苏教版高中数学必修2第一章立体几何初步1
苏教版必修二：第一章 立体几何初步 1.2.3 第1课时
1.2.3直线与平面的位置关系第1课时直线与平面平行的判定学习目标 1.掌握直线与平面的三种位置关系，会判断直线与平面的位置关系.2.掌握空间中直线与平面平行的判定定理.知识点一直线与平面的位置关系思考如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，线段BC1所在的直线与长方体的六个面所在的平面有几种位置关系？★★答案★★三种位置关系：(1)直线在平面内；(2)直线与平面相交；(3)直线与平面平行. 梳理直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点无数个1个0个符号表示a⊂αa∩α＝A a∥α图形表示知识点二直线与平面平行的判定定理思考1如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块木板绕AB转动，在转动过程中，AB的对边CD(不落在α内)和平面α有何位置关系？★★答案★★平行.思考2如图，平面α外的直线a平行于平面α内的直线b.这两条直线共面吗？直线a与平面α相交吗？★★答案★★由于直线a∥b，所以两条直线共面，直线a与平面α不相交. 梳理表示定理图形文字符号直线与平面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行错误!⇒a∥α类型一直线与平面的位置关系例1下列说法中，正确的个数是________.①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；③如果直线a，b满足a∥α，b∥α，那么a∥b；④如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，那么AB∥α.★★答案★★ 1解析如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，但AA′在过BB′的平面AB′内，故①不正确；AA′∥平面B′C，BC⊂平面B′C，但AA′不平行于BC，故②不正确；AA′∥平面B′C，A′D′∥平面B′C，但AA′与A′D′相交，所以③不正确；④显然正确.反思与感悟(1)此类题在求解时，常受思维定势影响，误以为直线在平面外就是直线与平面平行.(2)判断直线与平面位置关系的问题，其解决方式除了定义法外，还可以借助模型(如长方体)和举反例两种行之有效的方法.跟踪训练1若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是________.(填序号)①α内的所有直线都与直线a异面；②α内不存在与a平行的直线；③α内的直线都与a相交；④直线a 与平面α有公共点. ★★答案★★ ④解析 直线a 不平行于平面α，则a 与平面α相交或a ⊂α，故④正确. 类型二 线面平行的判定定理及应用 命题角度1 以锥体为背景证明线面平行例2 如图，M ，N 分别是底面为矩形的四棱锥P —ABCD 的棱AB ，PC 的中点，求证：MN ∥平面P AD .证明 如图所示，取PD 的中点E ，连结AE ，NE ， ∵N 是PC 的中点，∴EN ∥DC ， EN ＝12DC .又∵AM ∥CD ，AM ＝12CD ，∴NE ∥AM ，NE ＝AM .∴四边形AMNE 是平行四边形，∴MN ∥AE . 又∵AE ⊂平面P AD ，MN ⊄平面P AD ， ∴MN ∥平面P AD .反思与感悟 利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找出一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、平行公理等.跟踪训练2 已知空间四边形ABCD ，P ，Q 分别是△ABC 和△BCD 的重心，如图所示，求证：PQ ∥平面ACD .证明 如图所示，取BC 的中点E ，连结AE ，DE .∵P ，Q 分别是△ABC 和△BCD 的重心，∴A ，P ，E 三点共线且AE ∶PE ＝3∶1，D ，Q ，E 三点共线且DE ∶QE ＝3∶1，∴在△AED 中，PQ ∥AD . 又AD ⊂平面ACD ，PQ ⊄平面ACD ， ∴PQ ∥平面ACD .命题角度2 以柱体为背景证明线面平行例3 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E ，F 分别是棱AB ，BC ，A 1C 1的中点，求证：EF ∥平面A 1CD .证明 ∵在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，F 为A 1C 1的中点， ∴A 1F 綊12AC ，∵D 、E 分别是棱AB ，BC 的中点， ∴DE 綊12AC ，∴A 1F 綊DE ，则四边形A 1DEF 为平行四边形， ∴EF ∥A 1D .又EF ⊄平面A 1CD 且A 1D ⊂平面A 1CD ， ∴EF ∥平面A 1CD .反思与感悟 证明以柱体为背景包装的线面平行证明题，常用线面平行的判定定理，遇到题目中含有线段中点，常利用取中点去寻找平行线的方法. 跟踪训练3 如图所示，已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1.(1)求证：BC 1∥平面AB 1D 1；(2)若E ，F 分别是D 1C ，BD 的中点，求证：EF ∥平面ADD 1A 1.证明 (1)∵BC 1⊄平面AB 1D 1，AD 1⊂平面AB 1D 1，BC 1∥AD 1， ∴BC 1∥平面AB 1D 1.(2)∵点F 为BD 的中点，∴F 为AC 的中点. 又∵点E 为D 1C 的中点， ∴EF ∥AD 1，∵EF ⊄平面ADD 1A 1，AD 1⊂平面ADD 1A 1， ∴EF ∥平面ADD 1A 1.1.下列命题中正确命题的个数是________. ①若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α；②若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行；③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行. ★★答案★★ 0解析 ①中，当l ∩α＝A 时，除A 点以外所有的点均不在α内；②中，当l ∥α时，α中有无数条直线与l 异面；③中，另一条直线可能在平面内.2.观察下列命题，在“________”处缺少一个条件，补上这个条件使其构成正确命题(其中l ，m 为直线，α，β为平面)，则此条件为________.⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αl ∥m ⇒l ∥α. ★★答案★★ l ⊄α3.如图(1)，已知正方形ABCD ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，将△ADE 沿DE 折起，如图(2)所示，则BF 与平面ADE 的位置关系是________.★★答案★★ 平行解析 ∵BF ∥DE ，DE ⊂平面ADE ，BF ⊄平面ADE ， ∴BF ∥平面ADE .4.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是面对角线A 1D 、B 1D 1的中点，则正方体6个面中与直线EF 平行的平面有________________. ★★答案★★ 平面C 1CDD 1和平面A 1B 1BA解析如图，连结A1C1，C1D，在△A1C1D中，EF为中位线，∴EF∥C1D，又EF⊄平面C1CDD1，C1D⊂平面C1CDD1，∴EF∥平面C1CDD1.同理可得EF∥平面A1B1BA.故与EF平行的平面有平面C1CDD1和平面A1B1BA.5.如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，点O是AC与BD的交点.求证：B1O∥平面A1C1D.证明如图，连结B1D1，交A1C1于点O1，连结DO1.∵O1B1＝DO，O1B1∥DO，∴四边形O1B1OD为平行四边形，∴B1O∥O1D.∵B1O⊄平面A1C1D，O1D⊂平面A1C1D，∴B1O∥平面A1C1D.1.直线与平面的位置关系，其分类方式有两种：一类是按直线与平面是否有公共点，另一类是按直线是否在平面内.2.直线与平面平行的关键是在已知平面内找出一条直线和已知直线平行，即要证直线和平面平行，先证直线和直线平行，即由立体向平面转化，由高维向低维转化.课时作业一、填空题1.下列命题正确的是________.(填序号)①若一条直线a与平面α平行，则直线a与平面α没有公共点；②若一条直线a与平面α有公共点，则直线a与平面α相交；③若一条直线a与平面α有两个公共点，则a⊂α.★★答案★★①③解析因为当a∥α时，a与α无公共点，所以①正确；因为当直线a与平面α有两个公共点时，a⊂α，所以②错误，③正确.2.若直线l与平面α不平行，则下列结论正确的是______.(填序号)①α内的所有直线都与直线l异面；②α内不存在与l平行的直线；③α内的直线与l相交；④直线l与平面α有公共点.★★答案★★④解析①中，过公共点的直线与直线l相交，不异面，①错误；②③中，当l⊂α时，α内有无数多条直线与l平行，故②③错；④中，直线l与平面α不平行，则直线l与平面α相交或在平面内，所以l与平面α有公共点，故④正确.3.若平面外一条直线上有两点到该平面的距离相等，则这条直线与平面的位置关系是________.★★答案★★平行或相交解析当两点在平面的一侧时，这条直线与平面平行；当两点在平面的两侧时，这条直线与平面相交.所以这条直线与平面的位置关系是平行或相交.4.若P是△ABC所在平面外一点，E，F，G分别是AB，BC，PC的中点，则图中与过E，F，G的截面平行的线段有________条.★★答案★★ 2解析由题意知，EF∥AC，FG∥PB，∴AC∥平面EFG，PB∥平面EFG，即有2条与平面EFG平行的线段.5.如图，在五面体FEABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是________.(填“平行”或“相交”)★★答案★★平行解析∵M，N分别是BF，BC的中点，∴MN∥CF.又四边形CDEF为矩形，∴CF∥DE，∴MN∥DE.又MN⊄平面ADE，DE⊂平面ADE，∴MN∥平面ADE.6.如图所示，长方体ABCD—A1B1C1D1中，与BC平行的平面是________；与BC1平行的平面是________；与平面A1C1和平面A1B都平行的棱是________.★★答案★★平面A1C1与平面AD1平面AD1CD解析观察图形，根据判定定理可知，与BC平行的平面是平面A1C1与平面AD1；与BC1平行的平面是平面AD1；由于平面A1C1与平面A1B的交线是A1B1，所以与其都平行的棱是CD.7.若AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是________.★★答案★★平行把解析这三条线段放在正方体内如图，显然AC∥EF，AC⊄平面EFG.EF⊂平面EFG，故AC∥平面EFG.8.过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有________条.★★答案★★12解析如图所示，与BD平行的有4条，与BB1平行的有4条，四边形GHFE的对角线与平面BB1D1D平行，同等位置有4条，总共12条.9.在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是________.★★答案★★平行解析∵AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，∴EF∥AC.又∵EF⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，∴AC∥平面DEF.10.如图，四个正方体中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，则能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________.(写出所有符合要求的图形序号)★★答案★★①③解析①如图(1)，Q为所在棱的中点，连结MQ，NQ，PQ，则NQ∥AB，且NQ⊂平面MNP，AB⊄平面MNP，∴AB∥平面MNP.②过N作AB的平行线交底面正方形于其中心O，NO⊄平面MNP，AB⊄平面MNP，∴AB与平面MNP不平行.③易知AB∥MP，MP⊂平面MNP，AB⊄平面MNP，∴AB∥平面MNP.④如图(2)，过M作MC∥AB，∵MC⊄平面MNP，AB⊄平面MNP，∴AB与平面MNP不平行.二、解答题11.如图所示，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，Q是P A的中点.求证：PC∥平面BDQ.证明连结AC，交BD于O，连结OQ，因为底面ABCD为正方形，所以O为AC的中点.又因为Q是P A的中点，所以OQ∥PC，又因为OQ⊂平面BDQ，PC⊄平面BDQ，所以PC∥平面BDQ.12.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，点G为BC 的中点.求证：OG∥平面EFCD.证明 ∵四边形ABCD 是菱形，AC ∩BD ＝O ，∴点O 是BD 的中点.又点G 为BC 的中点，∴OG ∥CD .又OG ⊄平面EFCD ，CD ⊂平面EFCD ，∴OG ∥平面EFCD .13.如图，在直棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，AB ＝2AD ＝2CD ＝2.若P 为A 1B 1的中点，求证：DP ∥平面ACB 1，且DP ∥平面BCB 1.证明 由P 为A 1B 1的中点，得PB 1∥AB ，且PB 1＝12AB . 又∵DC ∥AB ，DC ＝12AB ， ∴DC ∥PB 1，且DC ＝PB 1，∴四边形DCB 1P 为平行四边形.从而CB 1∥DP .又CB 1⊂平面ACB 1，DP ⊄平面ACB 1，∴DP ∥平面ACB 1.同理，DP ∥平面BCB 1.三、探究与拓展14.在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，(1)与直线AB 平行的平面是________；(2)与直线AA 1平行的平面是________；(3)与直线AB 1平行的平面是________.★★答案★★ (1)平面A 1B 1C 1D 1，平面CDD 1C 1(2)平面BCC 1B 1，平面CDD 1C 1(3)平面CDD 1C 1解析 如图，可知AB ∥平面A 1B 1C 1D 1，AB ∥平面CDD 1C 1；AA 1∥平面BCC 1B 1； AA 1∥平面CDD 1C 1，AB1∥平面CDD1C1.15.已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA＝SB＝SC，SG为△SAB边AB上的高，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明.解SG∥平面DEF.证明如下：连结CG交DE于点H，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，在△ACG中，D是AC的中点，且DH∥AG，∴H是CG的中点.∴FH是△SCG的中位线，∴FH∥SG.又SG⊄平面DEF，FH⊂平面DEF，∴SG∥平面DEF.。
苏教版高中数学必修二第一章-立体几何初步1.1.4ppt课件
1．以下关于斜二测直观图画法的说法正确的是 ________．
图 1－1－30
【解】 画法如下： (1)在直观图中延长 D′A′，交 x′轴于 E′.
(2)画互相垂直的轴 Ox，Oy，取 OE＝O′E′，过 E 作 EF∥Oy，在 EF 上截取 AE＝2A′E′，AD＝2A′D′，再过 D 作 DC∥x 轴，过 A 作 AB∥x 轴，并且截取 DC＝D′C′， AB＝A′B′.
4．画出一个正三棱台的直观图．(尺寸为上、下底面边 长分别为 1 cm、2 cm，高为 2 cm)
【解】 ①画轴．如图所示，画 x 轴、y 轴和 z 轴，三轴 相交于点 O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
②画下底面．以 O 为正三角形 ABC 的中心，在 y 轴上取
线段 EC，使 EC＝
(4)已知图形中平行于 x 轴或 z 轴的线段，在直观图 中 保持原长度不变 ；平行于 y 轴的线段，长度为 原来的一半 .
画水平放置的平面图形的直观图
直观图．
画出如图 1－1－27 所示水平放置的等腰梯形的【 Nhomakorabea路探究】
图 1－1－27
【自主解答】
画法：(1)如图所示，取 AB 所在直线为 x 轴，AB 中点 O 为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系 x′O′y′，使 ∠x′O′y′＝45°.
