【高数】南理工2011级高数第一期中试卷(附答案)

2011级高等数学上册期中试卷
一.填空题（每个空格4分，本题满分36分） 1．就奇偶性而言，函数11
()212
x
f x =
+-是 函数；其导函数是 函数； 2．函数2()(1)(1)
x x
f x x x x -=-+的全部间断点及其类型分别为 ；
3．20
1
sin 3cos
lim
ln(1)
x x x x x →+=+ ；
4．已知21lim 01x x ax b x →∞
⎛⎫
+--= ⎪+⎝⎭
，则a = ，b = ；
5． ()222e
sin
d d 31x
x x π
-⎛⎫
++
= ⎪+⎝
⎭；
6．已知曲线2y x ax b =--和242y x y =-+在点(1,1)-处相切，则a = ，b = ； 7．函数)( x f y =在点 x 处可导，且2)(=' x f ,则当 0→∆x 时，无穷小dy 与x ∆的比较结果是_________；
8．下面四个论述中正确的是 ；
(1)若0(1,2,)n x n ≥= ，且数列{}n x 单调递减，则数列{}n x 收敛，且其极限0a > (2)若0(1,2,)n x n >= ，且数列{}n x 收敛，则其极限0a > (3)若lim 0n n x a →∞
=≥，则0(1,2,)n x n ≥=
(4)若lim 0n n x a →∞
=>，则存在正整数N ，当n N >时，都有2
n a x >
. 9．函数x x x f ln )(=在10=x 处的带Lagrange 余项的一阶Taylor 公式为____ ______. 二.计算题（本题满分36分）
10．（6分） 011lim 1e x x x x -→+⎛⎫- ⎪-⎝⎭ 11. （6分） 21
2lim 1n n n n -→∞-⎛⎫ ⎪+⎝⎭
12．（6分）设3
arctan 6x t t y t t =+⎧⎨=+⎩
，求21
2
d d t y x =.
13. （6分）设
23e x y x =，求(10)()y x .
14.（6分）设函数()f x 在点0x =处有定义，(0)1f =，且2
l n (1)s i n ()l i m
0e 1
x x x x f x
→-+⋅=-，
求(0)f '.
15.（6分）设2[()],u f x y ϕ=+其中,x y 满足方程,y y e x +=函数,f ϕ均二阶可导，求
22
du d ,d d u
x x . 三(16). (10分) 讨论函数()arctan f x k x x =-的单调性，并求方程()0f x =的不同实根的个数，其中k 为参数.
四(17)．(8分) （1）设01,0t βα<<>>，证明：
1
1
ln(1)ln(1)t t αβα
β
+>
+；
（2）设0,0,0,x y βα>>>>，证明：1
1
()()x y x y α
αβββ
α
+>+.
五(18)．(10分) （1）设函数()f x 在区间[,]a b 上可导，证明：对于任意的0a >，都存在(,)a b ξ∈，使得
()()
()()a f b b f a f f b a
ξξξ-'=--；
（2）设()f x 在区间[0,1]上连续，在(0，1)内可导，且(0)0,(1)1f f ==，证明：.存在不同的,,(0,1)αβγ∈，使得111
3()()()
f f f αβγ++='''.
2011级高等数学（上册）期中试卷答案
一.填空题（每个空格4分，本题满分36分） 1．奇；偶 2．
0(;1(-1x x x 第一类（跳跃）间断点)第一类（可去）间断点)；（第二类（无穷）间断点）.
===
3．3 4．1,1a b ==- 5．21
-e sin
2arctan 2
3x x x C π
-⎛⎫
+++ ⎪⎝⎭
6．82,55a b ==
7． 同阶但非等价的无穷小是与x dy ∆ 8． (4)
9．()()
()()
()2
11, 01211--+
<<+-x x x θθ 三.计算题（本题满分38分） 10．（7分）
32
11. （6分） 6
e - 12．（6分）222226(1)3(1),2dy
d y t t t dx
dx t +=+=+，21
24t d y
dx
==
13. （6分）()(10)
923()332030e x y
x x x =++
(14).（7分）
2
200ln(1)sin [()1]sin lim
0,
e 1[()1]ln(1)sin 1lim lim ,2
x x x x x x f x x
f x x x x x →→→-+⋅-+=---+=-=
即:1
(0)2
f '=
. (15).（7分）22222
22
22
du
[()][()2]d 2[()][()];1d 2[()][()]
d 122[()][()]
(1)(1)y
y
y y y f x y x yy x
y
f x y x e
u y f x y x x e ye f x y x e e ϕϕϕϕϕϕϕϕ'''=++''=+++'''=+++'''+++-++
三(16). (10分) 令()arctan f x k x x =-，则()f x 是(,)-∞+∞上的奇函数，且
2
2
1'()1k x f x x --=+.
当1k -≤0即k ≤1时，'()0(0),()f x x f x <≠在(,)-∞+∞内单调减少;
当1k -＞0即k ＞1时，在内，'()0,()f x f x >单调增加；在)+∞内，'()0,()f x f x <单调减少。

当1k -≤0即k ≤1时，()f x 在(,)-∞+∞内单调减少，又(0)0,f =方程()0f x =只有一个实根0.x =
由于f 是()f x 在(0,)+∞内的最大值，由于(0)0f =，所以0.f >
又因为arctan lim (
)lim (1)x x k x
f x x x
→+∞
→+∞
=-=-∞，所以存在)ξ∈+∞，使得()0.f ξ=
由()f x 是奇函数及其单调性可知：当1k >时，方程()0f x =有且仅有三个不同实根
,0,.x x x ξξ=-==
四(17)．(10分) （1）利用单调性证明。

令1
1
()ln(1)ln(1)f t t t αβα
β
=
+-
+，
11
()0(1)(1)
t t f t t t αβαβ
---'=>++， 从而()(0)0f t f >= （2）当x y =时，显然成立；
当0x y >>时，取01y
t x
<=<，利用（1）可得：1
1
()()x y x y ααββ+>+；
当0y x >>时，取01x t y
<=<，利用（1）可得：1
1
()()x y x y ααβββα
+>+。

五(18)．(10分)（1）
法I:令()()()1()f x af b bf a F x x b a x -=
+-，()()
()()f b f a F a F b b a -==-，用罗尔定理得证。

法2: 令()()f x F x x =，1
()G x x =，用柯西中值定理证。

法3: 令1
()()F x xf x
=，用拉格朗日中值定理证。

（2）由于()f x 在区间[0,1]上连续，(0)0,(1)1f f ==，由介值定理，存在12,(0,1)x x ∈，且12x x <，使得1212
(),()33
f x f x =
=，在1122[0,],[,],[,1]x x x x 上分别用拉格朗日定理得：存在不同的,,(0,1)αβγ∈，使得
111
2121212221212()1
(),3()()1
(),
3()
1()1
();
13(1)
11133()3(1)3()()()
f x f x x f x f x f x x x x f x f x x x x x x f f f αβγαβγ'==-'=
=---'==--++=+-+-='''
故
111
3()()()
f f f αβγ++='''。