探索三角形相似的条件(习题课)
4.4 探索三角形相似的条件(一)
第4节 探索三角形相似的条件(一)
广南县南屏镇初级中学校 数学组
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想一想
议一议
课堂练习
小
结
家庭作业
观察一下:这些图片有什么特点?
不错!这些图片都是相似的。 形状相同、大小不同!
相似形定 它们有什么 相同点? 义:我们
把形状相 同的两个 图形称为 相似形。
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课堂练习
小
结
家庭作业
△ABC与△ A'B'C'相似 表示为: △ABC∽△ A'B'C' 读作: △ABC相似于△ A'B'C' A
C
B C’
在写两个 三角形相似时 应把表示对应 顶点的字母写 在对应的位置 上。
A’
B’
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课堂练习
小
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家庭作业
C
∵ ∠A= ∠ A' 、∠B= ∠ B'、 ∠C= ∠ C'
B
A
AB BC CA A' B' B' C' C' A'
∴ △ABC∽△A'B'C'
C'
相似三 角形的定义 可以作为三 角形相似的 一种判定方 法。
A'
B'
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课堂练习
小
结
家庭作业
A
问题:
在△ABC 和△ A'B'C'中,
∠A=∠A',∠B= ∠B'
B A' C △ABC与△ A'B'C'是否相似?
6.4 探索三角形相似的条件(习题课)
B
F D
G
C
E
6、如图,在矩形ABCD中,AB=12cm, BC=6cm,点P沿AB的边从点A开始向B以2厘 米/秒的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向A 以1厘米/秒的速度移动。如果P、Q同时出发, 用t(秒)表示移动的时间(0 ≤ t ≤6),那么 当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与 △ ABC相似?
B
D
C
你还有其它方法吗?
A
A
F G B
E
F
G
E
C B
D
C
新知 三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心. 三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中 点距离的两倍.
F E B G D C A
5.如图,△ABC与 △DEA是两个全等的等腰 直角三角形, ∠BAC=∠D= 90° ,BC分别与 AD、AE相交于点F、G. 图中共有几对相似三 角形?请把它们表示出来,并说明理由. 图中共有4对相似三角形
教后记
1.在判定三角形相似时,充分挖掘条件灵活 运用相似三角形的判定解决问题; 2.求线段的长或说明两个角相等或说明 两条线段相等可以通过两个三角形相似.
15 A、 4
B、 7
A
D
15 C、 2
8
E
24 D、 5
10
6
B
?
C
3.如图,在平行四边形ABCD中 ,G是BC延长 线上的一点,AG分别交BD、CD于点E、F. 图中有几对相似三角形?请把它们表示出来,并 说明理由.
图中有6对相似三角形
4.如图, △ ABC中,AB=12,AC=15,D为AB 2 上的一点,且AD= AB,在AC上取一点E,使 3 以A、D、E为顶点的三角形和△ ABC相似,则 AE 等于 10或6.4 . A
探索三角形相似的条件(一)
探索三角形相似的条件1.平行于三角形一边的直线和其它两边或两边延长线相交,所得的三角形与原三角形相似2.两个角对应相等的两个三角形相似。
3.基本图像介绍平行型非平行型二、典型例题分析例1 、如图,△ABC为等边三角形,双向延长BC到D、E,使得∠DAE=120°求证:BC是BD、CE的比例中项。
证明:因为△ABC为正三角形,∴∠BAC=60°又∠DAE=120°,∴∠1+∠2= °.又∠ABC=60°= ,∴∠2=同理可得,∠1=∠E.∴△ABD∽△ECA.∴∵△ABC为等边三角形,∴AC=AB=BC∴∴BC为BD、CE的比例中项。
变式练习:如图,已知:△ABC中,AB=AC,点D、E分别是AB 和AB延长线上的点,∠DCB=∠ECB.求证:AB是AD和AE的比例中项。
例2.如图,已知;CD是直角三角形ABC斜边AB上的高,E是CD的中点,AE的延长线交BC于F,FG⊥AB,垂足是G.求证:变式练习:如图,在△ABC中,AB=AC,AD是中线,P是AD上一点,过C作CF‖AB,延长BP交AC于点E,交CF于点F,求证:课堂练习.1、下列说法错误的是()A、有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似;B、顶角相等的两个等腰三角形相似;C、有一个角是100°的两个等腰三角形相似;D、有一个角相等的两个等腰三角形相似。
2、如图,AB∥CD,AD与BC相交于点O,那么在下列比例式中,正确的是()3、如图,点D为△ABC中AB边上的一点,且∠ABC=∠ACD,AD=3cm,AB=4cm,则AC的长为()A. 2 cmB. cmC. 12 cmD. 2cm4、如图,测量小玻璃管口径的量具ABC上,AB 的长为10mm,AC被分为60等份。
如果小管口DE正好对着量具上30份处(DE∥AB),那么小管口径DE的长是mm.5、已知:如图,D是△ABC的边AB上一点,若∠1=______,△ADC∽△ACB,若∠2=______时,△ADC∽△ACB.若△ADC∽△ACB,则6、如图,AB=9,AC=6,点M在AB上,且AM=3,点N在AC上运动,连接MN,若△AMN 与△ABC相似.则AN=______.7、如图,Rt△ABC中∠A=90°,四边形DEFG为内接正方形求证:=BE•FC.8、如图,△ABC是等边三角形,点D、E分别在BC、AC上,且BD=CE,AD与BE相交于点F.(1)试说明△ABD≌△BCE;(2)△EAF与△EBA相似吗?说说你的理由.(3)吗?请说明理由. (4)若BC=9,BD=3,求探索相似三角形的条件(二)判定方法两个三角形相似的条件两个三角形全等的条件1 两边对应成比例,夹角相等两边对应相等,交角相等2 两个角对应相等两个角和一边对应相等3 三边对应成比例三边对应相等例1.下面每组的两个三角形是否相似?为什么?(1)△ABC∽△DEF证明:∵∴△ABC∽△DEF(2)△ABC∽△AEF证明:在△ABC中,AB=2,AC=6∵∴∵∠A=∠A∴△ABC∽△AEF例2.如图,已知:在△ABC中,∠C=90°,D、E分别为AB、AC边上的两点,AD•AB=AE•AC.求证:DE⊥AB.变式练习:正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2.(每一个小正方形的边长为1)求证:△A1B1C1∽△A2B2C2;例3:如图,点M在B C上,点N在A M上,C M=C N,求证:(1)∠A N C=∠A M B(2)△A N C∽△A M B(3)∠B A M=∠C A M变式练习:锐角△A B C中,B E⊥A C于,C F⊥A B于,B E,C F相交于点O,连结E F求证:(1)(2)△ABC∽△A E F(3)△O E F∽△O C B.(4)若∠A=60°,求一、课堂练习1、△ABC和△A′B′C′符合下列条件,这两个三角形不相似的是()A.∠A=∠A′=45°∠B=26°∠B′=109°B.AB=1, AC=1.5, BC=2, A′B′=4 A′C′=2 ,B′C′=3C.∠A=∠A′AB=2 AC=2.4 ,A′B′=3.6 A′C′=3D.ABC=3 AC=5 BC=7 ,A'B'=A'C'=A'B'=2如图,要使△ABC∽△ACD,应具备的条件是()3,如图,每个小正方形边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与左图中△ABC相似的是()4、如图,D、E分别是AB、AC上两点,CD和BE相交于点O,下列条件中不能使△ABE和△ACD相似的是()A.∠B=∠C B.AD:AC=AE:ABC.∠ADC=∠AEB D.BE=CD,AB=AC5、如图,点D是△ABC的边AB上的一点,过点D作一条直线截△ABC的边AC(或BA),若截得的三角形与△ABC相似,则这样的直线一共有()条。
九年级数学上册4.4探索三角形相似的条件第4课时线段的黄金分割习题课件新版北师大版精品
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知识点2:黄金分割的应用 5.根据生物学知识得到当气温与人体正常体温(37 ℃)的比值为黄金数
时人体最舒适,那么这个气温约是________ ℃.(精确到整数) 23
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6.要设计一座2 m高的维纳斯女神雕像(如图),使雕像的上部AC(肚脐 以上)与下部BC(肚脐以下)的高度比,等于下部与全部的高度比,即点 C(肚脐)就叫做线段AB的黄金分割点,试求出雕像下部设计的高 度.(结果精确到0.001)
的正方形的面积,S2表示以AB为长,PB为宽的矩形的面积,则S1,S2 的大小关系为( B )
A.S1>S2 B.S1=S2 C.S1<S2 D.不能确定
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4.如图,△ ABC 中,AB=AC,∠B=2∠DCB=72° ,△ ABC 与△ BDC BC 是黄金三角形 , 即 D 是线段 AB 的黄金分割点 (AD>DB) , 则 AB = 5-1 ________ 2 .
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10.(1)操作:如图所示.
(2)探究:四边形 EBCF 是黄金矩形.理由:∵四边形 AEFD 是正方形, ∴∠AEF=90° .∴∠BEF=90° .∵四边形 ABCD 是矩形,∴∠B=∠C= 90° .∴∠BEF=∠B=∠C=90° .∴四边形 EBCF 是矩形.设 CD=a,AD 2( 5+1) b 5-1 CF a-b a 2 =b,则a= 2 ,∴EF = b =b-1= -1= -1= 4 5-1 5-1 2 .∴矩形 EBCF 是黄金矩形.
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6.设维纳斯女神雕像下部设计的高度为 x m,那么雕像上部的高度为(2 2-x x -x)m.依题意,得 x =2,解得 x1=-1+ 5≈1.236,x2=-1- 5(不 合题意,舍去). 经检验,x=-1+ 5是原方程的根.答:维纳斯女神 雕像下部设计的高度约为 1.236 m.
探索三角形相似的条件(1)
探索三角形相似的条(2)
A
我们上一节课学过 什么定理?
B
A' C
判定定理1 判定定理1: 如果一个三角 形的两个角 两个角与另一 形的两个角与另一 个三角形的两个角 个三角形的两个角 对应相等,那么这 对应相等, 两个三角形相似 相似。 两个三角形相似。 可以简单说成: 两 对应相等 相等, 角对应相等,两三 相似。 角形相似 角形相似。
C/ C A A/ B B/
知识源于
悟
随堂练习
1、课本138页 随堂练习 第1题 2、一个三角形三边长分别为4 2、一个三角形三边长分别为 ㎝,6㎝, 7㎝,另一个三角形三边长分别为2㎝,3 ㎝,3.5㎝,这两个三角形相似吗? C' C
AB BC CA = = A' B' B' C' C' A'
1 2
B'
C'
C'
C
2 cm 1.8 cm 1.5 cm
4 cm 3.6 cm
A' B'
A
B
3 cm
AB BC CA = = A 'B' B'C' C'A '
1 2
是否有 △ A'B'C' ∽△ABC?
