线性系统的频率响应分析法
线性系统的频率分析法
对于非线性系统中的周期信号，可以通过傅里叶级数展开进行分析，以 了解系统在不同频率下的行为。
03
非线性控制策略
基于非线性系统的频率响应，可以设计非线性控制器，以实现系统的稳
定性和性能要求。
基于频率分析法的控制策略设计
控制系统设计
基于频率分析法的控制策略设计，首先需要确定控制目标，然后根据系统模型和性能要求 ，设计合适的控制器。
以对数尺度绘制频率响应函数的幅度和相位与频 率的关系曲线，便于观察系统在不同频率范围内 的性能变化。
Nyquist图
以极坐标形式绘制频率响应函数的极点和零点分 布，用于判断系统的稳定性以及动态响应特性。
3
Nichols图
以极坐标形式绘制系统的开环和闭环频率响应函 数，用于分析系统的开环和闭环性能。
系统稳定性分析
03 频率响应函数
CHAPTER
频率响应函数的定义与性质
定义
稳定性
频率响应函数是线性系统对正弦输入 信号的稳态输出与输入的比值，表示 系统在不同频率下的性能特性。
通过判断频率响应函数的极点和零点 分布，可以确定系统的稳定性以及动 态响应特性。
性质
频率响应函数具有复数形式，包括幅度 和相位两部分，分别表示系统对不同频 率信号的放大或缩小以及相位移动。
线性系统的研究方法
01
02
03
频域分析法
通过将系统函数进行傅里 叶变换，将时域问题转化 为频域问题，从而在频域 内分析系统的频率特性。
时域分析法
通过对方程进行数值积分 或解析求解，直接在时域 内分析系统的动态响应特 性。
状态空间分析法
通过建立系统的状态方程 和输出方程，在状态空间 内分析系统的动态行为和 稳定性。
频率响应法
频率响应法一、概述频率响应法（Frequency Response Method）是一种用于分析和设计线性时不变系统的方法。
它通过研究系统对不同频率的输入信号的响应来揭示系统的特性和行为。
频率响应法广泛应用于信号处理、控制系统、通信系统等领域。
二、频率响应的基本概念2.1 频率响应函数频率响应函数是描述系统对不同频率输入信号响应的函数。
通常用H(ω)表示，其中ω为角频率。
频率响应函数可以分为幅频特性和相频特性两个部分。
2.2 幅频特性幅频特性描述了系统对不同频率输入信号的幅度变化情况。
常见的表示幅频特性的方法有Bode图和Nyquist图。
Bode图将系统的增益和相位角随频率变化的曲线绘制在共享横轴的图上，直观地展示了系统的频率响应特性。
Nyquist图则是将系统的频率响应绘制在复平面上，可以用于分析系统的稳定性和相位裕度等指标。
2.3 相频特性相频特性描述了系统对不同频率输入信号的相位差变化情况。
相频特性通常用Bode图来表示，通过绘制系统的相位角随频率变化的曲线，可以分析系统的相位延迟、相位裕度等指标。
三、频率响应法的应用3.1 系统分析频率响应法可以用于对系统进行稳定性分析、频率特性分析等。
通过分析系统的频率响应曲线，可以判断系统是否稳定、是否存在共振现象，从而指导系统的设计和调整。
3.2 控制系统设计频率响应法在控制系统的设计中起到重要作用。
通过分析系统的频率响应特性，可以选择合适的控制器参数，设计出满足性能要求的控制系统。
3.3 信号处理在信号处理领域，频率响应法广泛应用于滤波器设计和信号增强等方面。
通过分析信号在系统中的频率响应，可以设计出满足要求的滤波器，对信号进行有效处理和增强。
3.4 通信系统频率响应法在通信系统中的应用也非常广泛。
通过分析通信系统的频率响应特性，可以优化系统的传输性能，提高信号的传输质量和可靠性。
四、频率响应法的优缺点4.1 优点•频率响应法可以直观地展示系统的频率响应特性，便于分析和设计。
系统频率响应分析
第五章 系统频率响应分析
当 xi (t) (t)时，Xi ( j) F[ (t)] 1 故 Xo ( j) G( j) 或 F[Xo (t)] G( j) 这表明系统的频率特性就是单位脉冲响应函 数的Fourier变换或其频谱，所以对频率特性的 分析就是对单位脉冲响应函数的频谱分析。
