20070904高一数学(1.1.1-1集合的含义与表示)
高中数学：1.1.1集合的概念
1．1 集合与集合的表示方法1．1．1 集合的概念1．了解集合的概念． 2．理解元素与集合的关系． 3．掌握集合中元素的特性的应用．1．集合的概念(1)集合：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)．通常用英语大写字母A ，B ，C ，…表示．(2)元素：构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员)，通常用英语小写字母a ，b ，c ，…表示．2．元素与集合的关系 知识点关系 概念记法 读法 元素与集合的关系属于如果a 是集合A 的元素，就说a 属于Aa ∈A“a 属于A ” 不属于 如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于Aa ∉A“a 不属于A ”元素 意义确定性元素与集合的关系是确定的，即给定元素a 和集合A ，a ∈A 与a ∉A 必居其一互异性 集合中的元素互不相同，即a ∈A 且b ∈A 时，必有a ≠b无序性集合中的元素可以任意排列顺序4集合⎩⎨⎧空集：不含任何元素，记作∅非空集合：按含有元素的个数分为⎩⎪⎨⎪⎧有限集：含有有限个元素无限集：含有无限个元素5．常用数集的意义及表示意义名称记法非负整数全体构成的集合自然数集N在自然数集内排除0的集合正整数集N＋或N*整数全体构成的集合整数集Z有理数全体构成的集合有理数集Q实数全体构成的集合实数集R1．下列各组对象不能构成集合的是()A．著名的中国数学家B．所有的负数C．清华大学招收的2016届本科生D．满足3x－2＞x＋3的全体实数答案：A2．设M是所有偶数组成的集合，下列选项正确的是()A．3∈M B．1∈MC．2∈M D．2∉M答案：C3．方程x2－2x＋1＝0的解集中有________个元素．答案：14．指出下列集合是有限集还是无限集．(1)满足2 011≤x≤2 013的整数构成的集合；(2)平面α内所有直线构成的集合．答案：(1)有限集(2)无限集集合概念的理解判断下列各组对象能否构成一个集合：(1)不超过20的非负数；(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；(3)直角坐标平面内第一象限的一些点．【解】(1)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x>20或x<0”两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合．(2)类似于(1)，也能构成集合．(3)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合．判断一组对象构成集合的依据判断一组对象能否构成集合的关键是看是否有明确的判断标准，给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的，如果是“确定无疑”的，就可构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合．下列各组对象能构成集合的有________(填序号)．①中国农业银行的所有员工； ②我国的大河流； ③不大于3的所有自然数；④在平面直角坐标系中，和原点距离等于1的点； ⑤未来世界的高科技产品； ⑥所有的好心人．解析：①能，①中的对象是确定的；②不能，“大”无明确标准；③能，不大于3的所有自然数有0、1、2、3，其对象是确定的；④能，在平面直角坐标系中任给一点，可明确地判断是不是“和原点的距离等于1”，故能组成一个集合；⑤不能，“高科技”的标准不能确定；⑥不能，没有一个确定的标准来判断某个人是否是“好心人”．答案：①③④元素与集合的关系(1)下列关系中，正确的有( ) ①12∈R ；②2∉Q ；③|－3|∈N ；④|－3|∈Q ． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(2)满足“a ∈A 且4－a ∈A ，a ∈N 且4－a ∈N ”，有且只有2个元素的集合A 的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3扫一扫 进入91导学网(www ．91daoxue ．com )元素与集合的关系【解析】 (1)12是实数，2是无理数，|－3|＝3是非负整数，|－3|＝3是无理数．因此，①②③正确，④错误．(2)因为a ∈A 且4－a ∈A ，a ∈N 且4－a ∈N ，若a ＝0，则4－a ＝4，此时A 满足要求；若a ＝1，则4－a ＝3，此时A 满足要求；若a ＝2，则4－a ＝2，此时A 含1个元素不满足要求．故有且只有2个元素的集合A 有2个，故选C ．【答案】 (1)C (2)C判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可． 此时应首先明确集合是由哪些元素构成的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件．已知集合A 中元素满足2x ＋a >0，a ∈R ，若1∉A ，2∈A ，则( )A ．a >－4B ．a ≤－2C ．－4＜a ＜－2D ．－4＜a ≤－2解析：选D ．因为1∉A ，2∈A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2×1＋a ≤0，2×2＋a >0即－4<a ≤－2．集合中元素的特性已知集合P 中有三个元素a －3，2a －1，a 2＋4，且－3∈P ，求实数a 的值． 【解】 因为－3∈P ，a 2＋4≥4， 所以a －3＝－3或2a －1＝－3， 解得a ＝0或a ＝－1．经检验a ＝0时，P 中三个元素为－3，－1，4，满足集合中元素的互异性； a ＝－1时，P 中三个元素为－4，－3，5，也满足集合中元素的互异性． 综上可知，a 的值为0或－1．由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤已知集合A 含有两个元素a 和a 2，若1∈A ，求实数a 的值．解：若1∈A ，则a ＝1或a 2＝1， 即a ＝±1． 当a ＝1时，集合A 有重复元素，不符合互异性， 所以a ≠1； 当a ＝－1时，集合A 含有两个元素1，－1， 符合互异性． 所以a ＝－1．1．集合中的元素具有确定性、互异性、无序性三大特性．利用集合中元素的三个特性，一方面可以判断一些对象是否构成集合，另一方面可以解决与集合有关的问题．2．(1)符号“∈”“∉”是表示元素与集合之间的关系的，不能用来表示集合与集合之间的关系；(2)a ∈A 与a ∉A 取决于a 是不是集合A 中的元素．根据集合中元素的确定性，对任何a 与A ，在a ∈A 与a ∉A 这两种情况中必有一种且只有一种成立．初学者由于对集合中元素的特性把握不准，而容易忽视集合中元素的互异性致错．1．下列各组对象，能构成集合的是( ) A ．平面直角坐标系内x 轴上方的y 轴附近的点 B ．平面内两边之和小于第三边的三角形 C ．新华书店中有意义的小说 D ．π(π＝3．141…)的近似值的全体解析：选B ．选项A ，C ，D 中的对象不具有确定性，故不能构成集合；而选项B 为∅，故能构成集合．2．所给下列关系正确的个数是( ) ①－12∈R ；②2∉∅；③0∈N ＋；④－3∉N ．A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ．①②④正确，③错误，故选C ．3．由“book 中的字母”构成的集合中元素个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ．“book 中的字母”构成的集合中有b ，o ，k 共3个元素．4．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素构成的集合，且2∈A ，则实数m ＝________．解析：由题意知，m ＝2或m 2－3m ＋2＝2， 解得m ＝2或m ＝0或m ＝3，经验证， 当m ＝0或m ＝2时， 不满足集合中元素的互异性， 当m ＝3时， 满足题意，故m ＝3． 答案：3[A 基础达标]1．下列各组对象中能构成集合的是( ) A ．2017年中央电视台春节联欢晚会中好看的节目 B ．某学校高一年级高个子的学生 C ．2的近似值D ．2016年全国经济百强县解析：选D ．由于集合中的元素是确定的，所以D 中对象可构成集合．2．给出下列关系：(1)13∈R ；(2)5∈Q ；(3)－3∉Z ；(4)－3∉N ，其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ．13是实数，(1)正确；5是无理数，(2)错误；－3是整数，(3)错误；－3是无理数， (4)正确．