ，已知点B 是AC 的中点，若ABO 的面积是1，则k =______．17．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的边OA 在x 轴的正半轴上，反比例函数(0)k y x x=>的图象经过对角线OB 的中点Ｄ和顶点C ．若菱形OABC 的面积为63，则k =____18．分别以矩形OABC 的边OA ，OC 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，点B 的坐标是(4，2)，将矩形OABC 折叠使点B 落在G(3，0)上，折痕为EF ，若反比例函数k y x =的图象恰好经过点E ，则k 的值为_______．19．反比例函数y ＝k x（x ＜0）的图象如图所示，下列关于该函数图象的四个结论：①k ＞0；②当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；③该函数图象关于直线y ＝﹣x 对称；④若点（﹣2，3）在该反比例函数图象上，则点（﹣1，6）也在该函数的图象上．其中正确结论的个数有_____个．20．反比例函数()0k y k x=>在第一象限内的图象如图，点M 是图象上一点，MP 垂直x 轴于点P ，如果MOP ∆的面积为4，那么k 的值是__________．三、解答题21．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 是一次函数和反比例函数图象的两个交点，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．（1）在图①中，画出一个平行四边形，使点A ，B 都是该平行四边形的顶点； （2）在图②中，画出一个菱形，使点A 在该菱形一边所在的直线上．22．已知一次函数()0y kx n k =+≠与反比例函数m y (m 0)x=≠的图象交于点(,2)A a ，()1,3B ．（1）求这两个函效的表达式；（2）直接写出关于x 的不等式m kx n x+≤的解； （3）若点1(2,)P h y -在一次函数y kx n =+的图象上，若点()22,Q h y -在反比例函数m y x=的图象上，12h <，请比较1y 与2y 的大小． 23．如图，一次函数y ＝k 1x +b 的图象与反比例函数y ＝2k x （x ＜0）的图象相交于点A （﹣1，2）、点B （﹣4，n ）．（1）求此一次函数和反比例函数的表达式；（2）求△AOB 的面积；（3）若点H （﹣12，h ）也在双曲线上，那么在y 轴上存在一点P ，使得|PB ﹣PH |的差最大，求出点P 的坐标．24．如图，直线y x b =+与双曲线()0k y k x=≠交于A 、B 两点，且点A 的坐标为()2,3．（1）求双曲线与直线的解析式；（2）求点B 的坐标；（3）若k x b x+>，直接写出x 的取值范围．25．已知一次函数223y x =+的图象分别与坐标轴相交于A 、B 两点（如图所示），与反比例函数()0k y x x=>的图象相交于C 点．（1）直接写出A 、B 两点的坐标；（2）作CD x ⊥轴，垂足为D ，如果OB 是ACD △的中位线，求反比例函数()0k y k x=>的关系式． （3）请根据图象直接写出在第一象限内，反比例函数值大于一次函数值时自变量x 的取值范围．26．李师傅驾驶出租车匀速地从南昌市送客到昌北国际机场，全程约30km ，设小汽车的行驶时间为t （单位：h ），行使速度为v （单位：km/h ），且全程速度限定为不超过100km/h ．（1）求v 关于t 的函数关系式；（2）李师傅上午7点驾驶出租车从南昌市出发，在20分钟后将乘客送到了昌北国际机场，求小汽车行驶速度v ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．无2．无3．无4．无5．无6．无7．无8．无9．无10．无11．无12．无二、填空题13．【分析】利用菱形的性质可知D 为OB 的中点设可分别表示F 和B 点从而可表示出直线OE 和直线AB 的解析式联立可求得a 的值即可表示D 点坐标在Rt △OAD 中利用勾股定理即可求得k 【详解】解：∵四边形OABC 为 解析：12825【分析】 利用菱形的性质可知D 为OB 的中点，设(,)kD a a ，可分别表示F 和B 点，从而可表示出直线OE 和直线AB 的解析式，联立可求得a 的值，即可表示D 点坐标，在Rt △OAD 中利用勾股定理即可求得k ．【详解】解：∵四边形OABC 为菱形，∴AC ⊥OB ，2OB OD ， 设(,)k D a a ，则2(2,)k B a a， ∵A （4,0），F 为AD 中点，∴4(,)22a k F a+， ∴直线OE 的解析式为：242(4)k aa k y x x a a +==+， 直线AB 的解析式为：2(4)(4)24(2)k a k y x x a a a =-=---， 联立得(4)(4)(2)k y x a a k y x a a ⎧=⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩，解得2(4)323x a k y a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴22((4),)33k E a a+， ∴223(4)3k k a a =+，解得165a =， ∴165(,)516k D ， 在Rt △OAD 中，根据勾股定理222OD AD OA +=, 即2222165165()()(4)()16516516k k ++-+=，解得12825k =±， ∵题中反比例函数图象在第一象限， ∴12825k =， 故答案为：12825． 【点睛】本题考查反比例函数综合，菱形的性质．本题较难，在解题过程中需掌握中点坐标公式和两点之间距离公式．14．【分析】根据平行于x 轴的直线上任意两点纵坐标相同可设B （x4）利用矩形的性质得出E 为BD 中点∠DAB ＝90°根据线段中点坐标公式得出E （x4）由勾股定理得出AD2+AB2＝BD2列出方程求出x 得到E 解析：20y x =【分析】根据平行于x 轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设B （x ，4）．