2.2晶格的特征和周期性

说明： 简单晶格 复式晶格 依定义可知，化合物晶体一定是复式晶格。 但是元素晶体（或单质晶体），尽管是由同一 种原子组成的晶格，它也不一定都是简单晶格。 如金刚石、锗和硅等晶体结构就是复式格子。
此外，布拉维格子是一个纯粹的数学抽象， 布拉维格子中的格点是一个基元，而复式格子 只不过进一步考虑了基元的构成，把基元中的 每一个原子分开来处理了。所以，布拉维格子 和简单晶格、复式晶格间不能互相定义。
第二节
主要内容：
晶格的特征与周期性
一、 空间点阵和布拉维格子 二、 原胞和晶胞 三、 一些单质和化合物晶体的结构 四、配位数、致密度和密堆积 五、晶列、晶面和它们的表征
§2.2 晶格的特征与周期性
一、 空间点阵和布拉维格子 1.晶体结构
理想晶体是由完全相同的基本结构单元（原子、离 子或分子等）在三维空间中有规则排列而构成的，这 种规则排列的方式称为晶体结构。 不同晶体的这种规则排列方式可能不同，我们就说 它们的晶体结构不同。 有些晶体,尽管构成这些晶体的原子、离子或分子各 异（如：Cu、Ag、Au、Al晶体等）,可是这些晶体之 间原子、离子或分子的规则排列方式相同,只是原子、 离子或分子之间的间距不同,这时我们就说它们具有相 同的晶体结构。
对于三维晶格，在晶格中取一个格点为顶 点，以三个不共面的方向上的周期为边长形成 的平行六面体作为重复单元，这个平行六面体 沿三个不同的方向进行周期性平移，就可以充 满整个晶格，形成晶体，这个平行六面体即为 原胞，代表原胞三个边的矢量称为原胞的基本 平移矢量，简称基矢。
a3 a 2 a1
4）自然界中晶格类型很多，但是只可能有14种 布拉维格子(后面讲) 5).对于同一晶格，基矢的选择是任意的
为了直观表示晶体结构,人们常将组成晶体的各种原 子以不同符号在图中一并标出来,这样晶格中基元的构 成就清楚了. 基元可以包含单个原子也可以包含多个原子，由此 人们把晶格进一步分成简单晶格和复式晶格。
由于固体物理学原胞选取时，必须满足晶格 的最小周期性单元的要求，而且，格点都在 顶角上。所以，很多情况下原胞不能反映出 晶格的宏观对称性。维格纳-塞茨(WignerSeitz)原胞虽然能够反映对称性，但是其格点 在中心的要求不利于描述点阵中格点的分布 情况，而且图形复杂。
为此，晶体学家给出了另一种取法，他们往往 选择一个不一定是体积最小且格点都在顶角上 的原胞。即晶体学原胞，简称晶胞。
通过空间点阵中的阵点可以作许多平行的直 线族或平行的平面族,这样三维的空间点阵形 成网格状分布,它代表着晶体中基元的具体排 列方式,我们称之为晶体格子,或简称为晶格. 相应的代表基元的阵点又称为格点. 显然,一切格点都是等价的,也就是说每个格 点的周围环境相同.
a1
由于历史上空间点阵学说是布拉维(A.Bravais)
几点说明： 1） 由定义可知,构成布拉维格子的所有格点 是完全等价的，所有的格点周围环境相同。 该特点也是判断某一格子是否为布拉维格子 的依据。 2）布拉维格子是一个无限延展的理想点阵， 它忽略了实际晶体中表面、结构缺陷的存在。 但是它反映了晶体所具有的平移对称性，即平 移任一格矢Rn，晶体保持不变的特性。 3）理想晶体结构可等价于布拉维格子加上基 元。 晶体结构=布拉维格子+基元
(1) 布拉维格子 前面从点阵出发给出了布拉维格子的定义,但 在使用上并不方便,为此,我们给出一种便于从 数学上描述的布拉维格子的定义.
