中考数学复习探索二次函数综合题解题技巧四二次函数与特殊三角形的探究问题练习无答案鲁教版
二次函数与三角形的综合-中考数学函数考点全突破
二次函数与三角形的综合-中考数学函数考点全突破一、考点分析：二次函数与三角形的综合解答题一般涉及到这样几个方面：1.三角形面积最值问题2.特殊三角形的存在问题包括等腰等边和直角三角形。
这类题目一般出现在压轴题最后两道上，对知识的综合运用要求比较高。
一解决此类题目的基本步骤与思路1.抓住目标三角形，根据动点设点坐标2.根据所设未知数去表示三角形的底和高，一般常用割补法去求解三角形的面积从而得出面积的关系式3.根据二次函数性质求出最大值.4.特殊三角形问题首先要画出三角形的大概形状，分类讨论的去研究。
例如等腰三角形要弄清楚以哪两条边为要，直角三角形需要搞清楚哪个角作为直角都需要我们去分类讨论。
注意事项：1.简单的直角三角形可以直接利用底乘高进行面积的表示2.复杂的利用“补”的方法构造矩形或者大三角形，整体减去部分的思想3.利用“割”的方法时，一般选用横割或者竖割，也就是做坐标轴的垂线。
4.利用点坐标表示线段长度时注意要用大的减去小的。
5.围绕不同的直角进行分类讨论，注意检验答案是否符合要求。
6.在勾股定理计算复杂的情况下，灵活的构造K字形相似去处理。
二、二次函数问题中三角形面积最值问题（一）例题演示1.如图，已知抛物线(a为常数，且a＞0)与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为﹣5．(1)求抛物线的函数表达式；(2)P为直线BD下方的抛物线上的一点，连接PD、PB,求△PBD面积的最大值．DBOAyxC解答：(1)抛物线令y＝0，解得x＝－2或x＝4，∴A(－2，0)，B(4，0)．∵直线经过点B(4，0)，∴，解得，∴直线BD解析式为：当x＝－5时，y＝3，∴D(－5，3)∵点D(－5，)在抛物线上，∴，∴．∴抛物线的函数表达式为：．(2)设P(m,)∴∴△BPD面积的最大值为．【试题精炼】2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），经过点A的直线l：与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且．（1）直接写出点A的坐标，并用含a的式子表示直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）.（2）点E为直线l下方抛物线上一点，当△ADE的面积的最大值为时，求抛物线的函数表达式；HF解答：1）A（－1，0）∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为4∴，∴.∴直线l的函数表达式为y＝ax＋a（2）过点E作EH∥y轴，交直线l于点H设E（x，ax2－2ax－3a），则H（x，ax＋a）.∴∴.∴△ADE的面积的最大值为，∴，解得.∴抛物线的函数表达式为.【中考链接】3.如图，直线l：y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；解答：（1）令x=0代入y=﹣3x+3，∴y=3，∴B（0，3），把B （0，3）代入y=ax2﹣2ax+a+4，∴3=a+4，∴a=﹣1，∴二次函数解析式为：y=﹣x2+2x+3；（2）令y=0代入y=﹣x2+2x+3，∴0=﹣x2+2x+3，∴x=﹣1或3，∴抛物线与x轴的交点横坐标为﹣1和3，∴S=DM•BE+DM•OE=DM（BE+OE）=DM•OB=××3==（m﹣）2+∵0＜m＜3，∴当m=时，S有最大值，最大值为；二、二次函数问题中直角三角形问题（一）例题演示如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．解答：（1）依题意得：，解得，∴抛物线解析式为.把B（，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n，得，解得，∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3；（2）设P（，t），又∵B（－3，0），C（0，3），∴BC2=18，PB2=（+3）2+t2=4+t2，PC2=（）2+（t－3）2=t26t+10，①若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t2－6t+10解得：t=；②若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2即：18+t2－6t+10=4+t2解得：t=4，③若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2即：4+t2+t2－6t+10=18解得：，.综上所述P的坐标为（，）或（，4）或（，）或（，）．【试题精炼】如图，二次函数（其中a，m是常数，且a>0，m>0）的图象与x轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0，－3)，点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD．过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．（1）用含m的代数式表示a；（2）)求证：为定值；（3）设该二次函数图象的顶点为F．探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接CF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）以线段GF、AD、AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时点G的横坐标为－3m.【解析】试题分析：（1）将C点代入函数解析式即可求得.（2）令y=0求A、B的坐标，再根据，CD∥AB，求点D的坐标，由△ADM∽△AEN,对应边成比例，将求的比转化成求比，结果不含m即为定值.（3）连接FC并延长，与x轴负半轴的交点即为所求点G..过点F作FH⊥x轴于点H，在Rt△CGO和Rt△FGH中根据同角的同一个三角函数相等，可求OG（用m表示），然后利用勾股定理求GF和AD（用m表示），并求其比值，由（2）是定值，所以可得AD∶GF∶AE=3∶4∶5，由此可根据勾股定理逆定理判断以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，直接得点G的横坐标.试题解析：解：（1）将C （0，-3）代入函数表达式得，∴.（2）证明：如答图1，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N.由解得x1=－m，x2=3m．∴A(－m，0)，B(3m，0).∵CD∥AB，∴点D的坐标为（2m，－3）．∵AB平分∠DAE．∴∠DAM=∠EAN．∵∠DMA=∠ENA=900，∴△ADM∽△AEN,∴.设点E的坐标为（x,）,∴,∴x=4m.∴为定值.（3）存在，如答图2，连接FC并延长，与x轴负半轴的交点即为所求点G.由题意得：二次函数图像顶点F的坐标为（m，-4），过点F作FH⊥x轴于点H，在Rt△CGO和Rt△FGH 中,∵tan∠CGO＝,tan∠FGH＝,∴=．∴OG=“3m,“由勾股定理得，GF=，AD=∴.由（2）得，∴AD∶GF∶AE=3∶4∶5．∴以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时点G的横坐标为－3m.考点：1.二次函数综合题；2.定值和直角三角形存在性问题；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.二次函数的性质；5.勾股定理和逆定理；6相似三角形的判定和性质；7.锐角三角函数定义.【中考链接】如图所示，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC斜靠在两坐标轴上放在第二象限，点C的坐标为（－1，0）．B点在抛物线y＝x2＋x－2的图像上，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，且B点的横坐标为－3．(1)求BC所在直线的函数关系式．(2)抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解答：（1）∵C点坐标为（-1,0），∴BD=CO=1．∵B点的横坐标为-3，∴B点坐标为（-3,1）设BC所在直线的函数关系式为y=kx+b，则有，解得∴BC所在直线的函数关系式为y=x．（2）①若以为AC直角边，点C为直角顶点，如图所示，作CP1⊥AC，因为BC⊥AC，所以点P1为直线BC与对称轴直线的交点，即点P1的横坐标为-。
九年级数专题训练：二次函数综合(动点与三角形)问题方法与解析
二次函数综合（动点与三角形）问题一、知识准备：抛物线与直线形的结合表现形式之一是，以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能构成某些特殊三角形，有以下常见的基本形式。
（1）抛物线上的点能否构成等腰三角形；（2）抛物线上的点能否构成直角三角形；（3）抛物线上的点能否构成相似三角形；解决这类问题的基本思路：假设存在，数形结合，分类归纳，逐一考察。
二、例题精析㈠【抛物线上的点能否构成等腰三角形】例一．如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）求△ABC的面积；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标．考点：二次函数综合题专题：综合题．分析：（1）根据直线解析式求出点A及点B的坐标，然后将点A及点B的坐标代入抛物线解析式，可得出b、c的值，求出抛物线解析式；（2）由（1）求得的抛物线解析式，可求出点C的坐标，继而求出AC的长度，代入三角形的面积公式即可计算；（3）根据点M在抛物线对称轴上，可设点M的坐标为（﹣1，m），分三种情况讨论，①MA=BA，②MB=BA，③MB=MA，求出m的值后即可得出答案．解答：解：（1）∵直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，∴可得A（1，0），B（0，﹣3），把A、B两点的坐标分别代入y=x2+bx+c得：，解得：．∴抛物线解析式为：y=x2+2x﹣3．（2）令y=0得：0=x2+2x﹣3，解得：x1=1，x2=﹣3，则C点坐标为：（﹣3，0），AC=4，故可得S△ABC=AC×OB=×4×3=6．（3）抛物线的对称轴为：x=﹣1，假设存在M（﹣1，m）满足题意：讨论：①当MA=AB时，，解得：，∴M1（﹣1，），M2（﹣1，﹣）；②当MB=BA时，，解得：M3=0，M4=﹣6，∴M3（﹣1，0），M4（﹣1，﹣6），③当MB=MA时，，解得：m=﹣1，∴M5（﹣1，﹣1），答：共存在五个点M1（﹣1，），M2（﹣1，﹣），M3（﹣1，0），M4（﹣1，﹣6），M5（﹣1，﹣1）使△ABM为等腰三角形．点评：本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形的性质及三角形的面积，难点在第三问，注意分类讨论，不要漏解．㈡【抛物线上的点能否构成直角三角形】例二．如图，已知一次函数y=0.5x+2的图象与x轴交于点A，与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于y轴上的一点B，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）设一次函数y=0.5x+2的图象与二次函数y=ax2+bx+c的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且△PBD为直角三角形，求点P的坐标．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据y=0.5x+2交x轴于点A，与y轴交于点B，即可得出A，B两点坐标，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2．得出可设二次函数y=ax2+bx+c=a （x﹣2）2，进而求出即可；（2）根据当B为直角顶点，当D为直角顶点，以及当P为直角顶点时，分别利用三角形相似对应边成比例求出即可．解答：解：（1）∵y=0.5x+2交x轴于点A，∴0=0.5x+2，∴x=﹣4，与y轴交于点B，∵x=0，∴y=2∴B点坐标为：（0，2），∴A（﹣4，0），B（0，2），∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2∴可设二次函数y=a（x﹣2）2，把B（0，2）代入得：a=0.5∴二次函数的解析式：y=0.5x2﹣2x+2；（2）（Ⅰ）当B为直角顶点时，过B作BP1⊥AD交x轴于P1点由Rt△AOB∽Rt△BOP1∴=，∴=，得：OP1=1，∴P1（1，0），（Ⅱ）作P2D⊥BD，连接BP2，将y=0.5x+2与y=0.5x2﹣2x+2联立求出两函数交点坐标：D点坐标为：（5，4.5），则AD=，当D为直角顶点时∵∠DAP2=∠BAO，∠BOA=∠ADP2，∴△ABO∽△AP2D，∴=，=，解得：AP2=11.25，则OP2=11.25﹣4=7.25，故P2点坐标为（7.25，0）；（Ⅲ）当P为直角顶点时，过点D作DE⊥x轴于点E，设P3（a，0）则由Rt△OBP3∽Rt△EP3D得：，∴，∵方程无解，∴点P3不存在，∴点P的坐标为：P1（1，0）和P2（7.25，0）．点评：此题主要考查了二次函数综合应用以及求函数与坐标轴交点和相似三角形的与性质等知识，根据已知进行分类讨论得出所有结果，注意不要漏解．㈢【抛物线上的点能否构成相似三角形】例三．如图所示，直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，抛物线过点B、C和D（3，0）．（1）求直线BD和抛物线的解析式．（2）若BD与抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标．（3）在抛物线上是否存在点P，使S△PBD=6？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题．分析： （1）由待定系数法求出直线BD 和抛物线的解析式；（2）首先确定△MCD 为等腰直角三角形，因为△BND 与△MCD 相似，所以△BND 也是等腰直角三角形．如答图1所示，符合条件的点N 有3个；（3）如答图2、答图3所示，解题关键是求出△PBD 面积的表达式，然后根据S △PBD =6的已知条件，列出一元二次方程求解．解答： 解：（1）∵直线l ：y=3x+3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，∴A （﹣1，0），B （0，3）；∵把△AOB 沿y 轴翻折，点A 落到点C ，∴C （1，0）．设直线BD 的解析式为：y=kx+b ，∵点B （0，3），D （3，0）在直线BD 上，∴，解得k=﹣1，b=3，∴直线BD 的解析式为：y=﹣x+3．设抛物线的解析式为：y=a （x ﹣1）（x ﹣3），∵点B （0，3）在抛物线上，∴3=a ×（﹣1）×（﹣3），解得：a=1，∴抛物线的解析式为：y=（x ﹣1）（x ﹣3）=x 2﹣4x+3．（2）抛物线的解析式为：y=x 2﹣4x+3=（x ﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，﹣1）．直线BD ：y=﹣x+3与抛物线的对称轴交于点M ，令x=2，得y=1，∴M （2，1）．设对称轴与x 轴交点为点F ，则CF=FD=MN=1，∴△MCD 为等腰直角三角形．∵以点N 、B 、D 为顶点的三角形与△MCD 相似，∴△BND 为等腰直角三角形．如答图1所示：（I ）若BD 为斜边，则易知此时直角顶点为原点O ，∴N1（0，0）；（II）若BD为直角边，B为直角顶点，则点N在x轴负半轴上，∵OB=OD=ON2=3，∴N2（﹣3，0）；（III）若BD为直角边，D为直角顶点，则点N在y轴负半轴上，∵OB=OD=ON3=3，∴N3（0，﹣3）．∴满足条件的点N坐标为：（0，0），（﹣3，0）或（0，﹣3）．（3）假设存在点P，使S△PBD=6，设点P坐标为（m，n）．（I）当点P位于直线BD上方时，如答图2所示：过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=n，DE=m﹣3．S△PBD=S梯形PEOB﹣S△BOD﹣S△PDE=（3+n）•m﹣×3×3﹣（m﹣3）•n=6，化简得：m+n=7 ①，∵P（m，n）在抛物线上，∴n=m2﹣4m+3，代入①式整理得：m2﹣3m﹣4=0，解得：m1=4，m2=﹣1，∴n1=3，n2=8，∴P1（4，3），P2（﹣1，8）；（II）当点P位于直线BD下方时，如答图3所示：过点P作PE⊥y轴于点E，则PE=m，OE=﹣n，BE=3﹣n．S△PBD=S梯形PEOD+S△BOD﹣S△PBE=（3+m）•（﹣n）+×3×3﹣（3﹣n）•m=6，化简得：m+n=﹣1 ②，∵P（m，n）在抛物线上，∴n=m2﹣4m+3，代入②式整理得：m2﹣3m+4=0，△=﹣7＜0，此方程无解．故此时点P不存在．综上所述，在抛物线上存在点P，使S△PBD=6，点P的坐标为（4，3）或（﹣1，8）．点评： 本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形的判定与性质、图形面积计算、解一元二次方程等知识点，考查了数形结合、分类讨论的数学思想．第（2）（3）问均需进行分类讨论，避免漏解．三、训练1．如图，已知抛物线y=﹣x 2+bx+4与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，若已知A 点的坐标为A （﹣2，0）．（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求点C 的坐标，连接AC 、BC 并求线段BC 所在直线的解析式；（3）试判断△AOC 与△COB 是否相似？并说明理由；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ACQ 为等腰三角形？若不存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，利用配方法或利用公式x=求出对称轴方程；（2）在抛物线解析式中，令x=0，可求出点C坐标；令y=0，可求出点B坐标．再利用待定系数法求出直线BD的解析式；（3）根据，∠AOC=∠BOC=90°，可以判定△AOC∽△COB；（4）本问为存在型问题．若△ACQ为等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类讨论，逐一计算，避免漏解．解答：解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+4的图象经过点A（﹣2，0），∴﹣×（﹣2）2+b×（﹣2）+4=0，解得：b=，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+4，又∵y=﹣x2+x+4=﹣（x﹣3）2+，∴对称轴方程为：x=3．（2）在y=﹣x2+x+4中，令x=0，得y=4，∴C（0，4）；令y=0，即﹣x2+x+4=0，整理得x2﹣6x﹣16=0，解得：x=8或x=﹣2，∴A（﹣2，0），B（8，0）．设直线BC的解析式为y=kx+b，把B（8，0），C（0，4）的坐标分别代入解析式，得：，解得k=，b=4，∴直线BC的解析式为：y=x+4．（3）可判定△AOC∽△COB成立．理由如下：在△AOC与△COB中，∵OA=2，OC=4，OB=8，∴，又∵∠AOC=∠BOC=90°，∴△AOC∽△COB．（4）∵抛物线的对称轴方程为：x=3，可设点Q（3，t），则可求得：AC===，AQ==，CQ==．i）当AQ=CQ时，有=，25+t2=t2﹣8t+16+9，解得t=0，∴Q1（3，0）；ii）当AC=AQ时，有=，t2=﹣5，此方程无实数根，∴此时△ACQ不能构成等腰三角形；iii）当AC=CQ时，有=，整理得：t2﹣8t+5=0，解得：t=4±，∴点Q坐标为：Q2（3，4+），Q3（3，4﹣）．综上所述，存在点Q，使△ACQ为等腰三角形，点Q的坐标为：Q1（3，0），Q2（3，4+），Q3（3，4﹣）．点评：本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形的判定、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点．难点在于第（4）问，符合条件的等腰三角形△ACQ 可能有多种情形，需要分类讨论．2 ：已知：直线112y x =+与y 轴交于A ，与x 轴交于D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 （1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）动点P 在x 轴上移动，当△P AE 是直角三角形时，求点P 的坐标．3、如图，抛物线212222y x x =-++与x 轴交于A B 、两点，与y 轴交于C 点．（1）求A B C 、、三点的坐标；（2）证明ABC △为直角三角形；（3）在抛物线上除C 点外，是否还存在另外一个点P ，使ABP △是直角三角形，若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．4、如图，已知抛物线224233y x x =-++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴与x 轴交于点D ． 点M 从O 点出发，以每秒1个单位长度的速度向B 运动，过M 作x 轴的垂线，交抛物线于点P ，交BC 于Q ．（1）求点B 和点C 的坐标；（2）设当点M 运动了x （秒）时，四边形OBPC 的面积为S ，求S 与x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围．（3）在线段BC 上是否存在点Q ，使得△DBQ成为以．BQ ．．为一腰．．．的等腰三角形？若存在， 求出点Q 的坐标，若不存在，说明理由．5、在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y=2(1)(0)a x c a ++>与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，其顶点为M,若直线MC 的函数表达式为3y kx =-,与x 轴的交点为N ，且COS ∠BCO ＝310。
