四川省石室中学2015届高三一诊模拟数学理试题
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四川省石室中学2015届高三一诊模拟数学理试题
考试时间:120分钟 总分 150分
【试卷综析】本试卷是高三理科试卷,以基础知识和基本技能为载体,以能力测试为主导,在注重考查学科核心知识的同时,突出考查考纲要求的基本能力,重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识,兼顾覆盖面.试题重点考查:不等式、函数的性质及图象、三角函数、解三角形、数列、平面向量、立体几何、导数的应用、直线与圆、圆锥曲线、复数、集合、程序框图、排列组合、抽样方法、概率等;考查学生解决实际问题的综合能力,是份较好的试卷.
【题文】一、选择题(每题5分,共50分)
【题文】1.已知集合{}
-2A x x =≥,集合{
}
2
4B x x =≤,则集合()
R B A ⋂=ð() A.()2∞,+ B.[)2∞,+ C.()()2-∞⋃∞,-2,+ D.(][)22-∞⋃∞,-,+ 【知识点】集合的运算A1 【答案】【解析】A
解析:因为{}{
}
2
422B x x x x =≤=-≤≤,所以()
(),22,R B =-∞-+∞ð,
则()R B A ⋂=ð()2∞,+,所以选A.
【思路点拨】遇到不等式的解构成的集合,一般先对不等式求解,再进行运算.
【题文】2.已知a b ,
均为单位向量,且它们的夹角为60,那么a b -=() A.1 B.3 C.
3
2
D.12
【知识点】向量的数量积F3
【答案】【解析】 A 解析:因为()
2
1122211cos601a b a b a b -=
-=+-∙=-⨯⨯⨯︒=,所以选A.
【思路点拨】一般遇到求向量的模时,通常利用向量模的性质:向量的平方等于其模的平方进行解答. 【题文】3.设a b R ∈,,i 是虚数学单位,则 “0a =”是“复数a bi +为纯虚数”的()
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充分必要条件
D .既不充分也不必要条件 【知识点】复数的概念 充分、必要条件A2 L4 【答案】【解析】B
解析:若a=0,b=0,则复数a bi +不是纯虚数,所以充分性不满足,若复数a bi +为纯虚数,则必有a=0,所以必要性满足,则选B.
【思路点拨】判断充分、必要条件,可先分清条件与结论,由条件能推出结论,则充分性满足,由结论能推出条件,则必要性满足.
【题文】4.若某程序框图如图所示,则执行该程序输出P 的值是() A .21 B .26 C .30 D .55
【知识点】程序框图L1 【答案】【解析】C
解析:该程序框图为循环结构,依次执行循环体得:第一次执行:n=2,p=5, 第二次执行:n=3,p=14, 第三次执行:n=4,p=30,此时30>20,所以输出p=30,则选C.
【思路点拨】遇到循环结构的程序框图,可依次执行循环体,直到跳出循环体,再判断选项即可. 【题文】5.已知,αβ是平面,,m n 是直线,则下列命题不正确的是()
A .若,,m n m α⊥∥
则n α⊥ B .若,,m m αβ⊥⊥则αβ∥ C .若m m αβ⊥,,∥则αβ⊥ D .若m n ααβ⋂=,∥
,则m n ∥ 【知识点】平行关系与垂直关系G4 G5
【答案】【解析】D
解析:由线面垂直的性质得A 选项正确;由两面平行的性质知B 正确;若m ⊥α,m ∥β,则平面β必经过平面α的一条垂线,所以C 正确;因为n 不一定在平面β内,所以m 与n 不一定平行,则D 错误,综上可知选D.
【思路点拨】判断空间线面位置关系时,可考虑反例法和直接推导相结合的方法进行解答. 【题文】6.一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,则这个四棱锥的侧面积是() A .2 B .3226+ C.32222++ D.3222+
开
P=1,n=1 n=n+P=P+n 2
P>20? 输出P
结束
是 否
俯视图
侧视图
正视图
2
1
1
13
【知识点】三视图G2 【答案】【解析】D
解析:由三视图可知该四棱锥各侧面都是直角三角形,因为底面正方形的边长为2,四个侧棱长依次为
1343,9211,13,11-=+=,所以其侧面积为11
2322112322222
⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+,
所以选D.
