第三章曲率函数图形的描绘
《微积分(II)-1》教学大纲(2009年)
《微积分(II)－1》教学大纲（2009年）课程号：201074030课程名称：微积分（II）-1开课学期：秋季总学时：61学时（其中理论课51学时，习题课10学时）学分：3学分先修课程：初等数学基本目的：介绍极限论和一元微积分学的基本知识，为非数学类各专业课程提供基本的数学工具，初步培养学生应用数学知识、解决实际问题的意识与能力第一章函数与极限一、基本内容函数的概念及表示法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，反函数、复合函数、初等函数，简单应用问题的函数关系的建立，数列极限与函数极限的定义及其性质，函数的左、右极限，无穷小与无穷大，无穷小的阶的比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则，两个重要极限，函数连续的概念，函数间断点的分类，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质(有界性与最大值最小值定理、零点定理与介值定理).二、基本要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
4．掌握基本初等函数的性质及图形。
5．理解极限的概念，理解函数左、右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系。
6．掌握极限的性质及运算法则。
7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
8．理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
9．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性与最大值最小值定理、零点定理与介值定理)，并会应用这些性质。
三、建议课时安排（22学时）1.1 映射与函数（2学时）1.2 数列的极限（2学时）1.3 函数的极限（2.5学时）1.4 无穷小与无穷大（1学时）1.5 极限的运算法则（1.5学时）习题课（2学时）1.6 极限存在准则两个重要极限（2学时）1.7 无穷小的比较（1.5学时）1.8 连续性与间断点（2学时）1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性（2学时）1.10 闭区间上连续函数的性质（1.5学时）习题课（2学时）第二章导数与微分一、基本内容导数和微分的概念，导数的几何意义和物理意义，平面曲线的切线与法线，函数的可导性与连续性之间的关系，基本初等函数的导数，导数和微分的四则运算，反函数、复合函数、隐函数及参数方程所确定的函数的微分法，高阶导数的概念，某些简单函数的n阶导数。
大学_高等数学理工类第三版上册(吴赣昌著)课后答案下载
高等数学理工类第三版上册(吴赣昌著)课后答案下载高等数学理工类第三版上册(吴赣昌著)内容提要绪言第1章函数、极限与连续1.1 函数1.2 初等函数1.3 数列的极限1.4 函数的极限1.5 无穷小与无穷大1.6 极限运算法则1.7 极限存在准则两个重要极限1.8 无穷小的比较1.9 函数的连续与间断1.10 连续函数的运算与性质总习题数学家简介第2章导数与微分2.1 导数概念2.2 函数的求导法则2.3 高阶导数2.4 隐函数的导数2.5 函数的微分总习题二数学家简介第3章中值定理与导数的应用3.1 中值定理3.2 洛必达法则3.3 泰勒公式3.4 函数的单调性、凹凸性与极值 3.5 数学建模——最优化3.6 函数图形的描绘3.7 曲率总习题三数学家简介第4章不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 换元积分法4.3 分部积分法4.4 有理函数的积分总习题四数学家简介第5章定积分5.1 定积分概念5.2 定积分的性质5.3 微积分基本公式5.4 定积分的换元积分法和分部积分法 5.5 广义积分总习题五数学家简介第6章定积分的应用6.1 定积分的微元法6.2 平面图形的面积6.3 体积6.4 平面曲线的弧长6.5 功、水压力和引力总习题六第7章微分方程7.1 微分方程的基本概念7.2 可分离变量的微分方程7.3 一阶线性微分方程7.4 可降阶的二阶微分方程7.5 二阶线性微分方程解的结构7.6 二阶常系数齐次线性微分方程7.7 二阶常系数非齐次线性微分方程7.8 欧拉方程7.9 常系数线性微分方程组7.10 数学建模——微分方程的应用举例总习题七附录Ⅰ预备知识附录Ⅱ常用曲线附录Ⅲ利用Excel软件做线性回归习题答案第1章答案第2章答案第3章答案第4章答案第5章答案第6章答案第7章答案高等数学理工类第三版上册(吴赣昌著)目录本书根据高等院校理工类本科专业高等数学课程的教学大纲编写而成，并在第二版的基础上进行了修订和完善。
同济大学《高等数学》(第四版)第三章习题课
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求极值的步骤: 求极值的步骤:
(1) 求导数 f ′( x ); ( 2) 求驻点，即方程 f ′( x ) = 0 的根; 求驻点，
( 3) 检查 f ′( x ) 在驻点左右的正负号或 f ′′( x ) 在 该点的符号 , 判断极值点;
(4) 求极值 .