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C'
C
2 cm 1.8 cm 1.5 cm
4 cm 3.6 cm
A' B'
A
B
动 动 手 啊
3 cm
AB BC CA = = A 'B' B'C' C'A '
△ ABC ∽△ A'B'C'
4.4 探索三角形相似的条件 九年级数学北师大版上册课时优化训练(含答案)
4.4探索三角形相似的条件——九年级数学北师大版(2012)上册课时优化训练1.在和中,,,,,那么的度数是( )A. B. C. D.2.如图,中,,,.将沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )A. B.C. D.3.如图所示,给出下列条件:①;②;③;④.其中能够判定的个数为( )A.1B.2C.3D.44.如图,点E是菱形的边上一点,连接并延长,交的延长线于点F.已知,,则的长为( )A.6B.12C.9D.4.55.如图,点D为边AB上任一点,交AC于点E,连接BE,CD相交于点F,则下列等式中不成立的是( )A. B. C. D.6.如图,在菱形中,延长至点F,使得,连接交于点E.若,则菱形的周长为( )A.12B.16C.20D.247.在矩形ABCD中,,,P是AD上的动点,于E,于F,则的值为( )A. B.2 C. D.18.如图所示,在中,D为中点.E为上一点,,和相交于点F,则( )A. B.2 C.3 D.49.在中,分别交AB,AC于点M,N;若,,,则MN的长为______.10.如图,在中,点E在上,交于点F.若,则的值为______.11.如图,正方形的对角线,相交于点O,点E是的中点,点F是上一点.连接.若,则的值为______.12.如图,在三角形纸板ABC中,,,,P是AC上一点,过点P沿直线剪下一个与相似的小三角形纸板,如果有4种不同的剪法,那么AP长的取值范围是___________.13.如图,四边形ABCD为菱形,点E在AC的延长线上,.(1)求证:;(2)当,时,求AE的长.14.一块材料的形状是锐角三角形,下面分别对这块材料进行课题探究:课本再现:(1)在图1中,若边,高,把它加工成正方形零件,使正方形的一边在上,其余两个顶点分别在,上,这个正方形零件的边长是多少?类比探究(2)如图2,若这块锐角三角形材料可以加工成3个相同大小的正方形零件,请你探究高与边的数量关系,并说明理由.拓展延伸(3)①如图3,若这块锐角三角形材料可以加工成图中所示的4个相同大小的正方形零件,则的值为_______(直接写出结果);②如图4,若这块锐角三角形材料可以加工成图中所示的相同大小的正方形零件,求的值.答案以及解析1.答案:B解析:,,,.,,与是对应角,.故选B.2.答案:C解析:A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,不符合题意B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,不符合题意,C、两三角形的对应边不成比例,故两三角形不相似,符合题意,D、两三角形对应边成比例且夹角相等,故两三角形相似,不符合题意,故选:C.3.答案:C解析:有三个.①,再加上为公共角,可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定;②,再加上为公共角,可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定;③中不是已知的比例线段的夹角,不正确④可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定;故选:C.4.答案:C解析:∵,∴,∵是菱形,∴,,,∴,,∴,∴∴.故选:C.5.答案:C解析:,,故A正确;,,,故B正确;,,,故C错误;,.,,,故D正确,故选C.6.答案:D解析:∵四边形是菱形,∴,,∴,∴,即,∵,,∴则,,即.∴菱形的周长为24.故选:D.7.答案:A解析:设,.,;,故①;同理可得,故②.得,.故选:A.8.答案:C解析:过点D作,交于M,则,,D为中点,,,,,,,,,,,,,,故选:C.9.答案:1解析:∵,∴,∴,即,∴.故答案为1.10.答案:解析:在中,,,,,,,,,,故答案为:.11.答案:解析:正方形的对角线,相交于点O,,,点E是的中点,,,,,,即,故答案为:.12.答案:解析:如图(1)所示,过P作交BC于D或交AB于E,则或,此时.如图(2)所示,过P作交AB于F,则,此时.如图(3)所示,过P作交BC于G,则,此时.综上所述,要有4种不同的剪法,则AP长的取值范围是.13.答案:(1)见解析(2)9解析:(1)证明:四边形ABCD为菱形,.,.又,.(2),,,.14.答案:(1)(2),理由见解析(3)①②解析:(1)设正方形零件的边长为,则,,∵,∴.∴,∴,解得.∴正方形零件的边长为.(2).理由如下:如图.设每个正方形的边长为.∵,∴.∴,∴.∴.∴,∵,∴,∴,∴.∴.(3)①如图,,设每个正方形的边长为.∵,∴.∴,∴.∴.∴,∵,∴,∴,∴.∴;②如图,设每个正方形的边长为.∵,∴.∴,∴,∴,∵,∴.∴,.。
4.6 探索三角形相似的条件(含答案)-
4.6 探索三角形相似的条件一、选择题:1.下列命题错误的是( )A.两角对应相等的两个三角形相似;B.两边对应成比例的两个三角形相似C.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;D.三边对应成比例的两个三角形相似 2.下面关于直角三角形的相似叙述错误的是( )A.有一锐角对应相等的两个直角三角形相似;B.两直角边对应成比例的两个直角三角形相似C.直角边与斜边对应成比例的两个直角三角形相似;D.两个等腰直角三角形相似 3.使△ABC 和△ABC 不相似的条件是( ) A.∠A=∠A ′=65°,∠B=45°,∠C ′=70°B.AB=1,BC=1.2,AC=1.5,A ′B ′=6,B ′C ′=4,A ′C ′=4.8C.∠A=∠A ′,AB=4,BC=2,A ′B ′=6,B ′C ′=3D.AB=3,BC=4,AC=5,A ′B ′=6,B ′C ′=8,A ′C ′=10 4.有一个角等于40°的两个等腰三角形( )A.全等B.相似C.既不相似也不全等D.无法确定 5.如图1,∠AED=∠B,一定可得 ( )A.AD:AC=AE:ABB.DE:BC=AD:DBC.DE:BC=AE:ACD.AD:AB=AE:ACEDCACAPEDCADCBA(1) (2) (3) (4) 6.如图2,P 是AB 上一点,补充下列条件①∠ACP=∠B; ②∠APC=∠ACB;③AP ACAC AB=;④AP PCAC BC=,其中一定能使△ACP ∽△ABC 的是( ) A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④ 二、填空题:1.如图3,在Rt △ABC 中,AC ⊥BC,DE ⊥AB,则________∽________.2.P 是Rt △ABC 斜边BC 上异于B 、C 的一点,过点P 作直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC 相似,满足这样条件的直线共有________条.3.如图4,在△ABC 中,点D 在AB 上,请再添一个适当的条件,使△ADC ∽△ACB,•那么要添加的条件是_________.4.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠A=36°,BD 是∠ABC 的平分线,则_______•和______________相似.5.一个直角三角形的两条直角边长分别为8cm 和12cm,另一个直角三角形的两条直角边长分别是6cm 和9cm,这两个直角三角形______相似三角形(填是或不是),理由是_____________.6.一个三角形的三边长分别为8、9、12,另一个三角形的三边长分别为12、272、18,•那么这两个三角形的关系是________,理由是_______. 三、计算题1.如图,根据图形中提供的数据,你能得到三角形相似吗?为什么?31.521EDCB A2.如图,∠A=52°,AB=2.5,AC=5.5,△DEF 中,∠E=52°,DE=7,EF=3,•△ABC•与△EDF 是否相似?为什么?52︒5.52.5C B A52︒37D EF3.如图,在□ABCD 中,E 为BA 延长线上一点,EC 交AD 于F,找出图中相似的三角形,并进行证明.DFE CBA四、将两块完全相同的等腰直角三角板摆放成如图的样子,试问△ABE ∽△DAE 成立吗?DBAD FECBA G五、已知:如图,D 、E 分别是△ABC 两边AB 、AC 上的点,∠A=60°,∠C=70•°,•∠AED=50°. 试问:AD ·AB=AE ·AC 成立吗?DEA六、如图,△ABC 中,D 为BC 上一点,且∠CAD=∠B,AD=8,AB=10,AC=9,求:DC 的长.•D CB A七、如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,CD ⊥AB.(1)找出图中相似的三角形;(2)设计一种分法,把Rt △ABC 分割成四个小直角三角形,使每个小直角三角形与Rt △ABC 相似.DCBA答案:一、1.B 2.C 3.C 4.D 5.A 6.A二、1.△BDE;△BAC 2.33.∠ADC=∠ACB或其他的4.△ABC;△BDC5.是;两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似6.相似,对应边成比例的两个三角形相似三、1.能:因为11123ADAB==+,1.511.533AEAC==+所以AD AE AB AC=,又因为∠A=∠A所以△ADE∽△ABC2.不相似,因为对应边不成比例3.△EAF∽△EBC;△EAF∽△CDF;△EBC∽△CDF因为 ABCD中,AD∥BC,AB∥CD,所以∠EAF=∠B,∠EFA=∠ECB;∠EAF=∠D,∠E=∠FCD;∠B=∠D, 所以△EAF∽△EBC,•△EAF∽△CDF,△EBC∽△CDF四、成立,△ABC和△AFG都是等腰直角三角形∠B=∠DAE=45°∠ADE=∠B+∠BAD⇒∠ADE=∠DAE+∠BAD=∠BAE⇒△ABE∽△DAE五、成立, ∠A=60°,∠C=70°∴∠B=50°,∠AED=50°,∴∠B=∠AED,∠A=∠A⇒△ADE∽△ACB⇒AD AEAC AB=⇒AD·AB=AE·AC六、∠CAD=∠B,∠C=∠C⇒△ACD∽△BCA⇒CD ADAC AB= ,即8910CD=∴CD=7.2七、(1)△ADC∽△ACB;△ADC∽△CDB;△CDB∽△ACB(2)过点D作DE⊥AC,DF⊥CB即可.。
6.探索三角形相似的条件
作业:习题4.7 1,2,3 (P134 ).
改变∠α(如600)和 ∠β (如750)的大小,再试一试. 通过上面的活动,你猜出了什么结论?
结论:
两角对应相等的两个三角形相似。 用几何语言表示为: 在△ABC 和△DEF中, ∵∠A=∠ D,∠B=∠E ∴△ABC ∽△DEF
A
B
C
D
E
F
练习:
尝试独立完成:判断下列每组图形中的两个三角形是否相似? 你是怎么想的?
1.什么叫相似三角形? 2. 相似三角形有什么性质?