【思路点拨】由三视图求面积或体积,关键是由三视图正确判断原几何体特征.
【题文】7.函数()2232x
log e lnx a f x x --+=的一个极值点在区间()12,内,则实数a 的取值范围是()
A .()13,
B .()12,
C .()03,
D .()02, 【知识点】导数的运算 函数的零点B9 B11 【答案】【解析】C 解析:因为()2
'2x
f x a x
=-
-,若函数的一个极值点在区间()12,内,则()()'1'20f f <,即(-a)(3-a)<0,解得0<a <3,所以选C.
【思路点拨】结合零点存在性定理及单数的单调性列出实数a 满足的条件,即可求解.
【题文】8.将标号为123456,
,,,,的6个小球放入3个不同的盒子中,若每个盒子放2个,其中标为12,的小球放入同一个盒子中,则不同的方法共有() A .12种 B .16种 C .18种 D .36种 【知识点】排列组合的应用J2 【答案】【解析】C 解析:可先分组再排列,所以有
23
431182
C A =种方法. 【思路点拨】对于平均分配问题,可先分组再排列,利用组合数与排列数公式解答即可.
【题文】9.点F 为椭圆()22
2210b x y a b
a +>>=的一个焦点,若椭圆上存在点A 使AOF 为正三角形,
那么椭圆的离心率为() A .
22 B .32 C .31
2
- D .31-
【知识点】椭圆的几何性质H5 【答案】【解析】D
解析:由题意,可设椭圆的焦点坐标为(c,0),因为△AOF 为正三角形,则点3,
22c
c ⎛⎫
⎪
⎪
⎝⎭在椭圆上,代入得22223144c c a b +=,即222
341e e e
+=-,得2
423e =-,解得31e =-,所以选D. 【思路点拨】抓住等边三角形的特征寻求椭圆经过的点的坐标,代入椭圆方程。
得到a,b,c 的关系,再求离心率即可.
【题文】10.已知函数()()lg 03636x x f x f x x ⎧<⎪=⎨
-<⎪⎩,,
≤≤,设方程()()2x
b x b f R -+∈=的四个实根从小到大
依次为1234x x x x ,,,,对于满足条件的任意一组实根,下列判断中正确的个数为() (1)()()1234100661x x x x <<--<<或;(2)()()123416061x x x x <--<>且; (3)123499125x x x x <<<<或;(4)1234925361x x x x <<<<且。
A .3 B .2 C .1 D .0
【知识点】函数与方程B9 【答案】【解析】A
解析:不妨令b=0,函数f(x)图象与函数2x y -=的图象如图,则方程()()2
x
b x R f -∈=的根即为两个函
数图象交点的横坐标,由图象可知123401,12,35,56x x x x <<<<<<<<,则
()122112122lg ,2lg ,22lg 0x x x x x x x x ----=-=-=<,所以1201x x <<,
()()()()334434342lg 6,2lg 6,22lg 660x x x x x x x x ----=-=---=-->⎡⎤⎣⎦,所以()()34661x x -->,
由图象可知,4355x x -<-,所以3434102x x x x >+>,得34925x x <<,综上知(1)(2)(3)正确,(4)错误,所以选
A.
.
【思路点拨】可先结合图象判断4个根的位置及由那段函数产生,再结合指数函数与对数函数的运算及性质进行判断即可.
第II 卷(非选择题,共100分)
【题文】二、填空题(每题5分,共25分)
【题文】11.若4cos 5α=-,且α为第三象限角,则sin 4πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭_________. 【知识点】三角求值C7 【答案】【解析】7210
-
解析:因为4
c o
s 5
α=-,且α为第三象限角,所以3s i n 5α=-,则
22
3242
7
2
s i n s i n
c o s 4221010
10
πααα⎛
⎫+=
+=--=-
⎪⎝
⎭. 【思路点拨】直接利用两角和的正弦公式解答即可.