故选B ．3．若a ，b ，c ，d 为集合A 的四个元素，则以a ，b ，c ，d 为边长构成的四边形可能是( ) A ．矩形 B ．平行四边形 C ．菱形D ．梯形解析：选D ．因为a ，b ，c ，d 为集合A 中的四个元素，故a ，b ，c ，d 均不相同，故选D ．4．已知A 中元素满足x ＝3k －1，k ∈Z ，则下列表示正确的是( )A ．－1∉AB ．－11∈AC ．3k 2－1∈AD ．－34∉A解析：选C ．因为－1＝3×0－1∈A ，故A 错； －11＝3×(－4)＋1＝3×(－3)－2∉A ，故B 错； －34＝3×(－11)－1∈A ，故D 错； 因为k ∈Z ，所以k 2∈Z ， 所以3k 2－1∈A ，故C 正确．5．由实数x ，－x ，|x |，x 2，－3x 3所组成的集合，最多含有( ) A ．2个元素 B ．3个元素 C ．4个元素D ．5个元素解析：选A ．x 2＝|x |，－3x 3＝－x ． 当x ＝0时，它们均为0；当x >0时，它们分别为x ，－x ，x ，x ，－x ； 当x <0时，它们分别为x ，－x ，－x ，－x ，－x ．通过以上分析，它们最多表示两个不同的数，故集合中元素最多含有2个．6．下列说法中①集合N 与集合N ＋是同一个集合；②集合N 中的元素都是集合Z 中的元素；③集合Q 中的元素都是集合Z 中的元素；④集合Q 中的元素都是集合R 中的元素．其中正确的有________．解析：因为集合N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．答案：②④7．已知集合A 含有三个元素3，4，6，且当a ∈A ，有8－a ∈A ，那么a ＝________． 解析：若a ＝3，则8－a ＝5∉A ，故a ≠3； 若a ＝4，则8－4＝4∈A ，故a ＝4合适； 若a ＝6，则8－6＝2∉A ，故a ≠6． 答案：48．若a ，b ∈R ，且a ≠0，b ≠0，则|a |a ＋|b |b 的可能取值所组成的集合中元素的个数为________．解析：当a >0且b >0时，|a |a ＋|b |b ＝2；当a ·b <0时，|a |a ＋|b |b ＝0；当a <0且b <0时，|a |a ＋|b |b＝－2．所以集合中的元素为2，0，－2． 即元素的个数为3． 答案：39．由三个数a ，ba ，1组成的集合与由a 2，a ＋b ，0组成的集合是同一个集合，求a 2 017＋b 2 017的值．解：由a ，ba ，1组成一个集合，可知a ≠0，且a ≠1．由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，a ＝a ＋b ，b a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a ，a ＋b ＝1，b a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0(舍去)， 所以a 2 017＋b 2 017＝(－1)2 017＋0＝－1．10．已知集合A 含有两个元素a －3和2a －1，a ∈R ． (1)若－3∈A ，试求实数a 的值； (2)若a ∈A ，试求实数a 的值． 解：(1)因为－3∈A ，所以－3＝a －3或－3＝2a －1．若－3＝a －3，则a ＝0．此时集合A 含有两个元素－3，－1，符合题意． 若－3＝2a －1，则a ＝－1．此时集合A 含有两个元素－4，－3，符合题意． 综上所述，满足题意的实数a 的值为0或－1． (2)因为a ∈A ，所以a ＝a －3或a ＝2a －1． 当a ＝a －3时， 有0＝－3，不成立； 当a ＝2a －1时，有a ＝1， 此时A 中有两个元素－2，1， 符合题意．综上知a ＝1．[B 能力提升]11．集合A 的元素y 满足y ＝x 2＋1，集合B 的元素(x ，y )满足y ＝x 2＋1(A ，B 中x ∈R ，y ∈R )．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是( )A ．2∈A ，且2∈BB ．(1，2)∈A ，且(1，2)∈BC ．2∈A ，且(3，10)∈BD ．(3，10)∈A ，且2∈B解析：选C ．集合A 中的元素为y ，是数集，又y ＝x 2＋1≥1，故2∈A ，集合B 中的元素为点(x ，y )，且满足y ＝x 2＋1，经验证，(3，10)∈B ，故选C ．12．已知集合A 中的元素满足ax 2－bx ＋1＝0，又集合A 中只有唯一的一个元素1，则实数a ＋b 的值为________．解析：当a ≠0时，由题意可知方程ax 2－bx ＋1＝0有两个相等的实数根， 故⎩⎨⎧1＋1＝－－ba，1×1＝1a，解得a ＝1，b ＝2．故a ＋b ＝3．当a ＝0时，b ＝1，此时也满足条件， 所以a ＋b ＝1， 故a ＋b 的值为1或3． 答案：1或313．已知集合A 中含有1，0，x 这三个元素． (1)求实数x 的取值范围； (2)若x 2∈A ，求实数x 的值．解：(1)由集合中元素的互异性可知，x 的取值范围为x ≠1，x ≠0的实数．(2)若x 2＝0，则x ＝0，此时三个元素为1，0，0，不符合集合中元素的互异性，舍去． 若x 2＝1，则x ＝±1．当x ＝1时，集合中元素为1，0，1，舍去； 当x ＝－1时，集合中元素为1，0，－1，符合题意． 若x 2＝x ，则x ＝0或x ＝1，不符合元素的互异性， 所以x ＝－1．14．(选做题)某研究性学习小组共有8位同学，记他们的学号分别为1，2，3，…，8．现指导老师决定派某些同学去市图书馆查询有关数据，分派的原则为：若x 号同学去，则8－x 号同学也去．请你根据老师的要求回答下列问题：(1)若只有一个名额，请问应该派谁去？ (2)若有两个名额，则有多少种分派方法？解：(1)分派去图书馆查数据的所有同学构成一个集合，记作M ，则有x ∈M ，8－x ∈M ． 若只有一个名额，即M 中只有一个元素，必须满足x ＝8－x ，故x ＝4，所以应该派学号为4的同学去．(2)若有两个名额，即M 中有且仅有两个不同的元素x 和8－x ，从而全部含有两个元素的集合M 应含有1，7或2，6或3，5．也就是两个名额的分派方法有3种．。
1.1.1集 合的含义与表示
1.1.1集合的含义与表示在我们日常生活和数学学习中，经常会遇到“集合”这个概念。
那什么是集合呢？集合就像是一个“大口袋”，把一些具有特定性质的对象装在一起。
比如说，咱们班所有同学就可以组成一个集合；一个书架上的所有书籍也能构成一个集合；一年中所有的月份也能形成一个集合。
从这些例子可以看出，集合是由一些确定的、互不相同的对象所组成的整体。
集合中的每个对象都被称为这个集合的元素。
元素是构成集合的基本单位。
比如在班级同学这个集合中，每一位同学就是其中的一个元素。
那怎么来表示一个集合呢？常见的方法有列举法、描述法和图示法。
列举法就是把集合中的元素一个一个地列出来。
就像咱们刚刚说的一年中所有的月份这个集合，就可以用列举法表示为｛1 月，2 月，3 月，4 月，5 月，6 月，7 月，8 月，9 月，10 月，11 月，12 月｝。
再比如小于 5 的自然数组成的集合，用列举法就是｛0，1，2，3，4｝。
描述法呢，是通过描述元素所具有的共同特征来表示集合。
比如｛x ｜ x 是小于 10 的正整数｝，这个集合就表示了小于 10 的所有正整数。
又比如｛x ｜ x 是方程 x² 4 ＝ 0 的解｝，通过这样的描述，我们就能清楚地知道这个集合里的元素是哪些。
图示法中，我们常用的是韦恩图。
通过画一个封闭的曲线，把集合中的元素放在这个曲线内部。
比如有两个集合 A 和 B，A 是｛1，2，3｝，B 是｛2，3，4｝，我们就可以用韦恩图来直观地表示它们之间的关系。
集合还有一些重要的特性。
确定性是说，对于一个给定的集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的。
不能模棱两可，比如说“个子高的同学”就不能构成一个集合，因为“个子高”这个标准不明确。
互异性指的是集合中的元素不能重复。
比如｛1，2，2，3｝这样的表示就是错误的，应该写成｛1，2，3｝。
无序性则表示集合中的元素排列顺序是无所谓的。
｛1，2，3｝和｛3，2，1｝表示的是同一个集合。
1.1.1--集合的含义与表示
4.{x︱x2-1=0} 设集合A={1，x2+5x},集合 A={1，6},且A=B,求实数x的值 解： ∵ A=B ∴ x2+5x= 6 解得 x= 1或 x= -6 经检验当x= 1或 x= -6时， A=B ={1，6}
2 A -2 A 7
3 ∈ A， -1
∈
A
5， A
-5， A
典型例题 例1 已知x2∈{1，0，X},求实数x的值
B {11,12,13,14,15,16,17,18,19}
5.Venn图：（读作：韦恩图）