三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形相似叫 相似三角形。
如果两个三角形相似,那么它们的 对应角就相等,对应边就成比例。
△ABC∽△A′B′C′′
6பைடு நூலகம்探索三角形相似的条件
例题:如图D,E分别是△ABC边AB,AC上的两点,且DE∥BC. (1)图中有哪些相等的角? (2)找出图中的相似三角形,并说明理由; (3)写出三组成比例的线段 解: (1) ∵DE∥BC ∴ ∠ADE=∠ABC;∠AED=∠ACB (2) ∵ ∠ADE=∠ABC;∠AED=∠ACB ∴ ∆ADE∽∆ABC (3) ∵ ∆ADE∽∆ABC
学以致用
如图:AB是斜靠在墙上的长梯,梯脚B距墙脚2m,梯上点D距墙1.6m,BD长0.5m,求该梯子AB的长。
6.4探索相似三角形的条件练习(2)
1.如图所示,不能判定△ABC ∽△DAC 的条件是 ( )A .∠B =∠DAC B .∠BAC =∠ADC C .∠B=∠C=450D .∠BAC=900且AD ⊥BC2.如图4,已知点E 在AC 上,若点D 在AB 上,不能使△ADE 与原△ABC 相似的条件是 ( ) A 、DE ∥BC B 、∠ADE=∠C C 、∠AED=∠B D 、∠ADE=∠AED3.如图所示,△ABC 的高AD ,BE 交于点F ,则图中的相似三角形共有__________对.4.如图3,点D 在AB 上,当∠ =∠ 时, △ACD ∽△ABC 。
5.已知:如图,∠1=∠2=∠3,求证:△ABC ∽△ADE6.如图所示,AB 是⊙O 的直径,BC 是⊙O 的切线,切点为点B ,点D 是⊙O 上的一点,且 AD ∥OC .求证:AD ·BC =OB ·BD7.已知:如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,∠B =90°,以AD 为直径的半圆与BC 相切于E 点.求证:AB ·CD =BE ·EC .第1题 第3题A B D C 图 3AC 图 41.如图,D、E、F、G四点在△ABC的三边上,其中DG与EF相交于点H.若∠ABC=∠EFC =70°,∠ACB=60°,∠DGB=40°,则下列三角形相似的是 ( )A.△BDG,△CEF B.△ABC,△CEFC.△ABC,△BDG D.△FGH,△ABC2.如图,AB∥CD∥EF,则图中相似的三角形对数为 ( )A.1 B. 2 C.3 D.43.下列说法:①有一个角为50°的两个等腰三角形相似;②有一个角为100°的两个等腰三角形相似;③有一个锐角相等的两个直角三角形相似;④两个等边三角形相似.其中正确的有 ( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4.如图,在△ABC中,点D在边AB上,满足∠ACD=∠ABC,则△_______∽△_______,若AC=2,AD=1,则DB=_______.ABCD中,E为BC边上一点,连接AE、DE,F为线段DE上一点,且5.如图,在∠AFE=∠B.试说明△ADF∽△DEC.6.如图,D是△ABC中BC边上的一点,E为AD边上的一点,若∠DAC=∠B,CD=CE.试说明△ACE∽△BAD.。
4.4探索三角形相似的条件(第4课时)黄金分割同步练习含答案
第4课时黄金分割关键问答①点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC),当这三条线段之间存在什么关系时,可以称线段AB被点C黄金分割?②黄金比的值是多少?1.①已知点C是线段AB的黄金分割点,且AC>BC,则下列等式中成立的是()A.AC2=BC·AB B.AC2=2AB·BCC.AB2=AC·BC D.BC2=AC·AB2.·六盘水矩形的长与宽分别为a,b,下列数据能构成黄金矩形的是()A.a=4,b=5+2 B.a=4,b=5-2C.a=2,b=5+1 D.a=2,b=5-13.②在中华经典美文阅读中,小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比.已知这本书的长为20 cm,则它的宽约为()A.32.36 cm B.13.6 cm C.12.36 cm D.7.64 cm命题点1利用黄金分割的结论进行计算[热度:83%]4.③如图4-4-34,已知点P是线段AB的黄金分割点,且P A>PB,若S1表示以P A 为边的正方形的面积,S2表示长为AB,宽为PB的矩形的面积,则()图4-4-34A.S1>S2B.S1=S2C.S1<S2D.无法确定S1和S2的大小方法点拨③根据黄金分割的概念将线段比转化为面积比.5.④如图4-4-35,在▱ABCD中,点E是BC边上的黄金分割点,且BE>CE,AE与BD相交于点F,那么BF∶DF的值为________.图4-4-35解题突破④求BF∶DF可以转化为求BE∶DA吗?如果可以,根据黄金分割点的定义先求出BE∶BC的值.6.把一根长为4 m的铁丝弯成一个矩形框,使它的宽与长的比为黄金比5-12,则这个矩形的面积为__________m2.图4-4-367.⑤·台州模拟如图4-4-36,连接正五边形ABCDE的各条对角线围成一个新的五边形MNPQR.图中有很多顶角为36°的等腰三角形,我们把这种三角形称为“黄金三角形”,黄金三角形的底与腰之比为5-12.若AB=5-12,则MN=________.方法点拨⑤黄金三角形是比较特殊的三角形,解决与黄金三角形有关的计算问题,往往需要借助黄金比及相似三角形的对应边成比例来完成.命题点2黄金分割在实际生活中的应用[热度:80%]8.·乳山期中某种乐器的弦AB长为120 cm,点A,B固定在乐器面板上,弦AB上有一个支撑点C,且C是AB的黄金分割点(AC>BC),则AC的长为()A.(120-305)cm B.(160-605)cmC.(605-120)cm D.(605-60)cm9.⑥大自然是美的设计师,即使是一片小小的树叶,也蕴含着“黄金分割”,如图4-4-37,P为AB的黄金分割点(AP>PB),如果AB的长度为10 cm,那么PB的长度为________.图4-4-37解题突破⑥先利用黄金分割的定义计算出AP的长,然后通过AB-AP即可得到PB的长.10.⑦人体下半身的长度与身高的比例越接近0.618,越给人美感.遗憾的是,即使芭蕾舞演员也达不到如此的完美.某女士身高 1.68 m,下半身长 1.02 m,她应该选择穿________(精确到0.1 cm)的高跟鞋看起来更美.易错警示⑦注意身高包括高跟鞋的高度.命题点3有关黄金分割的证明[热度:75%]11.⑧如图4-4-38,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,CE平分∠ACB交AB于点E.(1)求证:E为线段AB的黄金分割点;(2)若AB=4,求BC的长.图4-4-38知识链接⑧顶角为36°的等腰三角形被称为黄金三角形,底角的平分线与腰的交点就是腰的黄金分割点,并且被底角的平分线分成的两个三角形都是等腰三角形,其中的锐角三角形与原等腰三角形相似.12.⑨宽与长的比是5-12的矩形叫做黄金矩形.现将折叠黄金矩形的方法归纳如下(如图4-4-39所示):第一步:作一个正方形ABCD;第二步:分别取AD,BC的中点M,N,连接MN;第三步:以点N为圆心,ND长为半径画弧,交BC的延长线于点E;第四步:过点E作EF⊥AD,交AD的延长线于点F.请你根据以上作法,证明矩形DCEF为黄金矩形.'图4-4-39解题突破⑨对于没有出现具体数据的计算题或证明题,我们可以考虑设参数,如假设正方形的边长是2a,接下来你知道该怎么做了吗?13.⑩三角形中,顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形.如图4-4-37①,在△ABC 中,已知AB =AC ,∠A =36°.(1)在图①中,用尺规作AB 的垂直平分线交AC 于点D ,并连接BD (保留作图痕迹,不写作法).(2)△BCD 是不是黄金三角形?如果是,请给出证明;如果不是,请说明理由. (3)设BCAC=k ,试求k 的值.图4-4-40解题突破○10(1)可根据基本作图中线段垂直平分线的作法进行作图; (2)根据角度判断;(3)根据相似三角形的性质求解.14.⑪如图4-4-41①,点C 将线段AB 分成两部分,如果AC AB =BCAC ,那么称点C 为线段AB 的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时,由黄金分割点联想到“黄金分割线”,类似地给出“黄金分割线”的定义:直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分,这两部分的面积分别为S 1,S 2,如果S 1S =S 2S 1,那么称直线l 为该图形的黄金分割线.(1)研究小组猜想:在△ABC中,若点D为AB边上的黄金分割点(如图②),则直线CD 是△ABC的黄金分割线.你认为对吗?为什么?(2)三角形的中线是该三角形的黄金分割线吗?(3)研究小组在进一步探究中发现:过点C任作一条直线交AB于点E,再过点D作直线DF∥CE,交AC于点F,连接EF(如图③),则直线EF也是△ABC的黄金分割线,请你说明理由;(4)如图④,点E是▱ABCD的边AB的黄金分割点,过点E作EF∥AD,交DC于点F,显然直线EF是▱ABCD的黄金分割线.请你画一条▱ABCD的黄金分割线,使它不经过▱ABCD 各边的黄金分割点.图4-4-41解题突破⑪对于新定义问题,关键是理解新定义的概念,解决此题的关键是把黄金分割线与黄金分割点联系起来,把面积与边长联系起来.详解详析【关键问答】①当AC 2=BC·AB 时,线段AB 被点C 黄金分割. ②5-12≈0.618. 1.A [解析] 根据线段黄金分割的定义,得AC 2=BC·AB. 2.D [解析] ∵宽与长的比是5-12的矩形叫做黄金矩形,∴ba =5-12,∴当a =2,b =5-1时满足题意.故选D .3.C [解析] 方法1:设这本书的宽为x cm ,则有2020+x =x20,解得x ≈12.36(负值已舍去).方法2:书的宽约为20×0.618=12.36(cm ).4.B [解析] 根据黄金分割的概念,得AP AB =PB AP ,则S 1S 2=AP 2AB ·PB =1,即S 1=S 2.故选B.5.5-12[解析] ∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴BC ∥AD ,BC =AD , ∴△BEF ∽△DAF , ∴BE ∶DA =BF ∶DF . ∵BC =AD , ∴BE ∶BC =BF ∶DF .∵点E 是BC 边上的黄金分割点, ∴BE ∶BC =5-12, ∴BF ∶DF =5-12. 6.(4 5-8) [解析] 设这个矩形的长为x m ,宽为y m ,则x +y =2. 由题意,得y x =xx +y =5-12,解得x =5-1,y =3-5,所以这个矩形的面积为(5-1)×(3-5)=(4 5-8)m 2. 7.5-2 [解析] 设MN =x .由题意可知DE =AB =5-12. ∵∠EDM =∠ECD =36°,∠END =∠EDN =72°,∴DE =EN ,同理CD =CM , ∴EM =5-12-x , EC =EN +CM -MN =5-1-x .∵∠DEM =∠DEC ,∴△DEM ∽△CED , ∴DE 2=EM ·EC , ∴(5-12)2=(5-12-x )(5-1-x ), 整理,得x 2-32×(5-1)x +(5-1)24=0, ∴⎣⎡⎦⎤x -34×(5-1)2=516×(5-1)2, ∴x =5-2或x =12(5+1)(不合题意,舍去),∴MN =5-2.8.D [解析] 根据黄金分割点的概念,得AC =5-12AB =(605-60)cm.故选D. 9.