四川省石室中学2015届高三一诊模拟数学理试题

四川省石室中学2015届高三一诊模拟数学理试题
考试时间：120分钟 总分 150分
【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、函数的性质及图象、三角函数、解三角形、数列、平面向量、立体几何、导数的应用、直线与圆、圆锥曲线、复数、集合、程序框图、排列组合、抽样方法、概率等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.
【题文】一、选择题（每题5分，共50分）
【题文】1.已知集合{}
-2A x x =≥，集合{
}
2
4B x x =≤，则集合()
R B A ⋂=ð（） A.()2∞，+ B.[)2∞，+ C.()()2-∞⋃∞，-2，+ D.(][)22-∞⋃∞，-，+ 【知识点】集合的运算A1 【答案】【解析】A
解析：因为{}{
}
2
422B x x x x =≤=-≤≤，所以()
(),22,R B =-∞-+∞ð，
则()R B A ⋂=ð()2∞，+,所以选A.
【思路点拨】遇到不等式的解构成的集合，一般先对不等式求解，再进行运算.
【题文】2.已知a b ，
均为单位向量，且它们的夹角为60，那么a b -=（） A.1 B.3 C.
3
2
D.12
【知识点】向量的数量积F3
【答案】【解析】 A 解析：因为()
2
1122211cos601a b a b a b -=
-=+-∙=-⨯⨯⨯︒=，所以选A.
【思路点拨】一般遇到求向量的模时，通常利用向量模的性质：向量的平方等于其模的平方进行解答. 【题文】3.设a b R ∈，，i 是虚数学单位，则 “0a =”是“复数a bi +为纯虚数”的（）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 【知识点】复数的概念 充分、必要条件A2 L4 【答案】【解析】B
解析：若a=0，b=0，则复数a bi +不是纯虚数，所以充分性不满足，若复数a bi +为纯虚数，则必有a=0，所以必要性满足，则选B.
【思路点拨】判断充分、必要条件，可先分清条件与结论，由条件能推出结论，则充分性满足，由结论能推出条件，则必要性满足.
【题文】4．若某程序框图如图所示，则执行该程序输出P 的值是（） A ．21 B ．26 C ．30 D ．55
【知识点】程序框图L1 【答案】【解析】C
解析：该程序框图为循环结构，依次执行循环体得：第一次执行：n=2,p=5, 第二次执行：n=3,p=14, 第三次执行：n=4,p=30,此时30＞20,所以输出p=30，则选C.
【思路点拨】遇到循环结构的程序框图，可依次执行循环体，直到跳出循环体，再判断选项即可. 【题文】5．已知,αβ是平面，,m n 是直线，则下列命题不正确的是（）
A ．若,,m n m α⊥∥
则n α⊥ B ．若,,m m αβ⊥⊥则αβ∥ C ．若m m αβ⊥，，∥则αβ⊥ D ．若m n ααβ⋂=，∥
，则m n ∥ 【知识点】平行关系与垂直关系G4 G5
【答案】【解析】D
解析：由线面垂直的性质得A 选项正确；由两面平行的性质知B 正确；若m ⊥α,m ∥β,则平面β必经过平面α的一条垂线，所以C 正确；因为n 不一定在平面β内，所以m 与n 不一定平行，则D 错误，综上可知选D.
【思路点拨】判断空间线面位置关系时，可考虑反例法和直接推导相结合的方法进行解答. 【题文】6．一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的侧面积是（） A ．2 B ．3226+ C.32222++ D.3222+
开
P=1，n=1 n=n+P=P+n 2
P>20? 输出P
结束
是 否
俯视图
侧视图
正视图
2
1
1
13
【知识点】三视图G2 【答案】【解析】D
解析：由三视图可知该四棱锥各侧面都是直角三角形，因为底面正方形的边长为2，四个侧棱长依次为
1343,9211,13,11-=+=，所以其侧面积为11
2322112322222
⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+，
所以选D.
【思路点拨】由三视图求面积或体积，关键是由三视图正确判断原几何体特征.
【题文】7．函数()2232x
log e lnx a f x x --+=的一个极值点在区间()12，内，则实数a 的取值范围是（）
A ．()13，
B ．()12，
C ．()03，
D ．()02， 【知识点】导数的运算 函数的零点B9 B11 【答案】【解析】C 解析：因为()2
'2x
f x a x
=-
-，若函数的一个极值点在区间()12，内，则()()'1'20f f <，即(－a)(3－a)＜0，解得0＜a ＜3，所以选C.
【思路点拨】结合零点存在性定理及单数的单调性列出实数a 满足的条件，即可求解.
【题文】8．将标号为123456，
，，，，的6个小球放入3个不同的盒子中，若每个盒子放2个，其中标为12，的小球放入同一个盒子中，则不同的方法共有（） A ．12种 B ．16种 C ．18种 D ．36种 【知识点】排列组合的应用J2 【答案】【解析】C 解析：可先分组再排列，所以有
23
431182
C A =种方法. 【思路点拨】对于平均分配问题，可先分组再排列，利用组合数与排列数公式解答即可.
【题文】9．点F 为椭圆()22
2210b x y a b
a +>>=的一个焦点，若椭圆上存在点A 使AOF 为正三角形，
那么椭圆的离心率为（） A ．
22 B ．32 C ．31
2
- D ．31-
【知识点】椭圆的几何性质H5 【答案】【解析】D
解析：由题意，可设椭圆的焦点坐标为(c,0)，因为△AOF 为正三角形，则点3,
22c
c ⎛⎫
⎪
⎪
⎝⎭在椭圆上，代入得22223144c c a b +=，即222
341e e e
+=-,得2
423e =-，解得31e =-，所以选D. 【思路点拨】抓住等边三角形的特征寻求椭圆经过的点的坐标，代入椭圆方程。

