两角和与差的正切辅导练习
两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(含答案)
两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(含答案)两角和差的正弦余弦正切公式练题一、选择题1.给出如下四个命题：①对于任意的实数α和β，等式cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ恒成立；②存在实数α，β，使等式cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ能成立；③公式tan(α+β)=tanα+tanβ成立的条件是α≠kπ+π(k∈Z)且β≠kπ+π(k∈Z)；1-tanαtanβ/2④不存在无穷多个α和β，使sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ。
其中假命题是（）A。
①②B。
②③C。
③④D。
②③④2.函数y=2sinx(sinx+cosx)的最大值是（）A。
1+2B。
2-1C。
2D。
2/33.当x∈[-π/2,π/2]时，函数f(x)=sinx+3cosx的（）A。
最大值为1，最小值为-1B。
最大值为1，最小值为-1/2C。
最大值为2，最小值为-2D。
最大值为2，最小值为-14.已知tan(α+β)=7，tanαtanβ=2/3，则cos(α-β)的值（）A。
1/2B。
2/2C。
-2D。
±25.已知π/2<β<α<3π/4，cos(α-β)=12/13，sin(α+β)=-3/5，则sin2α=（）A。
56/65B。
-56/65C。
6565/56D。
-5/66.sin15°sin30°sin75°的值等于（）A。
3/4B。
3/8C。
1/8D。
1/47.函数f(x)=tan(x+π/4)+1+tanx/4，g(x)=1-tanx，h(x)=cot(π/4-x)。
其中为相同函数的是（）A。
f(x)与g(x)B。
g(x)与h(x)C。
h(x)与f(x)D。
f(x)与g(x)及h(x)8.α、β、γ都是锐角，tanα=1/2，tanβ=1/5，tanγ=1/8，则α+β+γ等于（）A。
π/3B。
π/4C。
π/5D。
两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(答案)
两角和差的正弦余弦正切公式练习题知识梳理1. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin( a±3 = sin_a cos B±cos_osin 3 cos(a? 3 = cos _ocos_3sin 一 o (sin 3tan a±a n 3 tan (a±3 = . 1?tan a an 32. 二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2 a= 2sin_ a os_a2 ■ 2 2 ■ 2cos 2a= cos a — sin a= 2cos a — 1 = 1 一 2sin a3. 有关公式的逆用、变形等(1)ta n a±an 3= tan( a±3(1 ?tan_ a an_ 3.4. 函数 f(M = asin a+ bcos o(a, b 为常数)，可以化为 f( a = a 2 + b 2sin(a+ ©，其中 tan一、选择题1.给出如下四个命题②存在实数a,3 ,使等式 cos( ) cos cossin sin 能成立；③公式tan()tan an成立的条件是k—(k Z)且 k —(k Z)；1 tan tan22④不存在无穷多个 a 和3,使 sin()sin cosco s，sin ；其中假命题是( )A.①②B.②③C. ③④D. ②③④2 .函数 y 2sin x(sin x cosx)的最大值是( )A. 1 . 2B. .. 2 1C.、2D. 2①对于任意的实数a 和3,等式cos( )cos cos sin sin 恒成立； tan 2 2ta n a1 tan 2a 2(2)cos a=1 + cos 2a2 sin 2a= 1 — COS2a2 -2(3)1 + sin 2 a= (sin a+ cos c), 1 — sin 2 a= (sin a — cos a )2, sin a±cos a= 2sin a±4t .当 x [ — ^]时，函数 f(x) sinx .. 3cosx 的 ( )A •最大值为4,最小值为—1B 最大值为1最小值为土C •最大值为2,最小值为—2D.最大值为2,最小值为—1已知tan( ) 7,ta n tan2则cos()的值( )八1 D、、2c 2D.A.—B.C. -2222已知一3,cos()123,si n( )，则 sin 2( )2413 5A565665 D.65 A.B.———C.—65655656sin15 sin30 sin 75 的值等于( )八＜3c 1 D.1A.DB.C.-4884函数 f (x) tan(x)g (x )1tanx ,h(x) cot( x)其中为相同函数的是 4 丿，g (x)41tanx( )A. f (x)与 g(x)B. g(x)与 h(x)C. h(x)与f (x)D. f (x)与g(x)及h(x)1a 、B 、 都是锐角，tan—2 ,tan 1,ta n 贝U等于 ( )小 55A.—B.-C.-D.3 464设 tan 和 tan(— 4 )是方程x 2 px q 0的两个根，则 P 、q 之间的关系是()A. p+q+1=OB. p — q+仁C. p+q —仁0D. p — q —1=0已知 cosa,sin 4sin( ),则 tan( )的值是 ( )13.已知 sin( )4分，共16分，将答案填在横线上)sin( ) m ,则 cos 2cos 2 的值为A1 a 2B. —V 1 2aC.a 4D.1 a 2a 4a 4 1 a 2a 4.在厶 ABC 中, C 90o ，则tan A tanB 与1的关系为( : )A. tanA tanB 1B. tan A tanB 1C. tanA tanB 1D. 不能确定.sin 20 cos70 sin10sin50的值是( : )A.—B.3C. —D.34224、填空题(每小题3.4.5. 6.7.8.9.10111215 .若sin( 24 ) cos(24 ),则tan( 60)= _____________ . ____16. 若sinx si ny -,则cosx cosy的取值范围是2 ---------------------------------------三、解答题（本大题共74分，17— 21题每题12分，22题14分）17. 化简求值：sinq 3x） cosq 3x） cos（石 3x） sin3x）.求tan( 2 )的值.19.求证：tan (x y) tan (x y)18.已知0 90 ,且cos , cos 是方程 x2, 2sin50 x sin250 0的两根,20.已知a,p€( 0,n )且 tan( )1,tan 1弓，求2的值.21.证明：tan|x眄2sin xcosx cos2x22.已知△ ABC的三个内角满足: A+C=2B1cos A1cosC2求cos^cosBsin 2x 2 ~2~cos x sin y11. 1. C 2 B 12 . 两角和差的正弦余弦正切公式练习题 .A 3 . D 4 . D A 参考答案 .C 8 . B 9 . B 10 . D 18. 19. 20. 21. 22. 13. m 14 . - 15 . 32 .3 16 .[ 帀 J i?】17.原式円叫3x)cos(3 3x) si n( 3x) cos(- 3 4 2 3x)t 6 岳i ns 。
完整版)两角和与差的正弦、余弦、正切经典练习题
完整版)两角和与差的正弦、余弦、正切经典练习题两角和与差的正弦、余弦、正切cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ1、求值：1)cos15°2)cos80°cos20°+sin80°sin20°3)cos130°cos10°+sin130°sin10°5)sin75°7)cos(A+B)cosB+sin(A+B)sinB2.1)证明：cos(π/2-α)=sinα4)cos105°6)求cos75°cos105°+sin75°sin105°8)cos91°cos29°-sin91°sin29°2)已知sinθ=15π，且θ为第二象限角，求cos(θ-π)的值．3)已知sin(30°+α)=√3/2，60°<α<150°，求cosα．4)化简cos(36°+α)cos(α-54°)+sin(36°+α)sin(α-54°)．5)已知sinα=-4/5，求cosα的值。
6)已知cosα=-3π/32，α∈(π/2,π)，求sin(α+π/4)的值。
7)已知α，β都是锐角，cosα=32π/53，α∈(π/3,π/2)，cosβ=-3π/52，β∈(π/6,π/4)，求cos(α+β)的值。
8)已知cos(α+β)=-11/53，求cosβ的值。
9)在△ABC中，已知sinA=√3/5，cosB=1/4，求cosC的值.两角和与差的正弦sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ利用和差角公式计算下列各式的值：1)sin72°cos42°-cos72°sin42°2)3sinx+cosx3)cos2x-sin2x证明：1)sinα+cosα=sin(α+π/2)2)cosθ+sinθ=2sin(θ+π/4)3)2(sin x+cos x)=2cos(x-π/4)1)已知sinα=-3/5，α是第四象限角，求sin(-α)的值。
[VIP专享]两角和与差的正切辅导练习
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(2) tan tan 2 3 同时成立？若存在，求 及 的值；若不存在，说明理由。 2
(1) 2 3
16、是否存在锐角 和 ，使得：
B4 2
C 1.5
A
则离墙多远的视角 最大？
16、如图，有一壁画，最高点 A 处离地面 4 m ，最低点 B 处离地面 2 m ，若从离地面高1.5m 的 C 处观赏它，
.
5
44
4
12、在 ABC 中，若 0 tan A tan B 1，则 ABC 必是__________三角形.
13、化简 3 tan 22 =
.
1 3 tan 22
14、在 ABC 中，已知 A B 2C, tan A tan B 3 ，则三角形的三个角分别为
.
三、解答题：
１5、已知 tan 3, tan 2, , (0, ) ，求证： 3
一、填空题
高一数学两角和与差的正切练习题
1、已知 A、B 为 AABC 的内角，并且 (1 tan A)(1 tan B) =2，则 A+B 等于_______.
2、如图由三个正方形拼接而成的长方形，则 =_________________.
3、设 tan 1 , tan( ) 2 ,则 tan _______________.
