动态规划第4讲
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动态规划(运筹学)
k阶段的允许决策集合
四、状态转移方程 sk+1与sk,xk之间必须能够建立一种明确的数量对应关系，记为
Tk(sk,xk), 即有 sk+1 = Tk(sk,xk)
这种明确的数量关系称为状态转移方程。
五、策略
由各阶段决策xk构成的决策序列,称为全过程策略,简称策略,记为
p1(s1),有
p1(s1) = { x1(s1),x2(s2),… ,xn(sn)} ∈P1
xk∈Xk
f*n+1(sn+1) = 1 积 f*k(sk)xk=∈Xok pt {vk(sk,xk) ×fk+1*(sk+1)}
k = n, n-1, …, 2, 1 k = n, n-1, …, 2, 1
11
三、基本步骤
1°建立模型
(1) 划分阶段，设定 k (2) 设定状态变量 sk
(3) 设定决策变量 xk
3） 阶段指标函数。第k阶段装载 件货物时所创的利润 。 vk xk
4） 函数的基本方程为
fk
sk
opt
xk Dk sk
vk xk fk1 sk wk xk k 1, 2,3
sk 0,1, ,6
f4
s4
0
k=3时
w3 4, v3 18
s3 0,1, , 6
x3
0,1,
六、运输时间须控制在合理范围之内（如集装箱干线船的班期）。
ZH物流公司是一家大型的集装箱多式联运经营企业，在成都设有内 陆集装箱货运站（CFS），经营成都——上海间集装箱货物运输服务，其多式 联运通道的主要节点城市为南京与郑州。现有一个货主需要将2个20英尺的集装 箱从成都运往上海，运输路线为成都-郑州-南京-上海，要求在货物起运后2530小时之内到达目的地。
04--第四章-动态规划及其应用PPT课件
❖ 如果所选定的变量不具备无后效性，就不能作为状态 变量来构造动态规划模型。
-
17
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SHUFE
3）决策（decision）
❖ 所谓决策，是指对某一阶段活动初从给定的状态出发，决策
者面临若干个不同的行为方案或途径作出的一种选择。
❖ 由于实际问题千变万化，因而决策可以有形形色色的不同含 义，很难言简而概全。
❖ 在决策过程中，往往前一个阶段的决策要影响到 后一阶段的决策，从而影响整个过程。
❖ 这类把一个问题划分成若干个相互联系的阶段并 选取其最优策略的问题就是多阶段决策问题。
-
6
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一、动态规划问题提出
• 1951年，美国数学家贝尔曼（R·Bellman，1920—1984） 研究了一类多阶段决策问题的特征，提出了解决这类问 题的基本原理。在研究、解决了某些实际问题的基础上， 他于1957年出版了《动态规划》这一名著。本章将简要 介绍动态规划的思想方法及其应用。
传统的解题不同方法； 4.掌握动态规划的顺序及逆序解法。
-
2
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• 能力目标 • 1. 能够结合实际情况建立动态规划模型 ，把一个复杂的
问题，划分为一系列小问题，以便通过解这些小问题来 求得全部问题的解决 • 2. 能够应用顺序及逆序解法求解简单的投资分配问题、 货物配装问题、最短路径问题以及生产与存储问题
-
20
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6）指标函数
• 指标函数有阶段的指标函数和过程的指标函数之分。
• 阶段的指标函数是对应某一阶段状态和从该状态出发的一个 阶段的决策效果的优劣的数量指标，称为阶段指标函数Vk ，
-
17
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3）决策（decision）
❖ 所谓决策，是指对某一阶段活动初从给定的状态出发，决策
者面临若干个不同的行为方案或途径作出的一种选择。
❖ 由于实际问题千变万化，因而决策可以有形形色色的不同含 义，很难言简而概全。
❖ 在决策过程中，往往前一个阶段的决策要影响到 后一阶段的决策，从而影响整个过程。
❖ 这类把一个问题划分成若干个相互联系的阶段并 选取其最优策略的问题就是多阶段决策问题。
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6
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一、动态规划问题提出
• 1951年，美国数学家贝尔曼（R·Bellman，1920—1984） 研究了一类多阶段决策问题的特征，提出了解决这类问 题的基本原理。在研究、解决了某些实际问题的基础上， 他于1957年出版了《动态规划》这一名著。本章将简要 介绍动态规划的思想方法及其应用。
传统的解题不同方法； 4.掌握动态规划的顺序及逆序解法。
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• 能力目标 • 1. 能够结合实际情况建立动态规划模型 ，把一个复杂的
问题，划分为一系列小问题，以便通过解这些小问题来 求得全部问题的解决 • 2. 能够应用顺序及逆序解法求解简单的投资分配问题、 货物配装问题、最短路径问题以及生产与存储问题
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6）指标函数
• 指标函数有阶段的指标函数和过程的指标函数之分。
• 阶段的指标函数是对应某一阶段状态和从该状态出发的一个 阶段的决策效果的优劣的数量指标，称为阶段指标函数Vk ，
动态规划算法教学PPT
03
动态规划算法的实现步骤
明确问题，建立数学模型
1
确定问题的目标和约束条件，将其转化为数学模 型。
2
理解问题的阶段划分，将问题分解为若干个子问 题。
3
确定状态变量和决策变量，以便描述子问题的状 态和决策。
划分阶段，确定状态变量和决策变量
01
根据问题的阶段划分，将问题分解为若干个子问题。
02
确定状态变量和决策变量，以便描述子问题的状态 和决策。
02
将子问题的最优解组合起来，得到原问题的最优解。
对最优解进行验证和性能评估，确保其满足问题的要求。
03
04
动态规划算法的优化技巧
分支定界法
分支定界法是一种求解优化问题的算 法，它通过不断生成问题的分支并确 定每个分支的界限，来寻找最优解。 在动态规划中，分支定界法可以用来 优化状态转移方程，减少计算量。
