习题课 场与波

2.13 （均匀面电荷分布）求电场强度。（求两球壳间电压U）。 解： (1)r < a : E = 0
ρ s1 a 2 ρ s1a 2 a < r < b : 4πr ε 0 Er = 4πa ρ s1 , Er = , E = er 2 ε 0r ε 0r 2
2 2
r > b : 4πr 2ε 0 Er = 4π a 2 ρ s1 + b 2 ρ s 2
r
(
)
8πb 5 Q = ∫ ρdτ = ∫ b − r ⋅ 4πr dr = 0 τ 15 2b 5 2 D2 ⋅ 4πr = Q, D2 = 15r 2 2b 5 2b 5 E2 = , E 2 = er 2 15ε 0 r 15ε 0 r 2
b
(
2
2
)
2
*2.12 （两种媒质分界面）求电场强度、面电荷密度、电容。 解： D1 = D1n = D2 n = D2 = D
I 1 1 U = ∫ Er dr = − a 4πσ a b U σabU Jr = = 1 1 1 2 (b − a )r 2 − r σ a b I 4πσ 4πσab G= = = U 1 1 b−a − a b
b
3、恒定磁场求解（求磁场强度、磁通、磁场能量、电感） 2.31 求磁通。（求互感）。 解： (1)B = µ 0 I , φ = BdS = µ 0 I ∫S 2πx 2π
2.8 （电荷非均匀分布）求球内外任意一点的电场强度。 解：
(1)0 ≤ r ≤ b :
1 1 Q = ∫ ρdτ = ∫ b 2 − r 2 ⋅ 4πr 2 dr = 4π b 2 r 3 − r 5 0 τ 5 3 1 1 D1 ⋅ 4πr 2 = Q, D1 = b 2 r − r 3 3 5 1 1 1 1 1 1 E1 = b 2 r − r 3 , E1 = e r b 2 r − r 3 5 5 ε0 3 ε0 3 (2)r ≥ b :
U 0 = U1 + U 2 = E1d1 + E2 d 2 = D=
D1
ε1
d1 +
D2
ε2
d2 =
Dd D d 4dD + = ε 0 2 7ε 0 2 7ε 0
7ε 0U 0 4d D 7U 0 D U0 (1)E1 = = , E2 = = ε 0 4d 7ε 0 4d 7ε 0U 0 7ε 0U 0 (2)ρ s1 = D1n − 0 = D = , ρ s 2 = 0 − D2 n = − D = − 4d 4d (3)C = q = ρ s1S = 7ε 0 S U0 U0 4d
I 2πσρ
2πρ
b
σ
I
b U = ∫ Eρ dρ = ln a 2πσ a U σU Jρ = = b ρ b ln ρ ln a σ a I 2πσ G= = U ln b a
2.29 （导体球-球面）求电流密度、求漏电导。 解：
I J I Jr = , Er = = 2 4πr σ 4πσr 2
(2)∫CH ⋅ dl = H i (2πR − t ) + H g t = NI
Bi
µ
(2πR − t ) +
Bg
µ0
t = NI , Bi = Bg = B
µ 0 µNI B= , Φ = Bπa 2 ,ψ = NΦ 2πRµ0 + (µ − µ 0 )t µ 0 µN 2πa 2 µN 2πa 2 L= = = I 2πRµ 0 + (µ − µ0 )t 2πR + (µ r − 1)t
2
2)r ≤ a : φ = ∫ E1r dr + ∫
r
a
∞
a
ρ 2 r2 a − E2 r dr = 2ε 0 3
r ≥ a :φ = ∫
∞
r
ρa 3 E2 r dr = 3ε 0 r
a1 ∞1 1 4πρ 2 a 5 2 2 2 2 2 3)We = ∫ ε 0 Er dτ = ∫ ε 0 E1r 4πr dr + ∫ ε 0 E2 r 4πr dr = 0 2 a 2 τ2 15ε 0 a1 1 4πρ 2 a 5 ρ 2 r2 2 a − ⋅ 4πr dr = 0rWe = ∫ ρφdτ = ∫ ρ ⋅ τ2 0 2 2ε 0 3 15ε 0
(
)
a 2 ρ s1 + b 2 ρ s 2 a 2 ρ s1 + b 2 ρ s 2 Er = , E = er 2 ε 0r ε 0r 2 a 2 ρ s1 + b 2 ρ s 2 ρ s1 b2 (2) Er = = 0, a 2 ρ s1 + b 2 ρ s 2 = 0, =− 2 2 a ε 0r ρs2
习 题 课
（电磁场与电磁波部分）
一、简答/填充/判断题： 1、静电场的基本方程（积分/微分形式） 。静电场是____源____旋场。 2、静电场的边界条件 。在分界面上______的____分量总是连续的。 3、下列说法是否正确？为什么？ •场强相等的区域，电位亦处处相等。 •电位相等处，场强也相等。 •场强大处，电位一定高。 •电场为零处，电位一定为零。 •电位为零处，场强一定等于零。 4、恒定磁场的基本方程（积分/微分形式） 。恒定磁场是____源____旋场。 5、恒定磁场的边界条件 。在分界面上______的____分量总是连续的。 6、麦克斯韦方程（积分形式、微分形式）。 7、电磁场的边界条件（一般形式、理想导体表面）。 8、坡印亭定理（数学表达式、物理意义）。 9、全反射与全透射现象发生的条件。
z = λ / 8 : S = −e z
z = λ / 4 : S == −e z
(2)S av
π j ε0 1 1 ∗ = Re E × H = Re e x E 0 sin kze 2 × e y E 0 cos kz = 0 2 2 µ0