利用矩形的性质得出E 为BD 中点，∠DAB ＝90°．根据线段中点坐标公式得出E （12x ，4）．由勾股定理得出AD 2+AB 2＝BD 2，列出方程求出x ，得到E 点坐标，即可求得反比例函数的解析式．【详解】解：∵BD ∥x 轴，D （0，4），∴B 、D 两点纵坐标相同，都为4，∴可设B （x ，4）．∵矩形ABCD 的对角线的交点为E ，∴E 为BD 中点，∠DAB ＝90°．∴E （12x ，4）． ∵∠DAB ＝90°，∴AD 2+AB 2＝BD 2，∵A （2，0），D （0，4），B （x ，4），∴22+42+（x ﹣2）2+42＝x 2，解得：x ＝10，∴E （5，4）．∵反比例函数y ＝k x （k ＞0，x ＞0）的图象经过点E ， ∴k ＝5×4＝20，∴反比例函数的解析式为：y ＝20x 故答案为：y ＝20x． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，线段中点坐标公式等知识，求出E 点坐标是解题的关键． 15．【分析】将点()代入反比例函数中求得进而可求出直线解析式为将代入直线解析式即可求出其纵坐标【详解】反比例函数图像经过点()直线的解析式为：当时直线一定经过点()故答案为：【点睛】本意考查了反比例函数解析：【分析】将点(代入反比例函数k y x=中，求得k =y =，将2x =代入直线解析式，即可求出其纵坐标．【详解】反比例函数图像经过点(， ∴2=k ∴=∴直线y kx =的解析式为：y =，∴当2x =时，43y ，∴直线y kx =一定经过点(2,43)，故答案为：43．【点睛】本意考查了反比例函数图像上点的坐标特征和性质，反比例函数()0k y k x=≠的图像上的点的横纵坐标乘积为常数k ，同时也考查了一次函数图像上点的坐标特征． 16．4【分析】通过作辅助线利用平行线等分线段定理得出OA=OD 进而得出CD=2OB 由△AOB 的面积是1表示出△COD 的面积进而求出k 的值【详解】解：过点C 作CD ⊥x 轴垂足为D 连接OC ∵OB ∥CDAB=B解析：4【分析】通过作辅助线，利用平行线等分线段定理，得出OA=OD ，进而得出CD=2OB ，由△AOB 的面积是1，表示出△COD 的面积，进而求出k 的值．【详解】解：过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为D ，连接OC ，∵OB ∥CD ，AB=BC ，∴OA=OD ，CD=2OB ，∵S △AOB =1，∴OA•OB=2，∴S △OCD =12OD•CD=12OA×2OB=2=12|k|， ∴k=4，k=-4（舍去），故答案为：4．【点睛】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数k 的几何意义是解决问题的关键．17．【分析】根据题意可以设出点C 和点A 的坐标然后利用反比例函数的性质和菱形的性质即可求得k 的值本题得以解决【详解】解：设点A 的坐标为（a0）点C 的坐标为（c ）则a•＝点D 的坐标为（）∴解得k ＝故答案为： 解析： 23【分析】根据题意，可以设出点C和点A的坐标，然后利用反比例函数的性质和菱形的性质即可求得k的值，本题得以解决．【详解】解：设点A的坐标为（a，0），点C的坐标为（c，kc），则a•k c＝63，点D的坐标为（,22a c kc+），∴•6322kack ka cc⎧⎪⎪⎨=⎪+⎪⎩＝解得，k＝23，故答案为：23．【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义、反比例函数的性质、菱形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．18．3【分析】设CE的长为a利用折叠的性质得到EG=BE=4-aED=3-a在Rt△EGD中利用勾股定理可求得a的值得到点E的坐标即可求解【详解】过G 作GD⊥BC于D则点D(32)设CE的长为a根据折叠解析：3【分析】设CE的长为a，利用折叠的性质得到EG=BE=4-a，ED=3-a，在Rt△EGD中，利用勾股定理可求得a的值，得到点E的坐标，即可求解．【详解】过G作GD⊥BC于D，则点D(3，2)，设CE的长为a，根据折叠的性质知：EG=BE=4-a，ED=3-a，在Rt△EGD中，222EG ED DG=+，∴()()2224a3a2-=-+，解得：32a=，∴点E 的坐标为(32，2)， ∵反比例函数k y x =的图象恰好经过点E ， ∴3232k xy ==⨯=， 故答案为：3．【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理的应用，反比例函数图象上点的特征，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．19．3【分析】观察反比例函数y ＝（x ＜0）的图象可得图象过第二象限可得k ＜0然后根据反比例函数的图象和性质即可进行判断【详解】观察反比例函数y ＝（x ＜0）的图象可知：图象过第二象限∴k ＜0所以①错误；因解析：3【分析】观察反比例函数y ＝k x（x ＜0）的图象可得，图象过第二象限，可得k ＜0，然后根据反比例函数的图象和性质即可进行判断．【详解】 观察反比例函数y ＝k x（x ＜0）的图象可知：图象过第二象限，∴k ＜0，所以①错误； 因为当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，所以②正确；因为该函数图象关于直线y ＝﹣x 对称，所以③正确； 因为点（﹣2，3）在该反比例函数图象上，所以k ＝﹣6，则点（﹣1，6）也在该函数的图象上，所以④正确．所以其中正确结论的个数为3个．故答案为：3．【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握图象和性质是解题的关键．20．