镇海中学数学奥林匹克中级训练题(004)
2023-2024学年浙江省宁波市镇海中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省宁波市镇海中学高二（上）期中数学试卷一、单选题，本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数y =√x +1在x ＝3处的导数是（ ） A ．14B ．12C ．2D ．42．设数列{a n }满足a 1=1，a n a n+1=(−1)n (n +1)2，则a 3＝（ ） A ．4 B ．﹣4C ．94D ．−943．若方程x 22−m+y 23+m =1表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围为（ ） A ．−3＜m ＜−12B ．−12＜m ＜2C ．m ＜﹣3D ．m ＞24．2023年10月17～18日，第三届“一带一路”高峰论坛在北京举行，有150个国家、92个国际组织的外宾参与论坛．从2013年到2022年，中国与共建“一带一路”国家的进出口累计总额年均增长率为6.4%．现已知2013年进出口累计总额为10.9万亿美元，则2022年进出口累计总额（保留1位小数）约为（ ）参考数据：1.0648≈1.64，1.0649≈1.75，1.06410≈1.86，1.06411≈1.98 A ．17.9万亿B ．19.1万亿C ．20.3万亿D ．21.6万亿5．函数y ＝e x ﹣2x 图象与直线y ＝a 恰有两个不同的交点，则a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，2﹣2ln 2） B ．（2﹣2ln 2，+∞） C ．[2﹣2ln 2，+∞）D ．（2﹣ln 2，+∞）6．已知a =1.01，b =e 0.01，c =√1.02，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a7．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2a 2−16=1的左、右焦点，O 为坐标原点，M 是椭圆C 上的点（不在坐标轴上），∠F 1MF 2的平分线交OF 2于N ，且ON ＝2，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ） A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(0，13)D ．(13，1)8．已知无穷正整数数列{a n }满足a n+2=a n +2023a n+1+1(n ∈N ∗)，则a 1的可能值有（ ）个．A ．2B ．4C ．6D ．9二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．定义在R 上的可导函数y ＝f （x ）的导函数图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．f （1）＜f （6）B ．函数y ＝f （x ）的最大值为f （5）C ．1是函数y ＝f （x ）的极小值点D ．3是函数y ＝f （x ）的极小值点10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则（ ）A ．若{a n }为递减等比数列，则{a n }的公比q ∈（0，1）B ．“{a n }为等差数列”是“{Sn n}为等差数列”的充要条件C ．若{S n }为等比数列，则{a n }可能为等比数列D ．若对于任意的p ，q ∈N *，数列{a n }满足a p +q ＝a p a q ，且各项均不为0，则{a n }为等比数列11．已知数列{a n }满足a n+1=a n 2+2a n ，a 1=2，设b n ＝log 3（1+a n ），记{b n }的前n 项和为S n ，{1S n}的前n 项和为T n ，则（ ） A ．{b n }为等比数列 B ．{a n +1}为等比数列C ．S n ＝b n +1﹣1D ．T n ＜212．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 24−y 25=1的左、右焦点，点A 为双曲线右支上任意一点，点M （2，3），下列结论中正确的是（ ） A ．|AF 1|﹣|AF 2|＝4B ．|AM |+|AF 1|的最小值为4+√10C ．过M 与双曲线有一个公共点直线有3条D ．若∠F 1AF 2＝90°，则△F 1AF 2的面积为5 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知数列{a n }为等比数列，a 1+a 2＝3，a 3+a 4＝12，则a 5+a 6＝ ． 14．设函数y ＝f （x ）在x ＝x 0处可导且f ′（x 0）＝2，则limℎ→0f(x 0+2ℎ)−f(x 0)ℎ= ．15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 11＞0，S 12＜0，数列{Sn a n}(1≤n ≤11)中最大的项为第 项． 16．若函数f （x ）＝（x ﹣m ）2+lnx 在区间（1，2）上有单调递增区间，则实数m 的取值范围是 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知等差数列﹣2，1，4，7，10，…，现在其每相邻两项之间插入一个数，使得插入的所有数成为一个新的等差数列{a n }． （1）求新数列{a n }的通项公式；（2）16是新数列{a n }中的项吗？若是，求出是第几项，若不是，说明理由． 18．（12分）已知函数f(x)=13x 3+ax 2+b ，a ，b ∈R ，f(x)在x ＝2处取到极小值23．（1）求a ，b 的值；（2）求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程．19．（12分）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上的点P （1，m ）到其焦点F 的距离为2． （1）求C 的方程及焦点F 的坐标．（2）过点（2，0）的直线l 交抛物线于A ，B 两点，且△OAB 的面积为8，求直线l 的方程． 20．（12分）已知等差数列{a n }和正项等比数列{b n }满足：a 1＝b 1＝3，a 10﹣12＝b 2，3a 4＝b 3． （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）记c n ＝a n •b n ，数列{c n }的前n 项和为S n ，求S n ． 21．（12分）已知函数f （x ）＝xlnx ﹣ax +1，a ∈R ． （1）当a ＝1时，求函数f （x ）的最小值；（2）若f （x ）≥﹣a 对任意的x ＞0恒成立，求整数a 的最大值．22．（12分）已知双曲线Γ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的左右顶点分别为点A ，B ，其中|AB |＝2，且双曲线过点C （2，3）．（1）求双曲线Γ的方程；（2）设过点P （1，1）的直线分别交Γ的左、右支于D ，E 两点，过点E 作垂直于x 轴的直线l ，交线段BC 于点F ，点G 满足EF →=FG →．证明：直线DG 过定点，并求出该定点．2023-2024学年浙江省宁波市镇海中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题，本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数y =√x +1在x ＝3处的导数是（ ） A ．14B ．12C ．2D ．4解：由y =√x +1，得y ′=12(x +1)−12⋅(x +1)′=12√x+1， 所以函数y =√x +1在x ＝3处的导数是2√3+1=14．故选：A ．2．设数列{a n }满足a 1=1，a n a n+1=(−1)n (n +1)2，则a 3＝（ ） A ．4B ．﹣4C ．94D ．−94解：由a n ⋅a n+1=(−1)n ⋅(n +1)2，a 1=1，得a 1⋅a 2=(−1)⋅(1+1)2=−4，则a 2＝﹣4， 又a 2a 3=(−1)2⋅(2+1)2=9，得a 3=−94． 故选：D ． 3．若方程x 22−m+y 23+m =1表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围为（ ） A ．−3＜m ＜−12B ．−12＜m ＜2C ．m ＜﹣3D ．m ＞2解：由题意可得：0＜3+m ＜2﹣m ，解得−3＜m ＜−12， ∴m 的取值范围为(−3，−12)． 故选：A ．4．2023年10月17～18日，第三届“一带一路”高峰论坛在北京举行，有150个国家、92个国际组织的外宾参与论坛．从2013年到2022年，中国与共建“一带一路”国家的进出口累计总额年均增长率为6.4%．现已知2013年进出口累计总额为10.9万亿美元，则2022年进出口累计总额（保留1位小数）约为（ ）参考数据：1.0648≈1.64，1.0649≈1.75，1.06410≈1.86，1.06411≈1.98 A ．17.9万亿B ．19.1万亿C ．20.3万亿D ．21.6万亿解：依题意可得：从2013年到2022年的每年进出口累计总额依次排成一列构成等比数列{a n }，其中a1＝10.9，公比q＝1+6.4%＝1.064，所以2022年进出口累计总额为a10=a1q9=10.9×1.0649≈10.9×1.75≈19.1（万亿）．故选：B．5．函数y＝e x﹣2x图象与直线y＝a恰有两个不同的交点，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，2﹣2ln2）B．（2﹣2ln2，+∞）C．[2﹣2ln2，+∞）D．（2﹣ln2，+∞）解：函数y＝e x﹣2x的定义域为R，求导得y′＝e x﹣2，当x＜ln2时，y′＜0，函数y＝e x﹣2x递减，函数单调减区间为（﹣∞，ln2），当x＞ln2时，y′＞0，函数y＝e x﹣2x递增，函数单调增区间为（ln2，+∞），当x＝ln2时，函数y＝e x﹣2x取得最小值2﹣2ln2，如图，所以函数y＝e x﹣2x图象与直线y＝a恰有两个不同的交点时，a＞2﹣2ln2．故选：B．6．已知a=1.01，b=e0.01，c=√1.02，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a解：令f（x）＝e x﹣（x+1），则f′（x）＝e x﹣1，可知x＜0时f′（x）＜0，x＞0时f′（x）＞0，故f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，所以f（x）≥f（0）＝0，所以e x≥x+1，x＝0时等号成立，所以b＝e0.01＞0.01+1＝1.01＝a，故b＞a，又√x≤1+x2，当x＝1时等号成立，则c=√1.02＜1+1.022=1.01=a，故c＜a，综上，b＞a＞c．故选：C．7．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2a 2−16=1的左、右焦点，O 为坐标原点，M 是椭圆C 上的点（不在坐标轴上），∠F 1MF 2的平分线交OF 2于N ，且ON ＝2，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ） A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(0，13)D ．(13，1)解：设椭圆的焦距为2c （c ＞0），则c 2＝a 2﹣（a 2﹣16）＝16，即c ＝4， 因为MN 平分∠F 1MF 2，且ON ＝2， 所以|MF 1||MF 2|=|NF 1||NF 2|=62=3，由椭圆的定义知，|MF 1|+|MF 2|＝2a ， 所以|MF 1|=32a ，|MF 2|=a 2， 因为a ﹣c ＜|MF 1|＜a +c ，所以a ﹣c ＜32a ＜a +c ，解得a ＜2c ，即ca＞12，所以离心率e =ca∈（12，1）．故选：B ．8．已知无穷正整数数列{a n }满足a n+2=a n +2023a n+1+1(n ∈N ∗)，则a 1的可能值有（ ）个．A ．2B ．4C ．6D ．9解：由a n+2=a n+2023a n+1+1，得a n +2+a n +2•a n +1＝a n +2023，当n ≥2时，a n +1+a n +1•a n ＝a n ﹣1+2023，两式相减得a n +2﹣a n +1+a n +1（a n +2﹣a n ）＝a n ﹣a n ﹣1，即a n +2﹣a n +a n +1（a n +2﹣a n ）＝a n +1﹣a n ﹣1， 于是（a n +2﹣a n ）（a n +1+1）＝a n +1﹣a n ﹣1，依题意a n +1+1＞1， 若a n +2﹣a n ≠0，有a n+2−a n =a n+1−a n−1a n+1+1，则0＜|a n+2−a n |=|a n+1−a n−1a n+1+1|＜|a n+1−a n−1|，即{|a n +2﹣a n |}是递减数列，由于{a n }是无穷正整数数列，则必存在n ≥N *，使得|a n +2﹣a n |＝0与|a n +2﹣a n |＞0矛盾， 因此a n +2﹣a n ＝0，即a n +2＝a n ，于是数列{a n }是周期为2的周期数列，当n ＝1时，由a 3＝a 1，得a 1=a 1+2023a 2+1，即a 1a 2＝2023＝1×2023＝7×17×17， 从而a 1∈{1，2023，7，17，119，289}，∴a 1的可能值有6个． 故选：C ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．定义在R 上的可导函数y ＝f （x ）的导函数图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．f （1）＜f （6）B ．函数y ＝f （x ）的最大值为f （5）C ．1是函数y ＝f （x ）的极小值点D ．3是函数y ＝f （x ）的极小值点解：易知函数f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，6）上单调递增，在（6，+∞）上单调递减， 所以f （1）＜f （6），故选项A 正确； 因为f （5）＜f （6），故选项B 错误；因为y ＝f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，6）上单调递增， 所以1是函数y ＝f （x ）的极小值点，故选项C 正确； 当x ＝3时，f ′（x ）的符号未发生改变，所以3不是函数y ＝f （x ）的极小值点，故选项D 错误． 故选：AC ．10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则（ ）A ．若{a n }为递减等比数列，则{a n }的公比q ∈（0，1）B ．“{a n }为等差数列”是“{Snn }为等差数列”的充要条件C ．若{S n }为等比数列，则{a n }可能为等比数列D ．若对于任意的p ，q ∈N *，数列{a n }满足a p +q ＝a p a q ，且各项均不为0，则{a n }为等比数列 解：根据题意，依次分析选项：对于A ，取a n =−2n−1，则{a n }为递减等比数列，公比q ＝2∉（0，1），故A 错误； 对于B ，若{a n }为等差数列，则S n =na 1+n(n−1)2d ，所以S n n =a 1+(n −1)d 2， 故S n+1n+1−S n n=(n +1−1)d 2−(n −1)d 2=d 2（常数），故{Sn n }为等差数列，若{S n n}为等差数列，则S n n=a 1+(n −1)d′，即S n ＝na 1+n （n ﹣1）d ′，所以S n +1＝（n +1）a 1+n （n +1）d ′，两式相减得a n +1＝S n +1﹣S n ＝a 1+2nd ′， 所以a n ＝a 1+2（n ﹣1）d ′，故a n +1﹣a n ＝2d ′（常数），所以{a n }为等差数列，所以“{a n }为等差数列”是“{Sn n }为等差数列”的充要条件，故B 正确；对于C ，若S n ＝1，满足{S n }为等比数列，此时a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝0， 所以a n ={1，n =10，n ≥2，不是等比数列，故C 错误；对于D ，任意的p ，q ∈N *，满足a p +q ＝a p a q ，不妨取p ＝1，q ＝n ，则 a n +1＝a 1a n ，因为各项均不为0，所以a n+1a n=a 1（不为0的常数），故{a n }为等比数列，故D 正确． 故选：BD ．11．已知数列{a n }满足a n+1=a n 2+2a n ，a 1=2，设b n ＝log 3（1+a n ），记{b n }的前n 项和为S n ，{1S n}的前n 项和为T n ，则（ ） A ．{b n }为等比数列 B ．{a n +1}为等比数列C ．S n ＝b n +1﹣1D ．T n ＜2解：由a n+1=a n 2+2a n ，a 1=2，知a n ＞0，且a n+1+1=(a n +1)2，两边取对数得log 3（a n +1+1）＝2log 3（a n +1）， 即b n +1＝2b n ，而b 1＝log 3（1+a 1）＝1， 所以b n ＞0， 所以b n+1b n=2，即数列{b n }为等比数列，故选项A 正确；由a n+1+1=(a n +1)2，知a n+1+1a n +1=a n +1，不是常数，即选项B 错误；因为{b n }是首项为1，公比为2的等比数列， 所以b n =1×2n−1=2n−1，S n =1−2n1−2=2n −1=b n+1−1，即选项C 正确；因为1S n=12n −1＜1+12n −1+1=(12)n−1(n ≥2)，所以T n ＜(12)0+(12)1+⋯+(12)n−1=1−(12)n 1−12=2−2(12)n ＜2（n ≥2），当n ＝1时，T 1=1S 1=1＜2成立， 综上，T n ＜2，即选项D 正确． 故选：ACD ．12．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 24−y 25=1的左、右焦点，点A 为双曲线右支上任意一点，点M （2，3），下列结论中正确的是（ ） A ．|AF 1|﹣|AF 2|＝4B ．|AM |+|AF 1|的最小值为4+√10C ．过M 与双曲线有一个公共点直线有3条D ．若∠F 1AF 2＝90°，则△F 1AF 2的面积为5 解：如图，由双曲线方程x 24−y 25=1，知2a ＝4，所以由双曲线定义知|AF 1|﹣|AF 2|＝2a ＝4，故A 正确；因为c 2＝a 2+b 2＝9，所以F 2（3，0），|MF 2|=√(2−3)2+(3−0)2=√10， 由|AM|+|AF 1|=|AM|+|AF 2|+4≥|MF 2|+4=√10+4，故B 正确；过M 与两渐近线平行的直线仅有1个交点，过M 与左支相切与右支无交点的直线有1条， 过M 与右支相切且与左支无交点的直线有1条，故共有4条，故C 错误；若∠F 1AF 2＝90°，则|AF 1|2+|AF 2|2＝|F 1F 2|2，即（|AF 1|﹣|AF 2|）2+2|AF 1|•|AF 2|＝|F 1F 2|2， 所以4a 2+2|AF 1|⋅|AF 2|=4c 2，解得|AF 1|⋅|AF 2|=12(36−16)=10， 所以S △F 1AF 2=12|AF 1|•|AF 2|=12×10＝5，故D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知数列{a n }为等比数列，a 1+a 2＝3，a 3+a 4＝12，则a 5+a 6＝ 48 ． 解：根据题意，设数列{a n }的公比为q ，由于a 1+a 2＝3，a 3+a 4＝12，则有a 3+a 4a 1+a 2=q 2=4，所以a 5+a 6=q 2(a 3+a 4)=4×12=48． 故答案为：48．14．设函数y ＝f （x ）在x ＝x 0处可导且f ′（x 0）＝2，则lim ℎ→0f(x 0+2ℎ)−f(x 0)ℎ= 4 ． 解：由limℎ→0f(x 0+2ℎ)−f(x 0)ℎ=2lim ℎ→0f(x 0+2ℎ)−f(x 0)2ℎ=2f′(x 0)=4．故答案为：4．15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 11＞0，S 12＜0，数列{Sn a n}(1≤n ≤11)中最大的项为第 6 项．解：根据题意，等差数列{a n }中，S 11＞0，S 12＜0， 则有S 11=11(a 1+a 11)2=11a 6＞0，S 12=12(a 1+a 12)2=6(a 6+a 7)＜0，显然a 7＜﹣a 6＜0，且|a 7|＞a 6，等差数列{a n }的公差d ＝a 7﹣a 6＜﹣2a 6＜0， 即数列{a n }是递减数列，前6项均为正数，从第7项起为负数， 数列{S n }的最大项为S 6，a 6是数列{|a n |}中的最小项，且a 6＞0， 所以数列{Sn a n}(1≤n ≤11)中最大的项为S 6a 6，是第6项．故答案为：6．16．若函数f （x ）＝（x ﹣m ）2+lnx 在区间（1，2）上有单调递增区间，则实数m 的取值范围是 (−∞，94) ． 解：已知f （x ）＝（x ﹣m ）2+lnx ，函数定义域为（0，+∞）， 可得f ′（x ）＝2（x ﹣m ）+1x ， 因为f ′（x ）＞0在（1，2）上有解， 即m ＜x +12x 在（1，2）上有解， 由对勾函数的性质可知函数y =x +12x在（1，2）上单调递增， 所以y =x +12x 在x ＝2时取得最大值， 此时m ＜2+14=94，则实数m 的取值范围为(−∞，94)．故答案为：(−∞，94)．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知等差数列﹣2，1，4，7，10，…，现在其每相邻两项之间插入一个数，使得插入的所有数成为一个新的等差数列{a n }．（1）求新数列{a n }的通项公式；（2）16是新数列{a n }中的项吗？若是，求出是第几项，若不是，说明理由．解：（1）设原等差数列为{b n }，易知b 1＝﹣2，b 2＝1，则d ＝b 2﹣b 1＝3，则b n ＝b 1+（n ﹣1）•d ＝3n ﹣5，由题意知：2a n ＝b n +b n +1＝3n ﹣5+3（n +1）﹣5＝6n ﹣7，则a n =3n −72．（2）令a n =16⇒3n −72=16⇒n =132∉N ∗，故16不是新数列{a n }中的项．18．（12分）已知函数f(x)=13x 3+ax 2+b ，a ，b ∈R ，f(x)在x ＝2处取到极小值23． （1）求a ，b 的值；（2）求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程．解：（1）已知f （x ）=13x 3+ax 2+b ，函数定义域为R ，可得f ′（x ）＝x 2+2ax ，因为f （x ）在x ＝2处取到极小值23， 所以{f ′(2)=4+4a =0f(2)=83+4a +b =23， 解得a ＝﹣1，b ＝2，当a ＝﹣1，b ＝2时，f ′（x ）＝x 2﹣2x ，当0＜x ＜2时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减；当x ＞2时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，所以函数f （x ）在x ＝2处取得极小值，则a ＝﹣1，b ＝2满足题意；（2）由（1）知f(x)=13x 3−x 2+2，可得f ′（x ）＝x 2﹣2x ，此时f ′（1）＝﹣1，又f （1）=43，则曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为y −43=−（x ﹣1），即3x +3y ﹣7＝0．19．（12分）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上的点P （1，m ）到其焦点F 的距离为2．（1）求C 的方程及焦点F 的坐标．（2）过点（2，0）的直线l 交抛物线于A ，B 两点，且△OAB 的面积为8，求直线l 的方程． 解：（1）由抛物线的定义可得：|PF|=x ，+p 2=2=1+p 2，解得P ＝2，所以抛物线的方程为C ：y 2＝4x ；（2）由题意可设直线方程为x ＝ty +2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由{x =ty +2y 2=4x，得y 2﹣4ty ﹣8＝0， 所以Δ＝16t 2+4×8＞0，y 1+y 2＝4t ，y 1y 2＝﹣8，因为S △AOB =12×2×|y 1﹣y 2|＝|y 1﹣y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√16t 2+32， 所以t 2＝2，得t =±√2，故直线l 的方程为：x =±√2y +2．20．（12分）已知等差数列{a n }和正项等比数列{b n }满足：a 1＝b 1＝3，a 10﹣12＝b 2，3a 4＝b 3．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）记c n ＝a n •b n ，数列{c n }的前n 项和为S n ，求S n ．解：（1）设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ，由题意知，{a 10−12=b 23a 4=b 3⇒{a 1+9d −12=b 1⋅q 3(a 1+3d)=b 1⋅q 2⇒{9d −9=3q 3(3+3d)=3⋅q 2，消元得q2﹣q﹣6＝0，解得q＝3或q＝﹣2（舍去），所以d＝2，故a n=3+2(n−1)=2n+1，b n=3⋅3n−1=3n．（2）由（1）知，c n=a n⋅b n=(2n+1)⋅3n，所以S n=(2×1+1)×31+(2×2+1)×32+(2×3+1)×33+⋯+(2n+1)×3n①，3S n=(2×1+1)×32+(2×2+1)×33+⋯+(2n−1)×3n+(2n+1)×3n+1②，①﹣②得：−2S n=3×3+2(32+33+⋯+3n)−(2n+1)⋅3n+1=3+2(3+32+⋯+3n)−(2n+1)⋅3n+1=3+2×3(1−3n)1−3−(2n+1)⋅3n+1=−2n⋅3n+1，故S n=n⋅3n+1．21．（12分）已知函数f（x）＝xlnx﹣ax+1，a∈R．（1）当a＝1时，求函数f（x）的最小值；（2）若f（x）≥﹣a对任意的x＞0恒成立，求整数a的最大值．解：（1）当a＝1时，f（x）＝xlnx﹣x+1，函数定义域为（0，+∞），可得f′(x)=lnx+x⋅1x−1=lnx，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以当x＝1时，函数f（x）取得极小值也是最小值，最小值f（1）＝0；（2）若f（x）≥﹣a对任意的x＞0恒成立，此时lnx−a+1+ax≥0，不妨设g(x)=lnx−a+1+ax，函数定义域为（0，+∞），可得g′(x)=1x−1+ax2=x−(1+a)x2，若1+a≤0，即a≤﹣1时，g′（x）＞0，所以函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，无最小值，不符合题意；若1+a＞0，即a＞﹣1时，当0＜x＜1+a时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞1+a时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x）min＝g（1+a）＝ln（1+a）+1﹣a≥0，不妨设h （a ）＝ln （1+a ）+1﹣a ，可得ℎ′(a)=11+a −1=−a 1+a，函数定义域为（﹣1，+∞）， 当﹣1＜a ＜0时，h ′（a ）＞0，h （a ）单调递增；当a ＞0时，h ′（a ）＜0，h （a ）单调递减，又h （0）＝1＞0，h （1）＝ln 2＞0，h （2）＝ln 3﹣1＝ln 3﹣lne ＞0，h （3）＝2ln 2﹣2＝ln 4﹣lne 2＜0， 故整数a 的最大值为2．22．（12分）已知双曲线Γ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左右顶点分别为点A ，B ，其中|AB |＝2，且双曲线过点C （2，3）．（1）求双曲线Γ的方程；（2）设过点P （1，1）的直线分别交Γ的左、右支于D ，E 两点，过点E 作垂直于x 轴的直线l ，交线段BC 于点F ，点G 满足EF →=FG →．证明：直线DG 过定点，并求出该定点．解：（1）由|AB |＝2a ＝2，则a ＝1，又4a 2−9b 2=1，则9b 2=4a 2−1=3，所以b 2＝3，故双曲线Γ的方程为：x 2−y 23=1． （2）证明：如图，由B （1，0），C （2，3），则BC 方程为y ＝3x ﹣3，设直线DE 方程为：y ＝k （x ﹣1）+1，D （x 1，y 1），E （x 2，y 2），则y F ＝3x 2﹣3，则F （x 2，3x 2﹣3），由EF →=FG →，则G （x 2，6x 2﹣6﹣y 2），则k BD =y 1x 1−1=k(x 1−1)+1x 1−1=k +1x 1−1，k BG =b(x 2−1)−y 2x 2−1=6(x 2−1)−k(x 2−1)−1x 2−1=6−k −1x 2−1， 联立{y =k(x −1)+13x 2−y 2=3⇒(3−k 2)x 2−2k(1−k)x −(1−k)2−3=0， 则x 1+x 2=2k(1−k)3−k 2，x 1⋅x 2=−(1−k)2−33−k 2， 则1x 1−1+1x 2−1=x 1+x 2−2x 1x 2−(x 1+x 2)+1=2k(1−k)3−k 2−2−(1−k)2−33−k 2−2k(1−k)3−k 2=6−2k ， 所以k BD ﹣k BG ＝k ﹣（6﹣k ）+6﹣2k ＝0， 故k BD ＝k BG ，故DG 过定点B （1，0）．。