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(3) 最大值、最小值问题 最大值、
做函数 f ( x )的驻点.
驻点和不可导点统称为临界点. 驻点和不可导点统称为临界点. 临界点
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定理(第一充分条件) 定理(第一充分条件) x (1)如 x∈(x0 −δ , x0),有f '(x) > 0;而 ∈(x0, x0 +δ ), 如 果 x 取 极 值 有f '(x) < 0， f (x)在 0处 得 大 . 则 x (2)如 x∈(x0 −δ , x0),有f '(x) < 0;而 ∈(x0, x0 +δ ) 如 果 x 取 极 值 有f '(x) > 0， f (x)在 0处 得 小 . 则 x (3)如 当x∈(x0 −δ , x0)及 ∈(x0, x0 +δ )时 f '(x) 符 如 果 , (x x 无 值 号 同则f (x)在 0处 极 . 相 ,则 定理(第二充分条件) 定理(第二充分条件)设f (x)在 0 处 有 阶 数 x 具 二 导 , 且f '(x0 ) = 0, f ''(x0 ) ≠ 0, 那 末 f ''(x0 ) < 0时 函 f (x)在 0 处 得 大 ; x 取 极 值 (1)当 , 数 当 '' x 取 极 值 (2)当f (x0) > 0时 函 f (x)在 0 处 得 小 . , 数 当
高等数学 第三章
例 4 求函数 f (x) 2x3 3x2 12x 在区间[3 ，4] 上的最大值和最小值． 解 因为函数 f (x) 2x3 3x2 12x 在区间 [3，4] 上连续，所以在该区间上一定存在最大值和 最小 值． 该函数的导数为 f (x) 6x2 6x 12 6(x 2)(x 1) ，令 f (x) 0 ，得驻点 x1 2 ， x2 1 ． 因为 f (2) 20， f (1) 7 ， f (3) 9， f (4) 128 ，
arcsin x arccos x π ． 2
（二）柯西中值定理
定理1（拉格朗日中值定理） 如果函数 f(x)和F(x)满足条件：
（1）在闭区间[a,b]上连续；
（2）在开区间(a,b)内可导；
（3）对任一x属于(a,b)，F,(x)≠0
那么，在开区间（a,b）内至少存在一点ξ，使得
f (b) f (a) f (ξ ) F (b) F (a) F (ξ )
第四节
曲率
一、曲率的概念与曲率的计算公式
（一）曲率的概念
如图 3-11 所示设 A ，B 是光滑曲线 L 上的两点，弧段 AB 的长度为 | s | ，曲线 L 在 A 点处的 切线倾斜角为 .
记 K ，称 K 为弧段 AB 的平均曲率． s
记 K lim ，称 K 为曲线 L 在点 A 处的曲率． s0 s
定理1 设函数y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和 二阶导数，那么
（1）若在(a,b)内f,,(x)＞0，则曲线y=f(x)在(a,b)内是凹的； （2）若在(a,b)内f,,(x)＜0，则曲线y=f(x)在(a,b)内是凸的．
例 5 判定曲线 y ln x 的凹凸性． 解 函数 y ln x 的定义域为 (0 ， ) ，其导数为
曲率及其计算公式
应用
通过空间曲率计算公式，可以了 解空间曲线在某一点的弯曲程度 ，对于分析三维几何图形、优化 航天器轨道等方面具有重要意义
。
曲率计算公式的应用
工程设计
在工程设计中，曲率计算公式常 用于分析曲线形状的合理性，如 道路设计、桥梁工程等。
物理研究
在物理研究中，曲率计算公式可 用于描述粒子运动的轨迹、电磁 场的分布等。
解释
该公式表示平面曲线在某一点的曲率，其中y''表示该点处曲线的二阶导数，y'表示该点 处曲线的导数。
应用
通过曲率计算公式，可以了解平面曲线在某一点的弯曲程度，对于分析几何图形、优化 道路设计等方面具有重要意义。
空间曲线的曲率计算公式
曲率计算公式
对于空间曲线，曲率K由下式给 出：K = |(3*[(x''*y''*z'' +
相对曲率
相对曲率是描述曲线或曲面在某一点的方向性弯曲程度的量，它等于该点的主曲率与次曲率的比值。相对曲率在 几何学和物理学中有重要的应用，例如在分析力学和电磁学等领域中，相对曲率可以帮助我们更好地理解和描述 物体的行为。
曲率在物理学中的应用
光学
在光学中，曲率是描述光学元件（如 透镜和反射镜）的弯曲程度的量。透 镜的曲率决定了光线通过透镜的折射 方向和聚焦点，反射镜的曲率决定了 反射光的方向。
曲率等于曲线在该点的切线的 斜率的倒数，即曲率 = 1/斜率 。
当曲率为正时，表示曲线在该 点向外凸出；当曲率为负时， 表示曲线在该点向内凹进。
曲率在几何学中的重要性
曲率是几何学中重要的概念之一，它在曲线和曲面理论中扮演着重要的角 色。
曲率在曲线和曲面分析、微分几何等领域中有着广泛的应用，如曲线拟合 、曲面重建等。
高数上3.1 微分中值定理
证:只须令 F(x) f (x) kx, x [a,b]应用例1的结论.