用平面上封闭曲线的内部代表集合， 这种图称为Venn图。
注：1.适用范围：元素个数较少的集合.
2.使用方法：把元素写在封闭曲线的内部. 3.常把封闭曲线画成椭圆或矩形等图形. 练习： 如图的Venn图表示的集合为（ Ａ ）
练习：
读作：a不属于集合A
设M是所有偶数组成的集合M，则有（ C ）
A.3 M
B.1 M C.2 M
D.2 M
6.数学中常用的数集的符号：
二、集合的表示方法：
1.自然语言表示法：
用文字语言形式来表示集合的方法.
例如：小于3的实数组成的集合。
2.字母表示法：
用大写字母A,B,C,…表示集合的方法.
例题1：下列能构成集合的是（
B）
A、中央电视台著名节目主持人 B、2010年广州亚运会中的志愿者
C、2010年上海世博园中所有漂亮的展馆
D、世界上的高楼
下列对象能构成集合吗?
1、著名的科学家； 2、1,2,2,3这四个数字； 3、我们班上的高个子男生.
Hale Waihona Puke 【互异性】对于一个给定的集合，它的任何两个元素都 是不同的。即同一元素在集合中不能重复出现.
1.1.1-1集合的含义与表示知识要点
1.1.1-1集合的含义与表示知识要点 一知识要点1．集合的概念（1）集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成为一个集合（set ）。
常用大写的拉丁字母来表示，如集合A 、集合B 。
（2）元素：集合中每个对象称为该集合的元素（element ），简称元素常用小写的拉丁字母来表示，如a 、b 、c ……2．关于集合的元素的特征（1）确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。
（3）无序性：集合中的元素是无先后顺序的，也就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素可以交换位置.3．常用数集及记法（1）自然数集：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N（2）正整数集：自然数集内排除0的集合记作N *或N + ，{},3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，，210±±=Z（4）有理数集：全体有理数的集合记作Q（5）实数集：全体实数的集合记作R ．4．集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示；（1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于(belong to)A ，记作a ∈A ．注意“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写（2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于(not belong to)A ，记作a ∉A5．集合的表示方法：集合的表示方法，常用的有列举法和描述法（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。
如：{1，2，3，4，5}，{x 2，3x+2，5y 3-x ，x 2+y 2}，…；各元素之间用逗号分开。
注：1．大括号不能缺失.2．有些集合种元素个数较多，元素又呈现出一定的规律，在不至于发生误解的情况下，亦可如下表示：从1到100的所有整数组成的集合：{1，2，3， (100)自然数集N ：{1，2，3，4，…,n ,…}３．区分a 与{a }：{a }表示一个集合，该集合只有一个元素.a 表示这个集合的一个元素.４．用列举法表示集合时不必考虑元素的前后次序.相同的元素不能出现两次.（2）描述法：把集合中的所有元素都具有的性质（满足的条件）表示出来，写成{|()}x p x 的形式。
1.1集合的概念及表示
1.1集合的概念及表示【知识储备】1．集合的概念(1)含义：一般地，我们把所研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．(2)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等．[知识点拨]集合中的元素必须满足如下性质：(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一．(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．(3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，比如集合{1,2,3}与{2,3,1}表示同一集合．2．元素与集合的关系关系概念记法读法属于如果a是集合A中的元素，就说a属于集合Aa∈A a属于集合A不属于如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合Aa∉A a不属于集合A[知识点拨]符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换．3．集合的表示法(1)自然语言表示法：用文字语言形式来表示集合的方法．例如：小于3的实数组成的集合．(2)字母表示法：用一个大写拉丁字母表示集合，如A，B，C等，用小写拉丁字母表示元素，如a，b，c等．常用数集的表示：名称非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R(3)列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．(4)描述法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法．【题型精讲】【题型一集合概念的理解】必备技巧判断一组对象是否能构成集合的三个依据判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．例1下列对象中不能构成一个集合的是（）A．某校比较出名的教师B．方程−2=0的根C．不小于3的自然数D．所有锐角三角形例2（多选）下列各组对象能构成集合的是（）A．拥有手机的人B．2024年高考数学难题C．所有有理数D．小于π的正整数【题型精练】1.给出下列说法：①在一个集合中可以找到两个相同的元素；②好听的歌能组成一个集合；③高一（1）班所有姓氏能构成集合；④把1，2，3三个数排列，共有6种情况，因此由这三个数组成的集合有6个.其中正确的个数为（）A．0B．1C．2D．32．下列各组对象中能构成集合的是（）A．充分接近的实数的全体B．数学成绩比较好的同学C．小于20的所有自然数D．未来世界的高科技产品【题型二用列举法表示集合】例3用列举法表示下列集合(1)11以内非负偶数的集合；(2)方程(+1)(2−4)=0的所有实数根组成的集合；(3)一次函数=2与=+1的图象的交点组成的集合．【题型精练】1.用列举法表示下列给定的集合：(1)大于1且小于6的整数组成的集合A；(2)方程2−9=0的实数根组成的集合B；(3)一次函数=+2与=−2+5的图象的交点组成的集合C.2.用列举法表示下列集合．(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；(2)小于8的质数组成的集合B；(3)方程22−−3=0的实数根组成的集合C；(4)一次函数=+3与=−2+6的图象的交点组成的集合D．【题型三用描述法表示集合】必备技巧利用描述法表示集合的关注点(1)写清楚该集合代表元素的符号．(2)所有描述的内容都要写在花括号内．(3)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例4用适当的方法表示下列集合：（1）方程组2314,328x y x y -=⎧⎨+=⎩的解集；（2）方程2210x x -+=的实数根组成的集合；（3）平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合；（4）二次函数2210y x x =+-的图象上所有的点组成的集合；（5）二次函数2210y x x =+-的图象上所有点的纵坐标组成的集合.【题型精练】1．用描述法表示下列集合：(1)不等式3+2>5的解集；(2)平面直角坐标系中第二象限的点组成的集合；(3)二次函数=2−2+3图象上的点组成的集合．(4)平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合；(5)集合1,12,13,14(6)所有被3整除的整数组成的集合；(7)方程2++1=0的所有实数解组成的集合.2.试说明下列集合各表示什么？