2019届中考数学 压轴题矩形问题精选解析(三)
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2019届中考数学 压轴题矩形问题精选解析（三）
例5 如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A 、C 的坐标分别为A （5，0），C （0，3）．射线y ＝kx 交折线A －B －C 于点P ，点A 关于OP 的对称点为A ′． （1）当点A ′ 恰好在CB 边上时，求CA ′ 的长及k 的值；
（2）若经过O 、A 、A ′ 三点的抛物线恰好以A ′ 为顶点，求k 的值及该抛物线的解析式； （3）如图2，当点P 在AB 边上，点A ′ 在CB 上方时，连接A ′O 、A ′P 分别交CB 边于点E 、F ．是否存在实数k 使△A ′EF ≌△BPF ？若存在，求出k 值；若不存在，说明理由；
（4）以OP 为直径作⊙M ，则⊙M 与矩形OABC 最多有_________个公共点，直接写出公共点个数最多时k 的取值范围．
解析：（1）当点A ′ 恰好在CB 边上时，连接A ′O 、A ′P ，如图1 ∵OA ′＝OA ＝5，OC ＝3 ∴CA ′＝ OA ′ 2
－OC 2
＝
5
2－3 2
＝4
∴A ′B ＝CB －CA ′＝5－4＝1
设PA ＝x ，则A ′P ＝PA ＝x ，BP ＝3－x
在Rt △A ′PB 中，A ′B 2＋BP 2＝A ′P 2
∴1 2＋( 3－x )2＝x 2
，解得x ＝ 5 3 ，∴P （5，5 3
）
∴k ＝ y P x P ＝ 1
3
（2）连接A ′O 、A ′P 、A ′A ，设A ′A 交射线OP 于点D ，如图2 则OP 垂直平分A ′A
∵经过O 、A 、A ′ 三点的抛物线恰好以A ′ 为顶点 ∴由抛物线的对称性可知A ′O ＝A ′A ＝2A ′D ∴∠A ′OD ＝30°，∴∠AOD ＝∠A ′OD ＝30° ∴PA ＝ 3 3 OA ＝ 53 3 ，∴P （5，53 3
） ∴k ＝
y P x P ＝
3
3
可得∠A ′OA ＝60°，∴△A ′OA 是等边三角形
∴点A ′ 的坐标为（
5 2 ，
53
2
） 设抛物线的解析式为为y ＝a ( x －
5 2 )2＋
53
2
B A
C x O y P A ′ 图1 B A C x O y P
A ′ 图2 E F B
A C x
O y
备用图
B A C
x
O
y
P
A ′
图1
B
A C
x
O
y
P A ′
图2
D
把O（0，0）代入上式，得0＝a(0－5
2
)2＋
53
2
解得a＝23 5
∴抛物线的解析式为为y＝－23
5
(x－
5
2
)2＋
53
2
（3）假设存在实数k，使△A′EF≌△BPF，如图3 ∵∠A′＝∠B＝90°，∠A′FE＝∠BFP
∴A′E＝BP，A′F＝BF
设A′E＝BP＝a，A′F＝BF＝b
则A′P＝PA＝3－a，EF＝PF＝3－a－b，OE＝5－a CE＝5－(3－a－b)－b＝2＋a
在Rt△OCE中，OC2＋CE2＝OE2
∴32＋(2＋a)2＝(5－a)2，解得a＝6 7
∴PA＝3－6
7
＝
15
7
，∴P（5，
15
7
）
∴k＝y P
x P
＝
3
7
（4）以OP为直径的⊙M与矩形OABC最多有6个公共点
提示：∵∠OAP＝90°
∴当点P在AB边上时，⊙M经过O、A、P三点，如图4
∵∠COP＜90°，∴⊙M必与OC边交于另一点
又∵⊙M与BC边最多有2个公共点
∴⊙M与矩形OABC最多有6个公共点
当点P在BC边上时，情况亦然
①当⊙M与BC边相切于点D时，连接DM并延长交OA于E，如图5 则MD⊥BC，∴DE∥AB∥OC，∴DE＝OC＝3
∵M是OP的中点，∴E是OA的中点
∴ME＝1
2 PA
设PA＝x，则ME＝1
2
x，DM＝
1
2
OP＝
1
2
x2＋5 2
∵DM＋ME＝DE，∴1
2
x2＋5 2 ＋
1
2
x＝3
解得x＝11
12
，∴P（5，
11
12
）
∴k＝y P
x P
＝
11
60
②当⊙M与AB边相切于点E时，连接EM并延长交OC于D，如图6
设CP＝x，则DM＝1
2
x，ME＝
1
2
OP＝
1
2
x2＋3 2
∵DM＋ME＝DE，∴1
2
x＋
1
2
x2＋32 ＝5
B
A
C
x
O
y
P
A′
图3
E F
B
A
C
x
O
y
P
图4
M
B
A
C
x
O
y
P
图5
D
M
E
B
A
C
x
O
y
E
图6
D
P
M