二次函数综合题--二次函数与直角三角形有关的问题(解析版)-中考数学重难点题型专题汇总
二次函数综合题-中考数学重难点题型二次函数与直角三角形有关的问题（专题训练）1.（2022·山东滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--与x 轴相交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，连接,AC BC ．(1)求线段AC 的长；(2)若点Р为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA PC =时，求点P 的坐标；(3)若点M 为该抛物线上的一个动点，当BCM 为直角三角形时，求点M 的坐标．【答案】()11，-(3)()14-，或()25-，或⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭【分析】（1）根据解析式求出A ，B ，C 的坐标，然后用勾股定理求得AC 的长；（2）求出对称轴为x=1，设P （1，t ），用t 表示出PA 2和PC 2的长度，列出等式求解即可；（3）设点M（m,m 2-2m-3），分情况讨论，当222CM BC BM +=，222BM BC CM +=，222BM CM BC +=分别列出等式求解即可．(1)223y x x =--与x 轴交点：令y=0，解得121,3x x =-=，即A （-1，0），B （3，0），223y x x =--与y 轴交点：令x=0，解得y=-3，即C （0，-3），∴AO=1,CO=3,∴AC ==(2)抛物线223y x x =--的对称轴为：x=1，设P （1，t ），∴()()22221104PA t t =++-=+，()()()222210313PC t t =-++=++，∴24t +()213t =++∴t=-1，∴P （1，-1）；(3)设点M （m,m 2-2m-3），()()()()22222223230323BM m m m m m m =-+---=-+--，()()()222222202332CM m m m m m m =-+--+=+-，()()222300318BC =-++=,①当222CM BC BM +=时，()()()222222218323m m m m m m +-+=-+--，解得，10m =（舍），21m =，∴M （1，-4）；②当222BM BC CM +=时，()())222222323182m m m m m m-+--+=+-，解得，12m =-，23m =（舍），∴M （-2，5）；③当222BM CM BC +=时，()()()222222323218m m m m m m -+--++-=，解得，m =，∴M ⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭；综上所述：满足条件的M 为()14-，或()25-，或1522⎛+ ⎪ ⎪⎝⎭或1522⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了与坐标轴交点、线段求值、存在直角三角形等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想，属于中考压轴题．2.（2021·四川中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴分别交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，6），抛物线的顶点坐标为E （2，8），连结BC 、BE 、CE ．（1）求抛物线的表达式；（2）判断△BCE 的形状，并说明理由；（3）如图2，以C 为半径作⊙C ，在⊙C 上是否存在点P ，使得BP ＋12EP 的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=12-x 2+2x+6；（2）直角三角形，见解析；（3）存在，2【分析】（1）用待定系数法求函数解析式；（2）分别求出三角形三边的平方，然后运用勾股定理逆定理即可证明；（3）在CE 上截取CF=2（即CF 等于半径的一半），连接BF 交⊙C 于点P ，连接EP ，则BF 的长即为所求．【详解】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为E （2，8），∴设该抛物线的表达式为y=a （x-2）2+8，∵与y 轴交于点C （0，6），∴把点C （0，6）代入得：a=12-，∴该抛物线的表达式为y=12-x 2+2x+6；（2）△BCE 是直角三角形．理由如下：∵抛物线与x 轴分别交于A 、B 两点，∴当y=0时，12-（x-2）2+8=0，解得：x 1=-2，x 2=6，∴A （-2，0），B （6，0），∴BC 2=62+62=72，CE 2=（8-6）2+22=8，BE 2=（6-2）2+82=80，∴BE 2=BC 2+CE 2，∴∠BCE=90°，∴△BCE 是直角三角形；（3）如图，在CE 上截取CF=2（即CF 等于半径的一半），连接BF 交⊙C 于点P ，连接EP ，则BF 的长即为所求．连接CP ，∵CP 为半径，∴12CF CP CP CE ==，又∵∠FCP=∠PCE ，∴△FCP ∽△PCE ，∴12CF FP CP PE ==，FP=12EP ，∴BF=BP+12EP ，由“两点之间，线段最短”可得：BF 的长即BP+12EP 为最小值．∵CF=14CE ，E （2，8），∴F （12，132），∴2【点睛】本题考查二次函数综合，待定系数法，二次函数图象和性质，勾股定理及其逆定理，圆的性质，相似三角形的判定和性质等，题目综合性较强，属于中考压轴题，熟练掌握二次函数图象和性质，圆的性质，相似三角形的判定和性质等相关知识是解题关键．3.（2021·湖北中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()1,0A -和点B ，与y 轴交于点C ，顶点D 的坐标为()1,4-．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图1，若点P 在抛物线上且满足PCB CBD ∠=∠，求点P 的坐标；（3）如图2，M 是直线BC 上一个动点，过点M 作MN x ⊥轴交抛物线于点N ，Q 是直线AC 上一个动点，当QMN 为等腰直角三角形时，直接写出此时点M 及其对应点Q 的坐标【答案】（1）223y x x =--；（2）()14,5P ，257,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）154,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，154,93Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；2134,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2134,93Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭；(35,2M ，()35,12Q -；()42,1M -，()40,3Q -；()51,2M -，()50,3Q -；()67,4M ，()67,18Q -．【分析】（1）由()1,0A -和D ()1,4-，且D 为顶点列方程求出a 、b 、c ，即可求得解析式；（2）分两种情况讨论：①过点C 作1//CP BD ，交抛物线于点1P ，②在BC 下方作BCF BCE ∠=∠交BG 于点F ，交抛物线于2P ；（3）QMN 为等腰直角三角形，分三种情况讨论：当90QM MN QMN =∠=︒，；②当90QN MN QNM =∠=︒，；③当90QM QN MQN =∠=︒，．【详解】解：（1）将()1,0A -和D ()1,4-代入2y ax bx c=++得04a b c a b c -+=⎧⎨++=-⎩又∵顶点D 的坐标为()1,4-∴12ba-=-∴解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩∴抛物线的解析式为：223y x x =--．（2）∵()3,0B 和()1,4D -∴直线BD 的解析式为：26y x =-∵抛物线的解析式为：223y x x =--，抛物线与y 轴交于点C ，与x 轴交于点()1,0A -和点B，则C 点坐标为()0,3-，B 点坐标为()3,0．①过点C 作1//CP BD ，交抛物线于点1P ，则直线1CP 的解析式为23y x =-，结合抛物线223y x x =--可知22323x x x --=-，解得：10x =（舍），24x =，故()14,5P ．②过点B 作y 轴平行线，过点C 作x 轴平行线交于点G ，由OB OC =可知四边形OBGC 为正方形，∵直线1CP 的解析式为23y x =-∴1CP 与x 轴交于点3,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，在BC 下方作BCF BCE ∠=∠交BG 于点F ，交抛物线于2P ∴OCE FCG∠=∠又∵OC=CG ，90COE G ∠=∠=︒∴OEC △≌()GFC ASA ，∴32FG OE ==，33,2F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又由()0,3C -可得直线CF 的解析式为132y x =-，结合抛物线223y x x =--可知212332x x x --=-，解得10x =（舍），252x =，故257,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．综上所述，符合条件的P 点坐标为：()14,5P ，257,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（3）∵()3,0B ，()0,3C -∴直线BC 的解析式为3BC y x =-设M 的坐标为()3m m -，，则N 的坐标为()223m m m --，∴()22=3233MN m m m m m----=-∵()1,0A -，()0,3C -∴直线BC 的解析式为33AC y x =--∵QMN 为等腰直角三角形∴①当90QM MN QMN =∠=︒，时，如下图所示则Q 点的坐标为33m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴4=33m mQM m ⎛⎫--=⎪⎝⎭∴24=33mm m -解得：10m =（舍去），2133m =，353m =∴此时154,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，154,93Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；2134,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2134,93Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭；②当90QN MN QNM =∠=︒，则Q 点的坐标为222233m m m m ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，∴222=33m m m mQM m -+-=∴22=33m mm m +-解得：10m =（舍去），25m =，32m =∴此时()35,2M ，()35,12Q -；()42,1M -，()40,3Q -；③当90QM QN MQN =∠=︒，时，如图所示则Q 点纵坐标为()()22211113236=32222m m m m m m m -+--=----∴Q 点的坐标为22111136622m m m m ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，∴Q 点到MN 的距离=221151+6666m m m m m--=∴22511+=3662m m m m ⋅-（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）解得：10m =（舍去），27m =，31m =∴此时()51,2M -，()50,3Q -；()67,4M ，()67,18Q -．综上所述，点M 及其对应点Q 的坐标为：154,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，154,93Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；2134,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2134,93Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭；()35,2M ，()35,12Q -；()42,1M -，()40,3Q -；()51,2M -，()50,3Q -；()67,4M ，()67,18Q -．【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形．该题综合性较强，属于中考压轴题．4.（2021·湖北中考真题）抛物线22y ax bx b =-+（0a ≠）与y 轴相交于点()0,3C -，且抛物线的对称轴为3x =，D 为对称轴与x 轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）在x 轴上方且平行于x 轴的直线与抛物线从左到右依次交于E 、F 两点，若DEF 是等腰直角三角形，求DEF 的面积；（3）若()3,P t 是对称轴上一定点，Q 是抛物线上的动点，求PQ 的最小值（用含t 的代数式表示）．【答案】（1）263y x x =-+-；（2）4；（3）6(6)116(6)211()2t t PQ t t t ⎧⎪-≥⎪⎪=-<<⎨≤【分析】（1）与y 轴相交于点()0,3C -，得到3b =-，再根据抛物线对称轴，求得1a =-，代入即可．（2）在x 轴上方且平行于x 轴的直线与抛物线从左到右依次交于E 、F 两点，可知E 、F 两点关于对称轴对称，DEF 是等腰直角三角形得到45FED ∠=︒，设(,)(0)E m n n >，根据等腰直角三角形的性质求得E 点坐标，从而求得DEF 的面积．（3）(,)(6)Q p q q ≤，根据距离公式求得222(21)6PQ q t q t =-+++，注意到q 的范围，利用二次函数的性质，对t 进行分类讨论，从而求得PQ 的最小值．【详解】解：（1）由抛物线22y ax bx b =-+（0a ≠）与y 轴相交于点()0,3C -得到3b =-抛物线的对称轴为3x =，即232b a--=，解得1a =-∴抛物线的方程为263y x x =-+-（2）过点E 作EM AB ⊥交AB 于点M ，过点F 作FN AB ⊥，交AB 于点N ，如下图：∵DEF 是等腰直角三角形∴DE DF =，45FED ∠=︒又∵EF x ∥轴∴45EDM ∠=︒∴EMD 为等腰直角三角形∴EM DM=设(,)(0)E m n n >，则(,0)M m ，3,DM m EM n=-=∴3n m=-又∵263n m m =-+-∴2363m m m -=-+-2760m m -+=解得1m =或6m =当1m =时，2n =，符合题意，2,4DM EM MN ===142DEF S MN EM =⨯=△当6m =时，30n =-<，不符合题意综上所述：4DEF S = ．（3）设(,)(6)Q p q q ≤，Q 在抛物线上，则263q p p =-+-222222(3)()692PQ p q t p p q tq t =-+-=-++-+将263q p p =-+-代入上式，得222(21)6PQ q t q t =-+++当112t >时，2162t +>，∴6q =时，2PQ 最小，即PQ 最小22223612661236(6)PQ t t t t t =--++=-+=-PQ =6(6)6116(6)2t t t t t -≥⎧⎪-=⎨-<<⎪⎩当112t ≤时，2162t +≤，∴212t q +=时，2PQ 最小，即PQ 最小22344t PQ -=，2PQ =综上所述6(6)116(6)211()2t t PQ t t t ⎧⎪-≥⎪⎪=-<<⎨≤【点睛】此题考查了二次函数的对称轴、二次函数与三角形面积、等腰直角三角形的性质以及距离公5.（2020•泸州）如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx+c 经过A （﹣2，0），B （4，0），C （0，4）三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）经过点B 的直线交y 轴于点D ，交线段AC 于点E ，若BD ＝5DE ．①求直线BD 的解析式；②已知点Q 在该抛物线的对称轴l 上，且纵坐标为1，点P 是该抛物线上位于第一象限的动点，且在l 右侧，点R 是直线BD 上的动点，若△PQR 是以点Q 为直角顶点的等腰直角三角形，求点P 的坐标．【分析】（1）根据交点式设出抛物线的解析式，再将点C坐标代入抛物线交点式中，即可求出a，即可得出结论；（2）①先利用待定系数法求出直线AC的解析式，再利用相似三角形得出比例式求出BF，进而得出点E坐标，最后用待定系数法，即可得出结论；②先确定出点Q的坐标，设点P（x，−12x2+x+4）（1＜x＜4），得出PG＝x﹣1，GQ=−12x2+x+3，再利用三垂线构造出△PQG≌△QRH（AAS），得出RH＝GQ=−12x2+x+3，QH＝PG＝x﹣1，进而得出R（−12x2+x+4，2﹣x），最后代入直线BD的解析式中，即可求出x的值，即可得出结论．