北京市昌平区2020届九年级上学期期中考试数学试题及答案
每日一学：北京市北京市昌平区新学道临川学校2019-2020学年九年级上学期数学期中考试试卷_压轴题解答
每日一学：北京市北京市昌平区新学道临川学校2019-2020学年九年级上学期数学期中考试试卷_压轴题解答
答案北京市北京市昌平区新学道临川学校2019-2020学年九年级上学期数学期中考试试卷_压轴题~~ 第1题 ~~
(2020昌平.九上期中) 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8m ，BC=6m ，点P 由C
点出发以2m/s 的速度向终点A 匀速移动，同时点Q 由点B 出发以1m/s 的速度向终点
C 匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动．（1） 经过几秒△PCQ 的面积为△ACB 的面积的 ？
（2） 经过几秒，△PCQ 与△ACB 相似？
考点： 一元二次方程的实际应用-几何问题;相似三角形的判定;~~ 第2题 ~~
(2020昌平.九上期中) 已知(－2，y )，(
－1，y )，(3，y )是反比例函数y ＝－ 的图象上的三个点，则y ， y ， y 的大小关系是________.
~~ 第3题 ~~
(2020昌平.九上期中) 在一个不透明的袋子中有20个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中红球的个数约为（ ）
A . 4
B . 6
C . 8
D . 12
北京市北京市昌平区新学道临川学校2019-2020
学年九年级上学期数学期中考试试卷_
压轴题解答~~ 第1题 ~~
答案：123123
解析：
~~ 第2题 ~~
答案：
解析：
~~ 第3题 ~~
答案：C
解析：。
2019-2020学年北京昌平第三中学初三上册期中考试试卷数学(含答案).doc
2019-2020学年度第一学期初三数学期中试题班级姓名考号2015．11．12一、选择题：本题共10题，每题3分，共30分． #1．已知1sin 2A =，且A ∠为锐角，则A ∠=（ ）． A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．75︒ 【答案】A【解析】1sin 2A =，且A ∠为锐角，∴30A ∠=︒．#2．抛物线22(3)1y x =-+的顶点坐标是（ ）． A ．(3,1)-- B ．(3,1)- C ．(3,1)- D ．(3,1) 【答案】D【解析】抛物线22(3)1y x =-+的顶点坐标是(3,1)．#3．在ABC △中，90C ∠=︒，3sin 5A =，那么cosB 的值等于（ ）． A ．35 B ．45C ．34D ．43【答案】A【解析】3cos sin 5B A ==．#4．已知A 为⊙O 上的点，⊙O 的半径为1，该平面上另有一点P ，3PA =，那么点P 与⊙O 的位置关系是（ ）． A ．点P 在⊙O 内 B ．点P 在⊙O 上 C ．点P 在⊙O 外 D ．无法确定 【答案】D【解析】∵3PA =，⊙O 的直径为2， ∴点P 的位置有三种情况，：在圆外，在圆上，在圆内．#5．把抛物线223y x =-沿x 轴翻折，所得的抛物线是（ ）．A ．223y x =--B ． 223y x =-C ． 223y x =＋D ．223y x =-+ 【答案】D【解析】根据题意223y x -=-，∴223y x =-+．#6．已知扇形的半径为6，圆心角为60︒，则这个扇形的面积为（ ）． A ．9π B ．6π C ．3π D ．π【答案】B【解析】∵扇形的半径为6cm ，圆心角为60︒，∴260π66π360S ⨯==．#7．如图，ABC∠=︒，则ADBC△内接于⊙O，BD是⊙O的直径．若33∠等于（）．A．67︒B．66︒ C．57︒ D．33︒【答案】C【解析】连接CD，如图，∵BD是⊙O的直径，∴90∠=︒，BCD∵33∠=︒，DBC∴903357∠=︒-︒=︒．D∴57∠=︒．A#8．已知二次函数2y ax bx c=++的图象如图所示，下列结论中，正确的是（）．A．0a>，0c>b<，0B．0b<，0c>a<，0C．0c<b>，0a<，0D．0b>，0c>，a<，0【答案】B【解析】由图知，函数开口向下，∴0a<，又对称轴在y轴左侧，∴0b<，与y轴交点在y轴正半轴，∴0c>．#9．小明想用直角尺检查某些工件是否恰好是半圆形，下列图形中是半圆形的是（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】A．不是圆周角，故不能判定；B．根据90︒的圆周角所对的弦是直径，本选项符合．C．不是圆周角，故不能判定；D ．不是圆周角，故不能判定．#10．如图，正方形ABCD 的边长为3cm ，动点P 从B 点出发以3cm/s 的速度沿着边BC CD DA --运动，到达A 点停止运动；另一动点Q 同时从B 点出发，以1cm/s 的速度沿着边BA 向A 点运动，到达A 点停止运动．设P 点运动时间为(s)x ，BPQ △的面积为2)(cm y ，则y 关于x 的函数图象是（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意得BQ x =， ①01x ≤≤时，P 点在BC 边上，3BP x =， 则BPQ △的面积12BP BQ =⋅，∴212323y x x x =⋅⋅=，故A 错误；②12x <≤时，P 点在CD 边上，则BPQ △的面积12BQ BC =⋅，∴13322y x x =⋅⋅=，故B 错误．③23x <≤时，P 点在AD 边上，93AP x =-，则BPQ △的面积12AP BQ =⋅，∴213(93)22y x x x =⋅-⋅=，故D 错误．二、填空题：本题共6题，每题3分，共18分． #11．如图，已知20ACB ∠=︒，则AOB ∠=__________．【答案】40︒【解析】∵20ACB ∠=︒，∴240AOB ACB ∠=∠=︒．#12．请写出一个开口向上，并且与y 轴交于点(0,2)-的抛物线的表达式__________． 【答案】22y x =-【解析】开口向上，则0a >，与与y 轴交于点(0,2)-，则2c =-．故可以是22y x =-．#13．已知二次函数2555632y x x =--的图象如图，则方程25550632x x --=的根为__________．【答案】3-或1【解析】由图像知，0y =，3x =-或1．故方程25550632x x --=的根为3-或1．#14．已知原点是抛物线2(3)y m x =+的最高点，则m 的范围是__________．【答案】3a <-【解析】∵原点时抛物线2(3)y a x =+的最高点， ∴30a +<， 即3a <-．#15．若1(5,)A y -、2(2,)B y -都在22y x =上，则1y __________2y (填>或<)．【答案】>【解析】当5x =-时，22122(5)22550y x ==⨯-=⨯=， 当2x =时，2222228y x ==⨯=． ∵508>， ∴12y y >．#16．已知等腰ABC △的三个顶点都在半径为5的⊙O 上，如果底边BC 的长为8，那么BC边上的高为__________． 【答案】8或2【解析】分为两种情况：①当O 在ABC △内部时，如图，连接OB 、OA ，延长AO 交BC 于D ，∵⊙O 是等腰三角形ABC 的外接圆，8BC =， ∴AD BC ⊥，142BD DC AB ===，在Rt OBD △中，由勾股定理得：22543OD =-=， ∴BC 边上的高538AD AO OD =+=+=．②当O 在ABC △外部时，如图，连接OB 、OA ，AO 交BC 于D ， 此时532AD AO OD =-=-=．三．解答题（第17—25每题5分，26、27题6分，28题7分，29题8分） #17．计算：()011124sin60()1π3--︒-+-．【答案】2- 【解析】原式3234312=-⨯-+ 2=-．#18．已知物线经过点(1,0)A 、(1,8)B -、(0,2)C ，求此抛物线的解析式． 【答案】函数解析式为2242y x x =-+． 【解析】设函数解析式为2y ax bx c =++， ∵函数过点(1,0)A 、(1,8)B -、(0,2)C ，∴082a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩， 解得242a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩．∴函数解析式为2242y x x =-+．#19．已知二次函数277y kx x =--的图象和x 轴有交点，求k 的取值范围． 【答案】74k -≥且0k ≠【解析】∵二次函数277y kx x =--的图像和x 轴有交点， ∴049280k k ≠⎧⎨+⎩≥，∴74k -≥且0k ≠． 故答案为74k -≥且0k ≠．#20．如图，ABC △中，30A ∠=︒，3tan 2B =，23AC =，求AB ．【答案】5【解析】作CD AB ⊥于点D ，∵sin CDA AC=， ∴sin CD AC A = sin30AC =︒ 3=．∵cos ADA AC=， ∴cos30AD AC =︒3232=⨯ 3=．∵3tan 2CD B BD ==， ∴2BD =．∴235AB AD BD =+=+=．#21．如图，O 为等腰三角形ABC 的底边AB 的中点，以AB 为直径的半圆分别交AC ，BC于点D 、EE ．@（1）求证：AOE BOD ∠=∠． 【答案】证明见解析． 【解析】∵CA CB =， ∴A B ∠=∠．∵OA OD =，OB OE =，∴A ODA ∠=∠，B OEB ∠=∠． ∴AOD BOE ∠=∠．∴AOD DOE BOE DOE ∠+∠=∠+∠． ∴AOE BOD ∠=∠．@（2）求证：AD BE =． 【答案】证明见解析．【解析】∵AOD BOE ∠=∠， ∴AD BE =， ∴AD BE =．#22．如图，AB 为半圆直径，O 为圆心，C 为半圆上一点，E 是弧AC 的中点，OE 交弦AC于点D ，若8cm AC =，2cm DE =，求OD 的长．【答案】3cm OD =【解析】设OD x =，则2(cm)OA OE x ==+． ∵E 是弧AC 的中点，∴AC OE ⊥，且14cm 2AD DC AC ===，在直角AOD △中，222OA OD AD =+． 则22(2)16x x +=+，解得3x =． 即3cm OD =．#23．如图，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知1cm AE =，5cm EB =，60DEB ∠=︒，求CD 的长．【答案】26【解析】作OF CD ⊥于点F ，连接OD ． ∵1AE =，5EB =．∴6AB AE BE =+=，半径长是3．∵在直角OEF △中，312OE OA AE =-=-=，sin OFDEB OE∠=， ∴3sin 232OF OE DEB =⋅∠=⨯=． 在直角ODF △中，226DF OD OF =-=． ∴226CD DF ==．#24．已知AB 是⊙O 的直径，AC 、AD 是⊙O 的弦，2AB =，2AC =，1AD =，求CAD∠的度数．【答案】15︒或105︒【解析】有两种情况，如图所示， 连接BC ，则90ACB ∠=︒．根据勾股定理可得2BC =，即AC BC =，且O 为AB 的中点， ∴CO AB ⊥，即90AOC ∠=︒，且OA OC =，∴AOC △为等腰直角三角形， ∴45CAO ∠=︒．又111AD OD OA ===，得到1AD O △为等边三角形， ∴160D AO ∠=︒． 同理260D AO ∠=︒．则604515DAC ∠=︒-︒=︒或6045105︒+︒=︒．#25．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，8BC =，1tan 2B =，点D 在BC 上，且BD AD =，求AC 的长和cos ADC ∠的值．【答案】3cos 5ADC ∠=．【解析】∵在Rt ABC △中，8BC =，1tan 2B =，tan ACB BC=， ∴tan 4AC BC B =⋅=．设AD x =，则BD x =，8CD x =-，在Rt ADC △中，由勾股定理得，222(8)4x x -+=，解得5x =． 5AD =，853CD =-=． ∴3cos 5DC ADC AD ∠==．#26．已知一次函数y ax b =+的图象上有两点A 、B ，它们的横坐标分别是3，1-，若二次函数213y x =的图象经过A 、B 两点．@（1）请求出一次函数的表达式．【答案】213y x =+．【解析】设A 点坐标为(3,)m ，B 点坐标为(1,)n -．∵A 、B 两点在213y x =的图像上，∴1933m =⨯=，11133n =⨯=．∴(3,3)A ，1(1,)3B -．∵A 、B 两点又在y ax b =+的图像上， ∴3313a b a b =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得231a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩．∴一次函数的表达式是213y x =+． @（2）设二次函数的顶点为C ，求ABC △的面积． 【答案】2【解析】如图，设直线AB 与x 轴的交点为D ，则D 点坐标为3(,0)2-． ∴32DC =．ABC ADC BDC S S S =-△△△131********=⨯⨯-⨯⨯ 91244=-=．#27．某超市按每袋20元的价格购进某种干果．销售过程中发现，每月销售量y (袋)与销售单价x （元/袋）之间的关系可近似地看作一次函数10500y x =-+（2050x <<）． @（1）当45x =元时，y =__________袋；当200y =袋时，x =_________元． 【答案】50，30．【解析】当45x =元时，104550050y =-⨯+=袋， 当200y =袋时，20010500x =-+， ∴解得：30x =元． 故答案为：50，30．@（2）设这种干果每月获得的利润为w （元），当销售单价定为多少元/袋时，每月可获得最大利润？最大利润是多少？【答案】当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润，最大利润是2250元． 【解析】∵设这种干果每月获得的利润为w （元）， ∴(20)(20)(10500)w x y x x =-=--+ 21070010000x x =-+- 210(35)2250x =--+．∴当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润，最大利润是2250元．#28．二次函数2y x mx n =-++的图象经过点(1,4)A -，(1,0)B ，12y x b =-+经过点B ，且与二次函数2y x mx n =-++交于点D ．@（1）求一次函数和二次函数的表达式及点D 的坐标． 【答案】1122y x =-+，223y x x =--+，57(,)24-．【解析】∵二次函数2y x mx n =-++的图象经过点(1,4)A -，(1,0)B ．∴4101m nm n =--+⎧⎨=-++⎩．∴2m =-，3n =．∴二次函数的表达式为223y x x =--+．一次函数12y x b =-+经过点B ，∴12b =，一次函数表达式为：1122y x =-+．12y x b =-+经与二次函数2y x mx n =-++交于点D ．∴2112223y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=--+⎩， 解得5274x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，10x y =⎧⎨=⎩，∴D 点坐标为57(,)24-．@（2）点N 是二次函数图象上一点（点N 在BD 上方），过N 作NP x ⊥轴，垂足为点P ，交BD 于点M ，求MN 的最大值．【答案】4916【解析】画出图形．设11(,)22M m m -+，则2(,2+3)N m m m -- ∴21123()22MN m m m =--+--+， ∴23522MN m m =--+．∴2349()416MN m =-++．∴MN 的最大值为4916．#29．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y x mx n =++经过点(1,)A a -，(3,)B a ，且最低点11 的纵坐标为4-．@（1）求抛物线的表达式及a 的值．【答案】2242y x x =--，4a =．【解析】∵抛物线22y x mx n =++过点，(1,)A a -，(3,)B a ，∴抛物线的对称轴1x =．∵抛物线最低点的纵坐标为4-，∴抛物线的顶点是(1,4)-．∴抛物线的表达式是22(1)4y x =--，即2242y x x =--．把(1,)A a -代入抛物线表达式，求出4a =．@（2）设抛物线顶点C 关于y 轴的对称点为点D ，点P 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在点A ，B 之间的部分为图象G （包含A ，B 两点）．如果直线DP 与图象G 恰有两个公共点，结合函数图象，求点P 纵坐标t 的取值范围．【答案】40t -<≤【解析】∵抛物线顶点(1,4)C -关于y 轴的对称点为点D ， ∴(1,4)D --．求出直线CD 的表达式为4y =-．求出直线BD 的表达式为22y x =-，当1x =时，0y =．所以40t -<≤．@（3）设抛物线与y 轴的交点为E ，求BCE △面积．【答案】6【解析】如图，过C ，B 作y 轴垂线，垂直分布为F ，G ．111(31)836126222BCE GBE CEF BGFC S S S S =--=+⨯-⨯⨯-⨯⨯=梯形△△△．12。
2023北京昌平区融合学区初三(上)数学期中试卷及答案
2023 - 2024学年第一学期昌平区融合学区（第一组）初三年级期中质量抽测数学试卷2023.10本试卷共7页，三道大题，28个小题，满分100分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，请交回答题卡。
一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．．．．1. 已知=≠a b ab 34(0)，则下列比例式中正确的是 （A ）=b a 34 （B ）=b a 43 （C ）=a b 34 （D ）=ba 342. 抛物线=-y x 22的顶点坐标是（A ）（0，2） （B ）（2，0） （C ）（0，-2） （D ）（-2，0） 3. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，连接DE 、AC 交于点F ，那么DF EF 的值为（A ）31 （B ）21（C ）32 （D ）16. 点-，P y 111，，P y 322，，P y 533，均在二次函数+2的图象上，则y 1，y 2，3的大小关系是（A ）>>y y y 123 （B ）>>y y y 312 （C ）=>y y y 123（D ） >=y y y 321ABCDEF7. 下列正方形方格中四个三角形中，与图1中的三角形相似的是（A）（B）（C）（D）8.如图，正方形ABCD的边长为2cm，点P，Q同时从点A出发，速度均为2cm/s，若点P沿--A D C向点C 运动，点Q沿--A B C向点C运动，则△APQ的面积S（cm2）与运动时间t（s）之间函数关系的大致图象（A）（B）（C）（D）二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）9.如图，直线∥∥l l l123，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，若DE=3，=EF6，AB=4，则线段BC=___________.10. 请写出一个开口向下，对称轴为直线=x3的抛物线的解析式．11. 二次函数=++y x bx c2图象经过点A（0，3），B（2，3），则其对称轴为直线．9题图12题图13题图13. 如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，DE⊥AB于点E．若AC=4，AB=5，AD=3，则AE=____．图114题图15题图16题图三、解答题（本题共12道小题，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27、28题，每小题7分，共68分）17. 如图，已知四边形ABCD∽四边形A’B’C’D’.y12'19. 如图，∠=︒MAN 30，点B 、C 分别在AM 、AN 上，且∠=︒ABC 40．（1）尺规作图：作∠CBM 的角平分线BD ，BD 与AN 相交于点D ；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求证：△ABC ∽△ADB ．21.已知二次函数=+++-y x m x m 21122)(的图象与x 轴有两个交点．（1）求m 的取值范围；（2）写出一个符合条件的m 的值，并求出此时图象与x 轴的交点坐标.ANMBC23. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，CA=CD，过点B作BE⊥CD，交CD的延长线于点E．AB，恰好使得观测点E，直届世界大学生夏季运动会女子篮球金牌赛中，中国队以99比91战②结合表中数据或所画图象，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度是③已知此时韩旭距篮筐中心的水平距离5m ，韩旭第一次投篮练习是否成功，请说明理由）第二次训练时，韩旭出手时篮球的竖直高度与第一次训练相同，此时投出的篮球的竖直高度近似满足函数关系=-+y a x (3) 4.252，若投篮成功，26.在平面直角坐标系xOy 中，点（1，m ）和（2，n ）在抛物线=-+y x bx 2上． （1）若m ＝0，求该抛物线的对称轴；（2）若mn ＜0，设抛物线的对称轴为直线=x t ，①直接写出t 的取值范围； ②已知点（－1，y 1），（23，y 2），（3，y 3）在该抛物线上．比较y 1，y 2，y 3的大小，并说明理由．28.如图1，抛物线的顶点为M，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B（点A在点B左侧），根据对称性△AMB恒为等腰三角形，我们规定：当△AMB为直角三角形时，就称△AMB为该抛物线的“完美三角形”．2023 - 2024学年第一学期昌平区融合学区（第一组）初三年级期中质量抽测 数学试卷参考答案及评分标准2023.10一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）18. 解：（1）=+-y x x 232=++-x x (21)42=+-x (1)42所以顶点坐标为（-1，-4）. ……………………………………………………………………2分 （2）………………………………………………………4分（3）当<-x 1时，y 随着x 的增大而减小 . ………………………………………5分19. 解：（1）.……………………………………………1分（2）证明：∵∠=︒MAN 30，∠=︒ABC 40∴∠ACB=110° ∵∠=︒ABC 40 ∴∠CBM=140°.∵BD 是∠CBM 的角平分线， ∴∠CBD=21∠CBM=70°. …………………………………………………………………3分 ∴∠ABD=110°.∴∠ACB=∠ABD . …………………………………………………………………………4分 ∵∠A=∠A∴△ABC ∽△ADB ． .…………………………………………………………………………5分20. 解：（1）x =1； .…………………………………………………………………………………………1分（2）m =8，n =3； ……………………………………………………………………………………3分 （3）=x 01，=x 21. ………………………………………………………………………………5分 21. 解：（1）∵图象与x 轴有两个交点∴->b ac 402. …………………………………………………………………………1分 ∵-=+--=+b ac m m m 4(21)4(1)45222∴+>m 450>-m 45…………………………………………………………………………3分（2）取m =1，则二次函数为=+y x x 32.令y =0，则+=x x 302，解得=x 01，=-x 32.此时图象与x 轴交点坐标为（0，0）和（-3，0）. ………………………………………………5分A22.解：（1）设抛物线表达式为=++≠y ax bx c a (0)2. ∵与y 轴交于点C （0，2），∴c =2． …………………………………………………………………………………1分 将点A （-4，0），B （2，0）代入可得⎩++=⎨⎧-+=a b a b 422016420解得=-a 41，=-b 21…………………………………………………………………2分 ∴抛物线表达式为=--+y x x 42 2.112 .