安徽省淮北市数学高二上学期文数期中考试试卷
安徽省淮北市高二数学上学期期中考试试题新人教A版
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
）1．设集合{}1|3,|04x A x x B x x -⎧⎫=>=<⎨⎬-⎩⎭，则A B =A ．∅B ．)4,3(C ．)1,2(-D ．),4(+∞2．直线x+y+1=0与圆2)1(22=+-y x 的位置关系是A ．相交B ．相离C ．相切D ．不能确定3．设,0,0>>b a 则以下不等式中不恒成立．．．．的是 A ．4)11)((≥++ba b a B ．2332ab b a ≥+C ．b a b a 22222+≥++D ．b a b a -≥-||4．在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+2,02,02x y x y x 表示的平面区域的面积是A ．24B ．4C .22D ．25．已知函数11()(sin cos )sin cos 22f x x x x x =+--,则()f x 的值域是A ． ]1,1[-B ．]1,22[-C ．]22,1[- D ．]22,1[-- 6．有一几何体的三视图如下，则该几何体体积为A ．4+52π B ．4+32π C ．4+2π D ．4+π7．定义在(,0)(0,)-∞+∞上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a ,{()}n f a 仍是等比数列,则称()f x 为“保等比数列函数”。
现有定义在(,0)(0,)-∞+∞上的如下函数:①2)(x x f =;②xx f 2)(=;③||)(x x f =;④||ln )(x x f =。
则其中是“保等比数列函数”的)(x f 的序号为A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④8．设CD 是△ABC 的边AB 上的高，且满足22221CD CD AC BC +=，则( )A ．2A B π+=B ．2A B π+=或2A B π-=C ．2A B π+=或2B A π-=D ．2A B π+=或||2A B π-=9．等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，1a ＝－2013，2810810=-S S ，则2013S ＝A ．－2012B ．2013C ．2012D ．－201310．已知函数1)4(22)(2+--=x m mx x f ，mx x g =)(，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0，2)B ．(0，8)C ．(2，8)D ．(－∞，0)二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．将容量为n 的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图。
安徽省淮北市第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试 数学(文)试题
2019-2020学年度第一学期期中考试高二（文科）数学考试时间：120分钟试卷分值：150分一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.直线的倾斜角为A. B. C. D.2.已知直线：和：互相平行，则实数A. 或3B.C. D. 或3.圆的半径为，则a等于A. 5B. 或5C. 1D. 1或4.若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的母线与轴所成的角为A. B. C. D.5.如图，在正方体中，下列结论不正确的是A.B.C.D.6.一个平面图形用斜二测画法作的直观图是一个边长为1cm的正方形，则原图形的周长是A. 6cmB. 8cmC.D.7.一个几何体的三视图如图所示，则其表面积为A.B.C.D.8.过点，斜率为k的直线，被圆截得的弦长为，则k的值为A. B. C. D.9.一条光线从点射出，经y轴反射后与圆相交，则入射光线所在直线的斜率的取值范围为A. B. C. D.10.若圆上至少有三个不同的点到直线l：的距离为，则直线l的斜率的取值范围是A. B.C. D.二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.如图在直三棱柱中，，，则异面直线与AC所成角的余弦值是______．12.如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边，AD是斜边BC上的高，将沿着AD折叠，使二面角为，则三棱锥的体积是______ ．13.直线l与两直线，分别交于P，Q两点，线段PQ的中点是，则l的斜率是_________．14.若无论实数a取何值时，直线与圆都相交，则实数b的取值范围是__________．15.如图，已知和所在平面互相垂直，，，，，且，则三棱锥的外接球的表面积为______ ．。
安徽省淮北市高二数学上学期期中联考试题(扫描版)(new)
安徽省淮北市三校2017-2018学年高二数学上学期期中联考试题（扫描版)三校联考高二数学答案选择题：1—12:DDCABC CABDBA填空题：13—16:(-1，0），103，2017，6π 解答题：17。
解:（1）当111,0.n a S ===当12,23n n n n a S S n -≥=-=-因为1n =不适合0,123,2n n a n n =⎧∴=⎨-≥⎩......................................................5分 （2）2242143. (22)n n a a a n n n +-+++=⨯=-……………………………10分 18、解: 原不等式可化为: (1）当时, 即,原不等式的解集 ……………………………6分 (2）当时， ①，原不等式的解集 ②， 原不等式的解集 ③,原不等式的解集 ………………………12分19解(Ⅰ)因为a ，b,c 成等差数列，所以a+c=2b, 又c a 2=,可得c b 23=, 所以412324492cos 2222222-=⨯-+=-+=c c c c bc a c b A ， ………………………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ）41cos -=A ，），（π0∈A ，所以415sin =A ， 因为,sin 214153A bc S S ABC ABC ==∆∆， 所以41534152321sin 212=⨯==∆c A bc S ABC ，得42=c ，即3,2==b c …………………………………………………12分20。
（Ⅰ)331315468d q d q ⎧++=⎨+-=⎩所以22d q =⎧⎨=⎩ 1212n n n a n b -∴=-=，.。
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6分 (Ⅱ）错位相减得n 12362n n T -+=-…………………………………………12分 21（1）0sin 3cos =--+c a C b C b 得sin cos sin sin()sin 0B C B C B C C +-+-=sin cos sin sin 0B C B C C --=cos 1B B -=即3B π= …………………………………………………………………。
安徽省淮北市数学高二上学期文数期中考试试卷
安徽省淮北市数学高二上学期文数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分） (2018高一下·西城期末) 若方程表示圆，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .2. （1分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则p的值为（）A . -2B . 2C . -4D . 43. （1分）已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（）A . y=B .C .D .4. （1分）双曲线的左右焦点分别为，且恰为抛物线的焦点，设双曲线与该抛物线的一个交点为，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .5. （1分）设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P(x ， y)满足条件|PF1|＋|PF2|＝a(a>0)，则动点P的轨迹是（）A . 椭圆B . 线段C . 椭圆、线段或不存在D . 不存在6. （1分）(2017·南海模拟) 已知椭圆C：x2+4y2=4的左右焦点分别为F1 ， F2 ，以F2为圆心的圆与椭圆C在第一象限的交点为P，若直线F1P与该圆相切，则直线F1P的斜率为（）A .B .C .D .7. （1分）若双曲线的离心率，则k的取值范围是（）A .B . (-3,0)C . (-12,0)D . (-60,-12)8. （1分） (2016高三上·湖北期中) 设点P是椭圆 =1（a＞b＞0）上于点，F1 ， F2分别是椭圆的左、右交点，I为△PF1F2的内心，若S +S =2S ，则该椭圆的离心率是（）A .B .C .D .9. （1分） (2018高二下·孝感期中) 已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线于两点，则线段的中点到轴的距离为（）A .B .C .D .10. （1分）(2014·四川理) 已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）A . 2B . 3C .D .11. （1分）已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）与双曲线C2：x2﹣=1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则（）A . a2=B . a2=3C . b2=D . b2=212. （1分） (2018高三上·太原期末) 已知直线与双曲线相切于点，与双曲线两条渐进线交于，两点，则的值为（）A .B .C .D . 与的位置有关二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二上·安平期末) 若双曲线的一条渐近线方程为y= x，则其离心率为________．14. （1分） (2017高二下·榆社期中) 已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过抛物线上点P（2，y0）的切线为l，过点P作平行于x轴的直线m，过F作平行于l的直线交m于M，若|PM|=5，则p的值为________．15. （1分）已知直线y=mx与曲线 =1有且仅有一个交点，则实数m的取值范围为________．16. （1分） (2018高二上·佛山期末) 是双曲线右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值为________．三、解答题 (共6题；共11分)17. （2分） (2016高二上·徐州期中) 已知直线l与圆C：x2+y2+2x﹣4y+a=0相交于A，B两点，弦AB的中点为M（0，1）．（1）求实数a的取值范围以及直线l的方程；（2）若圆C上存在动点N使CN=2MN成立，求实数a的取值范围．18. （2分）已知椭圆C：（a＞b＞0）上的左、右顶点分别为A，B，F1为左焦点，且|AF1|=2，又椭圆C过点(0,2)．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点P和Q分别在椭圆C和圆x2+y2=16上（点A，B除外），设直线PB，QB的斜率分别为k1 ， k2 ，若k1=，证明：A，P，Q三点共线．19. （1分）设是椭圆上的点且的纵坐标，点、，试判断是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．20. （2分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点（1，）在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作斜率为的直线l交椭圆C于A、B两点，求证：|PA|2+|PB|2为定值．21. （2分） (2019高二上·大庆月考) 已知椭圆方程 ,左右焦点分别为（1）求椭圆焦点坐标及离心率;（2）过的直线与椭圆交于两点 ,若，求直线方程.22. （2分） (2016高二下·无为期中) 已知椭圆 + =1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（，）．（1）求椭圆方程；（2）设不过原点O的直线l：y=kx+m（k≠0），与该椭圆交于P、Q两点，直线OP、OQ的斜率依次为k1、k2，满足4k=k1+k2，试问：当k变化时，m2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．参考答案一、单选题 (共12题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共11分) 17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。
安徽省淮北市高二上学期期中数学试卷
安徽省淮北市高二上学期期中数学试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 说出下列三视图表示的几何体是A . 正六棱柱 B . 正六棱锥 C . 正六棱台 D . 正六边形2. （2 分） 直线的倾斜角为（ ）A . 150ºB . 120ºC . 60ºD . 30º3. （2 分） 在空间四边形 ABCD 中，平面 ABD⊥平面 BCD，且 DA⊥平面 ABC，则△ABC 的形状是（ ）A . 锐角三角形 B . 直角三角形 C . 钝角三角形 D . 不能确定第 1 页 共 14 页4. （2 分） 两直线与的位置关系是（ ）A . 相交B . 平行C . 重合D . 平行或重合5. （2 分） 已知 为两条不同直线， 为两个不同平面，则下列命题中不正确的是（ ）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则6. （2 分） 过点且平行于直线A.B.C.D.7. （2 分） 已知向量 满足的直线方程为（ ），，则的最小值为（ ）A. B. C. D.第 2 页 共 14 页8. （2 分） 正四面体（四个面都为正三角形）ABCD 中，异面直线 AB 与 CD 所成的角为（ ） A . 90° B . 60° C . 45° D . 30°9. （2 分） 若圆 斜角的取值范围是（ ）上至少有三个不同的点到直线的距离为 ,则直线 的倾A.B. C.D. 10. （2 分） 直线 A.1 B. C.2 D.3， 当此直线在 轴的截距和最小时，实数 的值是（ ）11. （2 分） 在如图所示的圆锥中，平面 ABC 是轴截面，底面圆 O'的面积为 4π，∠ABC= 接球的表面积为（ ），则该圆锥的外第 3 页 共 14 页A.B.C. D . 32π12. （2 分） 若点为圆的弦 MN 的中点，则弦 MN 所在直线方程为（ ）A.B.C.D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2019 高二下·上海月考) 正四棱柱底面所成的角的大小为，则正四棱柱的底面边长，若直线与的侧面积为________14. （1 分） 已知 l1 ， l2 是分别经过 A（2，1），B（0，2）两点的两条平行直线，当 l1 ， l2 之间的距离 最大时，直线 l1 的方程是________15. （1 分） (2016 高一上·清远期末) 已知直线 l 过点（1，﹣1），且在 y 轴上的截距为 方程为________．，则直线 l 的16.（1 分）直线 x+3y﹣7=0 与圆 x2+y2+2x﹣2y﹣3=0 的交点 A，B，则过 A，B 两点且过原点的圆的方程________．三、 解答题 (共 6 题；共 45 分)第 4 页 共 14 页17. （5 分） (2017·莱芜模拟) 已知四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，∠BAD=60°，AB=PB=PD=2，PA= ．（Ⅰ）求证：BD⊥PC； （Ⅱ）若 E 是 PA 的中点，求三棱锥 P﹣BCE 的体积． 18. （10 分） (2017 高一上·嘉峪关期末) △ABC 中，A（0，1），AB 边上的高 CD 所在直线的方程为 x+2y﹣4=0， AC 边上的中线 BE 所在直线的方程为 2x+y﹣3=0． （1） 求直线 AB 的方程，并把它化为一般式； （2） 求直线 BC 的方程，并把它化为一般式． 19. （5 分） 如图，正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，点 M 在线段 EC 上．（Ⅰ）当点 M 为 EC 中点时，求证：BM∥平面 ADEF；（Ⅱ）当平面 BDM 与平面 ABF 所成锐二面角的余弦值为时，求棱锥 M﹣BDE 的体积．20. （10 分） (2017·陆川模拟) 如图所示，已知长方体 ABCD 中， 沿 AM 折起，使得 AD⊥BM为 DC 的中点．将△ADM第 5 页 共 14 页（1） 求证：平面 ADM⊥平面 ABCM；（2） 是否存在满足 数 t；若不存在，请说明理由．的点 E，使得二面角 E﹣AM﹣D 为大小为 ．若存在，求出相应的实21. （5 分） (2017 高一下·濮阳期末) 已知圆 C：x2+y2+2x+a=0 上存在两点关于直线 l：mx+y+1=0 对称．（I）求 m 的值；（Ⅱ）直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点， • =﹣3（O 为坐标原点），求圆 C 的方程．22. （10 分） (2019 高二上·安徽月考) 已知三棱锥中：，，， 是 的中点， 是 的中点.（1） 证明：平面 （2） 求点 到平面平面；的距离.第 6 页 共 14 页一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 7 页 共 14 页16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 45 分)17-1、 18-1、第 8 页 共 14 页18-2、19-1、第 9 页 共 14 页第 10 页 共 14 页20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、。
安徽省淮北市数学高二上学期文数期中考试试卷