【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0），B（4，0），∴设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），将点C坐标（0，4）代入抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4）中，得﹣8a＝4，∴a=−12，∴抛物线的解析式为y=−12（x+2）（x﹣4）=−12x2+x+4；（2）①如图1，设直线AC的解析式为y＝kx+b'，将点A（﹣2，0），C（0，4），代入y＝kx+b'中，得−2k+b'=0b'=4，∴k=2b'=4，∴直线AC的解析式为y＝2x+4，过点E作EF⊥x轴于F，∴OD∥EF，∴△BOD∽△BFE，∴OB BF=BD BE，∵B（4，0），∴OB＝4，∵BD＝5DE，∴BD BE=BD BD+DE=5DE5DE+BE=56，∴BF=BE BD×OB=65×4=245，∴OF＝BF﹣OB=245−4=45，将x=−45代入直线AC：y＝2x+4中，得y＝2×（−45）+4=125，∴E（−45，125），设直线BD的解析式为y＝mx+n，∴4m+n=0−45m+n=125，∴m=−12n=2，∴直线BD的解析式为y=−12x+2；②∵抛物线与x轴的交点坐标为A（﹣2，0）和B（4，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∴点Q（1，1），如图2，设点P（x，−12x2+x+4）（1＜x＜4），过点P作PG⊥l于G，过点R作RH⊥l于H，∴PG＝x﹣1，GQ=−12x2+x+4﹣1=−12x2+x+3，∵PG⊥l，∴∠PGQ＝90°，∴∠GPQ+∠PQG＝90°，∵△PQR是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，∴PQ＝RQ，∠PQR＝90°，∴∠PQG+∠RQH＝90°，∴∠GPQ ＝∠HQR ，∴△PQG ≌△QRH （AAS ），∴RH ＝GQ =−12x 2+x+3，QH ＝PG ＝x ﹣1，∴R （−12x 2+x+4，2﹣x ），由①知，直线BD 的解析式为y =−12x+2，∴x ＝2或x ＝4（舍），当x ＝2时，y =−12x 2+x+4=−12×4+2+4＝4，∴P （2，4）．6.（2020·甘肃兰州?中考真题）如图，抛物线24y ax bx =+-经过A （－3，6），B （5，－4）两点，与y 轴交于点C ，连接AB ，AC ，BC ．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：AB 平分CAO ∠；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得ABM ∆是以AB 为直角边的直角三角形．若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）215466y x x =--；（2）详见解析；（3）存在，点M 的坐标为（52，－9）或（52，11）．【解析】【分析】（1）将A （-3，0），B （5，-4）代入抛物线的解析式得到关于a 、b 的方程组，从而可求得a 、b 的值；（2）先求得AC 的长，然后取D （2，0），则AD=AC ，连接BD ，接下来，证明BC=BD ，然后依据SSS 可证明△ABC ≌△ABD ，接下来，依据全等三角形的性质可得到∠CAB=∠BAD ；（3）作抛物线的对称轴交x 轴与点E ，交BC 与点F ，作点A 作AM′⊥AB ，作BM ⊥AB ，分别交抛物线的对称轴与M′、M ，依据点A 和点B 的坐标可得到tan ∠BAE=12，从而可得到tan ∠M′AE=2或tan ∠MBF=2FM 和M′E 的长，故此可得到点M′和点M 的坐标．【详解】解:（1）将A （-3，0），B （5，-4）两点的坐标分别代入，得9340,25544a b a b --=⎧⎨+-=-⎩，解得1,65,6a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故抛物线的表达式为y ＝215466y x x =--．（2）证明：∵AO=3，OC=4，∴．取D （2，0），则AD=AC=5．由两点间的距离公式可知=5．∵C （0，-4），B （5，-4），∴BC=5．∴BD=BC ．在△ABC 和△ABD 中，AD=AC ，AB=AB ，BD=BC ，∴△ABC ≌△ABD ，∴∠CAB=∠BAD ，∴AB 平分∠CAO ；（3x 轴与点E ，交BC 与点F ．抛物线的对称轴为x=52，则AE=112．∵A （-3，0），B （5，-4），∴tan ∠EAB=12．∵∠M′AB=90°．∴tan ∠M′AE=2．∴M′E=2AE=11，∴M′（52，11）．同理：tan ∠MBF=2．又∵BF=52，∴FM=5，∴M （52，-9）．∴点M 的坐标为（52，11）或（52，-9）．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，全等三角形的性质和判定、锐角三角函数的定义，求得FM 和M′E 的长是解题的关键7.（2020·内蒙古通辽?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点,A B ，与y 轴交于点C ，且直线6y x =-过点B ，与y 轴交于点D ，点C 与点D 关于x 轴对称．点P 是线段OB 上一动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M ，交直线BD 于点N ．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当MDB △的面积最大时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，在y 轴上是否存在点Q ，使得以,,Q M N 三点为顶点的三角形是直角三角形，若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）256y x x =-++；（2）（2，0）；（3）存在，（0，12）或（0，-4）或（0，4+）或（0，4-）.【解析】【分析】（1）根据直线6y x =-求出点B 和点D 坐标，再根据C 和D 之间的关系求出点C 坐标，最后运用待定系数法求出抛物线表达式；（2）设点P 坐标为（m ，0），表示出M 和N 的坐标，再利用三角形面积求法得出S △BMD =231236m m -++，再求最值即可；（3）分当∠QMN=90°时，当∠QNM=90°时，当∠MQN=90°时，三种情况，结合相似三角形的判定和性质，分别求解即可.【详解】解：（1）∵直线6y x =-过点B ，点B 在x 轴上，令y=0，解得x=6，令x=0，解得y=-6，∴B （6，0），D （0，-6），∵点C 和点D 关于x 轴对称，∴C （0，6），∵抛物线2y x bx c =-++经过点B 和点C ，代入，03666b c c =-++⎧⎨=⎩，解得：56b c =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的表达式为：256y x x =-++；（2）设点P 坐标为（m ，0），则点M 坐标为（m ，256m m -++），点N 坐标为（m ，m-6），∴MN=256m m -++-m+6=2412m m -++，∴S △BMD =S △MNB +S △MND =()2141262m m ⨯-++⨯=231236m m -++=-3（m-2）2+48当m=2时，S △BMD 最大=48，此时点P 的坐标为（2，0）；（3）存在，由（2）可得：M （2，12），N （2，-4），设点Q 的坐标为（0，n ），当∠QMN=90°时，即QM ⊥MN ，如图，可得，此时点Q 和点M 的纵坐标相等，即Q （0，12）；当∠QNM=90°时，即QN ⊥MN ，如图，可得，此时点Q 和点N 的纵坐标相等，即Q （0，-4）；当∠MQN=90°时，MQ⊥NQ，如图，分别过点M和N作y轴的垂线，垂足为E和F，∵∠MQN=90°，∴∠MQE+∠NQF=90°，又∠MQE+∠QME=90°，∴∠NQF=∠QME，∴△MEQ∽△QFN，∴ME EQQF FN=，即21242nn-=+，解得：n=4+或4-，∴点Q（0，4+）或（0，4-），综上：点Q的坐标为（0，12）或（0，-4）或（0，4+）或（0，4-）.【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的表达式，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，二次函数的最值，解一元二次方程，解题时要注意数形结合，分类讨论思想的运用.。
2020中考数学专题复习：二次函数与特殊三角形问题(含答案)
1.已知抛物线过A(－2，0)，B(0，2)，C(，0)三点．一动点P从原点出发以1个单位/(2)当BQ＝AP时，求t的值；∵抛物线经过A(－2，0)，B(0，2)，C(，0)三点，⎪⎩9a＋3b＋c＝0⎩c＝2∴抛物线的解析式为y＝－x2－x＋2.⎪22020中考数学三轮培优冲刺二次函数与特殊三角形问题（含答案）32秒的速度沿x轴正方向运动，连接BP，过点A作直线BP的垂线交y轴于点Q，设点P的运动时间为t秒．(1)求该抛物线的解析式；12(3)随着点P的运动，抛物线上是否存在一点M△，使MPQ为等边三角形？若存在，请直接写出t的值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax2＋b x＋c(a≠0)，32⎧4a－2b＋c＝0⎧a＝－3∴⎨c＝2，解得⎨b＝－1，3422133(2)如解图①，当t≤2时，点Q在点B下方，第1题解图①∵AQ⊥PB，BO⊥AP，∴∠AOQ＝∠BOP＝90°，∠P AQ＝∠PBO，∵BQ ＝ AP , ∴2－t ＝ (2＋t)，解得 t ＝ ； ∵BQ ＝ AP ，∴t －2＝ (2＋t)，解得 t ＝6. 综上，当 t ＝2或 6 时，BQ ＝1AP . ⎪⎩ y ＝－ x 2－ x ＋2 ⎪y ＝1 ⎪y ＝－3 ⎪ ⎪ ∵AO ＝BO ＝2，∴△AOQ ≌△BOP(ASA)，∴OQ ＝OP ＝t ，BQ ＝BO －OQ ＝2－t ，AP ＝AO ＋OP ＝2＋t ，1 12 2 2 3如解图②，当 t ＞2 时，点 Q 在点 B 上方，第 1 题解图②同理可证△AOQ ≌△BOP ，∴OQ ＝OP ＝t ，BQ ＝OQ －BO ＝t －2，AP ＝AO ＋OP ＝2＋t ，1 12 23 2 (3)存在，当 t ＝ 3－1 时，抛物线上存在点 M (1，1)，当 t ＝3＋3 3时，抛物线上存在点M (－3，－3)．【解法提示】由(2)知 OP ＝OQ △，∴ OPQ 是等腰直角三角形，∵△MPQ 是等边三角形，∴点 M 在线段 PQ 的垂直平分线上，由于直线 PQ 的垂直平分线为直线 y ＝x ，又∵点 M 在抛物线上，∴联立抛物线与直线 y ＝x 可得,⎧y ＝x ⎧x ＝1 ⎧⎪x ＝－3 ⎨ 2 1 ，解得⎨ 或⎨ . 3 3∴M (1，1)或(－3，－3)．当 M (1，1)时，如解图③，过点 M 作 MD ⊥x 轴于点 D ，的第 1 题解图③则有 PD ＝|1－t|，MP 2＝1＋(1－t)2＝t 2－2t ＋2，PQ 2＝2t 2，∵△MPQ 是等边三角形，∴MP ＝PQ ，∴MP 2＝PQ 2 即 t 2－2t ＋2＝2t 2，解得 t 1＝ 3－1，t 2＝－ 3－1(舍去)；当 M (－3，－3)时，如解图④，过点 M 作 ME ⊥x 轴于点 E ，第 1 题解图④则有 PE ＝OE ＋OP ＝3＋t ，ME ＝3，PQ 2＝2t 2，∴MP 2＝(3＋t)2＋32＝t 2＋6t ＋18，∵△MPQ 是等边三角形，∴MP ＝PQ ，即 MP 2＝PQ 2，∴t 2＋6t ＋18＝2t 2，解得 t 1＝3 3＋3，t 2＝－3 3＋3(舍去)，综上所述，当 t ＝ 3－1 时，抛物线上存在点 M (1，1)，使得△ MPQ 是等边三角形；当 t ＝3 3＋3 时，抛物线上存在点 M (－3，－3)，使得△ MPQ 是等边三角形．2.如图，已知抛物线 y ＝ax 2＋b x ＋c(a ≠0) 对称轴为直线 x ＝－1，且经过 A(1，0)，C(0， 3)两点，与 x 轴的另一个交点为 B.(1)若直线 y ＝mx ＋n 经过 B ，C 两点，求抛物线和直线 BC 的解析式；(2)在抛物线的对称轴 x ＝－1 上找一点 M ，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小，求点 M 的坐标；(3)设点 P 为抛物线的对称轴 x ＝－1 上的一个动点，求使△ BPC 为直角三角形的点 P 的坐 标．a＋b＋c＝0，解得⎨b＝－2，⎪⎪b⎩⎩⎪⎪⎩⎩第2题图⎧－2a＝－1⎧a＝－1解：(1)由题意得⎨⎪c＝3⎪c＝3∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3.∵对称轴为直线x＝－1，抛物线经过A(1，0)，∴B(－3，0)．设BC的解析式y＝mx＋n，把B(－3，0)，C(0，3)分别代入y＝mx＋n得⎧－3m＋n＝0⎧m＝1⎨，解得⎨，⎪n＝3⎪n＝3∴直线BC的解析式为y＝x＋3；(2)如解图，连接MA，第2题解图∵MA＝MB，∴MA＋MC＝MB＋MC.∴使MA＋MC最小的点M应为直线BC与对称轴x＝－1的交点．设直线BC与对称轴x＝－1的交点为M，把x＝－1代入直线y＝x＋3，得y＝2.4＋t2＋t2－6t＋10＝18，解得t＝，t＝.综上所述，满足条件的点P共有四个，分别为：P(－1，－2)，P(－1，4)，P(－1，2)，P4(－1，⎪⎪⎩⎩∴M(－1，2);(3)设P(－1，t)，∵B(－3，0)，C(0，3)，∴BC2＝18，PB2＝(－1＋3)2＋t2＝4＋t2，PC2＝(－1)2＋(t－3)2＝t2－6t＋10.①若B为直角顶点，则BC2＋PB2＝PC2，即18＋4＋t2＝t2－6t＋10，解得t＝－2；②若C为直角顶点，则BC2＋PC2＝PB2，即18＋t2－6t＋10＝4＋t2，解得t＝4；③若P为直角顶点，则PB2＋PC2＝BC2，即：3＋173－171221233＋173－1722)．3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋b x＋c经过点A(0，－6)和点C(6，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线与x轴的负半轴交于点B，试判断△ABC的形状；(钝角三角形、直角三角形、锐角三角形)(3)抛物线上是否存在点P，使得△P AC是以AC为底的等腰三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．第3题图解：(1)将A、C两点坐标代入y＝x2＋b x＋c，⎧36＋6b＋c＝0⎧b＝－5得⎨，解得⎨，⎪c＝－6⎪c＝－6抛物线的解析式为y＝x2－5x－6；解得 x ＝－1，x ＝6(舍)， ∵k AC = 0 - (-6) = 1 ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ (2)当 y ＝0 时，则有 x 2－5x －6＝0，(x ＋1)(x －6)＝0，1 2∴B(－1，0)．由两点之间的距离公式可得：BC 2＝[(－1)－6]2＝49，AC 2＝(6－0)2＋[0－(－6)]2＝72，AB 2 ＝(－1－0)2＋[0－(－6)]2＝37，∵AB 2＋BC 2>AC 2，∴△ABC 为锐角三角形．(3)存在满足条件的点，使得△P AC 为等腰三角形理由：如解图，过线段 AC 的中点 M ，作 AC 的垂直平分线交抛物线于点 P ，直线 MP 与抛物线必有两个交点都是满足条件的点 P ，第 3 题解图∵A(0，－6)，C(6，0)，∴点 M 的坐标为(3，－3)，6 - 0，∴k MP =-1， 设直线 MP 的解析式为 y =-x +m ，将 M （3，-3）代入得-3=-3+m ，即 m =0，即直线 MP 的解析式为 y ＝－x ，⎧ y ＝－x ⎧ x 1＝2－ 10 ⎧⎪ x 2＝2＋ 10 联立⎨ ，解得⎨ 或⎨ ， ⎪ y ＝x 2－5x －6 ⎪ y 1＝ 10－2 ⎪⎩ y 2＝－2－ 10∴点 P 的坐标为(2－ 10， 10－2)或(2＋ 10，－2－ 10)．⎪⎪⎩⎩4.如图，抛物线y＝x2＋b x＋c与x轴交于A、B两点，B点坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线的解析式；(2)点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y＝x＋m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE＋EF的最大值；(3)点D为抛物线对称轴上一点．当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标．⎧32＋3b＋c＝0⎧b＝－4解：(1)由题意得⎨，解得⎨，⎪c＝3⎪c＝3∴抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3；(2)如解图①，过点P作PG∥CF交CB与点G，第4题解图①由题可知，直线BC的解析式为y＝－x＋3，OC＝OB＝3，∴∠OCB＝45°.同理可知∠OFE＝45°△，∴CEF为等腰直角三角形，∵PG∥CF△，∴GPE为等腰直角三角形，∴EF＝2CF＝(3－m),PE＝PG，则PE＝2PG＝2(－t＋3－t－m)＝2(－m－2t＋3)，(3－m)＋(－m－2t＋3)＝(－2t－2m＋6)＝－2(t＋m－3)＝－2(t2－4t)1与∵F(0，m)，C(0，3)，∴CF＝3－m，22222设P(t，t2－4t＋3)(1<t<3),则G(t，－t＋3)，∵点P是直线y＝x＋m与抛物线的交点，∴t2－4t＋3＝t＋m，222∴PE＋EF＝222222＝－2(t－2)2＋42，∴当t＝2时，PE＋EF最大，最大值为42；(3)由(1)知对称轴x＝2，设点D(2，n)，如解图②.第4题解图②△当BCD是以BC为直角边的直角三角形时，分两种情况讨论：(ⅰ)D在C上方D1位置时，由勾股定理得CD21＋BC2＝BD2，即(2－0)2＋(n－3)2＋(32)2＝(3－2)2＋(0－n)2，解得n＝5；(ⅱ)D在C下方D2位置时，由勾股定理得BD22＋BC2＝CD2，即(2－3)2＋(n－0)2＋(32)2＝(2－0)2＋(n－3)2，解得n＝－1，综上所述，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，D为(2，5)或(2，－1)．5.如图，抛物线y＝ax2－2ax＋c(a≠0)y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A、B，点A的坐标为(4，0)．(1)求该抛物线的解析式；(2)抛物线的顶点为N，在x轴上找一点K，使CK＋KN最小，并求出点K的坐标；c=4⎪a=-⎩16a-8a+c=0∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋4；(2)由y＝－x2＋x＋4＝－(x－1)2＋可求得抛物线顶点坐标为N(1，)，(3)若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为(2，0)．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第5题图解：(1)∵抛物线经过点C(0，4)，A(4，0)，⎧⎧∴⎨，解得⎨⎪⎩c=412，1211992222如解图①，作点C关于x轴的对称点C′(0，－4)，连接C′N交x轴于点K，则点K即为所求，第5题解图①设直线C′N的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，把C′、N两点坐标代入可得，⎧⎪k + b = 9 ⎧⎪ k = ⎩ ⎩ ∴点 K 的坐标为( ，0)； 令－1x 2＋x ＋4＝2，解得 x ＝1＋ 5，x ＝1－ 5. 由等腰三角形的性质得：OM ＝1OD ＝1，17 ⎨ 2 ，解得 ⎨ 2 ， ⎪ b = -4 ⎪ b = -4∴直线 C′N 的解析式为 y ＝ 17 2x －4， 令 y ＝0，解得 x ＝ 8 ， 178 17(3)存在．