【题文】12.7
2x x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中,2x 的系数是_____________.(用数字作答)
【知识点】二项式定理J3
【答案】【解析】-280
解析:因为()77217722r
r r r r r r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭
,令7-2r=1得r=3,所以所求展开式的2x 的系数是
()3
372280C -=-.
【思路点拨】一般遇到二项展开式某项或某项系数问题,通常利用展开式的通项公式进行解答 【题文】13.函数()110,1x
y a a a ->+=≠的图象恒过定点A ,
若点A 在直线()100mx ny mn +-=>上,则
11
m n
+的最上值为__________. 【知识点】指数函数 基本不等式B6 E6 【答案】【解析】322+
解析:因为点A 坐标为(1,2),则有m+2n=1,由mn >0知m >0,n >0,所以
()1111223322n m m n m n m n m n
⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭. 【思路点拨】可利用1的代换,把所求的式子转化成基本不等式特征,利用基本不等式求最值. 【题文】14.点()P a b ,在函数2
3ln x y x +=-的图象上,点()Q c d ,在函数2y x =+的图象上,则
()
()2
2
a c
b d +--的最小值为________.
【知识点】导数的应用B12 【答案】【解析】8
解析:因为3'2y x x =-+
,令3
21x x
-+=得x=1,代入f(x)得y=-1,所以函数图象上与所给直线平行的切线的切点坐标为(1,-1),该点到已知直线的距离为
112
222
++=,则()()22
a c
b d +--的最小值
为8.
【思路点拨】因为所求的代数式为两个函数图象上的点之间的距离的平方,可令直线平移到与函数f(x)图象相切时,切点到直线的距离再平方,即为所求的最小值.
【题文】15.正方体1111ABCD A BC D -为棱长为1,动点P Q ,分别在棱1BC CC ,上,过点A P Q ,,的平面截该正方体所得的截面记为S ,设,BP x CQ y ==,其中[]01x y ∈,,,下列命题正确的是________.(写出所有正确命题的编号)
①当0x =时,S 为矩形,其面积最大为1; ②当1
2
x y ==时,S 为等腰梯形; ③当11122x y ⎛⎫
=
∈ ⎪⎝⎭
,,时,设S 与棱11C D 的交点为R ,则112RD y =-;
④当1y =时,以1B 为顶点,S 为底面的棱锥的体积为定值
1
3。
P
Q
B 1
C 1
D 1
A 1
D
C B
A
【知识点】正方体的特征G1 【答案】【解析】②③④
解析:当0x =时,S 为矩形,其最大面积为122⨯=,所以①错误;
当1
2
x y ==
时,截面如图所示,所以②正确;
当11122x y ⎛⎫=
∈ ⎪⎝⎭
,,时,如图,设S 与棱C 1D 1的交点为R ,延长DD 1,使DD 1∩QR=N,连接AN 交A 1D 1于S ,连接SR ,可证AN ∥PQ ,由△NRD 1∽△QRC 1,可得C 1R :D 1R=C 1Q :D 1N ,可得11
2RD y
=-
,∴③正确;
当y=1时,以B 1为顶点,S 为底面的棱锥B 1-APC 1M 如图所示,该四棱锥的体积为
111111111
222111323
B AP
C M B PC M P B C M V V V ---===⨯⨯⨯⨯⨯=,所以④正确.
综上可知答案为②③④.
【思路点拨】可结合线面平行的性质作出其截面,结合其截面特征进行解答.
【题文】三、解答题(16-19题每题12分,20题13分,21题14分,共75分)
【题文】16.设ABC 的内角A B C ,,所对的边分别为a b c ,,,已知1
12cos 4
a b C ===,,
, (I )求ABC 的周长;(II )求()cos A C -的值。
【知识点】解三角形C8 【答案】【解析】(I )5;(II )
1116
解析:(I )因为2
2
2
1
2cos 14444
c a b ab C =+-=+-⨯
=,所以c=2,则△ABC 的周长为a+b+c=1+2+2=5; (II )因为1cos 4C =,所以15
sin 4
C =,15
sin 154sin 28a C A c ===,因为a <c,所以A <C,则A 为锐角,所以7cos 8A =
,所以()71151511
cos cos cos sin sin 848416
A C A C A C -=+=⨯+⨯=. 【思路点拨】结合已知条件,恰当的选择余弦定理和正弦定理进行转化求值是本题的关键.
