2015步步高理科数学选修4-1

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2015年高考数学试题-选修4系列,解析版

1.（15年广东理科）如图1，已知AB 是圆O 的直径，4AB =，EC 是圆O 的切线，切点为C ， 1BC =，过圆心O 做BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD =图1【答案】8．【考点定位】本题考查直线与圆、直角三角形的射影定理，属于中档题．2.（15年广东文科）如图1，AB 为圆O 的直径，E 为AB 的延长线上一点，过E 作圆O 的切线，切点为C ，过A 作直线C E的垂线，垂足为D ．若4AB =，C E =，则D A =．【答案】3考点：1、切线的性质；2、平行线分线段成比例定理；3、切割线定理． 3.（15年新课标2理科）如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与ΔABC 的底边BC 交于M ，N 两点，与底边上的高AD 交于点G ，且与AB ，AC 分别相切于E ，F 两点。

（1）证明：EF ∥BC ；（2）若AG 等于⊙O的半径，且AE MN ==EBCF 的面积。

4.（15年新课标2文科）如图O 是等腰三角形AB C 内一点,圆O 与△ABC 的底边BC 交于M ,N 两点,与底边上的高交于点G ,且与AB ,AC 分别相切于E ,F 两点.（I ）证明EFBC ；GAEFONDB C M（II ）若AG 等于圆O 半径,且AE MN ==,求四边形EBCF 的面积.【答案】（I ）见试题解析；（II考点：1.几何证明；2.四边形面积的计算. 5.（15年陕西理科）如图，AB 切O 于点B ，直线D A 交O 于D ，E 两点，C D B ⊥E ，垂足为C ．（I ）证明：C D D ∠B =∠BA ；（II ）若D 3DC A =，C B =O 的直径．【答案】（I ）证明见解析；（II ）3．【解析】试题分析：（I ）先证C D D ∠B =∠BE ，再证D D ∠BA =∠BE ，进而可证C D D ∠B =∠BA ；（II ）先由（I ）知D B 平分C ∠BA ，进而可得D A 的值，再利用切割线定理可得AE 的值，进而可得O 的直径．试题解析：（I ）因为DE 为圆O 的直径，则BED EDB ∠+∠=90，又BC ⊥DE ，所以∠CBD+∠EDB=90°，从而∠CBD=∠BED. 又AB 切圆O 于点B ，得∠DAB=∠BED ，所以∠CBD=∠DBA.（II ）由（I ）知BD 平分∠CBA ，则=3BA AD BC CD=,又BC AB =所以4AC =，所以D=3A .由切割线定理得2=AD AB AE ×，即2=ADAB AE =6，故DE=AE-AD=3，即圆O 的直径为3.考点：1、直径所对的圆周角；2、弦切角定理；3、切割线定理.6.（15年陕西文科）如图，AB 切O 于点B ，直线AO 交O 于,D E 两点，,BC DE ⊥垂足为C . (I)证明：CBD DBA ∠=∠(II)若3,AD DC BC ==O 的直径.【答案】(I)证明略，详见解析； (II)3. 【解析】试题分析：：(I)因为DE 是O 的直径，则90BED EDB ∠+∠=︒，又BC DE ⊥，所以90CBD EDB ∠+∠=︒，又AB 切O 于点B ，得DBA BED ∠=∠，所以CBD DBA ∠=∠；(II)由(I)知BD 平分CBA ∠，则3BA ADBC CD==，又BC =，从而AB =222AB BC AC =+，解得4AC =，所以3AD =，由切割线定理得2AB AD AE =⋅，解得6AE =，故3DE AE AD =-=，即O 的直径为3.试题解析：(I)因为DE 是O 的直径，则90BED EDB ∠+∠=︒又BC DE ⊥，所以90CBD EDB ∠+∠=︒ 又AB 切O 于点B ，得DBA BED ∠=∠ 所以CBD DBA ∠=∠ (II)由(I)知BD 平分CBA ∠，则3BA ADBC CD==，又BC =，从而AB =所以4AC =所以3AD =，由切割线定理得2AB AD AE =⋅即26AB AE AD==，故3DE AE AD =-=，即O 的直径为3.考点：1.几何证明；2.切割线定理.7.（15年江苏）如图，在ABC ∆中，AC AB =，ABC ∆的外接圆圆O 的弦AE 交BC 于点D求证：ABD ∆∽AEB ∆【答案】详见解析考点：三角形相似1.（15年福建理科）已知0,0,0a b c >>>，函数()||||f x x a x b c =++-+的最小值为4． (Ⅰ)求a b c ++的值； (Ⅱ)求2221149a b c ++的最小值．A（第21——A 题）【答案】(Ⅰ) 4；(Ⅱ)87．【解析】试题分析：(Ⅰ)由绝对值三角不等式得()||||f x x a x b c =++-+ 的最小值为|a |b c ++，故|a |4b c ++=，即a b c 4++= ；(Ⅱ)利用柯西不等式2222222123123112233()()()x x x y y y x y x y x y ++++≥++求解．试题解析：(Ⅰ)因为(x)|x ||x ||(x )(x )||a |f a b c a b c b c =++++?-++=++ 当且仅当a xb -＃时，等号成立又0,0a b >>，所以|a b |a b +=+,所以(x)f 的最小值为a b c ++, 所以a b c 4++=．(Ⅱ)由(1)知a b c 4++=，由柯西不等式得()()22222114912+3+1164923a ba b c c a b c 骣骣琪琪++++炒创=++=琪琪桫桫,即222118497a b c ++ . 当且仅当1132231b ac ==,即8182,,777a b c ===时，等号成立所以2221149a b c ++的最小值为87.考点：1、绝对值三角不等式；2、柯西不等式．2.（15年新课标2理科）设a ，b ，c ，d 均为正数，且a + b = c + d ，证明：（1）若ab > cd>（2||||a b c d -<-的充要条件。

2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)选修4-4 坐标系与参数方程

选修4－4 坐标系与参数方程1．极坐标系(1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，叫做________，从O 点引一条射线Ox ，叫做________，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系．设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的________，记为ρ，以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)．(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x ＝______，y ＝________. 另一种关系为ρ2＝________，tan θ＝________. 2．简单曲线的极坐标方程 (1)直线的极坐标方程θ＝α (ρ∈R )表示过极点且与极轴成α角的直线； ρcos θ＝a 表示过(a,0)且垂直于极轴的直线； ρsin θ＝b 表示过⎝⎛⎭⎫b ，π2且平行于极轴的直线； ρsin(α－θ)＝ρ1sin(α－θ1)表示过(ρ1，θ1)且与极轴成α角的直线方程． (2)圆的极坐标方程ρ＝2r cos θ表示圆心在(r,0)，半径为|r |的圆； ρ＝2r sin θ表示圆心在⎝⎛⎭⎫r ，π2，半径为|r |的圆； ρ＝r 表示圆心在极点，半径为|r |的圆． 3．曲线的参数方程在平面直角坐标系xOy 中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变量t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t ).并且对于t 的每一个允许值上式所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则称上式为该曲线的________________，其中变量t 称为________． 4．一些常见曲线的参数方程(1)过点P 0(x 0，y 0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为________________(t 为参数)． (2)圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为________________________(θ为参数)． (3)椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的参数方程为________________(θ为参数)．(4)抛物线方程y 2＝2px (p >0)的参数方程为________________(t 为参数)．1．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π4)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．2．极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ能表示的曲线的直角坐标方程为____________________．3．已知点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t (t 为参数)上，则PF ＝________.4．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t sin 40°，y ＝3＋t cos 40°(t 为参数)的倾斜角为________．5．已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ，y ＝2t 2＋1(t 为参数)．则点M 1(0,1)，M 2(5,4)在曲线C 上的是________．题型一极坐标与直角坐标的互化例1 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－π3)＝1，M ，N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点．(1)写出C 的直角坐标方程，并求M 、N 的极坐标；(2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．思维升华直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验．在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值．题型二参数方程与普通方程的互化例2 已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，求它们的交点坐标．思维升华 (1)参数方程化为普通方程常用的消参技巧有代入消元、加减消元、平方后再加减消元等．对于与角θ有关的参数方程，经常用到的公式有sin 2θ＋cos 2θ＝1,1＋tan 2θ＝1cos 2θ等．(2)在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的x ，y 的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 21＋t 2，y ＝4－2t21＋t2(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4cos 2θ，y ＝－1＋sin 2θ(θ为参数)．题型三极坐标、参数方程的综合应用例3 在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝－3＋32t ，y ＝12t(t 为参数)，M ，N分别为曲线C 、直线l 上的动点，求MN 的最小值．思维升华涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．转化后可使问题变得更加直观，它体现了化归思想的具体运用．(2013·辽宁)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2 2. (1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值．参数的几何意义不明致误典例：(10分)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝22＋32t(t 为参数)，若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－π4)．(1)求直线l 的倾斜角；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求AB .易错分析不明确直线的参数方程中的几何意义导致错误．规范解答解 (1)直线的参数方程可以化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos 60°，y ＝22＋t sin 60°，[2分]根据直线参数方程的意义，直线l 经过点(0，22)，倾斜角为60°.[4分](2)直线l 的直角坐标方程为y ＝3x ＋22，[6分] ρ＝2cos(θ－π4)的直角坐标方程为(x －22)2＋(y －22)2＝1，[8分]所以圆心(22，22)到直线l 的距离d ＝64. 所以AB ＝102.[10分] 温馨提醒对于直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)来说，要注意t 是参数，而α则是直线的倾斜角．与此类似，椭圆参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ的参数φ有特别的几何意义，它表示离心角．方法与技巧1．曲线的极坐标方程与直角坐标系的互化思路：对于简单的我们可以直接代入公式ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同时乘以ρ等．2．参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式：cos 2θ＋sin 2θ＝1,1＋tan 2θ＝1cos 2θ.3．利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便，是我们解决这类问题的好方法．失误与防范1．极径ρ是一个距离，所以ρ≥0，但有时ρ可以小于零．极角θ规定逆时针方向为正，极坐标与平面直角坐标不同，极坐标与P 点之间不是一一对应的，所以我们又规定ρ≥0,0≤θ<2π，来使平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然不包括极点． 2．在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的x ，y 的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．A 组专项基础训练1．(2013·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．2．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α，y ＝cos 2α，α∈[0,2π)，曲线D 的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝－ 2.(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程； (2)曲线C 与曲线D 有无公共点？试说明理由．3．(2013·福建)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A 的极坐标为(2，π4)，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ－π4)＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．4．在极坐标系中，P 是曲线ρ＝12sin θ上的动点，Q 是曲线ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6上的动点，试求PQ 的最大值．5．在极坐标系中，已知三点M ⎝⎛⎭⎫2，－π3、N (2,0)、P ⎝⎛⎭⎫23，π6. (1)将M 、N 、P 三点的极坐标化为直角坐标； (2)判断M 、N 、P 三点是否在一条直线上．6．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝12x ，y ′＝13y后，曲线C ：x 2＋y 2＝36变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标．B 组专项能力提升1．在极坐标系中，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin(θ－π4)＝22.(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的极坐标．2．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos(θ－π4)＝2.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．3．(2013·课标全国Ⅰ)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．4．(2012·辽宁)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)； (2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．答案要点梳理1．(1)极点极轴极径(2)ρcos θ ρsin θ x 2＋y 2 y x3．参数方程参数4．(1)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α (2)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a ＋r cos θy ＝b ＋r sin θ (3)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos θy ＝b sin θ (4)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2pt 2y ＝2pt 夯基释疑1．43 2.x 2＋y 2－2x －y ＝0 3.4 4.50° 5.M 1 题型分类·深度剖析例1 解 (1)由ρcos(θ－π3)＝1 得ρ(12cos θ＋32sin θ)＝1. 从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2. 当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)．当θ＝π2时，ρ＝233，所以N (233，π2)． (2)M 点的直角坐标为(2,0)．N 点的直角坐标为(0，233)．所以P 点的直角坐标为(1，33)．则P 点的极坐标为(233，π6)，所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．跟踪训练1 解将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，直线的方程为3x ＋4y ＋a ＝0.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，即有|3×1＋4×0＋a |32＋42＝1，解得a ＝－8或a ＝2. 故a 的值为－8或2.例2 解将两曲线的参数方程化为普通方程分别为x 25＋y 2＝1 (0≤y ≤1，－5<x ≤5)和y 2＝45x ，联立解得交点为⎝⎛⎭⎫1，255. 跟踪训练2 解 (1)∵x ＝2t 21＋t2， ∴y ＝4－2t 21＋t 2＝4(1＋t 2)－6t 21＋t 2＝4－3×2t 21＋t 2＝4－3x . 又x ＝2t 21＋t 2＝2(1＋t 2)－21＋t 2＝2－21＋t 2∈[0,2)． ∴x ∈[0,2)．∴所求的普通方程为3x ＋y －4＝0(x ∈[0,2))．(2)∵4cos 2θ＝2－x,4sin 2θ＝4(y ＋1)．∴4cos 2θ＋4sin 2θ＝2－x ＋4y ＋4.∴4y －x ＋2＝0.∵0≤4cos 2θ≤4，∴0≤2－x ≤4，∴－2≤x ≤2.∴所求的普通方程为x －4y －2＝0(x ∈[－2,2])．例3 解化极坐标方程ρ＝4cos θ为直角坐标方程x 2＋y 2－4x ＝0，所以曲线C 是以(2,0)为圆心，2为半径的圆．化参数方程⎩⎨⎧ x ＝－3＋32t ，y ＝12t(t 为参数)为普通方程x －3y ＋3＝0. 圆心到直线l 的距离d ＝|2＋3|1＋3＝52，此时，直线与圆相离，所以MN 的最小值为52－2＝12. 跟踪训练3 解 (1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋(y －2)2＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2，y 2＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，⎝⎛⎭⎫22，π4，注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，由参数方程可得y ＝b 2x －ab 2＋1，所以⎩⎨⎧ b 2＝1，－ab 2＋1＝2，解得a ＝－1，b ＝2.练出高分A 组 1．解因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t(t 为参数)，由x ＝t ＋1得t ＝x －1，代入y ＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0. 同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x . 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2(x －1)，y 2＝2x ，解得公共点的坐标为(2,2)，⎝⎛⎭⎫12，－1.2．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α，y ＝cos 2α，α∈[0,2π)得 x 2＋y ＝1，x ∈[－1,1]．(2)由ρsin(θ＋π4)＝－2得曲线D 的普通方程为 x ＋y ＋2＝0. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0，x 2＋y ＝1得x 2－x －3＝0. 解得x ＝1±132∉[－1,1]，故曲线C 与曲线D 无公共点．3．解 (1)由点A (2，π4)在直线ρcos(θ－π4)＝a 上，可得a ＝ 2. 所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1，因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1，所以直线l 与圆C 相交．4．解 ∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ，∴x 2＋y 2－12y ＝0，即x 2＋(y －6)2＝36.又∵ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6， ∴ρ2＝12ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π6＋sin θsin π6， ∴x 2＋y 2－63x －6y ＝0， ∴(x －33)2＋(y －3)2＝36，∴PQ max ＝6＋6＋(33)2＋32＝18.5．解 (1)由公式⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得M 的直角坐标为(1，－3)；N 的直角坐标为(2,0)；P 的直角坐标为(3，3)．(2)∵k MN ＝32－1＝3，k NP ＝3－03－2＝ 3.∴k MN ＝k NP ，∴M 、N 、P 三点在一条直线上．6．解圆x 2＋y 2＝36上任一点为P (x ，y )，伸缩变换后对应的点的坐标为P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2x ′，y＝3y ′，∴4x ′2＋9y ′2＝36，即x ′29＋y ′24＝1. ∴曲线C 在伸缩变换后得椭圆x 29＋y 24＝1，其焦点坐标为(±5，0)． B 组1．解 (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝x ＋y ，即x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin(θ－π4)＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，故直线l 与圆O 公共点的极坐标为(1，π2)．2．解 (1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4；因为ρ2－22ρcos(θ－π4)＝2，所以ρ2－22ρ(cos θcos π4＋sin θsin π4)＝2，所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin(θ＋π4)＝22. 3．解 (1)∵C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4＋5cos ty ＝5＋5sin t . ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5cos t ＝x －45sin t ＝y －5. ∴(x －4)2＋(y －5)2＝25(cos 2t ＋sin 2t )＝25，即C 1的直角坐标方程为(x －4)2＋(y －5)2＝25，把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(x －4)2＋(y －5)2＝25，化简得：ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧(x －4)2＋(y －5)2＝25x 2＋y 2＝2y 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0y ＝2. ∴C 1与C 2交点的直角坐标为(1,1)，(0,2)．∴C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，⎝⎛⎭⎫2，π2. 4．解 (1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2，圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ. 解⎩⎪⎨⎪⎧ ρ＝2，ρ＝4cos θ得ρ＝2，θ＝±π3，故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，⎝⎛⎭⎫2，－π3. 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)方法一由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ 得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝t ，－3≤t ≤ 3. ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫或参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝y ，－3≤y ≤3 方法二将x ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ. 于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝tan θ，－π3 ≤θ≤π3.。

2015世纪金榜理科数学(广东版)选修 4-1 1

【知识梳理】 1.平行线等分线段定理名称条件结论
定
理
一组平行线在一条直线上截得的线段相等经过三角形一边的中点
在其他直线上截得的相等线段也_____ 平分第三边 _____ 平分另一腰 _____
推论1 推论2
与另一边平行的直线
经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线
2.平行线分线段成比例定理对应线段成比例. (1)定理:三条平行线截两条直线,所得的_________ (2)推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长成比例线)所得的对应线段_______.
考点1
平行线分线段成比例定理
【典例1】(1)(2014·岳阳模拟)如图，在四边形ABCD中，EF∥BC，FG∥AD，则 ________.
EF FG ＝＋ BC AD
(2)如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，AE∶AC＝3∶5， DE＝6，则BF等于_______.
【解题视点】(1)利用线段AC过渡. (2)先判断四边形DFCE为平行四边形. 【规范解答】(1)由EF∥BC，知 EF ＝ AF . 由FG∥AD，知 FG ＝ CF ，
2 n 乙同学求得CD= ,则正确的是 m
.
【解析】因为AB＝AC，∠A=36°，所以∠ABC=∠C=72°. 又因为BD平分∠ABC，所以∠ABD= 1 ∠ABC=36°=∠A.
2
所以AD＝BD.
又因为∠BDC=36°+36°=72°=∠C，
所以BD=BC=n，所以AD=n.
所以CD＝AC―AD＝AB―AD=m-n.所以甲正确.
(2)一个直角三角形两条直角边的比为1∶ 5 ,则它们在斜边上的射影比为 .

