2018届高考数学二轮复习 数列的求和及综合应用 ppt课件(全国通用)
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2018高考数学理二轮专题复习课件 专题四 数列4.1.2 精品
(2)由 anan＋1＝3n，得 an－1an＝3n－1(n≥2)，所以aann＋－11＝3(n≥2)，
则数列{an}的所有奇数项和偶数项均构成以 3 为公比的等比数 列，又 a1＝1，a1a2＝3，所以 a2＝3，所以 S2 015＝1×11－－331 008＋
3×1－31 1－3
007＝31
008－2.
5.nn＋11n＋2＝12nn1＋1－n＋11n＋2
6.
1＝ n＋ n＋k＝1k(
n＋k－
n)
8．n·n！＝(n＋1)！－n!
[专题回访]
1．若数列{an}是等差数列，且 a1＋a8＋a15＝π，则 tan(a4＋ a12)＝( )
A. 3
B．－ 3
3 C. 3
D．－
[答案] (1)A (2)A
[方法规律] 数列与不等式、函数等问题主要利用函数、不
等式的解题思路来加以解决．
4专能提升 1.(热点一)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2＋6n＋7，则数列 {an}的通项公式为________．
解析：当 n＝1 时，a1＝1＋6＋7＝14；当 n≥2 时，an＝Sn －Sn－1＝n2＋6n＋7－[(n－1)2＋6(n－1)＋7]＝2n＋5，所以数列{an} 的通项公式为 an＝12n4，＋n5＝，1n≥2 .
A．212 B．29
C．28 D．26
[自主解答] (1)由 a1，a3，a13 成等比数列可得(1＋2d)2＝1
＋12d，得 d＝2，故 an＝2n－1，Sn＝n2，因此2Sann＋＋136＝22nn2＋＋126＝ nn2＋＋18＝n＋12－n＋21n＋1＋9＝n＋1＋n＋9 1－2.
由
基
本
不
2018届高考数学二轮复习专题四数列1_4_2数列求和及综合应用课件文
2．本例改为：已知数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2)， 求数列{an}的通项公式．
解：由 an＝2an－1＋1(n≥2)得 an＋1＝2(an－1＋1)，即aan－n＋1＋11＝2， 所以数列{an＋1}是首项为 2，公比为 2 的等比数列，所以 an＋1＝ 2n，所以 an＝2n－1.
解：(1)当 n＝1 时，a1＝S1＝1－a1， 解得 a1＝12. 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(1－an)－(1－an－1)， 则有 2an＝an－1，即aan－n 1＝12， 所以数列{an}是以 a1＝12为首项，12为公比的等比数列． 所以 an＝12n(n∈N*)．
(2)由(1)知，cn＝63nn＋＋63n＋n 1＝3(n＋1)·2n＋1. 所以 Tn＝c1＋c2＋…＋cn ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]， 2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]， 两式相减得－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2] ＝3×4＋411－－22n－n＋1×2n＋2 ＝－3n·2n＋2. 所以 Tn＝3n·2n＋2.
2．数列的单调性 对于数列{an}，若 an＋1>an，则{an}为递增数列； 若 an＋1<an，则{an}为递减数列； 若 an＋1＝an，则{an}为常数列． 3．等差数列{an}的通项公式 an 是关于 n 的一次函数 an＝dn＋ (a1－d)(d≠0)前 n 项和 Sn 是关于 n 的无常数项的二次函数 Sn＝d2n2＋a1－d2n，(d≠0)
4．累乘法：数列递推关系形如 an＋1＝g(n)an，其中数列{g(n)} 前 n 项积可求，此数列求通项公式一般采用累乘法(叠乘法)．
2018高考新课标数学理二轮专题复习课件：专题三第2讲数列求和及综合应用 精品
[规律方法] 1.一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn} 是等比数列，求数列{an·bn}的前 n 项和时，可采用错位相 减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比， 然后作差求解．
2．在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式 “错项对齐”，以便下一步准确地写出“Sn－qSn”的表 达式．
(2)错位相减法求和． 错位相减法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所 用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前 n 项和， 其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列． (3)裂项相消法求和． 裂项相消法是指把数列和式中的各项分别裂开后， 某些项可以相互抵消从而求和的方法，主要适用于 ana1n＋1或ana1n＋2(其中{an}为等差数列)等形式的数列求 和．
(2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制 条件．
(3)不等关系证明中进行适当的放缩．
[变式训练 2] (2016·湖北七市 4 月联考)已知数列{an} 的前 n 项和为 Sn，且 Sn＝2n2＋2n.