8【分析】利用反比例函数k 的几何意义得到|k|=4然后利用反比例函数的性质确定k 的值【详解】解：∵△MOP 的面积为4∴|k|=4∴|k|=8∵反比例函数图象的一支在第一象限∴k ＞0∴k=8故答案为：解析：8【分析】利用反比例函数k 的几何意义得到12|k |=4，然后利用反比例函数的性质确定k 的值． 【详解】解：∵△MOP 的面积为4，∴12|k |=4， ∴|k |=8，∵反比例函数图象的一支在第一象限，∴k ＞0，∴k =8，故答案为：8．【点睛】本题考查了比例系数k 的几何意义：在反比例函数y =k x图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k |．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k |，且保持不变．也考查了反比例函数的性质．三、解答题21．（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）根据平行四边形的性质对角线互相平分即可得出；（2）根据菱形的性质对角线垂直平分即可得出．【详解】解：（1）连接BO 并延长交反比例函数的第二象限的线于点1B ；连接AO 并延长交反比例函数的第二象限的线于点1A ；根据反比例函数图象性质，两条曲线关于原点中心对称，故1OB OB =,1OA OA =, 因为两条直线互相平分，故四边形11ABA B 为平行四边形；（2）如图，四边形CDEF 为菱形；【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质及平行四边形的判定及性质、菱形的判定及性质，熟练掌握性质是解题的关键．22．（1）3y x =，25y x =-+；（2）01x <或32x ；（3）21y y > 【分析】（1）先把B 点坐标代入m y (m 0)x =≠求出m 得到反比例函数解析式，再通过反比例函数解析式确定A 点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；（2）大致画出两函数图象，利用函数图象，写出反比例函数在一次函数上方（含交点）所对应的自变量的范围得到不等式m kx nx +的解集； （3）利用12h <得到322h ->，然后利用函数图象得到1y 与2y 的大小． 【详解】解：（1）把()1,3B 代入m y (m 0)x =≠得133m =⨯=， ∴反比例函数解析式为3y x =，把(,2)A a 代入3y x =得23a =，解得32a =，则3(2A ，2)， 把3(2A ，2)，()1,3B 代入y kxb =+得3223k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得25k b =-⎧⎨=⎩， ∴一次函数解析式为25y x =-+； （2）由图可知：不等式m kx nx +的解集为01x <或32x ； （3）12h <， 322h ∴->， 21y y ∴>．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．23．（1）y ＝12x +52， y ＝﹣2x ；（2）S △AOB ＝154；（3）P （0，92）． 【分析】（1）把点A 的坐标代入反比例函数解析式求出m 的值，然后再把点B 的坐标代入反比例函数求出n 的值，从而求出点B 的坐标，再把A 、B 的坐标代入一次函数表达式，利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；（2）求得直线AB 与x 轴的交点，然后根据三角形的面积公式即可求解；（3）根据题意，P 点是直线BH 与y 轴的交点；【详解】（1）∵点A(﹣1，2)在反比例函数图象上， ∴21k -＝2， 解得k 2＝﹣2， ∴反比例函数的解析式是y ＝﹣2x ， ∵点B(﹣4，n)在反比例函数图象上，∴n ＝21=42-- ， ∴点B 的坐标是(﹣4，12)， ∵一次函数1y k x b =+的图象经过点A(﹣1，2)、点B(﹣4，12)． ∴112142k b k b -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩解得11252k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ． ∴一次函数解析式是1522y x =+ ； （2）设直线AB 与x 轴的交点为C ， 1522y x =+中，令y ＝0，则x ＝﹣5， ∴直线与x 轴的交点C 为(﹣5，0)， ∴S △AOB ＝S △AOC ﹣S △BOC 11115=525=2224⨯⨯-⨯⨯ ； （3）∵点H(﹣12，h)也在双曲线上， ∴2=412h =--， ∴H(﹣12，4)， ∵在y 轴上存在一点P ，使得|PB ﹣PH|最大，∴P 点是直线BH 与y 轴的交点，设直线BH 的解析式为y ＝kx+m ，∴142142k m k m ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ ，解得192k m =⎧⎪⎨=⎪⎩ ， ∴直线BH 的解析式为y ＝x+92， 令x ＝0，则y ＝92， ∴P(0，92)．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，三角形面积，会利用待定系数法求一次函数解析式；运用两点之间线段最短解决最短路径问题是解题的关键；24．（1）6y x =，1y x =+；（2）（-3，-2）；（3）30x -<<或2x >； 【分析】（1）把A 的坐标代入一次函数与反比例函数的解析式即可求出解析式；（2）把一次函数与反比例函数的解析式联立得出方程组，求出方程组的解即可； （3）根据A 、B 的坐标结合图象即可得出答案．【详解】解：（1）∵点A （2，3）在双曲线k y x =上，也在直线y x b =+上， ∴326k =⨯=，321b =-=；∴双曲线的解析式为6y x=， 直线的解析式为1y x =+； （2）∵点B 是直线1y x =+和双曲线6y x =的交点， ∴点B 的坐标是方程组16y x y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩的一个解； ∴1123x y =⎧⎨=⎩，2232x y =-⎧⎨=-⎩； ∴点B 的坐标为（-3，-2）；（3）由图象可知，若k x b x+>，则x 的范围是：-3＜x ＜0或x ＞2． ．