2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套练透：选修4-1 第2节

[课堂练通考点]1．(2013·惠州模拟)如图，P A 切⊙O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，OB＝PB ＝1，OA 绕点O 逆时针旋转60°得到OD ，则PD 的长为________．解析：∵P A 切⊙O 于点A ，B 为PO 的中点，∴∠AOB ＝60°，∴∠POD ＝120°.在△POD 中，由余弦定理，得PD 2＝PO 2＋DO 2－2PO ·DO ·cos ∠POD ＝4＋1－4×(－12)＝7，故PD ＝7.答案：72．(2014·江南十校联考)如图，在圆的内接四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，∠ABD ＝30°，∠BDC ＝45°，AD ＝1，则BC ＝________.解析：连接AC .因为∠ABC ＝90°，所以AC 为圆的直径．又∠ACD ＝∠ABD ＝30°，所以AC ＝2AD ＝2.又∠BAC ＝∠BDC ＝45°，故BC ＝ 2.答案： 23．(2013·广州模拟)如图，已知AB 是⊙O 的一条弦，点P 为AB 上一点，PC ⊥OP ，PC 交⊙O 于C ，若AP ＝4，PB ＝2，则PC 的长是________．解析：如图，延长CP 交⊙O 于点D ，因为PC ⊥OP ，所以P 是弦CD的中点，由相交弦定理知P A ·PB ＝PC 2，即PC 2＝8，故PC ＝2 2.答案：2 24．(2013·新课标卷Ⅰ)如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D .(1)证明：DB ＝DC ；(2)设圆的半径为1，BC ＝3，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径．解：(1)证明：如图，连接DE ，交BC 于点G .由弦切角定理得， ∠ABE ＝∠BCE .而∠ABE ＝∠CBE ，故∠CBE ＝∠BCE ，BE ＝CE .又因为DB ⊥BE ，所以DE 为直径，则∠DCE ＝90°，由勾股定理可得DB ＝DC . (2)由(1)知，∠CDE ＝∠BDE ，DB ＝DC ，故DG 是BC 的中垂线，所以BG ＝32. 设DE 的中点为O ，连接BO ，则∠BOG ＝60°. 从而∠ABE ＝∠BCE ＝∠CBE ＝30°，所以CF ⊥BF ，故Rt △BCF 外接圆的半径等于32. [课下提升考能]1．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，MN 与⊙O 相切，切点为A ，∠MAB ＝35°，则∠D ＝________.解析：连接BD ，则∠MAB ＝∠ADB ＝35°，由BC 是直径，知∠BDC ＝90°，所以∠D ＝∠ADB ＋∠BDC ＝125°.答案：125°2．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠C ＝30°，AB ＝2，则⊙O 的半径为________．解析：连接AO 并延长交⊙O 于D ，连接BD .∠D ＝∠C ＝30°，在Rt △ABD 中， AD ＝2AB ＝4. ∴半径为2. 答案：23．如图，已知EB 是半圆O 的直径，A 是BE 延长线上一点，AC 切半圆O 于点D ，BC ⊥AC 于点C ，DF ⊥EB 于点F ，若BC ＝6，AC ＝8，则DF ＝________.解析：设圆的半径为r ，AD ＝x ，连接OD ，设OD ⊥AC . 故AD AC ＝OD BC ，即x 8＝r6，故x ＝43r .又由切割线定理 AD 2＝AE ·AB ，即169r 2＝(10－2r )×10，故r ＝154. 由三角形相似，知AD AB ＝DFBC ，则DF ＝3.答案：34．(2014·佛山质检)如图所示，△ABC 内接于圆O ，过点A 的切线交BC 的延长线于点P ，D 为AB 的中点，DP 交AC 于点M ，若BP ＝8，AM ＝4，AC ＝6，则P A ＝________.解析：由题意MC ＝AC －AM ＝6－4＝2.又D 为AB 的中点，∴AD ＝BD .过点C 作CN ∥AB 交PD 于N ，∴AM MC ＝AD CN ＝BD CN ＝BPCP ， ∴8PC ＝42， ∴PC ＝4.∵P A 2＝PC ·PB ＝32， ∴P A ＝4 2. 答案：4 25．(2013·湖南高考)如图，在半径为7的⊙O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，P A ＝PB ＝2，PD ＝1，则圆心O 到弦CD 的距离为________．解析：由相交弦定理得AP ·PB ＝DP ·PC ，从而PC ＝AP ·PB DP ＝4，所以DC＝5，所以圆心O 到弦CD 的距离等于(7)2－⎝⎛⎭⎫522＝32.答案：326．(2013·深圳调研)如图，在⊙O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF ⊥BC ，垂足为F ，若AB ＝6，CF ·CB ＝5，则AE ＝________.解析：设AE ＝x ，则EB ＝6－x ，在Rt △CEB 中，EF ⊥BC ，∴CE 2＝CF ·CB ＝5.又易知CE ＝ED ，由相交弦定理得AE ·EB ＝CE ·ED ＝CE 2＝5，即x (6－x )＝5，得x ＝1.答案：17．如图所示，AB ，CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，它们相交于AB的中点P ，PD ＝23a ，∠OAP ＝30°，则CP ＝________.解析：由题意知OP ⊥AB ，且AP ＝32a ，根据相交弦定理AP 2＝CP ·PD ，CP ＝98a .答案：98a8．(2014·武汉模拟)如图，割线PBC 经过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OB绕点O 逆时针旋转120°到OD ，连接PD 交圆O 于点E ，则PE ＝________.解析：在△POD 中，由余弦定理知PD ＝4＋1－4cos 120°＝7，再由PE ·PD ＝PB ·PC ⇒PE ＝377.答案：3779．如图所示，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，CD ＝4，BD ＝8，则圆O 的半径等于________．解析：由射影定理得CD 2＝AD ×BD ，即42＝AD ×8，AD ＝2，圆O 的直径AB ＝AD ＋BD ＝10，故圆O 的半径等于5.答案：510．如图，过点P 作⊙O 的割线P AB 与切线PE ，E 为切点，连接AE ，BE ，∠APE 的平分线分别与AE ，BE 相交于点C ，D ，若∠AEB ＝30°，则∠PCE ＝________.解析：由圆的切割线定理可得PE 2＝PB ·P A ⇒PE PB ＝P A PE，∴△PEB ∽△P AE ，设∠P AE ＝α，则∠PEB ＝α，∠PBE ＝α＋30°，∠APE ＝150°－2α，∴△PCE 中，∠EPC ＝75°－α，∠PEC ＝30°＋α，∴∠PCE ＝75°.答案：75°11．如图，在⊙O 中，弦AB ，CD 相交于点F ，AB ＝10，AF ＝2.若CF ∶DF ＝1∶4，则CF 的长等于________．解析：∵CD ∶DF ＝1∶4， ∴DF ＝4CF ，∵AB ＝10，AF ＝2，∴BF ＝8，∵CF ·DF ＝AF ·BF ，∴CF ·4CF ＝2×8，∴CF ＝2. 答案：212．如图，圆O 的半径为1，A ，B ，C 是圆周上的三点，满足∠ABC ＝30°，过点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ，则P A ＝________.解析：连接OA .∵AP 为⊙O 的切线， ∴OA ⊥AP .又∠ABC ＝30°，∴∠AOC ＝60°.∴在Rt △AOP 中，OA ＝1，P A ＝OA ·tan 60°＝ 3. 答案： 313．如图，PC 与圆O 相切于点C ，直线PO 交圆O 于A ，B 两点，弦CD 垂直AB 于E ，则下面结论中，错误的结论是________．①△BEC ∽△DEA ②∠ACE ＝∠ACP ③DE 2＝OE ·EP ④PC 2＝P A ·AB解析：根据图形逐一判断．因为∠BCE ＝∠DAE ，∠BEC ＝∠DEA ，所以△BEC ∽△DEA ，①正确；由切线的性质及三角形的性质得∠ACE ＝∠CBA ＝∠ACP ，②正确；连接OC ，因为PC 是切线，OC 是半径，所以OC ⊥PC ，且CE ⊥OP ，所以由射影定理可得CE 2＝OE ·EP ，又CE ＝DE ，所以DE 2＝OE ·EP ，③正确；由切割线定理可得PC 2＝P A ·PB ，④错误．答案：④14．如图，已知⊙O 的半径为R ，⊙O ′的半径为r ，两圆⊙O ，⊙O ′内切于点T ，点P 为外圆⊙O 上任意一点，PM 与内圆⊙O ′切于点M .PM ∶PT 为________．解析：作两圆的公切线TQ ，连接OP ，连接PT 交⊙O ′于C ，连接O ′C .设PT 交内圆于C ，则PM 2＝PC ·PT ，所以PM 2PT 2＝PC ·PT PT 2＝PCPT.由弦切角定理知∠POT ＝2∠PTQ ，∠CO ′T ＝2∠PTQ ，则∠POT ＝∠CO ′T ，PO ∥CO ′，所以PC PT ＝OO ′OT ＝R －r R ，即PM PT ＝R －rR为定值．答案：R －rR15．(2013·惠州模拟)如图，已知AD ＝5，DB ＝8，AO ＝310，则圆O 的半径OC 的长为________．解析：取BD 的中点M ，连接OM ，OB ，则OM ⊥BD ，因为BD ＝8，所以DM ＝MB ＝4，AM ＝5＋4＝9，所以OM 2＝AO 2－AM 2＝90－81＝9，所以半径OB ＝OM 2＋BM 2＝9＋16＝25＝5，即OC ＝5.答案：516．(2014·哈师大模拟)如图，圆O 的半径OC 垂直于直径AB ，弦CD 交半径OA 于E ，过D 的切线与BA 的延长线交于M .设圆O 的半径为1，MD ＝3，则CE 的长为________．解析：∵MD 2＝MA ·MB ，∴3＝MA ·(MA ＋2)， ∴MA ＝1.∵在Rt △MDO 中，MO ＝2，MD ＝3，∴∠MOD ＝60°，∴∠COD ＝150°，∴∠ECO ＝15°， CE ＝OC cos ∠ECO ＝1cos 15°＝6－ 2.答案：6－ 217．如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC ·AE ＝DC ·AF ，B ，E ，F ，C 四点共圆．若DB ＝BE ＝EA ，则过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为________．解析：如图，连接CE ，因为∠CBE ＝90°，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE .由DB ＝BE ，有CE ＝DC ，又BC 2＝DB ·BA ＝2DB 2，所以CA 2＝4DB 2＋BC 2＝6DB 2.而DC 2＝DB ·DA ＝3DB 2，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12.答案：12。

高中数学步步高必修4资料第一章 1.4.1

1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象学习目标 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系.知识点一利用正弦曲线画正弦函数的图象思考1 用描点法画y ＝sin x 在[0,2π]上的图象如何操作？难点是什么？答列表取值、描点、连线；难点在取值.思考2 如何精确地得出y ＝sin x 在[0,2π]上的图象？答利用正弦线平移作图.1.可以利用单位圆中的正弦线作y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象.2.y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象.3.把y ＝sin x ，x ∈R 的图象向左平移π2个单位长度，即可得到y ＝cos x ，x ∈R 的图象.知识点二正弦曲线和余弦曲线“五点法”作图思考你认为哪些点是y ＝sin x ，x ∈[0,2π]图象上的关键点？答最高点、最低点及图象与x 轴的三个交点.(2)描点画正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是 (0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)；画余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是 (0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1). (3)用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正弦曲线、余弦曲线的简图.类型一 “五点法”作图的应用例1 利用“五点法”作出函数y ＝1－sin x (0≤x ≤2π)的简图. 解 (1)取值列表：(2)描点连线，如图所示.反思与感悟作正弦曲线、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图.“五点”即y ＝sin x 或y ＝cos x 的图象在[0,2π]内的最高点、最低点和与x 轴的交点.“五点法”是作简图的常用方法.跟踪训练1 利用“五点法”作出函数y ＝－1－cos x (0≤x ≤2π)的简图. 解 (1)取值列表如下：(2)描点连线，如图所示.类型二正弦函数、余弦函数图象的简单应用应用1 解不等式问题例2 求函数f (x )＝lg sin x ＋16－x 2的定义域.解由题意，得x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，16－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤4，sin x >0，作出y ＝sin x 的图象，如图所示.结合图象可得：x ∈[－4，－π)∪(0，π).反思与感悟一些三角函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍.跟踪训练2 求函数f (x )＝lg cos x ＋25－x 2的定义域.解由题意，得x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧cos x >0，25－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos x >0，－5≤x ≤5，作出y ＝cos x 的图象，如图所示.结合图象可得：x ∈⎣⎡⎭⎫－5，－32π∪⎝⎛⎭⎫－π2，π2∪⎝⎛⎦⎤32π，5. 类型三方程的根(或函数零点)问题例3 在同一坐标系中，作函数y ＝sin x 和y ＝lg x 的图象，根据图象判断出方程sin x ＝lg x 的解的个数.解建立平面直角坐标系xOy ，先用五点法画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y ＝sin x 的图象.描出点(1,0)，(10,1)，并用光滑曲线连接得到y ＝lg x 的图象，如图所示.由图象可知方程sin x ＝lg x 的解有3个.反思与感悟三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这正是数形结合思想方法的应用.跟踪训练3 若函数f (x )＝sin x －2m －1，x ∈[0,2π]有两个零点，求m 的取值范围. 解由题意可知，sin x －2m －1＝0，在[0,2π]上有2个根.即sin x ＝2m ＋1有两个根. 可转化为y ＝sin x 与y ＝2m ＋1两函数图象有2个交点. 由y ＝sin x 图象可知：－1＜2m ＋1＜1，且2m ＋1≠0，解得－1＜m ＜0，且m ≠－12.∴m ∈(－1，12)∪(12，0).1.用五点法画y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象时，下列哪个点不是关键点( ) A.⎝⎛⎭⎫π6，12 B.⎝⎛⎭⎫π2，1 C.(π，0) D.(2π，0) 答案 A解析易知⎝⎛⎭⎫π6，12不是关键点.2.下列图象中，是y ＝－sin x 在[0,2π]上的图象的是( )答案 D解析由y ＝sin x 在[0,2π]上的图象作关于x 轴的对称图形，应为D 项. 3.函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝－12的交点有________个.答案两解析作y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象及直线y ＝－12(图略)，知两函数图象有两个交点.4.函数y ＝2sin x －1的定义域为________. 答案 [π6＋2k π，5π6＋2k π]，k ∈Z解析由题意知，自变量x 应满足2sin x －1≥0，即sin x ≥12.由y ＝sin x 在[0,2π]的图象，可知π6≤x ≤56π，又有y ＝sin x 的周期性，可得y ＝2sin x －1的定义域为⎣⎡⎦⎤π6＋2k π，5π6＋2k π，k ∈Z . 5.在[0,2π]内用五点法作出y ＝－sin x －1的简图. 解 (1)按五个关键点列表：(2)描点并用光滑曲线连接可得其图象，如图所示.1.正弦曲线、余弦曲线在研究正弦函数、余弦函数的性质中有着非常重要的应用，是运用数形结合思想解决三角函数问题的基础.2.五点法是画三角函数图象的基本方法，要熟练掌握，与五点法作图有关的问题是高考常考知识点之一.一、选择题1.对于正弦函数y ＝sin x 的图象，下列说法错误的是( ) A.向左右无限伸展B.与y ＝cos x 的图象形状相同，只是位置不同C.与x 轴有无数个交点D.关于y 轴对称答案 D解析由正弦曲线，知A ，B ，C 均正确，D 不正确. 2.点M ⎝⎛⎭⎫π2，－m 在函数y ＝sin x 的图象上，则m 等于( ) A.0 B.1 C.－1 D.2 答案 C解析由题意－m ＝sin π2，∴－m ＝1，∴m ＝－1.3.已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2，则f (x )的图象( ) A.与g (x )的图象相同 B.与g (x )的图象关于y 轴对称 C.向左平移π2个单位，得g (x )的图象D.向右平移π2个单位，得g (x )的图象答案 D解析 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2， g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝sin x ， f (x )图象向右平移π2个单位得到g (x )图象.4.函数y ＝1－cos x ，x ∈[0,2π]的大致图象为( )答案 D解析由特殊点验证，因为y ＝1－cos x ，x ∈[0,2π]过点(π，2)，所以选D. 5.不等式sin x ＞0，x ∈[0,2π]的解集为( ) A.[0，π]B.(0，π)C.⎣⎡⎦⎤π2，3π2D.⎝⎛⎭⎫π2，3π2答案 B解析由y ＝sin x 在[0,2π]的图象可得. 6.方程sin x ＝x10的根的个数是( )A.7B.8C.9D.10 答案 A解析在同一坐标系内画出y ＝x10和y ＝sin x 的图象如图所示：根据图象可知方程有7个根.7.如图所示，函数y ＝cos x ·|tan x |⎝⎛⎭⎫0≤x <3π2且x ≠π2的图象是( )答案 C解析当0≤x <π2时，y ＝cos x ·|tan x |＝sin x ；当π2<x ≤π时，y ＝cos x ·|tan x |＝－sin x ；当π<x <3π2时，y ＝cos x ·|tan x |＝sin x ，故其图象为C.8.已知函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积为( )A.4B.8C.2πD.4π 答案 D解析采用割补法. 二、填空题 9.函数f (x )＝sin x ＋116－x 2的定义域为________. 答案 (－4，－π]∪[0，π]解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ≥0，16－x 2＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z ，－4＜x ＜4⇒－4＜x ≤－π或0≤x ≤π.10.函数y ＝cos x ＋4，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝4的交点的坐标为________. 答案 ⎝⎛⎭⎫π2，4，⎝⎛⎭⎫3π2，4解析 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝cos x ＋4，y ＝4得cos x ＝0，当x ∈[0,2π]时，x ＝π2或3π2.∴交点为⎝⎛⎭⎫π2，4，⎝⎛⎭⎫32π，4. 11.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，x ＋2，x ＜0，则不等式f (x )＞12的解集是____________________________.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32＜x ＜0或π6＋2k π＜x ＜5π6＋2k π，k ∈N解析在同一平面直角坐标系中画出函数f (x )和y ＝12图象，由图易得：－32＜x ＜0或π6＋2k π＜x ＜56π＋2k π，k ∈N .三、解答题12.函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围.解 f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x ∈(π，2π].图象如图所示，若使f (x )的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，根据上图可得k 的取值范围是(1,3). 13.已知0≤x ≤2π，试探索sin x 与cos x 的大小关系. 解用“五点法”作出y ＝sin x ，y ＝cos x (0≤x ≤2π)的简图.由图象可知：①当x ＝π4或x ＝5π4时，sin x ＝cos x ；②当π4<x <5π4时，sin x >cos x ；③当0≤x <π4或5π4<x ≤2π时，sin x <cos x .。