设 ACD ， BCD ，视角 ACB ,CD x ，
２．解：如图，作 CD AF 于 D ，则 CD=EF
2
4
1
2
7
2
19、已知 tan( ) 1 ， tan 1 ，且 , ( ,0) ，求 2 的值.
4
的值.
0 的两根,求 k
kx 2
) 是方程 x2
数学必修4优化训练：3.1.3两角和与差的正切 含解析 精品
3.1.3 两角和与差的正切5分钟训练（预习类训练，可用于课前） 1.tan15°=_______________. 思路解析：（1）tan15°=tan （45°-30°） =︒︒+︒-︒30tan 45tan 130tan 45tan=331331+-=3333+- =63612-=2-3. 答案：2-32.若tan α=21,则tan(α+4π)=_______________. 思路解析：tan(α+4π)=4tan tan 14tan tan παπα∙-+=1211121∙-+=3.答案:310分钟训练（强化类训练,可用于课中）1.计算tan20°+tan40°+3tan20°tan40°=______________.思路解析：这道题要先观察角，分析出20°+40°=60°.然后灵活地对两角和的正切公式进行变形.tan60°=tan （20°+40°）=︒︒-︒+︒40tan 20tan 140tan 20tan =3，则tan20°+tan40°=3（1-tan20°tan40°）=3-3tan20°tan40°， 因此tan20°+tan40°+3tan20°tan40°=3. 答案:3 2.已知ααtan 1tan 1+-=4+3，则)4tan(1επ+的值等于( )A.4+3B.4-3C.-4-3D.-4+3 思路解析：在正切函数运算中，经常需要用到一个特殊的数字“1”，因为tan4π=1，运算中要能够把1与tan 4π灵活代换. 由于ααtan 1tan 1+-=απαπtan 4tan 1tan 4tan +-=tan （4π-α）.可知，tan （4π-α）=4+3.而4π-α与4π+α互为余角， 则有)4tan(1απ+=tan （4π-α）=4+3.答案:A 3.求︒+︒︒-︒15cos 15sin 15cos 15sin 的值.思路解析：此题着重考查是否能灵活掌握弦与切之间的相互转换原则：化弦（切）为切（弦）,并且要注意到正切三角函数值里的一个特殊数字“1”，即tan45°=1. 解：把原式分子、分母同除以cos15°，有︒+︒︒-︒15cos 15sin 15cos 15sin =115tan 115tan +︒-︒=145tan 15tan 45tan 15tan +︒︒︒-︒ =tan(15°-45°) =tan(-30°) =-33. 志鸿教育乐园事出有因老师：“你的题为《抢救亲人》的作文怎么连一个标点符号也没有？” 学生：“那么急的事怎么能停顿？” 30分钟训练（巩固类训练,可用于课后） 1.已知α为第二象限的角，sin α=53,β为第一象限的角，cos β=135,求tan(2α-β)的值. 解：∵α为第二象限角, sin α=53， ∴cos α=-54,tan α=-43,tan2α=-724.又∵β为第一象限角, cos β=135,∴sin β=1312,tan β=512. ∴tan(2α-β)=βαβαtan 2tan 1tan 2tan ∙+-=5124241512724⨯---=253204. 2.(2005 北京)已知tan 2α=2，求:（1） tan(α+4π)的值； （2） （2）ααααcos 2sin 3cos sin 6-+的值.解：（1）∵tan 2α=2,∴tan α=2tan 12tan22αα-=4122-⨯=-34. 所以tan(α+4π)=4tan tan 14tantan παπα-+=ααtan 11tan -+=341134++-=-71.（ 2 ）由(1),tan α=-34,所以ααααcos 2sin 3cos sin 6-+=2tan 31tan 6-+αα=2)34(31)34(6--+-=67.3.已知锐角三角形ABC 中，sin(A+B)=53,sin(A-B)=51.(1)求证：tanA=2tanB ；(2)设AB=3，求AB 边上的高.思路解析：本题主要考查三角函数概念，两角和、差的三角函数值以及应用、分析和计算能力 .（1）证明：∵sin(A+B)=53,sin(A-B)=51,∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇔=-=+51sin cos 52cos sin 51sin cos cos sin 53sin cos cos sin B A B A B A B A B A B A ⇔BAtan tan =2. 所以tanA=2tanB.（2）解：∵2π<A+B<π,sin(A+B)=53,∴tan(A+B)=-43,即B A B A tan tan 1tan tan -+=-43. 将tanA=2tanB 代入上式并整理得2tan 2B-4tanB-1=0. 解得tanB=262±，舍去负值得tanB=262+， ∴tanA=2tanB=2+6. 设 AB 边上的高为 CD. 则 AB=AD+DB=A CD tan +B CD tan =623+CD. 由 AB=3，得 CD=2+6. 所以 AB 边上的高等于2+6.4.在△ABC 中，若0＜tanA ·tanB ＜1，则△ABC 一定是( ) A.等边三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 思路解析：三角形中，常用到内角和定理，可以把三个内角的三角函数值通过诱导公式转换. 由于0＜tanA ·tanB ＜1，可知tanA ＞0，tanB ＞0. 所以tan （A+B ）=BA BA tan tan 1tan tan -+＞0.又因为在△ABC 中，所以A+B 是锐角. 而tanC=tan ［π-（A+B ）］=-tan （A+B ）＜0， 所以，在△ABC 中，C 是钝角. 因此，△ABC 是钝角三角形. 答案:D5.在△ABC 中，已知tanA 、tanB 是方程3x 2+8x-1=0的两个根，则tanC 等于( ) A.2 B.-2 C.4 D.-4思路解析：此题要根据三角形内角和定理把C 用角A 和B 表示出来，C=π-（A+B ），这样就可以利用两角和与差的正切公式展开运用，从而来计算. 由于tanA 、tanB 是方程3x 2+8x-1=0的两个根， 那么根据韦达定理，有tanA+tanB=-38，tanA ·tanB=-31. 则tanC=tan ［π-（A+B ）］=-tan （A+B ）=-BA BA tan tan 1tan tan -+=-)31(138---=2.答案:A6.如果α，β，γ都是锐角，并且它们的正切分别为21，51，81，求证：α+β+γ=45°. 思路解析：分析题意，要证明α+β+γ=45°，需要证明tan （α+β+γ）=1.先根据α、β的正切值可以利用两角和的正切求出α+β的正切值，而α+β+γ又可以看作是两个角α+β与γ的和，再运用两角和的正切公式求证即可.但是要注意一定还要确定出α+β+γ这个和的范围，才能证得结果. 证明：由于tan α=21，tan β=51， 可知tan （α+β）=βαβαtan tan 1tan tan -+=512115121∙-+=97. 由题意可知tan γ=81， 则tan （α+β+γ）=tan ［（α+β）+γ］ =γβαγβαtan )tan(1tan )tan(+-++=819718197∙-+=1.根据α、β、γ都是锐角，且0＜tan α=21＜1，0＜tan β=51＜1，0＜tan γ=81＜1， 可知0°＜α＜45°，0°＜β＜45°，0°＜γ＜45°.得0＜α+β+γ＜135°. 所以，α+β+γ=45°.7.求证：tan20°tan30°+tan30°tan40°+tan20°tan40°=1.思路解析：这道题目着重考查两角和与差的正切变形公式的应用.分析题中出现的角可知，30°是特殊角，并且20°+40°=60°.证明：由于tan60°=tan （20°+40°）=︒︒-︒+︒40tan 20tan 140tan 20tan =3，可得tan20°+tan40°=3（1-tan20°tan40°）,所以原式左边=tan20°tan30°+tan30°tan40°+tan20°tan40° =33（tan20°+tan40°）+tan20°tan40° =33·3（1-tan20°tan40°）+tan20°tan40° =1-tan20°·tan40°+tan20°tan40° =1=右边. 原式得证.。
两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(答案)
两角和差的正弦余弦正切公式练习题知 识 梳 理1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 s ｉn （α±β)=s ｉn_αcos ＿β±cos_αsin ＿β. cos(α∓β)=ｃos_αc ｏs_β±sin_αsin_β． t ａn(α±β）=错误!．2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 s ｉn 2α=2ｓin_αcos_α.cos 2α=cos 2α－ｓｉｎ２α＝2ｃｏs ２α-1=1-２ｓin 2α． ｔa ｎ 2α＝错误!. 3.有关公式的逆用、变形等（1）ta ｎ α±tan β＝t ａn(α±β)（1∓ta ｎ_αt ａn_β). (2)co ｓ2α＝＼f(1＋cos 2α,2),sin 2α=错误!．(３)１+sin 2α＝（si ｎ α+ｃo ｓ α)2,1－ｓin 2α＝(ｓｉｎ α－cos α）2,sin α±co ｓ α＝＼r(2）sin 错误!.4.函数f （α）＝a sin α+ｂｃｏs α(a ，b 为常数),可以化为f （α）＝a 2＋b 2s ｉn(α＋φ),其中t ａn φ＝＼f(b,a ) 一、选择题1.给出如下四个命题ﻩﻩ①对于任意的实数α和β,等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+恒成立;②存在实数α,β，使等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+能成立; ③公式=+)tan(βαβαβαtan tan 1tan ⋅-+an 成立的条件是)(2Z k k ∈+≠ππα且)(2Z k k ∈+≠ππβ;④不存在无穷多个α和β，使βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-; 其中假命题是 ﻩ( )A ．