第四章 多自由度系统的动力学特性

一、两自由度系统的自由振动
无阻尼两自由度振动系统的运动微分方程式
以静平衡位置为坐标原点，设质量M1和M2的广义坐标为 x1和x2，并假设它们足够小，以保证系统在线性范围内运动； 得到以下二阶常系数线性齐次常微分方程组
一、两自由度系统的自由振动
更一般形式：
求解步骤： （1）假设简谐形式的解： 设振动时两质量块按相同频率和相位作简谐振动：
(2) (2)

A1 (1) A 2
(1)
sin( ω 1 t θ 1 )
A1 (2) A 2
(2)
sin( ω 2 t θ 2 )
A1 (1) A2
A 1 sin( ω 1 t θ 1 ) (2) A 2 sin( ω 2 t θ 2 )
q { X
}1

{ X }i

{ X }n
特征值矩阵 （频率矩阵）
n个特征值组成的对角矩阵，称为特征值矩阵或谱矩阵。
1 0 2 ω λ 0 0 0 n 0
i j
i
X iT K X i X iT M X i

Ki M
i
第i阶主刚度 第i阶主质量
振型矩阵
q { X
T
}1
{ X }i
{ X }n
q
M q M

0 M
0 K
2
q

2
T
K q K
k2 k2 k3 k3
x1 k3 x2 k 3 k 4 x3 0
F A e j t 0 0
一、两自由度系统的自由振动
（6）主振动的确定：
系统以某一阶固有频率按其相应的主振型作振动，称为 系统的主振动。故第一和第二阶主振动分别为
二、多自由度系统的自由振动
多自由度系统，无阻尼自由振动方程式的一般形式：
M q ( t ) Kq( t ) 0
展开式为：
m 11 m n1 m 1 n q1 k 11 m nn qn k n 1 k 1n q 1 0 k nn q n 0
2
上式为广义特征值问题
KA ω MA
2
方程有非零解的条件：
K M 0
2
二、多自由度系统的自由振动
即： k 11 m 11 2 k 21 m 21
2
k 12 m 12
2 2

k 1n m 1n
2 2
k 22 m 22 k n2 m n2
2

i

0


节点：第i个主振型有i-1个节点
特征向量的正交性
对于第i个、第j个特征值和特征向量 ，有
K X i
i M
X i
K X j j M X j
两边分别左乘{X}jT 和{X}iT得
X Tj K X i
系统任一位形能用系统主振型的线性组合表示。
q
T
K q [ ]
T
i
K
第i阶特征值 i { X } T [ M ]{ X } M i i
{ X } i [ K ]{ X } i
K
i
i
K
i
M i i M i i
2
展开定理
方程 主振型
2
k 2n m 2n k nn m nn
2
k n1 m n1
2
0

展开得到系统的特征方程：

2n
a 1
2
2 ( n 1 )
a n 1 a n 0
2
该特征方程存在 的n个正实根，即系统的特征值，也叫系 统的固有频率。固有频率对应的特征向量{X}i叫固有振型或 主振型。
1 (1) 2
(1)
Φ
(1 )
1 (1) β

Φ
(2)
1 1 ( 2 ) (2) β 2
(2)

P (t) A 1 sin( ω 1 t θ 1 ) P (2) (2) A sin( ω t θ ) P (t) 1 2 2
一、两自由度系统的自由振动
（2）将上述假设解代入运动方程，得代数特征值问题：
（3）该线性齐次代数方程组，非零解的条件是系数行列式为零 ：
2 2 —— n 的特征方程，是 n 的二次多项式，又称频率方程。
一、两自由度系统的自由振动
（4）求解得到特征方程的两个根：
数学上称固有频率的平方值 12 和 22为特征值。
(1) (1)
一、两自由度系统的自由振动
一般情况下，系统的自由振动是由两种不同频率的主振动的 线性组合，其结果不一定是简谐振动，这是和单自由度系统 自由振动有很大区别的地方。 只有在特定的初始条件下，其自由振动才表现为单一振型 的主振动，才是一种简谐振动，如： – A 1( 2 ) 0 ，系统作第一主振动； – A (21 ) 0 ，系统作第二主振动； – 其他；
x1 (1) x 2
(1)
A1 (1) A 2
(1)
sin( ω 1 t θ 1 )
x1 (2) x 2
(2)
A1 (2) A 2
(2)
sin( ω 2 t θ 2 )
第四章
多自由度系统(MDOF)的动力学特性
用一个独立坐标描述的单自由度系统，是实际振动系 统的最简单模型； 用两个或更多有限个独立坐标描述的振动系统称作多 自由度系统； 工程上各种机械的结构物，总是由杆、梁、板、壳等 元件组成的弹性体，它们的质量与刚度都具有分布的 性质，理论上是无限自由度系统，然而在多数情况下， 无限自由度问题可以简化为有限多个自由度系统进行 研究；
X j M
T
X i T X j K X i
主振型关 于质量矩 阵和刚度 矩阵正交
两式相减 得