要使△ ODF 是等腰三角形，需分以下三种情况讨论： ①当 DO ＝DF 时，∵A(4，0)，D(2，0)，∴AD ＝OD ＝DF ＝2，在 △Rt AOC 中，OA ＝OC ＝4，∴∠OAC ＝45°，∴∠DFA ＝∠OAC ＝45°，∴∠ADF ＝90°.此时，点 F 的坐标为(2，2)；21 2 此时，点 P 的坐标为(1＋ 5，2)或(1－ 5，2)；②当 FO ＝FD 时，如解图②，过点 F 作 FM ⊥x 轴于点 M .第 5 题解图②21令－ x 2＋x ＋4＝3，解得 x ＝1＋ 3，x ＝1－ 3. 6. 如图①，抛物线 y ＝－ x 2＋b x ＋8 与 x 轴交于点 A(－6，0)，点 B(点 A 在点 B 左侧)， ∴AM ＝3，∴在等腰直角△ AMF 中，MF ＝AM ＝3，∴F(1，3)．21 2此时，点 P 的坐标为(1＋ 3，3)或(1－ 3，3)；③当 OD ＝OF 时，∵OA ＝OC ＝4，且∠AOC ＝90°，∴AC ＝4 2，∴点 O 到 AC 的距离为 2 2.而 OF ＝OD ＝2<2 2，∴在 AC 上不存在点使得 OF ＝OD ＝2.此时，不存在这样的直线 l ，使得△ ODF 是等腰三角形．综上所述，存在这样的直线 l ，使得△ ODF 是等腰三角形，所求点 P 的坐标为(1＋ 5，2) 或(1－ 5，2)或(1＋ 3，3)或(1－ 3，3)．1 3与 y 轴交于点 C ，点 P 为线段 AO 上的一个动点，过点 P 作 x 轴的垂线 l 与抛物线交于点 E ，连接 AE 、EC.(1)求抛物线的表达式及点 C 的坐标；(2)连接 AC 交直线 l 于点 D ，则在点 P 运动过程中，当点 D 为 EP 中点时，求S △ ADP ∶△S CDE ；(3)如图②，当 EC ∥x 轴时，点 P 停止运动，此时，在抛物线上是否存在点 G △，使 AEG 是以 AE 为直角边的直角三角形？若存在，请求出点 G 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)∵点 A(－6，0)在抛物线 y ＝－1x 2＋b x ＋8 上，∴0＝－ ×(－6)2＋(－6b )＋8，∴抛物线的表达式为 y ＝－ x 2－ x ＋8，(2)设点 E(t ，－ t 2－ t ＋8)，∴DP ＝DE ，D(t ，－ t 2－ t ＋4)，⎧ ∴直线 AC 的解析式为 y ＝ x ＋8，∵点 D 在直线 AC 上，∴ t ＋8＝－ t 2－ t ＋4，⎨-6k +d = 0 ⎪ k = 4⎩ d = 8 ，解得 ⎨ 3 ，， ⎩第 6 题图313解得 b ＝－2，3123 3令 x ＝0，得 y ＝8，∴C(0，8);123 3∴P(t ，0)，∵点 D 为 EP 的中点，116 3∵A(－6，0)，C(0，8)，设直线 AC 的解析式为 y ＝kx ＋d (k ≠0) 将其代入得，⎧⎪ d = 84341 13 6 3解得 t ＝－6(舍去)，t ＝－4，∴P(－4，0)，∴AP ＝2，OP ＝4，＝ ＝AP ＝1； 把 y ＝8 代入 y ＝－1x 2－2x ＋8， 则 8＝－1x 2－2x ＋8， 设点 G(m ，－1m 2－2m ＋8)，1 2 ∴ △S ADP △S CDE 1 2 1 OP22DPgAP DE g OP (3)存在．如解图①，连接 EG ， A G ，过点 G 作 GM ⊥l ，GN ⊥x 轴，垂足分别为 M ，N ，第 6 题解图①∵EC ∥x 轴，∴EP ＝CO ＝8，3333解得 x ＝0(舍去)或 x ＝－2，∴P(－2，0)，∴AP ＝AO －PO ＝4，(ⅰ)如解图①，当∠AEG ＝90°时，∵∠MEG ＋∠AEP ＝90°，∠AEP ＋∠EAP ＝90°，∴∠MEG ＝∠EAP ，又∵∠APE ＝∠EMG ＝90°，∴△EMG ∽△APE ， ∴EM ＝MG ， AP EP33则GN＝MP＝－1m2－2m＋8，∴EM＝EP－MP＝8－(－m2－m＋8)＝m2＋m，m2＋m2＋m3=∴＝，AP EP,∴m＝－2(舍去)或m＝，∴G(，)；设点G(n，－1n2－2n＋8)，∴GN＝1n2＋2n－8，n2+n-8,∴33=4AP EP∴n＝－6(舍去)或n＝，∴G(，－)，综上所述，符合条件的G点的坐标为(3，25)或(11，－23)．3312123333MG＝PN＝PO＋ON＝2＋m，∵12EM MG3483325224(ⅱ)如解图②，当∠EAG＝90°时，第6题解图②∵∠NAG＋∠EAP＝90°，∠AEP＋∠EAP＝90°，∴∠NAG＝∠AEP，∵∠APE＝∠GNA＝90°，∴△GNA∽△APE，∴GN＝AN，AP EP3333∴AN＝AO＋ON＝6＋n，12GN AN∵＝6+n8，11112322424247. 如图，抛物线 y ＝－ x 2＋b x ＋c 与 x 轴交于 A(－1，0)、B 两点，与 y 轴交于点 C(0，2)， 解：(1)将点 A(－1，0)，C(0，2)代入抛物线 y ＝－1x 2＋b x ＋c 中得， ⎧ －1－b ＋c ＝0 ⎧ b ＝3 2， ⎨ ，解得⎨ ⎩ ⎩ ∴抛物线的解析式为 y ＝－ x 2＋ x ＋2； (2)令 y ＝－ x 2＋ x ＋2＝0，解得 x 1＝－1（舍），x 2＝4，2 (3)存在，点 P 坐标为( ， )或( ，－ )或( ，4)． 【解法提示】由抛物线 y ＝－1x 2＋3x ＋2 得对称轴为直线 x ＝3， ∴点 D 的坐标为( ，0)．∴CD ＝ OC 2＋OD 2＝ 22＋（ ）2＝ . ∵点 P 在对称轴 x ＝ 上，且△ CDP 是以 CD 为腰的等腰三角形，1 2抛物线的对称轴交 x 轴于点 D.(1)求抛物线的解析式；(2)求 sin ∠ABC 的值；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点 P △，使 PCD 是以 CD 为腰的等腰三角形，如果存在，直接写出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由．第 7 题图22⎪ c ＝2 ⎪ c ＝2 1 3 2 21 3 2∴点 B 的坐标为(4，0)，在 △Rt BOC 中，BC ＝ OC 2＋OB 2＝ 22＋42＝2 5，∴sin ∠ABC ＝sin ∠OBC =OC ＝ 2 ＝ 5； BC 2 5 53 5 3 5 3 2 2 2 2 22 2 23 23 5 2 2 3 2∴当D为顶点时，有DP＝CD＝，此时点P的坐标为(，)或(，－)；∴点P的坐标为(，4)．综上所述，存在点P△使PCD是以CD为腰的等腰三角形，P点的坐标为(，)或(，－)或(，4)．5235352222当点C为顶点时，连接CP，有CP＝CD，过点C作CG⊥DP于点G，如解图，则DG＝PG，第7题解图∵DG＝2，∴PG＝2，PD＝4，3235352222 328.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE.已知点A，D的坐标分别为(－2，0)，(6，－8)．(1)求抛物线的表达式；(2)分别求出点B和点E的坐标；(3)若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为(0，m)，直线PB与直线l交于点Q.试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．⎧⎪ a ＝1 ，解得⎨ ， ⎪ ∴抛物线的表达式为 y ＝ x 2－3x －8； (2)∵y ＝ x 2－3x －8＝ (x －3)2－ ，∴抛物线的对称轴为直线 x ＝3， ∴直线 l 的函数表达式为 y ＝－ x ， ∴点 E 的横坐标为 3，纵坐标为－ ×3＝－4，即点 E 的坐标为(3，－4)； ⎩ ⎩ 第 8 题图解：(1)∵抛物线 y ＝ax 2＋bx －8 经过点 A(－2，0)，D(6，－8)，将 A 、D 两点的坐标代入得，⎧ 4a －2b －8＝0 ⎨ 2 ⎪ 36a ＋6b －8＝－8 ⎪ b ＝－31 21 1 252 2 2又∵抛物线与 x 轴交于 A ，B 两点，点 A 的坐标为(－2，0)，∴点 B 的坐标为(8，0)．设直线 l 的函数表达式为 y ＝kx ，将点 D(6，－8)代入得 6k ＝－8，解得 k ＝－4， 34 3∵点 E 为直线 l 和抛物线对称轴的交点，4 3(3)需分两种情况进行讨论：①当 OP ＝OQ △时， OPQ 是等腰三角形，如解图①，第 8 题解图①∵点 E 的坐标为(3，－4)，∴OE ＝32＋42＝5，过点 E 作直线 ME ∥PB ，交 y 轴于点 M ，交 x 轴于点 H ，设直线ME的函数表达式为y＝k x－5，∴3k1－5＝－4，解得k1＝，3∴直线ME的函数表达式为y＝x－5，∴m＝－；∵当x＝0时，y＝x2－3x－8＝－8，则OM＝OE，∴OM＝OE＝5，OP OQ∴点M的坐标为(0，－5)，1113令y＝0，解得x＝15，∴点H的坐标为(15，0)．又∵MH∥PB，∴OP＝OB，即－m＝8，OM OH51583②当QO＝QP△时，OPQ是等腰三角形，如解图②，第8题解图②12∴点C的坐标为(0，－8)，∴CE＝32＋（8－4）2＝5，∴OE＝CE，∴∠1＝∠2，又∵QO＝QP，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴CE∥PB.设直线 CE 交 x 轴于点 N ，其函数表达式为 y ＝k x －8，∴3k 2－8＝－4，解得 k 2＝ ，3 ∴直线 CE 的函数表达式为 y ＝ x －8， 令 y ＝0，得4x －8＝0，∴x ＝6， ＝ ，解得 m ＝－32. 8 6 3244 33∴点 N 的坐标为(6，0)．∵CN ∥PB.∴OP ＝OB ， OC ON－m 8 ∴综上所述，当 m 的值为－8或－32△时， OPQ 是等腰三角形． 3 39.在平面直角坐标系中，抛物线 y ＝－x 2－2x ＋3 与 x 轴交于 A ，B 两点(A 在 B 的左侧)， 与 y 轴交于点 C ，顶点为 D.(1)请直接写出点 A ，C ，D 的坐标；(2)如图①，在 x 轴上找一点 E ，使得△ CDE 的周长最小，并求出点 E 的坐标；(3)如图②，F 为直线 AC 上的动点，在抛物线上是否存在点 P ，使得△ AFP 为等腰直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．第 9 题图解： (1)A(－3，0)，C(0，3)，D(－1，4)；(2) 如解图①所示，作点 C 关于 x 轴对称的点 C ′，连接 C ′D 交 x 轴于点 E ，此时△ CDE 的 周长最小．∴当△ CDE 的周长最小时，点 E 的坐标为(－ ，0)；⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ 解得 m ＝－3(舍去)，m ＝2，此时点 P 的坐标为(2，－5)；∵C(0，3)，∴C ′(0，－3)，设直线 C ′D 的解析式为 y ＝ kx ＋ b ，⎧b ＝－3 ⎧k ＝－7 则有⎨ ，解得⎨ ，⎪－k ＋b ＝4 ⎪b ＝－3∴直线 C ′D 的解析式为 y ＝－7x －3，当 y ＝－7x －3 中 y ＝0 时，x ＝－3，737(3)存在．设直线 AC 的解析式为 y ＝ax ＋c ，⎧c ＝3 ⎧a ＝1 则有⎨ ，解得⎨， ⎪－3a ＋c ＝0 ⎪c ＝3∴直线 AC 的解析式为 y ＝x ＋3，假设存在，设点 F(m ，m ＋3)，△ AFP 为等腰直角三角形分三种情况(如解图②所示)：第 9 题解图①当∠PAF ＝90°时，P(m ，－m －3)，∵点 P 在抛物线 y ＝－x 2－2x ＋3 上，∴－m －3＝－m 2－2m ＋3，1 2解得m＝－3(舍去)，m＝－1，此时点P的坐标为(1，0)；解得m＝－3(舍去)，m＝1，此时点P的坐标为(1，0)．10.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝－x2＋b x＋c的图象与坐标轴交于A，B，【解法提示】∵二次函数y＝－1x2＋b x＋c与x轴交于A(－3，0)，B(4，0)，②当∠AFP＝90°时，P(2m＋3，0)，∵点P在抛物线y＝－x2－2x＋3上，∴0＝－(2m＋3)2－2(2m＋3)＋3，34③当∠APF＝90°时，P(m，0)，∵点P在抛物线y＝－x2－2x＋3上，∴0＝－m2－2m＋3，56综上所述，存在满足条件的点P△使得AFP为等腰直角三角形，点P的坐标为(2，－5)或(1，0)．13C三点，其中点A的坐标为(－3，0)，点B的坐标为(4，0)，连接AC，BC.动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ.(1)填空：b＝________，c＝________；(2)在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；(3)在x轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M△，使PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由．第10题图备用图解：(1)1，4；33∴-+4b+c=0⎩⎩∵AP＝t,∴PQ＝t，由勾股定理得：AQ2＝AP2＋PQ2，即(t＋3)2＝t2＋(4t)2，解得t＝9或t＝－9(舍去)，⎧-3-3b+c=0⎪⎨16⎪3⎧1⎪b=，解得⎨3，⎪c=4(2)∵点P在AC上以每秒1个单位运动，∴AP＝t，∵点Q在OB上每秒1个单位运动，∴OQ＝t，∴AQ＝t＋3，∵∠P AQ<90°，∠PQA<90°，若要使△APQ是直角三角形，则∠APQ＝90°，在△Rt AOC中，OA＝3，OC＝4，∴AC＝5，设PQ与y轴交于点D，如解图①，第10题解图①∵∠ODQ＝∠CDP，∠DOQ＝∠DPC＝90°∴∠DQO＝∠DCP，∴tan∠DQO＝AP＝tan∠DCP＝AO＝3，PQ CO443328根据题意，点Q在OB上，∴0≤t≤4，∴不存在这样的t值满足题意；∴△APQ不可能是直角三角形.(3)设存在点M△使得PMQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，如解图②，⎨∠PNM = ∠PEQ ， ⎪MP = PQ ∴AE ＝ t ，PE ＝ t ，∴MN ＝ t ，EN ＝PN-PE =EQ －PE ＝AQ －AE －PE ＝3＋t － t － t ＝3－ t ，∴点 M 的坐标为(－ t －3， t －3)，∵点 M 在抛物线上，∴－ (－ t －3)2－ ·( t ＋3)＋4＝ t －3，解得 t ＝ 或 t ＝ (舍)，第 10 题解图②过 P 作 PE ⊥x 轴于 E ，过 M 作 MN ⊥PE 于 N ，∵∠MPN ＋∠PMN ＝90°，∠MPN ＋∠QPE ＝90°，∴∠PMN ＝∠QPE ，△在 PMN △和 QPE 中，⎧∠PMN = ∠QPE ⎪ ⎩∴△PMN ≌△QPE(AAS)，∴PN ＝EQ ，MN ＝PE ，∵AP ＝t ，cos ∠CAO ＝AO ＝3，sin ∠CAO ＝OC ＝4， AC 5 AC 53 45 54 3 4 25 5 5 53 4 1∴x M ＝x E －MN ＝5t －3－5t ＝－5t －3，1 25 51 1 1 1 23 5 3 5 5整理得 t 2＋65t ＝225，－65＋5 205 －65－5 2052 2－65＋5 205综上，存在满足条件的点 M ，此时运动时间 t 为 秒．2故抛物线的表达式为 y ＝－1x 2＋4x ；∴ PE ＝AP ，即PE ＝AP ，∴PE ＝ AP ＝ t ，PB ＝8－t ，∴点 E 的坐标为(4＋ t ，8－t)．⎪ ⎪⎩ ⎩11. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的三个顶点 B(4，0)，C(8，0)，D(8，8)，抛物线 y ＝ax 2＋b x 过 A 、C 两点，动点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 向终点 B 运动，同时点 Q 从点 C 出发，沿线段 CD 向终点 D 运动，速度均为每秒 1 个单位长度，运动时间为 t 秒，过点 P 作 PE ⊥AB 交 AC 于点 E.(1)求出点 A 的坐标和抛物线的表达式；(2)过点 E 作 EF ⊥AD 于点 F ，交抛物线于点 G ，当 t 为何值时，线段 EG 最长？(3)连接 EQ ，在点 P 、Q 运动的过程中，是否存在某个时刻，使得以 C 、E 、Q 为顶点的△CEQ 为等腰三角形？如果存在，请直接写出相应的 t 值；如果不存在，请说明理由．第 11 题图解：(1)∵点 B 的横坐标为 4，点 D 的纵坐标为 8，AD ∥x 轴，AB ∥y 轴，∴点 A 的坐标为(4，8)，将 A(4，8)、C(8，0)两点坐标分别代入 y ＝ax 2＋b x ，⎧16a ＋4b ＝8 ⎧a ＝－1 得⎨ ，解得⎨ 2，⎪64a ＋8b ＝0 ⎪b ＝42(2)∵PE ∥BC ，∴△APE ∽△ABC ，BC AB4 81 12 212∴点 G 的纵坐标为－ (4＋ t)2＋4(4＋ t)＝－ t 2＋8. ∴EG ＝－ t 2＋8－(8－t)＝－ t 2＋t ，∵－ <0，∴当 t ＝－＝4 时，线段 EG 最长为 2；t 1＝ ，t 2＝ ，t 3＝40－16 5.3【解法提示】∵Q(8，t)，E(4＋1t ，8－t)，C(8，0)，∴EQ 2＝( t －4)2＋(8－2t)2，EC 2＝(4＋ t －8)2＋(8－t)2，QC 2＝t 2.( t －4)2＋(8－2t)2＝t 2，解得 t ＝ 或 t ＝8(此时 E 、C 重合，不能构成三角形，舍去)； (4＋ t －8)2＋(8－t)2＝t 2， ( t －4)2＋(8－2t)2＝(4＋ t －8)2＋(8－t)2，解得 t ＝0(此时 Q 、C 重合，不能构成三角形，舍去)或 t ＝ .1 1 1 12 2 2 81 1 8 818(3)存在 t 使得以 C 、E 、Q 为顶点的△ CEQ 为等腰三角形，16 401321 12 2 △当 CEQ 为等腰三角形时，分三种情况：(Ⅰ)当 EQ ＝QC 时，1 2 整理得 13t 2－144t ＋320＝0，40 13(Ⅱ)当 EC ＝CQ 时，1 2 整理得 t 2－80t ＋320＝0，解得 t ＝40－16 5，t ＝40＋16 5>8(此时 Q 不在矩形的边上，舍去)；(Ⅲ)当 EQ ＝EC 时，1 12 216316 40综上所述，存在 t 1＝ 3 ，t 2＝13，t 3＝40－16 5，能够使得以 C 、E 、Q 为顶点的△ CEQ 为等腰三角形．12. 如图，在平面直角坐标系中，直线 y ＝－2x ＋10 与 x 轴、y 轴相交于 A 、B 两点，点 C的坐标是(8，4)，连接 AC ，BC.(1)求过 O 、A 、C 三点的抛物线的解析式，并判断△ ABC 的形状；，⎩⎧a ＝1解得⎨5 ∴抛物线的解析式为 y ＝ x 2－ x ；(2)动点 P 从点 O 出发，沿 OB 以每秒 2 个单位长度的速度向点 B 运动．同时，动点 Q 从点 B 出发，沿 BC 以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为 t 秒，当 t 为何值时，P A ＝QA?(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点 M ，使以 A 、B 、M 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．第 12 题图解：(1)∵直线 y ＝－2x ＋10 与 x 轴、y 轴相交于 A 、B 两点，∴A(5，0)，B(0，10)，设过 O 、A 、C 三点的抛物线的解析式为 y ＝ax 2＋bx(a ≠0)⎧⎪25a ＋5b ＝0把点 A(5，0)和 C(8，4)代入可得⎨ ，⎪64a ＋8b ＝46⎩b ＝－6，1 56 6∵A(5，0)，B(0，10)，C(8，4)，∴AB 2＝125，AC 2＝25，BC 2＝100，∵AB 2＝AC 2＋BC 2，∴△ABC 是直角三角形；(2)如解图，连接 AP ，AQ ，当 P ，Q 运动 t 秒，即 OP ＝2t ，CQ ＝10－t ，∴t ＝ ，∴当运动时间为 秒时，P A ＝QA ；5利用点的坐标可求得 AB 2＝102＋52＝125，MB 2＝( )2＋(b －10)2， MA 2＝( )2＋b 2， 5 5 19 5 5 19即点 M 的坐标为( ， )或( ，－ )； ⎩ )2＋b 2，解得 b ＝±第 122 题解图在 △Rt AOP 和 △Rt ACQ 中，⎧⎪AC ＝OA⎨， ⎪P A ＝QA∴△Rt AOP ≌△Rt ACQ ，∴OP ＝CQ ，∴2t ＝10－t ，10 3∵OB ＝10，BC ＝10，∴t ≤5.10 3(3)存在．由题可得，抛物线的对称轴直线为 x ＝5，2设点 M 的坐标为( 5，b )，225 2∵△MAB 是等腰三角形，∴可分以下三种情况讨论：①当 AB ＝MA 时，即 125＝(5 5 19，2 22 2 2 25 5 19 5 5 19即点 M 的坐标为( ，10＋ )或( ，10－ )； ③当 MB ＝MA 时，即( )2＋(b －10)2＝( )2＋b 2，)或( ，－ )或( ，10＋ )或( ，10－ )．)2＋(b －10)2，解得 b ＝10±②当 AB ＝BM 时，即 125＝(5 5 19，2 22 2 2 25 52 2解得 b ＝5，此时点 A 、M 、B 共线，故这样的点 M 不存在．综上所述，存在点 M ，使以点 A 、B 、M 为顶点的三角形是等腰三角形，点 M 的坐标为(5，25 19 5 5 19 5 5 19 5 5 192 2 2 2 2 2 2。