3. 在研究系统结构及参数的变化对系统性能的 影响时，许多情况下(例如对于单输入、单输出 系统)，在频域中分析比在时域中分析要容易。
第五章 系统频率响应分析
第五章 系统频率响应分析
本章主要内容： 5.1 频率特性概述 5.2 频率特性的极坐标图（Nyquist图） 5.3 频率特性的对数坐标图（Bode图） 5.4 闭环频率特性 5.5 最小相位系统与非最小相位系统
第五章 系统频率响应分析
5.1 频率特性概述
5.1.1 频率特性的概念 1. 频率响应
相移 ()。然后作出幅值比 Xo() / Xi 对频率 的
函数曲线，此即幅频特性曲线；作出相移 ( ) 对
频率 的函数曲线，此即相频特性曲线。
2. 频率特性是单位脉冲响应函数的频谱
设某系统的输出为 Xo (s) G(s)Xi (s)
频率特性与传 递函数的关系
Xo ( j) G( j)Xi ( j)
的衰减快。所以 tkesjt 的各项随着t→∞也都趋
于零。因此，对于稳定的系统不管系统是否有 重极点，其稳态响应都如上式所示。
第五章 系统频率响应分析
待定系数 B和B*
B
G(s)
(s
Xi j)) Xi s j
s j
G(
j)
Xi 2j
G( j) e jG( j) Xi
A()
Xo ()
线性系统的频率响应分析
实验名称：线性系统的频率响应分析系专业班姓名学号授课老师预定时间实验时间实验台号一、目的要求1．掌握波特图的绘制方法及由波特图来确定系统开环传函。
2．掌握实验方法测量系统的波特图。
二、原理简述1．频率特性当输入正弦信号时，线性系统的稳态响应具有随频率( ω由0 变至∞) 而变化的特性。
频率响应法的基本思想是：尽管控制系统的输入信号不是正弦函数，而是其它形式的周期函数或非周期函数，但是，实际上的周期信号，都能满足狄利克莱条件，可以用富氏级数展开为各种谐波分量；而非周期信号也可以使用富氏积分表示为连续的频谱函数。
因此，根据控制系统对正弦输入信号的响应，可推算出系统在任意周期信号或非周期信号作用下的运动情况。
2．线性系统的频率特性系统的正弦稳态响应具有和正弦输入信号的幅值比和相位差随角频率（ω由0 变到∞) 变化的特性。
而幅值比和相位差恰好是函数的模和幅角。
所以只要把系统的传递函数，令，即可得到。
我们把称为系统的频率特性或频率传递函数。
当由0 到∞变化时，随频率ω的变化特性成为幅频特性，随频率的变化特性称为相频特性。
幅频特性和相频特性结合在一起时称为频率特性。
3．频率特性的表达式(1) 对数频率特性：又称波特图，它包括对数幅频和对数相频两条曲线，是频率响应法中广泛使用的一组曲线。
这两组曲线连同它们的坐标组成了对数坐标图。
对数频率特性图的优点：①它把各串联环节幅值的乘除化为加减运算，简化了开环频率特性的计算与作图。
②利用渐近直线来绘制近似的对数幅频特性曲线，而且对数相频特性曲线具有奇对称于转折频率点的性质，这些可使作图大为简化。
③通过对数的表达式，可以在一张图上既能绘制出频率特性的中、高频率特性，又能清晰地画出其低频特性。
(2) 极坐标图(或称为奈奎斯特图)(3) 对数幅相图(或称为尼柯尔斯图)本次实验中，采用对数频率特性图来进行频域响应的分析研究。
实验中提供了两种实验测试方法：直接测量和间接测量。
直接频率特性的测量用来直接测量对象的输出频率特性，适用于时域响应曲线收敛的对象（如：惯性环节）。
自动控制原理第五章频率响应法
随着人工智能和机器学习技术的发展，将人工智能和机器学习技术应用于频率响应分析中 ，可以大大提高分析的准确性和效率，是未来研究的一个重要方向。
06
参考文献
参考文献
01
《现代控制系统分析与设计（第八版）》作者： Richard C. Dorf and Robert H. Bishop
01
频率响应法的起源可以追溯到20世纪30年代，当时研究者开始 使用频率响应法来分析电气系统的稳定性。