此结论的意义在于区间上的导函数不论是否 连续,一定有介值性质。
反之由f (x)的介值性是推不出f (x)的连续性。
罗尔(Rolle)定理 若函数 f ( x)在闭区间 [a,b] 上连 续，在开区间 (a,b)内可导，且在区间端点的函数值
证 f ( x)在 [a,b] 连续，必存在最大值 M 和最小 值 m.
(1) 若M m, 则 f ( x) M . 故 (a,b), 都有 f ( ) 0.
(2) 若 M m, f (a) f (b),
证 f ( x)在 [a,b] 连续，必存在最大值 M 和最小 值 m.
相等，即 f (a) f (b), 则在 (a,b) 内至少有一点 (a b), 使 f ( ) 0.
证 f ( x)在 [a,b] 连续，必存在最大值 M 和最小 值 m.
(1) 若M m, 则 f ( x) M . 故 (a,b), 都有 f ( ) 0.
(2) 若 M m, f (a) f (b),
f
(
x
)
a1
sin
x
1 3
a
2
sin
3
x
1 2n
1
an
sin(2n
1) x,
证 作辅助函数
f
(
x
)
a1
sin
x
1 3
a
2
sin
3
x
1 2n
1
an
sin(2n
1) x,
显然 f (0) f ( / 2) 0, f ( x) 在 [0, / 2]上连
91第三章微分中值定理及其应用内...
·91·第三章 微分中值定理及其应用§1.1 微分中值定理及其应用网络图§1.2 内容提要与释疑解难定义 若存在x 0的某邻域()δ,0x U ，使得对一切()δ,0x U x ∈，都有 )),()(()()(00x f x f x f x f ≥≤则称)(0x f 为极大值（极小值），称x 0为极大（小）值点。
极大值、极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点。
费马（Femat ）定理（取到极值的必要条件）设f(x)在点x 0处取到极值，且)('0x f 存在，则.0)('0=x f 反之不真，例如,0)0(',3)(',)(23===f x x f x x f 但f(0)不是极值。
费马定理常用于证明f(x)=0有一个根，找一个F(x)，使).()('x f x F =证明F （x ）在某点x 0处导数的应用微分中值定理费马定理 罗尔定理拉格朗日定理 柯西定理 泰勒公式中值定理应用 方程根的存在性适合某种条件ξ的存在性 不等式 函数性态研究 最大值与最小值曲线的局部性质 单调区间 极值 凹向与拐点 渐近线函数图形的描绘曲率 曲率圆中心——渐屈线半径·92·取到极值且)('0x F 存在，由费马定理知,0)('=x F 即.0)(0=x f 罗尔（Rolle ）定理 设f(x)在闭区间[a ,b ]上满足下列三个条件：（1）f (x )在闭区间[a ,b ]上连续；（2）f(x)在开区间（a ,b ）内可导；（3）),()(b f a f =则至少存在一点(),,b a ∈ξ使.0)('=ξf推论 在罗尔定理中，若f(a)=f(b)=0，则在（a ,b ）内必有一点ξ，使,0)('=ξf 即方程f(x)=0的两个不同实根之间，必存在方程f'(x)=0的一个根。
微分中值定理与导数
光滑曲线;有向弧段;弧微分.
弧微分
由日常生活可知，走相同长度的道路时，行进方向(即切线方向)转变越大，则道路弯曲程度越大. 因此，人们自然想到，用单位弧长上曲线的转角来表示曲线的弯曲程度，称为曲线的曲率.