详细描述
多目标规划问题在实际生活中应用广泛，如资源分配、项目计划、城市规划等领 域都有涉及。常用的求解多目标规划的方法包括权重和法、帕累托最优解等。
多阶段决策问题
总结词
多阶段决策问题是动态规划中的一类，解决的问题需要在多个阶段做出决策，每个阶段的决策都会影响到后续阶 段的决策。
详细描述
多阶段决策问题在实际生活中应用广泛，如生产计划、库存管理、路径规划等领域都有涉及。常用的求解多阶段 决策问题的方法包括递归法、动态规划等。
特点
动态规划算法具有最优子结构、重叠 子问题和最优解性质等特征。
动态规划算法的应用领域
计算机科学
在计算机科学中，动态规划算法广泛应用于字符 串处理、排序、数据压缩和机器学习等领域。
电子工程
在电子工程中，动态规划算法用于信号处理、通 信和控制系统等领域。
动态规划(完整)
(3) 决策、决策变量
所谓决策就是确定系统过程发展的方案，
决策的实质是关于状态的选择，是决策者从
给定阶段状态出发对下一阶段状态作出的选
择。
用以描述决策变化的量称之决策变量， 和状态变量一样，决策变量可以用一个数， 一组数或一向量来描述．也可以是状态变量
的函数，记以 xk xk (sk ) ，表示于 k 阶段状
阶段变量描述当前所处的阶段位置，一 般用下标 k 表示;
(2) 确定状态
每阶段有若干状态(state), 表示某一阶段决策 面临的条件或所处位置及运动特征的量,称为 状态。反映状态变化的量叫作状态变量。 k 阶段的状态特征可用状态变量 sk 描述;
每一阶段的全部状态构成该阶段的状态集合Sk ，并有skSk。每个阶段的状态可分为初始状 态和终止状态，或称输入状态和输出状态， 阶段的初始状态记作sk ，终止状态记为sk+1 ，也是下个阶段的初始状态。
状态转移方程在大多数情况下可以由数学公 式表达, 如: sk+1 = sk + xk；
(6) 指标函数
用来衡量策略或子策略或决策的效果的 某种数量指标，就称为指标函数。它是定义 在全过程或各子过程或各阶段上的确定数量 函数。对不同问题，指标函数可以是诸如费 用、成本、产值、利润、产量、耗量、距离、 时间、效用，等等。
• 2、在全过程最短路径中，将会出现阶段的最优路
径；-----递推性
• 3、前面的终点确定，后面的路径也就确定了，且 与前面的路径（如何找到的这个终点）无关；----
-无后效性
• 3、逐段地求解最优路径，势必会找到一个全过程
最优路径。-----动态规划
§7.1多阶段决策问题
• 动态规划是解决多阶段最优决策的方法, 由美国数学家贝尔曼(R. Bellman) 于 1951年首先提出;
中级宏观经济学之无限期动态模型与动态规划 (PPT 73页)
（4.47）
再一次提醒大家，函数 v 和函数 w 是两个完全
不同的函数：函数 v 是以递归形式表述的社会计划
者最优问题中的值函数，而函数 w 是以序列形式表
述的社会计划者最优问题中的函数。
2020/6/17
第四讲 三期动态模型
25
计划者带进当前期的资本存量 k ，是过去决策的一个直接 后果，实际上凝结了所有过去决策的信息，它完全地决定 了从今往后可用于支配的资源数量。因此，它经常被称为 “状态变量（state variable）”：她完全地把当前的经济状态 刻画出来了（也就是说，计划者可以在此基础上进行未来 的选择）。变量 k 是计划者在当前所需要决定（或者说控制） 变量，因此，她经常被成为“控制变量（control variable）”， 因为，这个变量是计划者在当前能控制的变量。
2020/6/17
第四讲 三期动态模型
31
让我们猜： v(k) A B ln(k)
(4.49)
其中，A 和 B 都是待定系数。我们可以分如下
三个步骤来解它：
第一步：给定我们猜测的 v，求解函数方程中右
边的最大化问题，也即求解：
max ln(k k) A B ln(k)
0kk
1
B
FOC k k k k
2020/6/17
第四讲 三期动态模型
10
二、动态规划简介
2020/6/17
第四讲 三期动态模型
11
2.1序列形式表述的社会计划 者问题
因为我们在前面已经证明了竞争均衡解 也是帕雷托最优解。因此，我们可以通 过求解社会计划者问题来获得竞争均衡 的有关数量解，这样，上面这个无限期 模型中的社会计划者最优化问题可以正 规地描述如下：
动态规划问题常见解法
动态规划问题常见解法
动态规划是一种高效解决优化问题的方法。
它通常用于涉及最
优化问题和最短路径的计算中。
下面是一些常见的动态规划问题解法：
1. 背包问题
背包问题是动态规划中的经典问题之一。
其目标是在给定的背
包容量下，选择一些物品放入背包中，使得物品总价值最大。
解决
这个问题的常见方法是使用动态规划的思想，定义一个二维数组来
记录每个物品放入背包时的最大价值，然后逐步计算出最终的结果。
2. 最长公共子序列问题
最长公共子序列问题是寻找两个字符串中最长的公共子序列的
问题。
解决这个问题的常见方法是使用动态规划的思想，定义一个
二维数组来记录两个字符串中每个位置的最长公共子序列的长度。
然后通过递推关系来计算出最终的结果。
3. 矩阵链乘法问题
矩阵链乘法问题是计算一系列矩阵相乘的最佳顺序的问题。
解
决这个问题的常见方法是使用动态规划的思想，定义一个二维数组
来记录每个矩阵相乘时的最小乘法次数，然后逐步计算出最终的结果。
4. 最长递增子序列问题
最长递增子序列问题是寻找一个序列中最长的递增子序列的问题。
解决这个问题的常见方法是使用动态规划的思想，定义一个一
维数组来记录每个位置处的最长递增子序列的长度，然后通过递推
关系来计算出最终的结果。
以上是一些常见的动态规划问题解法。
通过灵活运用这些方法，我们可以更高效地解决优化问题和最短路径计算等相关任务。
最优控制理论及应用讲解
多级决策过程所谓多级决策过程是指将一个过程按时间或空间顺序分为若干级步然后给每一级步作出决策在控制过程中令每走一步所要决定的控制步骤称之为决策以使整个过程取得最优的效果即多次的决策最终要构成一个总的最优控制策略最优控制方案
第4章 动态规划
求解动态最优化问题的两种基本方法：极小值原理和动态规划。
动态规划：是一种分级最优化方法，其连续形式与极小值原理相 辅相成，深化了最优控制的研究。
Optimal Control Theory & its Application
主要内容
1
多级决策过程和最优性原理
2
离散控制系统的动态规划
3
连续控制系统的动态规划
4 动态规划与变分法、极小值原理的关系
5
本章小结
Optimal Control Theory
Dong Jie 2012. All rights reserved.