02
随着计算机技术和信号处理技术的发展，频率响应法的应用范
围不断扩大，分析精度和计算效率也不断提高。
目前，频率响应法已经成为自动控制原理中最重要的分析方法
03
之一，广泛应用于控制系统的分析和设计。
02
非线性系统的频率响应分析
非线性系统的频率响应分析是研究非线性系统对不同频率输入信号的响应特性。由于非线性系统的输出与输入之间不存在明 确的函数关系，因此需要采用特殊的方法进行分析。
在实际应用中，非线性系统的频率响应分析广泛应用于音频处理、图像处理、通信等领域。通过分析非线性系统的频率响应 特性，可以揭示系统的内在规律，为系统设计和优化提供依据。
02
《自动控制原理（第五版）》作者：孙亮
03
《控制系统设计指南（第二版）》作者：王树青
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对数坐标图分析法
对数坐标图分析法也称为伯德图，通过将系统 的频率响应以对数坐标的形式表示出来，可以 方便地观察系统在不同频率下的性能变化。
在对数坐标图中，幅值响应和相位响应分别以 对数形式表示，这样可以更好地展示系统在不 同频率下的变化趋势。
对数坐标图分析法适用于分析各种类型的系统 和多输入多输出系统，对于非线性系统也可以 进行一定的分析。
线性系统的频域分析法
5.1 频率特性
lg
1 0
2
0.301
3
0.477
4
0.602
5
0.699
6
0.778
7
0.845
8
0.903
9
0.954
10
1
※※
( )
40
20 0dB -20 -40
2、对数频率特性曲线 [ 伯德（Bode）图 ]
L ( ) 20 lg A( ) 20 lg G ( j ) ( dB )
L ( ) 20 lg (T ) 1 20 lg T
2
当 T 即 T 1 时
L(ω)dB 40 20 0dB -20 - 40
1
T
1 T
当
1 T
时 时
20 lg T 0
20 lg T 20
dB
dB
10 T
频 率 特 性 ： G ( j ) 1 j T 1
( ) tg T
1
A ( )
1 T 1
2 2
ω 1/10T φ (ω )(度) -5.7 L(ω )（dB）
从到值 取 代入计算,得
对数幅频特性曲线 Bode图如右
1/5T -11.3
1/2T -26.6
2.频域法的基本思想：利用系统的开环频率特 性来分析闭环响应。对系统进行定性分析和定量 计算。
3.频率特性的性质 考察一个系统的好坏，通常用阶跃输入下系统的阶跃响应 来分析系统的动态性能和稳态性能。
有时也用正弦波输入时系统的响应来分析，但这种响应并 不是单看某一个频率正弦波输入时的瞬态响应，而是考察频率 由低到高无数个正弦波输入下所对应的每个输出的稳态响应。 因此，这种响应也叫频率响应。
第五章 线性系统的频域分析法-5-2——【南航 自动控制原理】
)2
A(0) 1 (0) 0
G(jn )
A() 0 () 180
j
G(j0)
●
0
G(jn )
共振点
G( jn ) (n ) 0 G( jn ) (n ) 180
变化趋势 0 n () 0 , A() :1
n () 180 , A() : 0
零阻尼振荡环节在自然振荡频率处，相角突变180°。
A()
谐振现象是振荡系统的 特性，谐振频率 r 与系 统固有频率 n 和阻尼比
有关。当谐振频率等于
频率响应峰值
Mr 1/ (2 1 2 )
阶跃响应超调
p exp( / 1 2 )
固有频率时，则发生共振。
共振的危害巨大。
当阻尼比较小，且系统谐振频率处于输入信号的
频率范围时，系统输出会出现很大的振荡，影响系
5.2 典型环节与开环系统的频率特性
环节是系统的基本组成单元。將环节进行分类形成 典型环节。典型环节的频率特性是开环系统频率特性 的分解，而开环系统频率特性是闭环系统分析与设计 的基础。
一、典型环节的频率特性