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的解析式，用待定系数法求出一次函数的解析式，函数与不等式等知识点的应用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力，用了数形结合思想．25．（1）()30A -,，()0,2B ；（2）()120y x x=>；（3）03x << 【分析】 （1）分别令一次函数解析式中y=0、x=0求出x 、y 的值，从而得出点A 、B 的坐标； （2）由A 、B 点的坐标结合中位线的性质，找出线段OD 、DC 的长度，从而找出点C 的坐标，再由点C 的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数的系数k ，从而得出结论；（3）观察函数图象，根据两函数图象的上下关系结合交点的坐标，即可得出结论．【详解】解：（1）令一次函数223y x =+中y=0，则23x+2=0， 解得：x=-3，∴点A 的坐标为（-3，0）； 令一次函数223y x =+中x=0，则y=2， ∴点B 的坐标为（0，2）； （2）∵OB 是ACD △的中位线，∴2224CD BO ==⨯=，3==OD OA ，∴C 点坐标()3,4，∴3412k =⨯=，∴反比例函数的关系式()120y x x=>． （3）由图象可知，当03x <<时，反比例函数值大于一次函数值．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数与一次函数的交点问题以及三角形中位线的性质，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例系数k 是关键．26．（1）30v t =（0.3t ≥）；（2）小汽车行驶速度v 是90km/h ． 【分析】（1）根据距离=速度×时间即可得v 关于t 的函数表达式，根据全程速度限定为不超过100/km h 可确定t 的取值范围；（2）把13t =代入（1）中关系式，即可求出速度v 的值. 【详解】（1）∵全程约30km ，小汽车的行驶时间为t ，行驶速度为v ，∴vt=30，∵全程速度限定为不超过100/km h ，全程约30km ，∴0.3t ≥，∴v 关于t 的函数表达式为：)30.3(0v t t=≥. （2）∵需在20分钟后到达昌北国际机场，20分钟13=小时， 将13t =代入30v t =得90v =， ∴小汽车行驶速度v 是90km/h .【点睛】 此题考查反比例函数的实际运用，掌握路程、时间、速度三者之间的关系是解题关键．。
反比例函数的比例系数K的几何意义(5.24)
A. 面积分别为S1 , S 2 , S 3 , 则有 __
A.S1 = S2 = S3 B. S1 < S2 < S3 C. S3 < S1 < S2 D. S1 > S2 >S3
y
S1 A S2 S3 B C
o
A1 B1 C1
x
简单应用
3 5.如图,点A,B是双曲线 y 上的点，过点A、 x
温故知新
k 如图，点P(3，2)在反比例函数 y 图像上 x 6 过P作PA⊥x轴，PB⊥y轴,则PA=______, 2 则K=_____,
6 3 PB=_______, S矩形OAPB=_______
y
3 S △ OAP=_______ 3 S △ OBP=_______ S △ ABP=_______ 3
简单应用
7.如图,A,B分别是双曲线 y
1
x
x
0 和y
k x 0 x
上的点，且OA⊥OB，OA=OB,则k= -1
y A
B
O
x
简单应用
8.如图，过y轴正半轴上的任意一点P，作x 轴的平行线，分别
4 2 与反比例函数y＝－ 和y＝ 图象交于点A和点B．若点C 是 x x
x轴上任意一点，连结AC、BC，则△ABC的面
P(3,2) A
B
o
x
简单应用
3 1.如图,点P是反比例函数 y x
图象上的一点,过点P分别向x轴、y轴 作垂线,则矩形ONPM的面积是 3
y 3 x
y
注意：无论矩形图像 在哪个象限，矩形面 积都为正。
P
N
o x
M
简单应用
第六章反比例函数及反比例函数k的几何意义专题训练北师大版2024—2025学年九年级上册
第六章反比例函数及反比例函数k的几何意义专题训练北师大版2024—2025学年九年级上册反比例函数比例系数k的几何意义（1）意义：从反比例函数y＝(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.（2）常见的面积类型：例1.如图，点P是反比例函数y＝（k≠0）的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，若△POM的面积等于3，则k的值等于（）A．﹣6B．6C．﹣3D．3变式1.如图，在▱AOBC中，对角线AB、OC交于点E，双曲线经过A、E两点，若▱AOBC的面积为18，则k的值是（）A．5B．6C．7D．8变式2.如图，平行于x轴的直线与函数y＝（k1＞0，x＞0），y＝（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点．若△ABC的面积为4，则k1﹣k2的值为（）A．8B．﹣8C．4D．﹣4变式3.如图，点P是反比例函数图象上的一点，PF⊥x轴于F点，且Rt△POF面积为4．则k的值为（）A．8B．﹣8C．﹣4D．4变式4.如图，点M是反比例函数y＝（x＜0）图象上一点，MN⊥y 轴于点N．若P为x轴上的一个动点，则△MNP的面积为（）A．2B．4C．6D．无法确定变式5.如图，点P是双曲线C：y＝（x＞0）上的一点，过点P作x轴的垂线交直线AB：y＝x﹣2于点Q，连接OP，OQ，当点P在曲线C上运动，且点P在Q上方时，△POQ面积的最大值为（）A．2B．3C．4D．6变式6．