8-2 偏导数
大一微积分下册经典题目及解析
微积分练习册[第八章］多元函数微分学习题8—1 多元函数的基本概念1。
填空题:(1）若yx xy y x y x f tan ),(22-+=,则___________),(=ty tx f (2）若xy y x y x f 2),(22+=，则(2,3)________,(1,)________y f f x-== （3）若)0()(22 y yy x x y f +=，则__________)(=x f （4）若22),(y x x yy x f -=+，则____________),(=y x f（5）函数)1ln(4222y x y x z ---=的定义域是_______________（6）函数y x z -=的定义域是_______________（7）函数xy z arcsin =的定义域是________________ (8）函数xy x y z 2222-+=的间断点是_______________ 2。
求下列极限：(1）xy xy y x 42lim0+-→→班级： 姓名： 学号：(2) x xy y x sin lim0→→（3) 22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→微积分练习册[第八章］ 多元函数微分学3.证明0lim 22)0,0(),(=+→y x xy y x4。
证明：极限0lim 242)0,0(),(=+→y x y x y x 不存在班级： 姓名: 学号：5。
函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=(0,0)),( ,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x x y x f 在点（0，0)处是否连续？为什么？微积分练习册[第八章] 多元函数微分学习题 8—2偏导数及其在经济分析中的应用1.填空题（1）设y x z tan ln =，则__________________,=∂∂=∂∂yz x z ; （2）设)(y x e z xy+=，则__________________,=∂∂=∂∂y z x z ； （3)设zy x u =,则________,__________________,=∂∂=∂∂=∂∂z u y u x u ；（4）设x y axc z tan =，则_________________,_________,22222=∂∂∂=∂∂=∂∂y x z yz x z (5）设z yx u )(=，则________2=∂∂∂y x u ; （6）设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数存在，则_________),(),(lim 0=--+→xb x a f b x a f x 2。
流体力学教案第8章边界层理论
第八章 边界层理论§8-1 边界层的基本概念实际流体和理想流体的本质区别就是前者具有粘性。
对层流而言，单位面积摩擦力的大小yud d μτ=，可以看出，对于确定的流体的等温流场，摩擦力的大小与速度梯度有关，其比例函数即动力粘度。
速度梯度yud d 大，粘性力也大，此时的流场称为粘性流场。
若速度梯度yud d 很小，则粘性力可以忽略，称为非粘性流场。
对于非粘性流场，则可按理想流体来处理。
则N-S 方程可由欧拉方程代替，从而使问题大为简化。
Vlv l lV v A y u V l tVl t u mρρμρρ======2223d d d d 粘性力惯性力当空气、蒸汽，水等小粘度的流体与其它物体作高速相对运动时，一般雷诺数很大。
由vVl==粘性力惯性力Re ，则在这些流动中，惯性力>>粘性力，所以可略去粘性力。
但在紧靠物体壁面存在一流体薄层，粘性力却与惯性力为同一数量级。
所以，在这一薄层中，两者均不能略去。
这一薄层就叫边界层，或叫速度边界层，由普朗特在1904年发现。
a ．流体流过固体壁面，紧贴壁面处速度从零迅速增至主流速度，这一流体薄层，就叫边界层或速度边界层。
b ．整个流场分为两部分 层外，0=∂∂yu，粘性忽略，无旋流动。
层内，粘性流，主要速度降在此，有旋流动。
c ．由边界层外边界上∞=V u %99，来定义δ，δ为边界层厚度。
d ．按流动状态，边界层又分为层流边界层和紊流边界层。
由于在边界层内，流体在物体表面法线方向(即yu∂∂)速度梯度很大，所以，边界层内的流体具有相当大的旋涡强度；而在层外，由于速度梯度很小。
所以，即使对于粘度很大的流体，粘性力也很小，故可忽略不计，所以可认为，图8-2空气沿平板边界层速度分布外部区域边界层边界层外的流动是无旋的势流。
边界层的基本特征有： (1)1<<Lδ⇒薄层性质，其中L 为物体的长度；沿流方向↑↑→δx 。
(2) 层内yu∂∂很大， 边界层内存在层流和紊流两种流态。
高数8-2,3
z
z = f ( x, y) y = y0
•
M0
y
z = f ( x, y)
(x0 , y0 ) y x0 • z = f (x , y ) • x y = y0 df ( x, y0 ) ′ ( x0 , y0 ) = 轴的斜率 斜率。 在点 M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) 处的切线对 x 轴的斜率。 f x dx x=x0 类似地, f y ( x0 , y0 ) 在几何上表示空间曲线 类似地
存在， 存在，则称此极限值为函数 f ( x , y )在点( x 0 , y 0 ) 处对 x的偏导数。 的偏导数。
f ( x 0 + ∆x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) lim ∆x → 0 ∆x
∂z , 记作 = ∂x x= x0 y y
0
∂f ∂x
即
f ( x0 + ∆x, y0 ) − f ( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 ) = lim ∆x→0 ∆x
∂f ∂x df ( x, y0 ) = x= x0 dx y= y
0
;
x= x0
∂f ∂y
=?