1.典型环节的分类
环节：系统增益、零点或极点对应的因式
分类：按照增益的正负性、零点或极点的位置（实数 或复数、位于左半平面或右半平面）进行划分，共分 为最小相位、非最小相位两大类、12种典型环节。
设互为倒数的典型环节频率特性为
G1(j)=A1()e j1() G2 (j) =A2 ()e j2 ()
则由 G1(s) 1/ G2 (s) 得
A1()e j1 ( ) =A21()e j2 ( )
L1() L2 ()
互为倒数典型环节的对数相频曲线关于0°线对称， 对数幅频曲线关于0dB线对称。
线性系统的频域分析法
第五章线性系统的频域分析法5-1 什么是系统的频率响应？什么是幅频特性？什么是相频特性？什么是频率特性？答对于稳定的线性系统，当输入信号为正弦信号时，系统的稳态输出仍为同频率的正弦信号，只是幅值和相位发生了改变，如图5-1所示，称这种过程为系统的频率响应。
图5-1 问5-1图称为系统的幅频特性，它是频率的函数；称为系统的相频特性，它是频率的函数：称为系统的频率特性。
稳定系统的频率特性可通过实验的方法确定。
5-2 频率特性与传递函数的关系是什么？试证明之。
证若系统的传递函数为，则相应系统的频率特性为，即将传递函数中的s用代替。
证明如下。
假设系统传递函数为：输入时，经拉氏反变换，有：稳态后，则有：其中：将与写成指数形式：则：与输入比较得：幅频特性相频特性所以是频率特性函数。
5-3 频率特性的几何表示有几种方法？简述每种表示方法的基本含义。
答频率特性的几何表示一般有3种方法。
⑴幅相频率特性曲线（奈奎斯特曲线或极坐标图）。
它以频率为参变量，以复平面上的矢量来表示的一种方法。
由于与对称于实轴，所以一般仅画出的频率特性即可。
⑵对数频率特性曲线（伯德图）。
此方法以幅频特性和相频特性两条曲线来表示系统的频率特性。
横坐标为，但常用对数分度。
对数幅频特性的纵坐标为，单位为dB。
对数相频特性的纵坐标为，单位为“。
”（度）。
和都是线性分度。
横坐标按分度可以扩大频率的表示范围，幅频特性采用可给作图带来很大方便。
⑶对数幅相频率特性曲线（尼柯尔斯曲线）。
这种方法以为参变量，为横坐标，为纵坐标。
5-4 什么是典型环节？答将系统的开环传递函数基于根的形式进行因式分解，可划分为以下几种类型，称为典型环节。
①比例环节k(k>0) ；②积分环节；③微分环节s；④惯性环节；⑤一阶微分环节；⑥延迟环节；⑦振荡环节；⑧二阶微分环节 ；⑨不稳定环节。
典型环节频率特性曲线的绘制是系统开环频率特性绘制的基础，为了使作图简单并考虑到工程分析设计的需要，典型环节对数幅频特性曲线常用渐近线法近似求取。
第五章 频率响应法1
欧拉公式：cosθ sinθ
1 2 1
e jθ e jθ e jθ e jθ
2j
log
a
b1
b2
bn
log
a
b1
log
a
b2
log
a
bn
对数运算：log
a
b1 b2
log
a b1
log
a
b2
log abx xlog ab
复数运算：a
c
jb jd
a c
jbc jd c
1 Tl2 2
j2 lTl
1.采用对数坐标，可将幅值的乘除运算化为加减运算；
2.传函中典型环节的乘积关系变为对数坐标图上的加减运
算后能够明显反映出各典型环节对总的对数坐标图的影
响，为分析每个环节的影响提供了方便。
23
5-2 典型环节频率特性的绘制
自动控制系统通常由若干环节构成，根据它们的基本特
性，可划分成几种典型环节。本节将介绍典型环节频率特性
输入信号为 r(t) X sint
R(s)
C(s)
G(s)
图5-1 系统方框图
8
则输入信号的拉氏变换是：
X
X
R(s) s2 2 (s j)(s j)
系统的传递函数通常可以写成：
N(s)
N(s)
G(s) D(s) (s p1 )(s p2 )(s pn )
由此得到输出信号的拉氏变换：
表示，易于绘制，且具有一定的精确度。通常可用这种