【精选试卷】镇海中学中考数学解答题专项练习习题(含答案解析)
一、解答题1．荆门市是著名的“鱼米之乡”．某水产经销商在荆门市长湖养殖场批发购进草鱼和乌鱼（俗称黑鱼）共75千克，且乌鱼的进货量大于40千克．已知草鱼的批发单价为8元/千克，乌鱼的批发单价与进货量的函数关系如图所示．（1）请直接写出批发购进乌鱼所需总金额y （元）与进货量x （千克）之间的函数关系式；（2）若经销商将购进的这批鱼当日零售，草鱼和乌鱼分别可卖出89%、95%，要使总零售量不低于进货量的93%，问该经销商应怎样安排进货，才能使进货费用最低？最低费用是多少？2．已知：如图，△ABC 为等腰直角三角形∠ACB ＝90°，过点C 作直线CM ，D 为直线CM 上一点，如果CE ＝CD 且EC ⊥CD ．（1）求证：△ADC ≌△BEC ；（2）如果EC ⊥BE ，证明：AD ∥EC ．3．材料：解形如（x+a ）4+（x+b ）4＝c 的一元四次方程时，可以先求常数a 和b 的均值a+b 2，然后设y ＝x+a+b 2．再把原方程换元求解，用种方法可以成功地消去含未知数的奇次项，使方程转化成易于求解的双二次方程，这种方法叫做“均值换元法．例：解方程：（x ﹣2）4+（x ﹣3）4＝1解：因为﹣2和﹣3的均值为−52，所以，设y ＝x ﹣52，原方程可化为（y+12）4+（y ﹣12）4＝1，去括号，得：（y 2+y+14）2+（y 2﹣y+14）2＝1 y 4+y 2+116+2y 3+12y 2+12y+y 4+y 2+116﹣2y 3+12y 2﹣12y ＝1 整理，得：2y 4+3y 2﹣78 ＝0（成功地消去了未知数的奇次项）解得：y 2＝14或y 2＝−74（舍去）所以y ＝±12，即x ﹣52＝±12．所以x ＝3或x ＝2．（1）用阅读材料中这种方法解关于x 的方程（x+3）4+（x+5）4＝1130时，先求两个常数的均值为______． 设y ＝x+____．原方程转化为：（y ﹣_____）4+（y+_____）4＝1130．（2）用这种方法解方程（x+1）4+（x+3）4＝7064．解方程：3x x +﹣1x=1． 5．已知n 边形的内角和θ=（n-2）×180°.（1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n.若不对，说明理由；（2）若n 边形变为（n+x ）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.6．计算：()()()21a b a 2b (2a b)-+--；()221m 4m 421m 1m m -+⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭. 7．某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件，每件利润10元，调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元(1)若生产第五档次的蛋糕，该档次蛋糕每件利润为多少元？(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1024元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？8．如图，在平面直角坐标系中，小正方形格子的边长为1，Rt △ABC 三个顶点都在格点上，请解答下列问题：(1)写出A ，C 两点的坐标；(2)画出△ABC 关于原点O 的中心对称图形△A 1B 1C 1；(3)画出△ABC 绕原点O 顺时针旋转90°后得到的△A 2B 2C 2，并直接写出点C 旋转至C 2经过的路径长．9．某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量y （个）与销售单价x （元）之间满足一次函数关系．关于销售单价，日销售量，日销售利润的几组对应值如下表：销售单价x （元）85 95 105 115 日销售量y （个）175 125 75 m 日销售利润w 875 1875 1875 875（元）（注：日销售利润=日销售量×（销售单价﹣成本单价））（1）求y 关于x 的函数解析式（不要求写出x 的取值范围）及m 的值；（2）根据以上信息，填空：该产品的成本单价是 元，当销售单价x= 元时，日销售利润w 最大，最大值是 元；（3）公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本，预计在今后的销售中，日销售量与销售单价仍存在（1）中的关系．若想实现销售单价为90元时，日销售利润不低于3750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？10．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，∠ABC 的平分线交⊙O 于点D ，DE ⊥BC 于点E ．（1）试判断DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）过点D 作DF ⊥AB 于点F ，若BE=33，DF=3，求图中阴影部分的面积．11．解方程组：226,320.x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩12．如图，BD 是△ABC 的角平分线，过点D 作DE∥BC 交AB 于点E ，DF∥AB 交BC 于点F ．（1）求证：四边形BEDF 为菱形；（2）如果∠A=90°，∠C=30°，BD=12，求菱形BEDF 的面积．13．“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A 、B 、C 、D 表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．请根据以上信息回答：（1）本次参加抽样调查的居民有多少人？（2）将两幅不完整的图补充完整；（3）若居民区有8000人，请估计爱吃D 粽的人数；（4）若有外型完全相同的A 、B 、C 、D 粽各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C 粽的概率．14．某大学生利用业余时间参与了一家网店经营,销售一种成本为30元/件的文化衫,根据以往的销售经验,他整理出这种文化衫的售价y 1(元/件),销量y 2(件)与第x(1≤x<90)天的函数图象如图所示(销售利润=(售价-成本)×销量).(1)求y 1与y 2的函数解析式.(2)求每天的销售利润W 与x 的函数解析式.(3)销售这种文化衫的第多少天,销售利润最大,最大利润是多少?15．在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩（单位：m ），绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）图1中a 的值为 ；（Ⅱ）求统计的这组初赛成绩数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ）根据这组初赛成绩，由高到低确定9人进入复赛，请直接写出初赛成绩为1.65m 的运动员能否进入复赛．16．计算：103212sin45(2π)--+-．17．甲、乙两公司为“见义勇为基金会”各捐款60000元．已知甲公司的人数比乙公司的人数多20℅，乙公司比甲公司人均多捐20元．甲、乙两公司各有多少人？18．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．小明计划给朋友快递一部分物品，经了解有甲、乙两家快递公司比较合适．甲公司表示：快递物品不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费．乙公司表示：按每千克16元收费，另加包装费3元．设小明快递物品x 千克．(1)请分别写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y (元)与x (千克)之间的函数关系式；(2)小明选择哪家快递公司更省钱？19．如图，AD 是ABC 的中线，AE BC ∥，BE 交AD 于点F ，F 是AD 的中点，连接EC .（1）求证：四边形ADCE 是平行四边形；（2）若四边形ABCE 的面积为S ，请直接写出图中所有面积是13S 的三角形.20．为培养学生良好学习习惯，某学校计划举行一次“整理错题集”的展示活动，对该校部分学生“整理错题集”的情况进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了下面不完整的统计图表．整理情况频数 频率 非常好0.21 较好70 0.35 一般m 不好 36请根据图表中提供的信息，解答下列问题：（1）本次抽样共调查了 名学生；（2）m= ；（3）该校有1500名学生，估计该校学生整理错题集情况“非常好”和“较好”的学生一共约多少名？（4）某学习小组4名学生的错题集中，有2本“非常好”（记为A 1、A 2），1本“较好”（记为B ），1本“一般”（记为C ），这些错题集封面无姓名，而且形状、大小、颜色等外表特征完全相同，从中抽取一本，不放回，从余下的3本错题集中再抽取一本，请用“列表法”或“画树形图”的方法求出两次抽到的错题集都是“非常好”的概率．21．如图，点B 、C 、D 都在⊙O 上，过点C 作AC ∥BD 交OB 延长线于点A ，连接CD ，且∠CDB=∠OBD=30°，DB=3．（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）求由弦CD 、BD 与弧BC 所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）22．如图，点D 在以AB 为直径的⊙O 上，AD 平分BAC ∠，DC AC ⊥，过点B 作⊙O 的切线交AD 的延长线于点E ．(1)求证：直线CD 是⊙O 的切线．(2)求证：CD BE AD DE ⋅=⋅．23．国家自2016年1月1日起实行全面放开二胎政策，某计生组织为了解该市家庭对待这项政策的态度，准备采用以下调查方式中的一种进行调查：A ．从一个社区随机选取1 000户家庭调查；B ．从一个城镇的不同住宅楼中随机选取1 000户家庭调查；C ．从该市公安局户籍管理处随机抽取1 000户城乡家庭调查．（1）在上述调查方式中，你认为比较合理的一个是 ．（填“A”、“B”或“C”） （2）将一种比较合理的调查方式调查得到的结果分为四类：（A ）已有两个孩子；（B ）决定生二胎；（C ）考虑之中；（D ）决定不生二胎．将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据以上不完整的统计图提供的信息，解答下列问题：①补全条形统计图．②估计该市100万户家庭中决定不生二胎的家庭数．24．甲乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做4个，甲做120个所用的时间与乙做100个所用的时间相等，求甲乙两人每小时各做几个零件？25．2018年“妇女节”前夕，扬州某花店用4000元购进若干束花，很快售完，接着又用4500元购进第二批花，已知第二批所购花的束数是第一批所购花束数的1.5倍，且每束花的进价比第一批的进价少5元，求第一批花每束的进价是多少？26．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是AB 的中点，连接AC 并延长至点D ，使CD ＝AC ，点E 是OB 上一点，且OE EB =23，CE 的延长线交DB 的延长线于点F ，AF 交⊙O 于点H ，连接BH ．（1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）当OB ＝2时，求BH 的长．27．某小区响应济南市提出的“建绿透绿”号召，购买了银杏树和玉兰树共150棵用来美化小区环境，购买银杏树用了12000元，购买玉兰树用了9000元．已知玉兰树的单价是银杏树单价的1.5倍，那么银杏树和玉兰树的单价各是多少？28．如图，某地修建高速公路，要从A 地向B 地修一座隧道（A 、B 在同一水平面上），为了测量A 、B 两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从B 地出发，垂直上升100米到达C 处，在C 处观察A 地的俯角为39°，求A 、B 两地之间的距离．（结果精确到1米）（参考数据：sin39°=0.63，cos39°=0.78，tan39°=0.81）29．计算： （1）2（m ﹣1）2﹣（2m+1）（m ﹣1）（2）（1﹣1x+2）÷x 2−1x+230．甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案．甲公司方案：每月的养护费用y （元）与绿化面积x （平方米）是一次函数关系，如图所示．乙公司方案：绿化面积不超过1000平方米时，每月收取费用5500 元；绿化面积超过1000平方米时，每月在收取5500元的基础上，超过部分每平方米收取4元．（1）求如图所示的y 与x 的函数解析式：（不要求写出定义域）；（2）如果某学校目前的绿化面积是1200平方米，试通过计算说明：选择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、解答题1．2．3．4．5．6．7．8．9．10．11．12．13．14．15．16．17．18．19．20．21．22．23．24．25．26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、解答题1．（1）y=26(2040)24(40)x xx x⎧⎨>⎩；（2）该经销商应购进草鱼25千克，乌鱼50千克，才能使进货费用最低，最低费用为1400元．【解析】【分析】【详解】（1）批发购进乌鱼所需总金额y（元）与进货量x（千克）之间的函数关系式y=26(2040) 24(40)x xx x⎧⎨>⎩；（2）设该经销商购进乌鱼x千克，则购进草鱼（75﹣x）千克，所需进货费用为w元．由题意得：4089%(75)95%93%75 xx x>⎧⎨⨯-+⨯⎩解得x≥50．由题意得w=8（75﹣x）+24x=16x+600．∵16＞0，∴w的值随x的增大而增大．∴当x=50时，75﹣x=25，W最小=1400（元）．答：该经销商应购进草鱼25千克，乌鱼50千克，才能使进货费用最低，最低费用为1400元．2．（1）详见解析；（2）详见解析．【解析】【分析】（1）根据两锐角互余的关系可得∠ACD＝∠BCE，利用SAS即可证明△ADC≌△BEC；（2）由△ADC≌△BEC可得∠ADC＝∠E＝90°，根据平行线判定定理即可证明AD//EC.【详解】（1）∵EC⊥DM，∴∠ECD＝90°，∴∠ACB＝∠DCE=90°，∴∠ACD+∠ACE=90°，∠BCE+∠ACE=90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CD＝CE，CA＝CB，∴△ADC≌△BEC（SAS）．（2）由（1）得△ADC≌△BEC，∵EC⊥BE，∴∠ADC＝∠E＝90°，∴AD⊥DM，∵EC⊥DM，∴AD∥EC．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．3．（1）4，4，1，1；（2）x＝2或x＝﹣6．【解析】【分析】（1）可以先求常数3和5的均值4，然后设y＝x+4，原方程可化为（y﹣1）4+（y+1）4＝1130；（2）可以先求常数1和3的均值2，然后设y＝x+2，原方程可化为（y﹣1）4+（y+1）4＝706，再整理化简求出y的值，最后求出x的值．【详解】（1）因为3和5的均值为4，所以，设y＝x+4，原方程可化为（y﹣1）4+（y+1）4＝1130，故答案为4，4，1，1；（2）因为1和3的均值为2，所以，设y＝x+2，原方程可化为（y﹣1）4+（y+1）4＝706，去括号，得：（y2﹣2y+1）2+（y2+2y+1）2＝706，y4+4y2+1﹣4y3+2y2﹣4y+y4+4y2+1+4y3+2y2+4y＝706，整理，得：2y4+12y2﹣704＝0（成功地消去了未知数的奇次项），解得：y2＝16或y2＝﹣22（舍去）所以y＝±4，即x+2＝±4．所以x＝2或x＝﹣6．【点睛】本题考查了解高次方程，求出均值把原方程换元求解是解题的关键．4．分式方程的解为x=﹣34．【解析】【分析】方程两边都乘以x（x+3）得出方程x﹣1+2x=2，求出方程的解，再代入x（x+3）进行检验即可．【详解】两边都乘以x（x+3），得：x2﹣（x+3）=x（x+3），解得：x=﹣34，检验：当x=﹣34时，x（x+3）=﹣2716≠0，所以分式方程的解为x=﹣34．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法与注意事项是解题的关键. 5．（1）甲对，乙不对,理由见解析；（2）2.【解析】试题分析：（1）根据多边形的内角和公式判定即可；（2）根据题意列方程，解方程即可. 试题解析：（1）甲对，乙不对.∵θ=360°，∴（n-2）×180°=360°，解得n=4.∵θ=630°，∴（n-2）×180°=630°，解得n=.∵n 为整数，∴θ不能取630°.（2）由题意得，（n-2）×180+360=（n+x-2）×180，解得x=2.考点：多边形的内角和.6．（1）223a 5ab 3b -+-；（2）m m 2-． 【解析】【分析】 ()1根据多项式乘多项式、完全平方公式展开，然后再合并同类项即可；()2括号内先通分进行分式的减法运算，然后再进行分式的除法运算即可.【详解】()()()21a b a 2b (2a b)-+--=2222a 2ab ab 2b 4a 4ab b +---+-223a 5ab 3b =-+-； (2)221m 4m 41m 1m m -+⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭=()2m m 1m 2m 1(m 2)--⋅-- m m 2=-． 【点睛】 本题考查了整式的混合运算、分式的混合运算，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键． 7．（1该档次蛋糕每件利润为18元;（2）该烘焙店生产的是四档次的产品．【解析】【分析】（1）依题意可求出产品质量在第五档次的每件的利润．（2）设烘焙店生产的是第x档次的产品，根据单件利润×销售数量=总利润，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】（1）10＋2×（5－1）＝18（元）．答：该档次蛋糕每件利润为18元．（2）设烘焙店生产的是第x档次的产品，根据题意得：[10＋2（x－1）]×[76－4(x－1）]＝1024，整理得：x2﹣16x＋48＝0，解得：x1＝4，x2＝12（不合题意，舍去）．答：该烘焙店生产的是四档次的产品．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系，列式计算；（2）根据单件利润×销售数量=总利润，列出关于x的一元二次方程．8．(1)A点坐标为(﹣4，1)，C点坐标为(﹣1，1)；(2)见解析；(3)102π．【解析】【分析】(1)利用第二象限点的坐标特征写出A，C两点的坐标；(2)利用关于原点对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；(3)利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A2、B2、C2，然后描点得到△A2B2C2，再利用弧长公式计算点C旋转至C2经过的路径长．【详解】解：(1)A点坐标为(﹣4，1)，C点坐标为(﹣1，1)；(2)如图，△A1B1C1为所作；(3)如图，△A2B2C2为所作，OC2213+10，点C旋转至C2经过的路径长＝9010180π⋅＝102π．【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了弧长公式．9．（1）25；（2）80，100，2000；（3）该产品的成本单价应不超过65元．【解析】分析：（1）根据题意和表格中的数据可以求得y 关于x 的函数解析式；（2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得生产成本和w 的最大值；（3）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以取得科技创新后的成本．详解；（1）设y 关于x 的函数解析式为y=kx+b ，8517595125k b k b +⎧⎨+⎩＝＝，得5600k b ＝＝-⎧⎨⎩， 即y 关于x 的函数解析式是y=-5x+600，当x=115时，y=-5×115+600=25，即m 的值是25；（2）设成本为a 元/个，当x=85时，875=175×（85-a ），得a=80，w=（-5x+600）（x-80）=-5x 2+1000x-48000=-5（x-100）2+2000，∴当x=100时，w 取得最大值，此时w=2000，（3）设科技创新后成本为b 元，当x=90时，（-5×90+600）（90-b ）≥3750，解得，b≤65，答：该产品的成本单价应不超过65元．点睛：本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用、不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和数形结合的思想解答． 10．（1）DE 与⊙O 相切，理由见解析；（2）阴影部分的面积为2π． 【解析】【分析】（1）直接利用角平分线的定义结合平行线的判定与性质得出∠DEB=∠EDO=90°，进而得出答案；（2）利用勾股定理结合扇形面积求法分别分析得出答案．【详解】（1）DE 与⊙O 相切，理由：连接DO ，∵DO=BO，∴∠ODB=∠OBD，∵∠ABC 的平分线交⊙O 于点D ，∴∠EBD=∠DBO，∴∠EBD=∠BDO，∴DO∥BE，∵DE⊥BC，∴∠DEB=∠EDO=90°，∴DE 与⊙O 相切；（2）∵∠ABC 的平分线交⊙O 于点D ，DE⊥BE，DF⊥AB，∴DE=DF=3， 3 223+33（）=6， ∵sin∠DBF=31=62， ∴∠DBA=30°，∴∠DOF=60°， ∴sin60°=33DF DO DO == 3则3 260(23)1333322ππ⨯-= 【点睛】此题主要考查了切线的判定方法以及扇形面积求法等知识，正确得出DO 的长是解题关键． 11．114,2;x y =⎧⎨=⎩223,3.x y =⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】先对x 2-3xy+2y 2=0分解因式转化为两个一元一次方程，然后联立①，组成两个二元一次方程组，解之即可．【详解】将方程22320x xy y -+= 的左边因式分解，得20x y -=或0x y -=．原方程组可以化为6,20x y x y +=⎧⎨-=⎩或6,0.x y x y +=⎧⎨-=⎩ 解这两个方程组得114,2;x y =⎧⎨=⎩ 223,3.x y =⎧⎨=⎩ 所以原方程组的解是114,2;x y =⎧⎨=⎩ 223,3.x y =⎧⎨=⎩ 【点睛】本题考查了高次方程组，将高次方程化为一次方程是解题的关键．12．(1)见解析;(2)243.【解析】【分析】（1）根据平行四边形的和菱形的判定证明即可；（2）根据含30°的直角三角形的性质和勾股定理以及菱形的面积解答即可．【详解】证明：（1）∵DE ∥BC ，DF ∥AB ，∴四边形BFDE 是平行四边形，∵BD 是△ABC 的角平分线，∴∠EBD=∠DBF ，∵DE ∥BC ，∴∠EDB=∠DBF ，∴∠EBD=∠EDB ，∴BE=ED ，∴平行四边形BFDE 是菱形；（2）连接EF ，交BD 于O ，∵∠BAC=90°，∠C=30°，∴∠ABC=60°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠DBC=30°，∴BD=DC=12，∵DF ∥AB ，∴∠FDC=∠A=90°，∴DF=124333DC ==， 在Rt △DOF 中，OF=()222243623DF OD -=-=， ∴菱形BFDE 的面积=12×EF •BD ＝12×12×43=243． 【点评】 此题考查了菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键．13．（1）600（2）见解析（3）3200（4）【解析】（1）60÷10%=600（人）．答：本次参加抽样调查的居民有600人．（2分）（2）如图；…（5分）（3）8000×40%=3200（人）．答：该居民区有8000人，估计爱吃D 粽的人有3200人．…（7分）（4）如图；（列表方法略，参照给分）．…（8分）P （C 粽）==．答：他第二个吃到的恰好是C 粽的概率是．…（10分）14．（1）y 2与x 的函数关系式为y 2=-2x+200(1≤x<90)；（2）W=22x 180x 2?000(1x 50),120?x 12?000(50x 90).⎧-++≤<⎨-+≤<⎩ （3）销售这种文化衫的第45天，销售利润最大，最大利润是6050元．【解析】【分析】（1）待定系数法分别求解可得；（2）根据：销售利润=（售价-成本）×销量，分1≤x＜50、50≤x＜90两种情况分别列函数关系式可得；（3）当1≤x＜50时，将二次函数关系式配方后依据二次函数性质可得此时最值情况，当50≤x＜90时，依据一次函数性质可得最值情况，比较后可得答案．