课时限时检测65
第八章 第一节 课时限时检测
(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1 解析：由a ＋2＝a ＋2a，∴a ＝－2或1. 答案：D2．(2010·上海春招)过点P (0,1)与圆x 2＋y 2－2x －3＝0相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是( )A ．x ＝0B ．y ＝1C ．x ＋y －1＝0D ．x －y ＋1＝0 解析：圆x 2＋y 2－2x －3＝0的圆心为(1,0)，被圆截得的弦最长时直线过(1,0)点，又直线过P (0,1)，∴直线方程为x ＋y －1＝0.答案：C3．若直线的倾斜角的余弦值为45，则与此直线垂直的直线的斜率为( ) A ．－43B.34 C ．－34 D.43解析：设直线的倾斜角为θ，由题意知，cos θ＝45θ∈(0，π2)， ∴sin θ＝35，k ＝tan θ＝sin θcos θ＝34. ∴与此直线垂直的直线的斜率为－43. 答案：A4．(2010·海淀二月模拟)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13C ．－32 D.23解析：由直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P 、Q ，可设P (x 1,1)，Q (7，y 1)，再由线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，可解得：x 1＝－5，y 1＝－3.即直线l 上有两点P (－5,1)，Q (7，－3)，代入斜率公式可解得直线l 的斜率为k ＝1＋3－5－7＝－13. 答案：B5．直线l 1：3x －y ＋1＝0，直线l 2过点(1,0)，且l 2的倾斜角是l 1的倾斜角的2倍，则直线l 2的方程为( )A ．y ＝6x ＋1B ．y ＝6(x －1)C ．y ＝34(x －1)D ．y ＝－34(x －1) 解析：设直线l 1的倾斜角为α，则由tan α＝3可求出直线l 2的斜率k ＝tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－34，再由直线l 2过点(1,0)即可求得其方程． 答案：D6．已知直线l 1的方向向量为a ＝(1,3)，直线l 2的方向向量为b ＝(－1，k )，若直线l 2过点(0,5)，且l 1⊥l 2，则直线l 2的方程是( )A ．x ＋3y －5＝0B ．x ＋3y －15＝0C ．x －3y ＋5＝0D ．x －3y ＋15＝0解析：k 1＝3，k 2＝－k ，又l 1⊥l 2，∴3×(－k )＝－1，∴k ＝13， ∴l 2的斜率为－13， ∴l 2：x ＋3y －15＝0.答案：B二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)7．经过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l 的方程为________．解析：设所求直线方程为x a ＋y b＝1， 由已知可得⎩⎨⎧－2a ＋2b ＝1，12|a ||b |＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1.∴2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0为所求．答案：2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝08．已知直线l 的斜率为k ，经过点(1，－1)，将直线向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到直线m ，若直线m 不经过第四象限，则直线l 的斜率k 的取值范围是__________．解析：依题意可设直线l 的方程为y ＋1＝k (x －1)，即y ＝kx －k －1，将直线l 向右平移3个单位，得到直线y ＝k (x －3)－k －1，再向上平移2个单位得到直线m ：y ＝k (x －3)－k－1＋2，即y ＝kx －4k ＋1.由于直线m 不经过第四象限，所以应有⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，－4k ＋1≥0，解得0≤k ≤14. 答案：0≤k ≤149．已知A (3,0)，B (0,4)，动点P (x ，y )在线段AB 上移动，xy 的最大值等于____________．解析：AB 所在直线方程为x 3＋y 4＝1， ∴x 3·y 4≤14(x 3＋y 4)2＝14， ∴xy ≤3，当且仅当x 3＝y 4时取等号． 答案：3三、解答题(共3个小题，满分35分)10．已知点M (2,2)，N (5，－2)，点P 在x 轴上，分别求满足下列条件的P 点坐标．(1)∠MOP ＝∠OPN (O 是坐标原点)；(2)∠MPN 是直角．解：设P (x,0)，(1)∵∠MOP ＝∠OPN ，∴OM ∥NP .∴k OM ＝k NP .又k OM ＝2－02－0＝1， k NP ＝0－(－2)x －5＝2x －5(x ≠5)， ∴1＝2x －5，∴x ＝7， 即P (7,0)．(2)∵∠MPN ＝90°，∴MP ⊥NP ，∴k MP ·k NP ＝－1.k MP ＝22－x (x ≠2)，k NP ＝2x －5(x ≠5)， ∴22－x ×2x －5＝－1，解得x ＝1或x ＝6，即P (1,0)或(6,0)．11．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R)．(1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；(2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解：(1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距都为零，截距相等， ∴a ＝2，方程即3x ＋y ＝0.若a ≠2，由于截距存在，∴a －2a ＋1＝a －2， 即a ＋1＝1，∴a ＝0，方程即x ＋y ＋2＝0.(2)法一：将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴欲使l 不经过第二象限，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)≥0，a －2≤0. ∴a ≤－1.综上可知，a 的取值范围是a ≤－1.法二：将l 的方程化为(x ＋y ＋2)＋a (x －1)＝0(a ∈R)，它表示过l 1：x ＋y ＋2＝0与l 2：x －1＝0的交点(1，－3)的直线系(不包括x ＝1)．由图象可知l 的斜率－(a ＋1)≥0时，l 不经过第二象限，∴a ≤－1.12．过点M (0,1)作直线，使它被两直线l 1：x －3y ＋10＝0，l 2：2x ＋y －8＝0所截得的线段恰好被M 所平分，求此直线方程．解：法一：过点M 且与x 轴垂直的直线是y 轴，它和两已知直线的交点分别是⎝⎛⎭⎫0，103和(0,8)，显然不满足中点是点M (0,1)的条件．故可设所求直线方程为y ＝kx ＋1，与两已知直线l 1，l 2分别交于A 、B 两点，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，x －3y ＋10＝0，① ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，2x ＋y －8＝0，② 由①解得x A ＝73k －1，由②解得x B ＝7k ＋2. ∵点M 平分线段AB ，∴x A ＋x B ＝2x M ，即73k －1＋7k ＋2＝0. 解得k ＝－14，故所求直线方程为x ＋4y －4＝0. 法二：设所求直线与已知直线l 1，l 2分别交于A 、B 两点． ∵点B 在直线l 2：2x ＋y －8＝0上，故可设B (t,8－2t )． 又M (0,1)是AB 的中点，由中点坐标公式，得A (－t,2t －6)．∵A 点在直线l 1：x －3y ＋10＝0上，∴(－t )－3(2t －6)＋10＝0，解得t ＝4.∴B (4,0)，A (－4,2)，故所求直线方程为x ＋4y －4＝0.。
第二章 第十一节 课时限时检测
(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．已知直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 切于点(1,3)，则b 的值为( )A ．3B ．－3C ．5D ．－5 解析：∵y ′＝3x 2＋a ，∴k ＝y ′|x ＝1＝3＋a .又点(1,3)为切点，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3＝k ×1＋1，3＝13＋a ×1＋b ，k ＝3＋a ，解得b ＝3. 答案：A2．曲线y ＝x x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2 解析：∵y ′＝x ′(x ＋2)－x (x ＋2)′(x ＋2)2＝2(x ＋2)2， ∴k ＝y ′|x ＝－1＝2(－1＋2)2＝2， ∴切线方程为：y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.答案：A3．已知y ＝12sin2x ＋sin x ，则y ′是( ) A ．仅有最小值的奇函数B ．既有最大值又有最小值的偶函数C ．仅有最大值的偶函数D ．非奇非偶函数解析：∵y ′＝12cos2x ·2＋cos x ＝cos2x ＋cos x ＝2cos 2x －1＋cos x＝2(cos x ＋14)2－98. 又当x ∈R 时，cos x ∈[－1,1]，函数y ′＝2(cos x ＋14)2－98是既有最大值又有最小值的偶函数．答案：B4．设函数y ＝x sin x ＋cos x 的图象上的点(x ，y )处的切线斜率为k ，若k ＝g (x )，则函数k ＝g (x )的图象大致为( )解析：k ＝g (x )＝y ′＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ，故函数k ＝g (x )为奇函数，排除A 、C ；又当x ∈(0，π2)时，g (x )>0. 答案：B5．若函数f (x )＝e xcos x ，则此函数图象在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为( )A ．0B ．锐角C ．直角D ．钝角 解析：由已知得：f ′(x )＝e x cos x －e x sin x ＝e x (cos x －sin x )．∴f ′(1)＝e(cos1－sin1)．∵π2>1>π4. 而由正余弦函数性质可得cos1<sin1.∴f ′(1)<0.即f (x )在(1，f (1))处的切线的斜率k <0.∴切线倾斜角是钝角．答案：D6．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )，g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( )A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )＝g (x )＝0C ．f (x )－g (x )为常数函数D ．f (x )＋g (x )为常数函数解析：由f ′(x )＝g ′(x )，得f ′(x )－g ′(x )＝0，即[f (x )－g (x )]′＝0，所以f (x )－g (x )＝C (C 为常数)．答案：C二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7．如图，函数F (x )＝f (x )＋15x 2的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝______.解析：F ′(x )＝f ′(x )＋25x ， 由题意可知F ′(5)＝f ′(5)＋2＝－1，∴f ′(5)＝－3.又点(5,3)在F (x )上，∴f (5)＋5＝3，∴f (5)＝－2，∴f (5)＋f ′(5)＝－5.答案：－58．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为________．解析：∵y ＝x 3－10x ＋3，∴y ′＝3x 2－10.由题意，设切点P 的横坐标为x 0，且x 0<0，即3x 20－10＝2，∴x 20＝4，∴x 0＝－2，∴y 0＝x 30－10x 0＋3＝15.故点P 的坐标为(－2,15)．答案：(－2,15)9．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )(n ∈N *，n ≥2)，则f 1(π2)＋f 2(π2)＋…＋f 2 012(π2)＝________. 解析：f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝(cos x －sin x )′＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝sin x ＋cos x ，以此类推，可得出f n (x )＝f n ＋4(x )又∵f 1(x )＋f 2(x )＋f 3(x )＋f 4(x )＝0，∴f 1(π2)＋f 2(π2)＋…＋f 2012(π2)＝f 1(π2)＋f 2(π2)＋f 3(π2)＋f 4(π2＝0. 答案：0三、解答题(共3小题，满分35分)10．求下列函数的导数．(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝e x ＋1e x －1； (3) y ＝log 2(2x 2＋3x ＋1)．解：(1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x .(2)法一：y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x－1)′(e x －1)2 ＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x(e x －1)2. 法二：∵y ＝e x －1＋2e x －1＝1＋2e x －1， ∴y ′＝1′＋⎝⎛⎭⎫2e x －1′，即y ′＝－2e x(e x －1)2. (3)法一：设y ＝log 2u ，u ＝2x 2＋3x ＋1，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝1u ·ln2(4x ＋3)＝4x ＋3(2x 2＋3x ＋1)ln2. 法二：y ′＝[log 2(2x 2＋3x ＋1)]′＝1(2x 2＋3x ＋1)ln2·(2x 2＋3x ＋1)′＝4x ＋3(2x 2＋3x ＋1)ln211．已知曲线y ＝16x 2－1与y ＝1＋x 3在x ＝x 0处的切线互相垂直，求x 0的值． 解：对于y ＝16x 2－1，有y ′＝13x ，k 1＝y ′|x ＝x 0＝13x 0； 对于y ＝1＋x 3，有y ′＝3x 2，k 2＝y ′|x ＝x 0＝3x 20.又k 1k 2＝－1，则x 30＝－1，x 0＝－1.12．设有抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限．(1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标．解：(1)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1①y 1＝－x 21＋92x 1－4② ①代入②得x 21＋(k －92x 1＋4＝0. ∵P 为切点，∴Δ＝(k －922－16＝0得k ＝172或k ＝12. 当k ＝172时，x 1＝－2，y 1＝－17. 当k ＝12x 1＝2，y 1＝1. ∵P 在第一象限，∴所求的斜率k ＝12. (2)过P 点作切线的垂线，其方程为y ＝－2x ＋5③将③代入抛物线方程得x 2－132x ＋9＝0. 设Q 点的坐标为(x 2，y 2)， 即2x 2＝9，∴x 2＝92，y 2＝－4. ∴Q 点的坐标为(92，－4)．。
第五章 第二节 课时限时检测
(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．一个等差数列的前4项是a ，x ，b,2x ，则a b等于( ) A.14 B.12C.13D.23解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2x ＝x ＋b 2b ＝x ＋2x ，所以b ＝3x 2，a ＝x 2，于是有a b ＝13. 答案：C2．若等差数列{a n }的前5项之和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝( )A ．12B ．13C ．14D ．15解析：由S 5＝(a 2＋a 4)·52⇒25＝(3＋a 4)·52⇒a 4＝7，所以7＝3＋2d ⇒d ＝2，所以a 7＝a 4＋3d ＝7＋3×2＝13.答案：B 3．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，若{1a n ＋1}为等差数列，则a 11＝( ) A ．0B.12C.23 D ．2解析：由已知可得1a 3＋1＝13，1a 7＋1＝12是等差数列{1a n ＋1}的第3项和第7项，其公差d ＝12－137－3＝124，由此可得1a 11＋1＝1a 7＋1＋(11－7)d ＝12＋4×124＝23，解之得a 11＝12. 答案：B4．设命题甲为“a ，b ，c 成等差数列”，命题乙为“a b ＋c b＝2”，那么( ) A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲是乙的既不充分也不必要条件解析：由a b ＋c b ＝2，可得a ＋c ＝2b ，但a 、b 、c 均为零时，a 、b 、c 成等差数列，但a b＋c b≠2. 答案：B5．已知等差数列{a n }、{b n }的公差分别为2和3，且b n ∈N *，则数列{ab n }是( )A ．等差数列且公差为5B ．等差数列且公差为6C ．等差数列且公差为8D ．等差数列且公差为9 解析：依题意有ab n ＝a 1＋(b n －1)×2＝2b n ＋a 1－2＝2b 1＋2(n －1)×3＋a 1－2＝6n ＋a 1＋2b 1－8，故ab n ＋1－ab n ＝6，即数列{ab n }是等差数列且公差为6.答案：B6．已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使S n >0的n 的最大值为( )A ．11B ．19C ．20D ．21 解析：∵a 11a 10<－1，且S n 有最大值， ∴a 10>0，a 11<0，且a 10＋a 11<0，∴S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19·a 10>0， S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10(a 10＋a 11)<0， 所以使得S n >0的n 的最大值为19.答案：B二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)7．已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，a 7－a 5＝4，a 11＝21，S k ＝9，则k ＝________.解析：a 7－a 5＝2d ＝4，d ＝2，a 1＝a 11－10d ＝21－20＝1，S k ＝k ＋k (k －1)2×2＝k 2＝9.又k ∈N *，故k ＝3. 答案：38．在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项a n ＝________. 解析：由2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2，1a n ＋2－1a n ＋11a n ＋1－1a n ， ∴{1a n }为等差数列．又1a 1＝1，d ＝1a 2－1a 1＝1， ∴1a n ＝n ，∴a n ＝1n.答案：1n9．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4－a 2＝8，a 3＋a 5＝26.记T n ＝S n n 2，如果存在正整数M ，使得对一切正整数n ，T n ≤M 都成立，则M 的最小值是________．解析：∵{a n }为等差数列，由a 4－a 2＝8，a 3＋a 5＝26，可解得S n ＝2n 2－n ，∴T n ＝2－1n，若T n ≤M 对一切正整数n 恒成立， 则只需(T n )max ≤M 即可．又T n ＝2－1n<2，∴只需2≤M ，故M 的最小值是2. 答案：2三、解答题(共3个小题，满分35分)10．已知等差数列{a n }的前三项为a －1,4,2a ，记前n 项和为S n .(1)设S k ＝2 550，求a 和k 的值；(2)设b n ＝S n n，求b 3＋b 7＋b 11＋…＋b 4n －1的值． 解：(1)由已知得a 1＝a －1，a 2＝4，a 3＝2a ，又a 1＋a 3＝2a 2，∴(a －1)＋2a ＝8，即a ＝3，∴a 1＝2，公差d ＝a 2－a 1＝2.由S k ＝ka 1＋k (k －1)2d ，得2k ＋k (k －1)2×2＝2 550， 即k 2＋k －2 550＝0，解得k ＝50或k ＝－51(舍去)．∴a ＝3，k ＝50.(2)由S n ＝na 1＋n (n －1)2d 得 S n ＝2n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋n . ∴b n ＝S n n＝n ＋1， ∴{b n }是等差数列，则b 3＋b 7＋b 11＋…＋b 4n －1＝(3＋1)＋(7＋1)＋(11＋1)＋…＋(4n －1＋1)＝(4＋4n )n 2. ∴b 3＋b 7＋b 11＋…＋b 4n －1＝2n 2＋2n .11．已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4.(1)求证{a n }为等差数列；(2)求{a n }的通项公式．解：(1)当n ＝1时，有2a 1＝a 21＋1－4，即a 21－2a 1－3＝0，解得a 1＝3(a 1＝－1舍去)．当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋n －5，又2S n ＝a 2n ＋n －4，两式相减得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1，即a 2n －2a n ＋1＝a 2n －1，也即(a n －1)2＝a 2n －1，因此a n －1＝a n －1或a n －1＝－a n －1.若a n －1＝－a n －1，则a n ＋a n －1＝1，而a 1＝3，所以a 2＝－2，这与数列{a n }的各项均为正数相矛盾，所以a n －1＝a n －1，即a n －a n －1＝1，因此{a n }为等差数列．(2)由(1)知a 1＝3，d ＝1，所以数列{a n }的通项公式a n ＝3＋(n －1)＝n ＋2，即a n ＝n ＋2.12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，nS n ＋1－(n ＋1)S n ＝n 2＋cn (c ∈R ，n ＝1,2,3…)，且S 1，S 22，S 33(1)求c 的值；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)∵nS n ＋1－(n ＋1)S n ＝n 2＋cn (n ＝1,2,3，…)，∴S n ＋1n ＋1－S n n ＝n 2＋cn n (n ＋1)(n ＝1,2,3，…)． ∵S 1，S 22，S 33成等差数列，∴S 22－S 11＝S 33－S 22. ∴1＋c 2＝4＋2c 6， ∴c ＝1.(2)由(1)得S n ＋1n ＋1－S n n1(n ＝1,2,3，…)． ∴数列{S n n }是首项为S 11，公差为1的等差数列． ∴S n n ＝S 11＋(n －1)·1＝n . ∴S n ＝n 2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1.当n ＝1时，上式也成立∴a n ＝2n －1(n ＝1,2,3，…)．。