2015步步高理科数学专题四

专题四高考中的立体几何问题1.(2013·广东)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是 ( )A.4B.143C.163D.6 答案 B解析由三视图知四棱台的直观图为由棱台的体积公式得：V ＝13(2×2＋1×1＋2×2×1×1)×2＝143. 2.(2013·课标全国Ⅱ)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则( ) A.α∥β且l ∥αB.α⊥β且l ⊥βC.α与β相交，且交线垂直于lD.α与β相交，且交线平行于l答案 D解析假设α∥β，由m ⊥平面α，n ⊥平面β，则m ∥n ，这与已知m ，n 为异面直线矛盾，那么α与β相交，设交线为l 1，则l 1⊥m ，l 1⊥n ，在直线m 上任取一点作n 1平行于n ，那么l 1和l 都垂直于直线m 与n 1所确定的平面，所以l 1∥l .3.如图，点O 为正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′的中心，点E 为面B ′BCC ′的中心，点F 为B ′C ′的中点，则空间四边形D ′OEF在该正方体的各个面上的投影不可能是( )答案 D解析空间四边形D ′OEF 在正方体的面DCC ′D ′上的投影是A ；在面BCC ′B ′上的投影是B ；在面ABCD 上的投影是C ，故选D.4.平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量AB →、AD →、AA 1→两两的夹角均为60°，且|AB →|＝1，|AD →|＝2，|AA 1→|＝3，则|AC 1→|等于( ) A.5 B.6C.4D.8 答案 A解析 ∵AC 1→＝AA 1→＋AB →＋AD →，∴AC 1→2＝(AA 1→＋AB →＋AD →)2＝AA 1→2＋AB →2＋AD →2＋2·AA 1→·AB →＋2·AA 1→·AD →＋2·AB →·AD →＝9＋1＋4＋2×3×1×12＋2×3×2×12＋2×1×2×12＝25， ∴|AC 1→|＝5.故选A.5.如图，四棱锥P －ABCD 的底面是一直角梯形，AB ∥CD ，BA ⊥AD ，CD ＝2AB ，P A ⊥底面ABCD ，E 为PC 的中点，则BE 与平面P AD 的位置关系为________.答案平行解析取PD 的中点F ，连接EF ，在△PCD 中，EF 綊12CD . 又∵AB ∥CD 且CD ＝2AB ，∴EF 綊AB ，∴四边形ABEF 是平行四边形，∴EB ∥AF .又∵EB ⊄平面P AD ，AF ⊂平面P AD ，∴BE ∥平面P AD .题型一空间点、线、面的位置关系例1 (2013·山东)如图，四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥AC ，AB ⊥P A ，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F ，G ，M ，N 分别为PB ，AB ，BC ，PD ，PC 的中点.(1)求证：CE ∥平面P AD ；(2)求证：平面EFG ⊥平面EMN .思维启迪 (1)在平面P AD 内作直线CE 的平行线或者利用平面CEF ∥平面P AD 证明；(2)MN 是平面EFG 的垂线.证明 (1)方法一取P A 的中点H ，连接EH ，DH .又E 为PB 的中点，所以EH 綊12AB . 又CD 綊12AB ，所以EH 綊CD . 所以四边形DCEH 是平行四边形，所以CE ∥DH .又DH ⊂平面P AD ，CE ⊄平面P AD .所以CE ∥平面P AD .方法二连接CF .因为F 为AB 的中点，所以AF ＝12AB . 又CD ＝12AB ，所以AF ＝CD . 又AF ∥CD ，所以四边形AFCD 为平行四边形.因此CF ∥AD ，又CF ⊄平面P AD ，所以CF∥平面P AD.因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥P A.又EF⊄平面P AD，所以EF∥平面P AD.因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面P AD.又CE⊂平面CEF，所以CE∥平面P AD.(2)因为E、F分别为PB、AB的中点，所以EF∥P A.又因为AB⊥P A，所以EF⊥AB，同理可证AB⊥FG.又因为EF∩FG＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG.所以AB⊥平面EFG.又因为M，N分别为PD，PC的中点，所以MN∥CD，又AB∥CD，所以MN∥AB，所以MN⊥平面EFG.又因为MN⊂平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.思维升华高考对该部分的考查重点是空间的平行关系和垂直关系的证明，一般以解答题的形式出现，试题难度中等，但对空间想象能力和逻辑推理能力有一定的要求，在试卷中也可能以选择题或者填空题的方式考查空间位置关系的基本定理在判断线面位置关系中的应用.如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，M，N分别为A1B，B1C1的中点.求证：(1)BC∥平面MNB1；(2)平面A1CB⊥平面ACC1A.证明(1)因为BC∥B1C1，且B1C1⊂平面MNB1，BC⊄平面MNB1，故BC∥平面MNB1.(2)因为BC⊥AC，且ABC－A1B1C1为直三棱柱，故BC⊥平面ACC1A1.因为BC⊂平面A1CB，故平面A1CB⊥平面ACC1A1.题型二平面图形的翻折问题例2如图1所示，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，CD为∠ACB的平分线，点E在线段AC上，CE＝4.如图2所示，将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连接AB，BE，设点F是AB的中点.(1)求证：DE⊥平面BCD；(2)若EF∥平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥B－DEG的体积.思维启迪(1)翻折前后，△ACD内各元素的位置关系没有变化，易知DE⊥DC，再根据平面BCD⊥平面ACD可证明DE⊥平面BCD；(2)注意从条件EF∥平面BDG得线线平行，为求高作基础.(1)证明∵AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝60°.∵CD为∠ACB的平分线，∴∠BCD＝∠ACD＝30°.∴CD＝2 3.∵CE＝4，∠DCE＝30°，∴DE2＝CE2＋CD2－2CE·CD·cos 30°＝4，∴DE＝2，则CD2＋DE2＝EC2.∴∠CDE＝90°，DE⊥DC.又∵平面BCD⊥平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，DE⊂平面ACD，∴DE⊥平面BCD.(2)解∵EF∥平面BDG，EF⊂平面ABC，平面ABC∩平面BDG＝BG，∴EF∥BG.∵点E在线段AC上，CE＝4，点F是AB的中点，∴AE ＝EG ＝CG ＝2.如图，作BH ⊥CD 于H .∵平面BCD ⊥平面ACD ，∴BH ⊥平面ACD .由条件得BH ＝32， S △DEG ＝13S △ACD ＝13×12AC ·CD ·sin 30°＝3， ∴三棱锥B －DEG 的体积V ＝13S △DEG ·BH ＝13×3×32＝32. 思维升华平面图形的翻折问题，关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况.一般地翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化.(2012·北京)如图(1)，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图(2).(1)求证：DE ∥平面A 1CB .(2)求证：A 1F ⊥BE . (3)线段A 1B 上是否存在点Q ，使A 1C ⊥平面DEQ ？说明理由.(1)证明因为D ，E 分别为AC ，AB 的中点，所以DE ∥BC .又因为DE ⊄平面A 1CB ，所以DE ∥平面A 1CB .(2)证明由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.又A1D∩CD＝D，所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE，又因为BE⊂平面BCDE，所以A1F⊥BE.(3)解线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取AC，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.题型三线面位置关系中的存在性问题例3如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，P、Q分别是线段AB、CD的中点，EP⊥平面ABCD.(1)求证：DP⊥平面EPC；(2)问在EP 上是否存在点F ，使平面AFD ⊥平面BFC ？若存在，求出FP AP的值；若不存在，说明理由.思维启迪先假设EP 上存在点F 使平面AFD ⊥平面BFC ，然后推证点F 的位置.(1)证明 ∵EP ⊥平面ABCD ，∴EP ⊥DP .又ABCD 为矩形，AB ＝2BC ，P 、Q 分别为AB 、CD 的中点，连接PQ ，则PQ ⊥DC 且PQ ＝12DC . ∴DP ⊥PC .∵EP ∩PC ＝P ，∴DP ⊥平面EPC .(2)解假设存在F 使平面AFD ⊥平面BFC ，∵AD ∥BC ，BC ⊂平面BFC ，AD ⊄平面BFC ，∴AD ∥平面BFC .∴AD 平行于平面AFD 与平面BFC 的交线l .∵EP ⊥平面ABCD ，∴EP ⊥AD ，而AD ⊥AB ，AB ∩EP ＝P ，∴AD ⊥平面EAB ，∴l ⊥平面F AB .∴∠AFB 为平面AFD 与平面BFC 所成二面角的平面角.∵P 是AB 的中点，且FP ⊥AB ，∴当∠AFB ＝90°时，FP ＝AP .∴当FP ＝AP ，即FP AP＝1时，平面AFD ⊥平面BFC . 思维升华对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在这个假设下利用线面关系的性质进行推理论证，寻求假设满足的条件.若条件满足则肯定假设，若得到矛盾则否定假设.如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC.(1)求证：D1C⊥AC1；(2)问在棱CD上是否存在点E，使D1E∥平面A1BD.若存在，确定点E位置；若不存在，说明理由.(1)证明在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，连接C1D，∵DC＝DD1，∴四边形DCC1D1是正方形，∴DC1⊥D1C.又AD⊥DC，AD⊥DD1，DC∩DD1＝D，∴AD⊥平面DCC1D1，又D1C⊂平面DCC1D1，∴AD⊥D1C.∵AD⊂平面ADC1，DC1⊂平面ADC1，且AD∩DC1＝D，∴D1C⊥平面ADC1，又AC1⊂平面ADC1，∴D1C⊥AC1.(2)解假设存在点E，使D1E∥平面A1BD.连接AD1，AE，D1E，设AD1∩A1D＝M，BD∩AE＝N，连接MN，∵平面AD1E∩平面A1BD＝MN，要使D1E∥平面A1BD，可使MN∥D1E，又M是AD1的中点，则N是AE的中点.又易知△ABN≌△EDN，∴AB＝DE.即E是DC的中点.综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E∥平面A1BD.题型四空间向量与立体几何例4 (2012·大纲全国)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，P A ⊥底面ABCD ，AC ＝22，P A ＝2，E 是PC 上的一点，PE＝2EC .(1)证明：PC ⊥平面BED ；(2)设二面角A －PB －C 为90°，求PD 与平面PBC 所成角的大小.思维启迪利用P A ⊥平面ABCD 建立空间直角坐标系，利用向量求解.方法一 (1)证明因为底面ABCD 为菱形，所以BD ⊥AC .又P A ⊥底面ABCD ，所以PC ⊥BD .如图，设AC ∩BD ＝F ，连接EF .因为AC ＝22，P A ＝2，PE ＝2EC ，故PC ＝23，EC ＝233，FC ＝2，从而PCFC ＝6，ACEC ＝ 6.因为PCFC ＝ACEC ，∠FCE ＝∠PCA ，所以△FCE ∽△PCA ，∠FEC ＝∠P AC ＝90°.由此知PC ⊥EF .因为PC 与平面BED 内两条相交直线BD ，EF 都垂直，所以PC ⊥平面BED .(2)解在平面P AB 内过点A 作AG ⊥PB ，G 为垂足.因为二面角A －PB －C 为90°，所以平面P AB ⊥平面PBC .又平面P AB ∩平面PBC ＝PB ，故AG ⊥平面PBC ，AG ⊥BC .因为BC 与平面P AB 内两条相交直线P A ，AG 都垂直，故BC ⊥平面P AB ，于是BC ⊥AB ，所以底面ABCD 为正方形，AD ＝2，PD ＝P A 2＋AD 2＝2 2.设D 到平面PBC 的距离为d .因为AD ∥BC ，且AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，故AD ∥平面PBC ，A 、D 两点到平面PBC 的距离相等，即d ＝AG ＝ 2.设PD 与平面PBC 所成的角为α，则sin α＝d PD ＝12.所以PD 与平面PBC 所成的角为30°.方法二 (1)证明以A 为坐标原点，射线AC 为x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则C (22，0,0)，P (0,0,2)，E ⎝⎛⎭⎫423，0，23，设D (2，b,0)，其中b >0，则B (2，－b,0).于是PC →＝(22，0，－2)，BE →＝⎝⎛⎭⎫23，b ，23，DE →＝⎝⎛⎭⎫23，－b ，23，从而PC →·BE →＝0，PC →·DE →＝0，故PC ⊥BE ，PC ⊥DE .又BE ∩DE ＝E ，所以PC ⊥平面BED .(2)解 AP →＝(0,0,2)，AB →＝(2，－b,0).设m ＝(x ，y ，z )为平面P AB 的法向量，则m ·AP →＝0，m ·AB →＝0，即2z ＝0且2x －by ＝0，令x ＝b ，则m ＝(b ，2，0).设n ＝(p ，q ，r )为平面PBC 的法向量，则n ·PC →＝0，n ·BE →＝0，即22p －2r ＝0且2p 3＋bq ＋23r ＝0，令p ＝1，则r ＝2，q ＝－2b ，n ＝⎝⎛⎭⎫1，－2b ，2. 因为二面角A －PB －C 为90°，所以面P AB ⊥面PBC ，故m ·n ＝0，即b －2b＝0，故b ＝2，于是n ＝(1，－1，2)，DP →＝(－2，－2，2)，所以cos 〈n ，DP →〉＝n ·DP →|n ||DP →|＝12，所以〈n ，DP →〉＝60°.因为PD 与平面PBC 所成角和〈n ，DP →〉互余，故PD 与平面PBC 所成的角为30°.思维升华用空间向量求解立体几何问题，主要是通过建立坐标系或利用基底表示向量坐标，通过向量的计算求解位置关系及角的大小，二面角是历年高考的考查热点，平面的法向量是解题中的一个重点，还要注意二面角的范围.在如图所示的几何体中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，AA 1綊DD 1綊CC 1∥BE ，且AA 1＝AB ，D 1E ⊥平面D 1AC ，AA 1⊥底面ABCD .(1)求二面角D 1－AC －E 的大小；(2)在D 1E 上是否存在一点P ，使得A 1P ∥平面EAC ，若存在，求D 1P PE的值，若不存在，说明理由.解 (1)设AC 与BD 交于O ，如图所示建立空间直角坐标系Oxyz ，设AB ＝2，则A (3，0,0)，B (0，－1,0)，C (－3，0,0)，D (0,1,0)，D 1(0,1,2)，设E (0，－1，t )，t >0，则ED 1→＝(0,2,2－t )，CA →＝(23，0,0)，D 1A →＝(3，－1，－2).∵D 1E ⊥面D 1AC ，∴D 1E ⊥CA ，D 1E ⊥D 1A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ ED 1→·CA →＝0，ED 1→·D 1A →＝0，解得t ＝3，∴E (0，－1,3)， ∴AE →＝(－3，－1,3)，设平面EAC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·CA →＝0，m ·AE →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，－3x －y ＋3z ＝0，令z ＝1，y ＝3，m ＝(0,3,1).又平面D 1AC 的法向量ED 1→＝(0,2，－1)，∴cos 〈m ，ED 1→〉m ·ED 1→|m |·|ED 1→|＝22. 所以所求二面角的大小为45°.(2)假设存在点P 满足题意.设D 1P →＝λPE →＝λ(D 1E →－D 1P →)，得D 1P →＝λ1＋λD 1E →＝(0，－2λ1＋λ，λ1＋λ)， A 1P →＝A 1D 1→＋D 1P →＝(－3，1,0)＋(0，－2λ1＋λ，λ1＋λ) ＝(－3，1－2λ1＋λ，λ1＋λ) ∵A 1P ∥平面EAC ，∴A 1P →⊥m ， ∴－3×0＋3×(1－2λ1＋λ)＋1×λ1＋λ＝0，解得λ＝32，故存在点P 使A 1P ∥面EAC ，此时D 1P ∶PE ＝3∶2.(时间：80分钟)1.如图所示，在边长为5＋2的正方形ABCD 中，以A 为圆心画一个扇形，以O 为圆心画一个圆，M ，N ，K 为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O 为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的全面积与体积.解设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，高为h ，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ l ＋r ＋2r ＝(5＋2)×22πr l ＝π2，解得r ＝2，l ＝42，S ＝πrl ＋πr 2＝10π，h ＝l 2－r 2＝30，V ＝13πr 2h ＝230π3.2.如图，在四棱台ABCD －A1B 1C 1D 1中，D 1D ⊥平面ABCD ，底面ABCD是平行四边形，AB ＝2AD ，AD ＝A 1B 1，∠BAD ＝60°.(1)证明：AA 1⊥BD ；(2)证明：CC 1∥平面A 1BD .证明 (1)方法一因为D 1D ⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ，所以D 1D ⊥BD .又因为AB ＝2AD ，∠BAD ＝60°，在△ABD 中，由余弦定理得BD 2＝AD 2＋AB 2－2AD ·AB cos 60°＝3AD 2，所以AD 2＋BD 2＝AB 2，因此AD ⊥BD .又AD ∩D 1D ＝D ，所以BD ⊥平面ADD 1A 1.又AA 1⊂平面ADD 1A 1，故AA 1⊥BD .方法二因为D 1D ⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥D 1D .如图，取AB 的中点G ，连接DG ，在△ABD 中，由AB ＝2AD 得AG ＝AD .又∠BAD ＝60°，所以△ADG 为等边三角形，因此GD ＝GB ，故∠DBG ＝∠GDB .又∠AGD ＝60°，所以∠GDB ＝30°，故∠ADB ＝∠ADG ＋∠GDB ＝60°＋30°＝90°，所以BD ⊥AD .又AD ∩D 1D ＝D ，所以BD ⊥平面ADD 1A .又AA 1⊂平面ADD 1A ，故AA 1⊥BD .(2)如图，连接AC ，A 1C 1，设AC ∩BD ＝E ，连接EA 1，因为四边形ABCD 为平行四边形，所以EC ＝12AC . 由棱台定义及AB ＝2AD ＝2A 1B 1知A 1C 1∥EC 且A 1C 1＝EC ，所以四边形A 1ECC 1为平行四边形，因此CC 1∥EA .又EA 1⊂平面A 1BD ，CC 1⊄平面A 1BD ，所以CC 1∥平面A 1BD .3.如图，四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，点E 在线段AD 上，且CE ∥AB .(1)求证：CE ⊥平面P AD ；(2)若P A ＝AB ＝1，AD ＝3，CD ＝2，∠CDA ＝45°，求四棱锥P —ABCD 的体积.(1)证明因为P A ⊥平面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥CE .因为AB ⊥AD ，CE ∥AB ，所以CE ⊥AD .又P A ∩AD ＝A ，所以CE ⊥平面P AD .(2)解由(1)可知CE ⊥AD .在Rt △ECD 中，DE ＝CD ·cos 45°＝1，CE ＝CD ·sin 45°＝1.又因为AB ＝CE ＝1，AB ∥CE ，所以四边形ABCE 为矩形.所以S 四边形ABCD ＝S 矩形ABCE ＋S △ECD ＝AB ·AE ＋12CE ·DE ＝1×2＋12×1×1＝52. 又P A ⊥平面ABCD ，P A ＝1，所以V 四棱锥P —ABCD ＝13S 四边形ABCD ·P A ＝13×52×1＝56. 4.(2012·山东)在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，FC ⊥平面ABCD ，AE ⊥BD ，CB ＝CD ＝CF .(1)求证：BD ⊥平面AED ；(2)求二面角F －BD －C 的余弦值.(1)证明因为四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，所以∠ADC ＝∠BCD ＝120°.又CB ＝CD ，所以∠CDB ＝30°，因此∠ADB ＝90°，即AD ⊥BD .又AE ⊥BD ，且AE ∩AD ＝A ，AE ，AD ⊂平面AED ，所以BD ⊥平面AED .(2)解方法一由(1)知AD ⊥BD ，所以AC ⊥BC .又FC ⊥平面ABCD ，因此CA ，CB ，CF两两垂直.以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，CF 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设CB ＝1，则C (0,0,0)，B (0,1,0)，D ⎝⎛⎭⎫32，－12，0，F (0,0,1). 因此BD →＝⎝⎛⎭⎫32，－32，0，BF →＝(0，－1,1). 设平面BDF 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，则m ·BD →＝0，m ·BF →＝0，所以x ＝3y ＝3z ，取z ＝1，则m ＝(3，1,1).由于CF →＝(0,0,1)是平面BDC 的一个法向量，则cos 〈m ，CF →〉＝m ·CF →|m ||CF →|＝15＝55，所以二面角F －BD －C 的余弦值为55. 方法二如图，取BD 的中点G ，连接CG ，FG ，由于CB ＝CD ，因此CG ⊥BD .又FC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以FC ⊥BD .由于FC ∩CG ＝C ，FC ，CG ⊂平面FCG ，所以BD ⊥平面FCG ，故BD ⊥FG ，所以∠FGC 为二面角F －BD －C 的平面角.在等腰三角形BCD 中，由于∠BCD ＝120°，因此CG ＝12CB .又CB ＝CF ，所以GF ＝CG 2＋CF 2＝5CG ，故cos ∠FGC ＝55，因此二面角F －BD －C 的余弦值为55. 5.(2012·北京)如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝6.D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，DE ＝2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如图2.(1)求证：A 1C ⊥平面BCDE ；(2)若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小； (3)线段BC 上是否存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由.(1)证明 ∵AC ⊥BC ，DE ∥BC ，∴DE ⊥AC .∴DE ⊥A 1D ，DE ⊥CD ，∴DE ⊥平面A 1DC .∴DE ⊥A 1C .又∵A 1C ⊥CD ，∴A 1C ⊥平面BCDE .(2)解如图所示，以C 为坐标原点，建立空间直角坐标系Cxyz ，则A 1(0,0,23)，D (0,2,0)，M (0,1，3)，B (3,0,0)，E (2,2,0).设平面A 1BE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·A 1B →＝0，n ·BE →＝0.又A 1B →＝(3,0，－23)，BE →＝(－1,2,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －23z ＝0，－x ＋2y ＝0.令y ＝1，则x ＝2，z ＝3， ∴n ＝(2,1，3).设CM 与平面A 1BE 所成的角为θ.∵CM →＝(0,1，3)，∴sin θ＝|cos 〈n ，CM →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·CM →|n |·|CM →|＝48×4＝22.∴CM 与平面A 1BE 所成角的大小为π4. (3)解线段BC 上不存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直.理由如下：假设这样的点P 存在，设其坐标为(p,0,0)，其中p ∈[0,3]. 设平面A 1DP 的法向量为m ＝(x ′，y ′，z ′)，则m ·A 1D →＝0，m ·DP →＝0.又A 1D →＝(0,2，－23)，DP →＝(p ，－2,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2y ′－23z ′＝0，px ′－2y ′＝0.令x ′＝2，则y ′＝p ，z ′＝p 3， ∴m ＝⎝⎛⎭⎫2，p ，p 3. 平面A 1DP ⊥平面A 1BE ，当且仅当m ·n ＝0，即4＋p ＋p ＝0.解得p ＝－2，与p ∈[0,3]矛盾.∴线段BC 上不存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直.6.如图，在五面体ABCDEF 中，F A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ∥FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD . (1)求异面直线BF 与DE 所成的角的大小；(2)证明：平面AMD ⊥平面CDE ；(3)求二面角A －CD －E 的余弦值.(1)解如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点，设AB ＝1，依题意得B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，E (0,1,1)，F (0,0,1)，M ⎝⎛⎭⎫12，1，12. BF →＝(－1,0,1)，DE →＝(0，－1,1)，于是cos 〈BF →，DE →〉＝BF →·DE →|BF →||DE →|＝0＋0＋12·2＝12. 所以异面直线BF 与DE 所成的角的大小为60°.(2)证明由AM →＝⎝⎛⎭⎫12，1，12，CE →＝(－1,0,1)，AD →＝(0,2,0)，可得CE →·AM →＝0，CE →·AD →＝0. 因此，CE ⊥AM ，CE ⊥AD .又AM ∩AD ＝A ，故CE ⊥平面AMD .而CE ⊂平面CDE ，所以平面AMD ⊥平面CDE .(3)解设平面CDE 的法向量为u ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ u ·CE →＝0，u ·DE →＝0.于是⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－y ＋z ＝0. 令x ＝1可得u ＝(1,1,1). 又由题设，平面ACD 的一个法向量为v ＝(0,0,1).所以cos u ，v ＝u ·v |u ||v |＝0＋0＋13×1＝33. 因为二面角A －CD －E 为锐角，所以其余弦值为33.。