(15-5 5)cm [解析] ∵P 为AB 的黄金分割点(AP >PB ), ∴AP =5-12AB =5-12×10=(5 5-5)cm , ∴PB =AB -AP =10-(5 5-5)=(15-5 5)cm. 10.4.8 cm [解析] 设她应选择高跟鞋的高度是x cm ,则 102+x168+x =0.618, 解得x ≈4.8.经检验,x ≈4.8是原分式方程的解且符合题意, 即她应该选择穿4.8 cm 的高跟鞋看起来更美.11.[解析] (1)根据等腰三角形两底角相等求出∠ACB =72°,再根据角平分线的定义求出∠BCE =36°,从而得到∠BCE =∠A ,然后判定△ABC 和△CBE 相似,根据相似三角形对应边成比例列出比例式整理,并根据黄金分割点的定义即可得证;(2)根据等角对等边的性质可得AE =BC ,再根据黄金比求解即可. 解:(1)证明:∵AB =AC ,∠A =36°, ∴∠ACB =∠B =12×(180°-36°)=72°.∵CE 平分∠ACB ,∴∠BCE =∠ACE =12∠ACB =12×72°=36°,∴∠BCE =∠A =∠ACE =36°,∴AE =CE , ∴∠BEC =180°-∠BCE -∠B =72°, ∴∠BEC =∠B , ∴BC =CE =AE . 又∵∠B =∠B , ∴△ABC ∽△CBE , ∴AB BC =BCBE, ∴BC 2=AB ·BE , 即AE 2=AB ·BE ,∴E 为线段AB 的黄金分割点.(2)∵E 为AB 的黄金分割点,∴AEAB =5-12.又BC =AE , ∴BC =5-12·AB =5-12×4=2 5-2. 12.证明:在正方形ABCD 中,设AB =2a . ∵N 为BC 的中点,∴NC =12BC =a .在Rt △DNC 中,ND =NC 2+CD 2=a 2+(2a )2=5a .又∵NE =ND ,∴CE =NE -NC =(5-1)a , ∴CE CD =()5-1a2a =5-12, ∴矩形DCEF 为黄金矩形. 13.解:(1)如图所示.(2)△BCD 是黄金三角形.证明如下:∵点D 在AB 的垂直平分线上, ∴AD =BD ,∴∠ABD =∠A =36°.∵∠A =36°,AB =AC ,∴∠ABC =∠C =72°, ∴∠ABD =∠DBC =36°.又∵∠BDC =∠A +∠ABD =72°, ∴∠BDC =∠C ,∴BD =BC , ∴△BCD 是黄金三角形.(3)设BC =x ,AC =y ,由(2)知,AD =BD =BC =x . ∵∠DBC =∠A ,∠C =∠C , ∴△BDC ∽△ABC , ∴BC AC =DC BC ,即x y =y -x x, 整理,得x 2+xy -y 2=0,解得x =-1±52y .∵x ,y 均为正数,∴k =xy =5-12.14.解:(1)对.理由如下: 设△ABC 的边AB 上的高为h .11 / 11 则S △ADC =12AD ·h ,S △BDC =12BD ·h ,S △ABC =12AB ·h , ∴S △ADC S △ABC =AD AB ,S △BDC S △ADC =BD AD. 又∵点D 为边AB 的黄金分割点,∴AD AB =BD AD, ∴S △ADC S △ABC =S △BDC S △ADC , ∴直线CD 是△ABC 的黄金分割线.(2)∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分,∴S 1=S 2=12S ,即S 1S ≠S 2S 1, 故三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线.(3)∵DF ∥CE ,∴△DFC 和△DFE 的公共边DF 上的高也相等,∴S △DFC =S △DFE ,∴S △ADC =S △ADF +S △DFC =S △ADF +S △DFE =S △AEF ,S △BDC =S 四边形BEFC .又∵S △ADC S △ABC =S △BDC S △ADC, ∴S △AEF S △ABC =S 四边形BEFC S △AEF, 因此,直线EF 也是△ABC 的黄金分割线.(4)画法不唯一,现提供两种画法;画法一:如图①,取EF 的中点G ,过点G 作一条直线分别交AB ,DC 于M ,N 两点,则直线MN 就是▱ABCD 的黄金分割线;画法二:如图②,在DF 上取一点N ,连接EN ,再过点F 作FM ∥EN 交AB 于点M ,连接MN ,则直线MN 就是▱ABCD 的黄金分割线.。
2020年4.4 探索三角形相似的条件 课时练习(含答案解析)
北师大版九年级数学上册3.4探索三角形相似的条件同步练习一、选择题1.已知△ABC∽△A′B′C′且12 ABA B''=,则''ABC A B CS S'△△:为()A.1:2B.2:1C.1:4D.4:1答案:C解析:解答:∵△ABC∽△A′B′C′,12ABA B''=,∴214ABCA B CS ABS A B''=='''△△(),故选C.分析:根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出即可.2.如图,A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点,如果△RPQ∽△ABC,那么点R应是甲、乙、丙、丁四点中的()A.甲B.乙C.丙D.丁答案:B解析:解答:∵△RPQ∽△ABC,∴RPQ PQABC BC△的高=△的高,即633RPQ△的高=,∴△RPQ的高为6.故点R 应是甲、乙、丙、丁四点中的乙处.故选B .分析:根据相似三角形的对应高的比等于相似比,代入数值即可求得结果.3.若△ABC ∽△DEF ,且AB :DE =1:3,则ABC DEF S S △△:=( )A .1:3B .1:9C .1:3D .1:1.5答案:B解析:解答:∵△ABC ∽△DEF ,且AB :DE =1:3,∴19ABC DEF S S △△::. 故选B .分析:由△ABC ∽△DEF ,且AB :DE =1:3,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方,即可求得答案.4.两个相似三角形对应中线的比2:3,周长的和是20,则两个三角形的周长分别为( ) A .8和12B .9和11C .7和13D .6和14答案:A解析:解答:∵两个相似三角形对应中线的比2:3,∴两个相似三角形的周长的比为2:3,设这两个三角形的周长分别为2x ,3x ,则2x +3x =20,解得x =4,∴2x =8,3x =12,即两个三角形的周长分别8和12.故选A .分析:根据相似三角形的对应线段(对应中线、对应角平分线、对应边上的高)的比等于相似比得到两个相似三角形的周长的比为2:3,设这两个三角形的周长分别为2x ,3x ,则2x +3x =20,然后解方程求出x 后计算2x 和3x 即可.5.已知,△ABC ∽△DEF ,△ABC 与△DEF 的面积之比为1:2,当BC =1,对应边EF 的长是( )A .2B .2C .3D .4答案:A解析:解答:∵△ABC ∽△DEF ,△ABC 与△DEF 的面积之比为1:2,∴212BC EF =(:):,解得BC EF =:,∵BC =1,∴EF =故选A .分析:根据相似三角形面积的比等于相似比的平方列出比例式,代入数值计算即可得解. 6.已知△ABC ∽△A′B′C′,且相似比为3,则下列结论正确的是( )A .AB 是A′B′的3倍B .A′B ′是AB 的3倍C .∠A 是∠A ′的3倍D .∠A ′是∠A 的3倍答案:A解析:解答:∵△ABC ∽△A′B′C ′,且相似比为3, ∴3AB A B ='',∠A=∠A ′,故C 与D 都错误; ∴AB =3A′B ′,故A 正确,B 错误.故选A .分析:根据相似三角形对应边的比等于相似比以及对应角相等即可求解.7.如果两个相似三角形的面积比是1:6,则它们的相似比( )A .1:36B .1:6C .1:3D .1:6答案:D解析:解答:∵两个相似三角形的面积比是1:6,∴它们的相似比1故选D .分析:根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答.8.如图,△ABC 中,点D 在线段BC 上,且△ABC ∽△DBA ,则下列结论一定正确的是( )A.2AB BC BD=B.2AB AC BD=C.AB AD BC BD=D.AB AC AD BC=答案:AD解析:解答:∵△ABC∽△DBA,∴AB BC AC DB AB DA==;∴2AB BC BD=,AB AC AD BC=;故选AD.分析:根据相似三角形的对应边成比例进行判断,要注意相似三角形的对应边和对应角.9.△ABC中,AB=12,BC=18,CA=24,另一个和它相似的三角形最长的一边是36,则最短的一边是()A.27B.12C.18D.20答案:C解析:解答:设另一个三角形最短的一边是x,∵△ABC中,AB=12,BC=18,CA=24,另一个和它相似的三角形最长的一边是36,∴36 1224x=,解得x=18.故选C.分析:设另一个三角形最短的一边是x,根据相似三角形对应边成比例即可得出结论.10.已知△ABC的三边长分别为4,3,6,与它相似的△DEF的最小边长为12,则△DEF的周长为()A.39B.26C.52D.13答案:C解析:解答:∵△ABC的三边长分别为4,3,6,∴△ABC的周长为:4+3+6=13,∵与它相似的△DEF的最小边长为12,∴△DEF的周长:△ABC的周长=12:3=4:1,∴△DEF的周长为:4×13=52.故选C.分析:由△ABC的三边长分别为4,3,6,与它相似的△DEF的最小边长为12,即可求得△AC的周长以及相似比,又由相似三角形的周长的比等于相似比,即可求得答案.11.一个三角形三边之比为3:5:7,与它相似的三角形的最长边为21cm,则其余两边之和为()A.24cmB.21cmC.13cmD.9cm答案:A解析:解答:设其余两边的长分别是x cm,y cm,由题意得x:y:21=3:5:7,解得x=9,y=15,故其余两边长的和为9+15=24(cm).故选A.分析:根据相似三角形对应边的比相等解答即可.12.若△ABC∽△A′B′C′,相似比为1:2,则△ABC与△A′B′C′的面积的比为()A.1:2B.2:1C.1:4D.4:1答案:C解析:解答:∵△ABC∽△A′B′C′,相似比为1:2,∴△ABC与△A′B′C′的面积的比为1:4.故选:C.分析:根据相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可得解.13.如图,△ABC∽△DEF,相似比为1:2.若BC=1,则EF的长是()A.1B.2C.3D.4答案:B解析:解答:∵△A B C∽△DEF,相似比为1:2,∴12 BCEF,∴EF=2BC=2.故选:B.分析:根据相似三角形对应边的比等于相似比即可求解.14.相似三角形的最短边分别是5cm和3cm,它们的面积之差为232cm,那么小三角形的面积为()A.210cmB.214cmC.216cmD.218cm答案:D解析:解答:根据题意两个三角形的相似比是5:3,面积比就是25:9,大小面积相差16份,所以每份的面积是32÷16=2(2cm),所以小三角形的面积为2×9=18(2cm).故选D.分析:根据相似三角形面积的比等于相似比的平方,可求小三角形的面积为218cm.15.已知△ABC与△DEF相似且面积比为4:1,则△ABC与△DEF的对应边上的高之比为()A.4:1B.1:4C.16:1D.2:1答案:D解析:解答:∵△ABC与△DEF相似且面积比为4:1,∴△ABC与△DEF的相似比为2:1,∴△ABC与△DEF的对应边上的高之比2:1.故选D.分析:由△ABC与△DEF相似且面积比为4:1,根据相似三角形对应的面积比等于相似比的平方,即可求得△ABC与△DEF的相似比,又由相似三角形对应边上的高的比等于相似比即可求得答案.二、填空题16.已知△AB C∽△DEF,若△ABC与△DEF的相似比为2:3,则△ABC与△DEF对应边上中线的比为______.答案:2:3解析:解答:∵△ABC∽△DEF,△ABC与△DEF的相似比为2:3,∴△ABC与△DEF对应边上中线的比是2:3,故答案为:2:3.