Dong Jie 2012. All rights reserved.
Date: 09.05.2019 File: OC_CH4.7
Optimal Control Theory & its Application
Optimal Control Theory
Dong Jie 2012. All rights reserved.
特点：1）将一个多阶段决策问题化为多个单阶段决策问题，易于分析 2）每阶段评估只与前一阶段结果有关，计算量减小
Optimal Control Theory
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第4章 动态规划
求解动态最优化问题的两种基本方法：极小值原理和动态规划。
动态规划：是一种分级最优化方法，其连续形式与极小值原理相 辅相成，深化了最优控制的研究。
Optimal Control Theory & its Application
主要内容
1
多级决策过程和最优性原理
2
离散控制系统的动态规划
3
连续控制系统的动态规划
4 动态规划与变分法、极小值原理的关系
5
本章小结
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特点：1）将一个多阶段决策问题化为多个单阶段决策问题，易于分析 2）每阶段评估只与前一阶段结果有关，计算量减小
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运筹学动态规划
状态转移方程为 sk1 sk yk xk 阶段指标函数：vk ( sk , xk , yk ) qk yk pk xk
基本方程为：
fk ( sk ) max{qk yk pk xk fk1 ( sk1 )}
0 yk sk 0 xk H sk yk
f1(s1 )
max
0 x1 s1
{4
x1
2s22 }
max
0 x1 s1
{4
x1
2( s1
x1 )2 }
max{4s1 ,2s12} 200
第14页 共64页
上述最短路线的计算过程可用图直观表示(标 号法)，如图4-3所示，结点上方矩形内的数字表 示该点到终点的最短距离。
5
A 18
13
B1 3
7
B2
16
13
C1 6
10 3
C2
9
3
C3
4
C4
12
7
D1
2
6
D2 1
3
D3
8
图4-3
7
E1 3
该点到G点的最短距离
4
F1 4
E2 2
5
6
E3
9
例4-3 分配投资问题的逆序求解
基本方程为：
fk
( sk
)
max { g 0 xk sk
k
(
xk
)
fk 1 ( sk 1 )}
f4 (s4 ) 0
sk+1 = sk – xk
g1(x1)= 4x1
g2(x2)= 9x2
基本方程为：
fk ( sk ) max{qk yk pk xk fk1 ( sk1 )}
0 yk sk 0 xk H sk yk
f1(s1 )
max
0 x1 s1
{4
x1
2s22 }
max
0 x1 s1
{4
x1
2( s1
x1 )2 }
max{4s1 ,2s12} 200
第14页 共64页
上述最短路线的计算过程可用图直观表示(标 号法)，如图4-3所示，结点上方矩形内的数字表 示该点到终点的最短距离。
5
A 18
13
B1 3
7
B2
16
13
C1 6
10 3
C2
9
3
C3
4
C4
12
7
D1
2
6
D2 1
3
D3
8
图4-3
7
E1 3
该点到G点的最短距离
4
F1 4
E2 2
5
6
E3
9
例4-3 分配投资问题的逆序求解
基本方程为：
fk
( sk
)
max { g 0 xk sk
k
(
xk
)
fk 1 ( sk 1 )}
f4 (s4 ) 0
sk+1 = sk – xk
g1(x1)= 4x1
g2(x2)= 9x2
第四讲 三期动态模型(中级宏观经济学-浙江大学 何樟勇)
2014-1-4 第四讲 三期动态模型 17
V3 u (c 2 ) (k 2 ) u(c2 ) u(c3 ) f (k 2 ) k 2
(4.13)
这个一阶条件就是欧拉方程。这个欧拉方程实 际上隐含地给出了第二期政策函数：
k 2 g (k1 )
（4.14）
现在，有了这个政策函数，我们可以定义第二 期的值函数了，它是：
c1 ,c2 ,c3 , k1 , k 2
max
u(c ) u(c
1
) 2 u (c3 ) （4.3） 2
s.t.
c1 k1 f (k 0 )
c2 k 2 f (k1 )
(4.4) （4.5） (4.6)
10
c3 k3 f (k 2 )
2014-1-4
第四讲 三期动态模型
2014-1-4 第四讲 三期动态模型
3
这里，方程（4.9）称为政策函数（Policy function） ，它 反映的是如下这样一个事， 即消费者准备为第下一期预 留的资本数量实际取决于本期已有的资本数量， 具体到 我们这个三期模型里来， 也即消费者准备为第四期预留 的资本数量 k3 是本期资本数量 k 2 的函数，即 k3 g (k 2 ) 。 当然，因为在我们这个模型里，经济活动仅进行三期， 因而不会为第四期预留资本，也即也即， k3 0 。
第四讲 三期动态模型 22
2014-1-4
三、一个例子： 吃蛋糕问题
2014-1-4
第四讲 三期动态模型
23
现在，考虑一个生活三期的个人，他(她)的偏好 由如下效用函数给出：
t 1 ln ct
t 1 3
(4.17)
这里， c t 是时期 t 的消费， 0 1 是主观贴现率。
V3 u (c 2 ) (k 2 ) u(c2 ) u(c3 ) f (k 2 ) k 2
(4.13)
这个一阶条件就是欧拉方程。这个欧拉方程实 际上隐含地给出了第二期政策函数：
k 2 g (k1 )
（4.14）
现在，有了这个政策函数，我们可以定义第二 期的值函数了，它是：
c1 ,c2 ,c3 , k1 , k 2
max
u(c ) u(c
1
) 2 u (c3 ) （4.3） 2
s.t.