x= x0 y= y0
4
z = x 2 + 3 xy + y 2 在点 (1,2 ) 处的偏导数 处的偏导数. 例1 求
∂z ∂z = 3x + 2 y. 解 法一： = 2 x + 3 y; 法一： ∂x ∂y ∂z ∂z = 8; = 7. ∂y x =1 ∂ x x =1
3
∂ 3z ∂ ∂2z = 2 = −18 x , 3 ∂y ∂y ∂y
∂ ∂2z ∂3z 2 = 12 xy , = 2 ∂ x ∂ y ∂y ∂ x
8-2偏导数
高等数学（ 高等数学（下）
∂ z ∂ z 3 2 = 6 y , ∂y 2 = 2 x − 18 xy; 3 ∂x ax 例 8 设 u = e cos by ，求二阶偏导数. ∂u ∂u ax ax = − be sin by; = ae cosby , 解 ∂y ∂x 2 2 ∂ u ∂ u 2 ax 2 ax = a e cos by , = − b e cos by , 2 2 ∂x ∂y 2 2 ∂ u ∂ u ax ax = − abe sin by , = − abe sin by . ∂x∂y ∂y∂x
y=x x →0 y →0
f ( x,0) − f (0,0) f x (0,0) = lim =0 x→0 x
∴f 在（0，0）不连续
高等数学（ 高等数学（下）
2、偏导数存在与连续的关系 、 一元函数中在某点可导 连续， 连续， 连续， 连续，
多元函数中在某点偏导数存在 多元函数中在某点偏导数存在
二、高阶偏导数
函数 z = f ( x , y ) 的二阶偏导数为
∂ ∂z ∂ z ∂ ∂z ∂ z = 2 = f yy ( x , y ) = 2 = f xx ( x, y ), ∂y ∂y ∂y ∂x ∂x ∂x
2
2
∂ ∂z ∂ z = f xy ( x , y ), = ∂y ∂x ∂x∂y
具体求偏导数时，仅对涉及的变量求导， 具体求偏导数时，仅对涉及的变量求导，其余 变量当作常数．因此＋，－，＊，／同一元． ＋，－，＊，／同一元 变量当作常数．因此＋，－，＊，／同一元．
高等数学（ 高等数学（下）
例 1 求 z = x 2 + 3 xy + y 2 在点 (1, 2) 处的偏导数． 处的偏导数．
数学分析8-2偏导数
f y′ ( x , y , z ) = lim f z′( x , y , z ) = lim
∆y → 0
∆z→ 0
一、偏导数的定义及其计算法
定义 设函数 z = f ( x, y) 在点( x0 , y0 ) 的某一邻 域内有定义，当在 x0 处有增量 ∆x ，而 y0 处的增 量为 0 时，相应地函数有增量 f ( x0 + ∆x, y0 ) − f ( x0 , y0 ) ，
∂u = − be ax sin by; ∂y ∂ 2u = − b 2 e ax cos by, ∂y 2 ∂ 2u = − abe ax sin by. ∂y∂x
所以f在（0， 0 ）点偏导数不存在。
[例7 ] 求 z = xy + cos( x − 2 y )的二阶偏导数 ∂z ∂z = x + 2 sin( x − 2 y ) [解] 由 ∂x = y − sin( x − 2 y ) ∂y
∆x→ 0
( x , y ) ≠ ( 0 ,0 ) , ( x , y ) = ( 0, 0) ( x , y ) ≠ ( 0,0) ( x , y ) = ( 0,0) .
例5
设 u = x y sin 3z( x > 0)( x > 0, x ≠ 1)， ∂u ∂u ∂u 求 , , . ∂x ∂y ∂z
∆y → 0
lim
偏导数 f y′ ( x0 , y0 ) 就是曲面被平面 x = x0 所截得的曲线在点 M0 处的切线对 y 轴的斜率.
0
0
0
0
如果函数 z = f ( x, y )在区域 D 内任一点 ( x , y )处对 x 的偏导数都存在，那么这个偏导数 就是 x 、 y 的函数，它就称为函数 z = f ( x , y ) 对 自变量 x 的偏导数， 记作
高数偏导数复习
1. 偏导数求解方法：例题：求22z=3x xy y ++在(1,2)处的偏导数. 解：把y 看作常量，得23zx y x∂=+∂ 把x 看作常量，得32zx y y∂=+∂ 将（1,2）带入上述结果，就得12|21328x y z x==∂=⋅+⋅=∂ 12|31227x y z y==∂=⋅+⋅=∂ 2. 高阶偏导数求解方法.设函数z (x,y)f =在区域D 内具有偏导数(x,y)x zf x∂=∂(x,y)y z f y ∂=∂ 按照对变量求导次序不同有下列四个二阶偏导数：22()(x,y)xx z z f x x x∂∂∂==∂∂∂, 2()(x,y)xy z zf y x x y ∂∂∂==∂∂∂∂2()(x,y)yx z z f x y y x ∂∂∂==∂∂∂∂, 22()(x,y)yy z zf y y y∂∂∂==∂∂∂3. 全微分.(求偏导数后加上,dx dy ) 函数(x,y)z f =的全微分： z z dz dx dy x y∂∂=+∂∂. 例题：计算函数xy z e =在点(2,1)处的全微分. 解： ,x y x yz z ye xe x y∂∂==∂∂222211|,|2x x y y z ze e x y ====∂∂==∂∂ 所以222dz e dx e dy =+ 4. 多元复合函数求导法则(先求偏导数，再对复合函数求偏导数).例题1：设z uv sin t =+，而t u e =，cos v t =，求全导数dydt。
