Cllx3_

23
2. 物理关系: 物理关系: 虎克定律:
τ = G γ
dx dx
代入上式得: τ = G γ = G ρ d = ρ G d ρ ρ
d τρ = ρ G dx
24
3. 静力学关系: 静力学关系: dA
T = ∫ A dA τ ρ ρ d = ∫ A Gρ dA dx
2
ρ
O
d =G ∫ A ρ 2dA dx
m2
m3
m1
m4
P 500 m = 9.55 1 = 9.55 1 n 300 A = 15.9(kN m )
n B C D
P 150 m2 = m3 = 9.55 2 = 9.55 = 4.78 (kN m ) n 300 P 200 4 m4 = 9.55 = 9.55 = 6.37 (kN m ) n 300
1
§3–1
概 述
轴:工程中以扭转为主要变形的构件.如:机器中的传动轴, 石油钻机中的钻杆等. 扭转: 扭转:外力的合力为一力偶,且力偶的作用面与直杆的轴线 垂直,杆发生的变形为扭转变形. B
A
O
A m
γ
O B m
2
扭转角( ):任意两截面绕轴线转动而发生的角位移. 扭转角(): 剪应变( 剪应变(γ):直角的改变量.
m2 m3 m1 m4
n A T
⊕ – 4.78 – 9.56
13
B
C
D
6.37
x
§3–3
薄壁圆筒的扭转
薄壁圆筒: 薄壁圆筒:壁厚 t ≤ 1 r0 (r0:为平均半径) 10 一,实验: 实验:
1.实验前: 实验前: 实验前 ①绘纵向线,圆周线; 绘纵向线,圆周线; ②施加一对外力偶 m. .
14
ρ —该点到圆心的距离. 该点到圆心的距离. 该点到圆心的距离
Ip—极惯性矩,纯几何量,无物理意义. 极惯性矩, 极惯性矩 纯几何量,无物理意义.
26
I p = ∫ A ρ 2dA
单位: 单位:mm4,m4.
尽管由实心圆截面杆推出,但同样适用于空心圆截面杆, ③ 尽管由实心圆截面杆推出,但同样适用于空心圆截面杆, 只是I 值不同. 只是 p值不同. 对于实心圆截面:
15
微小矩形单元体如图所示: 微小矩形单元体如图所示: a ①无正应力 ②横截面上各点处,只产 生垂直于半径的均匀分布的剪 应力τ ,沿周向大小不变,方 向与该截面的扭矩方向一致. 4. 与 γ 的关系: 的关系: dy
γ τ
dx
τ
b
τ
c
τ
d
γ L = R
∴ γ = R L
τ
τ
16
大小: 二,薄壁圆筒剪应力τ 大小:
A m
γ
O B m
3
工
程
实
例
4
5
6
7
§3–2
传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图
一,传动轴的外力偶矩 传递轴的传递功率,转速与外力偶矩的关系:
P m = 9.55 (kN m) n
P m = 7.024 (kN m ) n P m = 7.121 (kN m ) n
其中:P — 功率,千瓦(kW) n — 转速,转/分(rpm) 其中:P — 功率,马力(PS) n — 转速,转/分(rpm) 其中:P — 功率,马力(HP) n — 转速,转/分(rpm)
③此轴满足强度要求.
34
§3–5 等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件
一,扭转时的变形 由公式
d T = dx GIp
知:长为 l一段杆两截面间相对扭转角 为 长为 一段杆两截面间相对扭转角
T dx = ∫ d = ∫ GI p
l 0
=
Tl (若T 值不变) GI p
35
二,单位扭转角θ : 或
三,等直圆杆扭转时斜截面上的应力
低碳钢试件: 沿横截面断开.
铸铁试件: 沿与轴线约成45°的 螺旋线断开. 因此还需要研究斜截面上的应力.
31
σα = τ sin2α ; τα =τ cos2α
分析: 当α = 0°时 当α = 45°时 当α = – 45°时 当α = 90°时
σ 0° = 0 , τ 0° = τ max = τ σ 45° = σ min = τ , τ 45° = 0 σ 45° = σ max = τ , τ 45° = 0 σ 90° = 0 , τ 90° = τ max = τ
故
τ =τ′
为剪应力互等定理. 上式称为剪应力互等定理 为剪应力互等定理 该定理表明:在单元体相互垂直的两个平面上,剪应 在单元体相互垂直的两个平面上, 在单元体相互垂直的两个平面上 力必然成对出现,且数值相等, 力必然成对出现,且数值相等,两者都垂直于两平面的交 线,其方向则共同指向或共同背离该交线. 其方向则共同指向或共同背离该交线.