安徽省淮北市数学高二上学期文数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）命题p︰x＝0，命题q︰xy＝0，则p与q的推出关系是A .B .C .D .2. （2分）上海世博会期间，某日13时至21时累计入园人数的折线图如图所示，那么在13时~14时，14时~15时，……，20时~21时八个时段中，入园人数最多的时段是（）A . 13时~14时B . 16时~ 17时C . 18时~19时D . 19时~20时3. （2分） (2019高二上·辽源期中) 抛物线的准线方程是，则的值是（）A .B .C . 4D .4. （2分）容量为20的样本数据，分组后的频数如下表，则样本数据落在区间[10，40)的频率为（）分组[10，20)[20，30)[30，40)[40，50)[50，60)[60，70]频数234542A . 0.35B . 0.45C . 0.55D . 0.655. （2分）(2016·安徽) 设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A . 必要不充分条件B . 充分不必要条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分） (2018高二上·吉林期末) 在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90 89 90 9593 94 93去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（）A . ，B . ，C . ，D . ，7. （2分）(2020·随县模拟) 执行如图的程序框图，最后输出结果为8.若判断框填入的条件是，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .8. （2分）(2017·长沙模拟) 随机地取两个数x，y，使得x∈[﹣1，1]，y∈[0，1]，则满足y≥x2的概率是（）A .B .C .D .9. （2分） (2018高二上·万州期末) 已知为命题，则“ 为假”是“p 为假”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件10. （2分）已知直线与椭圆相交于两点，若椭圆的离心率为，焦距为，则线段的长是（）A .B .C .D .11. （2分） (2016高二下·松原开学考) 已知双曲线的中心为原点，F（3，0）是双曲线的﹣个焦点，是双曲线的一条渐近线，则双曲线的标准方程为（）A .B .C .D .12. （2分）(2018·浙江学考) 如图，设为椭圆 =1（）的右焦点，过作轴的垂线交椭圆于点，点分别为椭圆的右顶点和上顶点，为坐标原点，若的面积是面积的倍，则该椭圆的离心率（）A . 或B . 或C . 或D . 或二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二上·长春期中) 平面内有一长度为2的线段AB与一动点P，若满足|PA|+|PB|=8，则|PA|的取值范围为________．14. （1分） (2017高三上·徐州期中) 已知一组数据：87，x，90，89，93的平均数为90，则该组数据的方差为________．15. （1分） (2017高三上·连城开学考) 对于函数①f（x）=lg（|x﹣2|+1），②f（x）=（x﹣2）2 ，③f （x）=cos（x+2）．给出如下三个命题：命题甲：f（x+2）是偶函数；命题乙：f（x）在区间（﹣∞，2）上是减函数，在区间（2，+∞）上是增函数；命题丙：f（x+2）﹣f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数．能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是________．16. （1分） (2020高二上·无锡期末) 已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为________三、解答题 (共6题；共75分)17. （10分） (2016高二上·曲周期中) 设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=1，且p∨q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的必要不充分要条件，求实数a的取值范围．18. （15分） (2020高三上·贵阳期末) 互联网使我们的生活日益便捷，网络外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分，某市一调查机构针对该市市场占有率较高的甲、乙两家网络外卖企业（以下外卖甲、外卖乙）的经营情况进行了调查，调查结果如下表：1日2日3日4日5日外卖甲日接单x（百单）529811外卖乙日接单y（百单）2310515（1）试根据表格中这五天的日接单量情况，从统计的角度说明这两家外卖企业的经营状况；（2）据统计表明，y与x之间具有线性关系.①请用相关系数r对y与x之间的相关性强弱进行判断；（若，则可认为y与x有较强的线性相关关系（r值精确到0.001））②经计算求得y与x之间的回归方程为，假定每单外卖业务企业平均能获纯利润3元，试预测当外卖乙日接单量不低于25百单时，外卖甲所获取的日纯利润的大致范围.（x值精确到0.01）相关公式：，参考数据： .19. （15分） (2018高一下·濮阳期末) 在每年的3月份，濮阳市政府都会发动市民参与到植树绿化活动中去林业管理部门为了保证树苗的质量都会在植树前对树苗进行检测，现从甲、乙两种树苗中各抽测了株树苗，量出它们的高度如下(单位：厘米)，甲：37，21，31，20，29，19，32，23，25，33；乙：10，30，47，27，46，14，26，10，44，46.（1）画出两组数据的茎叶图并根据茎叶图对甲、乙两种树苗的高度作比较，写出两个统计结论；（2）设抽测的株甲种树苗高度平均值为，将这株树苗的高度依次输人，按程序框(如图)进行运算，问输出的大小为多少?并说明的统计学意义，20. （10分） (2017高二上·中山月考) 已知椭圆C：（）上一点到它的左右焦点，的距离的和是6．（1）求椭圆C的离心率的值；（2）若轴，且在轴上的射影为点，求点的坐标．21. （15分） (2017高二上·钦州港月考) 假设某种设备使用的年限x（年）与所支出的维修费用y（万元）有以下统计资料：使用年限x23456维修费用y24567若由资料知y对x呈线性相关关系。
安徽省淮北市高二上学期期中数学试卷
安徽省淮北市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共15分)1. （1分） (2019高二上·江阴期中) 命题“∀x∈R，x2+2x+2＞0”的否定为________．2. （1分）(2020·上海模拟) 已知样本数据的每个数据都是自然数，该样本的平均数为4，方差为5，且样本数据两两互不相同，则样本数据中的最大值是________3. （1分） (2019高一下·南通期末) 某校共有学生1600人，其中高一年级400人．为了解各年级学生的兴趣爱好情况，用分层抽样的方法从中抽取容量为80的样本，则应抽取高一学生________人．4. （1分）(2020·湖州模拟) 在平面直角坐标系中，已知点M是双曲线上的异于顶点的任意一点，过点M作双曲线的切线l，若，则双曲线离心率等于________.5. （2分） (2019高一上·宁波期中) 函数的定义域是________；的解集是________.6. （1分） (2016高二上·湖南期中) 若椭圆 =1（a＞b＞0）上的任意一点P到右焦点F的距离|PF|均满足|PF|2﹣2a|PF|+c2≤0，则该椭圆的离心率e的取值范围为________．7. （1分）某水池的容积是20m3 ，向水池注水的水龙头A和水龙头B的流速都是1m3/h，它们在一昼夜内随机开放（0～24小时），水池不溢出水的概率为________8. （1分） (2017高二上·荆门期末) 执行如图程序，若输出的结果是4，则输入的x的值是________．9. （1分）已知某圆与y轴切于点（0，3），与x轴所截得的线段长为8，则该圆的标准方程为________10. （1分）(2017·榆林模拟) 已知关于空间两条不同直线m，n，两个不同平面α，β，有下列四个命题：①若m∥α且n∥α，则m∥n；②若m⊥β且m⊥n，则n∥β；③若m⊥α且m∥β，则α⊥β；④若n⊂α且m 不垂直于α，则m不垂直于n．其中正确命题的序号为________．11. （1分）设全集U={1，3，5，7，9}，A={1，|a﹣5|，9}，∁UA={5，7}，则a的值为________12. （1分）(2018·河北模拟) 已知实数满足约束条件则的最大值为________．13. （1分） (2016高二上·如东期中) 过椭圆内一点M（l，l）的直线l交椭圆于两点，且M 为线段AB的中点，则直线l的方程为________14. （1分）(2020·江门模拟) 已知实数、满足，则的最大值为________．二、解答题 (共6题；共50分)15. （10分） (2019高二下·海安月考) 已知正六棱锥的底面边长为2，高为1．现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量表示所得三角形的面积.（1）求概率的值；（2）求的分布列，并求其数学期望．16. （5分） (2016高一上·澄海期中) 已知A={x|a≤x≤2a﹣4}，B={x|x2﹣5x﹣6＜0}，若A∩B=A，求a的取值范围．17. （10分）(2020·海南模拟) 已知，；， .（1）若为真命题，求实数的取值范围；（2）若与的真假性相同，求实数的取值范围.18. （5分）某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n人．为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队有6人．（1）求n的值；（2）把在前排就坐的高二代表队6人分别记为a，b，c，d，e，f，现随机从中抽取2人上台抽奖．求a和b 至少有一人上台抽奖的概率．（3）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的均匀随机数x，y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率．19. （10分）已知椭圆C： =1（a＞b＞0）过点（1，），且离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若点P与点Q均在椭圆C上，且P，Q关于原点对称，问：椭圆上是否存在点M（点M在第一象限），使得△PQM为等边三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．20. （10分）(2018·山东模拟) 已知点，分别是椭圆的长轴端点、短轴端点，为坐标原点，若， .（1）求椭圆的标准方程；（2）如果斜率为的直线交椭圆于不同的两点(都不同于点 )，线段的中点为，设线段的垂线的斜率为，试探求与之间的数量关系.参考答案一、填空题 (共14题；共15分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：二、解答题 (共6题；共50分)答案：15-1、答案：15-2、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：。
安徽省淮北一中高二数学上学期期中试卷(含解析)
2015-2016学年安徽省淮北一中高二（上）期中数学试卷一、本卷共13小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x＞0}，则∁U A等于( )A．{x|0≤x≤2}B．{x|0＜x＜2} C．{x|x＜0或x＞2} D．{x|x≤0或x≥2}2．已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=( )A．123 B．105 C．95 D．233．淮北市文明创建活动正在轰轰烈烈的开展，第三方评估机构拟了解我市中小学生“社会主义核心价值观”掌握情况，已知不同学段学生掌握情况有差异，现从中小学生中抽取部分学生进行调查，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样4．已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1），且（2﹣3）⊥，则实数k=( ) A．﹣B．0 C．3 D．5．设a，b，c∈R，且a＞b，则( )A．ac＞bc B．C．a2＞b2D．a3＞b36．设a，b∈R，则“a，b都等于0”的必要不充分条件为( )A． B．a2+b2＞0 C．ab≠0D．a+b=07．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A．B．C．D．8．若a＞b＞0，则a2+的最小值为( )A．2 B．3 C．4 D．59．△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=a，则=( ) A．2 B．2 C．D．10．设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β11．若圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点（a，b）所作的切线长的最小值是( )A．2 B．3 C．4 D．612．定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈时，f（x）=x2﹣2x，若x∈时，f（x）≥恒成立，则实数t的取值范围是( )A．（﹣∞，﹣1]∪（0，3] B．C．【点评】本小题考查抽样方法，主要考查分层抽样方法，属基本题．4．已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1），且（2﹣3）⊥，则实数k=( )A．﹣B．0 C．3 D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】（2﹣3）⊥，可得（2﹣3）•=0，解出即可．【解答】解：=（2k﹣3，﹣6），∵（2﹣3）⊥，∴（2﹣3）•=2（2k﹣3）﹣6=0，解得k=3．故选：C．【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系，属于基础题．5．设a，b，c∈R，且a＞b，则( )A．ac＞bc B．C．a2＞b2D．a3＞b3【考点】不等关系与不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】对于A、B、C可举出反例，对于D利用不等式的基本性质即可判断出．【解答】解：A、3＞2，但是3×（﹣1）＜2×（﹣1），故A不正确；B、1＞﹣2，但是，故B不正确；C、﹣1＞﹣2，但是（﹣1）2＜（﹣2）2，故C不正确；D、∵a＞b，∴a3＞b3，成立，故D正确．故选：D．【点评】熟练掌握不等式的基本性质以及反例的应用是解题的关键．6．设a，b∈R，则“a，b都等于0”的必要不充分条件为( )A． B．a2+b2＞0 C．ab≠0D．a+b=0【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】应用题；对应思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：对于A，a=b=0，故A是“a，b都等于0”充要条件，对于B，a，b至多有一个为0，即不充分也不必要，对于C：a，b都不为0，即不充分也不必要，对于D，a=b=0，或a，b都不为0，必要不充分条件故：D．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据定义进行判断即可，比较基础．7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】由三视图可知该几何体，是过一正三棱柱的上底面一边作截面，截去的部分为三棱锥，利用间接法求出其体积．【解答】解：由三视图可知该几何体，是过一正三棱柱的上底面一边作截面，截去的部分为三棱锥，而得到的几何体．原正三棱锥的底面边长为2，高为2，体积V1=Sh=×2=2．截去的三棱锥的高为1，体积V2=×1=故所求体积为V=V1﹣V2=故选A．【点评】本题考查三视图求几何体的体积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键8．若a＞b＞0，则a2+的最小值为( )A．2 B．3 C．4 D．5【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由基本不等式可得b（a﹣b）≤，再次利用基本不等式可得a2+≥a2+≥2=4，注意两次等号同时取到即可．【解答】解：∵a＞b＞0，∴a﹣b＞0，∴b（a﹣b）≤=，∴a2+≥a2+≥2=4，当且仅当b=a﹣b且a2=即a=且b=时取等号，∴则a2+的最小值为4，故选：C．【点评】本题考查基本不等式求最值，注意两次等号成立的条件是解决问题的关键，属基础题．9．△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=a，则=( ) A．2 B．2 C．D．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；解三角形．【分析】由正弦定理与同角三角函数的平方关系，化简整理题中的等式得sinB=sinA，从而得到b=a，可得答案．【解答】解：∵△ABC中，asinAsinB+bcos2A=a，∴根据正弦定理，得sin2AsinB+sinBcos2A=sinA，可得sinB（sin2A+cos2A）=sinA，∵sin2A+cos2A=1，∴sinB=sinA，得b=，可得=．故选：C．【点评】本题给出三角形满足的边角关系式，求边a、b的比值．着重考查了正弦定理、同角三角函数的基本关系等知识，属于基础题．10．设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】阅读型；空间位置关系与距离．【分析】由线面平行的性质和面面平行的判定，即可判断A；由线面平行的性质定理和面面垂直的判定定理，即可判断B；由面面垂直的性质和线面的位置关系，即可判断C；由面面垂直的性质定理和线面平行的性质，即可判断D．【解答】解：对于A．若l∥α，l∥β，则α∥β或α，β相交，故A错；对于B．若l∥α，l⊥β，则由线面平行的性质定理，得过l的平面γ∩α=m，即有m∥l，m⊥β，再由面面垂直的判定定理，得α⊥β，故B对；对于C．若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l⊂β，故C错；对于D．若α⊥β，l∥α，若l平行于α，β的交线，则l∥β，故D错．故选B．【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查线面平行、垂直的判定和性质，面面垂直的判定和性质，考查空间想象能力，属于中档题和易错题．11．若圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点（a，b）所作的切线长的最小值是( )A．2 B．3 C．4 D．6【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】由题意可知直线经过圆的圆心，推出a，b的关系，利用（a，b）与圆心的距离，半径，求出切线长的表达式，然后求出最小值．【解答】解：将圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0化为标准方程得：（x+1）2+（y﹣2）2=2，∴圆心C（﹣1，2），半径r=，∵圆C关于直线2ax+by+6=0对称，∴直线2ax+by+6=0过圆心，将x=﹣1，y=2代入直线方程得：﹣2a+2b+6=0，即a=b+3，∵点（a，b）与圆心的距离d=，∴点（a，b）向圆C所作切线长l====≥4，当且仅当b=﹣1时弦长最小，最小值为4．故选C【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，两点间的距离公式，勾股定理，以及圆的切线方程的应用，其中得出a与b的关系式是本题的突破点．12．定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈时，f（x）=x2﹣2x，若x∈时，f（x）≥恒成立，则实数t的取值范围是( )A．（﹣∞，﹣1]∪（0，3] B．C．时，f（x）≥，将f（x）转化到上，得到具体的表达式，再根据不等式恒成立的解题思路，分离参数求出t 的范围．【解答】解：设x∈，则x+4∈，由f（x+2）=2f（x），所以f（x+4）=2f（x+2）=4f（x），即f（x）=f（x+4），结合x∈时，f（x）=x2﹣2x，所以f（x）≥可化为：f（x+4）≥即≤2f（x+4）=2，恒成立只需，易知当x+4=1，即x=﹣3时取得最小值﹣2．即，解得﹣1≤t＜0或t≥3．故选C．【点评】本题考查了不等式的恒成立问题，一般是转化为函数的最值来解决，关键是能够根据f（x+2）=2f（x），将所求区间上的函数式转化到已知区间上来，得到具体的关于x的不等式恒成立，使问题获得解决．13．已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是( )A．（0，）B．（，1）C．（1，2）D．（2，+∞）【考点】函数的零点．【专题】函数的性质及应用．【分析】画出函数f（x）、g（x）的图象，由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g （x）的图象（红线）有两个交点，数形结合求得k的范围．【解答】解：由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，如图所示：K OA=，数形结合可得＜k＜1，故选：B．【点评】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）14．命题“正方形是平行四边形”逆否命题为如果一个四边形不为平行四边形，则这个四边形不为正方形．【考点】四种命题．【专题】应用题；对应思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据原命题“正方形是平行四边形”及四种命题的定义，我们可以写出其逆否命题．【解答】解：逆否命题为：“如果一个四边形不为平行四边形，则这个四边形不为正方形”，故答案为：如果一个四边形不为平行四边形，则这个四边形不为正方形【点评】本题考查的知识点是四种命题的之间的关系，属于基础题．