第七章 第五节 课时限时检测
(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．已知m 是平面α的一条斜线，点A ∉α，l 为过点A 的一条动直线，那么下列情形可能出现的是( )A ．l ∥m ，l ⊥αB ．l ⊥m ，l ⊥αC ．l ⊥m ，l ∥αD ．l ∥m ，l ∥α解析：设m 在平面α内的射影为n ，当l ⊥n 且与α无公共点时，l ⊥m ，l ∥α.答案：C2．已知直线a ⊂平面α，直线AO ⊥α，垂足为O ，AP ∩α＝P ，若条件p ：直线OP 不垂直于直线a ，条件q ：直线AP 不垂直于直线a ，则条件p 是条件q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：直线OP ⊥直线a ⇔直线AP ⊥直线a ，即┐p ⇔┐q ，则p ⇔q .答案：C3.如图，在正四面体P －ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论不成立的是( )A ．BC ∥平面PDFB ．DF ⊥平面PAEC ．平面PDF ⊥平面PAED ．平面PDE ⊥平面ABC解析：因BC ∥DF ，所以BC ∥平面PDF ，A 成立；易证BC ⊥平面PAE ，BC ∥DF ，所以结论B 、C 均成立；点P 在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心，不在中位线DE 上，故结论D 不成立．答案：D4．(2010·山东济南)设a ，b ，c 表示三条直线，α、β表示两个平面，下列命题中不正确的是( )A. ⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αα∥β⇒a ⊥βB. ⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥βα⊥β⇒a ⊥b C. ⎭⎪⎬⎪⎫b ∥c b ⊂αc ⊄α⇒c ∥α D.⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αb ⊥a ⇒b ⊥α 解析：经判断可知，选项A 、B 、C 均正确．对于选项D ，与直线a 垂直的直线有无数多条，这些直线与平面α的关系也可能是平行的，如正方体的上底面的两条相邻棱互相垂直，但这两条棱与下底面的关系是平行而不是垂直．答案：D5．(2010·陕西宝鸡)设a，b，c是空间不重合的三条直线，α，β是空间两个不同的平面，则下列命题中，逆命题不成立的是()A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥βB．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥βC．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥bD．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c解析：当α⊥β时，平面α内的直线不一定垂直于平面β.答案：B6.如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是()A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°解析：∵AD与PB在平面ABC内的射影AB不垂直，∴A不成立；又平面PAB⊥平面PAE，∴平面PAB⊥平面PBC也不成立；∵BC∥AD，∴BC∥平面PAD，∴直线BC∥平面PAE也不成立．在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°，∴D正确．答案：D二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)7.如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的有__________(填序号)①平面ABC⊥平面ABD②平面ABD⊥平面BCD③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE解析：因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC ⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故只有③正确．答案：③8．设直线m与平面α相交但不垂直，给出以下说法：①在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直；②过直线m有且只有一个平面与平面α垂直；③与直线m垂直的直线不可能与平面α平行；④与直线m平行的平面不可能与平面α垂直．其中错误的是________．解析：因为直线m是平面α的斜线，在平面α内，只要和直线m的射影垂直的直线都和m垂直，所以①错误；②正确；③错误，设b⊂α，b⊥m，c∥b，c⊄α，则c∥α，c⊥m；④错误，如正方体AC1中，m是直线BC1，平面ABCD是α，则平面ADD1A1既与α垂直，又与m平行．答案：①③④9．(2010·合肥第一次质检)设α、β、γ为彼此不重合的三个平面，l为直线，给出下列命题：①若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ；②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l，则l⊥γ；③若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α垂直；④若α内存在不共线的三点到β的距离相等，则平面α平行于平面β.上面命题中，真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．解析：由题可知③中无数条直线不能认定为任意一条直线，所以③错，④中的不共线的三点有可能是在平面β的两侧，所以两个平面可能相交可能平行，故填①②.答案：①②三、解答题(共3个小题，满分35分)10．(2010·山东临沂)在直平行六面体AC1中，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，AC∩BD＝O，AB＝AA1.(1)求证：C1O∥平面AB1D1；(2)求证：平面AB1D1⊥平面ACC1A1.证明：(1)连接A1C1交B1D1于O1，连接AO1.在平行四边形AA1C1C中，C1O1∥AO，C1O1＝AO，∴四边形AOC1O1为平行四边形，∴C1O∥AO1.∵C1O⊄平面AB1D1，AO1⊂平面AB1D1，∴C1O∥平面AB1D1.(2)在直平行六面体AC1中，A1A⊥平面A1B1C1D1，∴A1A⊥B1D1.∵四边形A1B1C1D1为菱形，∴B1D1⊥A1C1.∵A 1C 1∩AA 1＝A 1，A 1C 1⊂平面ACC 1A 1，AA 1⊂平面ACC 1A 1，∴B 1D 1⊥平面ACC 1A 1.∵B 1D 1⊂平面AB 1D 1，∴平面AB 1D 1⊥平面ACC 1A 1.11．(2010·北京海淀)如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB＝1，AA 1＝AD ＝2.点E 为AB 中点．(1)求三棱锥A 1－ADE 的体积；(2)求证：A 1D ⊥平面ABC 1D 1；(3)求证：BD 1∥平面A 1DE .解：(1)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，因为AB ＝1，E 为AB 的中点，所以，AE ＝12.又因为AD ＝2，所以S △ADE ＝12AD ·AE ＝12×2×12＝12.又AA 1⊥底面ABCD ，AA 1＝2，所以三棱锥A 1－ADE 的体积V ＝13S △ADE ·AA 1＝13×12×2＝13.(2)证明：因为AB ⊥平面ADD 1A 1，A 1D ⊂平面ADD 1A 1，所以AB ⊥A 1D .因为ADD 1A 1为正方形，所以AD 1⊥A 1D .又AD 1∩AB ＝A ，AD 1⊂平面ABC 1D 1，AB ⊂平面ABC 1D 1，所以A 1D ⊥平面ABC 1D 1.(3)证明：设AD 1，A 1D 的交点为O ，连结OE .因为ADD 1A 1为正方形，所以O 是AD 1的中点，在△AD 1B 中，OE 为中位线，所以OE ∥BD 1.又OE ⊂平面A 1DE ，BD 1⊄平面A 1DE ，所以BD 1∥平面A 1DE .12．(2010·茂名模拟)如图所示，在直角梯形ABCD 中，∠B ＝90°，DC ∥AB ，CD ＝12AB ，G 为线段AB 的中点，将 △ADG 沿GD 折起，使平面ADG ⊥平面BCDG ，得到几何体A －BCDG .(1)若E ，F 分别为线段AC ，AD 的中点，求证：EF ∥平面ABG ；(2)求证：AG ⊥平面BCDG .证明：(1)依题意，折叠前后CD 、BG 的位置关系不改变，∴CD ∥BG .∵E 、F 分别为线段AC 、AD 的中点，∴在△ACD 中，EF ∥CD ，∴EF ∥BG .又EF ⊄平面ABG ，BG ⊂平面ABG ，∴EF ∥平面ABG .(2)将△ADG 沿GD 折起后，AG 、GD 的位置关系不改变，∴AG ⊥GD .又平面ADG ⊥平面BCDG ，平面ADG ∩平面BCDG ＝GD ，AG ⊂平面AGD ，∴AG ⊥平面BCDG .。
第六章 第五节 课时限时检测
(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分) 1．下列表述正确的是( ) ①归纳推理是由部分到整体的推理； ②归纳推理是由一般到一般的推理； ③演绎推理是由一般到特殊的推理； ④类比推理是由特殊到一般的推理； ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理． A ．①②③ B ．②③④ C ．②④⑤D ．①③⑤解析：归纳推理是由部分到整体的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．答案：D2．推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③三角形不是矩形”中的小前提是( )A ．①B ．②C ．③D ．①和②解析：由演绎推理三段论可知，①是大前提；②是小前提；③是结论． 答案：B3．下列推理是归纳推理的是( )A ．A ，B 为定点，动点P 满足|PA |＋|PB |＝2a >|AB |，则P 点的轨迹为椭圆 B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积S ＝πabD ．以上均不正确解析：从S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n ，是从特殊到一般的推理，所以B 是归纳推理．答案：B4．下列几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条平行直线与第三条直线相交，内错角相等，如果∠A 和∠B 是两条平行直线的内错角，则∠A ＝∠BB ．金导电，银导电，铜导电，铁导电，所以一切金属都导电C ．由圆的性质推测球的性质D ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇解析：两条平行直线与第三条直线相交，内错角相等 ， (大前提) ∠A 与∠B 是两条平行直线的内错角， (小前提) ∠A ＝∠B .(结论)B 是归纳推理，C 、D 是类比推理． 答案：A5．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a·b ＝b·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c ”； ③“(mn )t ＝m (nt )”类比得到“(a·b )·c ＝a ·(b·c )”；④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a·p ＝x·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|mn |＝|m ||n |”类比得到“|a·b |＝|a |·|b |”； ⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a·c b·c ＝a b ”．以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：只有①②对，其余错误． 答案：B6．如图，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB ⊥AB时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于( )A.5＋12B.5－12C.5－1D.5＋1解析：B (0，b )，F (－c,0)，A (a,0)．在“黄金双曲线”中，∵FB ⊥AB ，∴FB ·AB ＝0.又FB ＝(c ，b )，AB＝(－a ，b )． ∴b 2＝ac .而b 2＝c 2－a 2，∴c 2－a 2＝ac . 在等号两边同除以a 2得e ＝5＋12. 答案：A二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)7．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：V 1V 2＝13S 1h113S 2h 2＝(S 1S 2)·h 1h 2＝14×12＝18.答案：1∶88．方程f (x )＝x 的根称为f (x )的不动点，若函数f (x )＝xa (x ＋2)有唯一不动点，且x 1＝1 000，x n ＋1＝1f ⎝⎛⎭⎫1x n (n ∈N *)，则x 2 011＝________. 解析：由xa (x ＋2)＝x 得ax 2＋(2a －1)x ＝0.因为f (x )有唯一不动点， 所以2a －1＝0，即a ＝12.所以f (x )＝2x x ＋2.所以x n ＋1＝1f ⎝⎛⎭⎫1x n ＝2x n ＋12＝x n ＋12.所以x 2 011＝x 1＋12×2 010＝1 000＋20102＝2 005.答案：2 0059．(2009·浙江高考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，_______，________，T 16T 12成等比数列． 解析：对于等比数列，通过类比，有等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4＝a 1a 2a 3a 4，T 8＝a 1a 2…a 8，T 12＝a 1a 2…a 12，T 16＝a 1a 2…a 16，因此T 8T 4＝a 5a 6a 7a 8，T 12T 8＝a 9a 10a 11a 12，T 16T 12＝a 13a 14a 15a 16，而T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12的公比为q 16，因此T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．答案：T 8T 4 T 12T 8三、解答题(共3个小题，满分35分) 10．用三段论的形式写出下列演绎推理．(1)若两角是对顶角，则该两角相等，所以若两角不相等，则该两角不是对顶角； (2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以，正方形的对角线相等． 解：(1)两个角是对顶角， 则两角相等，大前提 ∠1和∠2不相等，小前提 ∠1和∠2不是对顶角．结论(2)每一个矩形的对角线相等，大前提 正方形是矩形，小前提 正方形的对角线相等．结论11．已知等式：sin 25°＋cos 235°＋sin5°cos35°＝34；sin 215°＋cos 245°＋sin15°cos45°＝34；sin 230°＋cos 260°＋sin30°cos60°＝34；….由此可归纳出对任意角度θ都成立的一个等式，并予以证明． 证明：归纳已知可得：sin 2θ＋cos 2(θ＋30°)＋sin θcos(θ＋30°)＝34.证明如下：∵sin 2θ＋cos 2(θ＋30°)＋sin θcos(θ＋30°) ＝sin 2θ＋⎝⎛⎭⎫32cos θ－12sin θ2＋sin θ⎝⎛⎭⎫32cos θ－12sin θ＝sin 2θ＋⎝⎛⎭⎫32cos θ－12sin θ⎝⎛⎭⎫32cos θ＋12sin θ ＝sin 2θ＋34cos 2θ－14sin 2θ＝34.∴等式成立．12．已知等差数列{a n }的公差d ＝2，首项a 1＝5. (1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)设T n ＝n (2a n －5)，求S 1，S 2，S 3，S 4，S 5；T 1，T 2，T 3，T 4，T 5，并归纳出S n 与T n的大小规律．解：(1)S n ＝5n ＋n (n －1)2×2＝n (n ＋4)． (2)T n ＝n (2a n －5)＝n [2(2n ＋3)－5]， ∴T n ＝4n 2＋n .∴T 1＝5，T 2＝4×22＋2＝18，T 3＝4×32＋3＝39， T 4＝4×42＋4＝68，T 5＝4×52＋5＝105.S 1＝5，S 2＝2×(2＋4)＝12，S 3＝3×(3＋4)＝21， S 4＝4×(4＋4)＝32，S 5＝5×(5＋4)＝45. 由此可知S 1＝T 1，当n ≥2时，S n ＜T n . 归纳猜想：当n ≥2，n ∈N 时，S n ＜T n .。
第七章 第七节 课时限时检测