分析:相似三角形对应边上中线的比等于相似比,根据以上性质得出即可.17.已知△ABC∽△DEF,△A B C与△D E F的相似比为4:1,则△ABC与△DEF对应边上的高之比为______.答案:4:1解析:解答:∵△ABC∽△DEF,△ABC与△DEF的相似比为4:1,∴△ABC与△DEF对应边上的高之比是4:1,故答案为:4:1.分析:根据相似三角形的对应边上的高之比等于相似比得出即可.18.若两个相似三角形的周长比为2:3,则它们的面积比是______.答案:4:9解析:解答:∵两个相似三角形的周长比为2:3,∴这两个相似三角形的相似比为2:3,∴它们的面积比是4:9.故答案为:4:9.分析:根据相似三角形周长的比等于相似比求出相似比,再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可.19.已知△ABC∽△DEF,且它们的面积之比为4:9,则它们的相似比为______.答案:2:3解析:解答:因为△ABC ∽△DEF ,所以△ABC 与△DEF 的面积比等于相似比的平方, 因为22293ABC DEF S S ==△△::(), 所以△ABC 与△DEF 的相似比为2:3,故答案为:2:3.分析:根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方,可直接得出结果.20.已知△ABC ∽△DEF ,若△ABC 与△DEF 的相似比为3:4,则△A B C 与△DEF 的面积比为______.答案:9:16解析:解答:∵△ABC ∽△DEF ,△ABC 与△DEF 的相似比为3:4,∴△ABC 与△DEF 的面积比为9:16.故答案为:9:16.分析:由△ABC ∽△DEF ,若△ABC 与△DEF 的相似比为3:4,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方,即可求得答案.三、解答题21.已知△ABC 的三边长分别为5、12、13,和△ABC 相似的111A B C △的最大边长为26,求111A B C △的另两条边的边长和周长以及最大角的度数.答案:解答:∵△ABC 的相似三角形111A B C 的最大边长为26,即对应△ABC 的对应最大边长13,所以对应边长的比值为2,所以另两边分别为10,24,故三角形的周长为10+24+26=60,∵22251213+=,∴三角形的最大角度为90°.解析:分析:由题中条件可得三角形的相似比,进而可得其对应边的比,再由勾股定理逆定理可得三角形为直角三角形,即最大角为90°.22.如图,在矩形ABCD 中,点E 、F 分别在边AD 、DC 上,△ABE ∽△D EF ,AB =6,AE =9,DE =2,求EF 的长.答案:解答:∵四边形ABCD 是矩形,∴∠BAE=90°,∵AB =6,AE =9, ∴222269117BE AB AE =+=+=,∵△ABE ∽△DEF , ∴AB BE DE EF =,即61172EF=, 解得11173EF =. 解析:分析:先根据勾股定理求出BE 的长,再根据相似三角形的对应边成比例即可求出EF 的长.23.两个相似三角形一组对应边的长分别是24cm 和12cm ,若他们周长的和是240cm ,求这两个三角形的周长.答案:解答:设两个三角形的周长分别为x 、y ,根据题意得,24212x y ==, ∴2x y =,∵他们周长的和是240cm ,∴2240x y y y +=+=,解得y =80,x =2×80=160,∴这两个三角形的周长分别为80cm 和160cm .解析:分析:设两个三角形的周长分别为x 、y ,根据相似三角形周长的比等于对应边的比列出方程,然后求解即可.24.如图,直角梯形ABCD 中,AD =3,AB =11,BC =6,AB ⊥BC ,动点P 在线段AB 上运动,如果满足△ADP 和△BCP 相似,计算此时线段AP 的长度.答案:解答:①当△ADP ∽△DPC 时,有AD AP BP BC= 3116AP AP -=AP =2或9;②当△ADP ∽△BCP 时, AD AP BC BP =,3611AP AP-=, 解得:113AP =, 综上知:AP=2或9或113. 解析:分析:分△ADP ∽△DPC 和△ADP ∽△BCP 两种情况进行讨论,利用相似三角形的对应边的比相等即可求解.25.如图,△ABC 中,AB =8厘米,AC =16厘米,点P 从A 出发,以每秒2厘米的速度向B 运动,点Q 从C 同时出发,以每秒3厘米的速度向A 运动,其中一个动点到端点时,另一个动点也相应停止运动,那么,当以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似时,运动时间是多少?答案:解答:设运动了ts ,根据题意得:AP =2tcm ,CQ=3tcm ,则163AQ AC CQ t =-=-(cm ),当△APQ ∽△ABC 时,AP AQ AB AC =, 即2163816t t -=, 解得:t=167;当△APQ ∽△ACB 时,AP AQ AC AB =, 即2163168t t -=, 解得:t=4;故当以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似时,运动时间是:167s 或4s .解析:分析:首先设运动了t s ,根据题意得:AP =2tcm ,CQ =3tcm ,然后分别从当△APQ ∽△ABC与当△APQ ∽△ACB 时去分析求解即可求得答案.。
【压轴专练】专题07_探索三角形相似的条件(解析版)-2021-2022学年九上压轴题
2021-2022学年北师大版数学九年级上册压轴题专题精选汇编专题07 探索三角形相似的条件一.选择题1.(2021春•沂源县期末)如图,△ABC中,CE⊥AB,垂足为E,BD⊥AC,垂足为点D,CE与BD交于点F,则图中相似三角形有几对()A.6对B.5对C.4对D.3对【思路引导】根据相似三角形的判定一一证明即可.【完整解答】解:∵BD⊥AC,CE⊥AB,∴∠AEC=∠ADB=90°,∠BEF=∠CDF=90°,∵∠A=∠A,∠EFB=∠DFC,∴△AEC∽△ADB,△BEF∽△CDF,∵∠EBF=∠ABD,∠BEF=∠ADB=90°,∴△BEF∽△BDA∽△CEA∽△CDF,∴共有6对相似三角形,故选:A.2.(2021春•芝罘区期末)如图,小正方形的边长均为1,则A、B、C、D四个选项中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是()A.B.C.D.【思路引导】应用两三角形相似判定定理,三边对应成比例,分别对各选项进行分析即可得出答案.【完整解答】解:已知给出的三角形的各边分别为、2、、只有选项A的各边为1、、与它的各边对应成比例.故选:A.3.(2021春•周村区期末)平面直角坐标系中,直线y=﹣x+2和x轴,y轴分别交于A,B两点,在第二象限内有一点P,使△P AO和△AOB相似,则符合要求的点P的个数为()A.2B.3C.4D.5【思路引导】根据相似三角形的相似条件,画出图形即可解决问题.【完整解答】解:如图,①分别过点O、点A作AB、OB的平行线交于点P1,则△OAP1与△AOB相似(全等),②作AP2⊥OP1,垂足为P2则△AOP2与△AOB相似.③作∠AOP3=∠ABO交AP1于P3,则△AOP3与△AOB相似.④作AP4⊥OP3垂足为P4,则△AOP4与△AOB相似.故选:C.4.(2021春•雁塔区校级期末)如图,D是△ABC边AB上一点,添加一个条件后,仍不能使△ACD∽△ABC的是()A.∠ACD=∠B B.∠ADC=∠ACB C.AC2=AD•AB D.【思路引导】直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案.【完整解答】解:A、当∠ACD=∠B时,再由∠A=∠A,可得出△ACD∽△ABC,故此选项不合题意;B、当∠ADC=∠ACB时,再由∠A=∠A,可得出△ACD∽△ABC,故此选项不合题意;C、当AC2=AD•AB时,即=,再由∠A=∠A,可得出△ACD∽△ABC,故此选项不合题意;D、当=时,无法得出△ACD∽△ABC,故此选项符合题意.故选:D.5.(2021•龙湾区模拟)如图,△ABC中,P为边AB上一点,下列选项中的条件,不能说明△ACP与△ACB相似的是()A.∠ACP=∠B B.∠APC=∠ACBC.AC2=AP×AB D.AB×CP=AP×AC【思路引导】本题主要应用两三角形相似的判定定理,做题即可.【完整解答】解:A、当∠ACP=∠B,∠A=∠A时,△APC∽△ACB,故本选项不符合题意;B、当∠APC=∠ACB,∠A=∠A时,△APC∽△ACB,故本选项不符合题意;C、当AC2=AP•AB,即AC:AB=AP:AC时,结合∠A=∠A可以判定△APC∽△ACB,故本选项不符合题意;D、当AB×CP=AP×AC时,不能判断△APC和△ACB相似.故选:D.6.(2020•黄埔区模拟)如图,在四边形ABCD中,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,E是BC 的中点,AD∥BC,AE∥DC,EF⊥CD于点F.下列结论错误的是()A.四边形AECD的周长是20B.△ABC∽△FECC.∠B+∠ACD=90°D.EF的长为【思路引导】根据平行四边形和菱形的判定即可证明A选项;根据菱形的性质和三角形的面积公式即可证明C选项和D选项;根据△ABC与△FEC的三边长即可证明B选项.【完整解答】解:∵∠BAC=90°,AB=6,AC=8,∴BC==10,∵AD∥BC,AE∥DC,∴四边形AECD是平行四边形,∵∠BAC=90°,E是BC的中点,∴AE=CE=BC=5,∴四边形AECD是菱形,∴菱形AECD的周长是20,故A选项正确,不符合题意;∵四边形AECD是菱形,∴∠ACB=∠ACD,∵∠B+∠ACB=90°,∴∠B+∠ACD=90°,故C选项正确,不符合题意;如图,过A作AH⊥BC于点H,∵S△ABC=BC•AH=AB•AC,∴AH==,∵点E是BC的中点,BC=10,四边形AECD是菱形,∴CD=CE=5,∵S▱AECD=CE•AH=CD•EF,∴EF=AH=.故D选项正确,不符合题意;在Rt△EFC中,EF=,EC=5,∴FC==,在Rt△CAB中,AB=6,AC=8,BC=10,∵=,=,=,∴△ABC与△FEC不相似,故B选项错误,符合题意.故选:B.7.(2020秋•叶县期中)如图,在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,则在下列四个条件中:①∠AED=∠B;②DE∥BC;③;④AD•BC=DE•AC,能满足△ADE∽△ACB的条件有()A.1个B.2个C.3个D.4个【思路引导】根据相似三角形的判定定理对各条件进行逐一判断即可.【完整解答】解:①∠B=∠AED,∠A=∠A,则可判断△ADE∽△ACB,故①符合题意;②DE∥BC,则△ADE∽△ABC,故②不符合题意,③,且夹角∠A=∠A,能确定△ADE∽△ACB,故③符合题意;④由AD•BC=DE•AC可得=,此时不确定∠ADE=∠ACB,故不能确定△ADE∽△ACB,故④不符合题意,故选:B.8.(2020•浙江自主招生)已知点A,C在直线BD的同侧,且AB⊥BD于B,CD⊥BD于D,AB=6,CD=4,BD=14,现有点P在直线BD上,并且满足△ABP与△CDP相似,则这样的点P的个数为()A.3B.5C.6D.7【思路引导】设DP=x,根据已知可以分三种情况:①当点P在线段BD上时;②当点P在线段BD的右侧时;③当点P在线段BD的左侧时;分别得出比例式得出方程,解方程求出x的值,即可得出结果.