(1)求数列{an}的通项公式； (2)若点(bn，an)在函数 y＝log2x 的图象上，求数列{bn} 的前 n 项和 Tn. 解：(1)当 n≥2 时，
2．数列与函数、不等式的交汇
数列与函数的交汇问题一般是利用函数作为背景， 给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出 Sn 的 表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类 问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进 行准确的转化．数列与不等式的交汇问题一般以数列为 载体，考查最值问题，不等关系或恒成立问题．
[规律方法] 1.裂项相消法求和就是将数列中的每一 项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵 消，要注意消去了哪些项，保留了哪些项．
高考数学二轮复习专题二数列数列求和及综合应用课件文.ppt
1 2
)2+2×
( 1+)13×
2
+(1…)0 +(n-1)×
2
+n×( 1 ) ,n3
2
12Sn=1×
( 1+)12×
2
(+13)0×
2
+…(1)+1 (n-1)×
2
+n×( 1 )n ,2
2
(1 )n4 2 ( 1 )n3 2
两式相减有
1 2
Sn=1×
( 1+)21×
2
(+1 )11×
2
+(11×)0
②作差:写出Sn的表达式,然后等式两边同时乘以公比 或除以公比得到另外一个式子,两式作差. ③求和:根据差式的特征准确求和.
(2)注意点:在错位相减后一定要注意其中各个项的结 构,特别是相减后得到的和式的第一项是否可以和后续 的项组成等比数列.
【对点训练】 (2018·衡水一模)已知数列{an}满足4Sn=(an+3)(an-1), 且an>0. (1)求数列{an}的通项公式. (2)求Tn=a1· 2a1 +a2· 2a2 +…+an· 2an 的值.
第二讲 数列求和及综合应用
热点题型1 错位相减法求和 【感悟经典】 【典例】(2018·山师附中一模)已知递减的等比数列 {an}各项均为正数,满足a1·a2·a3=8,a1+1,a2+1,a3构 成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式. (2)令bn=n·an,求数列{bn}的前n项和Sn.
Sn 3 n n 1 3 n n 1
从而bn=
11 S1 S2
2018年高考数学(文科)二轮复习 名师课件：专题三 第2讲 数列的求和及综合应用
归纳总结· 思维升华
真题感悟 全国Ⅲ卷)设数列{an}满足 a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n. 1.(2017·
(1)求{an}的通项公式；
an (2)求数列 2n＋1的前
n 项和.
解
(1)因为 a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，①
故当 n≥2 时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，② 2 ①－②得(2n－1)an＝2，所以 an＝ ， 2n－1 又 n＝1 时，a1＝2 适合上式， 2 从而{an}的通项公式为 an＝ . 2n－1
真题感悟· 考点整合
热点聚焦· 题型突破
归纳总结· 思维升华
探究提高
1. 一般地，如果数列 {an}是等差数列， {bn}是等比数
列，求数列{an· bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般
是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解. 2.在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式 “错项对齐”， 以便下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式.
第 2讲
数列的求和及综合应用
真题感悟· 考点整合
热点聚焦· 题型突破
归纳总结· 思维升华
高考定位
1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出
现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和， 难度中档偏下；2.在考查数列运算的同时，将数列与不等式、
函数交汇渗透.