①②ﻩB.②③ Ｃ．③④ﻩD.②③④2.函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值是ﻩﻩ( )A ．21+ﻩB ．12-ﻩC ．2ﻩD ． 2 ３．当]2,2[ππ-∈x 时，函数x x x f cos 3sin )(+=的ﻩﻩ( ） A.最大值为１,最小值为-1ﻩB ．最大值为１,最小值为21-C ．最大值为２,最小值为－２D ．最大值为2,最小值为－14．已知)cos(,32tan tan ,7)tan(βαβαβα-=⋅=+则的值ﻩﻩ( ） A.21 B ．22 Ｃ.22-D.22±５.已知=-=+=-<<<αβαβαπαβπ2sin ,53)sin(,1312)cos(,432则 （ ）A.6556ﻩB ．-6556ﻩＣ．5665 Ｄ.－5665 6． 75sin 30sin 15sin ⋅⋅的值等于ﻩﻩ( ） A ．43 B ．83ﻩＣ．81 Ｄ.417．函数)4cot()(,tan 1tan 1)(),4tan()(x x h x x x g x x f -=-+=+=ππ其中为相同函数的是ﻩﻩ（ ）A.)()(x g x f 与B ．)()(x h x g 与Ｃ.)()(x f x h 与ﻩD.)()()(x h x g x f 及与8．α、β、γ都是锐角，γβαγβα++===则,81tan ,51tan ,21tan 等于 ( ) A.3πB.4πﻩC.π65ﻩＤ．π45 9.设0)4tan(tan 2=++-q px x 是方程和θπθ的两个根,则p 、q 之间的关系是( ）A.p ＋q ＋1=０ B ．p-q ＋1＝0ﻩC.p+q-1=0 D ．p-q-1＝０ 10.已知)tan(),sin(4sin ,cos βαβααβ++==则a 的值是（ )A.412--a a ﻩB.-412--a a ﻩC.214a a --± D ．412--±a a11.在△ABC 中,90C >,则B A tan tan ⋅与1的关系为ﻩ（ ）A.1tan tan >+B A ﻩB ．1tan tan <⋅B A Ｃ．1tan tan =⋅B A Ｄ．不能确定 １2. 50sin 10sin 70cos 20sin +的值是ﻩ（ )Ａ．41Ｂ．23ﻩC.21Ｄ．43二、填空题(每小题4分，共16分,将答案填在横线上)13．已知m =-⋅+)sin()sin(αββα，则βα22cos cos -的值为 . 14.在△ＡＢC 中，33tan tan tan =++C B A ,C A B tan tan tan 2⋅= 则∠B=.１5．若),24cos()24sin(θθ-=+ 则)60tan( +θ= . １6.若y x y x cos cos ,22sin sin +=+则的取值范围是 . 三、解答题（本大题共74分，17—2１题每题12分，２2题14分） 17.化简求值:)34sin(x -π)36cos()33cos(x x +--⋅ππ)34sin(x +⋅π．18.已知 0βαβαcos ,cos ,90且 <<<是方程02150sin 50sin 222=-+- x x 的两根,求)2tan(αβ-的值.１9．求证:yx xy x y x 22sin cos 2sin )tan()tan(-=-++．20.已知α,β∈（0,π）且71tan ,21)tan(-==-ββα，求βα-2的值.2１．证明：xx xx x 2cos cos sin 22tan 23tan +=-.22．已知△ABC 的三个内角满足:A+C=2Ｂ，B C A cos 2cos 1cos 1-=+求2cos CA -的值. 两角和差的正弦余弦正切公式练习题参考答案一、1.Ｃ 2．A ３．D 4.D 5.B 6.C ７.C 8.B 9.B １０．D １1．B 12．A二、1３.m 14.3π１５．32-- 16.]214,214[- 三、1７．原式=)34cos()33sin()33cos()34sin(x x x x -----ππππ=462-.18.)4550sin(2)2150(sin 4)50sin 2(50sin 222 ±=---±=x ,12sin 95cos5,sin 5cos85,x x ∴====ﻩ3275tan )2tan(+==- αβ． １9．证：y x y x y x y x y x y x y x y x 2222sin sin cos cos )]()sin[()cos()sin()cos()sin(⋅-⋅-++=--+++=左=-=+-=yx xy x x x x 222222sin cos 2sin sin )sin (cos cos 2sin 右． ２0．13tan ,tan(2)1,2.34ααβαβπ=-=-=-21.左==+=⋅=⋅-x x x x x x x x x x x x 2cos cos sin 22cos23cos sin 2cos 23cos 2sin23cos 2cos 23sin右．22.由题设B=6０°,A ＋C=1２0°,设2CA -=α知A=60°+α, Ｃ=６０°－α,22cos ,2243cos cos cos 1cos 12=-=-=+ααα即CA 故222cos =-C A .。
_两角和与差的正弦、正切练习题含答案
两角和与差的正弦、正切练习题含答案1. cos70∘sin80∘+cos20∘sin10∘＝（）A.−√32B.√32C.−12D.122. 函数f(x)=2cos2x+sin x cos x−1的最大值是________．3. 已知x∈(0, π2)，y∈(0, π2)，cos x+sin xcos x−sin x=1−cos2ysin2y，则（）A.y−x=π4B.2y−x=π4C.y−x=π2D.2y−x=π24. sin105∘的值为()A. √3+√22B.√6+√24C.1+√22D.√6−√245. 已知θ∈(0,π2)且cos(θ+π6)＝35，则sinθ等于（）A.4√3−310B.4√3+310C.3√3+410D.3√3−4106. cos(−240∘)=( )A.−√32B.√32C.−12D.127. 函数f(x)=sin2x+√3cos2x图象的一个对称中心是（）A.(7π12,0) B.(π2,0) C.(π3,0) D.(π12,0)8. 已知α∈(−π2,π2)，tanα＝sin76∘cos46∘−cos76∘sin46∘，则sinα＝（）A.√55B.−√55C.2√55D.−2√559. （广东金山中学、广雅中学、佛山一中三校联考）若tanα−1tanα=32，且α∈(π4,π2)，则sin(2α+π6)的值为（）A.3 10B.4√310C.4√3+310D.4√3−31010. 已知sinθ+cosθ=43,θ∈(π4,π2)，则sinθ−cosθ＝（）A.√23B.−√23C.13D.−1311. 若f(x)＝cos x−√3sin x在[−a, a]上是减函数，则实数a的取值范围是（）A.(0,π6] B.(0,π4] C.(0,π3] D.(0,π2]12. 已知M，N是函数f(x)＝2cos(ωx+φ)(ω>0)图像与直线的两个不同的交点．若|MN|的最小值是，则ω＝（）A.6B.4C.2D.113. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b cos A=(2c−a)cos B. (1)求角B的值；(2)若a=4，△ABC的面积为√3，求△ABC的周长.14. 一位创业青年租用了一块边长为1百米的正方形田地ABCD来养蜂、产蜜与售蜜，他在正方形的边BC，CD上分别取点E，F（不与正方形的顶点重合），连接AE，EF，FA，使得∠EAF＝45∘．现拟将图中阴影部分规划为蜂源植物生长区，△AEF部分规划为蜂巢区，△CEF部分规划为蜂蜜交易区．若蜂源植物生长区的投入约为2×105元/百米2，蜂巢区与蜂蜜交易区的投入约为105元/百米2，则这三个区域的总投入最少需要多少元？15. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知m→=(2,1)，n→=(c cos C,a cos B+b cos A)，且m→⊥n→．（1）求C；（2）若c2=7b2，且S△ABC=2√3，求b的值．参考答案与试题解析两角和与差的正弦、正切练习题含答案一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分）1.【答案】D【考点】两角和与差的三角函数【解析】已知利用诱导公式，两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可计算得解．【解答】cos70∘sin80∘+cos20∘sin10∘＝sin20∘cos10∘+cos20∘sin10∘＝sin(20∘+10∘)＝sin30∘=12．2.【答案】√52【考点】求两角和与差的正弦【解析】此题暂无解析【解答】解：因为f(x)=2cos2x+sin x cos x−1，所以f(x)=1+cos2x+12sin2x−1=cos2x+12sin2x≤√1+(12)2=√52，即最大值是√52．故答案为：√52．3.【答案】A【考点】两角和与差的三角函数【解析】由二倍角公式可得cos x+sin xcos x−sin x =sin ycos y，变形后，利用三角函数和差角公式可得cos(x−y)＝sin(y−x)，进而得解．【解答】cos x+sin x1−cos2y∴cos x+sin xcos x−sin x =1−(1−2sin2y)2sin y cos y=sin ycos y，∴cos x cos y+sin x cos y＝cos x sin y−sin x sin y，∴cos(x−y)＝sin(y−x)，∵x∈(0, π2)，y∈(0, π2)，∴y−x=π4．4.【答案】B【考点】两角和与差的正弦公式【解析】此题暂无解析【解答】解：sin105∘=sin(60∘+45∘) =sin60∘cos45∘+cos60∘sin45∘=√32×√22+12×√22=√6+√24.故选B.5.【答案】A【考点】同角三角函数间的基本关系两角和与差的三角函数【解析】由已知可求范围θ+π6∈(π6, 2π3)，利用同角三角函数基本关系式可求sin(θ+π6)的值，进而根据两角差的正弦函数公式可求sinθ的值．