【题文】17.为了解甲、乙两厂的产品质量,已知甲厂生产的产品共有98件,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取出14件和5件,测量产品中的微量元素x y ,的含量(单位:毫克)。
下表是乙厂的5件产品的测量数据:
编号 1 2 3 4 5 x 169 178 166 175 180 y
75
80
77
70
81
(I )当产品中微量元素x y ,满足1755x y ,且≥≥时,该产品为优等品。
用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量;
(II )从乙厂抽出的上述5件产品中,随机抽取2件,求抽取2
件产品中优等品数ξ的分布列及其均值(即数学期望)。
【知识点】抽样方法
离散随机变量的分布列与期望
I1 K6
【答案】【解析】(I )14; (II )()4
5
E ξ=
解析::(I )因为乙厂生产的产品总数为1453598÷=,样品中优等品的频率为2
5
,乙厂生产的优等品的数量为2
35145
⨯
=; (II )由题意知()()223
2
50,1,2,0,1,2i i C C p i i C ξξ-====,ξ的分布列为
0 1 2
其均值为()314125105
E ξ=⨯
+⨯=. 【思路点拨】在求离散随机变量的期望时,一般先确定随机变量的所有取值,再求各个取值的概率,得分
布列,用公式求期望即可.
【题文】18.正项等差数列{}n a 中,已知12315a a a ++=,且1232513a a a +++,,构成等比数列{}n b 的前三项。
(I )求数列{}{}n n a b ,的通项公式; (II )求数列{}n n a b 的前n 项和n T 。
【知识点】等差数列 数列求和D2 D4
【答案】【解析】(I )21n a n =+,152n n b -=∙;(II )()52121n
n T n ⎡⎤=--⎣⎦
解析:(I )设设等差数列的公差为d ,由已知得13222315,5a a a a a ==+=+又
()()52513100d d -+++=,解得d=2,所以()22221n a a n n =+-⨯=+,又125,10,2b b q ===,所
以152n n b -=∙; (II )因为
()()()()2123535272212,25325272212n n n n T n T n -=+∙+∙+++∙=∙+∙+∙+++∙两式相减
得()(
)()2
15322222221251221n n n
n T n n -⎡⎤-=+∙+∙++∙-+∙=--⎣⎦,则
()52121n
n T n ⎡⎤=--⎣⎦.
【思路点拨】一般遇到数列求和问题,通常结合通项公式特征确定求和思路,本题是等差与等比的积数列,
所以用错位相减法求和.
【题文】19.如图,在四棱锥P D ABC -中,四边形ABCD 是边长为1的菱形,且60DAB ∠=,
22P P D B A P ===,,E F ,分别是BC PC ,的中点。
(I )证明:AD DEF ⊥平面; (II )求二面角P AD B --的余弦值。
E
F
C
D
B
A
P
【知识点】垂直关系 二面角的求法G5 G11 【答案】【解析】 (I )略;(II )21
7
-
解析:(I )取AD 的中点G ,因为PA=PD ,所以PG ⊥AD,由题意知△ABC 是等边三角形,所以BG ⊥AD,又PG,BG 是平面PGB 的两条相交直线,所以AD ⊥平面PGB ,因为EF ∥PB,DE ∥GB,所以平面DEF ∥平面PGB,所以AD ⊥平面DEF;
(II )由(1)知∠PGB 为二面角P-AD-B 的平面角,在Rt △PGA 中,()
2
2
2
17
224
PG ⎛⎫=
-= ⎪⎝⎭,在Rt △BGA 中,2
2
13124BG ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
,在△PGB 中22221cos 27PG BG PB PGB PG BG +-∠==-
∙
.
【思路点拨】证明线面垂直,通常利用其判定定理进行证明,求二面角时可先找出其平面角,再利用其所在的三角形求值.