【步步高】高考数学第一轮大复习(基础+思想典型题+题组专练)几何证明选讲文档专练文新人教A版选修4-1

选修4－1几何证明选讲1．平行截割定理(1)平行线等分线段定理如果一组__________在一条直线上截得的线段______，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也________．(2)平行线分线段成比例定理两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成________．2．相似三角形的判定与性质(1)相似三角形的判定定理①两角对应________的两个三角形________；②两边对应成________且夹角________的两个三角形________；③三边对应成________的两个三角形________．(2)相似三角形的性质定理①相似三角形的对应线段的比等于____________．②相似三角形周长的比等于____________．③相似三角形面积的比等于________________________．3．直角三角形射影定理直角三角形一条直角边的平方等于________________________________，斜边上的高的平方等于________________________________．4．圆中有关的定理(1)圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧的度数的________．(2)圆心角定理：圆心角的度数等于________________的度数．(3)切线的判定与性质定理①切线的判定定理过半径外端且与这条半径________的直线是圆的切线．②切线的性质定理圆的切线________于经过切点的半径．(4)切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，切线长________． (5)弦切角定理弦切角的度数等于其所夹弧的度数的________． (6)相交弦定理圆的两条相交弦，每条弦被交点分成的两条线段长的积________． (7)割线定理从圆外一点引圆的两条割线，该点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积________． (8)切割线定理从圆外一点引圆的一条割线与一条切线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段长的________________．(9)圆内接四边形的性质与判定定理 ①圆内接四边形判定定理(ⅰ)如果四边形的对角________，则此四边形内接于圆；(ⅱ)如果四边形的一个外角________它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆． ②圆内接四边形性质定理(ⅰ)圆内接四边形的对角________；(ⅱ)圆内接四边形的外角________它的内角的对角．1．如图，F 为▱ABCD 的边AD 延长线上的一点，DF ＝AD ，BF 分别交DC ，AC 于点G ，E ，EF ＝16，GF ＝12，则BE 的长为________．第1题图第2题图2．如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD ＝a ，CD ＝a2，点E ，F 分别为线段AB 、AD 的中点，则EF ＝________.3. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，MN 与⊙O 相切，切点为A ，∠MAB ＝30°，则∠D ＝________.4．如图所示，EA是圆O的切线，割线EB交圆O于点C，C在直径AB上的射影为D，CD ＝2，BD＝4，则EA＝________.第4题图第5题图5．(2012·湖南)如图所示，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若P A＝1，AB＝2，PO ＝3，则⊙O的半径等于________.题型一相似三角形的判定及性质例1如图，已知在△ABC中，点D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB 相交于点E，EC与AD相交于点F.(1)求证：△ABC∽△FCD；(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．思维升华(1)三角形相似的证明方法很多，解题时应根据条件，结合图形选择恰当的方法．一般的思考程序：先找两对内角对应相等；若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例；若无角对应相等，就要证明三边对应成比例．(2)证明等积式的一般方法是化为等积的比例式，若题目中无平行线，需利用相似三角形的性质证明．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，DE∥CA，且交BA的延长线于E，求证：ED·CD ＝EA·BD.题型二直角三角形的射影定理例2如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AC于E，EF⊥BC于F.求证：EF∶DF＝BC∶AC.思维升华已知条件中含直角三角形且涉及直角三角形斜边上的高时，应首先考虑射影定理，注意射影与直角边的对应法则，根据题目中的结论分析并选择射影定理中的等式，并分清比例中项．如图所示，在△ABC 中，∠CAB ＝90°，AD ⊥BC 于D ，BE 是∠ABC 的平分线，交AD 于F ，求证：DF AF ＝AE EC .题型三圆的切线的判定与性质例3 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，点D 在AB 上，DE ⊥EB ，且AD ＝23，AE ＝6.(1)判断直线AC 与△BDE 的外接圆的位置关系； (2)求EC 的长．思维升华证明直线是圆的切线的方法：若已知直线经过圆上某点(或已知直线与圆有公共点)，则连结圆心和这个公共点，设法证明直线垂直于这条半径；如果已知条件中直线与圆的公共点不明确(或没有公共点)，则应过圆心作直线的垂线，得到垂线段，设法证明这条垂线段的长等于圆半径．(2013·广东改编)如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC＝CD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB＝6，ED＝2，求BC的长．题型四与圆有关的比例线段例4(2012·辽宁)如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连结DB并延长交⊙O于点E.证明：(1)AC·BD＝AD·AB；(2)AC＝AE.思维升华(1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．(2)相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P.(1)求证：PM2＝P A·PC；(2)若⊙O的半径为23，OA＝3OM，求MN的长．与圆有关的几何证明问题典例：(10分)(2012·课标全国)如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点．若CF∥AB，证明：(1)CD＝BC；(2)△BCD∽△GBD.思维启迪(1)连结AF，利用平行关系构造平行四边形可得结论；(2)先证△BCD和△GBD为等腰三角形，再证明两三角形顶角相等即可．规范解答证明(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，连结AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF.[5分]因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC.[6分](2)因为FG∥BC，故GB＝CF.由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD，所以∠BGD＝∠BDG.[8分]由BC＝CD知∠CBD＝∠CDB，又因为∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，所以△BCD∽△GBD.[10分]处理与圆有关的比例线段的常见思路：(1)利用圆的有关定理；(2)利用相似三角形；(3)利用平行线分线段成比例定理及推论；(4)利用面积关系等．温馨提醒(1)解决几何证明问题需用各种判定定理、性质定理、推理和现有的结论，要熟悉各种图形的特征，利用好平行、垂直、相似、全等的关系，适当添加辅助线和辅助图形，这些知识都有利于问题的解决．(2)证明等积式时，通常转化为证明比例式，再证明四条线段所在的三角形相似．另外也可利用平行线分线段成比例定理来证明．(3)弦切角定理与圆周角定理是证明角相等的重要依据，解题时应根据需要添加辅助线构造所需要的角．(4)圆内接四边形的性质也要熟练掌握，利用该性质可得到角相等，进而为三角形的相似创造了条件．方法与技巧1．证明等积式成立，应先把它写成比例式，找出比例式中给出的线段所在三角形是否相似，若不相似，则进行线段替换或等比替换．2．圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相等的角，找相似三角形，从而得出线段的比．由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，所以应注意代数法在解题中的应用．失误与防范1．在应用平行截割定理时，一定要注意对应线段成比例．2．在解决相似三角形时，一定要注意对应角和对应边，否则容易出错.A组专项基础训练1．已知△ABC中，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE相交于点P，求证：(1)△BPE∽△CPF；(2)△EFP∽△BCP.2.如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 交BC 于点D ，若E 是AC 的中点，ED 的延长线交AB 的延长线于F ，求证：AB AC ＝DFAF.3. 如图所示，已知在△ABC 中，∠ABC ＝90°，O 是AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 交于点E ，与AC 切于点D ，连结DB ，DE ，OC .若AD ＝2，AE ＝1，求CD 的长．4．(2013·江苏)如图，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC＝2OC.求证：AC＝2AD.5. 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，若S△ODC∶S△BDC＝1∶3，求S△ODC∶S△ABC.6. 如图，锐角三角形ABC的内心为I，过点A作直线BI的垂线，垂足为H，点E为内切圆I与边CA的切点．(1)求证：四点A，I，H，E共圆；(2)若∠C＝50°，求∠IEH的度数．B组专项能力提升1. 如图所示，已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，M是BC的中点，CN⊥AM，垂足是N，求证：AB·BM＝AM·BN.2. 如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的中线，F为AB上任意一点，CF交AD于点E.求证：AE·BF＝2DE·AF.3．(2013·辽宁) 如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC 垂直CD于C，EF垂直AB于F，连结AE，BE.证明：(1)∠FEB＝∠CEB；(2)EF2＝AD·BC.4．(2013·课标全国Ⅰ)如图，直线AB为圆O的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC＝3，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．答案要点梳理1．(1)平行线相等相等 (2)比例2．(1)①相等相似 ②比例相等相似 ③比例相似 (2)①相似比 ②相似比 ③相似比的平方3．该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积两条直角边在斜边上的射影的乘积 4．(1)一半 (2)它所对弧 (3)①垂直 ②垂直 (4)相等 (5)一半 (6)相等 (7)相等 (8)等比中项 (9)①(ⅰ)互补 (ⅱ)等于 ②(ⅰ)互补 (ⅱ)等于夯基释疑1．8 2.a 2 3.120° 4.52 5. 6题型分类·深度剖析例1 (1)证明 ∵DE ⊥BC ，D 是BC 边上的中点， ∴EB ＝EC ，∴∠B ＝∠ECD ，又AD ＝AC ，∴∠ADC ＝∠ACD ， ∴△ABC ∽△FCD . (2)解过点A 作AM ⊥BC ，垂足为点M ， ∵△ABC ∽△FCD ，BC ＝2CD ， ∴S △ABC S △FCD ＝(BC CD)2＝4，又∵S △FCD ＝5，∴S △ABC ＝20，又S △ABC ＝12×BC ×AM ＝12×10×AM ＝20，解得AM ＝4，又DE ∥AM ，∴DE AM ＝BDBM， ∵DM ＝12DC ＝52，BM ＝BD ＋DM ＝5＋52＝152，∴DE 4＝5152，解得DE ＝83. 跟踪训练1 证明在梯形ABCD 中， ∵AB ＝DC ，∴∠ABC ＝∠DCB .又BC ＝BC ，∴△ABC ≌△DCB .∴∠BAC ＝∠BDC ， ∵AC ∥ED ，AD ∥BC ，∴∠E ＝∠BAC ＝∠BDC ，∠EAD ＝∠ABC ＝∠DCB ， ∴△EAD ∽△DCB . ∴EA DC ＝EDDB，即ED ·CD ＝EA ·BD . 例2 证明 ∵∠BAC ＝90°，且AD ⊥BC ， ∴由射影定理得AC 2＝CD ·BC ，∴AC CD ＝BC AC .①∵EF ⊥BC ，AD ⊥BC ，∴EF ∥AD ，∴AE DF ＝ACCD .又BE 平分∠ABC ，且EA ⊥AB ，EF ⊥BC ， ∴AE ＝EF ，∴EF DF ＝ACCD .②由①、②得EF DF ＝BCAC，即EF ∶DF ＝BC ∶AC . 跟踪训练2 证明由三角形的内角平分线定理得，在△ABD 中，DF AF ＝BDAB ，①在△ABC 中，AE EC ＝ABBC ，②在Rt △ABC 中，由射影定理知， AB 2＝BD ·BC ，即BD AB ＝ABBC .③由①③得：DF AF ＝ABBC ，④由②④得：DF AF ＝AEEC.例3 解 (1)取BD 的中点O ，连结OE .∵BE 平分∠ABC ， ∴∠CBE ＝∠OBE .又∵OB ＝OE ，∴∠OBE ＝∠BEO ， ∴∠CBE ＝∠BEO ，∴BC ∥OE . ∵∠C ＝90°，∴OE ⊥AC ，∴直线AC 是△BDE 的外接圆的切线，即直线AC 与△BDE 的外接圆相切．(2)设△BDE 的外接圆的半径为r . 在△AOE 中，OA 2＝OE 2＋AE 2，即(r ＋23)2＝r 2＋62，解得r ＝23， ∴OA ＝2OE ，∴∠A ＝30°，∠AOE ＝60°. ∴∠CBE ＝∠OBE ＝30°，∴EC ＝12BE ＝12×3r ＝12×3×23＝3.跟踪训练3 解 C 为BD 中点，且AC ⊥BC ，故△ABD 为等腰三角形．AB ＝AD ＝6，所以AE ＝4，DE ＝2.又AE AC ＝ACAD，所以AC 2＝AE ·AD ＝4×6＝24，AC ＝26，在△ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝36－24＝2 3.例4 证明 (1)由AC 与⊙O ′相切于A ，得∠CAB ＝∠ADB ，同理∠ACB ＝∠DAB ，所以△ACB ∽△DAB .从而AC AD ＝ABBD，即AC ·BD ＝AD ·AB .(2)由AD 与⊙O 相切于A ，得∠AED ＝∠BAD . 又∠ADE ＝∠BDA ，得△EAD ∽△ABD . 从而AE AB ＝ADBD ，即AE ·BD ＝AD ·AB .结合(1)的结论知，AC ＝AE . 跟踪训练4(1)证明连结ON ，则ON ⊥PN ，且△OBN 为等腰三角形，则∠OBN ＝∠ONB ， ∵∠PMN ＝∠OMB ＝90°－∠OBN ， ∠PNM ＝90°－∠ONB ， ∴∠PMN ＝∠PNM ，∴PM ＝PN . 根据切割线定理，有PN 2＝P A ·PC ， ∴PM 2＝P A ·PC .(2)解 OM ＝2，在Rt △BOM 中， BM ＝OB 2＋OM 2＝4.延长BO 交⊙O 于点D ，连结DN .由条件易知△BOM ∽△BND ，于是BO BN ＝BMBD ，即23BN ＝443，∴BN ＝6. ∴MN ＝BN －BM ＝6－4＝2. 练出高分 A 组 1．证明(1)∵BF ⊥AC 于点F ， CE ⊥AB 于点E ， ∴∠BFC ＝∠CEB ＝90°. 又∵∠CPF ＝∠BPE ， ∴△CPF ∽△BPE .(2)由(1)得△CPF ∽△BPE ， ∴EP BP ＝FP CP. 又∵∠EPF ＝∠BPC ，∴△EFP ∽△BCP . 2．证明 ∵E 是Rt △ADC 斜边AC 的中点， ∴AE ＝EC ＝DE .∴∠EDC ＝∠ECD ，又∠EDC ＝∠BDF ， ∴∠EDC ＝∠C ＝∠BDF .又AD ⊥BC 且∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＝∠C ， ∴∠BAD ＝∠BDF ，∴△DBF ∽△ADF . ∴DB AD ＝DF AF. 又Rt △ABD ∽Rt △CBA ，因此AB AC ＝DB AD .∴AB AC ＝DF AF.3．解由切割线定理得AD 2＝AE ·AB ，所以AB ＝4，EB ＝AB －AE ＝3.又∵∠OCD ＝∠ADE ＝90°－∠CDB ，∠A ＝∠A ， ∴△ADE ∽△ACO ，∴AD AE ＝AC AO ，即21＝CD ＋22.5，CD ＝3. 故CD 的长等于3.4．证明连结OD .因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，所以∠ADO ＝∠ACB ＝90°. 又因为∠A ＝∠A ，所以Rt △ADO ∽Rt △ACB . 所以BC OD ＝AC AD.又BC ＝2OC ＝2OD ，故AC ＝2AD . 5．解 ∵S △ODC ∶S △BDC ＝1∶3，且△ODC 和△BDC 有公共边CD ，设△ODC 和△BDC 在CD 上的高分别为h 和H ，则h ∶H ＝1∶3，∴DO ∶DB ＝1∶3，∴DO ∶OB ＝1∶2. 又∵AB ∥CD ，∴△ODC ∽△OBA . ∴S △ODC ∶S △OBA ＝1∶4.设S △ODC ＝a ，则S △OBC ＝2a ，S △OAB ＝4a ， ∵S △ABC ＝S △OAB ＋S △OBC ，∴S △ABC ＝6a . ∴S △ODC ∶S △ABC ＝1∶6.6．(1)证明由圆I 与边AC 相切于点E ，得IE ⊥AE ，结合IH ⊥AH ，得∠AEI ＝∠AHI ＝90° . 所以，四点A ，I ，H ，E 共圆． (2)解由(1)知四点A ，I ，H ，E 共圆，则∠IEH ＝∠HAI .又∠HIA ＝∠ABI ＋∠BAI ＝12∠ABC ＋12∠BAC＝12(∠ABC ＋∠BAC )＝12(180°－∠C )＝90°－12∠C . 结合IH ⊥AH ，得∠HAI ＝90°－∠HIA ＝12∠C ，所以∠IEH ＝12∠C .由∠C ＝50°得∠IEH ＝25°.B 组1．证明 ∵CM 2＝MN ·AM ，又∵M 是BC 的中点，∴BM 2＝MN ·AM ，∴BM AM ＝MN BM，又∵∠BMN ＝∠AMB ，∴△AMB ∽△BMN ， ∴AB BN ＝AMBM，∴AB ·BM ＝AM ·BN . 2．证明过点D 作AB 的平行线DM 交AC 于点M ，交FC 于点N . 在△BCF 中，D 是BC 的中点，DN ∥BF ，∴DN ＝12BF .∵DN ∥AF ， ∴△AFE ∽△DNE ， ∴AE AF ＝DE DN. 又DN ＝12BF ，∴AE AF ＝2DEBF ，即AE ·BF ＝2DE ·AF .3．证明 (1)由直线CD 与⊙O 相切，得∠CEB ＝∠EAB .由AB 为⊙O 的直径，得AE ⊥EB ，从而∠EAB ＋∠EBF ＝π2；又EF ⊥AB ，得∠FEB ＋∠EBF ＝π2，从而∠FEB ＝∠EAB .故∠FEB ＝∠CEB . (2)由BC ⊥CE ，EF ⊥AB ， ∠FEB ＝∠CEB ，BE 是公共边，得Rt △BCE ≌Rt △BFE ，所以BC ＝BF . 同理可证，得AD ＝AF . 又在Rt △AEB 中，EF ⊥AB ，故EF 2＝AF ·BF ，所以EF 2＝AD ·BC . 4.(1)证明连结DE ，则∠DCB ＝∠DEB ， ∵DB ⊥BE ，∴∠DBC ＋∠CBE ＝90°， ∠DEB ＋∠EDB ＝90°，∴∠DBC ＋∠CBE ＝∠DEB ＋∠EDB ，又∠CBE ＝∠EBF ＝∠EDB ， ∴∠DBC ＝∠DEB ＝∠DCB ， ∴DB ＝DC .(2)解由(1)知：∠CBE ＝∠EBF ＝∠BCE ， ∴CE ＝BE ，∴∠BDE ＝∠CDE ， ∴DE 是BC 的垂直平分线，设交点为H ，则BH ＝32， ∴OH ＝1－34＝12，∴DH ＝32， ∴tan ∠BDE ＝3232＝33，∴∠BDE ＝30°，∴∠FBE ＝∠BDE ＝30°，∴∠CBF ＋∠BCF ＝90°，∴∠BFC ＝90°， ∴BC 是△BCF 的外接圆直径． ∴△BCF 的外接圆半径为32.。

