独立点线面状波函数在动量空间中的干涉图象
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
论文安排如下：第 １ 节给出独立类点状波函数 在动量空间的干涉图像；第 ２ 节给出独立类线状波 函数在动量空间的干涉图像；第 ３ 节给出独立类面 状波函数在动量空间的干涉图像；最后进行讨论．
１ 独立类点状波函数在动量空间中的干涉 图像
１．１ 双点状波函数在动量空间中的干涉图像 设有一个粒子，仅在相距为 ａ 的两个点上非零．
１
Ｎ－１
（） （ ） ψ ｘ ＝
槡Ｎ
δ ｘ － ｎａ
ｎ＝０
（７）
动量表象的波函数为
１
（ ） ∫ （ ） ｃ ｋｘ ＝
∞
Ｎ－１
ｅ －ｉｘｋｘ
δ ｘ－ｎａ ｄｘ ＝
槡Ｎｈ －∞
ｎ＝０
槡 １
ｅ ＝ Ｎ － １ －ｉｎａｋ ｘ
Ｎｈ
ｎ＝０
槡 ( ) １ １－ｅ－ｉＮａｋｘ ＝ Ｎ ｈ １－ｅ－ｉａｋｘ
Ｎａｋｘ
１
∞
Ｎ１Ｎ２ ｈ －∞
∞
ｅ － ｉ( ｘｋ ｘ ＋ ｙｋ ｙ)
－∞
（ ， ） Ｎ１－１ ｎ１ ＝ ０
作者简介：赵军亚（１９９３—）女，河南驻马店人，新疆师范大学物理与电子工程学院物理系理论物理专业研究生．
通信作者：马晓栋， ：
Ｅｍａｉｌ ５１３０９９６２８＠ ｑｑ．ｃｏｍ
第 １０ 期
赵军亚，等：独立点线面状波函数在动量空间中的干涉图象
３１
图 １ 双点状波函数在动量空间的干涉图像
一条线上归一化的多点状 δ（ｘ）波函数为
； 收稿日期：２０１８－１０－０８ 修回日期：２０１９－４－０２
基金项目：国家自然科学基金项目（ ）、新 １１２６４０３９ 疆维吾尔自治区高校科研计划重点项目（ ）、新 ＸＪＥＤＵ２０１４１０２９ 疆师范大学“物理学”特色
专业、新疆师范大学“物理学”重点学科、新疆师范大学“热学和热力学与统计物理学”优秀教学团队资助．
会相遇并产生干涉图像．发现一个基本规律，独立的个数越多，在动量空间中的干涉图像就越来越局域，不过在局域的区间内
会产生干涉的精细结构．这类干涉图像的研究，有助于理解量子力学的本质．
关键词：阵列状波函数；动量空间；不确定性关系；干涉图像
（ ） 中图分类号： 文献标识码： 文章编号： Ｏ ４１３．１
Ａ
１０００ ０７１２ ２０１９ １０ ００３０ ０７
【 】 ＤＯＩ １０．１６８５４ ／ ｊ．ｃｎｋｉ．１０００ ０７１２．１８０５４７
量子力学中概率波的相干性，比经典波之间的 干涉要深刻很多．例如，一个双点状的波函数，在实 空间没有干涉．但是，由于不确定性关系，在动量空 间将分别延展相遇并发生干涉．本文将研究这个 问题．
为了简单，设空间为一维．波函数为
槡 （） （） （ ） ， （ ） ψ ｘ ＝ １ [ δ ｘ ＋δ ｘ－ａ ] ａ≠０ （１） ２
波函数具有 δ（ｘ）归一性，而且这两个点之间的
波没有叠加 ∫ δ（ｘ）δ（ｘ－ａ）ｄｘ ＝ ０．动量表象的波函 数为
（ ） ∫ （） （） ｃ ｐｘ ＝
ψ
ｘ
ψ ｐｘ
Ｎａｋｘ
Ｎａｋｘ
１ ｅ－ｉ ２ ｅｉ ２ －ｅ－ｉ ２
槡Ｎ
ｈ
ａｋｘ
ｅ－ｉ ２
ａｋｘ
ａｋｘ
