湖北省黄冈市黄冈中学2017-2018学年高三上学期周末测试数学试题 Word版含解析

黄冈中学2017-2018学年高三（上）周末测试数学试题（1）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分．请将正确答案的代号填在答题卡上)： 1．已知集合{}{}2013,,11xM y y x R N x x ==∈=-≤，则=（ ）A ． (0,)+∞B ．(]0,2C ． [)0,+∞D ．{}(2,4),(4,16) 【答案】B【解析】{}{}{}{}2013,0,1102xM y y x R y y N x x x x ==∈=>=-≤=≤≤，故=(]0,2．2．下列对应法则f 中，构成了从集合A 到集合B 的映射是（ ） A ．2||:,},0|{x y x f R B x x A =→=>= B ．2:},4{},2,0,2{x y x f B A =→=-= C ．21:},0|{,x y x f y y B R A =→>== D ．2:},1,0{},2,0{x y x f B A =→== 【答案】D【解析】根据映射的定义知，构成从集合A 到集合B 的映射是D 3． 25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．60 【答案】C【解析】在25()x x y ++的5个因式中，2个取因式中2x 剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y,故52x y 的系数为212532C C C =30，故选 C ．4．函数f (x )＝ax ＋b（x ＋c ）2的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，b >0，c <0B ．a <0，b >0，c >0C ．a <0，b >0，c <0D ．a <0，b <0，c <0 【答案】C【解析】由里面图可知－c >0，∴c <0，又当x <－c 时，由图象形状可知，a <0且b >0，故选C ．5．函数32)(2+-=x x x f ，若a x f -)(＜2恒成立的充分条件是21≤≤x ，则实数a 的取值范围是（ ）A ． 14a <<B ． 14a ≤≤C ． 16a <<D ． 46a ≤≤ 【答案】A6．设集合A=12345{(,,,,)|{1,0,1},1,2,3,4,5},i x x x x x x i ∈-=那么集合A 中满足条件12345"1||||||||||3"x x x x x ≤++++≤的元素个数为（ ）A ．130B ．120C ．90D ．60 【答案】A【解析】当12345||||||||||1x x x x x ++++=时，有115210C C =种情况； 当12345||||||||||2x x x x x ++++=时，有221552240C C C +=种情况； 当12345||||||||||3x x x x x ++++=时，有3313255353280C C C C C ++=种情况；综上知，满足条件的元素个数共有104080130++=种．7．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A ．p ＋q2 B ．（p ＋1）（q ＋1）－12C ．pqD ．（p ＋1）（q ＋1）－1 【答案】D【解析】设年平均增长率为x ，则有(1＋p )(1＋q )＝(1＋x )2，解得x ＝（1＋p ）（1＋q ）－1．．又函数g (x )的定义域为B ＝{x |－x 2＋(a －1)x ＋a ≥0}＝{x |(x －a )(x ＋1)≤0}， 讨论：①若a <－1，则B ＝，显然满足B ⊆A ；②若a >－1，则B ＝，要使B ⊆A ，则需a ≤2，此时－1<a ≤2； ③当a ＝－1，则B ＝{－1}，满足B ⊆A ．综上，a 的范围为(－∞，2]． 18．（本小题满分12分）已知二次函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R )．(1)若f (－1)＝f (2)，且不等式x ≤f (x )≤2|x －1|＋1对x ∈恒成立，求函数f (x )的解析式； (2)若c <0，且函数f (x )在上有两个零点，求2b ＋c 的取值范围． 解：(1)因为f (－1)＝f (2)，所以b ＝－1，因为当x ∈，都有x ≤f (x )≤2|x －1|＋1，所以有f (1)＝1， 即c ＝1，所以f (x )＝x 2－x ＋1；(2)法一 因为f (x )在上有两个零点，且c <0，所以有⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≥0，f （1）≥0，c <0，即⎩⎪⎨⎪⎧－b ＋c ＋1≥0，b ＋c ＋1≥0，c <0，通过线性规划可得－2<2b ＋c <2． 法二 设f (x )的两个零点分别为x 1，x 2， 所以f (x )＝(x －x 1)(x －x 2)， 不妨设x 1∈．因为f (2)＝(2－x 1)(2－x 2)，且2－x 1∈(2，3]，2－x 2∈[1，2)， 所以f (2)∈(2，6)，所以－2<2b ＋c <2． 19．（本小题满分12分）甲、乙、丙三名音乐爱好者参加某电视台举办的演唱技能海选活动在本次海选中有合格和不合格两个等级．若海选合格记1分，海选不合格记0分．假设甲、乙、丙海选合格的概率分别为23，34，12，他们海选合格与不合格是相互独立的．(1)求在这次海选中，这三名音乐爱好者至少有一名海选合格的概率；(2)记在这次海选中，甲、乙、丙三名音乐爱好者所得分之和为随机变量ξ，求随机变量 ξ的分布列和数学期望E (ξ)．解： (1)记“甲海选合格”为事件A ，“乙海选合格”为事件B ，“丙海选合格”为事件C ，“甲、乙、丙至少有一名海选合格”为事件E ，则P (E )＝1－P (A B C )＝1－13×14×12＝2324．(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3．P (ξ＝0)＝P (A B C )＝124；P (ξ＝1)＝P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＝624； P (ξ＝2)＝P (A B C )＋P (A B C )＋P (A BC )＝1124； P (ξ＝3)＝P (ABC )＝624．所以ξ的分布列为E (ξ)＝0×124＋1×624＋2×24＋3×24＝12．20．