2015年高考数学总复习新课标课件：选修4-1课件(共24张PPT)

选修4-1 几何证明选讲
第2课时直线与圆的位置关系
第一页，编辑于星期五：十一点二十三分。
1．圆周角与圆心角定理 (1)圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 ________．一半 (2)圆心角定理圆心角的度数等于_____它__所__对__弧__的__度_．数推论1 同弧或等弧所对的圆周角________相；等同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等．推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是_____直__角_；90°的圆周角所对的弦是________．直径
第五页，编辑于星期五：十一点二十三分。
圆周角、圆心角、弦切角和圆的切线问题 (1)O，AB＝AC，直线MN切圆O于点C，BE∥MN交于点E，若 AB＝6，BC＝4，则AE的长为________．130
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第十九页，编辑于星期五：十一点二十三分。
涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段，常利用圆周角或弦切角证明三角形相似，在相似三角形中寻找比例线段；也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例．在实际应用中，一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理，涉及两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时要注意应用切割线定理．
第三页，编辑于星期五：十一点二十三分。
3．圆的切线的性质及判定定理 (1)性质定理圆的切线垂直于经过切点的______半__径．推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过_____切__点_．推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过________．圆心 (2) 判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的 _______切_．线 4．弦切角的性质定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．

【步步高】2015届高考数学总复习第十三章选修系列章末检测理北师大版

第十三章选修系列4学案73几何证明选讲(一)相似三角形的判定及有关性质导学目标：1.了解平行线等分线段定理和平行线分线段成比例定理；2.掌握相似三角形的判定定理及性质定理；3.理解直角三角形射影定理．自主梳理1．平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也相等．2．平行线分线段成比例定理两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段__________．推论1平行于三角形一边的直线截其他两边(或________________)，所得的对应线段__________．推论2平行于三角形的一边，并且和其他两边________的直线所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应________．推论3三角形的一个内角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例．3．相似三角形的判定判定定理1对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应________的两个三角形相似．判定定理2对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且____________相等的两个三角形相似．判定定理3对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例的两个三角形相似．4．相似三角形的性质(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；(2)相似三角形周长的比等于相似比；(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方．5．直角三角形射影定理直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在____________与斜边的______，斜边上的高的________等于两条直角边在斜边上的射影的乘积．自我检测1．如果梯形的中位线的长为6 cm，上底长为4 cm，那么下底长为________cm.2．如图，在△ABC中，ED∥BC，EF∥BD，则下列四个结论正确的是(填序号)________．①AFFD＝EDBC；②AFFD＝CDAD；③AFFD＝ADDC；④AFFD＝ABAE.3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CD＝2，BD＝3，则AC＝________.4．如图所示，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，AB ＝5 cm ，AC ＝4 cm ，BC ＝7 cm ，则BD ＝________cm .第4题图第5题图 5．(2011·某某)如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则BE ＝________.探究点一确定线段的n 等分点例1 已知线段PQ ，在线段PQ 上求作一点D ，使PD ∶DQ ＝2∶1.变式迁移1 已知△ABC ，D 在AC 上，AD ∶DC ＝2∶1，能否在AB 上找到一点E ，使得线段EC 的中点在BD 上．探究点二平行线分线段成比例定理的应用例2 在△ABC 的边AB 、AC 上分别取D 、E 两点，使BD ＝CE ，DE 的延长线交BC的延长线于点F.求证：DF EF ＝ACAB.变式迁移2 如图，已知AB ∥CD ∥EF ，AB ＝a ，CD ＝b(0<a<b)，AE ∶EC ＝m ∶n(0<m<n)，求EF.探究点三相似三角形的判定及性质的应用例3如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，过D与BC平行的直线交AB于点E，∠ACE＝∠ABC，求证：AB·CE＝AC·DE.变式迁移3 如图，已知▱ABCD中，G是DC延长线上一点，AG分别交BD和BC于E、F两点，证明AF·AD＝AG·BF.1．用添加平行辅助线的方法构造使用平行线等分线段定理与平行线分线段成比例定理的条件．特别是在使用平行线分线段成比例定理及推论时，一定要注意对应线段，对应边．2．利用平行线等分线段定理将某线段任意等分，需要过线段的一个端点作辅助线，在作图时要注意保留作图痕迹．3．在证明两个或两个以上的比例式相等时，需要找第三个比例式与它们都相等，可考虑利用平行线分线段成比例定理或推论，也可以考虑用线段替换及等比定理，由相等的传递性得出结论．4．判定两个三角形相似，根据题设条件选择使用三角形相似的判定定理．(满分：75分)一、填空题(每小题5分，共40分)1．如图所示，l 1∥l 2∥l 3，下列比例式正确的有________(填序号)． (1)AD DF ＝CE BC ；(2)AD BE ＝BC AF ；(3)CE DF ＝AD BC ；(4)AF DF ＝BE CE.2．如图所示，D 是△ABC 的边AB 上的一点，过D 点作DE ∥BC 交AC 于E.已知AD DB＝23，则S △ADE S 四边形BCED＝__________________________________________.3．如图，在四边形ABCD 中，EF ∥BC ，FG ∥AD ，则EF BC ＋FGAD＝________.4．在直角三角形中，斜边上的高为6，斜边上的高把斜边分成两部分，这两部分的比为3∶2，则斜边上的中线的长为________．5．(2010·某某模拟)如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD 与AC 相交于点O ，过点O 的直线分别交AB ，CD 于E ，F ，且EF ∥BC ，若AD ＝12，BC ＝20，则EF ＝________.6．如图所示，在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE 是中线，DC ＝BE ，DG ⊥CE 于G ，EC 的长为4，则EG ＝________.7．(2010·某某武清一模)如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ∥AC ，EF ∥BC ，AB ＝15，AF ＝4，则DE ＝________.8．如图所示，BD 、CE 是△ABC 的中线，P 、Q 分别是BD 、CE 的中点，则PQBC＝________.二、解答题(共35分)9．(11分)如图所示，在△ABC 中，∠CAB ＝90°，AD ⊥BC 于D ，BE 是∠ABC 的平分线，交AD 于F ，求证：DF AF ＝AEEC.10．(12分)如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，M 是AD 上一点，BM 、CM 的延长线分别交AC 、AB 于F 、E.求证：EF ∥BC.11．(12分)(2010·某某模拟)如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于O 点，直线l 平行于BD 且与AB ，DC ，BC ，AD 及AC 的延长线分别相交于点M ，N ，R ，S 和P ，求证：PM·PN ＝PR·PS.学案73 几何证明选讲(一)相似三角形的判定及有关性质自主梳理2．成比例两边的延长线成比例相交成比例 3．相等夹角 5.斜边上的射影乘积平方自我检测 1．8 2.③ 3.2133解析由射影定理：CD 2＝AD·BD.∴AD ＝43，∴AC ＝CD 2＋AD 2＝4＋169＝2133.4.359解析 ∵AB AC ＝BD DC ＝54，∴BD ＝359cm .5．4 2解析 ∵AC ＝4，AD ＝12，∠ACD ＝90°， ∴CD 2＝AD 2－AC 2＝128， ∴CD ＝8 2.又∵AE ⊥BC ，∠B ＝∠D ，∴△ABE ∽△ADC ，∴AB AD ＝BECD，∴BE ＝AB·CD AD ＝6×8212＝4 2.课堂活动区例1解题导引利用平行线等分线段定理可对线段任意等分，其作图步骤为：首先作出辅助射线，然后在射线上依次截取任意相同长度的n 条线段，最后过辅助线上的各等分点作平行线，确定所求线段的n 等分点．解在线段PQ 上求作点D ，使PD ∶DQ ＝2∶1，就是要作出线段PQ 上靠近Q 点的一个三等分点，通过线段PQ 的一个端点作辅助射线，并取线段的三等分点，利用平行线等分线段定理确定D 点的位置．作法：①作射线PN.②在射线PN 上截取PB ＝2a ，BC ＝a. ③连接CQ.④过点B 作CQ 的平行线，交PQ 于D. ∴点D 即为所求的点．变式迁移1解假设能找到，如图，设EC 交BD 于点F ，则F 为EC 的中点，作EG ∥AC 交BD 于G. ∵EG ∥AC ，EF ＝FC ，∴△EGF ≌△CDF ，且EG ＝DC ，∴EG 綊12AD ，△BEG ∽△BAD ，∴BE BA ＝EG AD ＝12，∴E 为AB 的中点． ∴当E 为AB 的中点时，EC 的中点在BD 上．例2解题导引证明线段成比例问题，一般有平行的条件可考虑用平行线分线段成比例定理或推论，也可以用三角形相似或考虑用线段替换等方法．证明作EG ∥AB 交BC 于G ，如图所示，∵△CEG ∽△CAB ， ∴EG AB ＝CE AC ，即AC AB ＝CE EG ＝DB EG ，又∵DB EG ＝DF EF ，∴DF EF ＝AC AB.变式迁移2解如图，过点F 作FH ∥EC ，分别交BA ，DC 的延长线于点G ，H ，由EF ∥AB ∥CD 及FH ∥EC ，知AG ＝CH ＝EF ，FG ＝AE ，FH ＝EC.从而FG ∶FH ＝AE ∶EC ＝m ∶n.由BG ∥DH ，知BG ∶DH ＝FG ∶FH ＝m ∶n. 设EF ＝x ，则得(x ＋a)∶(x ＋b)＝m ∶n. 解得x ＝mb －nan －m ，即EF ＝mb －nan －m. 例3解题导引有关两线段的比值的问题，除了应用平行线分线段成比例定理外，也可利用相似三角形的判定和性质求解．解题中要注意观察图形特点，巧添辅助线，对解题可起到事半功倍的效果．证明方法一 ∵AB ∥CD ， ∴EA CD ＝AF CF ，即EA AF ＝CD CF .① ∵DE ∥BC ， ∴AF AC ＝AE AB ，即EA AF ＝AB AC.② 由①②得CD CF ＝ABAC，③∵∠FDC ＝∠ECF ，∠DEC ＝∠FEC ， ∴△EFC ∽△ECD. ∴CD CF ＝DE CE.④ 由③④得AB AC ＝DECE ，即AB·CE ＝AC·DE.方法二 ∵AB ∥CD ，DE ∥BC ， ∴BEDC 是平行四边形． ∴DE ＝BC.∵∠ACE ＝∠ABC ，∠EAC ＝∠BAC ，∴△AEC ∽△ACB.∴BC CE ＝ABAC.∴AB AC ＝DECE，即AB·CE ＝AC·DE. 变式迁移3证明因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AB ∥DC ，AD ∥BC.所以△ABF ∽△GCF ，△GCF ∽△GDA. 所以△ABF ∽△GDA.从而有AF AG ＝BFAD ，即AF·AD ＝AG·BF.课后练习区 1．(4)解析由平行线分线段成比例定理可知(4)正确． 2.421解析由AD DB ＝23知，AD AB ＝25，S △ADE S △ABC ＝425，故S △ADE S 四边形BCED ＝421.3．1解析 ∵EF ∥BC ，∴EF BC ＝AFAC ，又∵FG ∥AD ，∴FG AD ＝CFAC，∴EF BC ＋FG AD ＝AF AC ＋CF AC ＝AC AC ＝1. 4.562解析设斜边上的两段的长分别为3t,2t ，由直角三角形中的射影定理知：62＝3t·2t ，解得t ＝6(t>0，舍去负根)，所以斜边的长为56，故斜边上的中线的长为562.5．15解析 ∵AD ∥BC ，∴OB OD ＝BC AD ＝2012＝53，∴OB BD ＝58，∵OE ∥AD ，∴OE AD ＝OB BD ＝58，∴OE ＝58AD ＝58×12＝152，同理可求得OF ＝38BC ＝38×20＝152，∴EF ＝OE ＋OF ＝15.6．2解析连接DE ，因为AD ⊥BC ，所以△ADB 是直角三角形，则DE ＝12AB ＝BE ＝DC.又因为DG ⊥CE 于G ，所以DG 平分CE ，故EG ＝2.7．6解析设DE ＝x ，∵DE ∥AC ， ∴BE 15＝x x ＋4，解得BE ＝15x x ＋4. ∴BD DC ＝BE EA ＝BE 15－BE ＝x 4. 又∵AD 平分∠BAC ，∴BD DC ＝BA AC ＝15x ＋4＝x4，解得x ＝6. 8.14解析连接DE ，延长QP 交AB 于N ，则⎩⎨⎧NP ＝12ED ＝14BC ，NP ＋PQ ＝12BC.得PQ ＝14BC.9．证明由三角形的内角平分线定理得，在△ABD 中，DF AF ＝BDAB ，①在△ABC 中，AE EC ＝ABBC ，②(3分)在Rt △ABC 中，由射影定理知，AB 2＝BD·BC ，即BD AB ＝ABBC.③(6分) 由①③得：DF AF ＝ABBC ，④(9分)由②④得：DF AF ＝AEEC .(11分)10．证明延长AD 至G ，使DG ＝MD ，连接BG 、CG . ∵BD ＝DC ，MD ＝DG ，∴四边形BGCM 为平行四边形．(4分) ∴EC ∥BG ，FB ∥CG ， ∴AE AB ＝AM AG ，AF AC ＝AM AG ， ∴AE AB ＝AFAC ，(8分) ∴EF ∥BC.(12分) 11．证明 ∵BO ∥PM ， ∴PM BO ＝PAOA ，(2分) ∵DO ∥PS ， ∴PS DO ＝PA OA ，∴PM BO ＝PSDO .(4分) 即PM PS ＝BODO，由BO ∥PR得PR BO ＝PCCO.(6分) 由DO ∥PN 得PN OD ＝PCCO.(8分)∴PR BO ＝PN DO ，即PR PN ＝BO DO ， ∴PR PN ＝PMPS.∴PM·PN ＝PR·PS.(12分) 学案74 几何证明选讲 (二)直线与圆的位置关系导学目标： 1.理解圆周角定理，弦切角定理及其推论；2.理解圆的切线的判定及性质定理；3.理解相交弦定理，割线定理，切割线定理；4.理解圆内接四边形的性质定理及判定．自主梳理1．圆周角、弦切角及圆心角定理(1)__________的度数等于其的对______的度数的一半．推论1：________(或________)所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角__________相等．推论2：半圆(或直径)所对的__________等于90°.反之，90°的圆周角所对的弧是________(或__________)．(2)弦切角的度数等于其所夹孤的度数的____． (3)圆心角的度数等于它所对弧的度数． 2．圆中比例线段有关定理(1)相交弦定理：______的两条____________，每条弦被交点分成的____________的积相等．(2)切割线定理：从圆外一点引圆的一条割线和一条切线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段长的____________．(3)割线定理：从圆外一点引圆的两条________，该点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．温馨提示相交弦定理，切割线定理，割线定理揭示了与圆有关的线段间的比例关系，在与圆有关的比例线段问题的证明、计算以及证明线段或角相等等问题中应用甚广．3．切线长定理从________一点引圆的两条切线，__________相等． 4．圆内接四边形的性质与判定定理(1)性质定理：圆内接四边形的对角________．推论：圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内角的________． (2)判定定理：如果四边形的__________，则四边形内接于____．推论：如果四边形的一个外角等于它的____________，那么这个四边形的四个顶点________．5．圆的切线的性质及判定定理(1)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的________．推论1：经过________且________与垂直的直线必经过切点．推论2：经过________且切线与垂直的直线必经过______________________________． (2)判定定理：过半径________且与这条半径________的直线是圆的切线．自我检测1．如图在Rt△ABC中，∠B＝90°，D是AB上一点，且AD＝2DB，以D为圆心，DB 为半径的圆与AC相切，则sin A＝________.2．(2010·某某模拟)如图，AB是圆O的直径，EF切圆O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，则AC长为________．3．(2011·某某)如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC＝4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为________．4．如图所示，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AC交⊙O于点D，若AD＝32，CD＝18，则AB＝________.5．(2010·揭阳模拟)如图，已知P是⊙O外一点，PD为⊙O的切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，PF＝12，PD＝43，则圆O的半径长为________、∠EFD的度数为________.探究点一与圆有关的等角、等弧、等弦的判定例1如图，⊙O的两条弦AC，BD互相垂直，OE⊥AB，垂足为点E.求证：OE＝12CD.变式迁移1 在△ABC 中，已知CM 是∠ACB 的平分线，△AMC 的外接圆O 交BC 于点N ；若AC ＝13AB ，求证：BN ＝3MN.探究点二四点共圆的判定例2 如图，四边形ABCD 中，AB 、DC 的延长线交于点E ，AD ，BC 的延长线交于点F ，∠AED ，∠AFB 的角平分线交于点M ，且EM ⊥FM.求证：四边形ABCD 内接于圆．变式迁移2 如图，已知AP 是⊙O 的切线，P 为切点，AC 是⊙O 的割线，与⊙O 交于B 、C 两点，圆心O 在∠PAC 的内部，点M 是BC 的中点．(1)证明：A ，P ，O ，M 四点共圆； (2)求∠OAM ＋∠APM 的大小．探究点三与圆有关的比例线段的证明例3如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B，C，∠APC的角平分线分别与AB，AC相交于点D，E，求证：(1)AD＝AE；(2)AD2＝DB·EC.变式迁移3(2010·全国)如图，已知圆上的弧AC＝BD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE×CD.1．圆周角定理与圆心角定理在证明角相等时有较普遍的应用，尤其是利用定理进行等角代换与传递．2．要注意一些常用的添加辅助线的方法，若证明直线与圆相切，则连结直线与圆的公共点和圆心证垂直；遇到直径时，一般要引直径所对的圆周角，利用直径所对的圆周角是直角解决有关问题．3．判断两线段是否相等，除一般方法(通过三角形全等)外，也可用等线段代换，或用圆心角定理及其推论证明．4．证明多点共圆的常用方法：(1)证明几个点与某个定点距离相等；(2)如果某两点在某条线段的同旁，证明这两点对这条线段的X角相等；(3)证明凸四边形内对角互补(或外角等于它的内角的对角)．5．圆中比例线段有关定理常与圆周角、弦切角联合应用，要注意在题中找相等的角，找相似三角形，从而得到线段的比．(满分：75分)一、填空题(每小题5分，共40分)1．如图，已知AB，CD是⊙O的两条弦，且AB＝CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别是E，F，则结论①AB＝CD，②∠AOB＝∠COD，③OE＝OF，④AD＝BC中，正确的有________个．2．(2010·某某)如图所示，过⊙O外一点P作一条直线与⊙O交于A、B两点．已知PA ＝2，点P到⊙O的切线长PT＝4，则弦AB的长为________．3．(2010·某某)如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3 cm,4 cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BDDA＝________.4．(2009·某某)如图，点A ，B ，C 是圆O 上的点，且AB ＝4，∠ACB ＝45°，则圆O 的面积为________．5．已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，PA ＝2，AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，PB ＝1，则圆O 的半径R ＝________.6．如图，圆O 是△ABC 的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，CD ＝27，AB ＝3.则BD 的长为________．7．(2011·某某)如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且DF ＝CF ＝2，AF ∶FB ∶BE ＝4∶2∶1.若CE 与圆相切，则线段CE 的长为________．8．(2010·某某)如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P.若PB PA ＝12，PC PD ＝13，则BCAD的值为________．二、解答题(共35分)9．(11分)如图，三角形ABC 中，AB ＝AC ，⊙O 经过点A ，与BC 相切于B ，与AC 相交于D ，若AD ＝CD ＝1，求⊙O 的半径r.10．(12分)(2009·某某)如图，在四边形ABCD 中，△ABC ≌△BAD.求证：AB ∥CD.11．(12分)(2011·某某)如图，圆O 1与圆O 2内切于点A ，其半径分别为r 1与r 2(r 1>r 2)．圆O 1的弦AB 交圆O 2于点C(O 1不在AB 上)．求证：AB ∶AC 为定值．学案74 几何证明选讲 (二)直线与圆的位置关系自主梳理1．(1)圆周角弧同弧等弧所对的弧圆周角半圆弦为直径 (2)一半 2.(1)圆相交弦两条线段长(2)等比中项 (3)割线 3.圆外切线长 4.(1)互补对角 (2)对角互补圆内角的对角共圆5．(1)半径圆心切线切点圆心 (2)外端垂直自我检测 1.12解析设切点为T ，则DT ⊥AC ，AD ＝2DB ＝2DT ，∴∠A ＝30°，sin A ＝12.2．2 3解析连接CB ，则∠DCA ＝∠CBA ，又∠ADC ＝∠ACB ＝90°， ∴△ADC ∽△ACB.∴AD AC ＝AC AB. ∴AC 2＝AB·AD ＝2×6＝12. ∴AC ＝2 3. 3.233解析如图，连接CE ，AO ，AB.根据A ，E 是半圆周上的两个三等分点，BC 为直径，可得∠CEB ＝90°，∠CBE ＝30°，∠AOB ＝60°，故△AOB 为等边三角形，AD ＝3，OD ＝BD ＝1，∴DF ＝33，∴AF ＝AD －DF ＝233. 4．40解析如图，连接BD ，则BD ⊥AC ，由射影定理知，AB 2＝AD·AC ＝32×50＝1 600，故AB ＝40.5．4 30° 解析由切割线定理得PD 2＝PE·PF ，∴PE ＝PD 2PF ＝16×312＝4，∴EF ＝8，OD ＝4.又∵OD ⊥PD ，OD ＝12PO ，∠P ＝30°，∠POD ＝60°＝2∠EFD ，∴∠EFD ＝30°. 课堂活动区例1解题导引 (1)借用等弦或等弧所对圆周角相等，所对的圆心角相等，进行角的等量代换；同时也可借在同圆或等圆中，相等的圆周角(或圆心角)所对的弧相等，进行弧(或弦)的等量代换．(2)本题的证法是证明一条线段等于另一条线段的一半的常用方法．证明作直径AF ，连接BF ，CF ，则∠ABF ＝∠ACF ＝90°. 又OE ⊥AB ，O 为AF 的中点，则OE ＝12BF.∵AC ⊥BD ，∴∠DBC ＋∠ACB ＝90°，又∵AF 为直径，∠BAF ＋∠BFA ＝90°， ∵∠AFB ＝∠ACB ，∴∠DBC ＝∠BAF ，即有CD ＝BF.从而得OE ＝12CD.变式迁移1证明 ∵CM 是∠ACB 的平分线， ∴AC AM ＝BC BM，即BC ＝AC·BMAM ，又由割线定理得BM·BA ＝BN·BC ，∴BN·AC·BMAM ＝BM·BA ，又∵AC ＝13AB ，∴BN ＝3AM ，∵在圆O 内∠ACM ＝∠M ， ∴AM ＝MN ，∴BN ＝3MN.例2解题导引证明多点共圆，当它们在一条线段同侧时，可证它们对此线段X 角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补．证明连接EF ，因为EM 是∠AEC 的角平分线，所以∠FEC ＋∠FEA ＝2∠FEM. 同理，∠EFC ＋∠EFA ＝2∠EFM. 而∠BCD ＋∠BAD ＝∠ECF ＋∠BAD＝(180°－∠FEC －∠EFC)＋(180°－∠FEA －∠EFA) ＝360°－2(∠FEM ＋∠EFM)＝360°－2(180°－∠EMF)＝2∠EMF ＝180°，即∠BCD 与∠BAD 互补．所以四边形ABCD 内接于圆．变式迁移2 (1)证明连接OP ，OM ，因为AP 与⊙O 相切于点P ，所以OP ⊥AP.因为M 是⊙O 的弦BC 的中点，所以OM ⊥BC. 于是∠OPA ＋∠OMA ＝180°，由圆心O 在∠PAC 的内部，可知四边形APOM 的对角互补，所以A ，P ，O ，M 四点共圆．(2)解由(1)得A ，P ，O ，M 四点共圆，所以∠OAM ＝∠OPM. 由(1)得OP ⊥AP.由圆心O 在∠PAC 的内部，可知∠OPM ＋∠APM ＝90°，所以∠OAM ＋∠APM ＝90°.例3解题导引寻找适当的相似三角形，把几条要证的线段集中到这些相似三角形中，再用圆中角、与圆有关的比例线段的定理找到需要的比例式，使问题得证．证明 (1)∠AED ＝∠EPC ＋∠C ，∠ADE ＝∠APD ＋∠PAB.因PE 是∠APC 的角平分线，故∠EPC ＝∠APD ，PA 是⊙O 的切线，故∠C ＝∠PAB. 所以∠AED ＝∠ADE.故AD ＝AE. (2)⎭⎪⎬⎪⎫∠PCE ＝∠PAD ∠CPE ＝∠APD ⇒△PCE ∽△PAD ⇒EC AD ＝PCPA ；⎭⎪⎬⎪⎫∠PEA ＝∠PDB ∠APE ＝∠BPD ⇒△PAE ∽△PBD ⇒AEDB ＝PAPB . 又PA 是切线，PBC 是割线⇒PA 2＝PB·PC ⇒PA PB ＝PC PA.故EC AD ＝AEDB ，又AD ＝AE ，故AD 2＝DB·EC. 变式迁移3证明 (1)因为AC ＝BD ，所以∠BCD ＝∠ABC. 又因为EC 与圆相切于点C ，故∠ACE ＝∠ABC ，所以∠ACE ＝∠BCD.(2)因为∠ECB ＝∠CDB ，∠EBC ＝∠BCD ，所以△BDC ∽△ECB ，故BC BE ＝CDBC，即BC 2＝BE ×CD.课后练习区 1．4解析 ∵在同圆或等圆中，等弦所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对弦心距相等，故①②③成立，又由AB ＝CD ，得AD ＝BC ，∴④正确．2．6解析连接BT ，由切割线定理，得PT 2＝PA·PB ，所以PB ＝8，故AB ＝6. 3.169解析 AD AC ＝AC AB ⇒AD 3＝35⇒AD ＝95⇒BD ＝165(cm )，BD DA ＝169.4．8π解析连接OA ，OB ， ∵∠BCA ＝45°， ∴∠AOB ＝90°.设圆O 的半径为R ，在Rt △AOB 中，R 2＋R 2＝AB 2＝16，∴R 2＝8.∴圆O 的面积为8π.5. 3解析如图，依题意，AO ⊥PA ，AB ⊥PC ，PA ＝2，PB ＝1，∠P ＝60°，在Rt △CAP 中，有2OA ＝2R ＝2tan 60°＝23， ∴R ＝ 3. 6．4解析由切割线定理得：DB·DA ＝DC 2，即DB(DB ＋BA)＝DC 2，∴DB 2＋3DB －28＝0，∴DB ＝4.7.72解析设BE ＝a ，则AF ＝4a ，FB ＝2a.∵AF·FB ＝DF·FC ，∴8a 2＝2，∴a ＝12，∴AF ＝2，FB ＝1，BE ＝12，∴AE ＝72.又∵CE 为圆的切线，∴CE 2＝EB·EA ＝12×72＝74.∴CE ＝72.8.66 解析 ∵∠P ＝∠P ，∠PCB ＝∠PAD ，∴△PCB ∽△PAD.∴PB PD ＝PC PA ＝BCAD.∵PB PA ＝12，PC PD ＝13，∴BC AD ＝66. 9.解过B 点作BE ∥AC 交圆于点E ，连接AE ，BO 并延长交AE 于F ，由题意∠ABC ＝∠ACB ＝∠AEB ，(2分)又BE ∥AC ，∴∠CAB ＝∠ABE ，则AB ＝AC 知，∠ABC ＝∠ACB ＝∠AEB ＝∠BAE ，(4分)则AE ∥BC ，四边形ACBE 为平行四边形． ∴BF ⊥AE.又BC 2＝CD ×AC ＝2， ∴BC ＝2，BF ＝AB 2－AF 2＝142.(8分) 设OF ＝x ，则⎩⎨⎧x ＋r ＝142，x 2＋(22)2＝r 2，解得r ＝2147.(11分)10．证明由△ABC ≌△BAD 得∠ACB ＝∠BDA ，(3分) 故A 、B 、C 、D 四点共圆，(5分) 从而∠CAB ＝∠CDB.(7分)再由△ABC ≌△BAD 得∠CAB ＝∠DBA ，因此∠DBA ＝∠CDB ，(10分) 所以AB ∥CD.(12分) 11.证明如图，连接AO 1并延长，分别交两圆于点E 和点D.连接BD ，CE.因为圆O 1与圆O 2内切于点A ，所以点O 2在AD 上，故AD ，AE 分别为圆O 1，圆O 2的直径．(5分)从而∠ABD ＝∠ACE ＝π2.(7分)所以BD ∥CE ，于是AB AC ＝AD AE ＝2r 12r 2＝r 1r 2.(10分)所以AB ∶AC 为定值．(12分)学案75 坐标系与参数方程导学目标：1.了解坐标系的有关概念，理解简单图形的极坐标方程.2.会进行极坐标方程与直角坐标方程的互化.3.理解直线、圆及椭圆的参数方程，会进行参数方程与普通方程的互化，并能进行简单应用．自主梳理1．极坐标系的概念在平面上取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做________；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个____________．设M 是平面上任一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的________，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的________，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的__________，记作(ρ，θ)．2．极坐标和直角坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y)，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x ＝__________，y ＝__________.另一种关系为：ρ2＝__________，tan θ＝______________.3．简单曲线的极坐标方程(1)一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程φ(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程φ(ρ，θ)＝0的点都在曲线上，那么方程φ(ρ，θ)＝0叫做曲线的____________．(2)常见曲线的极坐标方程 ①圆的极坐标方程____________表示圆心在(r,0)半径为|r|的圆；____________表示圆心在(r ，π2)半径为|r|的圆；________表示圆心在极点，半径为|r|的圆． ②直线的极坐标方程____________表示过极点且与极轴成α角的直线； ____________表示过(a,0)且垂直于极轴的直线；____________表示过(b ，π2)且平行于极轴的直线；ρsin (θ－α)＝ρ0sin (θ0－α)表示过(ρ0，θ0)且与极轴成α角的直线方程． 4．常见曲线的参数方程 (1)直线的参数方程若直线过(x 0，y 0)，α为直线的倾斜角，则直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋l cos α，y ＝y 0＋l sin α.这是直线的参数方程，其中参数l 有明显的几何意义．(2)圆的参数方程若圆心在点M(a ，b)，半径为R ，则圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α，0≤α<2π.(3)椭圆的参数方程中心在坐标原点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数)．(4)抛物线的参数方程抛物线y 2＝2px(p>0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt.自我检测1．(2010·)极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是( ) A ．两个圆 B ．两条直线C ．一个圆和一条射线D ．一条直线和一条射线2．(2010·某某)极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋3t (t 为参数)所表示的图形分别是( )A ．圆、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．直线、直线3．(2010·某某)直线y ＝33x ＋2与圆心为D 的圆⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ∈[0,2π))交于A 、B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为( )A .76πB .54πC .43πD .53π 4．(2011·某某一模)在极坐标系中，直线ρsin (θ＋π4)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．5．(2010·某某)已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝1，则直线l 与圆C 的交点的直角坐标为________________.探究点一求曲线的极坐标方程例1 在极坐标系中，以(a 2，π2)为圆心，a2为半径的圆的方程为________．变式迁移1 如图，求经过点A(a,0)(a>0)，且与极轴垂直的直线l 的极坐标方程．探究点二极坐标方程与直角坐标方程的互化例2(2009·某某)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，M 、N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点． (1)写出C 的直角坐标方程，并求M 、N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．变式迁移2(2010·东北三校第一次联考)在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin (θ－π4)＝22，(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标．探究点三参数方程与普通方程的互化例3 将下列参数方程化为普通方程：(1)⎩⎨⎧x ＝3k 1＋k 2y ＝6k21＋k2；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－sin 2θy ＝sin θ＋cos θ；(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t 2y ＝t 1＋t2.变式迁移3 化下列参数方程为普通方程，并作出曲线的草图．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12sin 2θy ＝sin θ＋cos θ(θ为参数)；(2)⎩⎨⎧x ＝1ty ＝1tt 2－1(t 为参数)．探究点四参数方程与极坐标的综合应用例4 求圆ρ＝3cos θ被直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2ty ＝1＋4t (t 是参数)截得的弦长．变式迁移4(2011·课标全国)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α.(α为参数)M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，P 点的轨迹为曲线C 2. (1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB|.本节内容要注意以下两点：一、简单曲线的极坐标方程可结合极坐标系中ρ和θ的具体含义求出，也可利用极坐标方程与直角坐标方程的互化得出．同直角坐标方程一样，由于建系的不同，曲线的极坐标方程也会不同．在没有充分理解极坐标的前提下，可先化成直角坐标解决问题．二、在普通方程中，有些F(x ，y)＝0不易得到，这时可借助于一个中间变量(即参数)来找到变量x ，y 之间的关系．同时，在直角坐标系中，很多比较复杂的计算(如圆锥曲线)，若借助于参数方程来解决，将会大大简化计算量．将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，此时要注意其中的x ，y(它们都是参数的函数)的取值X 围，也即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．参数方程化普通方程常用的消参技巧有：代入消元、加减消元、平方后相加减消元等．同极坐标方程一样，在没有充分理解参数方程的前提下，可先化成直角坐标方程再去解决相关问题．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．在极坐标系中，与点(3，－π3)关于极轴所在直线对称的点的极坐标是( )A ．(3，23π)B ．(3，π3)C ．(3，43π)D ．(3，56π)2．曲线的极坐标方程为ρ＝2cos 2θ2－1的直角坐标方程为( )A ．x 2＋(y －12)2＝14B ．(x －12)2＋y 2＝14C ．x 2＋y 2＝14D ．x 2＋y 2＝13．(2010·某某模拟)在极坐标方程中，曲线C 的方程是ρ＝4sin θ，过点(4，π6)作曲线C的切线，则切线长为( )A ．4B .7C ．22D ．2 34．(2010·某某模拟)已知动圆方程x 2＋y 2－x sin 2θ＋22·y sin (θ＋π4)＝0(θ为参数)，那么圆心的轨迹是( )A ．椭圆B ．椭圆的一部分C ．抛物线D ．抛物线的一部分5．(2010·某某)设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ(θ为参数)，直线l 的方程为x－3y ＋2＝0，则曲线C 上到直线l 距离为71010的点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2010·某某)已知圆C 的圆心是直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝1＋t (t 为参数)与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为________．7．(2011·某某)已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，它们的交点坐标为________．8．(2010·某某某某高级中学一模)在直角坐标系中圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos αy ＝2＋2sin α(α为参数)，若以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的极坐标方程为________．三、解答题(共38分)9．(12分)(2011·某某)在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程．10．(12分)(2010·某某)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t (t为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B .若点P 的坐标为(3，5)，求|P A |＋|PB |.。

2015世纪金榜理科数学(广东版)梯级演练·强技提能选修 4-1 1

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梯级演练·强技提能1.(2014·武汉模拟)如图,矩形ABCD中,E是BC上的点,AE⊥DE,BE=4,EC=1,则AB的长为.2.(2014·揭阳模拟)如图所示,平行四边形ABCD中,AE∶EB=1∶2,若△AEF的面积等于1cm2,则△CDF的面积等于cm2.3.(2013·广东高考)如图,在矩形ABCD中,AB=错误！未找到引用源。

,BC=3,BE ⊥AC,垂足为E,则ED= .4.已知如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AC=6,DB=5,则AD的长为.5.(2014·广州模拟)在△ABC中,D是边AC的中点,点E在线段BD上,且满足BE=错误！未找到引用源。

BD,延长AE交BC于点F,则错误！未找到引用源。

的值为.6.在△ABC中,AD⊥BC于D,且错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

,则错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

的最大值为.7.在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AD∶BD=2∶3,则△ACD与△CBD的相似比为.8.(2013·湛江模拟)如图所示,▱ABCD中,BC=12,E,F为BD的三等分点,连接AE 并延长交BC于M,连接MF并延长交AD于N,则DN= .9.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,E为AB的中点,EF∥BC,G是BC边上任一点,如果S△GEF=2错误！未找到引用源。

cm2,那么梯形ABCD的面积是cm2.10.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=4,CD=2.E,F分别为AD,BC上的点,且EF=3,EF∥AB,则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为.11.如图,在△ABC中,AB=14cm,错误！未找到引用源。

《步步高》2014届高考数学浙江专用(理)大一轮复习讲义【配套课件】选修4-1解答题(要点梳理+基础自测+题

难点正本疑点清源
3.与圆有关的等角问题
(8)切割线定理
找角相等，要有找同弧
从圆外一点引圆的一条割线与一条切或等弧所对的圆周角，
线，切线长是这点到割线与圆的两个交并注意结合应用弦切角
点的线段长的等比中项．
定理的意识．
基础知识·自主学习
要点梳理 (9)圆内接四边形的性质与判定定理 ①圆内接四边形判定定理 (ⅰ)如果四边形的对角互补，则此四边形内接于圆； (ⅱ)如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．
证中明，∠∵B∠ABCA＝C＝909°，0°，ADA⊥D⊥BCB，C，E ∴∠ADB＝∠ADC＝∠BAC＝90°，
是 AC 的中点，ED 交 AB 的延长 ∴∴线∠∠于11＋＝F∠∠，2A求＝C证B90，：°，∴AA∠BC△＝2A＋DBA∠DFF∽.AC△BC＝A9D0，°，∴AABC＝BADD.
解析
题型分类·深度剖析
变式训练 1 如图，▱ABCD 中，E 是 CD 的延长线上一点，BE 与 AD 交于点 F，DE＝12CD. (1)求证：△ABF∽△CEB；
(2)若△DEF 的面积为 2，求▱ABCD 的面积． (1)证明 ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠A＝∠C，AB∥CD，∴∠ABF＝∠CEB， ∴△ABF∽△CEB. (2)解 ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF.
∴△AFH∽△GFB.∴HBFF＝GAFF， ∴AF·BF＝GF·HF.
∵在 Rt△ABD 中，FD⊥AB， ∴DF2＝AF·BF， ∴DF2＝GF·HF.
题型分类·深度剖析
题型二
直角三角形射影定理及其应用