……………………………………………3分（2）≤-x n 3或≥x n 1. …………………………………………………………………5分23.（1）证明：∵BE ⊥CD ， ∠ACB =90°，∴∠ABC=∠E. …………………………………………………………………………1分 ∵CA=CD ∴∠A=∠ADC . ∵∠ADC=∠BDE ，∴∠A=∠BDE . . ………………………………………………………………………2分 ∴△ABC ∽△DBE . .………………………………………………………………………3分（2）解：∵在Rt △BCE 中，BE =3，BC =5，∴CE =4. .……………………………………………………………………………………4分 ∵△ABC ∽△DBE . ∴=BE DEBC AC设AC =x ， AC=CD=x. 则DE =4-x ，∴-=x x 345 ……………………………………………………………………………5分 ∴=x 25∴AC =25. . …………………………………………………………………………………6分24.解：∵AC ⊥EF ，NF ⊥EF∴△EAC ∽△ENF . …………………………………………………………………………………2分 ∴=EF NFEC AC…………………………………………………………………………………3分 由题可知AB=5.5m ，BM=CF=15m ， DB =EC =5m ，DE =BC =MF =1.5m.∴AC =4m ，EF =20m. …………………………………………………………………………………4分∴=NF2054,解得=NF 16. ………………………………………………………………5分 ∴MN =17.5m ， …………………………………………………………………………………6分25.（1）①…………………………………………………………………1分② 3.8m ； …………………………………………………………………………………………2分 ③ 是，理由如下：……………………………………………………………………………………3分 由题可知，抛物线的对称轴为直线x=3， 又∵抛物线过（1，3）， ∴抛物线必过（5，3）.∵篮筐中心距离地面的竖直高度是3m ，∴韩旭距篮筐中心的水平距离5m ，第一次投篮练习可以成功 ……………………………5分 （2） d >5. ……………………………………………………………………………………………6分 26. 解：（1）∵点（1，m ）在抛物线=-+y x bx 2上，m ＝0，∴-+=b 10．∴=b 1． …………………………………………………………………………..1分 ∴该抛物线的对称轴为=x 21． ………………………………………………………………..2分（2）①<<t 2 1.1………………………………………………………………………………………..4分 ②<<y y y 312．理由如下：由题意可知，抛物线过原点． 设抛物线与x 轴另一交点的横坐标为x ´． ∵抛物线经过点(1，m )，(2，n )，mn ＜0 ∴1＜x ´＜2． ∴<<t 211．x设点（－1，y 1）关于抛物线的对称轴=x t 的对称点为x y (,)01． ∵点（－1，y 1）在抛物线上， ∴点x y (,)01也在抛物线上． 由-=--x t t (1)0 得=+x t 210． ∵<<t 211， ∴1＜2t ＜2． ∴2＜2t ＋1＜3． ∴<<x 230．由题意可知，抛物线开口向下． ∴当>x t 时，y 随x 的增大而减小. ∵点（23，y 2），x y (,)01，（3，y 3）在抛物线上，且<<<t x 2330， ∴<<y y y 312 ……………………………………………………………………………..6分27. 解：（1）补全图1………………………………………………………..1分（2）证明：∵△ABC 是等边三角形.∴∠B=∠C=60° ∵∠MPN =60°∴∠BPN+∠CPM=120° ∵∠BPN+∠BNP=120° ∴∠BNP=∠CPM∴△BNP ∽△CPM ………………………………………………………………………..2分BC在线段AB 2x.P图1P图2把点B 坐标代入得到2. …………………………………………………5分 （3）=-m 21，=n 4. ……………………………………………………………………………..7分。
2022-2023学年北京市昌平区九年级上学期期中考试质量监控数学试卷含详解
2022−2023学年第一学期昌平区双城融合学区初三年级数学学科期中质量抽测数学试卷2022.10本试卷共7页，共100分．考试时长120分钟．考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1−8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.下列各组线段中，成比例的是（）A.1，2，2，4B.1，2，3，4C.3，5，9，13D.1，2，2，32.抛物线y ＝x 2﹣2的顶点坐标是（）A .（0，﹣2） B.（﹣2，0）C.（0，2）D.（2，0）3.0.618），就称这个矩形为黄金矩形．若矩形ABCD 为黄金矩形，宽AD ﹣1，则长AB 为（）A .1 B.﹣1 C.2 D.﹣24.若将抛物线y=-12x 2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是()A.21(3)22y x =-+- B.21(3)22y x =---C.2(3)2y x =+- D.21(3)22y x =-++5.如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AB 的中点EC 交BD 于点F ,那么EF 与CF 的比是()A.1:2B.1:3C.2:1D.3:16.如图，△ABC ∽△A′B′C′，AD 和A′D′分别是△ABC 和△A′B′C′的高，若AD ＝2，A′D′＝3，则△ABC 与△A′B′C′的面积的比为（）A.4：9B.9：4C.2：3D.3：27.已知二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示，则使得函数值y 大于2的自变量x 的取值可以是（）A.4-B.2-C.0D.28.在平面直角坐标系xOy 中，点A ，点B 的位置如图所示，抛物线22y ax ax =-经过A ，B ，则下列说法不正确的是（）A.抛物线的开口向上B.抛物线的对称轴是1x =C.点B 在抛物线对称轴的左侧D.抛物线的顶点在第四象限二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.写出一个开口向上，并且与y 轴交于点（0，2）的抛物线的解析式________________．10.如图，AB ∥CD ∥EF ，直线l 1、l 2分别与这三条平行线交于点A 、C 、E 和点B 、D 、F ．已知AC=3，CE=5，DF=4，则BF 的长为_____．11.把二次函数y =x 2-6x +5配成y =(x -h )2+k 的形式是_____________．12.已知抛物线22y x x =-经过点1(1,)y -，2(4,)y ，则1y ____2y (填“>”“=”或“<”).13.如图，在△ABC 中，DE 分别与AB 、AC 相交于点D 、E ，且DE ∥BC ，如果23AD DB =，那么DE BC=_____．14.二次函数2y x bx c =-++的部分图像如图所示，由图像可知，方程20x bx c -++=的解为_________．15.据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图（1）所示。
北京市昌平区昌平五中2019-2020学年九年级(上)期中数学试卷
昌平五中2019-2020年期中试卷一、选择题（每题2分）1、下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D.2、将抛物线24y x =向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ）A ()2413y x =++B ()2413y x =-+C ()2413y x =+-D ()2413y x =--3、在ABC ∆中，90,13,5C AB BC ∠=︒==，则sin A 的值为（ ）A 513B 1213C 512D 1354、用配方法解方程2230x x --=时，配方后得到的方程为（ ）A ()214x -=B ()214x -=-C ()214x +=D ()214x +=-5、在ABC ∆中，90C ∠=︒，以点B 为圆心，以BC 长为半径作圆，点A 与该圆的位置关系是（ ）A 点A 在圆外B 点A 在圆内C 点A 在圆上D 无法确定6、如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ADC=35°，则∠CAB 的度数为（ ） A. 35° B. 45° C. 55° D. 65°7、已知：二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，下列结论：①a <0；②b <0；③c >0； ④24b ac -=0； ⑤a b c ++>0 中，正确的是（ ） A ①和② B ①和③ C ①和④ D ④和⑤得数据OC=8，OD=9，则此圆的直径约为（ ）A. 17B. 14C. 12D. 109、函数2y x =与函数1y x-= 在同一坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D.10、根据图1所示的程序，得到了y 与x 的函数图象，过点M 作PQ ∥x 轴交图象于点P ，Q ，连接OP ，OQ.则以下结论：① x<0时,y=2x ； ② △OPQ 的面积为定值； ③ x>0时，y 随x 的增大而增大； 的长是的值为接GE。
北京市昌平区昌平一中2020-2021学年九年级(上)数学期中试卷
北京市昌平区昌平一中2020-2021学年九年级（上）数学期中试卷一、选择题（每题2分）1、已知y =(m +1)x |m−1|+2m 是y 关于x 的二次函数，则m 的值为（ ）A. -1B. 3C. -1或3D. 02、在∆ABC 中，∠A =90°，若AB =8，AC =6，则cosC 的值为（ ）A. 35B. 45C. 34D. 433、在同一直角坐标系中，函数y =kx +1与y =k x (k ≠0)的图象可能是（ ） A. B. C. D.4、如图，∆ABC 中，∠A =65°，AB =6，AC =3，将∆ABC 沿下图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不构成相似的是（ ）A. B. C. D.5、在平面直角坐标系中，将抛物线y =3x 2向左平移2个单位长度，向下平移4个单位长度，得到抛物线是 ，顶点坐标是A. y =3(x −2)2+4，（2，4）B. y =3(x −2)2−4，（2，-4）C. y =3(x +2)2−4，（2，-4）D. y =3(x +2)2−4，（-2，-4）6、A （−12，y 1）、B （1，y 2）、C （4，y 3）三点都在二次函数y =−(x −2)2+k 的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ）A. y 1<y 2<y 3B. y 1<y 3<y 2C. y 3<y 1<y 2D. y 3<y 2<y 17、如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 、F 分别是边AD 、BC 上的点，AF 与BE 交于点O ，AE =5，BF =2，则∆BOF 与∆AOE 的面积之比为（ ）A. 425B. 25C. 254D. 528、同学们参加综合实践活动时，看到木工师傅用“三弧法”在板材边角处作直角，其作法是：如图，（1）作线段AB ，分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点C（2）以点C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D（3）连接BD，BC根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A. ∠ABD=90°B. CA=CB=CDC. cosD=12 D. sinA=√32二、填空题（每题2分）9、如果cosA=√32，那么锐角A的度数为10、写出一个图象在二、四象限的反比例函数的表达式11、如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数√5−12（约为0.618），就称这个矩形为黄金矩形。
北京市昌平区九年级上学期期中考试数学试卷
2019-2020学年北京市昌平区九年级上学期期中考试数学试卷一、选择题（每小题2分，共24分）1．（2分）下列判定正确的是（ ）A ．对角线互相垂直的四边形是菱形B ．两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形C ．四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形D ．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形【解答】解：A 、对角线互相平分且互相垂直的四边形是菱形，故A 错误；B 、两条对角线相等且平分且互相垂直的四边形是正方形，故B 错误；C 、四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形，故C 正确；D 、一组对边平行，一组对边相等的四边形可能是平行四边形、可能是等腰梯形，故D 错误；故选：C ．2．（2分）方程x 2＝2x 的解是（ ）A ．x ＝0B ．x ＝2C ．x 1＝0 x 2＝2D ．x 1＝0 x 2=√2【解答】解：移项得x 2﹣2x ＝0，x （x ﹣2）＝0，x ＝0，x ﹣2＝0，x 1＝0，x 2＝2，故选：C ．3．（2分）从1，2，﹣3三个数中，随机抽取两个数相乘，积是正数的概率是（ ）A ．0B ．13C ．23D ．1【解答】解：共有6种情况，积是正数的有2种情况，故概率为13，故选：B ．4．（2分）如图，已知AB ∥CD ∥EF ，那么下列结论正确的是（ ）A ．AD DF =BC CEB ．BC CE =DF AD C ．CD EF =BC BE D ．CD EF =AD AF【解答】解：由平行线分线段成比例可知是被平行线所截的线段才有可能是对应线段，∴CD 、EF 不是对应线段，故C 、D 不正确；∵BC 和AD 对应，CE 和DF 对应，∴AD DF =BC CE ，故A 正确；故选：A ．5．（2分）如图是由6个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，所得几何体（ ）A ．主视图改变，左视图改变B ．俯视图不变，左视图不变C ．俯视图改变，左视图改变D ．主视图改变，左视图不变【解答】解：将正方体①移走前的主视图正方形的个数为1，2，1；正方体①移走后的主视图正方形的个数为1，2；发生改变．将正方体①移走前的左视图正方形的个数为2，1，1；正方体①移走后的左视图正方形的个数为2，1，1；没有发生改变．将正方体①移走前的俯视图正方形的个数为1，3，1；正方体①移走后的俯视图正方形的个数，1，3；发生改变．故选：D ．6．（2分）如图是我们学过的反比例函数图象，它的函数解析式可能是（ ）。
北京市昌平区2020届九年级上学期期中考试数学试题及答案
北京市昌平区2020届九年级上学期期中考试数学试题一、选择题（共8 道小题，每小题2 分，共16 分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．．．1．如右图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则s inB的值等于4 3343545A．B．C．D．CBA第1题第4题的最小值是B．7 第5题D．5x 5272．二次函数yA ．7C ．53．已知⊙O的半径是4，OP的长为3，则点P与⊙O的位置关系是A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外4．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则cos 的值是D．不能确定3 4433545A．B．C．D．5．如图所示，C 是⊙O 上一点，若C 40，则AO B的度数为A. 20°B.40°C. 80°D. 140°6．如图，河堤横断面迎水坡的坡度是的长度是C. ，堤高A. ，则坡面B. D.x 2x m的图象与轴没有交点，则m的取值范围是x7．若函数y2A．m＞1 B．m＜1 C．m≤1D．m=1 8．如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O 的直径．若D B C 33，二、填空题（共 8 道小题，每小题 2 分，共 16 分） D3 9．如果cos A，那么锐角A 的度数为______.2A O10．如右图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 是BC 延长线上一点， 若∠BAD =105°，则∠DCE 的度数是11．一个扇形的半径为 6 ㎝，圆心角为 900，则这个扇形的弧长为_______，这个面积为BCE.．12．将抛物线y 5x 2先向右平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位，可以得到新的抛物线是_______________________ 13．比较大小：cos 45∘ cos 55∘（用“>”或“<”填空）．所对的圆心角为 80°，则弦所对的圆周角的度数是14 ．若 ⊙ 的弦_________y x bx c 的部分图象如图所示，由图象可知，15．二次函数2 y不等式x 2b xc 0 的解集为___________________.16．⊙O 的直径为 10cm ，弦 AB∥CD ，且AB = 8cm ，CD = 6cm ， x则弦 AB 与 CD 之间的距离为．三、解答题（共 6 道小题，每小题 5 分，共 30 分）17．计算：2sin 453 t an 30 2 t an 60c o s 3018．如图，在⊙O 中，弦AC 与BD 交于点E ，AB =8，AE =6，ED =4， 求CD 的长．BCE ODA19．如图所示，在 求的值．中， ，垂足是 ．若 ， ， ．20．《九章算术》中记载了这样一道题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深 AB 一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的语言表述为：“如果 为⊙ 的直径，弦OE AE 1C D AB 于 ，AB寸，C D 10 寸，那么直径 的长为多少寸？”请你补全示意AB 图，并求出 的长．21．如果二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象经过点（1,0），（2,-1），（0，3）， （1）求二次函数解析式，（2）写出二次函数的对称轴和顶点坐标.22．如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 过 BC 的中点 D ，DE⊥AC 于 E ，求证：△BDA∽△CED.CDE AOB四、解答题（共 4 道小题，每小题 6 分，共 24 分） m23．如图，一次函数y kx b 与反比例函数 的图象交于 A （2，1），B （-1， ）两点. y n x（1）反比例函数和一次函数的解析式；m （2）结合图象直接写出不等式 的解集.kx b 0ym xxyy k x b A 11O2xBn24．“永定楼”是门头沟区的地标性建筑，某中学九年级数学兴趣小组进行了测量它高度的社会实践活动．如图，他们在A点测得顶端D的仰角∠DAC=30°，向前走了46 米到达B 后，在B点测得顶端D的仰角∠DBC=45°．求永定楼的高度CD．（结果保留根号）DA B C25．某工厂设计了一款产品，成本为每件20 元．投放市场进行试销，经调查发现，该种产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足（20≤x≤40），设销y2x80售这种产品每天的利润为W（元）.（1）求销售这种产品每天的利润W（元）与销售单价x（元）之间的函数表达式.（2）当销售单价定为多少元时, 每天的利润最大？最大利润是多少元？1 26．【问题学习】小芸在小组学习时问小娟这样一个问题：已知α为锐角，且sinα= ，3求sin2α的值．小娟是这样给小芸讲解的：如图1，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB=90°.设∠BAC=α，则sinα=B C AB1= ．易得∠BOC=2α．设BC=x，则AB=3x，则AC= x．作CD⊥AB于D，求出223C DCD= （用含x的式子表示），可求得sin2α= = ．O C3【问题解决】已知，如图2，点M，N，P为⊙O上的三点，且∠P=β，sinβ= ，求sin2β5的值.P P M MCA BO D N N图1图图2五、解答题（共 2 道小题，各 7 分，共 14 分）27．已知抛物线y = x 2 + (a − 2)x − 2a （a 为常数，且 a>0）. （1）求证：抛物线与 x 轴有两个公共点；（2）设抛物线与 x 轴的两个公共点分别为 A ，B （A 在 B 左侧），与 y 轴的交点为 C. 当 AC=2√5时，求抛物线的表达式.28．在平面直角坐标系 中，⊙O 的半径为 1，P 是坐标系内任意一点，点 P 到⊙O 的距 xOy 离 的定义如下：若点 P 与圆心 O 重合，则S 为⊙O 的半径长；若点 P 与圆心 O 不重合，S PP作射线 OP 交⊙O 于点 A ，则 为线段 的长度．S AP P图 1 为点 P 在⊙O 外的情形示意图．yy 1P 1 A 1xO 1xO图 1 备用图 21 1,0C 1,1 ， 0, S S （1）若点 B ， D ，则 ___； S ___； ___； 3C BD x b M 2，求 的取值范围；b（2）若直线 y 上存在点 ，使得S MP R（3）已知点 ， 在 x 轴上， 为线段 P Q 上任意一点．若线段 P Q 上存在一点 ，T Q．．S 满足 T 在⊙O 内且 S，直接写出满足条件的线段 长度的最大值．P Q ． TRy1 xO1北京市昌平区2020 届初三上学期期中考试数学试题（答案）一、选择题题号 1D 2B3A4D5C6D7A8B答案二、填空题：9．30°.13. ＞10. 105°11. 3π，9π15. X<-1, x>512. y=5(x-3) -42 14. 40°，140°16. 1，717. √2+√3−318. CD=16/319. 12/1320. 2621. (1)y=x -4x+3 (2)对称轴x=2，顶点（2，-1）222.略23.(1) y=2/x， y=x-1; (2)-1<x<0，x>224. 23√3+2325.(1)w=-2x +120x-1600; (2)30 元，最大利润200 元226. 2√2x; 4√2; 24/259327(1)略(2)y=x -4228.(1) 0, , 2/3;(2)−3√2≤b≤3√2;(3)4五、解答题（共 2 道小题，各 7 分，共 14 分）27．已知抛物线y = x 2 + (a − 2)x − 2a （a 为常数，且 a>0）. （1）求证：抛物线与 x 轴有两个公共点；（2）设抛物线与 x 轴的两个公共点分别为 A ，B （A 在 B 左侧），与 y 轴的交点为 C. 当 AC=2√5时，求抛物线的表达式.28．在平面直角坐标系 中，⊙O 的半径为 1，P 是坐标系内任意一点，点 P 到⊙O 的距 xOy 离 的定义如下：若点 P 与圆心 O 重合，则S 为⊙O 的半径长；若点 P 与圆心 O 不重合，S PP作射线 OP 交⊙O 于点 A ，则 为线段 的长度．S AP P图 1 为点 P 在⊙O 外的情形示意图．yy 1P 1 A 1xO 1xO图 1 备用图 21 1,0C 1,1 ， 0, S S （1）若点 B ， D ，则 ___； S ___； ___； 3C BD x b M 2，求 的取值范围；b（2）若直线 y 上存在点 ，使得S MP R（3）已知点 ， 在 x 轴上， 为线段 P Q 上任意一点．若线段 P Q 上存在一点 ，T Q．．S 满足 T 在⊙O 内且 S，直接写出满足条件的线段 长度的最大值．P Q ． TRy1 xO1北京市昌平区2020 届初三上学期期中考试数学试题（答案）一、选择题题号 1D 2B3A4D5C6D7A8B答案二、填空题：9．30°.13. ＞10. 105°11. 3π，9π15. X<-1, x>512. y=5(x-3) -42 14. 40°，140°16. 1，717. √2+√3−318. CD=16/319. 12/1320. 2621. (1)y=x -4x+3 (2)对称轴x=2，顶点（2，-1）222.略23.(1) y=2/x， y=x-1; (2)-1<x<0，x>224. 23√3+2325.(1)w=-2x +120x-1600; (2)30 元，最大利润200 元226. 2√2x; 4√2; 24/259327(1)略(2)y=x -4228.(1) 0, , 2/3;(2)−3√2≤b≤3√2;(3)4。