ｅｉ ２ －ｅ－ｉ ２
＝
( ) ｓｉｎ ( Ｎ－１) ａｋｘ
ｅ－ｉ
２
Ｎａｋｘ ２
槡 ( ) Ｎｈ ｓｉｎ ａｋｘ ２
（８）
取其模方得分布在一条线上的多点状波函数在
动量空间的干涉图像
ｃ( ｋｘ) ２ ＝
第 卷第 ３８ 年 ２０１９ １０
月１０
期
大 学 物 理
ＣＯＬＬＥＧＥ ＰＨＹＳＩＣＳ
Ｖｏｌ．３８ Ｎｏ．１０ Ｏｃｔ．２０１９
独立点线面状波函数在动量空间中的干涉图象
赵军亚，吴建琴，马晓栋
（物理与电子工程学院 新疆师范大学，新疆 乌鲁木齐 ） ８３００５４
摘要：在实空间中，独立类点、线、面状及其阵列波函数可以不发生相遇，因而不会干涉，而在波矢或者动量空间中，他们
槡２ｈ
槡 槡 １ ( １＋ｅ－ｉａｋｘ) ＝
１
ａｋｘ
ａｋｘ
ａｋｘ
ｅ－ｉ ２ ( ｅｉ ２ ＋ｅ－ｉ ２ ) ＝
２ｈ
２ｈ
槡 ( ) ２
ａｋｘ
ｅ－ｉ ２ ｃｏｓ
ａｋｘ
ｈ
２
（５）
取其模方得两个独立类点状波函数在动量空间的干
涉图像
（ ） ( ) （） （） ｃ ｋｘ
２ ＝ ２ ｃｏｓ２ ａｋｘ ＝ ２ ｃｏｓ２ ｖ
ｈ
２ｈ
６
其中
ｖ
＝
ａｋｘ ２
，当
ａｋｘ
／
２
＝
， ｋπ ｋ
＝
，０ ±
，１ ±
２，…，动
wk.baidu.com
量
空
间的概率取极大值．这些极大和极小的出现，就是干
涉引起的相长和相消现象．
图 １ 是根据式（６）画出的两个独立类点状波函
数在动量空间的干涉图像，其中取 ａ ＝ １．
１．２ 一条线上的多点状波函数在动量空间中的干
涉图像
Ｎａ ＝ 和１． 式（６）给出的干涉图像相比，这里的干涉图
像比较明亮集中．
１．３ 平面内点阵状波函数在动量空间中的干涉
图像
设一个平面内有如图 ３ 所示点阵，以点阵左下
角的点为原点，ｘ、ｙ 轴方向分别向右、向上，建立坐
图 ２ 多点状波函数在动量空间的干涉图像
标系，取 、ｘ ｙ 轴方向相邻两点间的距离分 ａ２，沿 ｘ、ｙ 轴方向排列的点数分别为 Ｎ１、Ｎ２
ｘ
ｄｘ
（２）
其中
（） 槡 ψｐｘ
ｘ
＝
ｉ
１ ｅ ｐｘｘ ｈ
（３）
所
以
为 式
（ｐｘ ３
的本征函数．考 ）可以改写为
虑
到
ｐ
＝
ｋ
，其
中
ｋ
是
波
矢
，
（ ） ψ
ｐｘ
＝
１
ｘｐｘ
ｅｉ
＝
１ ｅｉｘｋｘ
槡 槡 ｈ
ｈ
（４）
将式（１）、（４）代入式（２）得出动量表象的波函数：
（ ） （） （ ） ｃ ｋｘ ＝ １ ∫ ｅ－ｉｘｋｘ [ δ ｘ ＋δ ｘ－ａ ] ｄｘ ＝
( ) （ ） ｓｉｎ２ Ｎａｋｘ
１
２
１ ｓｉｎ２ Ｎｖ
( ) （） Ｎｈ ｓｉｎ２ ａｋｘ ２
＝ Ｎｈ ｓｉｎ２ ｖ
（９）
率
取
当 极
大值ａｋｘ ／
２ ．
＝
ｋ
π
，ｋ
＝
０
，±
１
，±
２
，…
，动
量
空
间
的
概
图 ２ 是根据式（９）画出的多个点状波函数在动
量空间的干涉图像，其中取 ａ ＝ ０．２５ 和 Ｎ ＝ ４ 满足
别
．
为
ａ１
、
图 ３ 分布在一个平面中的点阵
点阵状归一化波函数为
１
（，） （ ， ） ψ ｘ ｙ ＝
槡Ｎ１ Ｎ２
Ｎ１ － １ ｎ１ ＝ ０