解：sin cos t dz z du z dv zve u t t dt u dt v dt t∂∂∂=++=-+∂∂∂ cos sin cos (cos sin )cos t t te t e t t e t t t =-+=-+例题2：求22(xy ,x y)z f =的22zx∂∂（其中f 具有二阶连续偏导数）.解：22''122'2'1222'''''2''2''1112221224''3''22''111222()(2)2()(y 2)2(2)y 44z z y f f yx x x x xf y y f x x xy f xyf y f xy f x yf f xy f x y f ∂∂∂∂==+∂∂∂∂∂∂=+∂∂=++++=++5. 隐函数求导公式.定理1：设函数F(x,y)在点00P(x ,y )的某一领域内具有连续偏导数，且00F(x ,y )0=，00F (x ,y )0y ≠在点00(x ,y )的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数(x)y f =，它满足条件00(x )y f =，并有x ydy Fdx F =-. 定理2：设函数F(x,y,z)在点000P(x ,y ,z )的某一领域内具有连续偏导数，且000F(x ,y ,z )0=，000F (x ,y ,z )0z ≠在点000(x ,y ,z )的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数(x,y)z f =，它满足条件000(x ,y )z f =，并有xz z F x F ∂=-∂，y zF z y F ∂=-∂.例题：设方程xyz +=(x,y)z z =，求(1,0,1)dz |-.解：令(x,y,z)F xyz =+-Fx yz =+，Fy xz =+Fz xy =+z Fx x Fz ∂=-=∂yz F y y F z z ∂=-=∂(1,0,1)(1,0,1)|1,|z zx y --∂∂==∂∂(1,0,1)dz |dx -=-.6. 空间曲线的切线和法平面。
罗默《高级宏观经济学》(第3版)课后习题详解(第2章 无限期界与世代交叠模型)
罗默《高级宏观经济学》（第3版）第2章 无限期界与世代交叠模型跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
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2.1 考虑N 个厂商，每个厂商具有规模报酬不变的生产函数()Y F K AL =，，或者（利用密集形式）()Y ALf k =。
设()·0f '>，()()***1c s f k =-。
设所有厂商以工资wA 雇用工人，以成本r 租借资本，并且拥有相同的A 值。
（a ）考虑一位厂商试图以最小成本生产Y 单位产出的问题。
证明k 的成本最小化水平()()()**1001t t t f c c k cs f k n g k L n L αδ*+⎛⎫"==-=++=+ ⎪⎝⎭＜唯一地被确定并独立于Y ，所有厂商因此选择相同的k 值。
（b ）证明N 个成本最小化厂商的总产出等于具有相同生产函数的一个单个厂商利用N 个厂商所拥有的全部劳动与资本所生产的产出。
证明：（a ）题目的要求是厂商选择资本K 和有效劳动AL 以最小化成本rK wAL +，同时厂商受到生产函数()Y ALf k =的约束。
这是一个典型的最优化问题。
().mi . n s t w Y ALf k AL rK = +本题使用拉格朗日方法求解，构造拉格朗日函数： 求一阶条件：用第一个结果除以第二个结果：上式潜在地决定了最佳资本k 的选择。
很明显，k 的选择独立于Y 。
上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本最小化条件。
（b ）因为每个厂商拥有同样的k 和A ，下面是N 个成本最小化厂商的总产量关系式：单一厂商拥有同样的A 并且选择相同数量的k ，k 的决定独立于Y 的选择。
第八章 多元函数的微分学
二元函数偏导数的定义可以类推到三元或三元以上的 函数. 如果函数 z f ( x, y ) 在区域 D 内每一点处，对 x 的偏 导数都存在， 那么在 D 内定义了一个函数， 称为 z f ( x, y ) 的偏导函数，记作 z f 或 或 z x ( x, y ) 或 f x ( x, y ) x x 类似地，函数 z f ( x, y ) 对 y 的偏导函数,记作 z f 或 或 z y ( x, y ) 或 f y ( x, y ) . y y 偏导函数简称为偏导数.
x x0 y y0
上面定义的二元函数的极限又称二重极限,二重极限 是一元函数极限的推广,有关一元函数的运算法则和定理 均可类推到二重极限.
例 4 求极限 lim
x2 y 2 1 x2 y 2 1
x x0 y y0
解 显然，当 x 0, y 0 时, x 2 y 2 0 ,根据极限的 加法法则及有关复合函数的极限定理,有 lim 1 x 2 y 2 lim1 lim( x 2 y 2 ) 1 0 1,
x 0 y 0 x 0 y 0 x 0 y 0
所以
lim
x0 y 0
x2 y 2 1 x2 y 2 1 ( x 2 y 2 )( 1 x 2 y 2 1) ( 1 x 2 y 2 1)( 1 x 2 y 2 1)
lim
x0 y 0
例 6 求极限 lim
x0 y 1
ex y2 1 x2 Leabharlann 2 ex y21 x y
2 2
解 函数 f ( x, y ) 续的， 所以
在点(0,1)处有定义,是连
1 x2 y 2 1 02 12 在有界区域上连续的二元函数有以下性质:
第八章第2节 偏导数及其应用
一、 多元函数的偏导数
三. 多元函数的偏导数
x
y x f y x x f x z x ∆−∆+=∂∂→∆),(),(lim 0
求多元
函数的偏导数相应的一元函数的导数. 实质
上是求忘记了, 请赶快复习
一下.如果一元函数的求
导方法和公式
求偏导数时,只要将 n 个自变量中的某一个看成变量,其余的 n－1个自变量均视为常数, 然后按一元函数的求导方法进行计算即可 .
3xy+
=
x
tan ),( 000β=∂∂=y
y x f x x 平面上在四. 偏导数的几何意义
五. 偏导数存在与连续的关系连续可导连续可导
( ),( 2222≠++=y x y
x xy y x f
该例说明了一个重要问题：
想想是什么问题?
二元函数的偏导数存在 , 只是表明函数沿x 轴和y 轴方向是连续的 , 而二元函数在一点处连续必须是沿空间的任何方向均连续, 故由偏导数存在不能推出函数连续.
六高阶偏导数六 高阶偏导数
二元函数的二阶偏导数共 22 = 4 项二元函数的二阶偏导数共 22 = 4 项
发现求高阶导数与求导顺序有关.
