独立点线面状波函数在动量空间中的干涉图象

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论文安排如下:第 1 节给出独立类点状波函数 在动量空间的干涉图像;第 2 节给出独立类线状波 函数在动量空间的干涉图像;第 3 节给出独立类面 状波函数在动量空间的干涉图像;最后进行讨论.
1 独立类点状波函数在动量空间中的干涉 图像
1.1 双点状波函数在动量空间中的干涉图像 设有一个粒子,仅在相距为 a 的两个点上非零.

N-1
() ( ) ψ x =
槡N
δ x - na
n=0
(7)
动量表象的波函数为

( ) ∫ ( ) c kx =

N-1
e -ixkx
δ x-na dx =
槡Nh -∞
n=0
槡 1
e = N - 1 -inak x
Nh
n=0
槡 ( ) 1 1-e-iNakx = N h 1-e-iakx
Nakx


N1N2 h -∞

e - i( xk x + yk y)
-∞
( , ) N1-1 n1 = 0
作者简介:赵军亚(1993—)女,河南驻马店人,新疆师范大学物理与电子工程学院物理系理论物理专业研究生.
通信作者:马晓栋, :
Email 513099628@ qq.com
第 10 期
赵军亚,等:独立点线面状波函数在动量空间中的干涉图象
31
图 1 双点状波函数在动量空间的干涉图像
一条线上归一化的多点状 δ(x)波函数为
; 收稿日期:2018-10-08 修回日期:2019-4-02
基金项目:国家自然科学基金项目( )、新 11264039 疆维吾尔自治区高校科研计划重点项目( )、新 XJEDU20141029 疆师范大学“物理学”特色
专业、新疆师范大学“物理学”重点学科、新疆师范大学“热学和热力学与统计物理学”优秀教学团队资助.
会相遇并产生干涉图像.发现一个基本规律,独立的个数越多,在动量空间中的干涉图像就越来越局域,不过在局域的区间内
会产生干涉的精细结构.这类干涉图像的研究,有助于理解量子力学的本质.
关键词:阵列状波函数;动量空间;不确定性关系;干涉图像
( ) 中图分类号: 文献标识码: 文章编号: O 413.1

1000 0712 2019 10 0030 07
【 】 DOI 10.16854 / j.cnki.1000 0712.180547
量子力学中概率波的相干性,比经典波之间的 干涉要深刻很多.例如,一个双点状的波函数,在实 空间没有干涉.但是,由于不确定性关系,在动量空 间将分别延展相遇并发生干涉.本文将研究这个 问题.
为了简单,设空间为一维.波函数为
槡 () () ( ) , ( ) ψ x = 1 [ δ x +δ x-a ] a≠0 (1) 2
波函数具有 δ(x)归一性,而且这两个点之间的
波没有叠加 ∫ δ(x)δ(x-a)dx = 0.动量表象的波函 数为
( ) ∫ () () c px =
ψ

ψ px
Nakx
Nakx
1 e-i 2 ei 2 -e-i 2
槡N

akx
e-i 2
akx
akx
ei 2 -e-i 2

( ) sin ( N-1) akx
e-i

Nakx 2
槡 ( ) Nh sin akx 2
(8)
取其模方得分布在一条线上的多点状波函数在
动量空间的干涉图像
c( kx) 2 =
第 卷第 38 年 2019 10
月10

大 学 物 理
COLLEGE PHYSICS
Vol.38 No.10 Oct.2019
独立点线面状波函数在动量空间中的干涉图象
赵军亚,吴建琴,马晓栋
(物理与电子工程学院 新疆师范大学,新疆 乌鲁木齐 ) 830054
摘要:在实空间中,独立类点、线、面状及其阵列波函数可以不发生相遇,因而不会干涉,而在波矢或者动量空间中,他们
槡2h
槡 槡 1 ( 1+e-iakx) =

akx
akx
akx
e-i 2 ( ei 2 +e-i 2 ) =
2h
2h
槡 ( ) 2
akx
e-i 2 cos
akx


(5)
取其模方得两个独立类点状波函数在动量空间的干
涉图像
( ) ( ) () () c kx
2 = 2 cos2 akx = 2 cos2 v

2h

其中


akx 2
,当
akx



, kπ k

,0 ±
,1 ±
2,…,动
wk.baidu.com


间的概率取极大值.这些极大和极小的出现,就是干
涉引起的相长和相消现象.
图 1 是根据式(6)画出的两个独立类点状波函
数在动量空间的干涉图像,其中取 a = 1.
1.2 一条线上的多点状波函数在动量空间中的干
涉图像
Na = 和1. 式(6)给出的干涉图像相比,这里的干涉图
像比较明亮集中.
1.3 平面内点阵状波函数在动量空间中的干涉
图像
设一个平面内有如图 3 所示点阵,以点阵左下
角的点为原点,x、y 轴方向分别向右、向上,建立坐
图 2 多点状波函数在动量空间的干涉图像
标系,取 、x y 轴方向相邻两点间的距离分 a2,沿 x、y 轴方向排列的点数分别为 N1、N2

dx
(2)
其中
() 槡 ψpx



1 e pxx h
(3)


为 式
(px 3
的本征函数.考 )可以改写为





,其






( ) ψ
px


xpx
ei

1 eixkx
槡 槡 h

(4)
将式(1)、(4)代入式(2)得出动量表象的波函数:
( ) () ( ) c kx = 1 ∫ e-ixkx [ δ x +δ x-a ] dx =
( ) ( ) sin2 Nakx


1 sin2 Nv
( ) () Nh sin2 akx 2
= Nh sin2 v
(9)


当 极
大值akx /
2 .


π
,k


,±

,±

,…
,动





图 2 是根据式(9)画出的多个点状波函数在动
量空间的干涉图像,其中取 a = 0.25 和 N = 4 满足



a1

图 3 分布在一个平面中的点阵
点阵状归一化波函数为

(,) ( , ) ψ x y =
槡N1 N2
N1 - 1 n1 = 0
δ N 2 - 1
n2 = 0
x-n1 a1
y-n2 a2
(10)
其中 , a1 ≠0 a2 ≠0. 动量表象波函数为
( , ) 槡 ∫ ∫ · c kx ky =
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