真题感悟· 考点整合
热点聚焦· 题型突破
1 1 1 1 1 1 1 ＝ 3－5＋5－7＋…＋2n＋1－2n＋3 2
n ＝ . 3（2n＋3）
真题感悟· 考点整合
热点聚焦· 题型突破
2018届高三数学二轮复习课件：4.2第二讲 数列求和及数列的综合应用
1 ������������+1
= · + ;
������ ③对数变换——如将递推公式 an+1=c������������ (an>0,c>0,p>0,p≠1)取对数得
������ 1 ������ ������������
1 ������
������������ +������
z+lg c; lg an+1=p lg an ④换元变换——如将递推公式 an+1=qan+dn(q,d 为非零常数,q≠1,d ≠1)
变换成
������������+1 ������
������ ������ = · + , 令 b = n ������ ������,则转化为 bn+1=Abn+B 的形式. ������+1
������ ������ ������ ������
1 ������
������ ������
2.常见的数列求和的方法 (1)公式法求和 适合求等差数列或等比数列的前 n 项和.对等比数列利用公式法求和 时,一定注意公比 q 是否能取 1. (2)错位相减法 这是推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,主要用于求数列 {anbn}的前 n 项和,其中{an},{bn}分别是等差数列和等比数列. (3)裂项相消法 把数列和式中的各项分别裂开后,消去一部分从而计算和的方法,适用 于求通项为
一个数列既不是等差数列又不是等比数列,但它可以拆成两个数列,而这两个数
列是等差或等比数列,那么就可以分组求和,有时这种方法也叫拆项重组法.
考点1考点2考点3源自考点4考点 1简单的递推数列
π 4
= · + ;
������ ③对数变换——如将递推公式 an+1=c������������ (an>0,c>0,p>0,p≠1)取对数得
������ 1 ������ ������������
1 ������
������������ +������
z+lg c; lg an+1=p lg an ④换元变换——如将递推公式 an+1=qan+dn(q,d 为非零常数,q≠1,d ≠1)
变换成
������������+1 ������
������ ������ = · + , 令 b = n ������ ������,则转化为 bn+1=Abn+B 的形式. ������+1
������ ������ ������ ������
1 ������
������ ������
2.常见的数列求和的方法 (1)公式法求和 适合求等差数列或等比数列的前 n 项和.对等比数列利用公式法求和 时,一定注意公比 q 是否能取 1. (2)错位相减法 这是推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,主要用于求数列 {anbn}的前 n 项和,其中{an},{bn}分别是等差数列和等比数列. (3)裂项相消法 把数列和式中的各项分别裂开后,消去一部分从而计算和的方法,适用 于求通项为
一个数列既不是等差数列又不是等比数列,但它可以拆成两个数列,而这两个数
列是等差或等比数列,那么就可以分组求和,有时这种方法也叫拆项重组法.
考点1考点2考点3源自考点4考点 1简单的递推数列
π 4
2018届二轮复习 数列求和及综合应用 课件(全国通用)
第二讲
数列求和及综合应用
【必备知识】
1.常用的拆项公式(其中n∈N*)
1 1 n n 1
1 1 _________ n n 1 .
1 1 1 1 ( ). 2 n n k k n n k 1 1 1 ( ) 1 2 2n 1 2n 1 . _______________ 3 2n 1 2n 1
3.(2016·全国卷Ⅰ)设等比数列{an}满足a1+a3=10,
a2+a4=5,则a1a2…an列,设an=a1qn-1,
其中a1是首项,q是公比.
a1 8, a1 a 3 10, a1 a1q 10, 解得： 所以 1 3 a a 5, q . 4 2 a1q a1q 5, 2 故 a n= ( 1 ) n 4 , 2 1 1 7 49 n n 7 [(n )2 ] 1 1 1 3 2 n 4 所以a1·a2·…·an= ( ) ( ) 2 ( )2 2 4 . 2 2 2
(1)求b1，b11，b101.
(2)求数列{bn}的前1000项和.
【解题指南】由等差数列的两个独立的条件a1=1，
S7=28，可求出等差数列的通项公式，结合对数运算，
可求出b1，b11，b101的值，在此基础上，分段求出数 列{bn}的前1000项和.
【解析】(1)设{an}的公差为d，S7= 7 a1 a 7 =7a4
1 4 若等差数列a n 的公差为d, 则 a n a n 1 1 1 1 1 2d ___( ). a n a n 2 a n a n 2
1 1 1 ___( )； d a n a n 1
数列求和及综合应用
【必备知识】
1.常用的拆项公式(其中n∈N*)
1 1 n n 1
1 1 _________ n n 1 .