得到a,b,c 的关系，再求离心率即可.
【题文】10．已知函数()()lg 03636x x f x f x x ⎧<⎪=⎨
-<⎪⎩，，
≤≤，设方程()()2x
b x b f R -+∈=的四个实根从小到大
依次为1234x x x x ，，，，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中正确的个数为（） （1）()()1234100661x x x x <<--<<或；（2）()()123416061x x x x <--<>且； （3）123499125x x x x <<<<或；（4）1234925361x x x x <<<<且。

A ．3 B ．2 C ．1 D ．0
【知识点】函数与方程B9 【答案】【解析】A
解析：不妨令b=0,函数f(x)图象与函数2x y -=的图象如图，则方程()()2
x
b x R f -∈=的根即为两个函
数图象交点的横坐标，由图象可知123401,12,35,56x x x x <<<<<<<<，则
()122112122lg ,2lg ,22lg 0x x x x x x x x ----=-=-=<，所以1201x x <<，
()()()()334434342lg 6,2lg 6,22lg 660x x x x x x x x ----=-=---=-->⎡⎤⎣⎦，所以()()34661x x -->，
由图象可知，4355x x -<-，所以3434102x x x x >+>，得34925x x <<，综上知(1)(2)(3)正确，（4）错误，所以选
A.
.
【思路点拨】可先结合图象判断4个根的位置及由那段函数产生，再结合指数函数与对数函数的运算及性质进行判断即可.
第II 卷（非选择题，共100分）
【题文】二、填空题（每题5分，共25分）
【题文】11．若4cos 5α=-，且α为第三象限角，则sin 4πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭_________. 【知识点】三角求值C7 【答案】【解析】7210
-
解析：因为4
c o
s 5
α=-，且α为第三象限角，所以3s i n 5α=-，则
22
3242
7
2
s i n s i n
c o s 4221010
10
πααα⎛
⎫+=
+=--=-
⎪⎝
⎭. 【思路点拨】直接利用两角和的正弦公式解答即可.
【题文】12．7
2x x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中，2x 的系数是_____________.（用数字作答）
【知识点】二项式定理J3
【答案】【解析】－280
解析：因为()77217722r
r r r r r r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭
，令7-2r=1得r=3，所以所求展开式的2x 的系数是
()3
372280C -=-.
【思路点拨】一般遇到二项展开式某项或某项系数问题，通常利用展开式的通项公式进行解答 【题文】13．函数()110,1x
y a a a ->+=≠的图象恒过定点A ，
若点A 在直线()100mx ny mn +-=>上，则
11
m n
+的最上值为__________. 【知识点】指数函数 基本不等式B6 E6 【答案】【解析】322+
解析：因为点A 坐标为(1,2)，则有m+2n=1，由mn ＞0知m ＞0,n ＞0，所以
()1111223322n m m n m n m n m n
⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭. 【思路点拨】可利用1的代换，把所求的式子转化成基本不等式特征，利用基本不等式求最值. 【题文】14．点()P a b ，在函数2