如图，已知点A为反比例函数y＝（x＜0）的图象上一点，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，若△OAB的面积为3，则k的值为（）A．3B．﹣3C．6D．﹣6变式7.关于x的反比例函数y＝的图象如图，A、P为该图象上的点，且关于原点成中心对称．△P AB中，PB∥y轴，AB∥x轴，PB 与AB相交于点B．若△P AB的面积大于12，则关于x的方程（a ﹣1）x2﹣x+＝0的根的情况是（）A．2个不相等的实数根B．2个相等的实数根C．1个实数根D．无实数根变式8.如图，两个反比例函数y1＝和y2＝在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，P A⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（）A．4B．2C．1D．6变式9.如图，若反比例函数的图象经过点A，AB⊥x轴于点B，C点是y轴上一点，且△ABC的面积4，则k的值为（）A．﹣8B．﹣4C．4D．8变式10.如图，反比例函数的图象经过矩形OABC的边AB的中点D，若矩形OABC的面积为6，则k的值为（）A．﹣3B．3C．﹣6D．6变式11.如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作AB ⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC 的面积为3，则k的值是（）A．3B．﹣6C．6D．﹣3变式12.下面四个图中反比例函数的表达式均为，则阴影部分的图形的面积为3的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个变式13.如图，将一块含30°角的三角板AOB按如图所示摆放在平面直角坐标系中，∠B＝60°，∠BAO＝90°，△AOB的面积为4，BO与x轴的夹角为30°，若反比例函数的图象经过点A，则k的值为（）A．3B．C．6D．9变式14.如图1，在△OAB中，∠AOB＝45°，点B的坐标为，点A在反比例函数的图象上，设△OAB的面积为S1；如图2，在△ABC中，AB＝AC，BC在x轴上，且OB：BC＝1：2，点A在反比例函数的图象上，设△ABC的面积为S2，则S1+S2的值为（）A．B．5C．D．变式15.如图，已知四边形OABC是矩形，边OA在x轴上，边OC在y轴上，双曲线过OB的中点E，且与边BC交于点D，若△DOE的面积为7.5，则k的值是（）A．5B．10C．15D．变式16.如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一点，AB垂直于x轴，垂足为B，△OAB的面积为8．若点P（a，4）也在此函数的图象上，则a的值是（）A．2B．﹣2C．4D．﹣4变式17.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在y、x 轴上，BC⊥x轴，点M、N分别在线段BC、AC上，BM＝CM，NC＝2AN，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过M、N两点，P为x轴正半轴上一点，且OP：BP＝1：4，△APN的面积为3，则k的值为（）A．B．C．D．变式18.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD与y轴分别交于E、F两点，对角线BD在x轴上，反比例函数的图象过点A并交AD于点G，连接DF．若BE：AE＝1：2，AG：GD＝3：2，且△FCD的面积为，则k的值是（）A．B．3C．D．5变式19.如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的边与函数y＝（x＞0）图象交于E，F两点，且F是BC的中点，则四边形ACFE的面积等于（）A．4B．6C．8D．不能确定例2.如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，它的对角线OB与函数的图象相交于点D，且，若矩形OABC的面积为24，则k的值是．变式1.如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点P是▱ABCO对角线OB的中点，反比例函数的图象经过点A，点P．若▱ABCO的面积为30，且y轴将▱ABCO的面积分为1：3，则k的值为．变式2.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，延长AB交y轴于点C，过点A作AD⊥y轴于点D，连接BD并延长，交x轴于点E，连接CE．若AB＝2BC，△BCE的面积是4.5，则k的值为．变式3.如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰Rt△OAB，∠B＝90°，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限内，反比例函数y＝的图象与AB交于点C，连接OC，若BC＝2AC，△OBC的面积为6，则k的值为．变式4.如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以OA，OC为边，在第一象限内作矩形OABC，且S矩形OABC＝8，将矩形OABC翻折，使点B与原点O重合，折痕为MN，点C的对应点C'落在第四象限，过M点的反比例函数y＝（k ≠0）的图象恰好过MN的中点，则点C'的坐标为．变式5.如图，在平面直角坐标系中，点A、C在y轴上，且，点B（﹣2，0）在x轴上，将△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到△AB'C′，线段AB′与双曲线交于点D，连接B′C、C′C，当点D为AB′中点，且S△B'CC′＝6时，则k的值是．变式6.如图，在△AOB中，OC平分∠AOB，＝，反比例函数y＝（k＜0）图象经过点A、C两点，点B在x轴上，若△AOB的面积为9，则k的值为．变式7.