近似的对数坐标图对系统进行分析。如果需要精确的对
数坐标图，可对这种近似的坐标图进行适当的修正即可。
21
3.简化计算
实验四 线性系统的频域分析
实验四线性系统的频域分析
线性系统的频域分析是一种利用线性系统的响应特性来提高系统性能的有效手段，它
在系统设计中起着重要的作用。
其主要思想是将系统的响应特性根据其与频率之间的关系
进行分割，从而更好地理解该响应的物理规律。
本文的目的是介绍线性系统的频域分析方法。
线性系统的频域分析分为时域分析和频域分析两种技术。
时域分析是检测一个系统在
其他变量没有变化时，系统输出信号形状及其随时间变化趋势的一种分析方法。
时域分析中，将系统的输入和输出逐样本放入示波器进行分析及测试。
频域分析是通过将系统的输
入和输出信号进行频谱分析，将它们映射到频率轴上进行分析的一种方法。
在频域分析中，我们可以通过频谱分析仪、傅里叶变换、系统增益、阶跃响应等技术来检测系统响应的特性，得出系统的频率响应函数，从而研究系统是否属于线性系统。
线性系统的频域分析一般步骤如下：
1、定义时域函数并将其傅里叶变换，从而得到其频域函数；
2、计算系统的增益及其全频响应曲线，以便了解频率和增益之间的关系；
3、根据阶跃响应的拟合结果，利用积分和微分的技巧，确定系统的阶跃函数；
4、选择优化算法，进行系统参数优化调整，使系统达到所需要的设计目标。
以上就是线性系统的频域分析方法介绍，从分析输入输出信号，到频域拟合分析，再
到进行参数优化调整，这一系列的步骤可以帮助我们更好的理解系统的物理机理，实现系
统的最佳设计性能。
频率响应的分析方法
1+j
ω ω3
1+j
ω ω4
制作单位：北京交通大学电子信息工程学院 《模拟电子技术》课程组
z1 ω
)(1 -j
z2 ω
zm ) (1-j ω
)
p1
p2
pn
27/68
系统传输函数标准式：
(1 -j ω )(1 -j ω ) (1 -j ω )
H ( jω ) U O ( jω) U i (jω )
H1 (1 -j
z1
z2
ω )(1-j ω
zm ) (1 -j ω
)
p1
p2
pn
幅频特性：H (jω ) H 1
25/68 5.3 频率响应的分析方法
1. 线性系统的分析方法
拉氏变换
时域
复频域
拉氏逆变换
自变量：t
自变量：s=+j
拉氏域线性系统传输函数定义：
H (s ) U O (s ) H U i (s)
(s z1 )( s z 2 ) (s z m ) 0 (s p1 )(s p 2 ) (s p n )
3. 波特图的近似描绘—渐近线描绘
1) 幅频特性的渐近线描绘
有两个零点和三个极点
例如某系统传递函数： A jω
A1jω jω+ω1 jω+ω 2 jω+ω 3 jω+ω 4
首先 将传递函数写成作图的标准形式
A jω
ω
A
jω
1
1
jω
A=A11/(2 3 4 )
1
j
ω ω2
(1 s )(1 s ) (1 s )
H 0' ( 1
z1
自动控制原理(第二版)第五章频率响应法
发展多变量频率响应法
针对多输入多输出系统，需要发展多变量频率响 应法，以便更好地处理复杂系统的分析问题。
深入研究非最小相位系统
针对非最小相位系统的稳定性判断问题，需要深 入研究其频率响应特性，并寻求有效的解决方法 。
06
CATALOGUE
结论
总结频率响应法的要点与重点
01 02 03 04
频率响应法是一种通过分析线性定常系统对正弦输入信号的稳态响应 来评价系统性能的方法。
频率响应法的优势与局限性
优势
频率响应法能够提供系统在整个频率范围内的动态性能信息，有助于全面了解 系统的性能特点；通过分析频率特性，可以更容易地识别系统的稳定性和潜在 的谐振问题。
局限性
频率响应法主要适用于线性定常系统，对于非线性或时变系统，其应用可能受 到限制；此外，频率响应法无法提供系统的时域信息，如瞬态响应和稳定性。
05
CATALOGUE
频率响应法的局限性与改进方法