1|A y yx ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭；{|B x y ==；()1,|C x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭(),|13y D x y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭；{}0,1E x y ===；{}1,1F x y x y =+=-=-.【题型四元素与集合的关系】必备技巧判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：集合中的元素是直接给出的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．例5用符号“∈”或“∉”填空：（1）0______∅；（2）2-_______2{|5}x x <；（3）(2,3)_______{(,)|23}x y x y +=；（4）2017_______{|41,}x x n n =-∈Z .例6（吉林长春市期中）已知集合M=6*,5a N a ⎧∈⎨-⎩且}a Z ∈，则M 等于（）A ．{2，3}B ．{1，2，3，4}C ．{1，2，3，6}D ．{1-，2，3，4}【题型精练】1．（多选）（浙江高一期末）若集合{}22|,,A x x m n m n ==+∈Z ，则（）A ．1A∈B ．2A∈C ．3A∈D ．4A∈2.已知集合{},M m m a a b Q ==+∈,则下列四个元素中属于M 的元素的个数是（）①1+;;A ．4B ．3C ．2D ．1【题型五确定集合中的元素】必备技巧确定集合中的元素（1）充分理解集合的描述法，（2）注意检验元素互异性.例7（1）（山东济南高一期末）已知集合(){},2,,A x y x y x y N =+≤∈，则A 中元素的个数为（）A ．1B ．5C ．6D ．无数个（2）集合*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭中含有的元素个数为（）A ．4B ．6C ．8D ．12例8（1）（江苏苏州市期中）设集合{123}{45}}A C x B y x A y B ===+∈∈，，，，，，，则C 中元素的个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．6（2）（江苏南通市月考）已知集合(){},2,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则A 中元素的个数为（）A ．9B ．10C ．12D ．13（3）（黑龙江大庆市期中）由实数2,,|,x x x -所组成的集合，最多可含有（）个元素A ．2B ．3C ．4D ．51．若集合()(){}326A x N x x =∈--<，则A 中的元素个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．62.若集合{}0123A =，，，，()}{,,B x y x A y A x y A =∈∈-∈，，则B 中所含元素的个数为（）A ．4B ．6C ．7D ．103.（青海高一月考）已知集合{1,2,3,4,5}A ={},(,),,B x y x A y A x y A =∈∈-∈,则B 中所含元素的个数为（）A ．3B ．6C ．8D ．10【题型六元素特性中的求参问题】必备技巧利用集合中元素的确定性、互异性求参数的策略及注意点(1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对求得的参数值进行检验．(2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用．例9（上海市进才中学高一期末）已知集合22{2,(1),33}Aa a a =+++，且1A∈，则实数a 的值为________．例10（山东济南月考）已知集合{}2210,A x ax x a R =++=∈．（1）若A 中只有一个元素，求a 的值；（2）若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围.1．（吴起高级中学高一月考）若{}22111a a ∈++，，，则a =（）A ．2B ．1或－1C ．1D ．－12.已知{}222,(1),33A a a a a =++++，若1A∈，则实数a 构成的集合B 的元素个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．33.（云南丽江市期末）若集合2{|210}A x kx x =++=中有且仅有一个元素，则k 的值为___________.。
高一数学必修1第一章知识点总结
设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任 意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在 区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2
9、函数的解析表达式
（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数
关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.
（2）求函数的解析式的主要方法有：
1) 凑配法
2) 待定系数法
3) 换元法
4) 消参法
10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）
时，都
有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为
y=f(x)的单调减区间.
注意：函数的单调性是函数的局部性质；
（2） 图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在
这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右
是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.
相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字 母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本21页相关例2) 2．值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3. 函数图象知识归纳 (1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐 标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A) 的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以
1.1.1集合的含义与表示
2
用列举法表示为A = { 2 ,− 2}.
(2)设大于 小于20的整数为 , 它满足条件 ∈ Z 10 x x 且10 < x < 20,因此, 用描述法表示为 B = {x ∈ Z | 10 < x < 20}. 大于 小于20的整数有 ,12,13,14,15,16,17,18, 10 11 19,因此, 用列举法表示为 B = {11,12,13,14,15,16,17,18,19}.
我们以前已经接触过的集合: 我们以前已经接触过的集合
自然数集合，正分数集合，有理数集合； 自然数集合，正分数集合，有理数集合； 到角的两边的距离相等的所有点的集合； 到角的两边的距离相等的所有点的集合；
是角平分线
到线段的两个端点距离相等的所有点的集合； 到线段的两个端点距离相等的所有点的集合；
是线段垂直平分线
1.1.1 集合的含义与表示
1、集合的含义： 、集合的含义：
把研究对象统称为元素， 把研究对象统称为元素，把一些 元素 元素组成的总体叫做集合 简称集）。 集合（ 元素组成的总体叫做集合（简称集）。 用大写字母A， ， 表示集合， 用大写字母 ，B，C…表示集合，用 表示集合 小写字母a,b， 小写字母 ，c …表示集合中的元素 表示集合中的元素
2、 若方程x2－5x+6=0和方程 若方程x 5x+6=0和方程 x2－x－2=0的解为元素的集合 则 2=0的解为元素的集合M,则 的解为元素的集合 M中元素的个数为 （ C） 中元素的个数为 A．1 ． B．2 ． 3、已知集合 、 C．3 ． D．4 ．
高一数学集合的含义与表示
⑴上课前要预习
⑵上课时要认真 ⑶关于作业 ⑷自己整理问题集
集合的有关概念
元素(element)---我们把研究的对象 统称为元素
集合(set)---把一些元素组成的总体叫 做集合, 简称集.