废话! 求出偏导数才能判断连续性, 这时一眼就可看出混合偏导数是否相等了, 还要定理干什么.
七、偏导数在经济分析中的应用
——交叉弹性(cross elastic)
自学
自学的内容也很重要啊！。
第八章多元函数的极限与连续、偏导数
微积分
6、函数z x y 的定义域是______________.
7、函数z arcsin y 的定义域是_______________.
x
8、函数z y2 2x 的间断点是_______________.
y2 2x
二. 求下列各极限:
2 xy 4
1. lim
;
x0
f (1, y ) ________________. x
3、 若 f ( y ) x 2 y 2 ( y 0),则 f ( x) ________.
x
y
4、 若 f ( x y, y ) x 2 y 2 , 则 f ( x, y) _________. x
函数 z 4x y 2 的定义域是__________. ln(1 x 2 y 2 )
一、 1、 t 2 f (x, y)；
2、 13 , f ( x, y)； 12
3、 1 x2 ；
4、 x2 1 y ；
x
1 y
5、 ( x, y) 0 x2 y2 1, y2 4x ；
6、 ( x, y) x 0, y 0, x 2 y ；
7、( x, y) x 0, x y x
0 ( x x0 )2 ( y y0 )2 时 | f ( x, y) A | 恒成立.
则称当( x, y) ( x0 , y0 )时, f ( x, y)以A为极限.
记: lim f ( x, y) A.或 lim f ( x, y) A.
( x, y)( x0 , y0 )
x3 y
lim
x0
x6
电路理论(新教材第8章-2、第9章)
+ u _
i
无 源
2、二端口网络由纯电感元件或纯电容元件构成。
此时
3、若网络为复阻抗 Z R jX
PL 0
2
根据 P UI cosφ
PC 0
P UI cos I 2 Z cos I 2 R
结论：电路中的有功功率只发生在电阻元件上。 平均功率是被电路消耗的功率。
功率因数低带来的问题： P = PR = UICOS (1) 设备不能充分利用. (2) 当 输 出 相 同 的 有 功 功 率 时 ， 线 路 上 电 流 大 I=P/(Ucos )，线路压降损耗大。
解决办法：并联电容，提高功率因数 (改进自身设备)。
I
I C
分析:
+
U _
R L
补偿前 + 补偿后
串电容 行否
+
I
R
+
+
I C
U
L
U RL
U
R L
U RL
U U RL
I
U C
U RL U
I
0
补偿后
U RL
+
+
I C
U RL U
U
I
U
R
L
U RL
U C
串电容功率因数可以提高，甚至可以补偿到1， 但不可以这样做！ 原因是：在外加电压不变的情况下，负载得不到 所需的额定工作电压。 同样，电路中串、并电感或电阻也不能用于功率因 数的提高。其请自行分析。
可得：
dWL
dt
8-2 偏导数及其应用
表示Q2对自身价格p2的边际需求,称为偏边际
微积分八③
17/31
Q1 p2 Q2 p1
表示Q1对相关价格p2的边际需求,
称为交叉边际
表示Q2对相关价格p1的边际需求,
称为交叉边际
Q1 Q2
p1
p2
2.偏弹性与交叉弹性
微积分八③
18/31
需求量Q1对自身价格p1 的直接价格偏弹性（或 称为自价格弹性）为：
微积分八③
20/31
例9.某城市大气污染指数P取决于两个因素:空气中固体废 物含量x;有害气体含量y,且在某种情况下有 P x 2 xy 4 xy P P EP EP , (1)计算 并解释其含义. (2)计算 ,
2 2
x
(10,5)
y
(10,5)
Ex
(1 0 ,5 )
Ey
(1 0 ,5 )
一、全微分的定义 二、可微的条件 三、全微分在近似计算中的应用
分
电 子 教 案
23/31
一、全微分的定义
如果函数 z f ( x , y ) 在点( x , y ) 的全增量
z f ( x x , y y ) f ( x , y ) 可以表示为 z Ax By o( ) ，其中 A, B 不依赖于
一阶偏导（2个）
二阶偏导（4个）
微积分八③
11/31
二阶偏导数的符号与名称 2 2 z f [ f x ( x , y )]x : ; ; f xx ( x , y ); z 对x的二阶偏导 xx 2 2 x x 2 2 z f [ f y ( x , y )]y : 2 ; ; f yy ( x , y ); z 对y的二阶偏导 yy 2 y y
高等数学第六版下册课后习题答案-同济大学
本答案由大学生必备网 免费提供下载第八章 多元函数微分法及其应用第一节 多元函数的基本概念本节主要概念，定理，公式和重要结论理解多元函数的概念，会表达函数，会求定义域； 理解二重极限概念，注意A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00是点),(y x 以任何方式趋于),(00y x ;注意理解本节中相关概念与一元函数中相应内容的区分与联系。
习题 8－11.求下列函数表达式:(1)xy y x y x f +=),(，求),(y x xy f +解：(,)()x yxy f xy x y xyx y ++=++(2)22),(y x y x y x f -=-+，求),(y x f解：(,)()()(,)f x y x y x y x y f x y xy +-=-+⇒= 2.求下列函数的定义域，并绘出定义域的图形: (1)221)1ln(yx x y x z --+-+=解：22221011010x y x y x y x y x +->⎧+>⎧⎪-->⇒⎨⎨+<⎩⎪≥⎩(2))12ln(2+-=y x z 解：2210x y -+>(3) |)|||1ln(),(y x y x f --= 解：1||||0||||1x y x y -->⇒+< 3.