δ Ｎ ２ － １
ｎ２ ＝ ０
ｘ－ｎ１ ａ１
ｙ－ｎ２ ａ２
（１０）
其中 ， ａ１ ≠０ ａ２ ≠０． 动量表象波函数为
（ ， ） 槡 ∫ ∫ · ｃ ｋｘ ｋｙ ＝
１ 独立类点状波函数在动量空间中的干涉 图像
１．１ 双点状波函数在动量空间中的干涉图像 设有一个粒子，仅在相距为 ａ 的两个点上非零．
１
Ｎ－１
（） （ ） ψ ｘ ＝
槡Ｎ
δ ｘ － ｎａ
ｎ＝０
（７）
动量表象的波函数为
１
（ ） ∫ （ ） ｃ ｋｘ ＝
∞
Ｎ－１
ｅ －ｉｘｋｘ
δ ｘ－ｎａ ｄｘ ＝
槡Ｎｈ －∞
ｎ＝０
槡 １
ｅ ＝ Ｎ － １ －ｉｎａｋ ｘ
Ｎｈ
ｎ＝０
槡 ( ) １ １－ｅ－ｉＮａｋｘ ＝ Ｎ ｈ １－ｅ－ｉａｋｘ
Ｎａｋｘ
１
∞
Ｎ１Ｎ２ ｈ －∞
∞
ｅ － ｉ( ｘｋ ｘ ＋ ｙｋ ｙ)
－∞
（ ， ） Ｎ１－１ ｎ１ ＝ ０
作者简介：赵军亚（１９９３—）女，河南驻马店人，新疆师范大学物理与电子工程学院物理系理论物理专业研究生．
通信作者：马晓栋， ：
Ｅｍａｉｌ ５１３０９９６２８＠ ｑｑ．ｃｏｍ
第 １０ 期
赵军亚，等：独立点线面状波函数在动量空间中的干涉图象
３１
图 １ 双点状波函数在动量空间的干涉图像
一条线上归一化的多点状 δ（ｘ）波函数为
； 收稿日期：２０１８－１０－０８ 修回日期：２０１９－４－０２
基金项目：国家自然科学基金项目（ ）、新 １１２６４０３９ 疆维吾尔自治区高校科研计划重点项目（ ）、新 ＸＪＥＤＵ２０１４１０２９ 疆师范大学“物理学”特色
专业、新疆师范大学“物理学”重点学科、新疆师范大学“热学和热力学与统计物理学”优秀教学团队资助．
会相遇并产生干涉图像．发现一个基本规律，独立的个数越多，在动量空间中的干涉图像就越来越局域，不过在局域的区间内
会产生干涉的精细结构．这类干涉图像的研究，有助于理解量子力学的本质．
关键词：阵列状波函数；动量空间；不确定性关系；干涉图像
（ ） 中图分类号： 文献标识码： 文章编号： Ｏ ４１３．１
Ａ
１０００ ０７１２ ２０１９ １０ ００３０ ０７
【 】 ＤＯＩ １０．１６８５４ ／ ｊ．ｃｎｋｉ．１０００ ０７１２．１８０５４７
量子力学中概率波的相干性，比经典波之间的 干涉要深刻很多．例如，一个双点状的波函数，在实 空间没有干涉．但是，由于不确定性关系，在动量空 间将分别延展相遇并发生干涉．本文将研究这个 问题．
为了简单，设空间为一维．波函数为
槡 （） （） （ ） ， （ ） ψ ｘ ＝ １ [ δ ｘ ＋δ ｘ－ａ ] ａ≠０ （１） ２
波函数具有 δ（ｘ）归一性，而且这两个点之间的
波没有叠加 ∫ δ（ｘ）δ（ｘ－ａ）ｄｘ ＝ ０．动量表象的波函 数为
（ ） ∫ （） （） ｃ ｐｘ ＝
ψ
ｘ
ψ ｐｘ
Ｎａｋｘ
Ｎａｋｘ
１ ｅ－ｉ ２ ｅｉ ２ －ｅ－ｉ ２
槡Ｎ
ｈ
ａｋｘ
ｅ－ｉ ２
ａｋｘ
ａｋｘ
ｅｉ ２ －ｅ－ｉ ２
＝
( ) ｓｉｎ ( Ｎ－１) ａｋｘ
ｅ－ｉ
２
Ｎａｋｘ ２
槡 ( ) Ｎｈ ｓｉｎ ａｋｘ ２
（８）
取其模方得分布在一条线上的多点状波函数在