15．已知各项不为0的等差数列{a n}满足a4﹣2a72+3a8=0，数列{b n}是等比数列，且b7=a7，则b2b8b11等于8．【考点】等差数列的通项公式．【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由题意易得a7，进而可得b7，由等比数列的性质可得．【解答】解：设各项不为0的等差数列{a n}公差为d，∵a4﹣2a72+3a8=0，∴（a7﹣3d）﹣2a72+3（a7+d）=0，解得a7=2，∴b7=a7=2，∴b2b8b11=b6b8b7=b73=8，故答案为：8．【点评】本题考查等差数列和等差数列的通项公式，涉及等比数列的性质，属基础题．16．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果为9．【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图．【分析】根据框图的流程依次计算运行的结果，直到条件满足，输出n的值．【解答】解：模拟执行程序框图，可得n=1，s=0，a=2，s=不满足条件s≥，n=2，a=2×3，s=+不满足条件s≥，n=3，a=3×4，s=++不满足条件s≥，n=4，a=4×5，s=+++…不满足条件s≥，n=9，a=9×10，s=+++…+=+﹣+…+﹣=1﹣=满足条件s≥，退出循环，输出n的值为9．故答案为：9．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算运行的结果是解答此类问题的常用方法．17．已知，若函数f（x+m）为奇函数，则最小正数m的值为．【考点】正切函数的图象．【专题】转化思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】利用正切函数是奇函数的性质，列出方程即可求得m的取值，再求出它的最小值．【解答】解：∵函数f（x）=tan（2x+），∴f（x+m）=tan（2x+2m+）；又f（x+m）是奇函数，∴2m+=kπ，k∈Z；当k=1时，m取得最小正数值为．故答案为：．【点评】本题考查了正切函数的图象与性质的应用问题，是基本题目．三、解答题（共7小题，满分70分）18．已知递增数列{a n}满足：a1a4=18，a2+a3=9．（1）若{a n}是等差数列，求{a n}通项；（2）若{a n}是等比数列，求{a n}前n项和S n．【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）若{a n}是等差数列由a1a4=18，a2+a3=a1+a4=9，得a1和a4是方程x2﹣9x+18=0的两个根，解方程x2﹣9x+18=0，得a1=3，a4=6，由此能求出{a n}通项．（2）若{a n}是等比数列，由a1a4=a2a3=18，a2+a3=9，得a2和a3是方程x2﹣9x+18=0的两个根，解方程x2﹣9x+18=0，得a2=3，a3=6，由此能求出{a n}前n项和S n．【解答】解：（1）若{a n}是等差数列，设公差为d，由数列{a n}递增可得d＞0，∵a1a4=18，a2+a3=a1+a4=9．∴a1和a4是方程x2﹣9x+18=0的两个根，解方程x2﹣9x+18=0，得x1=3，x2=6，∵d＞0，∴a1=3，a4=6，=1，∴a n=3+（n﹣1）×1=n+2．∴{a n}通项a n=n+2．（2）若{a n}是等比数列，设公比为q，∵a1a4=a2a3=18，a2+a3=9，∴a2和a3是方程x2﹣9x+18=0的两个根，解方程x2﹣9x+18=0，得x1=3，x2=6，∵递增数列{a n}中q＞0，∴a2=3，a3=6，q===2，，∴{a n}前n项和S n==．【点评】本题考查等差数列的通项公式和等比数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．19．已知函数f（x）=，其中，．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调区间；（2）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且c=3，f（C）=0，若sin（A+C）=2sinA，求a、b值．【考点】余弦定理的应用；平面向量数量积的运算．【专题】综合题；函数思想；综合法；三角函数的图像与性质；解三角形；平面向量及应用．【分析】（1）运用向量的数量积的坐标表示和二倍角公式，及两角差的正弦公式，化简f（x），再由周期公式和正弦函数的单调区间，解不等式即可得到所求；（2）设△ABC中，由f（C）=0，可得sin（2C﹣）=1，根据C的范围求得角C的值，再利用正弦定理和余弦定理求得a、b的值．【解答】解：（1）f（x）==cosx（sinx﹣cosx）﹣1+=sin2x﹣（1+cos2x）﹣=sin2x﹣cos2x﹣1=sin（2x﹣）﹣1，即有函数f（x）的最小正周期为T==π，由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，可得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，可得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，即有增区间为，减区间为，k∈Z；（2）f（C）=0，即为sin（2C﹣）=1，由0＜C＜π，即有2C﹣=，解得C=．由sin（A+C）=2sinA，即sinB=2sinA，由正弦定理，得=2①．由余弦定理，得c2=a2+b2﹣2abcos，即a2+b2﹣ab=9②，由①②解得a=，b=2．【点评】本题主要考查向量的数量积的坐标表示和三角恒等变换、正弦函数的周期性、单调性、正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．20．在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥AD，PA⊥PD，AD=2BC，AB=PB，E为PA的中点．（1）求证：BE∥平面PCD；（2）求证：平面PAB⊥平面PCD．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）取PD的中点F，连接EF，CF．证明BE∥CF，利用直线与平面平行的判定定理证明BE∥平面PCD．（2）证明PA⊥CF，结合PA⊥PD，利用直线与平面垂直的判定定理证明PA⊥平面PCD．然后证明平面PAB⊥平面PCD．【解答】证明：（1）取PD的中点F，连接EF，CF．因为E为PA的中点，所以EF∥AD，EF=AD，因为BC∥AD，BC=AD，所以EF∥BC，EF=BC．所以四边形BCFE为平行四边形．所以BE∥CF．…因为BE⊄平面PCD，CF⊂平面PCD，所以BE∥平面PCD．…（2）因为AB=PB，E为PA的中点，所以PA⊥BE．因为BE∥CF，所以PA⊥CF．…因为PA⊥PD，PD⊂平面PCD，CF⊂平面PCD，PD∩CF=F，所以PA⊥平面PCD．…因为PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD．…（14分）．【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理以及平面与平面垂直的判定定理的在与应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．21．已知约束条件．（1）在如图网格线内建立坐标系，并画出可行域；（2）求目标函数z=的最值并指出取得最值时的最优解．【考点】简单线性规划．【专题】转化思想；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】（1）根据二元一次不等式组表示平面区域，进行作图即可．（2）根据方式函数的性质，结合线性规划的知识进行求解即可．【解答】解：（1）不等式组对应的平面区域如图：（2）z===2+，设k=，则k的几何意义是区域内的点到定点D（﹣1，﹣1）的斜率，由图象知AD的斜率最大，CD的斜率最小，由得，即C（10，0），则CD的斜率k==，由得，即A（，），AD的斜率k==，即≤k≤，则≤k+2≤，即≤z≤．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用分式的性质结合数形结合是解决本题的关键．22．已知函数f（x）=ax2+bx+c，且．（1）求证：a＞0且；（2）求证：函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点；（3）设x1，x2是函数f（x）的两个零点，求|x1﹣x2|的范围．【考点】函数的零点与方程根的关系；二次函数的性质．【专题】综合题．【分析】（1）根据f（1）=a+b+c=﹣，可得c=﹣a﹣b，结合3a＞2c＞2b，可得结论；（2）利用零点存在定理，证明f（0）×f（2）＜0即可；（3）|x1﹣x2|2=（x1 +x2）2﹣4x1x2==（﹣）2+2≥2，由此可得结论．【解答】（1）证明：∵f（1）=a+b+c=﹣，∴c=﹣a﹣b∴3a＞2c=﹣3a﹣2b，∴3a＞﹣b，∵2c＞2b，∴﹣3a＞4b；若a＞0，则；若a=0，则0＞﹣b，0＞b，不成立；若a＜0，则，不成立．（2）f（0）=c，f（2）=4a+2b+c，f（1）=﹣，△=b2﹣4ac=b2+4ab+6a2＞0①当c＞0时，f（0）＞0，f（1）＜0，所以f（x）在（0，1）上至少有一个零点②当c=0时，f（0）=0，f（2）=4a+2b=a＞0，所以f（x）在（0，2）上有一个零点③当c＜0时，f（0）＜0，f（1）＜0，b=﹣a﹣c，f（2）=4a﹣3a﹣2c+c=a﹣c＞0，所以f （x）在（0，2）上有一个零点综上：所以f（x）在（0，2）上至少有一个零点．（3）c=﹣a﹣b，（|x1﹣x2|）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=b2﹣4ac|a|=（+2）2+2因为﹣3＜b/a＜﹣，所以（|x1﹣x2|）2∈24．已知数列{a n}满足a1+a2+…+a n=a n+1（n∈N*），数列{b n}为等比数列，a1=b1=2，a2=b2（Ⅰ）求{a n}、{b n}的通项公式．（Ⅱ）若对每个正整数k，在b k和b k+1之间插入a k个2，得到一个新数列{c n}．设T n是数列{c n}的前n项和，试求满足T m=2c m+1的所有正整数m．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）由式子求出a2，由题意求出公比，根据等比数列的通项公式求出b n，利用递推公式和累积法求出a n；（Ⅱ）由（Ⅰ）知b n=2n，a k=2k，由已知写出c1=a1=2，c2=c3=2，c4=a2=4，c5=c6=c7=c8=2，c9=a3=8，…，讨论m=1、2，m≥3，求出T m、2c m+1，列出方程并整理，讨论方程的解，从而得到结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，a1=2，a1+a2+…+a n=a n+1（n∈N*），所以a1=a2，解得a2=4，因为数列{b n}为等比数列，a1=b1=2，a2=b2，所以数列{b n}的公比是2，即b n=2•2n﹣1=2n，由a1+a2+…+a n=a n+1（n∈N*）得，当n≥2时，a1+a2+…+a n﹣1=a n（n∈N*），两个式子相减得，a n=a n+1﹣a n，即，当n=1时，=2符合上式，当n≥2时，，，，…，，以上n﹣1个式子相乘得，，所以a n=2n；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b n=2n，a k=2k，由题意知，c1=b1=2，c2=c3=2，c4=b2=4，c5=c6=c7=c8=2，c9=b3=8，…，则当m=1时，T1≠2c2，不合题意，当m=2时，T2=2c3，适合题意．当m≥3时，若c m+1=2，则T m≠2c m+1一定不适合题意，从而c m+1必是数列{b n}中的某一项b k+1，则T m=b1+2+2+b2+2+2+2+2+b3+2+…+2+b4+2+…+b5+2+…+b6+…+b k﹣1+2+…+b k，=（2+22+23+…+2k）+2（2+4+…+2k）=2×（2k﹣1）+k（2+2k）=2k+1+2k2+2k﹣2，又2c m+1=2b k+1=2×2k+1，∴2k+1+2k2+2k﹣2=2×2k+1，即2k﹣k2﹣k+1=0，∴2k+1=k2+k，∵2k+1为奇数，k2+k=k（k+1）为偶数，∴上式无解．即当m≥3时，T m≠2c m+1，综上知，满足题意的正整数只有m=2．【点评】本题考查等比数列的通项公式，累积法求出数列的通项公式，等差、等比数列的前n 项和公式，数列的求和方法：分组求和，同时考查逻辑推理能力，属于综合题．。
2023-2024学年安徽省淮北市树人高级中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年安徽省淮北市树人高级中学高二（上）期中数学试卷一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜1}，B ＝{x |0≤x ≤2}，则A ∪B ＝（ ） A ．（﹣1，2）B ．（﹣1，2]C ．[0，1）D ．[0，1]2．复数z ＝（1+2i ）（3+ai ）（a ∈R ）是纯虚数，则a ＝（ ） A ．−32B ．32C ．﹣3D ．33．“λ＝﹣1”是“直线l 1：x +λy +9＝0与l 2：（λ﹣2）x +3y +3λ＝0平行”的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．已知角θ的终边过点P （﹣3，1），则sin(π4−θ)=（ ）A ．−2√55B ．2√55C ．−√55D ．√555．已知平面向量a →，b →，|a →|=2，|b →|=1，且a →与b →的夹角为π3，则|a →+2b →|=（ ） A ．12B ．16C ．2√3D ．√106．在等比数列{a n }中，a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=−114，a 3=−14，则1a 1+1a 2+1a 3+1a 4+1a 5=（ ） A ．﹣44B ．−6411C ．1611D ．117．已知空间直线a 、b 和平面α满足：a ⊥b ，a ⊂α，b ∥α．若点P ∈α，且点P 到直线a 、b 的距离相等，则点P 的轨迹是（ ） A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线8．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （﹣1，0），B （5，0）．若圆M ：（x ﹣4）2+（y ﹣m ）2＝16上存在唯一点P ，使得直线P A ，PB 在y 轴上的截距之积为5，则实数m 的值为（ ） A ．±√15B ．±3√5C ．±√15和±3√5D ．√15和3√5二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知曲线C ：x 2m +y 2n =1(m ，n ∈R)，则下列说法正确的是（ ） A ．若m ＝n ＞0，则曲线C 是圆B ．若m ＞n ＞0，则曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆C ．若m ＞0＞n ，则曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线D ．曲线C 可以是抛物线10．已知S n 为数列{a n }前n 项和，则下列结论成立的有（ ） A ．若数列{a n }为等比数列，且a n ＞0，则数列{log 3a n }为等差数列 B ．若数列{a n }为等差数列，若S 3S 6=14，则S 6S 12=14C ．若数列{a n }为等差数列，其前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为9：8，且S 10＝170，则公差为2D ．若数列{a n }满足a 1＝2a 2＝2，且a n +2＝|a n +1﹣a n |，则该数列的前100项和S 100＝6711．已知双曲线C ：x 2a2−y 2=1(a ＞0)，若圆（x ﹣2）2+y 2＝1与双曲线C 的渐近线相切，则（ ）A ．双曲线C 的实轴长为6B ．双曲线C 的离心率e =2√33C ．点P 为双曲线C 上任意一点，若点P 到C 的两条渐近线的距离分别为d 1、d 2，则d 1d 2=34D ．直线y ＝k 1x +m 与C 交于A 、B 两点，点D 为弦AB 的中点，若OD （O 为坐标原点）的斜率为k 2，则k 1k 2=−1312．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为4，正四面体E ﹣FGH 的棱长为a ，则以下说法正确的是（ ） A ．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的内切球直径为4 B ．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的外接球直径为4√2C ．若正四面体E ﹣FGH 可以放入正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1内自由旋转，则a 的最大值是4√63D ．若正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1可以放入正四面体E ﹣FGH 内自由旋转，则a 的最小值是12√2 三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．与椭圆x 215+y 28=1有相同焦点且实轴长4的双曲线的方程为 ．14．已知事件A 与事件B 互斥，如果P （A ）＝0.4，P （B ）＝0.3，那么P(A ∪B)= ． 15．小明用数列{a n }记录某地区2015年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k 天下过雨时，记a k ＝1，当第k 天没下过雨时，记a k ＝﹣1（1≤k ≤31），他用数列{b n }记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k 天有雨时，记b n ＝1，当预报第k 天没有雨时，记b n ＝﹣1记录完毕后，小明计算出a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+…+a 31b 31＝25，那么该月气象台预报准确的总天数为 ． 16．已知椭圆C 1和双曲线C 2有相同的焦点F 1，F 2离心率分别为e 1，e 2，且1e 12+1e 22=2，若P 是两条曲线的一个交点，则∠F 1PF 2＝ ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足bsinC +csinB =√3b （1）求C ；（2）若c ＝2，△ABC 面积为√3，求△ABC 的周长．18．（12分）已知△ABC 的顶点A （﹣1，﹣1），C （1，﹣1），线段AB 的垂直平分线的方程为x +y ＝0． （1）求直线BC 的方程；（2）若△ABC 的外接圆为圆M ，过点P(√2，2)作圆M 的切线，求切线方程． 19．（12分）设公比为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 9S 6=739，a 1＝2．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b m 为数列{a n }在区间（0，m ]（m ∈N *）中的项的个数，求数列{b m }前100项的和．20．（12分）某中学组织学生进行地理知识竞赛，随机抽取500名学生的成绩进行统计，将这500名学生成绩分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图，若a ，b ，c 成等差数列，且成绩在区间[80，90）内的人数为120． （1）求a ，b ，c 的值；（2）估计这500名学生成绩的中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； （3）由成绩在区间[90，100]内的甲、乙等5名学生组成帮助小组，帮助成绩在区间[50，60）内的学生A ，B ，其中3人帮助A ，余下的2人帮助B ，求甲、乙都帮助A 的概率．21．（12分）如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，AB ＝BC ＝1，PA =PB =PC =AC =√2，O 为棱AC 的中点．（Ⅰ）证明：平面P AC ⊥平面ABC ；（Ⅱ）若点M 在棱BC 上，且PC 与平面P AM 所成角的正弦值为√34，求二面角M ﹣P A ﹣C 的大小．