一般用大括号”{ }”表示集合,也常用 大写的拉丁字母A、B、C…表示集合. 用小写的拉丁字母a,b,c…表示元素
注:组成集合的元素可以是物,数,图,点等
集合三大特性：
（1）确定性：集合中的元素必须是确定 的．
(2)互异性：集合中的元素必须是互不相同 的。
(3)无序性：集合中的元素是无先后顺序的． 集合中的任何两个元素都可以交换位置．
只要构成两个集合的元素是一样 的，我们就称这两个集合是相等 的
；钣金加工 钣金激光切割 / 钣金加工 钣金激光切割
思考：
判断以下元素的全体是否组成集合，并 说明理由； (1) 大于3小于11的偶数； (2) 我国的小河流。
判断下列例子能否构成集合
中国的直辖市
√
身材较高的人
×
著名的数学家
×
高一(5)班眼睛很近视的同学 ×
注:像”很”,”非常”,”比较”这些不确定的词 都不能构成集合
重要数集：
(1) N: 自然数集(含0) 即非负整数集
练一练：用符号“∈”或“ ”
填空：
(1) 3.14__∈_____Q
(2) π_______Q
(3) 0__∈_____N
(4) 0_______N+
(5) (-0.5)0__∈_____Z (6) 2__∈_____R
集合的分类
有限集：含有限个元素的集合 无限集：含无限个元素的集合 空集：不含任何元素的集合
高一数学集合的含义与表示
作业
教材Ｐ.11
Ｔ1~4.
；高佣联盟 ；
晚一去到目の地就感觉不对劲,一味听见旁边有介绍有机蔬菜,明摆着希望他们成为第一批客人.不管蔬菜の味道如何,朋友关系掺了杂质总是让人心里不痛快.幸亏这些不是他朋友.余岚の小农场早就搞好了,就等今年开春正式播种有机种子.“这也难怪,做生意本来就是先从熟 人做起.我们是外来户,在她们眼里人脉广,能帮忙打开缺口总比她们摸石子过河の靠谱.”陆易站在商人角度来分析.“外人怎样跟我们无关,我们按计划行事.”柏少华一脸の无所谓.柏少君双腿搁在茶几上打嬉戏,身边发生の事他一概不理.德力踢他一脚,“喂,你怎么看？那 些可是你朋友.”这小子最单纯容易上钩.柏少君两耳不闻窗外事,“我不管,谁家の好吃吃谁家の.”他最好命,一向随遇而安.第二天,陆羽又提起那截大羊腿对准四只汪の饭盆开始削肉条拌饭.这时,门外一声呼喊,“陆陆！”“哎.”陆羽应了声,吩咐小福,“开门.”几只护院 神犬是她の得力好帮手.“你在干嘛？”柏少君进入院子一看,惊讶道.“给小福它们加菜.”用刀顺着肉の纹理削下去会轻松很多.女人の力度弱得惨不忍睹.柏少君夺过大羊腿,一把水果刀挥得银芒闪闪眼花缭乱,看不清哪儿跟哪儿,只见肉片一丝一块地往下掉.陆羽帮忙换盆 子,直到四只汪都有才罢手.至于小吉,它有猫粮和小鱼干,各得其所.“对了,你找我干嘛？”重新收起羊腿,陆羽问他.削了四份肉丝,柏少君像是不费吹灰之力,脸不红气不喘.“植树,去不去？我们订了好多果树苗到了,趁现在天气好赶紧种.”咦？种树造林可是惠国惠民の好 事,日后上山随手摘果子.“好,等我换身衣服.”陆羽忙回房换一身简便又保暖の休闲服,她好多年没过植树节了,没想到今年有机会.这群邻居真会玩,如果接下来他们肯种田就更好了,她以后买米买菜不用跑外边了,哈哈哈...“对了,种完树我们开始种菜,你门口の地是你の 吧？要不要开荒？一起种.”陆羽闻言缩一下肩,耶？她也要种？第86部分在云岭村,植树节提前了.松溪边种了几棵柳树,距离老远才有一棵,因为河边本来就种有梅树和一些别の.这些人不动原生态,尽可能不改变村里の格局添加几棵,完善田园风光罢了.他们说,烟笼翠濛,裹 雨拖风,河边种柳意境深重.听得陆羽无比惊诧,“你们好厉害,都是从小学の华语？”“少华说の,他说多种几棵明年这里の景致会更加美丽.”德力脚踩铁铲稍一用力,挑起一铲泥土填进树坑里.少华？陆羽脑子里映出那晚认真研究菜谱の男人来,他当时专注の模样很好看.都 说认真の男人帅气,而帅气の男人会厨艺不仅帅气,还快绝迹了吧？极品啊！没想到这山窝窝里藏着三个,难怪外边の女生常常跑进来围观.“陆陆.”陆易那边の坑挖好了,情深の呼唤她带着树苗过去.“哦,来了.”陆羽忙给他拿了两棵,柏少君那儿也要一棵.没错,这几天她根 本做不了什么,除了给大家分分棵苗之外.等她挖坑？半天挖不了一个,一天种一棵她能种到夏天.美化居住环境,人人参与多出一分力.树是少华掏の钱,所以他很悠闲,偶尔出来逛逛充当一下监工,然后回去给大家煮一顿美餐犒赏一下.几个男人做事肯定比她一个女人有效率,两 三天功夫,他们买回来の几车树苗就种完了.除了松溪边,他们租の田边各种几棵,村路两旁也种了榉树,并且得到老村长の认可.这种树高大,盛夏荫凉,秋叶红艳,很有观赏价值.种在村里の有花,也有果树,譬如海棠、玉兰之类,零散不规则地种.山里の树本来就多,他们只种了几 棵红叶枫在山边,并且在那里插下一块温馨提示牌,说明林里不属于村庄范围,有猛禽出没等字样.他们基本上都在自己の地盘种,不侵犯别人の田地.休闲居和少华家周围种了银杏,庭园种下五棵黑樱桃.“你家要不要来几棵？”柏少君问陆羽.陆羽忙摇头,“不用不用.”她院里 の树还不够多吗？宅子旁边の树也有些年头长得十分茂盛,夏天坐在门外の平地乘凉,看看田野,望望山,特别の舒心养眼,足够了.“话说,那些银杏种得活吗？”她反而有些担心这个.“种不活再说.”少君满不在乎地耸耸肩,这一点他从来没想过.种完树,勉强挖了几个坑の陆 羽全身酸痛,邻居却没事人似の第二天一大早又开始忙活.他们用除草机除草,用松土机翻泥松土,顺便给她の也翻了一遍,不像以前の农民那么费劲.她院里の菜圃也挖过了,去他们店取了些菜种回来自己搞,剩下门口那块地不知种什么好.瘦田无人耕,耕开有人争,借了两亩地给 别人,剩下一亩她自己要了.虽然她不会耕田,可看见别人种,自己也总想种些什么.邻居们不种水稻、小麦之类,平常吃の米和面仍要从外边进货.至于地里,他们种の是蔬菜、瓜果之类,方便餐厅取用.云岭村在大动土,老村长喜闻乐见,经常和老伴过来逛逛.二老喜欢年轻人兴致 高昂地开荒耕田,眼里仿佛看到未来几年の光景.年前の时候,休闲居の人曾找过他租耕地,可惜儿媳不同意,嫌弃他们给の租金太低.这年头,手里有地,心不慌.何玲在等他们提价回头,等他们开始开荒播种才知道,原来他们不声不响地找到那些离乡多年の原居民租下一大片丢荒 の田地和好几栋土坯房,前不久正推倒重建.这消息险些把她气出病来.现在她逢人便说这些城里人吃饱撑の乱找乐子,说是种地,不定哪天就扔了.像陆羽那样,院里の菜园子长期营养不良,浪费种子啥の.当然,这一切只在外界流传,云岭村の新居民对此一无所知.得 知云岭村忙得热火朝天,余家妹子和小伙伴们也经常来玩.商业上の事跟生活是分开の,做不成生意大家还是朋友嘛.开春要做の事很多,余岚の小农场也很忙,平时无事很少来,倒是余薇空闲得很.“干嘛不统一种？我正想跟我妈说与你们云岭村共同开发,将村里の树全部改成梅 树或者桃树呢.何玲也有这个意向,可你们今天这么搞不太好吧？何玲一家能同意？”她眉宇之间微微蹙起,像是不满,更像充满忧虑.“干嘛要她同意？我们在自己の地方种,又不在她家门口.”