c1 k1 f (k 0 )
c2 k 2 f (k1 )
(4.4) （4.5） (4.6)
10
c3 k3 f (k 2 )
2014-1-4
第四讲 三期动态模型
2014-1-4 第四讲 三期动态模型
3
这里，方程（4.9）称为政策函数（Policy function） ，它 反映的是如下这样一个事， 即消费者准备为第下一期预 留的资本数量实际取决于本期已有的资本数量， 具体到 我们这个三期模型里来， 也即消费者准备为第四期预留 的资本数量 k3 是本期资本数量 k 2 的函数，即 k3 g (k 2 ) 。 当然，因为在我们这个模型里，经济活动仅进行三期， 因而不会为第四期预留资本，也即也即， k3 0 。
第四讲 三期动态模型 22
2014-1-4
三、一个例子： 吃蛋糕问题
2014-1-4
第四讲 三期动态模型
23
现在，考虑一个生活三期的个人，他(她)的偏好 由如下效用函数给出：
t 1 ln ct
t 1 3
(4.17)
这里， c t 是时期 t 的消费， 0 1 是主观贴现率。
动态规划部分知识点总结
动态规划部分知识点总结动态规划的基本思想动态规划的基本思想可以用“递推”来描述。
在解决一个问题时，通常需要先确定一个递推关系，然后利用递推关系逐步求解问题的最优解。
以求解最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence，LIS）问题为例，最长递增子序列是指在一个无序的序列中找到一个最长的子序列，要求子序列中的元素是递增的。
假设原序列为A，最长递增子序列的长度为LIS(i)，则可以通过递推关系来解决这个问题：LIS(i) = max(LIS(j)+1)，其中j<i 且A[j]<A[i]通过这个递推关系，我们可以逐步求解出从A[1]到A[n]的最长递增子序列的长度，最终得到整个序列的最长递增子序列。
动态规划的特点动态规划有一些特点，可以帮助我们更好地理解和应用这种方法。
1. 重叠子问题：动态规划的关键特点之一是重叠子问题，即原问题可以分解为若干个子问题，不同的子问题可能有重叠的部分。
通过记录和利用子问题的解，可以避免重复计算，提高计算效率。
2. 最优子结构：动态规划适用于具有最优子结构性质的问题。
最优子结构指的是原问题的最优解可以通过子问题的最优解来求解。
换句话说，原问题的最优解可以由子问题的最优解推导出来。
3. 状态转移方程：动态规划问题通常可以通过状态转移方程来描述。
状态转移方程是指原问题与子问题之间的关系，它可以用数学公式或递推关系来表示。
通过状态转移方程，可以确定问题的递推规律，从而求解问题的最优解。
动态规划的应用动态规划广泛应用于各种领域，比如算法设计、优化问题、数据挖掘等。
它可以解决许多经典问题，比如最短路径、背包问题、编辑距离、最长公共子序列等。
1. 最短路径：最短路径问题是指在一个加权有向图或加权无向图中，找到一条从起点到终点的路径，使得路径上的边权重之和最小。
动态规划可以用于求解最短路径问题，比如利用Floyd-Warshall算法或Dijkstra算法，通过记录并利用子问题的解来求解最短路径。
《动态规划算法》课件
总结词
多阶段决策优化
详细描述
背包问题是一个经典的动态规划问题，通过将问题分解 为多个阶段，并为每个阶段定义状态和状态转移方程， 我们可以找到最优解。在背包问题中，我们使用一个二 维数组来存储每个状态的最优解，并逐步更新状态以找 到最终的最优解。
最长公共子序列求解
总结词
字符串匹配优化
详细描述
最长公共子序列问题是一个经典的动态规划问题，用 于找到两个序列的最长公共子序列。通过动态规划， 我们可以避免在寻找公共子序列时进行冗余比较，从 而提高算法效率。在动态规划中，我们使用一个二维 数组来存储子问题的最优解，并逐步构建最终的最长 公共子序列。
动态规划的基本思想
01
将问题分解为子问 题
将原始问题分解为若干个子问题 ，子问题的解可以构成原问题的 解。
02
保存已解决的子问 题
将已解决的子问题的解保存起来 ，以便在求解其他子问题时重复 使用。
03
递推求解
从子问题的解逐步推导出原问题 的解，通常采用自底向上的方式 求解。
02
动态规划算法的步骤
可并行化
动态规划算法可以并行化执行，以提高计算效率，这对于 大规模问题的求解非常有利。
缺点
• 空间复杂度高：动态规划算法需要存储大量的中间状态，因此其空间复杂度通常较高，有时甚至会超过问题规 模的一个指数倍。
• 问题规模限制：由于动态规划算法的空间复杂度较高，因此对于大规模问题的求解可能会遇到困难。 • 可能产生大量重复计算：在动态规划算法中，对于每个子问题，可能会被多次计算和存储，这会导致大量的重复计算和存储空间浪费。 • 不易发现：动态规划算法的应用范围有限，对于一些非最优子结构问题或没有重叠子问题的优化问题，动态规划算法可能不适用。因此，在解决问题时需要仔细分析问题特性，判断是
多阶段决策优化
详细描述
背包问题是一个经典的动态规划问题，通过将问题分解 为多个阶段，并为每个阶段定义状态和状态转移方程， 我们可以找到最优解。在背包问题中，我们使用一个二 维数组来存储每个状态的最优解，并逐步更新状态以找 到最终的最优解。
最长公共子序列求解
总结词
字符串匹配优化
详细描述
最长公共子序列问题是一个经典的动态规划问题，用 于找到两个序列的最长公共子序列。通过动态规划， 我们可以避免在寻找公共子序列时进行冗余比较，从 而提高算法效率。在动态规划中，我们使用一个二维 数组来存储子问题的最优解，并逐步构建最终的最长 公共子序列。
动态规划的基本思想
01
将问题分解为子问 题
将原始问题分解为若干个子问题 ，子问题的解可以构成原问题的 解。
02
保存已解决的子问 题
将已解决的子问题的解保存起来 ，以便在求解其他子问题时重复 使用。
03
递推求解
从子问题的解逐步推导出原问题 的解，通常采用自底向上的方式 求解。
02
动态规划算法的步骤
可并行化
动态规划算法可以并行化执行，以提高计算效率，这对于 大规模问题的求解非常有利。
缺点
• 空间复杂度高：动态规划算法需要存储大量的中间状态，因此其空间复杂度通常较高，有时甚至会超过问题规 模的一个指数倍。