22．（12分）如图已知抛物线C 的方程为y 2＝2px （p ＞0），焦点为F ，过抛物线内一点A 作抛物线准线的垂线，垂足为A ′，与抛物线交于点P ，已知AA ′＝3，AF ⊥PF ，∠F AP ＝30°． （1）求p 的值；（2）斜率为k 的直线过点D （0，﹣3），且与曲线C 交于不同的两点M ，N ，已知k 的取值范围为（0，2），探究：是否存在λ，使得DM →=λDN →，若存在，求出λ的范围，若不存在，说明理由．2023-2024学年安徽省淮北市树人高级中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜1}，B ＝{x |0≤x ≤2}，则A ∪B ＝（ ） A ．（﹣1，2）B ．（﹣1，2]C ．[0，1）D ．[0，1]解：因为A ＝{x |﹣1＜x ＜1}，B ＝{x |0≤x ≤2}，所以A ∪B ＝{x |﹣1＜x ≤2}． 故选：B ．2．复数z ＝（1+2i ）（3+ai ）（a ∈R ）是纯虚数，则a ＝（ ） A ．−32B ．32C ．﹣3D ．3解：因为z ＝（1+2i ）（3+ai ）＝3﹣2a +（a +6）i 是纯虚数，则{3−2a =0a +6≠0，解得a =32．故选：B ．3．“λ＝﹣1”是“直线l 1：x +λy +9＝0与l 2：（λ﹣2）x +3y +3λ＝0平行”的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解：若直线l 1：x +λy +9＝0与l 2：（λ﹣2）x +3y +3λ＝0平行， 则λ（λ﹣2）＝3，解得λ＝3或λ＝﹣1， 当λ＝3时，直线l 1与l 2重合，舍去，故直线l 1：x +λy +9＝0与l 2：（λ﹣2）x +3y +3λ＝0平行时，λ＝﹣1，即“λ＝﹣1”是“直线l 1：x +λy +9＝0与l 2：（λ﹣2）x +3y +3λ＝0平行”的充要条件． 故选：A ．4．已知角θ的终边过点P （﹣3，1），则sin(π4−θ)=（ ） A ．−2√55B ．2√55C ．−√55D ．√55解：因为角θ的终边过点P （﹣3，1）， 所以sinθ=1√9+1=√1010，cosθ=−3√9+1=−3√1010， 所以sin(π4−θ)=sin π4cosθ−cos π4sinθ=√22×(−3√1010)−√22×√1010=−2√55． 故选：A ．5．已知平面向量a →，b →，|a →|=2，|b →|=1，且a →与b →的夹角为π3，则|a →+2b →|=（ ）A ．12B ．16C ．2√3D ．√10解：根据题意，可得a →⋅b →=|a →||b →|cos π3=2×1×12=1，所以(a →+2b →)2=|a →|2+4a →⋅b →+4|b →|2=4+4×1+4＝12，可得|a →+2b →|=√(a →+2b →)2=2√3．故选：C ．6．在等比数列{a n }中，a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=−114，a 3=−14，则1a 1+1a 2+1a 3+1a 4+1a 5=（ ）A ．﹣44B ．−6411C ．1611D ．11解：设T 5=1a 1+1a 2+1a 3+1a 4+1a 5， 则2T 5=(1a 1+1a 5)+(1a 2+1a 4)+(1a 3+1a 3)+(1a 4+1a 2)+(1a 5+1a 1)， 即2T 5=a 1+a 5a 1a 5+a 2+a 4a 2a 4+a 3+a 3a 3a 3+a 2+a 4a 2a 4+a 1+a 5a 1a 5=2(a 1+a 2+a 3+a 4+a 5)a 32=2×(−114)(−14)2=−88， 所以T 5＝﹣44． 故选：A ．7．已知空间直线a 、b 和平面α满足：a ⊥b ，a ⊂α，b ∥α．若点P ∈α，且点P 到直线a 、b 的距离相等，则点P 的轨迹是（ ） A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解：由题意可知直线b 在平面α上的投影直线b ′与直线a 互相垂直， 如图，以直线b ′与直线a 分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，设P （x ，y ），设直线b 与平面α的距离为h ，则有x 2＝y 2+h 2，即x 2ℎ2−y 2ℎ2=1，所以P 点轨迹为双曲线． 故选：C ．8．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （﹣1，0），B （5，0）．若圆M ：（x ﹣4）2+（y ﹣m ）2＝16上存在唯一点P，使得直线P A，PB在y轴上的截距之积为5，则实数m的值为（）A．±√15B．±3√5C．±√15和±3√5D．√15和3√5解：如图，圆M：（x﹣4）2+（y﹣m）2＝16的圆心在直线x＝4上，半径为4，则A（﹣1，0）在圆M外，设P（a，b），其中a≠﹣1且a≠5，直线P A的方程为y=ba+1(x+1)=ba+1x+ba+1，纵截距为ba+1，直线PB的方程为y=ba−5(x−5)=ba−5x−5ba−5，纵截距为−5ba−5，依题意有ba+1×(−5ba−5)=5，整理得（a﹣2）2+b2＝9，∴P（a，b）在圆（x﹣2）2+y2＝9（x≠﹣1，x≠5）上，圆心为（2，0），半径为3．则圆（x﹣2）2+y2＝9（x≠﹣1，x≠5）与圆M：（x﹣4）2+（y﹣m）2＝16有且只有一个公共点．则两圆外切或内切或圆（x﹣2）2+y2＝9与圆M：（x﹣4）2+（y﹣m）2＝16相交，且其中一个交点的横坐标为5．当两圆外切或内切时：圆M：（x﹣4）2+（y﹣m）2＝16的圆心为（4，m），半径为4，则√m2+22=4−3=1①或√m2+22=4+3=7②，①无解，解②得m=±3√5．当圆（x﹣2）2+y2＝9与圆M：（x﹣4）2+（y﹣m）2＝16相交，且其中一个交点的横坐标为5时，由（5﹣2）2+y2＝9，得y＝0，将（5，0）代入（x﹣4）2+（y﹣m）2＝16，得(5−4)2+(0−m)2=16，m=±√15．综上所述，m的值为±3√5或±√15．故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知曲线C ：x 2m +y 2n=1(m ，n ∈R)，则下列说法正确的是（ ）A ．若m ＝n ＞0，则曲线C 是圆B ．若m ＞n ＞0，则曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆 C ．若m ＞0＞n ，则曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线D ．曲线C 可以是抛物线解：A 选项，当m ＝n ＞0时，曲线C ：x 2+y 2＝m ，表示圆心在原点， 半径为√m 的圆，所以A 选项正确．B 选项，当m ＞n ＞0时，曲线C ：x 2m +y 2n =1表示焦点在x 轴上的椭圆，B 选项错误．C 选项，当m ＞0＞n 时，曲线C ：x 2m −y 2−n =1表示焦点在x 轴上的双曲线，C 选项正确．D 选项，由于m ，n 是非零实数，所以x ，y 的最高次项都是2， 所以曲线C 不可能是抛物线，D 选项错误． 故选：AC ．10．已知S n 为数列{a n }前n 项和，则下列结论成立的有（ ） A ．若数列{a n }为等比数列，且a n ＞0，则数列{log 3a n }为等差数列 B ．若数列{a n }为等差数列，若S 3S 6=14，则S 6S 12=14C ．若数列{a n }为等差数列，其前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为9：8，且S 10＝170，则公差为2D ．若数列{a n }满足a 1＝2a 2＝2，且a n +2＝|a n +1﹣a n |，则该数列的前100项和S 100＝67 解：A 选项：依题意，设等比数列{a n }的公比为q （q ＞0），∴log 3a n+1−log 3a n =log 3an+1a n=log 3q 为常数，∴数列{log 3a n }为等差数列，故A 正确；B 选项：数列{a n }为等差数列，设公差为d ，首项为a 1， 则S 3＝3a 1+3d ，S 6＝6a 1+15d ， 又S 3S 6=14，即S 3S 6=3a 1+3d 6a 1+15d=14，化简可得d ＝2a 1，则S 6＝6a 1+15d ＝36a 1， S 12＝12a 1+66d ＝144a 1，所以S 6S 12=36a 1144a 1=14，故B 正确；C 选项：等差数列{a n }的前10项中， 偶数项的和为a 2+a 4+a 6+a 8+a 10＝5a 6， 奇数项的和为a 1+a 3+a 5+a 7+a 9＝5a 5， 又偶数项的和与奇数项的和之比为9：8， 且S 10＝170，则解得{a 5=16a 6=18，所以d ＝a 6﹣a 5＝2，故C 正确；D 选项：因为a 1＝2a 2＝2，所以a 1＝2，a 2＝1， ∵a n +2＝|a n +1﹣a n |，∴数列依次为：2，1，1，0，1，1，0，…， ∴数列{a n }从第2项起，周期为3，∴数列{a n }的前100项的和为2+33×（1+1+0）＝68， 故D 错误． 故选：ABC ．11．已知双曲线C ：x 2a2−y 2=1(a ＞0)，若圆（x ﹣2）2+y 2＝1与双曲线C 的渐近线相切，则（ ）A ．双曲线C 的实轴长为6B ．双曲线C 的离心率e =2√33C ．点P 为双曲线C 上任意一点，若点P 到C 的两条渐近线的距离分别为d 1、d 2，则d 1d 2=34D ．直线y ＝k 1x +m 与C 交于A 、B 两点，点D 为弦AB 的中点，若OD （O 为坐标原点）的斜率为k 2，则k 1k 2=−13解：由题意知C 的渐近线方程为x ±ay ＝0，∴√1+a 2=1，∵a ＞0，则a =√3，∴双曲线C 的实轴长为2a =2√3，故A 错误； ∵c =√a 2+b 2=2，∴e =ca =23=2√33，故B 正确； 设P （x 0，y 0），则x 02−3y 02=3，可得d 1d 2=|x 0−√3y 0|2⋅|x 0+√3y 0|2=|x 02−3y 02|4=34，故C 正确； 设A （x 1，y 1）、B(x 22，y 22)，则{x 12−3y 12=3x 22−3y 22=3， 两式作差得（x 1+x 2）（x 1﹣x 2）＝3（y 1+y 2）（y 1﹣y 2），∴k 1k 2=y 1−y 2x 1−x 2⋅y 1+y2x 1+x 2=13，故D 错误．故选：BC ．12．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为4，正四面体E ﹣FGH 的棱长为a ，则以下说法正确的是（ ） A ．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的内切球直径为4 B ．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的外接球直径为4√2C ．若正四面体E ﹣FGH 可以放入正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1内自由旋转，则a 的最大值是4√63D ．若正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1可以放入正四面体E ﹣FGH 内自由旋转，则a 的最小值是12√2解：根据题意，正四面体E ﹣FGH 的棱长为a ，其外接球半径为√64a ，内切球半径为√612a ，依次分析选项：对于A ，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为4，其内切球直径等于正方体的棱长4，A 正确； 对于B ，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为4，其体对角线的长度为√16+16+16=4√3， 而正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的外接球直径径等于其体对角线的长度，即4√3，B 错误； 对于C ，若正四面体E ﹣FGH 可以放入正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1内自由旋转， 则正四面体E ﹣FGH 的外接球半径小于等于正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1内切球的半径，即√64a ≤2，解可得a ≤4√63，C 正确； 对于D ，若正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1可以放入正四面体E ﹣FGH 内自由旋转， 则正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1外接球半径小于等于正四面体E ﹣FGH 内切球的半径，即√612a ≥2√3，解可得a ≤12√2，D 正确． 故选：ACD ．三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．与椭圆x 215+y 28=1有相同焦点且实轴长4的双曲线的方程为x 24−y 23=1 ．解：由椭圆x 215+y 28=1可知双曲线中，c 2＝15﹣8＝7，且焦点在x 轴，又2a ＝4，a ＝2，∴b 2＝c 2﹣a 2＝7﹣4＝3， 所以双曲线方程为x 24−y 23=1．故答案为：x 24−y 23=1．14．已知事件A 与事件B 互斥，如果P （A ）＝0.4，P （B ）＝0.3，那么P(A ∪B)= 0.3 ．解：事件A 与事件B 互斥，P （A ）＝0.4，P （B ）＝0.3，∴P(A ∪B)=1﹣P （A ∪B ）＝1﹣（P （A ）+P （B ））＝1﹣（0.4+0.3）＝0.3． 故答案为：0.3．15．小明用数列{a n }记录某地区2015年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k 天下过雨时，记a k ＝1，当第k 天没下过雨时，记a k ＝﹣1（1≤k ≤31），他用数列{b n }记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k 天有雨时，记b n ＝1，当预报第k 天没有雨时，记b n ＝﹣1记录完毕后，小明计算出a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+…+a 31b 31＝25，那么该月气象台预报准确的总天数为 28 ． 解：由题意，气象台预报准确时a k b k ＝1，不准确时a k b k ＝﹣1， ∵a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+…+a 31b 31＝25＝28﹣3， ∴该月气象台预报准确的总天数为28． 故答案为：28．16．已知椭圆C 1和双曲线C 2有相同的焦点F 1，F 2离心率分别为e 1，e 2，且1e 12+1e 22=2，若P 是两条曲线的一个交点，则∠F 1PF 2＝ π2．解：不妨设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，双曲线的方程为x 2m 2−y 2n 2=1(m ＞0，n ＞0)，因为椭圆C 1和双曲线C 2有相同的焦点F 1，F 2， 所以|F 1F 2|＝2c ，不妨设P 是两条曲线第一象限的一个交点， 此时|PF 1|+|PF 2|＝2a ，|PF 1|﹣|PF 2|＝2m ， 可得|PF 1|＝a +m ，|PF 2|＝a ﹣m ，在△F 1PF 2中，cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2−|F 1F 2|22|PF 1|⋅|PF 2|=(a+m)2+(a−m)2−4c 22(a+m)(a−m)=a 2+m 2−2c 2a 2−m 2，因为1e 12+1e 22=2，所以1(ca )2+1(c m )2=2，整理得a 2+m 2c 2=2，即a 2+m 2＝2c 2， 所以cos ∠F 1PF 2＝0， 因为0＜∠F 1PF 2＜π， 则∠F 1PF =π2．故答案为：π2．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足bsinC +csinB =√3b （1）求C ；（2）若c ＝2，△ABC 面积为√3，求△ABC 的周长． 解：（1）由bsinC +csinB =√3b 和正弦定理得： sinBsinC +sinCsinB =√3sinB ， ∴sinC =√32，由于C ∈(0，π2)，故C =π3；（2）∵S =12absinC =√34ab =√3，∴ab ＝4，又c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ， ∴a 2+b 2＝（a +b ）2﹣2ab ＝8， 故a +b ＝4， ∴周长a +b +c ＝6．18．（12分）已知△ABC 的顶点A （﹣1，﹣1），C （1，﹣1），线段AB 的垂直平分线的方程为x +y ＝0． （1）求直线BC 的方程；（2）若△ABC 的外接圆为圆M ，过点P(√2，2)作圆M 的切线，求切线方程． 解：（1）因为线段AB 的垂直平分线的方程为x +y ＝0， 所以点A ，B 关于直线x +y ＝0对称． 因为A （﹣1，﹣1），所以B （1，1）． 又C （1，﹣1），所以直线BC 的方程为x ＝1． （2）因为CA ⊥CB ，A （﹣1，﹣1），B （1，1），所以△ABC 外接圆的方程为（x +1）（x ﹣1）+（y +1）（y ﹣1）＝0，即x 2+y 2＝2． 所以圆M 的圆心为（0，0），半径为√2． 当切线的斜率不存在时，x =√2满足题意．当切线的斜率存在时，设切线方程为y −2=k(x −√2)，即kx −y +2−√2k =0． 因为圆心M 到切线的距离d =|2−√2k|√1+k =√2，解得k =√24，所以切线方程为y −2=√24(x −√2)，即√2x −4y +6=0．综上所述，切线方程为x =√2或√2x −4y +6=0．19．（12分）设公比为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 9S 6=739，a 1＝2．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b m 为数列{a n }在区间（0，m ]（m ∈N *）中的项的个数，求数列{b m }前100项的和． 解：（1）已知公比为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ， 设等比数列{a n }的公比为q ， 由S 9S 6=739，得S 9−S 6S 6=649，即a 7+a 8+a 9S 6=(a 1+a 2+a 3)q 6(a 1+a 2+a 3)(1+q 3)=649，得9q 6﹣64q 3﹣64＝0， 又q ＞0，解得q 3＝8或q 3=−89（舍去）， 得q ＝2， 又a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， 故数列{a n }的通项公式为a n =2n ；（2）由b m 为数列{a n }在区间（0，m ]（m ∈N *）中的项的个数， 可知b 1＝0，b 2＝b 3＝1，b 4＝b 5＝b 6＝b 7＝2， 当8≤m ≤15时，b m ＝3， 当16≤m ≤31时，b m ＝4， 当32≤m ≤63时，b m ＝5， 当64≤m ≤100时，b m ＝6，∴b 1+b 2+b 3+...+b 100＝0×1+1×2+2×4+3×8+4×16+5×32+6×37＝480． ∴数列{b m }前100项的和为480．20．（12分）某中学组织学生进行地理知识竞赛，随机抽取500名学生的成绩进行统计，将这500名学生成绩分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图，若a ，b ，c 成等差数列，且成绩在区间[80，90）内的人数为120． （1）求a ，b ，c 的值；（2）估计这500名学生成绩的中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； （3）由成绩在区间[90，100]内的甲、乙等5名学生组成帮助小组，帮助成绩在区间[50，60）内的学生A ，B ，其中3人帮助A ，余下的2人帮助B ，求甲、乙都帮助A 的概率．