【解答】∵θ∈(0,π2)，cos(θ+π6)＝35，∴θ+π6∈(π6, 2π3)，∴sin(θ+π6)=√1−cos2(θ+π6)=45，∴sinθ=sin[(θ+π6)−π6]=sin(θ+π6)cosπ6−cos(θ+π6)sinπ6=45×√32−35×12=4√3−310．6.【答案】C运用诱导公式化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：cos(−240∘)=cos(−180∘−60∘)=−cos60∘=−12.故选C.7.【答案】C【考点】三角函数中的恒等变换应用【解析】利用辅助角公式化简，结合三角函数的性质即可求解对称中心．【解答】函数f(x)=sin2x+√3cos2x=2sin(2x+π3)，令2x+π3=kπ，k∈Z，可得x=12kπ−π6，当k＝1时，可得x=π3，那么图象的一个对称中心是(π3, 0)．8.【答案】A【考点】两角和与差的三角函数【解析】由已知求得tanα，再由同角三角函数基本关系式结合角的范围求解．【解答】由tanα＝sin76∘cos46∘−cos76∘sin46∘＝sin(76∘−46∘)＝sin30∘=12，且α∈(−π2,π2)，∴α∈(0, π2)，联立{sinαcosα=12sin2α+cos2α=1，解得sinα=√55．9.【答案】D【考点】两角和与差的正弦公式同角三角函数间的基本关系此题暂无解析 【解答】由tan α−1tan α=32，得sin αcos α−cos αsin α=sin 2α−cos 2αsin αcos α=−2cos 2αsin 2α=32，即tan 2α=−43．因为α∈(π4,π2)，所以2α∈(π2,π)，所以sin 2α=45，cos 2α=−35，所以sin (2a +π6)=45×√32+(−35)×12=4√3−310，故选D ．【一题多解】由tan α−1tan α=32，且α∈(π4,π2)，解得tan α=2，所以sin α=2√55，cos α=√55，所以sin (2a +π6)=√32sin 2α+12cos 2α=√3sin αcos α+12(cos 2α−sin 2α)=4√3−310，故选D ． 本题考查同角三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式． 10.【答案】 A【考点】两角和与差的三角函数 【解析】直接利用三角函数关系式的变换和同角三角函数关系式的应用求出结果． 【解答】已知sin θ+cos θ=43,θ∈(π4,π2)，所以1+2sin θ⋅cos θ=169，整理得2sin θ⋅cos θ=79，由于θ∈(π4,π2)，故sin θ>cos θ，所以sin θ−cos θ=√(sin θ−cos θ)2=√1−79=√23． 11.【答案】 C【考点】两角和与差的三角函数 【解析】由题意利用两角和差的三角公式花简f(x)的解析式，再利用余弦函数的单调性，求得实数a 的取值范围． 【解答】若f(x)=cos x −√3sin x =2cos (x +π3) 在[−a, a]上是减函数，∴ a >0． 且−a +π3≥0，a +π3≤π，综合可得，0<a ≤π3，故实数a 的取值范围为(0, π3]，【答案】B【考点】三角函数的周期性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、解答题（本题共计 3 小题，每题 5 分，共计15分）13.【答案】解：(1)由已知b cos A=(2c−a)cos B及余弦定理可得：b⋅b2+c2−a22bc =(2c−a)⋅a2+c2−b22ac，化简得a2+c2−b2=ac，余弦定理可得2ac cos B=ac. 因为ac≠0，所以cos B=12.因为0<B<π，所以B=π3.(2)由S△ABC=12ac sin B得√3=12×4×c×√32，所以c=1.又由余弦定理：b2=a2+c2−2ac cos B，b2=42+12−2×4×1×12=13，得b=√13，故△ABC的周长为5+√13.【考点】余弦定理正弦定理【解析】无无【解答】解：(1)由已知b cos A=(2c−a)cos B及余弦定理可得：b⋅b2+c2−a22bc =(2c−a)⋅a2+c2−b22ac，化简得a2+c2−b2=ac，余弦定理可得2ac cos B=ac. 因为ac≠0，所以cos B=1.因为0<B<π，所以B=π3.(2)由S△ABC=12ac sin B得√3=12×4×c×√32，所以c=1.又由余弦定理：b2=a2+c2−2ac cos B，b2=42+12−2×4×1×12=13，得b=√13，故△ABC的周长为5+√13.14.【答案】解：设阴影部分面积为S，三个区域的总投入为T．则T=2×105S+105(1−S)=105(S+1)，从而只要求S的最小值．设∠EAB=α(0∘<α<45∘)，在△ABE中，因为AB=1，∠B=90∘，所以BE=tanα，则S△ABE=12AB⋅BE=12tanα；又∠DAF=45∘−α，所以S△ADF=12tan(45∘−α)；所以S=12[tanα+tan(45∘−α)]=12(tanα+1−tanα1+tanα).令x=tanα∈(0, 1)，则S=12(x−x−1x+1)=12[(x+1)+2x+1−2]≥12(2√2−2)=√2−1．当且仅当x+1=2x+1，即x=√2−1时取等号，从而三个区域的总投入T的最小值约为√2×105元．【考点】两角和与差的正切公式基本不等式在最值问题中的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：设阴影部分面积为S，三个区域的总投入为T．则T=2×105S+105(1−S)=105(S+1)，从而只要求S的最小值．设∠EAB=α(0∘<α<45∘)，在△ABE中，因为AB=1，∠B=90∘，则S △ABE =12AB ⋅BE =12tan α；又∠DAF =45∘−α，所以S △ADF =12tan (45∘−α)； 所以S =12[tan α+tan (45∘−α)]=12(tan α+1−tan α1+tan α).令x =tan α∈(0, 1)，则S =12(x −x−1x+1)=12[(x +1)+2x+1−2] ≥12(2√2−2)=√2−1． 当且仅当x +1=2x+1，即x =√2−1时取等号， 从而三个区域的总投入T 的最小值约为√2×105元． 15. 【答案】 由m →⊥n →，∴ 2c cos C +a cos B +b cos A =0，由正弦定理得：2sin C cos C +sin A cos B +sin B cos A =0， ∴ 2sin C cos C +sin (A +B)=0； 2sin C cos C +sin C =0； 由sin C ≠0， ∴ cos C =−12， ∴ C =2π3；由c 2=a 2+b 2−2ab cos C ， ∴ 7b 2=a 2+b 2−2ab cos C ， ∴ a 2+ab −6b 2=0， ∴ a =2b ； 由S △ABC =2√3知，12ab sin C =2√3，∴ 12∗2b ∗b ∗√32=2√3，∴ b =2．【考点】 三角形求面积 【解析】（1）直接利用向量的数量积和三角函数的关系式的恒等变换求出C 的值． （2）直接利用（1）的结论和余弦定理及三角形的面积求出结果． 【解答】 由m →⊥n →，∴ 2c cos C +a cos B +b cos A =0，∴2sin C cos C+sin(A+B)=0；2sin C cos C+sin C=0；由sin C≠0，∴cos C=−12，∴C=2π3；由c2=a2+b2−2ab cos C，∴7b2=a2+b2−2ab cos C，∴a2+ab−6b2=0，∴a=2b；由S△ABC=2√3知，12ab sin C=2√3，∴12∗2b∗b∗√32=2√3，∴b=2．试卷第11页，总11页。
高中数学两角和与差的正切总结练习含答案解析X
5.1.2 两角和与差的正切1.两角和与差的正切公式(1)tan(α+β)=① ,公式成立的条件是② .(2)tan(α-β)=③ ,公式成立的条件是④ .2.公式的推导(1)利用⑤ 公式可以推导T (α+β).(2)由T (α+β)公式,以⑥ 代替其中的⑦ 可以推导T (α-β).一、选择题1.已知1-tanα1+tanα=2+√3,则tan (π4+α)等于( )A.2+√3B.1C.2-√3D.√32.若tan 28°·tan 32°=m,则tan 28°+tan 32°=( )A.√3mB.√3(1-m)C.√3(m-1)D.√3(m+1)3.在△ABC 中,已知tan A,tan B 是方程3x 2+8x-1=0的两个根,则tan C 等于( )A.2B.-2C.4D.-44.设α,β∈(0,π2),且tan α=17,tan β=43,则α-β等于( )A.π3B.π4C.34π D .-π4二、填空题5.已知tan α+tan β=2,tan(α+β)=4,则tan αtan β等于 .6.tan 50°-tan 20°-√33tan 50°tan 20°= .7.已知点P(sin34π,cos34π)落在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则tan(θ+π3)的值为.三、解答题8.已知在△ABC中,√3tan Btan C+tan C+tan B=√3,且√3tan A+√3tan B+1=tan Atan B,试判断△ABC 的形状.知识清单①tanα+tanβ1-tanαtanβ ②α、β、α+β≠kπ+π2,k∈Z ③tanα-tanβ1+tanαtanβ ④α、β、α-β≠kπ+π2,k∈Z ⑤两角和的正、余弦 ⑥-β ⑦β基础过关一、选择题1.C 由题意得tan (π4+α)=1+tanα1-tanα=2+√3=2-√3.2.B ∵tan 28°·tan 32°=m,∴tan 28°+tan 32°=tan(28°+32°)·(1-tan 28°·tan 32°)=√3(1-m).3.A 由已知得tan A+tan B=-83,tan Atan B=-13,∴tan C=-tan(A+B)=-tanA+tanB 1-tanAtanB =831+13=2.4.D ∵tan α=17,tan β=43,∴tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ=17-431+17×43=-1.∵α,β∈(0,π2),∴α-β∈(-π2,π2). ∴α-β=-π4.故选D.二、填空题5.答案 12 解析 ∵tan α+tan β=2,tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=21-tanα·tanβ=4,∴tan αtan β=12.6.答案 √33解析 原式=tan(50°-20°)(1+tan 50°·tan 20°)-√33tan 50°tan 20°=√33(1+tan 50°·tan20°)-√33tan 50°tan 20°=√33.7.答案2-√3解析依题意得tan θ=cos34πsin34π=-1,∴tan(θ+π3)=tanθ+tanπ31-tanθtanπ3=√31+3=2-√3.三、解答题8.解析由tan B+tan C+√3tan B·tan C=√3,得tan B+tan C=√3(1-tan B·tan C),故由正切公式得tan(B+C)=√3. 又A=π-(B+C),∴tan A=-tan(B+C)=-√3,又0<A<π,∴A=2π3.由√3tan A+√3tan B+1=tan Atan B,得tan A+tan B=-√33(1-tan Atan B),∴tan C=-tan(A+B)=√33,又0<C<π,∴C=π6,∴B=π6.∴△ABC是等腰三角形.。