动量空间的干涉图像
ｃ( ｋｘ) ２ ＝
第 卷第 ３８ 年 ２０１９ １０
月１０
期
大 学 物 理
ＣＯＬＬＥＧＥ ＰＨＹＳＩＣＳ
Ｖｏｌ．３８ Ｎｏ．１０ Ｏｃｔ．２０１９
独立点线面状波函数在动量空间中的干涉图象
赵军亚，吴建琴，马晓栋
（物理与电子工程学院 新疆师范大学，新疆 乌鲁木齐 ） ８３００５４
摘要：在实空间中，独立类点、线、面状及其阵列波函数可以不发生相遇，因而不会干涉，而在波矢或者动量空间中，他们
槡２ｈ
槡 槡 １ ( １＋ｅ－ｉａｋｘ) ＝
１
ａｋｘ
ａｋｘ
ａｋｘ
ｅ－ｉ ２ ( ｅｉ ２ ＋ｅ－ｉ ２ ) ＝
２ｈ
２ｈ
槡 ( ) ２
ａｋｘ
ｅ－ｉ ２ ｃｏｓ
ａｋｘ
ｈ
２
（５）
取其模方得两个独立类点状波函数在动量空间的干
涉图像
（ ） ( ) （） （） ｃ ｋｘ
２ ＝ ２ ｃｏｓ２ ａｋｘ ＝ ２ ｃｏｓ２ ｖ
ｈ
２ｈ
６
其中
ｖ
＝
ａｋｘ ２
，当
ａｋｘ
／
２
＝
， ｋπ ｋ
＝
，０ ±
，１ ±
２，…，动
wk.baidu.com
量
空
间的概率取极大值．这些极大和极小的出现，就是干
涉引起的相长和相消现象．
图 １ 是根据式（６）画出的两个独立类点状波函
数在动量空间的干涉图像，其中取 ａ ＝ １．
１．２ 一条线上的多点状波函数在动量空间中的干
涉图像
Ｎａ ＝ 和１． 式（６）给出的干涉图像相比，这里的干涉图
像比较明亮集中．
１．３ 平面内点阵状波函数在动量空间中的干涉
图像
设一个平面内有如图 ３ 所示点阵，以点阵左下
角的点为原点，ｘ、ｙ 轴方向分别向右、向上，建立坐
图 ２ 多点状波函数在动量空间的干涉图像
标系，取 、ｘ ｙ 轴方向相邻两点间的距离分 ａ２，沿 ｘ、ｙ 轴方向排列的点数分别为 Ｎ１、Ｎ２
ｘ
ｄｘ
（２）
其中
（） 槡 ψｐｘ
ｘ
＝
ｉ
１ ｅ ｐｘｘ ｈ
（３）
所
以
为 式
（ｐｘ ３
的本征函数．考 ）可以改写为
虑
到
ｐ
＝
ｋ
，其
中
ｋ
是
波
矢
，
（ ） ψ
ｐｘ
＝
１
ｘｐｘ
ｅｉ
＝
１ ｅｉｘｋｘ
槡 槡 ｈ
ｈ
（４）
将式（１）、（４）代入式（２）得出动量表象的波函数：
（ ） （） （ ） ｃ ｋｘ ＝ １ ∫ ｅ－ｉｘｋｘ [ δ ｘ ＋δ ｘ－ａ ] ｄｘ ＝
( ) （ ） ｓｉｎ２ Ｎａｋｘ
１
２
１ ｓｉｎ２ Ｎｖ
( ) （） Ｎｈ ｓｉｎ２ ａｋｘ ２
＝ Ｎｈ ｓｉｎ２ ｖ
（９）
率
取
当 极
大值ａｋｘ ／
２ ．
＝
ｋ
π
，ｋ
＝
０
，±
１
，±
２
，…
，动
量
空
间
的
概
图 ２ 是根据式（９）画出的多个点状波函数在动
量空间的干涉图像，其中取 ａ ＝ ０．２５ 和 Ｎ ＝ ４ 满足
别
．
为
ａ１
、
图 ３ 分布在一个平面中的点阵
点阵状归一化波函数为
１
（，） （ ， ） ψ ｘ ｙ ＝
槡Ｎ１ Ｎ２
Ｎ１ － １ ｎ１ ＝ ０
δ Ｎ ２ － １
ｎ２ ＝ ０
ｘ－ｎ１ ａ１
ｙ－ｎ２ ａ２
（１０）
其中 ， ａ１ ≠０ ａ２ ≠０． 动量表象波函数为
（ ， ） 槡 ∫ ∫ · ｃ ｋｘ ｋｙ ＝