频率响应法的局限性
01
频率响应法主要适用于线性时不 变系统，对于非线性或时变系统 ，频率响应法可能不适用。
02
频率响应法只能给出系统在正弦 输入下的稳态输出，无法反映系
统的动态行为。
频率响应法无法处理多输入多输 出系统，对于复杂的多变量系统 ，需要采用其他方法进行分析。
02
CATALOGUE
频率响应的基本概念
频率特性的定义
频率特性
系统对正弦输入信号的稳态输出与输入之比，用复数表示的频率 函数。
频率特性与传递函数
传递函数是系统在零初始条件下，频率特性的解析表达式。
频率特性与系统性能
频率特性直接反映系统在不同频率的正弦输入信号下的响应特性 ，与系统的动态和稳态性能密切相关。
线性系统的频率响应实验报告
线性系统的频率响应实验报告1. 实验目的本实验旨在通过测量线性系统的频率响应来分析系统的特性，并进一步理解系统的频率响应对输入信号的影响。
2. 实验原理线性系统的频率响应描述了系统对不同频率输入信号的响应情况。
在频域中，系统的频率响应可以用复数形式表示，包括幅频特性和相频特性。
实验中我们采用了输入信号为正弦信号，通过测量输入信号和输出信号的幅值和相位差，可以得到线性系统的频率响应。
具体的测量方法如下： 1. 选择一定范围内的频率，设置正弦信号发生器的频率输出。
2. 将正弦信号输入线性系统，同时测量输入信号和输出信号的幅值。
3. 通过测量输入信号和输出信号的相位差，计算得出系统的相位频率特性。
3. 实验步骤3.1 实验准备1.连接正弦信号发生器的输出端和线性系统的输入端。
2.连接线性系统的输出端和示波器的输入端。
3.打开正弦信号发生器、线性系统和示波器，确保它们正常工作。
3.2 测量幅频特性1.设置正弦信号发生器的频率范围，并选择一定的频率间隔。
2.将正弦信号发生器的输出幅值调至合适的范围。
3.逐渐调整正弦信号的频率，同时测量输入信号和输出信号的幅值。
4.记录下每个频率点上的输入信号和输出信号的幅值。
3.3 计算幅频特性1.将测得的输入信号和输出信号的幅值数据进行归一化处理。
2.绘制幅频特性曲线，横轴为频率，纵轴为幅值。
3.4 测量相频特性1.设置正弦信号发生器的频率为一个特定值。
2.测量输入信号和输出信号的相位差。
3.记录下每个频率点上的输入信号和输出信号的相位差。
3.5 计算相频特性1.将测得的输入信号和输出信号的相位差转换为弧度制。
2.绘制相频特性曲线，横轴为频率，纵轴为相位差。
4. 实验结果与分析由测得的数据绘制的幅频特性曲线如下图所示：幅频特性曲线幅频特性曲线从图中可以看出，系统在低频时幅值较大，随着频率的增加逐渐减小，最终趋于0。
这说明系统对低频输入信号具有较好的增益放大作用，而对高频输入信号则产生一定的衰减。
频率响应法
频率响应法频率响应法概述频率响应法是一种用于分析线性时不变系统（LTI）的方法，它通过系统对输入信号的频率响应进行分析来推导出系统的特性。
在该方法中，输入信号是一个正弦波，输出信号也是一个正弦波，因此可以通过比较输入和输出信号的幅度和相位来确定系统的特性。
本文将介绍频率响应法的基本原理、实现方法以及在实际应用中的一些注意事项。
基本原理在频率响应法中，我们假设输入信号为一个正弦波：$$x(t)=A\sin(\omega t+\phi)$$其中 $A$ 为幅度，$\omega$ 为角频率，$\phi$ 为相位。
输出信号也是一个正弦波：$$y(t)=B\sin(\omega t+\theta)$$其中 $B$ 为幅度，$\theta$ 为相位。
我们可以将上述两个式子带入系统的输入输出关系式中：$$y(t)=H(\omega)x(t)$$其中 $H(\omega)$ 表示系统对于角频率 $\omega$ 的复数传递函数。