【完整解答】解:∵AB⊥DB,CD⊥DB,∴∠D=∠B=90°,设DP=x,分三种情况:①当点P在线段BD上时,当PD:AB=CD:PB时,△PDC∽△ABP,∴=,解得:DP=2或12,当PD:PB=CD:AB时,△PCD∽△P AB,∴,解得:DP=5.6;②当点P在线段BD的右侧,如图1所示:当时,△PCD∽△P AB,即,解得:x=28;当时,△PCD∽△APB,即,解得:x=﹣7±(负值舍去),∴PD=﹣7+;③当点P在线段BD的左侧时,如图2所示:当时,△PCD∽△APB,即,解得:x=7±(负值舍去),∴PD=7+;综上所述:当DP=5.6或2或12或28或﹣7+或7+时,△ABP与△CDP相似,即这样的点P的个数有6个;故选:C.9.(2019春•宝安区校级月考)如图,正方形ABCD中,AB=2,点N为AD为边上一点,连接BN,作AP⊥BN于点P,点M为AB边上一点,且∠PMA=∠PCB,连接CM.下列结论正确的个数有()(1)△P AM∽△PBC(2)PM⊥PC;(3)∠MPB=∠MCB;(4)若点N为AD中点,则S△PCN=6(5)AN=AMA.5个B.4个C.3个D.2个【思路引导】根据互余角性质得∠P AM=∠PBC,进而得△P AM∽△PBC,可以判断(1);由相似三角形得∠APM=∠BPC,进而得∠CPM=∠APB,从而判断(2);由B、C、P、M四点共圆得∠MPB=∠MCB,进而判断(3);过P点作EF⊥BC,分别志AD、BC相交于点EF,由相似三角形得PF,进而由△BCN与△BCP的面积之差求得△PCN的面积便可判断(4);由△APB∽△NAB得,再结合△P AM∽△PBC便可判断(5).【完整解答】解:(1)∵AP⊥BN,∴∠P AM+∠PBA=90°,∵∠PBA+∠PBC=90°,∴∠P AM=∠PBC,∵∠PMA=∠PCB,∴△P AM∽△PBC,故(1)正确;(2)∵△P AM∽△PBC,∴∠APM=∠BPC,∴∠CPM=∠APB=90°,即PM⊥PC,故(2)正确;(3)∵∠MPC+∠MBC=90°+90°=180°,∴B、C、P、M四点共圆,∴∠MPB=∠MCB,故(3)正确;(4)过点P作EF⊥BC,分别交AD、BC于E、F点,∵N为AD的中点,AB=2∴AN=DN=,BC=EF=2,∴BN=,易证△ANP∽△NBA,得,即,∴PN=1,∴PB=5﹣1=4,∵AD∥BC,∴△PEN∽△PFB,∴,∴PF=,∴,故(4)错误;(5)易证△P AN∽△P AB,∴,∵△P AM∽△PBC,∴,∴,∵AB=BC,∴AM=AN,故(5)正确;故选:B.二.填空题10.(2021春•濮阳期末)在△ABC中,AB=6cm,AC=9cm,动点D从点B开始沿BA边运动,速度为1cm/s;动点E从点A开始沿AC边运动,速度为2cm/s.如果D,E两动点同时运动,那么当它们运动或s时,由D,A,E三点连成的三角形与△ABC 相似.【思路引导】分两种情形①当=时,②当=时,分别构建方程求解即可.【完整解答】解:根据题意得:AE=2t,BD=t,∴AD=6﹣t,∵∠A=∠A,∴分两种情况:①当=时,即=,解得:t=;②当=时,即=,解得:t=;综上所述:当t=或时,△ADE与△ABC相似.11.(2021•葫芦岛二模)如图,在△ABC中,AB=15,AC=18,D为AB上一点,且AD=AB,在AC边上取一点E,便以A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似,则AE等于12或.【思路引导】根据相似三角形对应边成比例得出=或=,再代值计算即可.【完整解答】解:∵△ABC∽△ADE或△ABC∽△AED,∴=或=,∵AD=AB,AB=15,∴AD=10,∵AC=18,∴=或=,解得:AE=12或.故答案为:12或.12.(2020秋•北海期末)如图,在△ABC中,AB=8,BC=16,点P是AB边的中点,点Q 是BC边上一个动点,当BQ=2或8 时,△BPQ与△BAC相似.【思路引导】直接利用△BPQ∽△BAC或△BPQ∽△BCA,分别得出答案.【完整解答】解:∵AB=8,BC=16,点P是AB边的中点,∴BP=4.当△BPQ∽△BAC时,则=,故=,解得:BQ=8;当△BPQ∽△BCA时,则=,故=,解得:BQ=2,综上所述:当BQ=2或8时,△BPQ与△BAC相似.故答案为:2或8.13.(2021•抚顺县模拟)如图,在正方形网格中有3个斜三角形:①△ABC;②△CDB;③△DEB;其中能与△ABC相似的是③△DEB.(△ABC除外)【思路引导】分别求出三个三角形的三边的比,符合这个结果就是与△ABC相似的.【完整解答】解:∵△ABC的三边之比是AB:AC:BC=1::,②△CDB的三边之比是CD:BC:BD=1::;③△DEB中DE:BD:BE=2:2:=1::.∴③(△DEB)与△ABC相似,故答案为:③△DEB.14.(2021•河北模拟)如图,在Rt△ABC的直角边AC上有一任意点P(不与点A、C重合),过点P作一条直线,将△ABC分成一个三角形和一个四边形,则所得到的三角形与原三角形相似的直线最多有 4 条.【思路引导】过点P作直线与另一边相交,使所得的三角形与原三角形已经有一个公共角,只要再作一个等于△ABC的另一个角即可.【完整解答】解:如图所示,①过点P作AB的垂线段PD,则△ADP∽△ACB;②过点P作BC的平行线PE,交AB于E,则△APE∽△ACB;③过点P作AB的平行线PF,交BC于F,则△PCF∽△ACB;④作∠PGC=∠A,则△GCP∽△ACB.故答案为:4.15.(2020秋•松江区月考)如图,△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AC=2,点P是边AB上一点,将△ABC沿经过点P的直线折叠,使得点A落在边BC上的A′处,若△PBA′恰好和△ABC相似,则此时AP的长为或2﹣2 .【思路引导】分两种情形:①如图1中,当∠P A′B=∠C=90°时,△BP A′∽△BAC,②如图2中,当∠PBC=90°时,△BP A′∽△BCA,分别利用相似三角形的性质构建方程求解即可.【完整解答】解:①如图1中,当∠P A′B=∠C=90°时,设P A=P A′=x.在Rt△ABC中,∵∠C=90°,AC=2,∠B=30°,∴AB=2AC=4,BC=AC=2,∵∠B=∠B,∠BA′P=∠C=90°,∴△BP A′∽△BAC,∴=,∴=,∴x=.②如图2中,当∠BP A′=90°时,△BP A′∽△BCA,∴=,∴=,∴x=2﹣2,综上所述,满足条件的AP的值为或2﹣2.16.(2020秋•江阴市月考)如图,在△ABC纸板中,AC=8,BC=4,AB=10,P是AC上一点,过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板,如果有4种不同的剪法,那么AP长的取值范围是6≤AP<8 .【思路引导】分四种情况讨论,依据相似三角形的对应边成比例,即可得到AP的长的取值范围.【完整解答】解:如图所示,过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E,则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB,此时0<AP<8;如图所示,过P作∠APF=∠B交AB于F,则△APF∽△ABC,此时0<AP≤8;如图所示,过P作∠CPG=∠CBA交BC于G,则△CPG∽△CBA,此时,△CPG∽△CBA,当点G与点B重合时,CB2=CP×CA,即42=CP×8,∴CP=2,AP=6,∴此时,6≤AP<8;综上所述,要有4种不同的剪法,使得过点P沿直线剪下一个与△ABC相似,则AP长的取值范围是6≤AP<8.故答案为:6≤AP<8.17.(2019•东平县二模)如图,△ABC是边长为6cm等边三角形,动点P、Q同时从A、B 出发,分别沿AB、BC方向匀速运动,其中点P运动的速度是1cm/s,点Q运动的速度是2cm/s,当点Q到达点C时,P、Q两点停止运动,在运动过程中作QR∥BA交AC于点R,连接PR,设运动的时间为t(s),当t=1.2 s时△APR∽△PRQ.【思路引导】先证△CRQ为等边三角形,并用含t的式子表示图中的相关线段,由QR∥BA推得∠QRP=∠APR,从而△PRQ中再有一个角等于∠A,即等于60°,即可得△APR ∽△PRQ.根据相似三角形的性质列比例式求解即可.【完整解答】解:∵△ABC是边长为6cm等边三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°∵QR∥BA∴∠CRQ=∠A=60°,∠CQR=∠B=60°∴△CRQ为等边三角形∵点P运动的速度是1cm/s,点Q运动的速度是2cm/s∴AP=t,PB=6﹣t,BQ=2t,CQ=CR=RQ=6﹣2t,AR=2t∵QR∥BA∴∠QRP=∠APR若要△APR∽△PQR,则需满足∠RPQ=60°∴∠BPQ+∠APR=120°,∠ARP+∠APR=120°∴∠BPQ=∠ARP又∵∠A=∠B∴△APR∽△BQP∴=∴=解得t=1.2故答案为1.2.18.(2011春•成华区期末)如图,正方形ABCD的边长为4,AE=EB,MN=2,线段MN 的两端在CB、CD上滑动,当CM=或时,△ADE与△CMN相似.【思路引导】根据AE=EB,△AED中AD=2AE,所以在△MNC中,分CM与AE和AD 是对应边两种情况利用相似三角形对应边成比例求出CM与CN的关系,然后利用勾股定理列式计算即可.【完整解答】解:∵AE=EB,∴AD=2AE,又∵△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似,∴分两种情况:①CM与AD是对应边时,CM=2CN,∴CM2+CN2=MN2=4,即CM2+CM2=4,解得:CM=;②CM与AE是对应边时,CM=CN,∴CM2+CN2=MN2=4,即CM2+4CM2=4,解得:CM=.综上所述:当CM为或时,△AED与△CMN相似.故答案是:或.19.(2003•武汉)△ABC中,以AB为直径的▱O交BC边于点D,连接AD,要使△ABD与△ACD相似,则△ABC的边AB与AC之间,应满足的条件为AB⊥AC.(填入一个即可)【思路引导】本题主要应用两三角形相似的判定定理,做题即可.【完整解答】解:∵AB为▱O的直径∴∠ADC=∠BDA=90°∴当∠CAD=∠B时,△ABD∽△CAD∵∠CAD+∠C=90°∴∠B+∠C=90°∴AB⊥AC答案不唯一,如AB⊥AC.三.解答题20.(2021春•朝阳区校级期末)如图所示,在四边形ABCD中,CA是∠BCD的角平分线,且AC2=CD•BC,求证:△ABC∽△DAC.【思路引导】根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可.【完整解答】证明:∵AC平分∠BCD,∴∠ACB=∠ACD,∵AC2=CD•BC,∴=,∴△ABC∽△DAC.21.(2021春•龙口市期末)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10cm,BC=8cm.点M从点C出发,以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动,点N从点B出发,以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动,当一个点到达终点时,另一点也随即停止运动.(1)经过几秒后,△MCN的面积等于△ABC面积的?(2)经过几秒,△MCN与△ABC相似?【思路引导】(1)设经过x秒,△MCN的面积等于△ABC面积的,根据三角形的面积和已知列出方程,求出方程的解即可;(2)根据相似三角形的判定得出两种情况,再求出t即可.【完整解答】解:(1)设经过x秒,△MCN的面积等于△ABC面积的.×2x(8﹣x)=×8×10×.解得x1=x2=4.答:经过4秒后,△MCN的面积等于△ABC面积的;(2)设经过t秒,△MCN与△ABC相似.∵∠C=∠C,∴可分为两种情况:①=,即=,解得t=;②=,即=.解得t=.答:经过或秒,△MCN与△ABC相似.22.(2021•越秀区校级二模)如图,在△P AB中,点C、D在AB上,PC=PD=CD,∠A=∠BPD,求证:△APC∽△PBD.