【详解】(1)当1≤x<50时，设y1=kx+b，将(1，41)，(50，90)代入，得k b41,50k b90,+=⎧⎨+=⎩解得k1,b40,=⎧⎨=⎩∴y1=x+40，当50≤x<90时，y1=90，故y1与x的函数解析式为y1=x40(1x50), 90(50x90);+≤<⎧⎨≤<⎩ 设y2与x的函数解析式为y2=mx+n(1≤x<90)，将(50，100)，(90，20)代入，得50m n100,90m n20,+=⎧⎨+=⎩解得:m2,n200,=-⎧⎨=⎩故y2与x的函数关系式为y2=-2x+200(1≤x<90)．(2)由(1)知，当1≤x<50时，W=(x+40-30)(-2x+200)=-2x2+180x+2000；当50≤x<90时，W=(90-30)(-2x+200)=-120x+12000；综上，W=22x180x2?000(1x50), 120?x12?000(50x90).⎧-++≤<⎨-+≤<⎩(3)当1≤x<50时，∵W=-2x2+180x+2000=-2(x-45)2+6050，∴当x=45时，W取得最大值，最大值为6050元；当50≤x<90时，W=-120x+12000，∵-120<0，W随x的增大而减小，∴当x=50时，W取得最大值，最大值为6000元；综上，当x=45时，W取得最大值6050元．答:销售这种文化衫的第45天，销售利润最大，最大利润是6050元．15．(1) 25 ; (2) 这组初赛成绩数据的平均数是1.61.；众数是1.65；中位数是1.60；（3）初赛成绩为1.65 m的运动员能进入复赛.【解析】【分析】【详解】试题分析：(1)、用整体1减去其它所占的百分比，即可求出a 的值；(2)、根据平均数、众数和中位数的定义分别进行解答即可；(3)、根据中位数的意义可直接判断出能否进入复赛．试题解析：(1)、根据题意得：1﹣20%﹣10%﹣15%﹣30%=25%； 则a 的值是25；(2)、观察条形统计图得： 1.502 1.554 1.605 1.656 1.70324563x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=++++=1.61； ∵在这组数据中，1.65出现了6次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数是1.65； 将这组数据从小到大排列为，其中处于中间的两个数都是1.60， 则这组数据的中位数是1.60．(3)、能； ∵共有20个人，中位数是第10、11个数的平均数，∴根据中位数可以判断出能否进入前9名；∵1.65m ＞1.60m ， ∴能进入复赛考点：(1)、众数；(2)、扇形统计图；(3)、条形统计图；(4)、加权平均数；(5)、中位数 16．13【解析】【分析】根据负指数幂的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值及零指数幂的性质分别化简各项后，再合并即可解答．【详解】原式112132=+-⨯+=111313=． 【点睛】本题主要考查了实数运算，利用负指数幂的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值及零指数幂的性质正确化简各数是解题关键．17．甲公司有600人，乙公司有500人.【解析】分析：根据题意，可以设乙公司人数有x 人，则甲公司有(1+20%)x 人；由乙公司比甲公司人均多捐20元列分式方程，解之即可得出答案.详解：设乙公司有x 人，则甲公司就有（1+20％）x 人，即1.2x 人，根据题意，可列方程：60000x 600001.2x-=20 解之得：x =500 经检验：x =500是该方程的实数根.18．答案见解析【解析】试题分析：（1）根据“甲公司的费用=起步价+超出重量×续重单价”可得出y 甲关于x 的函数关系式，根据“乙公司的费用=快件重量×单价+包装费用”即可得出y 乙关于x 的函数关系式；（2）分0＜x≤1和x ＞1两种情况讨论，分别令y 甲＜y 乙、y 甲=y 乙和y 甲＞y 乙，解关于x 的方程或不等式即可得出结论．试题解析：（1）由题意知：当0＜x≤1时，y 甲=22x ；当1＜x 时，y 甲=22+15（x ﹣1）=15x+7．y 乙=16x+3；∴22? (01){157?(1)x x y x x 甲<<=+>，=163y x +乙； （2）①当0＜x≤1时，令y 甲＜y 乙，即22x ＜16x+3，解得：0＜x ＜12； 令y 甲=y 乙，即22x=16x+3，解得：x=12； 令y 甲＞y 乙，即22x ＞16x+3，解得：12＜x≤1． ②x ＞1时，令y 甲＜y 乙，即15x+7＜16x+3，解得：x ＞4；令y 甲=y 乙，即15x+7=16x+3，解得：x=4；令y 甲＞y 乙，即15x+7＞16x+3，解得：0＜x ＜4． 综上可知：当12＜x ＜4时，选乙快递公司省钱；当x=4或x=12时，选甲、乙两家快递公司快递费一样多；当0＜x ＜12或x ＞4时，选甲快递公司省钱． 考点：一次函数的应用；分段函数；方案型． 19．（1）见解析；（2）ABD ∆，ACD ∆，ACE ∆，ABE ∆【解析】【分析】（1）首先证明△AFE ≌△DFB 可得AE=BD ，进而可证明AE=CD ，再由AE ∥BC 可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ADCE 是平行四边形；（2）根据面积公式解答即可．【详解】证明：∵AD 是△ABC 的中线，∴BD=CD ，∵AE ∥BC ，∴∠AEF=∠DBF ，在△AFE 和△DFB 中，AEF DBF AFE BFD AF DF ＝＝＝∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△AFE ≌△DFB （AAS ），∴AE=BD ，∴AE=CD ，∵AE ∥BC ，∴四边形ADCE 是平行四边形；（2）∵四边形ABCE 的面积为S ，∵BD=DC ，∴四边形ABCE 的面积可以分成三部分，即△ABD 的面积+△ADC 的面积+△AEC 的面积=S ， ∴面积是12S 的三角形有△ABD ，△ACD ，△ACE ，△ABE ． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质．等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题. 20．（1）200；（2）52；（3）840人；（4）16【解析】分析：（1）用较好的频数除以较好的频率．即可求出本次抽样调查的总人数；（2）用总人数乘以非常好的频率，求出非常好的频数，再用总人数减去其它频数即可求出m 的值；（3）利用总人数乘以对应的频率即可；（4）利用树状图方法，利用概率公式即可求解．详解：（1）本次抽样共调查的人数是：70÷0.35=200（人）； （2）非常好的频数是：200×0.21=42（人）， 一般的频数是：m=200﹣42﹣70﹣36=52（人），（3）该校学生整理错题集情况“非常好”和“较好”的学生一共约有：1500×（0.21+0.35）=840（人）；（4）根据题意画图如下：∵所有可能出现的结果共12种情况，并且每种情况出现的可能性相等，其中两次抽到的错题集都是“非常好”的情况有2种，∴两次抽到的错题集都是“非常好”的概率是21=126． 点睛：此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21．（1）证明见解析；（2）6πcm 2．【解析】【分析】连接BC ，OD ，OC ，设OC 与BD 交于点M ．（1）求出∠COB 的度数，求出∠A 的度数，根据三角形的内角和定理求出∠OCA 的度数，根据切线的判定推出即可； （2）证明△CDM ≌△OBM ，从而得到S 阴影=S 扇形BOC ．【详解】如图，连接BC ，OD ，OC ，设OC 与BD 交于点M ．（1）根据圆周角定理得：∠COB=2∠CDB=2×30°=60°，∵AC ∥BD ，∴∠A=∠OBD=30°，∴∠OCA=180°﹣30°﹣60°=90°，即OC ⊥AC ，∵OC 为半径，∴AC 是⊙O 的切线；（2）由（1）知，AC 为⊙O 的切线，∴OC ⊥AC ．∵AC ∥BD ，∴OC ⊥BD ．由垂径定理可知，MD=MB=12． 在Rt △OBM 中， ∠COB=60°，OB=cos30MB ︒==6．在△CDM 与△OBM 中3090CDM OBM MD MBCMD OMB ︒︒⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠=⎩， ∴△CDM ≌△OBM （ASA ），∴S △CDM =S △OBM∴阴影部分的面积S 阴影=S 扇形BOC =2606360π⋅=6π（cm 2）．考点：1．切线的判定；2.扇形面积的计算．22．(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）连接OD ，由角平分线的定义得到∠CAD=∠BAD ，根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠ADO ，求得∠CAD=∠ADO ，根据平行线的性质得到CD ⊥OD ，于是得到结论；（2）连接BD ，根据切线的性质得到∠ABE=∠BDE=90°，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：证明：(1)连接OD ，∵AD 平分BAC ∠，∴CAD BAD ∠=∠，∵OA OD =，∴BAD ADO =∠∠，∴CAD ADO ∠=∠，∴AC OD ∥，∵CD AC ⊥，∴CD OD ⊥，∴直线CD 是⊙O 的切线；(2)连接BD ，∵BE 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径，∴90ABE BDE ︒∠=∠=，∵CD AC ⊥，∴90C BDE ︒∠=∠=，∵CAD BAE DBE ∠=∠=∠，∴ACD BDE ∆∆∽，∴CD AD DE BE=， ∴CD BE AD DE ⋅=⋅．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义．圆周角定理，切线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．23．（1）C；（2）①作图见解析；②35万户．【解析】【分析】（1）C项涉及的范围更广；（2）①求出B，D的户数补全统计图即可；①100万乘以不生二胎的百分比即可．【详解】解：（1）A、B两种调查方式具有片面性，故C比较合理；故答案为：C；（2）①B：100030%300⨯=户1000-100-300-250=350户补全统计图如图所示：（3）因为350100351000⨯=（万户），所以该市100万户家庭中决定不生二胎的家庭数约为35万户．【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．24．甲每小时做24个零件，乙每小时做20个零件．【分析】设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（x-4）个零件，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合甲做120个所用的时间与乙做100个所用的时间相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【详解】解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（x﹣4）个零件，根据题意得：1201004x x=-，解得：x=24，经检验，x=24是分式方程的解，∴x﹣4=20．答：甲每小时做24个零件，乙每小时做20个零件．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．25．20元/束．【解析】【分析】设第一批花每束的进价是x元/束，则第一批进的数量是：4000x，再根据等量关系：第二批进的数量=第一批进的数量×1.5可得方程．【详解】设第一批花每束的进价是x元/束，依题意得：4000x×1.5=45005x-，解得x=20．经检验x=20是原方程的解，且符合题意．答：第一批花每束的进价是20元/束．【点睛】本题考查了分式方程的应用．关键是根据等量关系：第二批进的数量＝第一批进的数量×1.5列方程．26．（1）证明见解析；（2）BH＝125．【解析】【分析】（1）先判断出∠AOC=90°，再判断出OC∥BD，即可得出结论；（2）先利用相似三角形求出BF，进而利用勾股定理求出AF，最后利用面积即可得出结论．。
2023-2024学年浙江省宁波市镇海中学高三上学期4月统一测试数学试题+答案解析(附后)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求2023-2024学年浙江省宁波市镇海中学高三统一测试数学试题的。
1.已知集合，，则( )A. B. SC. TD. Z 2.已知是互相垂直的单位向量，若，则( )A. B.C. 0D. 23.已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知，均为锐角，且，则的最大值是( )A. 4B. 2C.D.5.如图是古筝鸣箱俯视图，鸣箱有多根弦，每根弦下有一只弦码，弦码又叫雁柱，用于调节音高和传振．图2是根据图1绘制的古筝弦及其弦码简易直观图．在直观图中，每根弦都垂直于x 轴，左边第一根弦在y 轴上，相邻两根弦间的距离为1，弦码所在的曲线又称为雁柱曲线方程为，第第0根弦表示与y 轴重合的弦根弦分别与雁柱曲线和直线l ：交于点和，则( )参考数据：A. 814B. 900C. 914D. 10006.数列满足，，且其前n 项和为若，则正整数( )A. 99B. 103C. 107D. 1987.已知函数，，若，，，则a 、b 、c 的大小关系为( )A. B. C. D.8.已知定点，动点Q在圆O：上，PQ的垂直平分线交直线OQ于M点，若动点M 的轨迹是双曲线，则m的值可以是( )A. 2B. 3C. 4D. 5二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列命题中正确的有( )A. 若复数z满足，则；B. 若复数z满足，则；C.若复数满足，则；D. 若复数，则10.将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的值可能为( )A. B. 1 C. 2 D. 311.在正三棱柱中，，点P满足，其中，，则( )A. 当时，的周长为定值B. 当时，三棱锥的体积为定值C. 当时，有且仅有一个点P，使得D. 当时，有且仅有一个点P，使得平面12.已知函数，函数有两个不等实根，则下列选项正确的是( )A. 点是函数的零点B. ，，使C. 是的极大值点D. a的取值范围是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
浙江省宁波市镇海中学2024-2025学年高二上学期期中测试数学试卷
浙江省宁波市镇海中学2024-2025学年高二上学期期中测试数学试卷一、单选题1．在等差数列{}n a 中，已知12a =，315S =，则4a 等于（ ）A ．11B ．13C ．15D ．162．若椭圆2212x y m +=的右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则m 的值为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．53．若点P 到直线1x =-和它到点()1,0的距离相等，则点P 的轨迹方程为（ ）A ．2x y=B ．2y x=C ．24x y=D ．24y x=4．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1421→→→.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列{}n a 满足：11a =，1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数当为奇数，则2024S =（ ）A ．4720B ．4722C ．4723D ．47255．已知函数()f x 是奇函数，函数()g x 是偶函数，且当0x >时，()0f x '>，()0g x '>，则0x <时，以下说法正确的是（ ）A ．()()0f x g x ''+>B ．()()0f xg x ''->C ．()()0f x g x ''>D ．()()0f x g x ''>6．若函数()211kx f x x +=+在[)2,+∞上单调递增，则k 的取值范围为（ ）A ．43k ≥-B ．1k ≤-C ．1k ≤D ．43k ≤-7．已知2023log 2024a =，2024log 2025b =，2025log 2026c =，则（ ）A ．a b c>>B ．a c b>>C ．c b a>>D ．c a b>>8．已知椭圆22:13627x y C +=，左焦点为F ，在椭圆C 上取三个不同点P 、Q 、R ，且2π3PFQ QFR RFP ∠=∠=∠=，则123FP FQ FR ++的最小值为（ ）A．43B．43C．43D．43二、多选题9．下列选项正确的是（ ）A ．1y x=，21y x '=-B ．2x y =，2ln2x y '=C ．ln y x =，1y x'=D ．cos2y x =，sin2y x=-'10．已知抛物线2:4C y x =，F 为其焦点，直线l 与抛物线交C 于()11,M x y ，()22,N x y 两点，则下列说法正确的是（ ）A ．若点A 为抛物线上的一点，点B 坐标为()3,1，则AF AB +的最小值为3B ．若直线l 过焦点F ，则以MN 为直径的圆与1x =-相切C ．若直线l 过焦点F ，当MN OF ⊥时，则5OM ON ⋅=D ．设直线MN 的中点坐标为()()000,0x y y ≠，则该直线的斜率与0x 无关，与0y 有关11．数列{}n a 满足11a =，22a =，21n n n a a a ++>+，则下列结论中一定正确的是（ ）A ．1050a >B ．20500a <C ．10100a <D ．20500a >三、填空题12．已知1n a +=11a =，则100a =.13．已知双曲线22221x y a b -=与直线1y x =-相交于A ，B 两点，其中AB 中点的横坐标为23-，则该双曲线的离心率为 .14．已知函数()()()5e ln 155xf x a x a x =++-+-，若()0f x ≥在()0,∞+上恒成立，则实数a的取值范围为 .四、解答题15．已知函数()e xf x x =.(1)求()f x 的最小值；(2)求()f x 在点()1,e 处的切线方程.16．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =-，122n n n S S S ++=+.(1)求数列{}n a 的通项公式.(2)求数列()1nn n a ⎧⎫-⋅⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和n T .17．已知双曲线22:13y C x -=(1)求双曲线C 的渐近线方程；(2)已知点()0,4P 、()2,0Q ，直线PQ 与双曲线C 交于A 、B 两点，1PQ QA λ=，2PQ QB λ=，求12λλ+的值.18．已知函数()()21ln f x mx x m x=+-∈R ，()21e 1x g x x x x =---，其中()f x 在1x =处取得极值(1)求m 的值；(2)求函数()f x 的单调区间；(3)若()()nx g x f x ≤-恒成立，求实数n 的取值范围.19．在必修一中，我们曾经学习过用二分法来求方程的近似解，而牛顿（Issac Newton ，1643-1727）在《流数法》一书中给出了“牛顿切线法”求方程的近似解.具体步骤如下：设r 是函数y =f (x )的一个零点，任意选取0x 作为r 的初始近似值，曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线为1l ，设1l 与x 轴交点的横坐标为1x ，并称1x 为r 的1次近似值；曲线y =f (x )在点(x 1,f (x 1))处的切线为2l ，设2l 与x 轴交点的横坐标为2x ，称2x 为r 的2次近似值.一般地，曲线y =f (x )在点()()(),N n n x f x n ∈处的切线为1n l +，记1n l +与x 轴交点的横坐标为1n x +，并称1n x +为r 的1n +次近似值.不断重复以上操作，在一定精确度下，就可取n x 为方程()0f x =的近似解.现在用这种方法求函数()22f x x =-的大于零的零点r 的近似值，取02x =.(1)求1x 和2x ；(2)求n x 和1n x -的关系并证明()*N n ∈；(3)()1*1N i i nx n ∑=<<+∈.。
浙江宁波镇海中学2024年高一下学期期中考试数学试卷含答案
高一数学 第1页 共4页 镇海中学2023学年第二学期期中考试高一数学试题卷本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卷上.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目选项的答案标号涂黑.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液.4.考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠、不要弄破.选择题部分(共58分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数11i z =+，2i z =，其中i 为虚数单位，则复数12z z z =⋅在复平面内所对应的点在第（ ▲ ）象限A ．一B ．二C ．三D ．四 2．边长为2的正三角形的直观图的面积是（ ▲ ）A． CD．3．甲乙丙丁四位同学各掷5次骰子并记录点数，方差最大的是（ ▲ ）甲：4 5 4 5 5 乙：4 2 3 4 3 丙：2 3 2 3 4 丁：6 1 2 6 1 A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 4.若a b c ，，为空间中的不同直线，αβγ，，为不同平面，则下列为真命题的个数是（ ▲ ） ①a c b c ⊥⊥，，则a b ；②a b αα⊥⊥，，则a b ；③αγβγ⊥⊥，，则αβ ； ④a a αβ⊥⊥，，则αβ .A ．0B ．1C ．2D ． 3 5．一个射击运动员打靶6:9，5，7，6，8，7下列结论不正确．．．的是（ ▲ ） A.这组数据的平均数为7 B.这组数据的众数为7 C.这组数据的中位数为7 D.这组数据的方差为76．如图，正三棱柱'''ABC A B C −的所有边长都相等，P 为线段'BB 的中点，Q 为侧面''BB C C 内的一点（包括边界，异于点P ），过点A 、P 、Q 作正三棱柱的截面，则截面的形状不．可能．．是（ ▲ ） A ．五边形 B ．四边形 C ．等腰三角形 D ．直角三角形 7．已知球O 为棱长为1的正四面体ABCD 的外接球，若点P 是正四面体ABCD 的表面上的一点，Q 为球O 表面上的一点，则PQ 的最大值为（ ▲ ）ABCD．2高一数学 第2页 共4页 8. 三棱锥P ABC −中，2 4 2 3PA PB CP BA BC ABC π====∠=，，，，则三棱锥P ABC−的体积的最大值为（ ▲ ） A.1 B.2 C.6 D.12二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0 分，部分选对的得部分． 9.已知事件A ，B 满足()0.2P A =，()0.6P B =，则（ ▲ ）A. 事件A 与B 可能为对立事件B. 若A 与B 相互独立，则()0.48P AB = C. 若A 与B 互斥，则()0.8P A B = D. 若A 与B 互斥，则()0.12P AB = 10.如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，M N E ，，分别为线段111 A A D C B D ，，中点，P Q ，分别为线段BE ，线段1CD 上的动点，则三棱锥M PQN −的体积（ ▲ ）A.与P 点位置有关B.与P 点位置无关C.与Q 点位置有关D.与Q 点位置无关 11.如图，三棱锥P ABC −中，ABC △的正三角形，PA ⊥底面2ABC PA Q =，，是线段BC 上一动点,则下列说法正确的是（ ▲ ）A.点B 到平面PAQ 的距离的最大值为32B.三棱锥P ABC −的内切球半径为38C.PB 与AQ 所成角可能为4πD.AQ 与平面PBC 所成角的正切值的最大值为43非选择题部分(共92分)三、 填空题: 本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，向上的点数分别记为a b ，，则事件||1a b −≤“”的概率为__▲__.13.正方体1111ABCD A B C D −棱长为2N ，为线段AC 上一动点，M 为线段1DD 上一动点，则1A M MN +的最小值为__▲__.14. 某工厂的三个车间生产同一种产品，三个车间的产量分布如图所示，现在用分层随机抽样方法从三个车间生产的该产品中，共抽取70件做使用寿命的测试，则C 车间应抽取的件数为__▲___；若A,B,C 三个车间产品的平均寿命分别为200，220，210小时，方差分别为30，20，40，则总样本的方差为__▲__.高一数学 第3页 共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知复数z 满足方程()1i i a z b +=，其中i 为虚数单位，a b ∈R 、. （1）当12a b ==，时，求||z ；（2）若1z z ⋅=，求2b a +的最小值.16.（15分）正方体1111ABCD A B C D −棱长为2，E ，F 分别为11A D 和11C D 的中点． (1)证明：直线CF 平面BDE ;(2)求直线1AA 与平面BDE 所成角的正切值．17. （15分）为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要部署，进一步推动青少年学生阅读深入开展，促进全面提升育人水平，教育部决定开展全国青少年学生读书行动.某校实施了全国青少年学生读书行动实施方案.现从该校的2400名学生中发放调查问卷，随机调查100名学生一周的课外阅读时间，将统计数据按照[0，20），[20，40），…[120，140]分组后绘制成如图所示的频率分布直方图（单位：分钟）(1)若每周课外阅读时间1小时以上视为达标，则该校达标的约为几人（保留整数）； (2)估计该校学生每周课外阅读的平均时间；(3)估计该校学生每周课外阅读时间的第75百分位数（结果保留1位小数）.A 1高一数学 第4页 共4页 18.（17分）如图，已知三棱台111ABC A B C −，平面11ABB A ⊥平面11BCC B ，ABC △是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，且1111222AB AA A B BB ===， （1）证明：BC ⊥平面11ABB A ； （2）求点B 到面11ACC A 的距离;（3）在线段1CC 上是否存在点F ，使得二面角F AB C −−的大小为6π，若存在，求出CF 的长，若不存在，请说明理由.19.（17分）球面几何学是在球表面上的几何学，也是非欧几何的一个例子.对于半径为R 的球O ，过球面上一点A 作两条大圆的弧 AB AC ，，它们构成的图形叫做球面角，记作BAC(A) 或，其值为二面角B AO C −−的大小,点A 称为球面角的顶点，大圆弧 AB AC ，称为球面角的边. 不在同一大圆上的三点A B C ，，，可以得到经过这三点中任意两点的大圆的劣弧 ,,AB BCCA ，这三条劣弧组成的图形称为球面ABC △.这三条劣弧称为球面ABC △的边，A B C ，，三点称为球面ABC △的顶点；三个球面角A,B,C 称为球面ABC △的三个内角.已知球心为O 的单位球面上有不同在一个大圆上的三点A B C ，，. （1）球面ABC △的三条边长相等（称为等边球面三角形），若A=2π，求球面ABC △的内角和；（2）类比二面角，我们称从点P 出发的三条射线,,PM PN PQ 组成的图形为三面角，记为P MNQ −.其中点P 称为三面角的顶点，PM PN PQ ，，称为它的棱，,,MPN NPQ QPM ∠∠∠称为它的面角.若三面角 O ABC −. (i) 求球面ABC △的三个内角的余弦值; (ii) 求球面ABC △的面积.A镇海中学2023学年第⼆学期期中考试参考答案⾼⼀年级数学学科⼀、选择题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．题号12345678答案B A D C D A D B⼆、多选题：本题共3⼩题，每⼩题6分，共18分.题号91011答案BC BD ABD三、填空题:本题共3⼩题，每⼩题5分，共15分12.13.14．21；89四、解答题：本题共5⼩题，共77分，第15题13分，16、17题每题15分．18、19题每题17分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．15.对两边取模即(1)时,.(2)16.(1)如图⼀所示取中点,连接分别为中点,∴,易证四点共⾯,⼜:四边形为平⾏四边形.∴平⾯平⾯平⾯.(2)如图⼆所示,取中点分别为,连接,取中点,连接,由题意得平⾯,⼜、平⾯,∴平⾯平⾯平⾯平⾯,交线为,易证直线与平⾯所成⻆为.12图⼀图⼆17.【答案】(1)1440；(2)68；(3)86.7（1）由题意知，每周课外阅读时间为1⼩时以上的⼈数约为.（2）该校学⽣每周课外阅读的平均时间为：分钟.（3）因为前4组的频率和为，第5组的频率为0.15，所以第75百分位数位于第5组内.所以估计第75百分位数为.18.解:(1)三棱台中,.,则四边形为等腰梯形且,设,则.由余弦定理,,则.由勾股定理的逆定理得.∵平⾯平⾯,平⾯平⾯,故由知平⾯.平⾯.⼜∵是以为直⻆顶点的等腰直⻆三⻆形,即,⼜平⾯平⾯∴平⾯.(2)由棱台性质知,延⻓交于⼀点.,则,故.平⾯即平⾯,故即三棱锥中⾯的⾼.由(1)中所设,为等边三⻆形故.解得.故.所求的点到平⾯的距离即到⾯的距离,设为解得.(3)∵平⾯平⾯平⾯平⾯,平⾯平⾯取中点,正中,,则平⾯平⾯,∴平⾯平⾯.于是,作,平⾯平⾯,故平⾯,再作,连结.则即在平⾯上的射影,由三垂线定理,.故即⼆⾯⻆的平⾯⻆.设,由⼏何关系,,则.若存在使得⼆⾯⻆的⼤⼩为,于是,解得,故.19.解：（1）因为，所以，设为，显然3过作交于，连则，从⽽是的平⾯⻆，即⼜由，所以得到.所以两两垂直，从⽽所以球⾯的内⻆和为.（2）(i)不妨设则可以⽤(ii)记球⾯的⾯积为，设的三个对径点分别为.引理1：如图，若半径为⽉形球⾯⻆的⼤⼩为为，则⽉形球⾯的⾯积为引理2：引理3：在半径为的球⾯上,任意.特别地,在单位球⾯上,球⾯的⾯积,引理证明：三个⼤圆将球⾯分为8个部分，4⽉形的⾯积;⽉形的⾯积;⽉形的⾯积.三式相加得⼜因为;所以：即：.回到原题，所求答案为。