3ln x y x +=-的图象上，点()Q c d ，在函数2y x =+的图象上，则
()
()2
2
a c
b d +--的最小值为________.
【知识点】导数的应用B12 【答案】【解析】8
解析：因为3'2y x x =-+
，令3
21x x
-+=得x=1，代入f(x)得y=－1，所以函数图象上与所给直线平行的切线的切点坐标为(1,－1)，该点到已知直线的距离为
112
222
++=，则()()22
a c
b d +--的最小值
为8.
【思路点拨】因为所求的代数式为两个函数图象上的点之间的距离的平方，可令直线平移到与函数f(x)图象相切时，切点到直线的距离再平方，即为所求的最小值.
【题文】15．正方体1111ABCD A BC D -为棱长为1，动点P Q ，分别在棱1BC CC ，上，过点A P Q ，，的平面截该正方体所得的截面记为S ，设,BP x CQ y ==，其中[]01x y ∈，，，下列命题正确的是________.（写出所有正确命题的编号）
①当0x =时，S 为矩形，其面积最大为1； ②当1
2
x y ==时，S 为等腰梯形； ③当11122x y ⎛⎫
=
∈ ⎪⎝⎭
，，时，设S 与棱11C D 的交点为R ，则112RD y =-；
④当1y =时，以1B 为顶点，S 为底面的棱锥的体积为定值
1
3。

P
Q
B 1
C 1
D 1
A 1
D
C B
A
【知识点】正方体的特征G1 【答案】【解析】②③④
解析：当0x =时，S 为矩形，其最大面积为122⨯=，所以①错误；
当1
2
x y ==
时，截面如图所示，所以②正确；
当11122x y ⎛⎫=
∈ ⎪⎝⎭
，，时，如图，设S 与棱C 1D 1的交点为R ，延长DD 1，使DD 1∩QR=N，连接AN 交A 1D 1于S ，连接SR ，可证AN ∥PQ ，由△NRD 1∽△QRC 1，可得C 1R ：D 1R=C 1Q ：D 1N ，可得11
2RD y
=-
，∴③正确；
当y=1时，以B 1为顶点，S 为底面的棱锥B 1-APC 1M 如图所示，该四棱锥的体积为
111111111
222111323
B AP
C M B PC M P B C M V V V ---===⨯⨯⨯⨯⨯=,所以④正确．
综上可知答案为②③④.
【思路点拨】可结合线面平行的性质作出其截面，结合其截面特征进行解答.
【题文】三、解答题（16-19题每题12分，20题13分，21题14分，共75分）
【题文】16．设ABC 的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知1
12cos 4
a b C ===，，
， （I ）求ABC 的周长；（II ）求()cos A C -的值。

【知识点】解三角形C8 【答案】【解析】（I ）5；（II ）
1116
解析：（I ）因为2
2
2
1
2cos 14444
c a b ab C =+-=+-⨯
=，所以c=2，则△ABC 的周长为a+b+c=1+2+2=5； （II ）因为1cos 4C =，所以15
sin 4
C =，15
sin 154sin 28a C A c ===，因为a ＜c,所以A ＜C,则A 为锐角，所以7cos 8A =
,所以()71151511
cos cos cos sin sin 848416
A C A C A C -=+=⨯+⨯=. 【思路点拨】结合已知条件，恰当的选择余弦定理和正弦定理进行转化求值是本题的关键.
【题文】17．为了解甲、乙两厂的产品质量，已知甲厂生产的产品共有98件，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取出14件和5件，测量产品中的微量元素x y ，的含量（单位：毫克）。