【思路引导】根据等腰三角形的性质得出∠PCD=∠PDC,根据三角形的外角性质得出∠A+∠APC=∠PCD,∠B+∠BPD=∠PDC,求出∠B=∠APC,再根据相似三角形的判定推出即可.【完整解答】证明:∵PC=PD,∴∠PCD=∠PDC,∵∠A+∠APC=∠PCD,∠B+∠BPD=∠PDC,又∵∠A=∠BPD,∴∠B=∠APC,∴△APC∽△PBD.23.(2020秋•崇川区期末)如图,已知BD⊥AB于点B,AC⊥AB于点A,且BD=4,AC=3,AB=a,在线段AB上是否存在一点E,使△BDE∽△ACE?【思路引导】当∠ACE=∠BDE时,△ACE∽△BDE,利用相似三角形的性质解答.【完整解答】解:存在,理由如下:∵BD⊥AB于点B,AC⊥AB,∴∠A=∠B=90°,当∠ACE=∠BDE时,△ACE∽△BDE,∴==,∴AE=BE,∴AE=AB=a.∴点E在线段AB上,距离点A的距离是a.24.(2020秋•宁德期末)如图,在矩形ABCD中,点E是BC边上的点,AC⊥DE,垂足为F.求证:△ABC∽△ECD.【思路引导】利用“两角法”证得结论.【完整解答】证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=∠BCD=90°.∴∠ACB+∠ACD=90°.又∵AC⊥DE,∴∠CDE+∠ACD=90°.∴∠ACB=∠CDE.∴△ABC∽△ECD.25.(2021•拱墅区二模)如图,在△ABC中,D、E分别是边AC、BC的中点,F是BC延长线上一点,∠F=∠B.(1)若AB=10,求FD的长;(2)若AC=BC,求证:△CDE∽△DFE.【思路引导】(1)首先利用中位线定理得到DE∥AB以及DE的长,再证明∠DEC=∠F 即可;(2)根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B,进而求出∠CDE=∠F并结合∠CED=∠DEF即可证明△CDE∽△DFE.【完整解答】解:(1)∵D、E分别是AC、BC的中点,∴DE∥AB,DE=AB=5,∵DE∥AB,∴∠DEC=∠B,而∠F=∠B,∴∠DEC=∠F,∴DF=DE=5;(2)∵AC=BC,∴∠A=∠B,∵∠CDE=∠A,∠CED=∠B,∴∠CDE=∠B,∵∠B=∠F,∴∠CDE=∠F,∵∠CED=∠DEF,∴△CDE∽△DFE.26.(2020秋•肇源县期末)已知:如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动,速度为1cm/s;点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动,速度为2cm/s;连接PQ.若设运动的时间为t(s)(0<t<2),当t为何值时,以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似?【思路引导】先利用勾股定理计算出AB=5,由于∠P AQ=∠BAC,根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似,当=时,△APQ∽△ABC,即=;当=时,△APQ∽△ACB,即=,然后分别解方程求出t即可.【完整解答】解:∵∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,∴AB==5,则BP=t,AQ=2t,AP=5﹣t,∵∠P AQ=∠BAC,当=时,△APQ∽△ABC,即=,解得t=;当=时,△APQ∽△ACB,即=,解得t=;答:t为s或s时,以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似.27.(2019秋•临安区期末)如图,点B、D、E在一条直线上,BE交AC于点F,=,且∠BAD=∠CAE.(1)求证:△ABC∽△ADE;(2)求证:△AEF∽△BCF.【思路引导】(1)根据相似三角形的判定定理证明;(2)根据相似三角形的性质定理得到∠C=∠E,结合图形,证明即可.【完整解答】(1)∵∠BAD=∠CAE∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD即∠BAC=∠DAE在△ABC和△ADE中=,∠BAC=∠DAE,∴△ABC∽△ADE;(2)∵△ABC∽△ADE,∴∠C=∠E、在△AEF和△BFC中,∠C=∠E,∠AFE=∠BFC,∴△AEF∽△BCF.28.(2020春•肇源县期末)如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A开始,沿AB边以1cm/s的速度向点B运动:点Q从点B开始,沿BC边以2cm/s的速度向点C运动,当点P运动到点B时,运动停止,如果P、Q分别从A、B两点同时出发.(1)几秒后△PBQ的面积等于8cm2?(2)几秒后以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似?【思路引导】(1)设t秒后△PBQ的面积等于8cm,此时,AP=t,BP=6﹣t,BQ=2t,再由三角形的面积公式即可得出结论;(2)设x秒后以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似,此时,AP=x,BP=6﹣x,BQ=2x,再分△BPQ∽△BAC与△BPQ∽△BCA两种情况进行讨论即可.【完整解答】解:(1)设t秒后△PBQ的面积等于8cm,此时,AP=t,BP=6﹣t,BQ=2t,∵S△PBQ=BP•BQ,即(6﹣t)×2t=8,即t2﹣6t+8=0,解得t1=2,t2=4.∴2秒或4秒后,△PBQ的面积等于8cm2;(2)设x秒后以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似,此时,AP=x,BP=6﹣x,BQ=2x,①若△BPQ∽△BAC,则=,即=,解得x=3;②若△BPQ∽△BCA,则=,即=,解得x=1.2.综上所述,1.2秒或3秒后,以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似.。
6.4 探索三角形相似的条件(3)
6.4 探索三角形相似的条件(3)
小 结:
通过这节课的学习,你学习到什么新知识? 获得了什么经验?还有什么疑问?
拓展延伸
如图,在△ABC中,P为AB上的一点,在下列条件 中:
①∠ACP=∠B; ②∠APC=∠ACB;③AC²=AP•AB ; ④AB•CP=AP•CB,
能满足△APC∽△ACB的条件是 ( ). A、①②④ B、①③④ C、②③④ D、①②③
强化练习
1、能判定△ABC∽△A’B’C’的条件是( )Fra bibliotek强化练习
2、已知:AD·AB=AF·AC,证明: △DEB∽△FEC.
3、如图,在正方形ABCD中,E是AD的中点, 点F在CD上,且CF=3FD,△ABE与△DEF相
似吗?为什么?
例题讲解
例2. 如图,在△ABC中,AB=4,AC=2.
初中数学 九年级(下册)
6.4 探索三角形相似的条件(3)
学习目标
1、进一步通过实践与探索,得出两个 三角形具备有两边对应成比例,并且 夹角相等,即可判断两个三角形相似 的方法;
2、能选择适当的方法,判断两三角形 相似,灵活解决与三角形相似有关的 问题.
议一议:
如图,在△ABC和△ A'B'C'中,∠A=∠A', AB AC .能判断△ABC与△A'B'C'相似吗?
A' B' A'C'
A
A'
B
九年级(下)数学教案:探索三角形相似的条件(全5课时)
教学过程教学内容个案调整教师主导活动学生主体活动4. 平行线分线段成比例定理的推论:如图,在三角形中,如果DE BC∥,则5.平行的判定定理:如上图,如果有BCDEACAEABAD==,那么三.交流展示:1.看图说比例式2.如图:DE∥BC,AB=15,AC=7,AD=2,求EC。
四.释疑拓展:如图,在△ABC中,DG∥EH∥FI∥BC.(1)请找出图中所有的相似三角形;(2)如果AD=1,DB=3,那么DG∶BC=_____.先让学生独立思考,然后请学生板演并讲评.AB CD EE DCBAABCD3()2() AB DE1() DE BCAB CDEABCDEA BCDEFB CDEA教学过程教学内容个案调整教师主导活动学生主体活动(2)△ABC与△A″B″C″若∠A=∠A″,∠B=∠B″,那么这个三角形有何关系?请说明理由.4.巩固:1.关于三角形相似下列叙述不正确的是( )A 有一个底角对应相等的两个等腰三角形相似B 所有等边三角形都相似C 有一个角对应相等的两个等腰三角形相似D 顶角对应相等的两个等腰三角形相似2. 判断题①所有的等腰三角形都相似 ( )②所有的等腰直角三角形都相似( )③所有的等边三角形都相似 ( )④所有的直角三角形都相似 ( )⑤有一个角是100°的两个等腰三角形相似()⑥有一个角是70°的两个等腰三角形相似()四.释疑拓展:1.如图,在△ABC和△A′B′C′中,已知∠A=50°,∠B=∠B′=60°,∠C′=70°,△ABC与△A′B′C′相似吗?为什么?2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是△ABC的高.找出图中所有的相似三角形.3.过△ABC(∠C>∠B)的边AB上一点D作一条直线与另一边AC相交,截得的小三角形与△ABC相似,这样的直线有几条?请把它们一一作出来.1.先让学生独立思考,然后让学生板演,最后学生点评.2.先让学生独立思考,然后请学生板演并讲评.3.让学生自主探究,自由交流.教学过程教学内容个案调整教师主导活动学生主体活动三.交流展示:1.如图,在△ABC和△DEF中,∠B=∠E,要使△ABC∽△DEF,需要添加什么条件?2.如图,△ABC与△A'B'C'相似吗?有哪些判断方法?四.释疑拓展:1 1. 如图,已知23ECAEBDAD==,试求BCDE的值;2 如图,在△ABC中,AB=4cm,AC=2cm,(1)在AB上取一点D,当AD=________时,△ACD∽△ABC;(2)在AC的延长线上取一点E,当CE=________时,△AEB∽△ABC,此时,BE与DC有怎样的位置关系?为什么?让学生先独立思考,然后小组讨论交流,最后全班展示交流,并让学生自己归纳发现的结论.先让学生独立思考,然后让学生板演,最后学生点评C'B'A'CBAADECB教学过程教学内容个案调整教师主导活动学生主体活动3.归纳三角形相似判定方法三文字语言:几何语言:在△ABC和△A′B′C′中,∵∴4.试一试:(1)在ΔABC与ΔA′B′C′中,若AB=3, BC=4,AC=5;A′B′=6,B′C′=8,A′C′=10,ΔABC与ΔA′B′C′相似吗?(2)在ΔABC与ΔA′B′C′中,若AB=3, BC=3,AC=4;A′B′=6,B′C′=6,A′C′=10,ΔABC与ΔA′B′C′相似吗?三.释疑拓展:1.△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上,△ABC与△DEF相似吗?为什么?2.要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形框架的三边长分别为4,6,8.另一个三角形框架的一边长为2,它的另外两条边长应当是多少?你有几种答案?学生自己归纳发现的结论.先让学生独立思考,然后让学生板演,最后学生点评.让学生谈谈自己是如何思考的AB CA′B′C′。
探索三角形相似的条件⑸练习