2020-2021北京市初三数学上期中试题含答案
2020-2021北京市初三数学上期中试题含答案一、选择题1．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个2．下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点是（1，n），且与x的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a-b+c＞0；②3a+b=0；③b2=4a（c-n）；④一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个不等的实数根．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．44．如图，将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α(0°＜α＜90°)．若∠1＝112°，则∠α的大小是( )A．68°B．20°C．28°D．22°5．在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+2x﹣3的图象如图所示，点A（x1，y1），B（x2，y2）是该二次函数图象上的两点，其中﹣3≤x1＜x2≤0，则下列结论正确的是（）A ．y 1＜y 2B ．y 1＞y 2C ．y 的最小值是﹣3D ．y 的最小值是﹣46．用配方法解方程210x x +-=，配方后所得方程是（ ）A ．213()24x -=B ．213()24x +=C ．215()24x += D ．215()24x -= 7．如图，将三角尺ABC （其中∠ABC=60°，∠C=90°）绕点B 按逆时针方向转动一个角度到△A 1BC 1的位置，使得点A 1、B 、C 在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 8．若关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+5x+m 2﹣5m+4=0有一个根为0，则m 的值等于（ ）A ．1B ．1或4C ．4D ．09．若关于x 的方程240kx x -+=有实数根，则k 的取值范围是( )A ．k 16≤B ．1k 16≤C ．k 16≤且k 0≠D ．1k 16≤且k 0≠ 10．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图，直线y=kx+c 与抛物线y=ax 2+bx+c 的图象都经过y 轴上的D 点，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，其对称轴为直线x=1，且OA=OD ．直线y=kx+c 与x 轴交于点C （点C 在点B 的右侧）．则下列命题中正确命题的是（ ）①abc＞0； ②3a+b＞0； ③﹣1＜k ＜0； ④4a+2b+c＜0； ⑤a+b＜k ．A ．①②③B ．②③⑤C ．②④⑤D ．②③④⑤ 12．有两个一元二次方程2:0M ax bx c ++=，2:0N cx bx a ++=，其中，0ac ≠，a c ≠，下列四个结论中错误的是（ ） A ．如果方程M 有两个不相等的实数根，那么方程N 也有两个不相等的实数B ．如果4是方程M 的一个根，那么14是方程N 的另一个根 C ．如果方程M 有两根符号相同，那么方程N 的两符号也相同D ．如果方程M 和方程N 有一个相同的根，那么这个根必是1x二、填空题13．如图，菱形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A 在x 轴上，∠B ＝120°，OA ＝1，将菱形OABC 绕原点顺时针旋转105°至OA 'B ′C '的位置，则点B '的坐标为_____．14．如图是两块完全一样的含30°角的直角三角尺，分别记做△ABC 与△A′B′C′，现将两块三角尺重叠在一起，设较长直角边的中点为M ，绕中点M 转动上面的三角尺ABC ，使其直角顶点C 恰好落在三角尺A′B′C′的斜边A′B′上．当∠A ＝30°，AC ＝10时，两直角顶点C ，C′间的距离是_____．15．某市政府为了改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，使绿地面积增加44%，则这两年平均绿地面积的增长率为______.16．已知圆锥的底面圆半径为3cm ，高为4cm ，则圆锥的侧面积是________cm 2.17．已知、是方程的两个根，则代数式的值为______.18．某药品原价是100元，经连续两次降价后，价格变为64元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价的百分率是 ；19．已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3cm 和4cm ，则这个直角三角形的内切圆的半径为 cm 20．已知x 1，x 2是方程x 2﹣x ﹣3＝0的两根，则1211+x x ＝_____． 三、解答题21．某校为组织代表队参加市“拜炎帝、诵经典”吟诵大赛，初赛后对选手成绩进行了整理，分成5个小组（x 表示成绩，单位：分），A 组：75≤x ＜80；B 组：80≤x ＜85；C 组：85≤x ＜90；D 组：90≤x ＜95；E 组：95≤x ＜100．并绘制出如图两幅不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列问题：（1）参加初赛的选手共有 名，请补全频数分布直方图；（2）扇形统计图中，C 组对应的圆心角是多少度？E 组人数占参赛选手的百分比是多少？ （3）学校准备组成8人的代表队参加市级决赛，E 组6名选手直接进入代表队，现要从D 组中的两名男生和两名女生中，随机选取两名选手进入代表队，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中一名男生和一名女生的概率．22．某商场经销一种成本为每千克40元的水产品，经市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题．（1）当销售单价定为每千克55元，计算月销售量和月销售利润；（2）商场计划在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？23．解方程：2220x x +-=.24．在2017年“KFC ”篮球赛进校园活动中，某校甲、乙两队进行决赛，比赛规则规定：两队之间进行3局比赛，3局比赛必须全部打完，只要赢满2局的队为获胜队，假如甲、乙两队之间每局比赛输赢的机会相同，且乙队已经赢得了第1局比赛，那么甲队获胜的概率是多少？（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）25．今年5月份，我市某中学开展争做“五好小公民”征文比赛活动，赛后随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划分为A ，B ，C ，D 四个等级，并绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图： 等级成绩（s ） 频数（人数） A90＜s≤100 4 B80＜s≤90 x C70＜s≤80 16 D s≤70 6根据以上信息，解答以下问题：（1）表中的x= ；（2）扇形统计图中m= ，n= ，C 等级对应的扇形的圆心角为 度；（3）该校准备从上述获得A 等级的四名学生中选取两人做为学校“五好小公民”志愿者，已知这四人中有两名男生（用a 1，a 2表示）和两名女生（用b 1，b 2表示），请用列表或画树状图的方法求恰好选取的是a1和b1的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】试题分析：A选项既是轴对称图形，也是中心对称图形；B选项中该图形是轴对称图形不是中心对称图形；C选项中既是中心对称图形又是轴对称图形；D选项中是中心对称图形又是轴对称图形.故选B．考点: 1.轴对称图形；2.中心对称图形．2．B解析：B【解析】分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．详解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形；B．是轴对称图形，也是中心对称图形；C．是轴对称图形，不是中心对称图形；D．是轴对称图形，不是中心对称图形．故选B．点睛：本题考查了中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．3．C解析：C【解析】【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间，则当x=-1时，y>0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=-2b a =1，即b=-2a ，则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n 得到244ac b a-=n ，则可对③进行判断；由于抛物线与直线y=n 有一个公共点，则抛物线与直线y=n-1有2个公共点，于是可对④进行判断．【详解】∵抛物线与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间．∴当x=-1时，y ＞0，即a-b+c ＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=-2b a=1，即b=-2a ， ∴3a+b=3a-2a=a ，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标为（1，n ）， ∴244ac b a-=n ， ∴b 2=4ac-4an=4a （c-n ），所以③正确；∵抛物线与直线y=n 有一个公共点，∴抛物线与直线y=n-1有2个公共点，∴一元二次方程ax 2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，所以④正确．故选C ．【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数性质是解题的关键.4．D解析：D【解析】试题解析：∵四边形ABCD 为矩形，∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，∵矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α，∴∠BAB′=α，∠B′AD′=∠BAD=90°，∠D′=∠D=90°，∵∠2=∠1=112°，而∠ABD=∠D′=90°，∴∠3=180°-∠2=68°，∴∠BAB′=90°-68°=22°，即∠α=22°．故选D．5．D解析：D【解析】试题分析：抛物线y=x2+2x﹣3与x轴的两交点横坐标分别是﹣3、1；抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣4），对称轴为x=﹣1．选项A，无法确定点A、B离对称轴x=﹣1的远近，无法判断y1与y2的大小，该选项错误；选项B，无法确定点A、B离对称轴x=﹣1的远近，无法判断y1与y2的大小，该选项错误；选项C，y的最小值是﹣4，该选项错误；选项D，y 的最小值是﹣4，该选项正确．故答案选D.考点：二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．6．C解析：C【解析】【分析】本题根据配方的基本方法进行就可以得到答案.配方首先将常数项移到方程的右边，将二次项系数化为1，然后左右两边同时加上一次项系数一半的平方.【详解】解：2x+x=12x+x+14=1+14 215()24x+=.故选C【点睛】考点：配方的方法.7．D解析：D【解析】根据题意旋转角为∠ABA1，由∠ABC=60°，∠C=90°，A、B、C1在同一条直线上，得到∠ABA1=180°-∠A1BC1=180°-60°=120°解：旋转角为∠ABA1，∵∠ABC=60°，∠C=90°，∴∠ABA1=180°-∠A1BC1=180°-60°=120°；故答案为D点评：本题考查了弧长的计算公式：l=n R180π，其中l表示弧长，n表示弧所对的圆心角的度数．8．C解析：C【解析】【分析】先把x ＝0代入方程求出m 的值，然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的m 的值．【详解】解：把x ＝0代入方程得m²−5m ＋4＝0，解得m ₁＝4，m ₂＝1，而a−1≠0，所以m ＝4．故选C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．注意一元二次方程的定义．9．B解析：B【解析】【分析】当0k =时，代入方程验证即可，当0k ≠时，根据方程的判别式△≥0可得关于k 的不等式，解不等式即得k 的取值范围，问题即得解决.【详解】解：当0k =时，40x -+=，此时4x =，有实数根；当0k ≠时，∵方程240kx x -+=有实数根，∴△2(1)440k =--⨯⨯，解得：116k ，此时116k 且0k ≠； 综上，116k．故选B. 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟知一元二次方程的根的判别式与根的关系是解题的关键.10．C解析：C【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】A 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；B 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；C 、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．11．B解析：B【解析】试题解析：∵抛物线开口向上，∴a＞0．∵抛物线对称轴是x=1，∴b＜0且b=-2a．∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0．∴①abc＞0错误；∵b=-2a，∴3a+b=3a-2a=a＞0，∴②3a+b＞0正确；∵b=-2a，∴4a+2b+c=4a-4a+c=c＞0，∴④4a+2b+c＜0错误；∵直线y=kx+c经过一、二、四象限，∴k＜0．∵OA=OD，∴点A的坐标为（c，0）．直线y=kx+c当x=c时，y＞0，∴kc+c＞0可得k＞-1．∴③-1＜k＜0正确；∵直线y=kx+c与抛物线y=ax2+bx+c的图象有两个交点，∴ax2+bx+c=kx+c，得x1=0，x2=k b a -由图象知x2＞1，∴k ba-＞1∴k＞a+b，∴⑤a+b＜k正确，即正确命题的是②③⑤．故选B．12．D【解析】【分析】分别根据判别式的意义、方程根的意义、根与系数的关系进行分析判断即可．【详解】解：A、∵方程M有两个不相等的实数根，∴△＝b2−4ac＞0，∵方程N的△＝b2−4ac＞0，∴方程N也有两个不相等的实数根，故不符合题意；B、把x＝4代入ax2＋bx＋c＝0得：16a＋4b＋c＝0，∴110 164c b a++=，∴即14是方程N的一个根，故不符合题意；C、∵方程M有两根符号相同，∴两根之积ca＞0，∴ac＞0，即方程N的两根之积＞0，∴方程N的两根符号也相同，故本选项不符合题意；D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根也可以是x＝－1，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程的解，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．二、填空题13．【解析】【分析】首先连接OBOB′过点B′作B′E⊥x轴于E由旋转的性质易得∠BOB′＝105°由菱形的性质易证得△AOB是等边三角形即可得OB′＝OB＝OA＝1∠AOB＝60°继而可求得∠AOB′解析：【解析】【分析】首先连接OB，OB′，过点B′作B′E⊥x轴于E，由旋转的性质，易得∠BOB′＝105°，由菱形的性质，易证得△AOB是等边三角形，即可得OB′＝OB＝OA＝1，∠AOB ＝60°，继而可求得∠AOB′＝45°，由等腰直角三角形的性质，即可求得答案．【详解】连接OB，OB′，过点B′作B′E⊥x轴于E，根据题意得：∠BOB′＝105°，∵四边形OABC是菱形，∴OA＝AB，∠AOB＝12∠AOC＝12∠ABC＝12×120°＝60°，∴△OAB是等边三角形，∴OB＝OA＝1，∴∠AOB′＝∠BOB′﹣∠AOB＝105°﹣60°＝45°，OB′＝OB＝1，∴OE＝B′E＝OB′•sin45°＝1×22 22，∴点B′的坐标为：（22，﹣22）．故答案为：（22，﹣22）．【点睛】本题考查了旋转的性质、菱形的性质、等边三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质，注意掌握旋转前后图形的对应关系，辅助的正确作出是解题的关键.14．5【解析】【分析】连接CC1根据M是ACA1C1的中点AC=A1C1得出CM=A1M=C1M=AC=5再根据∠A1=∠A1CM=30°得出∠CMC1=60°△MCC1为等边三角形从而证出CC1=CM解析：5【解析】【分析】连接CC1，根据M是AC、A1C1的中点，AC=A1C1，得出CM=A1M=C1M=12AC=5，再根据∠A1=∠A1CM=30°，得出∠CMC1=60°，△MCC1为等边三角形，从而证出CC1=CM，即可得出答案．【详解】解：如图，连接CC1，∵两块三角板重叠在一起，较长直角边的中点为M，∴M是AC、A1C1的中点，AC=A1C1，∴CM=A1M=C1M=12AC=5，∴∠A1=∠A1CM=30°，∴∠CMC1=60°，∴△CMC1为等边三角形，∴CC1=CM=5，∴CC1长为5．故答案为5．考点：等边三角形的判定与性质．15．20【解析】【分析】本题可设这两年平均每年的增长率为x因为经过两年时间让市区绿地面积增加44则有（1+x）2=1+44解这个方程即可求出答案【详解】解：设这两年平均每年的绿地增长率为x根据题意得（1解析：20%【解析】【分析】本题可设这两年平均每年的增长率为x，因为经过两年时间，让市区绿地面积增加44%，则有（1+x）2=1+44%，解这个方程即可求出答案．【详解】解：设这两年平均每年的绿地增长率为x，根据题意得，（1+x）2=1+44%，解得x1=-2.2（舍去），x2=0.2．答：这两年平均每年绿地面积的增长率为20%．故答案为20%【点睛】此题考查增长率的问题，一般公式为：原来的量×（1±x）2=现在的量，增长用+，减少用-．但要注意解的取舍，及每一次增长的基础．16．15π【解析】【分析】设圆锥母线长为l根据勾股定理求出母线长再根据圆锥侧面积公式即可得出答案【详解】设圆锥母线长为l∵r=3h=4∴母线l=∴S 侧=×2πr×5=×2π×3×5=15π故答案为15π解析：15π【解析】【分析】设圆锥母线长为l，根据勾股定理求出母线长，再根据圆锥侧面积公式即可得出答案.【详解】设圆锥母线长为l，∵r=3，h=4，∴母线5=，∴S侧=12×2πr×5=12×2π×3×5=15π，故答案为15π.【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，熟知圆锥的母线长、底面半径、圆锥的高以及圆锥的侧面积公式是解题的关键.17．【解析】【分析】根据一元二次方程解的定义得到a2-a-3=0b2-b-3=0即a2=a+3b2=b+3则2a3+b2+3a2-11a-b+5=2a（a+3）+b+3+3（a+3）-11a-b+5整理解析：【解析】【分析】根据一元二次方程解的定义得到a2-a-3=0，b2-b-3=0，即a2=a+3，b2=b+3，则2a3+b2+3a2-11a-b+5=2a（a+3）+b+3+3（a+3）-11a-b+5，整理得2a2-2a+17，然后再把a2=a+3代入后合并即可．【详解】∵a，b是方程x2-x-3=0的两个根，∴a2-a-3=0，b2-b-3=0，即a2=a+3，b2=b+3，∴2a3+b2+3a2-11a-b+5=2a（a+3）+b+3+3（a+3）-11a-b+5=2a2-2a+17=2（a+3）-2a+17=2a+6-2a+17=23．18．20％【解析】【分析】此题可设每次降价的百分率为x第一次降价后价格变为100（1-x）元第二次在第一次降价后的基础上再降变为100（1-x）（1-x）即100（1-x）2元从而列出方程求出答案【详解解析：20％【解析】【分析】此题可设每次降价的百分率为x，第一次降价后价格变为100（1-x）元，第二次在第一次降价后的基础上再降，变为100（1-x）（1-x），即100（1-x）2元，从而列出方程，求出答案．【详解】设每次降价的百分率为x，第二次降价后价格变为100（1-x）2元．根据题意，得100（1-x）2=64，即（1-x）2=0.64，解得x1=1.8，x2=0.2．因为x=1.8不合题意，故舍去，所以x=0.2．即每次降价的百分率为0.2，即20%．故答案为20%．19．1【解析】通过勾股定理计算出斜边的长得到三角形的外接圆半径；再利用内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半计算出内切圆半径最后求它们的差解：因为斜边==5内切圆半径r==1；所以r=1故填1会利用解析：1【解析】通过勾股定理计算出斜边的长，得到三角形的外接圆半径；再利用内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半，计算出内切圆半径，最后求它们的差．解：因为斜边==5，内切圆半径r==1； 所以r=1．故填1．会利用勾股定理进行计算．其内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半． 20．-【解析】【分析】利用根与系数的关系可得出x1+x2=1x1•x2=-3将其代入=中即可得出结论【详解】∵x1x2是方程x2﹣x ﹣3＝0的两根∴x1+x2＝1x1•x2＝﹣3∴＝＝＝﹣故答案为：﹣【解析：-13【解析】【分析】 利用根与系数的关系可得出x 1+x 2=1，x 1•x 2=-3，将其代入1211+x x =1212x x x x +⋅中即可得出结论．【详解】∵x 1，x 2是方程x 2﹣x ﹣3＝0的两根，∴x 1+x 2＝1，x 1•x 2＝﹣3， ∴1211+x x ＝1212x x x x +⋅＝13-＝﹣13． 故答案为：﹣13． 【点睛】 本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于-b a ，两根之积等于c a ”是解题的关键． 三、解答题21．（1）40；画图见解析；（2）108°，15%；（3）23． 【解析】【分析】 （1）用A 组人数除以A 组所占百分比得到参加初赛的选手总人数，用总人数乘以B 组所占百分比得到B 组人数，从而补全频数分布直方图；（2）用360度乘以C 组所占百分比得到C 组对应的圆心角度数，用E 组人数除以总人数得到E 组人数占参赛选手的百分比；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到一男生和一女生的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】解：（1）参加初赛的选手共有：8÷20%=40（人），B 组有：40×25%=10（人）． 频数分布直方图补充如下：故答案为40；（2）C 组对应的圆心角度数是：360°×1240=108°，E 组人数占参赛选手的百分比是：640×100%=15%； （3）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男生和一女生的有8种结果，∴抽取的两人恰好是一男生和一女生的概率为812=23． 22．（1）月销售量450千克，月利润6750元；（2）销售单价应定为80元/千克【解析】【分析】（1）销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．那么涨价5元，月销售量就减少50千克．根据月销售利润＝每件利润×数量，即可求解；（2）等量关系为：销售利润＝每件利润×数量，设单价应定为x 元，根据这个等量关系列出方程，解方程即可．【详解】（1）月销售量为：500﹣5×10＝450（千克），月利润为：（55﹣40）×450＝6750（元）．（2）设单价应定为x 元，得：（x ﹣40）[500﹣10（x ﹣50）]＝8000，解得：x 1＝60，x 2＝80．当x ＝60时，月销售成本为16000元，不合题意舍去．∴x ＝80．答：销售单价应定为80元/千克．【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，找出等量关系，列出方程，是解题的关键．23．11=-x 21=-x ．【解析】【分析】把常数项移到右边 ，然后利用配方法进行求解即可．【详解】2220x x +-=，222x x +=，22121x x ++=+，()213x +=，1x +=11=-x ，21=-x【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．配方法的步骤：先把常数项移到等号的右边，把二次项系数化1，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，左边配成完全平方式，两边开平方进行求解．24．14【解析】【分析】根据甲队第1局胜画出第2局和第3局的树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．【详解】根据题意画出树状图如下：一共有4种情况，确保两局胜的有1种，所以，P=14．考点：列表法与树状图法．25．（1）14；（2）10、40、144；（3）恰好选取的是a1和b1的概率为16．【解析】【分析】（1）根据D组人数及其所占百分比可得总人数，用总人数减去其他三组人数即可得出x的值；（2）用A、C人数分别除以总人数求得A、C的百分比即可得m、n的值，再用360°乘以C等级百分比可得其度数；（3）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与恰好选取的是a1和b1的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】（1）∵被调查的学生总人数为6÷15%=40人，∴x=40﹣（4+16+6）=14，故答案为14；（2）∵m%=440×100%=10%，n%=1640×10%=40%，∴m=10、n=40，C等级对应的扇形的圆心角为360°×40%=144°，故答案为10、40、144；（3）列表如下：a1a2b1b2a1a2，a1b1，a1b2，a1a2a1，a2b1，a2b2，a2b1a1，b1a2，b1b2，b1b2a1，b2a2，b2b1，b2a1和b1的有2种结果，∴恰好选取的是a1和b1的概率为21 126．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，列表法或树状图法求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小；概率=所求情况数与总情况数之比．。