因此有：$$B\sin(\omega t+\theta)=H(\omega)A\sin(\omega t+\phi)$$将上式变形可得：$$\frac{B}{A}=\left|H(\omega)\right|,\quad\theta=\arg(H(\omega))-\phi$$其中 $\left|H(\omega)\right|$ 表示系统对于角频率 $\omega$ 的增益，$\arg(H(\omega))$ 表示系统对于角频率 $\omega$ 的相位延迟。
因此，通过测量输入输出信号的幅度和相位，我们可以计算出系统对于不同角频率的增益和相位延迟。
实现方法在实际应用中，我们通常会使用频谱分析仪或示波器等设备来测量输入输出信号的幅度和相位。
具体而言，我们可以将输入信号和输出信号同时输入到频谱分析仪或示波器中，并设置其为正弦波模式。
然后，我们可以根据设备的显示结果来计算系统对于不同角频率的增益和相位延迟。
线性系统的频率分析
jw
A()
k
()21 (2)21)
Re -1 -0.5
5.3 系统的开环频率特性
开环频率特性（极坐标图）2
() a ta n () a ta n (2)
G(j) k j(2j1)
A()
k
(2)2 1)
()900atan(2)
Im
jw Re
5.3 系统的开环频率特性
开环频率特性（极坐标图）3
终点： .G k(j )0 1800
相频特性 () 1 8 0 0 a ta n T a ta n
5.3 系统的开环频率特性
画出下列开环频率特性（极坐标图）7
Gk
(s)
(s 1) (s 2)
相频特性 （线性分度）
12
3
4
5 6 7 8 9 10
l g 0 0.301 0.477 0.602 0.699 … 0.903 … 1
十倍频程
十倍频程
124 一倍频程
8 10
100
5.1.2 频率特性的定义
例如：画出积分环节 1/s的bode图
G(j) 1 1ej900 j
L ( )
十倍频程
问题：求图示系统在 r(t)=2sin2t 作用下的稳定输 出和稳态误差。
R(s) E(s) 1
C(s)
s1
G(s)s12,r02,21n G (j)2j21 2212 450
css(t)
2sin(2t450) 2
ess(t)r(t) css(t)2sin2 t2 2sin (2 t4 5 0)
5.1.2 频率特性的定义
Im
S平面 -1/T
jw Re
G( j) 100 0
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◆Nyquist判据1：若系统的开环函数G(s)有P 个极点在右半S平面，则闭环系统稳定的充要 条件是，系统的开环奈奎斯特曲线逆时针包 围G平面的(-1,j0)点P周。
注释1：F(s)=1+G(s)，两映射曲线是平移单位1的关 系，即F平面的坐标原点对应G平面的(-1,j0)点。
例5.12：1型系统的稳定性判别
已知系统的开环传递函数如下，分析其闭环稳定性
K G( s) , ( K , T1 , T2 0) s(1 sT1 )(1 sT2 )
jY
[解]：绘制G(s)的奈奎斯特曲线 （1）G(jω)的起点和终点分别为
G( j 0) 90, G( j) 0 270
2018年11月24日星期六 第5章 线性系统的频率响应分析法 3
（续）
（3）按对称于实轴的方式补充绘制G(-jω)曲线。 另外，S平面奈氏周线D2段映射到G平面坐标原点。 （4）如果 G( jx ) 1 ，此时G(s)的奈氏曲线顺时针 包围G平面上的(-1,j0)点，于是闭环系统有Z=N+P=2 个极点在右半S平面，闭环系统是不稳定的。 （5）如果 G( jx ) 1 ，此 jY 时G(s)的奈氏曲线不包围G 平面 (-1,j0)点，闭环系 (1, j 0) X 统是稳定的。
2018年11月24日星期六
像点(映射点)为G平 面的Nyquist曲线
G ( j ), ( s D1 ) G ( s ) G (), ( s D2 ) G ( j ), ( s D ) 3
2
第5章 线性系统的频率响应分析法