(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．若平面α，β的法向量分别为a ＝(－1,2,4)，b ＝(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为( )A ．10B ．－10C.12 D ．－12解析：∵α⊥β，∴a ·b ＝0∴x ＝－10.答案：B2．已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－12，则l 与α所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：由于cos 〈m ，n 〉＝－12，∴〈m ，n 〉＝120°，所以直线l 与α所成的角为30°. 答案：A3．已知平面α内有一个点A (2，－1,2)，α的一个法向量为n ＝(3,1,2)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A ．(1，－1,1)B.⎝⎛⎭⎫1，3，32C.⎝⎛⎭⎫1，－3，32D.⎝⎛⎭⎫－1，3，－32 解析：对于选项A ， PA ＝(1,0,1)，则PA ·n ＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A ；对于选项B ，PA ＝⎝⎛⎭⎫1，－4，12，则PA ·n ＝⎝⎛⎭⎫1，－4，12·(3,1,2)＝0，验证可知C 、D 均不满足PA ·n ＝0.答案：B4．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝4，CC 1＝2，则直线BC 1和平面DBB 1D 1所成角的正弦值为( ) A.32 B.52 C.105 D.1010解析：以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则A (4,0,0)，B (4,4,0)，C (0,4,0)，C 1(0,4,2)，AC ＝(－4,4,0)，1BC ＝(－4,0,2)．易知AC ⊥平面DBB 1D 1，所以AC 是平面DBB 1D 1的一个法向量．所以BC 1与平面DBB 1D 1所成角的正弦值为|cos 〈AC ，1BC 〉|＝|AC ·1BC ||AC ||1BC |＝1642×25＝105. 答案：C5．(2010·海口模拟)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，二面角A －BD 1－B 1的大小为( )A ．60°B ．30°C ．120°D ．150°解析：建系如图．设A (1,0,0)，D 1(0,0,1)，B (1,1,0)，B 1(1,1,1)C (0,1,0) 则AC ＝(－1,1,0)为平面BB 1D 1的一个法向量．设n ＝(x ，y ，z )为平面ABD 1的一个法向量．则n ·1AD ＝0，n ·AB ＝0 又1AD ＝(－1,0,1)，AB ＝(0,1,0)∴⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋z ＝0y ＝0∴⎩⎪⎨⎪⎧z ＝x y ＝0 令x ＝1.∴则z ＝1 ∴cos 〈AC ，n 〉＝－12，∴〈AC ，n 〉＝120°，即二面角A －BD 1－B 1的大小为120°. 答案：C6.如图所示，A 1B 1C 1－ABC 是直三棱柱，∠BCA ＝90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值为( )A.3010 B.1010 C.510 D ．－3010解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设BC ＝CA ＝CC 1＝2，则A (2,0,0)，B (0,2,0)，C 1(0,0,2)，A 1(2,0,2)，B 1(0,2,2)．∵D 1、F 1为A 1B 1、A 1C 1的中点，∴D 1(1,1,2)，F 1(1,0,2)，∴1BD ＝(1，－1,2)，1AF ＝(－1,0,2)，∴1BD ·1AF ＝(1，－1,2)·(－1,0,2)＝3， |1BD |＝1＋1＋22＝6，|1AF |＝1＋22＝5，∴cos 〈1BD ，1AF 〉＝36×5＝33030＝3010. 答案：A 二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)7.如图，在45°的二面角α－l －β的棱上有两点A 、B ，点C 、D 分别在α、β内，且AC ⊥AB ，∠ABD ＝45°，AC ＝BD ＝AB ＝1，则CD 的长度为________．解析：由CD ＝CA ＋AB ＋BD ，cos 〈AC ，BD 〉＝cos45°cos45°＝12，∴|CD |2＝2CA ＋2CB ＋2BD ＋2(CA ·AB ＋AB ·BD ＋CA ·BD )＝3＋2(0＋1×1×cos135°＋1×1×cos120°)＝2－2，∴|CD |＝2－ 2.答案：2－ 28．若A ⎝⎛⎭⎫0，2，198，B ⎝⎛⎭⎫1，－1，58，C ⎝⎛⎭⎫－2，1，58是平面α内的三点，设平面α的法向量a ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝__________.解析：AB ＝⎝⎛⎭⎫1，－3，－74，AC ＝⎝⎛⎭⎫－2，－1，－74， 由a ·AB ＝0，a ·AC ＝0，得⎩⎨⎧ x －3y －74z ＝0，－2x －y －74z ＝0， 解得⎩⎨⎧ x ＝23y ，z ＝－43y ， 所以x ∶y ∶z ＝23y ∶y ∶⎝⎛⎭⎫－43y ＝2∶3∶(－4)． 答案：2∶3∶(－4)9.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M ，N 分别是C 1D 1，CC 1的中点，则直线B 1N 与平面BDM 所成角的正弦值为________．解析：以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，1DD 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，则B 1(2,2,2)，N (0,2,1)，1NB ＝(2,0,1)，又M (0,1,2)，D (0,0,0)，B (2,2,0)，则DB ＝(2,2,0)，DM ＝(0,1,2)，可得平面BDM 的一个法向量n ＝(2，－2,1)，因为cos 〈n ，1NB 〉＝n ·1NB |n ||1NB |＝53，故直线B 1N 与平面BDM 所成角的正弦值是53. 答案：53三、解答题(共3个小题，满分35分)10．(2010·新课标全国卷)如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高，E 为AD 中点．(1)证明：PE ⊥BC ；(2)若∠APB ＝∠ADB ＝60°，求直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值．解：以H 为原点，HA ，HB ，HP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，线段HA 的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则A (1,0,0)，B (0,1,0)．(1)证明：设C (m,0,0)，P (0,0，n )(m <0，n >0)，则D (0，m,0)，E (12，m 2，0)． 可得PE ＝(12，m 2，－n )，BC ＝(m ，－1,0)． 因为PE ·BC ＝m 2－m 2＋0＝0，所以PE ⊥BC .(2)由已知条件可得m ＝－33，n ＝1， 故C (－33，0,0)，D (0，－33，0)，E (12，－36，0)，P (0，0,1)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面PEH 的法向量，则⎩⎨⎧ n ·HE ＝0，n ·HP ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12x －36y ＝0，z ＝0. 因此可以取n ＝(1，3，0)．由PA ＝(1,0，－1)，可得|cos 〈PA ，n 〉|＝24， 所以直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值为24. 11．(2010·浙江高考)如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在线段AB ，AD 上，AE ＝EB ＝AF ＝23FD ＝4.沿直线EF 将△AEF 翻折成△A ′EF ，使平面A ′EF ⊥平面BEF .(1)求二面角A ′－FD －C 的余弦值；(2)点M ，N 分别在线段FD ，BC 上，若沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻折，使C 与A ′重合，求线段FM 的长．解：(1)取线段EF 的中点H ，连接A ′H ，因为A ′E ＝A ′F 及H 是EF 的中点，所以A ′H ⊥EF .又因为平面A ′EF ⊥平面BEF ，及A ′H ⊂平面A ′EF ，所以A ′H ⊥平面BEF .如图建立空间直角坐标系A －xyz ，则A ′(2,2,22)，C (10,8,0)，F (4,0,0)，D (10,0,0)．故FA ′＝(－2,2,22)，FD ＝(6,0,0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面A ′FD 的一个法向量，所以⎩⎨⎧ －2x ＋2y ＋22z ＝0，6x ＝0，取z ＝2，则n ＝(0，－2，2)．又平面BEF 的一个法向量m ＝(0,0,1)，故cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n |·|m |＝33. 所以二面角的余弦值为33. (2)设FM ＝x ，则M (4＋x,0,0)，因为翻折后，C 与A ′重合，所以CM ＝A ′M ，故(6－x )2＋82＋02＝(－2－x )2＋22＋(22)2，得x ＝214， 经检验，此时点N 在线段BC 上．所以FM ＝214.12．(2010·厦门模拟)如图，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE ∥CF 且BE <CF ，∠BCF ＝π2，AD ＝3，EF ＝2. (1)求证：AE ∥平面DCF ；(2)设AB BE ＝λ，当λ取何值时，二面角A －EF －C 的大小为π3？ 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥DC .又BE ∥CF ，AB ∩BE ＝B ，∴平面ABE ∥平面DCF .又AE ⊂平面ABE ，∴AE ∥平面DCF .(2)过点E 作GE ⊥CF 交CF 于点G ，由已知可得：EG ∥BC ∥AD ，且EG ＝BC ＝AD ，∴EG ＝AD ＝3，又EF ＝2，∴GF ＝1.∵四边形ABCD 是矩形，∴DC ⊥BC .∵∠BCF ＝π2，∴FC ⊥BC ，又平面ABCD ⊥平面BEFC ，平面ABCD ∩平面BEFC ＝BC .∴FC ⊥平面ABCD ，∴FC ⊥CD .∴分别以C 为原点，CB 、CD 、CF 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设BE ＝m ，由AB BE＝λ，得AB ＝λm . ∴A (3，λm,0)，E (3，0，m )，F (0,0，m ＋1)，∴AE ＝(0，－λm ，m )，EF ＝(－3，0,1)．设平面AEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由AE ·n ＝0，EF ·n ＝0，得⎩⎨⎧ －λmy ＋mz ＝0－3x ＋z ＝0，∴⎩⎨⎧－λy ＋z ＝0－3x ＋z ＝0， 令y ＝3，可得平面AEF 的一个法向量n ＝(λ，3，3λ)． 又CD ＝(0，λm,0)是平面CEF 的一个法向量，∴cos π3＝|CD ·n ||CD ||n |，即3λm 4λ2＋3·λm ＝12，解得λ＝32， ∴当λ＝32时，二面角A －EF －C 的大小为π3.。
第九章 第三节 课时限时检测
(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分) 1．(2010·江南十校)最小二乘法的原理是( ) A ．使得∑i ＝1n[y i －(a ＋bx i )]最小B ．使得∑i ＝1n[y i －(a ＋bx i )2]最小C ．使得∑i ＝1n[y 2i －(a ＋bx i )2]最小D ．使得∑i ＝1n[y i －(a ＋bx i )]2最小解析：根据回归方程表示到各点距离的平方和最小的直线方程，即总体偏差最小，亦即∑i ＝1n[y i －(a ＋bx i )]2最小．答案：D2．对于一组具有线性相关关系的数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归方程中的截距为( )A.a ^＝y ＋b ^xB.a ^＝y ＋b ^xC.a ^＝y －b ^xD.a ^＝y －b ^x解析：由回归直线方程恒过(x ，y )定点． 答案：D3．对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是( ) A ．都可以分析出两个变量的关系B ．都可以用一条直线近似地表示两者的关系C ．都可以作出散点图D ．都可以用确定的表达式表示两者的关系解析：给出一组样本数据，总可以作出相应的散点图，但不一定能分析出两个变量的关系，更不一定符合线性相关或有函数关系．答案：C4．有人发现，多看电视容易使人变冷漠，下表是一个调查机构对此现象的调查结果：则大约有多大的把握认为多看电视与人变冷漠有关系( ) A ．99%B ．97.5%C ．95%D ．90%解析：可计算K 2＝11.377＞6.635. 答案：A5．(2010·南通模拟)对两个变量y 和x 进行回归分析，得到一组样本数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，则下列说法中不．正确的是( ) A ．由样本数据得到的回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过样本中心(x ，y ) B ．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C ．用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2越小，说明模型的拟合效果越好D ．若变量y 和x 之间的相关系数为r ＝－0.9362，则变量y 和x 之间具有线性相关关系解析：C 中应为R 2越大拟合效果越好． 答案：C6．(2010·中山四校)甲、乙、丙、丁四位同学各自对A 、B 两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和m 如下表：则哪位同学的试验结果体现A 、B 两变量有更强的线性相关性( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙D ．丁解析：丁同学所得相关系数0.85最大，残差平方和m 最小，所以A 、B 两变量线性相关性更强．答案：D二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)7．据两个变量x ，y 之间的观测数据画成散点图如图，这两个变量是否具有线性相关关系(答“是”或“否”)________．答案：否8．某小卖部为了了解热茶销售量y (杯)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表：由表中数据算得线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^≈－2，预测当气温为－5℃时，热茶销售量为________杯．(已知回归系数b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y ∑i ＝1nx 2i －n x2，a ^＝y －b ^x )解析：根据表格中的数据可求得x ＝14(18＋13＋10－1)＝10，y ＝14(24＋34＋38＋64)＝40.∴a ^＝y －b ^x ＝40－(－2)×10＝60，∴y ^＝－2x ＋60，当x ＝－5时，y ^＝－2×(－5)＋60＝70.答案：709．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H 0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K 2≈3.918，经查临界值表知P (K 2≥3.841)≈0.05.则下列结论中，正确结论的序号是________．①有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”； ②若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒； ③这种血清预防感冒的有效率为95%； ④这种血清预防感冒的有效率为5%.解析：K 2≈3.918≥3.841，而P (K 2≥3.814)≈0.05，所以有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”．要注意我们检验的是假设是否成立和该血清预防感冒的有效率是没有关系的，不是同一个问题，不要混淆．答案：①三、解答题(共3个小题，满分35分)10．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；(2)求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝bx ＋a ，并在坐标系中画出回归直线；(3)试预测加工10个零件需要多少小时？(注：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y ∑i ＝1nx 2i －n x2，a ^＝y －b ^x )解：(1)散点图如图．(2)由表中数据得：∑i ＝14x i y i ＝52.5，x ＝3.5，y ＝3.5，∑i ＝14x 2i ＝54，∴b ＝0.7，∴a ＝1.05，∴y ^＝0.7x ＋1.05， 回归直线如图所示．(3)将x ＝10代入回归直线方程，得y ^＝0.7×10＋1.05＝8.05，∴预测加工10个零件需要8.05小时． 11．已知x 、y 之间的一组数据如下表：(1)从x 、y 中各取一个数，求x ＋y ≥10的概率；(2)针对表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为y ＝13x ＋1与y ＝12x ＋12，试利用“最小二乘法”判断哪条直线拟合程度更好．解：(1)从x 、y 中各取一个数组成数对(x ，y )，共有25对，其中满足x ＋y ≥10的有(6,4)，(6,5)，(7,3)，(7,4)，(7,5)，(8,2)，(8,3)，(8,4)，(8,5)，共9对，故所求概率为P ＝925，所以使x ＋y ≥10的概率为925. (2)用y ＝13x ＋1作为拟合直线时，y 的实际值与所得的y 值的差的平方和为s 1＝(1－43)2＋(2－2)2＋(3－3)2＋(4－103)2＋(5－113)2＝73. 用y ＝12x ＋12作为拟合直线时，y 的实际值与所得的y 值的差的平方和为s 2＝(1－1)2＋(2－2)2＋(3－72)2＋(4－4)2＋(5－92)2＝12.因为s 1＞s 2，故直线y ＝12x ＋12的拟合程度更好．12．(2010·辽宁高考)某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在[29.94,30.06)的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出了500件，量其内径尺寸，得结果如下表：甲厂：乙厂：(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；(2)由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”？附K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，解：(1)甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为360500＝72%；乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为320500＝64%.(2)K 2＝1 000×(360×180－320×140)2500×500×680×320≈7.35＞6.635，所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．。
第二章 第二节 课时限时检测