苏科版数学九年级下册专题复习：二次函数与特殊三角形探究拓展训练(word版含答案)
二次函数与特殊三角形探究拓展【复习目标】梳理并掌握二次函数与直角三角形、等腰三角形的常见考点，感受和运用数形结合的思想方法，提升综合解题能力. 【课堂研讨】 研究问题一：探究1：如图，抛物线218333=-++y x x 与x 轴交于A B 、两点，与y 轴交于C 点． （1）直接写出A B C 、、三点的坐标 ； （2）证明ABC △为直角三角形。
探究2：如图，Rt △ABC 的斜边长为5，斜边上的高OC 为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB 与x 轴重合（其中OA<OB ），直角顶点C 落在y 轴正半轴上。
（1）求线段OA 、OB 的长（2）求出经过点A 、B 、C 的抛物线的关系式。
探究3：抛物线2=++y ax bx c （a ≠0）的图像与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于C 点，且∠ACB=90º，请写出a 、b 、c 满足的关系式研究问题二：如图，已知抛物线y=﹣x 2/2+bx+c 与y 轴交于点C ，与x 轴的两个交点分别为A （﹣4，0）， B （1，0）．（1）直接写出抛物线的解析式 ；（2）已知点P 在抛物线上，连接PC ，PB ，若△PBC 是以BC 为直角边的直角三角形，求点P 的坐标；（3）已知点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，是否存在以A,C,E,F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由。
研究问题三：如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，A在B的左侧，A坐标为（-1，0）与y轴交于点C（0，3）△ABC的面积为6．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，在线段BC上方的抛物线上是否存在点P使得△PDC 是等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的点P的坐标．研究问题四：m ，0），B（m＋2，0）两点，记抛物线顶如图，一开口向上的抛物线与x轴交于A（2点为C ，且AC ⊥BC ．（1）若m 为常数，求抛物线的解析式；（用含有m 的式子表示）（2）设抛物线交y 轴正半轴于D 点，问是否存在实数m ，使得△BOD 为等腰三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．提优拓展训练1、如图，已知直线y=kx-6与抛物线y=ax 2+bx+c 相交于A 、B 两点，且点A （1，-4）为抛物线的顶点，点B 在x 轴上. （1）求抛物线的解析式；（2）若点Q 是y 轴上一点，且△ABQ 为直角三角形，求点Q 的坐标．O BACD xy2、如图，抛物线经过、两点，与轴交于另一点． （1）求抛物线的解析式；（2）已知点在第一象限的抛物线上，求点关于直线对称的点的坐标； （3）在（2）的条件下，连接，点为抛物线上一点，且，求点的坐标．24y ax bx a =+-(10)A -，(04)C ，x B (1)D m m +，D BC BD P 45DBP ∠=°P yxOABC3、如图，一次函数3y=-x+2与坐标轴分别交于A，B两点，抛物线22y=-x+bx+c3经过点A，B，点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线BA运动，点Q从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AO运动，两点同时出发，运动时间为t秒．（1）求此抛物线的表达式；（2）求当△APQ为等腰三角形时，所有满足条件的t的值；（3）点P在线段AB上运动，t为何值时，△APQ的面积达到最大？并求出最大面积．参考答案研究问题一 1. A （-1，0）B （9, 0）C （0,3）证明略2. 解：∵OC 2=OA·OB ， ∴OA·OB=4，又∵OA+OB=5，且OA ＜OB ， 解得，OA=1，OB=4，∴A （-1，0），B （4，0），C （0，2），设过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式为：y=a （x+1）（x-4），把C 点坐标代入得，∴3. ac=-1 研究问题二研究问题三(1)322++-=x x y (2)研究问题四 （1）（2）存在实数m=4，使得△BOD 为等腰三角形提优拓展训练1. （1）322--=x x y（2）2. （1）抛物线的解析式为（2）（0,1） （3）3.（2）（3）S max=1/2。
中考数学复习探索二次函数综合题解题技巧四二次函数与特殊三角形的探究问题练习无答案
探索二次函数综合题解题技巧四;;二次函数在中考数学中常常作为压轴题，具有一定的综合性和较大的难度。
学生往往因缺乏思路,感到无从下手,难以拿到分数。
事实上,只要理清思路,方法得当,稳步推进,少失分、多得分、是完全可以做到的。
第1小问通常是求解析式：这一小题简单，直接找出坐标或者用线段长度来确定坐标，进而用待定系数法求出解析式即可。
第2—3小问通常要结合三角形、四边形、圆、对称、解方程（组）与不等式（组）等知识呈现，知识面广，难度大；解这类题要善于运用转化、数形结合、分类讨论等数学思想，认真分析条件和结论、图形的几何特征与代数式的数量结构特征的关系，确定解题的思路和方法；同时需要心态平和，切记急躁：当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系；既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。
类型四二次函数与特殊三角形的探究问题;;（1）与直角三角形的探究问题例1如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-1,且经过A(1，0)，C(0,3)两点，与x轴的另一个交点为B。
（1）若直线y=mx+n经过B，C两点，求抛物线和直线BC的解析式；（2）设点P为抛物线的对称轴x=-1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标.解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=-1，且抛物线经过A（1，0），抛物线与x轴的另一交点为B，∴B的坐标为：（-3，0），设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x+3），把C（0，3）代入，-3a=3，解得：a=-1，∴抛物线的解析式为：y=-（x-1）（x+3）=-x2-2x+3；把B（-3，0），C（0，3）代入y=mx+n得：m=1，n=3∴直线y=mx+n的解析式为：y=x+3；（1）设P（-1，t），又∵B（-3，0），C（0，3），∴BC2=18，PB2=（-1+3）2+t2=4+t2，PC2=（-1）2+（t-3）2=t2-6t+10，①若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2，即：18+4+t2=t2-6t+10，解之得：t=-2；②若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2，即：18+t2-6t+10=4+t2，解之得：t=4，③若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2，即：4+t2+t2-6t+10=18，解之得：t1= 错误！未找到引用源。
中考数学总复习《二次函数与特殊三角形问题压轴题》专项提升练习(附答案)
中考数学总复习《二次函数与特殊三角形问题压轴题》专项提升练习(附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图①，二次函数245y x x =--与x 轴交于点A 、C ，且点A 在点C 的右侧，与y 轴交于点B ，连接AB ．(1)求抛物线的对称轴；(2)求直线AB 的解析式；(3)如图①，点P 是x 轴下方、抛物线对称轴右侧图象上的一动点，连接PB ，过点P 作PQ AB ∥，与抛物线的另一个交点为Q ，M 、N 为AB 上的两点，且PM y ∥轴，QN y ∥轴．①当BPM △为直角三角形时，求点P 的坐标；①是否存在点P ，使得PB 与QN 互相平分，若存在，直接写出点P 的坐标，若不存在，说明理由．2．如图①，抛物线2y ax bx c =++与x 轴相交于O 、A 两点，直线3y x =-+与y 轴交于B 点，与该抛物线交于A ，D 两点，已知点D 横坐标为1-．(1)求这条抛物线的解析式；(2)如图①，在线段OA 上有一动点H （不与O 、A 重合），过H 作x 轴的垂线分别交AB 于P 点，交抛物线于Q 点，若x 轴把POQ △分成两部分的面积之比为1:2，求H 点的坐标；(3)如图①，在抛物线上是否存在点C ，使ABC 为直角三角形？若存在，直接写出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．已知点B 的坐标为()1,0，经过点B 的直线与抛物线另一个交点D 的坐标为()2,3--．(1)求抛物线解析式并直接写出顶点坐标；(2)连接BC ，若点Q 为抛物线上一动点①求直线BC 的解析式；①当COQ OCB ∠=∠时，求点Q 的坐标；(3)是否存在点M 在抛物线上，点N 在直线BD 上，使得DMN 为等腰直角三角形？若存在，直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，在平面直角坐标系中，直线123y x =-+交x 轴于点P ，交y 轴于点A ．抛物线212y x bx c =-++的图象过点()10E -，，并与直线相交于A 、B 两点．(1)求抛物线的解析式（关系式）；(2)过点A 作AC AB ⊥交x 轴于点C ，求点C 的坐标；(3)除点C 外，在坐标轴上是否存在点M ，使得MAB 是直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．5．已知抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于()20A -，，()60B ，两点，与y 轴交于点()03C -，．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 在直线BC 下方的抛物线上，连接AP 交BC 于点M ，当PM AM最大时，求点P 的坐标； (3)在（2）的条件下，过点P 作x 轴的垂线l ，在l 上是否存在点D ，使BCD △是直角三角形若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =++的对称轴是直线1x =，拋物线与x 轴分别交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，点A 的坐标是(2,0)-．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1所示，P 是第一象限抛物线上的一个动点，点D 是抛物线对称轴与x 轴的交点，连接CD 、CP 、PB ．求四边形PCDB 的面积的最大值，并求出此时点P 的坐标；(3)如图2所示，在（2）的条件下，点M 是直线BC 上一点，当POM 是以OP 为腰的等腰三角形时，请直接写出点M 的坐标．7．如图，抛物线22y ax bx =++交x 轴于点()()3,0,1,0A C -两点，交y 轴于点B ．(1)求二次函数表达式和点B 的坐标．(2)在直线AB 上方的抛物线上有一动点E ，作EG x ⊥轴交x 轴于点G ，交AB 于点M ，作EF AB ⊥于点F ，若点M 的横坐标为m ，求线段EF 的最大值．(3)抛物线对称轴上是否存在点P 使得ABP 为直角三角形，若存在，请直接写出点P 的坐标，若不存在，说明理由．8．如图，已知抛物线2y ax bx c =++过点()30A -,，()2,3B -和()0,3C ，其顶点为D ．(1)求抛物线的解析式；(2)若P 是抛物线上的一个点，是否存在点P ，使得PA PC =，若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由；(3)若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点N ，E 为直线AC 上任意一点，过点E 作EF ND ∥交抛物线于点F ，以N ，D ，E ，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E 的坐标；若不能，请说明理由．9．如图，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于()3,0A ，()10B ,两点，与y 轴交于点C ．且有OA OC =．(1)求抛物线解析式；(2)点P 在抛物线的对称轴上，使得ACP △是以AC 为底的等腰三角形，求出点P 的坐标；(3)在（2）的条件下，若点Q 在抛物线的对称轴上，并且有12AQC APC ∠=∠，直接写出点Q 的坐标．10．如图，抛物线2y ax bx =+过点()4,0A 、()1,3B 两点，点C 、B 关于抛物线的对称轴对称，过点B 作直线BH x ⊥轴，交x 轴于点H ．(1)求抛物线的表达式；(2)直接写出点C 的坐标，并求出ABC 的面积；(3)点P 是抛物线上一动点，且位于第四象限，当ABP 的面积为6时，求出点P 的坐标；(4)已知点M 在直线BH 上运动，点N 在x 轴上运动，若CMN 是以点M 为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出此时CMN 的面积．11．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴分别交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC BC 、，其中()2,0A -和()0,6C ．(1)求抛物线的解析式：(2)点P 是直线BC 上方抛物线上一点，过点P 作PE y 轴交BC 于点E ，作PE x ∥轴交BC 于点F ，求CF BE+的最小值，及此时点P 的坐标；(3)如图2，x 轴上有一点()1,0Q -，将抛物线向x 轴正方向平移，使得抛物线恰好经过点Q ，得到新抛物线y 1，点D 是新抛物线1y 与原抛物线的交点，点E 是直线BC 上一动点，连接DQ ，当DQE 是以DQ 为腰的等腰三角形时，直接写出所有符合条件的点E 的坐标．12．如图所示，抛物线()240y ax bx a =++≠经过点()1,0A -，点()4,0B ，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点M 是线段OB 上不与点O 、B 重合的点，过点M 作DM x ⊥轴，交抛物线于点D ，交BC 于点E ．(1)求抛物线的表达式；(2)过点D 作DF BC ⊥，垂足为点F ．设M 点的坐标为(),0M m ，请用含m 的代数式表示线段DF 的长，并求出当m 为何值时DF 有最大值，最大值是多少？(3)试探究是否存在这样的点E ，使得以A ，C ，E 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点E 的坐标；若不存在，请说明理由．13．已知：如图，抛物线2y x bx c =-++经过原点O ，它的对称轴为直线2x =，动点P 从抛物线的顶点A 出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向下运动，设动点P 运动的时间为t 秒，连接OP 并延长交抛物线于点B ，连接OA ，AB ．(1)求抛物线解析式及顶点坐标；(2)当三点A ，O ，B 构成以为OB 为斜边的直角三角形时，求t 的值；(3)将PAB 沿直线PB 折叠后，那么点A 的对称点1A 能否恰好落在坐标轴上？若能，请直接写出所有满足条件的t 的值；若不能，请说明理由．14．如图1，直线y kx b =+与抛物线2y ax x c =-+交于(20)A -，，(02)C ，两点，抛物线与x 轴的另一个交点为B ，顶点为D ．(1)求直线及抛物线的解析式．(2)M 是第二象限内抛物线上的一个动点，过点M 作MN AC ⊥于N ，当MN 最大时，求点M 的坐标．(3)如图2，将抛物线沿射线AC 2个单位的速度平移，平移后抛物线的顶点为D ，设平移时间为t 秒，当CDD '△为等腰三角形时，求t 的值．15．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线2143y x bx =-++经过()13A -,，与y 轴交于点C ，经过点C 的直线与抛物线交于另一点()6,E m ，点M 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x 轴交于点D ．(1)求直线CE 的解析式；(2)如图2，点P 为直线CE 上方抛物线上一动点，连接PC ，PE ，当PCE 的面积最大时，求点P 的坐标以及PCE 面积的最大值；(3)如图3，将点D 右移一个单位到点N ，连接AN ，将（1）中抛物线沿射线NA 平移得到新抛物线y '，y '经过点N ，y '的顶点为点G ，在新抛物线y '的对称轴上是否存在点H ，使得MGH 是等腰三角形？若存在，请直接写出点H 的坐标：若不存在，请说明理由．参考答案：1．(1)直线2x =(2)5y x =-(3)①()4,5-或()3,8-①存在 1065,39P ⎛⎫- ⎪⎝⎭2．(1)23y x x =- (2)102，⎛⎫ ⎪⎝⎭或()20， (3)()12-，或(277++，或(277，或()00，或3172⎫+⎪⎝⎭或3172⎫-⎪⎝⎭3．(1)223y x x =+- ()1,4E --(2)①33y x =- ①1133313⎫--⎝⎭或53715337-+-⎝⎭(3)存在，点N 的坐标为()0,1-或()1,2--或()3,4--4．(1)213222y x x =-++ (2)203C ⎛⎫- ⎪⎝⎭， (3)存在，点M 的坐标分别为92027⎛⎫ ⎪⎝⎭， 1165116500⎫⎫+-⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 709⎛⎫ ⎪⎝⎭， 9209⎛⎫- ⎪⎝⎭，5．(1)2134y x x =-- (2)153,4P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)存在，()3,6或()3,9-或3533,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭或3533,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭6．(1)2142y x x =-++ (2)P 点的坐标是(2,4)(3)1(4,0)M 2(2,6)M - 3(26,26)M 4(26,26)M7．(1)224233y x x =-++ ()0,2B 913(3)存在，点P 的坐标为()1,3-或71,2⎛⎫ ⎪⎝⎭或(1,13或(1,138．(1)223y x x =--+(2)存在，点P 的坐标为13113-+-⎝⎭或13113--+⎝⎭(3)能，点E 的坐标为()2,1-或3173172-++⎝⎭或317317---⎝⎭9．(1)243y x x =-+(2)()2,2P(3)Q 点坐标为2,1或(2,2510．(1)24y x x =-+；(2)3ABC S =△；(3)点P 坐标为()5,5-； (4)52或292．11．(1)2+6y x x =-+(2)155，点321,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭； (3)(3,0)或1356(,)55-或112348434(+-或112348434()-+．12．(1)234y x x =-++ (2)222)22DF m =-+2m =时，DF 有最大值为22(3)存在，点E 的坐标为34834-⎝⎭或()3,1或177,66⎛⎫ ⎪⎝⎭13．(1)24y x x =-+；(2,4)(2)1秒(3)能，(5-5)秒或25(5+5)秒14．(1)抛物线的解析式为22y x x =--+，直线的解析式为2y x =+；(2)当MN 最大时，点M 的坐标为()12-，； (3)当14t =秒或5810秒时，CDD '△为等腰三角形．15．(1)443y x =-+ (2)()3,3P ，PCE 面积的最大值为9 (3)11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭或25233,⎛- ⎝-或254233,⎛- ⎝+或133,3⎛⎫- ⎪⎝⎭。