【步步高】2015届高考数学总复习第二讲不等式的证明及著名不等式配套文档理新人教A版选修4-

第二讲不等式的证明及著名不等式1．基本不等式(1)定理：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(2)定理(基本不等式)：如果a ，b >0，那么a ＋b2____ab ，当且仅当______时，等号成立．也可以表述为：两个____的算术平均__________________它们的几何平均． (3)利用基本不等式求最值：对两个正实数x ，y ，①如果它们的和S 是定值，则当且仅当______时，它们的积P 取得最____值； ②如果它们的积P 是定值，则当且仅当______时，它们的和S 取得最____值． 2．三个正数的算术—几何平均不等式(1)定理如果a ，b ，c 均为正数，那么a ＋b ＋c 3____3abc ，当且仅当________时，等号成立．即三个正数的算术平均________它们的几何平均． (2)基本不等式的推广对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均________它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a nn ____na 1a 2…a n ，当且仅当______________时，等号成立． 3．柯西不等式(1)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．(2)设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立． 4．证明不等式的方法 (1)比较法 ①求差比较法知道a >b ⇔a －b >0，a <b ⇔a －b <0，因此要证明a >b ，只要证明______即可，这种方法称为求差比较法．②求商比较法由a >b >0⇔ab >1且a >0，b >0，因此当a >0，b >0时要证明a >b ，只要证明______即可，这种方法称为求商比较法． (2)分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的__________，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)．这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法． (3)综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法． (4)反证法的证明步骤第一步：作出与所证不等式______的假设；第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立． (5)放缩法所谓放缩法，即要把所证不等式的一边适当地____________，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得到欲证不等式成立． (6)数学归纳法设{P n }是一个与自然数相关的命题集合，如果：(1)证明起始命题P 1(或P 0)成立；(2)在假设P k 成立的前提下，推出P k ＋1也成立，那么可以断定{P n }对一切自然数成立．1．已知a <0，b <0，且1a 2>1b2，则a ，b 的大小关系为______．2．已知a 、b 、m 均为正数，且a <b ，M ＝ab ，N ＝a ＋m b ＋m ，则M 、N 的大小关系是________．3．设a ＝3－2，b ＝6－5，c ＝7－6，则a ，b ，c 的大小关系为__________． 4．已知a >0，b >0，则P ＝lg(1＋ab )，Q ＝12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]的大小关系为________．5．设a 、b 、c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝9，则2a ＋2b ＋2c的最小值为________.题型一柯西不等式的应用例1 已知3x 2＋2y 2≤6，求证：2x ＋y ≤11.思维升华使用柯西不等式时，关键是将已知条件通过配凑，转化为符合柯西不等式条件的式子，二维形式的柯西不等式(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．若3x ＋4y ＝2，则x 2＋y 2的最小值为______．题型二用综合法或分析法证明不等式例2 已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1)(1a －1)·(1b －1)·(1c －1)≥8；(2)a ＋b ＋c ≤ 3.思维升华用综合法证明不等式是“由因导果”，分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野．设a ，b ，c >0，且ab ＋bc ＋ca ＝1.求证：(1)a ＋b ＋c ≥3； (2) abc＋ b ac＋ cab≥3(a ＋b ＋c )．题型三放缩法或数学归纳法例3若n ∈N *，Sn ＝1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)，求证：n (n ＋1)2<S n <(n ＋1)22.思维升华 (1)与正整数n 有关的不等式证明问题，如果用常规方法有困难，可以考虑利用数学归纳法来证明．在利用数学归纳法证明不等式时，在第二步骤中，要注意利用归纳假设．同时，这一步骤往往会涉及分析法、放缩法等综合方法．本题可用数学归纳法进行证明，但较麻烦．(2)放缩法证明不等式，就是利用不等式的传递性证明不等关系．常见的放缩变换有1k 2<1k (k －1)，1k 2>1k (k ＋1)，1k <2k ＋k －1，1k >2k ＋k ＋1.上面不等式中k ∈N *，k >1.求证：32－1n ＋1<1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1n(n ≥2，n ∈N ＋)．利用算术—几何平均不等式求最值典例：(5分)已知a ，b ，c 均为正数，则a 2＋b 2＋c 2＋⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2的最小值为________．思维启迪 (1)a 2＋b 2＋c 2，1a ＋1b ＋1c 分别用算术—几何平均不等式；(2)相加后又构成用算术—几何平均不等式的条件．解析因为a ，b ，c 均为正数，由算术—几何平均不等式得 a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )23，①1a ＋1b ＋1c ≥3(abc )－13，所以⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2≥9(abc )－23.② 故a 2＋b 2＋c 2＋⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2≥3(abc )23＋9(abc )－23. 又3(abc )23＋9(abc )－23≥227＝63，③当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc )23＝9(abc )－23时，③式等号成立．即当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原式取得最小值6 3.答案 6 3温馨提醒 (1)利用算术—几何平均不等式求最值问题，是不等式问题中的一个重要类型，重点要抓住算术—几何平均不等式的结构特点和使用条件．(2)在解答本题时有两点容易造成失分：一是多次运用算术—几何平均不等式后化简错误；二是求解等号成立的a ，b ，c 的值时计算出错.方法与技巧1．不等式的证明方法灵活，要注意体会，要根据具体情况选择证明方法．2．柯西不等式的证明有多种方法，如数学归纳法，教材中的参数配方法(或判别式法)等，参数配方法在解决其它问题方面应用比较广泛．柯西不等式的应用比较广泛，常见的有证明不等式，求函数最值，解方程等．应用时，通过拆常数，重新排序、添项，改变结构等手段改变题设条件，以利于应用柯西不等式．失误与防X1．利用基本不等式必须要找准“对应点”，明确“类比对象”，使其符合几个著名不等式的特征．2．注意检验等号成立的条件，特别是多次使用不等式时，必须使等号同时成立.A 组专项基础训练1．若1a <1b<0，则下列四个结论：①|a |>|b |；②a ＋b <ab ；③b a ＋a b >2；④a 2b <2a －b .其中正确的是________．2．若T 1＝2sm ＋n ，T 2＝s (m ＋n )2mn ，则当s ，m ，n ∈R ＋时，T 1与T 2的大小为________．3．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x 中最大的一个是________．4．已知x ，y ∈R ，且xy ＝1，则(1＋1x )(1＋1y)的最小值为________．5．设x >0，y >0，M ＝x ＋y 2＋x ＋y ，N ＝x 2＋x ＋y2＋y ，则M 、N 的大小关系为__________．6．若a ，b ∈R ＋，且a ≠b ，M ＝a b ＋ba，N ＝a ＋b ，则M 、N 的大小关系为________．7．若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，则a ＋b ＋c 的最大值为________． 8．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋2b ＋3c ＝9，则3a ＋2b ＋c 的最大值为________． 9．(2013·某某)设a ＋b ＝2，b >0，则当a ＝________时，12|a |＋|a |b取得最小值．10．设a >0，b >0，则以下不等式①ab >2ab a ＋b ，②a >|a －b |－b ；③a 2＋b 2>4ab －3b 2；④ab ＋2ab >2中恒成立的序号是________．B 组专项能力提升1．已知x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，则x ＋y 的最小值为_________________________．2．函数y ＝x 2·(1－3x )在⎝⎛⎭⎫0，13上的最大值是________． 3．(2013·某某)已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为________．4．已知a ，b 为实数，且a >0，b >0.则⎝⎛⎭⎫a ＋b ＋1a ⎝⎛⎭⎫a 2＋1b ＋1a 2的最小值为________． 5．P ＝x x ＋1＋y y ＋1＋z z ＋1(x >0，y >0，z >0)与3的大小关系是________．6．已知x 2＋2y 2＋3z 2＝1817，则3x ＋2y ＋z 的最小值为_________________________．7．设a ，b ，c 都是正数，那么三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a ________.(填序号)①都不大于2； ②都不小于2； ③至少有一个大于2； ④至少有一个不小于2.答案基础知识自主学习要点梳理1．(2)≥a ＝b 正数不小于(即大于或等于) (3)①x ＝y 大 ②x ＝y 小2．(1)≥a ＝b ＝c 不小于 (2)不小于 ≥a 1＝a 2＝…＝a n 4．(1)①a －b >0 ②ab >1 (2)充分条件 (4)相反(5)放大或缩小夯基释疑1．a >b 2．M <N解析 M －N ＝a b －a ＋m b ＋m ＝m (a －b )b (b ＋m )<0，即M <N .3．a >b >c解析分子有理化得a ＝13＋2，b ＝16＋5，c ＝17＋6∴a >b >c . 4．P ≤Q解析 12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]＝lg(1＋a )(1＋b ).∵(1＋a )(1＋b )＝1＋(a ＋b )＋ab ≥1＋2ab ＋ab ＝(1＋ab )2，∴(1＋a )(1＋b )≥1＋ab ，∴lg(1＋ab )≤lg(1＋a )(1＋b )＝12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]，即lg(1＋ab )≤12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．∴P ≤Q .5．2解析 ∵(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫2a ＋2b ＋2c ＝[(a )2＋(b )2＋(c )2]·[( 2a)2＋( 2b)2＋( 2c)2] ≥⎝⎛⎭⎫a ·2a ＋b · 2b ＋c · 2c 2＝18. ∴2a ＋2b ＋2c≥2. ∴2a ＋2b ＋2c 的最小值为2. 题型分类深度剖析例1证明由于2x ＋y ＝23(3x )＋12(2y )，由柯西不等式(a 1b 1＋a 2b 2)2≤(a 21＋a 22)(b 21＋b 22)得(2x ＋y )2≤[(23)2＋(12)2](3x 2＋2y 2)≤(43＋12)×6＝116×6＝11，∴|2x ＋y |≤11，∴2x ＋y ≤11.跟踪训练1425解析由柯西不等式(32＋42)·(x 2＋y 2)≥(3x ＋4y )2，① 得25(x 2＋y 2)≥4，所以x 2＋y 2≥425.不等式①中当且仅当x 3＝y4时等号成立，x 2＋y 2取得最小值，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝2，x 3＝y4，解得⎩⎨⎧x ＝625，y ＝825.因此当x ＝625，y ＝825时，x 2＋y 2取得最小值，最小值为425.例2证明 (1)∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)， ∴a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，c ＋a ≥2ca ， (1a －1)·(1b －1)·(1c －1)＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )abc ≥2bc ·2ac ·2ababc＝8.(2)∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，∴a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，c ＋a ≥2ca ， 2(a ＋b ＋c )≥2ab ＋2bc ＋2ca ，两边同加a ＋b ＋c 得3(a ＋b ＋c )≥a ＋b ＋c ＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝(a ＋b ＋c )2. 又a ＋b ＋c ＝1，∴(a ＋b ＋c )2≤3， ∴a ＋b ＋c ≤ 3.跟踪训练2 证明 (1)要证a ＋b ＋c ≥3，由于a ，b ，c >0，因此只需证明(a ＋b ＋c )2≥3.即证：a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3，而ab ＋bc ＋ca ＝1，故需证明：a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3(ab ＋bc ＋ca )．即证：a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .而这可以由ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 22＝a 2＋b 2＋c 2 (当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立)证得．∴原不等式成立．(2)a bc ＋b ac＋ c ab ＝a ＋b ＋c abc. 在(1)中已证a ＋b ＋c ≥ 3. 因此要证原不等式成立，只需证明1abc≥a ＋b ＋c .即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤1，即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca .而a bc ＝ab ·ac ≤ab ＋ac 2，b ac ≤ab ＋bc 2，c ab ≤bc ＋ac2.∴a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca (a ＝b ＝c ＝33时等号成立)．∴原不等式成立．例3 证明 ∵n (n ＋1)>n 2， ∴S n >1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2.又∵n (n ＋1)<n ＋n ＋12＝2n ＋12＝n ＋12，∴S n <(1＋12)＋(2＋12)＋…＋(n ＋12)＝n (n ＋1)2＋n 2＝n 2＋2n 2<(n ＋1)22.∴n (n ＋1)2<S n <(n ＋1)22.跟踪训练3 证明 ∵k (k ＋1)>k 2>k (k －1)，k ≥2， ∴1k (k ＋1)<1k 2<1k (k －1)，即1k －1k ＋1<1k 2<1k －1－1k ，分别令k ＝2,3，…，n 得 12－13<122<1－12； 13－14<132<12－13； …1n －1n ＋1<1n 2<1n －1－1n ；将上述不等式相加得： 12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1<122＋132＋ (1)2 <1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ，即12－1n ＋1<122＋132＋…＋1n 2<1－1n ， ∴32－1n ＋1<1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1n . 练出高分 A 组 1．②③④解析取特殊值a ＝－1，b ＝－2，代入验证得②③④正确． 2．T 1≤T 2解析因为2s m ＋n －s (m ＋n )2mn ＝s ·4nm －(m ＋n )22mn (m ＋n )＝－s (m －n )22mn (m ＋n )≤0.所以T 1≤T 2. 3．c解析由a 2＝2x ，b 2＝1＋x 2＋2x >a 2，a >0，b >0得b >a .又c －b ＝11－x －(1＋x )＝1－(1－x 2)1－x ＝x 21－x >0得c >b ，知c 最大．4．4解析 (1＋1x )(1＋1y )≥(1＋1xy )2＝4.5．M <N解析 N ＝x 2＋x ＋y 2＋y >x 2＋x ＋y ＋y2＋x ＋y ＝x ＋y 2＋x ＋y ＝M .6．M >N解析 ∵a ≠b ，∴a b ＋b >2a ，ba＋a >2b ， ∴a b ＋b ＋ba＋a >2a ＋2b ，∴a b ＋b a >a ＋b .即M >N . 7. 3解析 (a ＋b ＋c )2＝(1×a ＋1×b ＋1×c )2≤(12＋12＋12)(a ＋b ＋c )＝3.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立． ∴(a ＋b ＋c )2≤3.故a ＋b ＋c 的最大值为 3. 8.39解析 3a ＋2b ＋c ＝3a ＋2b ＋133c ≤⎝⎛⎭⎫3＋1＋13(a ＋2b ＋3c )＝39，故最大值为39.9．－2解析由于a ＋b ＝2，所以12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ，由于b >0，|a |>0，所以b 4|a |＋|a |b≥2b 4|a |·|a |b ＝1，因此当a >0时，12|a |＋|a |b 的最小值是14＋1＝54；当a <0时，12|a |＋|a |b 的最小值是－14＋1＝34.故12|a |＋|a |b 的最小值为34，此时⎩⎪⎨⎪⎧b 4|a |＝|a |b ，a <0，即a ＝－2. 10．②④解析 ∵a >0，b >0，∴a ＋b ≥2ab .∴ab ≥2ab a ＋b .故①不恒成立． ②中a ＋b >|a －b |恒成立．③中a 2＋b 2－4ab ＋3b 2＝a 2－4ab ＋4b 2＝(a －2b )2≥0，故③不恒成立．④中由ab >0及ab ＋2ab≥22>2恒成立，因此只有②④正确．B 组1．16解析 ∵x >0，y >0，1x ＋9y＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝y x ＋9x y＋10 ≥6＋10＝16，当且仅当y x ＝9x y时，上式等号成立．又1x ＋9y＝1，∴x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16. 2.4243解析由y ＝x 2·(1－3x )＝49·32x ·32x (1－3x ) ≤49⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋32x ＋1－3x 33＝4243. 3．2解析由柯西不等式(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时“＝”成立，得(am ＋bn )(bm ＋an )≥(am ·an ＋bm bn )2＝mn (a ＋b )2＝2.4．9解析因为a >0，b >0，所以a ＋b ＋1a ≥33a ×b ×1a＝33b >0，① 同理可证：a 2＋1b ＋1a 2≥331b>0.② 由①②及不等式的性质得⎝⎛⎭⎫a ＋b ＋1a ⎝⎛⎭⎫a 2＋1b ＋1a 2＝33b ×331b＝9. 5．P <3解析 ∵P －3＝x x ＋1－1＋y y ＋1－1＋z z ＋1－1＝－1x ＋1＋－1y ＋1＋－1z ＋1<0，∴P <3. 6．－2 3解析 ∵(x 2＋2y 2＋3z 2)[32＋(2)2＋⎝⎛⎭⎫132] ≥(3x ＋2y ·2＋3z ·13)2＝(3x ＋2y ＋z )2，当且仅当x＝3y＝9z时，等号成立．∴(3x＋2y＋z)2≤12，即－23≤3x＋2y＋z≤2 3.当x＝－9317，y＝－3317，z＝－317时，3x＋2y＋z＝－23，∴最小值为－2 3. 7．④解析∵a＋1b＋b＋1c＋c＋1a＝⎝⎛⎭⎫a＋1a＋⎝⎛⎭⎫b＋1b＋⎝⎛⎭⎫c＋1c≥2＋2＋2＝6.∴a＋1b，b＋1c，c＋1a三数之和不小于6，即三个数中至少有一个不小于2.。

2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套练透：选修4-1 第1节

[课堂练通考点]1．如图，AB ∥EM ∥DC ，AE ＝ED ，EF ∥BC ，EF ＝12 cm ，则BC 的长为______ cm.解析：⎭⎪⎬⎪⎫AB ∥EM ∥DC AE ＝ED ⇒E 为AD 中点， M 为BC 的中点．又EF ∥BC ⇒EF ＝MC ＝12 cm ，∴BC ＝2MC ＝24 cm.答案：242．如图，在四边形ABCD 中，E 是AB 上一点，EC ∥AD ，DE ∥BC ，若S △BEC ＝1，S △ADE ＝3，则S △CDE ＝________.解析：∵EC ∥AD ，∴S △DCE ∶S △ADE ＝EC ∶AD ，∵DE ∥BC ，∴S △BCE ∶S △CDE ＝BC ∶ED ，又因为∠ECB ＝∠DEC ＝∠ADE ，∠BEC ＝∠EAD ，∴△BEC ∽△EAD ，∴EC ∶AD ＝BC ∶ED .∴S △DCE ∶S △ADE ＝S △BCE ∶S △CDE ，于是S △CDE ＝ 3. 答案： 33．(2013·广东高考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝3，BE ⊥AC ，垂足为E ，则ED ＝________.解析：∵tan ∠BCA ＝BA BC ＝33，所以∠BCA ＝30°，∠ECD ＝90°－∠BCA ＝60°.在Rt △BCE 中，CE ＝BC ·cos ∠BCA ＝3cos 30°＝332.在△ECD 中，由余弦定理得 ED ＝CE 2＋CD 2－2CE ·CD ·cos ∠ECD ＝⎝⎛⎭⎫3322＋(3)2－2×332×3×12＝212. 答案：2124.如图，在△ABC 中，F 为边AB 上的一点，BF AF ＝m n(m ，n >0)，取CF 的中点D ，连接AD 并延长交BC 于点E .则BE EC＝________.解析：如图，作FG ∥BC 交AE 于点G ，则FG CE ＝FD DC ＝1，BE FG ＝AB AF ＝m ＋n n.两式相乘即得BE EC ＝m ＋n n. 答案：m ＋n n5．在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，且AE ∶EB ＝1∶2，DE 与AC 交于点F ，若△AEF 的面积为6 cm 2，则△ABC 的面积为________ cm 2.解析：令E ＝a ，EF ＝b ，则12ab ＝6. 由题意知EB ＝2a .DF ＝3b .∴S △ABC ＝12·AB ·DE ＝12×3a ×4b ＝12×12ab ＝12×6＝72. 答案：72[课下提升考能]1.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，BE 与CD 相交于点O ，直线AO与DE 交于N ，AO 的延长线与BC 交于M ，若DN ∶MC ＝1∶4，则NE ∶BM ＝________，AE ∶EC ＝________.解析：∵OD OC ＝DN MC ＝14， OE OB ＝OD OC ＝14， ∴NE BM ＝OE OB ＝14，又DE BC ＝OD OC ＝14， ∴AE AC ＝DE BC ＝14， ∴AE ∶EC ＝1∶3.答案：1∶4 1∶32.如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，下列条件能判定△ADE 与△ABC 相似的所有序号为________．①∠ADE ＝∠C ；②∠AED ＝∠B ；③AD AC ＝AE AB ；④DE BC ＝AE AB；⑤DE ∥BC .解析：由题图可知∠A 为公共角，由判定定理可知，①②正确；由∠A 为夹角可知，③正确；由平行线分线段成比例的定理的推论知⑤正确；④不符合两边及其夹角法．答案：①②③⑤3.在△ABC 中，EF ∥CD ，∠AFE ＝∠B ，AE ＝6，ED ＝3，AF ＝8，则AC ＝________，CD 2BC 2＝________. 解析：由EF ∥CD 可知，△AEF ∽△ADC .于是有AE AD ＝AF AC，由已知条件代入得，66＋3＝8AC，所以AC ＝12. 又由∠AFE ＝∠B ，得△AFE ∽△ABC ，从而△ACD ∽△ABC .所以CD BC ＝AD AC ＝6＋312＝34，即CD 2BC 2＝916. 答案：12 9164．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AD ∶BD ＝2∶3.则△ACD 与△CBD 的相似比为________．解析：如图所示，在Rt △ACB 中，CD ⊥AB ，由射影定理得：CD 2＝AD ·BD ，又∵AD ∶BD ＝2∶3，令AD ＝2x ，BD ＝3x (x >0)，∴CD 2＝6x 2，∴CD ＝6x .又∵∠ADC ＝∠BDC ＝90°，∴△ACD ∽△CBD .易知△ACD 与△CBD 的相似比为AD CD ＝2x 6x ＝63. 答案：6∶35.如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，将△BCD 沿CD 折叠，B点恰好落在AB 的中点E 处，则∠A 等于________．解析：由题意知：BC ＝EC ，又∵E 为AB 的中点，∠ACB ＝90°，∴EC ＝12AB . 即BC ＝12AB .∴∠A ＝30°.答案：30°6.将三角形纸片ABC 按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF .已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B ′、F 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似，则BF ＝________.解析：设BF ＝x .若△CFB ′∽△CBA ，则CF CB ＝B ′F AB ，即4－x 4＝x 3. ∴12－3x ＝4x ，∴x ＝127. 若△CFB ′∽△CAB ，则CF CA ＝B ′F AB，即4－x 3＝x 3，得x ＝2. 即BF ＝2或127. 答案：2或1277.如图，在▱ABCD 中，E 是DC 边的中点，AE 交BD 于O ，S △DOE ＝9cm 2，S △AOB ＝________.解析：∵在▱ABCD 中，AB ∥DE ，∴△AOB ∽△EOD ，∴S △AOB S △DOE ＝⎝⎛⎭⎫AB DE 2. ∵E 是CD 的中点，∴DE ＝12CD ＝12AB ，则AB DE ＝2，∴S △AOB S △DOE＝22＝4， ∴S △AOB ＝4S △DOE ＝4×9＝36(cm)2.答案：36 cm 28．已知如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ∥EF ，E 是AB 的中点，EF交BD 于G ，交AC 于H .若AD ＝5，BC ＝7，则GH ＝________.解析：令BD 交AC 于M ，由AD ∥EF ∥BC 且AE ＝EB 知BG ＝GD ，AH ＝HC .又AD ＝5，BC ＝7.AD ∥BC 知BM MD ＝CM MA ＝BC AD ＝75. 又GM MD ＝HM MA ＝15.∴GH AD ＝15∴GH ＝1.答案：19．如图，M 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点，直线l 过点M分别交AD ，AC 于点E ，F .若AD ＝3AE ，则AF ∶FC ＝________.解析：延长ME 交CD 的延长线于点G ，则△AME ∽△DGE ，所以AE ED ＝AM DG ＝12，所以DG ＝2AM ＝DC .又△AMF ∽△CGF ，所以AF FC ＝AM CG ＝14. 答案：1410．如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，∠ACB ＝70°，CF 是△ABC 的边AB 上的高，FP ⊥BC 于点P ，FQ ⊥AC 于点Q ，则∠CQP 的大小为________．解析：由FP ⊥BC ，FQ ⊥AC ，得C ，Q ，F ，P 四点共圆，所以∠CQP ＝∠CFP ＝∠B ＝180°－(∠A ＋∠C )＝180°－(60°＋70°)＝50°.答案：50°11．两个相似三角形面积的比为3∶5，已知较大的三角形大边上的高为3，则较小的三角形大边上的高为________．解析：相似三角形的面积比等于对应边上高的比的平方，易得所求的高为355. 答案：35512．如图所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，若BC ＝3，DE ＝2，DF ＝1，则AB 的长为________．解析：∵DE ∥BC ，∴AD AB ＝AE AC ＝DE BC ＝23， EC AC ＝13. 又∵EF ∥CD ，∴DF AD ＝13. ∴AD ＝3.∴AB ＝32·AD ＝92. 答案：9213．如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，CD ＝2，E ，F 分别为AD ，BC 上的点，且EF ＝3，EF ∥AB ，则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为________．解析：将线段AD 与BC 延长交于点H (如图所示)．根据相似三角形面积之比等于相似比的平方，可得S △HCD S △HEF ＝49，S △HCD S △HAB ＝416，故梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为7∶5.答案：7∶514．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2，点D 在BC 边上，且CD ＝1.若∠CAD ＝∠B ，则BD ＝________.解析：作出草图，依据题意tan ∠CAD ＝tan ∠B ，即12＝21＋BD，∴BD ＝3. 答案：315．如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上一点，过A 作AH ∥BE .连接ED 并延长交AB 于F ，交AH 于H .如果AB ＝4AF ，EH ＝8，则DF 的长为________．解析：∵AH ∥BE ，∴HF HE ＝AF AB. ∵AB ＝4AF ，∴HF HE ＝14， ∵HE ＝8，∴HF ＝2.∵AH ∥BE ，∴HD DE ＝AD DC. ∵D 是AC 的中点，∴HD DE＝1. ∵HE ＝HD ＋DE ＝8，∴HD ＝4，∴DF ＝HD －HF ＝4－2＝2.答案：216．如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的三等分点，AE的延长线交BC 于F ，则S △BEF S 四边形DEFC的值为________．解析：过D 点作DM ∥AF 交BC 于M ，因为DM ∥AF ，所以BF BM ＝BE BD ＝13，因为EF ∥DM ，所以S △BEFS △BDM ＝19，即S△BDM ＝9S △BEF ，又S △DMCS △BDM ＝23，即S △DMC ＝23S △BDM ＝6S △BEF ，所以S 四边形DEFC ＝14S △BEF ，因此S △BEFS 四边形DEFC ＝114.答案：11417．如图，在△ABC 中，D 为BC 边的中点，E 为AD 上的一点，延长BE 交AC 于点F .若AE AD ＝14，则AF AC 的值为________．解析：如图，过点A 作AG ∥BC ，交BF 的延长线于点G .∵AE AD ＝14，∴AE ED ＝13.又∵△AGE ∽△DBE ，∴AG BD ＝AE ED ＝13.∵D 为BC 中点，BC ＝2BD ，∴AG BC ＝16.∵△AGF ∽△CBF ，∴AF FC ＝AG BC ＝16，∴AF AC ＝17.答案：17。