解：（1）依题意可得：c ＝120÷500÷10＝0.024， 又∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a +c 且（0.005×2+a +b +c ）×10＝1， 解得：a ＝0.036，b ＝0.03；（2）估计中位数设为t ，而[50，70）的频率为0.41，[50，80）的频率为0.71，则t ∈[70，80）， ∴（0.005+0.036）×10+（t ﹣70）×0.03＝0.5， 解得：t ＝73，即中位数估计为73，估计平均数为：55×0.05+65×0.36+75×0.3+85×0.24+95×0.05＝73.8； （3）5人中，将甲、乙分别编号为1，2，其余3人编号3，4，5，从这5人中选3人帮助A 的所以可能结果有：（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5）（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5），共10个基本事件，其中满足条件的有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），共3个， 故满足条件的概率为310．21．（12分）如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，AB ＝BC ＝1，PA =PB =PC =AC =√2，O 为棱AC 的中点．（Ⅰ）证明：平面P AC ⊥平面ABC ；（Ⅱ）若点M 在棱BC 上，且PC 与平面P AM 所成角的正弦值为√34，求二面角M ﹣P A ﹣C 的大小．（Ⅰ）证明：如图，连接BO ，∵AB ＝BC ＝1，AC =√2，O 为棱AC 的中点， ∴BO ⊥AC ，且BO =√22，又P A ＝PB ＝PC =√2，∴PO ⊥AC ，且PO =√62，则PB 2＝PO 2+BO 2，则PO ⊥OB ，∵AC ∩OB ＝O ，AC 、OB ⊂平面ABC ，∴PO ⊥平面ABC ， 而PO ⊂平面P AC ，则平面P AC ⊥平面ABC ；（Ⅱ）解：以O 为坐标原点，分别以OB 、OC 、OP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则A （0，−√22，0），B （√22，0，0），C （0，√22，0），P （0，0，√62），BA →=(−√22，−√22，0)，BC →=(−√22，√22，0)，PA →=(0，−√22，−√62) PC →=(0，√22，−√62)，设BM →=λBC →=(−√22λ，√22λ，0)（0≤λ＜1）， 则AM →=AB →+BM →=(√22−√22λ，√22+√22λ，0)．设平面P AM 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，由{n →⋅PA →=−√22y −√62z =0n →⋅AM →=(√22−√22λ)x +(√22+√22λ)y =0，取z ＝1，得n →=(√3(λ+1)1−λ，−√3，1)． 设直线PC 与平面P AM 所成角为θ，则sin θ＝|cos ＜PC →，n →＞|=√34，即√22×(−√3)−√62×1(22)2+(−62)2√3(1+λ)2(1−λ)2+3+1=√34，解得λ=13或λ＝3（舍去）．∴平面P AM 的法向量为n →=(2√3，−√3，1)． 平面P AC 的一个法向量为m →=(1，0，0)，∴二面角M ﹣P A ﹣C 的余弦值为|cos ＜m →，n →＞|=→→|m||n|=√32，可得二面角M ﹣P A ﹣C 的大小为30°．22．（12分）如图已知抛物线C 的方程为y 2＝2px （p ＞0），焦点为F ，过抛物线内一点A 作抛物线准线的垂线，垂足为A ′，与抛物线交于点P ，已知AA ′＝3，AF ⊥PF ，∠F AP ＝30°． （1）求p 的值；（2）斜率为k 的直线过点D （0，﹣3），且与曲线C 交于不同的两点M ，N ，已知k 的取值范围为（0，2），探究：是否存在λ，使得DM →=λDN →，若存在，求出λ的范围，若不存在，说明理由．解：（1）因为AF ⊥PF ，∠F AP ＝30°，则在△F AP 中，P A ＝2PF ，又因为抛物线的定义可知，AA ′＝3＝AP +P A ′＝AP +PF ＝3PF ，则PF ＝1， 又因为∠PFO ＝60°，F(p 2，0)，则可计算P(p 2−12，√32)． 代入抛物线方程得：(√32)2=2p(p2−12)，整理得p 2−p −34=0，则p =32或p =−12（p ＞0舍）． （2）由（1）可知抛物线方程为y 2＝3x ，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 斜率为k ，过点D （0，﹣3）的直线方程为：y ＝kx ﹣3， 则联立{y 2=3xy =kx −3，整理得k 2x 2﹣（6k +3）x +9＝0，由韦达定理可得：x 1+x 2=6k+3k2，x 1x 2=9k2．所以(x 1+x 2)2x 1x 2=x 1x 2+x 2x 1+2=(6k+3k 2)29k 2=4k 2+4k+1k 2=4+4k+1k 2；又因为DM →=λDN →，则（x 1，y 1+3）＝λ（x 2，y 2+3）， λ=x 1x 2，所以λ+1λ=1k2+4k +2，令t =1k ∈(12，+∞)，则u =1k 2+4k +2=t 2+4t +2=(t +2)2−2(t ＞12)， 所以u ＞(12+2)2−2=174，即λ+1λ＞174． 所以DM →、DN →同向，所以λ＞0．即4λ2﹣17λ+4＞0，整理得(λ−14)(λ−4)＞0，解得：0＜λ＜14或λ＞4．所以存在λ∈(0，14)∪(4，+∞)，使得DM →=λDN →．。
安徽省淮北市第一中学高二数学上学期期中试题 文(含解析)
淮北一中2017-2018学年上学期高二年级期中考试文科数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 抛物线的焦点到准线的距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得：，所以，，即焦点到准线的距离为，故选C.2. 如角满足，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得，选D.3. 离心率为，且过点的焦点在轴上的椭圆的标准方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】已知椭圆的焦点在轴上，若椭圆过点，则，又由其离心率为，即，则，，即，此时椭圆的方程为，故选D.4. 执行如图所示的程序框图，如果输出，则输入的（）A. B. C. D.【答案】B【解析】该程序框图表示的是通项为的前项和，，输出结果为，，得，故选B.5. 由公差为的等差数列重新组成的数列是（）A. 公差为的等差数列B. 公差为的等差数列C. 公差为的等差数列D. 非等差数列【答案】B【解析】设新数列的第项是，则，，此新数列是以为公差的等差数列，故选B.【方法点晴】本题主要考查等差数列的定义、等差数列通项公式，属于难题.判定一个数列为等差数列的常见方法是：(1) 定义法：（是常数），则数列是等差数列(2) 等差中项法：（），则数列是等差数列；(3) 通项公式：(为常数)，则数列是等差数列；(4) 前n项和公式：(为常数) ，则数列是等差数列.本题先利用方法(1)判定出数列是等差数列后再进行解答的.6. 已知，且，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得，，因为，，所以（当且仅当时等号成立），故选D.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.7. 在中，（分别为角的对边），则的形状为（）A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 等腰三角形或直角三角形【答案】A【解析】因为，由正弦定理当可得，，因为，所以，的形状为直角三角形，故选A.8. 已知命题函数的图像恒过定点；命题若函数为偶函数，则函数的图像关于直线对称，则下列为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：因为函数的图象恒过定点，所以命题为假命题，若函数为偶函数，则函数的图象关于直线对称，所以命题也为假命题，所以为真命题.故选D．考点：复合命题的真假．【方法点睛】由函数的奇偶性，对称轴和平移得到命题假，则为真命题. 复合命题的真假判断的方法：（1）非复合命题判断真假：当为真时，非为假；当为假时，非为真，即“非”形式的复合命题的真假与的真假相反；（2）“且”形式的复合命题真假判断：当、为真时，且为真；当、中至少有一个为假时，且为假，即“且”形式的复合命题，当与同为真时为真；（3）“或”形式的复合命题真假判断：当，中至少有一个为真时，“或”为真；当，都为假时，“或”为假，即“或”形式的复合命题，当与同为假时为假．本题考查命题的真假判断解题时要认真审题，注意复合命题的性质的合理应用，属于中档题.9. 已知椭圆的两个焦点分别为，若椭圆上不存在点，使得是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A..................10. 如图，在中，，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】11. 数列的通项公式为，其前项和为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】选D.12. 数列的通项公式为，其前项和为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】选D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 命题“”的否定是__________．【答案】14【解析】特称命题“”的否定为全称命题“”。
安徽省淮北市第一中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学(文)试题 Word版含答案
淮北一中2021-2022学年上学期高二班级期中考试 文科数学试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 抛物线22x y =的焦点到准线的距离为（ ）A ．81B ．21 C. 41D ．42. 如角α满足0cos 2sin =+αα，则=α2tan（ ）A ．34-B ．43 C. 43-D ．343. 离心率为23，且过点)0,2(的焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是（ ）A ．1422=+y xB ． 1422=+y x C ．1422=+y x D ． 116422=+y x4. 执行如图所示的程序框图，假如输出94=S ，则输入的=n （ ）A ．3B ．4 C. 5 D ．65. 由公差为d 的等差数列,...,,321a a a 重新组成的数列...,,635241a a a a a a +++是（ ）A ．公差为d 的等差数列B ．公差为d 2的等差数列 C. 公差为d 3的等差数列 D ．非等差数列6. 已知0,>y x ，且211=+y x ，则y x 2+的最小值为（ ）A ．223-B ．2223-C ．223+D ．2223+7. 在ABC ∆中，c aB =cos （c b a ,,分别为角C B A ,,的对边），则ABC ∆的外形为（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形8.已知命题:p 函数12--=x a y 的图像恒过定点)2,1(；命题:q 若函数)1(-=x f y 为偶函数，则函数)(x f y =的图像关于直线1=x 对称，则下列为真命题的是（ ）A ．q p ∨B ．q p ∧ C. q p ∧⌝ D ．q p ⌝∨ 9. 已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的两个焦点分别为21,F F ，若椭圆上不存在点P ，使得21PF F ∠是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．]22,0( B ．)1,22[ C.)21,0( D ．)1,21[ 10. 如图，在ABC ∆中，→→→→==BDBP AC AD 31,32，若→→→+=AC AB AP μλ，则μλ的值为（ ）A ．3-B ．2- C. 2 D ．311. 数列}{n a 的通项公式为*,2cosN n n a n ∈=π，其前n 项和为n S ，则=2017S （ ）A ．1008B ．1008- C. 1- D ．012. 数列}{n a 的通项公式为*,2cosN n n a n ∈=π，其前n 项和为n S ，则=2017S （ ）A ．1008B ．1008- C. 1- D ．0 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 命题“02,≥∈∃xR x ”的否定是 ． 14.在数列}{n a 中，已知其前n 项和为32+=n n S ，则=n a ．15.设实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-+≥-+0102014206y x y x y x ，则22y x +的最大值为 ．16.下列命题中，假命题的序号有 ．（1）“1-=a ”是“函数)(|1|)(2R x a x x x f ∈+++=为偶函数”的充要条件； （2）“直线l 垂直平面a 内很多条直线”是“直线l 垂直平面a ”的充分条件； （3）若0=xy ，则0||||=+y x ；（4）若022,:0200≤++∈∃x x R x p ，则022,:2>++∈∀⌝x x R x p . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知函数1)1()(2++-=x a a x x f .（1）当2=a 时，解关于x 的不等式0)(≤x f ； （2）若0>a ，解关于x 的不等式0)(≤x f . 18. 设数列}{n a 是等差数列，满足12,341==a a ，数列}{n b 满足20,441==b b ，且}{n n a b -为等比数列.（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；（2）求数列}{n b 的前n 项和.19. 已知函数xx x x f 2cos 2)62sin()62sin()(+-++=ππ.（1）)(x f 的最小正周期和单调递增区间；（2）已知c b a ,,是ABC ∆三边长，且ABC C f ∆=,2)(的面积7,310==c S .求角C 及b a ,的值.20. 已知过抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点F ，斜率为2的直线交抛物线于B A ,两点，且6||=AB . （1）求该抛物线C 的方程；（2）已知过原点O 作抛物线的两条弦OD 和OE ，且OE OD ⊥，推断直线DE 是否过定点？并说明理由. 21. 已知数列}{n a 满足11=a ，且n n n a a 221+=-（2≥n ，*N n ∈）.（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设数列}{n a 的前n 项之和n S ，求证：322->n S n n.22. 已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C ，其长轴为4，短轴为2.（1）求椭圆C 的方程及离心率.（2）直线l 经过定点)2,0(，且与椭圆C 交于B A ,两点，求OAB ∆面积的最大值. 参考答案CDDBB CADAD DB13．,20xx R ∀∈<14．()()151{22n n n a n -==≥15．18不等式组的图象如图16．（2）（3） 【解析】（1）若“函数()()21f x x x a x R =+++∈为偶函数”，则()()f x f x -=，即2211x x a x x a +++=+-++，则()11x a x a ++=-+，平方得()()()()2222211211x a x a x a x a ++++=-+++，即()()2121a x a x +=-+，则()410a +=，即1a =-，则“1a =-”是“函数()()21f x x x a x R =+++∈为偶函数”的充要条件；正确；（2）“直线l 垂直平面α内很多条直线”则“直线l 垂直平面α”不肯定成立，故（2）错误； （3）当0,1x y ==时，满足0xy =，但x y +=不成立，故（3）错误；（4）若p ：2,220x R x x ∃∈++≤，则p ⌝：2,220x R x x ∀∈++>正确． 故答案为：（2）（3）17．（1）1[,2]2（2）当10<<a 时解集为}1|{a x a x ≤≤当1>a 时解集为}1|{a x ax ≤≤当1=a 时解集为{1}试题解析：（1）当2a =时得()2111210202222x x x x x ⎛⎫⎛⎫-++≤∴--≤∴≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解集为1[,2]2（2）∵不当10<<a 时，有a a >1，∴不等式的解集为}1|{a x a x ≤≤； 当1>a 时，有a a <1，∴不等式的解集为}1|{a x ax ≤≤；当1=a 时，不等式的解集为{1}.18．解：（1）设等差数列}{n a 的公差为d ，由题意得33312314=-=-=a a d ，所以,...)2,1(3)1(1==-+=n n d n a a n .设等比数列}{n n a b -的公比为q ，由题意得834122011443=--=--=a b a b q ，解得2=q .所以11112)(--=-=-n n n n q a b a b ，所以,...)2,1(231=+=-n n b n n .（2）由（1）知,...)2,1(231=+=-n n b n n .数列}3{n 的前n 项和为)1(23+n n ，数列}2{1-n 的前n 项和为1221211-=--⨯n n.所以，数列}{n b 的前n 项和为12)1(23-++nn n .19．解析：（Ⅰ）f （x ）=sin2xcos+cos2xsin+sin2xcos﹣cos2xsin+cos2x+1=sin2x+cos2x+1=2sin （2x+）+1，∵ω=2，∴T==π；令﹣+2k π≤2x+≤+2k π，k ∈Z ，得到﹣+k π≤x ≤+k π，k ∈Z ，则函数f （x ）的递增区间是[﹣+kπ，+kπ]，k ∈Z ；（Ⅱ）由f （C ）=2，得到2sin （2C+）+1=2，即sin （2C+）=，∴2C+=或2C+=，解得：C=0（舍去）或C=，∵S=10，∴absinC=ab=10，即ab=40①，由余弦定理得：c 2=a 2+b 2﹣2abcosC ，即49=a 2+b 2﹣ab ， 将ab=40代入得：a 2+b 2=89②， 联立①②解得：a=8，b=5或a=5，b=8．20．1）24y x =（2）(4,0) 试题解析：（1）拋物线的焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴直线AB 的方程为:22p y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 联立方程组22{22y pxp y x =⎛⎫=- ⎪⎝⎭，消元得:22204p x px -+=，∴212122,4p x x p x x +==. ∴()2221212124346AB x x x x p p =++-=⋅-=解得2p =.∴抛物线C 的方程为：24y x =. （2）由（1）直线DE 的斜率不为0，设直线DE 的方程为：x my t =+，联立2{4x my t y x =+=，得2440y my t --=， 则216160m t ∆=+>①. 设()()1122,,,D x y E x y ，则12124,4y y m y y t+==-.()()0441641622212212121=-=--=+=+=•t t t t yy y y y y x x OE OD所以4=t 或0=t （舍） 所以直线DE 过定点（4,0） 21．【解析】（1）∵a n =2a n ﹣1+2n （≥2，且n∈N *）∴11122n n n n a a --=+∴11122n n n n a a ---= ∴数列{2n n a }是以12为首项，1为公差的等差数列；()111222n na n n =+-=- ∴a n =122n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）∵S n =12131222222nn ⎛⎫++⋯+- ⎪⎝⎭ ∴2S n =231131222222n n +⎛⎫++⋯+- ⎪⎝⎭两式相减可得﹣S n =1+22+23+…+2n ﹣1122n n +⎛⎫- ⎪⎝⎭=（3﹣2n ）•2n ﹣3∴S n =（2n ﹣3）•2n +3＞（2n ﹣3）•2n∴23nS n n >-．