(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分) 1．函数y ＝(x ＋1)0|x |－x的定义域是( )A ．{x |x <0}B ．{x |x >0}C ．{x |x <0且x ≠－1}D ．{x |x ≠0且x ≠－1，x ∈R}解析：依题意有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0|x |－x >0，解得x <0且x ≠－1，故定义域是{x |x <0且x ≠－1}．答案：C2．下表表示y 是x 的函数，则函数的值域是( )A ．[2,5]B ．NC ．(0,20]D ．{2,3,4,5}解析：函数值只有四个数2、3、4、5，故值域为{2,3,4,5}． 答案：D3．下列图形中可以表示以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，以N ＝{y |0≤y ≤1}为值域的函数的图象是( )解析：由题意知，自变量的取值范围是[0,1]，函数值的取值范围也是[0,1]，故可排除A 、B ；再结合函数的性质，可知对于集合M 中的任意x ，N 中都有唯一的元素与之对应，故排除D.答案：C4．已知函数f (x )＝lg(4－x )的定义域为M ，g (x )＝0.5x －4的定义域为N ，则M ∩N ＝( )A ．MB ．NC ．{x |2≤x <4}D ．{x |－2≤x <4}解析：M ＝{x |4－x >0}＝{x |x <4}， N ＝{x |0.5x －4≥0}＝{x |x ≤－2}， 则M ∩N ＝N .答案：B 5．函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是( ) A ．(－∞，0)∪(12，2] B ．(－∞，2]C ．(－∞，12)∪[2，＋∞) D ．(0，＋∞)解析：∵x ∈(－∞，1)∪[2,5)，则x －1∈(－∞，0)∪[1,4)． ∴2x －1∈(－∞，0)∪(12，2]．答案：A6．(2010·南通模拟)若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是( )A ．[－5，－1]B ．[－2,0]C ．[－6，－2]D ．[1,3]解析：∵1≤f (x )≤3，∴1≤f (x ＋3)≤3， ∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2，∴－5≤F (x )≤－1. 答案：A二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分) 7．函数f (x )＝ln (2＋x －x 2)|x |－x的定义域为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋x －x 2>0，|x |－x ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <2，x <0，即－1<x <0. 答案：(－1,0)8．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________． 解析：y ＝x －x ＝－(x )2＋x ＝－(x －12)2＋14，∴y max ＝14.答案：149．（2011·南京模拟）若函数f (x )＝x －4mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________．解析：若m ＝0，则f (x )＝x －43的定义域为R ；若m ≠0，则Δ＝16m 2－12m <0，得0<m <34，综上可知，所求的实数m 的取值范围为[0，34)．答案：[0，34)三、解答题(共3小题，满分35分) 10．求下列关于x 的函数的定义域和值域： (1)y ＝1－x －x ； (2)y ＝log 2(－x 2＋2x )； (3)解：(1)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ≥0，∴0≤x ≤1，函数的定义域为[0,1]．∵函数y ＝1－x －x 为减函数， ∴函数的值域为[－1,1]．(2)要使函数有意义，则－x 2＋2x >0，∴0<x <2. ∴函数的定义域为(0,2)．又∵当x ∈(0,2)时，－x 2＋2x ∈(0,1]， ∴log 2(－x 2＋2x )∈(－∞，0]． 即函数的值域为(－∞，0]． (3)函数定义域为{0,1,2,3,4,5}， 函数值域为{2,3,4,5,6,7}．11．(2010·广东恩平模拟)运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米(50≤x ≤100)(单位：千米/小时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2＋x 2360)升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值． 解：(1)行车所用时间为t ＝130x (h)，y ＝130x ×2×(2＋x 2360)＋14×130x ，x ∈[50,100]．所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝2340x ＋1318x ，x ∈[50,100]． (2)y ＝2340x ＋1318x ≥2610，当且仅当2340x ＝1318x ，即x ＝1810时，上述不等式中等号成立．当x ＝1810时，这次行车的总费用最低，最低费用为2610元． 12．已知函数f (x )＝x 2＋4ax ＋2a ＋6.(1)若函数f (x )的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数f (x )的函数值均为非负数，求g (a )＝2－a |a ＋3|的值域． 解：(1)∵函数的值域为[0，＋∞)， ∴Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝0 ⇒2a 2－a －3＝0⇒a ＝－1或a ＝32.(2)∵对一切x ∈R 函数值均为非负， ∴Δ＝8(2a 2－a －3)≤0⇒－1≤a ≤32，∴a ＋3>0，∴g (a )＝2－a |a ＋3|＝－a 2－3a ＋2 ＝－⎝⎛⎭⎫a ＋322＋174⎝⎛⎭⎫a ∈[－1，32]. ∵二次函数g (a )在[－1，32]上单调递减，∴g ⎝⎛⎭⎫32≤g (a )≤g (－1)，即－194≤g (a )≤4， ∴g (a )的值域为[－194，4]．。
第七章 第三节 课时限时检测
(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．已知a、b是异面直线，直线c∥直线a，则c与b()A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线解析：c与b不可能是平行直线，否则与条件矛盾．答案：C2．下列说法正确的是()A．如果两个不重合的平面α、β有一条公共直线a，就说平面α、β相交，并记作α∩β＝aB．两个平面α、β有一个公共点A，就说α、β相交于过A点的任意一条直线C．两个平面α、β有一个公共点A，就说α、β相交于A点，并记作α∩β＝AD．两个平面ABC与DBC相交于线段BC解析：根据平面的性质公理3可知，A对；对于B，其错误在于“任意”二字上；对于C，错误在于α∩β＝A上；对于D，应为平面ABC和平面DBC相交于直线BC.答案：A3．如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l＝M，过A、B、C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过()A．点A B．点BC．点C但不过点M D．点C和点M解析：通过A、B、C三点的平面γ，即是通过直线AB与点C的平面，M∈AB.∴M∈γ，而C∈γ，又∵M∈β，C∈β.∴γ和β的交线必通过点C和点M.答案：D4．正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A.15B.25C.35D.45解析：连结D1C、AC，易证A1B∥D1C，∴∠AD1C即为异面直线A1B与AD1所成的角．设AB＝1，则AA1＝2，AD1＝D1C＝5，AC＝2，∴cos∠AD1C＝5＋5－22×5×5＝4 5，∴异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为45. 答案：D5．(2010·中山模拟)设四棱锥P －ABCD 的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥(如图)，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α( )A ．不存在B ．只有1个C ．恰有4个D ．有无数多个解析：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m 、n ，直线m 、n 确定了一个平面β.作与β平行的平面α，与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四边形必为平行四边形．而这样的平面α有无数多个．答案：D6．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、B 1C 1的中点．那么，正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是( )A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形解析：边长是正方体棱长的22倍的正六边形． 答案：D二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)7．如图所示，在三棱锥C －ABD 中，E 、F 分别是AC 和BD 的中点，若CD ＝2AB ＝4，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角是________．解析：取CB 的中点G ，连结EG 、FG ，∴EG ∥AB ，FG ∥CD ，∴EF 与CD 所成的角为∠EFG .又∵EF ⊥AB ，∴EF ⊥EG .在Rt△EFG中，EG＝12AB＝1，FG＝12CD＝2，∴sin∠EFG＝12，∴∠EFG＝30°，∴EF与CD所成的角为30°.答案：30°8．(2011·浙江杭州)已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．则在上面的结论中，正确结论的编号是________(写出所有正确结论的编号)．解析：①、②、④对应的情况如下：用反证法证明③不可能．答案：①②④9．(2010·淄博模拟)给出下面四个命题：①“直线a∥直线b”的充要条件是“a平行于b所在的平面”；②“直线l⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l⊥平面α”；③“直线a、b为异面直线”的充分而不必要条件是“直线a、b不相交”；④“平面α∥平面β”的必要而不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等”．其中真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)解析：对于①，a可能在b所在的平面内，则由a∥b¿a平行于b所在的平面，同样由a平行于b所在的平面¿a∥b，①错；易知②正确；对于③，直线a，b不相交，则a，b除了异面外还可能平行，③错；易知④正确．答案：②④三、解答题(共3个小题，满分35分)10．如图，已知平面α，β，且α∩β＝l.设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共点(相交于一点)．证明：∵梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∴AB ，CD 是梯形ABCD 的两腰∴AB ，CD 必定相交于一点．设AB ∩CD ＝M .又∵AB ⊂α，CD ⊂β，∴M ∈α，且M ∈β，∴M ∈α∩β.又∵α∩β＝l ，∴M ∈l ，即AB ，CD ，l 共点．11．如图所示，在空间四边形ABCD 中，已知AD ＝1，BC ＝3，且AD ⊥BC ，对角线BD ＝132AC ＝32，求AC 和BD 所成的角的大小． 解：如图所示，分别取AD ，CD ，AB ，DB 的中点E ，F ，G ，H ，连结EF ，FH ，HG ，GE ，GF ，则由三角形中位线定理知EF ∥AC且EF ＝12AC ＝34， GE ∥BD 且GE ＝12BD ＝134， GH ∥AD ，GH ＝12AD ＝12， HF ∥BC ，HF ＝12BC ＝32， 从而可知GE 与EF 所成的锐角(或直角)即为AC 和BD 所成的角，GH 和HF 所成的锐角(或直角)即为AD 与BC 所成的角．∵AD ⊥BC ，∴∠GHF ＝90°∴GF 2＝GH 2＋HF 2＝1.在△EFG 中，EG 2＋EF 2＝1＝GF 2，∴∠GEF ＝90°，即AC 与BD 所成的角为90°.12．(2010·湖南高考)如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 是棱CC 1的中点．(1)求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值；(2)证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M .解：(1)因为C1D1∥B1A1，所以∠MA1B1为异面直线A1M与C1D1所成的角．因为A1B1⊥平面BCC1B1，所以∠A1B1M＝90°.而A1B1＝1，B1M＝B1C21＋MC21＝2，故tan∠MA1B1＝B1MA1B1＝ 2.即异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值为 2.(2)证明：由A1B1⊥平面BCC1B1，BM⊂平面BCC1B1，得A1B1⊥BM.①由(1)知，B1M＝2，又BM＝BC2＋CM2＝2，B1B＝2，所以B1M2＋BM2＝B1B2，从而BM⊥B1M.②又A1B1∩B1M＝B1，再由①②得BM⊥平面A1B1M，而BM⊂平面ABM，因此平面ABM ⊥平面A1B1M.。
第二章 第十三节 课时限时检测
(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．已知f (x )为偶函数且∫60f (x )d x ＝8，则∫6－6 f (x )d x 等于( )A ．0B ．4C ．8D ．16解析：∵f (x )为偶函数，∴∫0－6 f (x )d x ＝∫60 f (x )d x ，∴∫6－6 f (x )d x ＝2∫60 f (x )d x ＝2×8＝16.答案：D2．若a ＝∫20x 2d x ，b ＝∫20x 3d x ，c ＝∫20sin x d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b解析：a ＝13x 3 |20＝83，b ＝14x 4 |20＝4， c ＝－cos x |20＝1－cos2，∴c <a <b .答案：D3．如图，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是( )A ．1B.43C. 3 D ．2解析：函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1的两个交点为(0,1)和(2,1)，所以闭合图形的面积等于∫20(－x 2＋2x ＋1－1)d x ＝∫20(－x 2＋2x )d x ＝43. 答案：B4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2，－2≤x ＜0，2cos x ，0≤x ≤π2的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( ) A.32B ．1C ．4 D.12解析：作出该分段函数的图象可知S ＝∫0－2(x ＋2)d x ＋π20⎰2cos x d x ＝(12x 2＋2x ) |0－2＋2sin x 20π＝2＋2＝4.答案：C5．函数F (x )＝∫x 0t (t －4)d t 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0，最小值－323C ．有最小值－323，无最大值 D ．既无最大值也无最小值解析：F (x )＝∫x 0t (t －4)d t ＝∫x 0(t 2－4t )d t＝(13t 3－2t 2) |x 0＝13x 3－2x 2， 函数F (x )的极值点为x ＝0，x ＝4，F (－1)＝－73，F (0)＝0，F (4)＝－323，F (5)＝－253， 故F (x )有最大值0，最小值－323. 答案：B6．已知函数y ＝x 2与y ＝kx (k >0)的图象所围成的阴影部分的面积为92，则k 等于( ) A ．2B ．1C ．3D ．4解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2y ＝kx 消去y 得x 2－kx ＝0， 所以x ＝0或x ＝k ，则阴影部分的面积为∫k 0(kx －x 2)d x ＝(12kx 2－13x 3) |k 0＝92. 即12k 3－13k 3＝92，解得k ＝3. 答案：C二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7．已知t >1，若∫t 1(2x ＋1)d x ＝t 2，则t ＝________.解析：∫t 1(2x ＋1)d x ＝(x 2＋x ) |t 1＝t 2＋t －2，从而得方程t 2＋t －2＝t 2，解得t ＝2.答案：28．一物体以v (t )＝t 2－3t ＋8(m/s)的速度运动，在前30 s 内的平均速度为________． 解析：由定积分的物理意义有：s ＝∫300(t 2－3t ＋8)d t ＝(13t 3－32t 2＋8t )|300 ＝7890(m)．∴v ＝s t ＝789030＝263(m/s)． 答案：263 m/s9．设n ＝∫21(3x 2－2)d x ，则(x －2x)n 展开式中含x 2项的系数是________． 解析：∵(x 3－2x )′＝3x 2－2，∴n ＝∫21(3x 2－2)d x ＝(x 3－2x ) |21＝(23－2×2)－(1－2)＝5.∴(x －2x)5的通项公式为 T r ＋1＝C r 5x 5－r (－2x )r ＝(－2)r C r 5x 352r ，5－3r 2＝2，得r ＝2， ∴x 2项的系数是(－2)2C 25＝40.答案：40三、解答题(共3小题，满分35分)10．求下列定积分．(1)∫21(x －x 2＋1x)d x ；(2)∫0－π(cos x ＋e x )d x . 解：(1)∫21(x －x 2＋1x )d x ＝∫21x d x －∫21x 2d x ＋∫211xd x ＝x 22 |21－x 33 |21＋ln x |21＝32－73＋ln2＝ln2－56. (2)∫0－π(cos x ＋e x )d x ＝∫0－πcos x d x ＋∫0－πe x d x＝sin x |0－π＋e x |0－π＝1－1eπ. 11．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的图象如图：直线y ＝0在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为274，求f (x )． 解：由f (0)＝0得c ＝0，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由f ′(0)＝0得b ＝0，∴f (x )＝x 3＋ax 2＝x 2(x ＋a )，由∫－a 0[－f (x )]d x ＝274得a ＝－3. ∴f (x )＝x 3－3x 2.12．已知f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，∫10f (x )d x ＝－2.(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值． 解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .由f (－1)＝2，f ′(0)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋c ＝2b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2－a b ＝0. ∴f (x )＝ax 2＋(2－a )．又∫10f (x )d x ＝∫10[ax 2＋(2－a )]d x＝[13ax 3＋(2－a )x ]|10＝2－23a ＝－2， ∴a ＝6，∴c ＝－4.从而f (x )＝6x 2－4.(2)∵f (x )＝6x 2－4，x ∈[－1,1]，所以当x ＝0时，f (x )min ＝－4；当x ＝±1时，f (x )max ＝2.。
第九章 第二节 课时限时检测