曲率及其计算
曲率圆或密切圆 ;曲率中心.
曲率圆
3.6 弧微分与曲率
3.2 洛必达法则
01
02
函数单调性的判定法
曲线的凹凸性与拐点
3.3 函数的单调性和曲线的凹凸性
3.3.1 函数单调性的判定法
3.3.2 曲线的凹凸性与拐点
3.4 函数的极值与最大值、最小值问题
3.5 函数图形的描绘
曲线的渐近线 函数y=f(x)图形的描绘
定义 如果曲线C上的动点P沿着曲线无限地远离坐标原点时，动点P与某条固定直线L的距离趋于零，则称此直线为该曲线的渐近线.
定理2(拉格朗日中值定理)
拉格朗日中值公式
有限增量定理
3.1.2 拉格朗日中值定理
3.1.3 柯西中值定理
01
02
定理4(泰勒中值定理)
麦克劳林(Maclaurin)公式
3.1.4 泰勒公式
01
02
“ ”型和“ ”型未定式 洛必达(L’Hospital)法则.
其他类型的未定式
01
水平渐近线
02
铅直渐近线
03
斜渐近线
04
3.5.1 曲线的渐近线
3.5.2 函数y=f(x)图形的描绘
描绘的一般步骤如下： (1) 确定函数的定义域、周期性、奇偶性与坐标轴的交点； (2) 求出使得 、 的及 、 不存在的点； (3) 列表确定函数的单调区间与极值、曲线的凹凸区间与拐点； (4) 求曲线的渐近线； (5) 描绘几个特殊点，特别是极值点、拐点以及曲线与坐标轴的交点； (6) 综合以上信息，描绘函数图形.
D311函数的图形与曲率共37页
定 义 ：当曲线 C 上的点M 沿着该曲线无限地远离坐标原点时，
点 M 与某一直线 L 的距离（纵或横坐标差）趋于 0 , 则称直线
L 为曲线C 的渐近线 。
例如, 双曲线： 有渐近线：
x2 y2 1 a2 b2 x y0 ab
y
y f(x)
C M ykxb
x 0 (0, 1) 1 (1,)
y 0
y
0
y
1 2
1 2 e
(极大)
(拐点)
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x 0 (0, 1) 1 (1,)
y 0
y
0
y
1 2
1 2 e
(极大)
(拐点)
4) 求渐近线 limy0
x
y0为水平渐近线
5) 作图
y
1 2
A
y
1
2
e
x2 2
B
o
x
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L PN
o
x
y
但抛物线： y x 2 无渐近线 .
ox
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1. 水平与铅（垂）直渐近线
若 limf(x)b, 则曲线 yf(x) 有水平渐近线 y b ; x
(或x)
若 limf(x), 则曲线
xx0
yf(x)有垂直渐近线
x
x0 .
(或xx0)
例1. 求曲线 y 1 2 的渐近线。
(x4(x3)(1x)21)
24y8y4xy0
y 14y 2(x1)
(x
2 1)3
令y0得x1,3;
多元函数的曲率
多元函数的曲率
多元函数的曲率是描述函数在多维空间中曲线的弯曲程度的概念。
在二维平面上，我们可以用曲率来描述曲线的弯曲程度，但在三维空间或更高维空间中，曲率的概念就变得更加复杂。
在这些情况下，我们需要使用多元函数来描述曲线的曲率。
首先，让我们回顾一下在二维空间中曲线的曲率是如何定义的。
曲线的曲率可以用曲线的弧长参数形式表示，它是曲线上某一点处的切线方向改变的速率。
在两维空间中，曲线的曲率可以用一个实数来描述，这个实数越大表示曲线的弯曲程度越大。
在三维空间中，曲线的曲率变得更加复杂。
现在我们不仅需要考虑曲线的弯曲程度，还需要考虑曲线在三维空间中的弯曲方向。
这就需要用多元函数来描述曲线的曲率。
多元函数的曲率是一个向量，它包含了曲线在每个方向上的曲率信息。
通过计算多元函数的曲率，我们可以更加全面地了解曲线在多维空间中的形状特征。
这对于很多科学和工程领域都是非常重要的。
比
如，在计算机图形学中，我们需要对三维模型的曲线进行建模和渲染，曲率是一个非常重要的参数。
在工程设计中，我们也需要对曲线的曲率进行分析，以便确定曲线的强度和稳定性。
总之，多元函数的曲率是一个非常重要的数学概念，它帮助我们理解和描述多维空间中曲线的形状特征。
通过计算多元函数的曲率，我们可以更加准确地分析和描述曲线在多维空间中的弯曲程度和方向，这对于很多科学和工程领域都是非常有意义的。
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曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。
1
M2
M1
2
S 2
M3
M
S1
N
M
S1
S 2 N
弧段弯曲程度越大,
转角相同，
转角越大
弧段越短，弯曲程度越大
5
y
设曲线C是光滑的，
C
M . S
M 0 是基点. MM s , M M 切线转角为 .