中考数学总复习《二次函数与特殊三角形综合》专题训练-附答案
中考数学总复习《二次函数与特殊三角形综合》专题训练-附答案学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于()30A -,，()10B ,两点，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图甲，在y 轴上找一点D ，使ACD 为等腰三角形，请直接写出点D 的坐标；(3)如图乙，点P 为抛物线对称轴上一点，是否存在P 、Q 两点使以点A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P 、Q 两点的坐标，若不存在，请说明理由．2．如图，二次函数2142y x bx =+-的图像与x 轴相交于点(2,0)A B -、，其顶点是C ．(1)b =_______；(2)D 是第三象限抛物线上的一点，连接OD ，5tan 2AOD ∠=将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D ，过点(,0)k 作x 轴的垂线l ．已知在l 的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k 的取值范围；(3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q ，且其顶点P 落在原抛物线上，连接PC 、QC 、PQ ．已知PCQ △是直角三角形，求点P 的坐标．3．如图，抛物线2y x bx c =++过点()1,0A -、点()5,0B ，交y 轴于点C ．(1)求b ，c 的值．(2)点()()000,05P x y x <<是抛物线上的动点①当0x 取何值时，PBC 的面积最大？并求出PBC 面积的最大值；①过点P 作PE x ⊥轴，交BC 于点E ，再过点P 作PF x ∥轴，交抛物线于点F ，连接EF ，问：是否存在点P ，使PEF 为等腰直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．4．在平面直角坐标系中，已知抛物线2y x bx c =++过点()0,2A ，对称轴是直线2x =．(1)求此抛物线的函数表达式及顶点M 的坐标；(2)若点B 在抛物线上，过点B 作x 轴的平行线交抛物线于点C 、当BCM 是等边三角形时，求出此三角形的边长；(3)已知点E 在抛物线的对称轴上，点D 的坐标为1,1，是否存在点F ，使以点A ，D ，E ，F 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，其中()10B ,和()0,3C ．(1)求这个二次函数的表达式；(2)在二次函数图象上是否存在点P ，使得PAC ABC S S =△△？若存在，请求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；(3)点Q 是对称轴l 上一点，且点Q 的纵坐标为a ，当QAC △是锐角三角形时，求a 的取值范围．6．如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数24y ax bx =++的图象与x 轴交于点()2,0A -和()4,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)已知E 为抛物线上一点，F 为抛物线对称轴l 上一点，以B ，E 和F 为顶点的三角形是等腰直角三角形，且90BFE ∠=︒，求出点F 的坐标；(3)如图2，P 为第一象限内抛物线上一点，连接AP 交y 轴于点M ，连接BP 并延长交y 轴于点N ，在点P 运动过程中，12OM ON +是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于()4,0B ，()2,0C -两点．与y 轴交于点()0,2A -．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，过点P 作x 轴的平行线交AB 于点K ，过点P作y 轴的平行线交x 轴于点D ，求与12PK PD +的最大值及此时点P 的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使得MAB △是以AB 为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．8．如图1，平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++过点(1,0)A -，(2,0)B 和(0,2)C ，连接BC ，点(,)P m n (0)m >为抛物线上一动点，过点P 作PN x ⊥轴交直线BC 于点M ，交x 轴于点N ．(1)直接写出．．．．抛物线和直线BC 的解析式； (2)如图2，连接OM ，当OCM 为等腰三角形时，求m 的值；(3)当P 点在运动过程中，在y 轴上是否存在点Q ，使得以O ，P 和Q 为顶点的三角形与以B ，C 和N 为顶点的三角形相似（其中点P 与点C 相对应），若存在，直接写出．．．．点P 和点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．9．已知抛物线2y x bx c =-++(b ，c 为常数，1c >)的顶点为P ，与x 轴相交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴相交于点C ，抛物线上的点M 的横坐标为m ，且2b c m -<<，过点M 作MN AC ⊥，垂足为N ．(1)若2,3b c =-=．①求点P 和点A 的坐标；①当2MN =时，求点M 的坐标；(2)若点A 的坐标为(),0c -，且MP AC ∥，当392AN MN +=时，求点M 的坐标．10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:23L y x x =--的顶点为P ．直线l 过点()()0,3M m m ≥-，且平行于x 轴，与抛物线1L 交于A B 、两点（B 在A 的右侧）．将抛物线1L 沿直线l 翻折得到抛物线2L ，抛物线2L 交y 轴于点C ，顶点为D ．(1)当1m =时，求点D 的坐标；(2)连接BC CD DB 、、，若BCD △为直角三角形，求此时2L 所对应的函数表达式；(3)在（2）的条件下，若BCD △的面积为3,E F 、两点分别在边BC CD 、上运动，且EF CD =，以EF 为一边作正方形EFGH ，连接CG ，写出CG 长度的最小值，并简要说明理由．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++的图象与坐标轴相交于A 、B 和C 三点，其中A 点坐标为()3,0，B 点坐标为()1,0-，连接AC 和BC ．动点P 从点A 出发，在线段AC 上以每秒2个单位长度向点C 做匀速运动；同时，动点Q 从点B 出发，在线段BA 上以每秒1个单位长度向点A 做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ ，设运动时间为t 秒．（1）求b 、c 的值；（2）在P 、Q 运动的过程中，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小，最小值为多少？ （3）在线段AC 上方的抛物线上是否存在点M ，使MPQ 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，已知抛物线y ＝a （x +6）（x ﹣2）过点C （0，2），交x 轴于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），抛物线的顶点为D ，对称轴DE 交x 轴于点E ，连接EC ．（1）直接写出a 的值，点A 的坐标和抛物线对称轴的表达式；（2）若点M 是抛物线对称轴DE 上的点，当①MCE 是等腰三角形时，求点M 的坐标； （3）点P 是抛物线上的动点，连接PC ，PE ，将①PCE 沿CE 所在的直线对折，点P 落在坐标平面内的点P ′处．求当点P ′恰好落在直线AD 上时点P 的横坐标．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点,A B ，与y 轴交于点C ，且直线6y x =-过点B ，与y 轴交于点D ，点C 与点D 关于x 轴对称．点P 是线段OB 上一动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M ，交直线BD 于点N ．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当MDB△的面积最大时，求点P的坐标；Q M N三点为顶点的三角形是直（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以,,角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．a>的图像交x轴于点A、B，14．如图，在平面直角坐标系中，函数223=-++()0y ax ax aCD x轴交抛物线于点D，连接DE并交y轴于点C，它的对称轴交x轴于点E．过点C作//延长交y轴于点F，交抛物线于点G．直线AF交CD于点H，交抛物线于点K，连接HE、GK．（1）点E的坐标为：______；∆是直角三角形时，求a的值；（2）当HEF（3）HE与GK有怎样的位置关系？请说明理由．15．将抛物线2:(2)=-向下平移6个单位长度得到抛物线1C，再将抛物线1C向左平移C y xC．2个单位长度得到抛物线2（1）直接写出抛物线1C ，2C 的解析式；（2）如图（1），点A 在抛物线1C 对称轴l 右侧上，点B 在对称轴l 上，OAB 是以OB 为斜边的等腰直角三角形，求点A 的坐标；（3）如图（2），直线y kx =（0k ≠，k 为常数）与抛物线2C 交于E ，F 两点，M 为线段EF的中点；直线4y x k=-与抛物线2C 交于G ，H 两点，N 为线段GH 的中点．求证：直线MN 经过一个定点．参考答案：1．(1)223y x x =--+；(2)()00，或()03-，或()0332-，或()0332+，； (3)存在，()1317P --，，()417Q --，或()1317P -+，，()417Q -，或()11P -，，()22Q -，或()()1142314P Q -+，，，或()()1,142314P Q ---，，2．(1)1-；(2)3k ≤-；(3)53,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或51,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭．3．(1)4b =-，5c =-(2)①当052x =时，PBC 的面积由最大值，最大值为1258； ①当点P 的坐标为733333322,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭--或()4,5-时，PEF 为等腰直角三角形4．(1)242y x x =-+ ()2,2-(2)23(3)存在点F ，当()1,5F 或()1,0F -或()3,16F -+或()3,16F --时，以点A ，D ，E ，F 为顶点的四边形为菱形．5．(1)243y x x =-+(2)()2,1P -或317717,22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭-+或317717,22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭+- (3)31752a +<<或31721a <--<． 6．(1)2142y x x =-++ (2)()1,1F 或()1,3F 或()1,5F -或()1,3F -(3)162OM ON +=7．(1)211242y x x =--(2)存在，12PK PD +的最大值为258 335,216P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)()1,6或()1,4-8．(1)抛物线：22y x x =-++；直线BC ：2y x =-+(2)1m =或2m =或2m =(3)(2,2)P ，(0,21)Q -或(13,13)P +--，(0,1)Q 或(15,35)P +-- (0,2)Q -9．(1)①点P 的坐标为()1,4-；点A 的坐标为()3,0-；①点M 的坐标为()2,3- (2)521,24⎛⎫- ⎪⎝⎭10．(1)()1,6D(2)223y x x =-++或223y x x =-+-(3)1022-11．（1）b =2，c =3；（2）t =2，最小值为4；（3）（3174+，23178+） 12．（1）a ＝﹣16，A （-6，0），直线x ＝﹣2；（2）（﹣2，2）或（﹣2，4）或（﹣2，22）或（﹣2，﹣22）；（3）132412-+或132412--． 13．（1）256y x x =-++；（2）（2，0）；（3）存在，（0，12）或（0，-4）或（0，4215+）或（0，4215-）.14．(1)(1,0)；(2) 33或13；(3)平行 15．（1）抛物线1C 的解析式为： y=x 2-4x -2；抛物线2C 的解析式为：y=x 2-6；（2）点A 的坐标为（5，3）或（4，-2）；（3）直线MN 经过定点（0，2）。
中考二次函数压轴题解题技巧
中考二次函数压轴题解题技巧在解题过程中，我们需要借助函数解析式来表示动点坐标。
首先，我们可以设定动点P在某条直线上，其坐标为（t，f(t)）。
然后，我们可以通过计算两个线段的长度，利用代数式证明它们相等。
这种方法适用于各种类型的线段相等问题，如求证两个三角形的周长相等等。
2.求解“定三角形内一点到三边距离之和〞的问题：对于定三角形内的一个点P，我们可以利用动点的方法来求解其到三边距离之和。
具体来说，我们可以将点P的坐标表示为（x，y），然后通过计算P到三条边的距离，再将它们相加，得到定理的结论。
这种方法适用于各种类型的定三角形内点距离之和问题。
3.求解“定直线与定点之间的距离〞的问题：对于一个定点A和一条定直线L，我们可以利用点到直线的距离公式来求解它们之间的距离。
具体来说，我们可以设定一个动点P在直线L上，然后计算点P到点A的距离，即可得到定点与定直线之间的距离。
这种方法适用于各种类型的定直线与定点之间的距离问题。
4.求解“定点到定线段的最短距离〞的问题：对于一个定点A和一条定线段BC，我们可以利用点到线段的最短距离公式来求解它们之间的最短距离。
具体来说，我们可以设定一个动点P在线段BC上，然后计算点A到线段BP和线段CP的距离，取其中较小值即可得到定点到定线段的最短距离。
这种方法适用于各种类型的定点到定线段的最短距离问题。
5.求解“动三角形内一点到三边距离之和〞的问题：对于一个动三角形ABC内的一个点P，我们可以利用动点的方法来求解其到三边距离之和。
具体来说，我们可以将点P的坐标表示为（x，y），然后通过计算P到三条边的距离，再将它们相加，得到结论。
这种方法适用于各种类型的动三角形内点距离之和问题。
1.证明两线段相等的方法：首先确定两线段的距离类型（点点距离、点轴距离或点线距离），然后利用距离公式计算出两线段的长度，并进行化简，从而证明它们相等。
2.平行于y轴的动线段长度的最大值问题：对于平行于y轴的线段，可以利用端点的函数图象解析式，将两个端点的纵坐标表示为含有字母t的代数式。
(完整word版)中考二次函数压轴题解题技巧
(完整word版)中考二次函数压轴题解题技巧二次函数是中考数学中的重要内容之一，其中压轴题更是考察学生对二次函数掌握程度的重要指标。
解题技巧的掌握能够帮助学生更好地应对这类问题，今天我们就来讨论一下中考二次函数压轴题的解题技巧。
首先，我们需要明确二次函数的一般形式。
一般来说，二次函数可以表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，并且a不等于0。
这是解题的基础，我们需要根据题目中给出的条件，确定出a、b、c的值。
其次，我们需要确定二次函数的图像特征。
二次函数的图像形状是一个抛物线，具体形状取决于a的正负情况。
当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。
这个特点在解题时非常重要，可以帮助我们快速确定函数的大致图像。
根据二次函数的特征，我们可以通过一些已知条件来确定函数的具体形状和特点。
常见的已知条件有：顶点坐标、过定点的直线、与坐标轴的交点等。
这些条件可以通过构建方程来解决。
对于顶点坐标已知的情况，我们可以利用顶点坐标的表示形式(x,y)和二次函数的一般形式来构建方程。
比如，已知函数的顶点为(2,3)，我们可以得到方程y=a(x-2)^2+3。
然后，根据题目中给出的其他条件继续建立方程，例如过点(-1,4)等。
如果已知过定点的直线，我们可以利用直线的一般方程和二次函数的一般形式来建立方程。
通过求解二次方程，我们可以得到与直线交点的横坐标，从而确定函数的特点。
此外，还有一种常见的已知条件是二次函数与坐标轴的交点。
当二次函数与x轴交点时，y=0；当二次函数与y轴交点时，x=0。
根据这个特点，我们可以得到一些有用的信息，比如方程y=ax^2+bx+c中，当x=0时，y=c，因此函数与y轴的交点为(0,c)。
类似地，当y=0时，我们可以求解二次方程得到交点的横坐标，从而确定函数的其他特点。
要解题成功，我们需要把握好几个关键点。
首先，仔细阅读题目，理解题目所给条件和要求。
其次，根据已知条件确定二次函数的一般形式。
二次函数与几何图形综合题型方法总结