例5.10：分析闭环系统稳定性
分析如下开环传函的闭环稳定性
j
S平面
D1
0
G平面
jY
D2
0
X
பைடு நூலகம்
D3
原像点为S平面 的Nyquist周线
D1 {s : s j , 0 } D D2 {s : s e j , 90 90} D {s : s j , 0} 3
◆Nyquist判据2：若开环系统G(s)是稳定的， 则闭环系统稳定的充要条件是，系统的开环 奈奎斯特曲线不包围G平面的(-1,j0)点。
注释2：Z=0，P=0，则N=Z-P=0。
2018年11月24日星期六 第5章 线性系统的频率响应分析法 1
Nyquist周线与Nyquist曲线的关系
虚轴上无开环函数G(s)极点的情况
1
0.5 K=2 K=0.7 0
jY
0
-0.5
G(jω)轨迹在G平面第三象限，因为 () tg-1T 180 （2）若K>1，奈奎斯特曲线逆时针包围(-1,j0)点一 周，有N=-1，于是Z=N+P=0，所以闭环系统稳定。 （3）若K<1，奈氏曲线不包围(-1,j0)，系统不稳定。
-1 -1.5 -2.5 -2 -1.5 -1 X -0.5 0 0.5
2018年11月24日星期六
第5章 线性系统的频率响应分析法
5
虚轴上含有G(s)极点的情况
考虑v(≠0)型系统的情况奈奎斯特周线应该避开使 G(s)奇异的点(即S平面坐标原点)。
j
D1 {s : s j , 0 } j D2 {s : s e , 90 90} D D3 {s : s j , 0} D {s : s 0e j , 90 90} 4 G ( j ), ( s D1 ) G (), ( s D ) 2 G ( s) G ( j ), ( s D3 ) G (0), ( s D4 )
G( j ) K , a 1 2 (T1T2 T2T3 T3T1 ), b (T1 T2 T3 ) 3T1T2T3 a jb T T T b 0 x 1 2 3 T1T2T3 K x G( jx ) (T1 T2 T3 )(1 / T1 1 / T2 1 / T3 ) 1
0
X
（2）求取G(jω)与负实轴的交点
K G( j ) 2 (T1 T2 ) j (1 2T1T2 ) 1 KT1T2 x G( jx ) T1 T2 T1T2
2018年11月24日星期六 第5章 线性系统的频率响应分析法
绘制G(jω) 奈氏曲线
7
（续）
（3）按对称于实轴方式补画G(-jω)的轨迹。并且S 平面D2段映射为G平面坐标原点。 jY （4）对1型系统，奈氏周线D4段 映射为无穷大半径顺时针半周。 （5）如果 G( jx ) 1 ，此时奈氏 曲线不包围G平面上的(-1,j0)点， 故此时闭环系统是稳定的。 （6）如果 G( jx ) 1 ，此时奈氏 曲线顺时针包围G平面 (-1,j0) 点两周，于是Z=N+P=2，所以闭 环系统是不稳定的。
D1 D2
r
0
R
D4
D3
K G (0) v s
sD4
j e , (v 1) j 2 , (v 2) e
结论：D4段为绕坐标原点无穷小半径逆时针半周， 则G(j0)为绕坐标原点无穷大半径顺时针v个半周。
2018年11月24日星期六 第5章 线性系统的频率响应分析法 6
K G( s) , ( K , T1 , T2 , T3 0) (1 sT1 )(1 sT2 )(1 sT3 )
0
jY
X
[解]：首先绘制G(s)的奈奎斯特曲线
G( j 0) K , G( j) 0 270 （1）G(jω)的起点和终点： （2）G(jω)与负实轴的交点
0
2018年11月24日星期六
第5章 线性系统的频率响应分析法
4
例5.11：分析闭环系统稳定性
分析如下开环传函G(s)的闭环稳定性
K G ( s) , ( K , T 0) sT 1
1.5
[解]：绘制G(s)的奈奎斯特曲线 （1）G(jω)的起点和终点分别为
G( j 0) K , G( j) 0 90