1．画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直 观图的顶点．确定点的位置，可采用直角坐标系．建立恰 当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称 性，并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直 线上．
苏教版必修二：第一章 立体几何初步 1.2.1
1.2.1平面的基本性质学习目标 1.掌握平面的表示法，点、直线与平面的位置关系.2.掌握有关平面的三个公理及三个推论.3.会用符号表示图形中点、线、面之间的位置关系.知识点一平面的概念思考几何里的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？★★答案★★没有.水平放置的正方形的直观图梳理(1)平面的概念广阔的草原、平静的湖面都给我们以平面的形象.和点、直线一样，平面也是从现实世界中抽象出来的几何概念.(2)平面的画法一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用虚线画出来.(3)平面的表示方法平面通常用希腊字母α，β，γ…表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如图中的平面α、平面AC等.知识点二点、线、面之间的位置关系思考直线和平面都是由点组成的，联系集合的观点，点和直线，平面的位置关系，如何用符号来表示？直线和平面呢？★★答案★★点和直线，平面的位置关系可用数学符号“∈”或“∉”表示，直线和平面的位置关系，可用数学符号“⊂”或“⊄”表示.梳理点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达位置关系符号表示点P在直线AB上P∈AB点C不在直线AB上C∉AB点M在平面AC上M∈平面AC点A1不在平面AC内A1∉平面AC直线AB与直线BC交于点B AB∩BC＝B直线AB在平面AC内AB⊂平面AC直线AA1不在平面AC内AA1⊄平面AC知识点三平面的基本性质思考1直线l与平面α有且仅有一个公共点P.直线l是否在平面α内？有两个公共点呢？★★答案★★前者不在，后者在.思考2观察下图，你能得出什么结论？★★答案★★不共线的三点可以确定一个平面.思考3观察正方体ABCD—A1B1C1D1(如图所示)，平面ABCD与平面BCC1B1有且只有两个公共点B、C吗？★★答案★★不是，平面ABCD与平面BCC1B1相交于直线BC.梳理公理文字语言图形语言符号语言作用(推论)公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内⎭⎪⎬⎪⎫A∈αB∈α⇒AB⊂α(1)判定直线在平面内；(2)证明点在平面内公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线⎭⎪⎬⎪⎫P∈αP∈β⇒α∩β＝l且P∈l(1)判断两个平面是否相交；(2)判定点是否在直线上；(3)证明点共线问题公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C不共线⇒A，B，C确定一个平面α(1)确定一个平面的依据.(2)证明平面重合；(3)证明点、线共面推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面A∉l⇒A和l确定一个平面α推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面a∩b＝A⇒a，b确定一个平面α推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面a∥b⇒a，b确定一个平面α类型一点、直线、平面之间的位置关系的符号表示例1如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.解在(1)中，α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B.在(2)中，α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∩l＝P，b∩l＝P.反思与感悟(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.跟踪训练1根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)l⊂α，m∩α＝A，A∉l；(3)平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.解(1)点A在平面α内，点B不在平面α内，如图①.(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如图②.(3)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC，如图③.类型二点线共面例2如图，已知：a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ⊂α.证明因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β，所以直线a⊂β，点P∈β.因为P∈b，b⊂α，所以P∈α.又因为a⊂α，所以α与β重合，所以PQ⊂α.引申探究将本例中的两条平行线改为三条，即求证：和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内.解已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a，b，c和l共面.证明：如图，∵a∥b，∴a与b确定一个平面α.∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.又∵A∈l，B∈l，∴l⊂α.∵b∥c，∴b与c确定一个平面β，同理l⊂β.∵平面α与β都包含l和b，且b∩l＝B，由公理3的推论知：经过两条相交直线有且只有一个平面，∴平面α与平面β重合，∴a，b，c和l共面.反思与感悟证明多线共面的两种方法(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内.(2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合.跟踪训练2已知l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C如图所示.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.证明方法一(纳入平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1，l2，l3在同一平面内.方法二(辅助平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.类型三点共线、线共点问题命题角度1点共线问题例3如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线.证明如图，连结A1B，CD1，显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1.∴BD1⊂平面A1BCD1.同理BD1⊂平面ABC1D1.∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，∴Q∈平面ABC1D1.又∵A1C⊂平面A1BCD1，∴Q∈平面A1BCD1.∴Q在平面A1BCD1与ABC1D1的交线上，即Q∈BD1，∴B，Q，D1三点共线.反思与感悟证明多点共线通常利用公理2，即两相交平面交线的惟一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在直线上.跟踪训练3已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC ∩α＝R，如图所示.求证：P，Q，R三点共线.证明方法一∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理2可知：点P在平面ABC与平面α的交线上.同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上.∴P 、Q 、R 三点共线. 方法二 ∵AP ∩AR ＝A ，∴直线AP 与直线AR 确定平面APR .又∵AB ∩α＝P ，AC ∩α＝R ，∴平面APR ∩平面α＝PR .∵B ∈平面APR ，C ∈平面APR ，∴BC ⊂平面APR .∵Q ∈BC ，∴Q ∈平面APR .又Q ∈α，∴Q ∈PR ， ∴P 、Q 、R 三点共线. 命题角度2 线共点问题例4 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点.求证：CE 、D 1F ，DA 三线交于一点.证明 如图，连结EF ，D 1C ，A 1B .∵E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点，∴EF 綊12A 1B .又∵A 1B 綊D 1C ， ∴EF 綊12D 1C ，∴E ，F ，D 1，C 四点共面， ∴D 1F 与CE 相交，设交点为P . 又D 1F ⊂平面A 1D 1DA ， CE ⊂平面ABCD ，∴P 为平面A 1D 1DA 与平面ABCD 的公共点. 又平面A 1D 1DA ∩平面ABCD ＝DA ， 根据公理2，可得P ∈DA ， 即CE 、D 1F 、DA 相交于一点.反思与感悟 证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上.此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.跟踪训练4已知：平面α，β，γ两两相交于三条直线l1，l2，l3，且l1，l2不平行.求证：l1，l2，l3相交于一点.证明如图，α∩β＝l1，β∩γ＝l2，α∩γ＝l3.∵l1⊂β，l2⊂β，且l1，l2不平行，∴l1与l2必相交.设l1∩l2＝P，则P∈l1⊂α，P∈l2⊂γ，∴P∈α∩γ＝l3，∴l1，l2，l3相交于一点P.1.用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”为______.★★答案★★A∈l，l⊄α解析∵点A在直线l上，∴A∈l，∵l在平面α外，∴l⊄α.2.平面α，β有公共点A，则α，β有________个公共点.★★答案★★无数解析由公理2可得.3.下图中图形的画法正确的是________.(填序号)★★答案★★①③④⑤4.空间两两相交的三条直线，可以确定的平面数是______.★★答案★★1或3解析若三条直线两两相交，且不共点，则只能确定1个平面；若三条直线两两相交，且共点，则可以确定1个或3个平面.5.如图，a∩b＝A，a∩c＝B，a∩d＝F，b∩c＝C，c∩d＝D，b∩d＝E，求证：a，b，c，d 共面.证明因为A，B，C三点不共线，所以A，B，C三点确定一个平面，设为α.因为A∈a，B∈a，所以a⊂α，因为A∈b，C∈b，所以b⊂α，因为B∈c，C∈c，所以c⊂α，所以a，b，c都在α内.因为D∈c，E∈b，所以D∈α，E∈α.又因为D∈d，E∈d，所以d⊂α，所以a，b，c，d共面.1.解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言.文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚.2.在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用，突出先部分再整体的思想.课时作业一、填空题1.下列推理正确的是________.(填序号)①若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l⊂α；②若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB；③若A∈α，A∈l，则l⊂α；④若A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线，则α，β重合.★★答案★★①②④解析由公理1可知①正确；由公理2可知②正确；若A∈α，A∈l，则l⊂α或l与α相交，即l⊂α不一定成立，③错误；由公理3可知④正确.2.下列说法中，正确的是________.(填序号)①一条直线和一个点确定一个平面；②三角形一定是平面图形；③空间中两两相交的三条直线确定一个平面；④梯形一定是平面图形.★★答案★★②④解析因为一条直线和该直线上的一个点可确定无数个平面，所以①不正确；因为三角形的三个顶点确定一个平面，所以②正确；因为长方体中经过同一顶点的三条棱所在的直线可确定三个平面，所以③不正确；因为梯形上下底平行，而两平行线确定一个平面，所以④正确.3.如图所示，用符号语言可表示为________.(填序号)①α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A；②α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A；③α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂n；④α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n.★★答案★★①解析很明显，α与β交于m，n在α内，m与n交于A，故选①.4.平面α∩平面β＝l，点M∈α，N∈α，点P∈β，且P∉l，又MN∩l＝R，过M，N，P三点所确定的平面记为γ，则β∩γ＝________.★★答案★★PR解析如图，MN⊂γ，R∈MN，∴R∈γ.∵R∈l，∴R∈β.∵P∈γ，P∈β，∴β∩γ＝PR.5.空间任意4点最多可以确定的平面个数为________.★★答案★★ 4解析可以想象三棱锥的4个顶点，它们总共确定4个平面.6.过四条两两平行的直线中的两条最多可确定的平面个数是________.★★答案★★ 6解析如四棱柱中四条侧棱两两平行，过其中两条可确定4个侧面和2个对顶面，共确定6个平面.7.如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是________.★★答案★★P∈直线DE解析因为P∈AB，AB⊂平面ABC，所以P∈平面ABC.又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，所以P∈直线DE.8.下列命题中正确的是________.(填序号)①空间四点中有三点共线，则此四点必共面；②两两相交的三个平面所形成的三条交线必共点；③空间两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④平面α和平面β可以只有一个交点.★★答案★★①解析借助三棱柱，可知②错误；借助正四面体，可知③错误；由公理2，可知④错误；由推论1，可知①正确.9.在底面是平行四边形的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为________.★★答案★★ 5解析如图，底面是平行四边形的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中的每一个面都是平行四边形，与AB，CC1都共面的棱为BC，D1C1，DC，AA1，BB1，共5条.10.如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为AA1，C1D1的中点，过D，M，N三点的平面与直线A1B1交于点P，则线段PB1的长为________.★★答案★★ 34a 解析 延长DM 交D 1A 1的延长线于G 点，连结GN 交A 1B 1于点P .由M ，N 分别为AA 1，C 1D 1的中点知，P 在A 1B 1的14(靠近A 1)处，故线段PB 1的长为34a . 11.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，Q ，R 分别是AB ，AD ，B 1C 1的中点，那么正方体经过P ，Q ，R 的截面图形是________.★★答案★★ 正六边形解析 如图，连结B 1D 1，作RG ∥B 1D 1交C 1D 1于G ，连结QP 并延长与CB 的延长线交于M ，连结MR 交BB 1于E ，连结PE ，PE 为截面与正方体的交线.同理，延长PQ 交CD 的延长线于N ，连结NG 交DD 1于F ，连结QF .∴截面PQFGRE 为正六边形.二、解答题12.已知：A ∈l ，B ∈l ，C ∈l ，D ∉l ，如图所示.求证：直线AD ，BD ，CD 共面.证明 因为D ∉l ，所以l 与D 可以确定一个平面α，因为A ∈l ，所以A ∈α.又D ∈α，所以AD ⊂α.同理，BD ⊂α，CD ⊂α，所以AD ，BD ，CD 在同一平面α内，即直线AD ，BD ，CD 共面.13.如图，直角梯形ABDC 中，AB ∥CD ，AB >CD ，S 是直角梯形ABDC 所在平面外一点，画出平面SBD 和平面SAC 的交线.解 由题意得点S 是平面SBD 和平面SAC 的一个公共点，即点S 在交线上.由于AB >CD ，则分别延长AC 和BD 交于点E ，如图所示，∵E ∈AC ，AC ⊂平面SAC ，∴E ∈平面SAC .同理可证E ∈平面SBD .∴点E 在平面SBD 和平面SAC 的交线上，则连结SE ，直线SE 就是平面SBD 和平面SAC 的交线.三、探究与拓展14.空间中有A ，B ，C ，D ，E 五个点，已知A ，B ，C ，D 在同一个平面内，B ，C ，D ，E 在同一个平面内，那么这五个点________.(填序号)①共面；②不一定共面； ③不共面；④以上都不对.★★答案★★ ②解析 当B ，C ，D 三点共线时，B ，C ，D 三点不能确定平面.A ，B ，C ，D 所在的平面和B ，C ，D ，E 所在的平面可能不同，所以A ，B ，C ，D ，E 五点不一定共面.15.如图所示，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB 和CB 上的点，G ，H 分别是CD 和AD 上的点，且AE EB ＝CF FB ＝1，AH HD ＝CG GD ＝2.求证：EH ，BD ，FG 三条直线相交于同一点. 证明 如图，连结EF ，GH .因为AE EB ＝CF FB ＝1，AH HD ＝CG GD＝2，所以EF ∥AC ，HG ∥AC ，且EF ≠GH ，所以EH ，FG 共面，且EH ，FG 不平行.不妨设EH ∩FG ＝O ，因为O ∈EH ，EH ⊂平面ABD ，所以O ∈平面ABD .因为O ∈FG ，FG ⊂平面BCD ，所以O ∈平面BCD .又因为平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，所以O ∈BD ，所以EH ，BD ，FG 三条直线相交于同一点O .。
高中数学第1章立体几何初步1.2.2空间两条直线的位置关系讲义苏教版必修2
1.2.2 空间两条直线的位置关系1．空间两直线的位置关系2．公理4及等角定理(1)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 符号表示：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c .(2)等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．3．异面直线的判定及其所成的角 (1)异面直线的判定定理提示：(1)异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件．异面直线既不相交，也不平行．(2)不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中，虽然有a α，b β，即a 、b 分别在两个不同的平面内，但是因为a ∩b ＝O ，所以a 与b 不是异面直线．(2)异面直线所成的角①定义：a 与b 是异面直线，经过空间任意一点O ，作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把直线a ′和b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a ，b 所成的角．②异面直线所成的角θ的取值范围：0°<θ≤90°．③当θ＝π2时，a 与b 互相垂直，记作a ⊥b ．1.思考辨析(1)如果a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c .( )(2)如果a ，b 是异面直线，b ，c 是异面直线，则a ，c 也是异面直线．( ) (3)如果a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 也相交． ( ) (4)如果a ，b 共面，b ，c 共面，则a ，c 也共面． ( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．已知棱长为a 的正方体ABCD A ′B ′C ′D ′中，M ，N 分别为CD ，AD 的中点，则MN 与A ′C ′的位置关系是________．平行 [如图所示，MN 12AC ，又∵ACA ′C ′， ∴MN 12A ′C ′.]3．已知AB ∥PQ ，BC ∥QR ，∠ABC ＝30°，则∠PQR 等于__________．30°或150° [∠ABC 的两边与∠PQR 的两边分别平行，但方向不能确定是否相同，所以∠PQR ＝30°或150°.]4．已知a ，b 是异面直线，直线c ∥直线a ，则c 与b 的位置关系是________． 相交或异面 [a ，b 是异面直线，直线c ∥直线a ，因而c 不平行于b ，若c ∥b ，则a ∥b ，与已知矛盾，因而c 不平行于b .]①两条直线无公共点，则这两条直线平行；②两条不重合的直线若不是异面直线，则必相交或平行；③过平面外一点与平面内一点的直线与平面内的任意一条直线均构成异面直线； ④和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线． (2)a ，b ，c 是空间中三条直线，下列给出几个说法： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②a ∥b 是指直线a ，b 在同一平面内且没有公共点；③若a ，b 分别在两个相交平面内，则这两条直线不可能平行．其中正确的有__________．(填序号)思路探究：根据空间两直线位置关系的有关概念及公理4进行判断．(1)② (2)①② [(1)对于①，空间两直线无公共点，则可能平行，也可能异面，因此①不正确；对于②，因为空间两条不重合的直线的位置关系只有三种：平行、相交或异面，所以②正确；对于③，过平面外一点与平面内一点的直线和过平面内这点的直线是相交直线，因此③不正确；对于④，和两条异面直线都相交的两直线可能是相交直线，也可能是异面直线，因此④不正确．(2)由公理4知①正确；由平行线的定义知②正确；若α∩β＝l ，a α，b β，a ∥l ，b ∥l ，则a ∥b ，③错误．]空间两直线的位置关系为相交、平行、异面，若两直线有交点则为相交，若两直线共面且无交点则为平行，若以上情况均不满足则为异面．1．如图所示，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，判断下列直线的位置关系： ①直线A 1B 与直线D 1C 的位置关系是________； ②直线A 1B 与直线B 1C 的位置关系是________； ③直线D 1D 与直线D 1C 的位置关系是________； ④直线AB 与直线B 1C 的位置关系是________．①平行 ②异面 ③相交 ④异面 [直线A 1B 与直线D 1C 在平面A 1BCD 1中，且没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”；点A 1，B ，B 1在一个平面A 1BB 1内，而C 不在平面A 1BB 1内，则直线A 1B 与直线B 1C 异面．同理，直线AB 与直线B 1C 异面，所以②④都应该填“异面”；直线D 1D 与直线D 1C 显然相交于D 1点，所以③应该填“相交”．]1．如图所示，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，若E ，F ，G ，H 分别为PA ，PB ，PC ，PD 的中点．那么四边形EFGH 是什么四边形？为什么？[提示] 平行四边形．因为在△PAB 中， ∵E ，F 分别是PA ，PB 的中点， ∴EF 12AB ，同理GH 12DC .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴ABCD ，∴EFGH ，∴四边形EFGH 是平行四边形．2．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么由等角定理能推出什么结论？ [提示] 这两条直线所成的锐角(或直角)相等．【例2】 如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，E 1，F 1分别为棱AD ，AB ，B 1C 1，C 1D 1的中点．求证：∠EA 1F ＝∠E 1CF 1.思路探究：解答本题时，可先证明角的两边分别平行，即A 1E ∥CE 1，A 1F ∥CF 1，然后根据等角定理，得出结论．[证明] 如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，取A 1B 1的中点M ，连结BM ，MF 1， 则BF ＝A 1M ＝12AB .又BF ∥A 1M ，∴四边形A 1FBM 为平行四边形， ∴A 1F ∥BM .而F 1，M 分别为C 1D 1，A 1B 1的中点，则F 1MC 1B 1. 而C 1B 1BC ，∴F 1M ∥BC ，且F 1M ＝BC . ∴四边形F 1MBC 为平行四边形， ∴BM ∥F 1C .又BM ∥A 1F ， ∴A 1F ∥CF 1.同理取A 1D 1的中点N ，连结DN ，E 1N ，则A 1NDE ， ∴四边形A 1NDE 为平行四边形， ∴A 1E ∥DN .又E 1N ∥CD ，且E 1N ＝CD ， ∴四边形E 1NDC 为平行四边形， ∴DN ∥CE 1，∴A 1E ∥CE 1.∴∠EA 1F 与∠E 1CF 1的两边分别对应平行． 即A 1E ∥CE 1，A 1F ∥CF 1， ∴∠EA 1F ＝∠E 1CF 1.运用公理4的关键是寻找“中间量”即第三条直线．证明角相等的常用方法是等角定理，另外也可以通过证明三角形相似或全等来实现．2．如图，已知棱长为a 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱CD ，AD 的中点．(1)求证：四边形MNA 1C 1是梯形； (2)求证：∠DNM ＝∠D 1A 1C 1. [证明] (1)在△ADC 中， ∵M ，N 分别是CD ，AD 的中点， ∴MN 是△ADC 的中位线．∴MN 12AC .由正方体性质知，ACA 1C 1， ∴MN 12A 1C 1，即MN ≠A 1C 1.∴四边形MNA 1C 1是梯形． (2)由(1)可知MN ∥A 1C 1， 又因为ND ∥A 1D 1，而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均是直角三角形的锐角， ∴∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.11111111DB 1与EF 所成角的大小．思路探究：先根据异面直线所成角的定义找出角，再在三角形中求解．[解] 法一：如图(1)，连结A 1C 1，B 1D 1，并设它们相交于点O ，取DD 1的中点G ，连结OG ，A 1G ，C 1G ，则OG ∥B 1D ，EF ∥A 1C 1，(1)∴∠GOA 1为异面直线DB 1与EF 所成的角或其补角． ∵GA 1＝GC 1，O 为A 1C 1的中点． ∴GO ⊥A 1C 1.∴异面直线DB 1与EF 所成的角为90°.法二：如图(2)，连结A 1D ，取A 1D 的中点H ，连结HE ，HF ，则HE ∥DB 1，且HE ＝12DB 1.(2)于是∠HEF 为异面直线DB 1与EF 所成的角或补角．设AA 1＝1.则EF ＝22，HE ＝32， 取A 1D 1的中点I ，连结IF ，IH ，则HI ⊥IF ， ∴HF 2＝HI 2＋IF 2＝54，∴HF 2＝EF 2＋HE 2.∴∠HEF ＝90°，∴异面直线DB 1与EF 所成的角为90°.法三：如图(3)，在原正方体的右侧补上一个全等的正方体，连结DQ ，B 1Q ，则B 1Q ∥EF .(3)于是∠DB 1Q 为异面直线DB 1与EF 所成的角或其补角．设AA 1＝1，则DQ ＝22＋1＝5，B 1D ＝12＋12＋12＝3，B 1Q ＝12＋12＝2，所以B 1D 2＋B 1Q 2＝DQ 2，从而异面直线DB 1与EF 所成的角为90°.求两条异面直线所成角的步骤(1)恰当选点，用平移法构造出一个相交角． (2)证明这个角就是异面直线所成的角(或补角)．(3)把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求出所构造的角的度数．(4)给出结论：若求出的平面角是锐角或直角，则它就是两条异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是两条异面直线所成的角．3.如图所示，在空间四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AB ⊥CD ，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，求EF 和AB 所成的角．[解] 如图所示，取BD 的中点G ，连结EG ，FG . ∵E ，F ，G 分别为BC ，AD ，BD 的中点，AB ＝CD ， ∴EG 12CD ，GF 12AB .∴∠GFE 就是EF 与AB 所成的角或其补角． ∵AB ⊥CD ，∴EG ⊥GF ， ∴∠EGF ＝90°. ∵AB ＝CD ，∴EG ＝GF ， ∴△EFG 为等腰直角三角形，∴∠GFE ＝45°，即EF 和AB 所成的角为45°.1．本节课的重点是会判断空间两直线的位置关系，理解异面直线的定义，会求两异面直线所成的角，能用公理4和等角定理解决一些简单的相关问题．难点是求异面直线所成的角．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)判断两条直线位置关系的方法．(2)证明两条直线平行的方法．(3)求异面直线所成角的解题步骤．3．本节课的易错点是将异面直线所成的角求错．1．分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面D．以上皆有可能[答案] D2．若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是________．平行或异面[若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线．]3．空间中有一个∠A的两边和另一个∠B的两边分别平行，∠A＝70°，则∠B＝________．70°或110°[∵∠A的两边和∠B的两边分别平行，∴∠A＝∠B或∠A＋∠B＝180°，又∠A＝70°，∴∠B＝70°或110°.]4．如图，已知长方体ABCDA′B′C′D′中，AB＝23，AD＝23，AA′＝2.(1)BC和A′C′所成的角是多少度？(2)AA′和BC′所成的角是多少度？[解](1)因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角．在Rt△A′B′C′中，A′B′＝23，B′C′＝23，所以∠B′C′A′＝45°.(2)因为AA′∥BB′，所以∠B′BC′是异面直线AA′和BC′所成的角．在Rt△BB′C′中，B′C′＝AD＝23，BB′＝AA′＝2，所以BC′＝4，∠B′BC′＝60°.因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°.。