∫ A τ dA r0 = T ∴ τ r0 ∫ AdA = τ r0 2π r0 t = T T T ∴ τ= = 2 2π r0 t 2 A0 t
A0:平均半径所作圆的面积.
τ
τ
17
三,剪应力互等定理: 剪应力互等定理:
a dy
γ τ
dx
τ
b
∑ mz = 0
τ
c z
τ
d t
τ t dxdy = τ ′ t dxdy
18
单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用, 单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用,这 种应力状态称为纯剪切应力状态. 种应力状态称为纯剪切应力状态. 纯剪切应力状态 四,剪切虎克定律: 剪切虎克定律:
19T=mτγT (τ 2 A 0t)
∝
(γ L ) R
τ ∝γ
剪切虎克定律: 剪切虎克定律:当剪应力不超过材料的剪切比例极限 时(τ ≤τp),剪应力与剪应变成正比关系. ,剪应力与剪应变成正比关系.
9
4 扭矩
T = ∑m(
线
) ∑m(
线
)
5 扭矩图:表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线. 扭矩图 表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线. 目 的 |T|max 截面 截面 扭矩变化规律
T
⊕
x
10
[例]已知:一传动轴, n =300r/min,主动轮输入 P1=500kW,从动 例 轮输出 P2=150kW,P3=150kW,P4=200kW,试绘制扭矩图. 解:①计算外力偶矩
28
(D4 d 4 )
(α =
d ) D
④ 应力分布
(实心截面)
(空心截面)
工程上采用空心截面构件:提高强度,节约材料,重量轻, 结构轻便,应用广泛.
29
确定最大剪应力: ⑤ 确定最大剪应力: 由
Tρ τρ = Ip
ρ max
d =R= , τ ρ → τ max 2
τ max
T ρ max = Ip
I p = ∫ A ρ dA
2
dρ
= ∫ ρ 2 2 ρ π dρ =
D 2 0
ρ
O
D
πD4
32
≈ 0.1D4
27
对于空心圆截面:
dρ
I p = ∫ A ρ dA
2
ρ
d O D
=∫ =
D2
d2
ρ 2ρ π dρ
2
π
32 4 πD 4 4 4 (1α ) ≈ 0.1D (1α ) = 32
E 2(1+ )
可见,在三个弹性常数中,只要知道任意两个,第三个量 就可以推算出来.
21
§3–4 等直圆杆在扭转时的应力 强度条件
①变形几何方面 等直圆杆横截面应力 一,等直圆杆扭转实验观察: 等直圆杆扭转实验观察: 1. 横截面变形后 仍为平面; 仍为平面; 2. 轴向无伸缩; 轴向无伸缩; 3. 纵向线变形后仍为平行. 纵向线变形后仍为平行.
θ=
d T = dx GIp
(rad/m )
(°/m )
θ = d = T 180 dx GIp π
GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力,称为截面的抗扭刚度 截面的抗扭刚度. 截面的抗扭刚度 三,刚度条件 或
θmax = T ≤ [θ] (rad/m )
GIp
θmax = T 180 ≤ [θ] (°/m ) GIp π
20
τ = Gγ
式中:G是材料的一个弹性常数,称为剪切弹性模量,因γ 无 量纲,故G的量纲与τ 相同,不同材料的G值可通过实验确定,钢 材的G值约为80GPa. 剪切弹性模量,弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三 个常数.对各向同性材料,这三个弹性常数之间存在下列关系 (推导详见后面章节):
G=
d T 2 = T = T (令 W = I = p d Wt Ip Ip 2
几何量,单位:mm3或m3.
d ) 2
τmax
T = W t
Wt — 抗扭截面系数(抗扭截面模量),
对于实心圆截面 对于空心圆截面
Wt = I p R = πD3 16 ≈ 0.2D3 Wt = I p R = πD3(1 α 4 ) 16 ≈ 0.2D3(130 α 4 ) -
2.实验后: 实验后: 实验后 ①圆周线不变; 圆周线不变; ②纵向线变成斜直线. 纵向线变成斜直线.
3.结论:①圆筒表面的各圆周线的形状,大小和间距均未改 结论: 圆筒表面的各圆周线的形状, 结论 变,只是绕轴线作了相对转动. 只是绕轴线作了相对转动. ②各纵向线均倾斜了同一微小角度 γ . ③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形. 所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形.
τ max
Tmax = ≤ [τ ] Wt
实: D3 16 π 3 Wt πD( α 4) 空: 16 1