下表是乙厂的5件产品的测量数据：
编号 1 2 3 4 5 x 169 178 166 175 180 y
75
80
77
70
81
（I ）当产品中微量元素x y ，满足1755x y ，且≥≥时，该产品为优等品。

用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
（II ）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取2
件产品中优等品数ξ的分布列及其均值（即数学期望）。

【知识点】抽样方法
离散随机变量的分布列与期望
I1 K6
【答案】【解析】（I ）14； （II ）()4
5
E ξ=
解析：：（I ）因为乙厂生产的产品总数为1453598÷=，样品中优等品的频率为2
5
，乙厂生产的优等品的数量为2
35145
⨯
=； （II ）由题意知()()223
2
50,1,2,0,1,2i i C C p i i C ξξ-====，ξ的分布列为
0 1 2
其均值为()314125105
E ξ=⨯
+⨯=. 【思路点拨】在求离散随机变量的期望时，一般先确定随机变量的所有取值，再求各个取值的概率，得分
布列，用公式求期望即可.
【题文】18．正项等差数列{}n a 中，已知12315a a a ++=，且1232513a a a +++，，构成等比数列{}n b 的前三项。

（I ）求数列{}{}n n a b ，的通项公式； （II ）求数列{}n n a b 的前n 项和n T 。

【知识点】等差数列 数列求和D2 D4
【答案】【解析】（I ）21n a n =+，152n n b -=∙；（II ）()52121n
n T n ⎡⎤=--⎣⎦
解析：（I ）设设等差数列的公差为d ，由已知得13222315,5a a a a a ==+=+又
()()52513100d d -+++=，解得d=2,所以()22221n a a n n =+-⨯=+，又125,10,2b b q ===，所
以152n n b -=∙； （II ）因为
()()()()2123535272212,25325272212n n n n T n T n -=+∙+∙+++∙=∙+∙+∙+++∙两式相减
得()(
)()2
15322222221251221n n n
n T n n -⎡⎤-=+∙+∙++∙-+∙=--⎣⎦，则
()52121n
n T n ⎡⎤=--⎣⎦.
【思路点拨】一般遇到数列求和问题，通常结合通项公式特征确定求和思路，本题是等差与等比的积数列，
所以用错位相减法求和.
【题文】19．如图，在四棱锥P D ABC -中，四边形ABCD 是边长为1的菱形，且60DAB ∠=，
22P P D B A P ===，，E F ，分别是BC PC ，的中点。

（I ）证明：AD DEF ⊥平面； （II ）求二面角P AD B --的余弦值。

E
F
C
D
B
A
P
【知识点】垂直关系 二面角的求法G5 G11 【答案】【解析】 （I ）略；（II ）21
7
-
解析：（I ）取AD 的中点G ，因为PA=PD ，所以PG ⊥AD,由题意知△ABC 是等边三角形，所以BG ⊥AD,又PG,BG 是平面PGB 的两条相交直线，所以AD ⊥平面PGB ，因为EF ∥PB,DE ∥GB,所以平面DEF ∥平面PGB,所以AD ⊥平面DEF;
（II ）由(1)知∠PGB 为二面角P-AD-B 的平面角，在Rt △PGA 中，()
2
2
2
17
224
PG ⎛⎫=
-= ⎪⎝⎭,在Rt △BGA 中，2
2
13124BG ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
,在△PGB 中22221cos 27PG BG PB PGB PG BG +-∠==-
∙
.
【思路点拨】证明线面垂直，通常利用其判定定理进行证明，求二面角时可先找出其平面角，再利用其所在的三角形求值.
【题文】20．已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为12F F ，，且122FF =，点312⎛⎫ ⎪⎝⎭
，在该椭圆上。