2017年镇海中学高中数学竞赛模拟试卷(4)
2017年镇海中学数学竞赛模拟试卷（4） 姓名_______一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。
请直接将答案写在题中的横线上）1．若函数()3cos()sin()63f x x x ππωω=+--（0ω>）的最小正周期为π，则()f x 在区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值为 。
2．已知集合{}2320A x x x =-+≤，13B x a x ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为 。
3．函数22()ln 2f x x x x =+-零点的个数为 。
4．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，二面角1B AC D --的大小为 。
5．在空间四边形ABCD 中，已知2AB =，3BC =，4CD =，5DA =，则AC BD ⋅=uu u r uu u r。
6．已知直线l 过椭圆C ：2212x y +=的左焦点F 且交椭圆C 于A 、B 两点。
O 为坐标原点，若OA OB ⊥，则点O 到直线AB 的距离为 。
7．已知z C ∈，若关于x 的方程23204x zx i -++=（i 为虚数单位）有实数根，则复数z 的模z的最小值为 。
C 1B 1D 1C A BD A 1BD C A8．将16本相同的书全部分给4个班级，每个班级至少有一本书，且各班所得书的数量互不相同，则不同的分配方法种数为 。
（用数字作答）9．()f x 是定义在R 的函数，若(0)1008f =，且对任意x R ∈，满足(4)()2(1)f x f x x +-≤+，(12)()6(5)f x f x x +-≥+，则(2016)2016f = 。
10．当x ，y ，z 为正数时，2224xz yzx y z+++的最大值为 。
二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。
要求写出解题过程） 11．已知数列{}n a 的前n 项和22n n S a =-（*n N ∈）。
2023届浙江省宁波市镇海中学中学高三下学期4月统一测试数学试题(PDF版)
宁波市镇海中学2023届高三下学期4月统一测试数学试题第Ⅰ卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}21,,41,R rr n n Z T t t n n Z ==+∈==+∈∣∣，则R T ⋂=（ ） A.∅ B.R C.T D.Z2.已知,a b 是互相垂直的单位向量，若2c a b =-，则b c ⋅=（ ） A.-2 B.-1 C.0 D.23.已知()f x 是定义在上[]0,1的函数，那么“函数()f x 在[]0,1上单调递增”是“函数()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 4.已知,αβ均为锐角，且()sin cos sin ααββ+=，则tan α的最大值是（ ）A.4 C.2 D. 5.如图是古筝鸣箱俯视图，鸣箱有多根弦，每根弦下有一只弦码，弦码又叫雁柱，用于调节音高和传振.右图是根据左图绘制的古筝弦及其弦码简易直观图.在直观图中，每根弦都垂直于x 轴，左边第一根弦在y 轴上，相邻两根弦间的距离为1，弦码所在的曲线（又称为雁柱曲线）方程为y =1.1x，第n （n ∈N ，第0根弦表示与y 轴重合的弦）根弦分别与雁柱曲线和直线l ：y =x +1交于点A n （x n ，y n ）和B n （x 'n ，y 'n ），则20'n nn y y==∑（ ）参考数据：1.122=8.14A.814B.900C.914D.10006.数列{}n a 满足11,23n n a Z a a n +∈+=+，且其前n 项和为n S .若13m S a =，则正整数m =（ ） A.99 B.103 C.107 D.1987.已知函数()()(),xxg x e e f x xg x -=-=，若()1 1.241ln ,0.2,53a f b f c f ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a b c ､､的大小关系为（ ）A.c b a <<B.b a c <<C.b c a <<D.a b c <<8.已知定点(),0P m ，动点Q 在圆22:16O x y +=上，PQ 的垂直平分线交直线OQ 于M 点，若动点M 的轨迹是双曲线，则m 的值可以是（ ） A.2 B.3 C.4 D.5二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题中正确的有（ ）A.若复数z 满足1R z∈，则z R ∈； B.若复数z 满足2z R ∈，则z R ∈；C.若复数12,z z 满足12z z R ∈，则12z z =；D.若复数z R ∈，则z R ∈. 10.将函数()2sin (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向左平移3πω个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，则ω的值可能为（ ）A.13B.1C.2D.3 11.在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中][0,1,0,1λμ⎡⎤∈∈⎣⎦，则（ ）A.当1λ=时，1AB P 的周长为定值B.当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值C.当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥ D.当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P12.已知函数()22,1,1x x x e x f x e x x⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，方程()()()2[]20f x af x a R -=∈有两个不等实根，则下列选项正确的是（ ）A.点()0,0是函数()f x 的零点B.()()120,1,1,3x x ∃∈∈，使()()12f x f x >C.2x =-是()f x 的极大值点D.a 的取值范围是222,,82e e e ∞⎛⎫⎡⎫⋃+ ⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭第Ⅱ卷三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设函数()f x 的定义域为(),R f x 为偶函数，()1f x +为奇函数，当[]1,2x ∈时，()2xf x a b =⋅+，若()()014f f +=-，则72f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________.14.已知()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，若1233,,0,2x x x π⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()123f x f x f x ==，若123x x x ++的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=__________.15.已知椭圆()2222:1(0),0,2x y C a b A b a b+=>>，若C 上任意一点P 都满足3PA b ≤，则C 的离心率的取值范围为__________.16.人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿（1643-1727）给出了牛顿法——用“作切线”的方法求方程的近似解如图，方程()0f x =的根就是函数()f x 的零点r ，取初始值0x 处的切线与x 轴的交点为1,()x f x 在1x 处的切线与x 轴的交点为2x ，一直这样下去，得到012,,,n x x x x ⋯，它们越来越接近r .若30()1,1f x x x x =-+=-，则用牛顿法得到的r 的近似值2x 约为___________（结果保留两位小数）.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）已知函数2()6cos 23(0)f x x x ωωω=->的最小正周期为8. （1）求ω的值及函数()f x 的单调减区间；（2）若()05f x =，且0102,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求()01f x +的值.18.（本题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，11a =，且1a ，2a ，51a -成等比数列.给定*k ∈N ，记集合{}*2,kn nk a n ≤≤∈N ∣的元素个数为k b . （1）求1b ，2b 的值；（2）求最小自然数n 的值，使得122022n b b b ++⋯+>. 19.（本题满分12分）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的六面体中（其中F ∈平面EDC ），四边形ABCD 是正方形，ED ⊥平面ABCD ，BF FE =，且平面FEB ⊥平面EDB .（1）设M 为棱EB 的中点，证明：AC F M ，，，四点共面； （2）若22ED AB ==，求平面FEB 与平面EAB 的夹角的余弦值. 20.（本题满分12分）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的小木块中，上面7层为高尔顿板，最下面一层为改造的高尔顿板，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以12的概率向左或向右滚下，依次经过7次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2…，6的球槽内.例如小球要掉入3号球槽，则在前6次碰撞中有2次向右4次向左滚到第7层的第3个空隙处，再以12的概率向右滚下，或在前6次碰撞中有3次向右3次向左滚到第7层的第4个空隙处，再以12的概率向左滚下.（1）若进行一次高尔顿板试验，求小球落入第7层第6个空隙处的概率；（2）小明同学在研究了高尔顿板后，利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，8元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入X 号球槽得到的奖金为ξ元，其中205X ξ=-. ①求X 的分布列：②高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小明同学能盈利吗？ 21.（本题满分12分）已知双曲线E ：2214x y -=与直线l ：3y kx =-相交于A ､B 两点，M 为线段AB 的中点.（1）当k 变化时，求点M 的轨迹方程；（2）若l 与双曲线E 的两条渐近线分别相交于C ､D 两点，问：是否存在实数k ，使得A ､B 是线段CD 的两个三等分点？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由. 22.（本题满分12分）已知0a >，函数()x f x ax xe =-.（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程： （2）证明()f x 存在唯一的极值点（3）若存在a ，使得()f x a b ≤+对任意x ∈R 成立，求实数b 的取值范围.宁波市镇海中学2023届高三下学期4月统一测试数学试题答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.4- 14.236π15.0,3⎛ ⎝⎦16.-1.35 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（1）由已知可得，()3cos223f x x x x πωωω⎛⎫⎪⎝⎭＝＝＋，∵()f x 的最小正周期8T ＝，∴2828ππωω＝，＝，∴()43f x x ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝＋，由3222432k x k ππππππ＋＋＋剟得2148833k x k ＋＋剟， ∴f （x ）的单调递减区间为[2148833k k ＋，＋]（k ∈Z ）；（2）∵()05f x ＝，由（1）有()0043x f x ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝＋04sin 435x ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＝， 由010233x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，知04322x ππππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭＋，；∴03cos 435x ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＝，故()0001443434x x f x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦＋＝＋＋＝＋＋00sin cos cos sin 434434x xππππππ⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦＝＋＋＋4352525⎛⨯⨯ ⎝⎭＝＋＝﹒ 18.（1）设数列{}n a 的公差为d ，由1a ，2a ，51a -成等比数列，得2152(1)a a a -=，21(141)(1)d d ⨯+-=+，解得1d =，所以n a n =，1k =时，集合*{|12,}n n n ≤∈≤N 中元素个数为12b =，2k =时，集合*{|24,}n n n ≤∈≤N 中元素个数为23b =；（2）由（1）知21kk b k =-+，2122(12)(1)2(21)12222n nn n n n n b b b n -++++=-+=--+-，10n =时，22(21)22nn n --+=2001<2022，11n =时，22(21)22nn n --+=4039>2022，记12n n T b b b =+++，显然数列{}n T 是递增数列，所以所求n 的最小值是11.19.（1）连接AC ，由于四边形ABCD 是正方形，所以AC DB ⊥， 又ED ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以ED AC ⊥，,,DE BD D DE BD ⋂=⊂平面BDE ，所以AC ⊥平面BDE ，由于M 为棱EB 的中点，BF FE =，所以FM EB ⊥，又平面FEB ⊥平面EDB ，平面FEB ⋂平面EDB EB =，FM ⊂平面EFB ， 所以FM ⊥平面EDB ，因此FM AC ∥，所以AC F M ，，，四点共面，（2）由于,,ED DA DC 两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，()()()()1,0,0,1,1,0,0,0,2,0,1,0A B E C ，11,,122M ⎛⎫⎪⎝⎭，设()0,,F a b ，由（1）知FM AC ∥，故()11,,11,1,022a b ⎛⎫---⎪⎝⎭∥，解得1,1a b ==，故()0,1,1F ， ()()()1,1,2,1,0,1,0,1,0BE BF AB =--=-=，设平面BEF ，ABE 的法向量分别为()()111,,,,,,m x y z n x y z ==则00BE m BF m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即200x y z x z --+=⎧⎨-+=⎩，取1x =，则()1,1,1m =， 00BE n AB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即1111200x y z y --+=⎧⎨=⎩，取11z =，则()2,0,1n =， 设平面FEB 与平面EAB 的夹角为θ，则3cos cos ,3m n m n m nθ⋅====⨯20.（1）记小球落入第7层第6个空隙处的事件为M ，小球落入第7层第6个空隙处，需要在6次碰撞中有1次向左5次向右，则()5161132232P M C ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （2）①，记第7层从左向右的空隙编号为1η+，1η+的取值分别为1，2，3，4，5，6，7， 则η的取值分别为0，1，2，3，4，5，6，且1~(6,)2B η，X 的取值可为1，2，3，4，5，6，006115661111111(1)(0)(1)()()()()22222216P X P P C C ηη===+==+=， 115224661111111121(2)(1)(2)()()()()22222222128P X P P C C ηη===+==+=，224333661111111135(3)(2)(3)()()()()22222222128P X P P C C ηη===+==+=，333442661111111135(4)(3)(4)()()()()22222222128P X P P C C ηη===+==+=，442551661111111121(5)(4)(5)()()()()22222222128P X P P C C ηη===+==+=，551660661111111(6)(5)(6)()()()()22222216P XP P C C ηη===+==+=，∴X 的分布列为②205Xξ=-，ξ∴的可能取值为0，5，10，15，()()3504128P P X ξ====， ()()()5353521712816P P X P X ξ=+====+=，29(10)(2)(6)128P P X P X ξ===+==， 1(15)(1)16P P X ξ====， ∴357291345()051015 5.398.128161281664E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=≈<. ∴小明同学能盈利.21.（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，()0,M x y ，联立直线l 与双曲线E 的方程，得22344y kx xy =-⎧⎨-=⎩， 消去y ，得()221424400kxkx -+-=.由2160640k ∆=->且2140k -≠，得252k <且214k ≠.由韦达定理，得1222414k x x k -+=-.所以120212214x x k x k +-==-，20022123331414k y kx k k --=-=-=--. 由02021214314k x k y k -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩消去k ，得22000412x y y =+.由252k <且214k ≠，得03y -≤或013y >.所以，点M 的轨迹方程为22412x y y =+，其中3y ≤-或13y >. （2）双曲线E 的渐近线方程为12y x =±. 设()33,C x y ，()44,D x y ，联立123y xy kx ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得3621x k =-，同理可得4621x k =+， 因为340212214x x kx k+-==-，所以，线段AB 的中点M 也是线段CD 的中点.若A ，B 为线段CD 的两个三等分点，则3CD AB =.即3412x x -=-，34123x x x x -=-. 而12x x -==3426612212141x x k k k -=-=-+-.所以，21241k =-32k =±，所以32k =±，存在实数，使得A ､B 是线段CD 的两个三等分点.22.（1）()(1)x f x a x e =-+'，则(0)1f a '=-，又(0)0f =，则切线方程为(1),(0)y a x a =->； （2）令()(1)0x f x a x e =-+='，则(1)xa x e =+，令()(1)xg x x e =+，则()(2)xg x x e '=+，当(,2)x ∈-∞-时，()0g x '<，()g x 单调递减；当(2,)x ∈-+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，当x →-∞时，()0g x <，()10g -=，当x →+∞时，()0g x >，画出()g x 大致图像如下：所以当0a >时，y a =与()y g x =仅有一个交点，令()g m a =，则1m >-， 且()()0f m a g m '=-=，当(,)x m ∈-∞时，()a g x >，则()0f x '>，()f x 单调递增，当(),x m ∈+∞时，()a g x <，则()0f x '<，()f x 单调递减，x m =为()f x 的极大值点，故()f x 存在唯一的极值点；（3）由（2）知max ()()f x f m =，此时)1(1,ma m e m +>-=，所以()2max {()}()1(1),mf x a f m a m m e m -=-=-->-，令()2()1,(1)xh x x x e x =-->-，若存在a ，使得()f x a b ≤+对任意x ∈R 成立，等价于存在(1,)x ∈-+∞，使得()h x b ≤，即min ()b h x ≥，()2()2(1)(2)x x h x x x e x x e =+-=+'-，1x >-，当(1,1)x ∈-时，()0h x '<，()h x 单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增， 所以min ()(1)h x h e ==-，故b e ≥-，所以实数b 的取值范围[),e -+∞.。
【精品】数学奥林匹克竞赛高中训练题集【共36份】
奥林匹克数学竞赛高中训练题集
目 录
数学奥林匹克高中训练题（01） ........................................................................................................................... 1 数学奥林匹克高中训练题（02） ........................................................................................................................... 3 数学奥林匹克高中训练题（03） .............................................................................................. 4 数学奥林匹克高中训练题（04） ........................................................................................................................... 6 数学奥林匹克高中训练题（05） ...................................................................................................