求下列极限:(1)22)1,0(),(1limy x xyx y x ++-→解：22(,)(0,1)1lim1x y x xyx y →-+=+ (2)xy xy y x 42lim)0,0(),(+-→解一：(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)18lim2lim2lim 4x y x y x y xyxy →→→=-=-=-解二：(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)1limlim lim 4x y x y x y →→→===-(3)yxy x y x )sin()2(lim )0,1(),(+→(4)2222011limy x y x y x +-+→→解一：(,)(1,0)(,)(1,0)sin()sin()lim (2)lim [(2)]3x y x y xy xy x x x y xy→→+=+=解二：(,)(1,0)(,)(1,0)(,)(1,0)sin()lim (2)lim (2)lim (2)3x y x y x y xy xyx x x x y y →→→+=+=+= (4)22220011limyx y x y x +-+→→解一：2222222200000011lim lim()022x x x y y y x y y x x y x y →→→→→→==⋅=++解二：222222000000x x x y y y y x y →→→→→→===+ 4.证明下列函数当)0,0(),(→y x 时极限不存在:(1)2222),(yx y x y x f +-=解：222222222222001lim lim 1x x y kxx y x k x k x y x k x k →→=---==+++ (2)22222)(),(y x y x y x y x f -+= 解：224222400lim lim 1()x x y x x y x x y x y x →→===+- 2222200lim 0()x y x y x y x y →==+- 5.下列函数在何处是间断的? (1) yx z -=1解：x y =(2)x y xy z 2222-+=解：22y x =第二节 偏导数本节主要概念，定理，公式和重要结论1.偏导数：设),(y x f z =在),(00y x 的某一邻域有定义，则xy x f y x x f y x f x x ∆∆∆),(),(lim),(0000000-+=→， yy x f y y x f y x f y y ∆∆∆),(),(lim ),(0000000-+=→. ),(00y x f x 的几何意义为曲线⎩⎨⎧==0),(y y y x f z 在点)),(,,(0000y x f y x M 处的切线对x 轴的斜率.),(y x f 在任意点),(y x 处的偏导数),(y x f x 、),(y x f y 称为偏导函数，简称偏导数.求),(y x f x 时，只需把y 视为常数，对x 求导即可.2.高阶偏导数),(y x f z =的偏导数),(),,(y x f y x f y x 的偏导数称为二阶偏导数，二阶偏导数的偏导数称为三阶偏导数，如此类推. 二阶偏导数依求导次序不同，有如下4个：xy zy x z y z x z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂222222,,,，其中后两个称为混合偏导数. 若两个混合偏导数皆为连续函数，则它们相等，即可交换求偏导数的次序.高阶混合偏导数也有类似结果.习题 8－21.求下列函数的一阶偏导数:(1)xy y xz +=解：21,z z xy x x y y y∂∂=+=-+∂∂ (2)xyz arctan =解：2222222111,1()1()z y y z x y y x x x y y x x y x x∂--∂=⋅==⋅=∂+∂+++ (3))ln(22y x x z ++=解：(1z x ∂==∂z y ∂==∂(4))ln(222z y x u ++= 解：222222222222,,u x u y u zx x y z y x y z z x y z∂∂∂===∂++∂++∂++(5)⎰=yzxzt dt e u 2解：22222222,,x z y z y z x z uu u ze ze ye xe x y z∂∂∂=-==-∂∂∂ (6)x y y x z cos sin = 解：2211cos cos sin sin ,cos cos sin sin z x y y x y u x x y x y x y y x x y x y y y x x y x ∂∂=+=--∂∂ (7)y x xy z ++=)1( (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解：(1)[ln(1)],(1)[ln(1)]11x y x y z x y u x y xy xy y xy xy x x xy y xy ++∂+∂+=+++=+++∂+∂+ (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解：[cos()sin()],[cos()sin()]u u e e θϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕ++∂∂=---=-+-∂∂ 2.求下列函数在指定点处的一阶偏导数: （1）yxy x z arcsin)1(2-+=，求)1,0(x z 解：20(0,1)lim0x x x z x∆→∆==∆ （2）xyx e x z yarctan)1(2-+=，求)0,1(y z 解：01(1,0)lim1y y y e z y∆∆→-==-∆ 3.求下列函数的高阶偏导数:(1))ln(xy x z =， 求22x z ∂∂，22yz ∂∂，y x z∂∂∂2解：ln()1,z z x xy x y y∂∂=+=∂∂ 22222211,,z z x z x x y y x y y∂∂∂==-=∂∂∂∂ (2))2(cos 2y x z +=，求22x z ∂∂，22yz ∂∂，y x z ∂∂∂2，x y z ∂∂∂2解：2cos(2)sin(2)sin 2(2)zx y x y x y x ∂=-++=-+∂ 4cos(2)sin(2)2sin 2(2)zx y x y x y y∂=-++=-+∂ 222222cos 2(2),8cos 2(2),4cos 2(2)z z zx y x y x y x y x y∂∂∂=-+=-+=-+∂∂∂∂(3)⎰+=22 y x xtdt e z ， 求22x z ∂∂， yx z ∂∂∂2解：22222222222,2(12),4x y x x y x x y z z z xe e x e e xye x x x y+++∂∂∂=-=+-=∂∂∂∂ 4.