概率论与测度论1.5

n 1

~ 为A在A中的 分割.
定义 :
~ A 上的集函数 称为是可加的( 或有限可加的)如果
m ~ ~ 对A A ， 及A在A 中的有限分割An , n 1,2,, m An ， n 1 m
有定义， 且 A An .
n 1
称为是 可加的 ( 或可列可加的)如果对A A ， 及A
~ 则称在A上是 有限的.
若A ， A
~ An , An , n 1,2, , m是A中的不相交子类 ，
n 1
m
~ 则 An , n 1,2, , m 称为A在A中的有限分割 ，
若A
~ An， An , n 1是A中的不相交子类 则称 An , n 1 ，
1
A
1

n
A0， 则 u A0
A0
m
u A .
n 1

2
A , m 1,2, , 则 u A u A .
n 0 n 1 1
m
3
~ ~ u是 可加的， An n 1 A， 且 lim An A A,
~ u v |G
~ 定理1. 如果u 是半代数S 上的非负可加集函数 则存在 u 到 ， ~ ~ 由S 产生的代数A上的唯一的一个扩张 , 使得v是可加的， 如 v ~ 果u是 可加的， 则v在A上也是 可加的.
证:
~ ~ 由前 1， A是由S中的集的一切不相交有 限并组成 ，
~ 在A 中的 分割 An , n 1， An 有定义， 且 n 1
~
A An .
n 1
定义 :
~ 定义在包含的集类A上的一个非负 可加集函数，
~ 0, 称为测度， 如果是的子集所成的 代数F上的 ~ ~ 测度，， F， 称为测度空间 测度空间 ， F，P ， 率空间如果P 1.
1.5
Additive set functions,Measures, Probability spaces
~ 设是一个空间， A是的子集组成的非空类 是定义 ， ~ ~ 在A上的实值集函数 若对任意 A A ， A是有限的， 则 ，
~ 称是有限的， 若存在An , n 1 A, An , An , n 1


~ ~ 显然A G。
~ 下证A是 代数。
~ 令B B， 若A A，
( ( AB = (Ac ∩B)∪(A ∩ c )= Ac ∩ Bc ) ∪ Bc ∩ Ac ) = Ac Bc . B
c c
(
)(
)
~ ~ P Ac B c P AB , B c G Ac A.
P An Bn P Bn An 1 1 1 1
P An Bn P Bn An 1 1 1 1 P An Bn . 1 1
v A

v A u A v A
n 1 n n 1 n
m
m
~ ~ ~ 最后， 设u在S上是 可加的， An , n 1是A A在A中的 分割，
~ Cn ,1 n m 是 A 在 S 中的分割，
~ 对每一n, 设 B j , jn 1 j jn 是An 在S 中的分割， j0 0,
0, N , 当n N时
n P An B j P An Bn . 0 0 1 1 1 1

~ 而 B j G，
1
n
~ An F，
1

~ An A
0, N , 当n N时
n P An B j P An Bn 0 0 1 1 1 1
~ 而 B j G，
1
n
~ An F，
1

P An Bn . 1 1

P An Bn 1 1
P An Bn
1

2 n , 1

n n n 又 lim P An B j lim P An B j lim P B j An n n n 1 1 1 1 1 1
1
~ ~ ~ A G F.

#
END
n
有 lim u An u A.
n
3
~ ~ u是 可加的， An n 1 A， 且 lim An A A,
n
有 lim u An u A.
n
~ ~ 此时u是次可加的， 即若 An A，A n A, j 1, 则
m Байду номын сангаас k k m k n 1 n n 1 j 1 n j j 1 n 1 n j j 1 j
故v的定义是有意义的 .
~ 又显然v在A上是可加的 ，
下证唯一性 .
~ ~ 若v 是A上的可加集函数 则v | S u, ，
~ ~ 对A A在S中的任意有限分割 An ,1 n m,
若u是测度，u 是 可加的， 由3 u 是次可加的 。 #

~ ~ 推论2. 如果 , F , P 是概率空间 对F中的单调序列An , ，
有 P lim An lim P An
n n




~ ~ ~ ~ 设 , F , P 是概率空间 F G ， G是的子集所成 , ~ ~ 的代数， 则对A F， 及 0, 存在 B G， 使的 定理3. P AB .
注1 :
~ 设S是一个半代数 。
1 2
~ ~ ~ ~ 若G是由S 中集的一切不相交有限 并组成， 则G是由S 产
生的代数， ~ ~ c c 若 An , n 1,2, , m S , 则存在 A1 A2 Am 在S 中的一个
有限分割，
3
~ ~ 对每一A S ， 及An , n 1 S 使得 An A, 则存在A 1
~ 对每一n, 设 B j , jn 1 j jn 是An 在S 中的分割， j0 0, ~ 则 B j , j 1是A在S 中的 分割， 且
v A uB uB uAB uC B
jn m n 1 n n 1 j jn 1 1
~ ~ 若 An A, n 1, Bn G , 使P An Bn n , 2


~ ~ 若 An A, n 1, Bn G , 使P An Bn n , 2
由Ex 1.2.1,
A B
n 1 1


n

A B
n n 1
~ 在S 中的一个 分割Bn , n 1, 且Bn 是某一Am的子集。
~ ~ ~ ~ 设G和H是的两个子集类， G H， 如果u和v是分别 ~ ~ ~ 定义在G和H上的集函数， 使得对A G， 有u A v A, 则 ~ ~ 称v是u到H上的一个扩张，u 是v在G上的限制， 记为
~ F中的集 A 称为事件，P A 称为 A 的概率， 概率为0 的事件称 为零事件，



称为概
~ 如果X是 ， F，P 上的实值可测函数 且 ，


: X
是零事件， 则称X为随机变量 简记为r.v. .
~ ~ 定义 : 半代数S 是的子集所成的 类， 使得 S ， ~ ~ 对每一A S ，存在Ac 在S 中的一个有限分割。
n n
推论1.
~ ~ 如果 u 是半代数S 上的非负可加集函数 则在S 上 ，
~ ~ 定理2中 的1，2成立。 加之， S 上的测度u在S 上是次可加的 。
证:
~ 由定理 ， 将u扩张到 A S 上， 1

~ ~ 由定理2，u 在A S 上1，2成立， 当然在S上1，2成立，
1

u An 1
u A
n 1

4
~ ~ 如果u是 可加的， 则对 An A, u A1 , lim An A A,
n
有 lim u An u A.
n
~ 反之， 如果对 An A, lim An 有 lim u An 0， 则u是 可加的.






j
j 1
j
j 1
j
j 1 n 1
n
j
u C n B j uCn v A.
m m n 1 j 1 n 1
~ v在A上是 可加的 # .
定理2.
~ ~ 设 u 是代数A上的非负可加集函数An n 0 A, ，
如果An n 1是不相交类， 且



证:
~ ~ ~ 令A A : A F， 0, B G, 使P AB


~ ~ 显然A G
~ 下证A是 代数
~ 令B B， 若A A，
证:
~ ~ ~ 令A A : A F， 0, B G, 使P AB
~ ~ A A， 有限分割An ,1 n m S ,
对这样的 A， 定义 v A
u A
n 1
m
若A有两个不同的有限分割An ,1 n m ，Bn ,1 j k,