i

j
X M X
T i
j
0
X iT M X j 0 X iT K X j 0
X iT M X i M i X iT K X i K i
二、多自由度系统的自由振动
每个特征值 i 由小到大按序排列为：
1 2 n 1 n
多自由度系统的固有频率也是由系统本身的物理参数决定， 与起始运动状态无关；多自由度系统有多个固有频率，其 中的最低固有频率称为系统的基频；
振型矩阵 （模态矩阵） n自由度系统 ，有n个主振型{ X } i ( i = 1, 2, …, n )，振型矩阵为
固有振型示意图
两质量-弹簧系统
三质量-弹簧系统
m 1 0 0 m2 0 0
0 c 1 c 2 - c2 0 x1 k 1 k 2 x1 0 - c 2 c2 c3 - c3 x2 k2 x2 m 3 3 0 - c3 c 3 c 4 x3 0 x
T
正则化的振型矩阵
q 1 M
1
X
1
, ,
1 M
2
X
2
, ,
1 M
n
X
n

正则化振型矩阵的正交性
q
T
M q I [ M ]
模态刚度、广义刚度或主刚度
K i { X } i [ K ]{ X } i
T
正则化振型矩阵的正交性


设有以下解：
q j A j sin( t )
( j 1, 2 , , n )
二、多自由度系统的自由振动
矩阵形式：
q A sin( t )
其中 A [ A A A ] T 为振型向量 1 2 n 代入动力学方程得：
K
ω M A 0
A1、A2和
Hale Waihona Puke Baidu
1 、 是由初始条件决定的待定常数； 2
一、两自由度系统的自由振动
（7）通解正规化处理:将其中一个振幅取为单位1
x 1 A1 (1) x 2 A2
(1)
A 1 sin( ω 1 t θ 1 ) 1 (1) (2) A 2 sin( ω 2 t θ 2 ) β
X i K X j X iT K X j
T
i X j M
T
X i X j
j X i M
T
∵
i X
iT M X j
i j
X iT M X j X iT K X j
一、两自由度系统的自由振动
（5）将 代入下式，对应于 n 1 和 n 2 ， 分别得到振幅A1和A2之间的两个确定的比值：
2
ni ( i 1, 2 )
2
2

(1 )

A A
(1 ) 2 (1 ) 1

(2)

A
(2) 2 (2)
A1
一、两自由度系统的自由振动
当系统按某一固有频率振动时，振幅比只取决于系统本身 的物理性质，而与初始条件无关 在振动过程中，系统各广义坐标的位移之相对比值可以由 该振幅比确定 该比值确定了整个振动系统的振动形态，称为主振型或固 有振型
系统作主振动时，各广义坐标同时经过静平衡位置和达到最 大偏离位置，是一种有确定的频率和振型的简谐振动
一、两自由度系统的自由振动
（7）一般情况下，自由振动的通解为:
上述两种主振动的叠加，即
x1 x 2 x1 (1) x 2
(1) (1)

x1 (2) x 2
多自由度系统运动方程的建立
采用拉格朗日方程建立多自由度系统运动微分方程
动能： 势能：
T 1 2
n n

i1
m ij q i q
j

1 2
T q Mq
j 1
V
1 2

i1
n
n
K ij q i q
n
j

1 2
q Kq
T
j 1
耗散能： R
1 2

i1
n
C ij q i q
(2)
1 A 1 sin( ω 1 t θ 1 ) (2) (2) β A 1 sin( ω 2 t θ 2 )
(1)
Φ
(1)
P (t) (2) Φ (2) ΦP P (t)
(1)
Φ 是模态矩阵，P是主坐标。
j

1 2
T q Cq
j 1
L R 代入拉格朗日方程： d L Q dt q
j

q
j
q
F j
(i 1,2, ,n)
j
得
M q ( t ) C q ( t ) Kq( t ) Q
F
(t )
多自由度系统的运动是由一组二阶常微分方程描 述的，多采用数值法求解。 如：直接积分法、有限元法和无限元法。
0 0 M n
0 0 Kn
模态质量矩阵
M 1 0 M 0
K 1 0 K 0
0
0
模态刚度矩阵

模态质量、广义质量或主质量
M i {X }i M {X }i