1 1 1 1 ( ). 2 n n k k n n k 1 1 1 ( ) 1 2 2n 1 2n 1 . _______________ 3 2n 1 2n 1
3.(2016·全国卷Ⅰ)设等比数列{an}满足a1+a3=10,
a2+a4=5,则a1a2…an列,设an=a1qn-1,
其中a1是首项,q是公比.
a1 8, a1 a 3 10, a1 a1q 10, 解得： 所以 1 3 a a 5, q . 4 2 a1q a1q 5, 2 故 a n= ( 1 ) n 4 , 2 1 1 7 49 n n 7 [(n )2 ] 1 1 1 3 2 n 4 所以a1·a2·…·an= ( ) ( ) 2 ( )2 2 4 . 2 2 2
(1)求b1，b11，b101.
(2)求数列{bn}的前1000项和.
【解题指南】由等差数列的两个独立的条件a1=1，
S7=28，可求出等差数列的通项公式，结合对数运算，
可求出b1，b11，b101的值，在此基础上，分段求出数 列{bn}的前1000项和.
【解析】(1)设{an}的公差为d，S7= 7 a1 a 7 =7a4
1 4 若等差数列a n 的公差为d, 则 a n a n 1 1 1 1 1 2d ___( ). a n a n 2 a n a n 2
1 1 1 ___( )； d a n a n 1
最新-2018高考数学二轮复习 专题三：第二讲数列求和及综合应用 文 课件 精品
故bn＝b1qn－1＝2×4n1－1＝4n2－1
(2)∵cn＝bann＝4n2－2＝(2n－1)4n－1， 4n－1
∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝1＋3×4＋5×42＋…＋(2n－ 1)4n－1①
4Tn＝1×4＋3×42＋5×43＋…＋(2n－3)4n－1＋(2n－ 1)4n②
②－①得 ＝ 31[(36Tnn＝－－5)14－n＋2(54]＋，42＋43＋…＋4n－1)＋(2n－1)4n
A．511个
B．512个
C．1023个
D．1024个
(2)(2010年江苏卷)函数y＝x2(x＞0)的图象在点(ak，a2k )处 的切线与x轴交点的横坐标为ak＋1，k为正整数，a1＝16，则a1 ＋a3＋a5＝________.
答案：(1)B (2)21
高分突破
等差、等比数列的判定以及可转化为 等差或等比数列的求和问题
法四(迭代法)：an＝5an－1＋4＝5·(5an－2＋4)＋4 ＝52an－2＋5×4＋4 ＝…＝5n－1a1＋(5n－2＋5n－3＋…＋5＋1)×4 ＝3×5n－1＋4×1－1－5n5－1＝4·5n－1－1.
∴Tn＝ 91[(6n－5)4n＋5]．
裂项相消法求和
(2009年广东卷文)已知点 1，13 是函数f(x)＝ax(a＞0，
且a≠1)的图象上一点，等比数列{an}的前n项和为f(n)－c，
数列{bn}(bn＞0)的首项为c，且前n项和Sn满足Sn－Sn－1＝
Sn＋ Sn＋1(n≥2)．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
答案：
1
n(a1 2
an )
na1＋ n(n
1)d 2
2
na1 a1
(1 q 1 q
(2)∵cn＝bann＝4n2－2＝(2n－1)4n－1， 4n－1
∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝1＋3×4＋5×42＋…＋(2n－ 1)4n－1①
4Tn＝1×4＋3×42＋5×43＋…＋(2n－3)4n－1＋(2n－ 1)4n②
②－①得 ＝ 31[(36Tnn＝－－5)14－n＋2(54]＋，42＋43＋…＋4n－1)＋(2n－1)4n
A．511个
B．512个
C．1023个
D．1024个
(2)(2010年江苏卷)函数y＝x2(x＞0)的图象在点(ak，a2k )处 的切线与x轴交点的横坐标为ak＋1，k为正整数，a1＝16，则a1 ＋a3＋a5＝________.
答案：(1)B (2)21
高分突破
等差、等比数列的判定以及可转化为 等差或等比数列的求和问题
法四(迭代法)：an＝5an－1＋4＝5·(5an－2＋4)＋4 ＝52an－2＋5×4＋4 ＝…＝5n－1a1＋(5n－2＋5n－3＋…＋5＋1)×4 ＝3×5n－1＋4×1－1－5n5－1＝4·5n－1－1.