二次函数与几何图形综合题型方法总结一、二次函数与直角三角形的存在性问题一般问题形式：抛物线或某直线上有一动点与两定点组成的三角形是直角三角形时，求该动点的坐标．一般解题方法：设动点的横坐标为t，根据动点所在的图象写出它的纵坐标，用t表示．求出过动点和两个定点的三条直线的k，根据互相垂直的两条直线的k的乘积等于－1列方程求解．过A（x1，y1）、B（x2，y2）两点的直线的k AB＝y1－y2x1－x2．练习：如图，已知二次函数图象y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且A（－1，0），C（0，3）（1）求这个二次函数解析式以及B的坐标；（2）在抛物线上是否存在一点Q，使△BCQ成为以BC为直角边的直角三角形？若有求出Q的坐标．一般问题形式：抛物线对称轴上的一动点与两定点组成的三角形是等腰三角形时，求该动点的坐标．一般解题方法：先找到能组成等腰三角形的这些动点，方法是作两个圆和一条中垂线，两个圆是指分别以两个定点为圆心，以两定点间的距离为半径作的两个圆；中垂线是指以两定点为线段的中垂线．这两个圆和这条中垂线与对称轴的交点即为所求的动点．然后通过设未知数，找直角三角形，根据勾股定理列方程求解．练习：如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过三点A（－1，0），B（3，0），C（0，－3），它的顶点为M，且正比例函数y＝kx的图象与二次函数的图象相交于D、E两点．（1）求该二次函数的解析式和顶点M的坐标；（2）若点E的坐标是（2，－3），且二次函数的值小于正比例函数的值时，试根据函数图象求出符合条件的自变量x的取值范围；（3）试探究：抛物线的对称轴上是否存在点P，使△P AC为等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．一般问题形式：抛物线上的一个动点和直线上的一个动点与两个定点组成平行四边形时，求其中一个动点的坐标．一般解题方法：分类讨论．一般分两种情况：一是以两定点的线段作为平行四边形的边；二是以两定点的线段作为平行四边形的对角线．①若设抛物线上的那个动点的横坐标为t，根据动点所在的图象写出它的纵坐标，用t表示．用平移的方法求出直线上那个动点的坐标，用t表示，然后把该点坐标代入直线的函数解析式求解．②若设直线上的那个动点的横坐标为t，根据动点所在的图象写出它的纵坐标，用t表示．用平移的方法求出抛物线上那个动点的坐标，用t表示，然后把该点坐标代入抛物线的函数解析式求解．练习：如图，过点（4，3）的抛物线的顶点坐标是（2，－1），M、N是抛物线与x轴的交点．（1）求二次函数的解析式；（2）直线y＝x＋3与二次函数交于A、B两点，P是二次函数上任意一点，是否能够在对称轴上找到一点K，使得以K，A，P，B为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，求出点K的坐标；如果不存在，请说明理由．一般问题形式：抛物线上一动点与两个定点组成的三角形面积最大时，求该动点的坐标． 一般解题方法：三角形面积＝ 1 2×水平宽×铅垂高，然后利用二次函数求最值的方法求解．练习：如图，已知二次函数y ＝x 2－4x ＋3的图象交x 轴于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ．（1）求直线BC 的解析式；（2）点D 是在直线BC 下方的抛物线上的一个动点，当△BCD 的面积最大时，求D 点坐标．如图，水平宽：指边BC 投影到x 轴上的线段长度．求法：水平宽＝x C －x B铅垂高：过A 点作x 轴的垂线，交BC 于点P ，线段AP 的长度就是铅垂高．求法：铅垂高＝y A －y P。
二次函数综合题解题技巧归类
二次函数综合题解题技巧归类
二次函数作为初中数学最重要的知识内容之一，不仅是初中生平时的学习重难点，更是中考数学的热点和难点。
纵观全国各地中考数学试卷，会发现二次函数相关的知识定理和题型一直必考考点，大部分地区会把二次函数作为知识背景，设置综合性较强的压轴题，来考查考生分析问题和解决问题的能力。
因此，如何培养和提高二次函数的解题技巧，已经成为初中数学的重点之一。
二次函数的学习，主要集中在二次函数的概念和图像，二次函数的性质，二次函数相关的实际应用问题，二次函数有关的综合问题，二次函数有关的函数与几何综合问题等。
二次函数解题技巧1：二次函数的概念和图片。
已知二次函数y=x+bx﹣3的图象经过点P（﹣2，5）
（1）求b的值并写出当1＜x≤3时y的取值范围；
（2）设P（m，y）、P（m+1，y）、P（m+2，y）在这个二次函数的图象上，
①当m=4时，y、y、y能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；
②当m取不小于5的任意实数时，y、y、y一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．。
二次函数综合题解题方法
二次函数综合题解题方法二次函数是高中数学中重要的一部分，它在数学和现实生活中都有着重要的应用。
解题是学习数学的重要环节，而对于二次函数的解题方法更是需要我们掌握的重点之一。
下面我们将从常见的二次函数综合题解题方法入手，逐步介绍解题的步骤和技巧。
首先，我们需要了解二次函数的一般形式，y=ax^2+bx+c，其中a、b、c分别为二次项系数、一次项系数和常数项。
在解题时，我们需要根据题目给出的具体情况，确定a、b、c的值，然后根据题目要求进行相应的操作。
解题的第一步是确定二次函数的开口方向，即确定a的正负。
当a>0时，二次函数开口向上；当a<0时，二次函数开口向下。
这一步是解题的基础，也是后续解题的关键所在。
接下来，我们需要求出二次函数的顶点坐标。
二次函数的顶点坐标为（-b/2a，f(-b/2a)），其中f(x)表示二次函数的值。
通过求出顶点坐标，我们可以进一步确定二次函数的图像特征，如顶点的位置、开口方向等。
在确定了二次函数的开口方向和顶点坐标后，我们可以进一步求出二次函数的零点。
二次函数的零点即为方程y=0的解，可以通过求解ax^2+bx+c=0的根来得到。
根据一元二次方程的求解公式，我们可以得到二次函数的零点，从而确定二次函数与x轴的交点。
除了以上的基本步骤外，我们还需要注意二次函数的对称轴、对称点等特性。
二次函数的对称轴为x=-b/2a，对称点为顶点坐标。
在解题时，我们可以利用这些特性来简化计算，快速求解问题。
总的来说，二次函数的解题方法主要包括确定开口方向、求顶点坐标、求零点等步骤。
在解题时，我们需要灵活运用这些方法，结合具体题目的要求，有条不紊地进行推导和计算。
通过不断的练习和总结，我们可以更加熟练地掌握二次函数的解题技巧，提高解题效率。
在实际解题中，我们还需要注意题目中可能出现的一些特殊情况，如二次函数与其他函数的关系、二次函数的最值问题等。
针对这些特殊情况，我们需要有针对性地进行分析和求解，不能一概而论。
中考数学总复习《二次函数中的特殊三角形存在性问题》专题训练-附答案
中考数学总复习《二次函数中的特殊三角形存在性问题》专题训练-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数213222y x x =-++的图象与x 轴交于点A ，B （点B 在点A 的左侧），与y 轴交于点C ．(1)写出点A 、B 、C 的坐标；(2)过动点(0,)H m 作平行于x 轴的直线l ，直线l 与二次函数213222y x x =-++的图象相交于点D ，E ．①若0m >，以DE 为直径作Q ，当Q 与x 轴相切时，求m 的值；①直线l 上是否存在一点F ，使得ACF △是等腰直角三角形？若存在，请直接写出．．．．m 的值：若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线22y ax bx =++与x 轴交于点()1,0A -，()2,0B 与y 轴交于点C ，P 是直线BC 上方抛物线上的一个动点（与点B ，C 不重合）．连接OP 交BC 于点Q ．(1)求抛物线的表达式．(2)当3OP PQ =时，求点P 的坐标．(3)试探究在点P 的运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，已知抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为直线=1x -，且经过1,0A ，()0,3C 两点，与x 轴的另一个交点为B ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若直线y mx n =+经过B ，C 两点，求直线BC 的函数表达式；(3)在抛物线的对称轴=1x -上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求点M 的坐标； (4)设点P 为抛物线的对称轴=1x -上的一个动点，求使BPC △为直角三角形的点P 的坐标． 4．已知：如图，抛物线26y ax bx =++与x 轴交于点()6,0B ，()2,0C -与y 轴交于点A ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，分别交线段AB 、x 轴于点D 、E ．设点P 的横坐标为m ．①用含m 的代数式表示线段PD 的长；①连接PA 、PB ，是否存在点P ，使得BPA △的面积最大？若存在，请求出BPA △的最大面积；若不存在，请说明理由；(3)如图2，若点P 为x 轴上方抛物线上的一个的动点，点F 为y 轴上的动点，是否存在这样的点P 和点F ，使得以BP 为腰的等腰直角PBF △？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线2y x bx c =-++经过()()1,02,0A B -，两点，与y 轴交于点C ，直线y x m =+经过点B ，与y 轴交于点D ．(1)求抛物线的解析式；(2)将BOD 在直线DB 上平移，平移后的三角形记为PMN ，直线MP 交抛物线于Q ，当1PQ =时，求点P 的坐标．6．如图，二次函数2142y x bx =+-的图象与x 轴相交于点()2,0A -，B ，其顶点是C ．(1)b =______；(2)若点D 是第三象限抛物线上的一点，连接BD ，且1tan 2OBD ∠=．将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D ，过点(),0k 作x 轴的垂线l ．已知在l 的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k 的取值范围；(3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q ，且其顶点P 落在原抛物线上，连接PC 、QC 、PQ ．已知PCQ △是直角三角形，求点P 的坐标．7．在平面直角坐标系中，抛物线212C y mx x =++：和222C y nx x =++：的开口都向下1C ，2C 与y 轴相交于点A ，过点A 作x 轴的平行线与1C 相交于点B ，与2C 相交于点C ，点C 在线段AB 上（点C 不与点B 重合）．(1)点A 的坐标是________；(2)如图，抛物线1C 的顶点为P ，AC 的中点为Q ．若12m =-，45PQB ∠=︒求n 的值；(3)直线1x =与1C 相交于点D ，与2C 相交于点E ，当四边形CDBE 是轴对称图形时，求n 关于m 的函数解析式，并直接写出自变量m 的取值范围．8．如图，抛物线22y ax bx =++与x 轴交于两点(10)A -，和(40)B ，，与y 轴交于点C ，连接AC BC ，．(1)求抛物线的解析式；(2)N 是抛物线对称轴上一点，当三角形BCN 为等腰三角形时，求N 点的坐标．(3)点D 是ABC 边上一点，连接OD ，将线段OD 以O 为旋转中心，逆时针旋转90︒，得到线段OE ，若点E 落在抛物线上，求出此时点E 的坐标；(4)点M 在线段AB 上（与A ，B 不重合），点N 在线段BC 上（与B ，C 不重合），是否存在以C ，M ，N 为顶点的三角形与ABC 相似，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，已知抛物线23y ax bx =++经过()2,0A -，()4,0B 两点．(1)求该抛物线的解析式；(2)在y 轴上是否存在点M ，使ACM △为等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的点M 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点(),0P t 为线段AB 上一动点（不与,A B 重合），过P 作y 轴的平行线，记该直线右侧与ABC 围成的图形面积为S ，试确定S 与t 的函数关系式．10．在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），点B 的坐标为()3,0，与y 轴交于点()0,3C ，顶点为D ．(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； (2)连接AC ，BC ，求ACB ∠的正切值；(3)点P 是抛物线的对称轴上一点，当PBD △与CAB △相似时，求点P 的坐标．11．如图，顶点为M 的抛物线23y ax bx =++与x 轴交于()3,0A ，()1,0B -两点，与y 轴交于点C ．(1)求这条抛物线对应的函数表达式；(2)问在y 轴上是否存在一点P ，使得PAM 为直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．(3)若在第一象限的抛物线下方有一动点D ，满足DA OA =，过D 作DG x ⊥轴于点G ，设ADG 的内心为I ，连接AI 、OI ，请直接写出AIO ∠的度数和CI 长度的最小值．12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--与x 轴交于点A 、B ，交y 轴于点C ，点D 为抛物线的顶点，对称轴与x 轴交于点E ．(1)顶点D 的坐标为 ；(2)过点C 作CF x ∥轴交抛物线于点F ，点P 在抛物线上PCF ACO ∠=∠，求点P 的坐标；(3)点G 是一次函数y x =-图像上一点，点Q 是抛物线2=23y x x --上一点，BGQ 是以点Q 为直角顶点的等腰直角三角形，则点Q 的横坐标为 ．13．如图，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于点()4,0B ，与y 轴交于点C ，点E 在直线BC 上，过点E 作ED x ⊥轴于点()1,0D ，将BDE △沿DE 所在直线翻折，使点B 恰好落在抛物线上的点A 处．(1)求抛物线的解析式； (2)连接AC ，求ACE △的面积；(3)抛物线上是否存在一点P ，使CBA PAB ∠=∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 14．综合与探究如图1，平面直角坐标系xOy 中，抛物线2338y x bx =-++与x 轴交于A B ，两点（点A 在点B 的左侧），与y轴交于点C ，点A 的坐标为()20-，，抛物线上有一动点P ，点P 在第一象限，过点P 作y 轴的平行线分别交x 轴和直线BC 于点D 和点E ．(1)求抛物线及直线BC 的函数关系式； (2)当点E 为线段DP 的中点时，求点E 的坐标；(3)如图2，作射线OP ，交直线BC 于点F ，当OBF 是等腰三角形时，求点F 的坐标．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数的图象经过点()()()104002A B C -，，，，，，点D 是点C 关于原点的对称点，连接BD ，点E 是x 轴上的一个动点，设点E 的坐标为()0m ，，过点E 作x 轴的垂线l 交抛物线于点P ．(1)求这个二次函数的解析式；(2)当点E 在线段OB 上运动时，直线l 交BD 于点Q ，当四边形CDQP 是平行四边形时，求m 的值； (3)是否存在点P ，使BDP △是不以BD 为斜边的直角三角形？如果存在请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．参考答案：1．(1)点A 、B 、C 的坐标分别为(4,0)，(1,0)-和()0,2 (2)①2912m =-；①存在，m 的值为4-，-2，-1或32．(1)22y x x =-++ (2)()1,2(3)存在，点Q 的坐标为1010,222⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭-+或(1,1)3．(1)223y x x =--+ (2)BC 的函数表达式为3y x(3)()1,2M -(4)P 的坐标为()1,2--或()1,4-或3171,2⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭或3171,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭4．(1)21262y x x =-++；(2)①2132PD m m =-+，①存在，最大值为272；(3)存在，()0,6P 或()4,6或321,321或 113,1135．(1)22y x x =-++ (2)()1,1或()1,1--或()3,3或()3,3--6．(1)1- (2)3k ≤-(3)53,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或51,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭7．(1)()0,2 (2)1n =-(3)当直线CB 是对称轴时()210n m m =---<<；当直线DE 是对称轴时111212n m m ⎛⎫=--<<- ⎪+⎝⎭；当BFE ∠的平分线所在直线为对称轴时()110n m m=-<<8．(1)213222y x x =-++(2)符合条件的N 点的坐标为23255⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，或32552⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭-，或324712⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭+，或324712⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭-，或302⎛⎫⎪⎝⎭，； (3)141212 00E ⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭，或()202E ，； (4)点N 的坐标为：(21)，或4855⎛⎫ ⎪⎝⎭，或52 34⎛⎫⎪⎝⎭，．9．(1)233384y x x =-++(2)符合条件的点M 的坐标有：50,6⎛⎫⎪⎝⎭()0,313+ ()0,3- ()0,313-(3)22336(04)8336(20)4t t t S t t t ⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎪--+-<<⎪⎩10．(1)243y x x =-+ ()2,1D - (2)12(3)(22)，或12,3⎛⎫- ⎪⎝⎭11．(1)223y x x =-++(2)点P 坐标为30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或()0,1或()0,3或70,2⎛⎫ ⎪⎝⎭时，PAM △为直角三角形(3)135AIO ∠=︒，CI 最小值为310322-12．(1)(1,4)-；(2)532(,)39P -或720(,)39-；(3)103(1,)22--或315(,)24-或103(1,)22+-．13．(1)2142y x x =-- (2)3(3)()6,8或()2,4-14．(1)抛物线解析式为233384y x x =-++；直线BC 的解析式为334y x =-+(2)点E 的坐标为322⎛⎫⎪⎝⎭，(3)41255F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，或322⎛⎫ ⎪⎝⎭，15．(1)213222y x x =-++(2)2(3)()10-，或()818-，或()32，。
中考数学复习考点知识归类讲解28 二次函数中的三角形问题
中考数学复习考点知识归类讲解专题28 二次函数中的三角形问题知识对接考点一、二次函数中的三角形问题考点分析：二次函数与三角形的综合解答题一般涉及到这样几个方面：1.三角形面积最值问题2.特殊三角形的存在问题包括等腰等边和直角三角形。
这类题目一般出现在压轴题最后两道上，对知识的综合运用要求比较高。
考点二、解决此类题目的基本步骤与思路1.抓住目标三角形，根据动点设点坐标2.根据所设未知数去表示三角形的底和高，一般常用割补法去求解三角形的面积从而得出面积的关系式3. 根据二次函数性质求出最大值.4.特殊三角形问题首先要画出三角形的大概形状，分类讨论的去研究。