设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=0 00),(22222233y x y x y x xy y x y x f ，求)0,0(xy f 和)0,0(yx f .解：00(0)(0,0)00(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x ∆→∆→∆--===∆∆，00(0,)(0,0)00(0,0)lim lim 0y y y f y f f y y ∆→∆→∆--===∆∆4224222224(,),0()x x x y y f x y y x y x y +-=+≠+ 4224222224(,),0()y x x y y f x y x x y x y --=+≠+ 54000(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1x x xy y y y f y f y f y y∆→∆→-∆-∆-∆===-∆∆54000(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x yx x x x f x f x f x x ∆→∆→∆-∆-∆===∆∆5.设)11(y x e z +-=， 求证z y z y x z x222=∂∂+∂∂ 解: 1111()()2211,x y x y z z e ex x y y-+-+∂∂==∂∂ 111111()()()2222221122x yx y x y z z x y x e y e e z x y x y-+-+-+∂∂+=⋅+⋅==∂∂ 6.设222z y x r ++=， 证明r zr y r x r 2222222=∂∂+∂∂+∂∂证明: 22222223,r x r x r r x r r x x r x r x r r r ∂--∂∂-∂=====∂∂ 由轮换对称性, 2222222323,r r y r r z y r z r ∂-∂-==∂∂222222222223321r r r r x y z r x y z r r r∂∂∂---++===∂∂∂ 第三节 全微分本节主要概念，定理，公式和重要结论1.全微分的定义若函数),(y x f z =在点),(00y x 处的全增量z ∆表示成22),(y x o y B x A z ∆+∆=+∆+∆=∆ρρ则称),(y x f z =在点),(00y x 可微，并称Bdy Adx y B x A +=+∆∆为),(y x f z =在点),(00y x 的全微分，记作dz .2.可微的必要条件：若),(y x f z =在),(00y x 可微，则 （1）),(y x f 在),(00y x 处连续；（2）),(y x f 在),(00y x 处可偏导，且),(),,(0000y x f B y x f A y x ==，从而dy y x f dx y x f dz y x ),(),(0000+=.一般地，对于区域D 内可微函数， dy y x f dx y x f dz y x ),(),(+=.3.可微的充分条件：若),(y x f z =在),(00y x 的某邻域内可偏导，且偏导数在),(00y x 处连续，则),(y x f z =在),(00y x 可微。
大学课件高等数学下学期8-2二重积分的计算
例 设D为圆域 x2 y2 R2
z
二重积分 R2 x2 y2 d
D
=
DO
y
xR
解 z R2 x2 y2 是上半球面
由二重积分的几何意义可知，上述积分等于
上半球体的体积：
R2 x2 y2d 2 R3 3
D
8/46
二、在直角坐标系下计算二重积分
(1) 积分区域为：a x b, 1( x) y 2( x).
1
y
dx 1
2
(x
x3 )dx
9.
1
4
x
14/46
例1 求
双曲线xyD
xy122围d成,的 其闭 中区 D是域由. 直线xy
2,
y
x和
y x
解2 将D看成Y型区域
D2 x 1
1
1
xy D11
D1 : 2 y 1, y x 2 O
x 第
D2 : 1 y 2, y x 2
一 种
D1
26/46
记 I=
xy cos x sin ydxdy (1,1)
y
(1,1)
D
D2 D1
则I= I1+ I2, 其中
D3
D4 O
x
I1= xydxdy
(1,1)
D
I2= cos x sin ydxdy
D
D1与D2关于y轴对称 D3与D4关于x轴对称
而 I1 = xydxdy xydxdy xydxdy
D
D
a
1 ( xa)
b
(
2( x)
f ( x, y)dy)dx
a 1 ( x)
a
8-2多元函数的偏导数
解(方法1) 先求后代
z 2x3y,
x
z
3x2y
y
z
21328,
x (1, 2)
z
31227
y (1, 2 )
(方法2) 先代后求
z y 2 x2 6x4
z x
(1,
dz(x,2) 2 ) dx
x1ddx(x26x4)x1
(x0, y0)处对x 的偏导数，记为
z
f
; x ( x0 , y0 )
; x ( x0, y0 )
zx ( x0 , y0 ) ;
fx(x0,y0).
注
fx(x0, y0)
lim f(x0 x,y0)f(x0,y0) d
x 0
x
dx
f
(x,
y0)
xx0
同样可定义 函数 f(x, y) 在点(x0, y0) 对 y 的偏导数
例9 证明函数
1 u ,r
x2y2z2满足拉普拉斯
r
方程
2u 2u 2u u 0
在点 (x , y , z) 连续时, 有
f x y z ( x ,y , z ) f y z x ( x ,y , z ) f z x y ( x ,y , z ) f x z y ( x , y , z ) f y x z ( x , y , z ) f z y x ( x , y , z )
第八章
第二节 多元函数的偏导数
一、 偏导数的概念 二 、偏导数的计算 三 、偏导数的几何意义 四 、高阶偏导数
一、偏导数的概念
1.引例 弦线的振动问题. 研究弦在点 x0 处的振动 速度与加速度 , 就是将 振幅 u(x, t) 中的 x 固定 于x0 处, 求 u(x0, t) 关于 t 的一阶导数与二阶导数.