(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分) 1．已知下表是某班学生的一次数学考试成绩的分布表A ．0.38,1B ．0.18,1C ．0.47,0.18D ．0.18,0.47解析：分数在区间[100,110)内的学生共有8人，该班的总人数为7＋6＋8＋12＋6＋6＝45，则分数在区间[100,110)内的频率为845≈0.18，分数不满110分的共有7＋6＋8＝21人，则分数不满110分的频率是2145≈0.47.答案：D2.如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为10，则抽取的学生人数为( )A ．20B ．30C ．40D ．50解析：前3组的频率之和等于1－(0.0125＋0.0375)×5＝0.75，第2小组的频率是0.75×21＋2＋3＝0.25，设样本容量为n ，则10n ＝0.25，即 n ＝40.答案：C3．某射手在一次训练中五次射击的成绩分别为9.4、9.4、9.4、9.6、9.7，则该射手五次射击的成绩的方差是( )A ．0.127B ．0.016C ．0.08D ．0.216解析：x ＝15×(9.4＋9.4＋9.4＋9.6＋9.7)＝9.5，∴s 2＝15×[(9.4－9.5)2＋(9.4－9.5)2＋(9.4－9.5)2＋(9.6－9.5)2＋(9.7－9.5)2]＝0.016.答案：B4．(2010·龙岩质检)一位同学种了甲、乙两种树苗各1株，分别观察了9次、10次后，得到树苗高度的数据的茎叶图如图(单位：厘米)，则甲、乙两种树苗高度的数据的中位数之和是( )A．44 B．54C．50 D．52解析：根据茎叶图可得，观察甲树苗9次得到的树苗高度分别为：19,20,21,23,24,31,32,33,37；观察乙树苗10次得到的树苗高度分别为：10,10,14,24,26,30,44,46,46,47，则甲树苗高度的中位数为24，乙树苗高度的中位数26＋302＝28，因此24＋28＝52.答案：D5．某地居民的月收入调查所得数据的频率分布直方图如图，居民的月收入的中位数大约是()A．2100 B．2400C．2500 D．2600解析：从频率分布直方图，可以知道要使得两边的面积相等，平分面积的直线应该在2000～2500之间，设该直线的方程为x＝a，则500×(0.0002＋0.0004)＋0.0005×(a－2000)＝0.0005×(2500－a)＋500×(0.0005＋0.0003＋0.0001)，解得a＝2400，即居民的月收入的中位数大约是2400.答案：B6.(2010·东北三校联考)甲、乙两位同学在高三的5次月考中数学成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是x甲，x乙，则下列叙述正确的是()2 9 1 0A ．x 甲>x 乙；乙比甲成绩稳定B ．x 甲>x 乙；甲比乙成绩稳定C ．x 甲<x 乙；乙比甲成绩稳定D ．x 甲<x 乙；甲比乙成绩稳定解析：由题意可知，x 甲＝15×(72＋77＋78＋86＋92)＝81，x乙＝15×(78＋88＋88＋91＋90)＝87.又由方差公式可得s 2甲＝15×[(81－72)2＋(81－77)2＋(81－78)2＋(81－86)2＋(81－92)2]＝50.4，s 2乙＝15×[(87－78)2＋(87－88)2×2＋(87－91)2＋(87－90)2]＝21.6，因为s 2乙<s 2甲，故乙的成绩波动较小，乙的成绩比甲稳定．答案：C二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)7．(2010·江苏高考)某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽测了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)．所得数据均在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100根中，有________根棉花纤维的长度小于20 mm.解析：由题意知，棉花纤维的长度小于20 mm 的频率为(0.01＋0.01＋0.04)×5＝0.3，故抽测的100根中，棉花纤维的长度小于20 mm 的有0.3×100＝30(根)．答案：308．(2010·辽宁高考)某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1∶2∶1，用分层抽样方法(每个分厂的产品为一层)从3个分厂生产的电子产品中共抽取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980 h,1020 h,1032 h ，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为________h.解析：依题意可知平均数x＝980×1＋1020×2＋1032×11＋2＋1＝1013.答案：10139．(2010·潍坊五校联考)一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图(如图)，为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在(1500,2000)(元)月收入段应抽出的人数为________．解析：∵(1500,2000)(元)月收入段的频率是0.0004×500＝0.2，∴从该月收入段中应抽取100×0.2＝20人．答案：20三、解答题(共3个小题，满分35分)10．(2010·东北三校第一次联考)某学校为了了解学生的日平均睡眠时间(单位：h)，随机选择了n名同学进行调查．下表是这n名同学的日睡眠时间的频率分布表.(1)求n(2)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间[4,5)的中点值是4.5)作为代表．若据此计算的上述数据的平均值为6.52，求a，b的值，并由此估计该学校学生的日平均睡眠时间在7小时以上的概率．解：(1)由频率分布表可知n＝60.12＝50.补全数据如下表：(2)由题意⎩⎪⎨⎪⎧150(6×4.5＋10×5.5＋a ×6.5＋b ×7.5＋4×8.5)＝6.52，6＋10＋a ＋b ＋4＝50， 解得a ＝15，b ＝15.设“该学校学生的日平均睡眠时间在7小时以上”为事件A ，则P (A )＝P (x ≥7)＝15＋450＝0.38.答：该学校学生的日平均睡眠时间在7小时以上的概率约为0.38.11．甲、乙两台机床同时加工直径为100 mm 的零件，为了检验产品的质量，从产品中各随机抽取6件进行测量，测得数据如下(单位 mm)：甲：99,100,98,100,100,103 乙：99,100,102,99,100,100(1)分别计算上述两组数据的平均数和方差；(2)根据(1)的计算结果，说明哪一台机床加工的这种零件更符合要求． 解：(1)x 甲＝99＋100＋98＋100＋100＋1036＝100 mm ，x 乙＝99＋100＋102＋99＋100＋1006＝100 mm ，s 2甲＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73mm 2. s 2乙＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1 mm 2.(2)因为s 2甲＞s 2乙，说明甲机床加工零件波动比较大，因此乙机床加工零件更符合要求．12．(2010·济南诊断)从某校高三年级800名男生中随机抽取50名学生测量其身高，据测量被测学生的身高全部在155 cm到195 cm之间．将测量结果按如下方式分成8组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，……，第八组[190,195)，如下图是按上述分组得到的频率分布直方图的一部分．已知第一组与第八组的人数相同，第六组、第七组和第八组的人数依次成等差数列．频率分布直方图：(1)求下列频率分布表中所标字母的值，并补充完成频率分布直方图；频率分布表：(2)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取2名男生，记他们的身高分别为x，y，求满足：|x－y|≤5的事件的概率．解：(1)由频率分布直方图可得前5组的频率是(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.82，第8组的频率是0.04，所以第6、7组的频率是1－0.86＝0.14，所以样本中第6、7组的总人数为7人．由已知得：x＋m＝7.①∵x，m,2成等差数列，∴x＝2m－2，②由①②得：m＝3，x＝4，所以y＝0.08，n＝0.06，z＝0.016，p＝0.012.频率分布直方图如图所示．(2)由(1)知，身高在[180,185)内的有4人，设为a，b，c，d，身高在[190,195]内的有2人，设为A，B.若x，y∈[180,185)，则有ab，ac，ad，bc，bd，cd共6种情况；若x，y∈[190,195]，则有AB共1种情况；若x∈[190,195]，y∈[180,185)或x∈[180,185)，y∈[190,195]，则有aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB共8种情况．所以基本事件总数为6＋1＋8＝15种．又事件“|x－y|≤5”所包含的基本事件总数为6＋1＝7种，所以，P(|x－y|≤5)＝715.。
第四章 第一节 课时限时检测
(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．如图，e1，e 2为互相垂直的单位向量，则向量a －b 可表示为( ) A ．3e 2－e 1 B ．－2e 1－4e 2 C ．e 1－3e 2 D ．3e 1－e 2解析：连接a ，b 的终点，并指向a 的向量是a －b . 答案：C2．若O 、E 、F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )A ．EF ＝OF ＋OEB ．EF ＝OF－OEC ．EF ＝－OF ＋OED ．EF＝－OF －OE解析：由减法的三角形法则知EF ＝OF－OE .答案：B3．△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，AN ＝λAB＋μAC ，则λ＋μ的值为( )A.12B.13C.14D ．1解析：AM ＝2AN ＝2(λAB ＋μAC )＝2λAB＋2μAC .∵M 、B 、C 共线，∴2λ＋2μ＝1，λ＋μ＝12.答案：A4．(2010·广东中山六校联考)在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD ＝2DB ，CD ＝13CA＋λCB 则λ等于( ) A.23B.13 C ．－13D ．－23解析：∵CD ＝CA ＋AD ，CD ＝CB ＋BD，∴2CD ＝CA ＋CB ＋AD ＋CB .又AD ＝2DB ，∴2CD ＝CA ＋CB ＋13AB＝CA ＋CB ＋13(CB －CA )＝23CA ＋43CB .∴CD ＝13CA ＋23CB ，即λ＝23.答案：A5．已知平面上不共线的四点O 、A 、B 、C .若OA －4OB ＋3OC ＝0，则|AB||BC |＝( ) A.13B.12 C ．2D ．3解析：∵OA －4OB ＋3OC ＝0，∴(OA －OB )－3OB ＋3OC ＝0，即OA －OB＝3(OB －OC )，∴BA ＝3CB ，∴|AB||BC |＝3. 答案：D6．已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P 满足PA ＋PB ＋PC ＝AB，则点P 与△ABC 的关系为( )A ．P 在△ABC 内部B ．P 在△ABC 外部 C ．P 在AB 边所在直线上D ．P 是AC 边的一个三等分点解析：∵PA ＋PB ＋PC ＝AB，∴PA ＋PB ＋PC ＝PB －PA ，∴PC ＝－2PA ＝2AP，∴P 是AC 边的一个三等分点． 答案：D二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)7．(2009·安徽高考)在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC＝λAE ＋μAF，其中，λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.解析：如图，∵四边形ABCD 为平行四边形，且E 、F 分别为CD 、BC 中点．∴AC ＝AD ＋AB＝(AE －DE )＋(AF －BF )＝(AE ＋AF )－12(DF ＋BC)＝(AE ＋AF )－12AC，∴AC ＝23(AE ＋AF )，∴λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.答案：438．设向量e 1，e 2不共线，AB＝3(e 1＋e 2)，CB ＝e 2－e 1，CD ＝2e 1＋e 2，给出下列结论：①A 、B 、C 共线；②A 、B 、D 共线；③B 、C 、D 共线；④A 、C 、D 共线，其中所有正确结论的序号为________．解析：AC ＝AB －CB ＝4e 1＋2e 2，BD ＝CD－CB ＝3e 1，由向量共线的充要条件b ＝λa (a ≠0)可得A 、C 、D 共线，而其他λ无解．答案：④9．(2010·南通模拟)已知两个不共线的向量OA ，OB 的夹角为θ，且|OA|＝3.若点M在直线OB 上，且|OA ＋OM |的最小值为32，则θ的值为________．解析：如图，作向量AN ＝OM，则OA ＋OM ＝ON ，其中点N 在直线AC 上变化，显然当ON ⊥AC 时，即点N 到达H 时，|ON|有最小值，且∠OAH ＝θ，从而sin θ＝323＝12，故θ＝π6或θ＝5π6(根据对称性可知钝角也可以)．答案：π6或56π三、解答题(共3个小题，满分35分)10．设e 1，e 2是两个不共线向量，已知AB＝2e 1＋ke 2，CB ＝e 1＋3e 2，CD ＝2e 1－e 2，若A 、B 、D 三点共线，求实数k 的值．解：∵CB ＝e 1＋3e 2，CD＝2e 1－e 2， ∴CB ＝CD －CB＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2.∵A 、B 、D 三点共线，∴AB ∥CD ，∴AB ＝λBD.∴2e 1＋ke 2＝λ(e 1－4e 2)， ∴2e 1＋ke 2＝λe 1－4λe 2. 又e 1，e 2是两个不共线向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，k ＝－4λ，∴k ＝－8.11．如图，已知在▱ABCD 中，AH ＝HD ，BF ＝MC ＝14BC ，设AB ＝a ，AD ＝b ，试用a ，b 分别表示AM 、MH 、AF .解：AM ＝AD ＋DC ＋CM ＝b ＋a ＋14BC＝a ＋b －14b ＝a ＋34b ，MH ＝MC ＋CD ＋DH ＝14BC ＋BA ＋12DA＝14b －a ＋12(－b )＝－14b －a ， AF ＝AB ＋BF ＝AB ＋14BC ＝a ＋14b .12．(2011·济南模拟)已知△ABC 中，AB＝a ，AC ＝b ，对于平面ABC 上任意一点O ，动点P 满足OP ＝OA＋λa ＋λb ，则动点P 的轨迹是什么？其轨迹是否过定点，并说明理由．解：依题意，由OP ＝OA＋λa ＋λb ， 得OP －OA＝λ(a ＋b )，即AP ＝λ(AB ＋AC)．如图，以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABDC ，对角线交于O ，则AP ＝λAD ，∴A 、P 、D 三点共线，即P 点的轨迹是AD 所在的直线，由图可知P 点轨迹必过△ABC 边BC 的中点．。
第二章 第五节 课时限时检测
(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．函数y ＝5x 与函数y ＝－15x 的图象关于( ) A ．x 轴对称 B ．y 轴对称C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称解析：因y ＝－15x ＝－5－x ，所以关于原点对称． 答案：C2．把函数y ＝f (x )＝(x －2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数的解析式是( )A ．y ＝(x －3)2＋3B ．y ＝(x －3)2＋1C ．y ＝(x －1)2＋3D ．y ＝(x －1)2＋1解析：把函数y ＝f (x )的图象向左平移1个单位，即把其中x 换成x ＋1，于是得y ＝[(x ＋1)－2]2＋2＝(x －1)2＋2，再向上平移1个单位，即得到y ＝(x －1)2＋2＋1＝(x －1)2＋3.答案：C3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－1，0]x 2＋1，x ∈(0，1]，则如图中函数的图象错误的是( )解析：因f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－1，0]，x 2＋1，x ∈(0，1]，其图象如图，验证知f (x －1)，f (－x )，f (|x |)的图象均正确，只有|f (x )|的图象错误．答案：D4．函数y ＝ln 1|2x －3|的图象为( )解析：易知2x －3≠0，即x ≠32，排除C ，D 项．当x >32时，函数为减函数，当x <32时，函数为增函数．答案：A5．若方程f (x )－2＝0在(－∞，0)内有解，则y ＝f (x )的图象是( )解析：由图可知，只有D 中y ＝f (x )图象与y ＝2图象在x <0时有交点．答案：D6．函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,16]，当a 变动时，函数b ＝g (a )的图象可以是( )解析：由图象知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，－4≤a ≤0， 故b ＝g (a )，即为b ＝4(－4≤a ≤0)．答案：B二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7．为了得到函数f (x )＝log 2x 的图象，只需将函数g (x )＝log 2x 8的图象__________________．解析：g (x )＝log 2x 8＝log 2x －3＝f (x )－3，因此只需将函数g (x )的图象向上平移3个单位即可得到函数f (x )＝log 2x 的图象．答案：向上平移3个单位8．如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f (1f (3))的值等于________． 解析：由图象知f (3)＝1，∴1f (3)＝1，∴f (1f (3))＝f (1)＝2. 答案：29．已知定义在[0，＋∞)上的函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象如图所示，则不等式f (x )·g (x )>0的解集是____________．解析：由题图可知，当0<x <12时，f (x )>0，g (x )>0； 当12<x <1时，f (x )>0，g (x )<0； 当1<x <2时，f (x )<0，g (x )<0，当x >2时，f (x )>0，g (x )>0，因此f (x )·g (x )>0的解集是{x |0<x <12，或1<x <2或x >2}． 答案：{x |0<x <12，或1<x <2或x >2} 三、解答题(共3小题，满分35分)10．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，将函数y ＝f (x )的图象向左平移一个单位，再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象．求函数y ＝g (x )的解析式．解：由已知，将函数f (x )＝log 2(x ＋1)的图象向左平移一个单位，得到y ＝log 2(x ＋1＋1)的图象，再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数y ＝g (x )＝2log 2(x ＋2)的图象．故g (x )＝2log 2(x ＋2)．11．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a ＞0且a ≠1)的图象有两个公共点，求a 的取值范围．解：当0＜a ＜1时，y ＝|a x －1|的图象如图(1)所示，由已知得0＜2a ＜1，∴0＜a ＜12. 当a ＞1时，y ＝|a x －1|的图象如图(2)所示，由已知可得0＜2a ＜1，∴0＜a ＜12，但a ＞1，故a ∈∅. 综上可知，0＜a ＜12.12．为了预防甲型H1N1流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y ＝⎝⎛⎭⎫116t －a (a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，(1)求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式；(2)据测定：当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过几小时后，学生才能回到教室？解：(1)图中直线的斜率为10.1＝10，方程为y ＝10t ，点(0.1,1)在曲线y ＝(116)t －a 上，所以1＝(116)0.1－a ， 所以a ＝0.1，因此，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 10t ，0≤t ≤0.1(116)t －0.1，t ＞0.1. (2)因为药物释放过程中室内药量一直在增加，即使药量小于0.25毫克，学生也不能进入教室，所以，只能当药物释放完毕后，室内药量减少到0.25毫克以下时学生方可进入教室，即(116)t －0.1≤0.25，解得t ≥0.6. 即学生至少要过0.6小时后，才能回到教室．。
第四章 第四节 课时限时检测