2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)(浙江省六校第四次数学竞赛联考)一试试题(模拟4)解答
2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2023年全国高中数学联合竞赛一试（模拟4）参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1．已知11sin(),cos sin 36αβαβ-==，则cos(22)αβ+的值为．．角形是直角三角形的概率是．4．已知定义域为R 的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，若1()1k f k ==-∑，则(0)f 的值为．答案：1．解：因为()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，所以()f x 的周期为4，所以()()20f f =-，()()31f f =-，()()()420=-=f f f ，即()()()()()()()()123410100+++=--+=f f f f f f f f ．若20231()1k f k ==-∑，则()()()()()123420231+++++=- f f f f f ，即()()()()()()()50512341231f f f f f f f ⎡⎤⨯++++++=-⎣⎦，可得()()()()()()1231011++=--=-f f f f f f ，所以()01f =．5．已知z 为复数，且关于x 的方程243i 0x zx +++=有实数解，则z 的最小值为．6．在平面直角坐标系中，直线l 与双曲线22:1(0,0)a b a bΓ-=>>的左右两支交于,A B 两点，与Γ的渐近线交于,C D 两点，且,,,A C D B 在l 上顺次排列．若OA OB ⊥，,,AC CD DB 成等差数列，则Γ的离心率的取值范围是．60APB BPC CPD DPA ∠=∠=∠=∠=︒,,APC BPD PB PD ∠=∠=．⎫⎪⎭123456234561())()()(()())())()()((()f f a f f a f f a f f a f f a f f a =====，二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本题满分16分）设实数,,x y z 满足0,,1x y z <<，求的最小值．10．（本题满分20分）已知函数3()22f x x x =-，若正实数a 使得存在三个两两不同的实数,,b c d ，满足(,()),(,()),(,()),(,())a f a b f b c f c d f d 恰好为一个矩形的四个顶点，求a 的取值范围．解：已知3()22f x x x =-，若正实数a 使得存在三个两两不同的实数b ，c ，d ，满足(,())a f a ，(,())b f b ，(,())c f c ，(,())d f d 恰好为一个矩形的四个顶点，因为3()22f x x x =-是奇函数，所以若存在一个矩形，则矩形的中心在原点，则…………12分…………16分为F ，过F 的直线交C 于,A B 两点（其中点A 在第一象限），过点A 作C 的切线交x 轴于点P ，直线PB 交C 于另一点Q ，直线QA 交x 轴于点T ．(1)证明：AF AT BF QT ×=×；(2)记,,AOP AFT BQT D D D 的面积分别为123,,S S S ，当点A 的横坐标大于2时，求321S S S -的最小值．。
浙江省宁波市镇海中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题卷
浙江省宁波市镇海中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题卷一、单选题1．点P 是椭圆2212x y +=上一动点，则点P 到两焦点的距离之和为（ ）A ．2B C ．D ．42．若{,,}a b c r r r是空间中的一组基底，则下列可与向量,2a c a c +-r r r r 构成基底的向量是（ ）A ．a rB ．2a b +r rC ．2a c +r rD ．c r3．l 为直线，α为平面，则下列条件能作为l α∥的充要条件的是（ ） A ．l 平行平面α内的无数条直线 B ．l 平行于平面α的法向量 C ．l 垂直于平面α的法向量D ．l 与平面α没有公共点4．己知 (2,2,1)(1,1,0)a b ==r r，，则a r 在b r 上的投影向量的坐标为（ ）A ．(1,1,0)B ．(1,2,0)C ．(2,2,0)D ．(1,1,1)5．点()()1122,,,P x y Q x y 为直线20kx y -+=上不同的两点，则直线111:1l x x y y -=与直线222:1l x x y y -=的位置关系是（ ） A ．相交B ．平行C ．重合D ．不确定6．如图，平行六面体各棱长为1，且1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=︒，动点P 在该几何体内部，且满足1(1)(,R)AP xAB yAD x y AA x y =++--∈u u u r u u u r u u u r u u u r ，则||AP u u u r的最小值为（ ）A B C D ．127．实数,x y 满足2222x y x y +=-，则|3|x y -+的最小值为（ ）A ．3B ．7C ．D ．38．在棱长为2的正四面体O ABC -中，棱,OA BC 上分别存在点,M N （包含端点），直线MN与平面ABC ，平面OBC 所成角为θ和ϕ，则sin sin θϕ+的取值范围是（ ）A ．23⎡⎢⎣⎦B ．23⎡⎢⎣⎦C ．⎣⎦D ．⎣⎦二、多选题9．已知椭圆222:14x y C a +=的焦点分别为12,F F ，焦距为P 为椭圆C 上一点，则下列选项中正确的是（ ）A ．椭圆CB ．12F PF △的周长为3C ．12F PF ∠不可能是直角D ．当1260F PF ∠=︒时，12F PF △10．已知圆221:(1)(2)9C x y a -+-=，圆2222:82120,C x y x ay a a +-+++=∈R ．则下列选项正确的是（ ）A ．直线12C C 恒过定点(3,0)B ．当圆1C 和圆2C 外切时，若,P Q 分别是圆12,C C 上的动点，则max ||10PQ = C ．若圆1C 和圆2C 共有2条公切线，则43a <D ．当13a =时，圆1C 与圆2C11．埃舍尔是荷兰著名的版画家，《哈利波特》《盗梦空间》《迷宫》等影片的灵感都来源于埃舍尔的作品．通过著名的《瀑布》（图1）作品，可以感受到形状渐变、几何体组合和光学幻觉方面的魅力．画面中的两座高塔上方各有一个几何体，右塔上的几何体首次出现，后称“埃舍尔多面体”（图2），其可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造．如图4，,,,(1,2,3)n n n n A B C D n =分别为埃舍尔多面体的顶点，,(1,2,3)n n P Q n =分别为正方形边上的中点，埃舍尔多面体的可视部分是由12个四棱锥构成．为了便于理解，图5中构造了其中两个四棱锥11122A PE P E -与22131,,(1,2)n n A P E P F E F n -=分别为线段的中点．左塔上方是著名的“三立方体合体”（图3），取棱长为2的正方体ABCD A B C D -''''的中心O ，以O 为原点，,,x y z 轴均平行于正方体棱，建立如图6所示的空间直角坐标系，将正方体分别绕,,x y z 轴旋转45︒，将旋转后的三个正方体,1,2,3n n n n n n n n A B C D A B C D n ''''-=（图7，8，9）结合在一起便可得到“三立方体合体”（图10），下列有关“埃舍尔多面体”和“三立方体合体”的说法中，正确的是（ ）A ．在图5中，1322A P E P ⊥B ．在图5中，直线12Q A 与平面122A E PC ．在图10中，设点n A '的坐标为(),,,1,2,3n n n x y z n =，则()122239n n n n x y z =∑++= D ．在图10中，若E 为线段22B C 上的动点（包含端点），则异面直线2D E 与23A A 所成角三、填空题12．在空间直角坐标系中，点(2,0,0)A 为平面α外一点，点(0,1,1)B 为平面α内一点．若平面α的一个法向量为(1,1,2)-，则点A 到平面α的距离是．13．已知点P 是直线80-+=x y 上的一个动点，过点P 作圆()()22:114C x y -+-=的两条切线，与圆切于点,M N ，则cos MPN ∠的最小值是．14．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别是12(,0),(,0)F c F c -，下顶点为点()0,M b -，直线2MF 交椭圆C 于点N ，设1△MNF 的内切圆与1NF 相切于点E ，若122NE F F ==，则椭圆C 的离心率为，1△MNF 的内切圆半径长为．四、解答题15．已知直线l 经过点(4,4)A ，且点(5,0)B 到直线l 的距离为1． (1)求直线l 的方程；(2)O 为坐标原点，点C 的坐标为(6,3)-，若点P 为直线OA 上的动点，求||||PB PC +的最小值，并求出此时点P 的坐标．16．如图，正三棱柱111ABC A B C -所有的棱长均为2，点D 在棱11A B 上，且满足11123A D A B =u u u u r u u u u r ，点E 是棱1BB 的中点．(1)证明：//EC 平面1AC D ；(2)求直线AE 与平面1AC D 所成角的正弦值．17．已知圆C 的圆心在x 轴上，且过(-． (1)求圆C 的方程；(2)过点(1,0)P -的直线与圆C 交于,E F 两点（点E 位于x 轴上方），在x 轴上是否存在点A ，使得当直线变化时，均有PAE PAF ∠=∠？若存在，求出点A 的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，三棱柱111ABC A B C -中，ABC V 为等边三角形，1π4B BC ∠=，平面11ABB A ⊥平面11CBB C ．(1)求证：1AC BB ⊥；(2)若12BB =，点E 是线段AB 的中点， （i ）求平面1ECC 与平面1ACC 夹角的余弦值；（ii ）在平面11ABB A 中是否存在点P ，使得1||4PB PB +=且1||PC PC =P 的位置；若不存在，请说明理由．19．在空间直角坐标系O xyz -中，己知向量(,,)u a b c =r ，点()0000,,P x y z ．若直线l 以u r为方向向量且经过点0P ，则直线l 的标准式方程可表示为000(0)x x y y z z abc a b c---==≠；若平面α以u r为法向量且经过点0P ，则平面α的点法式方程可表示为()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=，一般式方程可表示为0ax by cz d +++=．(1)若平面1:210x y α+-=，平面1:210y z β-+=，直线l 为平面1α和平面1β的交线，求直线l 的单位方向向量（写出一个即可）；(2)若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为22αβγ、、，其中平面2α经过点(4,0,0),(3,1,1)-，(1,5,2)-，平面2:4y z β+=，平面:(1)(2)30mx m y m z γ+++++=，求实数m 的值； (3)若集合{}(,,)|4,4,4M x y z x y y z z x =+≤+≤+≤，记集合M 中所有点构成的几何体为S ，求几何体S 的体积和相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小．。
数学竞赛资料-数学奥林匹克初中训练题（含答案）
数学奥林匹克初中训练题第一试一、选择题(每小题7分，共42分) 1.设z y x ++=+++6323，且x 、y 、z 为有理数.则xyz =(). (A)3／4 (B)5／6 (C)7／12(D)13／18 2.设二次函数f (x )=ax 2+ax +1的图像开口向下，且满足f (f (1))=f (3).则2a 的值为( ). (A)－3 (B)－5 (C)－7 (D)－9 3.方程|xy |+|x +y |=1的整数解的组数为(). (A)2 (B)4 (C)6(D)8 **、b 是方程x2+(m －5)x+7=0的两个根.则(a2+ma+7)(b2+mb+7)=( ). (A)365 (B)245 (C)210(D)175 5.如图，Rt △ABC 的斜边BC =4，∠ABC =30°，以AB 、AC 为直径分别作圆.则这两圆的公共部分面积为( ) (A)2332+π (B) 33265-π (C) 365-π(D) 332-π 6.从1，2，…，13中取出k 个不同的数，使这k 个数中任两个数之差既不等于5，也不等于8.则k 的最大值为(). (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 二、填空题(每小题7分，共28分)1.若整系数一元二次方程x 2+(a +3)x +2a +3=0有一正根x 1和一负根x 2，且|x 1|<|x 2|，则a = .2.当x =2329-时，代数式x 4+5x 3－3x 2－8x +9的值是的值是. 3.给定两组数，A 组为:1，2，…，100;B 组为:12，22，…，1002.对于A 组中的数x ，若有B组中的数y ，使x +y 也是B 组中的数，则称x 为“关联数”.那么，A 组中这样的关联数有组中这样的关联数有个.4.已知△ABC 的三边长分别为的三边长分别为AB =2576a 2+，BC =62514a a 2++，AC =62514a -a 2+，其中a >7.则△ABC 的面积为面积为 .第二试一、(20分)解方程:(12x +5)2(6x －1)(x +1)=255.二、(25分)如图，四边形ABCD 中，∠ACB =∠ADB =90°，自对角线AC 、BD 的交点N 作NM ⊥AB 于点M ，线段AC 、MD 交于点E ，BD 、MC 交于点F ，P 是线段EF 上的任意一点证明:点P 到线段CD 的距离等于点P 到线段MC 、MD 的距离之和.三、(25分)矩形玻璃台板碎裂成一些小玻璃片，矩形玻璃台板碎裂成一些小玻璃片，每块碎片都是凸多边形，每块碎片都是凸多边形，每块碎片都是凸多边形，将其重新粘合成原将其重新粘合成原矩形后，有交结点30个，其中20个点在原矩形的周界上(包括原矩形的四个顶点)，其余10个点在矩形内部.在矩形的内部有45条粘缝(两个结点之间的线段算是一条粘缝，如图所示).试求该矩形台板所碎裂成的各种类型(指三角形、四边形、五边形等)的块数. 说明:若凸多边形的周界上有n 个点，就将其看成n 边形,例如,图中的多边形ABCDE 要看成五边形.数学奥林匹克初中训练题1参考答案参考答案第一试第一试1.A .两边平方得3+2 +3+6=x +y +z +2xy +2yz +2xz .根据有理数x 、y 、z 的对称性,可考虑方程组可考虑方程组 x +y +z =3,2xy =2,2yz =3,2xz = 6.解得x =1,y =1／2,z =3／2.此时,xyz =3/4.**.注意到f(1)=2a+1,f(3)=12a+1,f(f(1))=a(2a+1)2+a(2a+1)+1.由f(f(1))=f(3),得(2a +1)2+(2a +1)=12.所以,2a +1=3或－4.因a <0,故2a =－5. **.因x 、y 为整数,则|xy |、|x +y |为非负整数.于是,|xy |、|x +y |中一个为0,一个为1.分情形考虑得6组解. **.由ab =7,a 2+ma +7=5a ,b 2+mb +7=5b ,所以,(a 2+ma +7)(b 2+mb +7)=25ab =175. **.记两圆公共部分的面积为S .如图,易知S =S 扇形EAD +S 扇形F AD －S 四边形AEDF =5π／6－3 . **.将这13个数按照相邻两数的差为5或8排列于一个圆周上(如图5).若取出的数多于6个,则必有2个数在圆周上相邻.另一方面,可以取出适合条件的6个数(任取圆周上不相邻的6个数即可),因此,k 的最大值为6. 二、1.－2.因方程的两根不等,故Δ>0,即(a +3)2>4(2a +3).解得a >3或a <－1.又由题设条件知,方程的两根和与积皆负,即－(a +3)<0,2a +3<0.从而,a >－3,a <－3/2,即－3<a <－3/2.而a 为整数,则a =－2. 2. 32297-. x =2329-是方程x 2+3x －5=0的根, **.记x +y =a 2,y =b 2,则1≤b <a ≤100.而x =a 2－b 2=(a +b )(a －b )≤100,因a +b 、a －b 同奇偶,故a +b ≥(a －b )+2.(1)若a －b =1,则a +b 为奇数,且3≤a +b ≤99.于是,a +b 可取3,5,7,…,99,共49个值,这时,相应的x 也可取这49个值.(2)若a －b =2,则a +b 为偶数,且4≤a +b ≤50.于是,a +b 可取4,6,8,…,50,共24个值,这时,相应的x 可取8,12,16,…,100这24个值. 其他情况下所得的x 值均属于以上情形.若a －b =奇数,则a +b =奇数.而x =a 2－b 2≥a +b ≥3,归入(1).若a －b =偶数,则a +b =偶数.而x =(a －b )(a +b )为4的倍数,且a －b ≥2,a +b ≥4,故x ≥8,归入(2). 因此,这种x 共有49+24=73个. **.注意到AB 2=(2a )2+482,BC 2=(a +7)2+242,AC 2=(a －7)2+242.如图,以AB 为斜边,向△ABC 一侧作直角△ABD ,使BD =2a ,AD =48,∠ADB =90°=90°. . 在BD 上取点E ,使BE =a +7,ED =a －7,又取AD 的中点F ,作矩形EDFC 1.因BC 21=BE 2+EC 21=(a +7)2+242=BC 2,AC 21=C 1F 2+AF 2=(a －7)2+242=AC 2,故点C 与点C 1重合.而S △ABD =48a ,S △CBD =24a ,S △ACD =24(a －7),则S △ABC =S △ABD －S △CBD －S △ACD =168. 第二试第二试一、将原方程变形得(12x +5)2(12x －2)(12x +12)=660.令12x +5=t ,则t 2(t －7)(t +7)=660,即t 4－49t 2=660.解得t 2=60或t 2=－11(舍去). 由此得t =±=±2 15,2 15,即有12x +5=±+5=±2215.因此,原方程的根为x 1,2=1215 25- .二、如图,易知A 、B 、C 、D 四点共圆,B 、C 、N 、M 四点共圆,因此,∠ACD =∠ABD =∠MCN .故AC 平分∠DCM .同理,BD 平分∠CDM .如图,设PH ⊥MC 于点H ,PG ⊥MD 于点G ,PT ⊥CD 于点T ;过点P 作XY ∥MC ,交MD 于点X ,交AC 于点Y ;过点Y 作YZ ∥CD ,交MD 于点Z ,交PT 于点R ;再作YH 1⊥MC 于点H 1,YT 1⊥CD 于点T 1由平行线及角平分线的性质得PH =YH 1=YT 1=RT 为证PT =PG +PH ,只须证PR =PG 由平行线的比例性质得EP ／EF =EY ／EC =EZ ／ED .因此,ZP ∥DF .由于△XYZ 与△MCD 的对应边分别平行,且DF 平分∠MDC ,故ZP 是∠XZY 的平分线.从而,PR =PG .因此,所证结论成立.三、设全部碎片中,共有三角形a 3个,四边形a 4个,……,k 边形a k 个(a 3,a 4,…,a k 为非负整数).记这些多边形的内角和为S 角,于是,S 角=a 3×π+a 4×2π+…+a k (k －2)π.另一方面,矩形内部有10个结点,对于每个点,围绕它的多边形顶角和为2π,10个内结点共获得10×10×22π弧度;矩形边界上(不含4个顶点)共有16个结点,在每个这种结点处,各多边形的顶角在此汇合成一个平角,16个这种结点共获得16π弧度;而原矩形的4个顶点处,共获得多边形碎片的2π弧度.因此,S 角=20π+16π+2π=38π. 于是,a 3+2a 4+…+(k －2)a k =38.①记这些多边形的边数和为S 边.由于每个n 边形有n 条边,则S 边=3a 3+4a 4+…+ka k .另一方面,在矩形内部的45条粘缝,每条都是两个多边形的公共边,故都计算了两次;矩形周界上的20条线段各被计算了一次,因此,S 边=2×=2×45+20=110. 45+20=110. 于是,3a 3+4a 4+…+ka k =110.② ②－①得2(a 3+a 4+…+a k )=72.故a 3+a 4+…+a k =36.③ ①－③得a 4+2a 5+3a 6+…+(k －3)a k =2.因所有a i ∈N ,故a 6=a 7=…=a k =0,a 4+2a 5=2.所以,或者a 4=2,a 5=0;或者a 4=0,a 5=1.综上,本题的解共有两种情况,即全部碎片共36块,其中,或含有34个三角形,2个四边形;或含有35个三角形，1个五边形.。
宁波镇海中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷(解析版)
考试范围：大部分学校已经学习过的内容：考试时间：120分钟：满分：150浙江宁波镇海中学2026届高二数学秋季月考卷第一期分注意事项：1.答题前填写好自已的姓名､班级､考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知向量()2,4a =，()1,1b =− ，则2a b −=A. ()5,7B. ()5,9C. ()3,7D. ()3,9【答案】A 【解析】【详解】因为2(4,8)a =，所以2(4,8)(1,1)a b −=−−=（5，7），故选A. 考点：本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题.2. 已知直线12:320,:310l x y l x ay −+=−−=，若12l l ⊥，则实数a 的值为（ ） A. 1 B.12C. 12−D. 1−【答案】D 【解析】【分析】对a 进行分类讨论，代入121k k =− 求解即可.【详解】当0a =时，直线1:320l x y −+=的斜率113k =， 直线2:310l x ay −−=的斜率不存在，此时两条直线不垂直； 当0a ≠时，直线1:320l x y −+=的斜率113k =， 直线2:310l x ay −−=的斜率23k a=，因为12l l ⊥，所以121k k =− ， 所以13113a a×==−，解得：1a =−. 故选：D.3. 已知m 是实常数，若方程22240x y x y m ++++=表示的曲线是圆，则m 的取值范围为（ ） A. (),20−∞ B. (),5−∞C. ()5,+∞D. ()20,+∞【答案】B 【解析】分析】由方程表示的曲线为圆，可得出关于实数m 的不等式，解出即可.【详解】由于方程22240x y x y m ++++=表示的曲线为圆，则222440m +−>，解得5m <. 因此，实数m 的取值范围是(),5−∞. 故选：B.【点睛】本题考查利用圆的一般方程求参数，考查计算能力，属于基础题.4. 设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） A. 若a b ，与α所成的角相等，则aa ∥bb B. 若a αβ∥，b ∥，αβ∥，则aa ∥bb C. 若a b a b αβ⊂⊂ ，，，则αβ∥ D. 若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥【答案】D 【解析】【详解】试题分析：A 项中两直线a b ，还可能相交或异面,错误； B 项中两直线a b ，还可能相交或异面,错误； C 项两平面αβ，还可能是相交平面，错误； 故选D.5. 直线3y kx =+与圆()()22324x y −+−=相交于M 、N两点，若MN =，则k 等于（ ）A. 0B. 23−C. 23−或0 D. 34−或0 【【答案】D 【解析】【分析】求出MN 到圆心的距离和圆心 (3,2) 到直线 3y kx =+ 的距离，即可求出k 的值. 【详解】由题意，∵MN =，∴MN 到圆心的距离为1=，∴圆心 (3,2) 到直线 3y kx =+ 的距离为：1=，即229611k k k ++=+.解得：0k =或34−， 故选：D.6. 过点()1,3P 作直线l ，若l 经过点(),0A a 和()0,B b ，且,a b 均为正整数，则这样的直线l 可以作出（ ）， A. 1条 B. 2条C. 3条D. 无数条【答案】B 【解析】【分析】假设直线截距式方程，代入已知点坐标可得,a b 之间关系，根据,a b 为正整数可分析得到结果. 【详解】,a b 均为正整数，∴可设直线:1x yl a b+=， 将()1,3P 代入直线方程得：131a b+=， 当3b =时，10a =，方程无解，3331333b b a b b b −+∴===+−−−， a ∗∈N ，303b ≠−，33b ∗∴∈−N ，31b ∴−=或33b −=，44b a = ∴ =或62b a = = ，即满足题意的直线l 方程有2条.故选：B.7. 已知长方体1111ABCD A B C D −中，12AA AB ==，若棱AB 上存在点P ，使得1D P PC ⊥，则AD 的取值范围是（ ）A [)1,2B. (C. (]0,1D. ()0,2【答案】C 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设AD a =，求出1D P 、CP，利用10D P CP ⋅= ，求出a 的范围．【详解】解：如图建立坐标系，设(0)ADa a =>，(02)AP x x =<<， 则(),,2P a x ，()0,2,2C ，()10,0,0D ，∴()1,,2D P a x = ，(),2,0CP a x =−，1D P PC ⊥ ，∴10D P CP ⋅=，即2(2)0a x x +−=，所以a ， 当02x <<时，所以(]2(1)10,1x −−+∈，所以(]0,1a ∈．故选：C ．8. 已知点P 在直线3y x =−−上运动，M 是圆221x y +=上的动点，N 是圆22(9)(2)16x y −+−=上的动点，则PM PN +的最小值为（ ） A. 13 B. 11 C. 9 D. 8【答案】D 【解析】【分析】根据圆的性质可得5PM PN PO PC +≥+−，故求PM PN +的最小值，转化为求.PC PO +的最小值，再根据点关于线对称的性质，数形结合解.【详解】如图所示，圆22(9)(2)16x y −+−=的圆心为()9,2C ，半径为4， 圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1，可知44,11PC PN PC PO PM PO −≤≤+−≤≤+， 所以5PM PN PO PC +≥+−，故求PM PN +的最小值，转化为求PC PO +的最小值，设()0,0O 关于直线3y x =−−的对称点为G ，设G 坐标为(),m n ， 则1322nmn m ==−− ，解得33m n =− =− ，故()3,3G −−， 因为PO PG =，可得13PO PC PG PC GC +=+≥=，当,,P G C 三点共线时，等号成立， 所以PM PN +的最小值为1358−=. 故选：D.二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9. 三条直线0x y +=，0x y −=，3x ay +=构成三角形，则a 的值不能为（ ） A. 1 B. 2 C. 1− D. －2【答案】AC【解析】【分析】由三条直线可构成三角形可知，直线3x ay +=不经过两条直线的交点，且与两条直线任意一条不平行.【详解】直线0x y +=与0x y −=都经过原点，而无论a 为何值，直线3x ay +=总不经过原点， 因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线3x ay +=与另两条直线不平行， 所以1a ≠±． 故选：AC.10. 正方体1111ABCD A B C D −中，下列结论正确的是（ ） A. 直线1AD 与直线11A C 所成角为3πB. 直线1AD 与平面ABCD 所成角为3πC. 二面角1D AB D −−的大小为4πD. 平面11AB D ⊥平面11B D C【答案】AC 【解析】【分析】选项A ：先判断出1AD 与11A C 所成角即为1AC B ,利用1ABC 为正三角形，即可判断； 选项B ：1AD 与平面ABCD 所成角为14DAD π∠=，即可判断；选项C ：二面角1D AB D −−的平面角为14DAD π∠=，即可判断； 选项D ：设1111D B AC O = ，连结,,AO CO AC ，可以判断出AOC ∠即为二面角11A B D C −−的平面角.在三角形ACO 中，求出各边长，可以判断出90AOC ∠≠°，即可判断.【详解】选项A ：先判断出1AD 与11A C 所成角即为1BC 与11A C 所成角，1ABC 为正三角形，所以该角为3π；故A正确.选项B ：1AD 与平面ABCD 所成角为14DAD π∠=；故B 错误.选项C ：二面角1D AB D −−的平面角为14DAD π∠=；故C 正确. 选项D ：设1111D B AC O = ，连结,,AO CO AC ，因为11AD AB =，所以11AO B D ⊥. 同理可证：11CO B D ⊥,所以AOC ∠即为二面角11A B D C −−的平面角。