微积分8-2偏导数
偏导数的定义
总结词
偏导数可以理解为函数图像在某点处的切线斜率。
详细描述
偏导数的几何意义是将一元函数的导数推广到多元函数的特定方向上的变化率。在二维平面上，如果函数$f(x, y)$在点$(x_0, y_0)$处的偏导数$frac{partial f}{partial x}$和$frac{partial f}{partial y}$存在，那么它们可以分别理解为函数图像在点$(x_0, y_0)$处沿$x$轴和$y$轴方向的切线斜率。具体来说，$frac{partial f}{partial x}$表示切线在$x$轴方向的斜率，而$frac{partial f}{partial y}$表示切线在$y$轴方向的斜率。
工程问题中的偏导数应用
控制系统的稳定性分析
结构设计优化
热传导方程
在热力学中，偏导数用于描述热传导现象。通过建立热传导方程并求解，可以预测温度分布和热量传递过程。
弹性力学
在弹性力学中，偏导数用于描述物体的应力、应变和位移等物理量之间的关系。通过求解弹性力学方程，可以分析物体的力学性能和结构稳定性。
物理问题中的偏导数应用
偏导数的几何意义
总结词：偏导数具有一些重要的性质，如线性性质、链式法则等。
偏导数的性质
02
偏导数的计算方法
CHAPTER
常数偏导数
总结词
常数偏导数是偏导数的一种特殊情况，当函数中自变量只有一个时，偏导数即为导数。
详细描述
常数偏导数是指函数中只有一个自变量的情况下的偏导数。在这种情况下，偏导数的计算与一元函数的导数计算类似，使用链式法则和乘积法则进行计算。
01
曲线的切线
偏导数在曲面上的应用可以描述曲面在某一点的法线方向，即垂直于切线的直线。
五类型函数的二阶导数计算方法举例习题及答案D1
五种类型函数的二阶导数计算题及答案步骤主要内容：本文举例介绍基础复合函数型、和差型、乘积型、商型、三角函数型等类型函数的二阶导数及二阶偏导数的计算步骤。
1. 基础复合函数二阶导数2. 函数和差类型二阶导数3. 函数乘积类型二阶导数4. 函数商类型二阶偏导数5. 三角函数二阶偏导数五种类型函数的二阶导数计算题及答案步骤☂1：求y=(9x+19)4二阶导数。
☂2：求y=92-17x 2 的二阶导数。
☂3：求y=e 7x 二阶导数y"的计算过程。
☂4：计算y=sin(13x+25)的二阶导数。
☂5：求y=e 8x 2cos4x+7x 二阶导数。
☂6：求y=ln(4x-8x 2-22)的二阶导数。
☂7：求y=10x2+2x-42的二阶导数。
☂8：求y=8x5+28x8-21x+33的二阶导数。
☂9：求y=x8-9x2+3x+17的二阶导数。
☂10：计算y=10x5-sin4x的二阶导数。
☂11：求y=cos(8x+12)+x11+e2的二阶导数过程。
☂12：求函数y=x(56-14x)的二阶导数。
☂13：y=xe4x的二阶导数。
☂14：y=x 5*6x的二阶导数。
☂15：求y=xe -x 5+8的二阶导数。
☂16：y=sin14x*cos5x，求此函数的二阶导数。
☂17：z=xln(7x+8y)，求其所有二阶偏导数。
☂18：求y=x-74x+59的二阶导数。
☂19：函数 y=35x 2-9x+1的二阶导数。
☂20：求y=8x 16+x 2的二阶导数。
☂21：计算y=sin11x x+3的二阶导数。
☂22：求y=x+x x 2-17的二阶导数。
☂23：y=sin 10x 求二阶导数。
☂24：求函数y=cos2xtan10x 的二阶导数。
☂25：求函数y=cos(11x+28)x的二阶导数。
☂26：求z=sin(x 2+2y)的二阶偏导数。
☂27：求z=sin 7(11x+39y)的二阶偏导数。
☂28：求函数z=sin 9x -x 3y 3+e 7的二阶偏导数。
高等数学8-2偏导数
内容小结
1. 偏导数的概念及有关结论
• 定义; 记号; 几何意义
• 函数在一点偏导数存在
函数在此点连续
• 混合偏导数连续
与求导顺序无关
2. 偏导数的计算方法
先代后求
• 求一点处偏导数的方法 先求后代 利用定义
• 求高阶偏导数的方法
逐次求导法
(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)
31
思考与练习 P73 题 5 , 6
d dy
f
(0,
y)
y
0
32
P73 题6
(1)
z x
x
1 y2
,
z y
x
2y y2
2z x2
(x
1 y2
)2
,
2z x y
(x
2y y2
)2
,
2z y2
2(x y2 ) (x y2)2
(2) z yx y1, z x y ln x
z f (x, y) 由一x 元 x函 数导
数的几何意义：
x
z
= tan
y
M
0
x =x0 (x , y )
.
y
.
19
几何意义: 偏导数 f x ( x0 , y0 )就是曲面被平面 y y0所截得 的曲线在点M0处的切线M0Tx对 x轴的斜率. 偏导数 f y ( x0 , y0 )就是曲面被平面 x x0所截得 的曲线在点M0处的切线M0Ty对 y轴的斜率.
fx (x, y)
y
x4
4x2y2 (x2 y2)2
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z y
2
2 x y 9 xy
3
2
x;
z x
2
6 xy ,
2
z
3
x
2 2
3
6y ,
2
z y
2 2
2 x 18 xy ;
3
z xy
6 x y 9 y 1,
z yx
6 x y 9 y 1.
2 2
例 5
设u e
或 f x ( x0 , y0 ).
同 理 可 定 义 函 数 z f ( x , y ) 在 点( x0 , y0 ) 处 对 的偏导数， 为
y 0
y
lim
f ( x0 , y0 y ) f ( x0 , y0 ) y
记作
z y
x x0 y y0
或 f
y
zy
x x0 y y0
2
z z f yy ( x , y ) 2 y y y
2
z z f xy ( x , y ), y x xy
2
z z f yx ( x , y ) x y yx
x x0 y y0
f y ( x0 , y0 )
如 果 函 数 z = f(x , y )在 区 域 D 内 任 一 点 ( x , y ) 处 对 x 的 偏 导 数 都 存 在 ， 那 么 这 个 偏 导 数 就 是 x、 y 的 函 数 ， 它 就 称 为 函 数 z = f(x , y )对 x 的 偏 导 函 数 ， 记 作
定理 如果函数 z f ( x, y)的两个二阶混合偏导数 及
z
2
z
2
yx
xy
在区域 D 内连续，那末在该区域内这
两个二阶混合偏导数必相等．
推广
如果函数 z f ( x , y ) 直到 n 阶为止的一切偏导
数在 D 内连续 , 那么 f ( x , y )的 m 阶混合偏导数与求导 次序无关 , 其中 m n .