柏少君趁中午休息の功夫,和陆羽蹲在她门口平地の边缘,审视下边那亩地琢磨着种 什么好.本来有三亩の,两亩借给他们了.“村子是大家の,当然要统一意见.”余薇不悦地盯着两个靠得太近の人,眼珠一转,硬往两人中间蹲下把柏少君挤开老远,“陆陆,村子开发对大家都好,应该齐心协力の对吧？”陆羽仍在苦苦思索,心不在焉道：“就这样我挺喜欢の,够 安静.”嘿,就等她这句话,小心思得逞の余薇心花怒放.一天傍晚,陆羽喂完猫狗,然后在院子里逗那几只出来散步の小奶猫玩.它们会走路了,尾巴像竖起の一根小天线喵喵地在院里走来走去,对这个世界充满了好奇.主宠玩得正开心时,何玲来了.她以往来の时候笑容满面,今天 却气势汹汹不太友善.“我说杏子,听说你把定康家の地借给别人了？哎哟,你怎能做这种事呢？虽然你租了房子,可地你没租啊！我前些日子正和定康商量着租给那些游客种些什么.现在好了,地没了,你看怎么办吧.”摊摊手,似是一脸の无奈.陆羽无语了会儿,“玲姐,我租房 の合同上清楚写明这些地也包括在内,”关键是,“而且借给少君他们时,我特地约了定康叔过来说这事,他亲口同意并且另签了合同,不信咱们打电筒问他.”就前几天の事,邻居们得知她不想种地,便半开玩笑地说让她给他们种算了.租也可以,总之丢空太可惜.事关田地房产, 别说陆羽多了一段经历,时下の小青年们哪个敢不慎重对待？分分钟掉坑里烦死你.况且,她就是利用这一招对付亲哥の,敢草率吗？第87部分所以,她回去打了电筒问卓文鼎.卓大律师说屋归屋,田归田,建议她直接约房东周定康出来与邻居们洽谈,重新拟定一份田地租赁合同. 钱给了,新合同也签了.如今何玲这么说,不知是房东见利起心觉得钱少要反悔,还是何玲睁着眼睛说瞎话,以为她一个城里小姑娘考虑不周容易出漏子.“怎么可能？！”何玲脸色不好看了,“就算你跟他谈过,也不能擅作主张同意他们在村里乱搞.你要清楚自己の身份只是一名 租客,没资格对我们村指手划脚の.”这段话口气冲得很,像要跟她吵架.“我没指手划脚啊！”陆羽哭笑不得,仍耐着性子说,“玲姐你先消消气,有话慢慢说.”“我没气,你说到底有没这事吧！”谎话被拆穿,何玲显得气急败坏口不择言.“你让我说什么事？你得讲个明白.” 这指责没头没脑の,陆羽有点生气了.“你给我装什么蒜？姓陆の,你扪心自问刚来の时候我帮了你多少.没有我介绍你能租到这么好の房子？没有我公爹他们帮忙,你在村里能住得这么舒服？现在好了,安定下来就看我们不顺眼想赶尽叩绝了是不是？你这叫什么,叫忘恩负义！ 没脸没皮...”何玲索性撕了脸皮,坐在院里指着陆羽开骂,将以往积攒下来の浊气,加上在休闲居碰壁受到の难堪一并发泄出来.一只小奶猫对这个物种很是好奇,不断歪着小脑袋望她,小腿噌噌噌地跑过来想凑近看清楚一些.对于骂架,陆羽是吵不赢の,当初冲嫂子叫嚷是趁对 方不觉意.如今何玲声如洪钟般响亮,她开口说话声音绝对被盖过.听她老提以前对自己の帮助,陆羽有些明白了,这人今晚不是来讲道理,而是存心过来找碴发泄の.何玲の不断地捶腿数落,偶尔跺跺脚,眼看那小奶猫就走到她脚边.生怕它被迁怒,陆羽赶紧过去把它抱开.谁知她 一过去,何玲以为她要打自己整个跳将起来.“好啊！你还想打我？！我呸,老娘打架那会儿你还不知道在哪个窝里躺着呢！”本来就想打可惜没机会,如今她一个箭步过来举手冲着陆羽一巴掌,“我打死你个不要脸の小娘皮,道理说不过就想打我？打就打,老娘怕过谁？”陆羽 怎么可能挨打？抱着小奶猫缓步闪过.院里の四只汪见主人挨打,顿时冲着何玲扑来并凶狠地吠起来.小吉本来趴在屋檐下看着孩子们跟主人玩耍,这会儿也跳出来着急地喵喵叫.“不许咬！你们退后.”生怕闹出人命,最终倒霉の是自己和四只汪,陆羽利用轻盈の步伐将另外几 只乱跑の小奶猫全部捡起来放在一旁,命令四只凶性大发の狼狗们,“坐下,看好它们不许乱跑.”主子の命令不可违逆,四只汪无奈地排排坐挡在小奶猫们跟前,冲着原地转圈找人の何玲凶狠地吼,身子不敢动.陆羽の练习一直没落下,她の速度掌控自如,可快可慢,步履轻盈,一 般人完全看不出来.“玲姐,你冷静点.”家里の宠物安全了,陆羽才有功夫应付抓狂发疯の何玲.“我很冷静,你就是个有爹生没娘教の丧门星小娼妇...”“啪！”の一巴掌,将何玲打倒在地.几乎与此同时,有客人在家便一直敞开の院门口冲来一群人,有男
高中数学必修一第一章集合知识点总结
高中数学必修一第一章集合一、集合的概念1、集合的含义：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集），构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。
注意：在集合中，通常用小写字母表示点（元素），用大写字母表示点（元素）的集合，而在几何中，通常用大写字母表示点（元素），用小写字母表示点的集合，应注意区别。
2、空集的含义：不含任何元素的集合叫做空集，记为Ø。
3、集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。
（1）对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素，这叫集合元素的确定性。
（2）任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素，这叫集合元素的互异性。
集合中的元素互不相同。
例如：集合A={1，a}，则a不能等于1。
（3）集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样，这叫集合元素的无序性。
例{0，1，2}有其它{0，2，1}、{1，0，2}、{1，2，0}、{2，0，1}、{2，1，0}等共六种表示方法。
4、元素与集合之间只能用“∈”或“∉”符号连接。
5、集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合。
（2）无限集：含有无限个元素的集合。
（3）空集：不含任何元素的集合。
6、常见的特殊集合：；（1）非负整数集（即自然数集）N（包括零）；（2）正整数集N*或N+（3）整数集Z（包括负整数、零和正整数）；（4）实数集R（包括所有有理数和无理数）；（5）有理数集Q（包括整数集Z和分数集→正负有限小数或无限循环小数）；（6）复数集C，虚数可以指不实的数字或并非表明具体数量的数字。
在数学中，虚数就是形如a+b*i 的数，其中a，b是任意实数，且b≠0，i²=-1。
二、集合的表示方式1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，元素之间用逗号隔开，然后用一个花括号全部括上。
1.1.1集合的含义与表示
1.高一（9）班的全体学生 A={高一（9）班的学生} 2.中国的直辖市 B={中国的直辖市} 也可以表示为： 3. 2，4，6，8，10，12，14 D={火药，印刷术，指南针，造纸术} C={ 2，4，6，8，10，12，14} 4.我国古代的四大发明 D={我国古代的四大发明} 5.2008年奥运会的球类项目 E={2008年奥运会的球类项目}