北京市昌平四中2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案解析)
北京市昌平四中2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，则sin A的值是()A. 34B. 53C. 45D. 352.已知关于x的二次函数y=(x−ℎ)2+3，当1≤x≤3时，函数有最小值2h，则h的值为()A. 32B. 32或2 C. 32或6 D. 2、32或63.已知⊙O的半径为10cm，点A在⊙O内，则OA的长可能为()A. 9cmB. 10cmC. 11cmD. 12cm4.如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos A的值为()A. 12B. √55C. √1010D. 2√555.如图，在⊙O中，∠BOC=50°，则∠A的度数为()A. 15°B. 25°C. 50°D. 100°6.河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1:√3，则AB的长为()米．A. 12B. 4√3C. 5√3D. 6√37.若二次函数y=x2−2x+c的图象与x轴没有交点，则c的值可能是()A. −3B. −2C. 0D. 28.如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD=6，那么BC的值为()A. 3B. 2√3C. 3√3D. 2二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9.若2sinA=√3，则锐角∠A=______ ；若√2cos(B−10°)=1，则锐角∠B=______ ．10.如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A=n°，则∠DCE=_________°．11.一个扇形的面积为15π，圆心角为216°，那么它的弧长为______．12.把抛物线y=ax2+bx+c的图象先向右平移3个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为y=(x−1)2−4，则b=______ ，c=______ ．13.比较大小(用“>”、“<”或“=”填空)(1)sin20°______sin30°；(2)cos40°______cos60°．14.如图，⊙O中，弧MAN的度数为320°，则圆周角∠MAN的度数是______ ．15.已知二次函数y=−x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次不等式−x2+2x+m<0的解集为______．16.⊙O的半径为5，两条弦AB=8，CD=6，且AB//CD，直径MN⊥AB于点P，则PC的值为______．三、计算题（本大题共3小题，共20.0分）−3sin60°+2cos45°．17.计算：tan45°cot30∘−2sin45∘18.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CD于点D，且AC平分∠DAB，求证：(1)直线DC是⊙O的切线；(2)AC2=2AD⋅AO．19.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点在边BC上，DE⊥AB，点E．为垂足，AB=7，∠DAB=45°，tanB=34(1)求DE的长；(2)求∠CDA的余弦值．四、解答题（本大题共9小题，共72.0分）20.《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”(如图①)阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图(如图②)，其中BO⊥CD于点A，求间径就是要求⊙O的直径．再次阅读后，发现AB=______寸，CD=______寸(一尺等于十寸)，通过运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助小智求出⊙O的直径．21.(1)已知二次函数图象的顶点坐标为(−1,4)，且经过点M(2,−5)，求该函数的解析式．(2)抛物线过点(−2,0)、(2,−8)，且对称轴为直线x=1，求其解析式．22.已知：如图，△ABC内接于⊙O，AF是⊙O的弦，AF⊥BC，垂足为D，点E为弧BF上一点，且BE=CF，(1)求证：AE是⊙O的直径；(2)若∠ABC=∠EAC，AE=8，求AC的长．23.如图，反比例函数y1=k与一次函数y2=ax+b的图象交于点x,n)．A(2,2)、B(12(1)求这两个函数解析式；(2)直接写出不等式y2>y1的解集．24.如图，要测量一幢楼CD的高度，在地面上A点测得楼CD的顶部C的仰角为30°，向楼前进50m到达B点，又测得点C的仰角为60°，求这幢楼CD的高度(结果保留根号)25.某公司试销一种新产品，该种新产品成本为50元/件，试销期间售价不低于80元/件且不高于150元/件．若该种新产品的销售单价x(元件)与每天的销售数量y(百件)之间的关系如下表所示．销售单价x(元/件)销售数量y(百件/天)80≤x<120−x+130120≤x≤15010(1)当销售单价定为100元/件时，求该新产品每天销售的利润；(2)求销售单价定为多少元/件，每天可以获得最大利润⋅并求出最大利润．26.16.如图，点P在⊙O的直径AB的延长线上，PC为⊙O的切线，点C为切点，连接AC，过点A作PC的垂线，点D为垂足，AD交⊙O于点E．(1)如图1，求证：∠DAC=∠PAC；(2)如图2，点F(与点C位于直径AB两侧)在⊙O上，BF=FA，连接EF，过点F作AD的平行线交PC于点G，求证：FG=DE+DG；DG，PO=5，求EF的长．(3)在(2)的条件下，如图3，若AE=2327.已知：抛物线y=nx2−(3n+2)x+2n+2(n>0)；求证：抛物线与x轴有两个交点．28.在平面直角坐标系xOy中，点P到封闭图形W的“极化距离”D(P,W)定义如下：任取图形W上一点Q，记PQ长度的最大值为M，最小值为m(若P与Q重合，则PQ=0)，则“极化距离”D(P,W)=M−m．(1)如图1，正方形ABCD以原点O为中心，点A的坐标为(3,3)，①点O到线段AB的“极化距离”D(O,AB)=____；点E(−5,3)到线段AB的“极化距离”D(E,AB)=____；②记正方形ABCD为图形W，点P在y轴上，且D(P,W)=3，求点P的坐标；(2)图形W为圆心T在x轴上，半径为4的圆，直线y=x+1与x轴，y轴分别交于F，G两点，若线段FG上的任一点P都满足2<D(P,W)<6，直接写出圆心T的横坐标t的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∵∠C=90°，AB=5，AC=4，∴BC=√AB2−AC2=3，∴sinA=BCAB =35．故选：D．利用锐角三角函数的定义求解，sin A为∠A的对边比斜边，求出即可．此题主要考查了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．2.答案：C解析：本题主要考查二次函数的最值，熟练掌握分类讨论思想和二次函数的增减性是解题的关键.依据二次函数的增减性分1≤ℎ≤3、ℎ<1、ℎ>3三种情况，由函数的最小值列出关于h的方程，解之可得．解：∵y=(x−ℎ)2+3中a=1>0，∴当x<ℎ时，y随x的增大而减小；当x>ℎ时，y随x的增大而增大；①若1≤ℎ≤3，则当x=ℎ时，函数取得最小值2h，即3=2ℎ，解得ℎ=32；②若ℎ<1，则在1≤x≤3范围内，x=1时，函数取得最小值2h，即(1−ℎ)2+3=2ℎ，解得ℎ=2>1(舍去)；③若ℎ>3，则在1≤x≤3范围内，x=3时，函数取得最小值2h，即(3−ℎ)2+3=2ℎ，解得ℎ=2(舍)或ℎ=6，综上，h的值为32或6，故选C．3.答案：A解析：本题考查了点与圆的位置关系的判断．熟记点与圆位置关系与数量关系的对应是解题关键，由位置关系可推得数量关系，同样由数量关系也可推得位置关系．设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，则d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d<r时，点在圆内.根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断．解：∵点A在⊙O内，且⊙O的半径是10cm，∴OA<10cm．故选A．4.答案：D解析：本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理，作出辅助线CD并利用网格构造直角三角形是解题的关键．利用网格构造直角三角形，根据锐角三角函数的定义解答．解：如图：在B点正上方找一点D，使BD=BC，连接CD交AB于O，根据网格的特点，CD⊥AB，在Rt△AOC中，AO=√22+22=2√2；AC=√12+32=√10；则cosA=AOAC =√2√10=2√55．故选D．5.答案：B解析：解：∵∠BOC=50°，∠COB=25°，∴∠A=12故选：B．根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得答案．此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握圆周角定理．6.答案：A解析：此题主要考查解直角三角形的应用，构造直角三角形解直角三角形并且熟练运用勾股定理是解答本=1：√3，即可求得AC的长度，然后根据勾股题的关键．根据迎水坡AB的坡比为1：√3，可得BCAC定理求得AB的长度．=1：√3，解：Rt△ABC中，BC=6米，BCAC∴AC=BC×√3=6√3，∴AB=√AC2+BC2=√62+(6√3)2=12．故选A．7.答案：D解析：若二次函数y=x2−2x+c的图象与x轴没有交点，则一元二次方程x2−2x+c=0的判别式小于0，解不等式求得c的取值范围，从而确定答案．本题考查了抛物线与x轴的交点问题，注：当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点时，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，即△>0；当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有一个交点时，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，即△=0；当抛物线y=ax2+bx+c与x轴无交点时，一元二次方程ax2+bx+c=0无实数根，即△<0．解：∵二次函数y=x2−2x+c的图象与x轴没有交点，∴令y=0时，x2−2x+c=0的判别式△<0，即b2−4ac=4−4c<0，解得c>1．观察各选项，只有D符合题意．故选：D．8.答案：A解析：本题考查了圆周角定理，难度一般，关键是掌握圆周角定理：同弧所对的圆周角相等．首先根据AB= BC，∠ABC=120°，求出∠C的度数，然后根据圆周角定理可知：∠D=∠C，又直径AD=6，易求得AB的长度．解：∵AB=BC，∴∠BAC=∠C，∵∠ABC=120°，∴∠BAC=∠C=30°，∵AD为直径，AD=6，∴∠ABD=90°，∵∠D=∠C=30°，AD=3，∴AB=12∴BC=3，故选A．9.答案：60°；55°解析：解：由2sinA=√3，得sinA=√3，2锐角∠A=60°；若√2cos(B−10°)=1，得cos(B−10°)=√2，2得B−10=45°，则锐角∠B=55°，故答案为：60°，55°．根据特殊角三角函数值，可得答案．本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．10.答案：n解析：本题考查圆内接四边形的性质，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的性质对角互补即可解答．解：∵∠A+∠BCD=180°，∠BCD+∠DCE=180°，∴∠DCE=∠A，∵∠A=n°，∴∠DCE=n°，故答案为n．11.答案：6π解析：解：设扇形的半径为R，根据题意得15π=216×R2×π360，∴R2=25，∵R>0，∴R=5．∴扇形的弧长=216×5×π180=6π．故答案为：6π利用扇形的面积公式可得扇形的半径，进而利用扇形的弧长公式可得扇形的弧长．主要考查了扇形弧长与面积公式．弧长公式为：l=nπR180，扇形面积公式：S=nπR2360．12.答案：4；3解析：为抛物线y=ax2+bx+c的图象先向右平移3个单位，再向下平移3个单位，得到图象的解析式是y=(x−1)2−4，所以y=(x−1)2−4向左平移3个单位，再向上平移3个单位后，可得抛物线y= ax2+bx+c的图象，先由y=(x−1)2−4的平移求出y=ax2+bx+c的解析式，再求a、b、c的值．本题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握解析式平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．解：∵当y=(x−1)2−4向左平移3个单位，再向上平移3个单位后，可得抛物线y=ax2+bx+c的图象，∴y=(x−1+3)2−4+3=x2+4x+3，∴b=4，c=3．故答案为4；3．13.答案：(1)<;(2)>．解析：此题主要考查了锐角三角函数的增减性，熟练记忆锐角三角函数增减性是解题关键．(1)利用正弦值随角度的增大而增大，进而得出答案．(2)根据余弦值随角度的增大而减小，进而得出答案．解：(1)sin20°<sin30°；故答案为：<；(2)cos40°>cos60°．故答案为：>．14.答案：20°解析：解：连接OM，ON，∵⊙O中，弧MAN的度数为320°，∴劣弧MN的度数为：360°−320°=40°，∴∠MON=40°，∠MON=20°．∴∠MAN=12故答案为：20°．首先连接OM，ON，由⊙O中，弧MAN的度数为320°，根据弧与圆心角的关系，即可求得∠MON的度数，然后由圆周角定理，求得圆周角∠MAN的度数．此题考查了圆周角定理以及弧与圆心角的关系．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．15.答案：x<−1或x>3解析：解：由图可知，对称轴为直线x=1，所以，二次函数图象与x轴的另一个交点坐标为(−1,0)，所以，−x2+2x+m<0的解集为x<−1或x>3．故答案为：x<−1或x>3．根据二次函数的对称性求出二次函数图象与x轴的另一个交点，再写出x轴下方部分的x的取值范围即可．本题考查了二次函数与不等式，主要利用了二次函数的对称性以及数形结合的思想，难点在于先求出函数图象与x轴的另一个交点坐标．16.答案：√58或√10解析：解：当AB、CD在圆心O的两侧时，如图，连接OA、OC，∵AB//CD，MN⊥AB，AB=4，MN⊥CD，∴AP=12∴CQ=1CD=3，2在Rt△OAP中，OP=√OA2−AP2=3，同理，OQ=4，则PQ=OQ+OP=7，∴PC=√CQ2+PQ2=√58，当AB、CD在圆心O的同侧时，PQ=OQ−OP=1，∴PC=√CQ2+PQ2=√10，故答案为：√58或√10．分AB、CD在圆心O的两侧和AB、CD在圆心O的同侧两种情况，根据垂径定理、勾股定理计算即可．本题考查了勾股定理和垂径定理，掌握垂径定理、灵活运用分类讨论思想是解题的关键．17.答案：解：原式=√3−√2−3×√32+2×√22=√3+√2−32√3+√2=2√2−12√3．解析：根据特殊角三角函数值，可得答案．本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．18.答案：(1)证明：连接OC∵OA=OC∴∠OAC=∠OCA∵AC平分∠DAB∴∠DAC=∠OAC∴∠DAC=∠OCA∴OC//AD∵AD⊥CD∴OC⊥CD∴直线CD与⊙O相切于点C；(2连接BC，则∠ACB=90°．∵∠DAC =∠OAC ，∠ADC =∠ACB =90°，∴△ADC∽△ACB ，∴AD AC =AC AB ，∴AC 2=AD ⋅AB ，∵AB =2AO∴AC 2=2AD ⋅AO解析：此题主要考查圆的切线的判定和相似三角形的判定与性质及圆周角定理与推论．(1)连接OC ，由OA =OC 可以得到∠OAC =∠OCA ，然后利用角平分线的性质可以证明∠DAC =∠OCA ，接着利用平行线的判定即可得到OC//AD ，然后就得到OC ⊥CD ，由此即可证明直线CD 与⊙O 相切于C 点；(2)连接BC ，根据圆周角定理的推理得到∠ACB =90°，又∠DAC =∠OAC ，由此可以得到△ADC∽△ACB ，然后利用相似三角形的性质即可解决问题．19.答案：解：(1)∵DE ⊥AB ，∴∠DEA =90°，又∵∠DAB =45°，∴DE =AE ，在Rt △DEB 中，∠DEB =90°，tanB =34，∴DE BE =34，设DE =3x ，那么AE =3x ，BE =4x ，∵AB =7，∴3x +4x =7，解得：x =1，∴DE =3；(2)在Rt △ADE 中，由勾股定理，得AD =3√2，同理得BD =5，在Rt △ABC 中，由tanB =34，可得cosB =45，∴BC =285， ∴CD =35，∴cos∠CDA=CDAD =√210，即∠CDA的余弦值为√210．解析：(1)由题意得到三角形ADE为等腰直角三角形，在直角三角形DEB中，利用锐角三角函数定义求出DE与BE之比，设出DE与BE，由AB=7求出各自的值，确定出DE即可；(2)在直角三角形中，利用勾股定理求出AD与BD的长，根据tan B的值求出cos B的值，确定出BC 的长，由BC−BD求出CD的长，利用锐角三角函数定义求出所求即可．此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．20.答案：解：1；10；连接CO，如图所示：∵BO⊥CD，∴CA=12CD=5．设CO=OB=x寸，则AO=(x−1)寸，在Rt△CAO中，∠CAO=90°，∴AO2+CA2=CO2．∴(x−1)2+52=x2．解得：x=13，则CD=13寸．∴⊙O的直径为26寸．解析：本题考查了勾股定理在实际生活中的应用；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，运用勾股定理得出方程是解答此题的关键．根据题意容易得出AB和CD的长；连接OB，设半径CO=OB=x寸，先根据垂径定理求出CA的长，再根据勾股定理求出x的值，即可得出直径．解：根据题意得：AB=1寸，CD=10寸；故答案为1，10；(2)见答案．21.答案：解：(1)设所求函数的解析式为y=a(x+1)2+4，∵图象经过点M(2,−5)，∴−5=a(2+1)2+4，∴a=−1，∴y=−(x+1)2+4(或y=−x2−2x+3).解：(2)设所求函数的解析式为y=ax2+bx+c，则{4a−2b+c=04a+2b+c=−8−b2a=1，∴{a=1b=−2c=−8，∴y=x2−2x−8．解析：本题主要考查二次函数的图像与性质相关知识。
2020-2021北京市昌平区第三中学初三数学上期中模拟试题(含答案)