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§1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑常叫做全称量词，用“∀”表示；含有全称量词的命题叫做全称命题．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑常叫做存在量词，用“∃”表示；含有存在量词的命题叫做特称命题．3．含有一个量词的命题的否定1．判断下面结论是否正确(请在括号打“√”或“×”)(1)命题p∧q为假命题，则命题p、q都是假命题．(×)2n>1 000，则綈p：∃n∈N,02n≤1 000.(×)(2)已知命题p：∃n0∈N,0(3)命题p和綈p不可能都是真命题．(√)(4)命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是“∀x∈R，x2<0”．(×)(5)若命题p、q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．(√) 2．命题p：∀x∈R，sin x<1；命题q：∃x∈R，cos x≤－1，则下列结论是真命题的是()A ．p ∧qB ．綈p ∧qC ．p ∨綈qD ．綈p ∧綈q答案 B解析 p 是假命题，q 是真命题， ∴綈p ∧q 是真命题．3．(2013·)命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为( )A ．对任意x ∈R ，都有x 2<0B ．不存在x ∈R ，使得x 2<0C ．存在x 0∈R ，使得x 20≥0D ．存在x 0∈R ，使得x 20<0 答案 D解析因为“∀x ∈M ，p (x )”的否定是“∃x ∈M ，綈p (x )”，故“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定是“存在x 0∈R ，使得x 20<0”．4．(2013·)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定围”，q 是“乙降落在指定围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定围”可表示为( )A ．(綈p )∨(綈q ) B. p ∨(綈q )C ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨q答案 A解析 “至少有一位学员没有落在指定围”＝“甲没有落在指定围”或“乙没有落在指定围”＝(綈p )∨(綈q )．5．若命题“∃x ∈R ，x 2－mx －m <0”是假命题，则实数m 的取值围是________．答案 [－4,0]解析 “∃x ∈R ，x 2－mx －m <0”是假命题，则“∀x ∈R ，x 2－mx －m ≥0”是真命题．即Δ＝m 2＋4m ≤0，∴－4≤m ≤0.题型一含有逻辑联结词命题的真假判断例1 命题p ：将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象；命题q ：函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 的最小正周期为π，则命题“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”为真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．0思维启迪先判断命题p 、q 的真假，然后利用真值表判断p ∨q 、p ∧q 、綈p 的真假．答案 B解析函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位后，所得函数为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3， ∴命题p 是假命题．又y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6cos ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫x ＋π6 ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝12－12cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴其最小正周期为T ＝2π2＝π，∴命题q 真．由此，可判断命题“p ∨q ”真，“p ∧q ”假，“綈p ”为真．思维升华 “p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”形式命题真假的判断步骤： (1)确定命题的构成形式； (2)判断其中命题p 、q 的真假；(3)确定“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”形式命题的真假．(1)若命题p ：函数y ＝x 2－2x 的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝x－1x 的单调递增区间是[1，＋∞)，则( )A ．p ∧q 是真命题B ．p ∨q 是假命题C ．綈p 是真命题D ．綈q 是真命题(2)“p 或q ”为真命题是“p 且q ”为真命题的________条件．答案 (1)D (2)必要不充分解析 (1)因为函数y ＝x 2－2x 的单调递增区间是[1，＋∞)，所以p 是真命题；因为函数y ＝x －1x 的单调递增区间(－∞，0)和(0，＋∞)，所以q 是假命题．所以p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，綈p 为假命题，綈q 为真命题，故选D. (2)若命题“p 或q ”为真命题，则p 、q 中至少有一个为真命题．若命题“p 且q ”为真命题，则p 、q 都为真命题，因此“p 或q ”为真命题是“p 且q ”为真命题的必要不充分条件．题型二全(特)称命题的否定例2 写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0；(2)q ：所有的正方形都是矩形； (3)r ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0； (4)s ：至少有一个实数x 0，使x 30＋1＝0.思维启迪否定量词，否定结论，写出命题的否定；判断命题的真假．解 (1)綈p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋14<0，假命题． (2)綈q ：至少存在一个正方形不是矩形，假命题． (3)綈r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，真命题． (4)綈s ：∀x ∈R ，x 3＋1≠0，假命题．思维升华 (1)对全(特)称命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定． ②对原命题的结论进行否定．(2)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合至少能找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立．(1)已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))·(x 2－x 1)≥0，则綈p 是( )A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 (2)命题“存在实数x ，使x >1”的否定．．是( )A ．对任意实数x ，都有x >1B ．不存在实数x ，使x ≤1C ．对任意实数x ，都有x ≤1D ．存在实数x ，使x ≤1 答案 (1)C (2)C解析 (1)綈p ：∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0. (2)利用特称命题的否定是全称命题求解．“存在实数x ，使x >1”的否定是“对任意实数x ，都有x ≤1”．故选C. 题型三逻辑联结词与命题真假的应用例3 (1)(2013·名校联考)已知p ：∃x ∈R ，mx 2＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值围为( )A ．m ≥2B ．m ≤－2C ．m ≤－2或m ≥2D ．－2≤m ≤2(2)已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”；命题q ：“∃x ∈R ，使得x 2＋4x ＋a ＝0”．若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值围是__________．思维启迪利用含逻辑联结词命题的真假求参数围问题，可先求出各命题为真时参数的围，再利用逻辑联结词的含义求参数围．答案 (1)A (2)[e,4]解析 (1)依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1>0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.(2)若命题“p ∧q ”是真命题，那么命题p ，q 都是真命题．由∀x ∈[0,1]，a ≥e x, 得a ≥e ；由∃x ∈R ，使x 2＋4x ＋a ＝0，知Δ＝16－4a ≥0，a ≤4，因此e ≤a ≤4.思维升华以命题真假为依据求参数的取值围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可．(1)已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x ∈R ，使x 2＋2ax ＋2－a＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值围是 ( )A ．{a |a ≤－2或a ＝1}B ．{a |a ≥1}C ．{a |a ≤－2或1≤a ≤2}D ．{a |－2≤a ≤1}(2)命题“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值围为________．答案 (1)A (2)[－22，22]解析 (1)由题意知，p ：a ≤1，q ：a ≤－2或a ≥1，∵“p 且q ”为真命题，∴p 、q 均为真命题，∴a ≤－2或a ＝1.(2)因题中的命题为假命题，则它的否定“∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0”为真命题，也就是常见的“恒成立”问题，因此只需Δ＝9a 2－4×2×9≤0，即－22≤a ≤2 2.借助逻辑联结词求解参数围典例：(12分)已知c >0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数，若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，数c 的取值围．思维启迪 (1)p 、q 都为真时，分别求出相应的a 的取值围；(2)用补集的思想，求出綈p 、綈q 分别对应的a 的取值围；(3)根据“p 且q ”为假、“p 或q ”为真，确定p 、q 的真假．规解答解 ∵函数y ＝c x 在R 上单调递减，∴0<c <1.[2分] 即p ：0<c <1，∵c >0且c ≠1，∴綈p ：c >1.[3分]又∵f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数，∴c ≤12. 即q ：0<c ≤12，∵c >0且c ≠1，∴綈q ：c >12且c ≠1.[5分]又∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假， ∴p 真q 假或p 假q 真．[6分]①当p 真，q 假时，{c |0<c <1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |c >12且c ≠1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12<c <1.[8分] ②当p 假，q 真时，{c |c >1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |0<c ≤12＝∅.[10分]综上所述，实数c 的取值围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12<c <1.[12分]第一步：求命题p 、q 对应的参数的围．第二步：求命题綈p 、綈q 对应的参数的围．第三步：根据已知条件构造新命题，如本题构造新命题 “p 且q ”或“p 或q ”．第四步：根据新命题的真假，确定参数的围．第五步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规．温馨提醒解决此类问题的关键是准确地把每个条件所对应的参数的取值围求解出来，然后转化为集合交、并、补的基本运算．答题时，可依答题模板的格式进行，这样可使答题思路清晰，过程完整．老师在阅卷时，便于查找得分点.方法与技巧1．把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”、“且”，要结合语句的含义理解．2．要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，对照否定结构去写，并注意与否命题区别；否定的规律是“改量词，否结论”．失误与防1．p ∨q 为真命题，只需p 、q 有一个为真即可；p ∧q 为真命题，必须p 、q 同时为真．2．p 或q 的否定：非p 且非q ；p 且q 的否定：非p 或非q . 3．命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p ，则q ”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p ”，只是否定命题p 的结论.A 组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题1．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x＝π2对称．则下列判断正确的是 ( ) A ．p 为真 B ．綈q 为假 C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真答案 C解析 p 是假命题，q 是假命题，因此只有C 正确．2．(2013·)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( ) A ．綈p ：∀x ∈A,2x ∈B B ．綈p ：∀x ∉A,2x ∉B C ．綈p ：∃x ∉A,2x ∈B D ．綈p ：∃x ∈A,2x ∉B答案 D解析命题p ：∀x ∈A,2x ∈B 是一个全称命题，其命题的否定綈p 应为∃x ∈A,2x ∉B ，选D.3．已知命题p ：所有有理数都是实数；命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )A ．綈p ∨qB ．p ∧qC ．綈p ∧綈qD ．綈p ∨綈q 答案 D解析不难判断命题p 为真命题，命题q 为假命题，从而上述叙述中只有綈p ∨綈q 为真命题．4．已知命题p ：若a >1，则a x >log a x 恒成立；命题q ：在等差数列{a n }中(其中公差d ≠0)，m ＋n ＝p ＋q 是a n ＋a m ＝a p ＋a q 的充分不必要条件(m ，n ，p ，q ∈N *)．则下面选项中真命题是 ( )A ．綈p ∧綈qB ．綈p ∨綈qC ．綈p ∨qD ．p ∧q答案 B 解析对于命题p ，如图所示，作出函数y ＝a x (a >1)与y ＝log a x (a >1)在(0，＋∞)上的图象，显然当a >1时，函数y ＝a x 的图象在函数y ＝log a x 图象的上方，即当a >1时，a x >log a x 恒成立，故命题p 为真命题．对于命题q ，由等差数列的性质，可知当公差不为0时，m ＋n ＝p ＋q 是a n ＋a m ＝a p ＋a q 的充要条件，故命题q 为假命题．∴命题綈p 为假，綈q 为真，故綈p ∨綈q 为真． 5．下列命题中，真命题是( )A ．∃x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，sin x 0＋cos x 0≥2 B ．∀x ∈(3，＋∞)，x 2>2x ＋1 C ．∃x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1 D ．∀x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan x >sin x 答案 B解析对于选项A ， ∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤2， ∴此命题为假命题；对于选项B ，当x ∈(3，＋∞)时，x 2－2x －1＝(x －1)2－2>0， ∴此命题为真命题；对于选项C ，∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34>0， ∴此命题为假命题；对于选项D ，当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，tan x <0<sin x ， ∴此命题为假命题．故选B. 6．下列结论正确的个数是( )①命题p ：“∃x 0∈R ，x 20－2≥0”的否定为綈p ：“∀x ∈R ，x 2－2<0”；②若綈p 是q 的必要条件，则p 是綈q 的充分条件；③“M >N ”是“⎝⎛⎭⎫23M >⎝⎛⎭⎫23N ”的充分不必要条件． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C解析对于①，易知①是正确的；对于②，由“綈p 是q 的必要条件”知，q 可推知綈p ，则p 可推知綈q (注：互为逆否的两个命题的真假性一致)，因此p 是綈q 的充分条件，②正确；对于③，由M >N 不能得到⎝⎛⎭⎫23M >⎝⎛⎭⎫23N，因此③是错误的．故选C. 二、填空题7．若命题p ：关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是{x |x >－ba }，命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )<0的解集是{x |a <x <b }，则在命题“p ∧q ”、“p ∨q ”、“綈p ”、“綈q ”中，是真命题的有________．答案綈p 、綈q解析依题意可知命题p 和q 都是假命题，所以“p ∧q ”为假、“p ∨q ”为假、“綈p ”为真、“綈q ”为真． 8．下列结论：①若命题p ：∃x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则命题“p ∧綈q ”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab ＝－3；③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．答案 ①③解析 ①中命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以p ∧綈q 为假命题，故①正确； ②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确； ③正确．所以正确结论的序号为①③. 9．写出下列命题的否定，并判断真假： (1)q ：∀x ∈R ，x 不是5x －12＝0的根； (2)r ：有些质数是奇数； (3)s ：∃x 0∈R ，|x 0|>0.解 (1)綈q ：∃x 0∈R ，x 0是5x －12＝0的根，真命题． (2)綈r ：每一个质数都不是奇数，假命题． (3)綈s ：∀x ∈R ，|x |≤0，假命题．10．已知c >0，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x >1c恒成立．如果“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求c 的取值围．解由命题p 为真知，0<c <1，由命题q 为真知，2≤x ＋1x ≤52，要使此式恒成立，需1c <2，即c >12，若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，则p 、q 中必有一真一假，当p 真q 假时，c 的取值围是0<c ≤12；当p 假q 真时，c 的取值围是c ≥1.综上可知，c 的取值围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |0<c ≤12或c ≥1.B 组专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)1．下列命题中的假命题是 ( )A ．∀x ∈R,2x －1>0B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0C ．∃x ∈R ，lg x <1D ．∃x ∈R ，tan x ＝2 答案 B解析 A 正确；对于B ，当x ＝1时，(x －1)2＝0，错误；对于C ，当x ∈(0,1)时，lg x <0<1，正确；对于D ，∃x ∈R ，tan x ＝2，正确． 2．设有两个命题，p ：不等式e x 4＋1e x >a 的解集为R ；q ：函数f (x )＝－(7－3a )x 在R 上是减函数，如果这两个命题中有且只有一个真命题，那么实数a 的取值围是( )A ．1≤a <2B ．2<a ≤73C ．2≤a <73 D ．1<a ≤2 答案 A解析记A ＝{a |不等式e x 4＋1e x >a 的解集为R }； B ＝{a |f (x )＝－(7－3a )x 在R 上是减函数}．由于函数y ＝e x 4＋1e x 的最小值为1，故A ＝{a |a <1}．又因为函数f (x )＝－(7－3a )x 在R 上是减函数，故7－3a >1，即a <2，所以B ＝{a |a <2}．要使这两个命题中有且只有一个真命题，a 的取值围为[(∁R A )∩B ]∪[(∁R B )∩A ]，而(∁R A )∩B ＝[1，＋∞)∩(－∞，2)＝[1,2)，(∁R B )∩A ＝[2，＋∞)∩(－∞，1)＝∅，因此[(∁R A )∩B ]∪[(∁R B )∩A ]＝[1,2)，故选A.二、填空题3．已知命题p ：“∀x ∈R ，∃m ∈R,4x －2x ＋1＋m ＝0”，若命题綈p 是假命题，则实数m 的取值围是__________．答案 (－∞，1]解析若綈p 是假命题，则p 是真命题，即关于x 的方程4x －2·2x ＋m ＝0有实数解，由于m ＝－(4x －2·2x )＝－(2x －1)2＋1≤1，∴m ≤1.4．设p ：关于x 的不等式a x >1的解集是{x |x <0}；q ：函数y ＝ax 2－x ＋a 的定义域为R .若p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，则实数a 的取值围是________________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，12∪[1，＋∞)解析根据指数函数的单调性，可知命题p 为真命题时，实数a 的取值集合为P ＝{a |0<a <1}，对于命题q ：函数的定义域为R 的充要条件是ax 2－x ＋a ≥0恒成立．当a ＝0时，不等式为－x ≥0，解得x ≤0，显然不成立；当a ≠0时，不等式恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝－12－4a ×a ≤0，解得a ≥12. 所以命题q 为真命题时，a 的取值集合为Q ＝{a |a ≥12}．由“p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题”，可知命题p ，q 一真一假，当p 真q 假时，a 的取值围是P ∩(∁R Q )＝{a |0<a <1}∩{a |a <12}＝{a |0<a <12}；当p 假q 真时，a 的取值围是(∁R P )∩Q ＝{a |a ≤0或a ≥1}∩{a |a ≥12}＝{a |a ≥1}．综上，a 的取值围是⎝⎛⎭⎫0，12∪[1，＋∞)． 5．已知命题p ：方程2x 2＋ax －a 2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0，若命题“p 或q ”是假命题，求a 的取值围．解由2x 2＋ax －a 2＝0得(2x －a )(x ＋a )＝0,∴x ＝a 2或x ＝－a ，∴当命题p 为真命题时⎪⎪⎪⎪a 2≤1或|－a |≤1，∴|a |≤2.又“只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0”，即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点，∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2.∴当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2.∴命题“p或q”为真命题时，|a|≤2.∵命题“p或q”为假命题，∴a>2或a<－2. 即a的取值围为{a|a>2或a<－2}．。

高中数学步步高必修4资料第一章 1.5.1 (一)