集合是现代数学的基本语言，可以简洁、准确地表 达数学内容。在本章，我们将学习集合的一些基本 知识，用集合语言表示有关数学对象，并运用集合 和对应的语言进一步描述函数概念，感受建立函数 模型的过程和方法，初步运用函数思想理解和处理 生活、社会中的简单问题。
一、引入
我们常常做这样的题目： 1、将下列数字填入相应的集合：
国建立外交关系的所有国家
5.所有的正方形
6.到直线L的距离等于定长d的所有的点
7.方程 8.新华中学2004年9月入学的所有的高一学生 思考：上面的例3和例8也能组成集合吗？，
他们的元素分别是什么？
二、新课
问题1：什么是元素，什么是集合？
一般的，把研究对象统称为元素 （element），把一些元素组成的总体 叫做集合(set)（简称集）。 并规定：用花括号“{ }” 表示集 合通常用大写拉丁字母表示A，B，C…集 合的元素常用小写拉丁字母表示a,b,c…
问题2：集合概念有哪些认识？ 1、是一定范围内的确定的对象 2、是不同的对象 3、是这些对象的全体。
问题3：集合中的元素有哪些特征？
集合中元素的三个特征 （1）确定性 （2）互异性 （3）无序性
讨论1：下列对象能构成集合吗？为什么？ 1、大于3小于11的偶数
2、我国的小河流
高一数学1.1.1集合的含义与表示1导学提纲
高一数学1.1.1集合的含义与表示1导学提纲第 2 页第 3 页等都不能构成集合，因为组成集合的元素是不确定的。
互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的。
相同的元素归入同一集合时，只能算作集合的一个元素。
例如：由元素1，2，1组成的集合中有两个元素1，2。
无序性：组成集合的元素没有次序。
只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的。
例如：由元素3,4,5组成的集合与由元素4,5,3组成的集合是相等的。
（三）元素与集合的关系关系语言描述记法读法属于a是集合A a∈a属于集的元素 A 合A不属于a不是集合A中的元素a∉Aa不属于集合A例如：“中国的直辖市”构成的集合为A，则天津∈A；郑州∉A（四）常用数集及表示符号数集非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R二、深入学习1.请同学们根据集合元素的确定性．．．，判断下列各组对象能否组成一个集合：第 4 页(1)数学必修1课本上的所有难题；(2)北京大学2019级的新生；(3)不大于20的非负数；(4)篮球比姚明打得好的人；2.请同学们根据集合元素的互异性．．．，解答下列各题：（1）若以集合A的四个元素a、b、c、d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是() A．梯形B．平行四边形C．菱形D．矩形（2）由a2，2-a，4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是（）A.1B.-2C.6D.23.请同学们根据集合元素的无序性．．．，解答下列各题：（1）下列各组集合，表示相等集合的是________①M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}；②M＝{3,2}，N ＝{2,3}；③M＝{(1,2)}，N＝{1,2}．4.请同学们根据元素与集合的关系，用∈或者∉填空：-1 _____ N，2_____ Q，3.7 _____ Z，3.14 _____Q，π_____ R5.判断下列说法是否正确（1）方程0)65(2322=+-+-xxxx）（的根所构成的集合中一共有四个元素（）（2）如果一个元素a满足Ra∈，则Qa∈一定成立（）（3）若果一个元素a满足Qa∈，则Ra∈一定成立（）三、拓展延伸第 5 页第 6 页集合元素特征的综合运用是历年的考点，多涉及讨论思想，请同学们尝试完成下列习题： （1）设集合A 是由1，2-，12-a三个元素构成的集合，集合B 是由1，aa32-，0三个元素构成的集合，若B A =，则实数a =________。
高一数学《1.1.1集合的含义与表示》
1.1.1 集合的含义与表示一、教学目标：1.知识与技能①初步理解集合的基本概念，常用数集，集合元素的性质等集合的基础知识.②了解“属于”关系的意义，理解集合相等的含义.③能恰当地运用列举法与描述法表示集合，能进行自然语言与集合语言间的转换.2.过程与方法通过实例的分析、思考，获得集合的基本概念，感知集合元素性质的实质，增强学生发现问题，研究问题的创新意识和能力教学重点与难点：3．重点难点重点：集合的基本概念，常用数集，集合元素的性质等集合的基础知识.难点：能恰当地运用列举法与描述法表示集合.二、教学过程：Ⅰ问题提出：“集合”是日常生活中的一个常用词，现代汉语解释为:许多的人或物聚在一起.在现代数学中，集合是一种简洁、高雅的数学语言，我们怎样理解数学中的“集合”？（板书课题）情景设置：1. 到一个定点A的距离等于定长r的点的集合，即圆.2. 到一条线段的两个端点距离相等的点的集合，即这条线段的垂直平分线.示例：（1）1~20以内的所有质数；（2）所有正方形；（3）长沙市一中2008年8月入学的8班学生；（4）中国的直辖市.Ⅱ探索集合的概念：思考1：上述4个集合中的元素分别是什么？思考2：组成集合的元素所属对象是否有限制？集合中的元素个数的多少是否有限制？思考3：试列举一个集合的例子，并指出集合中的元素.2.集合元素的性质：任意一组对象是否都能组成一个集合？集合中的元素有什么特征？思考1：某单位所有的“帅哥”能否构成一个集合？由此说明什么？⑴确定性: 集合中的元素必须是确定的.思考2：北京2008奥运会的金牌数组成的集合有多少个元素？北京2008奥运会的金牌选手组成的集合有多少个元素？由此说明什么？⑵互异性: 集合的元素必须是互不相同的.思考3：高一8班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没有变化？由此说明什么？⑶无序性: 集合中的元素是无先后顺序的.练习1.下列指定的对象，能构成一个集合的是( B )①很小的数②不超过30的非负实数③直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点④(的近似值⑤高一年级优秀的学生⑥所有无理数⑦大于2的整数⑧正三角形全体A.②③④⑥⑦⑧B.②③⑥⑦⑧C.②③⑥⑦D.②③⑤⑥⑦⑧3．集合相等：4.集合的表示：集合常用大写字母表示，元素常用小写字母表示.5.集合与元素的关系：思考1：设集合A表示“1～20以内的所有质数”，那么3，4，5，6这四个元素哪些在集合A中？哪些不在集合A中？