最新苏教版高中数学必修二第一章-立体几何初步1.1.1ppt课件
●教学建议 本节内容是立体几何的入门教学，是义务教育阶段“空 间与图形”课程的延续与提高，通过本节内容的学习可帮助 学生逐步形成空间想象能力．由于本节知识具有概念多，感 知性强等特点，教学时建议采用启导法和多媒体辅助教学 法．引导学生从熟悉的物体入手，利用实物模型、计算机软 件观察大量空间图形，多角度、多层次地揭示空间图形的本 质．按照从整体到局部、由具体到抽象的原则，让学生认识 棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征，进而通过空间图形，培 养和发展学生的空间想象能力．
【错因分析】 上述解答过程都运用了“以偏概全”的 思想，都是根据相应概念的某一结论去判断几何体，判断的 依据不充分．
【防范措施】 判断一个几何体是否为棱柱、棱锥、棱 台，应按照几何体的定义，抓住几何体的本质特征，严防“以 偏概全”．
【正解】 图甲这个几何体不是棱柱．这是因为虽然上、 下面平行，但是四边形 ABB1A1 与四边形 A1B1B2A2 不在一个平 面内．所以多边形 ABB1B2A2A1 不是一个平面图形，它更不是 一个平行四边形，因此这个几何体不是一个棱柱；图乙中的 六个三角形没有一个公共点，故不是棱锥，只是一个多面体； 图丙也不是棱台，因为侧棱的延长线不能相交于同一点．
【思路探究】 根据棱柱的定义或棱柱的结构特征进行 判断．
【自主解答】 是棱柱，并且是四棱柱．因为它可以看 成由四边形 ADD1A1 沿 AB 方向平移至四边形 BCC1B1 形成的 几何体，符合棱柱的定义．
(2)截面 BCFE 右边的部分是三棱柱 BEB1－CFC1，其中 △BEB1 与△CFC1 是底面．截面 BCFE 左边的部分是四棱柱 ABEA1－DCFD1，其中四边形 ABEA1 和四边形 DC棱柱； (2)使它是五棱锥．
【解】 如图(1)(2)所示．
苏教版必修二：第一章 立体几何初步 1.3.1
1.3.1空间几何体的表面积学习目标 1.通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积的求法.2.了解柱体、锥体、台体的表面积计算公式；能运用柱体、锥体、台体的表面积公式进行计算和解决有关实际问题.3.培养空间想象能力和思维能力.知识点一直棱柱和正棱锥的表面积思考1直棱柱和正棱锥的特征是什么？★★答案★★直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱；正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的正投影是底面中心.思考2下图是直六棱柱的展开图，你能根据展开图归纳出直棱柱的侧面面积公式吗？★★答案★★S直棱柱侧面积＝ch，即直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积.思考3下图是正四棱锥的展开图，设底面周长为c，你能根据展开图，归纳出正n棱锥的侧面面积公式吗？★★答案★★S正棱锥侧面积＝12nah′＝12ch′，即正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的一半.思考4 如何求多面体的表面积？★★答案★★ 一般地，我们可以把多面体展开成平面图形，求出展开图中各个小多边形的面积，然后相加即为多面体的表面积. 梳理 (1)直棱柱的侧面积①侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱.②直棱柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长等于直棱柱的底面周长c ，宽等于直棱柱的高h ，因此，直棱柱的侧面积是S 直棱柱侧＝ch . ③底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱. (2)正棱锥的侧面积①如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心，那么称这样的棱锥为正棱锥.正棱锥的侧棱长都相等.②棱锥的侧面展开图是由各个侧面组成的，展开图的面积就是棱锥的侧面积.如果正棱锥的底面周长为c ，斜高(即侧面等腰三角形底边上的高)为h ′，它的侧面积是S 正棱锥侧＝12ch ′.知识点二 正棱台的表面积思考1 什么是正棱台？正棱台的侧面展开图是怎样的图形？★★答案★★ 正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台. 正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形.思考2 如图是正四棱台的展开图，设下底面周长为c ，上底面周长为c ′，你能根据展开图，归纳出正n 棱台的侧面面积公式吗？★★答案★★ S 正棱台侧面积＝12 n (a ＋a ′)h ′＝12(c ＋c ′)h ′.思考3 正棱台的侧面积除了用展开图的方法求外，你还有其他方法吗？棱台的表面积如何求？★★答案★★ 可以用求两个正棱锥侧面积之差的方法得出. 棱台的表面积等于侧面积与底面积的和.梳理 正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台.与正棱锥的侧面积公式类似，若设正棱台的上、下底面的周长分别为c ′，c ，斜高为h ′，则其侧面积是S 正棱台侧＝12(c ＋c ′)h ′.知识点三 圆柱、圆锥、圆台的表面积思考1 圆柱OO ′及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？ ★★答案★★ S 侧＝2πrl ，S 表＝2πr (r ＋l ).思考2 圆锥SO 及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？★★答案★★ 底面周长是2πr ，利用扇形面积公式得 S 侧＝12×2πrl ＝πrl ，S 表＝πr 2＋πrl ＝πr (r ＋l ).思考3 圆台OO ′及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？★★答案★★ 由题图知，圆台的侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长，则x x ＋l ＝rR ，解得x ＝rR －r l .S 扇环＝S 大扇形－S 小扇形 ＝12(x ＋l )×2πR －12x ×2πr ＝π[(R －r )x ＋Rl ]＝π(r ＋R )l ，所以S圆台侧＝π(r＋R)l，S圆台表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2). 梳理图形表面积公式旋转体圆柱底面积：S底＝2πr2侧面积：S侧＝πrl，表面积：S＝πr(r＋l)圆锥底面积：S底＝πr2，侧面积：S侧＝2πrl，表面积：S＝2πr(r＋l)圆台上底面面积：S上底＝πr′2，下底面面积：S下底＝πr2，侧面积：S侧＝π(r′l＋rl)，表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)类型一求多面体的侧面积和表面积例1正四棱台两底面边长分别为a和b(a<b).(1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积；(2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高.解(1)如图所示，设O1、O分别上、下底面的中心，过C1作C1E⊥AC于E，过E作EF ⊥BC，连结C1F，则C1F为正四棱台的斜高.由题意知∠C1CO＝45°，CE＝CO－EO＝CO－C1O1＝22(b－a).在Rt△C1CE中，C1E＝CE＝22(b－a)，又EF＝CE·sin 45°＝12(b－a)，∴C1F＝C1E2＋EF2＝⎣⎡⎦⎤22(b－a)2＋⎣⎡⎦⎤12(b－a)2＝32(b－a).∴S 侧＝12(4a ＋4b )×32(b －a )＝3(b 2－a 2).(2)∵S 侧＝S 底，S 底＝a 2＋b 2， ∴12(4a ＋4b )·h 斜＝a 2＋b 2， ∴h 斜＝a 2＋b 22(a ＋b ).又EF ＝b －a 2，∴h ＝h 2斜－EF 2＝ab a ＋b . 引申探究若四棱台的高是12 cm ，两底面边长之差为10 cm ，表面积为512 cm 2，求底面的边长. 解 如图，设上底面边长为x cm ，则下底面边长为(x ＋10)cm ，在Rt △E 1FE 中， EF ＝x ＋10－x 2＝5(cm).∵E 1F ＝12 cm ， ∴斜高E 1E ＝13 cm.∴S 侧＝4×12(x ＋x ＋10)×13＝52(x ＋5)，S 表＝52(x ＋5)＋x 2＋(x ＋10)2＝2x 2＋72x ＋360. ∵S 表＝512 cm 2， ∴2x 2＋72x ＋360＝512， 解得x 1＝－38(舍去)，x 2＝2. ∴x 2＋10＝12.∴正四棱台的上、下底面边长分别为2 cm 、12 cm.反思与感悟 (1)求棱锥、棱台及棱柱的侧面积和表面积的关键是求底面边长，高，斜高，侧棱.求解时要注意直角三角形和梯形的应用.(2)正棱柱、正棱锥、正棱台的所有侧面都全等，因此求侧面积时，可先求一个侧面的面积，然后乘以侧面的个数.(3)棱台是由棱锥所截得到的，因此棱台的侧面积也可由大小棱锥侧面积作差得到. 跟踪训练1 已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，高为3，求它的表面积. 解 如图，设PO ＝3，PE 是斜高，∵S 侧＝2S 底， ∴4·12·BC ·PE ＝2BC 2，∴BC ＝PE .在Rt △POE 中，PO ＝3，OE ＝12BC ＝12PE ，∴9＋⎝⎛⎭⎫PE 22＝PE 2， ∴PE ＝2 3.∴S 底＝BC 2＝PE 2＝(23)2＝12， S 侧＝2S 底＝2×12＝24， ∴S 表＝S 底＋S 侧＝12＋24＝36. 类型二 求旋转体的表面积例2 圆台的上、下底面半径分别为10 cm 和20 cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，那么圆台的表面积是________ cm 2.(结果中保留π) ★★答案★★ 1 100π 解析 如图所示，设圆台的上底面周长为c ， 因为扇环的圆心角是180°， 故c ＝π×SA ＝2π×10， 所以SA ＝20. 同理可得SB ＝40. 所以AB ＝SB －SA ＝20， 所以S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下＝π(r 1＋r 2)×AB ＋πr 21＋πr 22＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm 2). 故圆台的表面积为1 100π cm 2.引申探究若本例条件改为：圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，求圆台较小底面的半径. 解 设圆台较小底面的半径为r ，则另一底面半径为3r ，由题意知母线长l ＝3， ∵S 侧＝π(r ＋3r )×3＝84π，∴r ＝7.反思与感悟 (1)求圆柱、圆锥和圆台的侧面积和表面积，只需求出上、下底半径和母线长即可，求半径和母线长时常借助轴截面.(2)解答旋转体的侧面积与表面积问题可先把空间问题转化为平面问题，即在展开图内求母线的长，再进一步代入侧面积公式求出侧面积，进而求出表面积.(3)旋转体的轴截面是化空间问题为平面问题的重要工具，因为在轴截面中集中体现了旋转体的“关键量”之间的关系.在推导这些量之间的关系时要注意比例性质的应用.跟踪训练2 若圆锥的母线长为2 cm ，底面圆的周长为2π cm ，则圆锥的表面积为________ cm 2.★★答案★★ 3π解析 因为底面圆的周长为2π cm ，所以底面圆的半径为1 cm ，所以圆锥的底面积为π cm 2，圆锥的侧面积为12×2×2π＝2π(cm 2)，所以圆锥的表面积为3π cm 2.类型三 简单组合体的表面积例3 牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合体，尺寸如图所示(单位：m)，请你帮助算出要搭建这样的一个蒙古包至少需要多少篷布？(精确到0.01 m 2)解 上部分圆锥体的母线长为 1.22＋2.52 m ，其侧面积为S 1＝π×52× 1.22＋2.52(m 2).下部分圆柱体的侧面积为S 2＝π×5×1.8(m 2). ∴搭建这样的一个蒙古包至少需要的篷布为 S ＝S 1＋S 2＝π×52× 1.22＋2.52＋π×5×1.8≈50.05(m 2).反思与感悟 (1)组合体的侧面积和表面积问题，首先要弄清楚它是由哪些简单几何体组成，然后再根据条件求各个简单组合体的基本量，注意方程思想的应用.(2)在实际问题中，常通过计算物体的表面积来研究如何合理地用料，如何节省原材料等，在求解时应结合实际，明确实际物体究竟是哪种几何体，哪些面计算在内，哪些面实际没有.跟踪训练3 有两个相同的直棱柱，高为2a ，底面三角形的边长分别为3a,4a,5a (a >0).用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，求a 的取值范围.解 两个相同的直棱柱拼成一个三棱柱或四棱柱，有四种情况：四棱柱有一种，边长为5a 的边重合在一起，表面积为24a 2＋28.三棱柱有三种，边长为4a 的边重合在一起，表面积为24a 2＋32；边长为3a 的边重合在一起，表面积为24a 2＋36；两个相同的直三棱柱竖直放在一起，表面积为12a 2＋48. 最小的是一个四棱柱，即24a 2＋28<12a 2＋48， 即a 2<53，又a >0，∴0<a <153.∴a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，153.1.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是________. ★★答案★★ 2π解析 底面圆半径为1，高为1，侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π.2.已知一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为________. ★★答案★★ 4 解析 ∵l ＝R ＋r2，∴S 侧＝π(R ＋r )l ＝2πl 2＝32π，∴l ＝4. 3.若正三棱锥的斜高是高的233倍，则该正三棱锥的侧面积是底面积的________倍. ★★答案★★ 2 解析 ∵h ′h ＝233，OM h ′＝h ′2－h 2h ′＝1－h 2h ′2＝1－1(h ′h)2＝1－34＝12. 设底面边长为a ，正三棱锥的侧面积为3·12h ′a ，正三棱锥的底面积为3·12·OM ·a ，则正三棱锥的侧面积与底面积的比为h ′∶OM ＝2， 故该正三棱锥的侧面积是底面积的2倍.4.已知一个正四棱柱的对角线的长是9 cm ，表面积等于144 cm 2，则这个棱柱的侧面积为________ cm 2.★★答案★★ 112或72解析 设底面边长、侧棱长分别为a cm 、l cm ，则⎩⎨⎧a 2＋a 2＋l 2＝9，2a 2＋4al ＝144，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，l ＝7或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，l ＝3.∴S 侧＝4×4×7＝112(cm 2)或S 侧＝4×6×3＝72 (cm 2).5.以圆柱的上底中心为顶点，下底为底作圆锥，假设圆柱的侧面积为6，圆锥的侧面积为5，求圆柱的底面半径.解 如图所示，设圆柱底面圆的半径为R ，高为h ，则圆锥的底面半径为R ，高为h ，设圆锥母线长为l ，则有l ＝R 2＋h 2.① 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2πRh ＝6，πRl ＝5，②由①②，得R ＝2ππ，即圆柱的底面半径为2ππ.1.多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和.棱柱的表面积等于它的侧面积加底面积；棱锥的表面积等于它的侧面积加底面积；棱台的表面积等于它的侧面积加两个底的面积. 2.有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解.而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解. 3.S 圆柱表＝2πr (r ＋l )；S 圆锥表＝πr (r ＋l )；S 圆台表＝π(r 2＋rl ＋Rl ＋R 2).课时作业一、填空题1.正三棱锥的底面边长为a ，高为33a ，则此棱锥的侧面积为________. ★★答案★★154a 2解析 如图，在正三棱锥S —ABC 中，过点S 作SO ⊥平面ABC 于点O ，则O 为△ABC 的中心，连结AO 并延长与BC 相交于点M ，连结SM ，SM 即为斜高h ′，在Rt △SMO 中，h ′＝(33a )2＋(36a )2＝156a ， 所以侧面积S ＝3×12×156a ×a ＝154a 2.2.若圆柱的底面面积为S ，侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的侧面积是________. ★★答案★★ 4πS解析 设圆柱的底面半径为r ，则πr 2＝S ，r ＝Sπ.又侧面展开图是正方形，所以圆柱的侧面积S 侧＝(2πS π)2＝4πS . 3.正六棱台的上，下两底面的边长分别是1 cm,2 cm ，高是1 cm ，则它的侧面积为________ cm 2.★★答案★★972解析 正六棱台的侧面是6个全等的等腰梯形，上底长为1 cm ，下底长为2 cm ，高为正六棱台的斜高.又边长为1 cm 的正六边形的中心到各边的距离是32cm ，边长为2 cm 的正六边形的中心到各边的距离是 3 cm ，则梯形的高为12＋(3－32)2＝72(cm)，所以正六棱台的侧面积为6×12×(1＋2)×72＝972(cm 2). 4.圆锥的底面半径为1，高为3，则该圆锥的表面积为________.★★答案★★ 3π解析 设圆锥的母线长为l ，则l ＝12＋(3)2＝2，所以圆锥的表面积为S ＝π×1×(1＋2)＝3π.5.底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的体对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是________.★★答案★★ 160解析 设底面边长是a ，底面的两条对角线分别为l 1，l 2，所以l 21＝152－52，l 22＝92－52.又l 21＋l 22＝4a 2，即152－52＋92－52＝4a 2，所以a ＝8，所以S 侧面积＝ch ＝4×8×5＝160.6.一个长方体的长，宽，高分别为9,8,3，若在上面钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，则孔的半径为________.★★答案★★ 3解析 由题意知，圆柱侧面积等于圆柱上、下底面和，即2πr ×3＝2πr 2，所以r ＝3.7.如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，三棱锥D 1—AB 1C 的表面积与正方体的表面积的比为________.★★答案★★ 1∶ 3解析 设正方体棱长为1，则其表面积为6，三棱锥D 1—AB 1C 为正四面体，每个面都是边长为2的正三角形，其表面积为4×12×2×62＝23，所以三棱锥D 1—AB 1C 的表面积与正方体的表面积的比为1∶ 3.8.若一个圆台的轴截面如图所示，则其侧面积等于______.★★答案★★ 35π解析 ∵圆台的母线长为(2－1)2＋22＝5，∴S 圆台侧＝π(1＋2)·5＝35π. 9.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a 的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________.★★答案★★ 2∶1解析 ∵S 圆柱＝2·π⎝⎛⎭⎫a 22＋2π·a 2·a ＝32πa 2， S 圆锥＝π⎝⎛⎭⎫a 22＋π·a 2·a ＝34πa 2， ∴S 圆柱∶S 圆锥＝2∶1.10.如图(1)所示，已知正方体面对角线长为a ，沿阴影面将它切割成两块，拼成如图(2)所示的几何体，那么此几何体的表面积为________.★★答案★★ (2＋2)a 2解析 由已知可得正方体的边长为22a ，新几何体的表面积为S 表＝2×22a ×a ＋4×⎝⎛⎭⎫22a 2＝(2＋2)a 2.11.有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为2，则该塔形几何体的表面积为________.★★答案★★ 36解析 易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，2，1，∴S 表＝2×22＋4×[22＋(2)2＋12]＝36.∴该几何体的表面积为36.二、解答题12.如图所示，△ABC 的三边长分别是AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，作CD ⊥AB ，垂足为点D .以AB 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积.解 在△ABC 中，由AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5知，AC 2＋BC 2＝AB 2，所以AC ⊥BC .所以CD ＝125，记为r ＝125， 那么△ABC 以AB 所在直线为轴旋转所得的旋转体是两个同底的圆锥，且底面半径r ＝125， 母线长分别是AC ＝3，BC ＝4， 所以S 表面积＝πr ·(AC ＋BC )＝π×125×(3＋4)＝845π. 所以，所求旋转体的表面积是845π. 13.一个圆锥的底面半径为2 cm ，高为6 cm ，在其中有一个高为x cm 的内接圆柱.(1)求圆锥的侧面积；(2)当x 为何值时，圆柱的侧面积最大？求出最大值.解 (1)圆锥的母线长为62＋22＝210(cm)，所以圆锥的侧面积S ＝π×2×210＝410π (cm 2).(2)画出轴截面如图所示.设圆柱的半径为r .由题意知r 2＝6－x 6， 所以r ＝6－x 3， 所以圆柱的侧面积S ＝2πrx ＝2π3(－x 2＋6x )， 所以当x ＝3 cm 时，S 最大＝6π cm 2.三、探究与拓展14.已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为________.★★答案★★ 7解析 设圆台较小底面的半径为r ，则另一底面的半径为3r .由S 侧＝3π(r ＋3r )＝84π，解得r ＝7.15.如图，已知正三棱锥S －ABC 的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO ＝3，求此正三棱锥的表面积.解 如图，设正三棱锥的底面边长为a ，斜高为h ′.过点O 作OE ⊥AB ，与AB 交于点E ，连结SE ，则SE ⊥AB ，SE ＝h ′.∵S 侧＝2S 底，∴12×3a ×h ′＝34a 2×2， ∴a ＝3h ′.∵SO ⊥OE ，∴SO 2＋OE 2＝SE 2，∴32＋(36×3h ′)2＝h ′2， ∴h ′＝23，∴a ＝3h ′＝6.∴S 底＝34a 2＝34×62＝93，S 侧＝2S 底＝183， ∴S 表＝S 侧＋S 底＝183＋93＝27 3.。
最新苏教版高中数学必修二第一章-立体几何初步1.3.1ppt课件
∴S1∶S2＝(4 3＋8)∶(4 3＋9)．
1．柱、锥、台的侧面积分别是它们侧面展开图的 面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线 段与原几何体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解有 关问题的关键．
故最短线路的长为 a2＋b2＋c2＋2bc.