镇海中学高三数学试题及答案2024
镇海中学高三数学试题及答案2024一、选择题1. 下列和式中，正确的是：a)$2\\sqrt{2} + 3\\sqrt{3} + \\sqrt{5}$b)$- \\sqrt{2} + 3\\sqrt{3} - \\sqrt{5}$c)$2\\sqrt{2} - 3\\sqrt{3} + \\sqrt{5}$d)$-2\\sqrt{2} - 3\\sqrt{3} - \\sqrt{5}$答案：a) $2\\sqrt{2} + 3\\sqrt{3} + \\sqrt{5}$2. 已知等腰三角形底边的长为6cm，顶角的大小为$60^\\circ$，则该等腰三角形的周长为：a)$6\\sqrt{3}$ cmb)$12\\sqrt{3}$ cmc)$9\\sqrt{3}$ cmd)$18\\sqrt{3}$ cm答案：b) $12\\sqrt{3}$ cm二、填空题1.共有5个白球和3个红球，现从中随机取出3个球，则其中至少有1个红球的概率为 \\\\\_。
答案：0.8752.方程2x2−5x−3=0的实数根之和为 \\\\\_。
答案：2.5三、解答题1.求函数y=2x2−4x+3的顶点坐标。
解：首先，函数y=2x2−4x+3是一个抛物线，求顶点坐标即求抛物线的最低点或最高点，即y的最小值或最大值。
抛物线的顶点坐标为$(\\frac{-b}{2a}, c - \\frac{b^2}{4a})$。
代入a=2,b=−4,c=3可得：顶点横坐标$x=\\frac{-(-4)}{2 \\cdot 2} = 1$顶点纵坐标$y=2 \\cdot 1^2 - 4 \\cdot 1 + 3 = 1$所以，函数y=2x2−4x+3的顶点坐标为(1,1)。
2.若一边长为a的正方体的体对角线长为$\\sqrt{20}$，求该正方体的边长。
解：已知体对角线长为$\\sqrt{20}$，根据勾股定理，设正方体的一边长为a，则有a2+a2=20。
镇海中学数学奥林匹克中级训练题(004)
镇海中学数学奥林匹克中级训练题(004)1. 已知数列 满足：a 112=，a n+1（n ≥1）证明：（1）n a <2221n n +，n N +∈ （2）数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭收敛2. 设M ，N 是直角∆ABC （∠ACB =900）连AC 、BC 上的点，AN I BM =L证明：顶点C ，∆AML 和∆BNL 的垂心三点共线。
3. 已知数列{},{}n n x y ，满足11113,4,32,43.n n n n n n x y x x y y x y ++===+=+(1).n ≥证明：{}{}n n x y 与中不存在立方数。
镇海中学数学奥林匹克中级训练题(004)解答 1. 已知数列 满足：a 112=，a n+1（n ≥1）证明：（1）n a <2221n n +，n N +∈ （2）数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭收敛解答：用数学归纳法，对n=1，有11223a =<成立。
假设n a <2221n n +，那么1n a +22(1)2(1)2123n n n n n ++=<++ （2）令n b =n an，则1n n b b +=<因为0<n b <2121nn <+ 所以{}n b 是单调递增且有界的。
即n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭收敛 点评：本题用归纳法是比较自然，证明与数列有关的不等式常常可以考虑归纳法。
2. 设M ，N 是直角∆ABC （∠ACB =900）连AC 、BC 上的点，AN I BM =L证明：顶点C ，∆AML 和∆BNL 的垂心三点共线。
解答：设H 1，H 2分别为∆AML 和∆BNL 的垂心，H 1A 与LM 的延长线交于点E ，H 1L 与AC交于点R ，H 2L 与BC 交于点S ，H 2B 与LN 的延长线交于点F 。
易知：A 、B 、F 、C 、E 五点共圆 记为 C 、R 、L 、S 四点共圆 记为 A 、L 、R 、E 四点共圆 （1） L 、B 、F 、S 四点共圆 （2）而H 1对1Γ的幂为H 1L·H 1A ，对2Γ的幂为H 1R·H 1L由（1）知H 1E·H 1A=H 1R·H 1L,故H 1在1Γ与2Γ两圆的根轴上。
镇海中学数学奥林匹克中级训练题(014)
镇海中学数学奥林匹克中级训练题(014)1. }{}{n n a b 设和为实数列，满足a n+1=2b n -a n ,b n+1=2a n -b n (n =1,2……) 证明：（1）a n+1=2(a 1+b 1) -3a n（2）若对所有的n 有a n ＞0,那么a 1=b 1.2. 一个圆过△ABC 的顶点A ，且与边AB 和AC 分别交于M 、N ，与BC 交于P ，Q ，其中点Q 在B 与P 之间，若MP//AC ，NQ//AB 且BP ABCQ AC=求∠BAC 。
3. 求所有的实数a 使得函数232sin ()sin (2)sin 2x a f x x a x -=-++的值域包含区间1[,2]2。
4. 求所有的三角形ABC 满足边长为整数，AC 与∠A 的内角平分线长度相等，AB +BC +AC =10p ，p 为素数。
镇海中学数学奥林匹克中级训练题(014)解答1. }{}{n n a b 设和为实数列，满足a n+1=2b n -a n ,b n+1=2a n -b n (n =1,2……) 证明：（1）a n+1=2(a 1+b 1) -3a n（2）若对所有的n 有a n ＞0,那么a 1=b 1.解答：（1）由已知有a n+1+b n+1=2b n -a n +2a n -b n =a n +b n 故a n+1=2(a n +b n ) -3a n =2(a 1+b 1) -3a n （2）由第（1）问结论有111113()22n n a b a b a a +++-=--11111111(3)()(3)222n n n a b a b a b a a +++--=--=-⋅若a 1＞b 1,则当n 为一个充分大奇数时a n+1＜0，矛盾！若a 1＜b 1，则当n 为一个充分大偶数时a n+1＜0，矛盾！故a 1=b 1，证毕！2. 一个圆过△ABC 的顶点A ，且与边AB 和AC 分别交于M 、N ，与BC 交于P ，Q ，其中点Q 在B 与P 之间，若MP//AC ，NQ//AB 且BP ABCQ AC=求∠BAC 。
镇海区四年级奥数竞赛试题
镇海区四年级奥数竞赛试题
镇海区四年级奥数竞赛试题涵盖了数学的多个领域，包括但不限于算术、几何、逻辑推理和问题解决。
以下是一些可能的题目示例：
1. 算术问题：
- 某班级有45名学生，如果每3名学生组成一个小组，那么需要分成多少个小组？
2. 几何问题：
- 一个正方形的边长为10厘米，求这个正方形的周长和面积。
3. 逻辑推理问题：
- 如果今天是星期五，那么100天后是星期几？
4. 数列问题：
- 一个数列的前三项为2, 5, 10，如果这个数列是等差数列，请找出第四项。
5. 组合问题：
- 有5种不同的颜色的球，需要选出3个球组成一个组合，问有多少种不同的组合方式？
6. 应用题：
- 一个水池可以以每小时5立方米的速度被填满，如果同时打开两个排水管，每个排水管每小时排水3立方米，问需要多少时间才能填满水池？
7. 图形分割问题：
- 一个长方形被分成了4个相同的小长方形，如果大长方形的长是宽的两倍，求每个小长方形的长和宽。
8. 比例问题：
- 如果小明跑步的速度是每小时6公里，他跑了2小时，那么他一共跑了多少公里？
9. 时间问题：
- 一个钟表的时针和分针在12点整时重合，问下一次它们重合是几点几分？
10. 概率问题：
- 一个袋子里有5个红球和3个蓝球，如果随机抽取2个球，求抽到至少一个红球的概率。
这些题目旨在考察学生对数学概念的理解和应用能力，同时也锻炼他们的逻辑思维和解决问题的能力。
在解答这些问题时，学生需要运用不同的数学技巧和策略。
初中数学奥林匹克中的几何问题：第4章斯特瓦尔特定理及应用附答案
第四章 特瓦尔特定理及应用【基础知识】斯特瓦尔特定理 设P 为ABC △的BC 边上任一点（P B ≠，P C ≠），则有 222AB PC AC BP AP BC BP PC BC ⋅+⋅=⋅+⋅⋅①或 2222P C B P B P P C A P A B A C B C B C B C B C B C=⋅+⋅-⋅⋅．② 证明 如图4-1，不失一般性，不妨设90APC <︒∠，则由余弦定理，有图4-1PCB A2222cos AC AP PC AP PC APC =+-⋅⋅∠， 2222cos(180)AB AP BP AP BP APC =+-⋅⋅︒-∠ 222cos AP BP AP BP APC =++⋅⋅∠．对上述两式分别乘以BP ，PC 后相加整理，得①式或②式．斯特瓦尔特定理的逆定理 设B ，P ，C 依次分别为从A 点引出的三条射线AB ，AP ，AC 上的点，若22AB PC AC BP AP BC BP PC BC ⋅+⋅=⋅+⋅⋅，或 2222P C B P B P P C A P A B A C B C B C B C B C B C=⋅+⋅-⋅⋅， 则B ，P ，C 三点共线．证明 令1BPA θ=∠，2APC θ=∠，对△ABP 和△APC 分别应用余弦定理，有 22212cos AB AP PB AP PB θ=+-⋅⋅，22222cos AC AP PC AP PC θ=+-⋅⋅．将上述两式分别乘以PC ，BP 后相加，再与已知条件式相比较得 ()122cos cos 0AP BP PC θθ-⋅⋅⋅+=，由此推出12180θθ=︒-，即证．斯特瓦尔特定理的推广 （1）设P 为ABC △的BC 边延长线上任一点，则2222PC BP PC BPAP AB AC BC BC BC BC BC=-⋅+⋅+⋅⋅． ③ （2）设P 为ABC △的BC 边反向延长线上任一点，则 2222PC BP PC BPAP AB AC BC BC BC BC BC=⋅-⋅+⋅⋅．④注 若用有向线段表示，则②，③，④式是一致的．推论1 设P 为等腰ABC △的底边BC 上任一点，则22AP AB BP PC =-⋅． 注 此推论也可视为以A 为圆心，AB 为半径的圆中的圆幂定理． 推论2 设AP 为ABC △的BC 边上的中线，则2222111224AP AB AC BC =+-． 推论3 设AP 为ABC △的A 的内角平分线，则2AP AB AC BP PC =⋅-⋅． 推论4 设AP 为ABC △的A 的外角平分线，则2AP AB AC BP PC =-⋅+⋅． 推论5 在ABC △中，若P 分线段BC 满足BPBCλ=，则 2222(1)(1)AP BC AB AC λλλλ=-+-+⋅．注 若BPk PC =，则()222221111k k AP AB AC BC k k k =⋅+-⋅+++． 【典型例题与基本方法】1．选择恰当的三角形及一边上的一点，是应用斯特瓦尔特定理的关键．例1 如图4-2，凸四边形ABCD 中，60ABC =︒∠，90BAD BCD ==︒∠∠，2AB =，1CD =，对角线AC ，BD 交于点O ．求sin AOB ∠． （1996年北京中学生竞赛题）DC BAPO图4-2解 延长BA ，CD 相交于P ，设BC x =，则2PB x =，PC =，对△PBC 及PB 边上的点A ，应用斯特瓦尔特定理，有222AB PACA PC BC AB PA PB PB=⋅+⋅-⋅)()2222222222x x x x x-=⋅+⋅-- 224x x =-+．由Rt Rt ADP CBP △∽△，有PD P C P A P B ⋅=⋅，即)()1222x x-⋅-⋅，求得4BC x ==于是，2153CA =-．又在Rt BCD △中，22120BD x =+=-，从而B DA C ⋅=12．而()(1242ABCD ABD BCD S S S =+=+=△△， 故()1112s i n 2AOB ⋅=∠，即sin AOB =∠ 例2 如图4-3，在ABC △中，60A =︒∠，AB AC >，点O 是外心，两条高BE ，CF 交于H 点，点M ，N 分别在线段BH ，HF 上，且满足BM CN =，求MH NHOH+的值．（2002年全国高中联赛题）L ST图4-3解 延长BE 交O 于L ，由三角形垂心性质，知L 为H 关于AC 的对称点，则LC CH =．设O 的半径为R ，OH d =，CH x =，BH y =，由60CLB A =︒∠=∠，知LH LC CH x ===．延长OH 两端交O 于T ，S ，如图4-3，由相交弦寇理有TH HS BH HL ⋅=⋅，即()()R d R d x y +-=⋅，即22R d xy =+．在△BCL 及边BL 上的点H ，应用斯特瓦尔特定理，并注意到2sin BC R A =⋅∠ ，可得 222BC LH LC BH LH BH BL CH BL ⋅+⋅=⋅⋅+⋅，即)()()222x x y x y x y x x y ⋅+⋅=⋅⋅++⋅+，亦即 ()22213R x x y y =++． 于是，有()22213x xy y d xy ++=+． 亦即()223x y d -=，即x y d-=而当AB AC >时，MH NH BH BM CN CH BH CH y x x y +=-+-=-=-=-， 故x y MH NH OH d-+==2．注意斯特瓦尔特定理的推论的应用例3 如图4-4，自O 外一点引圆的两条切线PE ，PF ，E ，F 为切点，过P 点任意引圆的割线交O 于A ，B ，交EF 于C ．证明：211PC PA PB=+． （2001年湖南中学生夏令营试题）CBAEFP图4-4证明 由相交弦定理，有EC CF AC CB ⋅=⋅．由于PE PF =，对等腰△PEF 及底边EF 上的点C ，应用斯特瓦尔特定理的推论1，有22PC PE =- EC CF ⋅，即有222PE PC EC CF PC AC CB =+⋅=+⋅()()2PC PC PA PB PC =+-⋅-22PC PC PA PB PC PB PC PA =--⋅+⋅+⋅ PA PC PB PC PA PB =⋅+⋅-⋅．而2PE PA PB =⋅，从而2PA PB PA PC PB PC ⋅=⋅+⋅．故211P C P A P B=+． 注 此例结论表示线段PC 是线段PA ，PB 的调和平均．这个结论亦即为点P 、C 调和分割弦AB ． 例 4 如图4-5，设在ABC △中，AB AC >，AE 平分A ∠，且交BC 于E ，在BC 上有一点S ，使BS EC =．求证：()222AS AE AB AC -=-．（1979年江苏省竞赛题）CB ASE 图4-5证明 对ABC △及边BC 上的点S ，应用斯特瓦尔特定理，有222SC BSAS AB AC BS SC BC BC=⋅+⋅-⋅． 由AE 平分A ∠，对ABC △及边BC 上的点F ，应用斯特瓦尔特定理的推论3，有2AE AB AC =⋅- BE EC ⋅，从而2222SC BSAS AE AB AC AB AC BE EC BS SC BC BC-=⋅+⋅-⋅+⋅-⋅． ①因BS EC =，有BE SC =，即BE EC BS SC ⋅=⋅． 由角平分线的性质，有 ,B E A B E C A CB C A B A C B C A B A C==++， 即,S C B EA B B S E C A CB C B C A B A C B C B C A B A C====++． 从而，由①式，有()222AS AE AB AC -=-．例5 凸多边形ABCD 外切于O ，两组对边所在的直线分别交于点E 、F ，对角线交于点G ．求证：DG EF ⊥． （《中等数学》奥林匹克题高中251题） 证明 如图4-6，设O 与边AB 、BC 、CD 、DA 分别切于点M 、N 、R 、S ，则由牛顿定理知，AC 、BD 、MR 、NS 四线共点于G ．由切线长定理，知EM ER =．G SOM NRFEDC BA图4-6由推论1，有22EG FS MG GR =-⋅． ① 同理，22FG FS SG GN =-⋅．②联结MO 、EO 、SO ，令O 的半径为r ，则 22222EM OE r FS OF r =-=-，． ③ 又由相交弦定理，有MG GR SG GN ⋅=⋅．④于是，由①、②、③、④有2222EG ED FG FO -=-． 由定差幂线定理，知OG EF ⊥．注 （1）牛顿定理 圆外切四边形的两条对角线、两对边切点的连线，这4条直线共点．（2）定差幂线定理 设MN 、PQ 是两条线段，则MN PQ ⊥的充要条件为2222PM PN QM QN -=-． 此定理可用勾股定理及逆定理证明．这个定理放到空间也是成立的．运用向量法可给出平面、空间的统一证明如下：由22222222PM QN PN QM PM QN PN QM +--=+-- ()()2222PM PN PQPN PM PQ =+----22222222PM PN PQ PN PQ PM PQ PM PQ PN =++-⋅--+⋅-()2222PM PQ PN PQ PM PN PQ NM PQ =⋅-⋅=-⋅=⋅ ．知 0N M P Q N M P Q ⇔⋅=⊥ ． 故 2222M N P Q P M P N O M QN ⇔-=-⊥． 例6 已知E 、F 分剔是ABC △的边AB 、AC 的中点，CM 、BN 是边AB 、AC 上的高，联结EF 、MN 交于点P ．又设Q 、H 分别是ABC △的外心、垂心，联结AP 、OH ．求证：AP OH ⊥．（2005年国家队集训题）证明 如图4-7，联结AO 、AH ．设1O 、1H 分别为AO 、AH 的中点，则112H N AH =，112H M AM =，即知点1H 在线段MN 的中重线上，应用推论1，有B图4-72211H P H M MP PN =-⋅．注意到EF 为ABC △中位线，O 在BC 的中垂线上，由此知1O 也在EF 的中垂线上，应用推论1，有 2211O P O E EP PF =-⋅．再注意到ANM ABC AEF ==∠∠∠，知M 、E 、N 、F 四点共圆，并由直角三角形性质，有 MP PF EP PF ⋅=⋅． ③ 及11O E O A =、11H M H A =．④由①、②、③、④得22221111H A H P O A O P -=-．由定差幂线定理，11O H AP ⊥． 而1O H OH ∥，故AP OH ⊥．注 此例的其他证法可参见第九章例16、第十章例15． 例7 设D 是ABC △的边BC 上一点，满足CDA CAB △∽△，O 经过B 、D 两点，并分别与AB 、AD 交于E 、F 两点，BF 、DE 交于点G ，联结AO 、AG ，取AG 的中点M ．求证：CM AO ⊥． 证明 如图4-8，在AG 的延长线上取点P ，使得AG AP AF AD ⋅=⋅（即G 、P 、D 、F 四点共圆），则由AE AB AF AD ⋅=⋅知E 、B 、P 、G 也四点共圆．于是180180BPA BED BFD =︒-=︒-=∠∠∠BFA ∠，知B 、P 、F 、A 四点共圆，即有2FG GB AG GP AF AD AG ⋅=⋅=⋅-．C图4-8联结OD 、OF 、OE ，并令O 半径为R ，则对ODE △、ODF △分别应用推论1，有 222OG OD EG GD R FG GB =-⋅=-⋅．① 2222OA OD AF AD R FG GB AG =+⋅=+⋅+．②联结OM ，由三角形中线长公式，并注意①、②，有222222211(22)44MO MA OA OG AG AG R -=+--=．③联结OB 、OC ，对OBD △应用推论1，有222CO OB CD CB R CD CB =+⋅=+⋅． 又由CDA CAB △∽△，有2CA CD CB =⋅，即有222CO CA R -=．④注 P 即为完全四边形的密克尔点，由③、④有2222MO MA CO CA -=-．由定差幂线定理，知CM ⊥AO ．3．注意斯特瓦尔特定理等价于托勒密定理 斯特瓦尔特定理可推导出托勒密定理．证明 如图4-9，在ABC △中，点P 在BC 上，由斯特瓦尔特定理，有CBAEP图4-9222AP BC AB PC AC BP BP PC BC ⋅=⋅+⋅-⋅⋅．延长AP 交ABC △的外接圆于E ，连BE ，EC ，由ABP CEP △∽△和ACP BEP △∽△，有AB AP ⋅= CE AP ⋅，AC BP AP BE ⋅=⋅．又由相交弦定理，有BP PC AP PE ⋅=⋅．于是，得2AP BC AB CE AP AC AP BE AP PE BC ⋅=⋅⋅+⋅⋅-⋅⋅， 即 ()B C A P P EA B C EA CB E +=⋅+⋅， 亦即 A B C E A C B E B C ⋅+⋅=⋅．即为托勒密定理．由托勒密定理也可推导斯特瓦尔特定理．证明 如图4-10，设圆内接四边形ABEC 的对角线AE ，BC 交于P ．由托勒密定理，有CBAEP 图4-10AB EC AC BE BC AE ⋅+⋅=⋅．即 ()A B E C A C B E B P P C A E⋅+⋅=+⋅． 由△ABP ∽△CEP 和△ACP ∽△BEP ，有AB PC EC AP ⋅=，AC BPBE AP⋅=．由相交弦定理，有BP PCPE AP⋅=．将这些式子代入前述式子即得斯特瓦尔特定理． 因此，在应用中，两个定理的应用范围相同，所显示的功能也一样，即凡能用托勒密定理处理的问题也能用斯特瓦尔特定理处理．反之亦然．例8 若ABC △的三边为连续整数，且最大角B ∠是最小角A ∠的两倍，求三角形的三边长．（IMO -10试题）解法1 作ABC ∠的平分线BD （图略），则BD AD =，令AD y =，AB x =，则 1AC x =+，1BC x =-，1CD x y =+-． 由斯特瓦尔特定理的推论3，有()()211y x x y x y =--+-，即()11x x y x -=+，又AB AD BC CD =，即1xx =-1yx y +-，有()121x x y x +=-．故由22121x x x xx x -+=+-，求得5x =（舍去0x =），即5AB =，4BC =，6AC =． 解法2 作ABC △的外接圆O ，取 AC 的中点D ，连AD ，BD ，CD ，则A B C D 为梯形，其中CD BA ∥．令AB x =，则1AC x =+，1BC x =-，且1CD BC x ==-，1BD AC x ==+．对四边形ABCD 应用托勒密定理，有()()()22111x x x x +=-+-，求得5x =．（下略） 【解题思维策略分析】1．获得线段倍分关系的一条途径例9 如图4-11，已知ABC △的外接圆k 的圆心为O ，半径为R ，内切圆的圆心为I ，半径为r ，另一个圆0k 与边CA ，CB 分别切于点D ，E ，且与圆k 内切．求证：内心I 是线段DE 的中点．（IMO -34预选题）A图4-11证明 设圆0k 的圆心为1O ，半径为ρ，于是1O ，I ，C 三点共线，且1sin 2r CI C =∠，11sin 2CO C ρ=∠，则11sin 2rIO C ρ-=∠，且1O E ρ=．于是，111IO r rCO ρρρ-==-． 连OC ，OI ，1O O ，对△1COO ，及边1O C 上的点I ，应用斯特瓦尔特定理，有 22211111OO CI OC IO OI CO CI IO CO ⋅+⋅=⋅+⋅⋅①注意到欧拉公式，222OI R Rr =-，及1OO R ρ=-，OC R =，并将其代入①式，得到()2211sin sin 22r rR R C C ρρ--⋅+⋅∠∠ ()221111sin sin sin sin 2222r r R Rr C C C C ρρρ-=-⋅+⋅⋅∠∠∠∠， 化简得 21s i n12r r C ρρρ-==-∠． 从而 221111sin 2IO C CO CO ρ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭∠， 即 22111IO CO O E ρ⋅==．②因为1O E CE ⊥，1CO DE ⊥且平分DE ，令DE 的中点为I '，由射影定理，有 2111I O CO O E '⋅=．③比较③式和②式，知I '与I 重合，即得I 为DE 的中点．例10 如图4-12，两个大圆A ，B 相等且相交；两个小圆C ，D 不相等但相交，且交点为P ，Q ．若C ，D 既同时与A 内切，又同时与B 外切．试证：直线PQ 平分线段AB ．（《中等数学》奥林匹克问题高中58题）图4-12证明 由于C ，D 半径不相等，此两圆交点所在直线PQ 必与线段AB 相交，设交点为M ．连AC ，MC ，BC ，AD ，MD ，BD ，PC ，PD ，CD ，显然PQ CD ⊥，设垂足为N ，又设A ，B 的半径均是ρ，C ，D 的半径分别为R ，()r R r ≠，则易得AC R ρ=-，BC R ρ=+，AD r ρ=-，BD r ρ=+，因为PQ CD ⊥，或MP CD ⊥，垂足为N ，则 ()()2222222MC MD CN NM MN ND -+-+=22CN ND =-2222()()PC PN PD PN =---2222PC PD R r =-=-．