线性系统的频率响应分析法
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0
2018年11月24日星期六
第5章 线性系统的频率响应分析法
4
例5.11：分析闭环系统稳定性
分析如下开环传函G(s)的闭环稳定性
K G ( s) , ( K , T 0) sT 1
1.5
[解]：绘制G(s)的奈奎斯特曲线 （1）G(jω)的起点和终点分别为
G( j 0) K , G( j) 0 90
2018年11月24日星期六
像点(映射点)为G平 面的Nyquist曲线
G ( j ), ( s D1 ) G ( s ) G (), ( s D2 ) G ( j ), ( s D ) 3
2
第5章 线性系统的频率响应分析法
例5.10：分析闭环系统稳定性
分析如下开环传函的闭环稳定性
1
0.5 K=2 K=0.7 0
jY
0
-0.5
G(jω)轨迹在G平面第三象限，因为 () tg-1T 180 （2）若K>1，奈奎斯特曲线逆时针包围(-1,j0)点一 周，有N=-1，于是Z=N+P=0，所以闭环系统稳定。 （3）若K<1，奈氏曲线不包围(-1,j0)，系统不稳定。
-1 -1.5 -2.5 -2 -1.5 -1 X -0.5 0 0.5
◆Nyquist判据2：若开环系统G(s)是稳定的， 则闭环系统稳定的充要条件是，系统的开环 奈奎斯特曲线不包围G平面的(-1,j0)点。
注释2：Z=0，P=0，则N=Z-P=0。
2018年11月24日星期六 第5章 线性系统的频率响应分析法 1
Nyquist周线与Nyquist曲线的关系
虚轴上无开环函数G(s)极点的情况
2018年11月24日星期六
第5章 线性系统的频率响应分析法
5
虚轴上含有G(s)极点的情况
考虑v(≠0)型系统的情况奈奎斯特周线应该避开使 G(s)奇异的点(即S平面坐标原点)。
j
D1 {s : s j , 0 } j D2 {s : s e , 90 90} D D3 {s : s j , 0} D {s : s 0e j , 90 90} 4 G ( j ), ( s D1 ) G (), ( s D ) 2 G ( s) G ( j ), ( s D3 ) G (0), ( s D4 )
G( j ) K , a 1 2 (T1T2 T2T3 T3T1 ), b (T1 T2 T3 ) 3T1T2T3 a jb T T T b 0 x 1 2 3 T1T2T3 K x G( jx ) (T1 T2 T3 )(1 / T1 1 / T2 1 / T3 ) 1
j
S平面
D1
0
G平面
jY
D2
0
X
D3
原像点为S平面 的Nyquist周线
D1 {s : s j , 0 } D D2 {s : s e j , 90 90} D {s : s j , 0} 3
0
X
（2）求取G(jω)与负实轴的交点
K G( j ) 2 (T1 T2 ) j (1 2T1T2 ) 1 KT1T2 x G( jx ) T1 T2 T1T2
2018年11月24日星期六 第5章 线性系统的频率响应分析法
绘制G(jω) 奈氏曲线
2018年11月24日星期六 第5章 线性系统的频率响应分析法 3
（续）
（3）按对称于实轴的方式补充绘制G(-jω)曲线。 另外，S平面奈氏周线D2段映射到G平面坐标原点。 （4）如果 G( jx ) 1 ，此时G(s)的奈氏曲线顺时针 包围G平面上的(-1,j0)点，于是闭环系统有Z=N+P=2 个极点在右半S平面，闭环系统是不稳定的。 （5）如果 G( jx ) 1 ，此 jY 时G(s)的奈氏曲线不包围G 平面 (-1,j0)点，闭环系 (1, j 0) X 统是稳定的。
D1 D2
r
0
R
D4
D3
K G (0) v s
sD4
j e , (v 1) j 2 , (v 2) e
Hale Waihona Puke Baidu
结论：D4段为绕坐标原点无穷小半径逆时针半周， 则G(j0)为绕坐标原点无穷大半径顺时针v个半周。
2018年11月24日星期六 第5章 线性系统的频率响应分析法 6
7
（续）
（3）按对称于实轴方式补画G(-jω)的轨迹。并且S 平面D2段映射为G平面坐标原点。 jY （4）对1型系统，奈氏周线D4段 映射为无穷大半径顺时针半周。 （5）如果 G( jx ) 1 ，此时奈氏 曲线不包围G平面上的(-1,j0)点， 故此时闭环系统是稳定的。 （6）如果 G( jx ) 1 ，此时奈氏 曲线顺时针包围G平面 (-1,j0) 点两周，于是Z=N+P=2，所以闭 环系统是不稳定的。
K G( s) , ( K , T1 , T2 , T3 0) (1 sT1 )(1 sT2 )(1 sT3 )
0
jY
X
[解]：首先绘制G(s)的奈奎斯特曲线
G( j 0) K , G( j) 0 270 （1）G(jω)的起点和终点： （2）G(jω)与负实轴的交点
Nyquist判据的延伸表述
◆Nyquist判据1：若系统的开环函数G(s)有P 个极点在右半S平面，则闭环系统稳定的充要 条件是，系统的开环奈奎斯特曲线逆时针包 围G平面的(-1,j0)点P周。
注释1：F(s)=1+G(s)，两映射曲线是平移单位1的关 系，即F平面的坐标原点对应G平面的(-1,j0)点。
例5.12：1型系统的稳定性判别
已知系统的开环传递函数如下，分析其闭环稳定性
K G( s) , ( K , T1 , T2 0) s(1 sT1 )(1 sT2 )
jY
[解]：绘制G(s)的奈奎斯特曲线 （1）G(jω)的起点和终点分别为
G( j 0) 90, G( j) 0 270
2018年11月24日星期六
第5章 线性系统的频率响应分析法
4
例5.11：分析闭环系统稳定性
分析如下开环传函G(s)的闭环稳定性
K G ( s) , ( K , T 0) sT 1
1.5
[解]：绘制G(s)的奈奎斯特曲线 （1）G(jω)的起点和终点分别为
G( j 0) K , G( j) 0 90
2018年11月24日星期六
像点(映射点)为G平 面的Nyquist曲线