对几何体的表面积考虑不全致误 如图 1－3－3 所示，从底面半径为 2a，高为 3 a 的圆柱中，挖去一个底面半径为 a 且与圆柱等高的圆锥， 求圆柱的表面积 S1 与挖去圆锥后的几何体的表面积 S2 之比．
图 1－3－3
【错解】 由题意，知 S1＝2π·2a· 3a＋2π(2a)2＝(4 3＋ 8)πa2，S2＝S1－πa2＝(4 3＋7)πa2.
旋转体的表面积 如图 1－3－1 所示，已知直角梯形 ABCD，BC
∥AD，∠ABC＝90°，AB＝5 cm，BC＝16 cm，AD＝4 cm.求 以 AB 所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积．
图 1－3－1
【自主解答】 以 AB 所在直线为轴旋转一周所得几何体 是圆台，其上底半径是 4 cm，下底半径是 16 cm，母线 DC ＝ 52＋16－42＝13(cm)．
【解】 以 BC 所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆 柱和圆锥的组合体，如图所示．
其中圆锥的高为 16－4＝12 cm. 圆锥的母线长为 CD＝ 122＋52＝13 cm. 故该几何体的表面积为： 2π×5×4＋π×52＋π×5×13＝130π(cm2).
几何体的侧面展开问题
圆台上底半径为 1，下底半径为 4，母线 AB＝ 12，从 AB 的中点 M 拉一条绳子绕圆台侧面转到 A 点．
苏教版数学必修二课件：第一章 立体几何初步1.1.1
棱台
由三棱锥、 上底面：原棱锥的截面，
四棱锥、五 下底面：原棱锥的底面，
棱锥、…… 侧面：其余各面，
截得的棱台 侧棱：相邻侧面的公
分别叫做三 共边，
棱台、四棱 顶点：侧面与上(下)底
台、五棱台、 面的公共顶点
……
知识点四 多面体
思考 一般地，怎样定义多面体？围成多面体的各个多边形，相邻两个 多边形的公共边，以及这些公共边的公共点分别叫什么名称？ 答案 多面体是由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多 边形叫多面体的面；相邻两个面的公共边叫多面体的棱；棱和棱的公共 点叫多面体的顶点.
解答
反思与感悟 棱锥、棱台结构特征问题的判断方法 (1)举反例法 结合棱锥、棱台的定义举反例直接说明关于棱锥、棱台结构特征的某些 说法不正确. (2)直接法
棱锥
棱台
只有一个面是多边形，此面即
定底面
两个互相平行的面，即为底面
为底面
看侧棱
相交于一点
延长后相交于一点
跟踪训练2 下列关于棱锥、棱台的说法： ①棱台的侧面一定不会是平行四边形； ②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥； ③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥. 其中正确说法的序号是_①__②_____.
几何体叫
A′B′C′D′E′F 顶点：侧面与底面
做棱柱
的公共顶点
底面为三角 形、四边形、 五边形…… 的棱柱分别 称为三棱柱、 四棱柱、五 棱柱……
知识点二 棱锥的结构特征 思考 观察下列多面体，有什么共同特点？
答案 (1)有一个面是多边形； (2)其余各面都是有一个公共顶点的三角形.
梳理 棱锥的结构特征
名称 定义
图形及表示
当棱柱的一
苏教版必修2数学课件-第1章立体几何初步第2节点、线、面之间的位置关系
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法二： ∵l1∩l2＝A，∴l1，l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β. ∵A∈l2，l2 α，∴A∈α. ∵A∈l2，l2∈β，∴A∈β. 同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. ∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内． ∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．
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D [A错误，不共线的三点可以确定一个平面． B错误，一条直线和直线外一个点可以确定一个平面． C错误，四边形不一定是平面图形． D正确，两条相交直线可以确定一个平________．
α∩β＝m，n α 且 m∩n＝A [由题图可知平面 α 与平面 β 相交 于直线 m，且直线 n 在平面 α 内，且与直线 m 相交于点 A，故用符 号可表示为：α∩β＝m，n α 且 m∩n＝A.]
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2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)理解平面的概念及空间图形画法要求． (2)文字语言、符号语言、图形语言的转换方法． (3)证明点、线共面的方法． (4)证明点共线、线共点的方法． 3．本节课的易错点是平面基本性质运用中忽略重要条件．
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当堂达标 固双基
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1．已知点A，直线a，平面α，以下命题表述不正确的个数( )
4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，画出平面ACD1与平面BDC1的 交线，并说明理由．
[解] 设AC∩BD＝M，C1D∩CD1＝N，连结MN，则平面ACD1 ∩平面BDC1＝MN，
如图．理由如下： ∵点M∈平面ACD1， 点N 平面ACD1， 所以MN 平面ACD1.
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同理，MN 平面BDC1， ∴平面ACD1∩平面BDC1＝MN，即MN是平面ACD1与平面BDC1 的交线．
苏教版高中数学必修二第一章-立体几何初步1.2.4第2课时ppt课件
教 师 备 课 资 源
SJ · 数学
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学
必修2
易 错 易 误 辨 析
课 标 解 读
1.了解二面角的概念，能在长方体中 度量二面角．(难点) 2．理解并掌握面面垂直的判定定理和 性质定理．(重点、难点)
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
课 时 作 业
课 堂 互 动 探 究
直观感知中得出面面垂直的判定及性质定理，重难点顺利突 破．
菜 单
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易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标
●教学建议 本节课在学习了直线与平面垂直的基础上，介绍了面面 垂直的定义及判定及性质定理，是前面知识的巩固升华，所 以，本节课的内容及思想方法，在整个立体几何里，有非常 重要的作用．基于学生立体几何的基础比较薄弱，教学时， 建议采用发现探讨式的教学方法，用由浅入深的问题引导学 生自己去发现问题、产生概念、形成定理．同时在例题的讲 解中，教师应重视加强题组的设计和变形，使教学真正体现 出由浅入深，由易到难的特点，通过题组训练，使学生建立 “面面垂直”的问题与“线面垂直”的问题互化意识．培养 学生的思维能力、论证能力．
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精品苏教版高中数学必修二第一章-立体几何初步1.1.2ppt课件
1．圆柱、圆台、圆锥的关系如图所示：
2．处理台体问题常采用还台为锥的补体思想，处理 组合体问题常采用分割思想．
3．重视圆柱、圆台、圆锥的轴截面在解决与旋转体 相关量(如母线长等)中的特殊作用，体会空间几何问题平 面化的思想．
1 ． 如 图 1 － 1 － 16 所 示 的 物 体 ， 是 旋 转 体 的 有 __________(将所有正确图形的序号都填上)．
(4)以 AD 边所在的直线为轴旋转得到一个组合体：一个 圆柱上部挖去一个圆锥，如图④所示.14 分
1．根据几何体的结构特征判断几何体的类型，首先要熟 练掌握各类几何体的概念，把握好各类几何体的主要特征， 其次要有一定的空间想象能力．
2．对于不规则的平面图形绕轴旋转问题，要先对原平面 图形作适当的分割，再根据柱、锥、台的结构特征进行判断．
给出以下四个命题： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的 连线是圆柱的母线； ②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母 线； ③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线 是圆台的母线； ④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的． 上述命题中正确的是________．
【解析】 ①不正确，因为这两点的连线不一定与圆柱 的旋转轴平行；②符合圆锥母线的定义，正确；③不正确， 结合圆台母线的定义可知，母线与旋转轴的延长线应交于一 点，而从圆台上、下底面圆周上各取一点，其连线未必满足 这一条；④正确，符合圆柱母线的性质．
蜂房上有许多巢，取一个巢来看，它是正六角形的柱体， 其上底是由三个全等的菱形组成(如图所示)，早在公元 300 年前后，亚历山大的巴普士就研究过蜂房的形状，他认为六 棱柱的巢的结构是最经济的结构，开普勒曾说过这种充满空 间的对称的蜂房的角应该和菱形十二面体(各个面都是菱形 的十二面体)的解一样.18 世纪法国天文学家马拉尔弟经过实 际 测 量 后 指 出 蜂 巢 顶 部 菱 形 的 两 角 分 别 是 109°28′ 和 70°32′.法国自然哲学家列俄木作出一个猜想，他认为用这样 的角度来建造蜂房，在相同的容积下最节省材料．
苏教版高中数学必修2第一章立体几何初步1
苏教版高中数学必修2第一章立体几何初步1.1－1.2检测试题测试时间：100分钟，满分：150分班级 姓名一. 选择题（12×5=60分）1.在空间内，可以确定一个平面的条件是（ ） （A ）一条直线（B ）不共线的三个点（C ）任意的三个点 （D ）两条直线2.异面直线是指（ ）（A ）空间中两条不相交的直线（B ）平面内的一条直线与平面外的一条直线 （C ）分别位于两个不同平面内的两条直线 （D ）不同在任何一个平面内的两条直线3.半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所得的几何体是（ ） （A ）球 （B ）球面 （C ）球或球面 （D ）以上均不对4.用符号表示“点A 在直线上l ，在平面α外”，正确的是（ ） （A ）A ∈l ,l ∉α （B ）A l ∈ ,l α⊄ （C ）A l ⊂,l α⊄ （D ）A l ⊂,l ∉α5.下列叙述中，正确的是（ ） （A ）四边形是平面图形。
（B ）有三个公共点的两个平面重合。
（C ）两两相交的三条直线必在同一个平面内。
（D ）三角形必是平面图形。
6.有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( )（A ）棱台 （B ）棱锥 （C ）棱柱 （D ）都不对7.下列叙述中，正确的是（ ） （A ）因为,P Q αα∈∈，所以PQ ∈α （B ）因为P α∈，Q β∈，所以αβ⋂=PQ （C ）因为AB α⊂，C ∈AB ，D ∈AB ，所以CD ∈α（D ）因为AB α⊂,AB β⊂,所以()A αβ∈⋂且()B αβ∈⋂ 8.如果OA ‖11O A ， OB ‖11O B ，那么AOB ∠与111AO B ∠（ ） （A ）相等 （B ）互补（C ）相等或互补 （D ）以上均不对9.如果两条直线a 和b 没有公共点，那么a 与b 的位置关系是（ ） （A ）共面 （B ）平行（C ）异面 （D ）平行或异面 10.斜线与平面所成角的范围（ ）（A ）(]0,90︒︒ （B ）（0︒，90︒） （C ）[0︒，90︒] （D ）[)0,90︒︒11.若直线a 与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a 垂直的直线（ ） （A ）只有一条 （B ）无数条 （C ）是平面α内的所有直线 （D ）不存在12.已知直线a ，b 和平面α，下列命题中正确的是（ ） （A ） 若a ‖α，b α⊂，则a ‖b （B ） 若a ‖α，b ‖α，则a ‖b （C ） 若a ‖b ，b α⊂，则a ‖α（C ） 若a ‖b ，a ‖α，则b α⊂或b ‖α二.填空题（6×4=24分）13.直线与直线的位置关系为_____________、___________________、_________________ 14.异面直线所成角α的范围为_____________________15.若一个几何体的三视图都是圆，则这个几何体一定是____________________ 16.一个正方体有__________个顶点，______________个面，________________条边17.在正方体1111ABCD A BC D -中，1AA与11C D 所成的角为__________,1AA 与1B C 所成的角为___________，1B C 与BD 所成的角为______________18.如果两直线a 与b 同时垂直于同一平面，则这两条直线的位置关系为________苏教版高中数学必修2第一章立体几何初步1.1－1.2检测试题测试时间：100分钟，满分：150分班级 姓名答题纸一选择题二填空题13______________ 、___________、_____________ 14________________ 15________________16_________、__________、___________ 17__________、___________、__________ 18__________三.解答题(解答题要有详细的解答过程，19，20每题12分，21，22，23每题14分） 19.在正方体1111ABCD A BC D -中，直线1AD 与平面ABCD 所成的角是多少？B 1D 1A 1C 120.如图，已知E F 、分别是三棱锥A BCD -的侧棱AB AD 、的中点， 求证：EF ‖平面BCDAEFBC21.如图表示水平放置图形的直观图， （1）画出它原来的平面图形； （2）计算出它平面图形的面积Y‘AX‘A B C D D22.已知1111ABCD A BC D -是棱长为a 的正方体，求：（1）异面直线1AA 与BC 所成的角 （2）求异面直线1BC 与AC 所成的角23.在三棱锥A-BCD 中，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点， （1）求证：四边形EFGH 是平行四边形（2）若AC ＝BD ，求证：四边形EFGH 为菱形（3）当AC 与BD 满足什么条件时，四边形EFGH 是正方形，并证明。
苏教版必修二：第一章 立体几何初步 1.2.3 第5课时
第5课时线面垂直的综合应用学习目标 1.理解斜线在平面内的射影及与平面所成角的概念，会求简单的线面角.2.理解点到平面的距离的概念，会求简单的点面距离.3.线面平行与垂直的有关定理的综合运用．知识点一直线与平面所成的角思考直线与平面所成的角是如何定义的？取值范围是什么？★★答案★★平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角．规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线与平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角．直线与平面所成的角θ的取值范围是[0°，90°]．梳理有关概念对应图形斜线一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，图中直线P A斜足斜线与平面的交点，图中点A射影过平面外一点P向平面α引斜线和垂线，那么过斜足A和垂足O的直线就是斜线在平面内的正投影(简称射影)，线段OA 就是斜线段P A在平面α内的射影直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，图中为∠P AO，规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线与平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角取值范围设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90°知识点二两种距离1．点到平面的距离从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫做这个点到这个平面的距离．2．直线和平面的距离一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离．类型一 与线面角有关的问题例1 已知∠BAC 在平面α内，P ∉α，∠P AB ＝∠P AC .求证：点P 在平面α内的射影在∠BAC 的平分线上．证明 如图所示，作PO ⊥α，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，垂足分别为O ，E ，F ，连结OE ，OF ，OA.⎭⎪⎬⎪⎫PE ⊥AB ，PF ⊥AC ∠P AE ＝∠P AF P A ＝P A⇒Rt △P AE ≌Rt △P AF ⇒AE ＝AF .⎭⎪⎬⎪⎫PO ⊥αAB ⊂α⇒⎭⎪⎬⎪⎫AB ⊥POAB ⊥PE PO ∩PE ＝P⇒AB ⊥平面PEO ⇒AB ⊥OE .同理，AC ⊥OF .在Rt △AOE 和Rt △AOF 中，AE ＝AF ，OA ＝OA ， 所以Rt △AOE ≌Rt △AOF . 于是∠EAO ＝∠F AO ，因此，点P 在α内的射影O 在∠BAC 的平分线上． 反思与感悟 (1)求直线和平面所成角的步骤 ①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．(2)在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，图形中的特殊点是突破口．跟踪训练1 如图所示，在斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，C 1H ⊥AB ，证明：点H 是C 1在平面ABC 内的射影．证明连结AC1.∵∠BAC＝90°，∴AB⊥AC，又AC⊥BC1，BC1∩AB＝B，∴AC⊥平面ABC1.又∵C1H⊂平面ABC1，∴AC⊥C1H.又AB⊥C1H，AB∩AC＝A，∴C1H⊥平面ABC，∴点H是C1在平面ABC上的射影．类型二直线与平面垂直的判定与性质的综合应用例2如图，在四棱锥P—ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.证明(1)在四棱锥P—ABCD中，∵P A⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴P A⊥CD.∵AC⊥CD，P A∩AC＝A，∴CD⊥平面P AC.而AE⊂平面P AC，∴CD⊥AE.(2)由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝P A.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知，AE⊥CD，又PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵P A⊥底面ABCD，∴PD在底面ABCD内的射影是AD，又∵AB⊥AD，∴AB⊥PD.又AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.反思与感悟证明线面垂直的核心是证明线线垂直，而证明线线垂直又可借助于线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．跟踪训练2如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝a，AA1＝2a，D为棱B1B的中点．(1)证明：A1C1∥平面ACD；(2)求异面直线AC与A1D所成角的大小；(3)证明：直线A1D⊥平面ADC.(1)证明在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC∥A1C1.又A1C1⊄平面ACD，AC⊂平面ACD，∴A1C1∥平面ACD.