∴Tn＝ 91[(6n－5)4n＋5]．
裂项相消法求和
(2009年广东卷文)已知点 1，13 是函数f(x)＝ax(a＞0，
且a≠1)的图象上一点，等比数列{an}的前n项和为f(n)－c，
数列{bn}(bn＞0)的首项为c，且前n项和Sn满足Sn－Sn－1＝
Sn＋ Sn＋1(n≥2)．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
答案：
1
n(a1 2
an )
na1＋ n(n
1)d 2
2
na1 a1
(1 q 1 q
2018年高考数学理二轮复习课件：第1部分 重点强化专题
S1 n＝1， an＝ Sn－Sn－1n≥2.
2．求数列{an}通项的方法： (1)叠加法 形如 an－an－1＝f(n)(n≥2)的数列应用叠加法求通项公式，an＝a1＋∑ f(k)(和可 k＝2 求)． (2)叠乘法 a2 a3 an an 形如 ＝f(n)(n≥2)的数列应用叠乘法求通项公式， an＝a1· …· (积可 a1· a2· an－1 an－1 求)．
n
Sn 则2n＝n，Sn＝n· 2n(n≥2)，当n＝1时，也符合上式，所以Sn＝n· 2n(n∈N*)．]
■题型强化集训………………………………………………………………………· (见专题限时集训T1、T2、T3、T4、T5、T7、T8、T10、T11、T12)
题型 2 裂项相消法求和(答题模板)
1 1 所以数列S 是首项为1，公差为2的等差数列， n
n＋1 1 1 所以S ＝1＋2(n－1)＝ 2 ， n
2 即Sn＝ . n ＋1 2 2 2 所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝ － ＝－ . n＋1 n nn＋1 1，n＝1， 2 因此an＝ － ，n≥2. n n ＋ 1
1分 2分
2 两式相减可得 a2 － a ＋ n 1 n＋2(an＋1－an)＝4an＋1，
[解析] 因为an＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3(an＋1)，故{an＋1}是以a1＋1＝3 为首项，3为公比的等比数列， 所以an＋1＝3n，所以an＝3n－1. Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(31－1)＋(32－1)＋…＋(3n－1)＝(31＋32＋…＋3n)－n＝ 31－3n 3n＋1－3 －n＝ 2 －n， 1－3 3n 1－3 3n 1－2n－3 所以Sn＝ 2 －n＝ . 2
n
2．求数列{an}通项的方法： (1)叠加法 形如 an－an－1＝f(n)(n≥2)的数列应用叠加法求通项公式，an＝a1＋∑ f(k)(和可 k＝2 求)． (2)叠乘法 a2 a3 an an 形如 ＝f(n)(n≥2)的数列应用叠乘法求通项公式， an＝a1· …· (积可 a1· a2· an－1 an－1 求)．
n
Sn 则2n＝n，Sn＝n· 2n(n≥2)，当n＝1时，也符合上式，所以Sn＝n· 2n(n∈N*)．]
■题型强化集训………………………………………………………………………· (见专题限时集训T1、T2、T3、T4、T5、T7、T8、T10、T11、T12)
题型 2 裂项相消法求和(答题模板)
1 1 所以数列S 是首项为1，公差为2的等差数列， n
n＋1 1 1 所以S ＝1＋2(n－1)＝ 2 ， n
2 即Sn＝ . n ＋1 2 2 2 所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝ － ＝－ . n＋1 n nn＋1 1，n＝1， 2 因此an＝ － ，n≥2. n n ＋ 1
1分 2分
2 两式相减可得 a2 － a ＋ n 1 n＋2(an＋1－an)＝4an＋1，
[解析] 因为an＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3(an＋1)，故{an＋1}是以a1＋1＝3 为首项，3为公比的等比数列， 所以an＋1＝3n，所以an＝3n－1. Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(31－1)＋(32－1)＋…＋(3n－1)＝(31＋32＋…＋3n)－n＝ 31－3n 3n＋1－3 －n＝ 2 －n， 1－3 3n 1－3 3n 1－2n－3 所以Sn＝ 2 －n＝ . 2
n
名师导学2018届高三数学理二轮复习课件：专题6第19讲数列的综合应用 精品
12Sn＝1＋
12＋212
＋…＋
2n1－1－
2nn＝
11－－2121n－
n 2n
＝2－
22n－2nn，
整理，得 Sn＝4－n2＋n－12，n∈N*. 所以，数列{bn}的前 n 项和为 4－n2＋n－12，n∈N*.