（本小题满分12分）已知(3x ＋x 2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x －1)n的展开式的二项式系数和大992． (1)求⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x 2n的二项式系数最大的项； (2)求⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x 2n的展开式系数最大的项． 解：由题意知，22n－2n ＝992，即(2n －32)(2n＋31)＝0，∴2n＝32(负值舍去)，解得n ＝5．(1)由二项式系数的性质知，⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x 10的展开式中第6项的二项式系数最大，即C 510＝252．∴T 6＝C 510(2x )51x5＝C 51025＝8064．(2)设第r ＋1项的系数最大，∵T r ＋1＝C r 10(2x )10－r1xr＝C r 10210－r x 10－2r，∴⎩⎪⎨⎪⎧C r10210－r≥C r －110210－r ＋1，C r 10210－r ≥C r ＋110210－r －1，得⎩⎪⎨⎪⎧C r 10≥2C r －110，2C r 10≥C r ＋110， 即⎩⎪⎨⎪⎧11－r ≥2r ，2（r ＋1）≥10－r ， 解得83≤r ≤113，∵r ∈N ，∴r ＝3．故系数最大的项是第4项，第4项为T 4＝C 31027x 4＝15360x 4． 21．（本小题满分12分）（2018年上海高考） 已知a R ∈，函数21()log ()f x a x=+． （1）当5a =时，解不等式()0f x >；（2）若关于x 的方程2()log [(4)25]0f x a x a --+-=的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围；（3）设0a >，若对任意1[,1]2t ∈，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围． 解:（1）由21log 50x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，得151x +>，解得()1,0,4x ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭．（2）()1425a a x a x+=-+-，()()24510a x a x -+--=， 当4a =时，1x =-，经检验，满足题意． 当3a =时，121x x ==-，经检验，满足题意． 当3a ≠且4a ≠时，114x a =-，21x =-，12x x ≠． 1x 是原方程的解当且仅当110a x +>，即2a >； 2x 是原方程的解当且仅当210a x +>，即1a >．于是满足题意的(]1,2a ∈． 综上，a 的取值范围为(]{}1,23,4．（3）当120x x <<时，1211a a x x +>+，221211log log a a x x ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 在()0,+∞上单调递减．函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值分别为()f t ，()1f t +．()()22111log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭即()2110at a t ++-≥，对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立．因为0a >，所以函数()211y at a t =++-在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，12t =时，y 有最小值3142a -，由31042a -≥，得23a ≥．故a 的取值范围为2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 22．（本小题满分12分）已知常数0,a >函数2()ln(1).2xf x ax x =+-+ （Ⅰ）讨论()f x 在区间0+∞（，）上的单调性；（Ⅱ）若()f x 存在两个极值点12,,x x 且12()()0f x f x +>，求a 的取值范围．解：（1） 222)2)(1()1(4)2(2)2(21)('++-+=+-+-+=x ax a ax x x x ax a x f （*） 当1≥a 时，0)('>x f ，此时，)(x f 在区间),0(∞+上单调递增； 当10<<a 时，由0)('=x f 得 a a x -=121（aax --=122舍去）， 当),0(1x x ∈时，0)('<x f ，当),(1∞+∈x x 时，0)('>x f ， 故)(x f 在区间),0(1x 上单调递减，在区间),(1∞+x 上单调递增． 综上所述，当1≥a 时， )(x f 在区间),0(∞+上单调递增； 当10<<a 时，)(x f 在区间)12,0(a a -上单调递减，在区间),12(∞+-aa 上单调递增．（2）由（*）式知，当1≥a 时， 0)('>x f ，此时)(x f 不存在极值点． 因而要使)(x f 存在两个极值点，必有10<<a ，且)(x f 的极值点只可能是aax -=121和a a x --=122，且由)(x f 的定义可知，a x 1->且2-≠x ，所以a a a 112->-- 且212-≠--a a ，解得21≠a ． 此时，则（*）式知，1x ，2x 分别是)(x f 的极小值点和极大值点． 而22)1ln(22)1ln()()(22211121+-+++-+=+x x ax x x ax x f x f 4)(2)(44])(1ln[2121212121221+++++-+++=x x x x x x x x x x a x x a12)1(4)12ln(2----=a a a 2122)12ln(2--+-=a a ．令x a =-12，由10<<a 且21≠a 知，当210<<a 时，01<<-x ；当121<<a 时，10<<x ． 并记22ln )(2-+=xx x g ， （i ）当01<<-x 时，22)ln(2)(-+-=x x x g ，02222)('22<-=-=x x x x x g ， 因此)(x g 在区间)0,1(-上单调递减，从而04)1()(<-=-<g x g ，故当210<<a 时，0)()(21<+x f x f ．(ii) 当10<<x 时，22ln 2)(-+=x x x g ，02222)('22<-=-=x x x x x g ， 因此)(x g 在区间)1,0(上单调递减，从而0)1()(=>g x g ，故当121<<a 时，0)()(21>+x f x f ．综上所述，满足条件的a 的取值范围是．。