(2)解在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∴A1A⊥AC.又∠BAC＝90°，∴AC⊥AB.∵AA1∩AB＝A，∴AC⊥平面A1ABB1，又A1D⊂平面A1ABB1，∴AC⊥A1D.∴异面直线AC与A1D所成的角为90°.(3)证明∵△A1B1D和△ABD都为等腰直角三角形，∴∠A1DB1＝∠ADB＝45°，∴∠A1DA＝90°，即A1D⊥AD.由(2)知，A1D⊥AC，且AD∩AC＝A，∴A1D⊥平面ADC.1．下列说法：①平面的斜线与平面所成的角的取值范围是0°<θ<90°；②直线与平面所成的角的取值范围是0°<θ≤90°；③若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线互相平行；④若两条直线互相平行，则这两条直线与一个平面所成的角相等．其中正确的是________．(填序号)★★答案★★①④解析②应为0°≤θ≤90°；③中这两条直线可能平行，也可能相交或异面．2．AB是平面α的斜线段，其长为a，它在平面α内的射影A′B的长为b，则垂线A′A的长为________．★★答案★★a2－b23．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，MN⊥BC于M，则MN与AB的位置关系为______．★★答案★★垂直解析AB⊥平面BCC1B1，又MN⊂平面BCC1B1，∴AB⊥MN.4.若长方体ABCD—A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为________．★★答案★★ 3解析依题可知∠B1AB＝60°，A1C1∥平面ABCD，A1A⊥平面ABCD，∴A1A即为A1C1到底面ABCD的距离．由题意得A1A＝B1B＝ 3.5.如图所示，平面ABB1A1为圆柱OO1的轴截面，点C为底面圆周上异于A，B的任意一点．(1)求证：BC⊥平面A1AC；(2)若D为AC的中点，求证：A 1D ∥平面O 1BC .证明 (1)∵AB 为⊙O 的直径，点C 为⊙O 上的任意一点，∴BC ⊥AC . 又在圆柱OO 1中，AA 1⊥底面⊙O ，∴AA 1⊥BC ， 又AA 1∩AC ＝A ， ∴BC ⊥平面A 1AC .(2)取BC 的中点E ，连结DE ，O 1E ，∵D 为AC 的中点，∴在△ABC 中，DE ∥AB ，且DE ＝12AB ，又在圆柱OO 1中，A 1O 1∥AB ，且A 1O 1＝12AB ，∴DE ∥A 1O 1，DE ＝A 1O 1，∴四边形A 1DEO 1为平行四边形，∴A 1D ∥EO 1. 而A 1D ⊄平面O 1BC ，EO 1⊂平面O 1BC ， ∴A 1D ∥平面O 1BC .立体几何中经常遇到由一个点向一个平面引垂线的问题，垂线的位置是由这个点在平面内的射影来确定的，因此这个点的射影就是一个关键量，一般来说，可以直接由这个点作平面的垂线，然后通过证明或计算说明垂足的位置，也可以借助一些常见结论进行确定，如： (1)如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上．(2)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线与这个角的两边的夹角相等，那么斜线在平面内的射影是这个角的平分线所在的直线．课时作业一、填空题1．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，P A ⊥平面ABC ，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，则图中直角三角形的个数是____．★★答案★★ 8解析 在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°， P A ⊥平面ABC ，∴AB ⊥P A ，P A ⊥DA ，P A ⊥AC . ∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∴BP ＝CP ，可得PD ⊥BC ，∴图中直角三角形有△P AC ，△P AB ，△P AD ，△ABC ，△ABD ，△ADC ，△BPD ，△DPC ，共8个． 2．下列命题：①⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊂α⇒a ⊥b; ② ⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αa ∥b ⇒b ⊥α； ③ ⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ∥α⇒a ⊥b; ④ ⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥b b ⊂α⇒a ⊥α； ⑤⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊥b ⇒b ⊥α；⑥⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥a ⇒b ∥α或b ⊂α. 其中正确的命题是________．(填序号) ★★答案★★ ①②③⑥3．已知△ABC 的三条边长分别是5,12,13，点P 到A ，B ，C 三点的距离都等于7，则点P 到平面ABC 的距离为________．★★答案★★332解析 由点P 到△ABC 三个顶点的距离相等可知，P 在平面ABC 上的射影为△ABC 的外心． ∵△ABC 为直角三角形，∴其外心是斜边的中点，即点P 在平面ABC 上的射影是△ABC 斜边的中点D ，如图． ∴点P 到平面ABC 的距离为PD ＝72－⎝⎛⎭⎫1322＝332.4．下列四个正方体图形中，l 是正方体的一条体对角线，点M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出l ⊥平面MNP 的图形的序号是________．(写出所有符合要求的图形的序号)★★答案★★①④解析设定正方体的顶点如图，连结DB，AC，∵M，N分别为中点，∴MN∥AC.∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD.∵BB′⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴BB′⊥AC.∵BB′∩DB＝B，BB′⊂平面DBB′，DB⊂平面DBB′，∴AC⊥平面DBB′，∵DB′⊂平面DBB′，∴AC⊥DB′.∵MN∥AC，∴DB′⊥MN，同理可证DB′⊥MF，DB′⊥NF，∵MF∩NF＝F，MF⊂平面MNF，NF⊂平面MNF，∴DB′⊥平面MNF，即l垂直于平面MNP，故①正确；④中由①证明可知l⊥MP，∵MN∥AC，AC⊥l，∴l⊥MN，∴l⊥平面MNP.5.如图，ABCD—A1B1C1D1为正方体，下列结论中正确的是________．(填序号)①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥平面CB1D1；③过点A1与异面直线AD和CB1成90°角的直线有2条．★★答案★★①②解析由题图可知，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，由于BD∥B1D1，由直线和平面平行的判定定理可得BD∥平面CB1D1，故①正确；由正方体的性质可得B1D1⊥A1C1，CC1⊥B1D1，故B1D1⊥平面ACC1A1，故B1D1⊥AC1.同理可得B1C⊥AC1.再根据直线和平面垂直的判定定理可得AC1⊥平面CB1D1，故②正确；过点A1与直线AD成90°角的直线必和BC也垂直，过点A1与CB1成90°角的直线必和CB1垂直，则该直线必和平面B1C1CB垂直，满足条件的只有直线A1B1，故③不正确．6．已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别是2和4，则A，B的中点P到平面α的距离是________．★★答案★★3或1解析若A，B在α同侧，如图①，则P到α的距离为3；若A，B在α异侧，如图②，则P到α的距离为PO′－OO′＝3－2＝1.7．如图，直线P A垂直于圆O所在的平面，△ABC内接于圆O，且AB为圆O的直径，点M为线段PB的中点．现有以下命题：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面P AC的距离等于线段BC的长．其中正确的命题为________．(填序号)★★答案★★①②③解析∵P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴P A⊥BC，∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC，又∵P A⊂平面P AC，AC⊂平面P AC，P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC，∵PC⊂平面P AC，∴BC⊥PC，故①③正确．∵M是PB的中点，O是AB的中点，∴OM∥P A，∵P A⊂平面P AC，OM⊄平面P AC，∴OM∥平面P AC.故②正确．8.如图，四棱锥S—ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有________个．①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角．★★答案★★ 4解析∵AC⊥BD，SD⊥AC，BD与AC相交，∴AC⊥平面SBD，∴AC⊥SB，故①正确；∵AB∥CD，∴AB∥平面SCD，故②正确；∵SD⊥平面ABCD，∴SA在平面ABCD的射影是AD，故③正确；∵AB∥CD，故④正确．9.如图所示，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件________时，有A1C⊥B1D1.(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)★★答案★★B1D1⊥A1C1(★★答案★★不惟一)解析由直四棱柱可知CC1⊥面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1D1，要使B1D1⊥A1C，只要B1D1⊥平面A1CC1，所以只要B1D1⊥A1C1，还可以填写四边形A1B1C1D1是菱形、正方形等条件．10.如图是底面边长为a的正三棱柱(侧棱与底面垂直且底面为正三角形的棱柱)，则AA1到平面BB1C1C的距离为________．★★答案★★3 2a解析∵AA1∥BB1，∴AA1∥平面BB1C1C，∴AA1到平面BB1C1C的距离等于A到平面BB1C1C的距离．取BC的中点D，连结AD，则AD⊥BC.又AD⊥BB1.∴AD⊥平面BB1C1C.∴AD＝32a，∴AA1到平面BB1C1C的距离为3 2a.11．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP与BD1垂直，则动点P的轨迹为________．★★答案★★线段CB1解析如图，先找到一个平面总是保持与BD1垂直，连结AC，AB1，B1C，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，易得BD1⊥CB1，BD1⊥AC.则BD1⊥平面ACB1，又点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，根据平面的基本性质，得点P的轨迹为平面ACB1与平面BCC1B1的交线段CB1.二、解答题12．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A′，求证：A′D⊥EF.证明在正方形ABCD中，有AD⊥AE，CD⊥CF，则A′D⊥A′E，A′D⊥A′F.又A′E∩A′F＝A′，∴A′D⊥平面A′EF，又EF⊂平面A′EF，∴A′D⊥EF.13．如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，点D是BC的中点，BC＝2，BB1＝2，求证：(1)A1C∥平面AB1D；(2)BC1⊥平面AB1D.证明(1)连结A1B，交AB1于点O，连结OD，则点O是A1B的中点．又点D是BC的中点，所以A1C∥OD.又OD⊂平面AB1D，A1C⊄平面AB1D，所以A1C∥平面AB1D.(2)因为D为BC的中点，所以AD⊥BC.在正三棱柱ABC—A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，所以AD⊥BB1.又BC∩BB1＝B，BC⊂平面BCC1B1，BB1⊂平面BCC1B1，所以AD⊥平面BCC1B1.又BC1⊂平面BCC1B1，所以AD⊥BC1.设B1D∩BC1＝F，在Rt△DBB1和Rt△BB1C1中，BD BB1＝12，BB1B1C1＝22，所以△DBB1∽△BB1C1，所以∠BDF＝∠C1BB1.又∠C1BB1＋∠FBD＝90°，所以∠BDF＋∠FBD＝90°，所以BC1⊥B1D.又BC1⊥AD，AD∩B1D＝D，AD⊂平面AB1D，B1D⊂平面AB1D，所以BC1⊥平面AB1D.三、探究与拓展14.如图，已知AB是圆O的直径，C为圆上一点，AB＝2，AC＝1，P为⊙O所在平面外一点，且P A垂直于圆O所在平面，PB与平面ABC所成的角为45°.(1)求证：BC⊥平面P AC；(2)求点A到平面PBC的距离．(1)证明∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC.∵AB是圆O的直径，C为圆上一点，∴BC⊥AC.又∵P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC.(2)解如图，过点A作AD⊥PC于点D，∵BC⊥平面P AC，AD⊂平面P AC，∴BC⊥AD，∴AD⊥平面PBC.∴AD即为点A到平面PBC的距离，∵∠PBA为PB与平面ABC所成的角，即∠PBA＝45°，∴P A＝AB＝2，AC＝1，可得PC＝ 5.∵AD·PC＝P A·AC，∴AD＝2×15＝255，即点A到平面PBC的距离为25 5.15.如图，三棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为4的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，M为A1B1的中点．(1)证明：MC ⊥AB ；(2)若AA 1＝26，侧棱CC 1上是否存在点P 使得MC ⊥平面ABP ？若存在，求出PC 的长；若不存在，请说明理由．(1)证明 取AB 的中点N ，连结MN ，CN ，则MN ⊥底面ABC ，MN ⊥AB .因为△ABC 是正三角形，所以NC ⊥AB ，由MN ∩NC ＝N ，MN ⊂平面MNC ，NC ⊂平面MNC ，可得AB ⊥平面MNC ，从而AB ⊥MC .(2)解 由(1)知，MC ⊥AB ，若存在点P 使得MC ⊥平面ABP ，则必有MC ⊥BP . 过M 作MQ ⊥B 1C 1，垂足为Q ，连结QC ，则QC 是MC 在平面BCC 1B 1内的射影，只需QC ⊥BP 即可，此时Rt △QC 1C 与Rt △PCB 相似，QC 1C 1C ＝PC CB， 所以PC ＝QC 1·CB C 1C ＝3×426＝6，点P 恰好是CC 1的中点．。
高中数学 第一章 立体几何初步 1.1 空间几何体素材 苏教版必修2(2021年最新整理)
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空间几何体考点一:球的内接柱体设柱体上底的外心为1O ，下底的外心为2O ，则有柱体的外接球球心O 为21O O 的中点。
若柱体底面外接圆半径为r ，高为h ，则外接球半径R 满足：2222h r R +=； 由已学知识可总结出：（1）边长为a 的正三角形的外接圆半径a r 33=; （2）长为a ,宽为b 的的矩形的外接圆半径222b a r += （3）斜边为c 的直角三角形的外接圆半径2c r = 注:球的内接长方体满足：球的直径于长方体的大对角线相等考点二:球的内接椎体1. 球的内接直三棱锥，直四棱锥（有一条侧棱与底面垂直）：与长方体相同,是长方体的部分顶点构成的椎体2. 球的内接正三棱锥,正四棱锥:设顶点为P ，底面外接圆圆心1O ，则有正棱锥外接球球心在1PO 上，若正棱锥底面外接圆半径为r ，高为h ，则外接球半径R 满足：222)(R h r R -+=或h l R 22=（l 为侧棱）考点三：多面体的内切球1 多边形内切圆圆心把多边形分成多个高相等的三角形，由面积法可知多边形的内切圆半径r 满足:PS r 2=（S 为多边形面积，P 为多边形周长) 2 多面体内切球球心把多面体分成多个高相等的椎体，由体积法可知多面体的内切求半径r 满足：SV r 3=（V 为多面体体积，S 为多面体表面积) 考点四：圆锥内切球与外接球1 圆锥的外接球：与正棱锥的外接球相同2 圆锥的内切球：圆锥的内切球半径即为圆锥截面三角形的内切圆半径，设圆锥的底面半径为r ,高为h ,则内切球半径R 满足：22222hr r h r R P S r R ++⋅=⇒== 小结：1 球的内接柱体，直椎体：2222h r R += 2 球的内接正棱锥，内接圆锥：hl R 22=（l 为侧棱） 3 多面体的内切球：S V R 3=4 圆锥的内切球：r h r hr R 2222++⋅=。
苏教版必修二：第一章 立体几何初步
1学习空间几何体要“三会”一、会辨别例1下列说法：①一个几何体有五个面，则该几何体可能是球、棱锥、棱台、棱柱；②若一个几何体有两个面平行，且其余各面均为梯形，则它一定是棱台；③直角三角形绕其任意一条边旋转一周都可以围成圆锥．其中说法正确的个数为________．分析可根据柱体、锥体、台体和球体的概念进行判断．解析一个几何体有五个面，可能是四棱锥、三棱台，也可能是三棱柱，但不可能是球，所以①错；由于棱台的侧棱是原棱锥侧棱的一部分，所以棱台的各侧棱的延长线相交于一点，而②中的几何体其侧棱延长线并不一定会交于一点，所以②错；③中如绕直角边旋转可以形成圆锥，但绕斜边旋转形成的是由两个圆锥组成的组合体，所以③错．故填0.★★答案★★0评注要准确辨别各种几何体，可从轴、侧面、底面、母线、平行于底面的截面等方面入手，当然掌握定义是大前提．二、会折展例2纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“Δ”的面的方位是________．分析将平面展开图按要求折叠成正方体，根据方位判断即可．解析将平面展开图折叠成正方体，如图所示，标“Δ”的面的方位应为北．故填北．★★答案★★北评注将空间几何体展开成平面图形，或将展开图折叠成空间几何体，在后面的计算或证明中经常用到，应引起重视．解决这类问题的关键是充分发挥空间想象能力或亲自动手制作模型进行实践．三、会割补例3如图所示是一个三棱台ABC－A1B1C1.试用一个平面把这个三棱台分成一个三棱柱和一个多面体，并用字母表示．分析三棱柱要求两个底面为平行且全等的三角形，其余三个面为四边形，且相邻两个四边形的公共边都相互平行．解作A1D∥BB1，C1E∥BB1，连结DE，则三棱柱为A1B1C1－DBE，多面体为ADECC1A1(如图所示)．评注正确理解各类几何体的概念是将几何体进行割补的前提在后面的空间几何体的体积或面积计算中经常要通过线、面将不规则的几何体通过割补的方法转化为规则的几何体，从而可以利用公式求解．2空间几何体中常见错例剖析在空间几何体的解题中，很容易出现错误，本文将结合几道具体的错例来谈谈如何防止出现类似的错误．一、空间几何体概念不清例1下列结论中正确的是________．(填序号)①各个面都是三角形的几何体是三棱锥；②以三角形的一条边所在的直线为旋转轴，将三角形旋转一周形成的曲面所围成的几何体是圆锥；③若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥；④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线．错解①②③④剖析①错误，如两个结构相同的三棱锥叠放在一起形成的几何体的各个面都是三角形，但它不是棱锥．②错误，如以一个直角三角形ABC 的斜边AB 为旋转轴旋转一周，其形成的曲面所围成的几何体是同底的两个圆锥，但此几何体不是圆锥．③错误，若六棱锥的底面各边长相等，则其底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，且侧棱长相等，则棱锥的侧棱长必然大于底面边长． ④显然正确． 正解 ④二、斜二测画法的规则错误例2 如图所示的等腰直角三角形表示一个水平放置的平面图形的直观图，则这个平面图形的面积是________．错解 2剖析 与y 轴平行的那条边和在x 轴上的边垂直，且长度应是原长的2倍，所以其面积应为S ＝12×|－2|×(2×|－2|2)＝2 2. 