(完整版)两角和与差的正弦、余弦、正切经典练习题
两角和与差的正弦、余弦、正切一、两角和与差的余弦βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-1、求值：（1） 15cos （2） 20802080sin sin cos cos +（3） 1013010130sin sin cos cos +（4）cos105°（5）sin75°（6）求cos75°cos105°＋sin75°sin105°（7）cos （A ＋B ）cosB ＋sin （A ＋B ）sinB ．（8） 29912991sin sin cos cos -2. （1）求证：cos （2π－α） ＝sin α．（2）已知sin θ＝1715，且θ为第二象限角，求cos （θ－3π）的值． （3）已知sin （30°＋α）＝，60°＜α＜150°，求cos α．3. 化简cos （36°＋α）cos （α－54°）＋sin （36°＋α）sin （α－54°）．4. 已知32=αsin ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππα,2，53-=βcos ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈23ππβ,，求)cos(βα+的值.5.已知1312-=αcos ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈23ππα,，求)cos(4πα+的值。
6. 已知α，β都是锐角，31=αcos ，51-=+)cos(βα，求βcos 的值。
7.在△ABC 中，已知sin A ＝53，cos B ＝135，求cos C 的值.二、两角和与差的正弦sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-1利用和差角公式计算下列各式的值（1）sin 72cos 42cos 72sin 42︒︒-︒︒ （2）13cos sin 22x x -（3）3sin cos x x + （4）22cos 2sin 222x x -二、证明： )4cos(2)cos (sin 2)3()4sin(2sin cos )2()6sin(cos 21sin 23)1(ππθθθπααα-=++=++=+x x x3（1）已知3sin 5α=-，α是第四象限角，求sin()4πα-的值。
两角和与差的正切含答案
课时作业26 两角和与差的正切时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题6分，共计36分) 1.3－tan15°1＋3tan15°的值为( )A ．0B ．1C.12 D ．2解析：原式＝tan60°－tan15°1＋tan60°·tan15°＝tan45°＝1.答案：B2.1－tan 5π12tan π4tan 5π12＋tan π4的值等于( )A ．－33 B.33 C ．－ 3 D. 3解析：原式＝1tan (5π12＋π4)＝1tan 23π＝1－3＝－33，故选A.答案：A3．化简tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°的值等于() A ．1 B ．2C ．tan10° D.3tan20°解析：∵tan(20°＋10°)＝tan20°＋tan10°1－tan20°·tan10°， ∴tan20°＋tan10°＝tan30°(1－tan20°tan10°)，∴原式＝tan10°tan20°＋3tan30°(1－tan20°·tan10°)＝tan10°·tan20°＋1－tan20°·tan10°＝1.答案：A4．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则角α不可能是( ) A.3π8B.5π8C.7π8D.11π8 解析：∵tan2α＝tan [(α＋β)＋(α－β)]＝tan (α＋β)＋tan (α－β)1－tan (α＋β)tan (α－β)＝3＋21－3×2＝－1， ∴2α＝k π－π4(k ∈Z )，即α＝k π2－π8(k ∈Z )，令k ＝1,2,3可得，α＝3π8，7π8，11π8，故选B.答案：B5．下列式子结果为3的是( )①tan25°＋tan35°＋3tan25°tan35°；②(1＋tan20°)(1＋tan40°)；③1＋tan15°1－tan15°；④tan π61－tan 2π6. A ．①② B ．①③C ．①②③D ．①②③④解析：①原式＝tan(25°＋35°)(1－tan25°tan35°)＋3tan25°tan35° ＝3－3tan25°tan35°＋3tan25°tan35°＝3；③原式＝tan45°＋tan15°1－tan45°tan15°＝ 3.答案：B6．已知cos A ＋sin A ＝－713，A 为第四象限角，则tan A 等于() A.125 B.512C ．－125D ．－512解析：解法1：cos A ＋sin A ＝－713，平方得2sin A cos A ＝－120169，又2sin A cos A ＝2sin A cos A sin 2A ＋cos 2A ＝2tan A1＋tan 2A ，∴2tan A 1＋tan 2A ＝－120169，又∵tan A <0，|sin A |>cos A ，∴tan A ＝－125.解法2：cos A ＋sin A ＝－713<0，∵cos A >0，sin A <0，∴|sin A |>cos A ，∴|tan A |>1，又∵tan A <0，根据选项利用排除法，故选C.答案：C二、填空题(每小题8分，共计24分)7．已知α为第三象限角，cos2α＝－35，则tan(π4＋2α)＝________.解析：由题意sin2α＝45，∴tan2α＝－43.∴tan(π4＋2α)＝tan π4＋tan2α1－tan π4tan2α＝1－431＋43＝－17. 答案：－178．已知α，β为锐角，cos α＝45，tan(α－β)＝－13，则cos β＝________.解析：∵cos α＝45，0<α<π2，∴sin α＝35，tan α＝34，则tan β＝tan [α－(α－β)]＝tan α－tan (α－β)1＋tan αtan (α－β) ＝34－(－13)1＋34×(－13)＝139.∵α，β为锐角，∴cos β＝11＋tan 2β＝11＋(139)2＝91050. 答案：910509．已知α＋β＝3π4，则(1－tan α)(1－tan β)＝________.解析：∵α＋β＝34π，∴tan(α＋β)＝－1＝tan α＋tan β1－tan αtan β∴tan α＋tan β＝tan αtan β－1∴(1－tan α)(1－tan β)＝1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝1－(tan αtan β－1)＋tan αtan β＝2.答案：2三、解答题(共计40分，其中10题10分，11、12题各15分)10．已知tan α，tan β是方程6x 2－5x ＋1＝0的两个根，且0<α<π2，π<β<32π，求α＋β的值．解：由韦达定理得⎩⎪⎨⎪⎧ tan α＋tan β＝56，tan α·tan β＝16. 得tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝561－16＝1. 又∵0<α<π2，π<β<32π.∴π<α＋β<2π，∴α＋β＝54π.11．是否存在锐角α和β，使得下列两式①α＋2β＝2π3，②tan α2·tan β＝2－3同时成立？解：假设存在符合题意的锐角α，β. 由①得α2＋β＝π3，∴tan(α2＋β)＝tan α2＋tan β1－tan α2tan β＝ 3. ∵tan α2tan β＝2－3，∴tan α2＋tan β＝3－3，∴tan α2，tan β是方程x 2－(3－3)x ＋2－3＝0的两个根，解方程得x 1＝1，x 2＝2－ 3.∵0<α<π2，∴0<α2<π4，∴0<tan α2<1.∴tan α2＝2－3，tan β＝1.∴β＝π4，∴α＝23π－2β＝π6.∴存在锐角α＝π6，β＝π4，使①②同时成立．12.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝a ，BC ＝2a ，在BC 上取一点P ，使得AB ＋BP ＝PD ，求tan ∠APD 的值．解：由AB ＋BP ＝PD ，得a ＋BP ＝a 2＋(2a －BP )2，解得BP ＝23a .设∠APB ＝α，∠DPC ＝β，则tan α＝AB BP ＝32，tan β＝CD PC ＝34，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－18，又∠APD ＋α ＋β＝π，所以tan ∠APD ＝18.。
第2课时 两角和与差的正切