2020-2021北京市昌平区第三中学初三数学上期中模拟试题(含答案)一、选择题1．如图，将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转到矩形 AB′C′D′的位置，旋转角为α(0°＜α＜90°)．若∠1＝112°，则∠α的大小是( )A ．68°B ．20°C ．28°D ．22° 2．用配方法解方程2410x x -+=，配方后的方程是 ( )A ．2(2)3x +=B ．2(2)3x -=C ．2(2)5x -=D ．2(2)5x += 3．如图在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点A 顺时针旋转到△AB 1C 1的位置，点B 、O 分别落在点B 1、C 1处，点B 1在x 轴上，再将△AB 1C 1绕点B 1顺时针旋转到△A 1B 1C 2的位置，点C 2在x 轴上，将△A 1B 1C 2绕点C 2顺时针旋转到△A 2B 2C 2的位置，点A 2在x 轴上，依次进行下去…若点A （32，0），B （0，2），则点B 2018的坐标为（ ）A ．（6048，0）B ．（6054，0）C ．（6048，2）D ．（6054，2）4．下列交通标志是中心对称图形的为（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知实数x 满足（x 2﹣2x +1）2+2（x 2﹣2x +1）﹣3＝0，那么x 2﹣2x +1的值为（ ） A ．﹣1或3 B ．﹣3或1 C ．3 D ．16．已知函数2(3)21y k x x =-++的图象与x 轴有交点．则k 的取值范围是( ) A ．k<4 B ．k≤4 C ．k<4且k≠3 D ．k≤4且k≠3 7．如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径的扇形 （忽略铁丝的粗细），则所得的扇形DAB 的面积为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 8．一元二次方程2410x x --=配方后可化为（ ）A ．2(2)3x +=B ．2(2)5x +=C ．2(2)3x -=D ．2(2)5x -=9．若关于x 的一元二次方程2(1)220k x x -+-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．12k >且k≠1 B ．12k > C ．12k ≥且k ≠1 D ．12k < 10．下列事件中，属于必然事件的是（ ）A ．任意数的绝对值都是正数B ．两直线被第三条直线所截，同位角相等C ．如果a 、b 都是实数，那么a ＋b ＝b ＋aD ．抛掷1个均匀的骰子，出现6点朝上 11．一元二次方程x 2＋2x ＋2＝0的根的情况是( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根 12．如果反比例函数2a y x -=（a 是常数）的图象在第一、三象限，那么a 的取值范围是（ ）A ．a<0B ．a>0C ．a<2D ．a>2 二、填空题13．已知关于x 的一元二次方程x 2+（2k +3）x +k 2＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2．若1211+x x ＝﹣1，则k 的值为_____． 14．已知圆锥的底面圆半径为3cm ，高为4cm ，则圆锥的侧面积是________cm 2.15．如图，边长为3的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG ，EF 交AD 于点H ，那么DH 的长是______．16．如图，在扇形CAB 中，CD ⊥AB ，垂足为D ，⊙E 是△ACD 的内切圆，连接AE ，BE ，则∠AEB 的度数为__．17．已知x 1，x 2是方程x 2﹣x ﹣3＝0的两根，则1211+x x ＝_____． 18．在10个外观相同的产品中，有2个不合格产品，现从中任意抽取1个进行检测，抽到合格产品的概率是 ．19．如图，O e 的半径为2，切线AB 的长为23，点P 是O e 上的动点，则AP 的长的取值范围是_________．20．如图，将ABC V 绕点A 逆时针旋转150︒，得到ADE V ，这时点B C D 、、恰好在同一直线上，则B Ð的度数为______．三、解答题21．如图，已知抛物线y=﹣x 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B （3，0），与y 轴交于点C ，连接BC 交抛物线的对称轴于点E ，D 是抛物线的顶点．（1）求此抛物线的解析式；（2）求点C 和点D 的坐标；（3）若点P 在第一象限内的抛物线上，且S △ABP =4S △COE ，求P 点坐标．22．如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，以AC 为直径作O e 交BC 于点D ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E .（1）求证：DE 是O e 的切线.（2）若3DE =，30C ∠=︒，求»AD 的长.23．列方程解应用题：某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个，已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20000元？24．某公司委托旅行社组织一批员工去某风景区旅游，旅行社收费标准为：如果人数不超过30人，人均旅游费用为800元；如果人数多于30人，那么每增加一人，人均旅游费降低10元；但人均旅游费不低于550元，公司支付给旅行社30000元，求该公司参加旅游的员工人数．25．社区利用一块矩形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示.已知停车场的长为52米，宽为28米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道.已知铺花砖的面积为640平方米.（1）求通道的宽是多少米？（2）该停车场共有车位64个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位.当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为14400元？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】试题解析：∵四边形ABCD 为矩形，∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，∵矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α，∴∠BAB′=α，∠B′AD′=∠BAD=90°，∠D′=∠D=90°，∵∠2=∠1=112°，而∠ABD=∠D′=90°，∴∠3=180°-∠2=68°，∴∠BAB′=90°-68°=22°，即∠α=22°．故选D．2．B解析：B【解析】【分析】根据配方法可以解答本题．【详解】x2−4x＋1＝0，（x−2）2−4＋1＝0，（x−2）2＝3，故选：B．【点睛】本题考查解一元二次方程−配方法，解答本题的关键是解一元二次方程的方法．3．D解析：D【解析】【分析】首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、B2、B4…每偶数之间的B相差6个单位长度，根据这个规律可以求得B2018的坐标．【详解】∵A（32，0），B（0，2），∴OA＝32，OB＝2，∴Rt△AOB中，AB52 =，∴OA+AB1+B1C2＝32+2+52＝6，∴B2的横坐标为：6，且B2C2＝2，即B2（6，2），∴B4的横坐标为：2×6＝12，∴点B2018的横坐标为：2018÷2×6＝6054，点B2018的纵坐标为：2，即B2018的坐标是（6054，2）．故选D．【点睛】此题考查了点的坐标规律变换以及勾股定理的运用，通过图形旋转，找到所有B 点之间的关系是解决本题的关键．4．C解析：C【解析】【分析】根据中心对称图形的定义即可解答．【详解】解：A 、属于轴对称图形，不是中心对称的图形，不合题意；B 、是中心对称的图形，但不是交通标志，不符合题意；C 、属于轴对称图形，属于中心对称的图形，符合题意；D 、不是中心对称的图形，不合题意．故选C ．【点睛】本题考查中心对称图形的定义：绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合．5．D解析：D【解析】【分析】设x 2﹣2x +1＝a ，则（x 2﹣2x +1）2+2（x 2﹣2x +1）﹣3＝0化为a 2+2a ﹣3＝0，求出方程的解，再判断即可．【详解】解：设x 2﹣2x +1＝a ，∵（x 2﹣2x +1）2+2（x 2﹣2x +1）﹣3＝0，∴a 2+2a ﹣3＝0，解得：a ＝﹣3或1，当a ＝﹣3时，x 2﹣2x +1＝﹣3，即（x ﹣1）2＝﹣3，此方程无实数解；当a ＝1时，x 2﹣2x +1＝1，此时方程有解，故选：D ．【点睛】此题考查换元法解一元二次方程，借助另外设未知数的方法解一元二次方程使理解更容易，计算更简单.6．B解析：B【解析】试题分析：若此函数与x 轴有交点，则2(3)21=0k x x -++，Δ≥0，即4-4(k-3)≥0,解得：k≤4,当k=3时，此函数为一次函数，题目要求仍然成立，故本题选B.考点：函数图像与x 轴交点的特点.7．D解析：D【解析】【分析】由正方形的边长为3，可得弧BD 的弧长为6，然后利用扇形的面积公式：S 扇形DAB =1lr 2，计算即可．【详解】解：∵正方形的边长为3，∴弧BD 的弧长=6，∴S 扇形DAB =11lr =22×6×3=9． 故选D ．【点睛】本题考查扇形面积的计算． 8．D解析：D【解析】【分析】根据移项，配方，即可得出选项．【详解】解：x 2-4x-1=0，x 2-4x=1，x 2-4x+4=1+4，（x-2）2=5，故选：D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解题的关键．9．A解析：A【解析】【分析】由根的判别式求出k 的取值范围，再结合一元二次方程的定义，即可得到答案．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2(1)220k x x -+-=有两个不相等的实数根，∴224(1)(2)0k ∆=-⨯-⨯->，解得：12k >， ∵10k -≠，则1k ≠，∴k 的取值范围是12k >且k≠1； 故选：A ．【点睛】本题考查了利用根的判别式求参数的取值范围，以及一元二次方程的定义，解题的关键是正确求出k 的取值范围． 10．C解析：C【解析】【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【详解】A. 任意数的绝对值都是正数是随机事件，错误；B. 两直线被第三条直线所截，内错角相等是随机事件，错误；C. 如果a 、b 都是实数，那么a ＋b ＝b ＋a 是必然事件，正确;D. 抛掷1个均匀的骰子，出现6点朝上是随机事件，错误；故选D.【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．11．D解析：D【解析】【分析】求出b 2-4ac 的值，根据b 2-4ac 的正负即可得出答案．【详解】x 2+2x+2=0，这里a=1，b=2，c=2，∵b 2−4ac=22−4×1×2=−4<0，∴方程无实数根，故选D.【点睛】此题考查根的判别式，掌握运算法则是解题关键12．D解析：D【解析】【分析】 反比例函数k y x =图象在一、三象限，可得>0k ． 【详解】解：Q 反比例函数2a y x-=（a 是常数）的图象在第一、三象限， 20a ∴->，2a ∴>．故选：D ．【点睛】 本题运用了反比例函数k y x=图象的性质，解题关键要知道k 的决定性作用． 二、填空题13．【解析】【分析】利用根与系数的关系结合＝﹣1可得出关于k 的方程解之可得出k 的值由方程的系数结合根的判别式△＞0可得出关于k 的不等式解之即可得出k 的取值范围进而可确定k 的值此题得解【详解】∵关于x 的一 解析：【解析】【分析】 利用根与系数的关系结合1211+x x ＝﹣1可得出关于k 的方程，解之可得出k 的值，由方程的系数结合根的判别式△＞0可得出关于k 的不等式，解之即可得出k 的取值范围，进而可确定k 的值，此题得解．【详解】∵关于x 的一元二次方程x 2+（2k +3）x +k 2＝0的两根为x 1，x 2，∴x 1+x 2＝﹣（2k +3），x 1x 2＝k 2， ∴1211+x x ＝1212x x x x +＝﹣223k k +＝﹣1， 解得：k 1＝﹣1，k 2＝3．∵关于x 的一元二次方程x 2+（2k +3）x +k 2＝0有两个不相等的实数根，∴△＝（2k +3）2﹣4k 2＞0，解得：k ＞﹣34， ∴k 1＝﹣1舍去．∴k =3.故答案为：3．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，熟练运用根与系数的关系及根的判别式是解决问题的关键.14．15π【解析】【分析】设圆锥母线长为l根据勾股定理求出母线长再根据圆锥侧面积公式即可得出答案【详解】设圆锥母线长为l∵r=3h=4∴母线l=∴S侧=×2πr×5=×2π×3×5=15π故答案为15π解析：15π【解析】【分析】设圆锥母线长为l，根据勾股定理求出母线长，再根据圆锥侧面积公式即可得出答案.【详解】设圆锥母线长为l，∵r=3，h=4，∴母线l=225r h+=，∴S侧=12×2πr×5=12×2π×3×5=15π，故答案为15π.【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，熟知圆锥的母线长、底面半径、圆锥的高以及圆锥的侧面积公式是解题的关键.15．【解析】【分析】思路分析：把所求的线段放在构建的特殊三角形内【详解】如图所示连接HCDF且HC与DF交于点P∵正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG∴∠BCF=∠DCG=30解析：3．【解析】【分析】思路分析：把所求的线段放在构建的特殊三角形内【详解】如图所示．连接HC、DF，且HC与DF交于点P∵正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG∴∠BCF=∠DCG=30°，FC =DC，∠EFC=∠ADC=90°∠BCG=∠BCD+∠DCG=90°＋30°=120°∠DCF=∠BCG－∠BCF－∠DCG=120°－30°－30°=60°∴△DCF是等边三角形，∠DFC=∠FDC=60°∴∠EFD=∠ADF=30°，HF=HD∴HC是FD的垂直平分线，∠FCH=∠DCH=1 2∠DCF=30°在Rt△HDC中，HD=DC·tan∠DCH=3∵正方形ABCD的边长为3∴HD=DC·tan∠DCH=3×tan30°=3×3=3试题点评：构建新的三角形，利用已有的条件进行组合．16．135°【解析】分析：如图连接EC首先证明∠AEC=135°再证明△EAC≌△EAB即可解决问题详解：如图连接EC∵E是△ADC的内心∴∠AEC=90°+∠ADC=135°在△AEC和△AEB中∴△解析：135°．【解析】分析：如图，连接EC．首先证明∠AEC=135°，再证明△EAC≌△EAB即可解决问题.详解：如图，连接EC．∵E是△ADC的内心，∴∠AEC=90°+12∠ADC=135°，在△AEC和△AEB中，AE AEEAC EABAC AB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EAC≌△EAB，∴∠AEB=∠AEC=135°，故答案为135°．点睛：本题考查三角形的内心、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．17．-【解析】【分析】利用根与系数的关系可得出x1+x2=1x1•x2=-3将其代入=中即可得出结论【详解】∵x1x2是方程x2﹣x﹣3＝0的两根∴x1+x2＝1x1•x2＝﹣3∴＝＝＝﹣故答案为：﹣【解析：-13 【解析】 【分析】 利用根与系数的关系可得出x 1+x 2=1，x 1•x 2=-3，将其代入1211+x x =1212x x x x +⋅中即可得出结论．【详解】∵x 1，x 2是方程x 2﹣x ﹣3＝0的两根，∴x 1+x 2＝1，x 1•x 2＝﹣3，∴1211+x x ＝1212x x x x +⋅＝13-＝﹣13． 故答案为：﹣13． 【点睛】 本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于-b a ，两根之积等于c a ”是解题的关键． 18．45【解析】【分析】【详解】试题分析：根据概率的意义用符合条件的数量除以总数即可即10-210=45考点：概率解析：【解析】【分析】【详解】试题分析：根据概率的意义，用符合条件的数量除以总数即可，即.考点：概率 19．【解析】【分析】连接OB 根据切线的性质得到∠OBA=90°根据勾股定理求出OA 根据题意计算即可【详解】连接OB∵AB 是⊙O 的切线∴∠OBA=90°∴OA==4当点P 在线段AO 上时AP 最小为2当点P 在解析：26AP ≤≤【解析】【分析】连接OB ，根据切线的性质得到∠OBA=90°，根据勾股定理求出OA ，根据题意计算即可．【详解】连接OB ，∵AB是⊙O的切线，∴∠OBA=90°，∴22AB OB=4，当点P在线段AO上时，AP最小为2，当点P在线段AO的延长线上时，AP最大为6，∴AP的长的取值范围是2≤AP≤6，故答案为：2≤AP≤6．【点睛】本题考查的是切线的性质、勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．20．15【解析】分析：先判断出∠BAD=150°AD=AB再判断出△BAD是等腰三角形最后用三角形的内角和定理即可得出结论详解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转150°得到△ADE∴∠BAD=150°AD=解析：15【解析】分析：先判断出∠BAD=150°，AD=AB，再判断出△BAD是等腰三角形，最后用三角形的内角和定理即可得出结论．详解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，∴∠BAD=150°，AD=AB，∵点B，C，D恰好在同一直线上，∴△BAD是顶角为150°的等腰三角形，∴∠B=∠BDA，∴∠B=12（180°-∠BAD）=15°，故答案为15°．点睛：此题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，判断出三角形ABD是等腰三角形是解本题的关键．三、解答题21．（1）y=﹣x2+2x+3；（2）C（0，3），D（1，4）；（3）P（2，3）．【解析】【分析】（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数b、c的值，进而可得到抛物线的对称轴方程；（2）令x=0，可得C点坐标，将函数解析式配方即得抛物线的顶点C 的坐标；（3）设P （x ，y ）（x ＞0，y ＞0），根据题意列出方程即可求得y ，即得D 点坐标．【详解】（1）由点A （﹣1，0）和点B （3，0）得10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩， 解得：23b c =⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为y=﹣x 2+2x +3；（2）令x=0，则y=3，∴C （0，3）∵y=﹣x 2+2x +3=﹣（x ﹣1）2+4，∴D （1，4）；（3）设P （x ，y ）（x ＞0，y ＞0），S △COE =12×1×3=32，S △ABP =12×4y=2y ， ∵S △ABP =4S △COE ，∴2y=4×32，∴y=3，∴﹣x 2+2x +3=3， 解得：x 1=0（不合题意，舍去），x 2=2，∴P （2，3）．【点睛】 本题考查了二次函数解析式的确定、抛物线的顶点坐标求法，图形面积的求法等知识，根据S △ABP =4S △COE 列出方程是解决问题的关键．22．（1）见解析；（2）»AD 23π=【解析】【分析】（1）连结OD ，根据等腰三角形性质和等量代换得1B ∠=∠，由垂直定义和三角形内角和定理得290B ∠+∠=︒，等量代换得2190∠+∠=︒，由平角定义得90DOE ∠=︒，从而可得证.（2）连结AD ，由圆周角定理得90ADC ∠=︒，根据等腰三角形性质和三角形外角性质可得60AOD ∠=︒，在Rt DEB ∆中，由直角三角形性质得23BD CD ==，在Rt ADC ∆中，由直角三角形性质得2OA OC ==，再由弧长公式计算即可求得答案.【详解】（1）证明：如图，连结OD ．∵OC OD =，AB AC =，∴1C ∠=∠，C B ∠=∠，∴1B ∠=∠，∴DE AB ⊥，∴290B ∠+∠=︒，∴2190∠+∠=︒，∴90ODE ∠=︒，∴DE 为O e 的切线．（2）解：连结AD ，∵AC 为O e 的直径．∴90ADC ∠=︒．∵AB AC =，∴30B C ∠=∠=︒，BD CD =，∴60AOD ∠=︒． ∵3DE =， ∴23BD CD ==，∴2OC =，∴60221803AD ππ=⨯= 【点睛】 本题考查切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可． 23．这种玩具的销售单价为460元时，厂家每天可获利润20000元．【解析】试题分析：设这种玩具的销售单价为x 元时，厂家每天可获利润元,根据销售单价每降低元，每天可多售出个可得现在销售[160+2(480-x)]个，再利用获利润元，列一元二次方程解求解即可.试题解析：【解】解：设这种玩具的销售单价为x 元时，厂家每天可获利润元，由题意得, (x-360)[160+2(480-x)]=20000（x-360）(1120-2x)=20000（x-360）(560-x)=10000∴这种玩具的销售单价为460元时，厂家每天可获利润元.24．该公司有50人参加旅游．【解析】【分析】设该公司有x 人参加旅游，由308002400030000⨯=<，可得出x 30>，分30x 55<≤及x 55>两种情况考虑，由总价=单价⨯数量，可得出关于x 的一元二次方程(一元一次方程)，解之即可得出结论．【详解】设该公司有x 人参加旅游．308002400030000⨯=<Q ，x 30∴>．()308005501055(+-÷=人)．根据题意得：当30x 55<≤时，有()x 80010x 3030000⎡⎤--=⎣⎦，化简得：2x 110x 30000-+=，解得：1x 50=，2x 60(=舍去)；当x 55>时，有550x 30000=， 解得：600x (11=舍去)． 答：该公司有50人参加旅游．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，分30x 55<≤及x 55>两种情况，列出关于x 的方程是解题的关键．25．（1）6;（2）40或400【解析】【分析】（1）设通道的宽x 米，由图中所示可得通道面积为2×28x+2(52-2x)x ，根据铺花砖的面积+通道面积=总面积列方程即可得答案；（2）设每个车位的月租金上涨a 元，则少租出10a 个车位，根据月租金收入为14400元列方程求出a 值即可.【详解】（1）设通道的宽x 米，根据题意得：2×28x+2(52-2x)x+640=52×28， 整理得：x 2-40x+204=0，解得：x 1=6，x 2=34(不符合题意，舍去).答：通道的宽是6米.（2）设每个车位的月租金上涨a 元，则少租出10a 个车位， 根据题意得：(200+a)(64-10a )=14400， 整理得：a 2-440a+16000=0，解得：a 1=40，a 2=400. 答：每个车位的月租金上涨40元或400元时，停车场的月租金收入为14400元.【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，读懂题意，找出题中的等量关系列出方程是解题关键.。
2019-2020学年北京市昌平一中九年级(上)期中数学试卷(附答案详解)
2019-2020学年北京市昌平一中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.抛物线y=(x+2)2−1的对称轴是()A. x=−1B. x=1C. x=−2D. x=22.三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是()A. 34B. 35C. 43D. 453.如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOB=72°，则∠ACB的度数为()A. 18°B. 30°C. 36°D. 72°4.⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为3，点P与⊙O的位置关系是()A. 无法确定B. 点P在⊙O外C. 点P在⊙O上D. 点P在⊙O内5.已知∠A为锐角，且sinA=1，那么∠A等于()2A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°6.在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=2x2先向左平移3个单位B长度，再向下平移4个单位长度后所得到的抛物线的表达式为()A. y=2(x+3)2−4B. y=2(x−3)2−4C. y=2(x+3)2+4D. y=2(x−3)2+47.已知一次函数和二次函数部分自变量与对应的函数值如表：x…−10245…y1…01356…y2…0−1059…当y2>y1时，自变量x的取值范围是()A. −1<x<2B. 4<x<5C. x<−1或x>5D. x<−1或x>48.抛物线y=ax2+bx+c经过点(−2,0)，且对称轴为直线x=1，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①ac>0；②16a+4b+c=0；③若m>n>0，则x=,0)1+m时的函数值大于x=1−n时的函数值；④点(−c2a一定在此抛物线上．其中正确结论的序号是()A. ①②B. ②③C. ②④D. ③④二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9.已知抛物线的对称轴是直线x=n，若该抛物线与x轴交于(1,0)，(3,0)两点，则n的值为______．10.如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为150°，AB的长为18cm，BD的长为9cm，则DE⏜的长为______cm．11.已知二次函数y=ax2+bx+1(a≠0)的图象与x轴只有一个交点．请写出一组满足条件的a，b的值：a=______，b=______．12.如图所示的网格是正方形网格，则sin∠BAC与sin∠DAE的大小关系是______．13.如图，以等边△ABC的一边AB为直径的半圆O交AC于点D，交BC于点E，若AB=4，则阴影部分的面积是______．14.如图，一根竖直的木杆在离地面3.1m处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成38°角，则木杆折断之前高度约为______m.(参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78)15.如图，在平面直角坐标系xOy中，A(1,1)，B(3,1)，如果抛物线y=ax2(a>0)与线段AB有公共点，那么a的取值范围是______．16.如图是，二次函数y=−x2+4x的图象，若关于x的一元二次方程−x2+4x−t=0(t为实数)在1<x<5的范围内有解，则t的取值范围是______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17.计算：4sin30°−√2cos45°−√3tan30°+2sin60°四、解答题（本大题共11小题，共88.0分）18.一些不便于直接测量的圆形孔道的直径可以用如下方法测量．如图，把一个直径为10mm的小钢球紧贴在孔道边缘，测得钢球顶端离孔道外端的距离为8mm，求这个孔道的直径AB．19.已知二次函数y=x2−4x+3．