正解 2 2三、空间想象能力不足致错例3 用一个平面去截正方体，所得的截面不可能是_______________________． (填序号)①正六边形；②菱形；③直角三角形；④等腰梯形；⑤钝角三角形． 错解 ②剖析 空间想象能力和作图能力不强，没有动手实验的学习习惯，做截面问题仅凭直觉．①④显然可以得到．而截面可能是正方形，正方形是菱形，所以②也可得到．③⑤均为三角形，这时截面必与从一个顶点出发的三条棱相交，构造一个“角”，如图，截面三角形PQR 必为锐角三角形．任选一个∠PQR 为例，PQ 2＋QR 2－PR 2＝(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)－(a 2＋c 2)>0，所以∠PQR 为锐角．同理，∠QPR ，∠PRQ 也为锐角． 所以，本题★★答案★★为③⑤. 正解 ③⑤3“三共”问题的证法精析一、证明点共线例1如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，A1C与截面DBC1交于点O，AC与BD交于点M，求证：C1、O、M三点共线．证明因为C1∈平面DBC1，且C1∈平面A1ACC1，所以C1是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点．又因为M∈AC，所以M∈平面A1ACC1，因为M∈BD，所以M∈平面DBC1，所以M也是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点，所以C1M是平面A1ACC1与平面DBC1的交线．因为O为平面A1ACC1与平面DBC1的交点，所以O∈平面A1ACC1，O∈平面DBC1，即O也是两个平面的公共点，所以O∈C1M，即C1、M、O三点共线．评注证明点共线的问题，一般可转化为证明这些点是某两个平面的公共点，这样可根据公理2证明这些点同在两个平面的交线上．二、证明线共点例2如图，△ABC与△A1B1C1三条边对应平行，且两个三角形不全等，求证：三对对应顶点的连线相交于一点．分析要证三线共点，可证其中两条直线有交点，且该交点在第三条直线上．证明由A1B1∥AB知，A1B1与AB可确定平面α.同理C1B1，CB和A1C1，AC可分别确定平面β和γ.又△ABC与△A1B1C1不全等，则A1B1≠AB.若AA1，BB1的交点为P，则P∈AA1，且P∈BB1.又β∩γ＝CC1，BB1⊂β，则P∈β；AA1⊂γ，则P∈γ.所以点P在β∩γ的交线上，即P∈CC1，这样点P在AA1，BB1，CC1上，即三对对应顶点的连线相交于一点．评注解决此类问题的一般方法：先证其中两条直线交于一点，再证该点也在其直线上．三、证明线共面例3求证：两两相交但不过同一点的四条直线共面．分析四条直线不共点，但有可能三线共点，或没有三线共点，所以应分两种情况加以证明．证明分两种情况证明：①有三条直线过同一点，如图，因为A∉l4，所以过A，l4可确定平面α.因为B，C，D∈l4，所以B，C，D∈α.所以AB⊂α，AC⊂α，AD⊂α.因此四条直线l1，l2，l3，l4共面．②任意三条直线都不过同一点，如图．因为l1∩l2＝A，所以过l1，l2可以确定平面α.又因为D，E∈l2，B，C∈l1，所以D，E，B，C∈α.由E∈α，B∈α，可得BE⊂α，即l3⊂α.同理可证l4⊂α.因此四条直线l1，l2，l3，l4共面．评注证明线共面问题，一般有两种方法：一是先由两条直线确定一个平面，再证明第三条直线在这个平面内；二是由其中两条直线确定一个平面α，另两条直线确定一个平面β，再证α，β重合，从而三线共面．4巧用辅助线(面)证明平行关系在证明线与线、线与面、面与面的平行关系时，从“看到结论想判定定理，看到条件想性质定理”来分析题意和寻求证明思路，往往要根据定理的条件，通过构造辅助线或辅助面来解决问题．一、作辅助线来解题例1 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BC ，C 1D 1的中点，求证：EF ∥平面BB 1D 1D .证明 如图，取D 1B 1的中点O ，连结OF ，OB .因为OF 綊12B 1C 1，BE 綊12B 1C 1，所以OF 綊BE ，即四边形OFEB 为平行四边形， 所以EF ∥BO .又EF ⊄平面BB 1D 1D ，BO ⊂平面BB 1D 1D ， 所以EF ∥平面BB 1D 1D .评注 将空间问题转化为平面问题，是解决立体几何问题的重要策略，关键是选择或添加适当的直线．而本题通过巧作平行线，利用“有困难，找中点”来证明线面平行是最有效的方法之一．二、作辅助面来解题例2 如图，已知直线a ∥平面α，直线a ∥平面β，α∩β＝b ，求证：a ∥b .分析 要证明线线平行，我们可以通过线面平行，或者面面平行来解决．条件里没有提到面面平行，所以，我们利用线面平行来突破． 证明 过a 作平面γ，δ，使得γ∩α＝c ，δ∩β＝d .因为γ∩α＝c ，直线a ∥平面α，a ⊂γ，所以a ∥c . 同理可证a ∥d .所以c ∥d .由d ⊂β，c ⊄β，得c ∥β. 因为c ⊂α，α∩β＝b ，所以c ∥b .又a ∥c ，所以a ∥b .评注本题要使用线面平行的性质定理，需要找出或作出过已知直线且与已知平面相交的平面，以便使用性质定理，因此常作辅助面．5转化中证明空间垂直关系空间中的各种垂直关系是高中数学的重要内容．在高考中着重考查线线垂直、线面垂直、面面垂直的证明，这就需要利用线面垂直、面面垂直的判定定理及其性质，运用三者之间的转化关系．一、证明线面垂直证明线面垂直通常有两种方法：一是利用线面垂直的判定定理，由线线垂直得到线面垂直；二是利用面面垂直的性质定理，由面面垂直得到线面垂直．例1如图，AB是圆O的直径，P A垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为点N.求证：AN⊥平面PBM.证明因为P A垂直于圆O所在的平面，所以P A⊥BM.因为M是圆周上一点，所以BM⊥AM.又因为P A∩AM＝A，所以BM⊥平面P AM，所以BM⊥AN.又因为AN⊥PM，PM∩BM＝M，所以AN⊥平面PBM.评注本题是考查线面垂直很好的载体，它融合了初中所学的圆的特征，在求解时要注意线线、线面垂直关系的转化．二、证明面面垂直证明面面垂直一般有两种方法：一是利用面面垂直的定义，通过求二面角的平面角为直角而得到，这种方法在证明面面垂直时应用较少；二是利用面面垂直的判定定理由线面垂直得到面面垂直．例2如图，△ABC为等边三角形，EC⊥平面ABC，BD∥EC，且EC＝CA＝2BD，M是EA 的中点．(1)求证：DE ＝DA ；(2)求证：平面BDM ⊥平面ECA .证明 (1)如图，取EC 的中点F ，连结DF ，易知DF ∥BC . 因为EC ⊥BC ，所以DF ⊥EC . 在Rt △EFD 和Rt △DBA 中，因为EF ＝12EC ＝BD ，FD ＝BC ＝AB ，所以Rt △EFD ≌Rt △DBA ， 所以DE ＝DA .(2)如图，取CA 的中点N ，连结MN ，BN ，则MN ∥EC ，且MN ＝12EC .又EC ∥BD ，且BD＝12EC ， 所以MN ∥BD ，且MN ＝BD ， 所以四边形BDMN 是平行四边形， 所以点N 在平面BDM 内． 因为EC ⊥平面ABC ，所以EC ⊥BN . 又CA ⊥BN ，所以BN ⊥平面ECA .因为BN ⊂平面MNBD ，所以平面BDM ⊥平面ECA . 评注 在证明面面垂直时通常转化为证明线面垂直的问题． 三、证明线线垂直证明线线垂直，往往根据线面垂直的性质，即如果一条直线垂直于一个平面，那么它和这个平面内的任意一条直线垂直．例3 如图，已知平面α∩平面β＝CD ，EA ⊥α，EB ⊥β，垂足分别为A ，B ，求证：CD ⊥AB .证明 因为EA ⊥α，CD ⊂α，所以CD ⊥EA .又因为EB ⊥β，CD ⊂β，所以EB ⊥CD . 又因为EA ∩EB ＝E ，所以CD ⊥平面ABE . 因为AB ⊂平面ABE ，所以CD ⊥AB .评注 在证明空间中的垂直关系的问题时，经常要用到转化与化归的数学思想，主要体现在线线垂直、线面垂直、面面垂直证明的相互转化过程之中．其转化关系如下： 线线垂直????判定定理性质定理线面垂直????判定定理性质定理面面垂直．6 几何法求空间角空间角的计算是对空间线与线、线与面、面与面位置关系的一种定量研究和精确的刻画．利用几何法求解空间角的过程可以将逻辑推理与运算融为一体，能达到综合考查同学们的空间想象能力、逻辑推理能力、运算能力、分析问题及解决问题的能力的目的．下面就举例说明利用几何法求空间角的策略． 一、求异面直线所成的角求异面直线所成的角主要是根据定义利用平移法作出所成角，平移的主要途径有：(1)利用三角形和梯形的中位线；(2)利用平行线分线段成比例的性质；(3)利用平行四边形(矩形、正方形)的性质；(4)利用线面平行和面面平行的性质等．例1 已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱都垂直于底面，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角为________．分析 考虑直线AC 1在平面AA 1C 1C 上平行移动，当点C 1移至A 1时，点A 自然移至CA 的延长线上，因此只需取AD ＝AC 即可顺利求解． 解析 如图，延长CA 到D ，使得AD ＝AC ，连结A 1D .由AC ∥A 1C 1且AC ＝A 1C 1， 得AD ∥A 1C 1且AD ＝A 1C 1， 所以四边形ADA 1C 1为平行四边形．所以∠DA 1B 就是异面直线BA 1与AC 1所成的角． 设AB ＝AC ＝AA 1＝1，则A 1D ＝A 1B ＝BD ＝2， 即△A 1DB 为等边三角形． 所以∠DA 1B ＝60°. ★★答案★★ 60° 二、求直线与平面所成的角求直线与平面所成的角关键是根据定义作出斜线在平面上的射影，强调“射影”，而射影又主要是通过作出斜线上一点在平面上的射影来实现．例2 如图，三棱锥A －BCD 的棱长都相等，Q 是AD 的中点，求CQ 与平面BCD 所成角的正弦值．分析 为找出CQ 与平面BCD 所成的角，由线面所成角的定义，只需要找出CQ 在平面BCD 内的射影．解 过点A 作AO ⊥平面BCD ，交平面BCD 于点O ，连结OD ，OB ，OC ，则可以证明O 是△BCD 的中心． 作QP ⊥OD ，则QP ∥AO . 所以QP ⊥平面BCD .连结CP ，则CP 是CQ 在平面BCD 内的射影，从而∠QCP 就是CQ 与平面BCD 所成的角． 设三棱锥的棱长为a ，则在等边△ACD 中，Q 是AD 的中点， 所以CQ ＝32a . 因为QP ∥AO ，Q 是AD 的中点， 所以QP ＝12AO ＝12a 2－(33a )2＝66a . 所以sin ∠QCP ＝QP CQ ＝23.故CQ 与平面BCD 所成角的正弦值为23.三、求二面角求二面角是通过求其平面角的大小实现的，而平面角的作法中必须强调“垂直”，其常见途径：(1)利用共底的两个等腰三角形；(2)利用共公共边的两个全等三角形；(3)利用线面垂直和面面垂直的性质；(4)对于“无棱”二面角一般需先确定棱，然后再利用上述方法作出平面角．例3 在三棱锥S －ABC 中，已知△ABC 是边长为a 的等边三角形，且SA ⊥底面ABC ，AS ＝12a ，求二面角A －BC －S 的大小． 解 如图所示，因为AB ＝AC ＝a ，∠BAS ＝∠CAS ＝90°，所以SB ＝SC .取BC 的中点D ，连结AD ，SD ，则由等腰三角形的性质，可得SD ⊥BC ，AD ⊥BC .于是由二面角的平面角的定义可知，∠ADS 为二面角A －BC －S 的平面角．因为AS ＝12a ，AD ＝32BC ＝32a ，所以在Rt △ASD 中，tan ∠ADS ＝12a 32a ＝33.所以∠ADS ＝30°，即所求二面角A －BC －S 的大小为30°.评注 在应用二面角的定义时，常常要先在二面角的棱上取一个适当的点(常取中点)，然后再过这一点在二面角的两个半平面内分别作棱的垂线，找出二面角的平面角，然后通过解三角形求得二面角的大小.7 空间几何体体积的求法精析空间几何体的体积公式在实际生活中有着广泛的应用，但在具体求解过程中，仅仅记住公式是远远不够的，还要把握图形的内在因素，掌握一些常见的求解策略，灵活选择恰当的方法进行求解． 一、直接用公式求解根据柱体、锥体、台体、球体的体积公式，明确公式中各几何量的值，把未知的逐个求出，再代入公式进行求解．例1 已知圆锥的表面积为15π cm 2，侧面展开图的圆心角为60°，求该圆锥的体积．分析 根据锥体的体积公式V ＝13Sh 知，应分别求出圆锥的底面半径和高，代入公式计算．解 设圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线长为l ，根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧πr 2＋πrl ＝15π，2πr ＝60×2πl360， 解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝157，l ＝6r .所以h ＝l 2－r 2＝(6r )2－r 2＝35r 2 ＝35r ＝35×157＝5 3. 所以V ＝13π×⎝⎛⎭⎫1572×53＝2537π(cm 3)．故该圆锥的体积为2537π cm 3.评注 直接利用几何体的体积公式求体积时，需牢固掌握公式，明确各几何量之间的关系，准确进行计算． 二、分割补形求解当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用时，可以采用“分割”或“补形”的方法，化复杂的几何体为简单的几何体(柱、锥、台、球)，利用各简单几何体的体积和或差求解．例2 如图所示，在三棱台ABC －A 1B 1C 1中，AB ∶A 1B 1＝1∶2，求三棱锥A 1－ABC 、三棱锥B －A 1B 1C 、三棱锥C －A 1B 1C 1的体积之比．分析 如图，三棱锥B －A 1B 1C 可以看作棱台减去三棱锥A 1－ABC 和三棱锥C －A 1B 1C 1后剩余的几何体，然后相比即可．解 设三棱台的高为h ，S △ABC ＝S ，则111A B C S ∆＝4S .111·,33ABC A ABC V S h Sh ∆-三棱锥所以＝＝111114·.33A B C A ABC V S h Sh ∆-三棱锥＝＝1117,3ABC A B C V Sh -三棱台又＝11111111117142.3333C B C B C A B C ABC V V V V Sh Sh Sh Sh -----三棱锥三棱锥三棱台三棱锥所以＝＝＝A B -A B C -A A -11111111:::2:4.B B C C B C V V V 三棱锥三棱锥三棱锥所以＝1A -ABC -A -A评注 三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可由锥体的体积求柱体和台体的体积．在立体几何中，通过分割或补形，将原几何体割成或补成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积，这是求体积的重要思路与方法． 三、等积转换求解对于一个几何体，可以从不同的角度去看待它，通过改变顶点和底面，利用体积不变的原理，求原几何体的体积．例3 如图所示的三棱锥O －ABC 为长方体的一角，其中OA ，OB ，OC 两两垂直，三个侧面OAB ，OAC ，OBC 的面积分别为1.5 cm 2，1 cm 2,3 cm 2，求三棱锥O －ABC 的体积．分析 三棱锥O －ABC 的底面和高不易求解，可以转换视角，将三棱锥O －ABC 看作C 为顶点，△OAB 为底面．由三棱锥C －OAB 的体积得出三棱锥O －ABC 的体积．解 设OA ，OB ，OC 的长分别为x cm ，y cm ，z cm ，则由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧12xy ＝1.5，12xz ＝1，12yz ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，z ＝2.于是V 三棱锥O －ABC ＝V 三棱锥C －OAB ＝13S △OAB ·OC＝13×1.5×2＝1(cm 3)。
苏教版必修二：第一章 立体几何初步 1.3.2
1.3.2 空间几何体的体积学习目标 1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它们求有关几何体的体积.2.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积.3.会求简单组合体的体积及表面积.知识点一 柱体、锥体、台体的体积公式 1.柱体的体积公式V ＝Sh (S 为底面面积，h 为高). 2.锥体的体积公式V ＝13Sh (S 为底面面积，h 为高).3.台体的体积公式V ＝13(S ′＋S ′S ＋S )h (S ′、S 为上、下底面面积，h 为高).4.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V ＝ShV ＝13(S ′＋S ′S ＋S )hV ＝13Sh .知识点二 球的表面积和体积公式 1.球的表面积公式S ＝4πR 2(R 为球的半径). 2.球的体积公式V ＝43πR 3.知识点三 球体的截面的特点1.球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆.2.利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径.类型一 柱体、锥体、台体的体积例1 (1)如图所示，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1－ABC 1的体积为____________.★★答案★★312解析 三棱锥B 1－ABC 1的体积等于三棱锥A －B 1BC 1的体积，三棱锥A －B 1BC 1的高为32，底面积为12，故其体积为13×12×32＝312.(2)现有一个底面直径为20cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6cm ，高为20cm 的圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中.当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降________cm. ★★答案★★ 0.6解析 设杯里的水下降h cm ，由题意知π(202)2h ＝13×20×π×32，解得h ＝0.6cm.反思与感悟 (1)常见的求几何体体积的方法 ①公式法：直接代入公式求解.②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可. ③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积. (2)求几何体体积时需注意的问题柱、锥、台体的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算.跟踪训练1 (1)如图所示，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，用截面截下一个棱锥C －A ′DD ′，求棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比.解 设AB ＝a ，AD ＝b ，AA ′＝c ， ∴V C －A ′D ′D ＝13CD ·S △A ′D ′D ＝13a ·12bc ＝16abc ，∴剩余部分的体积为V ABCD －A ′B ′C ′D ′－V C －A ′D ′D ＝abc －16abc ＝56abc ，∴棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.(2)已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20cm 和30cm 的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积.解 如图，在三棱台ABC －A ′B ′C ′中，取上、下底面的中心分别为O ′，O ，BC ，B ′C ′的中点分别为D ，D ′，则DD ′是梯形BCC ′B ′的高. 所以S 侧＝3×12×(20＋30)×DD ′＝75DD ′.又因为A ′B ′＝20cm ，AB ＝30cm ，则上、下底面面积之和为S 上＋S 下＝34×(202＋302)＝3253(cm 2).由S 侧＝S 上＋S 下，得75DD ′＝3253， 所以DD ′＝1333(cm)，O ′D ′＝36×20＝1033(cm)， OD ＝36×30＝53(cm)， 所以棱台的高h ＝O ′O ＝D ′D 2－(OD －O ′D ′)2 ＝(1333)2－(53－1033)2＝43(cm). 由棱台的体积公式，可得棱台的体积为 V ＝h3(S 上＋S 下＋S 上×S 下)＝433×(34×202＋34×302＋34×20×30)＝1900(cm 3).