G ( j ), ( s D1 ) G ( s ) G (), ( s D2 ) G ( j ), ( s D ) 3
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第5章 线性系统的频率响应分析法
例5.10：分析闭环系统稳定性
分析如下开环传函的闭环稳定性
1
0.5 K=2 K=0.7 0
jY
0
-0.5
G(jω)轨迹在G平面第三象限，因为 () tg-1T 180 （2）若K>1，奈奎斯特曲线逆时针包围(-1,j0)点一 周，有N=-1，于是Z=N+P=0，所以闭环系统稳定。 （3）若K<1，奈氏曲线不包围(-1,j0)，系统不稳定。
-1 -1.5 -2.5 -2 -1.5 -1 X -0.5 0 0.5
◆Nyquist判据2：若开环系统G(s)是稳定的， 则闭环系统稳定的充要条件是，系统的开环 奈奎斯特曲线不包围G平面的(-1,j0)点。
注释2：Z=0，P=0，则N=Z-P=0。
2018年11月24日星期六 第5章 线性系统的频率响应分析法 1
Nyquist周线与Nyquist曲线的关系
虚轴上无开环函数G(s)极点的情况
2018年11月24日星期六
第5章 线性系统的频率响应分析法
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虚轴上含有G(s)极点的情况
考虑v(≠0)型系统的情况奈奎斯特周线应该避开使 G(s)奇异的点(即S平面坐标原点)。
j
D1 {s : s j , 0 } j D2 {s : s e , 90 90} D D3 {s : s j , 0} D {s : s 0e j , 90 90} 4 G ( j ), ( s D1 ) G (), ( s D ) 2 G ( s) G ( j ), ( s D3 ) G (0), ( s D4 )
G( j ) K , a 1 2 (T1T2 T2T3 T3T1 ), b (T1 T2 T3 ) 3T1T2T3 a jb T T T b 0 x 1 2 3 T1T2T3 K x G( jx ) (T1 T2 T3 )(1 / T1 1 / T2 1 / T3 ) 1
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S平面
D1
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G平面
jY
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X
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原像点为S平面 的Nyquist周线
D1 {s : s j , 0 } D D2 {s : s e j , 90 90} D {s : s j , 0} 3
0
X
（2）求取G(jω)与负实轴的交点
K G( j ) 2 (T1 T2 ) j (1 2T1T2 ) 1 KT1T2 x G( jx ) T1 T2 T1T2
2018年11月24日星期六 第5章 线性系统的频率响应分析法
绘制G(jω) 奈氏曲线
2018年11月24日星期六 第5章 线性系统的频率响应分析法 3
（续）
（3）按对称于实轴的方式补充绘制G(-jω)曲线。 另外，S平面奈氏周线D2段映射到G平面坐标原点。 （4）如果 G( jx ) 1 ，此时G(s)的奈氏曲线顺时针 包围G平面上的(-1,j0)点，于是闭环系统有Z=N+P=2 个极点在右半S平面，闭环系统是不稳定的。 （5）如果 G( jx ) 1 ，此 jY 时G(s)的奈氏曲线不包围G 平面 (-1,j0)点，闭环系 (1, j 0) X 统是稳定的。
D1 D2
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R
D4
D3
K G (0) v s
sD4
j e , (v 1) j 2 , (v 2) e
Hale Waihona Puke Baidu
结论：D4段为绕坐标原点无穷小半径逆时针半周， 则G(j0)为绕坐标原点无穷大半径顺时针v个半周。
2018年11月24日星期六 第5章 线性系统的频率响应分析法 6
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（续）
（3）按对称于实轴方式补画G(-jω)的轨迹。并且S 平面D2段映射为G平面坐标原点。 jY （4）对1型系统，奈氏周线D4段 映射为无穷大半径顺时针半周。 （5）如果 G( jx ) 1 ，此时奈氏 曲线不包围G平面上的(-1,j0)点， 故此时闭环系统是稳定的。 （6）如果 G( jx ) 1 ，此时奈氏 曲线顺时针包围G平面 (-1,j0) 点两周，于是Z=N+P=2，所以闭 环系统是不稳定的。
K G( s) , ( K , T1 , T2 , T3 0) (1 sT1 )(1 sT2 )(1 sT3 )
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jY
X
[解]：首先绘制G(s)的奈奎斯特曲线
G( j 0) K , G( j) 0 270 （1）G(jω)的起点和终点： （2）G(jω)与负实轴的交点
Nyquist判据的延伸表述
◆Nyquist判据1：若系统的开环函数G(s)有P 个极点在右半S平面，则闭环系统稳定的充要 条件是，系统的开环奈奎斯特曲线逆时针包 围G平面的(-1,j0)点P周。
注释1：F(s)=1+G(s)，两映射曲线是平移单位1的关 系，即F平面的坐标原点对应G平面的(-1,j0)点。
例5.12：1型系统的稳定性判别
已知系统的开环传递函数如下，分析其闭环稳定性
K G( s) , ( K , T1 , T2 0) s(1 sT1 )(1 sT2 )
jY
[解]：绘制G(s)的奈奎斯特曲线 （1）G(jω)的起点和终点分别为
G( j 0) 90, G( j) 0 270