设AM x =，MB y =，对△CAB 及边AB 上的点M ，应用斯特瓦尔特定理，有()()22x BC y AC x y MC x y x y ⋅+⋅=+⋅++⋅ ()222x y MC x MB y AM =+⋅+⋅+⋅．①对△DAB 及边AB 上的点M ，应用斯特瓦尔特定理，有()22222x BD y AD x y MD x MB y AM ⋅+⋅=+⋅+⋅+⋅． ②①-②，得()()()()()()22222222x BC BD y AC AD x y MC MD x y R r ⋅-+-=+-=+-，即 ()()()()()()222222[][]x R r y R r x y R r ρρρρ⋅+-++⋅---=+-， 亦即 ()()20x y R r ρ⋅-⋅-=．因0ρ≠，R r ≠，从而0x y -=，即x y =． 故AM M B =，即直线PQ 平分线段AB ．2．求解三角形问题的一种工具斯特瓦尔特定理在求解三角形中有关线段的问题有着重要作用，这可从习题A 中的第6题，习题B 中的第7题等可以看出．在求解三角形的其他问题中，它也有着重要作用．例11 设ABC △的三边为a ，b ，c ，其面积为S，则222a b c ++≥，当且仅当ABC △为正三角形时，等式成立． （IMO -3试题） 证明 取BC 的中点D ，对ABC △及BC 边上的点D ，应用斯特瓦尔特定理的推论2，有 2222222111111224224A D A C AB BC b c a =+-=+-．从而有22222322a b c AD a AD a ++=+⋅≥．设ABC △的BC 边上的高为h ，则AD h ≥，于是122AD a a h ⋅⋅⋅=≥．故222a b c ++≥，其中等号当且仅当22322AD a =且AD h =时成立，也即AD BC ⊥且AD =，此时ABC △恰为正三角形．例12 如图4-13，在ABC △中，D ，E 分别为AC 和AB 同方向延长线上的点，BD 与CE 相交于P ，且BD CE =．当P 在BC 边的中线上时，则AB AC =．EDC B APQ图4-13证明 设AP 交BC 于Q ．分别对△BPQ 及点A 和△CPQ 及点A 应用斯特瓦尔特定理的推广结论，有222AQ APBA BP BQ AP AQ PQ PQ =-⋅+⋅+⋅， 222AQ APCA CP CQ AP AQ PQ PQ=-⋅+⋅+⋅． 于是()()222222AQ APBA CA CP BP BQ CQ PQ PQ-=-⋅+-⋅． 由于BD CE =，对△PBC 及点A 应用塞瓦定理，有1QB EC DP QC EP DB⋅⋅=，即PD QCPE QB =．当P 点在BC 边上的中线上时，有BQ QC =．从而PD PE =，由此知PC PB =，故AB AC =．例13 如图4-14，若D 是ABC △的边BC 延长线上一点，则AD 平分A ∠的外角的充分必要条件是2AD BD CD AB AC =⋅-⋅．DCBAF图4-14证明 必要性：若AD 平分A ∠的外角，则由推论4即有 2AD BD CD AB AC =⋅-⋅．或者按证明斯特瓦尔特定理的方法来推导．充分性：设直线AD 交ABC △的外接圆于E ，连BE 、CE ．由割线定理有BD CD AD ED ⋅=⋅，并将其代入条件式2AD BD CD AB AC =⋅-⋅可得 ()AD ED AD AB AC -=⋅．由此可知E 必在DA 的延长线上（因0ED AD ->）． 于是AD AE AB AC ⋅=⋅． ① 由△ACD ∽△BCD ，有AC BD AD BE ⋅=⋅．② 由①⨯②得 A E B D A B B E ⋅=⋅．③ 又由△ECD ∽△BAD ，有EC AD CD AB ⋅=⋅． ④ 由①÷④得，AE CD AC CE ⋅=⋅． ⑤由③-⑤得，AE BC AB BE AC CE ⋅=⋅-⋅． 对四边形EBCA 应用托勒密定理，有 AE BC AB CE AC BE ⋅=⋅-⋅．于是AB CE AC BE AB BE AC CE ⋅-⋅=⋅-⋅． 即()()0AB AC CE BE +-=，从而CE BE =．因此CAD EBC ECB EAB ===∠∠∠∠． 故AD 平分A ∠的外角．例14 如图4-15，设正ABC △的内切圆圆心为I ，半径为r ，在I 内任取一点P ，设点P 到BC ，CA ，AB 的距离分别为1d ，2d ，3d，（《数学通报》问题1356题）I d 3d 2d 1D CBAP图4-15证明 设正三角形ABC 的边长为1，则123d d d ++=2IA IB IC r ==== 连AP 并延长交BC 于D ，则由题设知 32APB APC S d BD DC S d ==△△， ()1123131BPC BAC BPC S d d DPPA S S d d d d d d ===-+++-△△△． 由于BI IC =，BA AC =，对△BIC 及边BC 上的点D ，对ABC △及边BC 上的点D ，均应用斯特瓦尔特定理的推论1，有2222ID IB BD DC AD AB BD DC =-⋅=-⋅，．又由32d BD DC d =，知332323d d BD BC d d d d =⋅=++，223d DC d d =+． 于是()22322313d d ID d d =-+，()2232231d d AD d d =-+． ①又对△AID 及边AD 上的点P 应用斯特瓦尔特定理，有 222PA DPIP ID IA DP PA AD AD=⋅+⋅-⋅．由123d DP PA d d =+，知23123d d PA AD d d d +=++，1123d DPAD d d d =++．将上述各式及①式代入②式，并注意IA =，123d d d ++=123444d d d =+，有222DP PAIP IA ID DP PA AD AD=⋅+⋅-⋅ ()2232312133123231133d d d d d DP PAAD d d d d d d AD ADd d ⎡⎤+⎢⎥=⋅+-⋅-⋅⋅+++++⎢⎥⎣⎦()()()12312323232212323122123231113d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d ⎡⎤+++⎢⎥=⋅-⋅-⋅-++++++++⎢⎥⎣⎦()()2312312323414333d d d d d d d d d -=-+-+ ()()()23112323414333d d d d d d d d =-+-+ ()1213231433d d d d d d =-++． 即 ()21213231143IP d d d d d d ⎡⎤=-++⎣⎦． 于是，()2221231213232d d d d d d d d d ---+++()()21231213234d d d d d d d d d =-+++++()()22231334IP r IP =-+-=-．此式可写成为=()223r IP -． ③由于P 点在I 内部，则220r IP ->，从而，必有0>0>0．如若不然，，0<，则0+<，即0与已知矛盾，则知可见，以，，积为 【模拟实战】习题A1．在ABC △中，2AB AC ==，BC 边有100个不同的点1P ，2P ，…，100P ，记22i i im A P B P P C =+⋅（i =1，2，…，100），求12100m m m +++…的值．2．在ABC △中，C ∠的平分线交AB 于D．证明：CD <（匈牙利中学生数学竞赛题） 3．在ABC △中，D 是BC 边上的点，已知13AB =，12AD =，15AC =，5BD =，求DC ． 4．在ABC △中，AB =AC 2BC =，设P 为BC 边上任一点，则（ ） A ．2PA PB PC <⋅B ．2PA PB PC =⋅C ．2PA PB PC >⋅D ．2PA 与PB PC ⋅的大小关系不确定5．D 是ABC △的边AC 上的一点，且21AD DC =∶∶，45C =︒∠，60ADB =︒∠，求证：AB 是△BCD的外接圆的切线．6．设ABC △的三边BC a =，CA b =，AB c =，()12p a b c =++．设a m ，a h 分别为BC 边上的中线长和高线长；a t ，at '分别为BC 边所对的角的内、外角平分线长．求证下列各式：（Ⅰ）a m ；（Ⅱ）a t =（Ⅲ）at '=（Ⅳ）a h ． 7．在ABC △中，2AB BC =，2B A =∠∠，求证：ABC △是直角三角形． 8．证明：到三角形三顶点的距离的平方和最小的点是重心．习题B1．设，，分别是共线的三点A ，B ，C 对于O 所作切线的长．求证：a BC ⋅+ c AB b AC BC AC AB ⋅-⋅=⋅⋅．2．锐角ABC △的外接圆过B ，C 的切线相交于N ，点M 是BC 的中点．求证：BAM =∠ CAN ∠．（IMO -26预选题） 3．1PT 和2PT 是O 的割线，分别交O 于1S ，2S ，且12PT PT =，过P 的直线交O 于Q ，R （Q 在R 与P 之间），交12T T ，12S S 于T ，S ．求证1111PQ PR PS PT+=+． 4．A ，B ，C ，D 四点在同一圆周上，且4BC DC ==，6AE =，线段BE 和DE 的长都是整数，求BD 的长．5．在正方形ABCD 中，E 在BC 上，2BE =，1CE =，P 点在BD 上，则PE 和PC 的长度之和最小可达到多少？6．设凸四边形的边长是a ，b ，c ，d ，对角线长是e 和f ．求证：2min{,,,}a b c d 当且仅当这个凸四边形是菱形时等号成立．7．设I ，O ，G ，H 分别为ABC △的内心，外心，重心，垂心，令BC a =，CA b =，AB c =，()12p a b c =++，R ，r 分别为外接圆和内切圆的半径．求证下列各式： （Ⅰ）222a IA b IB c IC abc ⋅+⋅+⋅=； （Ⅱ）2222abcIO R R Rr a b c=-=-++；（Ⅲ）()()()()22222222221222918IG a b c b c a c a b a b c abc p ⎡⎤=+++++-++-⎣⎦()2222254318p a b c Rr =-++-；（Ⅳ）()22222142IH R a b c abc p=-+++． 8．已知ABC △满足2ACB ABC =∠∠，设D 是BC 边上一点，且2CD BD =．延长线段AD 至E ，使AD DE =．证明：1802ECB EBC +︒=∠∠．（IMO -39预选题）第四章 斯特瓦尔特定理应用习题A1．因A B A C =，由斯特瓦特定理推论1，有22i i i AP AB BP PC =-⋅，则22i i iAP BP PC AB +⋅=，即224i i i im AP BP PC AB =+⋅==，即121004100400m m m ++=⋅=…．2．由CD 平分ACB ∠，由斯特瓦特定理推论3，知2C D C A C B A D D B C A C B =⋅-⋅<⋅，故C D <3．由斯特瓦尔特定理，有222CD BD AD AB AC BD DC BC BC=⋅+⋅-⋅．设D C x =，则5BC x =+，则2225121315555x x x x=⋅+⋅-++，解得19x =（舍去29x =-）．4．由斯特瓦尔特定理，有222222PC PB PC PBPA AB AC PB BC PB BC BC =⋅+⋅-⋅=⋅+⋅-⋅4PC PC PB PB PC =+-⋅，242PA PB PC PC PB PB PC ∴-⋅=+-⋅，又2PB PC =-，则2PA PB -⋅22115422(2)222(2)2()048PC PC PC PC PC PC PC PC PC =+---⋅=-+=+=-+>，故选（C ）． 5．由21AD DC =∶∶，由斯特瓦尔特定理推论5，有2222122359BD AB BC AC =+-． 由45C ∠=︒，60ADB ∠=︒，及sin sin BD BCC BDC =∠∠，有2232BD BC =． 又由21AD DC =∶∶，有232AC AD AC =⋅． 于是有2AB AD AC =⋅，由切割线定理即证．6．设P 为ABC △的BC 所在直线上任一点，且1BPBC λ=∶∶，有斯特瓦尔特定理推论5，有2222(1)(1)AP λλa λb λc =-++-． 12λ=时，a AP m =即得（Ⅰ）； 当cλb c =+时，a AP t =，即得（Ⅱ）当1λb c=-时，a AP t '=，即得（Ⅲ）；当22222a b c λa -+=时，a AP h =，即得（Ⅳ）．7．作B ∠的平分线交AC 于D ，则2A D A BD C B C==，对ABC 及AC 边上点D 应用斯特瓦尔特定理推论3，有2BD AB BC AD DC =⋅-⋅，即222(2)22DC BC DC =-，即2213DC BC =，又2222()93AC AD DC DC BD =+==，从而22224AC BC BC AB +==，故ABC △为直角三角形．8．设G 为三条中线AD ，BE ，CF 的交点，P 为ABC △所在平面上任一点．不妨设P 在ABC △内，连PA ，PB ，PC ，PD ，PG ，对APD △及点G 应用斯特瓦尔特定理，有 222PA DG PD AG PG AD AG GD AD ⋅+⋅=⋅+⋅⋅．由12DG AG =，32AD AG =，则22223322PG PA PD AG =+=． ①在PBC △和GBC △中，D 为BC 中点，应用斯特瓦尔特定理推论2，则2222111224PD PB PC BC =+-，2222111224GD GB GC BC =+-，此两式相减，并注意12GD AG =，222222111()()224PD PB PC GB GC AG =+-++，代入①式，得2222223()()PG PA PB PC GA GB GC =++-++．显然，当P 异于G 时，横有222222PA PB PC GA GB GC ++>++．故到三角形三顶点距离的平方和为最小的点是三角形的重心． 习题Ｂ1．设O ⊙的半径为r ，连OA ，OB ，OC ，对OAC △及AC 边上的点B ，应用斯特瓦尔特定理，有222OA BC OC AB OB AC AB BC AC ⋅+⋅=⋅+⋅⋅，而22OA r α=+，22OB r b =+，22OC r c =+，于是 222()()()r a BC r c AB r b AC AB BC AC +⋅++⋅=+⋅+⋅⋅，化简即得结论．2．对ABC △及BC 边上的点M ，应用斯特瓦尔定理推论1，有22221(22)4AM AB AC BC =+-，cos 2cos BM BC BN A A ==∠∠．又2222222cos 4cos BC AN AB BN AB BN ABN AB A=+-⋅⋅∠=+∠ cos (cos cos )cos C AB BC ABN C A ∠+⋅⋅∠=-∠∠，于是222221cos cos 4AN A AB A BC ⋅∠=⋅∠++cos cos AB BC C A ⋅⋅∠⋅∠而cos cos cos()sin sin sin sin sin A C A C A C A C B ∠⋅∠=∠+∠+∠⋅∠=∠⋅∠-∠，则222222221cos cos sin sin cos (cos sin )4AN A AB A BC AB BC A C AB BC A AB A A ⋅∠=⋅∠++⋅⋅∠⋅∠-⋅⋅∠=⋅∠+∠22222222111()(22)424BC AB BC AC AB AC BC AM +-⋅+-=+-⋅（其中s i n s i n B C C A B A⋅∠=⋅∠），即cos AM CM A AN CN =∠=，sin(180)sin AN A C CN CAN ︒-∠-∠=∠，又B M C M =，且s i n s i n A M BB M B A M ∠=∠，故s i n s i n B A M C A N ∠=∠，即证．另证：设AN 交圆于D ，连BD ，CD ，对四边形ABCD 应用托勒密定理，有AD BC AC BD AB CD ⋅=⋅+⋅，由ACN CDN △∽△，ABN BDM △∽△，有AC AN CD CN =，AB ANBD BN=，而BN CN =，则AC BD AB ⋅=⋅ CD ．注意到2BD BM =，有22AD BM AB CD ⋅=⋅，即A D A BC D B M=，又A B M A D C ∠=∠，从而A D C A B M △∽△，故NAC BAM ∠=∠．3．由12PT PT =及1122PT PS PT PS ⋅=⋅，有12PS PS =，从而1212TT S S ∥，即11PS PT PS PT=，而 11PT PS PQ PQ ⋅=⋅3，则21PSPS PQ PR PT=⋅⋅，对12S PS △及12S S 边上的点S 应用斯特瓦尔特定理推论1，有22112PS PS S S SS =-⋅，又在O ⊙中12()()S S SS RS SQ PR PS PS PQ ⋅=⋅=--，故2()()PSPS PQ PR PR PS PS PQ PT=⋅⋅---，故1111PQ PR PS PT +=+． 4．对ABCD △及BD 边上的点E ，应用斯特瓦尔特定理或其推论1，有22244BE DECE BD BD=⋅+⋅-161616166BE DEBE DE BE DE BE DE AE CE CE BD+⋅=⋅-⋅=-⋅=-⋅=-．解得2CE =（负值舍去）． 于是12BE DE CE AE ⋅=⋅=，而8B D B C C D <+=，即3BE =，4DE =或4BE =，3DE =，故7BD =．5．由2BE CE =∶，对BCP △及BC 边上的点E ，应用斯特瓦尔特定理的推论5，有22212233PE PB PC =+-．对BCD △及BD 边上点P 应用推论1，有2229PC BC BP PD PB =-⋅=+-，于是224PE PB =-+，故PE PC +=令PB x =，上式表示x 轴上动点(,0)Q x 到两定点A ，,B 的距离之和，当Q 为线段AB 与x 轴交点0)时，即PB 时，PE PC + 6．设凸四边形ABCD 的对角线交点为E ．令AB a =，BC b =，CE c =DA d =，AC e =，BD f =，AE g =，BE h =，CE k =，DE l =．不妨设h l ≤，则在ABC △中，有{}2222min ,a k bga b kg h k g+≤=++（斯特瓦尔特定理）22221()()()2k g h l e f ++≤+=+，于是{}{}2min ,,,2min ,a b c d a b ≤=a b =，g k =，h l =，{}{}min ,min ,a b c d ≤时等号成立，即ABCD 为菱形．7．由于四个结论都与内心I 有关，不妨设AD 平分A ∠交BC 于D ，显然I 在AD 上．设P 为ABC △所在平面内任一点，连PB ，PD ，PC ，PI ，注意到ac BD b c =+，abCD b c =+，对PBC △及边上点D 应用斯特瓦尔特定理，有22222()b c a bc PD PB PC b c b c b c =⋅+⋅-+++． 又AI c b b cID BD CD a+===，有2b c AI AD p +=，2a ID AD p =，而224()()bcp AD p a b c =-+，对PAD △及AD 边上点I 应用斯特瓦尔特定理，有222()22()b c a abc p a PI PD PA p p p b c +-=⋅+⋅-+．将2PD 表达式代入上式，得2222a PAb PBc PC abcPI a b c⋅+⋅+⋅-=++．（Ⅰ）当P 与I 重合时，由①式即证（Ⅱ）当P 为外心O 时，PA PB PC R ==+，由①式即证．（Ⅲ）当P 为中心G 时，2222241(22)99a PA GA mbc a ===+-，等等．由①式即证、（Ⅳ）当P 为垂心H 时，22222222cot (csc 1)4PA HA a A a A R a ==⋅∠=∠-=-，等等．由①式即证．8．设CD 的中点为H ，则ABEH 是平行四边形，延长BC 至G ，使CG CA =．设3aBD DH HC ===，CA b =，AB c =，BE AH x ==，AD DE y ==，CE z =．由2ABC ACB CGA ∠=∠=∠+22CAG CGA CAG ∠=∠=∠，则ABG CAG △∽△．于是有AB CABG AG=或2()c b a b =+． ① 在ACD △，ABH △，CDE △中分别应用斯特瓦尔特定理推论2，得2222229b y x a +=+，2222229x c y a +=+，2222229y z c a +=+．从前两式中消去y ，有222222243x c b x a ++=+，将①式代入得22()()33a x b a b =+-．再求得23z b a =+，故有2()x z z a =-或2()BE CE CE BC CE EP =-=⋅．这里P 是CE 上一点，且满足CP BC =．故BE EPCE BE=，又BEP CEB ∠=∠，知BEP CEB △∽△，从而 1(180)2ECB EBP EBC ECB ∠=∠=∠-︒-∠．故1802ECB EBC ∠+︒=∠．。
2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)(浙江省六校第四次数学竞赛联考)加试试题(模拟4)
2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）
暨2023年全国高中数学联合竞赛
加试试题（模拟4）
一．（本题满分40分）如图，ABC D 的外接圆为ω，P 为BC 边上一点，满足APB BAC Ð=Ð．过点A 作ω的切线交ABP D 的外接圆于点Q ，Q 关于AB 中点的对称点为T ，AT 交QP 于点D ．证明：111AB AC CD
+>．（答题时请将图画在答卷纸上）二．（本题满分40分）设c 是非负整数．求所有的无穷正整数数列{}n a ，满足：对任意正整数n ，恰存在n a 个正整数i 使得1i n a a c +≤+．
三．（本题满分50分）设正整数6n ≥，图G 中有n 个顶点，每个顶点的度数均至少为3．设12,,,k C C C 是G 中所有的圈，求12gcd(,,,)k C C C 的所有可能值，其中C 表示圈C 中顶点的个数．
四．（本题满分50分）对非负整数,a b ，定义位异或运算a b ⊕，是唯一的非负整数，使得对每个非负整数k ，
222k k k a b a b ⊕⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-⎢⎥⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
都是偶数．例如：2229101001101000113⊕=⊕==．
求所有正整数a ，使得对任意整数0x y >≥，都有x ax y ay ⊕≠⊕．。
浙江省宁波市镇海区镇海中学2019-2020学年高二上学期期中数学试题
绝密★启用前浙江省宁波市镇海区镇海中学2019-2020学年高二上学期期中数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题11=表示的曲线是（ ）A ．一条射线B ．双曲线C ．双曲线的左支D ．双曲线的右支2．已知a R ∈,则“1a >”是“11a<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件3．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗，在这4句诗中，可作为命题的是( ) A ．红豆生南国 B ．春来发几枝 C ．愿君多采撷 D ．此物最相思4．已知m ，n 表示两条不同直线，α，β表示两个不同的平面，以下能判定m ⊥α的是（ ） A ．α⊥β且m ⊂βB ．α⊥β且m ∥βC ．α∥β且m ⊥βD ．m ⊥n 且n ∥α5．在空间直角坐标系O ﹣xyz 中，O 为坐标原点，若点P （1，﹣2，3）在平面xOz 上的投影为点B ，则线段OB 的长度为（ ） A BCD 6．下列有关命题的说法正确的是（ ）rrrrB ．命题“函数f （x ）＝（a ﹣1）x 是R 上的增函数”的否定是“函数f （x ）＝（a ﹣1）x是R 上的减函数”C ．命题“在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ＝B ”的逆否命题为真命题D ．命题“若x ＝2，则x 2﹣3x +2＝0”的逆命题为真命题7．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，点E 为平面BCC 1B 1的中心，则直线DE 与平面ACD 1所成角的余弦值为（ ） A ．14B ．13C D 8．设双曲线()2222100y x a b a b-=＞，＞的上焦点为F ，过点F 作与y 轴垂直的直线交两渐近线于A ，B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若OP OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r ，()2259R λμλμ+=∈，，则双曲线的离心率e 的值是（ ）A ．3B ．5C ．4D ．329．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，经过定点P （a ，0）（a ＞0）的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且2BP PA =u u u r u u u r，|AF |+2|BF |＝9，则a ＝（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．四棱锥P ﹣ABCD 中，已知3PAB PAD BAD π∠=∠=∠=，|AB |＝|AD |＝a ，|AP |＝b ，|PC |＝1，则b 的最大值为（ ） A B C D第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题11．双曲线2213y x -=的渐近线方程为_____，焦点坐标为_____．12．已知()3211a λ=-r ，，，()102b μμ=+r ，，．若a b ⊥r r ，则μ＝_____；若//a b r r ，则λ+μ＝_____．…………外…………○…学校…………内…………○…另一组基底，若向量p r 在基底a r ，b r ，c r 下的坐标为（2，1，3），p 在基底a b +r r ，a b -r r ，c r下的坐标为（x ，y ，z ），则x ﹣y ＝_____，z ＝_____． 14．若动点P 到点F （0，1）的距离比它到直线y ＝﹣2的距离少1，则动点P 的轨迹C 的方程为_____，若过点（2，1）作该曲线C 的切线l ，则切线l 的方程为_____ 15．在四面体ABCD 中，△ABD 和△BCD 均为等边三角形，AB ＝2，AC =，则二面角B ﹣AD ﹣C 的余弦值为_____．16．四边形ABCD 的各个顶点依次位于抛物线y ＝x 2上，∠BAD ＝60°，对角线AC 平行x 轴，且AC 平分∠BAD ，若BD =，则ABCD 的面积为_____．17．