22.解：（Ⅰ），，，∴椭圆的方程为：，离心率：．（Ⅱ）依题意知直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线方程为：，由，得，，由得：， 设，，则，，，又∵原点到直线的距离，∴．当且仅当，即时，等号成立，此时面积的最大值为．参考答案CDDBB CADAD DB13．,20xx R∀∈<14．()()151{22n nnan-==≥15．18不等式组的图象如图16．（2）（3）【解析】（1）若“函数()()21f x x x a x R=+++∈为偶函数”，则()()f x f x-=，即2211x x a x x a+++=+-++，则()11x a x a++=-+，平方得()()()()2222211211x a x a x a x a++++=-+++，即()()2121a x a x+=-+，则()410a+=，即1a=-，则“1a=-”是“函数()()21f x x x a x R=+++∈为偶函数”的充要条件；正确；（2）“直线l垂直平面α内很多条直线”则“直线l垂直平面α”不肯定成立，故（2）错误；（3）当0,1x y==时，满足0xy=，但0x y+=不成立，故（3）错误；（4）若p：2,220x R x x∃∈++≤，则p⌝：2,220x R x x∀∈++>正确．故答案为：（2）（3）17．（1）1[,2]2（2）当10<<a时解集为}1|{axax≤≤当1>a时解集为}1|{axax≤≤当1=a时解集为{1}试题解析：（1）当2a=时得()2111210202222x x x x x⎛⎫⎛⎫-++≤∴--≤∴≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解集为1[,2]2（2）∵不当10<<a 时，有a a >1，∴不等式的解集为}1|{a x a x ≤≤； 当1>a 时，有a a <1，∴不等式的解集为}1|{a x ax ≤≤；当1=a 时，不等式的解集为{1}. 18．19．解析：（Ⅰ）f （x ）=sin2xcos +cos2xsin+sin2xcos﹣cos2xsin+cos2x+1=sin2x+cos2x+1=2sin （2x+）+1，∵ω=2，∴T==π；令﹣+2k π≤2x+≤+2k π，k ∈Z ，得到﹣+k π≤x ≤+k π，k ∈Z ，则函数f （x ）的递增区间是[﹣+kπ，+kπ]，k ∈Z ；（Ⅱ）由f （C ）=2，得到2sin （2C+）+1=2，即sin （2C+）=，∴2C+=或2C+=， 解得：C=0（舍去）或C=，∵S=10，∴absinC=ab=10，即ab=40①，由余弦定理得：c 2=a 2+b 2﹣2abcosC ，即49=a 2+b 2﹣ab ， 将ab=40代入得：a 2+b 2=89②，联立①②解得：a=8，b=5或a=5，b=8．20．1）24y x =（2）(4,0) 试题解析：（1）拋物线的焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴直线AB 的方程为:22p y x ⎫=-⎪⎭. 联立方程组22{22y pxp y x =⎫=-⎪⎭，消元得:22204p x px -+=，∴212122,4p x x p x x +==. ∴()2221212124346AB x x x x p p =++-=-=解得2p =.∴抛物线C 的方程为：24y x =. （2）由（1）直线DE 的斜率不为0，设直线DE 的方程为：x my t =+，联立2{ 4x my ty x =+=，得2440y my t --=， 则216160m t ∆=+>①. 设()()1122,,,D x y E x y ，则12124,4y y m y y t+==-.()()0441641622212212121=-=--=+=+=•t t t t yy y y y y x x所以4=t 或0=t （舍）所以直线DE 过定点（4,0）21． 【解析】（1）∵a n =2a n ﹣1+2n （≥2，且n∈N *）∴11122n n n n a a --=+∴11122n n n n a a ---=∴数列{2n na}是以12为首项，1为公差的等差数列；()111222nnan n=+-=-∴a n =122nn⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）∵S n =12131222 222nn⎛⎫++⋯+-⎪⎝⎭∴2S n=231 131222 222nn+⎛⎫++⋯+-⎪⎝⎭两式相减可得﹣S n=1+22+23+…+2n﹣1122nn+⎛⎫-⎪⎝⎭=（3﹣2n）•2n﹣3∴S n=（2n﹣3）•2n+3＞（2n﹣3）•2n ∴23 nSnn>-．22.解：（Ⅰ），，，∴椭圆的方程为：，离心率：．（Ⅱ）依题意知直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线方程为：，由，得，，由得：，设，，则，，，又∵原点到直线的距离，∴．当且仅当，即时，等号成立，此时面积的最大值为．。
安徽省淮北市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析
2023-2024学年度高二上学期期中考试数学试卷（答案在最后）一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}11A x x =-<<，{}|02B x x =≤≤，则A B ⋃=（）A.()1,2- B.[]0,1 C.[)0,1 D.(]1,2-【答案】D 【解析】【分析】应用集合的并运算求集合.【详解】由题设{}{}11|02{|12}A B x x x x x x ⋃=-<<⋃≤≤=-<≤.故选：D2.复数()()()12i 3i z a a =++∈R 是纯虚数，则=a （）A.32-B.32C.3- D.3【答案】B 【解析】【分析】根据纯虚数的定义列式求解即可.【详解】因为()()()12i 3i 326i z a a a =++=-++是纯虚数，则32060a a -=⎧⎨+≠⎩，解得32a =.故选：B.3.“1λ=-”是“直线1l ：90x y λ++=与2l ：()2330x y λλ-++=平行”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由两条直线的一般式方程平行的判定，结合充要条件的定义，对选项进行验证.【详解】1λ=-时，直线2l ：3330x y -+-=即10x y -+=，与直线1l ：90x y -+=平行，充分性成立；直线1l ：90x y λ++=与2l ：()2330x y λλ-++=平行，有()23λλ-=，解得1λ=-或3λ=，其中3λ=时，两直线重合，舍去，故1λ=-，必要性成立.“1λ=-”是“直线1l ：90x y λ++=与2l ：()2330x y λλ-++=平行”的充要条件.故选：A.4.已知角θ的终边过点()3,1P --.则sin()4πθ-=（）A.255-B.C.55-D.【答案】C 【解析】【分析】根据角θ的终边过点()3,1P --，利用三角函数的定义得到sin ,cos θθ，然后利用两角差的正弦公式求解.【详解】解：因为角θ的终边过点()3,1P --，所以sin 1010θθ=-=-，所以sin()sin cos cos sin 444πππθθθ-=-，2102105⎛⎛=⋅---=- ⎝⎭⎝⎭，故选：C5.已知平面向量,,||2,||1a b a b ==，且a 与b 的夹角为π3，则2a b += （）A.12B.16C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据数量积的定义可得1a b ⋅= ，结合模长公式和数量积的运算律运算求解.【详解】由题意可知：cos π121132a b a b ===⨯⋅⨯，所以2a b +==.故选：C.6.在等比数列{}n a 中，12345114a a a a a ++++=-，314a =-，则1234511111a a a a a ++++=（）A.44-B.6411-C.1611D.11【答案】A 【解析】【分析】设51234511111T a a a a a =++++，倒序相加再由等比数列的性质求解.【详解】设51234511111T a a a a a =++++，则5152433452111111111112 T a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++⎪⎛⎫ ⎪⎭+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎝⎭()1234515331524242152433241532a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++++=++++=211248814⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==-⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以544T =-.故选：A7.已知空间直线a 、b 和平面α满足：a b ⊥，a α⊂，//b α.若点P α∈，且点P 到直线a 、b 的距离相等，则点P 的轨迹是（）A.直线 B.椭圆C.双曲线D.抛物线【答案】C 【解析】【分析】画图分析，根据题意建立等量关系即可得到点P 的轨迹是双曲线.【详解】如图：不妨设b 在平面α内射影为n ，则a 与n 相交，a 与n 垂直，设直线b 与平面α的距离为d ，则在平面α内，以a 为x 轴，n 为y 轴建立平面直角坐标系，则P 到a 的距离为y ，P 到n 的距离为x ，从而P 到直线b所以y =222y x d -=，故轨迹为双曲线，故选：C.8.在平面直角坐标系xOy 中，已知点()()1,0,5,0A B -.若圆22:(4)()16M x y m -+-=上存在唯一点P ，使得直线,PA PB 在y 轴上的截距之积为5，则实数m 的值为（）A. B.± C.± D.【答案】C 【解析】【分析】设出P 点的坐标，根据直线,PA PB 在y 轴上的截距之积列方程，根据唯一性求得m 的值.【详解】圆22:(4)()16M x y m -+-=的圆心在直线4x =上，半径为4，所以()1,0A -在圆M 外，设(),P a b ，其中1a ≠-且5a ≠，直线PA 的方程为()1=111b b b y x x a a a =+++++，纵截距为1ba +，直线PB 的方程为()55=555b b b y x x a a a =-----，纵截距为55ba --，依题意有5=515b b a a ⎛⎫⨯- ⎪+-⎝⎭，整理得()222=9a b -+，所以(),P a b 在圆()()222=91,5x y x x -+≠-≠上，圆心为()2,0，半径为3.则圆()()222=91,5x y x x -+≠-≠与圆22:(4)()16M x y m -+-=有且只有一个公共点，则两圆外切或内切，或圆()222=9x y -+与圆22:(4)()16M x y m -+-=相交，且其中一个交点的横坐标为5，当两圆外切或内切时：圆22:(4)()16M x y m -+-=的圆心为()4,m ，半径为4，3=1-或3=7+，前者无解，后者解得=m ±当圆()222=9x y -+与圆22:(4)()16M x y m -+-=相交，且其中一个交点的横坐标为5时，()2252=9=0y y -+⇒，将()5,0代入22(4)()16x y m -+-=，得22(54)(0)16,=m m -+-=±.综上所述，m 的值为±或故选：C【点睛】关键点睛：求直线方程时，可以根据已知条件，利用合适的求法来求，如本题中，已知两点，则可以考虑两点式，也可以考虑点斜式来求解.圆有关的问题，可考虑方程的思想，如本题中“截距之积”，这就是一个方程，也即是一个等量关系式，是解题的突破口.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知曲线()22:1,x y C m n m n+=∈R ，则下列说法正确的是（）A.若0m n =>，则曲线C 是圆B.若0m n >>，则曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆C.若0m n >>，则曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线D.曲线C 可以是抛物线【答案】AC 【解析】【分析】根据圆、椭圆、双曲线、抛物线的有关知识求得正确答案.【详解】A 选项，当0m n =>时，曲线22:C x y m +=，表示圆心在原点，的圆，所以A 选项正确.B 选项，当0m n >>时，曲线22:1x y C m n +=表示焦点在x 轴上的椭圆，B 选项错误.C 选项，当0m n >>时，，曲线22:1x y C m n-=-表示焦点在x 轴上的双曲线，C 选项正确.D 选项，由于,m n 是非零实数，所以,x y 的最高次项都是2，所以曲线C 不可能是抛物线，D 选项错误.故选：AC10.已知n S 为数列{}n a 前n 项和，则下列结论成立的有（）A.若数列{}n a 为等比数列，且0n a >，则数列{}3log n a 为等差数列B.若数列{}n a 为等差数列，若3614S S =，则61214S S =C.若数列{}n a 为等差数列，其前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为9:8，且10170S =，则公差为2D.若数列{}n a 满足1222a a ==，且21n n n a a a ++=-，则该数列的前100项和10067S =【答案】ABC 【解析】【分析】利用等差数列与等比数列的定义及性质可判断选项ABC ，根据所给数列表达式，找出规律求出即可.【详解】A 选项：依题意，设等比数列{}n a 的公比为()0q q >，所以131333log log log log n n n na a a q a ++-==为常数，所以数列{}3log n a 为等差数列，故A 正确；B 选项：数列{}n a 为等差数列，设公差为d ，首项为1a ，则316133,615S a d S a d =+=+，又3614S S =，即131********a d a S d S ++==，化简可得12d a =，则61161536S a d a =+=，12111266144S a d a =+=，所以611213611444S a S a ==，故B 选项正确；C 选项：等差数列{}n a 的前10项中，偶数项的和为24681065a a a a a a ++++=，奇数项的和为1357955a a a a a a ++++=，又偶数项的和与奇数项的和之比为9:8，且10170S =，则6565595855170a a a a ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得561618a a =⎧⎨=⎩，所以652d a a =-=，故C 选项正确；D 选项：因为1222a a ==，所以122,1a a ==，因为21n n n a a a ++=-，所以数列依次为：2,1,1,0,1,1,0, ，所以数列{}n a 从第2项起，周期为3，所以数列{}n a 的前100项的和为()23311068+⨯++=，故D 错误；故选：ABC.11.已知双曲线()222:10x C y a a-=>，若圆()2221x y -+=与双曲线C 的渐近线相切，则（）A.双曲线C 的实轴长为6B.双曲线C的离心率3e =C.点P 为双曲线C 上任意一点，若点P 到C 的两条渐近线的距离分别为1d 、2d ，则2134d d =D.直线1y k x m =+与C 交于A 、B 两点，点D 为弦AB 的中点，若OD （O 为坐标原点）的斜率为2k ，则1213k k =-【答案】BC 【解析】【分析】利用双曲线C 的渐近线与圆相切求出a 的值，结合离心率公式可判断AB 选项的正误；设点()00,P x y ，则220033x y -=，结合点到直线的距离公式可判断C 选项的正误；利用点差法可判断D 选项的正误.【详解】解：由题意知C 的渐近线方程为0x ay ±=1=，因为0a >，则a =C的实轴长为2a =，故A错误；2c ==，所以3c e a ===，故B 正确；设()00,P x y ，则220033x y -=，2200123344x y d d -==，故C 正确；设()11,A x y 、()2222,B x y ，则221122223333x y x y ⎧-=⎨-=⎩，两式作差得()()()()121212123x x x x y y y y +-=+-，所以，121212121213y y y y k k x x x x -+=⋅=-+，故D 错误.故选：BC .12.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，正四面体E FGH -的棱长为a ，则以下说法正确的是（）A.正方体1111ABCD A B C D -的内切球直径为4B.正方体1111ABCD A B C D -的外接球直径为C.若正四面体E FGH -可以放入正方体1111ABCD A B C D -内自由旋转，则a的最大值是3D.若正方体1111ABCD A B C D -可以放入正四面体E FGH -内自由旋转，则a的最小值是【答案】ACD 【解析】【分析】求得正方体外接球的直径判断选项A 、B ，对于C ，即正四面体E FGH -的外接球小于等于正方体1111ABCD A B C D -内切球；对于D ，即正方体1111ABCD A B C D -的外接球小于等于正四面体E FGH -内切球.【详解】对于A ，正方体1111ABCD A B C D -的内切球直径即其棱长，所以直径为4，A 正确；对于B ，正方体1111ABCD A B C D -的外接球直径即其体对角线，所以直径为B 错误；正四面体E FGH -的棱长为a因为正四面体E FGH -的外接球的球心O 到点F 、G 、H 的距离相等，所以O 在平面BCD 内的射影1O ，到点F 、G 、H 的距离相等，又因为在正四面体E FGH -中FGH 是正三角形，所以1O 是FGH 的中心，进而在正四面体E FGH -中，有1AO ⊥平面FGH ，所以球心O 在高线1AO 上，同理：球心O 也在其它面的高线上，又正四面体E FGH -中各面上的高都相等，所以由OE OF OG OH R ====得，点O 到正四面体各面的距离相等，所以点O 也是正四面体E FGH -的内切球的球心，这样正四面体的内切球的球心与外接球的球心重合．记正四面体E FGH -的高为h ，则R r h +=.因此，只要求出其中一个，则另一个也出来了.因为在正四面体E FGH -中，FGH 是正三角形，1O 是其中心，所以O H a =13，因为1OO ⊥平面FGH ,1O H ⊂平面FGH ，所以11OO O H ⊥，在1Rt OO H 中，由勾股定理，得OH OO O H =+22211，所以())R a R =-+22233，解得4R a =，r a R =-=312，故所求的外接球的半径和内切球的半径分别为64a 12r a =.对于C ，若正四面体E FGH -可以放入正方体1111ABCD A B C D -内自由旋转，即正四面体E FGH -的外接球小于等于正方体1111ABCD A B C D -内切球，又由棱长为a 的正四面体的外接球半径,r a a =⨯≤∴≤24，C 正确；对于D ，正方体1111ABCD A B C D -可以放入正四面体E FGH -内自由旋转，即正方体1111ABCD A B C D -的外接球小于等于正四面体E FGH -内切球，又由棱长为a 的正四面体的内切球半径12r a a =⨯≥∴≥D 正确.故选：ACD.三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.与椭圆221158x y +=有相同焦点且实轴长4的双曲线的方程为___________.【答案】22143x y -=【解析】【分析】根据双曲线焦点位置及,a c 求解即可.【详解】由椭圆221158x y +=可知双曲线中，21587c =-=，且焦点在x 轴，又24a =，2a =，222743b c a ∴=-=-=，所以双曲线方程为22143x y -=.故答案为：22143x y -=14.已知事件A 与事件B 互斥，如果()0.4P A =，()0.3P B =，那么()P A B = __________.【答案】0.3##310【解析】【分析】根据互斥得到()0P A B = ，计算()0.7P A B ⋃=，得到答案.【详解】事件A 与事件B 互斥，则()0P AB =，()()()()0.7P A B P A P B P AB =+-= ，故()10.70.3P A B =-= .故答案为：0.3.15.