(1)用配方法将其化为y=a(x−ℎ)2+k的形式；(2)在所给的平面直角坐标系xOy中，画出它的图象．20.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)自变量x的部分取值及对应的函数值y如表所示：x…−2−1012…y…323611…(1)写出此二次函数图象的对称轴；(2)求此二次函数的表达式．21.如图：AB为⊙O的直径，点C、D在圆O上，OD//AC，求证：点D平分BC⏜．22.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，cosA=2，AB=4，过点3C作CD//AB，且CD=2，连接BD，求BD的长．23.某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，OA长为1.5米．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到O的距离为3米．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y(米)与水平距离x(米)之间近似满足函数关系y=ax2+x+c(a≠0)．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)求水流喷出的最大高度．24.2018年10月23日，港珠澳大桥正式开通，成为横亘在伶仃洋上的一道靓丽的风景．大桥主体工程隧道的东、西两端各设置了一个海中人工岛，来衔接桥梁和海底隧道，西人工岛上的A点和东人工岛上的B点间的距离约为5.6千米，点C是与西人工岛相连的大桥上的一点，A，B，C在一条直线上．如图，一艘观光船沿与大桥AC段垂直的方向航行，到达P点时观测两个人工岛，分别测得PA，PB与观光船航向PD的夹角∠DPA=18°，∠DPB=53°，求此时观光船到大桥AC段的距离PD 的长．参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.33，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．25.如果抛物线y=x2+2x+2k−4与x轴有两个不同的公共点．(1)求k的取值范围；(2)如果k为正整数，且该抛物线与x轴的公共点的横坐标都是整数，求k的值．26.数学课上学习了圆周角的概念和性质：“顶点在圆上，两边与圆相交”，“同弧所对的圆周角相等”，小明在课后继续对圆外角和圆内角进行了探究．下面是他的探究过程，请补充完整：定义概念：顶点在圆外，两边与圆相交的角叫做圆外角．顶点在圆内，两边与圆相交的角叫做圆内角．如图1，∠M为AB⏜所对的一个圆外角．(1)请在图2中画出AB⏜所对的一个圆内角；提出猜想：(2)通过多次画图、测量，获得了两个猜想：一条弧所对的圆外角______这条弧所对的圆周角；一条弧所对的圆内角______这条弧所对的圆周角；(填“大于”、“等于”或“小于”)推理证明：(3)利用图1或图2，在以上两个猜想中任选一个进行证明．27.小明利用函数与不等式的关系，对形如(x−x1)(x−x2)…(x−x n)>0(n为正整数)的不等式的解法进行了探究．(1)下面是小明的探究过程，请补充完整：①对于不等式x−3>0，观察函数y=x−3的图象可以得到如表格：由表格可知不等式x−3>0的解集为x>3．②对于不等式(x−3)(x−1)>0，观察函数y=(x−3)(x−1)的图象可以得到如表表格：由表格可知不等式(x−3)(x−1)>0的解集为______．③对于不等式(x−3)(x−1)(x+1)>0，请根据已描出的点画出函数y=(x−3)(x−1)(x+1)的图象；观察函数y=(x−3)(x−1)(x+1)的图象补全下面的表格：由表格可知不等式(x−3)(x−1)(x+1)>0的解集为______．……小明将上述探究过程总结如下：对于解形如(x−x1)(x−x2)……(x−x n)>0(n为正整数)的不等式，先将x1，x2…，x n按从大到小的顺序排列，再划分x的范围，然后通过列表格的办法，可以发现表格中y的符号呈现一定的规律，利用这个规律可以求这样的不等式的解集．(2)请你参考小明的方法，解决下列问题：①不等式(x−6)(x−4)(x−2)(x+2)>0的解集为______．②不等式(x−9)(x−8)(x−7)2>0的解集为______．28.在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b(k≠0)与抛物线y=ax2−4ax+3a的对称轴交于点A(m,−1)，点A关于x轴的对称点恰为抛物线的顶点．(1)求抛物线的对称轴及a的值；(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记直线y=kx+b(k≠0)与抛物线围成的封闭区域(不含边界)为W．①当k=1时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内恰有3个整点，结合函数图象，求b的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：抛物线y=(x+2)2−1的对称轴是直线x=−2，故选：C．根据题目中抛物线的顶点式，可以直接写出它的对称轴，本题得以解决．本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．2.【答案】B【解析】解：由勾股定理，得斜边的长为√42+32=5，sinα=3，5故选：B．根据勾股定理，可得斜边的长，根据正弦函数，可得答案．本题考查了锐角三角函数的定义，正弦函数是对边比斜边是解题关键．3.【答案】C【解析】解：∵∠AOB=72°，∴∠ACB=36°．故选：C．根据圆周角定理，由∠AOB=72°，即可推出结果．本题主要考查圆周角定理，关键在于运用数形结合的思想进行认真分析．4.【答案】D【解析】解：∵OP=3<5，∴点P与⊙O的位置关系是点在圆内．故选：D．根据点在圆上，则d=r；点在圆外，d>r；点在圆内，d<r(d即点到圆心的距离，r即圆的半径)．此题主要考查了点与圆的位置关系，注意：点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解决问题的关键．5.【答案】B，∠A为锐角，【解析】解：∵sinA=12∴∠A=30°．故选：B．根据特殊角的三角函数值求解．本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．6.【答案】A【解析】解：抛物线y=2x2的顶点坐标为(0,0)，把点(0,0)先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到点的坐标为(−3,−4)，所以平移后所得的抛物线的解析式为y=2(x+3)2−4．故选：A．把抛物线y=2x2的顶点(0,0)先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到点的坐标为(−3,−4)，即得到平移后抛物线的顶点坐标，然后根据顶点式写出解析式即可．本题考查了二次函数图象与几何变换：先把二次函数的解析式配成顶点式然后把抛物线的平移问题转化为顶点的平移问题．7.【答案】D【解析】解：∵当x=−1时，y1=y2=0；当x=4时，y1=y2=5；∴直线与抛物线的交点为(−1,0)和(4,5)，而−1<x<4时，y1>y2，∴当y2>y1时，自变量x的取值范围是x<−1或x>4．故选：D．利用表中数据得到直线与抛物线的交点为(−1,0)和(4,5)，−1<x<4时，y1>y2，从而得到当y2>y1时，自变量x的取值范围．本题考查了二次函数与不等式：对于二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右；常数项c 决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于(0,c)；抛物线与x轴交点个数由Δ决定：Δ=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．利由抛物线的位置可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为(4,0)，代入解析式则可对②进行判断；由抛物线的对称性和二次函数的性质可对③进行判断；抛物线的对称性得出点(−2,0)的对称点是(4,0)，由c=−8a即可得出=4，则可对④进行判断．−c2a【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a<0，∵抛物线交y轴的正半轴，∴c>0，∴ac<0，故①错误；∵抛物线的对称轴为直线x=1，而点(−2,0)关于直线x=1的对称点的坐标为(4,0)，∴16a+4b+c=0，故②正确；∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，∴横坐标是1−n的点的对称点的横坐标为1+n，∵若m>n>0，∴1+m>1+n，∴x=1+m时的函数值小于x=1−n时的函数值，故③错误；∵抛物线的对称轴为−b2a=1，∴b=−2a，∴抛物线为y=ax2−2ax+c，∵抛物线y=ax2+bx+c经过点(−2,0)，∴4a+4a+c=0，即8a+c=0，∴c=−8a，∴−c2a=4，∵点(−2,0)的对称点是(4,0)，∴点(−c2a,0)一定在此抛物线上，故④正确，故选：C．9.【答案】2【解析】解：∵抛物线与x轴交于(1,0)，(3,0)两点，∴抛物线的对称轴为直线x=1+32=2．即n的值为2．故答案为2．利用抛物线与x轴的交点关于对称轴对称，从而得到抛物线的对称轴方程．本题考查了抛物线的对称性．10.【答案】152π【解析】解：∵AB=18cm，BD=9cm，∴AD=9cm，∴DE⏜的长=150⋅π⋅9180=15π2．故答案为15π2．利用弧长公式计算即可．本题考查弧长公式：l=n⋅π⋅r180(n为扇形的圆心角，r为扇形的半径)，解题的关键是记住弧长公式，属于中考常考题型．11.【答案】1 2【解析】【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．根据判别式的意义得到△=b2−4a=0，然后a取一个不为0的实数，再确定对应的b 的值．【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+1(a≠0)的图象与x轴只有一个交点，∴△=b2−4a=0，若a=1，则b可取2．故答案为1，2．12.【答案】sin∠BAC>sin∠DAE【解析】解：如图，连接NH、BC，过N作NP⊥AD于P．∵S△ANH=2×2−12×1×2×2−12×1×1=12AH⋅NP，∴32=√52PN，∴PN=3√5．在Rt△ANP中，sin∠NAP=PNAN =3√5√5=35=0.6，在Rt△ABC中，sin∠BAC=BCAB =22√2=√22>0.6，∴sin∠BAC>sin∠DAE．故答案为：sin∠BAC>sin∠DAE．作辅助线，构建三角形及高线NP，利用面积法求出高线PN=3√5，再分别求出∠BAC、∠DAE的正弦值即可判断．本题考查了解直角三角形，三角形的面积，作辅助线构建直角三角形，从而利用面积法求出高线PN的值是解题的关键．13.【答案】√3【解析】解：如图，连接OD，OE，DE．∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=60°，∵OA=OD=OB=OE=2，∴△AOD，∠EOB都是等边三角形，∴∠AOD=∠EOB=60°，∴∠DOE=60°，△DOE是等边三角形，∴∠DOE=∠EOB，∴弓形DE与弓形BE的面积相等，∵CD=DE=CE=2，∴△CDE是等边三角形，∴S阴=S△CDE=√34×22=√3，故答案为√3．如图，连接OD，OE，DE.证明S阴=S△CDE即可解决问题．本题考查圆周角定理，扇形的面积公式，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．14.【答案】8.1【解析】【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，利用锐角三角函数定义求出三角形边长是解题的关键．在Rt△ABC中，由AC的长及sinB≈0.62的值可得出AB的长，即可解答．【解答】解：如图：AC=3.1m，∠B=38°，∴AB=ACsinB ≈ 3.10.62=5m，∴木杆折断之前高度=AC+AB=3.1+5=8.1(m)故答案为8.1．15.【答案】19≤a≤1【解析】【分析】本题考查了二次函数．分别把A、B点的坐标代入y=ax2得a的值，根据二次函数的性质得到a的取值范围．【解答】解：把A(1,1)代入y=ax2得a=1；把B(3,1)代入y=ax2得a=19，所以a的取值范围为19≤a≤1．故答案为19≤a≤1．16.【答案】−5<t≤4【解析】解：y=−x2+4x=−(x−2)2+4，当x=2时，y有最大值4，当x=5时，y=−x2+4x=−5，关于x的一元二次方程−x2+4x−t=0(t为实数)在1<x<5的范围内有解可看作抛物线y=−x2+4x与y=t在1<x<5内有公共点，所以t的范围为−5<t≤4．故答案为−5<t≤4．先利用二次函数的性质得到x=2时，y有最大值4，再计算出x=5时，y=−5，由于关于x的一元二次方程−x2+4x−t=0(t为实数)在1<x<5的范围内有解可看作抛物线y=−x2+4x与y=t在1<x<5内有公共点，然后利用函数图象可得到t的范围．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．17.【答案】解：4sin30°−√2cos45°−√3tan30°+2sin60°=4×12−√2×√22−√3×√33+2×√32=2−1−1+√3=√3．【解析】依据30°、45°、60°角的各种三角函数值，代入计算即可．本题主要考查了特殊角的三角函数值，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．18.【答案】解：连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB=2AD，∵钢珠的直径是10mm，∴钢珠的半径是5mm，∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，∴OD=3mm，在Rt△AOD中，∵AD=√OA2−OD2=√52−32=4mm，∴AB=2AD=2×4=8mm．【解析】先求出钢珠的半径及OD的长，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB=2AD，在Rt△AOD中利用勾股定理即可求出AD的长，进而得出AB的长．本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．19.【答案】解：(1)y=x2−4x+3=x2−4x+22−22+3=(x−2)2−1；(2))∵y=(x−2)2−1，∴顶点坐标为(2,−1)，对称轴方程为x=2．∵函数二次函数y=x2−4x+3的开口向上，顶点坐标为(2,−1)，与x轴的交点为(3,0)，(1,0)，∴x−1012345y830−1038∴其图象为：【解析】(1)利用配方法把二次函数解析式化成顶点式即可；(2)利用描点法画出二次函数图象即可．本题考查了二次函数的配方法，用描点法画二次函数的图象，掌握配方法是解答此题的关键．20.【答案】解：(1)∵当x=−2时，y=3；当x=0时，y=3，∴二次函数图象的对称轴为直线x=−2+02，即x=−1．(2)将(−1,2)，(0,3)，(1,6)代入y=ax2+bx+c，得：{a−b+c=2 c=3a+b+c=6，解得：{a =1b =2c =3，∴此二次函数的表达式为y =x 2+2x +3．【解析】(1)由当x =−2和x =0时y 值相等，利用二次函数的性质即可求出二次函数图象的对称轴；(2)根据表格中的数据找出点的坐标，再利用待定系数法即可求出二次函数表达式． 本题考查了二次函数的性质以及待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是：(1)利用二次函数图象的对称性找出二次函数图象的对称轴；(2)根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式．21.【答案】证明：连接CB ，交CD 于E ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，∵OD//AC ，∴∠OEB =∠ACB =90°，即OD ⊥BC ，∵OD 过点O ，∴点D 平分BC⏜．【解析】连接BC ，根据圆周角定理求出∠ACB =90°，证出OD ⊥BC ，根据垂径定理求出即可．本题考查了圆周角定理和垂径定理，证明OD ⊥BC 是解此题的关键．22.【答案】解：在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，cosA =23，∴AB AC =23，∵AB =4，∴AC =6，∴CB =√AC 2−AB 2=2√5，∵DC//AB ，∴∠DCB =∠ABC =90°，∵CD =2，∴BD =√CD 2+BC 2=√22+(2√5)2=2√6．【解析】在Rt △ABC 中，求出BC ，再在Rt △BCD 中利用勾股定理求出BD 即可． 本题考查解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．23.【答案】解：(1)由题意可得，抛物线经过点(0,1.5)和(3,0)，把上述两个点坐标代入二次函数表达式得：{c =1.59a +3+c =0， 解得：{a =−12c =32， 则函数表达式为：y =−12x 2+x +32；(2)y =−12x 2+x +32=−12(x −1)2+2 a =−12<0，故函数有最大值， ∴当x =1时，y 取得最大值，此时y =2，答：水流喷出的最大高度为2米．【解析】(1)由题意可得，抛物线经过点(0,1.5)和(3,0)，把上述两个点坐标代入二次函数表达式，即可求解；(2)y =−12x 2+x +32=−12(x −1)2+2，故当x =1时，y 取得最大值．本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．24.【答案】解：设PD 的长为x 千米，DA 的长为y 千米，在Rt △PAD 中，tan∠DPA =DA DP ，即tan18°=y，x∴y=0.33x，在Rt△PDB中，tan∠DPB=BD，PD，即tan53°=y+5.6x∴y+5.6=1.33x，∴0.33x+5.6=1.33x，解得x=5.6，答：此时观光船到大桥AC段的距离PD的长为5.6千米．【解析】设PD的长为x千米，DA的长为y千米，在Rt△PAD中利用正切的定义得到tan18°=y，即y=0.33x，同样在Rt△PDB中得到y+5.6=1.33x，所以0.33x+5.6=x1.33x，然后解方程求出x即可．本题考查了解直角三角形的应用：根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．25.【答案】解：(1)根据题意得Δ=22−4(2k−4)>0，；解得k<52(2)∵k<5，2∴正整数k的值为1，2，当k=1时，抛物线解析式为y=x2+2x−2，当y=0时，x2+2x−2=0，解得x1=−1+√3，x2=−1−√3，该抛物线与x轴的公共点的横坐标不是整数；当k=2时，抛物线解析式为y=x2+2x，当y=0时，x2+2x=0，解得x1=0，x2=−2，该抛物线与x轴的公共点的横坐标为0和−2，∴k的值为2．【解析】(1)利用判别式的意义得到△=22−4(2k−4)>0，然后解不等式即可；(2)先确定正整数k的值为1，2，当k=1时，抛物线解析式为y=x2+2x−2，当k=2时，抛物线解析式为y=x2+2x，然后分别解方程x2+2x−2=0和x2+2x=0可确定满足条件的k的值．本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．26.【答案】小于大于【解析】解：(1)如图1所示．(2)观察图形，可知：一条弧所对的圆外角小于这条弧所对的圆周角；一条弧所对的圆内角大于这条弧所对的圆周角．故答案为：小于；大于．(3)证明：①如图2，BM与⊙O相交于点C，连接AC．∵∠ACB=∠M+∠MAC，∴∠ACB>∠M；②如图3，延长BM交⊙O于点C，连接AC．∵∠AMB=∠ACB+∠CAM，∴∠AMB>∠ACB．(1)在⊙O内任取一点M，连接AM，BM；(2)观察图形，可知：一条弧所对的圆外角小于这条弧所对的圆周角；一条弧所对的圆内角大于这条弧所对的圆周角，此问得解；(3)①BM与⊙O相交于点C，连接AC，利用三角形外角的性质可得出∠ACB=∠M+∠MAC，进而可证出∠ACB>∠M；②延长BM交⊙O于点C，连接AC，利用三角形外角的性质可得出∠AMB=∠ACB+∠CAM，进而可证出∠AMB>∠ACB．本题考查了圆的综合应用以及三角形外角的性质，解题的关键是：(1)依照题意画出图形；(2)观察图形，找出结论；(3)利用三角形外角的性质证出：一条弧所对的圆外角小于这条弧所对的圆周角；一条弧所对的圆内角大于这条弧所对的圆周角．27.【答案】(1)x>3或x<1+−x>3或−1<x<1(2)x>6或2<x<4或x<−2x>9或x<8且x≠7【解析】解：(1)②由表格可知不等式(x−3)(x−1)>0的解集为x>3或x<1，故答案为：x>3或x<1；③当−1<x<1时，(x−3)(x−1)(x+1)>0，当x<−1时，(x−3)(x−1)(x+1)<0，由表格可知不等式(x−3)(x−1)(x+1)>0的解集为x>3或−1<x<1，故答案为：+，−，x>3或−1<x<1；(2)①不等式(x−6)(x−4)(x−2)(x+2)>0的解集为x>6或2<x<4或x<−2，故答案为：x>6或2<x<4或x<−2；②不等式(x−9)(x−8)(x−7)2>0的解集为x>9或x<8且x≠7，故答案为：x>9或x<8且x≠7(1)②根据表格中的数据可以直接写出不等式的解集；③根据表格中的数据可以直接写出不等式的解集；(2)①根据小明的方法，可以直接写出该不等式的解集；②根据小明的方法，可以直接写出该不等式的解集．本题考查二次函数的图象、一次函数的图象、一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，写出相应的不等式的解集．28.【答案】解：(1)变形得：y=a(x2−4x)+3a=a(x−2)2−a，∴对称轴为x=2，∴点A的坐标为(2,−1)可得抛物线顶点为(2,1)，把点A坐标代入抛物线可得：a=−1；(2)①当k=1时，y=x+b，把A(2,−1)代入得−1=2+b，解得：b=−3，∴y=x−3，如图1，区域W内的整点个数为2个，分别为(2,0)与(1,−1)．②如图2，i.若k>0，当直线过(1,−2)，(2,−1)时，b=−3．当直线过(0,−4)，(2,−1)时，b=−4．∴−4≤b<−3，ii.若k<0，由对称性可得：1<b≤2．∴b的取值范围是：−4≤b<−3或1<b≤2．【解析】此题主要考查二次函数与一次函数综合问题，会运用待定系数法求解析式，会运用边界点分析问题是解题的关键．(1)配方求出抛物线的对称轴，进而确定点A坐标，代入点A的对称点坐标即可求出a 的值；(2)①当k=1时代入点A坐标即可求出直线解析式，进而分析出整点个数；②当k>0时分别以(1,−2)，(2,−1)；(0,−4)，(2,−1)为边界点代入确定解析式，进而根据对称性分析当k小于0的情况即可．。
北京市昌平区昌平一中2020-2021学年九年级(上)数学期中试卷
⸶（填“ ”、“ ”
或“r”）
13、如图，为测量某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点 ，在近岸取点 ， ， ，使
得
，
，点 在 上，并且点 ， ， 在为
14、抛物线 r r ⸶ t 与 轴的两个交点之间的距离为 6，则 t 的值是
15、如图，在平面直角坐标系中，已知函数 r
A.
⸶
B. ⸶
C. ⸶
D.
⸶
的图象 与交
8、同学们参加综合实践活动时，看到木工师傅用“三弧法”在板材边角处作直角，其作法 是：如图， （1）作线段 ，分别以点 ， 为圆心， 长为半径作弧，两弧交于点 （2）以点 为圆心，仍以 长为半径作弧交 的延长线于点 （3）连接 ， 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
（2）若 为 边中点， 不是 边中点 ①请根据题意将图 2 补全
②小军通过观察、实验，提出猜想：点 在 边上运动的过程中，（1）中 的值不变。
小军把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了求 的值的几种想法：
想法 1：过点 作
交 于点 ，要求 的值，需证明
想法 2：分别取 ， 的中点 ， ，连接 ， ，要求 的值，需证明 ······ 请你参考上面的想法，帮助小军写出求 的值的过程（一种方法即可）
⸶ ⸶ r ，（2，-4） D. r
⸶ ⸶ r ，（-2，-4）
6、 （− ，
⸶
）、 （1， ⸶）、 （4，
）三点都在二次函数
rr
r⸶ ⸶
上，则 、 ⸶、 的大小关系是（ ）
A.
⸶
B.
⸶ C.
⸶ D.