一、偏导数的定义及其计算法
定义 设 函 数 z f ( x , y ) 在 点( x0 , y0 ) 的 某 一 邻 域 内 有 定 义 ， 当y 固 定 在
y0 而 x 在 x0 处 有 增
量 x 时 ， 相 应 地 函 数 有 增 量
f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) ，
y z
2
y
x
,
z
ln x ；
y
2
2 xy (x
2
y )
2
2
, (x
2 xy
2
x
2
2 2
y )
2
2
(x
2
y )
；
5、 (
x y
) (
z
1 y
z y
ln
x y
).
作业:
P88, 4, 6(2)
5、 设 u (
x y
) ,则
z
u
2
z y
_ _ _ _ __ _ _ __ .
练习题答案
2 y 2x y
xy
一 、 1、
csc
,
2x y
2
2
csc
2x y
xy
；
( xy x
2
2、 e 3、 4、
y z
( xy y
y 1 z
1) ,e
1) ；
x
,
1 z
y
x
z
ln x ,
ax
cos by ， 求 二 阶 偏 导 数 .
u be
ax
解
u x
u
2
ae
ax
cos by ,
y
2
sin by ;
x
2
2
a e
2
ax
cos by ,
u y
2 2
b e
2
ax
cos by ,
u xy
abe
ax
u sin by , yx
但函数在该点处并不连续. 偏导数存在
连续.
4、偏导数的几何意义
设 M 0 ( x 0 , y 0 , f ( x 0 , y 0 )) 为曲面 z f ( x , y ) 上一点 ,
如图
几何意义:
偏 导 数 f x ( x0 , y0 ) 就 是 曲 面 被 平 面 y y0 所截得的曲线在点M 斜率.
V T
;
T p
1 .
证
V p V
p
RT p V
RT V
V T
p V
R p
RT V
2
;
T
pV R
T p
V R
;
T
T p
RT V
2
R V RT p R pV
1.
有关偏导数的几点说明：
１、
偏导数
u x
2z .
证
z x
x z y x
x
y
yx
1
,
z y x y yx
x ln x ,
y
z
y 1
ln x y
y
1 ln x
x ln x
y
x
2z.
原结论成立．
例 3
已 知 理 想 气 体 的 状 态 方 程 pV RT
（ R 为常数） 求证： ，
p V
f x ( x , y , z ) lim f ( x x, y, z) f ( x, y, z) x
f ( x, y y, z) f ( x, y, z) y
f ( x, y, z z) f ( x, y, z) z
x 0
,
f y ( x , y , z ) lim
例 . 若 f ( x , y )的 1 , 2 , 3 阶偏导数都连续 f xxy f xyx f yxx
,则
三、小结
偏导数的定义 （偏增量比的极限）
偏导数的计算、偏导数的几何意义 高阶偏导数
混合偏导 （相等的条件）
练习题
一 、填 空题: 1 、 设 z ln tan 2、设 z e 3、设 u x
f x ( 0 , y ) f x ( 0 ,0 ) y
y 0
0,
f yx ( 0 , 0 ) lim
显然
f y ( x ,0 ) f y ( 0 ,0 ) x
x 0
1.
f xy ( 0 , 0 ) f yx ( 0 , 0 ).
问题：具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？
0
处 的 切 线 M 0T x 对 x 轴 的
偏 导 数 f y ( x0 , y0 ) 就 是 曲 面 被 平 面 x x0 所截得的曲线在点M 斜率.
0
处 的 切 线 M 0T y 对 y 轴 的
二、高阶偏导数
函 数 z f ( x , y )的 二 阶 偏 导 数 为
z z f xx ( x , y ), 2 x x x
y 0
,
f z ( x , y , z ) lim
z 0
.
偏导数的求法：
1、求函数对变量x的偏导数时，只将x看成变量， 其它变量看成常数求导即可；
2、求函数在点P处对x的偏导数时，如果函数 对x的偏导数在P点连续，则可先求偏导函数， 再求它再P处的值；否则，按定义求.
例 1 求 z x 3 xy y 在 点 ( 1 , 2 ) 处 的 偏 导 数 ．
2 2
解
z x
z x
2x 3y ;
z y
3x 2y .
z y
x 1 y2
x 1 y2
21 32 8 ,
31 2 2 7 .
例 2
设 z x ( x 0, x 1)，
y
求证
x z y x
y1
1
z
ln x y
abe
ax
sin by .
问题： 混合偏导数都相等吗？
x y 2 2 设 f (x, y) x y 0
3
例 6
( x , y ) ( 0 ,0 ) ( x , y ) ( 0 ,0 ) .
求 f ( x , y )的二阶混合偏导数
解
f xy ( 0 , 0 ) lim
x
如果 lim
f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) x
x 0
存在，则称
此极限为函数 z f ( x , y ) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处对 的偏 导数，记为
z x
x x0 y y0
，
f x
x x0 y y0
， zx
x x0 y y0
_ _ _ _ _ _ _ _ __ ;
_ _ _ _ _ __ _ _ __ _ . y x ,则 z
2
4 、 设 z arctan
z
2
x
2
_ _ _ _ _ __ _ ;
z
2
y
2
_ _ _ _ _ __ ;
xy
_ _ _ _ _ __ _ _ _ __ .