三、曲率圆与曲率半径
定义 设曲线 y f ( x ) 在点
y
D 1 k
M
y f ( x)
2 2 ds ( t ) ( t )dt .
如曲线以极坐标方程给出 ( ) x ( ) cos 可化为参数方程形式 y ( ) sin 代入公式,得 ds [ ( )]2 [ ( )]2 d .
4
二、曲率及其计算公式
直线的曲率处处为零;
(2) 圆上各点处的曲率
d lim K ds s 0 s
1 1 lim ， s 0 r r 圆上各点处的曲率等于半径的倒数.
s r
圆的半径越小曲率越大.
7
2.曲率的计算公式
(1)
设y f ( x )二阶可导,
tan y, y d dx, 有 arctan y, 2 1 y y 2 d ds 1 y dx. K , k 3. ds (1 y 2 ) 2 x ( t ), 设 二阶可导, y ( t ),
定义
o
M0
S M .)Fra bibliotekx 弧段MM 的平均曲率为K . s
在 lim
曲线C在点M处的曲率 K lim s 0 s d d
s 0
s
ds
存在的条件下, K
ds
6
.
例1 (1) 直线的曲率
0 d lim lim K 0 ， s 0 s s 0 s ds
y 令x 0 取极限, M M , s M0 M x s | MM | 1 即 lim M M | MM | x x x x0 x O y ds 2 又 lim y 得 1 y x 0 x dx
s s( x ) 为单调增函数, 故 ds 1 y 2 dx .
2
x x x
2 MM | MM | | MM | ( x ) 2
2
MM ( x )2 ( y )2 MM 2 y 2 1 | MM | 2 ( x ) | MM | x
.
8
例2 抛物线 y ax 2 bx c 上哪一点的曲率最大 ? 解 y 2ax b,
k 2a [1 ( 2ax b ) ]
3 2 2
y 2a ,
公式：k
y (1 y )
3 2 2
.
.
b 显然, 当x 时, k最大 . 2a b b2 4ac 又 ( , )为抛物线的顶点 , 2a 4a
弧微分公式
3
弧微分公式 ds
1 y 2 dx
2
如将dx 写到根式内,得 ds (dx )2 (dy )2 .
如曲线 x x( y),则 ds 1 x dy . x ( t ), dx ( t )dt , 如曲线为参数方程 y ( t ), dy ( t )dt ,
抛物线在顶点处的曲率最大.
9
摆线
例3
x a( t sin t ); t (0, 2 ) t为何值时, 曲线 y a(1 cos t ),
的曲率最小？ 求出最小曲率, 写出该点的曲率半径. | y | 1 解 K (t ) , 要使K(t)最小, 3 t 2 2 4a | sin | [1 ( y ) ] 2 t t 等价于 | sin | 最大, 故当 | sin | 1, 即 t 2 2 曲率最小, 且 K min 1 , R 1 4a . K 4a
(2)
dy ( t ) , dx ( t )
k
d 2 y ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) . 2 3 dx (t )
3 2
( t ) ( t ) ( t ) ( t )
[ 2 ( t ) 2 ( t )]
2
s MM x | MM |
MM s | M M | x
2
2
2
y 2 1 x
M
y 2 1 y x
1
s s( x ) 单调增函数.
设M ( x x, y y ), 如图，
y
M
设对应于 x的增量 x, 弧 s
M0 M
s
x
y
的增量为 s , 那末
2 2
s
O
x0 x
s M 0 M M0 M M M
s MM 于是 x x
一、弧微分
设函数f ( x )在区间(a , b ) 内具有连续导数.
y
N M
T R
基点 : A( x0 , y0 ),
M ( x , y )为任意一点 ,
A
o
x0
x
x x
x
规 定
(1) 曲线的正向与 x增大的方向一致 ;
( 2) AM s, 当AM的方向与曲线正向
一致时, s取正号, 相反时, s取负号.