• 问题规模限制：由于动态规划算法的空间复杂度较高，因此对于大规模问题的求解可能会遇到困难。 • 可能产生大量重复计算：在动态规划算法中，对于每个子问题，可能会被多次计算和存储，这会导致大量的重复计算和存储空间浪费。 • 不易发现：动态规划算法的应用范围有限，对于一些非最优子结构问题或没有重叠子问题的优化问题，动态规划算法可能不适用。因此，在解决问题时需要仔细分析问题特性，判断是
运筹学课件(动态规划)
（二）、动态规划的基本思想 1、动态规划方法的关键在于正确地写出基本的递推 关系式和恰当的边界条件（简称基本方程）。要做到 这一点，就必须将问题的过程分成几个相互联系的阶 段，恰当的选取状态变量和决策变量及定义最优值函 数，从而把一个大问题转化成一组同类型的子问题， 然后逐个求解。即从边界条件开始，逐段递推寻优， 在每一个子问题的求解中，均利用了它前面的子问题 的最优化结果，依次进行，最后一个子问题所得的最 优解，就是整个问题的最优解。
d( B1,C1 ) + f1 (C1 ) 3+1 f2 ( B1 ) = min d( B1,C2 ) + f1 (C2 ) = min 3+3 d( B1,C3 ) + f1 (C3 ) 1+4 4 = min 6 = 4 (最短路线为B1→C1 →D) 5
3
2 A 4 B2 B1 2 1 3
最优策略为（30，20），此时最大利润为105万元。
f 2 ( 40)
g2 ( y) y 0 ,10 ,, 40
max
f1 ( 40 y )
90
最优策略为（20，20），此时最大利润为90万元。
f 2 (30)
g2 ( y) y 0 ,10 , 20 , 30
max
f1 (30 y )
70
最优策略为（20，10），此时最大利润为70万元。
f 2 ( 20) ma 0 ,10 , 20
50
最优策略为（20，0），此时最大利润为50万元。
f 2 (10) maxg 2 ( y ) f1 (10 y )
3 2 A 4 B2 B1 2 3 1 3 1
C1 C2 4 3
04讲(路线规划)
二次逐次修正法
(1)任取初始H圈: C0=v1,…,vi,…,vj,…vm,v1;
(2)对所有的i,j, 1＜i+1＜j＜m，若: w(vi,vj)+w(vi+1,vj+1) ＜w(vi,vi+1)+w(vj,vj+1) 则在C0中删去边(vi,vi+1)和(vj,vj+1)而加入边(vi,vj)和(vi+1,vj+1)，形成新的 H圈C，即 C=v1,…,vi,vj,vj-1,…,vi+1,vj+1,…,vi,v1; (3)重复步骤(2)，直到条件不满足为止，最后得到的C即为所求。
100
4.6×10155
4.6×10157
1.0×10138 世纪
以分枝界限法求解TSP所需的计算时间表
TSP/VRP问题传统解法的总结
以上问题属于“未定论多项式难度”问题(Nondeterministic Polynomial Hard, NP-Hard),
即在求解最佳解的时候，随着目标节点的增加，其难度会呈指数增长的问 题。
2014-6-8 9
运输问题(略)
线路问题的引入
线路问题综述
车辆运送作业是物流中心最终及最具体直接的服务表征。运送管理的困难 在于其可变因素太多，而且因素与因素间往往又相互影响，最直接的影响反 映在运送的费用上。
车辆路线问题 (VRP)是物流中心成本问题的重要主体， 如考虑到顾客需求 量不确定的限制，该问题研究的重点是如何处理车辆的安排、运送路径选择、 运送顺序的问题，等等，以求得成本最小。
0 1 0 0 0 1 0 0
3 3 0 0 3 3 0 0
D ( 3)
D ( 4)
动态规划讲解大全(含例题及答案)
动态规划算法的应用
一、动态规划的概念
近年来，涉及动态规划的各种竞赛题越来越多，每一年的 NOI 几乎都至少有一道题目需要用动态 规划的方法来解决；而竞赛对选手运用动态规划知识的要求也越来越高，已经不再停留于简单的递推 和建模上了。
要了解动态规划的概念，首先要知道什么是多阶段决策问题。 1. 多阶段决策问题 如果一类活动过程可以分为若干个互相联系的阶段，在每一个阶段都需作出决策(采取措施)，一 个阶段的决策确定以后，常常影响到下一个阶段的决策，从而就完全确定了一个过程的活动路线，则 称它为多阶段决策问题。 各个阶段的决策构成一个决策序列，称为一个策略。每一个阶段都有若干个决策可供选择，因而 就有许多策略供我们选取，对应于一个策略可以确定活动的效果，这个效果可以用数量来确定。策略 不同，效果也不同，多阶段决策问题，就是要在可以选择的那些策略中间，选取一个最优策略，使在 预定的标准下达到最好的效果. 2．动态规划问题中的术语 阶段：把所给求解问题的过程恰当地分成若干个相互联系的阶段，以便于求解，过程不同，阶段 数就可能不同．描述阶段的变量称为阶段变量。在多数情况下，阶段变量是离散的，用 k 表示。此外， 也有阶段变量是连续的情形。如果过程可以在任何时刻作出决策，且在任意两个不同的时刻之间允许 有无穷多个决策时，阶段变量就是连续的。
解决方法：
我们尝试从正面的思路去分析问题，如上例，不难得出一个非常简单的递归过程 : f1:=f(i-1,j+1); f2:=f(i-1,j); if f1>f2 then f:=f1+a[i,j] else f:=f2+a[i,j]; 显而易见，这个算法就是最简单的搜索算法。时间复杂度为 2n，明显是会超时的。分析一下搜索 的过程，实际上，很多调用都是不必要的，也就是把产生过的最优状态，又产生了一次。为了避免浪 费，很显然，我们存放一个 opt 数组：Opt[i, j] - 每产生一个 f(i, j)，将 f(i, j)的值放入 opt 中，以 后再次调用到 f(i, j)的时候，直接从 opt[i, j]来取就可以了。于是动态规划的状态转移方程被直观地 表示出来了，这样节省了思维的难度，减少了编程的技巧，而运行时间只是相差常数的复杂度，避免 了动态规划状态转移先后的问题，而且在相当多的情况下，递归算法能更好地避免浪费，在比赛中是 非常实用的.