类型二 球的表面积与体积 命题角度1 与球有关的切、接问题例2 (1)求球与它的外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比. 解 如图，等边△ABC 为圆锥的轴截面，截球面得圆O .设球的半径OE ＝R ， OA ＝OE sin30°＝2OE ＝2R .∴AD ＝OA ＋OD ＝2R ＋R ＝3R ， BD ＝AD ·tan30°＝3R ，∴V 球＝43πR 3，V 圆锥＝13π·BD 2×AD ＝13π(3R )2×3R ＝3πR 3，∴V 球∶V 圆锥＝4∶9.(2)设长方体的长，宽，高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________. ★★答案★★ 6πa 2解析 长方体的体对角线是其外接球的直径，由长方体的体对角线为(2a )2＋a 2＋a 2＝6a ， 得球的半径为62a ，则球的表面积为4π(62a )2＝6πa 2. 反思与感悟 (1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r 1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图①. (2)球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r 2＝22a ，如图②. (3)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a ，b ，c ，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r 3＝12a 2＋b 2＋c 2，如图③.(4)正方体的外接球正方体棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝3a . (5)正四面体的外接球正四面体的棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝62a . 跟踪训练2 (1)将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为________. ★★答案★★4π3解析 由题意知，此球是正方体的内切球.根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，所以体积是43×π×13＝4π3.(2)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________. ★★答案★★ 73πa 2解析 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a .如图，P 为三棱柱上底面的中心，O 为球心，易知AP ＝23×32a ＝33a ，OP ＝12a ，所以球的半径R ＝OA 满足R 2＝⎝⎛⎭⎫33a 2＋⎝⎛⎭⎫12a 2＝712a 2，故S 球＝4πR 2＝73πa 2. 命题角度2 球的截面例3 已知过球面上三点A 、B 、C 的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC ＝BC ＝6，AB ＝4，求球的表面积与球的体积.解 如图所示，设球心为O ，球半径为R ，作OO 1⊥平面ABC 于点O 1，由于OA ＝OB ＝OC ＝R ，则O 1是△ABC 的外心，设M 是AB 的中点，由于AC ＝BC ，则O 1∈CM .设O 1M ＝x ，易知O 1M ⊥AB ，则O 1A ＝22＋x 2，O 1C ＝CM －O 1M ＝62－22－x . 又O 1A ＝O 1C ，∴22＋x 2＝62－22－x ， 解得x ＝724.∴O 1A ＝O 1B ＝O 1C ＝924.在Rt △OO 1A 中，O 1O ＝R2，∠OO 1A ＝90°，OA ＝R ， 由勾股定理得⎝⎛⎭⎫R 22＋⎝⎛⎭⎫9242＝R 2， 解得R ＝362，则S 球＝4πR 2＝54π，V 球＝43πR 3＝276π.反思与感悟 设球的截面圆上一点A ，球心为O ，截面圆心为O 1，则△AO 1O 是以O 1为直角顶点的直角三角形，在解答球心的截面问题时，常用该直角三角形求解，并常用过球心和截面圆心的轴截面.跟踪训练3 用过球心的平面将一个球分成两个半球，则两个半球的表面积之和是原来整球表面积的______倍. ★★答案★★ 32解析 设球的半径为R ，则S球表＝4πR 2.分成两个半球后，表面积为原来球的表面积再加上两个圆面面积，S 圆＝πR 2，∴两个半球的表面积之和S ＝S 球表＋2S 圆＝6πR 2.∴S ∶S 球表＝3∶2. 类型三 组合体的体积例4 如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由.解 不会溢出杯子.理由如下： 因为V 半球＝12×43πR 3＝12×43π×43＝1283π(cm 3)， V 圆锥＝13πr 2h ＝13π×42×12＝64π(cm 3)，所以V 半球＜V 圆锥，所以冰淇淋融化了不会溢出杯子.反思与感悟 代公式计算几何体的体积时，注意柱体与锥体的体积公式的区别.跟踪训练4 如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝22，AD ＝2，求四边形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周所得的几何体的体积.解 如图，过点C 作CE 垂直于AD ，交AD 延长线于点E ，则所求几何体的体积可看成是由梯形ABCE 绕AE 所在直线旋转一周所得的圆台的体积，减去△EDC 绕DE 所在直线旋转一周所得的圆锥的体积. 所以所求几何体的体积V ＝V 圆台－V 圆锥 ＝13π(52＋5×2＋22)×4－13π×22×2＝1483π.1.已知一个铜质的五棱柱的底面积为16cm 2，高为4cm ，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块(不计损耗)，那么铸成的铜块的棱长是________cm. ★★答案★★ 4解析 ∵铜质的五棱柱的底面积为16cm 2，高为4cm ， ∴铜质的五棱柱的体积V ＝16×4＝64(cm 3). 设熔化后铸成一个正方体的铜块的棱长为a cm ， 则a 3＝64，解得a ＝4(cm).2.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于________. ★★答案★★ 2π解析 设圆柱的底面半径为r ，则S 侧＝2πr ×2r ＝4πr 2＝4π，得r ＝1，则圆柱的体积为πr 2×2r ＝2π.3.正方体的外接球的体积是其内切球的体积的______倍. ★★答案★★ 3 3解析 设正方体的棱长为1，则正方体内切球的半径为棱长的一半即为12，外接球的直径为正方体的体对角线， ∴外接球的半径为32.∴外接球的体积为43π×⎝⎛⎭⎫323，内切球的体积为43π×⎝⎛⎭⎫123，∴外接球的体积是内切球的体积的33倍.4.设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为5，那么它的体积为________. ★★答案★★3解析 依题意得正六棱锥的高为5－12＝2， 所以V ＝13Sh ＝13×6×34×2＝ 3.5.如图(1)所示，一只装了水的密封瓶子可以看成是由底面半径为1cm 和底面半径为3cm 的两个圆柱组成的简单几何体.当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为20cm ，当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为28cm ，则这个简单几何体的总高度为________cm.★★答案★★ 29解析 在图(2)和图(3)中，瓶子上部没有液体的部分容积相等，设这个简单几何体的总高度为h cm ，则有π×12×(h －20)＝π×32×(h －28)，解得h ＝29(cm).1.柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系 V 柱体＝ShS ′＝SV 台体＝13h (S ＋SS ′＋S ′)――→S ′＝0V 锥体＝13Sh .2.在三棱锥A －BCD 中，若求点A 到平面BCD 的距离h ，可以先求V A －BCD ，h ＝3VS △BCD .这种方法就是用等体积法求点到平面的距离，其中V 一般用换顶点法求解，即V A －BCD ＝V B －ACD ＝V C －ABD ＝V D －ABC ，求解的原则是V 易求，且△BCD 的面积易求.3.求几何体的体积，要注意分割与补形.将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解.4.利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算.5.解决球与其他几何体的切接问题时，通常先作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算.课时作业一、填空题1.已知正三棱锥S —ABC ，D 、E 分别为底面边AB 、AC 的中点，则四棱锥S —BCED 与三棱锥S —ABC 的体积之比为________.★★答案★★ 3∶4 解析 两锥体高相等，因此V SBCED ∶V SABC ＝S BCED ∶S ABC ＝3∶4.2.一个正方体和一个圆柱等高并且侧面积相等，则正方体与圆柱的体积之比为________. ★★答案★★ π∶4解析 设正方体棱长为1，则S 正方体侧＝S 圆柱侧＝4. 设圆柱的底面半径为r ，则2πr ×1＝4，r ＝2π，则V 正方体＝1，V 圆柱＝π⎝⎛⎭⎫2π2·1＝4π. ∴V 正方体∶V 圆柱＝π∶4.3.已知一个母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于240°，则该圆锥的体积为________. ★★答案★★4581π 解析 由题易得圆锥的底面圆的周长为240°360°×2π×1＝43π，设底面圆的半径为r ，则有2πr ＝43π，所以r ＝23，所以圆锥的高h ＝12－⎝⎛⎭⎫232＝53，故圆锥的体积V ＝13×π×⎝⎛⎭⎫232×53＝4581π.4.长方体共顶点的三个侧面面积分别为3、5、15，则它的外接球表面积为________. ★★答案★★ 9π解析 设长方体共顶点的三条棱长分别为a 、b 、c ，则⎩⎨⎧ab ＝3，bc ＝5，ac ＝15，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝1，c ＝5，∴外接球半径为a 2＋b 2＋c 22＝32，∴外接球表面积为4π×(32)2＝9π.5.如图是一个下半部分为正方体、上半部分为正棱柱的盒子(中间连通).若其表面积为(448＋323)cm 2，则其体积为______cm 3.★★答案★★ 512＋128 3解析 设正方体的棱长为a cm ，则5a 2＋2a 2＋34a 2×2＝448＋323，解得a ＝8(cm).∴该几何体的体积为a 3＋34a 2·a ＝512＋1283(cm 3). 6.如图，在正直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 为棱AA 1的中点，若截面△BC 1D 是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为________.★★答案★★ 8 3解析 由题意，设AB ＝a ，AA 1＝b ，由题意可知BD ＝DC 1，故△BDC 1为以点D 为直角顶点的等腰直角三角形.又12BD 2＝6，所以BD ＝23，BC 1＝26，由AB 2＋AD 2＝BD 2，得a 2＋b 24＝12.① 又由BC 2＋CC 21＝BC 21，得a 2＋b 2＝24，②由①②可得a ＝22，b ＝4，∴V ＝34×(22)2×4＝8 3. 7.如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若E ，F 分别为AB ，AC 的中点，平面EB 1C 1F 将三棱柱分成体积为V 1，V 2的两部分，那么V 1∶V 2＝________.★★答案★★ 7∶5解析 如图，延长A 1A 到A 2，B 1B 到B 2，C 1C 到C 2，且A 1A ＝AA 2，B 1B ＝BB 2，C 1C ＝CC 2，连结A 2C 2，A 2B 2，B 2C 2，则得到三棱柱ABC —A 2B 2C 2，且VABC —A 1B 1C 1＝VABC —A 2B 2C 2.延长B 1E ，C 1F ，则B 1E 与C 1F 相交于点A 2.因为A 2A ∶A 2A 1＝1∶2，所以VA 2—AEF ＝18VA 2－A 1B 1C 1. 又VA 2－AEF ＝14VA 2－ABC ＝14×13VABC —A 2B 2C 2 ＝112VABC －A 1B 1C 1， 所以V 1＝7VA 2－AEF ＝712VABC —A 1B 1C 1， 故V 1∶V 2＝7∶(12－7)＝7∶5.8.圆柱形容器内盛有高度为6cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，如图所示.则球的半径是________cm.★★答案★★ 3解析 设球半径为r ，则由3V 球＋V 水＝V 柱，可得3×43πr 3＋πr 2×6＝πr 2×6r ，解得r ＝3. 9.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为____cm 3.★★答案★★ 500π3解析 设球半径为R cm ，根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4cm ，球心到截面的距离为(R －2)cm ，所以由42＋(R －2)2＝R 2，得R ＝5(cm)，所以球的体积V ＝43πR 3＝43π×53＝500π3(cm 3). 10.设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为V 1，S 1，底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为V 2，S 2，若V 1V 2＝3π，则S 1S 2＝________.★★答案★★ 32π 解析 棱长为a 的正方体的体积V 1＝a 3，表面积S 1＝6a 2.底面半径和高均为r 的圆锥的体积V 2＝13πr 3， 侧面积S 2＝2πr 2.由V 1V 2＝a 313πr 3＝3π，得a ＝r ， 所以S 1S 2＝6a 22πr 2＝32π. 二、解答题11.一倒置圆锥体的母线长为10cm ，底面半径为6cm.(1)求圆锥体的高；(2)一球刚好放进该圆锥体中，求这个球的半径以及此时圆锥体剩余的空间.解 (1)设圆锥的高为h ，底面半径为R ，母线长为l ，则h ＝l 2－R 2＝102－62＝8(cm).(2)球放入圆锥体后的轴截面如图所示，设球的半径为r ，由△OCD ∽△ACO 1，得OD AO 1＝OC AC， 所以r 6＝8－r 10， 解得r ＝3.因为圆锥体剩余的空间为圆锥的体积减去球的体积，所以V 锥－V 球＝13×π×62×8－43π×33 ＝96π－36π＝60π(cm 3).12.如图，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，已知D ，E ，F 分别为AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥A －FED 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，求V 1∶V 2的值.解 设三棱柱的高为h ，∵F 是AA 1的中点，则三棱锥F －ADE 的高为h 2， ∵D ，E分别是AB ，AC 的中点，∴S △ADE ＝14S △ABC ， ∵V 1＝13S △ADE ·h 2，V 2＝S △ABC ·h ， ∴V 1V 2＝16S △ADE ·h S △ABC ·h ＝124. 13.如图所示，半径为R 的半圆内的阴影部分是以直径AB 所在直线为轴，旋转一周得到的一几何体，求该几何体的表面积和体积.(其中∠BAC ＝30°)解 过C 作CO 1⊥AB 于点O 1，由已知得∠BCA ＝90°，∵∠BAC ＝30°，AB ＝2R ，∴AC ＝3R ，BC ＝R ，CO 1＝32R . 1223343,22Ao S R S R R R ∴ππ⨯π球圆锥侧＝，＝＝ 1233==,BO S R R ⨯圆锥侧 11AO BO S S S S ∴++几何体表球圆锥侧圆锥侧＝＝4πR 2＋32πR 2＋32πR 2＝11＋32πR 2. 又∵V 球＝43πR 3，1AO V 圆锥＝13·AO 1·π·CO 21＝14πR 2·AO 1， ＝13·BO 1·π·CO 21＝14πR 2·BO 1， 1135π.6V V V V R 几何体球圆锥圆锥＝（+）＝A O B O 三、探究与拓展14.如图，ABC －A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C －AA ′B ′B 的体积是________.★★答案★★ 23解析 ∵V C －A ′B ′C ′＝13V ABC －A ′B ′C ′＝13， ∴V C －AA ′B ′B ＝1－13＝23. 15.有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度.解 由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面.根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r ，水面的半径为3r ，则容器内水的体积为V＝V 圆锥－V 球＝13π·(3r )2·3r －43πr 3＝53πr 3. 而将球取出后，设容器内水的深度为h ，则水面圆的半径为33h ， 从而容器内水的体积为V ′＝13π·(33h )2·h ＝19πh 3， 由V ＝V ′，得h ＝315r .即容器中水的深度为315r .。
高中数学 第一章 立体几何初步 1.2.2 空间两直线的位置关系(1)教案 苏教版必修2(2021
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CD 1B 1C 1A 1AB1。
2.2 空间两直线的位置关系(1)【教学目标】1． 理解空间两条直线的位置关系; 2． 掌握平行公理、等角定理及其应用；3．理解“空间问题化归为平面问题”思维方法。
【教学重点】1． 空间两条直线的位置关系；2．平行公理、等角定理及其应用。
【教学难点】等角定理证明及其应用。
【过程方法】1．过师生之间、同学之间的互相交流，培养学生合作性学习的习惯;2．通过探究、思考,培养学生空间想象能力、理性思维能力、逻辑思维能力及其辩证唯物主义观点。
【教学过程】一、空间两直线的位置关系如图,在正方体C A 1中，可以找到以上三种直线的位置关系。
二、平行直线公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
（平行传递)用符号表示为：c //a c //b b //a ⇒⎭⎬⎫。
例1、已知四边形ABCD 是空间四边形，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边CB 、CD 上点，且32CDCG CBCF ==，求证：四边形EFGH例2、如图，P 是△ABC 所在平面外一点，D 、E 分别是△PAB 、△PBC 的重心，求证：DE ∥AC 且DE=31AC.三、等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等。
苏教版必修二：第一章 立体几何初步 1.2.3 第2课时
