河北省唐山市玉田县2014-2015学年高二下学期期中考试数学(理)试题(扫描版)

2014---2015学年度第二学期期中考试
高二理科数学参考答案
一、选择题：ABBCD DACAA CD
二、填空题：13.2i -+ 16、36+π
15. 16
16：9 三、解答题：
17解;
假设没有一个方程有实数根，………2分
则：16a 2﹣4（3﹣4a ）＜0（1）
（a ﹣1）2﹣4a 2＜0（2）
4a 2+8a ＜0（3） ………5分 解之得：＜a ＜﹣1 ………8分
故三个方程至少有一个方程有实根的a 的取值范围是：{a|a ≥﹣1或a ≤
}．……10分 18、解：（1）问题含有“均分问题”，
首先，从4个盒子中选出一个盒子当作空盒，有14C 种选法，
然后，再向其余3个盒子装球，由题意，3个盒子分别装2,1,1个球，因此，装球的装法为3322
111224A A C C C ⨯⨯⨯，所以总方法数为332211122414
A A C C C C ⨯⨯⨯⨯=144种. …………3分 （2）首先，从4个盒子中选出一个盒子当作空盒，有14C 种选法，
然后，再将其余3个盒子装球，由题意，3个盒子分别装2,1,1个球，只要
选一个盒子装2个球，另外的2个盒子一定是每个装一个球.有13C 种选法，
所以，总方法数为13
14C C ⨯=12种. …………6分 （3）44 …………9分 （4）3537=c …………12分
19．解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4．…………………………………2分
由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4．
故b ＝4，a ＋b ＝8． …………………………………4分
从而a ＝4，b ＝4． …………………………………5分
(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ，
所以4e x (x ＋1)－x 2－4x x x m x e x 2)2()1(42-+-+>
， 即02)2(22>--+x x x
m 对任意实数),0(+∞∈m 恒成立．…… 6分
令x x m x m g 2)2()(22--+=，
则函数)(m g 是关于m 的一次函数， ……………………………8分 由022>+x ，故)(x g 在),0(+∞上为增函数．
只需,02)
0(2≥--=x x g ……………………………10分 得02≤≤-x ，
故使原不等式恒成立的x 的取值范围是[]0,2-．……………………12分
20解:
2222122)2(2,2+=-++==λλλλa a ，3323223222)2()2(+=-+++=λλλλλa ，4434334232)2()22(+=-+++=λλλλλa .…………3分
由此可猜想出数列{}n a 的通项公式为n n n n a 2)1(+-=λ.…………6分 以下用数学归纳法证明：(1)当n=1时，21=a ,等式成立. …………8分
(2)假设当n=k 时等式成立，即k k k k a 2)1(+-=λ.则当n=k+1时，[]11111121)1(222)1(2)2(+++++++-+=-+++-=-++=k k k k k k k k k k k k k a a λλλλλλλλλ.这就是说，当n=k+1时等式也成立。

由(1)(2)可知数列{}n a 的通项公式n n n n a 2)1(+-=λ…………12分
②当10>x 时，387231000298723100098=⨯-≤⎪⎭⎫
⎝⎛+-=x .x x .x W ，
当且仅当x .x 7231000=，即9
100=x 时W 取得最大值38. -------10分 综合①②知：当9=x 时，W 取得最大值638.．
故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获的年利润最大． ---12分
22．解：（Ⅰ）当1a =时，2
()2ln 1f x x x =-+. 222(1)()2x f x x x x
--'=-=，0x >. ……………… 2分 令22(1)()0x f x x
--'=<. 因为 0x >，
所以 1x >. ……………… 3分
所以 函数()f x 的单调递减区间是(1,)+∞. ……………… 4分
（Ⅱ）x
a x x x a x f )(222)(2--=-=',0>x . 令'()0f x =，由0a >，解得1x a =，2x a =-（舍去）. ……………… 5分
① 当1a ≤，即01a <≤时，在区间[1,)+∞上'()0f x ≤，函数()f x 是减函数. 所以 函数()f x 在区间[1,)+∞上的最大值为(1)0f =； ……………… 7分
② 当1a >，即1a >时，x 在[1,)+∞上变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表 x 1
(1,)a a (,)a + '()f x +
0 - ()f x 0
↗ ln 1a a a -+ ↘ 所以 函数()f x 在区间[1,)+∞上的最大值为()ln 1f a a a a =-+. …… 10分 综上所述：当01a <≤时，函数()f x 在区间[1,)+∞上的最大值为(1)0f =； 当1a >时，函数()f x 在区间[1,)+∞上的最大值为()ln 1f a a a a =-+.
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：当01a <≤时，0)1()(=≤f x f 在区间),1[+∞上恒成立； 当1a >时，由于)(x f 在区间],1[a 上是增函数，
所以 0)1()(=>f a f ,即在区间),1[+∞上存在x a =使得()0f x >. 综上所述，a 的最大值为1. ……………… 12分。