一、动态规划的概念
近年来，涉及动态规划的各种竞赛题越来越多，每一年的 NOI 几乎都至少有一道题目需要用动态 规划的方法来解决；而竞赛对选手运用动态规划知识的要求也越来越高，已经不再停留于简单的递推 和建模上了。
要了解动态规划的概念，首先要知道什么是多阶段决策问题。 1. 多阶段决策问题 如果一类活动过程可以分为若干个互相联系的阶段，在每一个阶段都需作出决策(采取措施)，一 个阶段的决策确定以后，常常影响到下一个阶段的决策，从而就完全确定了一个过程的活动路线，则 称它为多阶段决策问题。 各个阶段的决策构成一个决策序列，称为一个策略。每一个阶段都有若干个决策可供选择，因而 就有许多策略供我们选取，对应于一个策略可以确定活动的效果，这个效果可以用数量来确定。策略 不同，效果也不同，多阶段决策问题，就是要在可以选择的那些策略中间，选取一个最优策略，使在 预定的标准下达到最好的效果. 2．动态规划问题中的术语 阶段：把所给求解问题的过程恰当地分成若干个相互联系的阶段，以便于求解，过程不同，阶段 数就可能不同．描述阶段的变量称为阶段变量。在多数情况下，阶段变量是离散的，用 k 表示。此外， 也有阶段变量是连续的情形。如果过程可以在任何时刻作出决策，且在任意两个不同的时刻之间允许 有无穷多个决策时，阶段变量就是连续的。
解决方法：
我们尝试从正面的思路去分析问题，如上例，不难得出一个非常简单的递归过程 : f1:=f(i-1,j+1); f2:=f(i-1,j); if f1>f2 then f:=f1+a[i,j] else f:=f2+a[i,j]; 显而易见，这个算法就是最简单的搜索算法。时间复杂度为 2n，明显是会超时的。分析一下搜索 的过程，实际上，很多调用都是不必要的，也就是把产生过的最优状态，又产生了一次。为了避免浪 费，很显然，我们存放一个 opt 数组：Opt[i, j] - 每产生一个 f(i, j)，将 f(i, j)的值放入 opt 中，以 后再次调用到 f(i, j)的时候，直接从 opt[i, j]来取就可以了。于是动态规划的状态转移方程被直观地 表示出来了，这样节省了思维的难度，减少了编程的技巧，而运行时间只是相差常数的复杂度，避免 了动态规划状态转移先后的问题，而且在相当多的情况下，递归算法能更好地避免浪费，在比赛中是 非常实用的.
noip动态规划讲解课件
用f[x,i,j]表示走到第x步时，第1条路线走到横坐标为i的地方，第2条路线走到了横坐标为j的地方。这样，我们只要枚举x，i，j，就能递推出来了。
For x:=3 To m+n Do For i:=1 To Min(x,n) Do For j:=1 To Min(x,n) Do Begin f[x,i,j]:=Max(f[x-1,i,j],f[x-1,i-1,j],f[x-1,i,j-1],f[x-1,i-1,j-1]); If i=j Then Inc(f[x,i,j],a[i,x-i]) Else Begin Inc(f[x,i,j],a[x-i,i]); Inc(f[x,i,j],a[x-j,j]); End; End;
动态规划实质：
枚举
+
递推
状态
状态转移方程
Sample Problem1
1
3
5
9
1
从树的根到树的叶节点，最多能取多少数？
贪心：答案错误
暴力搜索：如果数据大会超时
我们先将NOIp里的动态规划分分类：
最长不降子序列 背包 方格取数 石子归并 状态压缩 数学递推 顺序递推
合唱队形（NOIp2004） 【问题描述】 N位同学站成一排，音乐老师要请其中的(N-K)位同学出列，使得剩下的K位同学排成合唱队形。 合唱队形是指这样的一种队形：设K位同学从左到右依次编号为1，2…，K，他们的身高分别为T1，T2，…，TK， 则他们的身高满足T1<...<Ti>Ti+1>…>TK(1<=i<=K)。 你的任务是，已知所有N位同学的身高，计算最少需要几位同学出列，可以使得剩下的同学排成合唱队形。 【输入文件】 输入文件第一行是一个整数N(2<=N<=100)，表示同学的总数。第一行有n个整数，用空格分隔，第i个整数Ti(130<=Ti<=230)是第i位同学的身高。 【输出文件】 输出文件包括一行，这一行只包含一个整数，就是最少需要几位同学出列。
运筹学课件-第4讲 马尔可夫决策
Nhomakorabea2
计算
通过动态规划等方法求解得到某个状态或决策的价值函数。
3
马尔可夫链收敛定理
当状态转移矩阵满足一定条件时，价值函数将收敛于稳定状态。
马尔可夫决策的解法
动态规划方法
通过价值迭代或策略迭代，逐步优化价值函数和决策策略。
Q-学习算法
基于贝尔曼方程，通过不断更新Q值逼近最优策略。
SARSA算法
基于行动者-评论家模型，是一种基于完整算法更新的在线式强化学习方法。
马尔可夫决策过程（MDP）
定义
组成部分
马尔可夫决策过程是一种基于状态和动作的数学模 型，描述代理通过作出决策来影响环境状态的过程。
由状态、决策、即时奖励、状态转移函数和折扣因 子组成。
状态转移矩阵
描述状态之间的转移概率和奖励期望，是马尔可夫 决策的核心。
价值函数
1
定义
价值函数是衡量某个状态或决策的好坏程度的函数，用于指导决策。
案例分析
马尔可夫决策的应用举例
自主驾驶、机器人控制、智能电网等领域中广泛应 用。
基于马尔可夫决策的实际问题求解
根据不同行动策略，制定优化日常商场布局策略等。
总结
1 优缺点
马尔可夫决策具有计算代价高、状态空间巨 大等优缺点。
2 未来发展趋势
随着人工智能技术的不断发展，马尔可夫决 策将在更多领域得到应用。
马尔可夫决策
在复杂的决策场景中，如何做出最佳决策？本课件将会详细介绍马尔可夫决 策，它是一种强大的数学工具，用于预测和优化决策过程。
概述
定义