【命题立意】本题考查等比数列的定义与通项公 式、等差数列的性质、错位相减求和法及应用，考查 方程思想与运算求解能力．属中档题．
2．特殊数列求和
例3已知数列{an}中，a1＝34，an＋1＝2－1 an(n∈N*)． (1)求证：数列an－1 1是等差数列，并求{an}的通 项公式； (2)设 bn＋an＝1(n∈N*)，Sn＝b1b2＋b2b3＋…＋
bnbn＋1，试比较 an 与 8Sn 的大小．
【解析】(1)因an＋11－1－an－1 1＝2－1a1n－1－an－1 1 ＝1－（2－2－anan）－an－1 1＝－1，
式中部分项可相互抵消，从而化简和式；
(4)除上述较常用的方法之外，还有①分组求和法；② 并项求和法；③倒序相加法等．
1．简单递推数列及应用 例1(1)已知数列{an} 满足 a1＝1，且 an＝13an－1＋13n (n≥2, 且 n∈N)，则数列{an}的通项公式为( ) A．an＝n＋3n 2 B．an＝n＋3n 2 C．an＝n＋2 D．an＝(n＋2)·3n
【点评】求数列前 n 项和的常用方法：(1)公式法、 (2)错位相减法、(3)裂项相消法、(4)除上述较常用的方 法之外，还有①分组求和法；②并项求和法；③倒序
相加法等．
3．递推数列与特殊数列求和综合应用
例5已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，Sn＝2－n2＋1 an(n≥1)．
高三数学文二轮复习 3.2数列求和与数列的综合应用 课件
1．等差、等比数列的求和公式 (1)等差数列前 n 项和公式： Sn＝na1＋nn2－1·d＝na12＋an. (2)等比数列前 n 项和公式： ①q＝1 时，Sn＝na1； ②q≠1 时，Sn＝a111－－qqn.
2．数列求和的方法技巧 (1)转化法 有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数 列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的 数列，即先分别求和，然后再合并．
由 y＝0，得 xk＝xk－1－1(2≤k≤n)．
(2)由 x1＝0，xk－xk－1＝－1，得 xk＝－(k－1)， 所以|PkQk|＝exk＝e－(k－1)，于是 Sn＝|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|PnQn| ＝1＋e－1＋e－2＋…＋e－(n－1)＝11－ －ee－ －n1＝e－e－e11－n.
热点之四 数列与解析几何的综合问题 数列与解析几何的综合应用，展示了知识的交汇性、方 法的灵活性．数列是一种特殊的函数，解题时应充分利用这 一特征，同时要注意数形结合思想的应用．
【例 4】 (2011·陕西高考) 如图，从点 P1(0,0)作 x 轴的垂线交曲线 y＝ex 于点 Q1(0,1)，曲线在 Q1 点处的切线与 x 轴交于点 P2，再从 P2 作 x 轴的垂线交曲线于 Q2，依次重复上述过程得到一系列点： P1，Q1；P2，Q2；…；Pn，Qn，记 Pk 点的坐标为(xk,0)(k＝1,2，…， n)．
(2)数列应用题一般是等比、等差数列问题，其中，等比 数列涉及的范围比较广，如经济上涉及利润、成本、效益的 增减，解决该类题的关键是建立一个数列模型{an}，利用该 数列的通项公式、递推公式或前 n 项和公式．
1.若数列{an}的通项公式为 an＝2n＋2n－1，则数列{an}
2．数列求和的方法技巧 (1)转化法 有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数 列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的 数列，即先分别求和，然后再合并．
由 y＝0，得 xk＝xk－1－1(2≤k≤n)．
(2)由 x1＝0，xk－xk－1＝－1，得 xk＝－(k－1)， 所以|PkQk|＝exk＝e－(k－1)，于是 Sn＝|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|PnQn| ＝1＋e－1＋e－2＋…＋e－(n－1)＝11－ －ee－ －n1＝e－e－e11－n.