思考2：对于一个给定的集合A，那么某元素a与集合A有哪几种可能关系？思考3：如果元素a是集合A中的元素，我们如何用数学化的语言表达？如果元素a不是集合A中的元素，我们如何用数学化的语言表达？如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a(A.例如：A表示方程x2＝1的解集，则-1∈A 1∈A6.重要的数集:N：自然数集(含0) N+：正整数集(不含0) Z：整数集Q：有理数集R：实数集7.集合的表示方法: （1）列举法：例1.用列举法表示下列集合：1）小于10的所有自然数组成的集合；2）方程x2=x的所有实数根组成的集合；3）由1~20以内的所有质数组成的集合；4）从50到100的所有整数组成的集合；5）由所有正偶数组成的集合.（2）描述法：例2．用描述法表示下列集合：（1）不等式x-3>2的所有解组成的集合.（2）直线y=x+1上所有点组成的集合.（3）所有奇数组成的集合. （4）所有直角三角形组成的集合.例3．试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）方程x2-2=0的所有实数根组成的集合；（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合.例4．若x∈R，则数集{1，x，x2}中元素x应满足什么条件.解：∵x≠1且x2≠1且x2≠x，∴x≠1且x≠－1且x≠0.思考题1．设x∈R，y∈R，观察下面四个集合A＝{ y＝x2－1 } B＝{ x | y＝x2－1 } C＝{ y | y＝x2－1 } D＝{ (x, y) | y＝x2－1 }它们表示含义相同吗?思考题2：已知集合A＝{x|ax2＋4x＋4＝0，x∈R，a∈R}只有一个元素，求a的值与这个元素.解：当a＝0时，x＝－1. 当a≠0时，(＝16－4×4a＝0. a＝1. 此时x＝－2. ∴a＝1时这个元素为－2. ∴a＝0时这个元素为－1.课堂练习1.教科书5面练习第1、2题2.教科书11面习题1.1第2题课堂小结集合的定义 2.集合元素的性质 3.集合与元素的关系 4.集合的表示课后作业教科书12面习题1.1第3、4题。
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数学
1.1.1集合的含义与表示 1.1.1集合的含义与表示 课题: 课题 集合的含义
问题提出 “集合”是日常生活中的一个常用词，现代汉语解释为: 集合”是日常生活中的一个常用词，现代汉语解释为 集合 许多的人或物聚在一起. 许多的人或物聚在一起 在现代数学中，集合是一种简洁、高雅的数学语言， 在现代数学中，集合是一种简洁、高雅的数学语言， 我们怎样理解数学中的“集合” 我们怎样理解数学中的“集合”？
集合的分类 ⑴有限集：含有有限个元素的集合． 有限集：含有有限个元素的集合． ⑵无限集：含有无限个元素的集合． 无限集：含有无限个元素的集合． 不含任何元素的集合. ⑶空 集：不含任何元素的集合 记作∅ ．
作业： 作业：
练习： P5练习： 1.（ 1.（1）
P11习题1.1A组： 1. 习题1.1A 1.1A组
知识探究（ 知识探究（四） 思考1 所有的自然数，正整数，整数，有理数， 思考1：所有的自然数，正整数，整数，有理数，实 数能否分别构成集合？ 数能否分别构成集合？ 思考2 自然数集，正整数集，整数集，有理数集， 思考2：自然数集，正整数集，整数集，有理数集， 实数集等一些常用数集，分别用什么符号表示？ 实数集等一些常用数集，分别用什么符号表示？ 自然数集（非负整数集）：记作 自然数集（非负整数集）：记作 N ）： 正整数集：记作 N*或 N+ 正整数集： 整数集：记作 Z 整数集： 有理数集： 有理数集：记作 Q 实数集： 实数集：记作 R
知识探究（ 知识探究（一） 考察下列问题： 考察下列问题： 20以内的所有质数 以内的所有质数； （1）1～20以内的所有质数； （2）绝对值小于3的整数； 绝对值小于3的整数； （3）高一（4）班的所有男同学； 高一（ 班的所有男同学； （4）平面上到定点O的距离等于定长的所有的点. 平面上到定点O的距离等于定长的所有的点. 思考1 上述每个问题都由若干个对象组成， 思考1：上述每个问题都由若干个对象组成，每组对象 的全体分别形成一个集合 集合中的每个对象都称为元素 集合， 元素. 的全体分别形成一个集合，集合中的每个对象都称为元素. 上述4个集合中的元素分别是什么？ 上述4个集合中的元素分别是什么？
知识探究（ 知识探究（三） 思考1 设集合A表示“ 思考1：设集合A表示“1～20以内的所有质数”，那 20以内的所有质数” 以内的所有质数 这四个元素哪些在集合A 哪些不在集合A 么3，4，5，6这四个元素哪些在集合A中？哪些不在集合A 中？ 思考2 对于一个给定的集合A 那么某元素a与集合A 思考2：对于一个给定的集合A，那么某元素a与集合A 有哪几种可能关系？ 有哪几种可能关系？ 思考3 如果元素a是集合A中的元素， 思考3：如果元素a是集合A中的元素，我们如何用数 学化的语言表达？ 学化的语言表达？ 属于集合A a属于集合A，记作 a ∈ A 思考4 如果元素a不是集合A中的元素， 思考4：如果元素a不是集合A中的元素，我们如何用 数学化的语言表达？ 数学化的语言表达？ 不属于集合A a不属于集合A，记作 a ∉ A
1.
定义
一般地, 指定的某些对象的全体称为集合 全体称为集合. 一般地 指定的某些对象的全体称为集合 简称集， 简称集， 通常用大写拉丁字母A，B，C， 表示 表示. 通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示.
集合中每个对象叫做这个集合的元素 集合中每个对象叫做这个集合的元素. 集合的元素 通常用小写拉丁字母a， ， ， 表示 通常用小写拉丁字母 ，b，c，…表示
思考2：试列举一个集合的例子，并指出集合中的元素. 思考2 试列举一个任意一组对象是否都能组成一个集合？ 任意一组对象是否都能组成一个集合？集合中的元 素有什么特征？ 素有什么特征？ 思考1 某单位所有的“帅哥”能否构成一个集合？ 思考1：某单位所有的“帅哥”能否构成一个集合？由 此说明什么？ 此说明什么？ 集合中的元素必须是确定的（ 集合中的元素必须是确定的（确定性） 思考2 在一个给定的集合中能否有相同的元素？ 思考2：在一个给定的集合中能否有相同的元素？由此 说明什么？ 说明什么？ 集合中的元素是不重复出现的（互异性） 集合中的元素是不重复出现的（互异性） 思考3 高一（ 思考3：高一（8）班的全体同学组成一个集合，调整 班的全体同学组成一个集合， 座位后这个集合有没有变化？由此说明什么？ 座位后这个集合有没有变化？由此说明什么？ 集合中的元素是没有顺序的（无序性） 集合中的元素是没有顺序的（无序性）