马尔可夫决策是决策过程中 基于最优化准则进行决策的 一种数学模型。
特点
马尔可夫决策过程具有状态 转移矩阵、即时奖励等特点。
计算
通过动态规划等方法求解得到某个状态或决策的价值函数。
3
马尔可夫链收敛定理
当状态转移矩阵满足一定条件时，价值函数将收敛于稳定状态。
马尔可夫决策的解法
动态规划方法
通过价值迭代或策略迭代，逐步优化价值函数和决策策略。
Q-学习算法
基于贝尔曼方程，通过不断更新Q值逼近最优策略。
SARSA算法
基于行动者-评论家模型，是一种基于完整算法更新的在线式强化学习方法。
马尔可夫决策过程（MDP）
定义
组成部分
马尔可夫决策过程是一种基于状态和动作的数学模 型，描述代理通过作出决策来影响环境状态的过程。
由状态、决策、即时奖励、状态转移函数和折扣因 子组成。
状态转移矩阵
描述状态之间的转移概率和奖励期望，是马尔可夫 决策的核心。
价值函数
1
定义
价值函数是衡量某个状态或决策的好坏程度的函数，用于指导决策。
案例分析
马尔可夫决策的应用举例
自主驾驶、机器人控制、智能电网等领域中广泛应 用。
基于马尔可夫决策的实际问题求解
根据不同行动策略，制定优化日常商场布局策略等。
总结
1 优缺点
马尔可夫决策具有计算代价高、状态空间巨 大等优缺点。
2 未来发展趋势
随着人工智能技术的不断发展，马尔可夫决 策将在更多领域得到应用。
马尔可夫决策
在复杂的决策场景中，如何做出最佳决策？本课件将会详细介绍马尔可夫决 策，它是一种强大的数学工具，用于预测和优化决策过程。
概述
定义
马尔可夫决策是决策过程中 基于最优化准则进行决策的 一种数学模型。
特点
马尔可夫决策过程具有状态 转移矩阵、即时奖励等特点。
运筹学课件-第4讲 马尔可夫决策
报酬函数与策略
报酬函数
描述系统在某一状态下采取某一行动后所获得的报酬或收益，通常用$r(s, a)$表示。报酬函数可以是正值、负值或零 ，取决于具体的决策问题和目标。
策略
描述了在每个状态下选择行动的规则或方法，通常用$pi(a|s)$表示在状态$s$下选择行动$a$的概率。策略可以是确 定的或随机的，根据问题的性质和求解方法的不同而有所选择。
约束处理方法
处理约束的方法包括拉格朗日松弛、动态规划中的约束处理等。
应用场景
约束条件下的马尔可夫决策过程在资源分配、任务调度等问题中有 广泛应用。
连续时间马尔可夫决策过程
连续时间模型
与离散时间马尔可夫决策过程 不同，连续时间马尔可夫决策
过程的时间参数是连续的。
转移概率与决策策略
在连续时间模型中，转移概率 和决策策略需要适应连续时间
值函数
描述了从某一状态开始遵循某一策略所获得的期望总报酬，通常用$V^pi(s)$表示在状态$s$下遵循策略 $pi$的值函数。值函数是评估策略优劣的重要指标，也是求解马尔可夫决策过程的关键所在。
03 值函数与最优策略求解
值函数定义及性质
值函数定义
在马尔可夫决策过程中，值函数用于评估从 某一状态开始，遵循某种策略所能获得的期 望总回报。它分为状态值函数和动作值函数 两种。
强化学习
强化学习问题可以建模为MDP，通过 智能体与环境交互来学习最优策略。
02 马尔可夫决策过程模型
状态空间与行动空间
状态空间
描述系统所有可能的状态，通常用$S$表示。在马尔可夫决策过 程中，状态空间可以是离散的或连续的。
行动空间
描述在每个状态下可采取的所有行动，通常用$A$表示。行动空间 也可以是离散的或连续的。
第四讲 旅行商问题ppt课件
fk
(i,
S
)
min js
fk
1 (
j,
S
\
j)
d
j
i
f0 (i, ) d1i 为空集
(k 1, 2,L , n 1，i 2,3,L , n )
3
例： 求解四个城市旅行推销员问题，其距离矩阵 如表所示。当推销员从v1城出发，经过每个城市一 次且仅一次，最后回到v1城，问按怎样的路线走， 使总的行程距离最短。
f1(4,3) d42 p2(2,3, 4) 4 p2(3,2, 4) 4 p2(4,2,3) 2
6
当k=3时，即从v1城开始，中间经过三个城市(顺序随便)回 到v1城的最短距离是：
f3(1,2，3，4) min f2 (2,3, 4) d21, f2(3,2, 4) d31, f2(4,2,3) d41
现在把问题一般化。设有n个城市，以v1，v2，…，vn表 示之。dij表示从vi城到vj城的距离。一个推销员从城市v1 出发到其他每个城市去一次且仅仅是一次，然后回到城 市v1。问他如何选择行走的路线，使总的路程最短。这 个问题属于组合最优化问题，当n不太大时，利用动态 规划方法求解是很方便的。
2
动态规划模型
min 20 8,18 5, 22 6 23
p3(1,2,3, 4) 2
由此可知，推销员的最短旅行路线是1→2→4→3→1，最短 总距离为23。
7
旅行商问题应用
• 物资运输路线问题 • 自动焊机割咀路线问题 • 管道铺设路线问题
8
课堂练习
• 求解四个城市的旅行商问题。问应如何选择行进路线， 使从v1的出发到其他城市一次且仅一次，再回到v1的总 路程最短？
点出发经过s集合中所有点一次最后到达到v城镇的最短路线上邻接v求解四个城市旅行推销员问题其距离矩阵如表所示
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扩展01背包问题
穷举所有阶段I {物品编号} 穷举状态j {当前背包被占用} 穷举决策k {k:=0 to w/v[i]} 根据决策转移状态到上个可以的子状
态，比较各个状态转移后的最优解f[I,j]； end; end; End;
扩展01背包问题
1、k=0时表示物品i不取，则对应的 f[I,j]=f[i-1,j]
另一种形式的程序