的一系列的点所构成的晶格，称为布拉维晶格, 或布拉维格子 .其中 n1 , n2 , n3 为整数, a1 , a2 , a3 是三个不共面的矢量， 称为布拉维格子的基矢(Primitive vector),它的 大小代表格点在这三个方向规则性排列的最小 Rn 周期. 也称为格矢，其端点称为格点 (lattice site)。
则以 a1 , a2 , a3 为棱的平行六面体是晶格体积的
说明： 1). 对于同一晶格，原胞的取法不唯一(由基 矢而定)，但是无论如何选取，原胞均有相同 的体积，每个原胞平均只包含一个格点。比如： 正六面体，8个格点分别位于8个顶角，每个格 点的贡献为八分之一。 2). 格点对应基元，如果基元由n个原子组成， 则每个原胞包含n个原子。 3). 原胞反映了晶格的周期性，各原胞中等价 点的一切物理性质相同。也就是说，作为位置 的函数的各种物理量应具有晶格的周期性(或 平移对称性) (r R ) (r )
单胞的基矢一般用 a , b , c 表示。


原胞的格点一般只出现在平行六面体的顶角 上；单胞不仅在平行六面体顶角上有格点，面上 及内部亦可有格点。
后面要讲的晶面、晶向和基元位置的标记， 在实际工作中，通常以晶胞为准。 固体物理学原胞往往不能直观地反映点阵的 宏观对称性，但能完全反映点阵的平移对称性； 维格纳-塞茨原胞(WS原胞)既能完全反映点阵 的平移对称性，又能充分反映点阵的宏观对称 性，因此在固体理论研究中应用最广，但是 WS原胞的图形复杂，不好直观想象；晶胞能 直观地反映点阵的宏观对称性，但有时不能完 全反映点阵的平移对称性。所以，它们各有各 的优缺点，在固体物理学中并存。
2. 基元(basis) 把构成晶体的这种全同的基本结构单元称为基 元(basis),它是晶体结构中最小的重复单元. 基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构
(a)
(b)
(c)
(a)、(b)、(c)为二维晶体结构示意图 三者各自有相同的基本结构单元，且在平面内 作周期性分布,属于同类晶体结构
( a)
a3 a 2 a1
空间点阵确切反映了晶体内长程有序的特征， 概括了晶体结构的周期性。整个晶体结构可以 看做阵点沿空间三个不共面的方向、各按一定 的距离周期性地平移而构成。把每个方向上平 移的这个一定距离，称为该方向上的平移周期， 不同的方向其平移周期可能不同。
(2).晶格、格点
a3 a 2
(2)简单晶格和复式晶格(complex crystal lattice)
简单晶格：每个基元只包含一个原子，且每 个原子周围的情况完全相同.此时晶体结构等同 于晶格，也就是说原子形成的网格和格点形成 的网格是重合的。如Cu、Ag、Au、Al等元素 晶体都属于简单晶格。 复式晶格：如果基元中包括两个或两个以上 原子（离子），则相应的晶格称为复式晶格。这 时基元中的每个原子（离子）各构成和格点相同 的网格，称为子晶格，它们相对位移而形成复式 晶格。所以，复式晶格可看成是由若干个相同的 简单晶格相对错位套构而成。
a3 a 2
如图:对于三维晶格 Rn n1a1 n2a2 n3a3
a1
最小重复单元，即原胞 原胞的体积为 a1 (a2 a3 ) 对于二维晶格的原胞是平行四边形 S a1 a2 对于一维晶格的原胞是线段，长度为最近邻格 点的间距
注： 1). WS原胞既是晶格体积的最小重复单元， 又能直观反映晶格全部宏观对称性。所以， WS原胞也称为对称化原胞； 2). WS原胞的取法与倒 格子空间中构成简约布 里渊区(Brillouin zone) 的方法相同 维格纳--塞茨原胞 3). WS原胞所包含的格 点位于原胞的中央。
P75给出了面心立方的布里渊区，和体心立方的WS原胞 取法一致，要用到次近邻格点。
(b)
基元可以是单个原子(如:Cu,Ag,Au,Al等晶体), 也可以由两个或两个以上的原子组成(如:金刚 石、氯化钠晶体、钙钛矿结构)的晶体等 基元的引入可以使得在讨论晶体结构时,避开晶 体的化学组分,只关注基元的规则排列方式. 为此，可以把基元抽象为一个几何点，从而把 晶体结构的讨论转化为空间点阵的讨论。