如图，点A，B，C，D是菱形的四个顶点，其中点A，D在反比例函数y＝（m＞0，x＞0）的图象上，点B，C在反比例函数y＝（n＜0）的图象上，且点B，C关于原点成中心对称，点A，C的横坐标相等，则的值为；过点A作AE∥x轴交反比例函数y＝（n＜0）的图象于点E，连结ED并延长交x轴于点F，连结OD．若S△DOF＝7，则m的值为．变式8.如图，A（a，b）、B（﹣a，﹣b）是反比例函数y＝的图象上的两点，分别过点A、B作y轴的平行线，与反比例函数y＝的图象交于点C、D，若四边形ACBD的面积是8，则m、n之间的关系是．变式9.如图，平面直角坐标系xOy中，Rt△ABO的斜边BO在x轴正半轴上，OB＝5，反比例函数y＝（x＞0）的图象过点A，与AB边交于点C，且AC＝3BC，则a的值为，射线OA，射线OC分别交反比例函数y＝（b＞a＞0）的图象于点D，E，连接DE，DC，若△DEC的面积为45，则b的值为．变式10.如图，点A、B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，延长AB交x轴于C点，若△AOC的面积是12，且点B是AC的中点，则k＝．变式11.如图，菱形ABCD中，∠ABC＝120°，顶点A，C在双曲线上，顶点B，D在双曲线上，且BD经过点O．若k1+k2＝2，则菱形ABCD面积的最小值是．变式12.如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A、C恰好落在双曲线上，且点O在AC上，AD交x轴于点E．①当A点坐标为（1，m）时，D点的坐标为；②当CE平分∠ACD时，正方形ABCD的面积为．例3.如图，O为坐标原点，点A（﹣1，5）和点B（m，﹣1）均在反比例函数图象上（1）求m，k的值；（2）当x满足什么条件时，﹣x+4＞﹣；（3）P为y轴上一点，若△ABP的面积是△ABO面积的2倍，直接写出点P的坐标．变式1.已知点A（a，ma+2）、B（b，mb+2）是反比例函数y＝图象上的两个点，且a＞0，b＜0，m＞0．（1）求证：a+b＝﹣；（2）若OA2+OB2＝2a2+2b2，求m的值；（3）若S△OAB＝3S△OCD，求km的值．变式2.如图，双曲线y＝上的一点A（m，n），其中n＞m＞0，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA．（1）已知△AOB的面积是3，求k的值；（2）将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△ACD，且点O的对应点C恰好落在该双曲线上，求的值．。
反比例函数k的几何意义练习题
反比例函数选填常见题型一．填空题（共30小题）1．如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为．2．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象交矩形OABC的边AB于点D，交边BC于点E，且BE=2EC．若四边形ODBE的面积为6，则k=．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，OC是△OAB的中线，点B，C在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则△OAB的面积等于．4．如图，已知点A在反比例函数y=（x＜0）上，作Rt△ABC，点D为斜边AC的中点，连DB并延长交y轴于点E．若△BCE的面积为8，则k=．5．如图，点A1，A2依次在y=（x＞0）的图象上，点B1，B2依次在x轴的正半轴上．若△A1OB1，△A2B1B2均为等边三角形，则点B2的坐标为．6．如图，若双曲线y=（k＞0）与边长为3的等边△AOB（O为坐标原点）的边OA、AB分别交于C、D两点，且OC=2BD，则k的值为．7．如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y=的图象上，若点A的坐标为（﹣2，﹣2），则k的值为．8．如图，正比例函数y=kx与反比例函数的图象相交于点A、B，过B作x 轴的垂线交x轴于点C，连接AC，则△ABC的面积是．9．如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数y=在第一象限的图象经过点B．若OA2﹣AB2=12，则k的值为．10．如图，两个反比例函数y=和y=在第一象限的图象如图所示，当P在y=的图象上，PC⊥x轴于点C，交y=的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y=的图象于点B，则四边形PAOB的面积为．11．如图，在函数y1=（x＜0）和y2=（x＞0）的图象上，分别有A、B两点，若AB∥x轴，交y轴于点C，且OA⊥OB，S△AOC=，S△BOC=，则线段AB的长度=．12．如图，已知双曲线y=（k＞0）经过Rt△OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C．点A在x轴上．若△DOC的面积为3，则k=．14．如图，在平面直角坐标系中，第一象限内的双曲线y=上有一点P，当点P沿射线OA的方向平移个单位时，其对应点P1恰好落在双曲线上；当点P 沿射线OB的方向平移个单位时，其对应点P2也恰好落在双曲线上，则k=．15．如图，己知直线y=ax+b过A（﹣1，6）与y=交于A点、B点，与y=交于E点，直线y=ax+b与x轴交于C点，且AB=2BC=BE，则k=．16．如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，点P（3a，a）是反比例函数y=（k＞0）的图象上与正方形的一个交点．若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为．17．如图，直线y=x﹣2与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在直线AB上，且点C的纵坐标为﹣1，点D在反比例函数y=的图象上，CD平行于y轴，S△OCD=，则k的值为．