（I ）求椭圆C 的方程；
（II ）过1F 的直线l 与椭圆C 相交于A B ，两点，若2B AF 的内切圆半径为32
7
，求以2F 为圆心且与直线l 相切的圆的方程。

【知识点】椭圆 直线与椭圆的位置关系H5 H8
【答案】【解析】 （I ）22143
x y +=；（II ）()22
12x y -+= 解析：（I ）由题意，可设所求的椭圆方程为2
2
221x y a b +=，由已知得22221
19
1
4a b a b
⎧-=⎪⎨+=⎪⎩,解得22
4,3a b ==，所以椭圆方程为22
143
x y +=； （II ）设直线l 的方程为x=ty-1,代入椭圆方程得()
22
43690t y ty +--=，显然判别式大于0恒成立，
设()()1122,,,A x y B x y ，则有2121212222
69121,,434343t t y y y y y y t t t ++==-=+++，又圆的半径22
1
r t =+，所以221212211211321228243277AF B t S F F y y t ∆+=-==⨯⨯=+，解得21t =,所以22
1r t =+=2，所以所求圆的方程为()2212x y -+=.
【思路点拨】求椭圆方程可结合条件利用待定系数法解答；一般遇到直线与圆锥曲线位置关系问题，通常联立方程，结合韦达定理寻求系数关系进行解答.
【题文】21．已知函数()ln x g x x
=，()()f x g x ax =-。

（I ）求函数()g x 的单调区间；
（II ）若函数()f x 在区间()1∞，+上是减函数，求实数a 的最小值；
（III ）若存在212x x e e ⎡⎤∈⎣⎦，，，
（e 是自然对数的底数）使()()'f x f x a +≤，求实数a 的取值范围。

【知识点】导数的应用B12
【答案】【解析】（I ）单调递减区间为(0,1),(1,e)；单调递增区间为(e,+ ∞)；（II ）
14；（III ）21124a e ≥- 解析：（I ）因为()()2ln 1'0,1ln x g x x x x -=
>≠，所以函数g(x)的单调递减区间为(0,1),(1,e)；单调递增区间为(e,+ ∞)；
（II ）若函数()f x 在区间()1∞，+上是减函数，则()2ln 1'0ln x g x a x -=
-≤在区间(1,+ ∞)上恒成立，令()222ln 1111111ln ln ln ln 244
x h x x x x x -⎛⎫⎛⎫==-=--+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以14a ≥； （III ）存在212x x e e ⎡⎤∈⎣⎦，，，使()()'f x f x a +≤，等价于“当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，有
()()min max 'f x f x a ≤+”，当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，()14f x ≤，因为()()
2ln 1'ln x f x a x -=-，由（II ）知()2ln 110,4ln x x -⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
， ①当a ≥14
时，()'0f x ≤在2,e e ⎡⎤⎣⎦上恒成立，因此f(x)在2,e e ⎡⎤⎣⎦上为减函数，则()()222min 124
e f x f e ae ==-≤，所以21124a e ≥-； ②当a ≤0时，()'0f x ≥在2,e e ⎡⎤⎣⎦上恒成立，因此f(x)在2,e e ⎡⎤⎣⎦上为增函数，则
()()min 14
f x f e e ae ==->不合题意； ③当104a <<时，由于()211'ln ln f x a x x
⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭在2,e e ⎡⎤⎣⎦上为增函数，所以()'f x 的值域为1,4a a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦
，由()'f x 的单调性和值域知，存在唯一的0x ∈2,e e ⎡⎤⎣⎦，使()'f x =0，所以()()()20000min 01,,ln 4x f x f x ax x e e x ==-≤∈，所以220011111ln 4ln 44a x x e e ≥->->，与104a <<矛盾，综上得21
1
24a e ≥-.
【思路点拨】一般遇到不等式恒成立或存在性问题，通常转化为函数的最值问题进行解答.。