(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．下面四个命题：(1)0比－i 大；(2)两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数时成立；(3)x ＋y i ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1；(4)如果让实数a 与a i 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应．其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：(1)中实数与虚数不能比较大小；(2)两个复数互为共轭复数时其和为实数，但两个复数的和为实数时这两个复数不一定是共轭复数；(3)x ＋y i ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1是错误的，因为没有标明x ，y 是否是实数；(4)当a ＝0时，没有纯虚数和它对应．答案：A2．设复数ω＝－12＋32i ，则化简复数1ω2的结果是( ) A ．－12－32i B ．－12＋32i C.12＋32i D.12－32i 解析：∵ω2＝⎝⎛⎭⎫－12＋32i 2＝14－34－32i ＝－12－32i ， ∴1ω2＝1－12－32i ＝－12＋32i. 答案：B3．在复平面内，向量AB 对应的复数是2＋i ，向量CB 对应的复数是－1－3i ，则向量CA 对应的复数为( )A ．1－2iB ．－1＋2iC ．3＋4iD ．－3－4i解析：向量AB 对应的复数是2＋i ，则BA 对应的复数为－2－i ，∵CA ＝CB ＋BA ，∴CA 对应的复数为(－1－3i)＋(－2－i)＝－3－4i.答案：D4．已知复数a ＝3＋2i ，b ＝4＋x i(其中i 为虚数单位)，若复数a b∈R ，则实数x 的值为( ) A ．－6B ．6 C.83 D ．－83解析：由于a b ＝3＋2i 4＋x i ＝(3＋2i )(4－x i )(4＋x i )(4－x i )＝12＋2x ＋(8－3x )i 16＋x 2∈R ， 则8－3x ＝0，∴x ＝83. 答案：C5．若复数z ＝cos θ＋isin θ且z 2＋z －2＝1，则sin 2θ＝( )A.12B.14C.34 D ．－14解析：z 2＋z －2＝(cos θ＋isin θ)2＋(cos θ－isin θ)2＝2cos2θ＝1⇒cos2θ＝12，所以sin 2θ＝1－cos2θ2＝14. 答案：B6．若M ＝{x |x ＝i n ，n ∈Z}，N ＝{x |1x ＞－1}(其中i 为虚数单位)，则M ∩(∁R N )＝( )A ．{－1,1}B ．{－1}C ．{－1,0}D ．{1}解析：依题意M ＝{1，－1，i ，－i}，N ＝{x |x ＞0或x ＜－1}，所以∁R N ＝{x |－1≤x ≤0}，故M ∩(∁R N )＝{－1}．答案：B二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)7．在复平面内，复数1＋i 与－1＋3i 分别对应向量OA 和OB ，其中O 为坐标原点，则|AB |＝________.解析：由题意知A (1,1)，B (－1,3)，故|AB |＝(－1－1)2＋(3－1)2＝2 2.答案：2 28．已知复数z 1＝3－i ，z 2是复数－1＋2i 的共轭复数，则复数i z 1－z 24的虚部等于________． 解析：i z 1－z 24＝i 3－i －－1－2i 4＝3i －110－－1－2i 4＝3＋16i 20，其虚部为45. 答案：459．已知a ∈R ，则复数z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第________象限，复数z 对应点的轨迹是________．解析：由a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3，－(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1，得z 的实部为正数，z 的虚部为负数．∴复数z 的对应点在第四象限．设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－(a 2－2a ＋2). 消去a 2－2a 得y ＝－x ＋2(x ≥3)，∴复数z 对应点的轨迹是一条射线，其方程为y ＝－x ＋2(x ≥3)．答案：四 一条射线三、解答题(共3个小题，满分35分)10．实数m 分别取什么数值时？复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i(1)与复数2－12i 相等；(2)与复数12＋16i 互为共轭；(3)对应的点在x 轴上方．解：(1)根据复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝2，m 2－2m －15＝－12.解之得m ＝－1. (2)根据共轭复数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋5m ＋6＝12，m 2－2m －15＝－16.解之得m ＝1. (3)根据复数z 对应点在x 轴上方可得m 2－2m －15＞0，解之得m ＜－3或m ＞5.11．若复数z 1与z 2在复平面上所对应的点关于y 轴对称，且z 1(3－i)＝z 2(1＋3i)，|z 1|＝2，求z 1.解：设z 1＝a ＋b i ，则z 2＝－a ＋b i ，∵z 1(3－i)＝z 2(1＋3i)，且|z 1|＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ (a ＋b i )(3－i )＝(－a ＋b i )(1＋3i )，a 2＋b 2＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1， 则z 1＝1－i 或z 1＝－1＋i.12．已知集合M ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i,8}，集合N ＝{3i ，(a 2－1)＋(b ＋2)i}同时满足M ∩N M ，M ∩N ≠∅，求整数a 、b .解：依题意得(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝3i ，①或8＝(a 2－1)＋(b ＋2)i ，②或(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝(a 2－1)＋(b ＋2)i.③由①得a ＝－3，b ＝±2，经检验，a ＝－3，b ＝－2不合题意，舍去．∴a ＝－3，b ＝2.由②得a ＝±3，b ＝－2.又a ＝－3，b ＝－2不合题意．∴a ＝3，b ＝－2.③中，a ，b 无整数解不符合题意．综合①、②得a ＝－3，b ＝2或a ＝3，b ＝－2.。
第一章 第三节 课时限时检测
(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．命题p：2n－1是奇数，q：2n＋1是偶数(n∈Z)，则下列说法中正确的是() A．p或q为真B．p且q为真C．非p为真D．非q为假解析：由题设知：p真q假，故p或q为真命题．答案：A2．已知命题p：∀x∈R，x>sin x，则p的否定形式为()A．綈p：∃x∈R，x<sin x B．綈p：∀x∈R，x≤sin xC．綈p：∃x∈R，x≤sin x D．綈p：∀x∈R，x<sin x解析：命题中“∀”与“∃”相对，则綈p：∃x∈R，x≤sin x.答案：C3．已知命题：p∧q为真，则下列命题是真命题的是()A．(綈p)∧(綈q) B．(綈p)∨(綈q)C．p∨(綈q) D．(綈p)∧q解析：∵p∧q为真，∴p与q都为真，∴綈p，綈q均为假，故p∨(綈q)为真命题．答案：C4．（2011·汕头模拟）下列说法中，正确的是()A．命题“若am2<bm2，则a<b”的逆命题是真命题B．命题“∃x∈R，x2－x>0”的否定是“∀x∈R，x2－x≤0”C．命题“p∨q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D．已知x∈R，则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件解析：“∃x∈R，x2－x>0”为特称命题，则它的否定应为全称命题，即“∀x∈R，x2－x≤0”．答案：B5．（2011·大连质检）下列命题中真命题的个数是()①∀x∈R，x4>x2；②若p∧q是假命题，则p，q都是假命题；③命题“∀x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“∃x∈R，x3－x2＋1>0”．A．0 B．1 C．2 D．3解析：①x ＝0时，x 4>x 2不成立，①为假命题；②若p ∧q 是假命题，则p ，q 至少有一个是假命题，②不成立，为假命题；③正确．答案：B6．已知命题p ：∃x ∈R ，(m ＋1)(x 2＋1)≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立．若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围为( )A ．m ≥2B ．m ≤－2或m >－1C ．m ≤－2或m ≥2D ．－1＜m ≤2 解析：若p ∧q 为假命题，则p 与q 至少有一个为假命题．①若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1>0，m 2－4<0⇒－1<m <2； ②若q 假p 真，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤0，m 2－4≥0⇒m ≤－2； ③若q 假p 假，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1>0，m 2－4≥0⇒m ≥2. 综上可得：m ≤－2或m ＞－1.答案：B二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7．已知命题p ：“∃x ∈R ＋，x >1x”，命题p 的否定为命题q ，则q 是“________”； q 的真假为________．(填“真”或“假”)答案：∀x ∈R ＋，x ≤1x假 8．已知定义在R 上的函数f (x )，写出命题“若对任意实数x 都有f (－x )＝f (x )，则f (x )为偶函数”的否定：______________________________.解析：所给命题是全称命题，其否定为特称命题．答案：若存在实数x 0，使得f (－x 0)≠f (x 0)，则f (x )不是偶函数9．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围是________．解析：因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3，又因为p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，解得m <8，所以实数m 的取值范围是3≤m <8.答案：3≤m <8三、解答题(共3小题，满分35分)10．用符号“∀”与“∃”表示下面含有量词的命题，并判断真假．(1)不等式x 2－x ＋14≥0对一切实数x 都成立； (2)存在实数x 0，使得1x 0－2x 0＋3＝34. 解：(1)∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0恒成立． x 2－x ＋14(x －12)2≥0，故该命题为真命题． (2)∃x 0∈R ，使得1x 20－2x 0＋3＝34. ∵x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2≥2，∴1x 2－2x ＋3≤12＜34故该命题是假命题．11．分别指出下列命题的形式及构成它的简单命题，并判断真假．(1)相似三角形周长相等或对应角相等；(2)9的算术平方根不是－3；(3)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．解：(1)这个命题是p ∨q 的形式，其中p ：相似三角形周长相等，q ：相似三角形对应角相等，因为p 假q 真，所以p ∨q 为真．(2)这个命题是綈p 的形式，其中p ：9的算术平方根是－3，因为p 假，所以綈p 为真．(3)这个命题是p ∧q 的形式，其中p ：垂直于弦的直径平分这条弦．q ：垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧，因为p 真q 真，所以p ∧q 为真．12．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，求实数a 的取值范围．解：由“p 且q ”是真命题，则p 为真命题，q 也为真命题．若p 为真命题，a ≤x 2恒成立，∵x ∈[1,2]，∴a ≤1.若q 为真命题，即x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a ≥1或a ≤－2，综上，实数a 的取值范围为a ≤－2或a ＝1.。
第七章 第六节 课时限时检测
(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．与向量a ＝(1，－1，－2)垂直的一个向量的坐标是( )A ．(13，1,1) B ．(－1，－3,2) C ．(－12，32，－1) D ．(2，－3，－22)解析：由两向量垂直的充要条件可得．答案：C2．设空间四点O ，A ，B ，P 满足OP ＝OA ＋t AB ，其中0<t <1，则有( )A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的延长线上C ．点P 在线段BA 的延长线上D ．点P 不一定在直线AB 上解析：∵0<t <1，∴P 点在线段AB 上．答案：A3．已知空间四边形ABCD 中，G 为CD 的中点，则AB ＋12(BD ＋BC )等于( ) A ．AGB ．AGC ．BC D.12BC 解析：依题意有AB ＋12(BD ＋BC )＝AB ＋BG ＝AG . 答案：A4．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a 、b 、c 三个向量共面，则实数λ等于( )A.627B.637C.647D.657解析：∵a 、b 、c 三向量共面，所以存在实数m 、n ，使得c ＝ma ＋nb .即⎩⎪⎨⎪⎧ 7＝2m －n 5＝－m ＋4nλ＝3m －2n∴λ＝657.答案：D5．(2010·淄博模拟)设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四个点，且满足AB ·AC ＝0，AD ·AC ＝0，AD ·AB ＝0，则△BCD 的形状是( ) A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．无法确定解析：BC ·BD ＝(AC －AB )·(AD －AB )＝AC ·AD －AC ·AB －AB ·AD ＋2AB ＝2AB >0，同理，DB ·DC >0，CB ·CD >0，∴△BCD 为锐角三角形． 答案：C6.如图，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于a ，点E 、F 、G 分别为AB 、AD 、DC 的中点，则a 2等于( )A ．2BA ·ACB ．2AD ·BDC ．2FG ·CAD ．2EF ·CB解析：2AD ·BD ＝2a ·a ·cos60°＝a 2.答案：B二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)7．已知点A (1,2,1)，B (－1,3,4)，D (1,1,1)，若AP ＝2PB ，则|PD |的值是________．解析：设P (x ，y ，z )则AP ＝(x －1，y －2，z －1)PB ＝(－1－x,3－y,4－z )由AP ＝2PB 知x ＝－13，y ＝83，z ＝3 由两点间距离公式可得|PD |＝773. 答案：7738．在四面体O －ABC 中，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE ＝________.(用a ，b ，c 表示)解析：由题意得OE ＝12(OA ＋OD )＝12[OA ＋12(OB ＋OC )]＝12[a ＋12(b ＋c )]＝12a ＋14b ＋14c .答案：12a ＋14b ＋14c 9．已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB ，b ＝AC ，则cos〈a ，b 〉＝________.解析：a ＝AB ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－12×5＝－1010. 答案：－1010三、解答题(共3个小题，满分35分)10．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．(1)求以AB ，AC 为边的平行四边形的面积；(2)若|a |＝3，且a 分别与AB ，AC 垂直，求向量a 的坐标．解：(1)由题意可得：AB ＝(－2，－1,3)，AC ＝(1，－3,2)，∴cos 〈AB ，AC 〉＝AC ·AC |AB |·|AC |＝－2＋3＋614×14＝714＝12 ∴sin 〈AB ，AC 〉＝32， 所以以AB ，AC 为边的平行四边形的面积S ＝2×12|AB |·|AC |·sin 〈AB ，AC 〉 ＝14×32＝7 3. (2)设a ＝(x ，y ，z )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＋z 2＝3，－2x －y ＋3z ＝0，x －3y ＋2z ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，z ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－1，z ＝－1.∴a ＝(1,1,1)，或a ＝(－1，－1，－1)．11．在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，将它沿对角线AC 折起，使AB 和CD 成60°角(见下图)．求B 、D 间的距离．解：∵∠ACD ＝90°，∴AC ·CD ＝0.同理BA ·AC ＝0.∵AB 和CD 成60°角，∴〈BA ，CD 〉＝60°或120°.∵BD ＝BA ＋AC ＋CD ，∴2BD ＝2BA ＋2AC ＋2CD ＋2BA ·AC ＋2BA ·CD ＋2AC ·CD ＝2BA ＋2AC ＋2CD ＋2BA ·CD＝3＋2×1×1×cos 〈BA ，CD 〉＝⎩⎨⎧4 (〈BA ，CD 〉＝60°)，2 (〈BA ，CD 〉＝120°). ∴|BD |＝2或2，即B 、D 间的距离为2或 2. 12.直三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D 、E 分别为AB 、BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值．解：(1)证明：设CA ＝a ，CB ＝b ，CC ′＝c ，根据题意，|a |＝|b |＝|c |且a·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0，∴CE ＝b ＋12c ，A D ′＝－c ＋12b －12a . ∴CE ·A D ′＝－12c 2＋12b 2＝0， ∴CE ⊥A D ′，即CE ⊥A ′D . (2) AC ′＝－a ＋c ，∴|AC ′|＝2|a |，|CE |＝52|a |. AC ′·CE ＝(－a ＋c )·(b ＋12c )＝12c 2＝12|a |2， ∴cos 〈AC ′，CE 〉＝12|a |22·52|a |2＝1010. 即异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.。
第二章 第十节 课时限时检测
(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．某企业去年销售收入1000万元，年成本为生产成本500万元与年广告成本200万元两部分．若年利润必须按p %纳税，且年广告费超出年销售收入2%的部分也按p %纳税，其他不纳税．已知该企业去年共纳税120万元．则税率p %为( )A ．10%B ．12%C ．25%D ．40%解析：利润300万元，纳税300·p %万元，年广告费超出年销售收入2%的部分为200－1000×2%＝180(万元)，纳税180·p %万元，共纳税300·p %＋180·p %＝120(万元)，p %＝14＝25%. 答案：C2．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( )A ．36万件B ．18万件C ．22万件D ．9万件解析：利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值． 答案：B3．如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H 是圆锥形漏斗中液面下落的高度，则H 与下落时间t (分)的函数关系表示的图象只可能是( )解析：由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，当时间取12t 时，漏斗中液面下落的高度不会达到漏斗高度的12，对比四个选项的图象可知选B. 答案：B4．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，汽车离开A 地的距离x (千米)与时间t (小时)之间的函数表达式是( )A ．x ＝60tB ．x ＝60t ＋50tC ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤2.5150－5t ，x ＞3.5 D ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60t ，0≤t ≤2.5，150，2.5＜t ≤3.5，150－50(t －3.5)，3.5＜t ≤6.5解析：到达B 地需要15060＝2.5小时， 所以当0≤t ≤2.5时，x ＝60t ；当2.5＜t ≤3.5时，x ＝150；当3.5＜t ≤6.5时，x ＝150－50(t －3.5)．答案：D5．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是( )解析：画出曲线的切线，其切线的斜率的意义为速度．由图中切线斜率的变化规律可知选A.答案：A6．在养分充足的情况下，细菌的数量会以指数函数的方式增加．假设细菌A 的数量每2个小时可以增加为原来的2倍；细菌B 的数量每5个小时可以增加为原来的4倍．现在若养分充足，且一开始两种细菌的数量相等，要使细菌A 的数量是B 的数量的两倍，需要的时间为( )A ．5 hB ．10 hC ．15 hD ．30 h解析：假设一开始两种细菌数量均为m ，则依题意经过x 小时后，细菌A 的数量是f (x )＝m ·22x ，细菌B 的数量是g (x )＝m ·54x ，令m ·22x ＝2·m ·54x ，解得x ＝10. 答案：B二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7．有一批材料可以建成200 m 的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形最大面积为______________．