18．如图，一次函数y1=ax+b（a≠0）与反比例函数的图象交于A（1，4）、B（4，1）两点，若使y1＞y2，则x的取值范围是．19．如图，B、C分别在反比例函数与反比例函数的图象上，点A在x 轴上，且四边形OABC是平行四边形，则四边形OABC的面积为．20．如图，已知双曲线，，点P为双曲线上的一点，且PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，PA、PB分别依次交双曲线于D、C两点，则△PCD的面积为．21．如图，已知双曲线y=（k＞0）经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C．若△OBC的面积为3，则k=．22．如图，A、B是双曲线y=（k＞0）上的点，A、B两点的横坐标分别是a、2a，线段AB的延长线交x轴于点C，若S△AOC=6．则k=．23．如图所示，直线y=x+b交x轴A点，交y轴于B点，交双曲线于P点，连OP，则OP2﹣OA2=．24．如图，已知点A、B在双曲线y=（x＞0）上，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，AC与BD交于点P，P是AC的中点，若△ABP的面积为3，则k=．25如图，A、B是反比例函数与正比例函数的交点，AC⊥x轴于点C，则△ABC的面积是．26．如图，点A为反比例函数y=的图象上一点，B点在x轴上且OA=BA，则△AOB的面积为．27．如图，反比例函数y=在第一象限内的图象上有两个动点A、B，若AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M、N，且点M是ON的中点，则△APO的面积为．28．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线y=上，且AB∥x轴，C、D 在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为．29如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ODEF和四边形ABCD都是正方形，点F在x轴的正半轴上，点C在边DE上，反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象过点B，E．若AB=2，则k的值为．30. 如图，直线y=与双曲线y=（k＞0，x＞0）交于点A，将直线y= 向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线y=（k＞0，x＞0）交于点B，若OA=3BC，则k的值为（）31．如图，直线AB交双曲线于A、B，交x轴于点C，B为线段AC的中点，过点B作BM⊥x轴于M，连结OA．若OM=2MC，S△OAC=12．则k的值为．AOB=90°，∠B=30°．若点A在反第35题图33.如图，已知点A 是双曲线y=x2在第一象限的分支上的一个动点，连结AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为边作等边△ABC，点C 在第四象限．随着点A 的运动，点C 的位置也不断变化，但点C 始终在双曲线y=xk（k ＜0）上运动，则k 的值是34.如图所示，直线AB 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点A 的坐标为(3，0)，点B 的坐标为(0，4)，点P 为双曲线y ＝6x(x ＞0)上的一点，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线段PE 、PF ，当PE 、PF 分别与线段AB 交于点C 、D 时，AD·BC 的值为（ ）35、如图，OAC ∆和BAD ∆都是等腰直角三角形， 90=∠=∠ADB ACO ,反比例函数xky =在第二限的图象经过点B ，若1022=-AB OA ，则k 的值为________。
九年级数学上反比例函数专题技能训练(一)训练1反比例函数的比例系数k的几何意义习题湘教
8.如图，在平面直角坐标系中，过点M(－3，2)分别作x轴， y轴的垂线，与反比例函数y＝4x 的图象交于A，B两点，
则四边形MAOB的面积为___1_0____．
9．反比例函数 y＝1x和 y＝kx(k≠0)在第一象限内的图象如图，点 P 在 y＝kx的图象上，PC⊥x 轴，垂足为 C，交 y＝1x的图象于点 A，PD⊥y 轴，垂足为 D，交 y＝1x的图象于点 B.已知点 A(m， 1)为线段 PC 的中点．
∴CD＝OC－OD＝OC－BE＝4－1＝3， 3
∴S矩形ACDF＝1×3＝3，∴S△ACD＝ 2 .
【答案】32
12．如图，已知正方形OABC的面积为4，点O是坐标原点， 点的A图在象x上轴，上点，P点(mC，在ny轴)是上函，数点y＝B在kx 函(x>数0y，＝k>kx0(x)的>0图，象k>上0) 一点，且点P的横坐标大于点B的横坐标．过点P分别作x
于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，连接AD，已知AC＝
1，BE＝1，S矩形BDOE＝4，则S△ACD＝__________．
【点拨】如图，过点A作AH⊥x轴于点H，交BD于点F，则四边
形ACOH和四边形ACDF均为矩形．
∵S矩形BDOE＝4，反比例函数y＝
k x
(x＞0)的图象经过B点，
∴k＝4，∴S矩形ACOH＝4，∵AC＝1，∴OC＝4÷1＝4，
轴、y轴的垂线，垂足分别为E，F.若设矩形OEPF和正
方形OABC不重合部分的面积为S.
求当S>1时，m的取值范围．
解：∵正方形 OABC 的面积为 4，点 B 在函数 y＝kx(x＞0，k＞0) 的图象上，∴k＝4. ∴反比例函数的表达式为 y＝4x. ∵P(m，n)在 y＝4x的图象上，∴mn＝4，∴n＝m4 . ∵S＝AE·PE＋CB·CF，∴S＝(m－2)·n＋2(2－n)＝mn－2n＋4 －2n＝mn－4n＋4＝8－1m6. ∵S＞1，∴8－1m6>1，∴m＞176.