(
)
4、时变场求解 2.43 求H、求S。 解：
E = e y E0 cos(ωt − β x ) ∂E y ∂H 1 1 (1) = − ∇ × E = − e z ∂t µ0 µ0 ∂x
β H = − ez ∫ dt = e z E0 cos(ωt − β x ) ωµ 0 µ0 ∂x (2)S = E × H = e y E0 cos(ωt − βx )× e z β E0 cos(ωt − βx ) ωµ 0 β 2 = ex E0 cos 2 (ωt − βx ) ωµ 0
4π 2 ×10 −7 × 1400 × 10002 × 0.02 2 = = 0.94 H 2π × 0.15 + (1400 − 1)× 0.001
ψ
2.37 求B。 解：
ex ∂ B = ∇× A = ∂x x2 y ey ∂ ∂y xy 2 ez ∂ = ex 2y + ez y2 − x2 ∂z y2 − z2
[
]

π 2
(1)S = E × H = −e z
z = 0 : S = −e z
1 ε0 2 E 0 sin 2kz sin 2ωt 4 µ0
1 ε 0 2 2π E 0 sin 2 ⋅ ⋅ 0 sin 2ωt = 0 4 µ0 λ 1 ε 0 2 2π λ 1 ε0 2 E 0 sin 2 ⋅ ⋅ sin 2ωt = −e z E 0 sin 2ωt 4 µ0 λ 8 4 µ0 1 ε 0 2 2π λ E 0 sin 2 ⋅ ⋅ sin 2ωt = 0 4 µ0 λ 4
1
∂E y
2.45 场强表达式的瞬时形式 复数形式 。
π − jβ z + j e e jβ z + e e e jωt = e cos(ωt + βz ) + e cos ωt − βz + π 2 解：(1)E = Re x y x y 2 = e x cos(ωt + βz ) − e y sin (ωt − βz )
∫
d+
3 b 2
d
1 ⋅ (2 z ) ⋅ dx x
3 (x − d ) z = (x − d ) tan 30° = 3 3 µ0 I Φ= 3 π
∫
d+
3 b 2
d
x−d µ0 I dx = x π
b 3 3b d ln1 + − 2d 2 3
3 3b Φ µ0 b (2)M = = − d ln1 + I π 2 3 2d
E = exe
− jβ z
+ eye
− jβ z + jϕ − j
π 2
= e x e − jβz − e y je − jβz + jϕ
π π − jβx jωt (3)E = e y sin z cos(ωt − βx ) = Re e y sin z e e a a π E = e y sin z e − jβx a (4)E = Re e x sin π ze jβy e jωt = e x sin π z cos(ωt + βy ) a a
(3)U = ∫a Er ⋅ dr = ∫a
b
b
ρ s1a 2 ρ s1a 2 1 1 dr = − 2 ε 0r ε0 a b
2.19 （求电场强度、求电容、求能量）。 证： D ⋅ 2πρ ⋅1 = ql , E =
D
ε=2περqlU = ∫ Edρ = ∫
a
b
b
a
ql b dρ = ln 2περ 2πε a ql
(2)E = e x cos(ωt − βz ) + e y sin (ωt − βz + ϕ) = e x cos(ωt − βz ) + e y cos ωt − βz + ϕ − π
2
π − jβ z + jϕ− j − jβ z jωt 2 e = Re e x e + eye
2.46 求S、求Sav。 解： E = Re (e x jE 0 sin kz )e jωt = e x E 0 sin kz cos ωt + = −e x E 0 sin kz sin ωt
e y ε 0 E 0 cos kz e jωt = e y ε 0 E 0 cos kz cos ωt H = Re µ0 µ0
ql 2πε C= = U ln(b / a ) ql 1 1 1 ql2 b 1 ql2 2πρdρ = We = ∫ εE 2 dτ = ∫ ε ln = τ a 2περ 2 2 2 2πε a 2 C
b 2
2、恒定电场求解（求电场强度、电流密度、电导） 2.28 （同轴线-圆柱面）求电流密度、求漏电导。 解： J ρ = I , Eρ = J =
二、应用题 1、静电场求解（求电场强度、电位、静电场能量、电容） 2.7 求球内外任意一点的电场强度。（求电位、求静电场能量）。 解：
4 3 ρr ρr ρr 1)r ≤ a : 4πr D1r = ρ ⋅ πr , D1r = , E1r = , E1 = e r 3 3 3ε 0 3ε 0
2
4 3 ρa 3 ρa 3 ρa 3 r ≥ a : 4πr D2 r = ρ ⋅ πa , D2 r = 2 , E2 r = , E 2 = er 2 3 3r 3ε 0 r 3ε 0 r 2
*2.35 求电感。 解： (1)∫CH ⋅ dl = H ϕ 2πR = NI , H ϕ =
NI µNI , Bϕ = 2πR 2πR µNIa 2 µN 2 Ia 2 2 Φ = Bϕ π a = ,Ψ = NΦ = 2R 2R Ψ µN 2 a 2 1400 × 4π × 10 −7 × 1000 2 × 0.02 2 L= = = = 2.34 H I 2R 2 × 0.15