第2课时直线与平面平行的性质学习目标 1.理解直线与平面平行的性质定理.2.掌握直线与平面平行的性质定理，并能应用定理证明一些简单的问题.知识点直线与平面平行的性质定理思考1如图，直线l∥平面α，直线a⊂平面α，直线l与直线a一定平行吗？为什么？★★答案★★不一定，因为还可能是异面直线.思考2如图，直线a∥平面α，直线a⊂平面β，平面α∩平面β＝直线b，满足以上条件的平面β有多少个？直线a，b有什么位置关系？★★答案★★无数个，a∥b.梳理表示定理图形文字符号直线与平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行错误!⇒a∥b类型一线面平行的性质定理的应用命题角度1用线面平行的性质定理证明线线平行例1如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.证明连结MO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点.又∵M是PC的中点，∴AP∥OM.又∵AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，∴AP∥平面BDM.又∵AP⊂平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH.反思与感悟(1)利用线面平行的性质定理解题的步骤①确定(或寻找)一条直线平行于一个平面.②确定(或寻找)过这条直线且与这个平面相交的平面.③确定交线.④由定理得出结论.(2)常用到中位线定理、平行四边形的性质、成比例线段、平行转移法、投影法等.具体应用时，应根据题目的具体条件而定.跟踪训练1如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形.证明因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB⊂平面ABC，所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN.同理AB∥PQ，所以MN ∥PQ .同理可得MQ ∥NP . 所以截面MNPQ 是平行四边形.命题角度2 用线面平行的性质求线段比例2 如图，已知E ，F 分别是菱形ABCD 边BC ，CD 的中点，EF 与AC 交于点O ，点P 在平面ABCD 之外，M 是线段P A 上一动点，若PC ∥平面MEF ，试求PM ∶MA 的值.解 如图，连结BD 交AC 于点O 1，连结OM ， 因为PC ∥平面MEF ，平面P AC ∩平面MEF ＝OM ， 所以PC ∥OM ，所以PM P A ＝OCAC ，在菱形ABCD 中，因为E ，F 分别是边BC ，CD 的中点，所以OC O 1C ＝12.又AO 1＝CO 1， 所以PM P A ＝OC AC ＝14，故PM ∶MA ＝1∶3.反思与感悟 破解此类题的关键：一是转化，即把线面平行转化为线线平行；二是计算，把要求的线段长或线段比问题，转化为同一个平面内的线段长或线段比问题去求解，此时需认真运算，才能得出正确的结果.跟踪训练2 如图所示，棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形，设D 是A 1C 1上的点且A 1B ∥平面B 1CD ，则A 1D ∶DC 1的值为______.★★答案★★ 1解析 连结BC 1，设B 1C ∩BC 1＝E ， 连结DE .由A1B∥平面B1CD可知，A1B∥DE.因为E为BC1的中点，所以D为A1C1的中点，所以A1D∶DC1的值为1.类型二线线平行与线面平行的相互转化例3已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面.已知如图，直线a、b，平面α，且a∥b，a∥α，a、b都在平面α外.求证b∥α.证明过a作平面β，使它与平面α相交，交线为c.因为a∥α，a⊂β，α∩β＝c，所以a∥c，因为a∥b，所以b∥c，又因为c⊂α，b⊄α，所以b∥α.反思与感悟直线和平面的平行问题，常常转化为直线和直线的平行问题，而直线和直线的平行问题也可以转化为直线与平面的平行问题，要作出命题的正确转化，就必须熟记线面平行的定义、判定定理和性质定理.跟踪训练3如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E，H分别为棱A1B1，D1C1上的点，且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G，求证：FG∥平面ADD1A1.证明因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，EH⊄平面BCC1B1，B1C1⊂平面BCC1B1，所以EH∥平面BCC1B1.又平面FGHE∩平面BCC1B1＝FG，所以EH∥FG，即FG∥A1D1.又FG⊄平面ADD1A1，A1D1⊂平面ADD1A1，所以FG∥平面ADD1A1.1.已知a，b表示直线，α表示平面.下列命题中，正确的个数是________.①若a∥α，b∥α，则a∥b；②若a∥α，b⊂α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α.★★答案★★0解析①错，直线a与b的关系可以是平行，也可以是相交或异面；②错，a与b可能平行，也可能异面；③错，直线a也可能在平面α内.2.直线a∥平面α，P∈α，过点P平行于a的直线________.(填序号)①只有一条，不在平面α内；②有无数条，不一定在α内；③只有一条，且在平面α内；④有无数条，一定在α内.★★答案★★③解析由线面平行的性质定理知，过点P平行于a的直线只有一条，且在平面α内，故填③.3.一平面截空间四边形的四边得到四个交点，如果该空间四边形只有一条对角线与这个截面平行，那么这四个交点围成的四边形是________.★★答案★★梯形解析如图所示，AC∥平面EFGH，则EF∥HG.而对角线BD与平面EFGH不平行，所以EH与FG不平行.所以EFGH是梯形.4.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上.若EF ∥平面AB1C，则线段EF的长度为________.★★答案★★ 2解析∵EF∥平面AB1C，又平面ADC∩平面AB1C＝AC，EF⊂平面ADC，∴EF∥AC.∵E是AD的中点，∴EF＝12AC＝12×22＝ 2.5.如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F 分别是P A，PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面P AC的位置关系，并加以证明.解直线l∥平面P AC.证明如下：因为E，F分别是P A，PC的中点，所以EF∥AC.又EF⊄平面ABC，且AC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.而EF⊂平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，所以EF∥l.因为l⊄平面P AC，EF⊂平面P AC，所以l∥平面P AC.1.在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质.2.要灵活应用线线平行、线面平行的相互联系、相互转化.在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化.转化思想是解决这类问题的最有效的方法.课时作业一、填空题1.过平面α外的直线l作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为________.①都平行；②都相交但不一定交于同一点；③都相交且一定交于同一点；④都平行或都交于同一点.★★答案★★④解析分l∥α和l与α相交两种情况作答，对应的结果是都平行或都交于同一点.2.如图，已知平面α∩平面β＝a，平面β∩平面γ＝b，平面γ∩平面α＝c，若a∥b，则c与a，b的位置关系是__________.★★答案★★平行解析∵a∥b，a⊄γ，b⊂γ，∴a∥γ.又∵a⊂α，α∩γ＝c，∴a∥c，∴a∥b∥c.3.已知异面直线a，b外的一点M，那么过点M可以作________个平面与直线a，b都平行. ★★答案★★0或1解析过点M分别作直线a，b的平行线，若其中一条平行线与已知直线a或b相交，则满足题意的平面不存在.否则过点M的两条相交直线确定的平面与a，b都平行.4.如图，a∥α，A是α另一侧的点，B，C，D∈a，线段AB，AC，AD分别交α于E，F，G，则BD与EG的位置关系是________.★★答案★★BD∥EG解析因为a∥α，平面α∩平面ABD＝EG，所以a∥EG，即BD∥EG.5.如图，四棱锥S－ABCD的所有的棱长都等于2，E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为____________.★★答案★★3＋2 3解析∵CD∥AB，CD⊄平面SAB，AB⊂平面SAB，∴CD∥平面SAB.又平面CDEF ∩平面SAB ＝EF ，∴CD ∥EF ， 又CD ∥AB ，∴AB ∥EF .∵SE ＝EA ，∴EF 为△ABS 的中位线， ∴EF ＝12AB ＝1，又DE ＝CF ＝3，∴四边形DEFC 的周长为3＋2 3.6.如图，已知A ，B ，C ，D 四点不共面，且AB ∥α，CD ∥α，AC ∩α＝E ，AD ∩α＝F ，BD ∩α＝H ，BC ∩α＝G ，则四边形EFHG 的形状是______.★★答案★★ 平行四边形解析 ∵AB ∥α，平面ABC ∩α＝EG ，∴EG ∥AB .同理FH ∥AB ，∴EG ∥FH .又CD ∥α，平面BCD ∩α＝GH ，∴GH ∥CD .同理EF ∥CD ，∴GH ∥EF ， ∴四边形EFHG 是平行四边形.7.如图，四边形ABCD 是空间四边形，E ，F ，G ，H 分别是四边上的点，它们共面，且AC ∥平面EFGH ，BD ∥平面EFGH ，AC ＝m ，BD ＝n ，则当四边形EFGH 是菱形时，AE ∶EB ＝________.★★答案★★ m ∶n 解析 ∵AC ∥平面EFGH ， ∴EF ∥AC ，HG ∥AC ， ∴EF ＝HG ＝BEAB m .同理，EH ＝FG ＝AEAB n ，∴BE AB m ＝AE AB n ， ∴AE ∶EB ＝m ∶n .8.已知正方体AC 1的棱长为1，点P 是平面AA 1D 1D 的中心，点Q 是平面A 1B 1C 1D 1的对角线B 1D 1上一点，且PQ ∥平面AA 1B 1B ，则线段PQ 的长为________.★★答案★★22解析 如图，连结AD 1，AB 1，∵PQ ∥平面AA 1B 1B ，平面AB 1D 1∩平面AA 1B 1B ＝AB 1， PQ ⊂平面AB 1D 1，∴PQ ∥AB 1， ∴PQ ＝12AB 1＝1212＋12＝22.9.如图所示的正方体的棱长为4，E ，F 分别为A 1D 1，AA 1的中点，过C 1，E ，F 的截面的周长为________.★★答案★★ 45＋6 2解析 由EF ∥平面BCC 1B 1可知，平面BCC 1B 1与平面EFC 1的交线为BC 1，平面EFC 1与平面ABB 1A 1的交线为BF ，所以截面周长为EF ＋FB ＋BC 1＋C 1E ＝45＋6 2.10.在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是棱AD 上一点，AP ＝13，过点P ，E ，F 的平面与棱CD 交于Q ，则PQ ＝________.★★答案★★223解析 易知EF ∥平面ABCD ，PQ ＝平面PEF ∩平面ABCD ，∴EF ∥PQ ，易知DP ＝DQ ＝23，故PQ ＝PD 2＋DQ 2＝2DP ＝223.二、解答题11.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BB1上不同于B、B1的任一点，AB1∩A1E＝F，B1C∩C1E＝G.求证：AC∥FG.证明∵AC∥A1C1，A1C1⊂平面A1EC1，AC⊄平面A1EC1，∴AC∥平面A1EC1.又∵平面A1EC1∩平面AB1C＝FG，∴AC∥FG.12.如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC的中点，平面P AD∩平面PBC＝l.(1)求证：BC∥l；(2)MN与平面P AD是否平行？试证明你的结论.(1)证明∵BC∥AD，AD⊂平面P AD，BC⊄平面P AD，∴BC∥平面P AD.又平面P AD∩平面PBC＝l，BC⊂平面PBC，∴BC∥l.(2)解MN∥平面P AD.证明如下：如图所示，取PD的中点E.连结EN、AE.∵N为PC的中点，∴EN 綊12AB . ∴EN 綊AM ，∴四边形ENMA 为平行四边形，∴AE ∥MN .又∵AE ⊂平面P AD ，MN ⊄平面P AD ，∴MN ∥平面P AD .13.如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，Q 为AD 的中点，点M 在侧棱PC 上，且PM ＝tPC ，若P A ∥平面MQB ，试确定实数t 的值.解 如图，连结BD ，AC ，AC 交BQ 于点N ，交BD 于点O ，连结MN ，则O 为BD 的中点.∵BQ 为△ABD 中AD 边的中线， ∴N 为正三角形ABD 的中心.设菱形ABCD 的边长为a ，则AN ＝33a ，AC ＝3a . ∵P A ∥平面MQB ，P A ⊂平面P AC ，平面P AC ∩平面MQB ＝MN ，∴P A ∥MN ，∴PM ∶PC ＝AN ∶AC ，即PM ＝13PC ，则t ＝13. 三、探究与拓展14.长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，其侧面展开图是边长为8的正方形.E ，F 分别是侧棱AA 1，CC 1上的动点，AE ＋CF ＝8.P 在棱AA 1上，且AP ＝2，若EF ∥平面PBD ，则CF ＝________.★★答案★★ 2解析连结AC交BD于点O，连结PO，过点C作CQ∥OP交AA1于点Q.∵EF∥平面PBD，EF⊂平面EACF，平面EACF∩平面PBD＝PO，∴EF∥PO.又∵CQ∥OP，∴EF∥QC，QE＝CF，∵四边形ABCD是正方形，CQ∥OP，∴PQ＝AP＝2.∵AE＋CF＝AP＋PQ＋QE＋CF＝2＋2＋CF＋CF＝8，∴CF＝2.15.如图所示，已知正三棱柱ABC－A′B′C′中，D是AA′上的点，E是B′C′的中点，且A′E∥平面DBC′.试判断D点在AA′上的位置，并给出证明.解点D为AA′的中点.证明如下：取BC的中点F，连结AF，EF，如图.设EF与BC′交于点O，易证A′E∥AF，A′E＝AF，易知A′，E，F，A共面于平面A′EF A.因为A′E∥平面DBC′，A′E⊂平面A′EF A，且平面DBC′∩平面A′EF A＝DO，所以A′E∥DO.在平行四边形A′EF A中，因为O是EF的中点(因为EC′∥BF，且EC′＝BF)，所以点D为AA′的中点.。
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苏教版高中数学必修2第一章立体几何初步1.1－1.2检测试题
测试时间：100分钟，满分：150分
班级 姓名
一. 选择题（12×5=60分）
1.在空间内，可以确定一个平面的条件是（ ） （A ）一条直线
（B ）不共线的三个点
（C ）任意的三个点 （D ）两条直线
2.异面直线是指（ ）
（A ）空间中两条不相交的直线
（B ）平面内的一条直线与平面外的一条直线 （C ）分别位于两个不同平面内的两条直线 （D ）不同在任何一个平面内的两条直线
3.半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所得的几何体是（ ） （A ）球 （B ）球面 （C ）球或球面 （D ）以上均不对
4.用符号表示“点A 在直线上l ，在平面α外”，正确的是（ ） （A ）A ∈l ,l ∉α （B ）A l ∈ ,l α⊄ （C ）A l ⊂,l α⊄ （D ）A l ⊂,l ∉α
5.下列叙述中，正确的是（ ） （A ）四边形是平面图形。
（B ）有三个公共点的两个平面重合。
（C ）两两相交的三条直线必在同一个平面内。
（D ）三角形必是平面图形。
6.有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( )
（A ）棱台 （B ）棱锥 （C ）棱柱 （D ）都不对
7.下列叙述中，正确的是（ ） （A ）因为,P Q αα∈∈，所以PQ ∈α
（B ）因为P α∈，Q β∈，所以αβ⋂=PQ （C ）因为AB α⊂，C ∈AB ，D ∈AB ，所以CD ∈α
（D ）因为AB α⊂,AB β⊂,所以()A αβ∈⋂且()B αβ∈⋂ 8.如果OA ‖11O A ， OB ‖11O B ，那么AOB ∠与111AO B ∠（ ） （A ）相等 （B ）互补
（C ）相等或互补 （D ）以上均不对
9.如果两条直线a 和b 没有公共点，那么a 与b 的位置关系是（ ） （A ）共面 （B ）平行
（C ）异面 （D ）平行或异面 10.斜线与平面所成角的范围（ ）
（A ）(]0,90︒︒ （B ）（0︒，90︒） （C ）[0︒，90︒] （D ）[)0,90︒︒
11.若直线a 与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a 垂直的直线（ ） （A ）只有一条 （B ）无数条 （C ）是平面α内的所有直线 （D ）不存在
12.已知直线a ，b 和平面α，下列命题中正确的是（ ） （A ） 若a ‖α，b α⊂，则a ‖b （B ） 若a ‖α，b ‖α，则a ‖b （C ） 若a ‖b ，b α⊂，则a ‖α
（C ） 若a ‖b ，a ‖α，则b α⊂或b ‖α
二.填空题（6×4=24分）
13.直线与直线的位置关系为_____________、___________________、_________________ 14.异面直线所成角α的范围为_____________________
15.若一个几何体的三视图都是圆，则这个几何体一定是____________________ 16.一个正方体有__________个顶点，______________个面，________________条边
17.在正方体1111ABCD ABC D -中，1AA 与11C D 所成的角为__________,1AA 与1B C 所成的角为___________，1B C 与BD 所成的角为______________
18.如果两直线a 与b 同时垂直于同一平面，则这两条直线的位置关系为________
苏教版高中数学必修2第一章立体几何初步1.1－1.2检测试题
测试时间：100分钟，满分：150分
班级 姓名
答题纸
一选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
二填空题
13______________ 、___________、_____________ 14________________ 15________________
16_________、__________、___________ 17__________、___________、__________ 18__________
三.解答题(解答题要有详细的解答过程，19，20每题12分，21，22，23每题14分） 19.在正方体1111A B C D ABC D 中，直线1AD 与平面ABCD 所成的角是多少？
B 1
D 1
A
B
C
D A 1
C 1
20.如图，已知E F 、分别是三棱锥A BCD -的侧棱AB AD 、
的中点， 求证：EF ‖平面BCD
A
E
F
B
C
21.如图表示水平放置图形的直观图， （1）画出它原来的平面图形； （2）计算出它平面图形的面积
Y
‘
2
A
O 45︒ 1 B
X
‘
D
22.已知1111A B C D ABC D 是棱长为a 的正方体，求：
（1）异面直线1AA 与BC 所成的角 （2）求异面直线1BC 与AC 所成的角
23.在三棱锥A-BCD 中，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点， （1）求证：四边形EFGH 是平行四边形
（2）若AC ＝BD ，求证：四边形EFGH 为菱形
（3）当AC 与BD 满足什么条件时，四边形EFGH 是正方形，并证明。
A
E H
B D
F G
C
B 1
D 1
A
B
C D A 1
C 1
答案
一选择题
BDAAD DACDB BD
二填空题
13__相交____ 、_平行___、___异面______
14______（0︒，90︒）_________ 15__球______ 16____8_____、____6______、___12________ 17___90︒______、_____45︒______、____60︒______ 18____平行___
三.解答题（19，20每题12分，21，22，23每题14分） 19. 解:
111114545DD ABCD
D AD AD ABCD D AD AD ABCD ⊥∠∠=︒
︒
平面所以为与平面所成的角又故与平面所成的角为
20.
E F AB AD ⊄⊂证明：因为、为、中点 则EF BD 又EF 平面BCD BD 平面BCD 故EF 平面BCD
21. 画出它的实际平面图形(图略)
它为一个直角三角形,一直角边为1,一直角边为4 S=(1×4)÷2 =2
22.解(1) 90︒ (2) 60︒ 23. 证明(1)
B 1
D 1
A
B
C
D A 1
C 1
AC
AC
因为E 、F 为AB 、BC 中点
1
则有EF AC ，EF=21
同理有HG AC ，HG=2
所以EF HG ，EF=HG 故四边形EFGH 为平行四边形
(2)
BD
AC AC BD EH
==因为E 、H 为AB 、AD 中点
1
则有EH BD ，EH=2
1
又EF=，2
所以EF 又四边形EFGH 为平行四边形 所以四边形EFGH 为菱形
(3)当AC BD AC BD =⊥，且时四边形EFGH 为正方形.。