九年级数学上第27章反比例函数提分专项(八)反比例函数中k的几何意义的应用习题冀教
You made my day!
∴S△ADO∶S△BOE＝4∶1，∴S△BOE＝1，∴|k|＝2S△BOE＝2. ∵k＜0，∴k＝－2. 【答案】－2
5．【2021·河北保定安国一模改编】小亮在研究矩形的面积 S与矩形的边长x，y之间的关系时，得到如下表数据：
0. 1.
x
1
2 3 4 6 12
5
5
结果发现一个数据被墨水涂黑了．
1. 0. ((21))y被与墨x之水间涂的y黑函的数1数2关据系6为式_■_4为_____3；y_＝__6x2_(x_＞__0_5)__1____，5且y随x
∴S△BOD＝S△AOC＝12×6＝3， ∴S△AOB＝S 矩形 ODEC－S△AOC－S△BOD－S△ABE＝6n－3－3－12(n－ 1)(6－m)＝3n－12m. ∵△AOB 的面积为 8，∴3n－12m＝8，∴m＝6n－16. ∵mn＝6，∴3n2－8n－3＝0，解得 n＝3 或 n＝－13(舍去)， ∴m＝2，∴B(2，3)，
3．【2020·湖南永州】如图，正比例函数y＝－x与反比例 函数y＝－ 6x的图像交于A，C两点，过点A作AB⊥x轴 于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，则△ABD的面积为
___6_____．
4．如图，在平面直角坐标系中，过原点的直线与反比例函 数y＝－8x (x＜0)的图像交于点A，与反比例函数y＝ kx(k＜ 0，x＞0)的图像交于点B，过点A作x轴的垂线，过点B作
把x＝0代入y＝－
1 2
x＋4，得y＝4，∴P(0，4)．
提分专项 1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月20日星期日2022/3/202022/3/202022/3/20
2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/202022/3/202022/3/203/20/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/202022/3/20March 20, 2022
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反比例函数比例系数k的几何意义
反比例函数y= k/x (k≠0)中比例系数k的几何意义，即过双曲线y=k/x (k≠0)上任意一点引x轴、y轴垂线,
所得矩形面积为│k│
1、如图，反比例函数4
y
x
=-的图象与直线
1
3
y x
=-的交点为A，B，过点A作y轴的平行线与过点B作x轴的
平行线相交于点C，则ABC
△的面积为（）
A．8 B．6 C
2、如图，点A是y轴正半轴上的一个定点，点B是反比例函数y＝
2
x
(x＞0)图象上的一个动点，当点B的纵坐
标逐渐减小时，△OAB的面积将（）
A．逐渐增大B．逐渐减小C．不变D．先增大后减小
3、如图12，A、B是函数2
y
x
=的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥
x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，
则（）
A．2
S=B．4
S=C．24
S
<<D．4
S>
4、如图，已知双曲线)0
k(
x
k
y＞
=经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C．若△OBC
的面积为3，则k＝____________．
5、如图5所示，P1（x1，y1）、P2（x2，y2），……P n（x n，y n）在函数y=
x
9
x＞0）的图象上，△OP1A1，△P2A1A2，
△P3A2A3……△P n A n－1A n……都是等腰直角三角形，斜边OA1，A1A2……A n-1A n，都在x轴上，则y1+y2+…
y n= 。
6、如图，已知点A、B在双曲线
x
k
y=（x＞0）上，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，AC与BD交于点P，P
是AC的中点，若△ABP的面积为3，则k＝．
7、如图，在第一象限内,点P（2，3）,M()2,a是双曲线)0
(≠
=k
x
k
y上的两点,PA⊥x轴于点A,MB⊥x轴
于点B,PA与OM交于点C,则△OAC的面积为
8、如图，若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数
1
y
x
=（0
x>）的图象上，则点E的坐
标是（，）.
9、如图，点A、B是双曲线3
y
x
=上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若1
S=
阴影
，则
12
S S
+=．
10、如图，已知双曲线(0)
k
y k
x
=<经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若
点A的坐标为（6
-，4），则△AOC的面积为（）
A．12 B．9 C．6 D．4
11、如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，△ABP的面积为2，则这个
反比例函数的解析式为
12、如图，已知在直角梯形AOBC中，AC∥OB，CB⊥OB，OB＝18，BC＝12，AC＝9，对角线OC、AB交于点
D，点E、F、G分别是CD、BD、BC的中点．以O为原点，直线OB为x轴建立平面直角坐标系，则G、
E、D、F四个点中与点A在同一反比例函数图象上的是（A）
A．点G B．点E C．点D D．点F
13、已知点A在双曲线y=
6
x
上，且OA=4，过A作AC⊥x轴于C，OA的垂直平分线交OC于B．（1）则△AOC
的面积=，（2）△ABC的周长为
14、如图，一次函数y ax b
=+的图象与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数
k
y
x
=的图象相交于C，D
两点，分别过C，D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE．有下列四个结论：
①△CEF与△DEF的面积相等；②△AOB∽△FOE；
③△DCE≌△CDF；④AC BD
=．
（第11题）
第3题
第5题图第6题图
第8题图9题图
其中正确的结论是．（把你认为正确结论的序号都填上）。