例如等腰三角形要弄清楚以哪两条边为要，直角三角形需要搞清楚哪个角作为直角都需要我们去分类讨论。
要点补充：1.简单的直角三角形可以直接利用底乘高进行面积的表示2.复杂的利用“补”的方法构造矩形或者大三角形，整体减去部分的思想3.利用“割”的方法时，一般选用横割或者竖割，也就是做坐标轴的垂线。
4.利用点坐标表示线段长度时注意要用大的减去小的。
5.围绕不同的直角进行分类讨论，注意检验答案是否符合要求。
6.在勾股定理计算复杂的情况下，灵活的构造K 字形相似去处理。
要点补充：专项训练 一、单选题1．如图，直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上，三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形．设穿过时间为t ，正方形与三角形不重合部分的面积为s （阴影部分），则s 与t 的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．2.定义：若抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为“美丽抛物线”．如图，直线l ：13y x b =+经过点10,4M ⎛⎫⎪⎝⎭一组抛物线的顶点()111B y ，，()222,B y ，()333,B y ，…(),n n B n y （n 为正整数），依次是直线l 上的点，这组抛物线与x 轴正半轴的交点依次是：()11,0A x ，()22,0A x ，()33,0A x ，…()11,0n n A x ++（n 为正整数）．若()101x d d =<<，当d 为（）时，这组抛物线中存在美丽抛物线A．512或712B．512或1112C．712或1112D．7123．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB的两个交点之间的距离为线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是A．16 B．15 C．14 D．134．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．如果抛物线经过图中的三个格点，那么以这三个格点为顶点的三角形称为该抛物线的“内接格点三角形”．设对称轴平行于y轴的抛物线与网格对角线OM的两个交点为A，B，其顶点为C，如果△ABC是该抛物线的内接格点三角形，，且点A，B，C的横坐标xA ，xB，xC满足xA＜xC＜xB，那么符合上述条件的抛物线条数是（）A．7 B．8 C．14 D．165．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，沿对角线AC 剪开（如图①）；固定△ADC ，把△ABC 沿AD 方向平移（如图②），当两个三角形重叠部分的面积最大时，移动的距离AA ′等于（）A ．1B ．1.5C ．2D ．0.8或1.26．如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x ，两个三角形重叠面积为y ，则y 关于x 的函数图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图，正三角形ABC 和正三角形ECD 的边BC ，CD 在同一条直线上，将ABC 向右平移，直到点B 与点D 重合为止，设点B 平移的距离为x ，=2BC ，4CD =．两个三角形重合部分的面积为Y ，现有一个正方形FGHI 的面积为S ，已知sin 60YS=︒，则S 关于x 的函数图像大致为（）A ．B ．C ．D ．8．以下说法正确的是（）A ．三角形的外心到三角形三边的距离相等B ．顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是菱形C ．分式方程11222x x x -=---的解为x ＝2 D ．将抛物线y ＝2x 2－2向右平移1个单位后得到的抛物线是y ＝2x 2－39．二次函数2(1)22y m x mx m =+-+-的图象与x 轴有两个交点()1,0x 和()2,0x ，下列说法：①该函数图象过点(1,1)-；②当0m =时，二次函数与坐标轴的交点所围成的三角形面积是③若该函数的图象开口向下，则m 的取值范围为21m -<<-；④当0m >，且21x --时，y 的最大值为(92)m +．正确的是（） A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④10．以下四个命题：①如果三角形的三个内角的度数比是3：4：5，那么这个三角形是直角三角形；②在实数-7.54-π，2中，有4个有理数，2个无理数；图是半圆，那么它的母线长为43；④二次函数221y ax ax=-+，自变量的两个值x1，x2对应的函数值分别为y1，y2，若|x1-1|>|x2-1|，则a(y1-y2)>0．其中正确的命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题11．定义[a，b，c]为二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的特征数，下面给出特征数为[2m，1－m，－1－m]的函数的一些结论：①当m≠0时，点(1，0)一定在函数的图象上；②当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于32；③当m＜0时，函数在14x>时，y随x的增大而减小；④当m＞0，若抛物线的顶点与抛物线与x轴两交点组成的三角形为等腰直角三角形，则13m=，正确的结论是________．（填写序号）12．如图，在第一象限内作与x轴的夹角为30°的射线OC，在射线OC上取点A，过点A 作AH⊥x轴于点H，在抛物线y＝x2（x＞0）上取一点P，在y轴上取一点Q，使得以P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A有____个．13．如图，直线l：1134y x=+经过点M(0，14)，一组抛物线的顶点B1(1，y1)，B2(2，y2)，B 3(3，y3)…Bn(n，yn)（n为正整数）依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1(x1，0)，A2(x2，0)，A3(x3，0)…，An+1(xn+1，0)（n为正整数），设x1＝d（0＜d＜1）若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则我们把这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．则当d （0＜d ＜1）的大小变化时美丽抛物线相应的d 的值是__．14．如图，抛物线与x 轴交于1,0A 、()3,0B -两点，与y 轴交于点()0,3C ，设抛物线的顶点为D ．坐标轴上有一动点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与BCD △相似．则点P 的坐标______．15．如图，要在夹角为30°的两条小路OA 与OB 形成的角状空地上建一个三角形花坛，分别在边OA 和OB 上取点P 和点Q ，并扎起篱笆将花坛保护起来（篱笆的厚度忽略不计）．若OP 和OQ 两段篱笆的总长为8米，则当OP =______米时，该花坛POQ 的面积最大．三、解答题16．如图，二次函数243y x x =-+与x 轴交于､A B 两点，点A 在点B 左边，与y 轴交于点C ，点D 与点B 关于y 轴对称，P 为y 轴上一动点，（1）直接写出ABC 的面积=______；（2）若以点P C D ､､为顶点的三角形与ABC 相似，求点P 的坐标；（3）若点P 在线段OC 上运动，延长DP 交CB 于点M ，过M 作MN //y 轴交抛物线于N 点，点P 在运动过程中，直接写出能够使PDN △面积的值为整数的点P 的个数______． 17．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线3y x =-+与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，二次函数2y ax 2x c =++的图象过B 、C 两点，且与x 轴交于另一点A ，点M 为线段OB 上的一个动点，过点M 作直线l 平行于y 轴交BC 于点F ，交二次函数2y ax 2x c =++的图象于点E ．（1）求二次函数的表达式；（2）当以C 、E 、F 为顶点的三角形与ABC 相似时，求线段EF 的长度； （3）已知点N 是y 轴上的点，若点N 、F 关于直线EC 对称，求点N 的坐标．18．在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣12x ＋2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，抛物线y ＝﹣12x 2＋bx ＋c 的对称轴是直线x ＝32与x 轴的交点为点A ，且经过点B 、C 两点． （1）求抛物线的解析式；（2）点M 为抛物线对称轴上一动点，当|BM ﹣CM |的值最小时，求出点M 的坐标； （3）抛物线上是否存在点N ，过点N 作NH ⊥x 轴于点H ，使得以点B 、N 、H 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．19．抛物线23y ax bx =++顶点为点()1,4D ，与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，点P 是抛物线对称轴上的一个动点．（1）求a 和b 的值；（2）是否存在点P ，使得以P 、D 、B 为顶点的三角形中有两个内角的和等于45︒？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．20．如图，抛物线243y x bx c =-++经过点()3,0A ，()0,2B ，连接AB ，点P 是第一象限内抛物线上一动点．（1）求抛物线的表达式；（2）过点P 作x 轴的垂线，交AB 于点Q ，判断是否存在点P ，使得以P 、Q 、B 为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由； （3）点C 与点B 关于x 轴对称，连接AC ，AP ，PC ，当点P 运动到什么位置时，ACP △的面积最大？求ACP △面积的最大值及此时点P 的坐标．21．定义：两个角对应互余，且这两个角的夹边对应相等的两个三角形叫做余等三角形．如图1，在ABC 和DEF 中，若90A E B D ∠+∠=∠+∠=︒，且AB DE =，则ABC 和DEF 是余等三角形．（1）如图2，等腰直角ABC ，其中90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 是AB 上任意一点（不与点A 、B 重合），则图中______和______是余等三角形，并求证：2222AD BD CD +=． （2）如图3，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，⊙O 的半径为5，且22100AD BC +=， ①求证：ABC 和ADC 是余等三角形．②图4，连结BD 交AC 于点I ，连结OI ，E 为AI 上一点，连结EO 并延长交BI 于点F ，若67.5ADB ∠=︒，IE IF =，设OI x =，EIF S y =△，求y 关于x 的函数关系式．22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2﹣x ＋c （a ≠0）与x 轴交于A （﹣1，0）、B （3，0）两点，直线AC 与y 轴交于点C ，与抛物线交于点D ，OA ＝OC ．11 / 11 （1）求该抛物线与直线AC 的解析式；（2）若点E 是x 轴下方抛物线上一动点，连接AE 、CE ．求△ACE 面积的最大值及此时点E 的坐标；（3）将原抛物线沿射线AD 方向平移y 1＝a 1x 2＋b 1x ＋c 1（a ≠0），新抛物线与原抛物线交于点F ，在直线AD 上是否存在点P ，使以点P 、D 、F 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．23．已知二次函数的图象经过点A （2，0），B （4-，0），C （0，4），点F 为二次函数第二象限内抛物线上一动点，FH x ⊥轴于点H ，交直线BC 于点D ，以FD 为直径的圆⊙M 与BC 交于点E ．（1）求这个二次函数的关系式；（2）当三角形EFD 周长最大时．求此时点F 点坐标及三角形EFD 的周长；（3）在（2）的条件下，点N 为⊙M 上一动点，连接BN ，点Q 为BN 的中点，连接HQ ，求HQ 的取值范围．。
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探索二次函数综合题解题技巧四
二次函数在中考数学中常常作为压轴题，具有一定的综合性和较大的难度。
学生往往因缺乏思路,感到无从下手,难以拿到分数。
事实上,只要理清思路,方法得当,稳步推进,少失分、多得分、是完全可以做到的。
第1小问通常是求解析式：这一小题简单，直接找出坐标或者用线段长度来确定坐标，进而用待定系数法求出解析式即可。
第2—3小问通常要结合三角形、四边形、圆、对称、解方程（组）与不等式（组）等知识呈现，知识面广，难度大；解这类题要善于运用转化、数形结合、分类讨论等数学思想，认真分析条件和结论、图形的几何特征与代数式的数量结构特征的关系，确定解题的思路和方法；同时需要心态平和，切记急躁：当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系；既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。
类型四二次函数与特殊三角形的探究问题
（1）与直角三角形的探究问题
例1如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-1,
且经过A(1，0)，C(0,3)两点，与x轴的另一个交点为B。
（1）若直线y=mx+n经过B，C两点，求抛物线和直线BC的解
析式；
（2）设点P为抛物线的对称轴x=-1上的一个动点，求使△BPC
为直角三角形的点P的坐标.
解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=-1，
且抛物线经过A（1，0），抛物线与x轴的另一交点为B，
∴B的坐标为：（-3，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x+3），
把C（0，3）代入，-3a=3，
解得：a=-1，
∴抛物线的解析式为：y=-（x-1）（x+3）=-x2-2x+3；
把B（-3，0），C（0，3）代入y=mx+n得：
m=1，n=3
∴直线y=mx+n的解析式为：y=x+3；
（1）设P（-1，t），
又∵B（-3，0），C（0，3），
∴BC2=18，PB2=（-1+3）2+t2=4+t2，PC2=（-1）2+（t-3）2=t2-6t+10，
①若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2，
即：18+4+t2=t2-6t+10，解之得：t=-2；
②若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2，
即：18+t2-6t+10=4+t2，解之得：t=4，
③若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2，
即：4+t2+t2-6t+10=18，
解之得：t1= 错误！未找到引用源。
， t2=
综上所述P的坐标为（-1，-2）或（-1，4）或（-1，）或（-1，）方法提炼(1)：
★利用坐标系中两点距离公式,得到所求三角形三边平方的代数式；
★确定三角形中的直角顶点，若无法确定则分情况讨论；
★根据勾股定理得到方程,然后解方程，若方程有解，此点存在；否则不存在；
方法提炼(2)：
★利用两直线垂直，K值互为负倒数（K1K2=-1），先确定点所在的直线表达式
★将直线与抛物线的表达式联立方程组，若求出交点坐标，此点存在；否则不存在；
方法提炼(3)：
★利用特殊角45°构造直角三角形，易求点的坐标。
（2）与等腰三角形的探究问题
例2如图，直线y＝3x＋3交x轴于点A，交y轴于点B，过A、
B两点的抛物线交x轴于另一点C(3，0)。
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角
形？若存在，求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说
明理由。
解：(1)抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3
(2)该抛物线的对称轴为x= 1。
设Q点坐标为(1，m)
当AB=AQ时 Q点坐标(1，6)，或(1，- 6)；
当BA= BQ时解得：m=0，m =6, Q点坐标为(1，0)或(1，6) 此点在直线AB上，不符合题意应舍去;
当QA=QB时解得：m=1， Q点坐标为(1，1)．
抛物线的对称轴上是存在着点Q(1, 6)、(1,- 6)、(1，0)、(1，1)
方法提炼：
★设出点坐标，求边长；（类型一方法提炼）
★当所给定长未说明是等腰三角形的底还是腰时，需分三种情况讨论，如：本题中当AB=AQ 时；当BA= BQ时；当QA=QB时；具体方法如下:
①当定长为腰，找已知直线上满足条件的点时，以定长的某一端点为圆心，以定长为半径画弧，若所画弧与已知直线有交点且交点不是定长的另一端点时，交点即为所求的点；若所画弧与已知直线无交点或交点是定长的另一端点时，满足条件的点不存在；②当定长为底边时，作出定长的垂直平分线，若作出的垂直平分线与已知直线有交点，则交点即为所求的点，若作出的垂直平分线与已知直线无交点，则满足条件的点不存在．用以上方法即可找出所有符合条件的点。
跟踪训练1：如图，已知抛物线y=x2+bx-3a过点A（1，0），
B（0，-3），与x轴交于另一点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若在第三象限的抛物线上存在点P，使△PBC为以点B
为直角顶点的直角三角形，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点Q，使以P，
Q，B，C为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
跟踪训练2：以菱形ABCD的对角线交点O为坐标原点，AC
所在的直线为x轴，已知A（-4，0），B（0，-2），M（0，
4），P为折线BCD上一动点，作PE⊥y轴于点E，设点P
的纵坐标为a．
（1）求BC边所在直线的解析式；
（2）当△OPM为直角三角形时，求点P的坐标．
跟踪训练3：如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是（8，4），连接AC，B C．
（1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；
（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B
运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速
度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之
停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA？
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
跟踪训练4：如图，已知一次函数y＝0.5x+2的图象与x轴交于点A，与二次函数y＝ax2+bx+c 的图象交于y轴上的一点B，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC ＝2．
（1）求二次函数y＝ax2+bx+c的解析式；
（2）设一次函数y＝0.5x+2的图象与二次函数y＝ax2+bx+c的图象的另一交点为D，已知P 为x轴上的一个动点，且△PBD为直角三角形，求点P的坐标．。