7、如图，在四边形
中，
，点 、 分别是边 、
⸶
2019-2020学年北京昌平第三中学初三上册期中考试试卷数学(含答案).doc
2019-2020学年度第一学期初三数学期中试题班级姓名考号2015．11．12一、选择题：本题共10题，每题3分，共30分． #1．已知1sin 2A =，且A ∠为锐角，则A ∠=（ ）． A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．75︒ 【答案】A【解析】1sin 2A =，且A ∠为锐角，∴30A ∠=︒．#2．抛物线22(3)1y x =-+的顶点坐标是（ ）． A ．(3,1)-- B ．(3,1)- C ．(3,1)- D ．(3,1) 【答案】D【解析】抛物线22(3)1y x =-+的顶点坐标是(3,1)．#3．在ABC △中，90C ∠=︒，3sin 5A =，那么cosB 的值等于（ ）． A ．35 B ．45C ．34D ．43【答案】A【解析】3cos sin 5B A ==．#4．已知A 为⊙O 上的点，⊙O 的半径为1，该平面上另有一点P ，3PA =，那么点P 与⊙O的位置关系是（ ）． A ．点P 在⊙O 内 B ．点P 在⊙O 上 C ．点P 在⊙O 外 D ．无法确定 【答案】D【解析】∵3PA =，⊙O 的直径为2， ∴点P 的位置有三种情况，：在圆外，在圆上，在圆内．#5．把抛物线223y x =-沿x 轴翻折，所得的抛物线是（ ）．A ．223y x =--B ． 223y x =-C ． 223y x =＋D ．223y x =-+ 【答案】D【解析】根据题意223y x -=-，∴223y x =-+．#6．已知扇形的半径为6，圆心角为60︒，则这个扇形的面积为（ ）． A ．9π B ．6π C ．3π D ．π【答案】B【解析】∵扇形的半径为6cm ，圆心角为60︒，∴260π66π360S ⨯==．#7．如图，ABC △内接于⊙O ，BD 是⊙O 的直径．若33DBC ∠=︒，则A ∠等于（ ）．A．67︒B．66︒ C．57︒ D．33︒【答案】C【解析】连接CD，如图，∵BD是⊙O的直径，∴90∠=︒，BCD∵33∠=︒，DBC∴903357∠=︒-︒=︒．D∴57∠=︒．A#8．已知二次函数2=++的图象如图所示，下列结论中，正确的是（）．y ax bx cA．0b<，0c>a>，0B．0c>b<，0a<，0C．0c<a<，0b>，0D．0c>，a<，0b>，0【答案】B【解析】由图知，函数开口向下，∴0a<，又对称轴在y轴左侧，∴0b<，与y轴交点在y轴正半轴，∴0c>．#9．小明想用直角尺检查某些工件是否恰好是半圆形，下列图形中是半圆形的是（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】A．不是圆周角，故不能判定；B．根据90︒的圆周角所对的弦是直径，本选项符合．C．不是圆周角，故不能判定；D．不是圆周角，故不能判定．#10．如图，正方形ABCD 的边长为3cm ，动点P 从B 点出发以3cm/s 的速度沿着边BC CD DA--运动，到达A 点停止运动；另一动点Q 同时从B 点出发，以1cm/s 的速度沿着边BA 向A 点运动，到达A 点停止运动．设P 点运动时间为(s)x ，BPQ △的面积为2)(cm y ，则y 关于x 的函数图象是（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意得BQ x =， ①01x ≤≤时，P 点在BC 边上，3BP x =， 则BPQ △的面积12BP BQ =⋅，∴212323y x x x =⋅⋅=，故A 错误；②12x <≤时，P 点在CD 边上，则BPQ △的面积12BQ BC =⋅，∴13322y x x =⋅⋅=，故B 错误．③23x <≤时，P 点在AD 边上，93AP x =-，则BPQ △的面积12AP BQ =⋅，∴213(93)22y x x x =⋅-⋅=，故D 错误．二、填空题：本题共6题，每题3分，共18分． #11．如图，已知20ACB ∠=︒，则AOB ∠=__________．【答案】40︒【解析】∵20ACB ∠=︒，∴240AOB ACB ∠=∠=︒．#12．请写出一个开口向上，并且与y 轴交于点(0,2)-的抛物线的表达式__________． 【答案】22y x =-【解析】开口向上，则0a >，与与y 轴交于点(0,2)-，则2c =-．故可以是22y x =-．#13．已知二次函数2555632y x x =--的图象如图，则方程25550632x x --=的根为__________．【答案】3-或1【解析】由图像知，0y =，3x =-或1．故方程25550632x x --=的根为3-或1．#14．已知原点是抛物线2(3)y m x =+的最高点，则m 的范围是__________．【答案】3a <-【解析】∵原点时抛物线2(3)y a x =+的最高点， ∴30a +<， 即3a <-．#15．若1(5,)A y -、2(2,)B y -都在22y x =上，则1y __________2y (填>或<)．【答案】>【解析】当5x =-时，22122(5)22550y x ==⨯-=⨯=， 当2x =时，2222228y x ==⨯=． ∵508>， ∴12y y >．#16．已知等腰ABC △的三个顶点都在半径为5的⊙O 上，如果底边BC 的长为8，那么BC 边上的高为__________． 【答案】8或2【解析】分为两种情况：①当O 在ABC △内部时，如图，连接OB 、OA ，延长AO 交BC 于D ，∵⊙O 是等腰三角形ABC 的外接圆，8BC =， ∴AD BC ⊥，142BD DC AB ===，在Rt OBD △中，由勾股定理得：22543OD =-=， ∴BC 边上的高538AD AO OD =+=+=．②当O 在ABC △外部时，如图，连接OB 、OA ，AO 交BC 于D ， 此时532AD AO OD =-=-=．三．解答题（第17—25每题5分，26、27题6分，28题7分，29题8分） #17．计算：()011124sin60()1π3--︒-+-．【答案】2- 【解析】原式3234312=-⨯-+ 2=-．#18．已知物线经过点(1,0)A 、(1,8)B -、(0,2)C ，求此抛物线的解析式． 【答案】函数解析式为2242y x x =-+． 【解析】设函数解析式为2y ax bx c =++， ∵函数过点(1,0)A 、(1,8)B -、(0,2)C ，∴082a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩， 解得242a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩．∴函数解析式为2242y x x =-+．#19．已知二次函数277y kx x =--的图象和x 轴有交点，求k 的取值范围． 【答案】74k -≥且0k ≠【解析】∵二次函数277y kx x =--的图像和x 轴有交点， ∴049280k k ≠⎧⎨+⎩≥，∴74k -≥且0k ≠． 故答案为74k -≥且0k ≠．#20．如图，ABC △中，30A ∠=︒，3tan 2B =，23AC =，求AB ．【答案】5【解析】作CD AB ⊥于点D ，∵sin CDA AC=， ∴sin CD AC A = sin30AC =︒ 3=．∵cos ADA AC=， ∴cos30AD AC =︒3232=⨯ 3=．∵3tan 2CD B BD ==， ∴2BD =．∴235AB AD BD =+=+=．#21．如图，O 为等腰三角形ABC 的底边AB 的中点，以AB 为直径的半圆分别交AC ，BC 于点D 、EE ．@（1）求证：AOE BOD ∠=∠． 【答案】证明见解析． 【解析】∵CA CB =， ∴A B ∠=∠．∵OA OD =，OB OE =，∴A ODA ∠=∠，B OEB ∠=∠． ∴AOD BOE ∠=∠．∴AOD DOE BOE DOE ∠+∠=∠+∠． ∴AOE BOD ∠=∠．@（2）求证：AD BE =． 【答案】证明见解析．【解析】∵AOD BOE ∠=∠， ∴AD BE =， ∴AD BE =．#22．如图，AB 为半圆直径，O 为圆心，C 为半圆上一点，E 是弧AC 的中点，OE 交弦AC 于点D ，若8cm AC =，2cm DE =，求OD 的长．【答案】3cm OD =【解析】设OD x =，则2(cm)OA OE x ==+． ∵E 是弧AC 的中点，∴AC OE ⊥，且14cm 2AD DC AC ===，在直角AOD △中，222OA OD AD =+． 则22(2)16x x +=+，解得3x =． 即3cm OD =．#23．如图，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知1cm AE =，5cm EB =，60DEB ∠=︒，求CD的长．【答案】26【解析】作OF CD ⊥于点F ，连接OD ． ∵1AE =，5EB =．∴6AB AE BE =+=，半径长是3．∵在直角OEF △中，312OE OA AE =-=-=，sin OFDEB OE∠=， ∴3sin 232OF OE DEB =⋅∠=⨯=． 在直角ODF △中，226DF OD OF =-=． ∴226CD DF ==．#24．已知AB 是⊙O 的直径，AC 、AD 是⊙O 的弦，2AB =，2AC =，1AD =，求CAD ∠的度数．【答案】15︒或105︒【解析】有两种情况，如图所示， 连接BC ，则90ACB ∠=︒．根据勾股定理可得2BC =，即AC BC =，且O 为AB 的中点， ∴CO AB ⊥，即90AOC ∠=︒，且OA OC =， ∴AOC △为等腰直角三角形， ∴45CAO ∠=︒．又111AD OD OA ===，得到1AD O △为等边三角形， ∴160D AO ∠=︒． 同理260D AO ∠=︒．则604515DAC ∠=︒-︒=︒或6045105︒+︒=︒．#25．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，8BC =，1tan 2B =，点D 在BC 上，且BD AD =，求AC 的长和cos ADC ∠的值．【答案】3cos 5ADC ∠=．【解析】∵在Rt ABC △中，8BC =，1tan 2B =，tan ACB BC=， ∴tan 4AC BC B =⋅=．设AD x =，则BD x =，8CD x =-，在Rt ADC △中，由勾股定理得，222(8)4x x -+=，解得5x =． 5AD =，853CD =-=． ∴3cos 5DC ADC AD ∠==．#26．已知一次函数y ax b =+的图象上有两点A 、B ，它们的横坐标分别是3，1-，若二次函数213y x =的图象经过A 、B 两点．@（1）请求出一次函数的表达式．【答案】213y x =+．【解析】设A 点坐标为(3,)m ，B 点坐标为(1,)n -．∵A 、B 两点在213y x =的图像上，∴1933m =⨯=，11133n =⨯=．∴(3,3)A ，1(1,)3B -．∵A 、B 两点又在y ax b =+的图像上， ∴3313a b a b =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得231a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩．∴一次函数的表达式是213y x =+． @（2）设二次函数的顶点为C ，求ABC △的面积．【答案】2【解析】如图，设直线AB 与x 轴的交点为D ，则D 点坐标为3(,0)2-． ∴32DC =．ABC ADC BDC S S S =-△△△131********=⨯⨯-⨯⨯ 91244=-=．#27．某超市按每袋20元的价格购进某种干果．销售过程中发现，每月销售量y (袋)与销售单价x （元/袋）之间的关系可近似地看作一次函数10500y x =-+（2050x <<）． @（1）当45x =元时，y =__________袋；当200y =袋时，x =_________元． 【答案】50，30．【解析】当45x =元时，104550050y =-⨯+=袋， 当200y =袋时，20010500x =-+， ∴解得：30x =元． 故答案为：50，30．@（2）设这种干果每月获得的利润为w （元），当销售单价定为多少元/袋时，每月可获得最大利润？最大利润是多少？【答案】当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润，最大利润是2250元． 【解析】∵设这种干果每月获得的利润为w （元）， ∴(20)(20)(10500)w x y x x =-=--+ 21070010000x x =-+- 210(35)2250x =--+．∴当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润，最大利润是2250元．#28．二次函数2y x mx n =-++的图象经过点(1,4)A -，(1,0)B ，12y x b =-+经过点B ，且与二次函数2y x mx n =-++交于点D ．@（1）求一次函数和二次函数的表达式及点D 的坐标． 【答案】1122y x =-+，223y x x =--+，57(,)24-．【解析】∵二次函数2y x mx n =-++的图象经过点(1,4)A -，(1,0)B ．∴4101m nm n =--+⎧⎨=-++⎩．∴2m =-，3n =．∴二次函数的表达式为223y x x =--+．一次函数12y x b =-+经过点B ，∴12b =，一次函数表达式为：1122y x =-+．12y x b =-+经与二次函数2y x mx n =-++交于点D ．∴2112223y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=--+⎩， 解得5274x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，10x y =⎧⎨=⎩，∴D 点坐标为57(,)24-．@（2）点N 是二次函数图象上一点（点N 在BD 上方），过N 作NP x ⊥轴，垂足为点P ，交BD 于点M ，求MN 的最大值．【答案】4916【解析】画出图形．设11(,)22M m m -+，则2(,2+3)N m m m -- ∴21123()22MN m m m =--+--+， ∴23522MN m m =--+．∴2349()416MN m =-++．∴MN 的最大值为4916．#29．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y x mx n =++经过点(1,)A a -，(3,)B a ，且最低点的纵坐标为4-．@（1）求抛物线的表达式及a 的值． 【答案】2242y x x =--，4a =． 【解析】∵抛物线22y x mx n =++过点，11 (1,)A a -，(3,)B a ，∴抛物线的对称轴1x =．∵抛物线最低点的纵坐标为4-，∴抛物线的顶点是(1,4)-．∴抛物线的表达式是22(1)4y x =--，即2242y x x =--．把(1,)A a -代入抛物线表达式，求出4a =．@（2）设抛物线顶点C 关于y 轴的对称点为点D ，点P 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在点A ，B 之间的部分为图象G （包含A ，B 两点）．如果直线DP 与图象G 恰有两个公共点，结合函数图象，求点P 纵坐标t 的取值范围．【答案】40t -<≤【解析】∵抛物线顶点(1,4)C -关于y 轴的对称点为点D ， ∴(1,4)D --．求出直线CD 的表达式为4y =-．求出直线BD 的表达式为22y x =-，当1x =时，0y =．所以40t -<≤．@（3）设抛物线与y 轴的交点为E ，求BCE △面积．【答案】6【解析】如图，过C ，B 作y 轴垂线，垂直分布为F ，G ．111(31)836126222BCE GBE CEF BGFC S S S S =--=+⨯-⨯⨯-⨯⨯=梯形△△△．。
2020-2021北京市昌平区第二中学初三数学上期中模拟试卷带答案
一、选择题1．下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．如图，已知⊙O的半径为5，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，AB=8，则tan∠CBD的值等于（）`A．43B．45C．35D．343．下列交通标志是中心对称图形的为（）A．B．C．D．4．如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪．若草坪的面积为570m2，道路的宽为xm，则可列方程为（）A．32×20﹣2x2＝570 B．32×20﹣3x2＝570C．（32﹣x）（20﹣2x）＝570 D．（32﹣2x）（20﹣x）＝5705．如图，将三角尺ABC（其中∠ABC=60°，∠C=90°）绕点B按逆时针方向转动一个角度到△A1BC1的位置，使得点A1、B、C在同一条直线上，那么旋转角等于（）,A．30°B．60°C．90°D．120°6．已知函数2(3)21y k x x =-++的图象与x 轴有交点．则k 的取值范围是( )A ．k<4B ．k≤4C ．k<4且k≠3D ．k≤4且k≠3 7．将函数y=kx 2与y=kx+k 的图象画在同一个直角坐标系中，可能的是（ ）A ．B ．C ．D ． 8．若关于x 的一元二次方程2(1)220k x x -+-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．12k >且k≠1 B ．12k > C ．12k ≥且k≠1 D ．12k < ）9．如图，△DEF 是由△ABC 绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是（ ）A ．（1，1）B ．（0，1）C ．（﹣1，1）D ．（2，0） 10．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个11．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m ，另一边减少了2m ，剩余空地的面积为18m 2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm ，则可列方程为（ ）A ．（x+1）（x+2）=18B ．x 2﹣3x+16=0C ．（x ﹣1）（x ﹣2）=18D ．x 2+3x+16=0 [12．如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，AB ＝10，AC CD DB ==，点E 是点D 关于AB 的对称点，M 是AB 上的一动点，下列结论：①∠BOE ＝60°；②∠CED ＝12∠DOB ；③DM ⊥CE ；④CM ＋DM 的最小值是10，上述结论中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为米.14．写出一个二次函数的解析式，且它的图像开口向下，顶点在y 轴上______________ 15．如图，△ODC 是由△OAB 绕点O 顺时针旋转40°后得到的图形，若点D 恰好落在AB 上，且∠AOC=105°，则∠C= __．￥16．请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与y 轴的交点坐标为(0,3).此二次函数的解析式可以是______________17．在一个不透明的口袋中装有3个红球，1个白球，他们除了颜色外，其余均相同，若把它们搅匀后从中任意摸一个球，则摸到白球的可能性是 _________.18．小蕾有某文学名著上、中、下各1册，她随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是____________．19．如图所示过原点的抛物线是二次函数2231y ax ax a =-+-的图象，那么a 的值是_____．20．一元二次方程x2=3x的解是：________．三、解答题21．某商家在购进一款产品时，由于运输成本及产品成本的提高，该产品第x 天的成本y （元/件）与x（天）之间的关系如图所示，并连续 60 天均以 80 元/件的价格出售，第x 天该产品的销售量z（件）与x（天）满足关系式z＝x+15．…（1）第 25 天，该商家的成本是元，获得的利润是元；（2）设第x 天该商家出售该产品的利润为w 元．①求w 与x 之间的函数关系式；②求出第几天的利润最大，最大利润是多少22．在2017年“KFC”篮球赛进校园活动中，某校甲、乙两队进行决赛，比赛规则规定：两队之间进行3局比赛，3局比赛必须全部打完，只要赢满2局的队为获胜队，假如甲、乙两队之间每局比赛输赢的机会相同，且乙队已经赢得了第1局比赛，那么甲队获胜的概率是多少（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）23．关于x的一元二次方程2210++-=有两个不相等的实数根．x x k（1）求k的取值范围；~（2）当k为正整数时，求此时方程的根．24．某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：y=﹣2x+80（20≤x≤40），设这种健身球每天的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数关系式；（2）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大最大利润是多少元（3）如果物价部门规定这种健身球的销售单价不高于28元，该商店销售这种健身球每天要获得150元的销售利润，销售单价应定为多少元25．小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y （件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．（1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润每月的最大利润是多少—（3）如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元（成本＝进价×销售量）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B—解析：B【解析】分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．详解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形；B．是轴对称图形，也是中心对称图形；C．是轴对称图形，不是中心对称图形；D．是轴对称图形，不是中心对称图形．故选B．￥点睛：本题考查了中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．2．D解析：D【解析】过B作⊙O的直径BM，连接AM，则有：∠MAB=∠CDB=90°，∠M=∠C，∴∠MBA=∠CBD，过O作OE⊥AB于E，：Rt△OEB中，BE=12AB=4，OB=5，由勾股定理，得：OE=3，∴tan∠MBA=OEBE=34，因此tan∠CBD=tan∠MBA=34，故选D．3．C解析：C>【解析】【分析】根据中心对称图形的定义即可解答．【详解】解：A、属于轴对称图形，不是中心对称的图形，不合题意；B、是中心对称的图形，但不是交通标志，不符合题意；C、属于轴对称图形，属于中心对称的图形，符合题意；D、不是中心对称的图形，不合题意．）故选C．【点睛】本题考查中心对称图形的定义：绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合．4．D解析：D【解析】【分析】六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm，根据草坪的面积是570m2，即可列出方程．;【详解】解：设道路的宽为xm，根据题意得：（32-2x）（20-x）=570，故选D．【点睛】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程．5．D解析：D【解析】%根据题意旋转角为∠ABA1，由∠ABC=60°，∠C=90°，A、B、C1在同一条直线上，得到∠ABA 1=180°-∠A 1BC 1=180°-60°=120°解：旋转角为∠ABA 1，∵∠ABC=60°，∠C=90°，∴∠ABA 1=180°-∠A 1BC 1=180°-60°=120°；故答案为D点评：本题考查了弧长的计算公式：l=n R 180π，其中l 表示弧长，n 表示弧所对的圆心角的度数． 6．B解析：B【解析】;试题分析：若此函数与x 轴有交点，则2(3)21=0k x x -++，Δ≥0，即4-4(k-3)≥0,解得：k≤4,当k=3时，此函数为一次函数，题目要求仍然成立，故本题选B.考点：函数图像与x 轴交点的特点.7．C解析：C【解析】【分析】根据题意，利用分类讨论的方法，讨论k ＞0和k ＜0，函数y=kx 2与y=kx+k 的图象，从而可以解答本题．