学习目标 1.通过“五点法”作图正确找出函数y ＝sin x 到y ＝sin(ωx ＋φ)的图象变换规律.2.对周期变换、相位变换先后顺序调整后，将影响图象平移量的理解.3.会用“五点法”作出函数y ＝A sin(ωx ＋φ)以及函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象.4.能说出φ，ω，A 对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响.5.能够将y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，并会根据条件求解析式.知识点一 φ(φ≠0)对函数y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响思考1 通过y ＝f (x )的图象怎样得到y ＝f (x ＋a )的图象. 答向左(a ＞0)或向右(a ＜0)平移|a |个单位.思考2 由y ＝sin x 的图象能得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象吗？答能，向左平移π6个单位即可.知识点二 ω(ω＞0)对函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响思考1 函数y ＝sin x ，y ＝sin 2x 和y ＝sin 12x 的周期分别是什么？答 2π，π，4π.思考2 三个函数的函数值相同时，它们x 的取值有什么关系？答 y ＝sin 2x 中x 的取值是y ＝sin x 中x 取值的12倍，y ＝sin 12x 中x 的取值是y ＝sin x 中x 取值的2倍.思考3 函数y ＝sin ωx 的图象是否可以通过y ＝sin x 的图象得到？答可以，只要“伸”或“缩”y ＝sin x 的图象即可.知识点三 A (A ＞0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响思考对于同一个x ，函数y ＝2sin x ，y ＝sin x 和y ＝12sin x 的函数值有何关系？答 y ＝2sin x 的函数值是y ＝sin x 的函数值的2倍，而y ＝12sin x 的函数值是y ＝sin x 的函数值的12.知识点四函数y ＝sin x 的图象与y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象关系思考由函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的？答正弦曲线到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的变换过程：y ＝sin x 的图象――→向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位长度y ＝sin(x ＋φ)的图象――――――――――――――→所有点的横坐标变为原来的1ω倍纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ)的图象――→所有点的纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象.类型一 φ对y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响例1 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象可以看作是由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到？解函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，可以看作是把曲线y ＝sin x 上所有的点向右平移π6个单位长度而得到的.反思与感悟 1.已知两函数解析式判断其图象间的平移关系时，要将异名化为同名三角函数. 2.x 的系数不为1，应提系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减. 跟踪训练1 要得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象，只要将y ＝sin 2x 的图象( ) A.向左平移π8个单位B.向右平移π8个单位C.向左平移π4个单位D.向右平移π4个单位答案 A解析 y ＝sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8－π4. 若设f (x )＝sin 2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8－π4，则f ⎝⎛⎭⎫x ＋π8＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4，∴向左平移π8个单位. 类型二 ω(ω＞0)对y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响例2 将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象上所有的点横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)而得到的函数解析式为________. 答案 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 反思与感悟横向伸缩变换，只变ω，φ不发生变化.跟踪训练2 把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( )A.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈R B.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6，x ∈R C.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈R D.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，x ∈R 答案 C解析把函数y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位长度后得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，再把所得图象上所有的点的横坐标缩短到原来的12，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象. 类型三函数y ＝A sin(ωx ＋φ)与函数y ＝sin x 的图象关系例3 把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( )A.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6，x ∈RB.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3，x ∈R C.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈RD.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，x ∈R 答案 B解析将y ＝sin x 图象上的所有的点向左平移π3个单位长度得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3.再将图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3. 反思与感悟图象变换有两种途径(1)y ＝sin x ――→相位变换y ＝sin(x ＋φ)――→周期变换y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ). (2)y ＝sin x ――→周期变换y ＝sin ωx ――→相位变换y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ).注意两种途径的变换顺序不同，其中的变换量也不同，但平移的方向是一致的.跟踪训练3 将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，然后再将整个图象沿x 轴向右平移π2个单位，得到的曲线与y ＝12sin x 图象相同，则y ＝f (x )的函数解析式为( )A.y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫12x －π2 B.y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C.y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π2D.y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2 答案 C1.函数y ＝cos x 图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y ＝cos ωx ，则ω的值为( ) A.2 B.12 C.4 D.14答案 B2.把函数y ＝f (x )的图象上各点向右平移π6个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的23倍，所得图象的解析式是y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3，求f (x )的解析式( ) A.f (x )＝3cos x B.f (x )＝3sin x C.f (x )＝3cos x ＋3D.f (x )＝sin 3x答案 A解析 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3――――――――――――――→纵坐标伸长到原来的32倍y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3―――――――――――――→横坐标缩短到原来的12倍y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3―――――――――――→向左平移π6个单位 y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝3cos x . ∴f (x )＝3cos x .3.由y ＝3sin x 的图象变换到y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3的图象主要有两个过程：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移______个单位，后者需向左平移______个单位. 答案 π3 2π34.将函数y ＝sin(－2x )的图象向左平移π4个单位，所得函数图象的解析式为________.答案 y ＝－cos 2x解析 y ＝sin(－2x ) ――――――――――→左移π4个单位y ＝sin ⎣⎡⎦⎤－2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－cos 2x . 5.函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －π2的图象向右平移π4个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12，所得图象的函数解析式为________. 答案 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π4 解析 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －π2―→y ＝sin ⎣⎡⎦⎤5⎝⎛⎭⎫x －π4－π2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －7π4―→y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π4.1.由y ＝sin x 的图象，通过变换可得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象，其变化途径有两条：(1)y ＝sin x ――→相位变换y ＝sin(x ＋φ)――→周期变换y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ). (2)y ＝sin x ――→周期变换y ＝sin ωx ――→相位变换y ＝sin[ω(x ＋φω)]＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ).注意两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位.(2)是先周期变换后相位变换，平移|φ|ω个单位，这是很易出错的地方，应特别注意.2.类似地，y ＝A cos(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象也可由y ＝cos x 的图象变换得到.一、选择题1.将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( ) A.y ＝cos 2xB.y ＝1＋cos 2xC.y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4D.y ＝cos 2x －1答案 B解析将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x 的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y ＝1＋cos 2x . 2.为得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，只需将函数y ＝sin x 的图象( ) A.向左平移π6个单位长度B.向右平移π6个单位长度C.向左平移5π6个单位长度D.向右平移5π6个单位长度答案 C3.把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象向右平移π8个单位，所得图象对应的函数是( ) A.非奇非偶函数 B.既是奇函数又是偶函数 C.奇函数 D.偶函数答案 D解析 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4图象向右平移π8个单位得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos 2x 的图象，y ＝－cos 2x 是偶函数.4.已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(x ∈R ，ω＞0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只需将y ＝f (x )的图象上所有的点( ) A.向左平移π8个单位长度B.向右平移π8个单位长度C.向左平移π4个单位长度D.向右平移π4个单位长度答案 A解析由T ＝π＝2π得：ω＝2，g (x )＝cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2， f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象向左平移π8单位，得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋π4 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝g (x )的图象. 5.函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象上所有的点向左平移π2个单位长度.若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于( ) A.4 B.6 C.8D.12答案 B解析对B 选项，f (x )＝sin(6x ＋φ)图象向左平移π2个单位得：y ＝sin ⎣⎡⎦⎤6⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋φ ＝sin(6x ＋φ＋π)＝－sin(6x ＋φ)图象. 6.给出几种变换：①横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变； ②横坐标缩小到原来的12，纵坐标不变；③向左平移π3个单位长度；④向右平移π3个单位长度；⑤向左平移π6个单位长度；⑥向右平移π6个单位长度.则由函数y ＝sin x 的图象得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，可以实施的方案是( ) A.①→③ B.②→③ C.②→④ D.②→⑤ 答案 D解析 y ＝sin x 的图象――→②y ＝sin 2x 的图象――→⑤y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象. 7.要得到函数y ＝2cos x 的图象，只需将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4图象上的所有点的( ) A.横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向左平移π8个单位长度B.横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向右平移π4个单位长度C.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π4个单位长度D.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移π8个单位长度答案 C解析 ∵y ＝2cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2， ∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4――――――――――――――→纵坐标不变横坐标伸长到原来的2倍 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4―――――――――――――――→向左平移π4个单位长度y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2. 8.为了得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6，x ∈R 的图象，只需把函数y ＝2sin x ，x ∈R 的图象上所有的点( )A.向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)B.向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)C.向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)D.向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)答案 C解析先将y ＝2sin x ，x ∈R 的图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈R 的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6，x ∈R 的图象. 二、填空题9.将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________. 答案22解析 y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6图象，再对每一点横坐标伸长为原来的2倍，得到y ＝sin(12x ＋π6)的图象即为f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象，∴f (x )＝sin(12x ＋π6)，f (π6)＝22. 10.为得到函数y ＝cos x 的图象，可以把y ＝sin x 的图象向右平移φ个单位得到，那么φ的最小正值是________. 答案3π2解析 y ＝sin x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2向右平移φ个单位后得y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －φ－π2， ∴φ＋π2＝2k π，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π2，k ∈Z .∴φ的最小正值是3π2.11.某同学给出了以下论断：①将y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位，得到y ＝sin x 的图象；②将y ＝sin x 的图象向右平移2个单位，可得到y ＝sin(x ＋2)的图象； ③将y ＝sin(－x )的图象向左平移2个单位，得到y ＝sin(－x －2)的图象； ④函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象是由y ＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位而得到的. 其中正确的结论是______(将所有正确结论的序号都填上). 答案 ①③ 三、解答题12.已知函数f (x )＝2sin ωx ，其中常数ω>0.(1)若y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，2π3上单调递增，求ω的取值范围； (2)令ω＝2，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，区间[a ，b ](a ，b ∈R 且a <b )满足：y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a ，b ]中，求b －a 的最小值. 解 (1)因为ω>0，根据题意有⎩⎨⎧－π4ω≥－π2，2π3ω≤π2⇒0<ω≤34.(2)f (x )＝2sin 2x ，g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1， g (x )＝0⇒sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝－12⇒x ＝k π－π4或x ＝k π－712π，k ∈Z ，即g (x )的零点相离间隔依次为π3和2π3，故若y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，则b －a 的最小值为14×2π3＋15×π3＝43π3.。

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2015步步高理科数学选修4-1选修4－1几何证明选讲1．平行截割定理(1)平行线等分线段定理如果一组__________在一条直线上截得的线段______，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也________．(2)平行线分线段成比例定理两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成________．2．相似三角形的判定与性质(1)相似三角形的判定定理①两角对应________的两个三角形________；②两边对应成________且夹角________的两个三角形________；③三边对应成________的两个三角形________．(2)相似三角形的性质定理①相似三角形的对应线段的比等于____________．②相似三角形周长的比等于____________．③相似三角形面积的比等于________________________．3．直角三角形射影定理直角三角形一条直角边的平方等于________________________________，斜边上的高的平方等于________________________________．4．圆中有关的定理(1)圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧的度数的________．(2)圆心角定理：圆心角的度数等于________________的度数．(3)切线的判定与性质定理①切线的判定定理过半径外端且与这条半径________的直线是圆的切线．②切线的性质定理圆的切线________于经过切点的半径．(4)切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，切线长________．(5)弦切角定理弦切角的度数等于其所夹弧的度数的________．(6)相交弦定理圆的两条相交弦，每条弦被交点分成的两条线段长的积________．(7)割线定理从圆外一点引圆的两条割线，该点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积________．(8)切割线定理从圆外一点引圆的一条割线与一条切线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段长的________________．(9)圆内接四边形的性质与判定定理①圆内接四边形判定定理(ⅰ)如果四边形的对角________，则此四边形内接于圆；(ⅱ)如果四边形的一个外角________它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．②圆内接四边形性质定理(ⅰ)圆内接四边形的对角________；(ⅱ)圆内接四边形的外角________它的内角的对角．1．如图，F为▱ABCD的边AD延长线上的一点，DF＝AD，BF分别交DC，AC于点G，E，EF ＝16，GF＝12，则BE的长为________．第1题图第2题图2．如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝a2，点E，F分别为线段AB、AD的中点，则EF＝________.3. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，MN与⊙O相切，切点为A，∠MAB＝30°，则∠D＝________.4．如图所示，EA是圆O的切线，割线EB交圆O于点C，C在直径AB上的射影为D，CD＝2，BD＝4，则EA＝________.第4题图第5题图5．(2012·湖南)如图所示，过点P的直线与⊙O 相交于A，B两点．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，则⊙O的半径等于________.题型一相似三角形的判定及性质例1如图，已知在△ABC中，点D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F.(1)求证：△ABC∽△FCD；(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．思维升华(1)三角形相似的证明方法很多，解题时应根据条件，结合图形选择恰当的方法．一般的思考程序：先找两对内角对应相等；若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例；若无角对应相等，就要证明三边对应成比例．(2)证明等积式的一般方法是化为等积的比例式，若题目中无平行线，需利用相似三角形的性质证明．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，DE∥CA，且交BA的延长线于E，求证：ED·CD ＝EA·BD.题型二直角三角形的射影定理例2如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AC于E，EF⊥BC于F.求证：EF∶DF＝BC∶AC.思维升华已知条件中含直角三角形且涉及直角三角形斜边上的高时，应首先考虑射影定理，注意射影与直角边的对应法则，根据题目中的结论分析并选择射影定理中的等式，并分清比例中项．如图所示，在△ABC 中，∠CAB ＝90°，AD ⊥BC 于D ，BE 是∠ABC 的平分线，交AD 于F ，求证：DF AF ＝AE EC .题型三圆的切线的判定与性质例3如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE 平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB，且AD＝23，AE＝6.(1)判断直线AC与△BDE的外接圆的位置关系；(2)求EC的长．思维升华证明直线是圆的切线的方法：若已知直线经过圆上某点(或已知直线与圆有公共点)，则连结圆心和这个公共点，设法证明直线垂直于这条半径；如果已知条件中直线与圆的公共点不明确(或没有公共点)，则应过圆心作直线的垂线，得到垂线段，设法证明这条垂线段的长等于圆半径．(2013·广东改编)如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC＝CD，过C作圆O的切线交AD 于E.若AB＝6，ED＝2，求BC的长．题型四与圆有关的比例线段例4(2012·辽宁)如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D 两点，连结DB并延长交⊙O于点E.证明：(1)AC·BD＝AD·AB；(2)AC＝AE.思维升华(1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．(2)相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO 上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P.(1)求证：PM2＝PA·PC；(2)若⊙O的半径为23，OA＝3OM，求MN 的长．与圆有关的几何证明问题典例：(10分)(2012·课标全国)如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点．若CF∥AB，证明：(1)CD＝BC；(2)△BCD∽△GBD.思维启迪(1)连结AF，利用平行关系构造平行四边形可得结论；(2)先证△BCD和△GBD为等腰三角形，再证明两三角形顶角相等即可．规范解答证明(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，连结AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF.[5分]因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC.[6分](2)因为FG∥BC，故GB＝CF.由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD，所以∠BGD＝∠BDG.[8分]由BC＝CD知∠CBD＝∠CDB，又因为∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，所以△BCD∽△GBD.[10分]处理与圆有关的比例线段的常见思路：(1)利用圆的有关定理；(2)利用相似三角形；(3)利用平行线分线段成比例定理及推论；(4)利用面积关系等．温馨提醒(1)解决几何证明问题需用各种判定定理、性质定理、推理和现有的结论，要熟悉各种图形的特征，利用好平行、垂直、相似、全等的关系，适当添加辅助线和辅助图形，这些知识都有利于问题的解决．(2)证明等积式时，通常转化为证明比例式，再证明四条线段所在的三角形相似．另外也可利用平行线分线段成比例定理来证明．(3)弦切角定理与圆周角定理是证明角相等的重要依据，解题时应根据需要添加辅助线构造所需要的角．(4)圆内接四边形的性质也要熟练掌握，利用该性质可得到角相等，进而为三角形的相似创造了条件．方法与技巧1．证明等积式成立，应先把它写成比例式，找出比例式中给出的线段所在三角形是否相似，若不相似，则进行线段替换或等比替换．2．圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相等的角，找相似三角形，从而得出线段的比．由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，所以应注意代数法在解题中的应用．失误与防范1．在应用平行截割定理时，一定要注意对应线段成比例．2．在解决相似三角形时，一定要注意对应角和对应边，否则容易出错.A组专项基础训练1．已知△ABC中，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE相交于点P，求证：(1)△BPE∽△CPF；(2)△EFP∽△BCP.2.如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC交BC于点D，若E是AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于F，求证：ABAC＝DFAF.3. 如图所示，已知在△ABC中，∠ABC＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，连结DB，DE，OC.若AD＝2，AE＝1，求CD的长．4．(2013·江苏)如图，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC＝2OC.求证：AC＝2AD.5. 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，若S△ODC∶S△BDC＝1∶3，求S△ODC∶S△ABC.6. 如图，锐角三角形ABC的内心为I，过点A 作直线BI的垂线，垂足为H，点E为内切圆I 与边CA的切点．(1)求证：四点A，I，H，E共圆；(2)若∠C＝50°，求∠IEH的度数．B组专项能力提升1. 如图所示，已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，M是BC的中点，CN⊥AM，垂足是N，求证：AB·BM＝AM·BN.2. 如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的中线，F为AB上任意一点，CF交AD于点E. 求证：AE·BF＝2DE·AF.3．(2013·辽宁) 如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连结AE，BE. 证明：(1)∠FEB＝∠CEB；(2)EF2＝AD·BC.4．(2013·课标全国Ⅰ)如图，直线AB为圆O的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC＝3，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．答案要点梳理1．(1)平行线相等相等 (2)比例2．(1)①相等相似 ②比例相等相似 ③比例相似(2)①相似比 ②相似比 ③相似比的平方3．该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积两条直角边在斜边上的射影的乘积4．(1)一半 (2)它所对弧 (3)①垂直 ②垂直(4)相等 (5)一半 (6)相等 (7)相等 (8)等比中项(9)①(ⅰ)互补 (ⅱ)等于 ②(ⅰ)互补 (ⅱ)等于夯基释疑1．8 2.a 2 3.120° 4.525. 6 题型分类·深度剖析例1 (1)证明 ∵DE ⊥BC ，D 是BC 边上的中点，∴EB ＝EC ，∴∠B ＝∠ECD ，又AD ＝AC ，∴∠ADC ＝∠ACD ， ∴△ABC ∽△FCD .(2)解过点A 作AM ⊥BC ，垂足为点M ， ∵△ABC ∽△FCD ，BC ＝2CD ， ∴S △ABC S △FCD＝(BC CD )2＝4，又∵S △FCD ＝5，∴S △ABC ＝20，又S △ABC ＝12×BC ×AM ＝12×10×AM ＝20，解得AM ＝4，又DE ∥AM ，∴DE AM ＝BD BM ，∵DM ＝12DC ＝52，BM ＝BD ＋DM ＝5＋52＝152， ∴DE 4＝5152，解得DE ＝83. 跟踪训练1 证明在梯形ABCD 中， ∵AB ＝DC ，∴∠ABC ＝∠DCB .又BC ＝BC ，∴△ABC ≌△DCB .∴∠BAC ＝∠BDC ，∵AC ∥ED ，AD ∥BC ，∴∠E ＝∠BAC ＝∠BDC ，∠EAD ＝∠ABC ＝∠DCB ，∴△EAD ∽△DCB .∴EA DC ＝ED DB ，即ED ·CD ＝EA ·BD .例2 证明 ∵∠BAC ＝90°，且AD ⊥BC ，∴由射影定理得AC 2＝CD ·BC ，∴AC CD ＝BC AC .① ∵EF ⊥BC ，AD ⊥BC ，∴EF ∥AD ，∴AE DF ＝AC CD .又BE 平分∠ABC ，且EA ⊥AB ，EF ⊥BC ，∴AE ＝EF ，∴EF DF ＝AC CD .②由①、②得EF DF ＝BC AC ，即EF ∶DF ＝BC ∶AC .跟踪训练2 证明由三角形的内角平分线定理得，在△ABD 中，DF AF ＝BD AB ，①在△ABC 中，AE EC ＝AB BC ，②在Rt △ABC 中，由射影定理知，AB 2＝BD ·BC ，即BD AB ＝AB BC .③由①③得：DF AF ＝AB BC ，④由②④得：DF AF ＝AE EC .例3 解 (1)取BD 的中点O ，连结OE .∵BE 平分∠ABC ，∴∠CBE ＝∠OBE .又∵OB ＝OE ，∴∠OBE ＝∠BEO ， ∴∠CBE ＝∠BEO ，∴BC ∥OE .∵∠C ＝90°，∴OE ⊥AC ，∴直线AC 是△BDE 的外接圆的切线，即直线AC 与△BDE 的外接圆相切．(2)设△BDE 的外接圆的半径为r .在△AOE 中，OA 2＝OE 2＋AE 2，即(r ＋23)2＝r 2＋62，解得r ＝23，∴OA ＝2OE ，∴∠A ＝30°，∠AOE ＝60°. ∴∠CBE ＝∠OBE ＝30°，∴EC ＝12BE ＝12×3r ＝12×3×23＝3. 跟踪训练3 解 C 为BD 中点，且AC ⊥BC ，故△ABD 为等腰三角形．AB ＝AD ＝6，所以AE ＝4，DE ＝2.又AE AC ＝AC AD ，所以AC 2＝AE ·AD ＝4×6＝24，AC ＝26，在△ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝36－24＝2 3.例4 证明 (1)由AC 与⊙O ′相切于A ，得∠CAB ＝∠ADB ，同理∠ACB ＝∠DAB ，所以△ACB ∽△DAB .从而AC AD ＝AB BD ，即AC ·BD ＝AD ·AB .(2)由AD 与⊙O 相切于A ，得∠AED ＝∠BAD . 又∠ADE ＝∠BDA ，得△EAD ∽△ABD .从而AE AB ＝AD BD ，即AE ·BD ＝AD ·AB .结合(1)的结论知，AC ＝AE .跟踪训练4(1)证明连结ON ，则ON ⊥PN ，且△OBN 为等腰三角形，则∠OBN ＝∠ONB ，∵∠PMN ＝∠OMB ＝90°－∠OBN ， ∠PNM ＝90°－∠ONB ，∴∠PMN ＝∠PNM ，∴PM ＝PN .根据切割线定理，有PN 2＝PA ·PC ，∴PM 2＝PA ·PC .(2)解 OM ＝2，在Rt △BOM 中，BM ＝OB 2＋OM 2＝4.延长BO 交⊙O 于点D ，连结DN .由条件易知△BOM ∽△BND ，于是BO BN ＝BM BD ，即23BN ＝443，∴BN ＝6. ∴MN ＝BN －BM ＝6－4＝2.练出高分A 组1．证明(1)∵BF ⊥AC 于点F ，CE ⊥AB 于点E ，∴∠BFC ＝∠CEB ＝90°.又∵∠CPF ＝∠BPE ，∴△CPF ∽△BPE .(2)由(1)得△CPF ∽△BPE ，∴EP BP ＝FP CP .又∵∠EPF ＝∠BPC ，∴△EFP ∽△BCP .2．证明 ∵E 是Rt △ADC 斜边AC 的中点， ∴AE ＝EC ＝DE .∴∠EDC ＝∠ECD ，又∠EDC ＝∠BDF ， ∴∠EDC ＝∠C ＝∠BDF .又AD ⊥BC 且∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＝∠C ， ∴∠BAD ＝∠BDF ，∴△DBF ∽△ADF .∴DB AD ＝DF AF . 又Rt △ABD ∽Rt △CBA ，因此AB AC ＝DB AD .∴AB AC ＝DF AF .3．解由切割线定理得AD 2＝AE ·AB ，所以AB ＝4，EB ＝AB －AE ＝3.又∵∠OCD ＝∠ADE ＝90°－∠CDB ，∠A ＝∠A ，∴△ADE ∽△ACO ，∴AD AE ＝AC AO ，即21＝CD ＋22.5，CD ＝3. 故CD 的长等于3.4．证明连结OD .因为AB 和BC 分别与圆O相切于点D ，C ，所以∠ADO ＝∠ACB ＝90°.又因为∠A ＝∠A ，所以Rt △ADO ∽Rt △ACB .所以BC OD ＝AC AD .又BC ＝2OC ＝2OD ，故AC ＝2AD .5．解 ∵S △ODC ∶S △BDC ＝1∶3，且△ODC 和△BDC 有公共边CD ，设△ODC 和△BDC 在CD 上的高分别为h 和H ，则h ∶H ＝1∶3，∴DO ∶DB ＝1∶3，∴DO ∶OB ＝1∶2.又∵AB ∥CD ，∴△ODC ∽△OBA .∴S △ODC ∶S △OBA ＝1∶4.设S △ODC ＝a ，则S △OBC ＝2a ，S △OAB ＝4a ， ∵S △ABC ＝S △OAB ＋S △OBC ，∴S △ABC ＝6a . ∴S △ODC ∶S △ABC ＝1∶6.6．(1)证明由圆I 与边AC 相切于点E ，得IE ⊥AE ，结合IH ⊥AH ，得∠AEI ＝∠AHI ＝90° . 所以，四点A ，I ，H ，E 共圆．(2)解由(1)知四点A ，I ，H ，E 共圆，则∠IEH ＝∠HAI .又∠HIA ＝∠ABI ＋∠BAI ＝12∠ABC ＋12∠BAC ＝12(∠ABC ＋∠BAC )＝12(180°－∠C )＝90°－12∠C .结合IH ⊥AH ，得∠HAI ＝90°－∠HIA ＝12∠C ，所以∠IEH ＝12∠C .由∠C ＝50°得∠IEH ＝25°. B 组1．证明 ∵CM 2＝MN ·AM ，又∵M 是BC 的中点，∴BM 2＝MN ·AM ，∴BM AM ＝MN BM ，又∵∠BMN ＝∠AMB ，∴△AMB ∽△BMN ， ∴AB BN ＝AM BM ，∴AB ·BM ＝AM ·BN .2．证明过点D 作AB 的平行线DM 交AC 于点M ，交FC 于点N .在△BCF 中，D 是BC 的中点，DN ∥BF ，∴DN ＝12BF .∵DN ∥AF ，∴△AFE ∽△DNE ，∴AE AF ＝DE DN .又DN ＝12BF ，∴AE AF ＝2DE BF ，即AE ·BF ＝2DE ·AF .3．证明 (1)由直线CD 与⊙O 相切，得∠CEB ＝∠EAB .由AB 为⊙O 的直径，得AE ⊥EB ，从而∠EAB ＋∠EBF ＝π2；又EF ⊥AB ，得∠FEB ＋∠EBF ＝π2，从而∠FEB ＝∠EAB .故∠FEB ＝∠CEB .(2)由BC ⊥CE ，EF ⊥AB ，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF. 同理可证，得AD＝AF.又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，所以EF2＝AD·BC. 4.(1)证明连结DE，则∠DCB＝∠DEB，∵DB⊥BE，∴∠DBC＋∠CBE＝90°，∠DEB＋∠EDB＝90°，∴∠DBC＋∠CBE＝∠DEB＋∠EDB，又∠CBE＝∠EBF＝∠EDB，∴∠DBC ＝∠DEB ＝∠DCB ，∴DB ＝DC .(2)解由(1)知：∠CBE ＝∠EBF ＝∠BCE ， ∴CE ＝BE ，∴∠BDE ＝∠CDE ， ∴DE 是BC 的垂直平分线，设交点为H ，则BH ＝32， ∴OH ＝ 1－34＝12，∴DH ＝32， ∴tan ∠BDE ＝3232＝33，∴∠BDE ＝30°， ∴∠FBE ＝∠BDE ＝30°，∴∠CBF ＋∠BCF ＝90°，∴∠BFC ＝90°， ∴BC 是△BCF 的外接圆直径．3∴△BCF的外接圆半径为2.。