(围墙厚度不计)解析：设矩形的长为x m ，宽为200－x 4m ， 则S ＝x ·200－x 4＝14(－x 2＋200x )． 当x ＝100时，S max ＝2 500 m 2.答案：2 500 m 28．拟定从甲地到乙地通话m 分钟的电话费由f (x )＝1.06×(0.50×[m ]＋1)给出，其中m >0，[m ]是大于或等于m 的最小整数，若通话费为10.6元，则通话时间m ∈________.解析：∵10.6＝1.06(0.50×[m ]＋1)，∴0.5[m ]＝9，∴[m ]＝18，∴m ∈(17,18]．答案：(17,18]9．为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下： 明文――→加密密文――→发送密文――→解密明文已知加密为y ＝a x －2(x 为明文、y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接收方通过解密得到明文“3”，若接收方接到密文为“14”，则原发的明文是________．解析：依题意y ＝a x －2中，当x ＝3时，y ＝6，故6＝a 3－2，解得a ＝2.所以加密为y ＝2x －2，因此，当y ＝14时，由14＝2x －2，解得x ＝4.答案：4三、解答题(共3小题，满分35分)10．现有某种细胞100个，其中有占总数12的细胞每小时分裂一次．即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？(精确到小时)(参考数据：lg3≈0.477，lg2≈0.301)解：现有细胞100个，先考虑经过1、2、3、4个小时后的细胞总数，1小时后，细胞总数为12×100＋12×100×2＝32×100； 2小时后，细胞总数为12×32×100＋12×32×100×2 ＝94×100； 3小时后，细胞总数为12×94×100＋12×94×100×2 ＝278×100； 4小时后，细胞总数为12×278×100＋12×278×100×2 ＝8116×100； …可见，细胞总数y 与时间x (小时)之间的函数关系为：y ＝100×(32)x ，x ∈N. 由100×(32)x >1010， 得(32)x >108， 两边取以10为底的对数，得x lg 32>8， ∴x >8lg3－lg2， ∵8lg3－lg2≈80.477－0.301≈45.45. 故经过46小时，细胞总数超过1010个．11．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y ＝x 25－48x ＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解：(1)每吨平均成本为y x (万元)．则y x ＝x 5＋8 000x －48≥2 x 5·8 000x－48＝32，当且仅当x 5＝8 000x ，即x ＝200时取等号． ∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元．(2)设年获得总利润为R (x )万元，则R (x )＝40x －y ＝40x －x 25＋48x －8 000 ＝－x 25＋88x －8 000＝－15(x －220)2＋1 680(0≤x ≤210)． ∵R (x )在[0,210]上是增函数，∴x ＝210时，R (x )有最大值为－15(210－220)2＋1 680＝1 660. ∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元．12．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6点到中午12点，车辆通过该市某一路段的用时y (分钟)与车辆进入该路段的时刻t 之间的关系可近似地用如下函数给出：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －18t 3－34t 2＋36t －6294，6≤t ＜9，t 8＋554，9≤t ≤10，－3t 2＋66t －345，10＜t ≤12.求从上午6点到中午12点，通过该路段用时最多的时刻．解：(1)当6≤t ＜9时，y ′＝－38t 2－32t ＋36＝－38(t 2＋4t －96) ＝－38(t ＋12)(t －8)． 令y ′＝0，得t ＝－12或t ＝8.∴当t ＝8时，y 有最大值．y max ＝18.75(分钟)．(2)当9≤t ≤10时，y ＝18t ＋554是增函数， ∴当t ＝10时，y max ＝15(分钟)．(3)当10＜t ≤12时，y ＝－3(t －11)2＋18，∴当t ＝11时，y max ＝18(分钟)．综上所述，上午8时，通过该路段用时最多，为18.75分钟．。
第九章 第一节 课时限时检测
(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．问题：①有1 000个乒乓球分别装在3个箱子内，其中红色箱子内有500个，蓝色箱子内有200个，黄色箱子内有300个，现从中抽取一个容量为100的样本；②从20名学生中选出3名参加座谈会．方法：Ⅰ.随机抽样法 Ⅱ.系统抽样法 Ⅲ.分层抽样法． 其中问题与方法能配对的是( )A ．①Ⅰ，②ⅡB ．①Ⅲ，②ⅠC ．①Ⅱ，②ⅢD ．①Ⅲ，②Ⅱ解析：①三种颜色的箱子有明显差异，故应用分层抽样法，②总体与样本都较少，可用随机抽样法．答案：B2．为规范学校办学，省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查．抽到的班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是( )A ．13B ．19C ．20D ．51解析：由系统抽样的原理知抽样的间隔为524＝13，故抽取的样本的编号分别为7,7＋13,7＋13×2,7＋13×3，即7号、20号、33号、46号．答案：C3．(2010·北京海淀)某学校为调查高三年级的240名学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机抽取24名同学进行调查；第二种由教务处对高三年级的学生进行编号，从001到240，抽取学号最后一位为3的同学进行调查，则这两种抽样方法依次为( )A ．分层抽样，简单随机抽样B ．简单随机抽样，分层抽样C ．分层抽样，系统抽样D ．简单随机抽样，系统抽样解析：结合简单随机抽样、系统抽样与分层抽样的定义可知． 答案：D4．某工厂在12月份共生产了3600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a 、b 、c ，且a 、b 、c 构成等差数列，则第二车间生产的产品数为( )A ．800B ．1 000C．1 200 D．1 500解析：因为a、b、c成等差数列，所以2b＝a＋c，即第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，第二车间生产的产品数占总数的三分之一，即为1 200双皮靴．答案：C5．(2010·山东烟台)某高中共有学生2 000名，各年级的男生、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19，现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为()A.24C．16 D．12解析：根据题意可知二年级女生的人数应为2 000×0.19＝380人，故一年级共有750人，二年级共有750人，这两个年级均应抽取64×7502 000＝24人，则应在三年级抽取的学生人数为64－24×2＝16人．答案：C6．(2010·东城模拟)在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本．①采用随机抽样法：抽签取出20个样本；②采用系统抽样法：将零件编号为00,01，……，99，然后平均分组抽取20个样本③采用分层抽样法：从一级品，二级品，三级品中抽取20个样本．下列说法中正确的是()A．无论采用哪种方法，这100个零件中每一个零件被抽到的概率都相等B．①②两种抽样方法，这100个零件中每一个零件被抽到的概率都相等；③并非如此C．①③两种抽样方法，这100个零件中每一个零件被抽到的概率都相等；②并非如此D．采用不同的抽样方法，这100个零件中每一个零件被抽到的概率是各不相同的解析：上述三种方法均是可行的，每个个体被抽到的概率均等于20100＝1 5.答案：A二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)7．某大学共有学生5 600人，其中专科生1300人、本科生3 000人、研究生1 300人，现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为280人，则在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取的人数为________．解析：由已知可得5600280＝1300x ＝3000y ＝1300z ，∴x ＝z ＝65，y ＝150. 答案：65,150,658．(2010·广东高考)某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本．用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是________．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取________人．解析：法一：由系统抽样知第1组抽出的号码为2，则第8组抽出的号码为2＋5×7＝37；当用分层抽样抽取，则40岁以下年龄段应抽取12×40＝20名．法二：由系统抽样知，第5组抽出的号码为22，而分段间隔为5，则第6组抽取的应为27，第7组抽取的应为32，第8组抽取的号码应为37.由图知40岁以下的人数为100人，则抽取的比例为40200＝15，∴100×15＝20为抽取人数．答案：37 209．最近网络上流行一种“QQ 农场游戏”，这种游戏通过虚拟软件模拟种植与收获的过程．为了了解本班学生对此游戏的态度，高三(6)班计划在全班60人中展开调查，根据调查结果，班主任计划采用系统抽样的方法抽取若干名学生进行座谈，为此先对60名学生进行编号为：01,02,03，…，60，已知抽取的学生中最小的两个编号为03,09，则抽取的学生中最大的编号为________．解析：由最小的两个编号为03,09可知，抽取人数的比例为16，即抽取10名同学，其编号构成首项为3，公差为6的等差数列，故最大编号为3＋9×6＝57.答案：57三、解答题(共3个小题，满分35分)10．某单位有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取一个容量为n 的样本．如果采用系统抽样法和分层抽样方法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体．求样本容量n .解：总体容量为6＋12＋18＝36(人)．当样本容量是n 时，由题意知，系统抽样的间隔为36n ，分层抽样的比例是n 36，抽取工程师n 36×6＝n 6(人)，抽取技术员n 36×12＝n 3(人)，抽取技工n36×18＝n2(人)．所以n应是6的倍数，36的约数，即n＝6,12,18,36.当样本容量为(n＋1)时，系统抽样的间隔为35n＋1，因为35n＋1必须是整数，所以n只能取6，即样本容量n＝6.11．一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：按类型用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．(1)求z的值；(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0，8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．解：(1)设该厂本月生产轿车为n辆，由题意得50 n＝10100＋300，所以n＝2 000，则z＝2 000－(100＋300)－(150＋450)－600＝400.(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车，由题意4001 000＝a5，得a＝2.因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用A1，A2表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3表示3辆标准型轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10个．事件E包含的基本事件有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7个，故P(E)＝710，即所求概率为710.(3)样本平均数x＝18(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.设D表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D 包括的基本事件有：9.4,8.6，9.2，8.7,9.3,9.0，共6个，所以P (D )＝68＝34，即所求概率为34.12．已知某校高三文科班学生的化学与物理的水平测试成绩抽样统计如下表，若抽取学生n 人，成绩分为A (优秀)、B (良好)、C (及格)三个等级，设x ，y 分别表示化学成绩与物理成绩．例如：表中化学成绩为B 等级的共有20＋18＋4＝42人，已知x 与y 均为B 等级的概率是0.18. (1)求抽取的学生人数；(2)设在该样本中，化学成绩优秀率是30%，求a ，b 的值；(3)在物理成绩为C 等级的学生中，已知a ≥10，b ≥8，求化学成绩为A 等级的人数比C 等级的人数少的概率.解：(1)由题意可知18n ＝0.18，得n ＝100. 故抽取的学生人数是100.(2)由(1)知n ＝100，所以7＋9＋a100＝0.3，故a ＝14，而7＋9＋a ＋20＋18＋4＋5＋6＋b ＝100，故b ＝17. (3)由(1)易知a ＋b ＝31，且a ≥10，b ≥8，满足条件的(a ，b )有(10,21)，(11,20)，(12,19)，…， (23,8)，共有14组，其中b >a 的有6组， 则所求概率为P ＝614＝37.。
第五章 第四节 课时限时检测
(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a 、b ∈R)，且S 25＝100，则a 12＋a 14等于( )A ．16B ．8C ．4D ．不确定解析：由数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a 、b ∈R)，可得数列{a n }是等差数列，S 25＝(a 1＋a 25)·252＝100，解得a 1＋a 25＝8，所以a 1＋a 25＝a 12＋a 14＝8. 答案：B2．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项的和为10，则项数为( ) A ．11B ．99C ．120D ．121 解析：∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝n ＋1－1＝10，∴n ＝120.答案：C3．1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2等于( ) A.n (n ＋1)2B ．－n (n ＋1)2C ．(－1)n ＋1n (n ＋1)2D ．以上答案均不对解析：对n 赋值验证，只有C 正确．答案：C4．已知函数f (x )＝x 2＋bx 的图象在点A (1，f (1))处的切线的斜率为3，数列{1f (n )}的前n 项和为S n ，则S 2 010的值为( )A.2 0072 008B.2 0082 009C.2 0092 010D.2 0102 011解析：∵f ′(x )＝2x ＋b ，∴f ′(1)＝2＋b ＝3，∴b ＝1，∴f (x )＝x 2＋x ，∴1f (n )＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S 2 010＝1－12＋12－13＋…＋12 010－12 011＝1－12 011＝2 0102 011. 答案：D5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，则{|a n |}的前n 项和T n ＝( )A ．6n －n 2B ．n 2－6n ＋18 C.⎩⎪⎨⎪⎧ 6n －n 2 (1≤n ≤3)n 2－6n ＋18 (n ＞3) D.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2 (1≤n ≤3)n 2－6n (n ＞3) 解析：由S n ＝n 2－6n 得{a n }是等差数列，且首项为－5，公差为2.∴a n ＝－5＋(n －1)×2＝2n －7，∴n ≤3时，a n ＜0，n ＞3时a n ＞0，∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2 (1≤n ≤3)n 2－6n ＋18 (n ＞3). 答案：C6．设数列{a n }是首项为1公比为3的等比数列，把{a n }中的每一项都减去2后，得到一个新数列{b n }，{b n }的前n 项和为S n ，对任意的n ∈N *，下列结论正确的是( )A ．b n ＋1＝3b n ，且S n ＝12(3n －1) B ．b n ＋1＝3b n －2，且S n ＝12(3n －1) C ．b n ＋1＝3b n ＋4，且S n ＝12(3n －1)－2n D ．b n ＋1＝3b n －4，且S n ＝12(3n －1)－2n 解析：因为数列{a n }是首项为1公比为3的等比数列，所以数列{a n }的通项公式a n ＝3n －1，则依题意得，数列{b n }的通项公式为b n ＝3n －1－2， ∴b n ＋1＝3n －2,3b n ＝3(3n －1－2)＝3n －6，∴b n ＋1＝3b n ＋4. {b n }的前n 项和为：S n ＝(1－2)＋(31－2)＋(32－2)＋(33－2)＋…＋(3n －1－2)＝(1＋31＋32＋33＋…＋3n －1)－2n ＝(1－3n )1－3－2n ＝12(3n －1)－2n . 答案：C二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)7．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，那么数列{b n }＝{1a n a n ＋1}的前n 项和S n ＝________. 解析：由已知条件可得数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n 2， ∴b n ＝1a n a n ＋1＝4n (n ＋1)＝4(1n －1n ＋1)． S n ＝4(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1) ＝4(1－1n ＋1)＝4n n ＋1. 答案：4n n ＋18．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项为2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.解析：∵a n ＋1－a n ＝2n ，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2 ＝2－2n1－2＋2＝2n －2＋2＝2n . ∴S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2. 答案：2n ＋1－2 9．数列{a n }的前n 项和为S n 且a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ＝1,2,3，…)，则log 4S 10＝________. 解析：∵a n ＋1＝3S n ，∴a n ＝3S n －1(n ≥2)．两式相减得a n ＋1－a n ＝3(S n －S n －1)＝3a n ，∴a n ＋1＝4a n ，即a n ＋1a n＝4. ∴{a n }为a 2为首项，公比为4的等比数列．当n ＝1时，a 2＝3S 1＝3，∴n ≥2时，a n ＝3·4n －2， S 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10＝1＋3＋3×4＋3×42＋…＋3×48＝1＋3(1＋4＋…＋48)＝1＋3×49－14－1＝1＋49－1＝49. ∴log 4S 10＝log 449＝9.答案：9三、解答题(共3个小题，满分35分)10．等差数列{a n }是递增数列，前n 项和为S n ，且a 1，a 3，a 9成等比数列，S 5＝a 25.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝n 2＋n ＋1a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前99项的和． 