【详解】*当k ＞0时，函数y=kx 2的图象是开口向上，顶点在原点的抛物线，y=kx+k 的图象经过第一、二、三象限，是一条直线，故选项A 、B 均错误，当k ＜0时，函数y=kx 2的图象是开口向下，顶点在原点的抛物线，y=kx+k 的图象经过第二、三、四象限，是一条直线，故选项C 正确，选项D 错误，故选C ．【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．8．A>解析：A【解析】【分析】由根的判别式求出k 的取值范围，再结合一元二次方程的定义，即可得到答案．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2(1)220k x x -+-=有两个不相等的实数根，∴224(1)(2)0k ∆=-⨯-⨯->，解得：12k >， ) ∵10k -≠，则1k ≠，∴k 的取值范围是12k >且k≠1； 故选：A ．【点睛】本题考查了利用根的判别式求参数的取值范围，以及一元二次方程的定义，解题的关键是正确求出k 的取值范围． 9．B解析：B【解析】$根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，可知，只要连接两组对应点，作出对应点所连线段的两条垂直平分线，其交点即为旋转中心．解：如图，连接AD 、BE ，作线段AD 、BE 的垂直平分线，两线的交点即为旋转中心O ′.其坐标是(0,1).故选B..10．B解析：B]【解析】分析：根据圆中的有关概念、定理进行分析判断．解答：解：①经过圆心的弦是直径，即直径是弦，弦不一定是直径，故正确；②当三点共线的时候，不能作圆，故错误；③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故正确；④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故正确．故选B ．11．C~解析：C【解析】【分析】【详解】试题分析：可设原正方形的边长为xm ，则剩余的空地长为（x ﹣1）m ，宽为（x ﹣2）m ．根据长方形的面积公式列方程可得()()-1-2x x =18．故选C ．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．12．C；解析：C【解析】【分析】【详解】解：∵弧AC=弧CD=弧DB ，∴∠DOB=∠COD=∠BOE=60°，故①正确；∵AB 为直径，且点E 是点D 关于AB 的对称点|∴∠E=∠ODE ，AB ⊥DE∴∠CED =30°=12∠DOB ， 故②正确；∵M 和A 重合时，∠MDE=60°，∴∠MDE+∠E=90°∴DM ⊥CE故③不正确；根据轴对称的性质，可知D 与E 对称，连接CE ，根据两点之间线段最短，可知这时的CM+DM 最短，?∵∠DOB=∠COD=∠BOE=60°∴CE 为直径，即CE=10，故④正确.故选C.【点睛】本题考查了圆周角定理，圆中的有关计算问题和图形的轴对称的应用，关键是熟练地运用定理进行推理和计算，题型较好，综合性比较强，但难度不大．二、填空题@13．5【解析】【分析】根据题意运用待定系数法建立适当的函数解析式代入求值即可解答【详解】以左边树与地面交点为原点地面水平线为x 轴左边树为y 轴建立平面直角坐标系由题意可得A(025)B(225)C(051解析：5【解析】【分析】根据题意，运用待定系数法，建立适当的函数解析式，代入求值即可解答．【详解】以左边树与地面交点为原点，地面水平线为x 轴，左边树为y 轴建立平面直角坐标系，}由题意可得A (0,,B (2,,C ,1)设函数解析式为y =ax 2+bx +c把A. B. C 三点分别代入得出c =同时可得4a +2b +c =，++c =1解得a =2，b =−4，c =.∴y =2x 2−4x +=2(x −1)2+.∵2>0∴当x =1时,y min =米.*14．【解析】【分析】由题意可知：写出的函数解析式满足由此举例得出答案即可【详解】解：设所求二次函数解析式为：∵图象开口向下∴∴可取∵顶点在轴上∴对称轴为∴∵顶点的纵坐标可取任意实数∴取任意实数∴可取∴二 解析：2y x =-【解析】【分析】由题意可知：写出的函数解析式满足0a <、02b a-=，由此举例得出答案即可． 【详解】解：设所求二次函数解析式为：2y ax bx c =++∵图象开口向下？∴0a <∴可取1a =-∵顶点在y 轴上∴对称轴为02b x a =-= ∴0b =∵顶点的纵坐标可取任意实数∴c 取任意实数∴c 可取0}∴二次函数解析式可以为：2y x =-． 故答案是：2y x =-【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，涉及到的知识点有：二次函数2y ax bx c =++的顶点坐标为24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；对称轴为2b x a =-；当0a >时，抛物线开口向上、当0a <时，抛物线开口向下；二次函数的图象与y 轴交于()0,c ．15．【解析】【分析】先根据∠AOC 的度数和∠BOC 的度数可得∠AOB 的度数再根据△AOD 中AO=DO 可得∠A 的度数进而得出△ABO 中∠B 的度数可得∠C 的度数【详解】解：∵∠AOC 的度数为105°由旋转可解析：45︒【解析】【分析】%先根据∠AOC 的度数和∠BOC 的度数，可得∠AOB 的度数，再根据△AOD 中，AO=DO ，可得∠A 的度数，进而得出△ABO 中∠B 的度数，可得∠C 的度数．【详解】解：∵∠AOC 的度数为105°，由旋转可得∠AOD=∠BOC=40°，∴∠AOB=105°-40°=65°，∵△AOD 中，AO=DO ，∴∠A=12（180°-40°）=70°， ∴△ABO 中，∠B=180°-70°-65°=45°，;由旋转可得，∠C=∠B=45°，故答案为：45°．【点睛】本题考查旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用旋转的性质解答．16．【解析】【分析】根据二次函数图像和性质得a0c=3即可设出解析式【详解】解：根据题意可知a0c=3故二次函数解析式可以是【点睛】本题考查了二次函数的性质属于简单题熟悉概念是解题关键解析：223,y x =-+【解析】【分析】*根据二次函数图像和性质得a <0,c=3,即可设出解析式.【详解】解：根据题意可知a <0,c=3,故二次函数解析式可以是2y 2x 3,=-+【点睛】本题考查了二次函数的性质,属于简单题,熟悉概念是解题关键. 17．【解析】【分析】先求出袋子中球的总个数及白球的个数再根据概率公式解答即可【详解】∵在一个不透明的口袋中装有3个红球1个白球共4个球∴任意摸出1个球摸到白球的概率是【点睛】本题考查了概率公式解题的关键 解析：14 ~【解析】【分析】先求出袋子中球的总个数及白球的个数，再根据概率公式解答即可．【详解】∵在一个不透明的口袋中装有3个红球、1个白球，共4个球，∴任意摸出1个球，摸到白球的概率是14. 【点睛】本题考查了概率公式，解题的关键是熟练的掌握概率公式的知识点. ：18．【解析】【分析】画出树状图得出所有情况让从左向右恰好成上中下的情况数除以总情况数即为所求的概率【详解】画树状图如图：共有6个等可能的结果从上到下的顺序恰好为上册中册下册的结果有1个∴从上到下的顺序恰 解析：16【解析】【分析】画出树状图得出所有情况，让从左向右恰好成上、中、下的情况数除以总情况数即为所求的概率．【详解】画树状图如图：·共有6个等可能的结果，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的结果有1个， ∴从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率为16， 故答案为：16． 【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比． 19．-1【解析】∵抛物线过原点∴解得又∵抛物线开口向下∴解析：-1【解析】）∵抛物线2231y ax ax a =-+-过原点，∴210a -=，解得1a =±，又∵抛物线开口向下，∴1a =-.20．x1=0x2=3【解析】【分析】先移项然后利用因式分解法求解【详解】x2=3xx2-3x=0x(x-3)=0x=0或x-3=0∴x1=0x2=3故答案为：x1=0x2=3【点睛】本题考查了解一元二次解析：x 1=0，x 2=3【解析】【分析】、先移项，然后利用因式分解法求解．【详解】x 2=3xx 2-3x=0，x(x-3)=0，x=0或x-3=0，∴x 1=0，x 2=3．故答案为：x 1=0，x 2=3、【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0，再把方程左边分解为两个一次式的乘积，这样原方程转化为两个一元一次方程，然后解一次方程即可得到一元二次方程的解三、解答题21．（1）35，1800；（2）①250750(020)551050(2060)x x w x x x +<≤⎧=⎨-++<≤⎩；②第27或28天的利润最大，最大为1806元．【解析】【分析】（1）根据已知条件可知第25天时的成本为35元，此时的销售量为40，则可求得第25天的利润．?（2）①利用每件利润×总销量＝总利润，分当0＜x≤20时与20＜x≤60时，分别列出函数关系式；②利用一次函数及二次函数的性质即可解答．【详解】解：（1）由图象可知，此时的销售量为z ＝25＋15＝40（件），设直线BC 的关系为y ＝kx ＋b ，将B （20,30）、C （60,70）代入得：20306070k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：k=1，b=10， ∴y ＝x ＋10，∴第 25 天，该商家的成本是y=25+10=35（元）:则第25天的利润为：（80−35）×40＝1800（元）；故答案为：35，1800；（2）①当0＜x≤20时，(8030)(15)50750w x x =-+=+；当20＜x≤60时，2[80(10)](15)551050w x x x x =-++=-++，∴ 250750(020)551050(2060)x x w x x x +<≤⎧=⎨-++<≤⎩ ②当0＜x≤20时，∵50＞0，w 随x 的增大而增大，∴当x=20时，w=50×20+750=1750（元），当20＜x≤60时，2551050w x x =-++，：∵-1＜0，抛物线开口向下，对称轴为552x =， 当x=27与x=28时，227552*********w =-+⨯+=（元）∵1806＞1750，∴第27或28天的利润最大，最大为1806元．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题，常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．根据每天的利润＝一件的利润×销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．22．14【解析】、【分析】根据甲队第1局胜画出第2局和第3局的树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．【详解】根据题意画出树状图如下：一共有4种情况，确保两局胜的有1种，所以，P =14 ． 考点：列表法与树状图法．23．（1）k ＜2（2）120,2x x ==-<【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系列出不等式即可求出k 的取值范围； （2）根据（1）中的k 的取值范围和k 为正整数得出k 的值，再解方程即可，【详解】（1）∵关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴()22410k ∆=-->， =8－4k >0.，>∴2k <；（2）∵k 为正整数，∴k =1，解方程220x x +=得，120,2x x ==-．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程.利用一元二次方程根的判别式与根的关系列出不等式是解题的关键.24．（1）w 与x 的函数关系式为w=-2x 2+120x-1600.（2）销售单价定为30元时,每天销售利润最大,最大销售利润200元.（3）该商店销售这种健身球每天想要获得150元的销售利润,销售单价定为25元.【解析】试题分析：（1）用每件的利润()20x -乘以销售量即可得到每天的销售利润，即()()()2020280w x y x x =-=--+，然后化为一般式即可；（2）把（1）中的解析式进行配方得到顶点式()2230200y x =--+，然后根据二次函数的最值问题求解；（3）求函数值为150所对应的自变量的值，即解方程()2230200150x --+=，然后利用销售价不高于每件28元确定x 的值．试题解析：（1）根据题意可得：()20w x y =-⋅, ()()20280x x =--+,221201600x x =-+-，w 与x 之间的函数关系为：221201600w x x =-+-；（2）根据题意可得：()2221201*********w x x x =-+-=--+，∵20-<，∴当30x =时，w 有最大值，w 最大值为200.答：销售单价定为30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元.（3）当150w =时，可得方程()2230200150x --+=.解得1225,35x x ==，∵3528>，∴235x =不符合题意，应舍去.答：该商店销售这种健身球每天想要获得150元的销售利润，销售单价定为25元. 25．（1）21070010000w x x =-+-（20≤x≤32）；（2）当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元；（3）3600．【解析】【分析】（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润=（定价﹣进价）×销售量，从而列出关系式；（2）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可；（3）根据抛物线的性质和图象，求出每月的成本．【详解】解：（1）由题意，得：w=（x ﹣20）•y=（x ﹣20）•（﹣10x+500）=21070010000x x -+-，即21070010000w x x =-+-（20≤x≤32）；（2）对于函数21070010000w x x =-+-的图象的对称轴是直线x=7002(10)-⨯-=35． 又∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下．∴当20≤x≤32时，W 随着X 的增大而增大，∴当x=32时，W=2160答：当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元． （3）取W=2000得，210700100002000x x -+-=解这个方程得：1x =30，2x =40．∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下，∴当30≤x≤40时，w≥2000．∵20≤x≤32，∴当30≤x≤32时，w≥2000．设每月的成本为P （元），由题意，得：P=20（﹣10x+500）=﹣200x+10000 ∵k=﹣200＜0，∴P 随x 的增大而减小，∴当x=32时，P 的值最小，P 最小值=3600．答：想要每月获得的利润不低于2000元，小明每月的成本最少为3600元． 考点：1．二次函数的应用；2．最值问题；3．二次函数的最值．。
北京市昌平区融合学区(第三组)2023-2024学年九年级上学期期中数学试题
北京市昌平区融合学区（第三组）2023 - 2024学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．B．C．D．BF11916二、填空题124．抛物线()21y x m x m =-+-+．(1)求证：无论m 为何值，这条抛物线都与x 轴至少有一个交点；(2)求它与x 轴交点坐标A ，B 和与y 轴的交点C 的坐标；（用含m 的代数式表示点坐标） (3)当3ABC S =△，求抛物线的解析式．25．材料1：昌平南环大桥是经典的悬索桥，当今大跨度桥梁大多采用此种结构．此种桥梁各结构的名称如图1所示，其建造原理是在两边高大的桥塔之间，悬挂着主索，再以相应的间隔，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面，承接桥面的重量，主索的几何形态近似符合地物线．材料2：如图2，某一同类型悬索桥，两桥塔10m AD BC ==，间距AB 为32m ，桥面AB 水平，主索最低点为点P ，点P 距离桥面为2m ．(1)建立适当的平面直角坐标系，并求出主索抛物线的解析式；(2)若距离点P 水平距离为8m 处有两条吊索需要更换，求这两条吊索的总长度． 26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝x 2﹣2ax +a 2﹣1，P （x 1，m ），Q （x 2，m ）（x 1＜x 2）是此抛物线上的两点． （1）若a ＝1， ①求抛物线顶点坐标； ②若2x 2﹣x 1＝7，求m 的值；（2）若存在实数b ，使得x 1≤b ﹣3，且x 2≥b +7成立，则m 的取值范围是 ． 27．如图，在等边△ABC 中，作45ACD ABD ∠=∠=︒，边CD 、BD 交于点D ，连接AD .。
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北京市昌平区2020届九年级上学期期中考试数学试题
一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）
下列各题均有四个选项，其中只有一个．．
是符合题意的． 1．如右图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC =4，BC =3，则sin B 的值等于 A ．
4
3
B ．
3
4
C ．35
D ．4
5
第1题 第4题 第5题 2．二次函数()2
57y x =-+的最小值是 A ．7-
B ．7
C ．5-
D ．5
3．已知⊙O 的半径是4，OP 的长为3，则点P 与⊙O 的位置关系是 A ．点P 在圆内
B ．点P 在圆上
C ．点P 在圆外
D ．不能确定
4． 三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则cos 的值是 A ．
B ．
C ．
D ．
5．如图所示，C 是⊙O 上一点，若40C ∠=︒，则∠AOB 的度数为 A. 20°
B.40°
C. 80°
D. 140°
6．如图，河堤横断面迎水坡 的坡度是
，
堤高 ，则坡面 的长度是 A.
B.
C.
D.
7．若函数2
2y x x m =++的图象与x 轴没有交点，则m 的取值范围是
A ．m ＞1
B ．m ＜1
C ．m ≤1
D ．m =1 8．如图，△ABC 内接于⊙O ，BD 是⊙O 的直径．若 33=∠DBC ， 则A ∠等于
A ．33
B ．57
C ．66
D ．67
α4334535
4
C
B
A
y
x
二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）
9．如果3cos 2
A =
，那么锐角A 的度数为______.
10．如右图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 是BC 延长线上一点， 的度数是 .
11．一个扇形的半径为6㎝，圆心角为900
，则这个扇形的弧长为_______，这个面积为 ． 12．将抛物线2
5x y =先向右平移3个单位，再向下平移4个单位，可以得到新的抛物线是_______________________
13．比较大小：cos 45∘ cos 55∘（用“>”或“<”填空）．
14．若 ⊙O 的弦 OO 所对的圆心角为80°，则弦 OO 所对的圆周角的度数是_________
15．二次函数c bx x y ++-=2
的部分图象如图所示，由图象可知，
不等式02
<++-c bx x 的解集为___________________. 16．⊙O 的直径为10cm ，弦AB ∥CD ，且AB = 8cm ，CD = 6cm ， 则弦AB 与CD 之间的距离为 ．
三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）
17．计算：︒⋅︒-︒+︒30cos 60tan 230tan 345sin 2
18．如图，在⊙O 中，弦AC 与BD 交于点E ，AB =8，AE =6，ED =4， 求CD 的长．
19．如图所示，在中，
，垂足是．若
，
，
．
求的值．
O
E
D
B
A C
O
E
D
C B
A
20．《九章算术》中记载了这样一道题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的语言表述为：“如果AB 为⊙O 的直径，弦
CD AB ⊥于E ，1AE =寸，10CD =寸，那么直径AB 的长为多少寸？”请你补全示意
图，并求出AB 的长．
21．如果二次函数y=ax 2
+bx+c 的图象经过点（1,0），（2,-1），（0，3）， （1）求二次函数解析式，
（2）写出二次函数的对称轴和顶点坐标.
22．如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 过BC 的中点D ，DE ⊥AC 于E ，求证：△BDA ∽△CED.
四、解答题（共4道小题，每小题6分，共24分） 23．如图，一次函数y kx b =+与反比例函数m
y x
=的图象交于A （2，1），B （-1，n ）两点. （1）反比例函数和一次函数的解析式； （2）结合图象直接写出不等式0m
kx b x
+->的解集.
C
24．“永定楼”是门头沟区的地标性建筑，某中学九年级数学兴趣小组进行了测量它高度的 社会实践活动．如图，他们在A 点测得顶端D 的仰角∠DAC =30°，向前走了46米到达B 后，在B 点测得顶端D 的仰角∠DBC =45°．求永定楼的高度CD ．（结果保留根号）
25．某工厂设计了一款产品，成本为每件20元．投放市场进行试销，经调查发现，该种产品每天的销售量y （件）与销售单价x （元）之间满足280y x =-+ （20≤x ≤40），设销售这种产品每天的利润为W （元）.
（1）求销售这种产品每天的利润W （元）与销售单价x （元）之间的函数表达式. （2）当销售单价定为多少元时, 每天的利润最大？最大利润是多少元？
26．【问题学习】小芸在小组学习时问小娟这样一个问题：已知α为锐角，且sin α=1
3，
求sin2α的值．
小娟是这样给小芸讲解的：
如图1，在⊙O 中，AB 是直径，点C 在⊙O 上，所以∠ACB =90°. 设∠BAC =α，则sin α=
BC AB
=1
3
．易得∠BOC =2α．设BC =x ，则AB =3x ，则AC
=．作CD ⊥AB 于D ，求出
CD = （用含x 的式子表示），可求得sin2α=CD OC
= ．
【问题解决】已知，如图2，点M ，N ，P 为⊙O 上的三点，且∠P =β，sin β=3
5
，求sin2β
的值.
B
D
C A
图A
图1
图2
五、解答题（共2道小题，各7分，共14分）
27．已知抛物线y =x 2+(a −2)x −2a（a 为常数，且a>0）. （
1）求证：抛物线与x 轴有两个公共点；
（2）设抛物线与x 轴的两个公共点分别为A ，B （A 在B 左侧），与y 轴的交点为C. 当AC=2√5时，求抛物线的表达式.
28．在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，P 是坐标系内任意一点，点P 到⊙O 的距离P S 的定义如下：若点P 与圆心O 重合，则P S 为⊙O 的半径长；若点P 与圆心O 不重合，作射线OP 交⊙O 于点A ，则P S 为线段AP 的长度．
图1为点P 在⊙O 外的情形示意图．
（1）若点()0,1B ，()1,1C ，⎪⎭
⎫ ⎝⎛31,0D ，则=B S ___；=C S ___；=D S ___； （2）若直线b x y +=上存在点M ，使得2M S =，求b 的取值范围；
（3）已知点P ，Q 在x 轴上，R 为线段PQ 上任意．．
一点．若线段PQ 上存在一点T ，满足T 在⊙O 内．且R T S S ≥，直接写出满足条件的线段PQ 长度的最大值．
图1 备用图2
北京市昌平区2020届初三上学期期中考试数学试题（答案）
二、填空题：
9．30°. 10. 105° 11. 3π，9π 12. y=5(x-3)2-4 13. ＞ 14. 40°，140° 15. X<-1, x>5 16. 1，7
17. √2+√3−3
18. CD=16/3
19. 12/13
20. 26
21. (1)y=x2-4x+3 (2)对称轴x=2，顶点（2，-1）
22.略
23.(1) y=2/x， y=x-1; (2)-1<x<0，x>2
24. 23√3+23
25.(1)w=-2x2+120x-1600; (2)30元，最大利润200元
26. 2√2
3x; 4√2
9
; 24/25
27(1)略
(2)y=x2-4
28.(1) 0, , 2/3;
(2)−3√2≤b≤3√2;
(3)4。