探索三角形相似的条件⑸练习一、目标导航巩固三角形相似的方法及综合运用二、基础过关1.已知21=y x ,则y x y x +-的值为( ) A .31 B .31- C . 3 D . -3 2.在比例尺为1∶20的图纸上画出的某个零件的长是32mm ,则零件的实际长是( )A . 64mB . 64dmC . 64cmD . 64mm3.已知C 是线段AB 的黄金分割点(AC >BC ), 则AC ∶BC = ( )A . (5-1)∶2B . (5 +1)∶2C .(3-5)∶2D .(3+5)∶24.如图,E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上的一点,连结AE 交CD 于F ,则图中共有相似三角形( )A . 1对B . 2对C . 3对D . 4对(第4题图) (第5题图) (第6题图) (第 7题图)5.ΔABC 中,DE ∥BC ,且AD ∶DB=2∶1,那么DE ∶BC 等于( )A . 2∶1B . 1∶2C . 2∶3D . 3∶26.如图,P 是RtΔABC 的斜边BC 上异于B 、C 的一点,过点P 做直线截ΔABC ,使截得的三角形与ΔABC 相似,满足这样条件的直线共有( )A . 1条B . 2条C . 3条D . 4条7.如图,已知DE ∥BC ,EF ∥AB ,则下列比例式中错误的是( )A .AC AE AB AD = B . FB EA CF CE = C . BDAD BC DE = D . CB CF AB EF = 8.如图,ΔABC 中,P 为AB 上一点,在下列四个条件中:①∠ACP=∠B ;②∠APC=∠ACB ;③AC 2=AP•AB ;④AB•CP=AP•CB ,能满足ΔAPC 与ΔACB 相似的条件是( )A . ①②③B . ①③④C . ②③④D . ①②④9.如图,ΔADE 绕正方形ABCD 的顶点A 顺时针旋转90°,得ΔABF ,连结EF 交AB于H ,则下列结论错误的是( )A . AE ⊥AFB . EF ∶AF=2∶1C . AF 2=FH•FE D .FB ∶FC=HB ∶EC(第8题图) (第9题图) (第10题图)10.如图,在正方形网格上有6个斜三角形:①ΔABC ,②ΔBCD ,③ΔBDE ,④ΔBFG ,⑤ΔFGH ,⑥ΔEFK .其中②~⑥中,与三角形①相似的是( )A . ②③④B . ③④⑤C . ④⑤⑥D . ②③⑥三、能力提升11.已知两数4和8,试写出第三个数,使这三个数中,其中一个数是其余两数的比例中项,第三个数是(只需写出一个即可).12.已知D、E分别是ΔABC的边AB、AC上的点,请你添加一个条件,使ΔABC与ΔAED相似.你添加的条件是(只需添加一个你认为适当的条件即可).13.如图,锐角三角形ABC的边AB、AC上的高线CE和BF相交于点D,请写出图中的两对相似三角形:(用相似符号连接).14.下列说法:①所有的等腰三角形都相似;②所有的等边三角形都相似;③所有等腰直角三角形都相似;④所有的直角三角形都相似.其中正确的是(把你认为正确的说法的序号都填上).15.如图,已知∠1=∠2,若再增加一个条件就能使结论“AB•ED=AD•BC”成立,则这个条件可以是.(第13题图) (第15题图) (第16题图) (第17题图)三、计算或证明题16.在方格纸中,每个小格的顶点叫做格点.以格点连线为边的三角形叫做格点三角形.如图,请你在4×4的方格纸中,画一个格点三角形A1B1C1,使ΔA1B1C1与格点三角形ABC相似(相似比不为1).17.请设计一种分法,将如图所示的直角三角形分割成四个小三角形,使得每个小三角形与原三角形都相似(要求画出分割线段,标出能够说明分法的必要记号,不要求写出画法,不要求说明理由).18.将两块完全相同的等腰直角三角板摆放成如图所示的样子,假设图中的所有点、线都在同一平面内,回答下列问题:(1)图中共有个三角形.(2)图中有相似(不包括全等)三角形吗?如果有,就把它们一一写出来.19.已知零件的外径为25cm,要求它的厚度x ,需先求出它的内孔直径AB,现用一个交叉卡钳(AC和BD的长相等)去量(如图),若OA∶OC=OB∶OD=3,CD=7cm.求此零件的厚度x.20.如图,在梯形ABCD中,AD//BC,∠BAD=90°,对角线BD⊥DC.(1)ΔABD与ΔDCB相似吗?请说明理由.(2)如果AD=4,BC=9,求BD的长.21.已知:如图所示,D 是AC 上一点,BE ∥AC ,AE 分别交BD ,BC 于点F ,G ,∠1=∠2.则BF 是FG 、EF 的比例中项吗?请说明理由.22.如图,CD 是RtΔABC 的斜边AB 上的高,∠BAC 的平分线分别交BC 、CD 于点E 、F . AC•AE=AF•AB 吗?说明理由.23. E 、F 分别是矩形ABCD 的边AD 、BC 的中点,若矩形ABCD ∽矩形EABF ,AB=1,求矩形ABCD 的面积.四、聚沙成塔如图,在矩形ABCD 中,AB=12㎝,BC=6㎝,点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2㎝/s 的速度移动;点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1㎝/s 的速度移动.如果P 、Q 同时出发,用t (s )表示移动的时间(0≤t≤6),那么⑴当t 为何值时,△QAP 为等腰直角三角形;⑵求四边形QAPC 的面积,提出一个与计算结果有关的结论;⑶当t 为何值时,以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似?A QP D C B。
探索三角形相似的条件⑶练习
4题DCB AM N探索三角形相似的条件⑶练习一、目标导航三边对应成比例的两个三角形相似及应用. 二、基础过关1.两个三角形相似,则各自由三条中位线构成的两个三角形也相似. ( ) 2.腰与底成比例的两个等腰三角形相似. ( ) 三、能力提升3.△ABC 的三边长分别为1,2,3, △DEF 的三边长分别为6,2,2,则△ABC 与△DEF (是否相似). 4.如图,四边形ABCD 为矩形,BNDMAN AM AB AD ==,则∠MAN 的度数为 度. 5. △ABC 中,AB:AC:BC=4:3:2, △A 1B 1C 1中,A 1B 1:A 1C 1:B 1C 1=3:2:4,则△ABC 与△A 1B 1C 1 (相似或不相似).6.在平面直角坐标系中,A(2,0),B(1,2),A 1 (0,-4),B 1 (4, -2),则△AOB 与△A 1OB 1的关系是 (相似或不相似).7.下列各组中的两个图形一定相似的是( )A .两个直角三角形B .两个等腰三角形C .两个面积相等的三角形D .两个等边三角形8.△ABC 和△DEF 满足下列条件,其中能使△ABC 与△DEF 相似的是( ) A .AB=c ,AC=b ,BC=a ,DE=a ,EF=b ,DF=c B .AB=1,AC=1.5,BC=2,DE=12,EF=8,DF=1 C .AB=3,AC=4,BC=6,DE=12,EF=8,DF=6 D .AB=2,AC=3,BC=5,DE=6,EF=3,DF=39.要做甲,乙两个形状相同的三角形框架,已知三角形框架甲的三边为50cm ,60cm ,80cm ,三角形框架乙的一边长为20cm ,那么符合条件的三角形框架乙共有( ) A .1种 B .2 C .3 D .410.如图,已知AEACDE BC AD AB ==.求证:∠BAD=∠CAE .EDCBA11.如图,D ,E ,F 分别是△ABC 的三边BC ,CA ,AB 的中点.求证: △DEF ∽△ABC .12.如图,O 是△ABC 内一点,D ,E ,F 分别OA ,OB ,OC ,上的点,DE//AB ,EF//BC ,DF//AC .求证: △DEF ∽△ABC .13.如图,四边形ABCD ,DCFE ,EFGH 是三个正方形.求∠1+∠2+∠3的度数.四、聚沙成塔如图,小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是( )F EDCBAOFEDCBA 321FE D C BA HGCBADCBA。
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(2)AC是哪两条线段的比例中项? (3)BC是哪两条线段的比例中项? (4)CD是哪两条线段的比例中项?
4.如图,已知:Rt △ABC中,∠ACB=90°, CE⊥AB,垂足为E,在CE的延长线上取一点 P,连接AP,BG⊥AP,垂足为G. 试说明: CE2=PE.DE.
C
A
E
D G P
Hale Waihona Puke B5. △ ABC中,AD⊥BC于点D,DE⊥AC于E,
B F D E G C
3.如图,在△ABCD中 ,G是BC延长线上的一 点,AG分别交BD、CD于点E、F. 图中有几对相似三角形?请把它们表示出来,并 说明理由.
图中有6对相似三角形
4.如图,要使△AFE∽△ABC,你认为还需要补 充什么条件?
A
E
F B C
1.如图, △ ABC中,AB=12,AC=15,D为AB 2 上的一点,且AD= AB,在AC上取一点E,使 3 以A、D、E为顶点的三角形和△ ABC相似,则 AE 等于 10或6.4 . A
DF⊥AB于点F
A
试说明:∠ AEF= ∠ B
F E B D C
学而不思则罔 回 头 一 看 , 我 想 说 …
我有哪些收获呢? 与大家共分享!
知识象一艘船 让它载着我们 驶向理想的……
教后记 1.在判定三角形相似时,充分挖掘条件灵活 运用相似三角形的判定解决问题;
2.求线段的长或说明两个角相等或说明 两条线段相等可以通过两个三角形相似.
B
?
C
2.如图,△ABC与 △DEA是两个全等的等腰 直角三角形, ∠BAC=∠D= 90° ,BC分别 与AD、AE相交于点F、G. 回答下列问题: (1)图中共有多少个三角形?请把它们表示出来; (2)图中共有几对相似三角形?请把它们表示出 来,并说明理由. A (1)图中共有7个三角形 (2)图中共有4对相似三角形
E E
C
D
B
如图,在矩形ABCD中,AB=12cm, BC=6cm,点P沿AB的边从点A开始向B以2厘 米/秒的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向A 以1厘米/秒的速度移动。如果P、Q同时出发, 用t(秒)表示移动的时间(0 ≤ t ≤6),那么
(1)当t为何值时, △ QAP为等腰直角三角形?
D C
A.(1)(2)(4)
C.(2)(3)(4)
B.(1)(3)(4)
D.(1)(2)(3)
P
A
B
C
2.∠AOD=90°,OA=OB=BC=CD,则下列结 B 论中错误的是( )
A.
B.
BC:AB=AB:BD
BC:AB=CD:AC
C. ∠BAC= ∠ ADB
D. ∠ ACB= ∠ BAD
A
O
B
C
D
3.如图:在Rt△ABC中∠ACB=90° CD是斜边AB上的高. (1)图中有哪几对相似三角形,请用符号把他 们表示出来.
探索三角形相似的条件(习题课)
1.什么叫相似三角形? 各角对应相等、各边对应成比例的两个三角形 叫做相似三角形. 2.探索三角形相似的条件 (1)如果一个三角形的两个角与另一个三角形 的两个角对应相等,那么这两个三角形相似. (2)如果一个三角形的两边与另一个三角形的两 边对应成比例,且夹角相等,那么这两个三角 形相似. (3)如果一个三角形的三条边与另一个三 角形的三条边对应成比例,那么这两个三 角形相似.
A
D E C B A
E
D B
C
(4)平行于三角形一边的直线与其他两边 (或两边的延长线) 相交, 所构成的三角形与原三角形相似.
1.如图,在△ABC中,若∠AED=∠B,DE=6, AB=10,AE=8,则BC的长为 ( C )
15 A、 4
B、7
10
D
C、 A 2 8 E 6
15
D、 24 5
Q 6-t
A B
2t P
(2)求四边形QAPC的面积,并提出一个与计 算结果有关的结论; (3)当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三 角形与△ ABC相似? (2)S四边形QAPC
D
Q
C
=72-S
=36
△DQC
-S
△PBC
A
P
B
1.如图, △ ABC 中,点P在AB上,在下列四 个条件中(1) ∠ACP= ∠ B;(2) ∠ APC= ∠ ACB;(3)AC2=AP· AB;(4)AB· CP=AP· CB.能 满足△ APC和△ ACB相似的条件是( D )