第2课时两角和与差的正切课后篇巩固提升基础达标练1.化简等于( )A. B. C.3 D.1解析=tan(45°+15°)=tan60°=.答案A2.已知tan α=,tan(α-β)=-,那么tan(2α-β)的值为( )A.-B.C.-D.解析因为tanα=,tan(α-β)=-,所以tan(2α-β)=tan[α+(α-β)]=.答案D3.已知α为锐角,且tan(α+β)=3,tan(α-β)=2,则角α等于( )A. B. C.π D.解析因为tan2α=tan[(α+β)+(α-β)]==-1,所以2α=-+kπ(k∈Z),所以α=-(k∈Z).又因为α为锐角,所以α=.答案C4.已知A,B,C是△ABC的三个内角,且tan A,tan B是方程3x2-5x+1=0的两个实数根,则△ABC是三角形.解析由根与系数的关系,得则tan(A+B)=.∵在△ABC中,tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=-<0,第2课时两角和与差的正切课后篇巩固提升基础达标练1.化简等于( )A. B. C.3 D.1解析=tan(45°+15°)=tan60°=.答案A2.已知tan α=,tan(α-β)=-,那么tan(2α-β)的值为( )A.-B.C.-D.解析因为tanα=,tan(α-β)=-,所以tan(2α-β)=tan[α+(α-β)]=.答案D3.已知α为锐角,且tan(α+β)=3,tan(α-β)=2,则角α等于( )A. B. C.π D.解析因为tan2α=tan[(α+β)+(α-β)]==-1,所以2α=-+kπ(k∈Z),所以α=-(k∈Z).又因为α为锐角,所以α=.答案C4.已知A,B,C是△ABC的三个内角,且tan A,tan B是方程3x2-5x+1=0的两个实数根,则△ABC 是三角形.解析由根与系数的关系,得则tan(A+B)=.∵在△ABC中,tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=-<0,。
数学北师大版4优化训练：3.2两角和与差的正切函数含解析
1。
3 两角和与差的正切函数5分钟训练(预习类训练,可用于课前) 1。
若AA tan 1tan 1+-=4+5，则tan(4π—A ）的值为（ )A 。
54--B 。
54+C.541+-D.541+解析：tan （4π-A ）=54tan 1tan 1tan 4tan1tan 4tan+=+-=•+-AAAAππ。
答案:B2。
计算tan20°+tan40°+3tan20°tan40°=_____________.解析：tan60°=tan（20°+40°）=340tan 20tan 140tan 20tan =︒︒-︒+︒,则tan20°+tan40°=3（1—tan20°tan40°)=33-tan20°tan40°，因此tan20°+tan40°+3tan20°tan40°=3。
答案:33.当α=40°时,)tan()2tan(1)tan()2tan(βαβαβαβα-•---++=________________.解析:原式=tan ［（2α+β)+(α-β)］=tan3α=tan120°=-tan60°=3-.答案:3-10分钟训练(强化类训练，可用于课中）1。
如果tan （α+β）=52，tan(β-4π）=41，那么tan(α+4π）等于( )A 。
1813 B.2213 C.223D.183解析：tan （α+4π）=tan ［(α+β）—（β4π-)]=2234152152=•+。
答案：C 2.已知34tan 1tan 1+=+-αα，则cot （4π+α)的值等于（ ）A 。
34+B 。
34-C.34-- D 。
34+-解析:由)4tan(tan 4tan1tan 4tantan 1tan 1απαπαπαα-=+-=+-，可知，tan （4π-α）=34+。
数学苏教必修课后导练：两角和与差的正切 含解析
课后导练基础达标 1.︒-︒-︒-︒50tan 20tan 1)50tan(20tan 的值是( ) A.-3 B.3 C.33-D.33 解析：原式=330tan 120tan 50tan 120tan 50tan 1=︒=︒•︒+︒-︒. 故选择B.答案：B2.tan20°+tan40°+3tan20°·tan40°的值是( ) A.33 B.1 C.3 D.6 解析：原式=tan(20°+40°)(1-tan20°tan40°)+3tan20°tan40° =3-3tan20°·tan40°+3tan20°·tan40°=3.故选择C.答案：C3.若tanα=2,tan(β-α)=3,则tan(β-2α)的值是( )A.-1B.51-C.75D.71 解析：tan(β-2α)=tan ［（β-α）-α］=.7123123tan )tan(1tan )tan(=⨯+-=•-+--ααβααβ 故选择D.答案：D4.已知tan(α+β)=52,tan(β-4π)=41,那么tan(α+4π)等于( ) A.1813 B.2213 C.223 D.183 解析：tan(α+4π)=tan ［（α+β）-(β-4π)］ =.22320214152)4tan()tan(1)4tan()tan(=+-=-•++--+πββαπββα 故选择C.答案：C5.已知tanα=21，tan （α-β）=52-，则tan （β-2α）的值是（ ） A.41 B.89 C.121- D.-81 解析：∵tanα=21，tan （α-β）=52-， ∴tan （β-2α）=-tan （2α-β）=-tan[（α-β）+α] =αβααβαtan )tan(1tan )tan(--+-- =.12121)52(12152-=•--+-- 答案：C6.当α=40°时，)tan()2tan(1)tan()2tan(βαβαβαβα-+--++=___________. 解析：原式=tan ［（2α+β）+（α-β）］=tan3α=tan120°=3-. 答案：3-7.在△ABC 中，已知tanA 、tanB 是方程3x 2+8x-1=0的两个根，则tanC=____________. 解析：tanC=tan ［π-(A+B)］ =-tan(A+B)=1tan tan tan tan -•+B A B A . ∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=•-=+,31tan tan ,38tan tan B A B A∴tanC=2.答案：28.若2π＜β＜π,且tanα=31,tan(β-α)=-2,则β=______________. 解析：tanβ=tan ［（β-α）+α］ =1tan )tan(1tan )tan(-=•--+-ααβααβ. ∵2π＜β＜π,∴β=43π. 答案：43π 9.化简tan20°tan30°+tan30°tan40°+tan40°tan20°.解析：原式=33（tan20°+tan40°）+tan40°·tan20° =33·［tan(20°+40°)(1-tan20°·tan40°)］+tan40°tan20° =1-tan20°·tan40°+tan20°·tan40°=1.10.在锐角△ABC 中，求证：tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC.证明：∵A 、B 、C 为锐角，且A+B=π-C,∴tan(A+B)=tan(π-C), ∴BA B A tan tan 1tan tan -+=-tanC, ∴tanA+tanB=-tanC(1-tanA·tanB),∴tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC.故原式成立.综合运用11.tan70°+tan50°-3tan50·tan70°的值为( ) A.3 B.3- C.33 D.33- 解析：原式=tan(70°+50°)(1-tan70°·tan50°)-3tan50°tan70°=-tan60°(1-tan70°·tan50°)-3 tan70°·tan50°=-3.故选择B.答案：B12.如果tan(α+β)=52,tan(β-4π)=41,那么ααtan 1tan 1-+的值为( ) A.1613 B.223 C.2213 D.163 解析：原式=tan(α+4π) =tan ［（α+β）-（β-4π）］ =223415214152)4tan()tan(1)4tan()tan(=•+-=-•++--+πββαπββα. 故选择B.答案：B13.求证：tan(α-4π)=xx x x cos sin cos sin +-.证明：tan(x-4π)=xx tan 11tan +- =x x x x xx x x sin cos cos sin cos sin 11cos sin +-=+-. 故tan(x-4π)=xx x x cos sin cos sin +-成立. 14.如图，矩形ABCD 中，AB=a,BC=2a,在BC 上取一点P ，使得AB+BP=PD.求tanAPD 的值.解：由AB+BP=PD 得：a+BP=22)2(BP a a -+，解得：BP=32a . 设∠APB=α,∠DPC=β,则tanα=BP AB =23,tanβ=PC CD =43, 从而tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan •-+=-18. 又∵∠APD+(α+β)=π,∴tanAPD=18.15.已知α、β∈(-2π,2π),且tanα、tanβ是方程x 2+x 33+4=0的两个根.试求α+β的值. 解：由韦达定理得⎩⎨⎧=•-=+,4tan tan ,33tan tan βαβα ∴tan(α+β)=.34133tan tan 1tan tan =--=•-+βαβα ∵两根之和小于0，两根之积大于0，故两根同负.又α,β∈(-2π,2π),∴α,β∈(-2π,0), ∴α+β∈(-π,0),∴α+β=-32π. 拓展探究16.求值：（1+tan1°）（1+tan2°）…（1+tan44°）.思路分析：利用两角和的正切公式的变形形式，并对原式进行适当的分组.解：∵（1+tan1°）（1+tan44°）=1+（tan1°+tan44°）+tan1°·tan44°=1+tan（1°+44°）（1-tan1°·tan44°）+tan1°·tan44°=1+tan45°（1-tan1°·tan44°）+tan1°·tan44°=1+（1-tan1°·tan44°）+tan1°·tan44°=2.同理（1+tan2°）（1+tan43°）=2，…∴原式=222.。
高中数学-两角和与差的正切练习