小明用数列{}n a 记录某地区2023年8月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k 天下过雨时，记1k a =，当第k 天没下过雨时，记()1131k a k =-≤≤，他用数列{}n b 记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k 天有雨时，记1n b =，当预报第k 天没有雨时，记1n b =-记录完毕后，小明计算出112233313125a b a b a b a b ++++=L ，那么该月气象台预报准确的总天数为________.【答案】28【解析】【分析】由题意可知，气象台预报准确时1k ka b =，不准确时1k k a b =-，从而得到2m k x +=从而得到最终得结果.【详解】由题意可知，气象台预报准确时1k k a b =，不准确时1k k a b =-，112233k k a b a b a b a b m ++++=L ，设其中有x 天准确，即等式左边有x 个1，()k x -个1-，则()x k x m --=，解得2m k x +=，所以准确天数为2531282x +==.故答案为：2816.已知椭圆1C 和双曲线2C 有相同的焦点12,F F ，离心率分别为12,e e ，且2212112e e +=，若P 是两条曲线的一个交点，则12F PF ∠=__________.【答案】π2【解析】【分析】结合P 为椭圆和双曲线的公共点，分别根据定义在椭圆和双曲线里列1PF 和2PF 的关系，表示出1PF 和2PF ，然后结合2212112e e +=，在12F PF △用余弦定理表示12F PF ∠即可.【详解】不妨设椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，设双曲线的方程为()222210,0x y m n m n-=>>，122F F c =，设P 是两条曲线第一象限的一个交点，则有122PF PF a +=，122PF PF m -=，所以1PF a m =+，2PF a m =-，在12F PF △中，()()()()2222222221212122212+42cos 22PF PF F F a m a m c a m c F PF PF PF a m a m a m -++--+-∠===⋅+--又因为2212112e e +=，则22112c c a m +=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即222+2a m c=，即2222a m c +=，所以12cos 0F PF ∠=，即1π2F PF ∠=.故答案为：π2.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知锐角ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且满足sin sin b C c B +=（1）求C ；（2）若2,c ABC =ABC 的周长．【答案】（1）π3C =（2）6【解析】【分析】（1）根据正弦定理边角互化即可求解，（2）根据面积公式4ab =，进而根据余弦定理可得4a b +=，即可求解.【小问1详解】由sin sin b C c B +=和正弦定理得sin sin sin sin B C C B B +=，sin 2C ∴=，由于π0,2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,故π3C =，【小问2详解】1sin 24S ab C ab === 4ab ∴=又()2222222cos 2,8,c a b ab C a b a b ab =+-∴+-==+故4a b +=∴周长6a b c ++=18.已知ABC 的顶点()1,1A --，()1,1C -，线段AB 的垂直平分线的方程为0x y +=．（1）求直线BC 的方程；（2）若ABC 的外接圆为圆M ，过点)P作圆M 的切线，求切线方程．【答案】（1）1x =（2）x =460y -+=【解析】【分析】（1）先求得B 点坐标，然后求得直线BC 的方程.（2）根据切线的斜率是否存在进行分类讨论，根据点到直线的距离公式求得正确答案.【小问1详解】因为线段AB 的垂直平分线的方程为0x y +=，所以点A ，B 关于直线0x y +=对称．因为()1,1A --，所以()1,1B ．又()1,1C -，所以直线BC 的方程为1x =．【小问2详解】因为CA CB ⊥，()1,1A --，()1,1B ，所以ABC 外接圆的方程为()()()()11110x x y y +-++-=，即222x y +=．所以圆M 的圆心为()0,0．当切线的斜率不存在时，x =当切线的斜率存在时，设切线方程为(2y k x -=-，即20kx y -+-=．因为圆心M到切线的距离d ==4k =，所以切线方程为(24y x -=460y -+=．综上所述，切线方程为x =460y -+=．19.设公比为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足96739S S =，12a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设m b 为数列{}n a 在区间(]()*0,m m ∈N中的项的个数，求数列{}m b 前100项的和.【答案】（1）2nn a =（2）480【解析】【分析】（1）利用等比数列的基本量运算即得；（2）根据条件确定m b 的取值，进而利用分组求和法即得.【小问1详解】设公比为q ，由96739S S =，得966649S S S -=，即()()()6123789361236491a a a q a a a S a a a q ++++==+++，得63964640q q --=，解得38q =或389q =-（舍去），得2q =，又12a =，所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，故数列{}n a 的通项公式为2n n a =.【小问2详解】由m b 为数列{}n a 在区间(]()*0,m m ∈N 中的项的个数，可知10b =，231b b ==，45672b b b b ====.当815m ≤≤时，3m b =；当1631m ≤≤时，4m b =；当3263m ≤≤时，5m b =；当64100m ≤≤时，6m b =.∴12310001122438416532637480b b b b +++⋅⋅⋅+=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.∴数列{}m b 前100项的和为480.20.某中学组织学生进行地理知识竞赛，随机抽取500名学生的成绩进行统计，将这500名学生成绩分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80,90)，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图，若,,a b c 成等差数列，且成绩在区间[80,90)内的人数为120．（1）求a ，b ，c 的值；（2）估计这500名学生成绩的中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；（3）由成绩在区间[90，100]内的甲、乙等5名学生组成帮助小组，帮助成绩在区间[50，60）内的学生A ，B ，其中3人帮助A ，余下的2人帮助B ，求甲、乙都帮助A 的概率．【答案】（1）0.036,0.03a b ==，0.024c =（2）中位数估计为73，平均数73.8（3）310【解析】【分析】（1）根据[)80,90的人数先求出c ，再利用其成等差数列，以及所有小矩形面积为1得到方程，解出即可.（2）设估计中位数为t ，列出方程()()0.0050.03610700.030.5t +⨯+-⨯=，解出即可，再利用频率分布直方图求出平均值即可.（3）列出所有情况，找到满足题意得情况，即可得到概率.【小问1详解】依题意可得：120500100.024c =÷÷=又∵,,a b c 成等差数列，∴2b a c =+且(0.0052)101a b c ⨯+++⨯=，解得：0.036,0.03a b ==【小问2详解】估计中位数设为t ，而[)50,70的频率为0.41，[)50,80的频率为0.71,则[70,80)t ∈，∴()()0.0050.03610700.030.5t +⨯+-⨯=，解得：73t =，即中位数估计为73，估计平均数为：550.05650.36750.3850.24950.0573.8⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．【小问3详解】5人中，将甲、乙分别编号为1,2，其余3人编号3,4,5，从这5人中选3人帮助A 的所以可能结果有：（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5）（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5），共10个基本事件，其中满足条件的有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），共3个，故满足条件的概率为310.21.如图，在三棱锥-P ABC 中，1AB BC ==，PA PB PC AC ====，O 为棱AC 的中点（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且PC 与平面PAM 所成角的正弦值为34，求二面角M PA C --的大小【答案】（1）证明见解析（2）30°【解析】【分析】对于（1），通过题目条件，可以分别得到BO 和PO 长度，分别通过勾股定理和等腰三角形的三线合一得到PO OB ⊥和PO AC ⊥，从而得到PO ⊥平面ABC ，从而得到平面PAC ⊥平面ABC ；对于（2），先建立空间直角坐标系，因为已知PC 与平面PAM 所成角的正弦值为4，同时点M 在棱BC 上，所以设点M 的坐标，从而分别求出PC 和平面PAM 的法向量，并得到点M 的坐标。
2020-2021学年安徽省淮北一中高二(上)期中数学试卷
2020-2021学年安徽省淮北一中高二（上）期中数学试卷一、选择题1．（3分）sin300°的值为（）A．B．C．D．2．（3分）k＞3是方程+＝1表示双曲线的（）条件．A．充分但不必要B．充要C．必要但不充分D．既不充分也不必要3．（3分）若a，b，c∈R，则下列说法正确的是（）A．若a＞b，则a﹣c＞b﹣c B．若a＞b，则C．若a＞b，则a2＞b2D．若a＞b，则ac2＞bc24．（3分）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞nB．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞nC．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n05．（3分）如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现．圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为（）A．，1B．，1C．，D．，6．（3分）有下列4个命题：①x+y≠5是x≠2或y≠3的必要不充分条件；②△ABC中，sin A＞sin B是A＞B的充要条件；③a＞b是a|a|＞b|b|的充要条件；④α＝β是tanα＝tanβ的充分不必要条件．其中真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．37．（3分）等比数列{a n}中，a1＝2，a8＝4，函数f（x）＝x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），则f′（0）＝（）A．26B．29C．212D．2158．（3分）将函数f（x）＝sin（2x+）的图象向右平移（纵坐标不变）得到函数g（x）的图象（）A．函数g（x）的图象关于点（﹣，0）对称B．函数g（x）的最小正周期为C．函数g（x）的图象关于直线x＝对称D．函数g（x）在区间[，]上单调递增9．（3分）已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F且倾斜角为60°直线交C于A，B两点，则△OAB的面积为（）A．B．C．4D．10．（3分）若曲线y＝e x在x＝0处的切线，也是y＝lnx+b的切线，则b＝（）A．﹣1B．1C．2D．e11．（3分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，，线段MF2的延长线交椭圆C于点N，若|MF1|，|MN|，|NF1|成等差数列，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．12．（3分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，F1，F2分别为C的左，右焦点，最小值是2a（其中O为坐标原点），（）A．4B．8C．16D．24二、填空题13．（3分）已知f（x）＝x2+2xf′（1），则f′（1）＝．14．（3分）已知p：|x﹣a|＜4，q：﹣x2+5x﹣6＞0，且￢q是￢p的必要而不充分条件，则a 的取值范围为．15．（3分）已知，，在△ABC中，2sin A+sin C＝2sin B．16．（3分）抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，且满足∠AFB＝120°．过弦AB 的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则．三、解答题17．已知命题p：“存在”，命题q：“曲线表示焦点在x轴上的椭圆”表示双曲线”（1）若“p且q”是真命题，求m的取值范围；（2）若q是s的必要不充分条件，求t的取值范围．18．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M（2，m），且|MF|＝4．（1）求p与m的值；（2）如图，过点F作直线l交抛物线于A、B两点，求直线OA、OB的斜率之积．19．（1）【理科做】已知，求f′（2）．【文科做】已知，求f′（1）．（2）求过点Q（1，﹣1）的曲线y＝x3﹣2x的切线方程．20．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A+，a＝2，b＝2．（1）求c；（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．21．已知数列{a n}的前n项和S n和通项a n满足2S n+a n＝1，数列{b n}中，b1＝1，b2＝，＝+（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）数列{c n}满足c n＝，求证：c1+c2+c3+…+c n＜．22．已知点A（﹣2，0），B（2，0），动点M（x，y）满足直线AM与BM的斜率之积为﹣（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，垂足为E，连结QE并延长交C于点G．（i）证明：△PQG是直角三角形；（ii）求△PQG面积的最大值．2020-2021学年安徽省淮北一中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）sin300°的值为（）A．B．C．D．【分析】由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果．【解答】解：sin300°＝sin（360°﹣60°）＝﹣sin60°＝﹣，故选：C．【点评】本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题．2．（3分）k＞3是方程+＝1表示双曲线的（）条件．A．充分但不必要B．充要C．必要但不充分D．既不充分也不必要【分析】方程+＝1表示双曲线⇔（3﹣k）（k﹣1）＜0，解得k范围，即可判断出结论．【解答】解：方程+＝1表示双曲线⇔（5﹣k）（k﹣1）＜0．∴k＞3是方程+＝1表示双曲线的充分但不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了双曲线的标准方程、简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（3分）若a，b，c∈R，则下列说法正确的是（）A．若a＞b，则a﹣c＞b﹣c B．若a＞b，则C．若a＞b，则a2＞b2D．若a＞b，则ac2＞bc2【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：对于A，若a＞b，正确；对于B，a＝1，不成立；对于C，a＝1，不成立；对于D，c＝3，故不正确；故选：A．【点评】本题考查不等式的性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．4．（3分）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞nB．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞nC．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为：∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n4）＞n0，故选：D．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．5．（3分）如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现．圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为（）A．，1B．，1C．，D．，【分析】设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，由此能求出结果．【解答】解：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，∴V圆柱＝πR2×4R＝2πR3，V球＝πR3．∴＝＝，S圆柱＝2πR×2R+7×πR2＝6πR8，S球＝4πR2．∴＝＝．故选：C．【点评】本题考查球和圆柱的体积和表面积的计算及其应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．6．（3分）有下列4个命题：①x+y≠5是x≠2或y≠3的必要不充分条件；②△ABC中，sin A＞sin B是A＞B的充要条件；③a＞b是a|a|＞b|b|的充要条件；④α＝β是tanα＝tanβ的充分不必要条件．其中真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】由x＝2且y＝3是x+y＝5的充分不必要条件，可判断①；由三角形的正弦定理和边角关系，结合充分必要条件的定义可判断②；构造函数f（x）＝x|x|，判断单调性，可判断③；由α＝β＝，不能推得tanα＝tanβ，可判断④．【解答】解：对于①，由x＝2且y＝3可得x+y＝2，则x＝2且y＝3是x+y＝2的充分不必要条件，则x+y≠5是x≠2或y≠5的充分不必要条件，故①错误；对于②，△ABC中，故②正确；对于③，由f（x）＝x|x|＝，f（x）递增，f（x）递减，函数f（x）连续，a＞b⇔a|a|＞b|b|，故③正确；对于④，若α＝β＝，反之，故④错误．故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断，主要是充分必要条件的判定，考查推理能力，属于基础题．7．（3分）等比数列{a n}中，a1＝2，a8＝4，函数f（x）＝x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），则f′（0）＝（）A．26B．29C．212D．215【分析】对函数进行求导发现f′（0）在含有x项均取0，再利用等比数列的性质求解即可．【解答】解：考虑到求导中f′（0），含有x项均取0，得：f′（0）＝a1a6a3…a8＝（a5a8）4＝712．故选：C．【点评】本题考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法．8．（3分）将函数f（x）＝sin（2x+）的图象向右平移（纵坐标不变）得到函数g（x）的图象（）A．函数g（x）的图象关于点（﹣，0）对称B．函数g（x）的最小正周期为C．函数g（x）的图象关于直线x＝对称D．函数g（x）在区间[，]上单调递增【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，正弦函数的周期性以及图象的对称性，得出结论．