热点之四 数列与解析几何的综合问题 数列与解析几何的综合应用，展示了知识的交汇性、方 法的灵活性．数列是一种特殊的函数，解题时应充分利用这 一特征，同时要注意数形结合思想的应用．
【例 4】 (2011·陕西高考) 如图，从点 P1(0,0)作 x 轴的垂线交曲线 y＝ex 于点 Q1(0,1)，曲线在 Q1 点处的切线与 x 轴交于点 P2，再从 P2 作 x 轴的垂线交曲线于 Q2，依次重复上述过程得到一系列点： P1，Q1；P2，Q2；…；Pn，Qn，记 Pk 点的坐标为(xk,0)(k＝1,2，…， n)．
(2)数列应用题一般是等比、等差数列问题，其中，等比 数列涉及的范围比较广，如经济上涉及利润、成本、效益的 增减，解决该类题的关键是建立一个数列模型{an}，利用该 数列的通项公式、递推公式或前 n 项和公式．
1.若数列{an}的通项公式为 an＝2n＋2n－1，则数列{an}
高中数学专题数列数列的求和综合应用(课件)高考文科数学复习(共31张PPT)
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You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
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a a10
做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。21.9.621.9.6Monday, September 06, 2021 • 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。06:38:1006:38:1006:389/6/2021 6:38:10 AM • 11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。21.9.606:38:1006:38Sep-216-Sep-21 • 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。06:38:1006:38:1006:38Monday, September 06, 2021
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.9.621.9.606:38:1006:38:10September 6, 2021 • 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月6日星期一上午6时38分10秒06:38:1021.9.6 • 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月上午6时38分21.9.606:38September 6, 2021 • 16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021年9月6日星期一6时38分10秒06:38:106 September 2021 • 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。上午6时38分10秒上午6时38分06:38:1021.9.6
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Tn ＝
1－2n 1－2
n
＋ {( － 2 ＋ 4) ＋ ( － 6 ＋ 8) ＋ „ ＋ [ － 2(n － 1)
n ＋2n]}＝2 －1＋ ×2＝2n＋n－1. 2
②若 n 为奇数： Tn ＝ 1－2n 1－2 ＋ {( － 2 ＋ 4) ＋ ( － 6 ＋ 8) ＋ „ ＋ [ － 2(n － 2)
1 2n ＝ . 2n＋1 2n＋1
2．(2017· 山东卷)已知{xn}是各项均为正数的等比数 列，且 x1＋x2＝3，x3－x2＝2.(导学号 54850039)
(1)求数列{xn}的通项公式；
(2) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，依次连接点 P1(x1， 1)， P2(x2， 2)， „， Pn＋1(xn＋1， n＋1)得到折线 P1P2„ Pn＋1，求由该折线与直线 y＝0，x＝x1，x＝xn＋1 所围成的 区域的面积 Tn. 解：(1)设数列{xn}的公比为 q，由已知 q＞0. x1＋x1q＝3， 由题意得 2 所以 3q2－5q－2＝0， x1q －x1q＝2，
2 从而{an}的通项公式为 an＝ . 2n－1