【题文】20.已知椭圆C 的对称中心为原点O ,焦点在x 轴上,左、右焦点分别为12F F ,,且122FF =,点312⎛⎫ ⎪⎝⎭
,在该椭圆上。
(I )求椭圆C 的方程;
(II )过1F 的直线l 与椭圆C 相交于A B ,两点,若2B AF 的内切圆半径为32
7
,求以2F 为圆心且与直线l 相切的圆的方程。
【知识点】椭圆 直线与椭圆的位置关系H5 H8
【答案】【解析】 (I )22143
x y +=;(II )()22
12x y -+= 解析:(I )由题意,可设所求的椭圆方程为2
2
221x y a b +=,由已知得22221
19
1
4a b a b
⎧-=⎪⎨+=⎪⎩,解得22
4,3a b ==,所以椭圆方程为22
143
x y +=; (II )设直线l 的方程为x=ty-1,代入椭圆方程得()
22
43690t y ty +--=,显然判别式大于0恒成立,
设()()1122,,,A x y B x y ,则有2121212222
69121,,434343t t y y y y y y t t t ++==-=+++,又圆的半径22
1
r t =+,所以221212211211321228243277AF B t S F F y y t ∆+=-==⨯⨯=+,解得21t =,所以22
1r t =+=2,所以所求圆的方程为()2212x y -+=.
【思路点拨】求椭圆方程可结合条件利用待定系数法解答;一般遇到直线与圆锥曲线位置关系问题,通常联立方程,结合韦达定理寻求系数关系进行解答.
【题文】21.已知函数()ln x g x x
=,()()f x g x ax =-。
(I )求函数()g x 的单调区间;
(II )若函数()f x 在区间()1∞,+上是减函数,求实数a 的最小值;
(III )若存在212x x e e ⎡⎤∈⎣⎦,,,
(e 是自然对数的底数)使()()'f x f x a +≤,求实数a 的取值范围。
【知识点】导数的应用B12
【答案】【解析】(I )单调递减区间为(0,1),(1,e);单调递增区间为(e,+ ∞);(II )
14;(III )21124a e ≥- 解析:(I )因为()()2ln 1'0,1ln x g x x x x -=
>≠,所以函数g(x)的单调递减区间为(0,1),(1,e);单调递增区间为(e,+ ∞);
(II )若函数()f x 在区间()1∞,+上是减函数,则()2ln 1'0ln x g x a x -=
-≤在区间(1,+ ∞)上恒成立,令()222ln 1111111ln ln ln ln 244
x h x x x x x -⎛⎫⎛⎫==-=--+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以14a ≥; (III )存在212x x e e ⎡⎤∈⎣⎦,,,使()()'f x f x a +≤,等价于“当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时,有
()()min max 'f x f x a ≤+”,当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时,()14f x ≤,因为()()
2ln 1'ln x f x a x -=-,由(II )知()2ln 110,4ln x x -⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
, ①当a ≥14
时,()'0f x ≤在2,e e ⎡⎤⎣⎦上恒成立,因此f(x)在2,e e ⎡⎤⎣⎦上为减函数,则()()222min 124
e f x f e ae ==-≤,所以21124a e ≥-; ②当a ≤0时,()'0f x ≥在2,e e ⎡⎤⎣⎦上恒成立,因此f(x)在2,e e ⎡⎤⎣⎦上为增函数,则
()()min 14
f x f e e ae ==->不合题意; ③当104a <<时,由于()211'ln ln f x a x x
⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭在2,e e ⎡⎤⎣⎦上为增函数,所以()'f x 的值域为1,4a a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦
,由()'f x 的单调性和值域知,存在唯一的0x ∈2,e e ⎡⎤⎣⎦,使()'f x =0,所以()()()20000min 01,,ln 4x f x f x ax x e e x ==-≤∈,所以220011111ln 4ln 44a x x e e ≥->->,与104a <<矛盾,综上得21
1
24a e ≥-.
【思路点拨】一般遇到不等式恒成立或存在性问题,通常转化为函数的最值问题进行解答.。