【解答】解：将函数f（x）＝sin（2x+）的图象向右平移+）＝sin（8x﹣；再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数g（x）＝sin（x﹣）的图象．当x＝﹣时，g（x）＝﹣1，0）对称；函数g（x）的最小正周期为2π，故排除B；当x＝时，g（x）＝0对称；在区间[，]上∈[0，]，故D正确，故选：D．【点评】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的周期性以及图象的对称性，属于基础题．9．（3分）已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F且倾斜角为60°直线交C于A，B两点，则△OAB的面积为（）A．B．C．4D．【分析】根据抛物线的方程求得焦点坐标，根据直线的倾斜角求得直线方程，代入抛物线方程，利用韦达定理求得x1+x2＝，由抛物线的性质可知丨AB丨＝p+x1+x2＝，利用点到直线的距离公式求得O到直线y＝（x﹣1）的距离d，根据三角形的面积公式S＝•丨AB丨•d，即可求得则△OAB的面积．【解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点（7，0）1，y5），B（x2，y2），∴F且倾斜角为60°的直线y＝（x﹣1），∴，整理得：4x2﹣10x+2＝4，由韦达定理可知：x1+x2＝，由抛物线的性质可知：丨AB丨＝p+x1+x2＝，点O到直线y＝（x﹣1）的距离d＝，∴则△OAB的面积S，S＝＝，故选：A．【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，点到直线的距离公式及三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题．10．（3分）若曲线y＝e x在x＝0处的切线，也是y＝lnx+b的切线，则b＝（）A．﹣1B．1C．2D．e【分析】求出y＝e x的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再设与曲线y＝lnx+b相切的切点为（m，n），求得函数y＝lnx+b的导数，由导数的几何意义求出切线的斜率，解方程可得m，n，进而得到b的值．【解答】解：y＝e x的导数为y′＝e x，曲线y＝e x在x＝0处的切线斜率为k＝1，则曲线y＝e x在x＝2处的切线方程为y﹣1＝x，y＝lnx+b的导数为y′＝，设切点为（m，n），则，解得m＝1，n＝2，即有5＝ln1+b，解得b＝2．故选：C．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的导数，设出切点和正确求出导数是解题的关键．11．（3分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，，线段MF2的延长线交椭圆C于点N，若|MF1|，|MN|，|NF1|成等差数列，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】设|MF2|＝m，根据等差数列的性质和椭圆的定义可得|MN|＝a，再根据向量的垂直可得a＝m，即可求出离心率．【解答】解：设|MF2|＝m，∵|MF1|，|MN|7|成等差数列，∴2|MN|＝|MF1|+|NF8|，∴|MN|＝|MF2|+|NF2|＝8a﹣|MF1|+2a﹣|NF5|＝4a﹣2|MN|，∴|MN|＝a，∴|NF2|＝a﹣m，∴|NF1|＝6a﹣（a﹣m）＝，∵，∴MF1⊥MF2，∴Rt△F1MN中，|NF1|2＝|MN|2+|MF1|2，∴（2a﹣m）2+（a）2＝（a+m）2，整理可得m＝a，∴|MF5|＝a，|MF1|＝a，∴|F2F7|2＝|MF2|2+|MF1|2，∴6c2＝2a6，∴e＝＝，故选：A．【点评】本题考查了椭圆的定义和性质以及向量的垂直，等差数列的性质，考查了运算求解能力，属于中档题．12．（3分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，F1，F2分别为C的左，右焦点，最小值是2a（其中O为坐标原点），（）A．4B．8C．16D．24【分析】由渐近线方程，可得b＝a，c＝2a，根据最小值是2a，求出a＝1，设|PF2|＝t，利用基本不等式即可得出最小值．【解答】解：∵双曲线C：＝1（a＞2x，∴＝，即b＝a，∴c＝2a，∵的最小值为2a，∴当点P和右端点重合时有最小值，∴a•2a＝2a，解得a＝4，设|PF2|＝t，可得|PF1|＝t+2，∴＝＝t++4＝42|＝2时取等号，故最小值为7，故选：B．【点评】本题考查双曲线的定义、标准方程与几何性质、基本不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题13．（3分）已知f（x）＝x2+2xf′（1），则f′（1）＝﹣2．【分析】利用求导法则求出f（x）的导函数，把x＝1代入导函数中得到关于f′（1）的方程，求出方程的解即可得到f′（1）的值．【解答】解：求导得：f′（x）＝2x+2f′（1），把x＝2代入得：f′（1）＝2+2f′（1），解得：f′（1）＝﹣5．故答案为：﹣2【点评】本题要求学生掌握求导法则．学生在求f（x）的导函数时注意f′（1）是一个常数，这是本题的易错点．14．（3分）已知p：|x﹣a|＜4，q：﹣x2+5x﹣6＞0，且￢q是￢p的必要而不充分条件，则a 的取值范围为[﹣1，6]．【分析】分别求出关于p，q的不等式，根据集合的包含关系得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：由|x﹣a|＜4，解得：a﹣4＜x＜a+3，由﹣x2+5x﹣7＞0，解得：2＜x＜7，若￢q是￢p的必要而不充分条件，则p是q的必要不充分条件，则（2，3）⫋（a﹣6，即，解得：﹣1≤a≤3，故答案为：[﹣1，6]．【点评】本题考查了集合的包含关系，考查充分必要条件的定义以及转化思想，是一道基础题．15．（3分）已知，，在△ABC中，2sin A+sin C＝2sin B﹣＝1（x＞）．【分析】运用正弦定理，结合双曲线的定义和方程，可得所求轨迹方程．【解答】解：由正弦定理可得，2sin A+sin C＝2sin B即为5|BC|+|AB|＝2|AC|，可得|AC|﹣|CB|＝|AB|＝2，可得C的轨迹为以A，B为焦点的双曲线的右支，设双曲线的方程为﹣＝1，c＝8＝，则C的轨迹方程为﹣＝3（x＞），故答案为：﹣＝4（x＞）．【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用定义法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．16．（3分）抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，且满足∠AFB＝120°．过弦AB 的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则．【分析】设|AF|＝a，|BF|＝b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|MN|＝a+b，由余弦定理可得|AB|2＝（a+b）2﹣ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案．【解答】解：设|AF|＝a，|BF|＝b、BF，由抛物线定义，得|AF|＝|AQ|，在梯形ABPQ中．由余弦定理得，|AB|2＝a2+b6﹣2ab cos120°＝a2+b7+ab，配方得，|AB|2＝（a+b）2﹣ab，又∵ab≤（）2，∴（a+b）2﹣ab≥（a+b）6﹣（a+b）2＝（a+b）4得到|AB|≥（a+b）．∴≤＝，即的最大值为．故答案为：．【点评】本题在抛物线中，利用定义和余弦定理求的最大值，着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题．三、解答题17．已知命题p：“存在”，命题q：“曲线表示焦点在x轴上的椭圆”表示双曲线”（1）若“p且q”是真命题，求m的取值范围；（2）若q是s的必要不充分条件，求t的取值范围．【分析】（1）若“p且q”是真命题，则p，q同时为真命题，建立条件关系，即可求m 的取值范围；（2）根据q是s的必要不充分条件，建立条件关系，即可求t的取值范围．【解答】解：（1）若p为真：…（1分）解得m≤﹣8或m≥3…（2分）若q为真：则…（6分）解得﹣4＜m＜﹣2或m＞6…（4分）若“p且q”是真命题，则…（6分）解得﹣4＜m＜﹣8或m＞4…（7分）（2）若s为真，则（m﹣t）（m﹣t﹣3）＜0由q是s的必要不充分条件，则可得{m|t＜m＜t+1}⫋{m|﹣3＜m＜﹣2或m＞4}…（4分）即或t≥4…（11分）解得﹣4≤t≤﹣6或t≥4…（12分）【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用数轴是解决本题的关键，考查学生的推理能力．18．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M（2，m），且|MF|＝4．（1）求p与m的值；（2）如图，过点F作直线l交抛物线于A、B两点，求直线OA、OB的斜率之积．【分析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，由抛物线的定义，可得p的方程，求得p和抛物线的方程，以及m的值；（2）求出抛物线的焦点，讨论直线l的斜率不存在，求得交点A，B，可得斜率之积；直线l的斜率存在，设为k（k≠0），则其方程可表示为：y＝k（x﹣2），联立抛物线的方程，消去x，设A（x1，y1），B（x2，y2），运用韦达定理和直线的斜率公式，计算即可得到所求之积．【解答】解：（1）抛物线C：y2＝2px（p＞2）的焦点为，准线为．由抛物线定义知：点M（2，m）到F的距离等于M到准线的距离，故，∴p＝4，抛物线C的方程为y2＝8x∵点M（2，m）在抛物线C上，∴m6＝16，即m＝±4∴p＝4，m＝±6；（2）证明：由（1）知：抛物线C的方程为y2＝8x，焦点为F（5若直线l的斜率不存在，则其方程为：x＝2，代入y2＝5x，易得：A（2，4），﹣4），从而；若直线l的斜率存在，设为k（k≠0），由，消去x，即ky6﹣8y﹣16k＝0（k≠6），△＝64+64k2＞0设A（x5，y1），B（x2，y5），则，∴，从而．综上所述：直线OA、OB的斜率之积为﹣4．【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线和抛物线的方程联立，运用韦达定理，以及直线的斜率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．19．（1）【理科做】已知，求f′（2）．【文科做】已知，求f′（1）．（2）求过点Q（1，﹣1）的曲线y＝x3﹣2x的切线方程．【分析】（1）分别求出函数f（x）的导函数，再把x＝2与x＝1代入求值；（2）设出切点坐标，得到曲线在切点处的切线方程，把Q的坐标代入求得切点横坐标，即可求得切线方程．【解答】解：（1）由，得，∴f′（2）＝5e﹣2；由，得，∴f′（1）＝0．（2）设P（x6，y0）为切点，则切线的斜率为．故切线方程为（x﹣x7），即．又切线过点（1，﹣1），得，整理得（x0﹣5）•，解得x0＝4或．故所求的切线方程为y+1＝x﹣1或，即x﹣y﹣2＝0或3x+4y﹣1＝3．【点评】本题考查导数的运算，训练了利用导数求过某点处的切线方程，考查运算求解能力，是中档题．20．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A+，a＝2，b＝2．（1）求c；（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．【分析】（1）先根据同角的三角函数的关系求出A，再根据余弦定理即可求出，（2）先根据夹角求出cos C，求出CD的长，得到S△ABD＝S△ABC．【解答】解：（1）∵sin A+cos A＝0，∴tan A＝，∵0＜A＜π，∴A＝，由余弦定理可得a2＝b2+c8﹣2bc cos A，即28＝4+c7﹣2×2c×（﹣），即c2+7c﹣24＝0，解得c＝﹣6（舍去）或c＝3，故c＝4．（2）∵c2＝b7+a2﹣2ab cos C，∴16＝28+3﹣2×2×2×cos C，∴cos C＝，∴CD＝＝＝∴CD＝BC∵S△ABC＝AB•AC•sin∠BAC＝＝2，∴S△ABD＝S△ABC＝【点评】本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，以及解三角形的问题，属于中档题21．已知数列{a n}的前n项和S n和通项a n满足2S n+a n＝1，数列{b n}中，b1＝1，b2＝，＝+（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）数列{c n}满足c n＝，求证：c1+c2+c3+…+c n＜．【分析】（Ⅰ）由2S n+a n＝1，得S n＝（1﹣a n），由此推导出{a n}是首项为，公比为的等比数列，从而求出a n．由b1＝1，b2＝，＝+（n∈N*），得＝1，＝2，d＝＝1，由此推导出{}是首项为1，公差为1的等差数列，从而求出b n；（Ⅱ）c n＝＝n•（）n，设T n＝c1+c2+c3+…+c n，由错位相减求和，即可证明结论．【解答】解．（Ⅰ）由2S n+a n＝1，得S n＝（1﹣a n），当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝（1﹣a n）﹣（1﹣a n﹣1），∵a n﹣2≠0，∴＝而S1＝（1﹣a3），∴a1＝∴{a n}是首项为，公比为，∴a n＝（）n．由b1＝1，b6＝，＝+（n∈N*），得＝1，，d＝，∴{}是首项为4，∴＝1+（n﹣3）×1＝n，∴b n＝．（2）c n＝＝n•（）n，设T n＝c1+c6+c3+…+c n，则T n＝1•+2•（）2+…+n•（）n，T n＝1•（）2+2•（）3+…+n•（）n+1，由错位相减，化简得：T n＝＜．【点评】本题考查数列通项公式的求法，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．22．已知点A（﹣2，0），B（2，0），动点M（x，y）满足直线AM与BM的斜率之积为﹣（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，垂足为E，连结QE并延长交C于点G．（i）证明：△PQG是直角三角形；（ii）求△PQG面积的最大值．【分析】（1）利用直接法不难得到方程；（2）（i）设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），E（x0，0），利用直线QE的方程与椭圆方程联立求得G点坐标，去证PQ，PG斜率之积为﹣1；（ii）利用S＝，代入已得数据，并对换元，利用“对号”函数可得最值．【解答】解：（1）由题意得，整理得曲线C的方程：，∴曲线C是焦点在x轴上不含长轴端点的椭圆；（2）（i）设P（x0，y4），则Q（﹣x0，﹣y0），E（x8，0），G（x G，y G），∴直线QE的方程为：，与联立消去y，得，∴，∴，∴＝，∴＝＝＝，把代入上式，得k PG＝＝＝﹣，∴k PQ×k PG＝＝﹣1，∴PQ⊥PG，故△PQG为直角三角形；（ii）S△PQG＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝令t＝，则t≥2，S△PQG＝＝利用“对号”函数f（t）＝2t+在[6，f（t）（t＝3时取等号），∴＝（此时），故△PQG面积的最大值为．【点评】此题考查了直接法求曲线方程，直线与椭圆的综合，换元法等，对运算能力考查尤为突出，难度大．。
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安徽省淮北市数学高二上学期文数期中考试试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2019高一下·宿迁期末) 计算的结果为（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分）已知矩形ABCD的边AB=4，AD=1，点P为边AB上的一动点，则当∠DPC最大时，线段AP的长为（）
A . 1或3
B . 1.5或2.5
C . 2
D . 3
3. （2分）若sinα+cosα=tan390°，则sin2α等于（）
A . ﹣
B . ﹣
C .
D .
4. （2分）定义运算，则函数的最小正周期为（）
A .
B .
C .
D .
5. （2分）设S是的面积，A,B,C的对边分别为a,b,c，且，则（）
A . 是钝角三角形
B . 是锐角三角形
C . 可能为钝角三角形，也可能为锐角三角形
D . 无法判断
6. （2分）设S n是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前n项和，则下列命题错误的是（）
A . 若d＜0，则数列{S n}有最大项
B . 若数列{S n}有最大项，则d＜0
C . 若数列{S n}是递增数列，则对任意的，均有S n＞0
D . 若对任意的，均有S n＞0，则数列{S n}是递增数列
7. （2分）数列｛an}的前项和为Sn=2n2+1，则a1,a5的值依次为（）
A . 3,4
B . 2,8
C . 3,18
D . 3,14
8. （2分）已知等差数列的前13项之和为，则等于（）
A . -1
B .
C .
D . 1
9. （2分） (2018高二上·西安月考) 已知等比数列的前n项和Sn＝4n＋a ，则a的值等于（）
A . －4
B . －1
C . 0
D . 1
10. （2分） (2016高一下·双流期中) 有一种细胞每半小时分裂一次，由原来的一个分裂成两个，那么一个这种细胞经过3小时分裂成的细胞数为（）
A . 32
B . 64
C . 128
D . 254
11. （2分）(2017·浙江模拟) 已知两个单位向量，，且满足• =﹣，存在向量使cos （﹣，﹣）= ，则| |的最大值为（）
A . 2
B .
C .
D . 1
12. （2分）数列{an}的通项公式an=n2﹣2λn+1，若数列{an}为递增数列，则λ的取值范围是（）
A . （﹣∞，1）
B . （﹣∞，1]
C .
D .
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2019高三上·铁岭月考) 记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则
________.
14. （1分） (2018高一下·宜宾期末) 若互不相等的实数成等差数列，成等比数列，且
则 ________．
15. （1分） (2017高一下·张家口期末) 已知等比数列{an}的首项为32，公比为﹣，则等比数列{an}的前5项和为________．
16. （1分） (2016高二上·乾安期中) 已知等差数列{an}的公差d=﹣2，a1+a4+a7+…+a97=50，那么a3+a6+a9+…+a99的值是________
三、解答题 (共6题；共45分)
17. （5分） (2016高一下·河南期末) 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C= ．
（1）求sinC的值；
（2）当a=2，2sinA=sinC时，求b及c的长．
18. （5分）(2017·莱芜模拟) 在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且（2a﹣c）cosB=bcosC．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若a=2，c=3，求sinC的值．
19. （5分） (2018高一下·四川期中) 已知数列是等差数列，且 .
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和 .
20. （10分）写出下列数列的一个通项公式：
（1），，，，…；
（2） 1，2，4，8，…；
（3），，，，…．
21. （10分）在等差数列{an}中，已知a5=10，a12=31，求它的通项公式．
22. （10分） (2016高二上·临沂期中) 数列{an}满足an+1+an=4n﹣3（n∈N*）（Ⅰ）若{an}是等差数列，求其通项公式；
（Ⅱ）若{an}满足a1=2，Sn为{an}的前n项和，求S2n+1 ．
参考答案一、单选题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共6题；共45分) 17-1、
17-2、
18-1、
19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、
22-1、。