For i:=1 to n do for j:=1 to v[i]-1 do f[I,j]:=f[i-1,j]; for j:=v[i] to w do if f[i-1,j]>f[I,j-v[i]]+a[i] then f[I,j]:=f[i-1,j] else f[I,j]:=f[I,j-v[i]]+a[i]；
2、可能出现的情况是某些性价比较高的 物品装入后导致其他性价比较低物品不能 装入，导致背包体积被浪费。所以不能再 用贪心了
3、只能用DP解决
01背包问题
For i:=1 to n do for j:=0 to w do
枚举阶段（所有物品）
枚举状态（当前背包被 占用体积）
begin
当前物品不装入背包的最大总价值就是
Begin j:=i+len-1;F[i,j]:=maxlongint; For k:=i to j-1 do If F[i,j]>F[i,k]+F[k+1,j]+a[i].x*a[k].y*a[j].y Then Begin F[i,j]:=F[i,k]+F[k+1,j]+a[i].x*a[k].y*a[j].y; End; End ；
部分背包问题算法
为了让每份背包单位体积价值最大，只要 对所有物品按照性价比从大到小排序，依 次装入物品即可，直到背包满或者没有物 品可取
01背包问题
N个物品每个有价值a[i]和体积v[i]，但每 个物品不能分割（要么全部取，要么不 取），求最大的背包所含的价值。
01背包问题
1、如果不管哪个物品装入，都能恰好装 满背包，那么问题就是“背包单位体积所 含价值最大”
3、转ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方程： F[I,j]=min{F[I,k]+f[k+1,j]+ai.x*ai.y*aj.y}
首先是两两相乘
For i:=1 to n-1 do
F[i,i+1]:=a[i].x*a[i].y*a[i+1].y;
然后是更大规模的连乘
For len:=3 to n do For i:=1 to n-len+1 do
2、k>0时，表示物品i装入了被占用j体积 的背包中有k个，这个决策对应的上个可 能的子状态是：背包被占用体积是j-v[i] （可以不管当前装入的物品i已经装入几个 了）。对应的最优解就是：f[I,j]:=f[I,jv[i]]+a[i]
初步的程序结构
For i:=1 to n do for j:=1 to w do begin f[I,j]:=f[i-1,j]; {不取当前物品i} for k:=1 to j/v[i] do if (j>=k*v[i]) and (f[I,j]<=f[I,j-v[i]]+a[i]) then f[I,j]:=f[I,j-v[i]]+a[i]； end; end;
动态规划（提高组）
绍兴柯桥中学 吴建锋
部分背包问题
N个物品，每个物品有总价值a[i]和体积 v[i]，背包的总体积是W，每个物品可以部 分拿取，问最大可以获得价值。
部分背包问题
1、获取价值最大，就是在装满背包的前 提下获得总价值最大
2、要使总价值最大，显然要使单位体积 的价值含有量最大
3、因为物品可以一份份取，导致每个物 品装入时的性价比是固定的（就是a[i]/v[i]）
彩石运输
阿强是一个汽车运输工，他正在给一项装饰工程运输所需 的彩色石头。这些石头的颜色各异，价格也各不相同。有 一天阿强突发奇想，他想在一堆彩石中有选择地把彩石装 上他的卡车，使得卡车上装载的石头总价值是所有装载方 案中最大的。现在有一堆彩石堆放在阿强面前，他知道任 何两块石头的颜色都是不同的，但两块颜色不同的石头的 重量和价格可能相同。
完善程序
1、初始化？ Fillchar(f,sizeof(F),0)
2、最终解在哪里？ F[n,w]中。因为每个阶段的f[I,j]表示的是
前i个物品装入j体积的背包中的最大值， 而不是第i个物品装入j中的最大值。
扩展01背包问题
N种物品，每种有无穷多个，价值为a[i]， 单个体积为v[i]，装入总体积为W的背包， 求最大价值和。
f[I,j]:=f[i-1,j]; 前i-1个物品装入背包的最大值。
if (j>=v[i]) and (f[i-1,j-v[i]]+a[i]>f[I,j])
then f[I,j]:= f[i-1,j-v[i]]+a[i]>f[I,j]
end;
把当前背包不装入和装入进行比较，哪个更大， 难度是子状态的转移，上一个子状态就是j-v[i]， 因为v[i]装入前，背包被占用体积就是j-v[i]。
可以和tom问题中的状态转移联系起来，当前任务完成 的前一个子状态就是当前时刻减去当前任务占用时间
01背包的又一个程序
For i:=1 to n do Begin for j:=0 to v[i]-1 do f[I,j]:=f[i-1],j]; for j:=v[i] to w do begin if f[i-1,j-v[i]]+a[i]>f[I,j] then f[I,j]:= f[i-1,j-v[i]]+a[i]>f[I,j] end; End;
经典问题：矩阵连乘
有n个矩阵，计算他们连乘的最少乘法次 数。
输入第一行为一个整数n，表示参加连乘 的矩阵的个数，下面n行，依次给出各个 矩阵的行数和列数规模。
输出最少的乘法次数（连乘目标是只有一 个矩阵）。
输入和输出
输入： 3 1 5 5 20 20 1 输出： 105
前期分析
1、什么是矩阵乘法 2、乘法次数的统计原理
算法分析
1、阶段。分相邻二个矩阵相乘、相邻三 个相乘、……n个矩阵相乘来划分阶段。
2、状态。连乘矩阵的起始和终止编号。
3、决策。在i和j矩阵之间如何组合。
状态转移方程
1、f[I,j]表示第i个矩阵到第j个矩阵连乘的 最少次数。
2、a[i].x a[i].y表示第i个矩阵的行号和列 号