高中数学-两角和与差的正切练习课时过关·能力提升1.已知tan(α+β)=,tan,则tan等于()A.B.C.D.解析:tan=tan.答案:C2.已知β∈,满足tan(α+β)=,sin β=,则tan α等于()A.B.C.D.解析:由已知可得cos β=,从而tan β=,于是tan α=tan[(α+β)-β]=.答案:B3.在△ABC中,已知tan A,tan B是方程3x2+8x-1=0的两根,则tan C等于()A.2B.-2C.4D.-4答案:A4.在△ABC中,C=,3tan A+3tan B=2,则tan A tan B的值为()A.B.C.D.解析:由C=得A+B=,于是tan(A+B)=.即,因此tan A tan B=.答案:B5.在△ABC中,tan A=,cos B=,则tan C等于()A.-1B.1C.D.-2解析:∵cos B=,且0<B<π,∴sin B=.∴tan B=,∴tan C=-tan=-=-=-1.故选A.答案:A6.设tan α和tan β是关于x的方程mx2+(2m-3)x+(m-2)=0的两根,则tan(α+β)的最小值是()A. B. C.- D.不确定解析:依题意tan α+tan β=-,tan αtan β=,于是tan(α+β)=-m.又方程有两根,所以Δ=(2m-3)2-4m(m-2)≥0,即m≤,因此-m≥-,即tan(α+β)的最小值为-.答案:C7.已知sin 2α=,tan(α-β)=,则tan(α+β)=.解析:∵sin 2α=,∴cos 2α=±.又∵<α<,∴<2α<π,∴cos 2α=-,∴tan 2α=-.又∵tan(α-β)=,∴tan(α+β)=tan[2α-(α-β)]==-2.答案:-28.已知tan=2,则的值为.答案:★9.在△ABC中,若(1+cot A)(1+cot C)=2,则log2sin B=.解析:由(1+cot A)(1+cot C)=2,得=2,∴(tan A+1)(tan C+1)=2tan A tan C.∴1+tan A+tan C=tan A tan C.∴tan(A+C)=-1.又A,B,C是△ABC的内角,∴A+C=.∴B=.∴sin B=.∴log2sin B=log2=-.答案:-10.已知α为第二象限的角,sin α=,β为第一象限的角,cos β=,求tan(2α-β)的值.解:∵α为第二象限的角,且sin α=,∴cos α=-,∴tan α=-.∵β为第一象限的角,且cos β=,∴sin β=,∴tan β=.∴tan(α-β)==.∴tan(2α-β)=tan[α+(α-β)]=.★11.如图,在矩形ABCD中,AB=a,BC=2a,在BC上取一点P,使AB+BP=PD,求tan ∠APD的值.解:由AB+BP=PD,得a+BP=,解得BP=.设∠APB=α,∠DPC=β,则tan α=,tan β=.从而tan(α+β)==-18.∵∠APD+(α+β)=π,∴tan∠APD=tan[π-(α+β)]=-tan(α+β)=18.。
第24练--两角和与差的正切函数
第24练 两角和与差的正切函数训练学点：能从两角和与差的正弦公式和余弦公式导出两角和与差的正切公式，了解它们的内在联系，会正用、逆用以及变形应用公式。
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、tan20°tan20°tan40°=（ ） A 、/3 答案：B解析：原式=tan60°（1-tan20°tan40°）°tan40°=tan60°2、若A 、B 为锐角三角形的两个锐角，则tanAtanB 的值是（ ） A 、不大于1 B 小于1 C 等于1 D 大于1 答案：D解析：由题知180°>A+B>90°，\tan(A+B)<0, 由tan(A+B)=tan tan 1tan tan A BA B+-,且tanA>0,tanB>0,\1-tanAtanB<0,\tanAtanB>13、已知tan(a +b )=2/5,tan(b -p /5)=1/4,则tan( a + p /5）=( ) A 、-1/6 B 1/6 C 13/12 D 3/22 答案：D解析：tan(a + p /5）=tan[(a +b )-(b -p /5)]=215421154-+=3/224、在 ABC 中，已知tansin 2A B C +=,下列四个论断中正确的是 （ ）① tanA cotB=1 ② 0<sinA+sinB③22sin cos 1A B += ④ 222cos cos sin A B C += A ①③ B ②④ C ①④ D ②③ 答案： B解析：A+B+C=180°Þtan tan(902A B +=°-2C ）=cot2C =cos2sin2CC =sinC=2sin 2C cos 2C \sin2C=2,2C =45°，故ÐC=90°。
高中数学三角恒等变换-正切两角和差公式训练题
三角恒等变换－正切和差公式一、直接使用1．若tanα=，tan（α+β）=，则tanβ=．2．已知则tanβ=．二、逆用3．求值：tan20°+tan40°+tan20°tan40°=．4．的值为．三、简单综合5．已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ﹣）=．6．若tan（α﹣）=．则tanα=．7．设θ为第二象限角，若tan（θ+）=，则sinθ+cosθ=．四、估角8．已知=3，且β≠（n，k∈Z），则的值为．9．若，且tan2x=3tan（x﹣y），则x+y的可能取值是．10．若tanα=3tanβ，且0≤β＜α＜，则α﹣β的最大值为．五、一个重要结论11．（1）证明：A+B+C=nπ（A，B，C≠kπ+，k∈Z，n∈Z）的充要条件是tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC；（2）利用（1）计算．参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2015•重庆）若tanα=，tan（α+β）=，则tanβ=（）A．B．C．D．【解答】解：∵tanα=，tan（α+β）=，则tanβ=tan[（α+β）﹣α]===，故选：A．2．（2010•揭阳学业考试）已知则tanβ=（）A．B．C．D．【解答】解：由，则tanβ=tan[α﹣（α﹣β）]=．故选C．3．已知=3，且β≠（n，k∈Z），则的值为（）A．2B．1C．D．﹣2【解答】解：∵===3，∴3sin（α+β）cosβ﹣3cos（α+β）sinβ=sin（α+β）cosβ+cos（α+β）sinβ，∴2sin（α+β）cosβ=4cos（α+β）sinβ，又β≠kπ，α+β≠nπ+，（n，k∈Z），∴=2．故选：A．4．（2017•长汀县）若，且tan2x=3tan（x﹣y），则x+y的可能取值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵tan2x=3tan（x﹣y），∴tan[（x+y）+（x﹣y）]=3tan（x﹣y），由两角和的正切公式可得=3tan（x﹣y），变形可得tan（x+y）+tan（x﹣y）=3tan（x﹣y）﹣3tan2（x﹣y）tan（x+y），即[1+3tan2（x﹣y）]tan（x+y）=2tan（x﹣y），∴tan（x+y）==，∵0＜y＜x＜，∴0＜x﹣y＜，∴tan（x﹣y）＞0，∴由基本不等式可得tan（x+y）=≤=，当且仅当tan（x﹣y）=时取等号，结合0＜x+y＜π，可得x+y≤，或＜x+y＜π，四个选项只有A符合，故选：A．5．（2015春•成华区期末）的值为（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：===﹣，故选：A．二．填空题（共5小题）6．（2016•新课标Ⅰ）已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ﹣）=．【解答】解：∵θ是第四象限角，∴，则，又sin（θ+）=，∴cos（θ+）=．∴cos（）=sin（θ+）=，sin（）=cos（θ+）=．则tan（θ﹣）=﹣tan（）=﹣=．故答案为：﹣．7．（2017•江苏）若tan（α﹣）=．则tanα=．【解答】解：∵tan（α﹣）===∴6tanα﹣6=tanα+1，解得tanα=，故答案为：．8．（2013•新课标Ⅱ）设θ为第二象限角，若tan（θ+）=，则sinθ+cosθ=﹣．【解答】解：∵tan（θ+）==，∴tanθ=﹣，而cos2θ==，∵θ为第二象限角，∴cosθ=﹣=﹣，sinθ==，则sinθ+cosθ=﹣=﹣．故答案为：﹣9．（2014•沛县校级模拟）若tanα=3tanβ，且0≤β＜α＜，则α﹣β的最大值为．【解答】解：∵tanα=3tanβ，又0≤β＜α＜，∴tanβ＞0，∴tan（α﹣β）===．∵tanβ＞0，∴3tanβ+≥2，∴0＜≤=，∴0＜tan（α﹣β）≤．又y=tanx在（0，）上单调递增，∴0＜α﹣β≤．故答案为：．10．（1996•全国）求值：tan20°+tan40°+tan20°tan40°=．【解答】解：tan60°=tan（20°+40°）==tan20°+tan40°+tan20°tan40故答案为：三．解答题（共1小题）11．（1）证明：A+B+C=nπ（A，B，C≠kπ+，k∈Z，n∈Z）的充要条件是tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC；（2）利用（1）计算．【解答】（1）证明：必要性：若A+B+C=nπ，则A+B=nπ﹣C，又A，B，C≠kπ+，k∈Z，n∈Z，∴tan（A+B）=tan（nπ﹣C），∴=﹣tanC，∴tanA+tanB=﹣tanC+tanAtanBtanC，∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC；充分性：若tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，则tanA+tanB=﹣tanC+tanAtanBtanC=（1﹣tanAtanB）tanC，依题意，1﹣tanAtanB≠0，∴=﹣tanC，∴tan（A+B）=tan（﹣C），∴A+B=nπ﹣C，n∈Z，∴A+B+C=nπ（n∈Z），∴A+B+C=nπ（A，B，C≠kπ+，k∈Z，n∈Z）的充要条件是tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC；（2）解：由∵20°+40°+120°=180°，由（1）知，tan20°+tan40°+tan120°=tan20°tan40°tan120°，∴==tan120°=﹣．。