an 的前 n 项和为 Sn， (2)记 2n＋1
an 2 1 由 (1) 知 ＝ ＝ － 2n＋1 （2n－1）（2n＋1） 2n－1 1 ， 2n＋1
则
1 1 1 1 1 － Sn ＝ 1－3 ＋ 3－5 ＋ „ ＋ ＝1－ 2 n － 1 2 n ＋ 1
2．分组求和的策略：(1)根据等差、等比数列分组； (2)根据正号、负号分组．
命题视角 2 裂项相消法求和 [例 1－2] (2015· 全国卷Ⅰ)Sn 为数列{an}的前 n 项 和．已知 an＞0，a2 n＋2an＝4Sn＋3. (1)求{an}的通项公式； 1 (2)设 bn＝ ，求数列{bn}的前 n 项和． anan＋1
①－②得 － Tn ＝ 3×2－ 1 ＋ (2＋ 22 ＋ „ ＋ 2n －1) － (2n＋ 1)×2n － 1
n－1 2 2 1－2
（2n－1）×2n＋1 所以 Tn＝ . 2
【命题透视】 从近年高考命题看，本讲主要考查的 内容：(1)以等差(比)数列为背景，考查等差(比)的通项与 求和公式、分组转化求和；(2)以简单的递推关系为背景， 考查错位相减、 裂项相消、 倒序相加等求和的基本方法． 主 要以解答题的形式呈现，中档难度，且常与函数、不等式 知识交汇．
专题三
数列
第 2 讲 数列的求和及综 合应用
1． (2017· 全国卷Ⅲ)设数列{an}满足 a1＋3a2＋„＋(2n －1)an＝2n. (1)求{an}的通项公式；
an (2)求数列2n＋1的前 n 项和．
解：(1)因为 a1＋3a2＋„＋(2n－1)an＝2n，① 故当 n≥2 时，a1＋3a2＋„＋(2n－3)· an－1＝2(n－1)， ② 2 ①－②得(2n－1)an＝2，所以 an＝ ， 2n－1 又 n＝1 时，a1＝2 适合上式，
n－1 ＋2(n－1)]－2n}＝2 －1＋2× －2n＝2n－n－2. 2
n n 2 ＋n－1，n为偶数， 所以 Tn＝ n 2 －n－2，n为奇数.
[规律方法] 1．在处理一般数列求和时，一定要注意运用转化思 想． 把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求 和．在利用分组求和法求和时，常常根据需要对项数 n 进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个表达式．
解：(1)由 a2 n＋2an＝4Sn＋3 可知， a2 n＋1＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.
2 两式相减可得 a2 － a n＋ 1 n＋2(an＋1－an)＝4an＋1， 2 即 2(an＋1＋an)＝a2 － a (an＋1－an)． n＋ 1 n＝(an＋1＋an)·
因为 q＞0， 所以 q＝2，x1＝1. 因此数列{xn}的通项公式为 xn＝2n－1. (2)过 P1，P2，„，Pn＋1 向 x 轴作垂线，垂足分别为 Q1，Q2，„，Qn＋1， 由(1)得 xn＋1－xn＝2n－2n－1＝2n－1，
记梯形 PnPn＋1Qn＋1Qn 的面积为 bn， （n＋n＋1） n 1 由题意 bn＝ ×2 － ＝(2n＋1)×2n－2， 2 所以 Tn ＝ b1 ＋ b2 ＋ „ ＋ bn ＝ 3×2 － 1 ＋ 5×20 ＋ 7 × 21 ＋„＋(2n－1)×2n－3＋(2n＋1)×2n－2.① 又 2Tn ＝ 3×20 ＋ 5×21 ＋ 7×22 ＋ „ ＋ (2n－ 1)×2n － 2 ＋(2n＋1)×2n－1.②
热点 1 数列求和(多维探究) 数列求和的关键是分析其通项，数列的基本求和方 法有倒序相加、裂(拆)项相消法、错位相减法、分组转化 求和．裂项相消法和错位相减法是常用的两种方法．
命题视角 1 分组转化求和 [例 1－1] (2017· 潍坊三模)已知等差数列{an}的首项 a1＝2，前 n 项和为 Sn，等比数列{bn}的首项 b1＝1，且 a2 ＝b3，S3＝6b2，n∈N*. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)数列{cn}满足 cn＝bn＋(－1)nan，记数列{cn}的前 n 项和为 Tn，求 Tn.
解：(1)设数列{an}的公差为 d，数列{bn}的公比为 q. 因为 a1＝2，b1＝1，且 a2＝b3，S3＝6b2， 2＋d＝q2， d＝2， 所以3（2＋2＋2d） 解得 q＝2. ＝6q. 2 所以 an＝2＋(n－1)×2＝2n，bn＝2n－1.
(2)由题意，得 cn＝bn＋(－1)nan＝2n－1＋(－1)n·2n. 所以 Tn＝(1＋2＋4＋„＋2n－1)＋[－2＋4－6＋8－„ ＋(－1)n·2n]， ①若 n 为偶数：