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=＞＞，点A ，B 分别是椭圆E 的左顶点和上顶点，直线AB 与圆C ：x 2+y 2＝c 2相离，其中c 是椭圆的半焦距，P 是直线AB 上一动点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为M ，N ，若存在点P 使得△PMN 是等腰直角三角形，则椭圆离心率平方e 2的取值范围是_____． 三、解答题18．已知a ＞0，且a ≠1．命题P ：函数f （x ）＝log a x 在（0，+∞）上为增函数；命题Q ：函数g （x ）＝x 2﹣2ax +4有零点．（1）若命题P ，Q 满足P 真Q 假，求实数a 的取值范围；（2）命题S ：函数y ＝f （g （x ））在区间[2，+∞）上值恒为正数．若命题S 为真命题，求实数a 的取值范围．19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，四边形ABCD 是菱形，AB =BD ＝2．（1）若点E ，F 分别为线段PD ，BC 上的中点，求证：EF ∥平面P AB ；（2）若平面PBD ⊥平面ABCD ，且PD ⊥PB ，PD ＝PB ，求平面P AB 与平面PBC 所成…………装…………○…………○…………线※※请※※不※※要※※在※※装※※※答※※题※※…………装…………○…………○…………线的锐二面角的余弦值．20．如图，已知椭圆2213xC y+=：，过动点M（0，m）的直线交x轴于点N，交椭圆C于A，P（其中P在第一象限，N在椭圆内），且M是线段PN的中点，点P关于x轴的对称点为Q，延长QM交C于点B，记直线PM，QM的斜率分别为k1，k2．（1）当113k=时，求k2的值；（2）当1213kk=-时，求直线AB斜率的最小值．21．如图，△ABC为正三角形，且BC＝CD＝2，CD⊥BC，将△ABC沿BC翻折．（1）当AD＝2时，求证：平面ABD⊥平面BCD；（2）若点A的射影在△BCD内，且直线AB与平面ACD所成角为60°，求AD的长．22．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点到直线l：2x﹣y﹣1＝0的距离为4．（1）求抛物线的方程；（2）过点P（0，t）（t＞0）的直线l与抛物线C交于A，B两点，交x轴于点Q，若抛物线C上总存在点M（异于原点O），使得∠PMQ＝∠AMB＝90°，求实数t的取值范围．参考答案1．D 【解析】 【分析】根据方程表示点(),P x y 到点()11,0F -和点()21,0F 的距离之差为1，得到答案. 【详解】1=表示点(),P x y 到点()11,0F -和点()21,0F 的距离之差为1，1221F F =>，故表示的是双曲线的右支. 故选：D . 【点睛】本题考查了方程表示的曲线，转化为几何意义是解题的关键. 2．A 【解析】 【分析】 先求得不等式11a<的解集为0a <或1a >，再结合充分条件和必要条件的判定，即可求解． 【详解】由题意，不等式11a<，等价与1110a a a --=<，即10a a ->，解得0a <或1a >， 所以“1a >”是“11a<”的充分不必要条件．故选：A ． 【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，以及分式不等式的求解，其中解答中正确求解不等式的解集，合理利用充分、必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 3．A 【解析】 【分析】利用命题的定义即可判断出答案． 【详解】由命题的定义可知：“红豆生南国”这一句可以判断红豆生在什么地方，因此可以作为一个命题． 故选：A ． 【点睛】正确理解命题的定义是解题的关键． 4．C 【解析】 【分析】ABD 选项均可得到m α⊂，//m α或m 与α相交，得到答案.【详解】A. α⊥β且m ⊂β，则m α⊂或//m α或m 与α相交，故排除；B. α⊥β且m ∥β，则m α⊂或//m α或m 与α相交，故排除；C. α∥β且m ⊥β，则m ⊥α，正确；D. m ⊥n 且n ∥α，则m α⊂或//m α或m 与α相交，故排除； 故选：C . 【点睛】本题考查了直线和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力. 5．B 【解析】 【分析】计算得到()1,0,3B ，再计算长度得到答案. 【详解】点P （1，﹣2，3）在平面xOz 上的投影为点()1,0,3B ，故OB ==. 故选：B . 【点睛】本题考查了空间中点的投影，距离的计算，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 6．C 【解析】 【分析】根据否命题，逆命题，逆否命题，命题的否定的定义依次判断每个选项得到答案. 【详解】A. 命题“若a r⊥b r，则a r •b =r0”的否命题为“若a r不垂直b r，则a r •b ≠r0”，故A 错误； B. 命题“函数f （x ）＝（a ﹣1）x 是R 上的增函数”的否定是“函数f （x ）＝（a ﹣1）x 不是R 上的增函数”，故B 错误；C. 命题“在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ＝B ”是真命题，故逆否命题为真命题，C 正确；D. 命题“若x ＝2，则x 2﹣3x +2＝0”的逆命题为“若x 2﹣3x +2＝0，则x ＝2”，为假命题，D 错误；故选：C . 【点睛】本题考查了命题的否定，否命题，逆否命题，逆命题，意在考查学生对于命题的理解和掌握. 7．B 【解析】 【分析】如图所示，建立空间之间坐标系，设正方体边长为1，则()0,0,0D ，11,1,22E ⎛⎫⎪⎝⎭.易知平面1ACD 的法向量为()1,1,1n =r，计算夹角得到答案.【详解】如图所示，建立空间之间坐标系，设正方体边长为1，则()0,0,0D ，11,1,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 根据1,n AC n AD ⊥⊥r u u u r r u u u u r得到平面1ACD 的法向量为()1,1,1n =r ，11,1,22DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ，故cos 3n DE n DE α⋅==⋅r u u u r r u u u r ，故1sin 3α=，直线DE 与平面ACD 1所成角θ，满足1cos sin 3θα==. 故选：B .【点睛】本题考查了线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 8．C 【解析】 【分析】根据,,A B P 三点共线得到1λμ+=，计算得到,3bc P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，代入双曲线方程，化简得到答案. 【详解】 渐近线为：a y x b =±，取y c =，解得bc x a =±，则,,,bc bc A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. OP OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r ，且,,A B P 三点共线，故1λμ+=，2259λμ+=，则1323λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 或2313λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，不妨取1323λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则,3bc P c a ⎛⎫⎪⎝⎭， 代入双曲线方程得到：222219c c a a -=，即281,9e e ==. 故选：C . 【点睛】本题考查了双曲线的离心率，根据共线得到1λμ+=是解题的关键. 9．A 【解析】 【分析】过A 作AC 垂直准线于C ，过点B 作BD 垂直准线于D ，连接CP 并延长与DB 的延长线交于E ，根据相似得到3NP =，得到答案. 【详解】如图所示：过A 作AC 垂直准线于C ，过点B 作BD 垂直准线于D ，连接CP 并延长与DB 的延长线交于E .2BP PA =u u u r u u u r，则2AC BE =，29AF BF +=，即29DE =， 4.5DE =.根据三角形相似得到：23NPDE =，故3NP =，1OP =，故1a =. 故选：A .【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力. 10．B 【解析】 【分析】根据对称性知P 在平面ABCD 的投影在BAD ∠的角平分线上，设为F ，作FE AD ⊥于E ，连接PE ，FC ，计算得到PA =，根据勾股定理计算得到答案. 【详解】根据对称性知P 在平面ABCD 的投影在BAD ∠的角平分线上，设为F ，作FE AD ⊥于E ，连接PE ，FC .AD EF ⊥，AD PF ⊥，故AD ⊥平面PEF ，故AD PE ⊥，故2b AE =，2PE b =.EF =，PA ==.在PFC ∆中，222PC FC PF =+，即222113b FC =-≤，故b ≤当F 和C 点重合时等号成立. 故选：B .【点睛】本题考查了四棱锥中距离的最值问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.11．y =x （±2，0） 【解析】 【分析】直接利用渐近线方程公式和焦点公式得到答案. 【详解】双曲线2213y x -=的渐近线方程为：y =，焦点坐标为()2,0±.故答案为：y =；()2,0±. 【点睛】本题考查了渐近线和焦点，属于简单题. 12．35- 710【解析】 【分析】根据垂直得到()31020a b μμ⋅=+++=r r ，根据平行得到a mb =r r，计算得到答案.【详解】()31020a b μμ⋅=+++=r r ，故35μ=-；//a br r ，则a mb =r r ，即()()3211102m λμμ-=+，，，，，故()3121012m m μλμ⎧=+⎪-=⎨⎪=⎩，解得1215λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 故710λμ+=. 故答案为：35-；710. 【点睛】本题考查根据向量的垂直平行求参数，意在考查学生的计算能力. 13．1 3 【解析】 【分析】化简得到()()p x y a x y b zc =++-+u r r r r，对比系数得到答案.【详解】根据题意知：23p a b c =++u r r r r ，()()()()p x a b y a b zc x y a x y b zc =++-+=++-+ur r r r r r r r r .故1,3x y z -==； 故答案为：1；3.【点睛】本题考查了向量基本定理的应用，意在考查学生的计算能力. 14．x 2＝4y y ＝x ﹣1． 【解析】 【分析】设动点P 的坐标为（x ，y ），代入化简得到答案，设过点（2，1）的直线方程为y ＝k （x ﹣2）+1，计算得到答案. 【详解】设动点P 的坐标为（x ，y ）21y =+-； ∴x 2＝4y ；动点P 的轨迹C 方程为x 2＝4y ； 设过点（2，1）的直线方程为y ＝k （x ﹣2）+1；①当k 不存在时，则直线方程为x ＝2，与曲线C 不相切；②当k 存在时，联立()2214y k x x y ⎧=-+⎨=⎩， ∴x 2﹣4kx +8k ﹣4＝0．∵直线与曲线C 相切，∴△＝16k 2﹣32k +16＝0；解得k ＝1； 切线l 的方程为y ＝x ﹣1．故答案为：24x y =；1y x =-.【点睛】本题考查了轨迹方程，切线问题，意在考查学生的计算能力.15．5【解析】 【分析】如图所示建立空间直角坐标系，平面ABD 的法向量()11,0,0n =u r，平面ACD 的法向量()2n =u u r，利用夹角公式计算得到答案.【详解】设BD 中点为O ，则AO CO ==AC =，故AO CO ⊥，故,,OA OC OD 两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系.平面ABD 的法向量()11,0,0n =u r，设平面ACD 的法向量为()2,,n x y z =u u r ，()(),,0,1,0A CD ，则220,0n CD n AD ⋅=⋅=u u r u u u r u u r u u u r，解得：()2n =u u r，则法向量夹角1212cos n n n n θ⋅===⋅u r u u ru r u u r 故二面角B ﹣AD ﹣C..【点睛】本题考查了二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 16【解析】 【分析】 不妨设()()()()2222,,,,,,,A a aC a a B b bD d d -，计算得到a b -=，d a -=，计算得到4a =，根据()12D B S AC y y =-计算得到答案.【详解】不妨设()()()()2222,,,,,,,A a aC a a B b bD d d -.则 )22a b a b+=-，故a b -=；)22a d d a +=-，故d a -=.()()()()()222222212BD b d b db d b d =-+-=-++=，即()241423a +=，a =()()22212236D B S AC y y a d b a =-=-=⋅=.故答案为：6.【点睛】本题考查了抛物线的内接四边形面积，意在考查学生的计算能力.17．．【解析】 【分析】根据直线和圆相离得到a 2b 2＞c 2（a 2+b 2），根据等腰三角形得到2e 4﹣5e 2+1≤0，计算得到答案. 【详解】AB 所在直线方程为1x ya b+=-，即bx ﹣ay +ab ＝0， 又直线AB 与圆C ：x 2+y 2＝c 2c ，即a 2b 2＞c 2（a 2+b 2），∴a 2（a 2﹣c 2）＞c 2（2a 2﹣c 2），整理得：e 4﹣3e 2+1＞0，解得0＜e 2 又存在点P 使得△PMN 是等腰直角三角形，则在Rt △OPN 中，OP ==，≤，即a 2b 2≤2c 2（a 2+b 2），∴a 2（a 2﹣c 2）≤2c 2（2a 2﹣c 2），整理得2e 4﹣5e 2+1≤0≤e 2＜1．∴e 2的取值范围是[54，32）．故答案为：[54-，32）.【点睛】本题考查了椭圆的离心率问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 18．（1）（1，2）； （2）（1，74）． 【解析】 【分析】（1）根据命题P ，Q 满足P 真Q 假，计算得到答案.（2）首先保证g （x ）＝x 2﹣2ax +4在[2，+∞）上恒大于0，再讨论0＜a ＜1和1＜a ＜2两种情况，分别计算得到答案. 【详解】（1）由命题P ：函数f （x ）＝log a x 在（0，+∞）上为增函数是真，得a ＞1； 由命题Q ：函数g （x ）＝x 2﹣2ax +4有零点为假，得△＝4a 2﹣16＜0，得﹣2＜a ＜2． ∴使命题P 真Q 假的实数a 的取值范围是（1，2）； （2）若函数y ＝f （g （x ））在区间[2，+∞）上值恒为正数， 则首先保证g （x ）＝x 2﹣2ax +4在[2，+∞）上恒大于0， 则△＝4a 2﹣16＜0或()2840a g a a ≤⎧⎨=-⎩＞，得﹣2＜a＜2．又a＞0且a≠1，∴0＜a＜2且a≠1．当0＜a＜1时，外层函数f（x）单调递减，而内层函数g（x）当x→+∞时，g（x）→+∞，此时y＝f（g（x））＜0，不合题意；当1＜a＜2时，外层函数f（x）单调递增，要使y＝f（g（x））＞0在区间[2，+∞）上恒成立，则g（x）＝x2﹣2ax+4在[2，+∞）上的最小值大于1．即g（2）＝8﹣4a＞1，得a74＜．∴1＜a74＜．即使命题S为真命题的实数a的取值范围是（1，74）．【点睛】本题考查了根据命题的真假求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.19．（1）见解析（2）79．【解析】【分析】（1）取AP的中点为H，连接EH，HB，证明四边形BFEH为平行四边形得到答案. （2）过A作AN⊥PB于点N，连接NC，AC，BD，设AC交BD于点O，确定则∠ANC为二面角A﹣PB﹣C的平面角，计算得到答案.【详解】（1）取AP的中点为H，连接EH，HB；由E ，H 分别为PD ，P A 的中点，则EH ∥AD 且12EH AD =； 又F 为BC 的中点，则BF ∥AD 且12BF AD =； 所以EH ∥BF 且EH ＝BF ，则四边形BFEH 为平行四边形； 所以EF ∥BH ，又HB ⊂平面P AB ； 所以EF ∥平面P AB ；（2）过A 作AN ⊥PB 于点N ，连接NC ，AC ，BD ，设AC 交BD 于点O ，在△PBD 中O 为AC 的中点，PD ＝PB ，则PO ⊥BD ； 又平面PBD ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ； 在△PBD 中，PD ⊥PB ，BD ＝2．则PD ＝PB =由题意有P A ＝PC =AO ＝2，AB =在等腰三角形APB中，2AN ==由△P AB ≌△PCB ，则CN ⊥PB ；CN ＝AN在△ACN中，2229916729AN NC AC cos ANC AN CN +-+-∠===-⋅；故平面P AB 与平面PBC 所成的锐二面角的余弦值为79． 【点睛】本题考查了线面平行和二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 20．（1）k 2＝1（2）最小值为1．【解析】 【分析】（1）设P （x 0，y 0），（x 0＞0，y 0＞0），M （0，m ），计算得到213k k =-，得到答案. （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线P A 的方程为y ＝kx +m ，（k ＞0），联立方程计算得到1212AB y y k x x -=-，代入数据利用均值不等式计算得到答案.【详解】（1）设P （x 0，y 0），（x 0＞0，y 0＞0），M （0，m ），可得P （x 0，2m ），Q （x 0，﹣2m ）． 所以直线PM 的斜率1002m m m k x x -==；直线QM 的斜率20023m m mk x x --==-； 此时213k k =-．当113k =-时k 2＝1； （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． 直线P A 的方程为y ＝kx +m ，（k ＞0）由2233x y y kx m⎧+⎨=+⎩，得（1+3k 2）x 2+6kmx +3m 2﹣3＝0 ()22012231331313m m x x k k-==++，即()()21203113m x k x -=+； 所以()()21123113k m y kx m m k x-=+=++；直线QB 的方程为y ＝﹣3kx +m ． 同理有：()()222031127m x k x -=+，()()22231127k m y m k x--=++，1=23126k k =，当且仅当222HQ HQ AB ︒===13k =时取等号； 故直线AB 的斜率的最小值为1． 【点睛】本题考查了椭圆内的斜率问题，综合考查了均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合理解能力.21．（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据长度关系得到AE⊥平面BCD，得到证明.（2）取BC中点O，BD中点E，连接AO，OE，得HQ⊥平面ACD，计算HQ2=，AH=计算得到答案.【详解】（1）若AD＝2，又AB＝AC＝2，则A在底面BCD内的射影为△BCD的外心，∵△BCD为直角三角形，且∠BCD＝90°，∴A在底面BCD内的射影E落在BD的中点上，∴AE⊥平面BCD，而AE⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD；（2）取BC中点O，BD中点E，连接AO，OE，可得BC⊥平面AOE，过A作AH⊥OE于H，过H作HN∥BC交CD于N，连接AN，作HQ⊥AN于Q，得HQ⊥平面ACD，点B到平面ACD的距离为2HQ，则x=，得HQ=设AH＝x，有==，解得x=AH=又AO=H与O重合，则=．【点睛】本题考查了面面垂直，根据线面夹角求线段长度，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 22．（1）x 2＝y ；（2）t ≥1． 【解析】 【分析】（1）直接利用点到直线的距离公式计算得到答案.（2）过点P （0，t ）（t ＞0）的直线l 的方程设为y ＝kx +t ，联立方程，利用韦达定理得到x 1+x 2＝k ，x 1x 2＝﹣t ，且y 1＝x 12，y 2＝x 22，根据∠PMQ ＝∠AMB ＝90°，可得2m tm k=-+•tk-=1，化简得到答案. 【详解】（1）抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点（0，2p ）到直线l ：2x ﹣y ﹣1＝0可得t k -，解得p 12=，即抛物线的方程为x 2＝y ； （2）过点P （0，t ）（t ＞0）的直线l 的方程设为y ＝kx +t ，联立x 2＝y ，可得x 2﹣kx ﹣t ＝0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得k 2+4t ＞0，x 1+x 2＝k ，x 1x 2＝﹣t ，且y 1＝x 12，y 2＝x 22，设M （m ，m 2），Q （2m t m-，0），本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
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镇海中学数学奥林匹克中级训练题(004) 第 1 页 共 4 页
镇海中学数学奥林匹克中级训练题(004)
1. 已知数列 满足：a 112
=，a n+1
（n ≥1）证明：
（1）n a <2221n n +，n N +∈ （2）数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭收敛
2. 设M ，N 是直角∆ABC （∠ACB =900）连AC 、BC 上的点，AN BM =L 证明：顶点C ，∆AML 和∆BNL 的垂心三点共线。
镇海中学数学奥林匹克中级训练题(004) 第 2 页 共 4 页 3. 已知数列{},{}n n x y ，满足11113,4,32,43.n n n n n n x y x x y y x y ++===+=+
(1).n ≥ 证明：{}{}n n x y 与中不存在立方数。
镇海中学数学奥林匹克中级训练题(004) 第 3 页 共 4 页
镇海中学数学奥林匹克中级训练题(004)解答
1. 已知数列 满足：a 112=，a n+1
（n ≥1）证明：
（1）n a <2221n n +，n N +∈ （2）数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
收敛 解答：用数学归纳法，对n=1，有11223
a =<成立。
假设n a <2
221
n n +，那么 1n a +
22(1)2(1)2123n n n n n ++=<++ （2）令n b =n a n
，则
1n n b b +=< 因为0<n b <2121
n n <+ 所以{}n b 是单调递增且有界的。
即n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
收敛 点评：本题用归纳法是比较自然，证明与数列有关的不等式常常可以考虑归纳法。
2. 设M ，N 是直角∆ABC （∠ACB =900）连AC 、BC 上的点，AN BM =L
证明：顶点C ，∆AML 和∆BNL 的垂心三点共线。
解答：设H 1，H 2分别为∆AML 和∆BNL 的垂心，H 1A 与LM 的延长线交于点E ，H 1L 与AC 交于点R ，H 2L 与BC 交于点S ，H 2B 与LN 的延长线交于点F 。
易知：A 、B 、F 、C 、E 五点共圆 记为
C 、R 、L 、S 四点共圆 记为
A 、L 、R 、E 四点共圆 （1）
L 、B 、F 、S 四点共圆 （2）
而H 1对1Γ的幂为H 1L·H 1A ，对2Γ的幂为H 1R·H 1L
由（1）知H 1E·H 1A=H 1R·H 1L,故H 1在1Γ与2Γ两圆的根轴上。
同样H 2对1Γ的幂为H 2F·H 2B ，对2Γ的幂为H 2S·H 2L ，
1Γ2Γ
镇海中学数学奥林匹克中级训练题(004) 第 4 页 共 4 页 由（2）知H 2F·H 2B=H 2S·H 2L 。
故H 2也在1Γ与2Γ两圆的根轴上。
而1Γ与2Γ相交于一点C ，从而H 1H 2过点C ，命题得证
点评：由于题中的共圆的点十分之多，从而利用根轴来做是比较好的选择。
事实上，当090ACB ∠≠时，四个三角形（∆AML 、∆BNL 、∆ACN 和∆BCM ）的垂心也是共线的，同样用根轴可以给出证明（本题是∆CAN 与∆BCM 的垂心重合为C 的特殊情况）
3. 已知数列{},{}n n x y ，满足11113,4,32,43.n n n n n n x y x x y y x y ++===+=+
(1).n ≥ 证明：{}{}n n x y 与中不存在立方数。
解答：注意
22222222111122(32)(43)222n n n n n n n n x y x y x y x y x y ---=+-+=-==-=
故我们只需证明不定方程62262222x y x y -=-=和均无正整数解.
(1)假设6222x y -=有正整数解.
则y 为偶数，令2()y z z N +=∈.则有原方程化为332(1)(1)2x x z -+=，其中3x ≥，且为奇数，由于3311x x +-与的差为2，则一定有一项不是3的倍数.
①当3不整除31x -时，由于33(1,1) 2.x x -+=利用332(1)(1)2.x x z -+=
可得321x at -=，其中1a =或2..t N +∈
()222(1)(1),1,1(1,(2)(1)3)(1,3) 1.x x x at x x x x x x x -++=-++=-+-+=-=且及1x - 为偶，所以无论1a =或2，均存在t 的因数1.t
使2211x x t ++=.但222
1(2)x x x x <++<+，矛盾.
②当3不整除31x +时，同理可得2221.x x t -+=当3x ≥时，222(1)1.x x x x -<-+<矛盾.
(2)假设2622x y -=有正整数解.
则y 为偶数，令2().y z z N +=∈则原方程化为2311(2)22
x x z -+⋅=. 333312211111(,) 1.12222
x x x x z z z z -+-+=∴=⋅=⇒-= .矛盾12(,).z z N +∈ 由(1)(2)知，不定方程6222x y -=及2622x y -=均无正整数解
故{}{}n n x y 与中不存在立方数 证毕.
点评：此解法关键在于归结成两个不定方程问题。