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α β γ 高一数学两角和与差的正切练习题一、填空题1、已知A 、B 为ABC 的内角，并且(1tan )(1tan )A B ++=2，则A+B 等于_______.2、如图由三个正方形拼接而成的长方形，则αβγ++=_________________.3、设1tan 3α=,βα-=-,则tan β=_______________.4、若1tan 51tan A A-=-，则tan()4A π+=__________________. 5、在∆ABC 中，若tan tan 1A B ⋅>，则∆ABC 必是__________三角形.6、已知tan 2,tan 5,αβ=-=求tan()αβ+= .7、求00003tan18tan12tan18tan123++= . 8、已知tan ,tan αβ是方程23320x x +-=的两个根，且,,22ππαβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则αβ+的值为 . 9、已知3,4παβ+=则(1tan )(1tan )αβ--的值等于 . 10、已知3,4παβ+=则(1tan )(1tan )αβ--的值等于 . 11、21tan(),tan()544ππαββα+=-=，则tan(+)等于4.12、在∆ABC 中，若0tan tan 1A B <⋅<，则∆ABC 必是__________三角形.13、化简3tan 2213tan 22οο-+ = .14、在ABC ∆中，已知2,tan tan 3A B C A B +==，则三角形的三个角分别为 .三、解答题：１5、已知tan 3,tan 2,,(0,)2παβαβ==∈，求证：34παβ+=16、如图，有一壁画，最高点A 处离地面4m ，最低点B 处离地面2m ，若从离地面高1.5m 的C 处观赏它，则离墙多远的视角θ最大？16、是否存在锐角α和β，使得： (1)23παβ+= (2)tan tan 232αβ=-同时成立？若存在，求α及β的值；若不存在，说明理由。
17、已知t a n α,tan β是方程2330x x --=的两个根,求22sin ()3sin()cos()3cos ()αβαβαβαβ+-+⋅+-+的值.18、已知tan α,tan()4πα-是方程220x kx ++=的两根,求k 的值.19、已知21)tan(=-βα，71tan -=β，且)0,(,πβα-∈，求βα-2的值.A B C 1.5 24 θ两角和与差的正切(一)答案一、选择题1、A 目的：对教材106页第八题的应用。
2、B 目的：巩固课本104页例3的结论，4παβ+=3、D 目的：体现方程思想，课本配练104页，四4、D 目的：公式的正向使用，观察条件和结论之间的关系。
5、Ｃ 目的：考察三角形第一定理A B C π++=和三角诱导公式及两角和与差的正切公式。
二、填空题：（1）311， 目的：公式的正向使用。
104P ，练习1(2) (2)3，目的：“1”的代换，配凑公式。
链接103P ，例2 (3)33， 目的：学会公式的变形使用 三、解答题： １．解：tan tan 32tan()11tan tan 132αβαβαβ+++===--⋅-⨯ (0,),(0,)22ππαβ∈∈ ， (0,)αβπ∴+∈在区间(0,)π内正切值为1-的角只有１个即3tan 14π=-，所以34παβ+= ２．解：如图，作CD AF ⊥于D ，则CD=EF设ACD α∠=，BCD β∠=，视角,ACB CD θ∠==x ，则θαβ=-.在Rt ACD ∆和Rt BCD ∆中，2.50.5tan ,tan x xαβ== ， ()22.50.5tan tan 2tan tan (0)2.50.51tan tan 1.251x x x x x x xαβθαβαβ--∴=-===>+++⨯ 令222,2 1.250()1.25x u ux x u x =∴-+=*+ 方程()*有大于0的实数解，0,∴≥即2144 1.250, 1.25u u -⨯≥∴≤，即()max 1tan 1.25θ= 正切函数tan y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，∴视角θ同时取得最大值。
此时，22x u =1u =11.25= C ∴离墙 1.25m 时，视角最大。
目的：（1）公式在生活中的应用，让学生体会到数学的使用价值（2）体会解题过程中的方程思想（3）巩固应用题的解题模式课本166P 第11题３．解：由（1）⇒tan 3232απαββ⎛⎫+=∴+= ⎪⎝⎭将（2）代入上式则tan tan 332αβ+=-tan 2α∴、tan β是()233230x x --+-=的两根，解之得121,23x x ==- 由于,tan 1242o απα<<∴≠，从而tan 232α=-，tan 1β= 0,24ππββ<<∴= 将4πβ=代入（1）式得：6πα=∴存在锐角6πα=，4πβ=使得（1）、（2）同时成立。
两角和与差的正切(二)答案一.选择题１. Ｂ［分析］本题主要考查两角和的正切公式。
利用韦达定理将,p q 表示出来,再由两角差的正切公式对其进行化简，从而得出结论。
分析：由题意可知：2222tan tan tan 14tan tan()tan 41tan 1tan tan 4tan tan tan tan 4tan tan()tan 41tan 1tan tan 4tan 1tan tan 11tan 1tan 10p q p q p q πθπθθθθπθθπθπθθθθθπθθθθθθθ-+-=+-=+=++⋅--=⋅-=⋅=++⋅+-∴-+=+=++∴-+= 2. Ｂ［分析］利用课本例1的第二种方法先求出tan()αβ+的值，再根据角的范围求αβ+。
解：因为tan ,tan αβ是方程23320x x +-=的两个根，所以tan tan 33αβ+=-，tan tan 2αβ=-因此：tan tan 33tan()31tan tan 1(2)αβαβαβ+-+===---- 因为,,22ππαβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以παβπ-<+< 则3παβ+=- 或23παβ+= 而tan tan 2αβ=-，则3παβ+=-3．Ａ［分析］在解题过程中要注意分析条件和结论中的关系式与有关公式间的联系，并将公式进行变形加以运用。
解:34παβ+= t a n t a n t a n ()11t a n t a nαβαβαβ+∴+==-- 则tan tan tan tan 1αβαβ-+=(1t a n )(1t a n )1t a n t a n t a nαβαβαβ--=--+ 1tan tan (tan tan )αβαβ=+-+11=+=2４．Ｂ［分析］本题主要找已知角与要求的角的关系：()()44ππαββα+--=+，采取整体思想，再利用两角和与差的正切公式. 解：tan()tan[()()]44ππααββ+=+-- 21tan()tan()354421221tan()tan()1454παββπαββ-+--===++-+⋅ 5．、D［分析］考察三角形第一定理A B C π++=和三角诱导公式及两角和与差的正切公式解：已知0tan tan 1A B <⋅<,所以tan an 01t A B ⋅>-因为tan tan 0A B ⋅>,且A,B 是三角形内角,所以tan ,tan A B 只能同正，即tan tan 0A B +> 得：tan tan tan()01tan tan A B A B A B++=>-⋅ 又ABC ∆中，A B C π++=t a n ()t a n ()t a n A B C C π+=-=-> 所以tan 0C <，故C 为钝角。
二．填空题１．tan38ο［分析］在三角函数的化简与求值时，通常将常数写成角的一个三角函数，在根据有关公式进行变形。
3tan 22tan 60tan 22tan(6022)tan 381tan 60tan 2213tan 22οοοοοοοοο--==-=++解： ２． 060A B C === ［分析］本题主要利用公式tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=的变形形式和书上例1的逆用。
解：因为三角形和内角和为0180，2A B C +=所以0120A B +=又因为tan tan tan()31tan tan A B A B A B++==--，而tan tan 3A B = 所以tan tan 23A B +=将tan ,tan A B 看作方程22330x x -+=的两根，所以tan tan 3A B ==则060A B C ===3．3［分析］要注意公式的变形使用和逆向使用，注意公式tan tan tan()(1tan tan )A B A B A B +=+-tan(2535)(1tan 25tan35)3tan 25tan353οοοοοο=+-+=解：原式三.解答题１．3-［分析］利用韦达定理,两角和的正切公式及同角三角函数关系,先化简,再求值.解:由已知得22222222tan tan 3tan tan 3tan tan 33tan()1tan tan 1(3)4sin ()3sin()cos()3cos ()sin ()3sin()cos()3cos ()sin ()cos ()tan ()3tan()31tan ()αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+=⎧⎨⋅=-⎩+∴+===-⋅--∴+-+⋅+-++-+⋅+-+=++++-+-=++=2233()334433()14-⨯-=-+ 2．1k = 解：tan ,tan()4παα- 为方程220x kx ++=的两根，t a n ()t a n 4k παα∴-+=-， tan()tan 24παα-= 而tan()tan 4tan tan[()]144121tan()tan 4k πααππααπαα-+-=-+===--- 所以 1k -=-，1k =.3．472πβα-=- [分析]考查两角和的正切值的求法，由ββαα+-=)(与αβαβα+-=-)(2，由函数值、角的范围求角。
解：31])tan[(tan =+-=ββαα 1])t a n [()2t a n (=+-=-∴αβαβα由0<<-απ及31tan =α，知43παπ-<<- 由71tan -=β及0<<-βπ，知04<<-βπ 4522πβαπ-<-<-∴，故472πβα-=-。