c b a
a1 ai 原胞与单胞相同 a2 aj 3 Ωa a3 ak 几乎没有实际元素晶体属于简立方结构,但是一些 化合物晶体的布拉维格子是简立方晶格,如氯化铯结
晶胞的体积: V a 3 晶胞包含 1个格点。
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构和钙钛矿结构等
2. 面心立方(face-centered cubic,简称fcc )--A1型结构
n
由于原胞取法的随意性，因而原胞通常只反 映晶格的周期性，而不能反映晶格的对称性。 为了弥补上述不足，人们常用维格纳-塞兹 (Wigner-Seitz)提出的原胞的取法。 2.维格纳-塞兹(Wigner-Seitz)原胞 以晶格中某一个格点为中心，从这个格点出 发，引出到所有近邻和次近邻格点的连线，作 出这些连线的垂直平分面，由这些垂直平分面 所围成的以该格点为中心的最小多面体即为维 格纳-塞茨(Wigner-Seitz)原胞，记为W-S原胞。
3.晶胞 在晶体学中,往往选择一个不一定是体积最小 且格点都在顶角上的原胞,而是选择格点不仅可 在顶角上,而且还可以在体心、面心或底心上的 原胞,我们把这种晶体学中选取的单元称为晶体 学原胞,简称晶胞或单胞(unit cell),也叫惯用单胞 (conventional unit cell).习惯用a、b、c表示三维 晶胞的基矢，其边长a、b、c称为晶格常数 晶格常数(lattice constant)
( c)
3.空间点阵和晶格 (1).空间点阵、阵点 为了描述晶体结构的周期性，我们把基元用 一个几何点来替代。这样晶体的内部结构就可 以概括为是由一些相同的点子在三维空间有规 则地做周期性无限分布形成的，这些呈周期性 无限分布的几何点的集合形成一个空间点阵。 空间点阵中的点子，称为阵点（或结点）。 阵点可以取在基元的任何位置。但在进行晶 体结构分析时，为了方便，一般都选取在基元 中对称性最高的位置。
最早提出的，所以上述的点阵又称为布拉维点
阵，相应的晶格称为布拉维晶格或布拉维格子
(Bravais Lattice) 晶格或空间点阵是晶体结构周期性的数学抽 象，它忽略了晶体结构的具体内容，保留了晶 体结构的周期性或平移对称性. 4. 布拉维格子、简单晶格和复式晶格
由位矢 Rn n1a1 n2a2 n3a3
三、一些单质和化合物晶体的结构
1. 简立方(simple cubic,简称SC)结构 a b c a a b b c c a
取 i , j , k 为坐标轴的单位矢量 , 则有 a ai , b aj , c ak
二、 原胞和晶胞 晶格的共同特点就是具有平移对称性，也就是 周期性。这种周期性的特点在固体物理中常用 原胞(primitive cell)来描述。 1. 原胞 原胞是晶体中体积最小的周期性重复单元， 整个晶格可看成是由无限多个原胞无间隙地紧 密排列而成，或者说将原胞平移一切可能的格 矢量便可得到整个晶格。原胞也叫初基晶胞或 固体物理学原胞。
在晶体学中人们已经对各种类型的布拉维格子 选取原胞和晶胞的方式作了统一的规定。 我们已知，对于某些晶体，尽管构成这些晶 体的原子、离子或分子各异，只要这些晶体之 间原子、离子或分子的规则排列方式相同，我 们就说它们具有相同的晶体结构。 文献中经常出现一些晶体结构的符号表示， 比如对于元素晶体（或单质晶体）常用符号An 表示，二元化合物晶体则用Bn(AB型化合物)或 Cn(AB2型或A2B型化合物)表示等。为此，在下 面晶格实例中按照这些符号进行排序。
晶胞的边长称为晶格常数，晶格常数一般并 不等于近邻原子的间距，除非单胞和原胞一致 时，如简单立方晶体。
和原胞的比较 原胞只含有一个格点，是体积最小的周期性 重复单元；单胞可含有一个或多个格点，体积 可是原胞的一倍或数倍。
基矢： 原胞的基矢一般用 a1 , a2 , a3 表示。
a2 a3 Ω 体积： 原胞 v a1 单胞 v a b c n Ω