解：(1)设数列{a n }的公差为d (d >0)，∵a 1，a 3，a 9成等比数列，∴a 23＝a 1a 9，∴(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )，∴d 2＝a 1d ，∵d >0，∴a 1＝d ，①∵S 5＝a 25，∴5a 1＋5×42·d ＝(a 1＋4d )2② 由①②得a 1＝35，d ＝35， ∴a n ＝35＋(n －1)×35＝35n (n ∈N *)． (2)b n ＝n 2＋n ＋135n ·35(n ＋1) ＝259·n 2＋n ＋1n (n ＋1)＝259(1＋1n －1n ＋1)， ∴b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 99＝259(1＋1－12＋1＋12－13＋1＋13－14＋…＋1＋199－1100)＝259(99＋1－1100)＝275＋2.75＝277.75.11．已知数列{a n }的前n 项和S n 和通项a n 满足S n ＝12(1－a n )． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝na n ，求证：b 1＋b 2＋…＋b n <34. 解：(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12(1－a n )－12(1－a n －1) ＝－12a n ＋12a n －1， 2a n ＝－a n ＋a n －1∴由题意可知a n －1≠0，a n a n －1＝13， 所以{a n }是公比为13的等比数列．S 1＝a 1＝12(1－a 1)，a 1＝13. a n ＝13×⎝⎛⎭⎫13n －1＝⎝⎛⎭⎫13n . (2)证明：b n ＝n ⎝⎛⎭⎫13n ，设T n ＝1×⎝⎛⎭⎫131＋2×⎝⎛⎭⎫132＋3×⎝⎛⎭⎫133＋…＋n ×⎝⎛⎭⎫13n ，① ∴13T n ＝1×⎝⎛⎭⎫132＋2×⎝⎛⎭⎫133＋3×⎝⎛⎭⎫134＋…＋n ×⎝⎛⎭⎫13n ＋1，② ①－②，化简得∴T n ＝34－34⎝⎛⎭⎫13n －32n ⎝⎛⎭⎫13n ＋1<34. 12．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足(p －1)S n ＝p 2－a n (p >0，p ≠1)，且a 3＝13. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝12－log 3a n，数列{b n b n ＋2}的前n 项和为T n ，若对于任意的正整数n ，都有T n <m 2－m ＋34成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)由题设知(p －1)a 1＝p 2－a 1，解得p ＝a 1或p ＝0(舍去)．由条件可知(p －1)S 2＝(p －1)(a 1＋a 2)＝p 2－a 2， 解得a 2＝1.再由(p －1)S 3＝(p －1)(a 1＋a 2＋a 3)＝p 2－a 3，解得a 3＝1p .由a 3＝13可得1p ＝13，故p ＝3＝a 1. 所以2S n ＝9－a n ，则2S n ＋1＝9－a n ＋1，以上两式作差得2(S n ＋1－S n )＝a n －a n ＋1，即2a n ＋1＝a n －a n ＋1，故a n ＋1＝13a n . 可见，数列{a n }是首项为3，公比为13的等比数列． 故a n ＝3(13)n －1＝32－n . (2)因为b n ＝12－log 3a n ＝12－(2－n )＝1n ，所以b n b n＋2＝1n(n＋2)＝12(1n－1n＋2)，T n＝b1b3＋b2b4＋b3b5＋…＋b n b n＋2＝12[(1－13)＋(12－14)＋(13－15)＋(14－16)＋…＋(1n－1n＋2)]＝12(1＋12－1n＋1－1n＋2)<34.故要使T n<m2－m＋34恒成立，只需34≤m2－m＋34，解得m≤0或m≥1.故所求实数m的取值范围为(－∞，0]∪[1，＋∞)．。
第三章 第三节 课时限时检测
(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．函数y ＝ cos x －12的定义域为( ) A ．[－π3，π3]B ．[k π－π3，k π＋π3]，k ∈ZC ．[2k π－π3，2k π＋π3]，k ∈Z D ．R 解析：由题意得cos x ≥12∴2k π－π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z. 答案：C2．函数y ＝sin x ＋cos x 的最小值和最小正周期分别是( ) A ．－2，2π B ．－2,2π C ．－2，π D ．－2，π解析：∵y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，∴当x ＋π4＝2k π－π2(k ∈Z)时，y min ＝－ 2.T ＝2π. 答案：A3．若函数y ＝sin x ＋f (x )在[－π4，3π4]上单调递增，则函数f (x )可以是( ) A ．1B ．cos xC ．sin xD ．－cos x解析：因为y ＝sin x －cos x ＝2sin(x －π4)，－π2≤x －π4≤π2，满足题意，所以函数f (x )可以是－cos x .答案：D4．已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为[－1，12]，则b －a 的值不可能是( ) A.π3B.2π3 C ．π D.4π3解析：画出函数y ＝sin x 的草图(图略)，分析知b －a 的取值范围为[2π3，4π3]． 答案：A5．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( )A.[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z B.[k π＋5π12k π＋11π12，k ∈Z C.[k π－π3，k π＋π6]，k ∈Z D.[k π＋π6，k π＋2π3]，k ∈Z 解析：f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π6ω>0)． ∵f (x )图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，恰好是f (x )的一个周期，∴2πω＝π，ω＝2.f (x )＝2sin(2x ＋π6)． 故其单调增区间应满足2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)．k π－π3x ≤k π＋π6(k ∈Z)． 答案：C6．若函数y ＝2cos ωx 在区间[0，2π3]上递减，且有最小值1，则ω的值可以是( ) A ．2B.12 C ．3 D.13 解析：由y ＝2cos ωx 在[0，23π]上是递减的，且有最小值为1，则有f (23＝1，即2×cos(ω×23π)＝1⇒cos 2π3ω＝12.检验各数据，得出B 项符合． 答案：B二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈[0，π2]时，f (x )＝sin x ，则f (5π3)的值为________． 解析：f (5π3)＝f (－π3＝f (π3)＝sin π3＝32. 答案：328．设函数y ＝sin(π2x ＋π3)，若对任意x ∈R ，存在x 1，x 2使f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)恒成立，则|x 1－x 2|的最小值是__________．解析：由f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)恒成立，可得f (x 1)为最小值，f (x 2)为最大值，|x 1－x 2|的最小值为半个周期．答案：29．设函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论：①图象关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称；②图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称；③在⎣⎡⎦⎤0，π6上是增函数；④在⎣⎡⎦⎤－π6，0上是增函数中，所有正确结论的编号为________． 解析：∵T ＝π，∴ω＝2.又2×π12＋φ＝k π＋π2，∴φ＝k π＋π3. ∵φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴φ＝π3，∴y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 由图象及性质可知②④正确．答案：②④三、解答题(共3小题，满分35分)10．已知复数z 1＝3sin2x ＋λi ，z 2＝m ＋(m －cos2x )i(λ，m ，x ∈R)，且z 1＝z 2.(1)若λ＝0且0<x <π，求x 的值；(2)设λ＝f (x )，求f (x )的最小正周期和单调增区间．解：(1)∵z 1＝z 2，∴⎩⎨⎧3sin2x ＝m ，λ＝m －cos2x . ∴λ＝3sin2x －cos2x .若λ＝0，则3sin2x －cos2x ＝0，得tan2x ＝33. ∵0<x <π，∴0<2x <2π. ∴2x ＝π6，或2x ＝7π6∴x ＝π12，7π12. (2)∵λ＝f (x )＝3sin2x －cos2x ＝2(32sin2x －12cos2x ) ＝2(sin2x cos π6－cos2x sin π6) ＝2sin(2x －π6)， ∴函数的最小正周期为T ＝π.即2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－π6x ≤k π＋π3，k ∈Z.∴f (x )的单调增区间为[k π－π6，k π＋π3]，k ∈Z. 11．已知向量a ＝(sin x,23sin x )，b ＝(2cos x ，sin x )，定义f (x )＝a·b － 3.(1)求函数y ＝f (x )，x ∈R 的单调递减区间；(2)若函数y ＝f (x ＋θ)⎝⎛⎭⎫0<θ<π2为偶函数，求θ的值． 解：(1)f (x )＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3＝sin2x ＋23·1－cos2x 2－3＝sin2x －3cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. (1)令2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2， 解得f (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z. (2)f (x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2θ－π3， 根据三角函数图象性质可知y ＝f (x ＋θ)⎝⎛⎭⎫0<θ<π2在x ＝0处取最值． 即sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝±1， ∴2θ－π3＝k π＋π2，θ＝k π2＋5π12，k ∈Z. 又0<θ<π2，∴θ＝5π12. 12．已知函数f (x )＝sin2x ＋a cos 2x (a ∈R ，a 为常数)，且π4是函数y ＝f (x )的零点． (1)求a 的值，并求函数f (x )的最小正周期；(2)若x ∈[0，π2]，求函数f (x )的值域，并写出f (x )取得最大值时x 的值． 解：(1)由于π4是函数y ＝f (x )的零点， 即x ＝π4是方程f (x )＝0的解， 从而f (π4)＝sin π2＋a cos 2π4＝0， 则1＋12＝0，解得a ＝－2. 所以f (x )＝sin2x －2cos 2x ＝sin2x －cos2x －1，则f (x )＝2sin(2x －π4)－1，所以函数f(x)的最小正周期为π.(2)由x∈[0，π2]，得2x－π4∈[－π4，3π4]，则sin(2x－π4)∈[－22，1]，则－1≤2sin(2x－π4)≤2，－2≤2sin(2x－π4－1≤2－1，∴值域为[－2，2－1]．当2x－π42kπ＋π2(k∈Z)，即x＝kπ＋38π时，f(x)有最大值，又x∈[0，π2]，故k＝0时，x＝38π，f(x)有最大值2－1.。
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课时限时检测(六十五)二项分布及其应用(时间：60分钟满分：80分)命题报告1．某种动物由出生算起到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的动物，问它能活到25岁的概率为()A.14 B.12 C.34 D.13【解析】设“该动物活到20岁”为事件A，“该动物活到25岁”为事件B，于是P(B|A)＝0.40.8＝12.【答案】 B2．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为() A．0.12 B．0.42 C．0.46 D．0.88【解析】设至少有一人被录取的概率为事件A，则P(A)＝1－0.4×0.3＝0.88.【答案】 D3．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率为()A．0.45 B．0.6 C．0.65 D．0.75【解析】设目标被击中为事件B，目标被甲击中为事件A，则由P(B)＝0.6×0.5＋0.4×0.5＋0.6×0.5＝0.8，得P(A|B)＝P(AB)P(B)＝P(A)P(B)＝0.60.8＝0.75.【答案】 D4．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫125 B ．C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫125 C ．C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫123D ．C 25C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫125【解析】 由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移动五次后位于点(2,3)，所以质点P 必须向右移动两次，向上移动三次，故其概率为C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫123·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫125，故选B.【答案】 B5．如果X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，14，则使P (X ＝k )取最大值的k 值为( )A ．3B ．4C ．5D ．3或4【解析】 采取特殊值法．∵P (X ＝3)＝C 315⎝ ⎛⎭⎪⎫143⎝ ⎛⎭⎪⎫3412，P (X ＝4)＝C 415⎝ ⎛⎭⎪⎫144·⎝ ⎛⎭⎪⎫3411，P (X ＝5)＝C 515⎝ ⎛⎭⎪⎫145⎝ ⎛⎭⎪⎫3410， 从而易知P (X ＝3)＝P (X ＝4)＞P (X ＝5)． 【答案】 D6．箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球．从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是( )A.16625B.96625C.624625D.4625 【解析】 若摸出的两球中含有4，必获奖，有5种情形；若摸出的两球是2,6，也能获奖．故获奖的情形共6种，获奖的概率为6C 26＝25.现有4人参与摸奖，恰有3人获奖的概率是C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫253·35＝96625. 【答案】 B二、填空题(每小题5分，共15分)7．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为________．【解析】 设该队员每次罚球的命中率为P (0＜P ＜1)， 则依题意有1－P 2＝1625，又0＜P ＜1，∴P ＝35. 【答案】 358．设随机变量X ～B (2，p )，随机变量Y ～B (3，p )，若P (X ≥1)＝59，则P (Y ≥1)＝________.【解析】 ∵X ～B (2，p )，∴P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－C 02(1－p )2＝59， 解得p ＝13.又Y ～B (3，p )，∴P (Y ≥1)＝1－P (Y ＝0)＝1－C 03(1－p )3＝1927. 【答案】 19279．(2014·淄博模拟)某学校一年级共有学生100名，其中男生60人，女生40人．来自北京的有20人，其中男生12人，若任选一人是女生，则该女生来自北京的概率是________．【解析】 设事件A ＝“任选一人是女生”，B ＝“任选一人来自北京”，依题意知，来自北京的女生有8人，这是一个条件概率，问题即计算P (B |A )．由于P (A )＝40100，P (AB )＝8100， 则P (B |A )＝P (AB )P (A )＝810040100＝15.【答案】 15三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)(2013·重庆高考)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球．根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列与期望E (X )．【解】 设A i (i ＝0,1,2,3)表示摸到i 个红球，B j (j ＝0,1)表示摸到j 个蓝球，则A i 与B j 独立．(1)恰好摸到1个红球的概率为P (A 1)＝C 13C 24C 37＝1835.(2)X 的所有可能值为：0,10,50,200，且P (X ＝200)＝P (A 3B 1)＝P (A 3)P (B 1)＝C 33C 37·13＝1105，P (X ＝50)＝P (A 3B 0)＝P (A 3)P (B 0)＝C 33C 37·23＝2105，P (X ＝10)＝P (A 2B 1)＝P (A 2)P (B 1)＝C 23C 14C 37·13＝12105＝435，P (X ＝0)＝1－1105－2105－435＝67. 综上可知，获奖金额X 的分布列为从而有E (X )＝0×67＋10×435＋50×2105＋200×1105＝4(元)．11．(12分)某人抛掷一枚硬币，出现正、反面的概率都是12，构造数列{a n }，使a n ＝⎩⎨⎧1 (当第n 次出现正面时)，－1 (当第n 次出现反面时)，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *)．(1)求S 8＝2时的概率； (2)求S 2≠0且S 8＝2的概率．【解】 (1)设出现正面的次数为ξ，则ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，12，由S 8＝2知ξ＝5，于是S 8＝2的概率为： P (ξ＝5)＝C 58·⎝ ⎛⎭⎪⎫125⎝⎛⎭⎪⎫1－123＝C 58·⎝ ⎛⎭⎪⎫128＝732.(2)S 2≠0即前两次掷硬币中有2次正面或2次反面， 前2次是正面且S 8＝2的概率为： P 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122·C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫126＝C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫128＝564， 前2次是反面且S 8＝2的概率为： P 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122C 56⎝ ⎛⎭⎪⎫126＝3128. 故S 2≠0且S 8＝2的概率为：P ＝P 1＋P 2＝13128.12．(13分)(2013·陕西高考)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列及数学期望．【解】 (1)设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”，B 表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P (A )＝C 12C 23＝23，P (B )＝C 24C 35＝35.∵事件A 与B 相互独立，∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P (A B )＝P (A )·P (B )＝P (A )·[1－P (B )]＝23×25＝415⎝ ⎛⎭⎪⎫或P (A B )＝C 12·C 34C 23·C 35＝415. (2)设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”， 则P (C )＝C 24C 35＝35，∵X 可能的取值为0,1,2,3，且取这些值的概率分别为 P (X ＝0)＝P (A B C )＝13×25×25＝475，P (X ＝1)＝P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＝23×25×25＋13×35×25＋13×25×35＝2075＝415，P (X ＝2)＝P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )＝23×35×25＋23×25×35＋13×35×35＝3375＝1125，P (X ＝3)＝P (ABC )＝23×35×35＝1875＝625， ∴X 的分布列为∴X 的数学期望EX ＝0×475＋1×415＋2×1125＋3×625＝14075＝2815.。